Tarea 1 – El Concepto de Integral

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XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

Universidad Nacional Abierta y a Distancia - UNAD

Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Cálculo Integral

Marzo 2022
 Introducción

Las funciones matemáticas son un tipo de relación que acepta una sola interpretación,

donde a un elemento de un conjunto llamado dominio le corresponde un elemento de un

conjunto denominado contradominio. Entre el elemento del dominio y del contradominio, existe

una relación o hilo conductor que lleva a saber sin error su correspondiente imagen y en sentido

inverso al correspondiente elemento del dominio. Esta es la forma de la función inversa para ir

en uno u otro sentido en una función. De esta forma, existe una forma de calcular la derivada de

una función y encontrar en sentido inverso, a partir de la función derivada, la función que es su

antiderivada y se denomina función primitiva de la derivada que, en el cálculo diferencial, se

denomina integral de una función, esto es, una operación donde, dada una función, permite

determinar su función primitiva.

El presente trabajo es la aplicación práctica y la identificación de los conceptos propios

de la antiderivada y el teorema fundamental del cálculo, para la comprensión y solución de

problemas de integrales definidas e indefinidas.

 Tarea 1 – El Concepto de Integral

Desarrollo del ejercicio a) del Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36 - 42).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades

matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso

de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su

respuesta derivando el resultado.

Ejercicio a. ∫ ( cos ( 2 x )−sen ( x ) ) dx

Aplicar la propiedad de linealidad de la integral:

∫ ( cos ( 2 x )−sen ( x ) ) dx=∫ cos ( 2 x ) dx −∫ sen ( x ) dx

Resolver las integrales: ∫ cos ( 2 x ) dx y ∫ sen ( x ) dx. Para la integral ∫ cos ( 2 x ) dx , multiplicamos

y dividimos por 2 dicha integral para calcular la primitiva inmediata:

2 1 1 1
2∫
cos ( 2 x ) dx= ∫ 2 cos ( 2 x ) dx= ∫ cos ( 2 x ) (2 dx )= sen ( 2 x ) +C 1
2 2 2

Para la integral ∫ sen ( x ) dx, aplicar la integración inmediata ∫ sen ( x ) dx=−cos ( x ) +C2

1
∫ ( cos ( 2 x )−sen ( x ) ) dx=∫ cos ( 2 x ) dx −∫ sen ( x ) dx= 2 sen ( 2 x )+ C1−( −cos ( x ) +C2 )
1
∫ ( cos ( 2 x )−sen ( x ) ) dx= 2 sen ( 2 x ) +cos ( x )+ C
Comprobar la respuesta por medio de la derivación:

d 1
dx 2 (
sen ( 2 x ) +cos ( x ) +C = ) (
d 1
dx 2
d
dx ) d
sen ( 2 x ) + ( cos ( x )) + ( C )
dx

Aplicar la regla de la cadena para calcular la

d 1
(
dx 2 )
sen ( 2 x ) :

d 1
dx 2( )
1
sen ( 2 x ) = cos ( 2 x )∗2=cos ( 2 x )
2

Aplicar las derivadas inmediatas de las funciones elementales:

d
( cos ( x ) )=−sen ( x )
dx

d
( C ) =0
dx

Obtenemos:

d 1
(
dx 2 )
sen ( 2 x ) +cos ( x ) +C =cos ( 2 x ) −sen ( x ) +0=cos ( 2 x )−sen ( x )

d 1
(
dx 2 )
sen ( 2 x ) +cos ( x ) +C =cos ( 2 x ) −sen ( x )

Fuente: https://www.geogebra.org/classic?lang=es
Desarrollo del ejercicio a) del Tipo de ejercicios 2 - Sumas de Riemann.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo

Editorial Patria. (pp. 27 – 38).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando las Sumas de Riemann.

Ejercicio a.

( )
4 2
x
 Aproxime la integral definida ∫ +ln ( x ) dx , mediante la suma de Riemann del
2 2

punto derecho, con n=4.

( )
4 2
x
Dada la integral ∫ +ln ( x ) dx , consideramos una partición del intervalo [2,4] en 4 áreas. La
2 2

suma de Riemann del punto derecho viene dada por:

b n

∫ f ( x )dx ≈ ∑ f ( x i ) ∆ x
a i=1

Calcular la base de los rectángulos:

b−a 4−2 1
∆ x= = =
n 4 2

Calcular la altura de los rectángulos:

1 4+i
x i=a+ i∆ x=2+i × =
2 2

( ) [ ( ) ( )]( 12 )=¿ ¿
4

( )( )
2 4 4 2
x 4 +i 1 1 4+ i 4 +i
∫ 2
+ln ( x ) dx=∑ f
2
=∑
2 i=1 2 2
+ ln
2
2 i=1
 [ ( ) ( )]( ) [ ( )]( 12 ) ¿
4 4
1 16+8 i+i 2 4 +i 1 1 2 4+ i
∑ 2 4
+ ln
2 2
=¿ ∑ 2+i+ i + ln
8 2
i=1 i =1

¿ 2,020645366+2,799306144+ 3,688881484+4,693147181 ≈ 13,20198018

( )
4
x2
∫ 2
+ln ( x ) dx=13,20198018
2

 Grafica en GeoGebra la suma de Riemann para n=4, n=12 y compara con el

resultado de la integral definida.

 Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

Suma de Riemann para n=4

Fuente: https://www.geogebra.org/m/mzkrauxv

Suma de Riemann para n=12

 Fuente: https://www.geogebra.org/m/mzkrauxv

Resultado de la integral definida:

( )
4 4 4 4 4
x2 x2 1
∫ 2
+ln ( x ) dx=∫ dx+∫ ln ( x ) dx= ∫ x dx +∫ ln ( x ) dx
2

2 2 2 2 22 2

4 4
1
Resolver las integrales definidas: ∫ x dx y ∫ ln ( x ) dx .
2
22 2

[ ]
4 3 4
1 1 x 1 3 4 1 3 3 28
∫ = [ x ] 2 = [ 4 −2 ] = ≈ 9,333333333
2
x dx=
22 2 3 2 6 6 3

Aplicar integración por partes para calcular ∫ ln ( x ) dx

2

∫ u dv =uv−∫ v du
1
u=ln ( x ) → du= dx
x

dv =dx →∫ dv=∫ dx → v=x

4 4 4

∫ ln ( x ) dx=ln ( x ) . x−∫ x . 1x dx=xln ( x ) −∫ dx=[ xln ( x )−x ]2 =( 4 ln ( 4 )−4 ) −( 2 ln ( 2 )−2 ) ≈ 2,158883083

4

2 2 2

4 4
1
Sumar los resultados de las integrales definidas: ∫ x dx y ∫ ln ( x ) dx .
2
22 2

( )
4
x2
∫ 2
+ln ( x ) dx=9,333333333+2,158883083=11,49221642
2

( )
4 2
x
∫ 2
+ln ( x ) dx ≈ 11,49221642
2

( )
4
x2
La integral definida ∫ +ln ( x ) dx se puede calcular mediante el uso de sucesiones de sumas
2 2

inferiores o del uso de sucesiones de sumas superiores; de hecho, puede usarse cualquiera

sucesión de sumas de Riemann. En el ejercicio podemos observar que la suma de Riemann del

punto derecho nos ayuda a aproximar el área bajo la curva representada por la integral definida

( )
4
x2
∫ 2
+ln ( x ) dx , para 𝑛=4 tenemos que el área aproximada es de 13,20198018 y para 𝑛=12 el
2

área aproximada es de 12,05402984, se puede observar que es una sobrestimación del área real

que es de 11,49221642. Esta aproximación se mejora al dividir nuestra área en más rectángulos

con bases menores, es decir, al usar n, con valores mayores que tiendan al infinito.

 ¿Qué se puede concluir al aumentar el número de rectángulos?

Al dividir nuestra área en más rectángulos con bases menores, es decir, al usar n, con valores

mayores, nos acercará aún más al área real bajo la curva, pero debemos recordar que una

aproximación siempre es solo una aproximación. Si consideramos una suma de Riemann con un

número infinito de subdivisiones iguales, esto nos llevaría a calcular el límite de una suma de

Riemann y en infinito, siempre obtendremos el valor exacto de la integral definida.

Desarrollo del ejercicio a) del Tipo de ejercicios 3 - Teoremas de integración.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial

Patria. (pp. 14 - 16).

Desarrollar los ejercicios seleccionados derivando G′(𝑥) de las siguientes funciones. Aplicar el

siguiente Teorema de integración en cada ejercicio:

(∫ )
b (x )
d
f ( t ) dt =f ( b ( x ) ) . ( b ' ( x ) )−f ( a ( x ) ) . ( a ' ( x ) )
dx a (x )

2
2 x −3 x
t−1
Ejercicio a. F ( x )= ∫ 2
dt
sen ( x ) t +2
2
2 x −3 x
t−1
F ( x )= ∫ 2
dt
sen (x) t +2

a ( x)=sen(x )→ a ' (x)=cos( x )

2
b ( x )=2 x −3 x → b ´ ( x ) =4 x−3

( ) (∫ )
b( x) 2 x 2−3 x
d
F ' ( x )=
dx
∫ f (t)dt = dxd t−1
t 2 +2
dt
a( x) sen(x)

¿ f ( 2 x 2−3 x ) . ( 4 x−3 )−f ( sen ( x) ) . ( cos ( x) )=¿

( 2 x2−3 x ) −1 sen( x )−1

¿ 2
. ( 4 x −3 )− 2
. ( cos ( x) )
( 2 x −3 x ) +2
2
sen ( x)+2
 ( 2 x2−3 x−1 ) sen(x )−1
¿ . ( 4 x −3 )− . ( cos ( x))
( 4 x −12 x +9 x + 2 )
4 3 2 2
sen ( x)+2

8 x −18 x +5 x+3 sen(x )cos ( x)−cos( x )

3 2
¿ 4 3 2
− 2
4 x −12 x +9 x + 2 sen ( x)+2

8 x 3−18 x 2 +5 x+3 2 sen ( x ) cos ( x ) cos ( x)

¿ − +
4 x −12 x +9 x + 2 2 ( sen ( x ) +2 ) sen 2 (x)+2
4 3 2 2

3 2
8 x −18 x +5 x+3 sen ( 2 x ) cos(x )
¿ − +
4 x −12 x +9 x + 2 2 ( sen ( x ) +2 ) sen ( x )+2
4 3 2 2 2

3 2
8 x −18 x +5 x +3 sen ( 2 x ) cos ( x)
F ' ( x )= − +
4 x −12 x + 9 x +2 2 ( sen ( x )+ 2 ) sen2 ( x)+2
4 3 2 2

Desarrollo del ejercicio a) del Tipo de ejercicios 4 - Integral definida.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso:

Spivak, M. (2018). Calculus (3ª. ed.). Barcelona: Editorial Reverté. (pp. 299 - 303).

Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico Administrativas:

Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 201 – 203).

 Calcular la siguiente integral definida:

3 2
x −16
Ejercicio a. ∫ dx
1 x−4

El segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral es una propiedad de las funciones

continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de

las primitivas de la función.

Dada una función f(x) integrable en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f,

es decir F’(x)=f(x). Entonces:

b

∫ f ( x ) dx=F ( b )−F ( a )
a

Aplicar la propiedad de linealidad de la integral:

3 2 3 2 3

∫ xx−4
−16
dx=∫
x
x−4
dx−∫
16
x−4
dx
1 1 1

3 2 3
x 16
Resolver las integrales: ∫ dx y ∫ dx. Aplicar integración por sustitución en
1 x−4 1 x−4

3 2
x
∫ x−4 dx:
1

u=x−4 → u+ 4=x

du=dx

Los nuevos límites de integración son u1=1−4=−3 y u2=3−4=−1. Sustituir en la integral

3 2
x
∫ x−4 dx:
1

3 −1 2 −1 −1

( )
2 2
x ( u+4 ) u +8 u+16 16
∫ x−4 dx=∫
u
du=∫
u
du=∫ u+ 8+
u
du
1 −3 −3 −3

Aplicar la propiedad de linealidad de la integral:

[ ] [ ]
−1 −1 −1 −1
1 u2 1 9
∫ u du+∫ 8 du+16 ∫ u du= 2
−1
+8 [ u ]−3 +16 [ ln ⁡|u|]−3= − +8 [ −1−(−3) ] + 16 [ ln ( 1 )−ln ⁡( 3 ) ]=12−16 ln ⁡( 3 )
−1

−3 −3 −3 −3 2 2

3
16
Aplicar integración por sustitución en ∫ dx:
1 x−4

u=x−4 → u+ 4=x

du=dx
Los nuevos límites de integración son u1=1−4=−3 y u2=3−4=−1. Sustituir en la integral
3
16
∫ x−4 dx y la regla de integración inmediata:
1

3 −1
16 1
∫ x−4 dx=16 ∫ du=16 [ ln ⁡|u|]−3=16 [ ln ( 1 )−ln ⁡( 3 ) ]=−16 ln ⁡( 3 )
−1

1 −3 u

Calcular la integral:
3 2
∫ xx−4
−16
dx=12−16 ln ( 3 ) −(−16 ln ( 3 ) ) =12−16 ln ( 3 ) +16 ln ( 3 ) =12
1

3
x 2−16
∫ x−4 dx=12
1

Después de calcular la integral realizar los siguientes pasos:

 Graficar la función y sombrear la región solicitada que acaba de integrar utilizando

el programa Geogebra.

 Adjuntar las gráficas realizadas en GeoGebra del ítem anterior.

Fuente: https://www.geogebra.org/classic?lang=es
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 Referencias Bibliográficas

Guerrero, G. (2014). Cálculo Integral: Serie Universitaria Patria. México: Grupo Editorial Patria.

(pp. 14 - 16).

Ortiz, F., & Ortiz, F. (2015). Cálculo Integral. Grupo editorial patria. (pp. 36 - 42).

Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo

Editorial Patria. (pp. 27 – 38).

Segura, A. (2014). Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Económico-Administrativas:

Simplicidad Matemática. Grupo Editorial Patria. (pp. 201 – 203).

Spivak, M. (2018). Calculus (3ª. ed.). Barcelona: Editorial Reverté. (pp. 299 - 303).