Tarea 3 – Limites y Continuidad

Calculo Diferencial

Realizado Por:

Yohana Tobón

Tutor:

Grupo:

Universidad Nacional Abierta y A Distancia - UNAD

Escuela de Ciencias Agrícolas, Pecuarias y del Medio Ambiente – ECAPMA

Octubre de 2021
 Desarrollo de la actividad

A continuación, se presenta el desarrollo de los cinco ejercicios propuestos en el anexo 1

de la guía y rubrica de evaluación del curso.

1. Representar en Geogebra la función dada y determinar a partir de dicha gráfica.

a. Tipo de función.

b. Dominio, rango y asíntotas

Ilustración 1. Representación gráfica de la función dada en el ejercicio 1 en el software GeoGebra.

Función

x 2+ 16
f (x)=
2 x 2−32

a. Tipo de función: Esta función es de tipo racional, porque, f(x) es el resultado del

cociente de dos polinomios. Observando la forma de la gráfica en GeoGebra, y la forma

de escritura de la función se evidencia que es de tipo racional, ya que, tiene la incógnita

 tanto en el numerador como en el denominador, y la forma de la gráfica es característica

de funciones de tipo racional.

b. Dominio de la función: Observando la gráfica se determina que el dominio de la función

son todos los números reales excepto el -4 y 4.

Para conocer el dominio de la función se debe tener en cuenta que esta es de tipo

racional, por lo tanto, el denominador debe de ser diferente de 0, o conocer los valores de “X”

para los cuales el denominador se hace 0.

Se debe encontrar los valores para los cuales el denominador se hace 0; por lo tanto, se

inicia igualando la ecuación del denominador a 0 así:

2 x2 −32=0

Resolviendo la ecuación, despejando la “X”,

2 x2 =32

Dividiendo la ecuación por 2 en ambos lados,

x 2=16

Sacando raíz cuadrada en ambos lados,

x=√ 16

Se obtiene como resultado,

x=4 y x =−4

Por lo tanto, el denominador de esta función se hace 0 cuando “X” es igual a 4 o -4.

Entonces, el dominio de la función es:

D= X ∈ R excluyendo {−4,4 }

Se define al rango como cada una de las imágenes que toma el dominio de la función, la

forma más sencilla para hallarlo es por medio de la inversa de la función f(x), donde se despeja a
“X” en función de “Y” y luego a esta nueva función se le halla el dominio. El rango de la

función sería entonces los valores que toma la función en el eje “y”, por lo tanto, por ser una

función racional, se debe de encontrar el valor de “y” cuando “x” es igual a 0 así:

02 +16
f ( 0 )=
2¿¿

Resolviendo la ecuación se obtiene,

16
f ( 0 )=
−32

Dividiendo,

−1
f ( 0 )=
2

Por lo tanto, el rango de dicha función es,

R=X ∈ R− {−12 }
Las asíntotas de la función son entonces,

x=−4

x=4

−1
y=
2

2. Dado los tres puntos A , B y C hallar:

a. La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta

´
AB

b. Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.

 Ilustración 2. Representación gráfica de la recta y su perpendicular en el software GeoGebra.

a. Para encontrar las ecuaciones de la recta y la perpendicular primero se debe hallar la

ecuación punto pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, ya que, para aplicar

esta ecuación se deben de tener dos puntos conocidos; la ecuación de la recta que es:

y− y1 =m ( x−x 1 )

Donde “m”, la cual representa el valor de la pendiente de la recta es igual a:

y 2− y 1
m=
x 2−x 1

Como ya se conoce que el punto A es (-3,-2) y el punto B es (5,2), se aplican las

ecuaciones anteriores así:

2−(−2)
m=
5−(−3)

Resolviendo,
 4
m=
8

Reduciendo el termino se tiene que,

m=1/2

Por lo tanto, la pendiente de la recta es ½; continuando se aplica la ecuación de la recta

así:

1
y− (−2 )= ( x− (−3 ))
2

Resolviendo se obtiene,

1 3
y +2= x +
2 2

Multiplicado toda la ecuación por 2,

2 y+ 4=x +3

Despejando la “y”,

2 y=x +3−4

Continuando despejando la “y”,

1 1
y= x−
2 2

Luego para hallar la perpendicular se aplica que, el producto entre dos pendientes que son

perpendiculares entre si es igual a -1 así:

mr∗mp=−1

Donde mr es la pendiente de la recta, y mp es la pendiente de la perpendicular; como ya

se sabe que la pendiente de la perpendicular es ½ entones se reemplazan los datos y se despeja

mr.
 −1
mr=
1
2

Aplicando la ley de la oreja se obtiene,

mr=−2

Entones sabiendo que el punto C es (0,3) se aplica de nuevo la ecuación punto pendiete

así:

y−3=−2( x−0)

Resolviendo,

y−3=−2 x

Siendo así la ecuación de la recta queda,

y=−2 x +3

Finalmente se dice que la ecuación de la recta que pasa por el punto C es y=−2 x +3

1 1
Y su perpendicular que pasa por los puntos A y B es y= x−
2 2

3. Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas

analíticamente aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y de los

exponentes.

Ecuación logarítmica

2 log 4 ( x−1)−log 4 (x )=0

 Ilustración 3. Solución de la ecuación logarítmica en el software GeoGebra.

Para desarrollar la ecuación logarítmica se debe primero aplicar la ley de la potencia, la

cual dice que logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base

de la potencia, así:

log 4 ( x−1)2−log 4 ( x )=0

Luego se aplica la propiedad del cociente, la cual dice que el logaritmo de un cociente es

la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor,

log 4 ¿ ¿ ¿

Se aplica la ley de la potencia nuevamente y se resuelve el trinomio de numerador (Se

resuelve el trinomio, ya que, la expresión es de la forma a 2+2 ac +c , forma característica de los

trinomios),

x 2−2 x+1
1=
x

La “x” del denominador se pasa al otro lado del igual a multiplicar,

 x=x 2−2 x+ 1

Se agrupen términos semejantes y se iguala la ecuación a 0,

0=x 2−3 x+1

Para encontrar las raíces de la expresión se aplica la ecuación cuadrática general

−b ± √ b2−4 ac
x= , donde se obtienen dos resultado, así:
2a

x=−(−3)± √ ¿¿

Resolviendo la ecuación,

3 ± √ 9−4
x=
2

Queda la ecuación así:

3±√5
x=
2

Donde se obtiene dos soluciones las cuales son:

3+√ 5 3−√ 5
x= y x=
2 2

Donde se obtiene como resultado:

x=0,38 y x=2,618

Puesto que se obtuvieron dos soluciones se debe descartar la de X=0,38, porque el

logaritmo de ese valor de “X” da como resultado un valor negativo. Entonces solo se tomaría

como solución de la ecuación el x=2,618.

Ecuación exponencial

1
( 25 )5 x+1=
125
 Ilustración 4. Representación gráfica de la ecuación exponencial en el software GeoGebra.

Para resolver esta ecuación exponencial primero se distribuyen los exponentes, ya que, la

función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha

función aplicada a cada valor por separado,

1
255 x∗25=
125

Luego se pasa el 25 que está multiplicando a dividir al otro lado del igual,

1
255 x =
125∗25

Resolviendo,

1
255 x =
3125

Se aplica logaritmo natural a ambos lados de la ecuación,

1
ln 2 55 x =ln
3125
 Se aplica la ley de la potencia, la cual dice que el logaritmo de un cociente es la

diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor,

1
5 xln25=ln
3125

Se pasa a dividir el ln al otro lado del igual,

1
ln
3125
5 x=
ln25

Se resuelven los logaritmos naturales,

5 x=−2,5

Y se pasa el 5 que acompaña a la “x” a dividir al otro lado del igual,

−2,5
x=
5

Para obtener como resultado que,

x=−0,5

4. Para la siguiente función cuadrática, determinar analíticamente, las coordenadas de

sus raíces (puntos de intersección con el eje x) y su vértice, comprobando mediante

GeoGebra los cálculos realizados.

f ( x )=4 x 2−6 x +2
 Ilustración 5. Representación gráfica de la ecuación cuadrática en el software GeoGebra.

Vértice de la ecuación cuadrática

Para hallar el vértice de la ecuación se puede afirmar que puesto a que la función es una

cuadrática esta tiene la misma distancia desde cada uno de los cruces con el eje x hasta el vértice

en orientación horizontal, por lo cual, se puede usar la siguiente fórmula para hallar el vértice de

la función,

−b
Vertice=( , f ( xv ) )
2a

Así, el valor del vértice en el eje “x” seria,

−(−6 )
xv=
2 (4 )

Resolviendo se obtiene,

xv=3 /4

Por lo tanto, se evalúa este valor de “x” en la función cuadrática,

 f ( xv ) =4 ¿

Resolviendo,

f ( xv ) =4 ( 169 )+ 184 +2
Resolviendo la ecuación se obtiene,

36 18
f ( xv ) = + +2
16 4

Factorizado facciones heterogéneas,

9−18+8
f ( xv ) =
4

Resolviendo las operaciones,

−1
f ( xv ) =
4

Por lo tanto, el vértice de la ecuación cuadrática es:

3 −1
Vertice=( , )
4 4

Puntos de corte

Para hallar los puntos de corte en el eje “x” se aplica la ecuación general, de donde se

obtienen las raíces, donde se obtienen dos soluciones reales,

−b ± √ b2−4 ac
x=
2a

Reemplazando los datos,

−(−6)± √ (−6)2−4( 4)(2)

x=
2(4)

Resolviendo,

6 ± √ 36−32
x=
8
 Se obtienen dos resultados,

6+ √ 4
x=
8

Y,

6−√ 4
x=
8

Donde finalmente,

x=1

Y,

1
x=
2

Por lo tanto, los puntos de corte en el eje “x” son (1,0) y (1/2;0).

Para hallar los puntos de corte con el eje “y”, se debe hacer 0 la “x” en la ecuación así:

Y =4 ¿

Resolviendo se obtiene como resultado que,

y=2

Por lo tanto, el punto de corte con el eje “y” es (0,2).

5. A continuación, se presentan el enunciado que deberá resolver y sustentar por

medio de video, representando la función y su respuesta en GeoGebra.

Se tiene un tanque con forma de paralelepípedo cuya altura es de 2 metros y el ancho es

dos veces su largo.

a. Expresar el volumen del tanque en función de su ancho,

¿Cuál debe ser el ancho si se requiere un volumen de 100 metros cúbicos?

 Del enunciado se pueden extraer los siguientes datos:

Altura: 2 metros

Largo: X

Ancho: 2X

La ecuación de volumen es:

V =h∗l∗a

Donde “h” es el alto, “l” el largo y “a” el ancho.

Reemplazando los datos en la ecuación de volumen,

v=2 m∗x∗2 x

Se obtiene así la siguiente función,

v=4 x 2

Por lo tanto, la función del volumen del tanque con respecto a su ancho es v=4 a2

, donde a es el ancho del tanque con forma de paralelepípedo.

Para calcular el volumen el ancho del tanque si su volumen es de 100 metros cúbicos se

iguala la función a 100 metros cúbicos así:

100 m3=4 m X 2

Se pasa el 4m que está multiplicando a la “x” al otro lado del igual,

2 100 m3
x=
4m

Resolviendo,

x 2=25 m2

Se saca raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación,

x=√ 25 m2
 Y se obtiene como resultado:

x=5 m

Por lo tanto, el tanque debe de tener 5 metros de ancho para contener un volumen de 100

metros cúbicos.

Ilustración 6. Representación gráfica del ejercicio de aplicación en el software GeoGebra.

 Conclusiones

Del desarrollo de la presente actividad se aprendió acerca del dominio y el rango de

algunos tipos de funciones y su cálculo; también se aprendió a calcular el vértice y los puntos de

corte de funciones, como también a resolver y graficar ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Muy importante aprender a aplicar los términos y funciones algebraicas en la vida real,

donde por medio del cálculo se pueden resolver situaciones en la vida cotidiana y profesional.
Bibliografía