Tema 4.

Geometría en
Educación Primaria
Ignacio C. Maestro Cano
 Contenidos

1. Introducción a la geometría

2. Figuras planas

3. Figuras compuestas

4. Orientación espacial
 1. Introducción a la geometría

Cualquier persona, ya desde la infancia, precisa conocer su entorno, el espacio en

que se desarrolla su vida (y del cual ésta depende).
Es, por tanto, innegable la necesidad de desarrollar ciertas habilidades y conceptos
de naturaleza geométrica.

Desde qué juguete está más cerca, si alcanzo al biberón o debo llorar…hasta cómo
interpretar un mapa o montar un mueble.
 1. Introducción a la geometría

Una primera y reveladora reflexión sería atender a la propia etimología de la palabra

geometría, como “medida de la tierra”.
Ello le confiere a la disciplina, ya desde su propia denominación, por un lado, un
marcado carácter práctico y, por otro, un reconocimiento de la importancia del
territorio (el medio: el planeta Tierra) en la vida del ser humano.
No obstante, esta referencia original (y exclusiva) a la tierra pasó con el tiempo a
tener unas connotaciones que iban más allá.
En primer lugar, la geometría (euclídea) pasó a ser la disciplina que sirviera para la
medida de otras entidades (por ejemplo en ingeniería) y, más tarde, su generalización
dio paso, directamente, a otras geometrías “alternativas” (no euclídeas).

Geometría de Euclides (5 axiomas) Geometría hiperbólica o de Lobachevski Geometría de Minkowski

 1. Introducción a la geometría

Sea como fuere, podemos afirmar que gran parte de lo que llamamos geometría hace
referencia al estudio de una serie de conceptos que denominamos figuras
geométricas planas (como rectas, triángulos, circunferencias, etc.) o sólidos
tridimensionales. Tales conceptos son la abstracción que permite aplicar las
distintas propiedades a la resolución de problemas tangibles, ahora sí, sobre objetos
físicos.
He aquí una primera manifestación del interés de la geometría: modelizar la realidad
(recordemos que un modelo no es sino una simplificación de la realidad con fines
para algo, esto es, útil).
Quien dice “realidad”, no dice necesariamente (exclusivamente) “espacial”. Otra
aplicación añadida de la geometría es la de ayudar a la comprensión
(“visualización”) de determinados fenómenos más abstractos (no espaciales):
datos sociológicos, económicos, etc. Hablamos de funciones, gráficas estadísticas,
grafos, etc.
Pero tampoco la geometría se agota aquí: es matemáticas (saber, conocimiento útil),
pero también puede ser arte (posee una dimensión afectiva, capaz de generar
emociones). Ahí están Klimt, Klee, Miró, Chillida, Escher, Frank O. Gehry…
 1. Introducción a la geometría

Resulta innegable que vivimos en un mundo donde la geometría nos rodea completa y
permanentemente, tanto en sus manifestaciones en la naturaleza como en la cultura.
Si nos interesa el mundo, nos interesa la geometría.
Basta echar un vistazo ahora mismo a nuestro alrededor; desde tu monitor, tu mesa, el
suelo, la ventaja, el vaso de agua, etc.
 1. Introducción a la geometría

Así pues, las figuras geométricas no encuentran una equivalencia con un objeto real,
sino que más bien representan un concepto definido por una serie de normas y
estructuras matemáticas concretas.
Es por ello que, por si esto fuera poco, a través de la geometría es posible acceder a
formas “superiores” de pensamiento matemático (eso que llamamos la “lógica”).
 2. Figuras planas

2.1 Objetos elementales de geometría

Como paso previo al estudio de la geometría en general, y de las figuras geométricas
elementales en particular, resulta imprescindible establecer/conocer aquellos
elementos básicos que constituyen cualquier modelo geométrico. ¿Cuáles son los
ingredientes de la geometría?
La geometría emplea tres elementos básicos que conocemos como indefinidos:
 El punto. El punto no ocupa lugar en el espacio (es adimensional). No tiene ni
tamaño, ni grosor, ni longitud, ni profundidad. Tan sólo designa una posición en él.
 La recta. Se define como una alineación de puntos (llamados colineales) que se
extiende hacia el infinito en ambas direcciones. Tiene por tanto, una dimensión,
sobre la que designamos lo que denominamos longitud.
 El plano. Se define como una extensión hacia el infinito según dos dimensiones
(alineaciones) distintas. No posee espesor (ello supondría una tercera dimensión).
 2. Figuras planas

Veamos algunas características importantes de estos elementos básicos, así como

de las relaciones entres ellos.
1. El punto
Constituye la unidad indivisible en geometría. Pese a no tener dimensiones, se le
representa gráficamente por un pequeño círculo y una letra mayúscula que lo
identifica.

De este modo, sería posible definir el espacio a partir de la definición de punto como
“el conjunto de todos los puntos”.
 2. Figuras planas

2. La recta
Una recta está formada por un conjunto infinito de puntos que se extienden
indefinidamente en una misma dirección de forma colineal.
Para definirla bastan, por tanto, dos puntos, que serán colineales (primer postulado de
Euclides).
Dos puntos determinan una y sólo una línea recta que contiene a dichos puntos. Tres o
más puntos pueden definir varias rectas, pero si están contenidos en una misma recta, se
dice entonces que son colineales.
Las rectas suelen identificarse por una letra minúscula.
r

Para indicar de forma simbólica el carácter infinito de la recta se suele representar a

través de flechas en los extremos.
 2. Figuras planas

3. El plano
Tres puntos no colineales definen un plano. Este elemento geométrico es una
superficie totalmente plana que se extiende indefinidamente y carece de espesor.
 2. Figuras planas

A partir de estos tres elementos fundamentales, es posible derivar otros elementos de

geometría:

Segmento de recta. Es un fragmento acotado de una recta, comprendido entre

dos puntos llamados puntos extremos o finales.
La longitud del segmento existe y será la distancia (euclídea, i.e. en línea recta)
comprendida entre sus puntos extremos.
Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud.
 2. Figuras planas

Semirrecta. Está constituida por todos los puntos que se extienden en una sola
dirección y sentido a partir de un determinado punto, considerado como origen o
extremo de la semirrecta.

Ángulo. Se define como la porción de plano delimitada por dos semirrectas,

llamadas lados del ángulo y que tienen el mismo punto de origen, denominado vértice
del ángulo. Para denominar al ángulo de la figura de abajo podemos usar diferentes
nomenclaturas: o ángulo si el vértice A no se comparte con ningún
otro ángulo.

Todo ángulo cuyos lados no estén sobre la misma recta separará al plano en dos
partes, interior y el exterior del ángulo.
 2. Figuras planas

La amplitud o medida de un ángulo será la cantidad de rotación requerida para girar uno
de los lados del ángulo, tomando como centro de giro el vértice, para que coincida con el
otro lado.
Como unidad de medida habitual se usa el grado sexagesimal, esto es, la 360ª
(“tricentésima sexagésima”) parte de una circunferencia. A su vez, un grado se divide en 60
minutos y un minuto se divide en 60 segundos.
Debido a la importante relación que establece entre diámetro y perímetro de la
circunferencia (entre ángulo y longitud), también se hace uso del radián como unidad de
medida de ángulos.

Atendiendo a la amplitud de los ángulos, podemos distinguir los siguientes tipos:

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano

 2. Figuras planas

2.2 Relaciones entre ángulos y rectas

Antes de profundizar en el estudio de las figuras geométricas más destacadas,
expondremos en esta sección algunas relaciones geométricas y teoremas
importantes que se generan entre los elementos básicos que acabamos de ver.
Tales relaciones serán de gran utilidad para la resolución de problemas con
planteamientos geométricos muy diversos.
Ángulos adyacentes. Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando se
encuentran definidos en el mismo plano y comparten el vértice y un lado común
pero carecen de puntos interiores comunes (no se solapan). Se puede comprobar
que la suma de dos ángulos adyacentes da como resultado la medida del ángulo
mayor que con ellos se forma.
 2. Figuras planas

Ángulos opuestos.
Consideremos dos rectas que se cortan en un punto. Existe una propiedad
geométrica que establece que los ángulos opuestos generados por la intersección
de dos rectas son iguales.
 2. Figuras planas

Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios si la suma de los

mismos es 90°.

Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios si la suma de los

mismos es 180°.
 2. Figuras planas

Rectas paralelas. Dos rectas se consideran paralelas cuando están definidas en un

mismo plano y no tienen ningún punto en común.
Rectas perpendiculares. Cuando dos rectas se intersecan formando ángulos rectos,
entonces se dice que las rectas son perpendiculares entre sí, y generan un punto de
corte con cuatro ángulos iguales y de 90°.
 2. Figuras planas

2.3 Triángulos
Un triángulo es cualquier polígono formado por tres rectas que se cortan dos a dos
en tres puntos no alineados.
Los vértices del triángulo se corresponden con los puntos de intersección de dichas
rectas, y del mismo modo, los segmentos de recta que acotan el triángulo se llaman
lados.
Cada pareja de lados en un triángulo forma un ángulo interno.
Por tanto, un triángulo consta de 3 lados (a, b y c) y 3 ángulos internos (A, B y C).
C
b γ
β a
α
A c B

Es importante saber que todo triángulo cumple que la suma de sus ángulos
interiores es igual a 180°.
 2. Figuras planas

Atendiendo a las relaciones que existen entre las dimensiones de los lados y los
ángulos de un triángulo, podemos establecer la siguiente clasificación de triángulos:
A. Según sus lados:

B. Según sus ángulos:

 2. Figuras planas

Altura de un triángulo
Se define como el segmento perpendicular a un lado del triángulo con origen en
el vértice opuesto a dicho lado.
Todo triángulo (también los obtusángulos como el “c” de la figura) tiene, por tanto,
tres alturas.
 2. Figuras planas

Teorema de Pitágoras
Es probablemente una de las relaciones más empleadas en la resolución de
problemas geométricos.
Es importante recordar que es aplicable únicamente a triángulos rectángulos.
Dice: “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos”
 2. Figuras planas

Área y perímetro de un triángulo

Sea un triángulo de lados a, b, c, y altura h tal y como se muestra en la figura.
El área (A) y el perímetro (P) se calculan a través de las siguientes expresiones:
 2. Figuras planas

2.4 Cuadriláteros
Definición y tipos
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados y, por tanto, cuatro vértices, cuatro
ángulos internos y dos diagonales.
Es el único polígono en el que la suma de los ángulos interiores y exteriores da
360°.
Podemos distinguir varios tipos de cuadriláteros:
 Cuadrado
 Rectángulo
 Rombo
 Paralelogramo
 Trapecio
 2. Figuras planas

Cuadrado
Dentro del grupo de cuadriláteros, constituye el polígono regular por excelencia, pues
tiene sus cuatro lados iguales, los cuatro ángulos iguales con medida de 90° y sus
lados opuestos paralelos.
 2. Figuras planas

Rectángulo
Es un cuadrilátero que tiene sus lados opuestos iguales y paralelos dos a dos, y
todos sus ángulos internos también miden 90°.
 2. Figuras planas

Rombo
Es un cuadrilátero con sus cuatro lados iguales y sus lados opuestos paralelos.
Sus ángulos internos son iguales dos a dos.
En un rombo, a diferencia de lo que ocurre con un cuadrado o un rectángulo, es
posible definir dos diagonales diferentes d1 y d2.
 2. Figuras planas

Paralelogramo
Se denomina paralelogramo a cualquier cuadrilátero que tiene sus lados
opuestos paralelos, dos a dos.
Por tanto, cuadrados, rectángulos y rombos son paralelogramos.
Los cuatro lados no son iguales entre sí, ni tampoco sus ángulos.
Tan sólo se pueden encontrar equivalencias entre parejas de lados o entre ángulos
opuestos.
 2. Figuras planas

Trapecio
El trapecio es el primer ejemplo de cuadrilátero no paralelogramo.
Dos de sus lados opuestos son paralelos mientras que los otros dos no lo son.
Por lo general, a los lados paralelos se les suele denominar bases (b1 y b2).
Asimismo, se llama altura (h) al segmento perpendicular a ambos lados paralelos.
 2. Figuras planas

2.5 Circunferencia
Se define como el lugar geométrico de todos los puntos contenidos en un mismo plano y
que se encuentran situados todos ellos a una misma distancia de un punto dado,
llamado centro y situado también en el mismo plano.
Debe quedar clara la distinción entre circunferencia (línea curva cerrada) y círculo
(región del plano delimitada por una circunferencia).
Al segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia (y que permanece
constante) se le denomina radio (r).
También son conocidas las expresiones para el cálculo del área (A) y el perímetro (P):
 2. Figuras planas

2.6 Otros polígonos regulares

Se denomina polígono “regular” de n lados a una figura geométrica plana formada por
n lados y ángulos iguales.

TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
 2. Figuras planas
Algunos elementos importantes de un polígono regular:
 Lado. Segmento que conecta dos vértices consecutivos.
 Centro. Punto que actúa como centro común de sus circunferencias inscrita y circunscrita.
 Radio. El de la circunferencia circunscrita (‒ ‒ ‒).
 Apotema. El radio de la circunferencia inscrita (‒ ‒ ‒).
 Ángulo central. El definido por dos radios consecutivos. La medida del ángulo central, α, es:
 3. Figuras compuestas

Partiendo de estas figuras geométricas elementales resulta posible resolver prácticamente

cualquier problema geométrico sobre figuras compuestas, esto es, resultantes de la
unión de dos o más figuras geométricas elementales.

Para ello resultará útil tener presentes las siguientes indicaciones:

1. Identificar todas las figuras simples (no olvidar ángulos rectos, paralelas, etc.).
2. Calcular lo solicitado requerido (¿área, perímetro?) para cada figura sencilla.
3. Obtener la propiedad geométrica asociada a la figura compuesta (¿suma o composición
de área o perímetro?).
3. Figuras compuestas
 4. Orientación espacial

Más allá del mero ejercicio de las “habilidades geométricas” sobre figuras planas,
resulta fundamental tomar conciencia del papel de la visión espacial en nuestras
vidas.
El estudio de estas figuras geométricas, meras abstracciones o ideas, son las que
nos permitirán desarrollar y comprender el lenguaje matemático asociado al
conocimiento espacial para trasladarlo al mundo real o físico.
Así, el espacio euclídeo, es un espacio ideal, continuo, finito, tridimensional,
homogéneo e isotrópico, mientras que el espacio sensible es real, compuesto por
objetos tangibles, que pueden ser estáticos o dinámicos y que dista de ser
homogéneo o isotrópico.
Desde la infancia precisamos de ciertas habilidades espaciales y las adquirimos, pero
requieren ser trabajadas, no se desarrollarán como “por arte de magia”: puzles,
sopas de letras, figuras compuestas, perspectivas, etc.
Otro aspecto fundamental es el desarrollo de un correcto vocabulario espacial cada
vez más rico y más preciso.
 4. Orientación espacial

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 4. Orientación espacial

Es el conocimiento de ese espacio conceptual el que nos permitirá comprender y

gestionar el espacio sensible que nos rodea.
 4. Orientación espacial

Conviene recordar que una parte muy importante de la geometría se ocupa del
estudio de la posición y el movimiento en el espacio. Para el desarrollo de esta
vertiente de la geometría resultará fundamental la definición de lo que conocemos
como sistema de coordenadas o sistema de referencia espacial.
Aquí se verá el más usual: el sistema de coordenadas cartesianas.
Dicho sistema de coordenadas queda definido por dos rectas perpendiculares
(sistema ortogonal) que se intersecan en un punto central al que se denomina origen
de coordenadas.
Por convenio, el eje de abscisas contiene los valores de la variable o coordenada x.
Del mismo modo, los valores de la variable y se asignan al eje de ordenadas.
La intersección de ambas rectas genera un plano que se divide en cuatro
cuadrantes.
La posición de cualquier punto P contenido en el plano quedará definida por un par
de números reales o coordenadas (x, y).
 4. Orientación espacial

(‒, +) (+, +)
P = (4, 2)

(‒, ‒) (+, ‒)

Puedes ver Las aventuras de Troncho y Poncho: Funciones. https://www.youtube.com/watch?v=Xcv1eUdpob4

 5. Bibliografía

Alsina, C., Pérez, R. y Ruiz, C. (1988). Simetría dinámica. Madrid: Síntesis.

Alsina, C., Burgués, C. y Fortuny, J. M. (1989). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Síntesis.
Carrillo, J. y Contreras, L. C. (2001). Transformaciones geométricas. En E. Castro (ed.), Didáctica de la
matemática en la educación primaria (cap. 18). Madrid: Síntesis.
Godino, J. D. (2004). Matemáticas para maestros. Departamento de Didáctica de las Matemáticas. Universidad de
Granada. ISBN: 84-933517-2-5.
Martínez, A. M. y Juan, F. R. (Coord) (1989). Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría.
Madrid: Síntesis.
Ignacio C. Maestro Cano