MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

FACULTA DE INGENIERÍA
Carrera de Ingeniería Civil

EXAMEN FINAL
CURSO:
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

CICLO:
6TO

Estudiantes:
Plasencia Álvarez Anthony Enrique:N00030541
Conde Ochoa Carlos Andrés :N00176175
Marcalaya Paucar Alberto :N00105084
Chilón Terán Gilmer :N00168585

Docente:
Ing. FANY LUZ ROMERO PAREDES

Lima,
2020

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I. EJERCICIO 1:

 ¿La ecuación es una EDP Parabólica?

 Desarrollo (justificación)

Auxx + Buxy +Cu yy + D=0

( ) ( ) ( ) ( )
2
−∂ ∂ u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂u
+ + + +3 2 =u+2 x
∂x ∂x ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x ∂ y ∂ y ∂x

∂2 u ∂2 u ∂2 u
2 +2 + −( u+2 x ) =0
∂ x2 ∂ x ∂ y ∂ y2

Reemplazando en la ecuación general

A=2

B=2

C= 1

D = -(u + 2x)

22 – 4(2)(1) = -4 < 0

Respuesta:

B2 – 4AC < O

∴ No es una EDP parabólica

Este caso se trata de una EDP elíptica.

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II. EJERCICIO 2

(5p) Sea la matriz

[ ]
1 3 3
A= −3 −5 −3
3 3 1

a) Calcular las parejas autovalor – autovector ( λ j , V j ) de la matriz

b) Determinar numéricamente el autovalor y autovector dominante ( λ ,V ). (método de las potencias)
(Sug. Use OCTAVE)
 Desarrollo (justificación)

A. AUTO VALOR. AUTO VECTOR (( λ j , V j ) )

( )
1−λ 3 3
( A−λl )= −3 −5−λ −3
3 3 1− λ

det ( A−λl ) =¿ ¿
3 2
−λ −3 λ + 4=0 →−¿
Método de Ruffini

−( λ−1 ) ( λ+2 ) ( λ+2 )=0

λ 1=1; λ2=−2 ; λ3 =−2

λ=1

( )( ) ( )
0 3 3 x1 0
−3 −6 −3 x2 = 0
3 3 0 x3 0

x 2+ x3 =0x 1+ 2 x 2 + x 3=0x 1+ x2=0x 1=t ; x 2=−t ; x3 =t λ 1=1; V 1 =t [1−1]

λ=−2

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( )( ) ( )
3 3 3 x1 0
−3 −3 −3 x 2 = 0
3 3 3 x3 0

x 1+ x2 + x 3=0
x 2=⍺ ; x 3 =β ; x 1=−⍺−β

( ) ()()
−⍺−β −1 −1
⍺ =⍺ 1 + β 0
β 0 1

[( )( )]
−1 −1
λ 2=−2 ,V 2= 1 0
0 1

B.-Valores numéricos Auto valor y Auto vector dominante ( λ j , V j ) Usando Octave.

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III. EJERCICIO 3
Una pieza metálica con una masa de 0.1 kg y 25 ºC se calienta internamente de forma eléctrica a razón
de q= 3000 W. La ecuación diferencial de la temperatura que se obtiene es:
dT
=20−t 2
dt si T ( 0)=29

Calcule T(2) con h=0.01 y muéstrelo gráficamente. Use Runge Kutta de tercer orden.

 Desarrollo (justificación)

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RUNGE-KUTTA DE TERCER ORDEN

Paso 1: Ingresar los valores de a, b, h, y

(a=0, b=2, h=0.01, y=29)

Paso 2: Cálculo de n: n=(b-a) /h

t 1=a+ ( i−1 )∗h , para i=1:n+ 1

1
y i+1 = y i+ ( k 1 + 4 k 2 +k 3 )∗h
6

k 1=f ( t i , y i )

( 1
2
1
k 2=f t i + h , y i + k 1 h
2 )
k 3=f ( t i +h , y i−k 1 h+2 k 2 h )

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Solución: Método Octave

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Muestra Grafica:

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IV. EJERCICIO 4

 Dada la E.D.P. elíptica:

 Con una partición de , hallar la matriz de ensamblaje.

 Desarrollo (justificación)

Dada la EDP Elíptica:

Paso 1: Ingresar los valores de a, b, h, k

( a=π ; b= π2 ; h= π5 ; k= 12π )
Paso 2: Calculo de m y n

a b
n= , m=
h k
Paso 3: Dicretización del dominio

x i=( h−1 )∗i , para i=n+ 1

uyi , i1=
=u( k−1 )∗j , para j=m+1
2 para i=2 :n
Paso 4: Dicretización de las condiciones
ui , m+1=4 para i=2 :n
de contorno tipo Dirichlet
u1 , j=u1 para j=2 :m
un +1 , j =u3 para j=2 :m

u1,2 +u 2,1
u1,1 =
2
u1 ,m +u 2 ,m+1
u1 , m+1=
2
un ,1 +un +1,2
un +1,1=
2
u n ,m +1+u n+1 ,m
un +1 ,m +1=
2

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Paso 5: Calculo de las aproximaciones

ui+1 , j +ui−1 , j +ui , j+1 +ui , j−1
ui , j =
4
para i=2 :n y j=2 :m

Paso 6: Graficar la solución aproximada u

Paso 7: Imprimir la solución aproximada u

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Muestra Grafica:

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