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MAT 4 1er TRIM
MAT 4 1er TRIM
MAT 4 1er TRIM
MATEMÁTICA
257
EDUCACIÓN SECUNDARIA COMUNITARIA PRODUCTIVA
258
LENGUAJE ALGEBRAICO Y SU VALOR EN LA DIVERSIDAD
CULTURAL
Observa y analiza:
La construcción de una piscina con sus respectivas dependencias como un vestidor, duchas y baño, se deben
distribuir en un área de 100𝑚2 , de la siguiente manera:
Piscina = 64𝑚2
Vestidor = 16𝑚2
Duchas = 16𝑚2
Baño = 4𝑚2
El plano de la construcción tomando en cuenta el área de las
dependencias resultó de la siguiente forma:
Verifica si la suma del área de cada dependencia es igual al área total del terreno.
259
Productos notables y su interpretación geométrica
Los productos notables son ciertos productos que se establecen mediante reglas, donde el resultado puede
anotarse directamente, sin necesidad de efectuar la operación respectiva, el uso de estas reglas nos lleva a una
resolución rápida cuando se efectúan operaciones algebraicas.
Cuadrado de un Binomio
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
El cuadrado de la suma o diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primer término más o menos el
doble producto del primer por el segundo término más el cuadrado del segundo término.
Ahora resolvamos, veras que sencillo es …
1. (𝑥 + 4)2
(𝑥 + 4)2 = 𝑥 2 + 2 ∗ 𝑥 ∗ 4 + 42 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16
2. (3𝑎 − 4𝑏)2
1.
(3𝑎 − 4𝑏)2 = (3𝑎)2 − 2(3𝑎)(4𝑏) + (4𝑏)2
= 9𝑎2 − 24𝑎𝑏 + 16𝑏 2
(𝑥 + 6)2 = (𝑥 − 5)2 =
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐
El producto conjugado de binomios, es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo
término.
260
Ahora resolvamos, verás que sencillo es…
= 4𝑚2 − 𝑛
¡Ahora a trabajar, vamos a lograrlo…!
1 1
4) ( 𝑥 + 𝑦 2 )( 𝑥 − 𝑦 2 )=
3) (6𝑥 − 3)(6𝑥 + 3) = 2 2
Cuadrado de un Polinomio
El cuadrado de un polinomio es igual a la sumatoria de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el
doble producto de cada uno de ellos por los demás.
Ahora resolvamos, verás que sencillo es…
= 4 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 4𝑦 + 2𝑥𝑦
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃
Es igual al cuadrado del término común, más el producto de la suma de los términos no comunes por el
término común, más el producto de los términos no comunes.
Ahora resolvamos, veras que sencillo es…
Escribir por simple inspección el resultado de:
1. (𝑥 − 4)(𝑥 + 6) = 𝑥 2 + (−4 + 6)𝑥 + (−4)(+6)
= 𝑥 2 + 2𝑥 − 24
= 𝑥 2 + 8𝑥 + 15
3. (𝑦 − 4)(𝑦 − 1) = 𝑦 2 − 5𝑦 + 4
4. (𝑥 − 2)(𝑥 + 7) = 𝑥 2 + 5𝑥 − 14
5. (𝑥 + 3)(𝑥 − 4) = 𝑥 2 − 𝑥 − 12
¡Ahora
6. a trabajar,
(𝑥 + 2)(𝑥 +vamos a2lograrlo…!
12) = 𝑥 + 14𝑥 + 24
262
Productos de la forma (mx±a)(nx±b)
Es igual al producto de los primeros términos más el producto de los extremos y los internos, más el producto
de los segundos términos.
Ahora resolvamos, verás que sencillo es…
= 12𝑥 2 + 7𝑥 − 10
= 6𝑥 2 + (−7)𝑥 − 20
= 6𝑥 2 − 7𝑥 − 20
= 15𝑥 2 + (−28)𝑥 + 12
= 15𝑥 2 − 28𝑥 + 12
= 22𝑥 2 + 31𝑥 − 3
= 22𝑥 2 + 31𝑥 − 3
¡Ahora a trabajar, vamos a lograrlo…!
263
Cubo de un binomio
Es igual al cubo del primero más o menos el triple producto del primer término al cuadrado por el segundo,
más triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término.
Ahora resolvamos, veras que sencillo es…
264
Binomio de Newton (x±y)n
Desarrollando el binomio a diferentes potencias tenemos:
(𝒂 + 𝒃)𝟎 = 𝟏
(𝒂 + 𝒃)𝟏 = 𝒂 + 𝒃
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
(2 + 𝑚)6 = 26 + 6 ∙ 25 𝑚 + 15 ∙ 24 𝑚2 + 20 ∙ 23 𝑚3 + 15 ∙ 22 𝑚4 + 6 ∙ 2𝑚5 + 𝑚6
15∗2
6to coeficiente =6
4+1
265
Encuentra el resultado de: (2 − 𝑚)6
Triángulo de Pascal
1 (𝑎 + 𝑏)0
1 1 (𝑎 + 𝑏)1
1 2 1 (𝑎 + 𝑏)2
1 3 3 1 (𝑎 + 𝑏)3
1 4 6 + 4 1 (𝑎 + 𝑏)4
1 5 10 10 5 1 (𝑎 + 𝑏)5
1 6 15 20 15 6 1 (𝑎 + 𝑏)6
2 5
Encuentra el resultado de: ( − 𝑚)
5
5
2 2 5 2 4 2 3 2 2 2 3 2
( − 𝑚) = 1 ( ) − 5 ( ) 𝑚 + 10 ( ) 𝑚 − 10 ( ) 𝑚 + 5 ( ) 𝑚4 − 1𝑚5
5 5 5 5 5 5
32 16 16 8
= − 𝑚 + 𝑚2 − 𝑚3 + 2𝑚4 − 𝑚5
¡Ahora a trabajar,3125
vamos a125
lograrlo…!
25 5
266
Encuentra el resultado de:
1) (𝑥 + 𝑦)5 = 2)(𝑚 − 𝑛)4 =
𝒂𝒎 ±𝒃𝒑
Para que esta expresión sea cociente notable es necesario que se cumpla la relación:
𝒂𝒒 ±𝒃𝒓
𝒎 𝒑
= = 𝒏 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒒 𝒓
Según la asuma o diferencia de los términos del dividendo y del divisor, pueden presentarse los siguientes
casos:
𝑥 𝑛 −𝑦 𝑛
1. 𝑥−𝑦
= 𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑦 + ⋯ + 𝑦 𝑛−1 para n par o impar
𝑥 𝑛 +𝑦 𝑛
2. 𝑥+𝑦
= 𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛−2 𝑦 + ⋯ + 𝑦 𝑛−1 para n impar
𝑥 𝑛 −𝑦 𝑛
3. 𝑥+𝑦
= 𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛−2 𝑦 + ⋯ − 𝑦 𝑛−1 para n par
𝑥 𝑛 +𝑦 𝑛
4. 𝑥−𝑦
= No existe división exacta para n par o impar
𝑦 2 −64
a) 𝑦+8
=
16𝑥 2 −1
b) 4𝑥−1
=
144−25𝑥 2
c) =
12−5𝑥
100𝑎2 −49
d) 10𝑎+7
=
𝑥 3 +125
e) 𝑥+5
=
1000𝑎12 −1
f) 10𝑎 4 −1
=
1.- ¿De acuerdo a tu criterio crees que es importante aprender productos y cocientes notables?
¿Porque?
2.- ¿Los productos y cocientes notables facilitan el trabajo del estudiante? ¿Por qué?
3.- Investiga y anota de qué manera se aplica en la vida real, productos y cocientes notables.
268
Llego el momento de la producción, utiliza cartulina, tijeras y marcadores para construir figuras y cuerpos
geométricos como se muestra en la imagen.
Posteriormente asigna valores para verificar que cumple la igualdad.
269
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
x(x+9) =400
x
2
𝑥 +9x-400=0 Usamos el valor positivo en la
ecuación (x-9)
(x-16) (x+25) =0
16(16+9) =400
x + 25=0. x = - 25
400=400
x - 16=0. x = 16
Son algunos ejemplos que se utilizan en la cotidianidad sobre la agrupación o clasificación, al igual que se
aplica en el presente tema como es Factorización.
Métodos de factorización
Factorización
Factorización o descomposición factorial de un polinomio es expresarlo como un producto de sus factores,
que una vez multiplicados nos den como resultado el polinomio original.
Aritmética Álgebra
12 = 3 x 4 = 12 bc + cd = c (b+d) = bc + cd
144 = 36 x 4 = 144 x (m+1) – y(m+1) = (m+1)(x-y)
270
Factor común
Este caso consiste en buscar los coeficientes y variables comunes, es decir, los términos que se "repiten" en
cada término del polinomio dado.
A continuación, vamos a reconocer este caso…
Observa y responde si existen números y letras comunes.
2. Factorizar: 4𝑏 2 − 8𝑏
3. Factorizar: 5𝑥 8 − 5𝑥 7 + 5𝑥 4
Hallamos el MCD y variables comunes que es 5 y en coeficiente literal común con su mayor exponente x4
Entonces tenemos: 5𝑥 4 (𝑥 4 − 𝑥 3 + 1)
¡Observemos que la variable común es retirada con el menor exponente!
4. Factorizar: 24𝑥 8 𝑦 5 − 32𝑥 4 𝑦 7 + 20𝑥 7 𝑦 9
Hallamos el MCD y variables comunes: 4; x4; y5
Luego tenemos: 4𝑥 4 𝑦 5 (6𝑥 4 − 8𝑦 2 + 5𝑥 3 𝑦 4 )
a)3mn(m3 + m2 n − 2) b)3mn(mn2 + m2 n − 2)
7. Factorizar: 3𝑥 3 𝑦 2 + 9𝑥 2 𝑦 2 − 18𝑥𝑦 2
a) 3xy 2 (x 2 + 3x − 6) b)6xy(x 2 + 3x − 6)
271
8. Factorizar: 𝑎(𝑚 − 1) + 𝑏(𝑚 − 1) − 𝑐(𝑚 − 1)
9. Factorizar: 𝑎2 (𝑎 − 𝑏 + 1) − 𝑏 2 (𝑎 − 𝑏 + 1)
𝑎)(a − b + 1)(a2 − b2 ) b)(a + b + 1)(a − b)
𝑚+𝑛+𝑝 am – bm + an - bn 5𝑚𝑛 − 5𝑚
Cumple Si O No O Cumple Si O No O Cumple Si O No O
272
4. Factorizar: 3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛
5. Factorizar: 𝑎𝑥 + 𝑥 2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑥
a) (a + x)(x + b) b) (a + x)(a + b) c) (a + b)(x + b)
6. Factorizar: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦
a) (a + b + c)(x - y) b)(a + b)(x + y) c)(a + b + c)(x + y)
7. Factorizar: 𝑚2 + 𝑚𝑛 + 𝑚𝑝 + 𝑛𝑝
a) (m + n)(m + p) b) (m + n)(n + p) c ) (m + n)(mp + 1)
8. Factorizar: 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 3 𝑦 3 + 𝑥 5 + 𝑦 5
Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo negativo. Se resuelve por
medio de dos paréntesis, uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.
Recordemos…
273
Ahora resolvamos, verás que sencillo es…
1. Factorizar: 1 − 𝑥 2
Sacar la raíz cuadrada de los dos términos: 1 − 𝑥2
√ √
1 𝑥
Anotar las raíces en dos paréntesis con signos distintos:
(1 − 𝑥)(1 + 𝑥)
2. Factorizar: 𝑝2 − 100
5. Factorizar: 4𝑥 2 − 𝑏 2
a) (4x + b)2 b) (4x + b)(4x - b) c) (2x + b)(2x - b)
6. Factorizar: (𝑥 + 3)2 − 16
a) (x + 7)(x - 1) b) (x + 7)(x + 1) c) (x + 7)(x - 2)
7. Factorizar: 𝑥 2 𝑦 6 − 100
𝑎)(xy 3 − 10)(xy 3 + 10) b)(xy 3 + 10)(xy 3 + 10) c)(xy 3 − 50)(xy 3 + 50)
9. Factorizar: 25𝑥 2 − 9𝑦 2
a) (5x + 9y)(5x - 9y) b) 25x + 3y3 c) (5x + 3y)(5x - 3y)
274
Trinomio cuadrado perfecto
Recordemos…
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
Este método consiste en obtener las raíces cuadradas del primer y tercer término, ya que el segundo debe ser el
doble producto de la primera raíz por la segunda, el resultado se debe anotar como el cuadrado una suma o
diferencia del binomio conformado por las raíces.
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos tienen raíces cuadradas exactas, y el término restante
equivale al doble producto de las raíces.
𝑛 + 2𝑛𝑝 + 𝑝 m2 − 2mn + n2 𝑎2 + 2 + 𝑏 2
Cumple Si O No O Cumple Si O No O Cumple Si O No O
1. Factorizar: 1 + 2𝑚 + 𝑚2
Sacar la raíz cuadrada del primer y tercer término: 1 + 2𝑚 + 𝑚2
1 𝑚
2𝑚
El segundo término debe ser el doble producto de la primera raíz por la segunda raíz.
El resultado será, el cuadrado de las raíces unido por el signo del segundo término del trinomio.
(1 + 𝑚)2
2. Factorizar: 𝑎2 − 6𝑎 + 9
2 1
3. Factorizar: 𝑝2 − 3 𝑝 + 9
2 1
Sacamos la raíz cuadrada del primer y tercer término: 𝑝2 − 𝑝 +
3 9
1 1
𝑝 2. 𝑝.
3 3
2
𝑝
3
2 1 1
Anotamos el resultado, tomando en cuenta el signo del segundo término: 𝑝2 − 3 𝑝 + 9 = (𝑝 − 3)2
275
4. Factorizar: 49𝑏 2 + 70𝑏𝑐 2 + 25𝑐 4
Obtenemos la raíz cuadrada 49𝑏 2 + 70𝑏𝑐 2 + 25𝑐 4
de ambos términos
7𝑏 2. 7𝑏. 5𝑐 2 5𝑐 2
70𝑏𝑐 2
Anotamos el resultado tomando en 49𝑏 2 + 70𝑏𝑐 2 + 25𝑐 4 = (7𝑏 + 5𝑐 2 )2
cuenta el signo del segundo término
9. Factorizar:
2 (𝑥 + 3)2 − 8(𝑥 + 3) + 16
a) (4x + b) b) (4x + b)(4x - b) c) (2x + b)(2x - b)
Existen algunos trinomios, en los cuales su primer y tercer término, son cuadrados perfectos
(tienen raíz cuadrada exacta), pero su segundo término, no es el doble producto de sus raíces
cuadradas.
A continuación, vamos a reconocer este caso…
Son tres términos, el primero y tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada exacta y sus
exponentes son múltiplos de cuatro.
𝑚4 + 𝑚𝑛 + 𝑛2 𝑎4 + 𝑎2 + 1 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
Cumple Si O No O Cumple Si O No O Cumple Si O No O
Ahora resolvamos, veras que sencillo es …
1. Factorizar: 𝑥 4 + 3𝑥 + 4
𝑥 4 + 3𝑥 2 + 4
+𝑥 2 − 𝑥2 Se suma y se resta 𝑥 2
= (𝑥 4 + 4𝑥 2 + 4) − 𝑥 2 Se ordena
2 2 2
= (𝑥 + 2) − 𝑥
= [(𝑥 2 + 2) + 𝑥][(𝑥 2 + 2) − 𝑥] Se aplica diferencia de cuadrados
276
= (𝑥 2 + 2 + 𝑥)(𝑥 2 + 2 − 𝑥) Se eliminan signos de agrupación
= (𝑥 2 + 𝑥 + 2)(𝑥 2 − 𝑥 + 2) Se ordenan los términos de cada factor
Entonces: 𝑥 4 + 3𝑥 2 + 4 = (𝑥 2 + 𝑥 + 2)(𝑥 2 − 𝑥 + 2)
2. Factorizar: 4𝑥 4 − 29𝑥 2 + 25
(4 − 𝑚2 )2 − 𝑚2 (𝑏 4 + 1)2 − 𝑏 4
[(4 − 𝑚 ) − 𝑚][(4 − 𝑚2 ) + 𝑚]
2 [(𝑏 + 1) − 𝑏 2 ] [(𝑏 4 + 1) + 𝑏 2 ]
4
(4 − 𝑚 − 𝑚2 )(4 + 𝑚 − 𝑚2 ) (𝑏 4 − 𝑏 2 + 1)(𝑏 4 + 𝑏 2 + 1)
¡Ahora a trabajar!
5. Factorizar: 𝑎4 − 3𝑎2 𝑏 2 + 4
7. Factorizar: 𝑥 8 + 3𝑥 4 + 4
8. Factorizar: 𝑎4 + 2𝑎2 + 9
9. Factorizar: 𝑎4 + 𝑎2 + 1
277
10. Factorizar: 𝑚4 + 𝑚2 𝑛2 + 𝑛4
Trinomio de la forma 𝒙𝟐 ± 𝒃𝒙 ± 𝒄
𝑛 + 5𝑚 + 32 m2 − 2mn + 16 𝑎 2 + 5𝑎 + 6
Cumple Si O No O Cumple Si O No O Cumple Si O No O
278
Si los signos de los
paréntesis son distintos,
buscamos dos números
que restados den el
(m - 5 )(m - 3 ) segundo y multiplicados
𝑚2 − 8𝑚 + 15 = (𝑚 − 5)(𝑚 − 3) den el tercer término.
El número mayor se
anota en el primer
paréntesis.
¡Sigamos con más ejercicios!
3. Factorizar: 𝑚2 + 𝑎𝑏𝑐𝑚 − 56𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
𝑚2 + 𝑎𝑏𝑐𝑚 − 56𝑎2 𝑏2 𝑐 2 = (m+ )(m - )
8abc – 7abc = abc
8abc ∙ 7abc = 56
m + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc)(m - 7abc)
2
4. Factorizar: 𝑥 2 + 5𝑥 + 6
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (x+ )(x+ )
3+2 =5
3∙2 =6
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
¡Ahora a trabajar!
5. Factorizar: 𝑚2 − 15𝑚 + 54
𝑎) (𝑚 − 9)(𝑚 − 6) 𝑏) (𝑚 + 9)(𝑚 − 4)
8. Factorizar: 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 48
𝑎)(𝑥 2 − 8)(𝑥 2 + 6) 𝑏) (𝑥 2 + 8)(𝑥 2 + 6)
7. Factorizar: 𝑎4 − 7𝑎2 − 30
279
9. Factorizar: 𝑝2 − 2𝑝 − 35
𝑎)(𝑝 − 7)(𝑝 + 5) 𝑏) (𝑝 − 7)(𝑝 − 5)
10. Factorizar: 𝑦 2𝑚 − 9𝑦 𝑚 + 20
𝑎) (𝑦 𝑚 − 5)(𝑦 𝑚 − 4) 𝑏) (𝑦 𝑚 − 5)(𝑦 𝑚 − 2)
a)Trinomio
(5x − 3y)2
de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
A continuación, vamos a reconocer este caso…
El trinomio puede tener diferentes o iguales signos.
5𝑚2 − 5𝑚 − 3 a2 − 5a + b2 𝑧 2 − 36
Cumple Si O No O Cumple Si O No O Cumple Si O No O
1. Factorizar: 2𝑚2 + 3𝑚 − 2
Método aspa
Descomponemos el primer y tercer término en dos factores, multiplicamos en diagonal y sumamos
sus resultados.
2𝑚2 + 3𝑚 − 2
2m -1= -m
m 2= 4m
3m
Si la suma da el segundo término, entonces colocamos cada fila entre paréntesis.
(2m-1)(m+2)
2
2𝑚 + 3𝑚 − 2 = (2𝑚 − 1)(𝑚 + 2)
280
¡Sigamos con más ejercicios!
1. Factorizar: 18𝑎2 + 17𝑎𝑦 − 15𝑦 2 2. Factorizar:3m2 − 7m − 20
18𝑎2 + 17𝑎𝑦 − 15𝑦 2 3m2 − 7m − 20
9𝑎 − 5𝑦 = −10𝑎𝑦 3𝑚 5 = 5𝑚
2𝑎 3𝑦 = 27𝑎𝑦 m − 4= -12m
17ay -7m
2 2
18𝑎 + 17𝑎𝑦 − 15𝑦 = (9𝑎 − 5𝑦)(2𝑎 + 3𝑦) 3𝑚2 − 7𝑚 − 20 = (3𝑚 + 5)(𝑚 − 4)
¡Ahora a trabajar!
281
Ahora resolvamos, verás que sencillo es …
1. Factorizar: 𝑏 3 + 12𝑏𝑐 2 − 6𝑏 2 𝑐 − 8𝑐 3 2. Factorizar: 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3
𝑏 3 − 6𝑏 2 𝑐 + 12𝑏𝑐 2 − 8𝑐 3
b 2c
El segundo término debe ser igual al triple
producto de la primera raíz por la segunda
raíz.
El tercer término debe ser igual al triple
producto de la primera raíz por el cuadrado
de la segunda raíz.
𝑏 3 − 6𝑏 2 𝑐 + 12𝑏𝑐 2 − 8𝑐 3
b 2c
2 2
3. 𝑏 . 2𝑐 3. 𝑏. (2𝑐)
6b2 c 12bc 2
b3 − 6b2 c + 12bc 2 − 8c 3 = (𝑏 − 2𝑐)3
¡Sigamos con más ejercicios!
3. Factorizar:27𝑚3 + 108𝑚2 𝑛 + 144𝑚𝑛2 + 64𝑛3 4. Factorizar: 1 − 3𝑥 + 3𝑥 2 − 𝑥 3
3m 4n 1 x
3. (3𝑚) . 4𝑛 3.3𝑚. (4𝑛)2
2 3. 12 . 𝑥 3.1. 𝑥 2
108m2 n 144mn2 3x 3x 2
¡Ahora a trabajar!
282
7. Factorizar: 𝑎3 𝑏 3 + 3𝑎2 𝑏 2 𝑥 + 3𝑎𝑏𝑥 2 + 𝑥 3
8. Factorizar: 𝑎3 𝑥 3 + 6𝑥 2 𝑎2 𝑏 + 12𝑎𝑥𝑏 2 + 8𝑏 3
2. Factorizar: 𝑎3 − 125𝑏 3
3 (a-b)
27 + (a − b)3 = (3 + a − b)(9 − 3a + 3b + a2 − 2ab + b2 )
283
4. Factorizar: p6 − 1000
p6 − 1000 = (p2 − 10)[(p2 )2 + 10p2 + 102 ]
p2 10
p − 1000 = (p2 − 10)[p4 + 10p2 + 100]
6
¡Ahora a trabajar!
Son dos términos, suma o resta y tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar.
𝑚5 + 𝑛5 x 3 − 27 𝑥7 − 𝑦7
Cumple Si O No O Cumple Si O No O Cumple Si O No O
Ahora resolvamos, veras que sencillo es …
1. Factorizar: 𝑎5 + 𝑏 5
Se debe sacar la raíz indicada y anotarlo en un primer paréntesis 𝑎5 + 𝑏 5 = (𝑎 + 𝑏)( )
En el segundo paréntesis, si el signo de binomio es (+), se alternan los signos. Si es negativo, todos
los signos serán positivos.
El polinomio que se escribirá en el segundo paréntesis, donde el primer término vaya
decreciendo y el segundo vaya creciendo. 𝑎5 + 𝑏 5 =(a+b)(𝑎4 − 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 − 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 )
Si fuese una resta el resultado sería:
𝑎5 − 𝑏 5 =(a-b)(𝑎4 + 𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏 3 + 𝑏 4 )
¡Sigamos con más ejercicios!
1. Factorizar:32 + 𝑎5
32 + 𝑎5 = (2 + 𝑎)(24 − 23 𝑎 + 22 𝑎2 − 2𝑎3 + 𝑎4 )
32 + 𝑎5 = (2 + 𝑎)(16 − 8𝑎 + 4𝑎2 − 2𝑎3 + 𝑎4 )
2. Factorizar: p7 − 1
p7 − 1 = (𝑝 − 1)[𝑝6 + 𝑝5 . 1 + 𝑝4 . 12 + 𝑝3 . 13 + 𝑝2 14 + 𝑝. 15 + 16 ]
p7 − 1 = (𝑝 − 1)[𝑝6 + 𝑝5 + 𝑝4 + 𝑝3 + 𝑝2 + 𝑝 + 1]
284
¡Ahora a trabajar!
Éste es un método muy práctico, eficaz y sencillo, que nos permite con su aplicación,
encontrar las diferentes raíces de cualquier polinomio. Es ideal para aquellos polinomios que
tienen un grado mayor que dos (2).
Este método consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio dado y formar una tabla;
en el momento en que el último resultado de la tabla sea cero (0) habremos culminado; si no
ocurre esto, entonces debemos intentarlo con otra posible raíz.
1. Factorizar: 𝑚3 + 2𝑚2 − 𝑚 − 2
Se debe ordenar de forma descendente:
m3 + 2m2 − m − 2
Buscamos los factores del término independiente:
2 = +1, -1, +2, -2
Escribimos los coeficientes del polinomio para aplicar la división sintética:
1 +2 -1 -2 El residuo
2 +2 +8 +14 debe ser 0
1 +4 +7 +12
Intentaremos con otro factor:
1 +2 -1 -2 El residuo
-2 -2 0 +2 es 0
1 0 -1 0
Se evalúa cada uno de los factores hasta obtener que el residuo sea cero.
Se repite el procedimiento del paso anterior, hasta obtener eliminar lo que más se pueda.
1 +2 -1 -2 El residuo
-2 -2 0 +2 es 0
1 0 -1 0
1 +1 +1
1 +1 0
-1 -1
1 0
285
Los factores se anotan con signo A cambiado y en paréntesis:
h
R. (m+2)(m-1)(m+1) o
¡Sigamos con más ejercicios! r
6 4 2
2. Factorizar: 𝑥 − 41𝑥 + 184𝑥 − 144a 3. Factorizar: 𝑎5 − 25𝑎3 + 𝑎2 − 25
Si falta algún termino se completará con cero.
a
Los factores del termino independiente son: 25= +1, -1, +5, -5, +25, -25
144= +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6, +9, -9, …….
t
1 0 -41 0 +184 0 -144 r 1 0 -25 +1 0 -25
a
-1 -1 +1 +40 -40 -144 +144 b -1 -1 +1 +24 -25 +25
1 -1 -40 +40 +144 -144 0 a 1 -1 -24 +25 -25 0
j
1 +1 0 -40 0 +144 5 +5 +20 -20 +25
a
1 0 -40 0 +144 0 1 +4 -4 +5
r
! -5 -5 +5 -5
-2 -2 +4 +72 -144
1 -2 -36 +72 0 1 -1 +1 0
-6 -6 +36
1 -6 0
6 +6
1 0
R. (x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+6)(x-6)
¡Ahora a trabajar!
5. Factorizar: 𝑦 3 + 5𝑦 2 + 8𝑦 − 4
6. Factorizar: 𝑚4 − 22𝑚2 − 75
7. Factorizar: 𝑏 3 − 9𝑏 2 + 26𝑏 − 24
286
𝑑𝑎𝑎𝑎𝑟𝑑𝑑𝑑
𝑎
9. Factorizar: 16 − 4𝑥 2 + 𝑥 3 − 4𝑥
Vamos a empezar con un ejemplo sencillo de esta estrategia en el caso de la suma de números como un
método de cálculo mental para sumas. En este caso todo número en nuestra suma tiene una expresión
decimal, esto es, el número que buscamos se obtiene de la suma de términos donde cada término es un
múltiplo de una potencia de diez.
31415=3∗104+1∗103+4∗102+1∗10+5
31415=3∗10000+1∗1000+4∗100+1∗10+5
31415=30000+1000+400+10+531415=30000+1000+400+10+5
Supongamos ahora que tenemos que pagar un artículo que cuesta 52 Bs. y sólo tenemos un billete de
500 Bs. Entonces, para determinar cuánto cambio recibiremos podemos “descomponer la cantidad”,
(en el caso de la suma se llama descomponer en términos) de la siguiente manera:
500−52 = 400+100−52
Entonces sabemos que nos darán 400 Bs. más lo que reste de quitarle 52 a 100 Bs., es decir:
500−52=400+100−52=400+(100−52) =400+48=448
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Ahora nos divertiremos jugando y aplicaremos lo aprendido
BUSCANDO FICHAS
Materiales
-Hojas de colores
-Marcadores
-Reglas
-Tijeras
Procedimiento
-Anota con un marcador, diferentes expresiones algebraicas factorizables en una hoja de color que te
servirá como tabla, dejando espacio para los resultados como muestra la figura:
¡A divertirse…!
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