Trigonometría

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Representación gráfica de un triángulo rectángulo en un sistema de coordenadas

cartesianas
La trigonometría es una rama de la matemática cuyo significado etimológico es 'la
medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos
'triángulo' y μετρον metron 'medida'.1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones

trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. La
trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría o la geometría analítica en
particular geometría plana o geometría del espacio. En soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias ( y = y´´), series de Fourier usadas en ecuaciones en
derivadas parciales.

Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de

triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a
estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en
sistemas globales de navegación por satélites.

El Canadarm 2, un brazo manipulador robótico gigantesco de la Estación Espacial

Internacional. Este manipulador es operado controlando los ángulos de sus
articulaciones. Calcular la posición final del astronauta en el extremo del brazo
requiere un uso repetido de las funciones trigonométricas de los ángulos que se
forman por los varios movimientos que se realizan.
Trigonometría
Sinus und Kosinus am Einheitskreis 1.svg
Referencias
Constantes exactas ·Tablas
·Circunferencia goniométrica
Funciones, leyes y teoremas
Funciones e (inversas)
·Senos ·Cosenos ·Tangentes ·Cotangentes
·Teorema de Pitágoras·Identidades y fórmulas de trigonometría
Cálculo infinitesimal
Sustitución trigonométrica ·Integrales de funciones directas (e inversas)
·Derivadas
Temas relacionados
Temas ·Historia ·Usos·Trigonometría generalizada
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Índice
1 Historia
2 Unidades angulares
3 Las funciones trigonométricas
3.1 Razones trigonométricas
3.1.1 Representación gráfica
3.2 Razones trigonométricas inversas
3.2.1 Representación gráfica
3.3 Otras funciones trigonométricas
3.4 Funciones trigonométricas recíprocas
3.4.1 Representación gráfica
3.5 Funciones trigonométricas inversas recíprocas
3.5.1 Representación gráfica
4 Equivalencia entre las funciones trigonométricas
5 Valor de las funciones trigonométricas
6 Sentido de las funciones trigonométricas
6.1 Primer cuadrante
6.2 Segundo cuadrante
6.3 Tercer cuadrante
6.4 Cuarto cuadrante
7 Cálculo de algunos casos
7.1 Para 90-α
7.2 Para 90+α
7.3 Para 180-α
7.4 Para 180+α
7.5 Para 270-α
7.6 Para 270+α
7.7 Para -α
8 Identidades trigonométricas
8.1 Recíprocas
8.2 De división
8.3 Por el teorema de Pitágoras
9 Seno y coseno, funciones complejas
10 Véase también
11 Referencias
11.1 Bibliografía
11.2 Enlaces externos
Historia
Artículo principal: Historia de la trigonometría

Tablilla babilonia Plimpton 322.

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían los teoremas sobre las proporciones
de los lados de los triángulos semejantes. Pero las sociedades prehelénicas
carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los
triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar
trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros sobre la salida y puesta de las

estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo
cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera
celeste. Sobre la base de la interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton 322
(c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían
una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata
de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de
segundo grado o una tabla trigonométrica.

Papiro de Ahmes
Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva
de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes,
escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente
problema relacionado con la trigonometría:

Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de

largo, ¿cuál es su Seked?
La solución al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la
pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked
es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su respectiva cara.

Unidades angulares
En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades,
si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en
matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para
medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al
sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.

Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay

2π radianes (algo más de 6,28).
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados
centesimales.
Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.
TransportadorR.svg TransportadorG.svg
Transportador en radianes Transportador en grados sexagesimales
TransportadorC.svg TransportadorM.svg
Transportador en grados centesimales Transportador en mil angular
Las funciones trigonométricas
Artículo principal: Función trigonométrica
La trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de
la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una
circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que
han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos
estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.

Razones trigonométricas
Trigonometria aa1.svg
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C, con radio unitario (AB = AD = 1);
lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo {\
displaystyle \alpha \,}\alpha \,, correspondiente al vértice A, situado en el
centro de la circunferencia.

El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre
el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
{\displaystyle \operatorname {sen} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline
{AB}}}={\frac {\overline {CB}}{1}}={\overline {CB}}}{\displaystyle \operatorname
{sen} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {CB}}
{1}}={\overline {CB}}}
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al
ángulo y la hipotenusa.
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\
overline {AC}}{1}}={\overline {AC}}}{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\overline
{AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AC}}{1}}={\overline {AC}}}
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo
y el cateto adyacente.
{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {\
overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {DE}}{1}}={\overline {DE}}}{\
displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {\
overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {DE}}{1}}={\overline {DE}}}
Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y), los

valores en el eje x expresados en radianes.
Razones trigonométricas inversas
Artículo principal: Inverso multiplicativo
Trigonometria ac0.svg
La cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también
su inverso multiplicativo:
{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\
overline {CB}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {AG}}
{1}}={\overline {AG}}}{\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}={\
frac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AF}}}={\
frac {\overline {AG}}{1}}={\overline {AG}}}
En el esquema su representación geométrica es:

{\displaystyle \csc \alpha ={\overline {AG}}}\csc \alpha =\overline {AG}

La secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su
inverso multiplicativo:
{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\
overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}
{1}}={\overline {AE}}}{\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \;\alpha }}={\
frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\
frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}}
En el esquema su representación geométrica es:

{\displaystyle \sec \alpha ={\overline {AE}}}{\displaystyle \sec \alpha ={\overline

{AE}}}
La cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la razón inversa de la tangente,
o también su inverso multiplicativo:
{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\overline {AC}}{\
overline {CB}}}={\frac {\overline {FG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {FG}}
{1}}={\overline {FG}}}{\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac
{\overline {AC}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {FG}}{\overline {AF}}}={\frac
{\overline {FG}}{1}}={\overline {FG}}}
En el esquema su representación geométrica es:

{\displaystyle \cot \alpha ={\overline {FG}}}{\displaystyle \cot \alpha ={\overline

{FG}}}
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y
salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones
matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no
suelen utilizarse

Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas inversas en el plano cartesiano

(x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Otras funciones trigonométricas
Además de las funciones anteriores, existen otras funciones trigonométricas.
Matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es muy
corriente, pero sí se emplean, dado su sentido geométrico. Veamos:

El seno cardinal o función sinc (x) definida:

{\displaystyle \operatorname {sinc} \;(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}\operatorname

{sinc}\;(x)={\frac {\sin(x)}{x}}
El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una
circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:

{\displaystyle \operatorname {versin} \;\alpha =1-\cos \alpha }\operatorname

{versin}\;\alpha =1-\cos \alpha
El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:

{\displaystyle \operatorname {semiversin} \;\alpha ={\frac {\operatorname

{versin} \;\alpha }{2}}}\operatorname {semiversin}\;\alpha ={\frac {\operatorname
{versin}\;\alpha }{2}}
El coverseno,

{\displaystyle \operatorname {coversin} \;\alpha =1-\sin \;\alpha }\operatorname

{coversin}\;\alpha =1-\sin \;\alpha
El semicoverseno
{\displaystyle \operatorname {semicoversin} \;\alpha ={\frac {\operatorname
{coversin} \;\alpha }{2}}}\operatorname {semicoversin}\;\alpha ={\frac {\
operatorname {coversin}\;\alpha }{2}}
La exsecante:

{\displaystyle \operatorname {exsec} \;\alpha =\sec \alpha -1}\operatorname

{exsec}\;\alpha =\sec \alpha -1
Funciones trigonométricas recíprocas
Artículo principal: Función recíproca
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el
arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a
cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíprocas se
denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función
recíproca:

{\displaystyle y=\sin \,x\,}y=\sin \,x\,

y es igual al seno de x, la función recíproca:

{\displaystyle x=\arcsin \;y\,}x=\arcsin \;y\,

x es el arco cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

si:

{\displaystyle y=\cos x\,}y=\cos x\,

y es igual al coseno de x, la función recíproca:

{\displaystyle x=\arccos y\,}x=\arccos y\,

x es el arco cuyo coseno vale y, que se dice: x es el arcocoseno de y.

si:

{\displaystyle y=\tan x\,}y=\tan x\,

y es igual al tangente de x, la función recíproca:

{\displaystyle x=\arctan y\,}x=\arctan y\,

x es el arco cuya tangente vale y, o x es igual al arcotangente de y.

NOTA: Es común, que las funciones recíprocas sean escritas de esta manera:

{\displaystyle y=\operatorname {arcsin} \;x\quad \longrightarrow \quad y=\sin ^{-

1}x\,}y=\operatorname {arcsin}\;x\quad \longrightarrow \quad y=\sin ^{{-1}}x\,
pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

{\displaystyle y={\cfrac {1}{\sin x}}\quad \longrightarrow \quad y=\csc x}y={\cfrac

{1}{\sin x}}\quad \longrightarrow \quad y=\csc x
Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas reciprocas en el plano cartesiano

(x,y), como la recíproca del seno, el coseno y la tangente, los valores en el eje y
expresados en radianes.
Si aplicamos el criterio para obtener las funciones recíprocas en el sentido
estricto, definiendo el arcoseno como la recíproca del seno, el arcocoseno como la
recíproca del coseno y el arco tangente como la recíproca de la tangente, lo
obtenido es la gráfica de la derecha. Es fácil percatarse que estas
representaciones no cumplen la unicidad de la imagen, que forma parte de la
definición de función, eso es para un valor de x dado existen un número infinito de
valores que son su función, por ejemplo: el arcoseno de 0 es 0, pero también lo son
cualquier múltiplo entero de {\displaystyle \pi }\pi .
{\displaystyle \arcsin(0)=\pi \;n}\arcsin(0)=\pi \;n
Para cualquier n número entero.

Dado que la recíproca de una función no tiene que cumplir necesariamente la

unicidad de imagen, solo las funciones inyectivas y biyectivas dan funciones
recíprocas con esta propiedad, esta situación se repite para el resto de las
funciones recíprocas trigonométricas.

Representación de las funciones trigonométricas reciprocas, corregidas.

A fin de garantizar el cumplimiento de la definición de función, en cuanto a la
unicidad de imagen, y que por tanto las funciones trigonométricas recíprocas
cumplan los criterios de la definición de función, se suele restringir tanto el
dominio como el codominio, esta corrección permite un análisis correcto de la
función, a pesar de que no coincida exactamente con la recíproca de la función
trigonométrica original. Así tenemos que:

La función arcoseno se define:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\arcsin :&[-1,1]&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi ]\\

&x&\to &y=\arcsin(x)\end{array}}}{\begin{array}{rccl}\arcsin :&[-1,1]&\to &[-0,5\pi
\;,\;0,5\pi ]\\&x&\to &y=\arcsin(x)\end{array}}
La función arcocoseno se define:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\arccos :&[-1,1]&\to &[0\;,\;\pi ]\\&x&\to &y=\

arccos(x)\end{array}}}{\begin{array}{rccl}\arccos :&[-1,1]&\to &[0\;,\;\pi ]\\&x&\
to &y=\arccos(x)\end{array}}
La función arcotangente se define:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\arctan :&R&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi ]\\&x&\to

&y=\arctan(x)\end{array}}}{\begin{array}{rccl}\arctan :&R&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi
]\\&x&\to &y=\arctan(x)\end{array}}

Funciones trigonométricas inversas recíprocas

Del mismo modo que las funciones trigonométricas directas recíprocas, cuando el
ángulo se expresa en radianes, se denomina arco a ese ángulo, y se emplea el
prefijo arco para la función trigonométrica recíproca, así tenemos que:

{\displaystyle y=\csc \,x\,}y=\csc \,x\,

y es igual a la cosecante de x, la función recíproca:

{\displaystyle x=\operatorname {arccsc} \;y\,}x=\operatorname{arccsc} \;y\,

x es el arco cuya cosecante vale y, o también x es la arcocosecante de y.

si:

{\displaystyle y=\sec x\,}y=\sec x\,

y es igual al secante de x, la función recíproca:

{\displaystyle x=\operatorname {arcsec} y\,}x=\operatorname{arcsec} y\,

x es el arco cuya secante vale y, que se dice: x es el arcosecante de y.

si:

{\displaystyle y=\cot x\,}y=\cot x\,

y es igual al cotangente de x, la función recíproca:

{\displaystyle x=\operatorname {arccot} y\,}x=\operatorname{arccot} y\,

x es el arco cuya cotangente vale y, o x es igual al arcocotangente de y.

Representación gráfica

Representación de las funciones trigonométricas inversas reciprocas en el plano

cartesiano (x,y), como la recíproca de la cosecante, secante y cotangente, los
valores en el eje y expresados en radianes.
Al igual que en las funciones directas, si aplicamos el criterio para obtener las
funciones recíprocas, dado que las funciones trigonométricas inversas no son
inyectivas, lo obtenido es la gráfica de la derecha, que no cumplen la unicidad de
la imagen, que forma parte de la definición de función.

Representación de las funciones trigonométricas inversas reciprocas, corregidas.

Para que se cumpla la definición de función, definimos un dominio y un codominio
restringidos. Así tenemos que:

La función arcocosecante se define:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\operatorname {arccsc} :&(-\infty ,-1]\cup [1,\

infty )&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi ]\\&x&\to &y=\operatorname {arccsc}(x)\
end{array}}}{\begin{array}{rccl}\operatorname{arccsc} :&(-\infty ,-1]\cup [1,\infty
)&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi ]\\&x&\to &y=\operatorname{arccsc}(x)\end{array}}
La función arcosecante se define:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\operatorname {arcsec} :&(-\infty ,-1]\cup [1,\

infty )&\to &[0\;,\;\pi ]\\&x&\to &y=\operatorname {arcsec}(x)\end{array}}}{\
begin{array}{rccl}\operatorname{arcsec} :&(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )&\to
&[0\;,\;\pi ]\\&x&\to &y=\operatorname{arcsec}(x)\end{array}}
La función arcocotangente se define:

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\operatorname {arccot} :&R&\to &[0\;,\;\pi ]\\

&x&\to &y=\operatorname {arccot}(x)\end{array}}}{\begin{array}{rccl}\
operatorname{arccot} :&R&\to &[0\;,\;\pi ]\\&x&\to &y=\operatorname{arccot}(x)\
end{array}}
Esta restricción garantiza el cumplimiento de la definición de función.

Equivalencia entre las funciones trigonométricas

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
{\displaystyle \sin \theta \,}\sin \theta \,
{\displaystyle \sin \theta \,}\sin \theta \,
{\displaystyle {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}{\sqrt {1-\cos ^{{2}}\theta }} {\
displaystyle {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}{\frac {\tan \
theta }{{\sqrt {1+\tan ^{{2}}\theta }}}} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot
^{2}\theta }}}}{\frac {1}{{\sqrt {1+\cot ^{{2}}\theta }}}} {\displaystyle {\
frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}{\frac {{\sqrt {\sec ^{{2}}\
theta -1}}}{\sec \theta }}
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}{\frac {1}{\csc \theta }}
{\displaystyle \cos \theta \,}\cos \theta \, {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}\
theta }}}{\sqrt {1-\sin ^{{2}}\theta }}
{\displaystyle \cos \theta \,}\cos \theta \,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}{\frac {1}{{\sqrt {1+\tan
^{{2}}\theta }}}} {\displaystyle {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\
theta }}}}{\frac {\cot \theta }{{\sqrt {1+\cot ^{{2}}\theta }}}}
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}{\frac {1}{\sec \theta }}
{\displaystyle {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}{\frac {{\sqrt
{\csc ^{{2}}\theta -1}}}{\csc \theta }}
{\displaystyle \tan \theta \,}\tan \theta \, {\displaystyle {\frac {\sin \
theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}{\frac {\sin \theta }{{\sqrt {1-\sin ^{{2}}\
theta }}}} {\displaystyle {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}}{\
frac {{\sqrt {1-\cos ^{{2}}\theta }}}{\cos \theta }}
{\displaystyle \tan \theta \,}\tan \theta \,
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}{\frac {1}{\cot \theta }}
{\displaystyle {\sqrt {sec^{2}\theta -1}}}{\sqrt {sec^{{2}}\theta -1}} {\
displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}{\frac {1}{{\sqrt {\csc
^{{2}}\theta -1}}}}
{\displaystyle \cot \theta \,}\cot \theta \, {\displaystyle {\frac {\sqrt {1-\
sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}}{\frac {{\sqrt {1-\sin ^{{2}}\theta }}}{\sin \
theta }} {\displaystyle {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}{\
frac {\cos \theta }{{\sqrt {1-\cos ^{{2}}\theta }}}}
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}}{\frac {1}{\tan \theta }}
{\displaystyle \cot \theta \,}\cot \theta \,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}{\frac {1}{{\sqrt {\sec
^{{2}}\theta -1}}}} {\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}{\sqrt {\csc
^{{2}}\theta -1}}
{\displaystyle \sec \theta \,}\sec \theta \, {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt
{1-\sin ^{2}\theta }}}}{\frac {1}{{\sqrt {1-\sin ^{{2}}\theta }}}}
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta \,}}}{\frac {1}{\cos \theta \,}}
{\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\sqrt {1+\tan ^{{2}}\theta }} {\
displaystyle {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}}{\frac {{\sqrt
{1+\cot ^{{2}}\theta }}}{\cot \theta }}
{\displaystyle {\sec \theta }\,}{\sec \theta }\,
{\displaystyle {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}{\frac {\csc \
theta }{{\sqrt {\csc ^{{2}}\theta -1}}}}
{\displaystyle \csc \theta \,}\csc \theta \,
{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta \,}}}{\frac {1}{\sin \theta \,}}
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}}{\frac {1}{{\sqrt {1-\cos
^{{2}}\theta }}}} {\displaystyle {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \
theta }}}{\frac {{\sqrt {1+\tan ^{{2}}\theta }}}{\tan \theta }} {\
displaystyle {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}{\sqrt {1+\cot ^{{2}}\theta }} {\
displaystyle {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}{\frac {\sec \
theta }{{\sqrt {\sec ^{{2}}\theta -1}}}}
{\displaystyle {\csc \theta }\,}{\csc \theta }\,
Valor de las funciones trigonométricas
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

RadiánCircunferencia.svg SexaCircunferencia.svg
Circunferencia en radianes. Circunferencia en grados sexagesimales.
Radianes Grados
sexagesimales seno coseno tangente cosecante secante cotangente
Angulo000.svg {\displaystyle 0\;}0\; {\displaystyle 0^{o}\,}0^{o}\, {\
displaystyle {\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}{\frac {{\sqrt {0}}}{2}}=0 {\
displaystyle {\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}{\frac {{\sqrt {4}}}{2}}=1 {\
displaystyle 0\,}0\, {\displaystyle \nexists (\pm \infty )\,\!}\nexists (\pm \
infty )\,\! {\displaystyle 1\,}1\, {\displaystyle \nexists (\pm \infty )\,\!}\
nexists (\pm \infty )\,\!
Angulo030.svg {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi }{\frac {1}{6}}\pi {\
displaystyle 30^{o}\,}30^{o}\, {\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac
{1}{2}}}{\frac {{\sqrt {1}}}{2}}={\frac {1}{2}} {\displaystyle {\frac {\sqrt
{3}}{2}}}{\frac {{\sqrt {3}}}{2}} {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}{\frac
{1}{{\sqrt {3}}}} {\displaystyle 2\,}2\, {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt
{3}}}}{\frac {2}{{\sqrt {3}}}} {\displaystyle {\sqrt {3}}}{\sqrt {3}}
Angulo045.svg {\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi }{\frac {1}{4}}\pi {\
displaystyle 45^{o}\,}45^{o}\, {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\frac
{{\sqrt {2}}}{2}} {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}{\frac {{\sqrt
{2}}}{2}} {\displaystyle 1\,}1\, {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}}{\frac
{2}{{\sqrt {2}}}} {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}}{\frac {2}{{\sqrt
{2}}}} {\displaystyle 1\,}1\,
Angulo060.svg {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi }{\frac {1}{3}}\pi {\
displaystyle 60^{o}\,}60^{o}\, {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}{\frac
{{\sqrt {3}}}{2}} {\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}}{\frac
{{\sqrt {1}}}{2}}={\frac {1}{2}} {\displaystyle {\sqrt {3}}}{\sqrt {3}} {\
displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}{\frac {2}{{\sqrt {3}}}} {\displaystyle
2\,}2\, {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{{\sqrt {3}}}}
Angulo090.svg {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi }{\frac {1}{2}}\pi {\
displaystyle 90^{o}\,}90^{o}\, {\displaystyle {\frac {\sqrt {4}}{2}}=1}{\frac
{{\sqrt {4}}}{2}}=1 {\displaystyle {\frac {\sqrt {0}}{2}}=0}{\frac {{\sqrt
{0}}}{2}}=0 {\displaystyle \nexists (\pm \infty )\,\!}\nexists (\pm \infty )\,\!
{\displaystyle 1\,}1\, {\displaystyle \nexists (\pm \infty )\,\!}\nexists (\
pm \infty )\,\! {\displaystyle 0\,}0\,
Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas
trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller
Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de
sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la
informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen
bibliotecas de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en
calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas
resulta obsoleto.

Sentido de las funciones trigonométricas

Trigono c00.svg
Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia
goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte
de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E.

Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada

del sistema de referencia:

{\displaystyle A\equiv O}A\equiv O

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y forma un ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \,

sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que
pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en
el punto D.

Por semejanza de triángulos:

{\displaystyle {\frac {\;{\overline {CB}}\;}{\overline {OC}}}={\frac {\;{\overline

{ED}}\;}{\overline {OE}}}}{\frac {\;\overline {CB}\;}{\overline {OC}}}={\frac
{\;\overline {ED}\;}{\overline {OE}}}
Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia {\
displaystyle {\overline {OE}}}\overline {OE} y {\displaystyle {\overline {OB}}}\
overline {OB} son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una
circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones
trigonométricas:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin \alpha =&\!\!\!{\overline {CB}}\\\cos \alpha

=&\!\!\!{\overline {OC}}\\\tan \alpha =&\!\!\!{\overline {ED}}\end{array}}}{\
displaystyle {\begin{array}{rl}\sin \alpha =&\!\!\!{\overline {CB}}\\\cos \alpha
=&\!\!\!{\overline {OC}}\\\tan \alpha =&\!\!\!{\overline {ED}}\end{array}}}
tenemos:

{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {\tan \alpha }{1}}}{\
frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {\tan \alpha }{1}}
La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya
expuesta.
Primer cuadrante
Trigono 000.svgTrigono 001.svgTrigono 002.svgTrigono 003.svg
Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo,
daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes.Como
consecuencia de esta consideración, los segmentos correspondientes a cada función
trigonométrica variarán de longitud, siendo esta variación función del ángulo,
partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero.

Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas,

podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo {\
displaystyle \alpha \,}\alpha \,.

Para {\displaystyle \alpha =0\,}\alpha =0\,, tenemos que B, D, y C coinciden en E,

por tanto:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin 0=&\!\!\!0\\\cos 0=&\!\!\!1\\\tan 0=&\!\!\!0\

end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin 0=&\!\!\!0\\\cos 0=&\!\!\!1\\\tan
0=&\!\!\!0\end{array}}}
Si aumentamos progresivamente el valor de {\displaystyle \alpha \,}\alpha \,, las
distancias {\displaystyle {\overline {CB}}}\overline {CB} y {\displaystyle {\
overline {ED}}}\overline {ED} aumentarán progresivamente, mientras que {\
displaystyle {\overline {OC}}}\overline {OC} disminuirá.

Vale recordar que el punto B pertenece a la circunferencia y cuando el ángulo

aumenta se desplaza sobre ella.

El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de

posición.

Los segmentos: {\displaystyle {\overline {OC}}}\overline {OC} y {\displaystyle {\

overline {CB}}}\overline {CB} están limitados por la circunferencia y por tanto su
máximo valor absoluto será 1, pero {\displaystyle {\overline {ED}}}\overline {ED}
no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y
la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo {\displaystyle \alpha
=0,5\pi \,}\alpha =0,5\pi \, rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos
rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia {\displaystyle {\
overline {ED}}}\overline {ED} será infinita.

El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el

punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno.

Para un ángulo recto las funciones toman los valores:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin({\pi }/{2})=&\!\!\!1\\\cos({\pi

}/{2})=&\!\!\!0\\\tan({\pi }/{2})=&\!\!\!\pm \infty \to \mathrm {No\;definida} \
end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin({\pi }/{2})=&\!\!\!1\\\cos({\
pi }/{2})=&\!\!\!0\\\tan({\pi }/{2})=&\!\!\!\pm \infty \to \mathrm {No\;definida} \
end{array}}}

Segundo cuadrante
Trigono 004.svgTrigono 005.svgTrigono 006.svg
Cuando el ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \, supera el ángulo recto, el
valor del seno empieza a disminuir según el segmento {\displaystyle {\overline
{CB}}}\overline {CB}, el coseno aumenta según el segmento {\displaystyle {\overline
{OC}}}\overline {OC}, pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno
toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue
creciendo.
La tangente para un ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \, inferior a {\
displaystyle \pi /2\,}\pi /2\, rad se hace infinita en el sentido positivo de las
y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa
por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el
ángulo supera los {\displaystyle \pi /2\,}\pi /2\, rad y pasa al segundo cuadrante
la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el
lado negativo de las y, la tangente {\displaystyle {\overline {ED}}}\overline {ED}
por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye
a medida que el ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \, aumenta progresivamente
hasta los {\displaystyle \pi \,}\pi \, rad.

Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de {\displaystyle \alpha \,}\alpha \,,

{\displaystyle {\overline {CB}}}\overline {CB}, disminuye progresivamente su valor
desde 1, que toma para {\displaystyle \alpha =\pi /2\,}\alpha =\pi /2\, rad, hasta
que valga 0, para {\displaystyle \alpha =\pi \,}\alpha =\pi \, rad, el coseno,{\
displaystyle {\overline {OC}}}\overline {OC}, toma valor negativo y su valor varia
desde 0 para {\displaystyle \alpha =\pi /2\,}\alpha =\pi /2\, rad, hasta –1, para
{\displaystyle \alpha =\pi \,}\alpha =\pi \, rad.

La tangente conserva la relación:

{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}\tan \alpha ={\
frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}
incluyendo el signo de estos valores.

Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje

de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin \;\pi =&\!\!\!0\\\cos \pi =&\!\!\!-1\\\tan \

pi =&\!\!\!0\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin \;\pi =&\!\!\!0\\\
cos \pi =&\!\!\!-1\\\tan \pi =&\!\!\!0\end{array}}}
Tercer cuadrante
Trigono 007.svgTrigono 008.svgTrigono 009.svg
En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo {\displaystyle \
alpha =\pi \,}\alpha =\pi \, rad a {\displaystyle \alpha =3\pi /2\,}\alpha =3\pi
/2\, rad, se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente,
desde los que toman para {\displaystyle \pi \,}\pi \, rad:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin({3\pi }/{2})=&\!\!\!-1\\\cos({3\pi

}/{2})=&\!\!\!0\\\tan({3\pi }/{2})=&\!\!\!\infty \to {\text{No definida}}\
end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin({3\pi }/{2})=&\!\!\!-1\\\cos({3\
pi }/{2})=&\!\!\!0\\\tan({3\pi }/{2})=&\!\!\!\infty \to {\text{No definida}}\
end{array}}}
Cuando el ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \, aumenta progresivamente, el
seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye
en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo
modo que lo hacía en el primer cuadrante.

A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento {\displaystyle

{\overline {OC}}}\overline {OC}, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo
de las x.

El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se

aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, {\displaystyle {\
overline {CB}}}\overline {CB}.

Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa

por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la
tangente, {\displaystyle {\overline {ED}}}\overline {ED}, aumenta igual que en el
primer cuadrante

Cuando el ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \, alcance {\displaystyle 3\pi

/2\,}3\pi /2\, rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento
{\displaystyle {\overline {CB}}}\overline {CB} será igual al radio de la
circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del
ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor
infinito por el lado positivo de las y.

El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación:

{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}}\tan \alpha ={\
frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}

que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que a medida que el coseno se
acerca a valores cercanos a cero, la tangente tiende a infinito.

Cuarto cuadrante
Trigono 010.svgTrigono 011.svgTrigono 012.svg
En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo {\displaystyle \
alpha \,}\alpha \, entre {\displaystyle 3\pi /2\,}3\pi /2\, rad y {\displaystyle 2\
pi \,}2\pi \, rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman
para {\displaystyle 3\pi /2\,}3\pi /2\, rad:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin(3\pi /2)=&\!\!\!-1\\\cos(3\pi /2)=&\!\!\!0\\\

tan(3\pi /2)=&\!\!\!\infty \to {\text{No definida}}\end{array}}}{\displaystyle {\
begin{array}{rl}\sin(3\pi /2)=&\!\!\!-1\\\cos(3\pi /2)=&\!\!\!0\\\tan(3\pi
/2)=&\!\!\!\infty \to {\text{No definida}}\end{array}}}
hasta los que toman para {\displaystyle 2\pi \,}2\pi \, rad pasando al primer
cuadrante, completando una rotación:

{\displaystyle {\begin{array}{rlcl}\sin(2\,\pi )=&\!\!\sin 0&\!\!\!=&\!\!0\\\

cos(2\,\pi )=&\!\!\cos 0&\!\!\!=&\!\!1\\\tan(2\,\pi )=&\!\!\tan 0&\!\!\!=&\!\!0\
end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rlcl}\sin(2\,\pi )=&\!\!\sin 0&\!\!\!
=&\!\!0\\\cos(2\,\pi )=&\!\!\cos 0&\!\!\!=&\!\!1\\\tan(2\,\pi )=&\!\!\tan 0&\!\!\!
=&\!\!0\end{array}}}
como puede verse a medida que el ángulo {\displaystyle \alpha \,}\alpha \, aumenta,
aumenta el coseno {\displaystyle {\overline {OC}}}\overline {OC} en el lado
positivo de las x, el seno {\displaystyle {\overline {CB}}}\overline {CB} disminuye
en el lado negativo de las y, y la tangente {\displaystyle {\overline {ED}}}\
overline {ED} también disminuye en el lado negativo de las y.

Cuando {\displaystyle \alpha \,}\alpha \,, vale {\displaystyle 2\pi \,}2\pi \, o {\

displaystyle 0\pi \,}0\pi \, al completar una rotación completa los puntos B, C y
D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno,
del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante.

Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en

todos los casos:

{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin \;\alpha =&\!\!\!\sin(\alpha +2\,\pi \,n)\\\

cos \alpha =&\!\!\!\cos(\alpha +2\,\pi \,n)\\\tan \alpha =&\!\!\!\tan(\alpha +2\,\
pi \,n)\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rl}\sin \;\alpha =&\!\!\!\sin(\
alpha +2\,\pi \,n)\\\cos \alpha =&\!\!\!\cos(\alpha +2\,\pi \,n)\\\tan \alpha
=&\!\!\!\tan(\alpha +2\,\pi \,n)\end{array}}}
Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo
un número n entero de rotaciones completas.

Cálculo de algunos casos

RelTri-1.svg
Partiendo de una circunferencia de radio uno, dividida en cuatro cuadrantes, por
dos rectas perpendiculares, que se cortan en el centro de la circunferencia O,
estas rectas cortan a la circunferencia en los puntos A, B, C y D, la recta
horizonte AC también la podemos llamar eje x y la recta vertical BD eje y. Dada una
recta r, que pasa por el centro de la circunferencia y forma un ángulo α con OA,
eje x, y corta a la circunferencia en F, tenemos que la vertical que pasa por F
corta al eje x en E, la vertical que pasa por A corta a la recta r en G. Con todo
esto definimos, como ya se vio anteriormente, las funciones trigonométricas:

para el seno:

{\displaystyle \operatorname {sen} \;\alpha ={\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\

overline {OF}}}={\overline {EF}}}{\displaystyle \operatorname {sen} \;\alpha ={\
cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OF}}}={\overline {EF}}}
dado que:

{\displaystyle {\overline {OF}}=1}\overline {OF}=1

Para el coseno:

{\displaystyle \cos \;\alpha ={\cfrac {\;{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}={\

overline {OE}}}{\displaystyle \cos \;\alpha ={\cfrac {\;{\overline {OE}}\;}{\
overline {OF}}}={\overline {OE}}}
dado que:

{\displaystyle {\overline {OF}}=1}\overline {OF}=1

Para la tangente:

{\displaystyle \tan \;\alpha ={\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OE}}}={\

cfrac {\;{\overline {AG}}\;}{\overline {OA}}}={\overline {AG}}}{\displaystyle \
tan \;\alpha ={\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OE}}}={\cfrac {\;{\overline
{AG}}\;}{\overline {OA}}}={\overline {AG}}}
dado que:

{\displaystyle {\overline {OA}}=1}\overline {OA}=1

partiendo de estas definiciones, podemos ver algunos caso importantes:

Para 90-α
RelTri-2.svg
Si a partir del eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α en el sentido
horario, la recta r forma con el eje x un ángulo 90-α. Así, el valor de las
funciones trigonométricas de este ángulo,conocidas las de α,serán:

El triángulo OEF,rectángulo en E, siendo el ángulo en F α, por lo tanto:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!\
operatorname {sen} \;(90-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \
operatorname {sen} \;(90-\alpha )=\cos \;\alpha }{\displaystyle \left.{\
begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!\operatorname {sen} \;
(90-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \operatorname {sen} \;(90-\
alpha )=\cos \;\alpha }
en el mismo triángulo OEF, tenemos que:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!\cos \;(90-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;
(90-\alpha )=\operatorname {sen} \;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\
operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OE}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!\cos \;(90-\alpha )\
end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(90-\alpha )=\operatorname
{sen} \;\alpha }
viendo el triángulo OAG, rectángulo en A, siendo el ángulo en G igual a α, podemos
ver:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!\
tan \;(90-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(90-\alpha )={\
cfrac {1}{\tan \;\alpha }}}{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha
=&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!
1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!\tan \;(90-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \
quad \tan \;(90-\alpha )={\cfrac {1}{\tan \;\alpha }}}
Para 90+α
RelTri-3.svg
Si a partir de eje vertical OB trazamos la recta r a un ángulo α, medido en sentido
trigonométrico, el ángulo formado por el eje horizontal OA y la recta r será 90+α.
La prolongación de la recta r corta a la circunferencia en F y a la vertical que
pasa por A en G.

El triángulo OEF es rectángulo en E y su ángulo en F es α, por lo tanto tenemos

que:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!\
operatorname {sen} \;(90+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \
operatorname {sen} \;(90+\alpha )=\cos \;\alpha }{\displaystyle \left.{\
begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!\operatorname {sen} \;
(90+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \operatorname {sen} \;(90+\
alpha )=\cos \;\alpha }
En el mismo triángulo OEF podemos ver:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!-\cos \;(90+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;
(90+\alpha )=-\operatorname {sen} \;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}
{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OE}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!-\cos \;(90+\alpha )\
end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(90+\alpha )=-\operatorname
{sen} \;\alpha }
En el triángulos OAG rectángulo A y siendo α el ángulo en G, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!-\tan
\;(90+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(90+\alpha )={\cfrac
{-1}{\tan \;\alpha }}}{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!
{\cfrac {\;{\overline {OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\
overline {AG}}=&\!\!\!-\tan \;(90+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad
\tan \;(90+\alpha )={\cfrac {-1}{\tan \;\alpha }}}
Para 180-α
RelTri-4.svg
Si sobre el eje horizontal OC, trazamos la recta r a un ángulo α, el ángulo entre
el eje OA y la recta r es de 180-α, dado el triángulo OEF rectángulo en E y cuyo
ángulo en O es α, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{EF}}=&\!\!\!\operatorname {sen} \;(180-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow
\quad \operatorname {sen} \;(180-\alpha )=\operatorname {sen} \;\alpha }{\
displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac
{\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{EF}}=&\!\!\!\operatorname {sen} \;(180-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow
\quad \operatorname {sen} \;(180-\alpha )=\operatorname {sen} \;\alpha }
en el mismo triángulo OEF:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!-\cos
\;(180-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(180-\alpha )=-\cos
\;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;
{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!-\cos \;(180-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;
(180-\alpha )=-\cos \;\alpha }
En el triángulo OAG, rectángulo en A y con ángulo en O igual a α, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{AG}}\;}{\overline {OA}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!-\tan
\;(180-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(180-\alpha )=-\tan
\;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;
{\overline {AG}}\;}{\overline {OA}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline
{AG}}=&\!\!\!-\tan \;(180-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;
(180-\alpha )=-\tan \;\alpha }
Para 180+α
RelTri-5.svg
Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OC con un ángulo α trazados
la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de 180+α, como se ve en la figura.
En el triángulo OEF rectángulo en E se puede deducir:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{EF}}=&\!\!\!-\operatorname {sen} \;(180+\alpha )\end{array}}\right\}\
longrightarrow \quad \operatorname {sen} \;(180+\alpha )=-\operatorname {sen} \;\
alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!
{\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\
overline {EF}}=&\!\!\!-\operatorname {sen} \;(180+\alpha )\end{array}}\right\}\
longrightarrow \quad \operatorname {sen} \;(180+\alpha )=-\operatorname {sen} \;\
alpha }
en el mismo triángulo OEF tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!-\cos
\;(180+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(180+\alpha )=-\cos
\;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;
{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!-\cos \;(180+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;
(180+\alpha )=-\cos \;\alpha }
en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{AG}}\;}{\overline {OA}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!\
tan \;(180+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(180+\alpha )=\
tan \;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac
{\;{\overline {AG}}\;}{\overline {OA}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline
{AG}}=&\!\!\!\tan \;(180+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;
(180+\alpha )=\tan \;\alpha }
Para 270-α
RelTri-6.svg
Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido horario trazamos la recta r. El
ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270-α. En el triángulo OEF, rectángulo en
E, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!-\
operatorname {sen} \;(270-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \
operatorname {sen} \;(270-\alpha )=-\cos \;\alpha }{\displaystyle \left.{\
begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!-\operatorname {sen} \;
(270-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \operatorname {sen} \;(270-\
alpha )=-\cos \;\alpha }
por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!-\cos \;(270-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;
(270-\alpha )=-\operatorname {sen} \;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}
{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OE}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!-\cos \;(270-\alpha )\
end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(270-\alpha )=-\operatorname
{sen} \;\alpha }
en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!\
tan \;(270-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(270-\
alpha )={\cfrac {1}{\tan \;\alpha }}}{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\
tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline
{OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!\tan \;(270-\alpha )\end{array}}\right\}\
longrightarrow \quad \tan \;(270-\alpha )={\cfrac {1}{\tan \;\alpha }}}
Para 270+α
RelTri-7.svg
Sobre el eje OD y con un ángulo α medido en sentido trigonométrico, trazamos la
recta r. El ángulo entre el eje OA y la recta r es de 270+α. En el triángulo OEF,
rectángulo en E, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!-\
operatorname {sen} \;(270+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \
operatorname {sen} \;(270+\alpha )=-\cos \;\alpha }{\displaystyle \left.{\
begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {EF}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!-\operatorname {sen} \;
(270+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \operatorname {sen} \;(270+\
alpha )=-\cos \;\alpha }
por otra parte en el mismo triángulo OEF, tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!\cos \;(270+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;
(270+\alpha )=\operatorname {sen} \;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}
{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OE}}\;}{\overline
{OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!\cos \;(270+\alpha )\
end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(270+\alpha )=\operatorname
{sen} \;\alpha }
en el triángulo OAG rectángulo en A, y siendo α el ángulo en G, tenemos;

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!-\tan
\;(270+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(270+\alpha )={\
cfrac {-1}{\tan \;\alpha }}}{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha
=&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline {OA}}\;}{\overline {AG}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!
1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!-\tan \;(270+\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow
\quad \tan \;(270+\alpha )={\cfrac {-1}{\tan \;\alpha }}}
Para -α
RelTri-8.svg
Sobre la circunferencia de radio uno, a partir del eje OA con un ángulo α medido en
sentido horario trazados la recta r, el ángulo del eje OA y la recta r es de -α, o
lo que es lo mismo 360-α como se ve en la figura. En el triángulo OEF rectángulo en
E se puede deducir:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac

{\;{\overline {EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{EF}}=&\!\!\!-\operatorname {sen} \;(-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \
quad \operatorname {sen} \;(-\alpha )=-\operatorname {sen} \;\alpha }{\displaystyle
\left.{\begin{array}{rl}\operatorname {sen} \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline
{EF}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {EF}}=&\!\!\!-\
operatorname {sen} \;(-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \
operatorname {sen} \;(-\alpha )=-\operatorname {sen} \;\alpha }
en el mismo triángulo OEF tenemos:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline {OE}}=&\!\!\!\
cos \;(-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(-\alpha )=\
cos \;\alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\cos \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac
{\;{\overline {OE}}\;}{\overline {OF}}}\\{\overline {OF}}=&\!\!\!1\\{\overline
{OE}}=&\!\!\!\cos \;(-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \cos \;(-\
alpha )=\cos \;\alpha }
en el triángulo OAG, rectángulo en A, vemos que:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\overline

{AG}}\;}{\overline {OA}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline {AG}}=&\!\!\!-\tan
\;(-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(-\alpha )=-\tan \;\
alpha }{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}\tan \;\alpha =&\!\!\!{\cfrac {\;{\
overline {AG}}\;}{\overline {OA}}}\\{\overline {OA}}=&\!\!\!1\\{\overline
{AG}}=&\!\!\!-\tan \;(-\alpha )\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad \tan \;(-\
alpha )=-\tan \;\alpha }
Identidades trigonométricas
Artículo principal: Identidades trigonométricas
Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles
de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:

Recíprocas
{\displaystyle {\begin{array}{rl}\operatorname {sen}(\alpha )\cdot \csc(\
alpha )=&\!\!\!1\\\cos(\alpha )\cdot \sec(\alpha )=&\!\!\!1\\\tan(\alpha )\cdot \
cot(\alpha )=&\!\!\!1\end{array}}}{\displaystyle {\begin{array}{rl}\operatorname
{sen}(\alpha )\cdot \csc(\alpha )=&\!\!\!1\\\cos(\alpha )\cdot \sec(\
alpha )=&\!\!\!1\\\tan(\alpha )\cdot \cot(\alpha )=&\!\!\!1\end{array}}}
De división
Trigono a00.svg
{\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}\tan(\
alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}
{\displaystyle \cot(\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}\cot(\
alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}
{\displaystyle \csc(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}}{\displaystyle \csc(\
alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}}
{\displaystyle \sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}}{\displaystyle \sec(\
alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}}
{\displaystyle \cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}}{\displaystyle \cot(\
alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}}
Por el teorema de Pitágoras
Como en el triángulo rectángulo cumple la función que:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,
de la figura anterior se tiene que:

{\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}{\

displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a}{c}},\qquad \cos(\alpha )={\frac {b}{c}}}

por tanto:

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\bigg (}{\dfrac {a}{c}}{\

bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {b}{c}}{\bigg )}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\
frac {c^{2}}{c^{2}}}=1}\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha ={\bigg (}{\dfrac {a}{c}}
{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {b}{c}}{\bigg )}^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}
{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}=1
entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica:

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,}\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\

alpha =1\,
que también puede expresarse:

{\displaystyle \tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\alpha \,}\tan ^{2}\alpha +1=\sec ^{2}\

alpha \,
{\displaystyle 1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\alpha \,}1+\cot ^{2}\alpha =\csc ^{2}\
alpha \,
Seno y coseno, funciones complejas
El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler
como:

{\displaystyle \sin \alpha ={\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}},\qquad \cos \

alpha ={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}}{\displaystyle \sin \alpha ={\dfrac
{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}},\qquad \cos \alpha ={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\
alpha }}{2}}}

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

{\displaystyle \tan \alpha ={\dfrac {1}{i}}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}

{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}=\ {-i}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha
}+e^{-i\alpha }}}}{\displaystyle \tan \alpha ={\dfrac {1}{i}}{\dfrac {e^{i\alpha }-
e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}=\ {-i}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha
}}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}}

Siendo {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}i={\sqrt {-1}}.

Véase también
Historia de la trigonometría
Función trigonométrica
Identidad trigonométrica
Funciones hiperbólicas
Hexágono trigonométrico. Recurso mnemónico para ayudar a recordar relaciones e
identidades trigonométricas.
Lista de integrales de funciones trigonométricas
Fórmula de Euler y Número complejo, para funciones trigonométricas complejas
Trigonometría esférica
Referencias
«Etimología de la palabra "trigonometría"». Diccionario web de etimología
(inglés).
Bibliografía
Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria. Ediciones Didácticas y Pedagógicas S. L.,
ed. Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico]
(2008). ISBN 978-84-936336-3-9.
Domínguez Muro, Mariano. Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca,
ed. Trigonometría activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2.
Enlaces externos
Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Trigonometría.
Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre trigonometría.
Wikilibros alberga un libro o manual sobre Trigonometría.
Ejercicios de Trigonometría (Proyecto Descartes para Educación Secundaria del
Ministerio de Educación de España).
Álgebra y Trigonometría. Universidad de Chile
Orígenes de la trigonometría (Webquest).
Matemática - Trigonometría (Apuntes y ejercicios de Trigonometría en Fisicanet).
La trigonometría, ¿para qué sirve?
Funciones trigonométricas (Proyecto Descartes para Educación Secundaria del
Ministerio de Educación de España).
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