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D.2.pre 106-120 Àngulos en La Circunferencia Semana 4b Resoluciòn
D.2.pre 106-120 Àngulos en La Circunferencia Semana 4b Resoluciòn
D.2.pre 106-120 Àngulos en La Circunferencia Semana 4b Resoluciòn
ÀNGULOS EN LA
CIRCUNFERENCIA
Problemas del 106 al 120
4b
PROBLEMA 106
Se tienen dos circunferencias C1 y C2 secantes en H y E. Se trazan las
cuerdas EB en C1 y EC en C2 tal que EB C2 = G, EC C1 = F y
B – H – C. GF interseca a C1 y C2 en los puntos A y D
respectivamente. Si BG AH = Q, HD FC = P y mBQH = 88,
entonces mFPD es
A) 88 B) 90 C) 92
D) 94 E) 96
Se tienen dos circunferencias C1 y C2 secantes en H y E. Se trazan las
cuerdas EB en C1 y EC en C2 tal que EB C2 = G, EC C1 = F y
RESOLUCIÓN 106 B – H – C. GF interseca a C1 y C2 en los puntos A y D respectivamente.
Si BG AH = Q, HD FC = P y mBQH = 88, entonces mFPD es
2
H C Teor. ángulo interior en C2:
B
C2 2+2
P x= =+
88 2
x
D Teor. ángulo inscrito en C2:
Q
F mDGE = ; mHEC =
C1
G Teor. ángulo inscrito en C1:
A E 2 mHAF = mHEF =
AQG: + + 88 = 180
mFPD = x x + 88 = 180
x = 92
Clave: C
PROBLEMA 107
Dos circunferencias exteriores de diámetros AB y CD son tangentes
exteriores a una circunferencia en los puntos B y C. Las rectas
tangentes a las circunferencias en los puntos A y D se intersecan en P.
Si mAPD = 84, entonces la medida del mayor ángulo exinscrito
es
determinado por el arco BC
A) 20 B) 40 C) 50
D) 55 E) 65
Sobre un mismo semiplano se ubican dos semicircunferencias C1 y
C2, de diámetros AB y DB respectivamente, tal que A – D – B. En C1
RESOLUCIÓN 108 se trazan las cuerdas EF y EB, tangente y secante a C2 en los puntos
P y Q respectivamente. Si EQ = QP, mEF = 100, entonces la medida
del menor ángulo determinado por DQ y EF es
Calcule x
100 EQP es isósceles:
T mEPQ = PEQ =
P F Teor. ángulo inscrito y semiinscrito:
C1 x
G mEPQ = mPBQ =
C2
E a
2 Se traza BT tangente en B a C1 y C2
a
Q mFEB = mFBT =
mPQB = mPBT = 2
A D B mEF
Teor. ángulo inscrito mEBF = 2
= 25
EQG: x = 65 Clave: E
PROBLEMA 109
En una circunferencia de centro O se ubican los puntos A, P y B, tal que
La circunferencia C1 es tangente a OA,
P pertenece al menor arco AB.
OP y al arco AP en los puntos L, M y N respectivamente y la
en los puntos D, E
circunferencia C2 es tangente a OP , OB y al arco PB
y F respectivamente. Si mLNM = 75 y mAOB = 100, entonces
mDFE es
A) 45 B) 50 C) 55
D) 60 E) 65
En una circunferencia de centro O se ubican los puntos A, P y B, tal
La circunferencia C1 es tangente
que P pertenece al menor arco AB.
RESOLUCIÓN 109 en los puntos L, M y N respectivamente y la
a OA, OP y al arco AP
en los puntos
circunferencia C2 es tangente a OP , OB y al arco PB
N P D, E y F respectivamente. Si mLNM = 75 y mAOB = 100,
A entonces mDFE es
75
M Ángulo inscrito en C1:
F
L mLM = 150
x mLNM = mLM
C1 2
D
Ángulo externo en C1:
100 C2
mLM + mLOM = 180
O E
B mLOM = 30 mDOE = 70
mDFE = x Ángulo externo en C2:
Ángulo inscrito en C2: mDE + mDOE = 180 mDE = 110
mDE Reemplazando en (I):
mDFE = ……(I)
2 mDFE = 55 Clave: C
PROBLEMA 110
Dos circunferencias C1 y C2 son secantes en los puntos P y Q, por Q
se traza la recta L tangente a C2, tal que L C1 = A, Q, la
circunferencia C3 interseca a C1 en los puntos B y D y a C2 en los
puntos M y C. Si P es un punto del interior de la circunferencia C3,
B – C – Q, M – D – Q y mCPM = 2 (mCQ) = 120, entonces la
medida del menor arco AQ es
A) 10 B) 15 C) 18
D) 20 E) 25
Un cuadrilátero ABCD esta inscrito en la circunferencia de centro O.
RESOLUCIÓN 111 Si mABC = 110, entonces mACO es
mACO = x
C
Cuadrilátero inscrito ABCD:
140 x mABC = 110 mADC = 70
B
110 = 140
Ángulo inscrito: mABC
140
O Ángulo central: mAOC = 140
x 70 AOC es isósceles: mOCA = mOAC = x
A D
AOC: x = 20
Clave: D
PROBLEMA 112
Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto D, siendo
una mayor que la otra. La prolongación de la cuerda AB de la
circunferencia mayor es tangente a la menor en el punto C. La
prolongación de la cuerda AD interseca a la circunferencia menor en
es
= 80, entonces la medida del arco CE
el punto E. Si mAB
D) 150 E) 180
Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto D, siendo
una mayor que la otra. La prolongación de la cuerda AB de la
RESOLUCIÓN 112 circunferencia mayor es tangente a la menor en el punto C. La
prolongación de la cuerda AD interseca a la circunferencia menor en
= 80, entonces la medida del arco CE
el punto E. Si mAB es
=x
mCE
ℒ Trazando la tangente común ℒ ,
80 BD y CD se obtiene:
A B F C m BAD = m BDF =
β
m FCD = m FDC = β
β
40
+ =70 x m ADB = 40
D En el ACD por exterior :
m CDE = + = 70
E mCE
Teor. del áng. Inscr.: mCDE = 2
= 140
mCE
Clave: B
PROBLEMA 113
Dos circunferencias son tangentes interiores en el punto P; la cuerda AC
de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor en el
punto B. Si la prolongación de PB interseca a la circunferencia mayor en
y QC
Q, demuestre que los arcos AQ son congruentes.
Dos circunferencias son tangentes interiores en el punto P; la cuerda
AC de la circunferencia mayor es tangente a la circunferencia menor
RESOLUCIÓN 113 en el punto B. Si la prolongación de PB interseca a la circunferencia
mayor en Q, demuestre que los arcos AQ y QC son congruentes.
D) FVV E) FFV
Indique el valor de verdad para cada una de las proposiciones:
I. Ningún paralelogramo es exinscriptible.
RESOLUCIÓN 114 II. Algún cuadrilátero de diagonales perpendiculares es exinscriptible.
III. Todo trapecio isósceles es inscriptible.
I. V: Por definición. B
II. V: En la figura.
Se demuestra que el punto O A O
C
equidista de los 4 lados; por tanto O
es centro de la circunferencia inscrita.
D
III. V: Teorema de Steiner
Clave: C
PROBLEMA 116
Un cuadrilátero ABCD, está inscrito en una circunferencia. Se traza la
cuerda MN tal que M y N son puntos medios de los arcos AB y BC
respectivamente. Si mABC – mADC = 40, entonces la medida del
menor ángulo formado por MN y BC es
A) 10 B) 15 C) 20
D) 25 E) 35
Un cuadrilátero ABCD, está inscrito en una circunferencia. Se traza
y BC
la cuerda MN tal que M y N son puntos medios de los arcos AB
RESOLUCIÓN 116 respectivamente. Si mABC – mADC = 40, entonces la medida del
menor ángulo formado por MN y BC es
Calcule x
2 Ángulo interior: x=+ ……….(I)
B N
2 x 2 Si mADC = → mABC = 40 +
C
M + 40 + = 180
2
ABCD inscrito:
→ = 70
A
Ángulo inscrito: = 140
mABC
4 + 4 = 140
=70 + = 35
D De (I): x = 35 Clave: E
PROBLEMA 117
En una semicircunferencia de diámetro AC y centro O, por E punto
se traza EF// AC; AF interseca al arco AE en B. Si
medio del arco AC,
OE interseca a BC en D, entonces mEDF es
A) 18 B) 25 C) 30
D) 37 E) 45
En una semicircunferencia de diámetro AC y centro O, por E punto
se traza EF// AC; AF interseca al arco AE en B.
medio del arco AC,
RESOLUCIÓN 117 Si OE interseca a BC en D, entonces mEDF es
mEDF = x
F E
E punto medio de AC
m EC = 90
45
90 Por teorema del ángulo inscrito:
B 45
x mEBD = 45
D BFED es inscriptible:
x = 45
A C mEDF = 45
O
Clave: E
PROBLEMA 118
En un triángulo acutángulo ABC; las alturas AF y CE se intersecan en L.
Si la mBAC - mACB = 20 y BM es perpendicular a EF (M EF),
entonces mLBM es
A) 15 B) 20 C) 30
D) 40 E) 45
En un triángulo acutángulo ABC; las alturas AF y CE se intersecan
RESOLUCIÓN 118 en L. Si la mBAC - mACB = 20 y BM es perpendicular a EF
(M EF), entonces mLBM es
B mLBM = x
Dato: mBAC − mACB = 20
70 − → x mACB = mBAC = + 20
F
M AHB: mABH = 70 −
AEFC es inscriptible
E mACF = mBEF =
L EBM: x = 20
A H C
Clave: B
PROBLEMA 119
A) 15 B) 17 C) 34
D) 37 E) 45
En un triángulo PQR se traza la altura QH, luego HA y HB
perpendiculares a PQ y QR (A PQ, B QR) respectivamente. Si la
RESOLUCIÓN 119 mQPB = 34, entonces la mARB es
mARB = x
Q
AQBH cuadrilátero inscriptible:
Por teorema: mHQB = mHAB =
B
Pero: mQRH = mQAB = 90 −
PABR cuadrilátero inscriptible:
A x = 34
34 → 90 − mARB = 34
x
P H R
Clave: C
PROBLEMA 120
En un triángulo ABC, D es un punto de la altura BH (H AC). Si
mBAC = 30, mBCA = 50 y mDAH = 10, entonces mACD es
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 30
En un triángulo ABC, D es un punto de la altura BH (H AC). Si
mBAC = 30, mBCA = 50 y mDAH = 10, entonces mACD es
RESOLUCIÓN 120
mBCA = 50 mHBC = 40
B
mACD = x
Se construye el ABF equilátero
60
40 E Por teorema:
30 mHBC = mHFC = 40
D 40
30 mAEF = 40
30
10 x AFE isósceles
A 30 H C
BFE es isósceles
y BECD inscriptible:
40 mBED = mBCD = 30
60
x = 20
F Clave: D