Vectores PDF

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y
EMPRESARIALES
PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA ÁLGEBRA LINEAL

Vectores en ℝ2 𝑦 ℝ3

Vectores en ℝ2 y ℝ3
Designamos como vector, a aquel elemento matemático, indicado por

un segmento de recta orientado, que nos permite representar
gráficamente a una magnitud vectorial.
Los vectores se pueden representar en coordenadas o en forma
matricial a través de vectores filas o vectores columnas.
Vectores del espacio coordenadas Matriz (vector columna)

ℝ2 𝑢 = (𝑎, 𝑏) 𝑎
𝑢=
𝑏
ℝ3 𝑢 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑎
𝑢= 𝑏
𝑐

Notación: Los vectores se denotarán con letras minúsculas con una flecha arriba
tales como 𝑣, Ԧ 𝑦,
Ԧ 𝑧.
Ԧ Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como
𝐴, 𝐵 , 𝐶. En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares
y se denotarán con letras minúsculas cursivas tales como 𝑎, 𝑏, 𝑐.

• El vector nulo en ℝ3 se denota con 0 = (0,0,0). El punto (0, 0,0) se denota con “𝑂”.
• Los vectores están anclados en el origen. Sin embargo, frecuentemente visualizamos un vector
como su traslación: El vector 𝐴𝐵 está anclado en el origen pero lo visualizamos como el “vector”
que va 𝐴 hasta 𝐵. Formalmente 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴
• A veces hablamos del espacio ℝ𝑛 . Un vector en ℝ𝑛 es una 𝑛-upla (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) con cada 𝑥𝑖 ∈ ℝ.
A 𝑥𝑖 se le llama componente 𝑖-ésima del vector.

Operaciones básicas
Definición: (Igualdad)
Si 𝑣Ԧ = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ3 y 𝑤 = 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ∈ ℝ3 , entonces 𝑣Ԧ = 𝑤 si y sólo si 𝑣1 = 𝑤1 , 𝑣2 = 𝑤2 , 𝑣3 =
𝑤3 .
Definición: (Suma)
Si 𝑣Ԧ = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ3 y 𝑤 = 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ∈ ℝ3 , entonces
𝑣Ԧ + 𝑤 = 𝑣1 + 𝑤1 , 𝑣2 + 𝑤2 , 𝑣3 + 𝑤3
Definición: (Multiplicación por un escalar)
Consideremos el vector 𝑣Ԧ = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 y el escalar 𝑘 ∈ ℝ, entonces
𝑘𝑣Ԧ = 𝑘𝑣1 , 𝑘𝑣2 , 𝑘𝑣3

Producto punto o interior
1. Considérese una tienda que dispone de 2 licuadoras, 2 cocinas y 3 neveras. El

precio de una licuadora es S/. 400, las cocinas valen S/.2000 y las neveras
S/.4000. Si la tienda vende todos los electrodomésticos, ¿cuánto dinero obtendrá?
2. Pepe va a una frutería y compra 4 kg de manzanas, 5 kg de peras, 3 kg de naranjas
y 5 kg de uva. Luis compra 2 de manzanas, 2 de naranjas y 3 de uva. Se sabe que 1
kg de manzana vale S/.4, 1 de peras S/.5, 1 de naranjas S/.2 y uno de uva S/.6. Se
pide:
a. ¿Cuál es el vector de compras de Pepe? ¿Y el de Luis?
b. ¿Cuál es el vector de precios?
c. ¿Cuánto gasta cada uno de ellos?

Producto punto o interior
Definición: (Producto punto o interior)

Consideremos los vectores 𝑣Ԧ = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ3 y 𝑤 = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ3 . El producto
punto (o escalar) 𝑣Ԧ ∙ 𝑤 se define de la siguiente manera:
𝑣Ԧ ∙ 𝑤 = 𝑣1 𝑤1 + 𝑣2 𝑤2 + 𝑣3 𝑤3
Teorema (Propiedades del punto interior )
Consideremos los vectores 𝑢, 𝑣Ԧ 𝑤 ∈ ℝ3 y 𝛼 ∈ ℝ. Entonces
1. 𝑣Ԧ ∙ 𝑣Ԧ > 0 si 𝑣Ԧ ≠ 0 (El producto punto es definido positivo)
2. 𝑣Ԧ ∙ 𝑤 = 𝑤 ∙ 𝑣Ԧ
3. 𝑢 ∙ 𝑣Ԧ + 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑣Ԧ + 𝑢 ∙ 𝑤
4. 𝛼𝑣Ԧ ∙ 𝑤 = 𝛼 𝑣Ԧ ∙ 𝑤

Norma de un vector
Definición: (Norma)
Consideremos al vector 𝑣Ԧ = 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ ℝ3 . La norma de 𝑣Ԧ se denota por 𝑣Ԧ , se
define de la siguiente manera
𝑣Ԧ = 𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32
La distancia de 𝐴 a 𝐵 se define como:
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐵 − 𝐴
Observación:
𝑣Ԧ ∙ 𝑣Ԧ = 𝑣Ԧ 2

Norma de un vector
Teorema (Propiedades de la Norma)

Consideremos los vectores 𝑣Ԧ 𝑤 ∈ ℝ3 y 𝛼 ∈ ℝ. Entonces
1. 𝑣Ԧ ≥ 0 𝑦 𝑣Ԧ = 0 si y sólo si 𝑣Ԧ = 0.
2. 𝛼𝑣Ԧ = 𝛼 𝑣Ԧ
3. 𝑣Ԧ + 𝑤 ≤ 𝑣Ԧ + 𝑤 (desigualdad triangular)
4. 𝑣Ԧ ∙ 𝑤 ≤ 𝑣Ԧ 𝑤 (desigualdad de Cauchy-Schwarz)

Dirección de un vector
Se define la dirección del vector 𝑣Ԧ = (𝑎, 𝑏) como el ángulo 𝜃, medido en radianes,

que forma el vector con el lado positivo del eje 𝑥. Por convención, se escoge 𝜃 tal que
0 ≤ 𝜃 < 2𝜋. De la figura se deduce que si 𝑎 ≠ 0, entonces
𝑏
tan 𝜃 =
𝑎

Ejercicios
Calcule las direcciones de los siguientes vectores

a) 𝑎 = 2, 2
b) 𝑏 = (2,2 3)
c) 𝑐 = (−2 3, 2)
d) 𝑑 = (−3, −3)
e) 𝑒 = (6, −6)
f) 𝑓 = (0, 3)

Vector unitario
Un vector que tiene magnitud 1 recibe el nombre de vector unitario.

Normalizar. Es transformar un vector cualquiera a su vector unitario, esto se puede
conseguir de la siguiente manera:
Sea 𝑣Ԧ un vector de ℝ3 y 𝑣Ԧ su norma, entonces lo transformamos en vector unitario
cuando
1 𝑣1 𝑣2
𝑣𝑢 = 𝑣Ԧ = ,
𝑣Ԧ 𝑣Ԧ 𝑣Ԧ
Ejercicio: Normalizar los vectores
• 𝑣Ԧ = (4,4)
• 𝑤 = 2,3,4
• 𝑢 = (3,5,0)

Dirección de un vector en ℝ3
El vector 𝑣Ԧ forma un ángulo 𝛼 con el lado positivo del eje 𝑥, 𝛽 con el lado
positivo del eje y 𝑦 𝛾 con el lado positivo del eje 𝑧. Los ángulos se
denominan ángulos directores de vector 𝑣. Ԧ
𝑥0 𝑦0 𝑧0
cos 𝛼 = cos 𝛽 = cos 𝛾 =
𝑣Ԧ 𝑣Ԧ 𝑣Ԧ

Ángulo entre dos vectores
Teorema: (Forma alterna del producto interior)

El producto interior de dos vectores 𝑢 y 𝑣Ԧ es
𝑢 ∙ 𝑣Ԧ = 𝑢 𝑣Ԧ cos 𝜃,
Donde 𝜃 es el ángulo entre los vectores tal que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋.
Ángulo entre vectores:
𝑢∙𝑣 𝑢1 𝑣1 +𝑢2 𝑣2
cos 𝜃 = =
𝑢 𝑣 𝑢 𝑣

Ángulo entre dos vectores
Observe que como 𝑢 y 𝑣 siempre son positivos, entonces 𝑢 ∙ 𝑣 y cos 𝜃 siempre

tendrán el mismo signo. Además, dado que el coseno es positivo en el primer
cuadrante y negativo en el segundo, entonces el signo del producto punto de dos
vectores puede usarse para determinar si el ángulo entre ellos es agudo u obtuso,
como se observa en la figura siguiente.

Vectores ortogonales
• Dos vectores 𝑢 y 𝑣Ԧ en ℝ3 son ortogonales si

𝑢 ∙ 𝑣Ԧ = 0
• Dos vectores 𝑢 y 𝑣Ԧ en ℝ3 son paralelos si
∡ 𝑢, 𝑣Ԧ = 0 𝑜 𝜋
Es decir
𝑢 = 𝜆𝑣Ԧ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔ú𝑛 𝜆 ∈ ℝ.
Ejercicios:
• Calcule el ángulo entre 𝑢 = (1,0, 2) y 𝑣 = (−2,1, 2)
• Calcular el valor de 𝑥 para que los siguientes vectores sean ortogonales
𝑎 = (𝑥; 𝑥; −𝑥 − 2; 𝑥) 𝑦 𝑏 = (𝑥; 1; 1; 𝑥)
• Determine todo los vectores en ℝ2 que son ortogonales a 𝑎 = (4,2)
• Calcule el ángulo entre 𝑢 = (2,0,2) y 𝑣 = (0,2,2)

Ejercicios
En los siguientes ejercicios, halle el vector 𝑣 con la longitud dada que tenga la misma dirección que el
vector u.
1. 𝑣 = 4, 𝑢 = (1,1)
2. 𝑣 = 2, 𝑢 = ( 3, 3,0)
3. 𝑣 = 3, 𝑢 = 0,2,1, −1
4. 𝑣 = 2, 𝑢 = 1, −1,4,0
Halle el ángulo 𝜃 entre los vectores dados
1. 𝑢 = 3,1 , 𝑣(−2,4)
2. 𝑢 = 1,1,1 , 𝑣 = (2,1, −1)
3. 𝑢 = 0,1,0,1 , 𝑣 = (3,3,3,3)
4. 𝑢 = 1,3, −1,2,0 , 𝑣 = −1,4,5, −3,2
5. 𝑢 = 1, −1,1,0,1 , 𝑣 = (1,0, −1,0,1)

Ejercicios
En los siguientes ejercicios, determine los vectores 𝑣 que son ortogonales al vector 𝑢 dado
1. 𝑢 = (0,5)
2. 𝑢 = (−3,2)
3. 𝑢 = 4, −1,0
4. 𝑢 = 0,1,0,0,0
Determine si 𝑢 y 𝑣 son ortogonales, paralelos o ninguna de las anteriores
3 1
1. 𝑢 = 2,18 , 𝑣 = 2
,−
6
1 2
2. 𝑢 = − 3 , 3 , 𝑣 = (2, −4)
3. 𝑢 = 0,1,0 , 𝑣 = 1, −2,0
1 1
4. 𝑢 = −2,5,1,0 , 𝑣 = (4 , − 5 , 0, 1)

Ejercicios
1. ¿Cuáles de los siguientes vectores son múltiplos escalares de 𝑧 = 3,2, −5 ?

a) 𝑢 = −6, −4,10
4 10
b) 𝑣 = 2, 3 , − 3
c) 𝑤 = (6,4,10)
1 2 3
2. ¿Cuáles de los siguientes vectores son múltiplos escalares de 𝑧 = ,− , ?
2 3 4
a) 𝑢 = 6, −4,9
4 3
b) 𝑣 = −1, 3 , − 2
c) 𝑤 = (12,0,9)

Proyección ortogonal
Sean 𝑢 y 𝑣Ԧ dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de 𝑢 sobre 𝑣Ԧ es un vector denotado
por 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 , que se define por
𝑢. 𝑣Ԧ
𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 = 𝑣Ԧ
𝑣 2
Teorema: Sea 𝑣Ԧ un vector diferente de cero. Entonces para cualquier otro vector 𝑢 el vector
𝑢. 𝑣Ԧ
𝑤=𝑢− 2
𝑣Ԧ
𝑣
es ortogonal a 𝑣.
Ԧ

Ejemplo
Si 𝑢 = (2,3) y 𝑣 = (1,1). Calcule 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢

Ejercicios
Calcule 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑣 𝑢 y 𝑃𝑟𝑜𝑦𝑢 𝑣 .

1. Si 𝑢 = (2, −3) y 𝑣 = (1,1).
2. Si 𝑢 = (−1,5) y 𝑣 = (3,4).
3. Si 𝑢 = (9,2) y 𝑣 = (3,1).
4. Si 𝑢 = (5,0, 2) y 𝑣 = (2,1, 2).

Bibliografía
1. Bazán, C.; Fernández, R. Álgebra lineal para administración y economía.

Publicaciones. Universidad de Piura, 2006.
2. Larson, Ron y Falvo, David. Fundamentos de Álgebra Lineal. Sexta edición 2010.
CENGAGE Learning. Editores, S.A.
3. Mora Walter. Vectores rectas y planos. Revista digital. Matemática Educación
internet.
4. Stanley L. Grossman. Álgebra Lineal. Séptima Edición. 2012. McGraw-

Hill/INTERAMERICANA EDITORES S.A DE C.V.

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1. Bazán, C.; Fernández, R. Álgebra lineal para administración y economía.

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