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Conjuntos Perfectos - Borel
Conjuntos Perfectos - Borel
Conjuntos Perfectos - Borel
n siendo un número entero positivo o negativo (diferente de 0 y de -1), cada uno de estos
intervalos contendrá un número limitado de puntos de A. Sin embargo, estos intervalos son
infinitamente contables y cualquier punto de A está incluido en uno de ellos. (excepto el
punto cero, si pertenece a A); por lo tanto, el conjunto A es contable. Llamamos conjunto
perfecto a cualquier conjunto que sea idéntico a su derivada. Un simple ejemplo mostrará el
significado de esta denominación. Considere el conjunto A formado por puntos entre cero y
uno, sin incluir cero y uno. Está claro que el conjunto A' está compuesto por el conjunto A,
más los puntos cero y uno: el conjunto no es perfecto; se vuelve así si agregamos el cero y
uno. Asimismo, el conjunto de puntos dentro de un círculo no es perfecto, si no
consideramos todos los puntos de la circunferencia como parte de él. La definición que
acabamos de dar es la de M. G. Cantor; Jordan da una definición diferente: él llama
conjunto perfecto a un conjunto que contiene todos los puntos de su derivada, pero que
también puede contener puntos que no pertenecen a su derivada. Veremos que es casi
indiferente elegir una u otra de estas dos definiciones; cuando sea necesario especificar
diremos que un conjunto perfecto de Mr. Cantor es absolutamente perfecto, y un conjunto
perfecto de Mr. Jordan relativamente perfecto. Pero primero demostraremos el siguiente
teorema que muestra por qué esta distinción no es esencial: todo conjunto relativamente
perfecto difiere de su derivada solo por una infinidad contable de puntos.
Se trata de probar que, si un conjunto A contiene todos los puntos de A ', el conjunto B de
los puntos de A que no pertenecen a A' es contable. Supongamos, para fijar las ideas, que
todos los puntos de A pertenecen a un segmento de recta finito; Veremos fácilmente que
una prueba apenas diferente se aplicaría al caso en el que A se forma a partir de cualquier
punto de un espacio de n dimensiones. Sea b un punto de B, es decir un punto de A que no
pertenece a A '; Digo que existe un número h tal que no hay ningún punto de A 'en el
intervalo b- h, b+h. Porque, si tal número h no existiera puntos de A' tan cercanos como
queramos a b, y, en consecuencia, puntos de A tan cercanos como queramos a b, que por
lo tanto sería un punto de A' contrariamente a la hipótesis.
Este primer punto estableció, digo que, contando con cualquier número positivo, los puntos
de B tales que no hay un punto de A 'en el intervalo b-h, b+ h, están limitados en número.
En efecto. sea b1 uno de estos puntos; por hipótesis, el intervalo b1 - h, b1+h no contiene
puntos de A', por lo tanto, contiene un número limitado de puntos de A y, en consecuencia,
un número limitado de puntos de B. Sea b2, otro punto de B, no ubicado en el intervalo b1
-h, b1 + h; el intervalo b2-h, b2 + h contendrá igualmente un número limitado de los puntos
buscados. Designando por b3, uno de los puntos buscados, no perteneciendo a estos dos
intervalos, también consideramos el intervalo b3-h, b3+h.
Considere ahora una secuencia arbitraria de números positivos decrecientes que tienden a
cero, por ejemplo,
1/n,
B=sum Cn
y, cada uno de los términos de esta suma que contiene un número limitado de puntos, B es
contable. Notaremos que estamos seguros de que todo punto de B pertenece a un grupo
Cn de rango determinado, por el teorema que hemos probado primero: a todo punto b de B
le corresponde un número finito h, de modo que no hay ningún punto de A 'en el intervalo b
- h, b + h.
Considere los números racionales incluidos entre 0 y 1 y asocie a cada uno de ellos p / q el
intervalo
𝑝 1 𝑝 1
𝑞
− 3 , 𝑞
+ 3
𝑞 𝑞
|𝐸 − 𝑝 |> 1
| 𝑞 | 3
𝑞
Que existen tales números E, lo asegura la teoría de las fracciones continuas; tal es, por
ejemplo, el número sqrt {2} / 2; pero esta teoría nos enseña poco sobre el conjunto A;
además, se basa en propiedades particulares de números racionales y no se extendería, al
menos fácilmente, a la aproximación de inconmensurables por números algebraicos de una
clase determinada, por ejemplo.
Sea 0-1 un intervalo dado; su longitud es igual a uno; o a1-b1, un intervalo incluido en el
intervalo 0-1 y de longitud alfa1; es claro que el conjunto A de los puntos que pertenecen al
intervalo 0-1 sin pertenecer al intervalo a1-b1 está formado por todos los puntos de ciertos
intervalos cuya longitud total es 1-alfa1. (Si, para fijar las ideas, asumimos 0 <a1 <b1, <1,
estos intervalos son 0-a1 y b1-1).
Ahora sea a2-b2, otro intervalo incluido en el intervalo 0-1 y que no tiene ningún punto en
común con el intervalo a1-b1; sea alpha2 la longitud de a2-b2 (alpha2, como ai, es
esencialmente positiva). Es evidente que el conjunto A de los puntos del intervalo 0-1 que
no pertenecen ni a a1-b1 ni a a2-b2 está formado por todos los puntos de un número
limitado de intervalos, cuya longitud
el total es 1 - alfa1— alfa2.
De manera más general, si eliminamos del intervalo 0-1 un número limitado de intervalos
a-b1, a2-b2, …, an-bn, que no tienen parte común, y de longitudes respectivas alpha1,
alpha2 ,. . ., alfan, el conjunto A de los puntos restantes está formado por todos los puntos
de determinados intervalos, en número limitado, y cuya longitud total es
(
1 − α1 + α2 +... + α𝑛 )
Si ya no asumiéramos que los conjuntos a1-b1, a2-b2, ..., an, -bn no tienen un punto
común, la conclusión sería la misma, excepto que solo podríamos afirmar que la suma de
los intervalos cuyos puntos de A es mayor o igual que 1— (alfa1 + alfa2 + ... + alfan). En
cualquier caso, si asumimos
α1 + α2 +... + α𝑛 < 1,
Supongamos ahora que, para cada entero n, hacemos coincidir un intervalo an-bn, de
longitud alfan; en otras palabras, que eliminemos del intervalo 0-1 los puntos de una
infinidad de intervalos contables; Supongamos, además, que la serie con términos positivos
𝑠 = α1 + α2 +... + α𝑛 +...
𝑠 < 1;
¿Qué podemos decir del conjunto A formado por puntos del intervalo 0-1 que no pertenecen
a ninguno de los intervalos an-bn? Podemos notar que este conjunto puede no ser denso en
ningún intervalo; además, es fácil ver que incluye todos los puntos de los intervalos en los
que es denso; pero surge una primera pregunta ante todos esos: ¿existe este conjunto A?
es decir: podemos concluir de la desigualdad
𝑠 < 1;
que hay puntos que no pertenecen a ninguno de los intervalos an-bn? Si bien este punto es
bastante obvio, no será inútil demostrarlo con todo rigor, porque nos dará la oportunidad de
hacer varias observaciones importantes.
El intervalo a'n-b'n tiene la longitud (1 + 2e) anbn; la suma de todos los intervalos a'1-b'1,
a'2-b'2 ,. . . es por tanto s '= (1 + 2s); pero, si tenemos
𝑠 < 1,
siempre podemos elegir un número positivo e tal que tengamos
(1 + 2 · ϵ) · 𝑠 < 1.
Sin embargo, la suposición de que cualquier punto del intervalo 0-1 estaría incluido en uno
de los intervalos an-bn (sin excluir los extremos) conduciría a este resultado, que cualquier
punto está incluido en uno de los intervalos a'n- b'n (excluyendo las extremidades);
mostraremos que esta última hipótesis es incompatible con la desigualdad
𝑠' < 1.
Vamos a demostrar para ello el siguiente teorema, en el estado de lo que se entiende
expresamente que las palabras dentro de un intervalo excluyen los extremos.
Pero es obvio que si los intervalos, limitados en número N, son tales que todos los puntos
de un segmento son interiores a ellos, la suma de las longitudes de los intervalos es mayor
que la longitud del segmento. Esto no es posible si los N intervalos se eligen entre una
infinidad de intervalos, cuya suma total es menor que la longitud del segmento.
Por tanto, podemos afirmar que la hipótesis
𝑠' < 1
o, lo que equivale a lo mismo, la hipótesis
𝑠<1
tiene como consecuencia la existencia cierta del conjunto A, es decir, la existencia de
puntos que no pertenecen a los intervalos dados (sin que ahora sea necesario, además,
distinguir si se excluyen o no las extremidades).
Podemos agregar que el conjunto A no es contable, porque si fuera contable podríamos,
denotando sus puntos por α1, α2, ...., α𝑛, ..., rodear el punto α𝑛 con un intervalo de extensión
ϵ
igual a 𝑛 , y une estos intervalos a los intervalos dados; la suma se convertiría.
2
\𝑒𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜
𝑠1 = 𝑠 +
y es claro que, si tenemos
Por lo tanto, habría puntos que no pertenecerían a los intervalos a_nb_n y ciertamente no
coincidirían con ninguno de los puntos \ alpha_1, \ alpha_2 ,. . . , \ alpha_n ,. . . . Por tanto,
es imposible que este snite contable contenga todos los puntos de A; por tanto, A no es
contable.
Insistimos en esta demostración porque nos pareció probable que arrojara algo de luz sobre
la concepción que todos pueden intentar formarse por sí mismos de lo continuo. Después
de haber reflexionado sobre esta leche, que se puede eliminar en línea recta todos los
puntos incluidos en cada uno de los intervalos.
y que todavía hay puntos, en un infinito incontable, uno estará menos inclinado a creer que
sabe qué es el continuo ya razonar sobre él como en una noción intuitiva y perfectamente
clara.
Aquí hay otro ejemplo, en el que uno fácilmente podría llegar a una conclusión incorrecta.
Considere los intervalos…
Conjuntos medibles
Todos los conjuntos que consideraremos estarán formados por puntos entre 0 y 1. Cuando
se forma un conjunto de todos los puntos incluidos en una infinidad de intervalos contables
que no se invaden entre sí y que tienen una longitud total s, diremos que el conjunto tiene
como medida s. Cuando dos conjuntos no tienen puntos en común, y sus medidas son s y
s', el conjunto obtenido al unirlos, es decir su suma, tiene como medida s+s'. Además, poco
importa en la definición de la medida de un conjunto, en la de la suma de dos conjuntos,
que se descuida, o que se tenga en cuenta como se quiere de los extremos de los
intervalos, en infinito contable.
De manera más general, si tenemos una infinidad contable de conjuntos que de dos por dos
no tienen un punto común y que tienen respectivamente para las medidas s1, s2, ..., sn ,. . .,
su suma (o conjunto formado por su unión) se mide
𝑠1 + 𝑠2 +···+ 𝑠𝑛 +···
El teorema fundamental demostrado en las páginas 41-43 nos asegura que estas
definiciones nunca serán contradictorias entre sí (*); por lo tanto, somos libres de
adoptarlos; además, también estamos seguros de que la medida de un conjunto nunca será
una cantidad negativa; pero un conjunto puede tener medida cero y tener el poder de
continuo. Tal es el conjunto E considerado anteriormente. Si tomamos las notaciones de la
𝑀
página 45 y si denotamos por α𝑛la medida de 𝐸𝑛 (α𝑛 < 𝑛
) , el conjunto 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛+1 tendrá
como medida α𝑛 − α𝑛+1 (sabemos que 𝐸𝑛 contiene todos los puntos de 𝐸𝑛+1). El conjunto
A de los puntos que no pertenecen a 𝐸 𝑛 tiene por medida 1 − α𝑛 (es la diferencia del
conjunto de todos los puntos del segmento 0-1 y de 𝐸𝑛). El conjunto de puntos que no
pertenecen a E puede considerarse formado sumando a A los conjuntos 𝐸𝑛 − 𝐸𝑛+1,
𝐸𝑛+1 − 𝐸𝑛+2, ...; su medida es por tanto
( ) (
1 − α𝑛 + α𝑛 − α𝑛+1 + α𝑛+1 − α𝑛+2 +···= 1 )
ya que α𝑚 tiende a cero para m infinito. Por lo tanto, el conjunto E obtenido al restar este
conjunto del conjunto de todos los puntos 0-1, tiene medida cero.
Por tanto, un conjunto cuya medida es cero puede ser incontable; pero todo conjunto
contable tiene cero como medida; es una consecuencia fácil de lo anterior.
Los conjuntos cuya medida pueda definirse en virtud de las definiciones precedentes serán
llamados por nosotros conjuntos medibles, sin que esto implique que no es posible dar una
definición de la medida de otros conjuntos; pero tal definición nos sería inútil; incluso podría
molestarnos, si no dejara de medir las propiedades fundamentales que le hemos atribuido
en las definiciones que le hemos dado.
Estas propiedades esenciales, que aquí resumimos porque nos serán útiles, son las
siguientes; La medida de la suma de una infinidad contable de conjuntos es igual a la suma
de sus medidas; la medida de la diferencia de dos conjuntos es igual a la diferencia de sus
medidas; la medida nunca es negativa; cualquier conjunto cuya medida no sea cero no es
contable. Es especialmente de esta última propiedad la que haremos uso. Además, se
entiende expresamente que hablaremos de medición sólo en relación con los conjuntos que
hemos llamado mensurables.
Sin embargo, si un conjunto E contiene todos los elementos de un conjunto medible E1, de
medida a, podemos decir que la medida de E es mayor que α, sin preocuparnos de si E es
medible o no. Por el contrario, si E1 contiene todos los elementos de E, diremos que la
medida de E es menor que α. Las palabras superior e inferior no excluyen, además, la
igualdad.
Es fácil ver que las propiedades esenciales se extienden, con las modificaciones
adecuadas, a estas nuevas definiciones: en cierto modo, un cálculo de igualdades es
reemplazado por un cálculo de desigualdades que a veces puede prestar los mismos
servicios.
Vamos a demostrar, para terminar, una proposición importante, que mostrará la íntima
conexión entre las diversas nociones introducidas en este Capítulo: cualquier conjunto
perfecto limitado es medible.
Sea A un conjunto perfecto del cual todos los puntos están en el intervalo 0-1 y sea α un
punto de este intervalo, que no pertenece a A; Digo que existe un intervalo a-b que
comprende α y que no contiene un punto de A, siendo a y b además puntos de A. (Uno de
los puntos a o b no podría pertenecer a A; entonces coincidiría con el punto 0 o punto 1). De
hecho, siendo A perfecto, α no pertenece a A '; entonces existe un número ϵ tal que no hay
un punto de A en el intervalo α,α + ϵ, ϵ siendo positivo. Por otro lado, excluyendo el caso
donde no habría un punto de A en el intervalo α − 1, existe un número ϵ' tal que hay al
menos un punto de A en el intervalo α, α + ϵ'. Es obvio que cualquier número positivo η ,
o tiene la misma propiedad que ϵ, o tiene la misma propiedad que ϵ' y podemos ver
fácilmente que existe un número b tal que,η < 𝑏, hay ningún punto de A en el intervalo
α, α + η, mientras que hay si η > 𝑏. Ahora bien, es fácil ver que el punto b pertenece a A
o pertenece a A'; sin embargo, A es perfecto; por lo tanto, en todos los casos, b pertenece a
A. De manera similar, probaríamos la existencia de un punto a tomando ϵ y η negativos; el
intervalo a-b es el intervalo buscado.
Al mismo tiempo, esta demostración nos permite conocer los medios más generales para
construir un conjunto perfecto ubicado en el segmento 0-1. Para darse tal conjunto, basta
darse una infinidad contable de intervalos a1b1, a2b2 ,. . ., anbn, ..., sujeto a ciertas
restricciones. Podemos concluir fácilmente que el conjunto de todos estos conjuntos
perfectos tiene el poder del continuo. Veremos que, por otro lado, el conjunto de todos los
conjuntos de puntos ubicados en el segmento 0-1, tiene una potencia superior a la del
continuo. Esta observación basta para mostrar la considerable restricción que se pone a la
noción de conjunto cuando se somete un conjunto a una época perfecta y, en consecuencia,
lo natural que es que se pueda conducir así a resultados más simples.