TEORÍA DE MEDIDAS

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TEORÍA DE MEDIDAS

INTRODUCCIÓN

Las ciencias experimentales operan con valores numéricos

obtenidos como resultado de medidas y observaciones que nunca
serán exactas ya sea por imperfecciones de los instrumentos de
medida, limitaciones de nuestros sentidos o causas desconocidas.
Por otra parte, muchas magnitudes se obtienen indirectamente como
resultado de operar con medidas directas, extraidas de tablas o bien
son números irracionales; todas ellas deberán expresarse mediante
un cierto número de cifras. Todo esto obliga a admitir como
postulado el hecho de que es imposible llegar a conocer el valor
exacto de cualquier magnitud. Esta afirmación no significa que este
valor exacto no exista, simplemente que es imposible de conocer. El
objeto de la teoría de medidas consiste precisamente en acotar
dichas imprecisiones, llamándolas errores experimentales.

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

Se define el error de una magnitud como la diferencia

entre el valor exacto, imposible de conocer, y el obtenido
experimentalmente. Esta diferencia no debe considerarse como una
equivocación al llevar a cabo la medida, sino que es más bien una
incertidumbre inherente a cualquier proceso de medida y, por ello,
sería más adecuado el nombre de incertidumbre de la magnitud.

Atendiendo a las causas que originan estas incertidumbres,

clasificaremos los errores en dos grandes grupos: errores
accidentales y errores sistemáticos.

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Errores sistemáticos. Se denomina error sistemático aquél

que se mantiene constante a lo largo de todo el proceso de medida y
por tanto, afecta de igual manera a todas las medidas. Además, es el
mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo definido y sus
causas más probables son:

i. Defecto del instrumento (error de cero, por ejemplo).

ii. Error del observador, ya sea debido a una mala realización de
la medida o a una limitación física.
iii. Error en la elección del método.

Los errores sistemáticos se ponen de manifiesto al cambiar

el instrumento de medida, el observador o el método empleado.

El hecho de que un error sistemático sea el mismo para

todas las medidas permite detectarlo y corregirlo a través de un
calibrado. Un ejemplo de error sistemático sería el cometido al
medir con un termómetro defectuoso. Comparando las medidas con
las llevadas a cabo con un termómetro bien calibrado que
proporciona datos correctos, se podría, de forma sencilla, proceder a
la corrección de las medidas.

Errores accidentales. Son aquellos producidos por causas

imponderables e imposibles de controlar, que alteran aleatoriamente
la medida realizada. Las variaciones no son reproducibles y no
presentan, más que por azar, el mismo valor en dos medidas
cualesquiera.

Los errores accidentales suelen ser de valor muy pequeño y,

para un gran número de medidas, se obtienen tanto desviaciones
positivas como negativas. Los valores obtenidos se encuentran

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alrededor de un valor medio se puede considerar como el valor

exacto. Estos errores no pueden corregirse de forma inmediata como
ocurría con los errores sistemáticos, debido al carácter totalmente
aleatorio de los mismos. No obstante, aplicando técnicas estadísticas
puede obtenerse información de las fluctuaciones de los valores
medios.

EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD

A continuación pasamos a definir tres conceptos de gran

importancia en el tratamiento de datos como son: exactitud,
precisión y sensibilidad del instrumento.

La exactitud se define como la concordancia entre el valor

exacto y el obtenido experimentalmente. Según esto, un instrumento
será muy exacto si las medidas realizadas con él son todas muy
próximas al valor exacto.

La precisión se refiere al acuerdo entre las sucesivas

medidas de una magnitud, llevadas a cabo en las mismas
condiciones de trabajo. De este modo, un instrumento será muy
preciso si todas las medidas realizadas con él se encuentran muy
próximas entre sí. Lógicamente, un instrumento muy exacto deberá
ser muy preciso mientras que lo contrario, no es en general cierto.

Por último, la sensibilidad de un instrumento se define

como el valor mínimo de la magnitud que puede apreciar. Por
ejemplo, que la sensibilidad de una balanza sea de 5 mg significa
que para masas inferiores a 5 mg, la balanza no experimentará
desviación alguna. Normalmente se admite como sensibilidad el
equivalente a la división más pequeña de la escala de medida. No

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obstante, con demasiada frecuencia se toma media división como

sensibilidad, si dichas divisiones son lo suficientemente amplias.
Este último criterio no es demasiado correcto pues, aunque el
observador sea capaz de distinguir posiciones intermedias, el límite
lo impone el propio instrumento (escala suministrada por el
fabricante).

ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

Se define el error absoluto de una medida como la

diferencia

∆x = x − x0 (1)

donde x es el valor obtenido en la medida y x0 el valor exacto.

Aunque el valor exacto de la magnitud es imposible de conocer, una
buena aproximación del mismo puede ser el valor medio de las
medidas.

El error absoluto representa la desviación, en términos

absolutos, de la medida respecto al valor exacto. En consecuencia,
tendrá un significado u otro dependiendo de la magnitud del valor
exacto, por lo que es conveniente definir el concepto en términos
relativos. Se define el error relativo de una medida como el
cociente entre error absoluto y el valor exacto de la magnitud

∆x
εr = (2)
x0

En forma porcentual se expresará como εr·100.

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EXPRESIÓN DE LAS MEDIDAS

Cuando presentamos un valor debemos acompañarlo de su

error absoluto correspondiente, de manera que cualquier resultado
se expresará de la forma:

x ± ∆x (3)

Se acepta por convenio que el error absoluto puede tener

como máximo dos cifras significativas. Sólo puede darse con dos
cifras significativas si la primera de ellas es un 1, o si siendo la
primera un 2, la segunda no llega a 5. En todos los demás casos
debe darse un valor con una sola cifra significativa, aumentando la
primera en una unidad si la segunda fuera 5 o mayor que 5. Por
tanto, no tendrá sentido expresar el valor exacto de la magnitud con
mayor precisión que su cota de imprecisión. Por consiguiente, una
magnitud deberá expresarse con tantas cifras significativas como
indique su valor absoluto. Así, por ejemplo, sea una cierta longitud
L que toma el valor L = 12.432 cm y sea su error absoluto ∆L =
0.254 cm. En primer lugar aplicaremos los criterios mencionados:
aunque la primera cifra significativa es un 2, no podemos poner la
segunda por ser ≥5, no obstante redondearemos la primera cifra
significativa. Por lo tanto el valor de la longitud será L = (12.4±0.3)
cm.

Cuando se trata de números grandes puede surgir un

problema al indicar el número de cifras significativas. Pongamos
por ejemplo que al medir la distancia de la tierra al sol, se obtiene
como resultado (149500000±5000) km. Según lo expuesto en el
párrafo anterior, esta distancia está correctamente expresada y por
simple observación, puede afirmarse que los tres últimos ceros de la

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distancia son cifras no significativas mientras que los dos más

próximos al 5 sí lo son. Vemos entonces que esta forma de expresar
el resultado no distingue entre cifras significativas y no
significativas. En este caso, es conveniente adoptar la nomenclatura
científica y expresar el resultado en potencias de 10, de modo que
todas las cifras que aparezcan sean significativas. De esta forma, la
distancia de la tierra al sol es (149500±5)·103 km.

A continuación se incluyen ejemplos de valores correcta e

incorrectamente expresados.

Valores Valores
incorrectos correctos
3.4128±0.123 3.4±0.1
6.3±0.091 (630±9)·10-2
46288±1540 (46±2)·103
428.351±0.27 428.4±0.3
123432.23±99.2 (1234±1)·102

En el caso de un valor obtenido a partir de una tabla, en la

que no figura el error absoluto, se tomará el correspondiente a una
unidad de la última cifra significativa incluida en la tabla. Por
ejemplo, si en una tabla aparece para la densidad del agua el valor
0.99823 g/cm3, tomaremos como error absoluto 0.00001 g/cm3.

DETERMINACIÓN DE ERRORES EN MEDIDAS

DIRECTAS. NUMERO DE MEDIDAS.

Intentemos ahora determinar el valor exacto de una

magnitud por medida directa con un instrumento, así como el error

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asociado, expresándolo con las cifras necesarias para su posible uso

en el cálculo de una magnitud indirecta que dependa de ella.

Muchas magnitudes, bien por la naturaleza de las mismas, o

bien por la sensibilidad del instrumento de medida, son difíciles de
determinar, obteniéndose valores diferentes en sucesivas tomas de
datos. Es conveniente en estos casos tener en cuenta criterios
estadísticos que validen el resultado final. Para ello deben realizarse
medidas individuales, cuyo número dependerá del grado de
dispersión de las mismas. El procedimiento a seguir se detalla a
continuación.

Se realizan tres medidas de la magnitud y se calcula el valor

medio x de los tres valores obtenidos. Asimismo, se calcula la
dispersión D de las medidas, entendiendo por dispersión la
diferencia entre los valores extremos de las medidas, y finalmente
se obtiene el tanto por ciento de dispersión T%:

⋅ 100 (% )
D
T= (4)
x

El valor de T% determinará el número total de medidas

necesarias, de forma que la media de las mismas sea representativa

T% de las 3 primeras medidas Nº total de medidas necesarias

T% ≤ 2% 3 medidas
2 % < T% < 8 % 6 medidas
8% < T% < 15 % 15 medidas
T% > 15 % al menos 50 medidas

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Una vez realizadas las medidas necesarias, se toma como

valor exacto de la magnitud el valor medio de todas las medidas.

El error se calcula, dependiendo del número de datos

tomados, del siguiente modo:

i. Se han realizado tres medidas. En este caso se tomará como

incertidumbre absoluta el valor de la sensibilidad del
instrumento utilizado

∆x = Sensibilidad (5)

ii. Se han realizado seis medidas. En este caso se toma como

error absoluto el mayor valor entre la sensibilidad del instrumento y
la cuarta parte de la dispersión

∆x = max { S , D / 4} (6)

iii. Se han tomado quince medidas o más. En este caso el error

absoluto vendrá determinado por el error estándar de la media.

1/ 2
 N 2
 ∑ ( xi − x ) 
∆x =  i =1  (7)
 N (N − 1) 
 

donde xi es cada una de las N medidas y x el valor medio de

las mismas.

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DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES INDIRECTAS

Muchas magnitudes no se miden directamente, sino que son

el resultado de aplicar una fórmula. En estas fórmulas intervienen
una serie de magnitudes que sí son medibles directamente y que
vienen afectadas de un error de medida, tal y como se ha descrito en
el apartado anterior.

Asimismo, para los números irracionales tendremos que

fijar un número de cifras en su aproximación real de modo que no
afecte al resultado final. En caso de no saber cuál sería el número de
cifras que no afectan a dicho cálculo, es posible asociar a un número
irracional un error absoluto igual a la unidad del orden de la última
cifra que se tiene en cuenta. Por ejemplo podremos tomar como
valor adecuado π = 3.142±0.001.

A continuación describimos el cálculo del error absoluto

para una magnitud indirecta.

Sea F una magnitud indirecta función de otras magnitudes

directas (x,y,z,...) relacionadas con ella, de las cuales se conoce su
valor exacto y error absoluto

F = F ( x, y , z,...) (8)

El valor exacto de la magnitud F será resultado de sustituir

en la expresión anterior los valores exactos de las magnitudes de las
que depende.

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Para conocer el error absoluto de F, procederemos al

cálculo de la diferencial total, que se expresa mediante la siguiente
ecuación:

∂F ∂F ∂F
dF = dx + dy + dz + ... (9)
∂x ∂y ∂z

La diferencial se interpreta como la variación que sufre la

función F por modificación del valor de las variables de las que
depende. Así, el error absoluto ∆x en la determinación de por
ejemplo, la variable x, se sustituirá en dx, hallándose cómo afecta a
la función F. Tendremos una fórmula que nos permitirá evaluar el
error absoluto asociado a una magnitud indirecta, suponiendo
conocidos los valores medios y errores de las magnitudes directas
de las que depende. Concretamente, tendremos que, en general:

∂F ∂F ∂F
∆F = ∆x + ∆y + ∆z + ... (10)
∂x ∂y ∂z

Los valores absolutos se han introducido para tener en

cuenta que los errores siempre deben hacer incrementar el error de
la magnitud indirecta ∆F.

La determinación de los errores de una magnitud indirecta

se simplifica notablemente para el caso de funciones de la forma:

F = xa yb zc ⋅ ⋅ ⋅ (11)

con a, b, y c constantes positivas o negativas. Para esta dependencia

se cumple que:

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ln F = a ln x + b ln y + c ln z + ... (12)

lo que significa que la diferencial de ln(F) será:

d ln F = ad ln x + bd ln x + cd ln z + ... (13)

la cuál, teniendo en cuenta que

du
d ln u = (14)
u
se reduce a

dF dx dy dz
= a + b + c + ... (15)
F x y z

donde, si de nuevo sustituimos las diferenciales por los errores

absolutos, llegaremos a la expresión:

∆F ∆x ∆y ∆z
=a +b +c + ... (16)
F x y z

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

En algunas ocasiones es conveniente expresar los resultados

experimentales en forma de gráfica y no en tabla. Esta forma de
presentación tiene las siguientes ventajas:

a) Permite una visualización global del fenómeno en todo el

intervalo en que se han obtenido medidas experimentales.

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b) Es posible conocer datos que no se han medido, de forma

sencilla, siempre que estos se encuentren en el intervalo
representado.

c) Se ponen de relieve las medidas que se han determinado

incorrectamente ya que se observa una anormal separación
respecto del resto de datos.

Para que una gráfica tenga utilidad deberá ajustarse a una

serie de normas que faciliten la obtención de la máxima
información. Las principales reglas son las siguientes:

a) La gráfica debe realizarse en papel milimetrado con los ejes

bien trazados y en cuyos extremos se indicará la magnitud
que ha sido medida así como las unidades de la misma.

b) La gráfica llevará un título en la parte superior que sea

suficientemente explícito del fenómeno en cuestión.

c) Por lo general, la variable independiente se representará en

abscisas y la dependiente en ordenadas.

d) Las escalas han de escogerse de forma que comprendan

solamente los intervalos dentro de los cuales existen datos a
representar.

e) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a

las divisiones de modo que las mismas quedarán
uniformemente espaciadas. Nunca se indicarán en los ejes
los valores correspondientes a los datos experimentales. Es

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conveniente utilizar divisiones sencillas con el objeto de

facilitar la lectura de los datos.

f) Los valores se representarán sobre el papel mediante un

punto, no una cruz, correspondiente al dato experimental y
rodeado por el denominado rectángulo de error. Este
rectángulo está centrado en el punto experimental (x,y) cuya
base abarca desde x-∆x hasta x+∆x y cuya altura abarca
desde y-∆y hasta y+∆y.

En el caso en que ∆x sea despreciable en comparación con

la escala utilizada, el rectángulo de error se reduce a un segmento
vertical y si ∆y es despreciable se reduce a un segmento horizontal.
En caso de que ambos errores sean despreciables el rectángulo de
error se reduce a un punto.

g) Una vez representados los valores, se traza la gráfica

mediante una línea fina y continua, nunca quebrada, que
ajuste lo mejor posible el mayor número de datos. Si el
fenómeno es lineal se trazará la línea recta obtenida
mediante el análisis de regresión de los datos.

h) Si, una vez representada la gráfica, se observa un punto

claramente desplazado de la recta o línea que en general
deba ajustar el fenómeno habrá que rechazarlo y, a ser
posible, repetir la medida. Este punto erróneo nunca se
incluirá en el posible análisis de regresión.

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 TEORÍA DE MEDIDAS
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AJUSTE DE UNA RECTA POR EL MÉTODO DE LOS

MÍNIMOS CUADRADOS

Gran cantidad de fenómenos físicos siguen un

comportamiento lineal o se pueden redefinir magnitudes que
presenten comportamientos lineales:

y = ax + b (17)

Algunos ejemplos de comportamiento lineal son:

i. Relación entre la fuerza deformadora ejercida sobre un muelle

y la elongación del mismo dentro de la zona elástica

F = − K ∆l (18)

En este caso, la pendiente a se corresponde con la constante

elástica del muelle K y la ordenada en el origen b es cero.

ii. Relación entre el cuadrado del periodo de un péndulo y la

longitud del mismo

4π 2
T =
2
L (19)
g

En este caso la pendiente a es 4π2/g y la ordenada en el

origen vuelve a ser cero.

El método de los mínimos cuadrados permite conocer si los

datos (xi ,yi) describen un comportamiento lineal. Este método nos

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proporciona un coeficiente r, denominado coeficiente de

correlación lineal, que nos da cuenta del grado de adecuación de la
nube de puntos a una recta. En valor absoluto, puede tomar valores
comprendidos entre cero y uno. Un valor de r igual a la unidad
indica que los puntos se ajustan perfectamente a una recta, mientras
que, a medida que r se acerca a cero los puntos se encuentran más
dispersos. La expresión del coeficiente de correlación es la
siguiente:

N N N
N ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
r= i =1 i =1 i =1
(20)
 N 2  N  2
 N 2  N  2 
 N ∑ xi − ∑ xi    N ∑ yi −  ∑ yi  
 i =1  i =1   i =1  i =1  
 

Lógicamente, los errores implícitos en cualquier medida

harán que los puntos obtenidos no den lugar a una recta sino que, a
lo sumo, se sitúen en una zona cercana a la misma. Los parámetros
pendiente a y ordenada en el origen b de la recta y = ax + b, que
mejor se ajusta al conjunto de N puntos medidos, (xi ,yi), i = 1,...,N,
se determinan mediante las siguientes ecuaciones

Pendiente de la recta

N N N
N ∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i
a= i =1 i =1 i =1
2
(21)

N
 N
N ∑ x −  ∑ xi 
2
i
i =1  i =1 

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Ordenada en el origen

N N N N

∑x ∑ y − ∑x ∑x y
2
i i i i i
b= i =1 i =1 i =1 i =1
2
(22)
N
 N 
N ∑ x −  ∑ xi 
2
i
i =1  i =1 

El análisis por mínimos cuadrados permite además calcular

los errores de ambas magnitudes

1/ 2
 N 2 
 ∑ ( yi − axi − b ) 
∆a =  i =1 N
 (23)
 (N − 2 ) ( x − x )2 
 ∑
i =1
i


1/ 2
  N 2 
 1  ∑ ( yi − axi − b ) 
∆b =   + N
(x )  i =1
2
 (24)

 N ( 2 
xi − x ) 
( N − 2) 
 ∑ 

 i =1 

INTERPOLACIÓN

Con frecuencia se precisan datos que se encuentran

registrados en tablas. Normalmente en estas tablas se presenta una
magnitud y, en función de una variable independiente x, es decir
que se cumple que y = f (x); o en función de dos variables
independientes x y z, es decir, y = f (x,z). En el primer caso, la tabla

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TEORÍA DE MEDIDAS
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se denomina de entrada simple y en el segundo la tabla es de

entrada doble.

Interpolación en tablas de entrada simple

Supongamos que queremos conocer el valor de y para un

valor de x no tabulado. El primer paso consiste en determinar los
dos valores x1 y x2 de la tabla entre los cuales se encuentra el dato x.
Si a estos valores corresponden las variables independientes y1 e y2
respectivamente, el valor y correspondiente a x se obtiene mediante:

y = y1 +
( y2 − y1 ) (x − x ) (25)
( x2 − x1 ) 1

Esto equivale a suponer que, entre x1 y x2, la variación de y

con x es de tipo lineal.

El error de y será:

y2 − y1
∆y = ∆x (26)
x2 − x1

Interpolación en tablas de doble entrada

En las tablas de doble entrada cada pareja de valores x, z

proporciona un valor de y. En este caso hay que determinar los
valores entre los que se encuentra el punto x, z. Expuesto en forma
de tabla

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 TEORÍA DE MEDIDAS
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x1 x2
Z1 y11 y12
Z2 y21 y22

La relación aproximada que permite el cálculo de y es:

y21 − y11 y − y11

y = y11 + ( x − x1 ) + 12 ( z − z1 ) (27)
x2 − x1 z2 − z1

y su error puede calcularse a través de:

y21 − y11 y − y11

∆y = ∆x + 12 ∆z (28)
x2 − x1 z2 − z1

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TEORÍA DE MEDIDAS
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EJEMPLO DE ELABORACIÓN DE UN INFORME DE

PRÁCTICAS

Determinación de la aceleración de la gravedad mediante un

péndulo simple

El periodo de oscilación para el péndulo simple, cuando la

amplitud de las oscilaciones es pequeña, puede escribirse como:

L
T = 2π (29)
g

donde T es el periodo de oscilación, L la longitud del péndulo y g la

aceleración de la gravedad. Elevando al cuadrado ambos miembros
se obtiene:

4π 2
T2 = l (30)
g

donde se identifica claramente un comportamiento lineal entre el

periodo al cuadrado T2 y la longitud l.

En esta experiencia pretendemos determinar la aceleración

de la gravedad midiendo el periodo de oscilación a distintas
longitudes.

En primer lugar es necesario establecer cómo se determina

experimentalmente el periodo de oscilación. El periodo en un
movimiento periódico corresponde al tiempo que debe transcurrir
para que se produzca una repetición. Normalmente suele ser

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 TEORÍA DE MEDIDAS
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pequeño, al menos para medirlo directamente. Por esto se suele

medir el tiempo invertido en n oscilaciones y posteriormente se
determina indirectamente el periodo. En concreto en este estudio se
ha elegido el número de 20 oscilaciones ( n = (20±1) osc ).

A continuación vamos a explicar detalladamente la toma de

dos parejas de datos (longitud, periodo).

Ejemplo 1

Fijamos una determinada longitud y la medimos con una

cinta métrica cuya sensibilidad es 1 mm. Si la repetimos tres veces
obtenemos el mismo resultado

L = (10.0±0.1) cm

A continuación medimos el tiempo que invierte el péndulo

en realizar 20 oscilaciones. En este caso es necesario realizar más de
una medida para poder ofrecer un valor estadísticamente
significativo de la misma.

Empezamos realizando tres medidas

t (s) 12.62 12.90 12.01

La dispersión de estas tres medidas es D = 12.90-12.01 =

0.89 s, la media es t =12.51 s y finalmente la tasa de dispersión
(ecuación (5)) es de 7.11 %. Esto nos indica, según el criterio
anteriormente expuesto, que habrá que realizar tres medidas más.

t (s) 12.64 12.71 12.69

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TEORÍA DE MEDIDAS
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Podemos observar como el tanto por ciento de dispersión

T% de las seis medidas es de 7.07 %, por lo que podemos
considerar como dato significativo, la media de las seis medidas,
t =12.595 s, ya que: 2% < T% < 8%. En este caso el error de la
medida será el mayor número entre la cuarta parte de la dispersión
(0.2225 s) y la sensibilidad (0.01 s). El tiempo medio que se obtiene
es t = (12.60±0.22) s.

Finalmente, el cálculo del periodo así como su error se

realiza indirectamente a través de la ecuación:

t
T= (31)
n

Puesto que T = f ( t , n), el error se calcula derivando

parcialmente con respecto a estas dos variables, es decir

1 t
∆T = ∆t + − 2 ∆n (32)
n n

con lo que el periodo para una longitud de (10.0±0.1) cm es de

(0.63±0.04) s.

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 TEORÍA DE MEDIDAS
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Ejemplo 2

L = (80.0±0.1) cm

t (s) 35.83 35.91 35.79

D = (35.91-35.79) = 0.12 s
t =35.843 s
T% = 0.33 %

En este caso observamos como es suficiente con la toma de

tres medidas pues T% < 2 %, con lo que el dato representativo es la
media y el error la sensibilidad:

t = (35.84±0.01)s

Finalmente y aplicando las ecuaciones mencionadas

anteriormente podemos decir que el periodo para una longitud de
(80.0±0.1) cm es de (1.79±0.09) s.

Nota: se deben realizar los cálculos con todas las cifras

decimales aplicando al resultado final los criterios acerca del
número de cifras significativas.

Mediante la misma el mismo método se obtuvo un estudio

completo de la dependencia T con L, que debe presentarse
correctamente en una tabla.

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TEORÍA DE MEDIDAS
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T (s) L (cm)
0.63±0.04 10.0±0.1
0.90±0.05 20.0±0.1
1.10±0.06 30.0±0.1
1.27±0.06 40.0±0.1
1.42±0.07 50.0±0.1
1.55±0.08 60.0±0.1
1.68±0.08 70.0±0.1
1.79±0.09 80.0±0.1
1.90±0.10 90.0±0.1
2.01±0.10 100.0±0.1

De la misma forma tenemos que calcular el cuadrado del

periodo (magnitud indirecta) y su error correspondiente

T 2 = T ⋅T (33)

∆T = 2T ∆T (34)

T2 (s) L (cm)
0.40±0.05 10.0±0.1
0.81±0.09 20.0±0.1
1.21±0.13 30.0±0.1
1.61±0.15 40.0±0.1
2.02±0.20 50.0±0.1
2.4±0.3 60.0±0.1
2.8±0.3 70.0±0.1
3.2±0.3 80.0±0.1
3.6±0.4 90.0±0.1
4.0±0.4 100.0±0.1

31
 TEORÍA DE MEDIDAS
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Antes de realizar la regresión lineal que nos permite obtener

la recta que mejor se ajusta a estos puntos experimentales, resulta
conveniente representarlos para detectar posibles puntos
experimentales erróneos.

5,0

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5
T2 / s2

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L/m

Tras comprobar que todos los puntos tienen el

comportamiento regular esperado, pasamos a realizar el ajuste por
mínimos cuadrados. Si no se dispone de algún método automático
que nos permita obtener los diferentes parámetros del citado método
(calculadoras científicas o programas informáticos), la forma más
sencilla de realizarlo es mediante una tabla como la que se muestra
a continuación:

32
 x=l (m) y=T2 (s2) x·y x2 y2 x-xm (x-xm)2 y-a·x-b (y-a·x-b)2
0.1 0.3969 0.03969 0.01 0.15753 -0.45 0.2025 -0.00544 0.00003
0.2 0.81 0.162 0.04 0.6561 -0.35 0.1225 0.0054 0.00003
TEORÍA DE MEDIDAS

0.3 1.21 0.363 0.09 1.4641 -0.25 0.0625 0.00313 9.8094e-6

0.4 1.6129 0.64516 0.16 2.60145 -0.15 0.0225 0.00377 0.00001
0.5 2.0164 1.0082 0.25 4.06587 -0.05 0.0025 0.005 0.00002
0.6 2.4025 1.4415 0.36 5.77201 0.05 0.0025 -0.01117 0.00012
0.7 2.8224 1.97568 0.49 7.96594 0.15 0.0225 0.00647 0.00004
0.8 3.2041 2.56328 0.64 10.26626 0.25 0.0625 -0.0141 0.0002
0.9 3.61 3.249 0.81 13.0321 0.35 0.1225 -0.01046 0.00011
1 4.0401 4.0401 1 16.32241 0.45 0.2025 0.01737 0.0003
∑ 5.5 22.1253 15.48761 3.85 62.30376 0.825 0.00088
2
(∑) 30.25 489.5289
media 0.55
2
(media) 0.3025
____________________________________________________________

33
 TEORÍA DE MEDIDAS
____________________________________________________________

Sustituyendo en las ecuaciones los correspondientes

términos (sombreado) obtenemos:

a = 4.02266 ∆a = 0.01157
b = 0.00007 ∆b = 0.00718
r = 0.99997

es decir

a = (4.022±0.012) s2/m b = (0.000±0.007) s2

Ahora ya podemos representar la ecuación de la recta de

regresión uniendo dos puntos teóricos, como por ejemplo:

L = 0.2 m → T2 = 0.80 s2
L = 0.8 m → T2 = 3.22 s2

5,0

4,5

4,0

3,5

3,0

2,5
T2 / s2

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
L/m

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TEORÍA DE MEDIDAS
____________________________________________________________

A continuación, se calcula el valor de la aceleración de la

gravedad a partir de la pendiente de la recta de ajuste.

Identificando términos tenemos:

4π 2
a= ;b=0 (35)
g

de donde puede despejarse g:

4π 2
g= (36)
a

4π 2
∆g = − ∆a (37)
a2

Finalmente, sustituyendo se obtiene

g = (9.81±0.03) m/s2

Además, conviene fijarse en el valor de r, próximo a la

unidad y por tanto, las variables T2 y L están relacionadas
linealmente. También se debe comprobar que b se encuentra
efectivamente próximo a cero, como predice la ecuación (30).

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