Resumen de Leyes de Composición (Parte 2)
Resumen de Leyes de Composición (Parte 2)
Resumen de Leyes de Composición (Parte 2)
m mm
mm
Una ley de composición interna *, definida sobre un conjunto À posee la
si para cada
tres elementos cualesquiera
z del conjunto Àse verifica:
* *
* es decir, si
d m
mmñ Una ley de composición interna * definida sobre un conjunto Añ Posee propiedad conmutativa si,
(xî) (xy) : î * y = y * î
m m
mm
mm
Si la ley de composición interna * es asociativa y conmutativa, el resultado final es
independiente del orden en que se tomen los elementos y de la forma de agrupar éstosñ
En efecto, si con objeto de fijar ideas nos referimos a los cuatro elementos î z y las igualdades inmediatas que siguen nos prueban la
certeza de la tesisñ
* * z * =
* z] * =
* * z)] *
* z) * * (z * *
Si un elemento î es regular por la izquierda y por la derecha, se dice Cuando todos los elementos de un conjunto, sobre el que
se ha establecido una ley *ñ son regulares, diremos que dichos elementos son
para dicha leyñ
º
Se dice que un elemento de un conjunto À, en el que ha definido una operación interna *, es Ôpor
para dicha ley si, para
todo î G Àse verifica:
(1) î * = î
Análogamente, se dice que G À es un elemento Ô para la Ley * si, xî G À, se verifica:
(2) *î=î
(3) (x î, î G À) : = * î = î
J
= * î
de donde
*î= î
Luego es también neutro por la izquierda para la ley * y, por tanto, es neutro para la repetida leyñ
Luego:
=
4)
Si una ley interna *, sobre un conjunto Àposee un elemento neutro , se dice que el elemento î` G À es
con
Podemos concluir que es a su vez simétrico de " es decirñ que:
(4) ##=
-1 -1
En efecto, si tuviera dos simétricos î1 y î2 , se tendría;
-1 -1
î1 *
y
î2
Por otra parte, si tenemos en cuenta la asociatividad de la ley * y las igualdades anteriores, podremos escribir;
-1 &' -1 &'
î1 * (
*
% ) = î1 * =
'
de donde
-1 &'
î2 =
'
-1 -1 -1
(5) (î * y) = î * y
En efecto:
&' &'
î * ( *
) = î *
=
&' &'
( *
) * (î * y) =
&' &'
que por tanto el simétrico de î * y es *
En efecto:
-1 -1 -1 -1
î * y = î * z ^ î * (î * y) = î * (î * z) ^ (î * î) * y = (î * î) * z ^ * yJ* z ^ y = z
Luego î es regular por la izquierdañ Análogamente se demuestra que es también regular por la derecha y que, por tanto es regularñ
ÿ
Sea Añ un conjunto dotado de dos leyes de composición interna * y -ñ Diremos que la ley respecto a la ley * es distributiva por la izquierda con
respecto a la ley - si se verificañ
(1) (x î) (x y) (x z): î * (y - z) = (î * y) - (î * z)
(2) (x î) (x y) (x z): î - (y * z) = (î - y) * (î - z)
è c Si la ley * es conmutativa y, además, es distributiva por la izquierda (o bien por la derecha) con respecto a la ley - la ley * es
distributiva con respecto a la ley -
î * (y - z) = (î * y) - (î * z) = (y * î) - (z * î) = (y - z) * î
(î1 - î2)* (y1 - y2) = (î1 y1 ) - (î1 y2) - (î2 y1) - (î2 y2)
!
"
f: (Į, ) G ȍ î A ĺ Į * G
1ñ Si el conjunto Àestá dotado de una ley interna +, que llamaremos diremos que la ley eîterna es distributiva con respecto a
la adición en À, sí se verifica:
(1) (x ) (x î) (x y): (î + y) = ( î) * ( - y)
2ñ Si los conjunto y Àestán dotados de una ley de composición interna +, que llamaremos diremos que la ley eîterna es
distributiva con respecto a la adición en , sí se verifica:
(2) (x Į) (x ) (x î): (Į + î = (Į î) + ( î)
3ñ Si el conjunto À esta dotado por una ley interna , que llamaremos multiplicativa, diremos que hay una asociatividad miîta entre la
ley eîterna y la Multiplicación en À, si se verifica:
(3) (x ) (x î) (x y): (î y) = (Į · î) · y = î (Į · y)
4ñ Si el conjunto esta dotado por una ley interna ·, que llamaremos multiplicativa, diremos que hay una asociatividad miîta entre la
ley eîterna y la Multiplicación en ®, si se verifica:
(4) (x Į) (x ) (x î): Į · ( · î) = (Į · ) · î = · (Į · î)