La funcion de produccion de:

Cobb - Douglas

Condori Ticona Jhovany Jorge

MAT-125, Análisis Matemático II, INF-FCPN-UMSA
12/11/2020

Resumen

Utilizando el método de los mı́nimos cuadrados y la tabla de datos estadı́sticos de la economı́a de los
Estados Unidos obtenida gracias a que fue publicada los datos corresponden a los años de 1899 a 1922,
gracias a esos datos procedimos a determinar los valores de α y b que corresponden a la función de
producción de Cobb-Douglas. Pudiendo llegar a los resultados exigidos utilizando una hoja de calculo
en Excel.

PL,K = 1, 01 · L0,75 · K 0,25

α = 0, 75
b = 1, 01

Palabras clave : función de producción, datos estadı́sticos, economı́a Estadounidense, deducción

algebraica

Abstract

Using the least squares method and the table of statistical data of the United States economy obtained
thanks to the publication of the data corresponding to the years 1899 to 1922, thanks to these data
we proceeded to determine the values of alpha and b corresponding to the Cobb-Douglas production
function. Being able to reach the required results using an Excel spreadsheet.

Keywords: production function, statistical data, American economy, algebraic deduction

1. Introduccion yectar ası́ su crecimiento económico esperado.

Esta funcion fue publicada en el año 1928 por
Esta investigación tiene como objetivo princi- Charles Cobb y Paul Douglas, personajes quienes
pal determinar los valores correspondientes de: b realizaron un estudio en el que se modeló el creci-
y α de la función de producción de Cobb-Douglas miento de la economı́a estadounidense durante el
. perı́odo de 1899 a 1922.
La función de producción Cobb Douglas es un en-
foque neoclásico para estimar la función de pro-
ducción de un paı́s. De esta forma, pudiendo pro-
yectar ası́ su crecimiento económico esperado.
La función de producción Cobb Douglas es un en-
foque neoclásico para estimar la función de pro-
ducción de un paı́s. De esta forma, pudiendo pro-

1
 en Amherst College de Massachusetts. En 1928,
Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estu-
dio en el que modelaron el crecimiento de la eco-
nomı́a estadounidense durante el perı́odo 1899 -
1922. A su juicio, una visión simplificada de la
economı́a en la que la salida de producción se
determina por la cantidad de mano de obra ne-
cesaria y la cantidad de capital invertido. Mien-
tras que hay muchos otros factores que afectan al
rendimiento económico, su modelo demostró ser
extraordinariamente preciso. También fue autor
Figura 1:graficacion de la funcion de Cobb - de varios libros y artı́culos en su tiempo, incluyen-
Douglas. do: ’El desarrollo asintótico para una determinada
función integral de orden cero ”, publicado en
Para realizar este trabajo se dará a conocer in- 1913, mientras trabajaba para lograr su doctorado
formación tanto de Charles Cobb como de Paul en Matemáticas.
Douglas, ası́ también la fórmula matemática co-
rrespondiente ya que la misma se utilizo para des-
cribir el crecimiento de la economı́a estadouniden-
se. Una ves obtenidos los resultados de este análi-
sis experimental se ara la debida comparación en-
tre los resultados originales y los obtenidos me-
diante este experimento utilizando el método de
los mı́nimos cuadrados.

2. Objetivos
2.1. Objetivo General
- Replicar el trabajo de Cobb - Douglas .

2.1.1. Objetivo Especifico

- Encontrar los valores de b = 1,01y α = 0,75 Figura 3.1: Charles Cobb
utilizando el método de los mı́nimos cuadrados -
Mediante una tabla proporcionada identificar di-
chos valores. 3.2. Paul Douglas
Paul Howard Douglas (1892 - 1976) fue un eco-
3. Marco Teórico nomista y polı́tico estadounidense. Paul Douglas
obtuvo su licenciatura del Bowdoin College en
En esta parte del trabajo daremos a conocer la 1913. En la Universidad de Columbia obtuvo su
información sobre los personajes Cobb y Douglas. maestrı́a en 1915 y su doctorado en Economı́a en
1921. Además, entre 1915 y 1916 habı́a estudiado
Ciencias Económicas en la Universidad de Har-
3.1. Charles Cobb
vard. Nacido en Massachusetts y criado en Maine
Charles Wiggins Cobb (1875-1949) fue un ma- , Douglas se graduó de Bowdoin College y de la
temático y economista norteamericano. Publicó Universidad de Columbia . Se desempeñó como
numerosos trabajos sobre las dos materias, sin em- profesor de economı́a en varias escuelas, sobre to-
bargo, es principalmente conocido por el desarro- do en la Universidad de Chicago , y se ganó la
llo de la función de producción Cobb-Douglas en reputación de reformador mientras era miembro
la economı́a. Trabajó en este proyecto con el eco- del Ayuntamiento de Chicago (1939-1942). Du-
nomista Paul Douglas mientras daba conferencias rante la Segunda Guerra Mundial , sirvió en el

2
Cuerpo de Marines de los Estados Unidos , ascen- parámetros las siguientes variables: (a,b,c,d), que-
diendo al rango de teniente coronel y haciéndose dando ası́ la expresión de forma lineal:
conocido como un héroe de guerra. Estaba casa-
do con Emily Taft Douglas , una representante P = a + bK + cL + dI (2)
de Estados Unidos del distrito At-large de Illinois
(1945-1947). Tomando como fundamento matemático, la expre-
sión formulada por Cobb-Douglas, tenemos:

P = b ∗ Lα ∗ K β (3)
Donde:
P = Cantidad de Producción
b,L,K = Productividad
α, β = constantes con un rango de intervalo cerra-
do de: [0; 1]

3.4. Deducción algebraica de la fun-

ción de producción de Cobb-
Douglas
Para dar continuidad al desarrollo de este tra-
bajo, la función de producción de Cobb-Douglas,
interpreta y sobrelleva los siguientes puntos cita-
dos a continuación:
• Si la mano de obra o capital se reduce, la produc-
ción también se reduce en la misma producción.
• La productividad marginal de la mano de obra
es proporcional a la cantidad de producción por
Figura 3.2: Paul Douglas. unidad de mano de obra.
• La productividad marginal del capital es propor-
3.3. Funcion de Produccion cional a la cantidad de producción por unidad de
capital.
En economı́a, la función de producción repre-
senta la máxima cantidad que se puede producir Ası́ entonces la función de producción de
de un bien económico con unos recursos; por lo Cobb-Douglas queda expresada en la siguiente
tanto es una aplicación que a un vector de recursos ecuación:
le hace corresponder un escalar que representa la P = b · Lα · K 1−α (4)
cantidad producida. La función de producción de
un productor relaciona la cantidad usada de facto- Por tanto para determinar los valores de b y α,
res de producción con la producción obtenida gra- procedemos al método de los mı́nimos cuadrados.
cias a ella. El productor puede ser una economı́a,
un sector productivo o una determinada industria. 3.5. Regresión lineal de la función de
Esta función de producción queda expresada en la
Cobb- Douglas para un caso en
siguiente ecuación:
particular
P = f (K, L, I) (1)
Para la obtención de los valores de b y α, co-
Donde menzamos linealizando la función de producción
P = Cantidad de Produccion expresada en la ecuación 4, mediante la aplica-
K = Insumo cion de logaritmos neperianos, como se puede ver
L = Insumo a continuación:
I = Insumo +3
De acuerdo a la ecuación 1, tomamos como 9//

3
 Ası́ entonces, la ecuación queda expresada co- Tabla 1. Datos estadı́sticos de la economı́a de los
mo se muestra a continuación: Estados Unidos (1899-1992).

P L
Ln( ) = Ln(b) + α · Ln( ) (5)
K K
5. RESULTADOS Y ANÁLISIS
4. MARCO EXPERIMENTAL A partir de la tabla 1, podemos renombrar
nuestras expresiones de la siguiente forma:
Para la obtención de la ”función de producción,
se tomo como referencia los datos publicados por L
 
el Gobierno Estadounidense desde el año 1899 a Ln =x
K
el año 1922, donde la existencia de variables defi- P
 
nidas estipulan los siguientes significados: Ln =y
K
P = Producción total De esta forma podemos determinar la media de
L = Cantidad de mano de obra los valores de x, la media de los valores de y, la me-
K = Cantidad de capital invertido dia de los valores de x · y y la media de los valores
de x2 ; datos los cuales se presentan en la siguiente
tabla:

4.1. Datos Experimentales x y x·y x2

0,000 0,000 0,000 0,000
La obtención de datos fue tomada de la pu-
-0,019 -0,058 0,001 0,000
blicación del gobierno estadounidense a continua-
cion podremos observar dichos datos en la tabla -0,036 -0,018 0,001 0,001
1. -0,042 0,000 0,000 0,002
-0,071 -0,055 0,004 0,005
Año P L K -0,131 -0,123 0,016 0,017
1899 100 100 100 0,176 -0,027 0,005 0,031
1900 101 105 107 -0,196 -0,070 0,014 0,038
1901 112 110 114 -0,229 -0,153 0,035 0,052
1902 122 117 122 -0,408 -0,384 0,157 0,167
1903 124 122 131 -0,325 -0,245 0,080 0,106
1904 122 121 138 -0,347 -0,269 0,093 0,120
1905 145 125 149 -0,378 -0,345 0,130 0,143
1906 152 134 163 -0,377 -0,244 0,092 0,142
1907 151 140 176 -0,414 -0,249 0,103 0,171
1908 126 123 185 -0,473 -0,367 0,174 0,224
1909 155 143 198 -0,534 -0,342 0,182 0,285
1910 159 147 208 -0,488 -0,281 0,137 0,238
1911 153 148 216 -0,526 -0,389 0,205 0,277
1912 177 155 226 -0,599 -0,495 0,297 0,359
1913 184 156 236 -0,680 -0,574 0,390 0,463
1914 169 152 244 -0,741 -0,566 0,420 0,549
1915 189 156 266 -1,049 -0,846 0,888 1,101
1916 225 183 298 -0,985 -0,585 0,577 0,970
1917 227 198 335 -9,224 -6,686 4,000 5,462
1918 223 201 366
1919 218 196 387 Tabla 2. Obtención de los valores de x, y, xy y x2 ,
1920 231 194 407 respectivamente.
1921 179 146 417
1922 240 161 431 Ası́ entonces, nuestros valores corresponden a:

4
 Ası́ el valor del intercepto es: b = 0, 0081.
n
X
xi = −9, 224 Mediante la Tabla 2, de las columnas x, y, al
i=1
proceder con la gráfica cuya cual fue realizada en
n
X excel, podemos observar la siguiente gráfica 4:
yi = −6, 686
i=1
n
X
xi · yi = 4, 000
i=1
n
X
xi2 = 5, 462
i=1

De esta forma procedemos a reemplazar los

../../Pictures/Screenshots/Captura de pantall
datos en la siguiente expresión matemática de la
pendiente:
 Pn
( i=1 xi )·( ni=1 yi )
Pn P 
i=1 xi · yi − n
m=  Pn
Pn 2 ( i=1 xi )2  (6)
i=1 xi − n

Donde n, representa el numero de datos.

Quedando lo siguiente:
Gráfica 4. Función de Producción, con la
obtención de la media y el intercepto.
(−9,224)·(−6,686)
4, 000 − 24
m= Ası́, igualando los términos de la ecuación 5
(−9,224)2
5, 462 − 24 con la ecuación de la pendiente de la gráfica 1, ob-
4, 000 − 2, 560 tenemos:
m=
5, 462 − 3, 546
1, 44 L
m= 0, 7373X + 0, 0047 = Ln(b) + α · Ln( )
1, 92 K
m = 0, 75
Ası́:
Por tanto nuestra pendiente es: m = 0, 75. a = 0, 75
b = Ln(b)
Para hallar el valor del intercepto de la recta
procedemos a aplicar la siguiente expresión: De b = Lnb, aplicando las operaciones adecua-
das tendremos lo siguiente:
Pn 2 Pn Pn Pn
( i=1 xi ) · ( i=1 yi ) − ( i=1 xi · yi ) · ( i=1 xi ) b = Ln(b)
b=
n · ( ni=1 xi2 ) − ( ni=1 xi )2 0, 008 = Ln(b)
P P
(7) eLn(b) = e0,008
Reemplazando los valores en la expresión (7),
b = 1, 008
tenemos:
Por tanto, redondeando valores; el valor de α =
0, 75 y el valor de b = 1, 01, reemplazando en la
(5, 462) · (−6, 686) − (4, 000) · (−9, 224)
b= expresión 4:
24 · (5, 462) − (−9, 224)2
0, 377
b= P = b · Lα · K 1−α
46, 005
b = 0, 00819 P = 1, 01 · L0,75 · K 1−0,75

5
 Quedando ası́: Bibliografı́a
PL,K = 1, 01 · L0,75 · K 0,25 (8) [1] Mankiw G. (2006). Macroeconomı́a. Barce-
lona. Antoni Bosch Editor. Samuelson P.A.
α b Nordhaus W.D. (1992). Economı́a. Madrid.
0,75 1,01 Me. Graw Hill.

6. CONCLUSIONES [2] Gilat A. (2006). MATLAB Una introducción

con ejemplos prácticos. España. Editorial Re-
Como nos propusimos recrear la función de verte.
Cobb-Douglas y tras llevar a cabo un análisis ma-
temático profundo pudimos llegar a nuestro obje- [3] https://economipedia.com
tivo el cual era hallar los valores de α y b de la /definiciones/funcion-de-produccion-cobb
función de producción de Cobb - Douglas, con el -douglas.html: :text=La %20
uso del método de los mı́nimos cuadrados y lle- funci %C3 %B3n
vando a cabo las operaciones en una hoja de calcu- %20de %20producci %C3 %B3n %20Cobb,
lo en Excel operando sobre los datos que brindo el de %20producci %C3 %B3n %20de %20un
gobierno estadounidense las cuales fueron publi- %20pa %C3 %ADs.
cadas en 1928, eso nos ayudo como datos experi- text=De %20esta %20forma %2C %20la %20funci
mentales asi pudimos encontrar nuestros valores %C3 %B3n
buscados mostrados a continuación: ,al %20producto %20total
%2C %20son %20constantes.

α = 0,75 [4] Douglas, Paul H. (1934) The Theory of Wa-

b = 1, 01 ges. New York: The Macmillan Co.

Valores que siendo reemplazados en la expre- [5] Cobb, C.W. and P.H. Douglas (1948) .Are the-
sión 4, concluimos en: re Laws of Production?”; The American Eco-
nomic Review 38: 1-41
PL,K = 1, 01 · L0,75 · K 0,25
[6] Fisher, F.M. (1992) Aggregation. Aggregate
Llegando a nuestro objetivo planteado en la Production Functions and Related Topics.
parte 2 del documento presentando. Cambridge, MA: The MIT Press.