MATEMÁTICA II

CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
1er Caso: Dos triángulos serán congruentes si tienen sus tres
Dos triángulos serán congruentes si tienen dos lados y lados respectivamente de igual medida.
el ángulo comprendido entre dichos lados de igual
medida respectivamente. a a
b  b

   
a  a c c

  Lado - Lado - Lado (L - L - L)

b b

Lado - Angulo - Lado (L - A - L)




PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ
 
Cualquier punto de la bisectriz de un ángulo equidista
de los lados del ángulo:
2do. Caso: ↔

Dos triángulos serán congruentes si tienen un lado y * OQ bisectriz de  AOB

los ángulos adyacentes a dicho lado respectivamente Se cumple:
de igual medida. A
E

  N Q
0


   
1 1 F
B

Angulo - Lado - Angulo (A - L - A) NE = NF

OE = OF
En otra grafica:
 N A

º º º º
O
º
Q

P
Max M
X

Ludwi
º

3er. Caso: R
T

g
1
Planck
 MATEMÁTICA II

PQ = PR OQ = OR Altura
BH = Bisec triz
PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ Mediana
Mediatriz
Si sobre la mediatriz de un segmento se ubica un punto
cualquiera, entonces dicho punto equidista de los
extremos del segmento. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
a mediatriz de AB 01. Determinar el valor de “X”
*
* “O” punto cualquiera de a 

a 
0 

x

02. Determinar el valor de “X”

A B
x
OA = OB  

En otra grafica: 

03. Hallar “x + y”.

10
A P B x 2+1  y+3

2y
AMB  Isósceles
L→Mediatriz 04. Hallar “x”:

x° 10°
TRIÁNGULOS PARTICULARES
1. Triángulos Isósceles:
En todo triángulo isósceles la altura relativa a la
base también es: bisectriz, mediana y mediatriz.

05. Si: AB = BC y AM = 4 cm. y CN = 6 cm

Max
Hallar “MN”.
l l

Ludwi
 
A C
H

g
2
Planck
 MATEMÁTICA II

N 10. Calcular AE, si BD = 4, DE = 1, BC = 5 y

B BC // AE.
M B C



C
A D

A) 10 B) 7 C) 21 A E
D) 9 E) N.A.
A) 3 B) 4 C) 5
06. De la figura; hallar “x” D) 2 E) 1

 REFORZANDO MI APRENDIZAJE
5
01. En el gráfico, hallar AC. Si: ED=5u y FG=8
3
E
3 B F

x
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) N.A. D G
A C
07. Hallar: CD, si BC = 2 y AC = 4.
B A) 18U B) 11 C) 6,5
D) 10 E) 13
C
02. Hallar “x”:

x° 20°
A D

A) 4 B) 2 C) 2 √5
D) 3 E) N.A.

08. Del gráfico. Hallar el valor de “x”. Si BC =4

C A) 18 B) 20 C) 23
D) 24 E) 15
B

3. Si : AB = BC y AM = 2u y CN = 5u
15° Hallar 2 MN.
15° N
B
x
M
A) 16 B) 17 C) 18
D) 20 E) 21
C

Max
A
09. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la
bisectriz interior CQ corta a la altura BH en D. A) 14 u B) 7 C) 21
Calcular la longitud de BD, sabiendo que AB=5m y D) 9 E) N.a.

Ludwi
AQ = 3 m.
A) 0,5 B) 1 C) 2 04. De la figura; hallar “x”
D) 2,5 E) 3

g
3
Planck
 MATEMÁTICA II

B y la mediana BM. Calcular MN. Si AB = 4 y BC

x
= 8.
5
2 a) 2 b) 4 c) 6
3 d) 8 e) 10
2
 10. En un triángulo ABC se traza la mediana BM se
elige Q sobre BC con la condición AB = QC. En el
A) 2 B)  C) +30 triángulo BMQ se traza las mediana MP. Hallar
D) 30 E) 45 MPC, sabiendo que ABC= 70°

05. Hallar: CD, si BC = 1 y AC = 4. a) 30° b) 35° c) 40°

B d) 45° e) 50°
C

A D

A) 2 B) 5 C) 6
D) 9 E) 12

06. En la figura; AG = AF y EC = CD. Calcular “”

B
a) 45° 
b) 40° E
c) 50° 
d) 30°
e) 60° A
F C D

07. En la figura AC = CD = DF;  +  = x. Calcular “x”.

A
a) 60° F

b) 30°

c) 45°
d) 50° x
e) 40°
B C D E

08. En la figura mBCA = mFEA y mDCE =

mFAE. Calcular x + y + z
C
a) 150° y
B x z D
b) 240°
c) 180°
d) 120°
e) 135°
F
Max
A

09. Se tiene un triángulo ABC en el cual por el vértice C

E
Ludwi
g
se traza CN perpendicular a la bisectriz exterior del

4
Planck
 MATEMÁTICA II

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
DE
TRIÁNGULOS
I. PROPORCIONALIDAD: ................................................................
Definición.- Se dice que dos números (a y b) son ................................................................
proporcionales a otros dos números (c y d) ................................................................
cuando la razón geométrica de los primeros sea ................................................................
igual a la razón geométrica de los segundos: ................................................................

Es decir: Aplicación del Teorema de Thales en un triángulo

a c
b d B
Si: MN // AC

1. Teorema de Thales: BM BN
M N =
MA NC
Tres o más rectas paralelas determinan sobre
otros dos secantes a ellas segmentos cuyas
longitudes serán proporcionales entre si. A C

A D Ejm: Si MN // AC . Hallar:
L
1 B

E 4 6
B L
2
M x N
9
C F L
3
A C

Si L1 // L2 // L3 2. Teorema de la Bisectriz Interior

AB DE AB DE
= También : =
BC EF a b
AC DF m=n
a x b
Ejm: Si L1 // L2 // L3. Hallar x

m n
L
1

4
x-2 Ejm: Hallar x.
L
2

x+2 B C
6
L 45°
3
45°
x
a

................................................................
................................................................
A
4

M
Max a D
................................................................
................................................................
................................................................
................................................................
Ludwi
................................................................
................................................................

g
................................................................

5
Planck
 MATEMÁTICA II

................................................................
................................................................
70°
................................................................ 20° 20°
................................................................
................................................................

3. Teorema de la bisectriz Exterior: 4 2 x

................................................................
................................................................
a b
m=n
................................................................
................................................................
a
b ................................................................
................................................................
n
m 4. Teorema de Menelao:

B
Ejm: Hallar x

 M
12
x N

 
A C P

................................................................ AM . BN . CP = MB . NC . AP
................................................................
................................................................ Ejm: Hallar x :
................................................................ B

................................................................
................................................................
M
N

PROPIEDAD
B x
A 6 T 2 C P

................................................................
................................................................
................................................................
1° 2° 3°
A M C N
................................................................
................................................................
................................................................
Si BM  bisectriz interior y ................................................................
BN  bisectriz exterior

AM AN
=
MC CN 5. Teorema de Ceva

 Regla Práctica
1° total
=
2° 3° Max
Ejm: Hallar x Ludwi
g
6
Planck
 MATEMÁTICA II

B Dos triángulos serán semejantes si tienen un

mismo ángulo y los lados que lo forman son
proporcionales.
M N

a 
m
A  
P C
b n
AM . BN . CP = MB . NC . AP

II. SEMEJANZA: a b
Si : =
m n
Definición:
Dos triángulos serán semejantes cuando los ángulos
de uno de ellos sean iguales a los ángulos del otro; 3. Tercer Caso:
como consecuencia. Sus lados respectivos serán Dos triángulos serán semejantes si sus lados son
proporcionales entre si: proporcionales entre si.

B N a b 
m n
 

c p

A     P
C M
Si: a b c
= =
m n p
^ M^
A=
Si: B^ = N^   ABC   MNP PROPIEDADES:
1.
C^ = P^ B

AB BC AC
 = = =K M N
MN NP MP

A C
K: razón de semejanza
Ejm: Los lados de un triángulo miden 2, 8 y 12.  ABC  
Hallar el mayor lado de otro triángulo semejanteMN
al // AC MNB
primero cuyo perímetro es 182.
2.
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: M N

B
1. Primer Caso:

Dos triángulos serán semejantes si tienen dos A C

ángulos iguales.

 ABC  
MN // AC
Max
MNB



   3. Si: AB // MN // CD

2. Segundo Caso:
Ludwi
g
7
Planck
 MATEMÁTICA II

D
C m
B
x +1
N b
A n
a
2x
E l
A C 3x B 9 D
M
MN=
ab A) 3 B) 4 C) 6
a+b D) 7 E) 5

4.  04. GN / / AC . Hallar AC . Si G es baricentro y

a GN = 4
B

n
m N
G

A T C
a2 = m . n
A) 8 B) 10 C) 12
D) 14 E) 16
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
05. Siendo L1 // L2 // L3 .Hallar BC
01. En la figura mostrada. Si m // n // t A E
Hallar x: L1
1
5k - 5
B F
m L2

x+2 5k +1 4
x
n C G
L3

4x 15 l
A) 5 B) 10 C) 15
D) 7/5 E) 8
A) 0,75 B) 1,5 C) 1,42
D) 2,5 E) 1,75 06. En la figura, calcular los valores de “a” , “b” y “c” y
a2 . b
02. En la figura mostrada. Si m // n // l // t Halle : E= c
Hallar x. Si: L1 // L2 // L3 // L4 // L5

m L1
x 2 a 8
n L2
3x+2 2y +1 3 6
L3
l
5 c
6 y L4
t
b 4
L5

A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3
A) 10
D) 4,8
Max
B) 6,4
E) 7,2
C) 3,2

03. En la figura mostrada. Si m // n // l. y

Hallar x.
AB // CD .
07. De la figura mostrada, hallar
BN, Si MN / / AC y AC =
Ludwi 16 ; MN = 4 ;

g
BC = 12

8
Planck
 MATEMÁTICA II

B A E
L1
B F L2

M N C G L3
D H L4

A C

A) 1 B) 2 C) 3 A) 3/4 √2 M B) 2/3 √3 C) 1,5

D) 4 E) 5
AM = x − 1 ; MB = x + 2 , NB = 6 , D) 3/2 √2 E) 2,5
08. De la figura:
NC = x – 3 .¿Qué valor puede tomar “x” para L1 // L2 // L3 .
⃗ ⃗ ⃗
02. En la figura: x // y,
que MN sea paralela a AC ? Si BC = 2m, CD = 3m, DE = 4m y AB=12m.
Hallar FG.
B x
y
A

M N L1
I B
C
E D
  L2
A C
L3
G F H
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8 A) 29/3 M B) 56/3 C) 59/3
D) 12,5 E) 21
09. En la figura hallar BE .Si EC = 10.
ED = 6, AD = 10 03. En la figura mostrada: CI // BH // AG .
B Si: CD = 4m, AB = = 2m, DE=2m, EF =4m
y IH = 3m. Hallar: GH.
E D

C C E I
A
D
A) 2,8 B) 0,8 C) 4, 4 B F
H
D) 3, 2 E) N.A.
A G
A) 3/5 m b) 3/4 m C) 1 m
10. En un triángulo ABC, AB = 15, BC =13 D) 2/3 m E) 0,5 m
y AC = 14. Se traza la bisectriz BD .
Hallar: AD 04. En la figura mostrada L // L1 // L2 // L3 .
Si AB = 4m, CD = 2m, MN = 6m.
A) 2,5 B) 5,5 C) 6,5 Hallar: PQ
D M
D) 7,5 E) 8 L
C N L1

REFORZANDO MI APRENDIZAJE B

A
Max P

Q
L2

L3
L1 // ⃗
⃗ L2 // ⃗
L3 // ⃗
L4 .
01. En la figura:
Si BC = 4m; CD = 2m EF = 1,5 m y FG=3AB.
Hallar: GH
A) 8 m
D) 24 m
Ludwi
B) 12 m
E) 6 m
C) 10 m

g
9
Planck
 MATEMÁTICA II

05. En la figura mostrada: MNPQ es un cuadrado. Si:

FM = 2m y QT = 6m. Hallar: BE. √ 10 √ 15
B A) 3/5 M B) 3/5 M C) 2/3

N P
√7 M
E D) 3,5 M E) 2
F T

A M C
Q

POLÍGONOS

DEFINICIÓN:
Es la porción del plano limitado por una región
poligonal cerrada.
B y

x
C
A  
z
II. Por el número de sus lados:
 
E D Nombre Nombre
Lados Lados
ELEMENTOS: 3 Triángulo 9 Nonágono
4 Cuadriláte 10 Decágono
 Lados: AB, BC, CD 5 Pentágono 11 Endecágo
 Vértices: A, B, C 6 Hexágono 12 Dodecágo
 Ángulos Internos:  7 Heptágon 15 Pentadec
 Ángulos externos: x, y, z 8 Octógono 20 Icoságono
 Diagonal: AC, AD, BD
III. Por sus Lados y Ángulos
CLASIFICACIÓN:
a) Polígono Equiángulo: Es aquel polígono que
I. Por su forma de su contenido: tiene ángulos iguales.
a) Polígono Convexo: Son aquellos polígonos
en los que al trazar una recta secante a su Ejemplo: EL RECTÁNGULO
perímetro ésta lo corta en 2 puntos. B C

Max
A D

b) Polígono Equilátero: Es aquel polígono que

tiene sus lados iguales.
b) Polígono Cóncavo: Son aquellos polígonos en
los que el trazar una recta a su perímetro ésta
corta en más de 2 puntos.
Ejemplo: EL ROMBOLudwi
g
10
Planck
 MATEMÁTICA II

7) El número total de diagonales:

A C
n(n−3 )
¿ DT =
2
D
8) Número total de diagonales medias:
c) Polígono Regular: Es aquel polígono que tiene n(n −1)
lados y ángulos iguales. N ° DM =
2

60° 9) Suma de las medidas de los ángulos exteriores

60° 60° ∑ ∠ Ex = 360°

10) Número de diagonales trazadas a partir de “M”
vértices consecutivos:
PROPIEDADES GENERALES:
Sea “n” número de lados del polígono, se cumple: ( M +1)( M +2)
¿ N ° d = Mn −
2
1) ¿ n= ¿ v = ¿ ∠ i = ¿ ∠ e ¿

n = lados PROPIEDADES EN UN POLÍGONO REGULAR (O

v = vértices EQUIÁNGULO) DE “N” LADOS
i = ángulos internos
e = ángulos externos 1) Medida de un ángulo interior
180(n − 2)
2) En todo polígono de “n” lados si de un vértice M ∠i =
n
trazamos sus diagonales, se determinan:
2) Medida de un ángulo exterior
n−3: diagonales
360°
M ∠e =
n
3) En todo polígono de “n” lados el número de
diagonales medias trazadas de un lado es: 3) Medida de un ángulo central
¿d. M=n − 1 360°
M ∠ central =
n
4) En todo polígono de “n” lados el número de
triángulos determinados al trazar las diagonales de
un vértice es: PROPIEDADES ESPECIALES
1) Número de ángulos rectos a que equivale la suma
¿ Δs = n − 2 de la medida de los ángulos interiores:

5) En todo polígono de “n” lados el número de N ° . ∠ s Re ctos = 2(n − 2)

cuadriláteros determinados al trazar las diagonales
medias desde un lado, es: 2) Número de ángulos llanos a que equivale las sumas

Max
de la medida de los ángulos internos
 sn2
N ° . ∠ s llanos = (n − 2)
6) La suma de los ángulos internos de un polígono de
“n” lados es:
Ludwi
3) Máximo número de ángulos interiores agudos de un
polígono convexo.
∑ ∠ i = 180 (n − 2)
g
11
Planck
 MATEMÁTICA II

N ° Máximo = 3  Rpta:

4) Mínimo número de ángulos interiores obtusos de un 07. Hallar el número de diagonales de un polígono
polígono convexo. regular cuyo ángulo exterior mide 40°.

N ° Mínimo = n − 3  Rpta:

08. Si el ángulo exterior de un polígono regular mide

36°. ¿Cuál es la suma de las medidas de los
ángulos interiores de dicho polígono?

 Rpta:

09. ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono

regular si un ángulo exterior mide 24°?
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
 Rpta:
Resuelve los siguientes problemas:
10. ¿Cuánto mide el ángulo interno de un icoságono
01. Se tiene un polígono cóncavo de 7 lados. ¿Cuál es regular?
la suma de las medidas de sus ángulos interiores?

 Rpta:  Rpta:
02. Sumando las medidas de los ángulos interiores de 11. En un cuadrado de lado 12 cortamos las cuatro
un polígono convexo obtenemos 540°. ¿Cuántos esquinas. ¿Qué polígono resulta luego del corte?
lados tiene dicho polígono?
 Rpta:
 Rpta:
03. La suma de las medidas de los ángulos interiores 12. ¿Cómo se llama el polígono que tiene 44
de un polígono equivale a tantas veces un ángulo diagonales?
recto como lados tiene el polígono. ¿Cómo se le
llama a este polígono?  Rpta:

 Rpta:
13. Hallar la suma de las medidas de los ángulos
04. Cada ángulo interior de un polígono equiángulo interiores de un polígono de 102 lados.
mide 135°. ¿Cómo se llama dicho polígono de
acuerdo al número de sus lados?  Rpta:

 Rpta: 14. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular en el cual

la medida del ángulo interior es 8 veces la medida
05. En un polígono descubrimos que se pueden trazar del ángulo exterior?
594 diagonales. ¿Cuántos lados tiene dicho
polígono?
 Rpta:
 Rpta:

06. Dado un polígono, se advierte que desde uno de

Max
15. Dado un hexágono se conocen las medidas de 5 de
sus ángulos interiores que son las siguientes: 170°,
sus vértices se pueden trazar 12 diagonales.
¿Cómo se llama dicho polígono de acuerdo al
número de lados?
ángulo interior? Ludwi
80°, 90°, 175° y 115°. ¿Cuánto mide el sexto

g
12
Planck
 MATEMÁTICA II

 Rpta: 09. Hallar el número de diagonales de un polígono

regular cuyo ángulo externo mide 40°

REFORZANDO MI APRENDIZAJE a) 54 b) 45 c) 36
d) 27 e) N.a.
01. Cinco ángulos de un hexágono miden 120°; 130°;
140°; 150° y 160°. Hallar el sexto ángulo 10. Los ángulos internos de un pentágono convexo
tienen por medidas números consecutivos,
a) 20° b) 60° c) 40° expresados en grados sexagesimales. Hallar la
d) 80° e) N.a. media menor.

02. Cuatro ángulos de un pentágono miden 120°; 115°; a) 108° b) 105° c) 107°
130° y 135°. El quinto mide: d) 106° e) 109°

a) 50° b) 40° c) 30°

d) 60° e) N.a.

03. ¿Cuántos lados tiene el polígono en el cual al

aumentar su número de lados en tres, su número de
diagonales aumenta en 15?

a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
04. La suma de tres ángulos interiores consecutivos de
un pentágono es 310°. ¿Qué ángulo forman las
bisectrices interiores de los otros dos ángulos?

a) 60° b) 65° c) 70°

d) 50° c) 120°

05. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular, en el que

el ángulo externo es la mitad del interno?
a) 9 b) 12 c) 14
d) 5 e) N.a.

06. ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular en el

que el ángulo externo es la mitad del interno?

a) 9 b) 12 c) 14
d) 5 e) N.a.

07. Hallar la suma de los ángulos internos de un

polígono de 17 lados

a) 2700° b) 2400° c) 1700°

d) 1800° e) N.a.

08. ¿Qué polígono tiene 44 diagonales?

a) Decágono b) Dodecágono
Max
c) Undecágono d) Endecágono
e) Más de una es correcta Ludwi
g
13
Planck
 MATEMÁTICA II

PARALELOGRAMOS
Es aquel cuadrilátero convexo que presenta sus lados B C

opuestos respectivamente paralelos. Los n m

paralelogramos pueden ser: romboides, rombos,
rectángulos y cuadrados. m n

Si : AB / / CD y BC / / AD A D

 ABCD : paralelogramo En la figura ABCD : romboide

B b AB  BC
C
 AC  BD
180° -  m
n
a O a
m
B. ROMBO
 180° - 
B
A b D
a n a

PROPIEDADES  m m 
C
A  

1 AB = CD , BC = AD a n a

m BAD = m BCD
2 D
m ABC = m ADC
En la figura ABCD : rombo

Max
3 AO = OC , BO = OD AB = BC = CD = AD
AC  BD
A. ROMBOIDE

Ludwi
C. RECTÁNGULO

g
14
Planck
 MATEMÁTICA II

b
B C
03. En un cuadrado ABCD “M” es punto medio de
m m CD y AB=12. Calcular la distancia desde el
a a punto de intersección de AC y BM hacia AD.
m m
A) 6 B) 4 C) 3
D) 8 E) 10
A D
b 04. El perímetro de un cuadrado es 24cm. Hallar el
ABCD : rectángulo perímetro del cuadrilátero determinado por los
AB  BC puntos medios de los lados
AC = BD A) 3 2 B) 12 2 C)
24 2 D) 12
D. CUADRADO
E) N.A.
A a B

05. En un cuadrado PQTS se prolonga ST hasta R,

O tal que ST=TR. Si PR=2 5 cm. Calcular la
a a
mediana de PQRS.
45°
45° A) 6 B) 4 C) 2
D a C D) 3 E) 1

En la figura ABCD : cuadrado 06. Se tiene un rectángulo ABCD de lados AB=8,

AB = BC = CD = AD BC=6. Se trazan las bisectrices de los ángulos
interiores. Determinar de que tipo es el
AC = BD
cuadrilátero que se forma al centro.
O: centro del cuadrado
A) Cuadrado B) Rectángulo C) Rombo
EJERCICIOS DE APLICACIÓN D) Trapecio E) N.a.

01. En la figura: “x” 07. Los lados de un rectángulo ABCD miden AB=18
cm. y AD=10 cm. Se traza la bisectriz AP (P en
5 CD) y por O, punto de intersección de las
53°
diagonales del rectángulo, se traza una paralela
a AB que corta a AP en Q. Calcular OQ
x A) 8 B) 4 C) 6
D) 2 E) N.A.

08. Los lados de un rectángulo ABCD miden

A) 4 B) 4 2 C) 2
AB=9cm y AD=5cm. Se traza la bisectriz AP (P
D) 2 2 E) N.A. en CD) o por O, punto de intersección de las
diagonales del rectángulo. Se traza una paralela
02. Si ABCD es un cuadrado, hallar “x” a AB que corta a AP en Q. Hallar OQ.
12 C A) 1.5 cm B) 3 C) 4
B
D) 2 E) N.a.

Max
09. El perímetro de un rombo es 80cm. y uno de sus
x
37° ángulos agudos mide 60°. ¿Cuál es la razón
entre la diagonal mayor y la diagonal menor?

Ludwi √ 3
A) 2 B) 1/2 C) 2
A D
√3 D)
A) 16 B) 10 C) 12 E) N.A.
D) 20 E) N.A.
g
15
Planck
 MATEMÁTICA II

10. El perímetro de un rombo es 40cm. y sus

REFORZANDO MI APRENDIZAJE
diagonales son como 3 a 4. ¿Cuánto miden
01. Se tiene los puntos A, B, C, D, P y Q tales que:
dichas diagonales?
ABCD es un cuadrado, ABP y BQC son
triángulos equiláteros, donde P es un punto
A) 12 y 18 B) 14 y 16 C) 18 y 20
exterior al cuadrado, mientras que Q es un punto
D) 12 y 16 E) N.a. ˆ
interior al cuadrado. Hallar el ángulo PAQ A)
11. La diagonal mayor de un rombo mide 16 cm, y 90° B) 105° C) 120°
su perímetro 40 cm. Hallar el área del rombo. D) 135° E) 150°
2
A) 48 cm B) 12 C) 100 02. En un triángulo rectángulo ABC recto en “B” se
D) 96 E) N.a. inscribe un cuadrado MNPQ (M y Q están sobre
AC ). Siendo “O” el centro del cuadrado.
12. El perímetro de un rectángulo mide 82 cm. Y la
diagonal 29 cm. Calcular el lado menor Hallar el ángulo BOP conociendo que el
A) 15 cm B) 20 cm C) 25 cm ángulo  BCA = 57°.
D) 30 cm E) 35 cm A) 33° B) 57° C) 27°
D) 30° E) 47°
13. En el interior de un cuadrado ABCD se
construye un triángulo equilátero AFD. Calcular 03. En un cuadrado ABCD, sobre el lado CD se
la medida del ángulo AFC. AE
ubica un punto E, de modo que corta a
A) 100° B) 120° C) 130°
D) 135° E) 160° BD en F. Si mDAE=20º, calcular la medida
14.Si ABCD es un rombo, hallar “x” del ángulo FCD.
A) 10º B) 20º C) 30º
B D) 40º E) N.A.

5 04. Se tiene un rombo ABCD. Se traza AEBC (E

en BC) que corta a BD en O. Si AC=15 y AE=12.
C Hallar el perímetro del rombo.
A
A) 100 B) 75 C) 50
37° x D) 25 E) N.A.

05. En un rombo ABCD , calcular el ángulo

D
formado por las bisectrices de los ángulos BAC
y BDC
A) 2 B) 4 C) 3
A) 30º B) 90º C) 70º
D) 11 E) N.A.
D) 60º E) 45º
15.En el romboide ABCD, AP y DP son bisectrices.
06. La base de un rectángulo tienen 5 m, más que la
Calcular “” altura. Calcular la altura, sabiendo que el área
B P C 2
es de 644 m .
 A) 28 m B) 26 m C) 25 m

D) 23 m E) N.a.

Max

 
A 07. El perímetro del rectángulo que tiene por vértice
D
los puntos medios de los lados de un rombo es
A) B)  C) 50°
92 cm. y una de las diagonales del rombo mide
D) 90° E) N.A.
A) 27 cm
D) 36 cm
Ludwi
32 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del rombo?
B) 40 cm
E) N.a.
C) 34 cm

g
16
Planck
 MATEMÁTICA II

C D
08. En un rectángulo ABCD se tiene que AB=6 y
AD=8. Se traza BE (E en CD). Hallar CE
sabiendo que al área del triángulo BCE es 1/7
del área de ABED.
B H
E
A) 3 B) 2 C) 3/2
D) 1 E) N.A. A G
F
09. Encontrar DH, los rectángulos ACDF y ABHG A) 4 4 B) 8 2 C) 8
son congruentes, además CB=8. BA=2
D) 8 3 E) 6 2

CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN
R r d > R+r
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que d
equidistan de otro punto llamado centro

ELEMENTOS: 2. Circunferencias Tangentes Exteriores:

- Arco: AB

- Cuerda: AB
OE R r d = R+r
- Radio:
- Diámetro: CD d

- Tangente:
⃗T
- Secante:
⃗L
- Flecha o Sagita: MN 3. Circunferencias Secantes
M
B
E
A N
R-r < d < R+r
C D
O
L d
T

POSICIONES RELATIVAS DE DOS

4.
Max
Circunferencias Tangentes Interiores
R

CIRCUNFERENCIAS
Ludwi
d
o o1 d=R-r
1. Circunferencias Exteriores

g
d r

17
Planck
 MATEMÁTICA II

5. Circunferencias Interiores: 5. Angulo Exterior

A A A

d R  
r d<R-r 
m E m C m
B
B B C
D
C n n D n
6. Circunferencias Concéntricas:

 =( n- m )/2
r
d = cero 6. Angulo Ex – Inscrito
R A

 = ABC / 2
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 
C B
1. Angulo Central
A PROPIEDADES FUNDAMENTALES:
01.
O 
Si: L1: .......................
L1
T: .......................
B T Entonces:
x
O x = 90°
 = AB
2. Angulo Inscrito 02.
B Si: "A" y "C" son: ......... ...
.........................................
 A
Entonces:
A
B AB = BC
O
C

C
 = AC / 2
03.
3. Angulo Semi – Inscrito A C
A Si AB  CD
B
 O AB = CD

B D

C 04.
 = BC / 2 A B Si: AB CD
AC  BD

Max
4. Angulo Interior C D
A B

 05.

Ludwi
D
C

 = ( AB + DC ) / 2

g
18
Planck
 MATEMÁTICA II

Si : P Q
"M" es un punto
o de tangencia
L
OM L
M

06. R S
C
Si P, Q, R y S : son puntos de
B Si : tangencia
ABCD : Cuadrilátero
Circunscrito PQ = RS

AB + CD = AD + BC
A D
10.
B
A Si A B C D: Cuadrilátero
07.  inscrito
B
 180º
C

D
O r
F EJERCICIOS DE APLICACIÓN
A C
01. Si ABC =120°. Calcular “”. (0  centro de
Si: OF = r, es el radio de la circunferencia)
B
circunferencia inscrita
A C

AB + BC = AC + 2r
0

A) 30° B) 45° C) 50°

08. D) 60° E) 70°
C
D 02. ¿Cuánto mide el ángulo formado por dos
B tangentes trazadas desde el mismo punto, si la
cuerda que une los puntos de tangencia es igual
al radio?
A

Si : Cuadrilátero ex - inscrito
A) 90° B) 120° C) 150°
D) 180° E) 115°

AD - BC = CD - AB 03. En la figura AE es tangente, AB  150  y
m  AEC = 50° . Hallar la medida del arco BC.
09. A

B Max C
E

A) 180°
D) 150° Ludwi
B) 170°
E) 140°
C) 160°

g
19
Planck
 MATEMÁTICA II

04. Desde un punto P exterior a una circunferencia 10. En la figura, PA y PB son tangentes.
se traza la tangente PA y la secante PBC (B y C AC // PB y EB // PA. Hallar la medida del arco
en la circunferencia). Calcular el ángulo APC, EC sabiendo que APB = 80°
sabiendo que: AP = AC y BAC =48°.
A
P
A) 15° B) 24° C) 66° 80°
D) 44° E) 22°


05. En la figura, AB  70  . Calcular )° E
B
C
A
D A) 40° B) 60° C) 75°
 D) 80° E) 100°


C 11. En la siguiente figura, calcular el ángulo ^x .

B
Si: PT es tangente y AB = 100°
A) 40° B) 50° C) 60°
D) 70° D) 80° T

06. ABC y ADE son 2 secantes a una circunferencia. x°

Hallar el ángulo ABE. Si AB=BE y CE=80°.
P 40°
A) 120° B) 140° C) 100° A B
D) 80° E) 160°
A) 60° B) 75° C) 40°
07. Se dan cuerdas paralelas e iguales AB y CD. En D) 45° E) 50°
el arco AB se toma el punto E. Hallar el ángulo
AED, siendo A, B, D y C puntos consecutivos. 12. En la figura, el triángulo ABC es equilátero y
 = 100°. Calcular “”.
A) 60° B) 45° C) 90°
D) 75° E) 120° B

08. Se trazan las secantes PDA y PBC a una 

circunferencia, de modo que AB y CD sean
perpendiculares. Hallar el APC, si el arco AC E D
mide 125°. 
A C
A) 40° B) 35° C) 55°
D) 60° E) 25° A) 30° B) 60° C) 50°
D) 20° C) 40°

09. Del gráfico, calcular “x”.

13. En la figura. Hallar x̂ si: PA = AO, AB  112 

40° y O es centro de la circunferencia.

Max
B
x
X°
A

Ludwi
P
C H O
A) 55° B) 40° C) 80°
D) 65° E) 60°

g
20
Planck
 MATEMÁTICA II

A) 17° B) 34° C) 39°

D) 51° E) 56°


14. Si AB es diámetro y BD  60  . Hallar x̂
C

A B
x

A) 120º B) 60º C) 30º

D) 80º E) N.A

15. Si PQ es diámetro, hallar x̂

S R
x
30º
P Q

A) 30º B) 60º C) 120º

D) 15º E) 90º

Max
Ludwi
g
21
Planck
 MATEMÁTICA II

REFORZANDO MI APRENDIZAJE 06. Calcular el ángulo ABC, siendo B el

centro de la circunferencia, además
01. En la figura “O” es el centro de la circunferencia. AC = AP ; AP y PC son tangentes.
ˆ ˆ A
Hallar x̂ . Si BAO =20º y BCO = 30º P
B

B
O
C C
x
A) 40º B) 60º C) 120º
A D) 30º E) 150º
A) 70º B) 100º C) 90º
D) 110º E) 80º 07. En la figura, hallar x , si “O” es el centro de la
circunferencia.
02. Desde un punto E, exterior a una circunferencia
se trazan las secantes EBA y EDC . Hallar el
ˆ
x
ángulo AEC , si AC = 123º y AD es
70°
O
perpendicular a BC .

A) 33º B) 28º C) 123º A) 20º B) 70º C) 40º

D) 38º E) 66º D) 30º E) 60º

03. En la figura AB  70  .Calcular  +  
08. Hallar el arco AB
B A B
30°
  O

A
A) 40º B) 50º C) 60º A) 120º B) 40º C) 60º
D) 70º E) 80º D) 80º E) 100º

 
04. Hallar x̂ , si 4 AB  ACB 09. En la figura, hallar x̂
B A

D E
x
A D 50°
C
B C
A) 72º B) 144º C) 36º F
D) 88º E) 164º A) 100º B) 50º C) 80º
D) 130º E) N.A.

Max
05. ¿Cuánto mide el mayor ángulo formado por dos
tangentes trazadas a una circunferencia desde 10. Se dan un triángulo ABC y la circunferencia
un punto exterior; si la cuerda que une los inscrita, tangente AB en P, a AC en Q y a BC
en R. Si la suma del ángulo A con el ángulo C es
Ludwi
puntos de tangencia es igual al radio de la
circunferencia? 70°. Hallar el ángulo PQR.
A) 300º B) 60º C) 150º A) 35º B) 70º C) 110º
D) 120º E) 30º D) 55º E) N.A.

g
22
Planck
MATEMÁTICA II

Max
Ludwi
g
23
Planck