Matematica II

MATEMÁTICA II
MATEMÁTICA II Página 2
Índice
Presentación 4
Red de contenidos 5
Unidad de aprendizaje 1
DESIGUALDADES E INECUACIONES 6
1.1. Tema 1: Desigualdades e Inecuaciones Lineales 6
1.1.1. : Desigualdades: propiedades 7
1.1.2. : Inecuaciones lineales de una sola variable 8
1.1.3. : Inecuaciones racionales (método de los puntos críticos) 10
1.2. Tema 2: Inecuaciones Cuadráticas 12

1.2.1. : Definición: partes 12
1.2.2. : Inecuaciones de 2do grado (método: puntos críticos) 12
1.2.3. : Inecuaciones cuadráticas factorizables y no factorizables 13
MATRICES Y DETERMINANTES 19
2.1. Tema 3: Matrices I 19
2.1.1. : Matrices: definición 20
2.1.2. : Orden de una matriz 21
2.1.3. : Igualdad de matrices 21
2.1.4. : Tipos de matrices: Nula, Fila, Columna y cuadrada (solo definición) 22
2.2. Tema 4: Matrices II 26

2.2.1. : Operaciones con matrices 26
2.2.1.1 : Escalar de una matriz 26
2.2.1.2 : Suma 26
2.2.1.3 : Resta 27
2.2.1.4 : Multiplicación 28
2.2.1.5 : Potencia de una matriz 30
2.3. Tema 5: Matrices III 36

2.3.1. : Determinantes: Definición 36
2.3.2. : Determinante de una matriz de orden 2x2 36
2.3.3. : Determinante de una matriz de orden 3x3 37
2.3.4. : Teorema - Regla de Cramer 40
GEOMETRIA ANALITICA 46
3.1. Tema 6: Plano Cartesiano I 47
3.1.1. : Sistema de Coordenadas Cartesianas 47
3.1.2. : Distancia entre dos puntos 48
3.1.3. : Punto medio de un segmento 52
3.1.4. : Coordenadas del baricentro de un triángulo 55
3.2. Tema 7: Plano Cartesiano II 59

3.2.1. : Ángulo de inclinación de una recta. 59
3.2.2. : Pendiente de una recta 59
3.2.3. : Rectas paralelas y perpendiculares 61
IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 2

FUNCIONES Y GRÁFICAS 65
4.1. Tema 8: Funciones I 66
4.1.1. Definición intuitiva. Función de AxB 66
4.1.2. Regla de correspondencia 67
4.1.3. Dominio y rango de una función de AxB 68
4.2. Tema 9: Funciones II 69

4.2.1. Dominio y rango de una función de RxR 69
4.2.2. Restricciones del dominio 70
4.2.3. Intercepto con los ejes coordenados 73
4.3. Tema 10: Funciones III 78

4.3.1. Gráfica de una función 78
4.3.2. Funciones Básicas 79
4.3.2.1 Función Constante 79
4.3.2.2 Función Lineal 79
4.3.2.3 Función Valor Absoluto 80
4.3.2.4 Función Cuadrática 81
4.3.3. Funciones seccionadas 83
FISICA APLICADA 87
5.1 Tema 11: Introducción a la Cinemática 88
5.1.1 Objeto de estudio de la cinemática y sus aplicaciones 88
5.1.2 Velocidad y aceleración 91
5.1.3 Sistema de coordenadas 92
5.1.4 Fundamentos trigonométricos aplicados a la cinemática 92
5.1.5 Condiciones iniciales en cinemática 93
5.2 Tema 12: Cinemática 95

5.2.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) 95
5.2.2 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV) 98
5.2.3 Movimiento Parabólico 101
5.2.4 Movimiento Circular Uniforme 104
5.2.5 Movimiento Circular Uniformemente Variado 105

Presentación
Matemática II pertenece a la línea formativa, analítica y de solución de problemas, propios del
cálculo diferencial y se dicta en la Carrera Profesionales de Tecnología de Cibertec. El curso
brinda un conjunto de herramientas algebraicas y geométricas que permitirán el desarrollo de las
capacidades de abstracción y de resolución de problemas. La forma didáctica en que
presentamos los temas permitirá que sea un material complementario para afianzar el
aprendizaje de nuestros alumnos.
El presente manual de matemática II, ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de

aprendizaje (UA), las que se desarrollarán durante las 16 semanas de clases programadas.
En cada una de ellas, se hallarán los logros que se deben alcanzar al final del desarrollo de la
unidad. El tema tratado de cada UA, será ampliamente desarrollado tanto en el fundamento
teórico del tema, como en la parte práctica, los mismos que tendrán problemas desarrollados,
problemas propuestos y auto-evaluaciones que en su mayoría son problemas de evaluaciones
continuas, parciales y finales propuestas en semestres pasados. Las sesiones de aprendizaje
fomentarán la participación activa de los alumnos mediante ejercicios dirigidos, dinámicas
individuales y grupales, además de la práctica de ejercicios y problemas tipos, que le garanticen
un nivel óptimo de aprendizaje. Se utilizarán controles de desempeño con el fin de promover el
trabajo en equipo, el pensamiento crítico, la argumentación y justificación de sus ideas, así como
la comunicación.
Esta asignatura es de naturaleza práctica. Emplea las propiedades, postulados y teoremas

relativos al tema para la consecución de los logros. Finalmente, aplica conceptos y modelos
de cinemática aplicada a los cuerpos en movimiento como el movimiento rectilíneo,
movimiento circular, movimiento parabólico y movimiento armónico para su representación
como modelos matemáticos y su respectiva solución física.

Red de Contenidos
MATEMÁTICA II
FISICA
APLICADA

UNIDAD
1
DESIGUALDADES E INECUACIONES
LOGRO DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE
Al término de la unidad, el alumno, resuelve inecuaciones mediante el empleo de las gráficas del
conjunto solución en la recta de los números reales y el método de los puntos críticos. Para ello,
deben aplicar teoremas sobre desigualdades y las propiedades de los factores de potencia y
factores cuadráticos
TEMARIO
1.1. Tema 1: Desigualdades e Inecuaciones Lineales

1.1.1. Desigualdades: propiedades
1.1.2. Inecuaciones lineales de una sola variable
1.1.3. Inecuaciones racionales (método de los puntos críticos)
1.2. Tema 2: Inecuaciones Cuadráticas

1.2.1. Definición: partes
1.2.2. Inecuaciones de 2do grado (método: puntos críticos)
1.2.3. Inecuaciones cuadráticas factorizables y no factorizables
ACTIVIDADES PROPUESTAS
• Los alumnos, por medio de exposiciones dialogadas y la resolución de ejercicios por parte del profesor,
trabajarán de manera grupal y obtendrán los resultados a los ejercicios propuestos para la clase.
• Los alumnos resolverán ejercicios propuestos para que lo desarrollen en su domicilio y se revisará en
la próxima clase.

1.1. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS
1.1.1. Desigualdades: propiedades
Una desigualdad es una relación que existe entre canti"dades que tiene diferente valor.
Esta relación puede ser:

“mayor que” (>) ; “mayor o igual que” ( ≥ )”
“menor que” (<) ; “menor o igual que” ( ≤ )”
Clases:
a) Absolutas.-
Aquellas que se verifican para cualquier número real.
Ejemplos:
𝑖𝑖) 𝑥𝑥 2 + 4 > 0
𝑖𝑖𝑖𝑖) 45 > 10
b) Relativas.-.
Aquellas que se verifican sólo para determinados valores que se asignan a sus incógnitas.
Ejemplos:
𝑖𝑖) 𝑥𝑥 + 5 > 20
𝑖𝑖𝑖𝑖) 2𝑥𝑥 − 3 < 10
Propiedades
1) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑏𝑏 > 𝑐𝑐; entonces 𝑎𝑎 > 𝑐𝑐
2) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 ∈ ℝ; entonces 𝑎𝑎 ± 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 ± 𝑐𝑐
3) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 𝑑𝑑; entonces 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑

tambien
Si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 𝑑𝑑; entonces 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑
4) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 0; entonces 𝑎𝑎 × 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐

Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 < 0; entonces 𝑎𝑎 × 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐
𝑎𝑎 𝑏𝑏
>
5) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 0; entonces 𝑐𝑐 𝑐𝑐
𝑎𝑎 𝑏𝑏
<
Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 < 0; entonces 𝑐𝑐 𝑐𝑐
𝑛𝑛 𝑛𝑛
6) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 donde 𝑎𝑎 > 0 y 𝑏𝑏 > 0; entonces 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 (∀𝑛𝑛 par o impar positivo)
𝑛𝑛 𝑛𝑛
7) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 donde 𝑎𝑎 > 0 y 𝑏𝑏 > 0; entonces 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 (∀𝑛𝑛 par o impar negativo)
𝑛𝑛 𝑛𝑛
8) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 donde 𝑎𝑎 < 0 y 𝑏𝑏 < 0; entonces 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 (∀𝑛𝑛 impar positivo)
𝑛𝑛 𝑛𝑛
9) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 donde 𝑎𝑎 < 0 y 𝑏𝑏 < 0; entonces 𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 (∀𝑛𝑛 par positivo)
1.1.2. Inecuaciones lineales de una sola variable.
Son desigualdades que presentan una sola variable (incógnita) y estas tienen como máximo
exponente a la unidad.
Pasos para su resolución:
1) Se cancelan los denominadores, multiplicando el MCM de dichos denominadores. Considerando que si

es una cantidad positiva (+), la desigualdad no cambia de sentido. En cambio sí es una cantidad negativa
( - ) el sentido cambia.
2) Se realizan las operaciones indicadas transponiendo términos de un miembro a otro. Para ello, se
aísla en uno de los miembros a todos los términos que contienen a la incógnita y en el otro a los que
no la contienen.
3) Despejar la incógnita, considerando que si la cantidad que pasa al otro miembro a multiplicar o dividir
es negativa ( - ), el sentido cambia. En cambio, si es positiva (+), el sentido se conserva.
4) Graficar en la recta numérica el intervalo solución.

Ejemplo: Halle el conjunto solución de:
𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 3 𝑥𝑥 + 3
− > − (𝑥𝑥 − 4)
4 5 2
Resolución: M.C.M = 20
⟹ 5𝑥𝑥 + 5 − 4𝑥𝑥 + 12 > 10𝑥𝑥 + 30 − 20𝑥𝑥 + 80

5𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 10𝑥𝑥 + 20𝑥𝑥 > 30 + 80 − 5 − 12
93
∴ 𝑥𝑥 >
11
−∞ 0 93/11 +∞
∴⊂ 𝑆𝑆 = 𝑥𝑥 ∈< 93�11 , ∞ >
Problemas propuestos para la clase
1) Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

2𝑥𝑥+5 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 1 1
a) < 3𝑥𝑥 − 7 b) 3
− 4 ≥ 5𝑥𝑥 c) 2
− 4 > 2𝑥𝑥 + 3
3
2) Halle el conjunto solución de:

a) 4(7 − 𝑥𝑥) − 3(1 − 𝑥𝑥) > (𝑥𝑥 + 2) b) 3(𝑥𝑥 − 5) − 4(4 − 3𝑥𝑥) ≤ 2(7 − 𝑥𝑥) − 3(𝑥𝑥 −
5)
3) Resuelva la siguiente inecuación:

5𝑥𝑥 − 2 < 10𝑥𝑥 + 8 < 2𝑥𝑥 + 11
4) Resolver:
3(𝑥𝑥 − 1) 2(𝑥𝑥 − 3) 𝑥𝑥 + 1
− < +2
2 3 6
5) Resolver:
3(2𝑥𝑥 − 4) 4(2𝑥𝑥 − 5) −2(𝑥𝑥 + 1)
− ≥ +1
2 3 9
1.1.3. Inecuaciones Racionales (Lineales)

P(x) >
0
Son de la forma:
Q(𝑥𝑥) < donde P(x) y Q(𝑥𝑥) son polinomios de primer grado.
Ejemplos:
Resuelva:
2𝑥𝑥+1
a) <0
𝑥𝑥−3
Resolución:
Se recomienda usar el método de los puntos críticos. Para ello se iguala a cero cada factor:
2𝑥𝑥 + 1 = 0 y 𝑥𝑥 − 3 = 0
De donde se observa que “x” puede ser -1/2 o 3 (denominados puntos críticos).
Graficando:
Se ubica en la recta real solo los puntos críticos obtenidos ( los cuales son abiertos ) y la recta
se divide en 3 partes limitadas por dichos puntos críticos
Como la expresión es menor que cero, el conjunto solución será el intervalo que tiene el signo
menos.
C.S: ]-1/2 , 3[


3𝑥𝑥−9 𝑥𝑥 2 −9 2𝑥𝑥−8
a) <1 b) ≤0 c) >0
6𝑥𝑥+3 𝑥𝑥+3 4−8𝑥𝑥
2) Halle 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 si:
𝑥𝑥 2 2 − 3𝑥𝑥
𝐴𝐴 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/𝑥𝑥 > � ; 𝐵𝐵 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/−2 > < 4�
𝑥𝑥 − 1 7
3) Halle 𝑃𝑃 ∩ 𝑄𝑄 si:
𝑥𝑥 − 1 3𝑥𝑥 2 + 1
𝑃𝑃 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/ ≤ � ; 𝑄𝑄 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/2𝑥𝑥(6𝑥𝑥 + 5) < (3𝑥𝑥 − 2)(4𝑥𝑥 + 1)}
2 6𝑥𝑥 − 1

1.2. Inecuaciones cuadráticas
1.2.1. Definición: partes
Son inecuaciones que tienen la siguiente forma:
𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ≥ 0 o 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ≤ 0 ; 𝑎𝑎 ≠ 0
2
Teorema: Si “x” es un número real pero diferente de cero entonces 𝑥𝑥 > 0
Corolario: Sea 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 entonces

𝑥𝑥 2 ≥ 0
1.2.2. Inecuaciones de 2do grado (método: puntos críticos)
Ejemplo:
𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 ≥ 0
Factorizamos:
(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) ≤ 0
𝑥𝑥 − 1 = 0 ∧ 𝑥𝑥 + 3 = 0
⇒ 𝑥𝑥 = 1 ∧ 𝑥𝑥 = −3
𝑃𝑃. 𝐶𝐶. : {−3; 1}
+ - +
-3 0 +1
⇒ −3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ +1 ⇒ 𝐶𝐶. 𝑆𝑆. : [−3; 1]
Ejemplo:
𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 − 21 ≥ 0
Factorizamos:
(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 7) ≤ 0
𝑥𝑥 − 3 = 0 ∧ 𝑥𝑥 + 7 = 0
⇒ 𝑥𝑥 = 3 ∧ 𝑥𝑥 = −7
𝑃𝑃. 𝐶𝐶. : {−7; 3}
+ - +
-7 0 +3
⇒ 𝑥𝑥 ≤ −7 ∨ 𝑥𝑥 ≥ +3 ⇒ 𝐶𝐶. 𝑆𝑆. : 〈−∞; −7] ∪ [3; +∞〉
1.2.3. Inecuaciones cuadráticas factorizables y no factorizables

a) Inecuaciones cuadráticas factorizables
Ejemplo:
Resuelva: 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 3 ≥ 0
Resolución:
Factorizamos la expresión: (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0
Empleando el método de los puntos críticos: 3 y 1 (puntos críticos cerrados)
Como la expresión es mayor o igual a cero, entonces el conjunto solución está dado por la
unión de los intervalos que tengan el signo más:
C.S. = [−∞, 1] ∪ [3, +∞]

2𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 10 > 0
2) Resuelva:
3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 2 ≤ 0
3) Halle 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 si:
𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(3 + 𝑥𝑥)2 + (2 − 𝑥𝑥)2 ≥ 𝑥𝑥 2 + 37}
𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 + 2)2 < (𝑥𝑥 + 3)2 }
4) Halle 𝑃𝑃 ∩ 𝑄𝑄 si:
𝑃𝑃 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑥𝑥 − 2)2 ≤ 2(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 3)}
𝑄𝑄 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(𝑥𝑥 + 1)2 + 5(𝑥𝑥 − 3) ≥ 30}
b) Inecuaciones cuadráticas no factorizables

Para resolver este tipo de inecuaciones, se emplea el método de completar cuadrados, pero
teniendo en cuenta las siguientes propiedades:
1) Si 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 entonces 𝑥𝑥 2 ≥
a) (−3)2 ≥ 0 ⇒ 9 > 0
b) (√5)2 ≥ 0 ⇒ 5 > 0
c) (𝑥𝑥 + 1)2 ≥ 0 ⇒ Para cualquier valor de x resulta que (𝑥𝑥 + 1)2 es positivo o igual
CERO, luego el conjunto solución: R
d) (𝑥𝑥 − 3)2 ≤ 0 ⇒ No hay ningún valor real x tal que (𝑥𝑥 − 3)2 sea negativo (es decir,
menor que CERO) pero sí para 𝑥𝑥 = 3 ⇒ (𝑥𝑥 − 3)2 = 0. Luego, el
conjunto solución será {3}.
e) 𝑥𝑥 2 − 14𝑥𝑥 + 49 < 0
Solución: Factorizando (𝑥𝑥 − 7)2 ¡Falso!
No existe ningún número real x tal que (𝑥𝑥 − 7)2 dé como resultado un número
negativo o menor que CERO.
C.S.: ∅
2) Si 𝑥𝑥 2 ≤ 𝑚𝑚 siempre y cuando m sea positivo.

Entonces: −√𝑚𝑚 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √𝑚𝑚
Ejemplo:
Resuelva: 𝑥𝑥 2 ≤ 25. Considerar que x debe ser positivo
Resolución:
Si 𝑥𝑥 2 ≤ 𝑚𝑚 entonces −√𝑚𝑚 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √𝑚𝑚

Si 𝑥𝑥 2 ≤ 25 entonces −√25 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √25
−5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5
𝐶𝐶. 𝑆𝑆. = 𝑥𝑥 ∈ [−5; 5]
3) Si 𝑥𝑥 2 ≥ 𝑚𝑚 siempre y cuando m sea positivo.

Entonces: 𝑥𝑥 ≥ √𝑚𝑚 ∨ 𝑥𝑥 ≤ −√𝑚𝑚
Ejemplo:

Resuelva: 𝑥𝑥 2 ≥ 49
Resolución:
Si 𝑥𝑥 2 ≤ 𝑚𝑚 entonces 𝑥𝑥 ≥ √𝑚𝑚 ∨ 𝑥𝑥 ≤ √𝑚𝑚

Si 𝑥𝑥 2 ≤ 49 entonces 𝑥𝑥 ≥ √49 ∨ 𝑥𝑥 ≤ √49
𝑥𝑥 ≥ 7 ∨ 𝑥𝑥 ≤ −7
Gráficamente:
−∞ -7 +7 +∞
∴ 𝐶𝐶. 𝑆𝑆. : 𝑥𝑥 ∈ 〈−∞, −7] ∪ [7, ∞〉

1) Halle el conjunto solución de la siguiente inecuación:

𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 72 > 0
2) ¿Cuántos valores enteros satisfacen a la siguiente inecuación?

𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 2 < 0
3) Sean los conjuntos:

𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15 < 0}
𝐵𝐵 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 4 ≥ 0}
Halle 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵
4) Resuelva:
a) 2𝑥𝑥 + 5 > 4𝑥𝑥 − 7 Rpta 𝑥𝑥 ∈ 〈−∞, 6〉
b)
2
+
5
< −1 Rpta 𝑥𝑥 ∈ 〈−5, −1〉 ∪ 〈2,5〉
𝑥𝑥+1 𝑥𝑥−5
c) 3(𝑥𝑥 − 2) + 2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) > (2𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 4) Rpta 𝑥𝑥 ∈ 〈1, ∞〉

d) 2𝑥𝑥 + 7 < 6𝑥𝑥 − 5 Rpta 𝑥𝑥 ∈ 〈3, ∞〉
1 1 19
e) 4
− 3𝑥𝑥 < 5 + 2 𝑥𝑥 Rpta 𝑥𝑥 ∈ 〈− 14 , ∞〉
f) 3𝑥𝑥 2 − 11𝑥𝑥 + 5 > 0 Rpta 𝑥𝑥 ∈ 〈−∞,

11−√61 11+ 61
〉 ∪ � √ , ∞⟩
6 6
5) Determine: 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵, 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 𝑦𝑦 𝐵𝐵 − 𝐴𝐴, sabiendo que:

𝐴𝐴 = ⟨−20, −7] ∪ ⟨4, 15] ∪ [30, 47⟩
𝐵𝐵 = ⟨−12, 0] ∪ ⟨7, 30] ∪ ⟨40, 50]

Problemas propuestos para la casa
Inecuaciones de primer grado
1. Si se tiene:
𝐴𝐴 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/1 − 2𝑥𝑥 ∈ [−11, 11⟩}

6𝑥𝑥 + 2
𝐵𝐵 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/ + 4 ≤ 4𝑥𝑥 + 1 ≤ 8 + 3𝑥𝑥�
2
𝐶𝐶 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(𝑥𝑥 + 1)2 > (𝑥𝑥 − 1)2 }
2𝑥𝑥 + 16
𝐷𝐷 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(𝑥𝑥 + 7) ≥ 2 + �
3
Halle:
𝐾𝐾 = (𝐴𝐴 ∪ 𝐷𝐷) ∩ (𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶)
2. Si se tiene:
2 1
𝐴𝐴 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/ < � , 2]�
2𝑥𝑥 + 3 4
2 3𝑥𝑥 + 6
𝐵𝐵 = �𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/ 𝑥𝑥 + 5 ≤ 2 + �
3 2
𝐶𝐶 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/6𝑥𝑥 − 7 = 9𝑥𝑥 − (7 + 3𝑥𝑥)}
𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/(𝑥𝑥 + 1)2 − 9 ≤ (𝑥𝑥 + 2)2 ≤ (𝑥𝑥 − 1)2 + 4𝑥𝑥 + 7}
Halle el conjunto solución de:
𝐼𝐼 = [(𝐶𝐶 ∩ 𝐷𝐷) ∪ (𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴)]
3. Un carpintero hizo cierto número de mesas. Vendió 70 y le quedan por vender más de la mitad.
Hace, después, 6 mesas más y vende 36, por lo que le quedan menos de 42 mesas por vender.
¿Cuántas mesas ha hecho el carpintero?
4. Si al doble de la edad de Tovar se le resta 17 años, resulta menor que 39; pero si a la mitad de la edad
se le suma 3, resulta mayor que 15 ¿Cuál es la edad de Tovar?

Resumen
1. Desigualdades.- Es una relación que existe entre dos cantidades.
2. Tenga presente, para realizar operaciones con desigualdades, estas deben cumplir ciertos requisitos
(propiedades).
3. Inecuaciones Lineales.- Para resolverlas, tenemos que tomar en cuenta las propiedades. Estas nos
permiten mantener o variar el sentido de la desigualdad. Al resolver una inecuación obtenemos un
conjunto infinito de respuestas.
4. Inecuaciones Cuadráticas.- Son de la forma 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ≥ 0. Estas pueden ser:

a. Factorizables.- Aquellas que se convierten en producto de factores; proceso:
i. Obtener puntos ríticos
ii. Ubicarlo en la recta real
iii. Sombrearlo para obtener el conjunto solución
b. No factorizables.- Para resolverlas, tenga presente:
i. Completar cuadrados
ii. Aplicar uno de los siguientes teoremas, según sea
Si 𝑥𝑥 2 ≤ 𝑚𝑚 ⇒ −√𝑚𝑚 ≤ 𝑥𝑥 ≤ √𝑚𝑚
Si 𝑥𝑥 2 ≤ 𝑚𝑚 ⇒ √𝑚𝑚 ∪ 𝑥𝑥 ≤ −√𝑚𝑚
5. Si deseas saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.
a. Desigualdades cuadráticas:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/inecuaciones/inecuaciones-cuadraticas.html
https://academicos.azc.uam.mx/mai/Desigualdades_cuadraticas.html

UNIDAD
2
MATRICES Y DETERMINANTES
Al término de la unidad, el alumno, aplicando las propiedades de las operaciones con matrices y de la
clasificación de matrices, resuelve problemas de operaciones con matrices y calcula el determinante
de una matriz, utiliza las leyes del álgebra básica.
TEMARIO
2.1. Tema 3: Matrices I

2.1.1. Matrices: definición
2.1.2. Orden de una matriz
2.1.3. Igualdad de matrices
2.1.4. Tipos de matrices: Nula, Fila, Columna y cuadrada (solo definición)
2.2. Tema 4: Matrices II

2.2.1. Operaciones con matrices:
2.2.2. Escalar por una matriz
2.2.3. Suma y Resta, Multiplicación y Potencia de una matriz
2.3. Tema 5: Matrices III

2.3.1. Definición
2.3.2. Determinante de una matriz de orden 2x2
2.3.3. Determinante de una matriz de orden 3x3
2.3.4. Teorema - Regla de Cramer
• Escribe explícitamente matrices de orden mxn.
• Efectúa operaciones con matrices: Adición, producto de un escalar por una
matriz, multiplicación de matrices.

2.1. MATRICES I
Las matrices son herramientas matemáticas de mucha aplicabilidad en el campo de las ciencias
económicas, sociales, administrativas entre otras áreas. Durante muchos años, los
matemáticos puros fueron los únicos que se dedicaron al estudio de las matrices y de sus
propiedades, pero en la actualidad existe un gran interés por el conocimiento de este tema,
debido a sus numerosas aplicaciones en el estudio y solución de problemas concretos, sobre
todo, por parte de quienes se dedican al estudio de la ciencias administrativas y sociales.
Es sumamente importante, para quienes se inician en el estudio de estos temas, tener muy
presente que el concepto de matriz es completamente diferente al de “determinante”, tal como
lo haremos notar más adelante.
La rápida difusión de las calculadoras y, en particular, de las computadoras electrónicas, han

creado la necesidad de impulsar el uso de las matrices en el planeamiento y solución de
problemas concretos.
2.1.1. Definición
Una matriz A de orden m por n es un arreglo rectangular de elementos aij ordenados en filas y
columnas, que tienen la forma:
Columna 1 Columna j Columna n

𝑎𝑎11 𝑎𝑎1𝑗𝑗 𝑎𝑎1𝑛𝑛 Fila 1
𝐴𝐴 = � 𝑎𝑎𝑖𝑖1 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � Fila 1
𝑎𝑎𝑚𝑚1 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 Fila m
Abreviadamente suele expresarse en la forma 𝐴𝐴 = (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 )𝑚𝑚×𝑛𝑛 con 𝑖𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚𝑚 y 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz. El primero denota la fila
(i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo, el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y
columna 5.
Ejemplos:
9 1 10
𝐴𝐴 = � �
4 3 7
Nota 1. Una matriz usualmente se representa por letras mayúsculas A, B, C, etc. y a sus
elementos por letras minúsculas 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 , y 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 etc.
Ejemplos:
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑏𝑏11 𝑏𝑏12 𝑏𝑏13 𝑐𝑐11

𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑎𝑎22 �
21 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏21 𝑏𝑏22 𝑏𝑏23 � 𝐶𝐶 = �𝑐𝑐12 �
𝑏𝑏31 𝑏𝑏32 𝑏𝑏33 𝑐𝑐13

Nota 2. Los elementos aij de una matriz “A” pueden ser números reales, números complejos,
funciones, vectores o cualquier objeto no numérico, como por ejemplo, las fichas de un ajedrez
o los apellidos de personas cuando son codificados en orden alfabético, etc.
Ejemplos:
1
⎡ √7 𝜋𝜋⎤
⎢ 3 ⎥ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐴𝐴 = ⎢ 8 𝐼𝐼 = � 𝑥𝑥 3 𝑥𝑥 �
0.5 4⎥
⎢ 5 ⎥ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
⎣−√3 √5 7 ⎦
3 −𝑖𝑖 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐻𝐻 = � 𝑖𝑖 � 𝐼𝐼 = �𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 �
3𝑖𝑖−1 𝑖𝑖
𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻
Nota 3. La matriz no tiene valor numérico; es decir, no puede identificarse con un número.
2.1.2. Orden de una Matriz
El orden de una matriz es el producto indicado del número de filas por el número de columnas
de la matriz.
Ejemplo:
Número de filas
1
3 5 Número de columnas
𝐴𝐴 = � 3 �
√3 𝜋𝜋 ℮
5 8 15 3×3
Si la matriz tiene 3 filas y 3 columnas, entonces es de orden 3x3.
2.1.3. Igualdad de Matrices:
Dos matrices A y B son iguales, si y sólo si, son del mismo orden y sus respectivos elementos
son iguales.
𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 ⇔ �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 �, ∀𝑖𝑖𝑖𝑖

Ejemplo:
Sean:
10 20 10 20
𝐴𝐴 = � � 𝐵𝐵 = � �
−ℯ −𝜋𝜋 −ℯ −𝜋𝜋
Averigüe si son iguales o no
Solución:
A y B tienen el mismo orden (2 x 2). Veamos si tienen los mismos elementos:
𝑎𝑎11 = 𝑏𝑏11 = 10
𝑎𝑎12 = 𝑏𝑏12 = 20
𝑎𝑎21 = 𝑏𝑏21 = −℮
𝑎𝑎22 = 𝑏𝑏22 = −𝜋𝜋
Luego, A = B
0 0
𝐷𝐷 = �0 0�
0 0
2.1.4. Tipos de matrices
a) MATRIZ NULA
Una matriz, en la cual todos sus elementos son ceros, se denomina matriz nula y se denota
0.
Ejemplo:
0 0 0
0 0
0 = �0 0 0� 0 = [0] 𝐵𝐵 = � �
0 0
0 0 0

b) MATRIZ COLUMNA
Tiene m filas y una columna.
Ejemplos:
5 3
𝑀𝑀 = �10� 𝑁𝑁 = �3� 𝑃𝑃 = [8]
15 3
20 3
c) MATRIZ FILA
Está formada por una fila y n columnas
Ejemplos:
𝐴𝐴 = [10 20 30 40] 𝐵𝐵 = [−2 1 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 − 1]
d) MATRIZ CUADRADA
Una matriz A es cuadrada, cuando el número de filas es igual al número de columnas, (m =

n).
Ejemplos:
1 1 1
La matriz 𝐴𝐴 = �1 1 1� es cuadrada de orden 3 × 3
2 2 2
√2 √3
La matriz 𝐵𝐵 = � � es cuadrada de orden 2 × 2
√5 √7
Diagonal principal de una matriz cuadrada, es la línea formada por los elementos
𝑎𝑎11 , 𝑎𝑎22 , 𝑎𝑎33 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛 .
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13 Diagonal secundaria
𝐴𝐴 = �𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23 �

𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33 Diagonal principal

Ejemplo:
Diagonal principal:
Diagonal secundaria:
PROPIEDADES DE LA TRAZA
La traza en una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal

principal.
Es decir Traz(A) = 𝑎𝑎11 + 𝑎𝑎22 + 𝑎𝑎33 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 + ⋯
1) Traz(λA) = λ Traz(A)
2) Traz(A ± B) = Traz(A) ± Traz(B)
3) Traz(AB) = Traz(BA)
4) Traz(A) = Traz(At)
Ejemplo:
1 6 −1 5
Si 𝐴𝐴 = � � y 𝐵𝐵 = � �
3 4 3 −2
Halle: Traz(A+B)
Resolución:
𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) = 5 − 3 = 2

Ejemplo:
Sean las matrices:

2 2 2 3 2 −3
Si 𝑀𝑀 = �1 −1 1 � y 𝑁𝑁 = � 1 2 3�
0 3 −3 3𝑥𝑥3 −3 2 −1 3𝑥𝑥3
Halle: Traz(M+N)
Resolución:
2+3 2+2 2 + (−3)

𝑀𝑀 + 𝑁𝑁 = � 1 + 1 −1 + 2 1+3 �
0 + (−3) 3 + 2 −3 + (−1) 3𝑥𝑥3
5 4 −1
𝑀𝑀 + 𝑁𝑁 = � 2 1 4�
−3 5 −4 3𝑥𝑥3
Traz(M+N) = 5 + 1 - 1 = 2

2.2.- Matrices II
2.2.1.- Operaciones con matrices
2.2.1.1.- Escalar de una Matriz
Sea A = [aij] una matriz de orden m x n, y λ un número.
Entonces λ A= [ λ aij].
Ejemplo:
2 3 5
Sea λ = 5 y 𝐴𝐴 = �67 −1�
2 4 −3
5(2) 5(3) 5(5) 10 15 25

Entonces λ𝐴𝐴 = �5(6) 5(7) 5(−1)� = �30 35 −5 �
5(2) 5(4) 5(−3) 10 20 −15
2.2.1.2.- Suma de Matrices
Sean las matrices: A = [aij] y B = [bij], ambas del mismo orden

m x n.
La matriz suma de A y B es otra matriz
C = A + B = [aij + bij], la cual también es de orden m x n.
Ejemplos:
1. Sean las matrices:

1 5 6 −1 2 5
𝐴𝐴 = � � y 𝐵𝐵 = � �
3 2 4 2𝑥𝑥3 3 5 −2 2𝑥𝑥3
Entonces:
1 + (−1) 5 + 2 6+5
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � �
3+3 2 + 5 4 + (−2) 2𝑥𝑥3
0 7 11
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � �
6 7 2 2𝑥𝑥3

2. Sean las matrices:

2 2 2 3 2 −3
𝑀𝑀 = �1 −1 1 � y 𝑁𝑁 = � 1 2 3�
0 3 −3 3𝑥𝑥3 −3 2 −1 3𝑥𝑥3
Entonces:
2+3 2+2 2 + (−3)

𝑀𝑀 + 𝑁𝑁 = � 1 + 1 −1 + 2 1+3 �
0 + (−3) 3 + 2 −3 + (−1) 3𝑥𝑥3
5 4 −1
𝑀𝑀 + 𝑁𝑁 = � 2 1 4 �
−3 5 −4 3𝑥𝑥3
Propiedades:
Consideremos las matrices A, B y C del mismo orden y “  ” es un escalar. Entonces:
• A + B = B + A , Conmutativa
• A + (B+C) = (A+B) + C, Asociativa
• λ (A+B) = λ A + λ B, Distributiva
• Existe una matriz 0 tal que para todo A, A + 0 = A.
2.2.1.2.- Resta de Matrices
Consideremos dos matrices A y B del mismo orden. Entonces, la diferencia de las

matrices A y B definiremos por:
A - B = A + (-1) B
Ejemplo:
2 3 −1 −3 −2 1
𝐴𝐴 = � 4 3 6 � y 𝐵𝐵 = � 2 4 6�
−1 2 3 −2 −1 3
Entonces,
2 3 −1 −3 −2 1
𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴 + (−1)𝐵𝐵 = � 4 3 6 � + (−1) � 2 4 6�
−1 2 3 −2 −1 3

2 3 −1 3 2 −1 5 5 −2
= � 4 3 6 � + �−2 −4 −6� → 𝐴𝐴 − 𝐵𝐵 = �2 −1 0 �
−1 2 3 2 1 −3 1 3 0
2.2.1.4.- Multiplicación de Matrices
A. Multiplicación de un Vector fila por un Vector columna
𝑏𝑏1
𝑏𝑏
Sean 𝐴𝐴 = [𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ] y 𝐵𝐵 = � 2 �
…
𝑏𝑏𝑛𝑛
Entonces 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = [𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛 ] = �∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 �
Ejemplo:
1
𝐴𝐴 = [4 8 −2] y 𝐵𝐵 = � −2�
3
1
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = [4 −2
8 −2 � � = [(4)(1) + (8)(−2) + (−2)(3)]
]
3|
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = [4 + (−16) + (−6)] = [4 − 16 − 6]
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = [−18]
B. Multiplicación de dos Matrices
Dos matrices se pueden multiplicar sólo si el número de columnas de la primera matriz es

igual al número de filas en la otra.
Dada las matrices:
𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑚𝑚×𝑛𝑛 , 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑛𝑛×𝑝𝑝 y 𝐶𝐶 = �𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 �𝑚𝑚×𝑝𝑝
Entonces: 𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 = C

�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 � × �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖 �

𝑚𝑚×𝑛𝑛 𝑛𝑛×𝑝𝑝 𝑚𝑚×𝑝𝑝
��
Ejemplo:
Calcular AB si:
2 3 4 5 6 2
𝐴𝐴 = �0 1 3� y 𝐵𝐵 = �1 3 4�
4 1 5 3 0 7
Solución:
2 3 4 5 6 2
𝐴𝐴𝐴𝐴 = �0 1 3 � �1 3 4�
4 1 5 3 0 7
5 6 2
⎡[2 3 4] �1� [2 3 4] �3� [2 3 4 ] �4 �⎤
⎢ ⎥
⎢ 3 0 7 ⎥
⎢ 5 6 2 ⎥
𝐴𝐴𝐴𝐴 = ⎢[0 1 3] �1� [0 1 3] �3� [0 1 3 ] �4 �⎥
⎢ 3 0 7 ⎥
⎢ 5 6 2 ⎥
⎢[4 1 5] �1� [4 1 5] �3� [4 1 5 ] �4 �⎥
⎣ 3 0 7 ⎦
2(5) + 3(1) + 4(3) 2(6) + 3(3) + 4(0) 2(2) + 3(4) + 4(7)

𝐴𝐴𝐴𝐴 = �0(5) + 1(1) + 3(3) 0(6) + 1(3) + 3(0) 0(2) + 1(4) + 3(7)�
4(5) + 1(1) + 5(3) 4(6) + 1(3) + 5(0) 4(2) + 1(4) + 5(7)
25 21 44
𝐴𝐴𝐴𝐴 = �10 3 25�
36 27 47
Propiedades del Producto de Matrices

a) AB no es igual BA (no conmuta)

b) A· (B · C) = (A·B) ·C
c) A·(B + C) = A · B + A ·C
d) (B + C) A = B. A + C.A
e) K (A B) = A · (K · B), K es un escalar.
Suponiendo que las operaciones indicadas están definidas.
2.2.1.5.- Potencia de una Matriz
Sea A una matriz cuadrada de orden n x n.

Definiremos:
a) 𝐴𝐴0 = 1
𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴
𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴
𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴
…
𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 × …
b) 𝐴𝐴n × 𝐴𝐴m = 𝐴𝐴n+m
c) (𝐴𝐴n )𝑚𝑚 = 𝐴𝐴n×m
d) A y B se llaman conmutables (↔) si 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
Afirmación: Si las matrices A y B son conmutables cualquier potencia natural de los mismos
son conmutables y, (𝐴𝐴 × 𝐵𝐵)𝑛𝑛 = 𝐴𝐴𝑛𝑛 × 𝐵𝐵𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ∈ ℕ arbitrarios
Ejercicios resueltos
2
1) Sean las matrices 𝐴𝐴 = �𝑡𝑡 𝑡𝑡 � y 𝐵𝐵 = �2𝑡𝑡 + 1 𝑡𝑡 + 1�
1 𝑡𝑡 + 1 1 0
Hallar: A+B
Resolución:
2
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �𝑡𝑡 + 2𝑡𝑡 + 1 2𝑡𝑡 + 1 � = �(𝑡𝑡 + 1)2 2𝑡𝑡 + 1�
𝑡𝑡 + 1 𝑡𝑡 + 1 + 0 𝑡𝑡 + 1 𝑡𝑡 + 1
1 3 5 −2 7 2
2) Sean 𝐴𝐴 = � 0 1 10� ; 𝐵𝐵 = � 3 −1 −3�
−1 4 1 1 4 −1

Hallar: (A+B)-C
Resolución:
1−2 3 + 10 5 + 2 −1 10 7
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = � 0 + 3 1 − 1 10 − 3� = � 3 0 7�
−1 + 1 4+4 1−1 0 8 0
−1 10 7 −1 10 7 0 0 0
(𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) − 𝐶𝐶 = � 3 0 7� − � 3 0 7� = �0 0 0�
0 8 0 0 8 0 0 0 0
5 3 −8 0 7
3) Halle AB, Si 𝐴𝐴 = � � ; 𝐵𝐵 = � �
0 5 1 3 2
Resolución:
5 3 −8 0 7 (5,3)(−8,1) (5,3)(0,3) (5,3)(7,2)

𝐴𝐴𝐴𝐴 = � �� =� �
0 5 1 3 2 (0,5)(−8,1) (0,5)(0,3) (0,5)(7,2)
−40 + 3 0 + 9 35 + 6
=� �
0+5 0 + 15 0 + 10
−37 9 41
=� �
5 15 10
1 0
5 3
4) Halle CA, si 𝐶𝐶 = �0 3� ; 𝐴𝐴 = � �
0 5
7 1
Resolución:
1 0
5 3
𝐶𝐶𝐶𝐶 = �0 3� � �
0 5
7 1
1 0 (1,0)(5,0) (1,0)(3,5) 5 3
5 3
𝐶𝐶𝐶𝐶 = �0 3� � � = �(0,3)(5,0) (0,3)(3,5)� � 0 15�
0 5
7 1 (7,1)(5,0) (7,1)(3,5) 35 26
5 3
5) Si 𝐴𝐴 = � �
0 5
Halle 𝐴𝐴2
Resolución:
5 3 5 3 (5,3)(5,0) (5,3)(3,5) 25 + 0 15 + 15 25 30
𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴 × 𝐴𝐴 = � �� =� �=� �=� �
0 5 0 5 (0,5)(5,0) (0,5)(3,5) 0+0 0 + 25 0 25

1 0
−8 0 7
6) Halle BC, si 𝐵𝐵 = � �; 𝐶𝐶 = �0 3�
1 3 2
7 1
Resolución:
1 0
−8 0 7
𝐵𝐵𝐵𝐵 = � � �0 3�
1 3 2
7 1
(−8,0,7)(1,0,7) (−8,0,7)(0,3,1) (−8 + 0 + 49) (0 + 0 + 7)

𝐵𝐵𝐵𝐵 = � �=� �
(1,3,2)(1,0,7) (1,3,2)(0,3,1) (1 + 0 + 14) (0 + 9 + 2)
41 7
𝐵𝐵𝐵𝐵 = � �
15 11
2 1 1
2
7) Halle 𝑓𝑓(𝐴𝐴) , si 𝑓𝑓(𝑋𝑋) = 𝑋𝑋 − 𝑋𝑋 − 𝐼𝐼; 𝐴𝐴 = �3 1 2�
1 −1 0
Resolución:
Hallando 𝐴𝐴2
2 1 1 2 1 1 (2,1,1)(2,3,1) (2,1,1)(1,1, −1) (2,1,1)(1,2,0)

2
𝐴𝐴 = �3 1 2� �3 1 2� = � (3,1,2)(2,3,1) (3,1,2)(1,1, −1) (3,1,2)(1,2,0) �
1 −1 0 1 −1 0 (1, −1,0)(2,3,1) (1, −1,0)(1,1, −1) (1, −1,0)(1,2,0)
2+3+1 2+1−1 2+2+0

𝐴𝐴2 = �6 + 3 + 2 3 + 1 − 2 3 + 2 + 0�
2−3+0 1−1+0 1−2+0
6 2 4 1 0 0
𝐴𝐴2 = � 11 2 5 �, Nótese que 𝐼𝐼 = �0 1 0�
−1 0 −1 0 0 1
Se tiene 𝑓𝑓(𝑋𝑋) = 𝑋𝑋 2 − 𝑋𝑋 − 𝐼𝐼 ⇒ 𝑓𝑓(𝐴𝐴) = 𝐴𝐴2 − 𝐴𝐴 − 𝐼𝐼
6 2 4 2 1 1 1 0 0 6−2−1 2−1−0 4−1−0

𝑓𝑓(𝑋𝑋) = � 11 2 5 � − �3 1 2� − �0 1 0� = � 11 − 3 − 0 2 − 1 − 1 5 − 2 − 0 �
−1 0 −1 1 −1 0 0 0 1 −1 − 1 − 0 0 + 1 + 0 −1 − 0 − 1
3 1 3
𝑓𝑓(𝑋𝑋) = � 8 0 3�
−2 1 −2
2x + 1 1 z−1 3 − 2y 2 x+y
1) Sean las matrices 𝐴𝐴 = � x + 2 −1 2y � ; 𝐴𝐴 = � z + 3 −1 z − 2x�
y−1 8 x − 2z z−5 8 −1

Si A = B, Halle el valor de xyz
2) Halle x + y, si A = B
𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 4
Siendo 𝐴𝐴 = � � ; 𝐵𝐵 = � �
3 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 3 4
3) Dadas las matrices

1
−1 1 3 2
𝑒𝑒 0 9𝑘𝑘−2 42
𝐴𝐴 = �23 1 𝑎𝑎 � ; 𝐵𝐵 = �𝑛𝑛 𝑘𝑘 3 −1�
5 𝑡𝑡 𝑘𝑘 − 1 5 0 𝑚𝑚
Calcule el valor de k + m para que las matrices sean iguales.
4) Sean M = N
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 −2 −2 2 −2
𝑀𝑀 = � 0 4 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧� ; 𝑁𝑁 = � 0 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧
6�
3
3 2𝑛𝑛 −2 √27 √100 𝑚𝑚
𝑧𝑧+𝑥𝑥
Calcule: 𝐸𝐸 = � �
−𝑦𝑦

1) Escribir explícitamente la matriz “A”. Siendo 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 �3×2 /𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗
x + y 2z + w 3 5
2) Si: � �=� � Halle: (x + 2y) − (z − w)
x−y z−w 1 4
1 2 2 2
3) Dado: A=�−1 3 � ; B = �1 −1� Calcule: 2𝐴𝐴 − 3𝐵𝐵 y 5𝐴𝐴 + 𝐵𝐵
5 −2 1 −3
2 3 1 2 3
4) Si: A=� �;B = � � Halle: 𝐴𝐴 − 7𝐵𝐵 y 3𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵
1 2 4 −1 2
2 3
5) Dada la matriz: A=� � Calcule: 𝐴𝐴2 − 4𝐴𝐴
3 2
1 0 0 −1 2 1
6) Si: 𝐴𝐴2 = 𝐵𝐵2 = � � ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = � � ; 𝐵𝐵𝐵𝐵 = � � Hallar: (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵)2
0 1 1 2 −1 0
1 2 3 5 −2 4
7) Si: 𝐴𝐴 = � � ; 𝐵𝐵 = � � ; 𝐶𝐶 = � � Hallar: 𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵, 3𝐴𝐴 − 𝐶𝐶, 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵
3 4 5 9 1 −1
1 0 0 −1 1 −3
8) Si: 𝑀𝑀 = � � ; 𝑁𝑁 = � � ; 𝑃𝑃 = � � Calcule: 𝑀𝑀 + 3𝑁𝑁 − 𝑃𝑃, 𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝑃𝑃2
3 2 1 2 0 2

Resumen
1. Matriz cuadrada:
Número de filas igual al número de columnas.
2. Condición para sumar o restar matrices:

𝑀𝑀𝑚𝑚×𝑛𝑛 ± 𝑁𝑁𝑚𝑚×𝑛𝑛 = 𝑅𝑅𝑚𝑚×𝑛𝑛
Las matrices deben ser del mismo orden.
3. Condición para multiplicar matrices:

𝑀𝑀𝑚𝑚×𝑞𝑞 × 𝑁𝑁𝑞𝑞×𝑛𝑛 = 𝑃𝑃𝑚𝑚×𝑛𝑛
Número de columnas de la matriz M es igual al número de filas de la matriz N.
• Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas:
1. http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_entre_matrices
2. http://www.e-torredebabel.com/Psicologia/Conexionismo/Conexionismo-
Matrices.htm.
BIBLIOGRAFIA:
ESPINOZA RAMOS, Eduardo Matrices y Determinantes J.J Servicios Lima 2005
LÁZARO, Moisés Algebra Lineal Colección Moshera Lima 2004

VERA, Carlos
http://descartes.cnice.mec.es
www.eneayudas.cl/geomanal.html

2.3.- Matrices III
2.3.1.- Determinantes: Definición
Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número real asociado a dicha matriz.
2.3.2.- Determinante de una matriz de orden 2 x 2
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12
Se llama determinante de la matriz 𝐴𝐴 = �𝑎𝑎 𝑎𝑎22 � al número real asociado a ella, denotado
21
por 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴) o por |𝐴𝐴|
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = �𝑎𝑎 𝑎𝑎22 � = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 y se define como sigue:
21
Entonces: |𝐴𝐴| = (𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 ) − (𝑎𝑎21 𝑎𝑎21 )
Ejemplo 1:
2 5
Si 𝐴𝐴 = � �
3 6
2 5
Entonces |𝐴𝐴| = � � = 2 × 6 − 3 × 5 = 12 − 15 = −3 → det(𝐴𝐴) = −3
3 6
Ejemplo 2:
Si 𝐵𝐵 = �√2 √3�
√3 √2
Entonces |𝐵𝐵| = 2 − 3 = −1
Ejemplo 3:
1 −1
Si 𝐵𝐵 = �23 4
5�
2 4
1 −1
1 5 3 −1 5 3
⇒ det(𝐵𝐵) = �2 4 � = � � � � − � � � � = + = 1; ∴ |𝐵𝐵| = 1
3 5 2 4 2 4 8 8
2 4
2.3.3.- Determinante de una matriz de orden 3 x 3

𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1

|𝐴𝐴| = �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 �
Para desarrollarlo, tomamos referencia a sus dos diagonales con sus respectivos signos.
Existen dos maneras de desarrollar esta expresión, veamos:
2.3.3.1.- Regla de Sarrus por filas

⎡𝑎𝑎 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 ⎤
⎢ 2 ⎥
|𝐴𝐴| = ⎢𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3 ⎥
⎢𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 ⎥
⎣𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 ⎦ (+)
det(𝐴𝐴) = 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 𝑐𝑐3 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 𝑐𝑐1 + 𝑎𝑎3 𝑏𝑏1 𝑐𝑐2 − (𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 𝑐𝑐1 + 𝑎𝑎1 𝑏𝑏3 𝑐𝑐2 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 𝑐𝑐3 )
2.3.3.2.- Regla de Sarrus por columnas
(-) (-) (-)

𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1
|𝐴𝐴| = �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 �
𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3
(+) (+) (+)
det(𝐴𝐴) = 𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 𝑐𝑐3 + 𝑏𝑏1 𝑐𝑐2 𝑎𝑎3 + 𝑐𝑐1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏3 − (𝑎𝑎3 𝑏𝑏2 𝑐𝑐1 + 𝑏𝑏3 𝑐𝑐2 𝑎𝑎1 + 𝑐𝑐3 𝑎𝑎2 𝑏𝑏1 )
Ejemplo:
1 1 2
𝐴𝐴 = � 2 −1 1 �
−1 2 −1
Resolución por Sarrus, método de columnas
1 1 2
|𝐴𝐴| = � 2 −1 1 �
−1 2 −1
(2) (2) (-2)

1 1 2 1 1
|𝐴𝐴| = � 2 −1 1 2 −1� = (8 + 1 − 1) − (2 + 2 − 2) = 6
−1 2 −1 −1 2
(1) (-1) (8)
TEOREMA
En la matriz de tercer orden:
𝑏𝑏11 𝑏𝑏12 𝑏𝑏13

|𝐵𝐵| = �𝑏𝑏21 𝑏𝑏22 𝑏𝑏23 �
𝑏𝑏31 𝑏𝑏32 𝑏𝑏33
El determinante de la matriz B se calcula por:
𝑏𝑏 𝑏𝑏23 𝑏𝑏 𝑏𝑏23 𝑏𝑏 𝑏𝑏22

|𝐵𝐵| = 𝑏𝑏11 � 22 � − 𝑏𝑏12 � 21 � + 𝑏𝑏13 � 21 �
𝑏𝑏32 𝑏𝑏33 𝑏𝑏31 𝑏𝑏33 𝑏𝑏31 𝑏𝑏32
Ejemplo 1:
1 0 2
Sea la matriz siguiente 𝐴𝐴 = �0 5 2 �, calcule |𝐴𝐴|
2 2 −5
Resolución:
1 0 2
|𝐴𝐴| = �0 5 2 �
2 2 −5
|𝐴𝐴| = 1 �5 2 � − 0 �0 2 � + 2 �0 5�
2 −5 2 −5 2 2
|𝐴𝐴| = 1(−25 − 4) + 0(0(−5) − 2(2)) + 2(0 − 10)
|𝐴𝐴| = −49
Ejemplo 2:
4 7 6
Calcule el determinante de la matriz 𝐴𝐴 = �−2 2 −3�
3 1 5
Resolución:
2 −3 −2 −3 −2 2
det(𝐴𝐴) = |𝐴𝐴| = 4 � �− 7� �+ 6� �
1 5 3 5 3 1

|𝐴𝐴| = 4[2(5) − 1(−3)] − 7[(−2)5 − 3(−3)] + 6[(−2)(1) − (3)(2)]
|𝐴𝐴| = 4[10 + 3] − 7[−10 + 9] + 6[(−2) + (−6)]
|𝐴𝐴| = 4(13) − 7(−1) + 6(−8)
|𝐴𝐴| = 52 + 7 − 48
|𝐴𝐴| = 11
Propiedades de los Determinantes
1. Si se intercambian las filas de una matriz, el determinante cambia de signo.
Es decir, |𝐵𝐵| = −|𝐴𝐴|
2. Al multiplicar todos los elementos de una fila por un mismo número, el determinante
queda multiplicado por dicho número.
Es decir |𝐵𝐵| = 𝑘𝑘|𝐴𝐴|
3. Si a una fila se le suma un múltiplo de otra fila, el determinante no cambia su valor.
Es decir |𝐵𝐵| = |𝐴𝐴|
4. El determinante de un producto de matrices cuadradas es igual al producto de los

determinantes de las matrices.
En general, para matrices A y B de orden n, se cumple que : |𝐴𝐴𝐴𝐴| = |𝐴𝐴||𝐵𝐵|

2.3.4.- Teorema (Regla de Cramer)
1. Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑒𝑒
�
𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓
La regla de Cramer da la siguiente solución:
∆𝑥𝑥 ∆𝑦𝑦
𝑥𝑥 = ; 𝑦𝑦 = ; 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 = ∆≠ 0
∆ ∆
𝑒𝑒 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑒𝑒 𝑎𝑎 𝑏𝑏
∆𝑥𝑥 = � � ; ∆𝑦𝑦 = � 𝑐𝑐 𝑓𝑓 � ; ∆= � 𝑐𝑐 �
𝑓𝑓 𝑑𝑑 𝑑𝑑
𝑒𝑒 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑒𝑒
� � 𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 � 𝑐𝑐 𝑓𝑓 � 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑓𝑓 𝑑𝑑
𝑥𝑥 = = ; 𝑦𝑦 = =
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏
� � 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏 � � 𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑐𝑐 𝑑𝑑
2. Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
𝑎𝑎1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐1 𝑧𝑧 = 𝑝𝑝
𝑎𝑎2 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏2 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐2 𝑧𝑧 = 𝑞𝑞
𝑎𝑎3 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏3 𝑦𝑦 + 𝑐𝑐3 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟
La regla de Cramer da la siguiente solución:
∆𝑥𝑥 ∆𝑦𝑦 ∆𝑧𝑧

𝑥𝑥 = ; 𝑦𝑦 = ; 𝑧𝑧 = ; 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 = ∆≠ 0
∆ ∆ ∆
𝑝𝑝 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑝𝑝 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑝𝑝 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1

∆𝑥𝑥 = �𝑞𝑞 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 � ; ∆𝑦𝑦 = �𝑎𝑎2 𝑞𝑞 𝑐𝑐2 � ; ∆𝑧𝑧 = �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑞𝑞 � ; ∆= �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 �
𝑟𝑟 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3 𝑎𝑎3 𝑟𝑟 𝑐𝑐3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑟𝑟 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3
𝑝𝑝 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑝𝑝 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑝𝑝

�𝑞𝑞 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 � 𝑎𝑎
� 2 𝑞𝑞 𝑐𝑐2� � 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑞𝑞 �
𝑟𝑟 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3 𝑎𝑎 𝑟𝑟 𝑐𝑐3 𝑎𝑎 𝑏𝑏3 𝑟𝑟
𝑥𝑥 = ; 𝑦𝑦 = 3 ; 𝑧𝑧 = 3
𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 𝑐𝑐1
�𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 � �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 � �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 𝑐𝑐2 �
𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3 𝑎𝑎3 𝑏𝑏3 𝑐𝑐3
Ejemplo 1

Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones.
4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 11
3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 9
Resolución:
Por la regla de Cramer
11 3
∆𝑥𝑥 = � � = 22 − 27 = −5
9 2
4 11
∆𝑦𝑦 = � � = 36 − 33 = 3
3 9
4 3
∆= � � = 8 − 9 = −1
3 2
∆𝑥𝑥 ∆𝑦𝑦
𝑥𝑥 = ; 𝑦𝑦 =
∆ ∆
−5 3
𝑥𝑥 = = 5; 𝑦𝑦 = = −3
−1 −1
Ejemplo 2
Resolver el sistema
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 = 8
2𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 1
−𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 = 3
Resolución:
Por la regla de Cramer
1 1 2
∆= � 2 −1 1 � = 1(1 − 2) − 1(−2 + 1) + 2(4 − 1) = 6
−1 2 −1
8 1 2
∆𝑎𝑎 = �1 −1 1 � = 8(1 − 2) − 1(−1 − 3) + 2(2 + 3) = 6
3 2 −1
1 8 2
∆𝑏𝑏 = � 2 1 1 � = 1(−1 − 3) − 8(−2 + 1) + 2(6 + 1) = 18
−1 3 −1
1 1 8
∆𝑐𝑐 = � 2 −1 1� = 1(−3 − 2) − 1(6 + 1) + 2(4 − 1) = 12
−1 2 3

∆𝑎𝑎 6
𝑎𝑎 = = =1
∆ 6
∆𝑏𝑏 18
𝑏𝑏 = = =3
∆ 6
∆𝑐𝑐 12
𝑐𝑐 = = =2
∆ 6
Por lo tanto:
𝑎𝑎 = 1
𝑏𝑏 = 3
𝑐𝑐 = 2

1. Halle el valor de x en cada caso:
𝑥𝑥 0 0 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2
a) �−1 2 0� = 12 b) �1 𝑥𝑥 1� = 0
2 8 3 1 1 1
3 5 0 2𝑥𝑥 1 0
c) � 8 3 8� = 0 d) � 1 2 0� = −5
3𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 0 3 8 1
2. Halle la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer:
𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 + 5𝑧𝑧 = 11
a) � 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 5 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 = {−2, −3, 5}
4𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = −26
𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 6
b) �2𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 − 7𝑧𝑧 = −9 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 = {1, 2, 3}
3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2
2𝑥𝑥 + 2𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 = −1
c) � 5𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 7 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 = {−3, 2, 1}
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0
2𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = −1
d) � 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = −4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ó𝑛𝑛 = {0, −2, 3}
4𝑥𝑥 − 2𝑧𝑧 = −6
3. Calcular el valor de “x” en la ecuación:
𝑥𝑥 1 6
�0 2 5�
−3 3 7 =0
1 2 3
3 � 𝑥𝑥 15 2�
−1 7 9
4. Determinar el valor de “x” para que |𝐴𝐴| = 4, si:
1 2𝑥𝑥 + 3 −𝑥𝑥
𝐴𝐴 = �𝑥𝑥 − 1 0 2�
−1 −1 3

2 −1 1 1
1. Si 𝐴𝐴 = � � , 𝐴𝐴 = � � Halle: |𝐴𝐴| + |𝐵𝐵|
2 3 2 4
3 2 −1
2. Dada la matriz 𝐴𝐴 = � 2 5 −3�, Calcule: |𝐴𝐴|
−1 0 1
3. Consideremos las siguientes matrices:
1 3 0 −1
𝐴𝐴 = � � 𝐵𝐵 = � �
0 2 1 1
3 2 −4 −2 −6 5
𝐶𝐶 = � 2 1 0� 𝐷𝐷 = � 0 2 −3�
−3 0 −1 4 −1 4
a) Halle: |𝐴𝐴| + |𝐵𝐵|

b) Halle: |𝐶𝐶 + 𝐷𝐷|
1 2
4. Si 𝐴𝐴 = � �; 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 � ; donde 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖 = 3𝑖𝑖 − 𝑗𝑗. Hale: |𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵|
0 3 2×2
2 3 4 3 5 4
5. Si 𝐴𝐴 = � � ; 𝐵𝐵 = � � ; 𝐶𝐶 = � �
4 1 2 1 2 1
Indicar el valor de |𝐴𝐴| + |𝐵𝐵| + |𝐶𝐶|
|𝐴𝐴−𝐵𝐵|−2|𝐵𝐵| 2 −1 7 3
6. Calcular si 𝐴𝐴 = � �; 𝐵𝐵 = � �
|𝐴𝐴+𝐵𝐵| 3 −1 −3 0
|𝐴𝐴+𝐵𝐵||𝐴𝐴| +3|𝐴𝐴+𝐵𝐵||𝐵𝐵| 1 2 7 1
7. Calcular 𝐸𝐸 = donde 𝐴𝐴 = � �; 𝐵𝐵 = � �
|2𝐴𝐴+2𝐵𝐵|2 3 5 2 0

Resumen
1. El determinante de una matriz es un número que es asociado a ella.
Uno de los criterios más usado es la regla de Sarrus.
2. La regla de Cramer se usa para resolver un sistema consistente de n de ecuaciones con n

incógnitas.
Si desea saber más acerca de estos temas, puede consultar las siguientes páginas.
• http://es.wikibooks.org/wiki/%C3%81lgebra_Lineal/Operaciones_entre_matrices
• http://www.e-torredebabel.com/Psicologia/Conexionismo/Conexionismo- Matrices.htm.
BIBLIOGRAFIA:
ESPINOZA RAMOS, Eduardo Matrices y Determinantes J.J Servicios Lima 2005
LÁZARO, Moisés Algebra Lineal Colección Moshera Lima 2004

VERA, Carlos
http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html

UNIDAD
3
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Al término de la unidad, el alumno, aplica diferentes métodos de solución, para elaborar la ecuación
de la recta, de la circunferencia y de la parábola; utiliza el plano cartesiano para la construcción de
gráficos e indica los elementos correspondientes de las cónicas.
TEMARIO
3.1. Tema 6: Plano Cartesiano I

3.1.1. Sistema de Coordenadas Cartesianas
3.1.2. Distancia entre dos puntos
3.1.3. Punto medio de un segmento
3.1.4. Coordenadas del baricentro de untriángulo
3.2. Tema 7: Plano Cartesiano II

3.2.1. Ángulo de inclinación de una recta.
3.2.2. Pendiente de una recta
3.2.3. Rectas paralelas y perpendiculares
• Calcula la distancia entre dos puntos y lo grafica en el plano cartesiano.

• Calcula perímetros y áreas tanto analítica como geométricamente.
• Calcula las coordenadas del baricentro del triángulo.

3.1. PLANO CARTESIANO I
3.1.1.- Sistema de Coordenadas Cartesianas
Es aquel sistema que posee dos ejes de coordenadas que se cortan formando un ángulo de 90°.
Al eje horizontal se le denomina abscisa (x) y al eje vertical ordenada (y). En este sistema cada
punto tiene dos elementos abscisa y ordenada.
Ejercicios Propuestos
1. Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano.
1
𝐴𝐴 (2, 1) 𝐵𝐵 � , −1�
2
𝐵𝐵 (√2, 3) 𝐷𝐷 (2, √2)
2. Grafique las siguientes funciones evaluando los valores de X indicados (tabla de valores)
a) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1 b) 𝑦𝑦 = −3𝑥𝑥 + 1 c) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 1
Ejemplo
Grafique 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1 utilizando los valores de X están dados en la tabla.
X Y
-3
0
1
2
Evaluando 𝑥𝑥 = −3
𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1 → 𝑦𝑦 = 2(−3) + 1 = −6 + 1 = −5
1
Evaluando 𝑥𝑥 = 0 y 𝑥𝑥 =
2
Al completar la tabla con los valores, queda de la siguiente manera:

X Y (−3, −5)
-3
0 (0, 1)
1
2 1
� , 2�
2
Ubicando los puntos obtenidos, podemos esbozar la gráfica de la ecuación con los valores indicados.
1
� , 2�
2
(0, 1)
(−3, −5)

3.1.2.- Distancia entre dos puntos
El ∆P1 QP2 es recto en Q.

Entonces, aplicando Teorema de Pitágoras a dicho triángulo, obtenemos:
𝑑𝑑 2 = (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 )2
de donde:
𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 )2
d: distancia entre los puntos P1 y P2.
Ejemplo:
1. Calcule la distancia entre los puntos P = (3; 5) y Q (-3;-3).
Resolución:
�� = �(3 + 3)2 + (5 + 3)2 = �62 + 82 = 10 = 𝑑𝑑𝑄𝑄𝑄𝑄

𝑑𝑑𝑄𝑄𝑄𝑄 ��

2. Demuestre que el triángulo con vértices en A = (-2, 4), B = (-5, 1) y C = (-6, 5) es isósceles. Además,
halle el perímetro.
Resolución:
Demostraremos que el ∆ABC tiene dos lados iguales.
�� = �(−2 + 5)2 + (4 − 1)2 = √32 + 32

a) 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
�� = 3√2
𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
�� = �(−5 + 6)2 + (4 − 5)2 = �12 + (−4)2

b) 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵
�� = √17
𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵
�� = �(−2 + 6)2 + (4 − 5)2 = √42 + 12

c) 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
�� = √17
𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
�� = 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵 �� = √17
∴ ∆ABC es Isósceles.
�� + 𝑑𝑑𝐵𝐵𝐵𝐵
El perímetro es 𝑝𝑝 = 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴 �� + 𝑑𝑑𝐴𝐴𝐴𝐴
�� = 3√2 + 2√17

1. Calcule la distancia entre los siguientes puntos:
a) 𝐴𝐴(2,7) y 𝐵𝐵(−2,4)
b) 𝑇𝑇(−2,5) y 𝑅𝑅(4, −3)
c) 𝑀𝑀(4,0) y 𝑁𝑁(11, √5)
d) 𝐿𝐿(0,4) y 𝑆𝑆(−√11, 9)
e) 𝑆𝑆(√5, 1) y 𝑄𝑄(−√3, √15)
2. Calcule el perímetro y el área del triángulo cuyos vértices son los puntos:
a) 𝐴𝐴(−4,1), 𝐵𝐵(7,3), 𝐶𝐶(1, −4)
b) 𝐷𝐷(7,5), 𝐸𝐸(−4,5), 𝐹𝐹(2, −3)
c) 𝑃𝑃1 (2, −5), 𝑃𝑃2 (9, −5), 𝑃𝑃3 (11, −1)
1. Demuestre que el triángulo con vértices en A (3, -6), B (8, -2) y C (-1, -1) es un triángulo rectángulo.
(Sugerencia: Recuerde el teorema que deben satisfacer las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo es el teorema de Pitágoras).
2. La distancia entre A y B es de 5 unidades. Si A (7; 1), B (3; y), entonces ¿ Cuál es el producto de los
valores de ”y”?
3. F es el punto simétrico de (5,2) respecto al origen; A es el punto simétrico de (2;-6) respecto al eje
X; C es el punto simétrico de (4; 3) respecto al eje Y. Si p es el perímetro del triángulo FAC, entonces
2
¿cuál es el valor numérico de la expresión �𝑝𝑝 − √113 �?
4. Si M (k,1+k) es un punto que equidista de R(2,1) y T(-6,5). Halla el valor de k.

3.1.3.- Punto medio de un segmento
Nuestro objetivo es hallar las coordenadas X e Y del punto M ubicado a igual distancia de los extremos
�� .
P y Q del segmento 𝑃𝑃𝑃𝑃
Para el caso, digamos que se trata de los puntos:
𝑃𝑃(𝑥𝑥1 , 𝑦𝑦1 ), 𝑄𝑄(𝑥𝑥2 , 𝑦𝑦2 ), 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)
Obtención de la Abscisa X de M:
a) Por los puntos P, M y Q tracemos perpendiculares al eje X.

��//𝑀𝑀𝑀𝑀
(𝑃𝑃𝑃𝑃 �� ) por ser perpendiculares a una misma recta).
��//𝑄𝑄𝑄𝑄
b) Aplicando el teorema de Thales se tiene:
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐴𝐴
= , pero como M es un punto medio, 𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 𝐵𝐵𝐵𝐵
𝐴𝐴𝐴𝐴
Entonces, 1 =
𝐵𝐵𝐵𝐵
�� = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ; 𝐵𝐵𝐵𝐵

Observamos que 𝐴𝐴𝐴𝐴 �� = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥
Sustituyendo en 2:
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2

1= = 1 ↔ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 ↔ 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 2
𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2
Por igual procedimiento se demuestra que la ordenada “y” de M es 𝑦𝑦 = 2

Por lo tanto, las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos (𝑥𝑥1 ; 𝑦𝑦1 ) y (𝑥𝑥2 ; 𝑦𝑦2 ) son
𝑥𝑥 +𝑥𝑥 𝑦𝑦 +𝑦𝑦
𝑃𝑃(𝑥𝑥; 𝑦𝑦) donde: 𝑥𝑥 = 1 2 2 y 𝑦𝑦 = 1 2 2
Ejemplos:
1. Halle el punto medio (coordenadas) de los puntos A (-8,-2) y B (4,8)
Resolución:
Se tiene que:
−8 + 4 −2 + 8
𝑥𝑥 = = −2 𝑦𝑦 = =3
2 2
∴ 𝑃𝑃(−2,3)
2. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: P (2,5), Q (4,2), R (1,1).
Halle las coordenadas de los tres vértices.
Resolución:
Se tiene la gráfica:

��
P = punto medio de 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑥𝑥3 +𝑥𝑥2
2= 2
= 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 4 (1)
5= = 𝑦𝑦2 + 𝑦𝑦3 = 10 (2)
2
��
Q = punto medio de 𝐴𝐴𝐴𝐴
4= = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 8 (3)
2
2= 2
= 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 = 4 (4)
R = punto medio de ��

𝐴𝐴𝐴𝐴
1= 2
= 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥3 = 2 (5)
1= = 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦3 = 2 (6)
2
Operando (1) – (5)
𝑥𝑥2 −𝑥𝑥1 =2
𝑥𝑥2 +𝑥𝑥1 =8
2𝑥𝑥2 =10
𝑥𝑥2 = 5, 𝑥𝑥3 = −1, 𝑥𝑥1 = 3
Operando (2) – (6)
𝑦𝑦2 −𝑦𝑦1 =2
𝑦𝑦2 +𝑦𝑦1 =8
2𝑦𝑦2 =12
𝑦𝑦2 = 6, 𝑦𝑦1 = −2, 𝑦𝑦3 = 4
Luego:
A (3,-2)
B = (5,6)
C = (-1,4)

3.2.3.- Coordenadas del baricentro de un triángulo
El baricentro G de un triángulo ABC es el punto notable del triángulo que se obtiene como intersección
de las tres medianas del triángulo. Si se tiene una región plana triangular, el baricentro G es el centro
de gravedad de dicha región. El baricentro del triángulo se obtiene como promedio de las coordenadas
de los tres vértices A, B y C.
𝐴𝐴+𝐵𝐵+𝐶𝐶
𝐺𝐺 =
3
𝑥𝑥𝐴𝐴 +𝑥𝑥𝐵𝐵 +𝑥𝑥𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐴𝐴 +𝑦𝑦𝐵𝐵 +𝑦𝑦𝐶𝐶

𝐺𝐺 = � ; �
3 3
Ejemplo:
Halle la coordenada del baricentro del triángulo cuyos vértices son A (3,-2), B = (5,6) y C = (-1,4).
Resolución:
𝑥𝑥𝐴𝐴 +𝑥𝑥𝐵𝐵 +𝑥𝑥𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐴𝐴 +𝑦𝑦𝐵𝐵 +𝑦𝑦𝐶𝐶 3+5+−1 −2+6+4 7 8

𝐺𝐺 = � ; �=� ; � = �3 ; 3 �
3 3 3 3

1. Encuentre la longitud y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos dados.
a. A (–1, 5) B (2, –3)
b. E (0, –1) D (–3, –1)
c. Q (–2, 1) W(–2, 0)
2. Encuentre los puntos medios de los lados del cuadrado si los puntos 𝐴𝐴 = (0,1); 𝐵𝐵 = (3,5); 𝐶𝐶 =
(7,2); 𝐷𝐷 = (4, −2) son sus vértices .También halle el área del cuadrado construido con sus puntos
medios.
3. Dos vértices de un triángulo equilátero son 𝐴𝐴 = (−1,1), 𝐵𝐵 = (3,1). Encuentre las coordenadas del
tercer vértice. (Recuerde tomar en cuenta ambos casos).
4. El punto medio de un segmento es 𝑀𝑀 = (−1,2) y uno de sus extremos es 𝑁𝑁 = (2,5), encuentre las
coordenadas del otro extremo.
5. Encuentre las coordenadas de los extremos de A y B de un segmento, que se divida en tres partes
iguales por los puntos P (2; 2) y Q (1,5).
6. ¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une a 𝐴𝐴 = (1, −1) y 𝐵𝐵 = (4,5) en la dirección
de AB para que su longitud se triplique?
7. En el triángulo rectángulo con vértices en los puntos A (-2,2), B (4,5) y C (1,-2).Calcule el valor de k,
si k=AC/BM. M está en AC y BM es la mediana relativo al vértice B. Halle la coordenada del
baricentro.
8. El área de un triángulo es 6𝑢𝑢2 , dos de sus vértices son: A (3,1) y B (1,-3), si el tercer vértice C está
en el eje Y. Halle las coordenadas del vértice C. Halle la coordenada del baricentro.

1. Halla la longitud de cada segmento cuyos extremos son los puntos siguientes:
a) 𝐴𝐴(−3,2) y 𝐵𝐵(5,2) b) 𝐸𝐸(−2, −1) y 𝐹𝐹(3,4) c) 𝑃𝑃(6,4) y 𝑄𝑄(8,2)

1 3
d) 𝑅𝑅(−2, −1) y 𝑆𝑆(7,3) e) 𝑀𝑀 �0, 2� y 𝑁𝑁(9,0) f) 𝑇𝑇(2.5,8) y 𝑆𝑆 �−3, 4�
2. Se sabe que |𝐸𝐸𝐸𝐸| = 6 siendo E(x;2) ,F(5;8) y que |𝐶𝐶𝐶𝐶| = 8 cuando C(-3;4), D(5;y). Entonces el valor
de |𝐸𝐸𝐸𝐸| = 3�2𝑥𝑥(3𝑦𝑦) es
3. Conociendo que |𝑃𝑃𝑃𝑃| = √72; 𝑃𝑃(2, 𝑦𝑦); 𝑄𝑄(8,7) y que |𝑅𝑅𝑅𝑅| = 5√2; 𝑅𝑅(𝑥𝑥, −1); 𝑆𝑆(5, −2). El producto
del mayor valor de “y” por el menor valor de x, es:
a) –24 b) –18 c) -12 d) -26
4. Los vértices del ∆𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 son E (4; 3), F (6;-2), G (-11;-3). Por tanto, el triángulo es:
a) Isósceles b) Obtusángulo c) Equilátero d) Rectángulo
5. AC es la base del  isósceles ABC cuyos vértices son A (-8;-1), B (6; 7), C (-2; y). Si C pertenece al II
cuadrante, entonces la distancia de C al origen es:
a) √445 b) √443 c) 71+6√130 d) 41+4√127
6. El valor de x para que los puntos K(-2 ;5), T(1; 3), Q (x ;-1) sean colineales es:
a) 8 b) 6,8 c) 7,2 d) 7

Resumen
Distancia entre dos puntos
𝑑𝑑 = �(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )2 + (𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 )2
d: distancia entre los puntos P1 y P2.
Punto medio de un segmento
𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2 𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2

𝑥𝑥 = y 𝑦𝑦 =
2 2
Baricentro del triángulo ABC :
𝐴𝐴+𝐵𝐵+𝐶𝐶 𝑥𝑥𝐴𝐴 +𝑥𝑥𝐵𝐵 +𝑥𝑥𝐶𝐶 𝑦𝑦𝐴𝐴 +𝑦𝑦𝐵𝐵 +𝑦𝑦𝐶𝐶

𝐺𝐺 = =� ; �
3 3 3
BIBLIOGRAFIA:
LEHMMAN, Charles Geometría Analítica Editorial LIMUSA USA 2001
LARSON Roland; Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993

HOSTETLER, Robert
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Lima 2001

Moshera
Aquí encontrará más información sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta

http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm
Aquí encontrará ejercicios para desarrollar del plano cartesiano.

http://www.zonavirtual.org/EscenasInteractivas/paginas/Plano_Cartesiano.htm
Aquí encontrará ejercicios para desarrollar del punto medio.

http://www.iesadpereda.net/thales/suma_ejercicio.htm

3.2. EL PLANO CARTESIANO II
3.2.1.- Ángulo de inclinación de una recta
Dada una recta “ L “ ubicada en el plano cartesiano, se llama ángulo de inclinación de una recta, al
ángulo que forma dicha recta respecto a la horizontal (eje x), medido en sentido anti horario.
Así, en los gráficos siguientes, 𝛼𝛼 y 𝛼𝛼1 son los ángulos de inclinación de las rectas 𝐿𝐿 y 𝐿𝐿1
respectivamente.
son los ángulos de inclinación de las rectas L y L1
El ángulo de inclinación 𝛼𝛼 (alfa) de cualquier recta está comprendido entre 0° y 180°.
00 ≤ α ≤ 1800
• Si la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0°.

• Si la recta es perpendicular al eje x, su ángulo de inclinación es 90°.
3.2.2.- Pendiente de una recta
La pendiente de la recta L se denota con la letra m y su valor está dado por la función tangente
trigonométrica de su ángulo de inclinación 𝛼𝛼
𝑚𝑚 = tan 𝛼𝛼
NOTAS IMPORTANTES SOBRE PENDIENTES
3
1. Si 𝛼𝛼 = 37° entonces la pendiente de la recta L es 𝑚𝑚 = tan(37°) =
4
2. Si 𝛼𝛼 = 127° entonces la pendiente de la recta L1 es 𝑚𝑚1 = tan(127°) = tan(180° − 53°)
4
𝑚𝑚1 = −tan(53°) = −
3

3. Si 𝛼𝛼 = 120° entonces la pendiente de la recta L2 es 𝑚𝑚2 = tan(120°) = tan(180° − 60°)
𝑚𝑚2 = −tan(60°) = √3
1
4. Si 𝛼𝛼 = 30° entonces la pendiente de la recta L3 es 𝑚𝑚3 = tan(30°) =
√3
Cateto opuesto
𝛼𝛼
Cateto adyacente
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜
tanα =
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒ó𝑛𝑛
m=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑜𝑜 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
3.2.2.1.- Pendiente de una recta conociendo dos puntos
La pendiente m de una recta L que pasa por los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) es el número: m =
y2 −y1
x2 −x1
• Por los puntos P y Q de L tracemos paralelas a los ejes X e Y.

• En el triángulo rectángulo PAQ: y QPA α ( correspondientes)
Demostración

𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 ; 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1

tan 𝛼𝛼 = → tan 𝛼𝛼 =
𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1
∴ 𝑚𝑚 =
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1
Ejemplo:
Determine la pendiente de una recta que pasa por los puntos 𝑃𝑃1 (1,2) y 𝑃𝑃2 (−3,4).
𝑦𝑦2 −𝑦𝑦1
Aplicando la fórmula de la pendiente: 𝑚𝑚 =
𝑥𝑥2 −𝑥𝑥1
4−2 2 1
𝑚𝑚 = = =−
−3 − 1 −4 2
2−4 −2 1
𝑚𝑚 = = =−
1 − (−3) 4 2
3.2.3.- Rectas paralelas y perpendiculares
3.2.3.1.- Rectas paralelas
• Si dos rectas son paralelas, entonces tiene igual pendiente.

• Si las pendientes de dos rectas son iguales, entonces son paralelas.
Así:
L // L ⇔ m = m
1 2 1 2
3.2.3.2.- Rectas perpendiculares
• Si dos rectas son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es –1.

• Si el producto de las pendientes de dos rectas es –1, entonces las rectas son
perpendiculares.
Así:
L1 ⊥ L2 ⇔ m1.m2 = −1
Ejemplo:
Se definen 2 pares de rectas
𝐿𝐿1 : (1,3); (2,5)

Par 1: �
𝐿𝐿2 : (3,11); (−4, −3)
𝐿𝐿3 : (−2,3); (4,9)

Par 2: �
𝐿𝐿4 : (0,2); (2,0)
Determine qué rectas son paralelas y en cuales son perpendiculares.
Resolución:
Calculamos las pendientes de L1 y L2.
5−3 2
𝑚𝑚𝐿𝐿1 = = =2
2−1 1
−3 − 11 −14
𝑚𝑚𝐿𝐿2 = = =2
−4 − 3 −7
Las pendientes de ambas rectas son iguales. Luego, cumplen con la condición de
paralelismo (L1 y L2 son rectas paralelas).
Ahora, calculamos las pendientes de L3 y L4.
9−3 6 6
𝑚𝑚𝐿𝐿3 = = = =1
4 − (−2) 4 + 2 6

0 − 2 −2
𝑚𝑚𝐿𝐿4 = = = −1
2−0 2
Las pendientes de las rectas no son iguales, pero su producto es -1. Luego, cumplen con la
condición de Perpendicularidad (L3 y L4 son perpendiculares).

Resumen
Pendiente de una recta:
𝑚𝑚 = tan 𝛼𝛼
00 ≤ α ≤ 1800
y2 −y1
Para los puntos P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) es el número: m =
x2 −x1
Rectas paralelas Rectas perpendiculares
L // L ⇔ m = m
1 2 1 2 L1 ⊥ L2 ⇔ m1.m2 = −1
BIBLIOGRAFIA:
LEHMMAN, Charles Geometría Analítica Editorial LIMUSA USA 2001

LARSON Roland; Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993
HOSTETLER, Robert
VERA, Carlos Matemática Básica Colección Moshera Lima 2001
Aquí encontrará más información sobre el plano cartesiano y la ecuación de la recta.

http://descartes.cnice.mec.es www.eneayudas.cl/geomanal.html
http://coliman.tripod.com/mate/l_rectas.htm

UNIDAD
4
FUNCIONES Y GRÁFICAS
Al finalizar la unidad, el alumno determina el dominio y rango de los diferentes tipos de funciones
aplicando distintos métodos de resolución.
TEMARIO
4.1. Tema 8: Funciones I

4.1.1. Definición intuitiva. Función de AxB
4.1.2. Regla de correspondencia
4.1.3. Dominio y rango de una función de AxB
4.2. Tema 9: Funciones II

4.2.1. Dominio y rango de una función de RxR
4.2.2. Restricciones del dominio
4.2.3. Intercepto con los ejes coordenados
4.3. Tema 10: Funciones III

4.3.1. Gráfica de una función
4.3.2. Funciones básicas: Constante, lineal, valor absoluto, cuadrática
4.3.3. Funciones seccionadas
• Identifican una función real de variable real y su gráfica en el plano cartesiano.

• Calcula el dominio de funciones polinómicas, racionales, irracionales y evalúa sus restricciones.

4.1.- Funciones I
4.1.1.- Definición Intuitiva
¿Qué es una función?
Caso 1
Supongamos que un cultivo de bacterias se inicia con 5,000 de ellas y la población se duplica cada
hora, entonces el número N de bacterias depende del número t de horas transcurridas.
El biólogo observa que el número de bacterias del cultivo se incrementa con el transcurso del tiempo y
trata de determinar la regla o función que relaciona ambos.
Un cálculo sencillo nos permite determinar que esta relación se puede expresar como:
N = 5000 × 2𝑡𝑡
t (horas) N
0 5 000
1 10 000
2 20 000
3 40 000
……… ………
Caso 2
Un físico se da cuenta que el peso de un astronauta depende de la distancia a la que se encuentra del
centro de la tierra, entonces intenta descubrir la regla o función que relaciona el peso F con la distancia
h a la superficie de la Tierra.
𝑀𝑀𝑇𝑇 𝑚𝑚
F = G (𝑅𝑅
𝑇𝑇 +ℎ)2
Siempre que una variable dependa de otra, genera una relación funcional, por ello podríamos definir a
la función de la siguiente manera:
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento,
denotado por 𝑓𝑓(𝑥𝑥), de un conjunto B.
Si x está en el conjunto A, entonces 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es llamado la imagen de x bajo f.
El conjunto A es llamado Dominio de la función f y se denota por Dom(𝑓𝑓). Al dominio de f, se le llama

conjunto de preimágenes.
El conjunto Ran(𝑓𝑓) = {𝑓𝑓(𝑥𝑥)/𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴} es llamado el rango de f ; el cual nos indica el conjunto de las
imágenes de x.

4.1.2.- Regla de correspondencia
Ejemplo:
• Indique cuáles de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones.
𝑓𝑓1 = {(𝑎𝑎, 𝑝𝑝), (𝑏𝑏, 𝑞𝑞), (𝑐𝑐, 𝑟𝑟), (𝑑𝑑, 𝑠𝑠)}
𝑓𝑓2 = {(1,1), (1,3), (1,4), (1,5)}
Resolución:
Comencemos analizando 𝑓𝑓1 .
Si representamos este conjunto con un diagrama sagital tendremos lo siguiente:
A B
En este diagrama, vemos fácilmente que cada

elemento del primer conjunto (conjunto de
partida) se relaciona con un único elemento del
segundo conjunto (conjunto de llegada).
Luego 𝑓𝑓1 es una función.
Analicemos ahora 𝑓𝑓2.
En este diagrama vemos fácilmente que el

elemento del conjunto de partida se relaciona
con varios elementos del conjunto de llegada.
Luego 𝑓𝑓2 no es una función.

4.1.3.- Dominio y Rango de una función AxB
Analizando las funciones 𝑓𝑓1 y 𝑓𝑓2 del ejemplo anterior.
Se obtiene:
Dom(𝑓𝑓1 ) = {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑}; Ran(𝑓𝑓1 ) = {𝑝𝑝, 𝑞𝑞, 𝑟𝑟, 𝑠𝑠}
Dom(𝑓𝑓2 ) = {1}; Ran(𝑓𝑓2 ) = {1,2,3,4,5}

4.2.- Funciones II
4.2.1.- Dominio y Rango de una función de RxR
4.2.1.1.- Función real de variable real
Son todas aquellas funciones cuyo dominio y rango son subconjunto de los números reales
Ejemplos:
𝒇𝒇 = �(𝒙𝒙; 𝒚𝒚) / 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙 − 𝟏𝟏 ∧ 𝒙𝒙 ∈ 〈𝟐𝟐; 𝟓𝟓〉�

𝒈𝒈(𝒙𝒙) = √𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏, si 𝒙𝒙 ∈ [𝟑𝟑; +∞⟩
4.2.1.2.- Dominio y Rango de una función real de variable real
Sea 𝒇𝒇: 𝑨𝑨 → 𝑩𝑩, tal que 𝑨𝑨 ⊂ ℝ y 𝑩𝑩 ⊂ ℝ
Dominio de f
Está formado por todos los valores reales de 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴, que garantizan la existencia de 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙)
Rango de f
Está formado por todos los valores reales de 𝑦𝑦 ∈ 𝐵𝐵, (conjunto de imágenes) y se calcula a
partir de su dominio.
Ejemplos:
A) Determine el dominio y rango de la siguiente función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2 + 1
Determinamos su dominio:
Se debe encontrar los valores reales de 𝑥𝑥 tal que 𝑓𝑓(𝑥𝑥) este bien definida en los reales
Entonces
𝑥𝑥 − 2 ≥ 0
𝑥𝑥 ≥ 2
∴ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = [2; +∞⟩
Determinamos su rango:
Se debe encontrar los valores reales de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) , a partir del dominio, es decir
𝑥𝑥 ≥ 2
→ 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0
→ √𝑥𝑥 − 2 ≥ 0
→ √𝑥𝑥 − 2 + 1 ≥ 0 + 1
→ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 1
∴ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = [1; +∞⟩

B) Determine el rango de la siguiente función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 − 1, tal que 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = [2; 4⟩
Determinamos su rango:
Se debe encontrar los valores reales de 𝑔𝑔(𝑥𝑥) , a partir del dominio, es decir
2 ≤ 𝑥𝑥 < 4
→ 4 ≤ 2𝑥𝑥 < 8
→ 3 ≤ 2𝑥𝑥 − 1 < 7
→ 3 ≤ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) < 7
∴ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 = [3; 7⟩
4.2.2.- Restricción del dominio:
4.2.2.1.- Función Polinómica
Un polinomio es de la forma 𝑎𝑎0 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 + 𝑎𝑎2 𝑥𝑥 𝑛𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑛𝑛 . Las funciones
lineales, cuadráticas, cúbicas, etc. son ejemplos de este tipo de funciones.
Restricción de dominio:
Cualquier valor real de x genera una imagen real en y . Luego, el dominio de toda función polinómica
es TODOS LOS NUMEROS REALES. 𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 = 𝑹𝑹
4.2.2.2.- Función Racional
𝑷𝑷(𝒙𝒙)
Tiene la forma 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝑸𝑸(𝒙𝒙) ; es decir, es el cociente de 2 funciones polinomiales.
Restricción de dominio: El polinomio del denominador debe ser distinto de cero. 𝑸𝑸(𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎
Ejemplos:
𝟐𝟐
1. Calcule el Dominio de 𝒚𝒚 =
𝒙𝒙+𝟏𝟏
Aplicando la restricción:
𝑥𝑥 + 1 ≠ 0
𝑥𝑥 ≠ −1
Luego el dominio es: 𝑹𝑹 − {−𝟏𝟏}

2. Calcule el dominio de:
𝒙𝒙
𝒇𝒇(𝒙𝒙) =
𝒙𝒙𝟐𝟐 −𝟗𝟗
𝑥𝑥 2 − 9 ≠ 0
𝑥𝑥 ≠ √9
𝑥𝑥 ≠ ±3
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑅𝑅 − {−3,3}

4.2.2.3.- Función Irracional
𝑛𝑛
Cuando la regla de correspondencia está afectada por un radical como 𝑦𝑦 = �𝑃𝑃(𝑥𝑥)
Si n es impar positivo, P(x) no tiene restricción para calcular el dominio entonces: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝑅𝑅
Si n es par positivo, P(x) tiene restricción para calcular el dominio,

𝑃𝑃(𝑥𝑥) ≥ 0 entonces 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/𝑃𝑃(𝑥𝑥) ≥ 0}.
Ejemplos:
1. Calcule el dominio de la siguiente función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥
Aplicando la restricción 𝑥𝑥 ≥ 0
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅/𝑥𝑥 ≥ 0}
que también se expresa como 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = [0, +∞⟩
2. Calcule el dominio de la siguiente función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 2 + 4
𝑥𝑥 2 + 4 ≥ 0
(𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 2) ≥ 0

Un método interesante para resolver la inecuación es mediante el método de los puntos críticos, para
dos factores, el cual nos dice que el conjunto solución son las regiones laterales, al dividir la recta en
tres regiones,
+) − (+
−2 +2
Dado que la inecuación está definida para valores positivos, se toman como solución las regiones
positivas.
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷: ⟨−∞, −2] ∪ [2, +∞⟩
Gráfica:
4.2.3.- Intercepto con los ejes coordenados
4.2.3.1.- El intercepto con el eje coordenado X

Es el punto de la gráfica de la función que se obtiene mediante la ecuación 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. Es decir, el
par ordenado (𝑥𝑥0 ; 𝑦𝑦0 ) es el intercepto con el eje coordenado X si y solo si 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 0.
4.2.3.2.- El intercepto con el eje coordenado Y

Es el punto de la gráfica de la función que se obtiene mediante la evaluación 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(0). Es decir, el par
ordenado (0; 𝑦𝑦0 ) es el intercepto con el eje coordenado Y si y solo si 𝑓𝑓(0) = 𝑦𝑦0 .

Ejemplo:
Calcule los interceptos con los ejes coordenados de la siguiente función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2
Cálculo del Intercepto con el eje X
𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 0
(𝑥𝑥0 )2 + 𝑥𝑥0 − 2 = 0
(𝑥𝑥0 + 2)(𝑥𝑥0 − 1) = 0
→ 𝑥𝑥0 = −2 ⋁ 𝑥𝑥0 = 1
∴ Los interceptos con el eje X son (−2; 0) y (1; 0)
Cálculo del Intercepto con el eje Y

𝑓𝑓(0) = (0)2 + 0 − 2
𝑓𝑓(0) = −2
∴ El intercepto con el eje Y es (0; −2)

1. Sea 𝐴𝐴 = {1,2,3,4} se definen de A en N las funciones f y g tales que:
𝑓𝑓 = {(1, 𝑘𝑘), (2,5), (3,5), (1,3), (𝑝𝑝, 𝑘𝑘)} 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 2𝑝𝑝
a) Halle la suma de los elementos del rango de 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

b) Encuentre el valor de: 𝐸𝐸 = 𝑓𝑓(3) + 𝑔𝑔[𝑓𝑓(1)] − 𝑔𝑔[𝑓𝑓(4)] + 2𝑓𝑓[𝑓𝑓(1)]
2. Sea f(x) una función lineal y 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 − 8 . Si 𝑓𝑓(2) = 𝑔𝑔(3) y la gráfica de f pasa por el punto
(3,4). Halla el rango de f si su dominio es 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ⟨−2,6] )
3. Sea la función 𝑓𝑓 = {(7,8), (5, 𝑚𝑚2 ), (7, 𝑚𝑚 + 𝑎𝑎), (5,9), (𝑎𝑎, 8)}
a) Halle 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓) ∩ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑓𝑓).
b) Si g es una función definida en el 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓), mediante 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 tal que 𝑓𝑓(5) = 𝑔𝑔(2).
Halle 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑔𝑔)
4. Halle el dominio de las siguientes funciones:
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 2 1
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �1 − + + .
4 𝑥𝑥 2 −4 √𝑥𝑥+1
(1−2𝑥𝑥) 𝑥𝑥
b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 −9
+� + √𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3
𝑥𝑥−1
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = (2 + 3𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 1) + √3 − 5𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 + √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥
2 1−𝑥𝑥 √𝑥𝑥−2
d) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2 � 2 +4� 2𝑥𝑥−4
9−𝑥𝑥 𝑥𝑥
5𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 3𝑥𝑥 2
e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � + (1+𝑥𝑥) +
4 √20−𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥
𝑥𝑥 4 𝑥𝑥 2 +5𝑥𝑥−6 (1−2𝑥𝑥)
f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � +�
2−𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 −5 𝑥𝑥 3 −8
5. Halle el dominio de la función:
5𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 2 − 4 + � +
𝑥𝑥−4 1+𝑥𝑥 2

Halle el dominio de las siguientes funciones:
5𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥
1. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 2 − 4 + � + .
4 1+𝑥𝑥 2
𝑥𝑥 2 +3𝑥𝑥 1−𝑥𝑥 1
2. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � +� �+ .
𝑥𝑥 2 −16 𝑥𝑥 2 −4 2𝑥𝑥−3
(3𝑥𝑥−1)
3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 −2𝑥𝑥2 √𝑥𝑥 2 + 9 + 3𝑥𝑥.
√𝑥𝑥 2 +9 𝑥𝑥−𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥

4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥−2
+ �
𝑥𝑥 2 −9 1−𝑥𝑥 2
+ 3𝑥𝑥 + 1
3𝑥𝑥 2 −11𝑥𝑥+4 3𝑥𝑥 2 −11𝑥𝑥+4

5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � �+� �+ 4
𝑥𝑥 𝑥𝑥 2
𝑥𝑥
6. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √2𝑥𝑥 + 4 + (9 − 𝑥𝑥 2 ) +
𝑥𝑥 2 −25
4 𝑥𝑥 3 +1 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥 2 −5𝑥𝑥+9
7. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � + + .
4𝑥𝑥 2 −28𝑥𝑥+49 𝑥𝑥 2 −2𝑥𝑥 √5𝑥𝑥−𝑥𝑥 2
8. Halle el dominio de la función:
1−𝑥𝑥 1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 � �+ .
𝑥𝑥 2 −4 2𝑥𝑥−3

Resumen
𝑃𝑃(𝑥𝑥)
Función racional: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓) = 𝑅𝑅 − {𝑥𝑥 / 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 0}
𝑄𝑄(𝑥𝑥)
Función irracional:
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝐹𝐹(𝑥𝑥) → 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓) = 𝑅𝑅 − {𝑥𝑥 / 𝐹𝐹(𝑥𝑥) ≥ 0}
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝐹𝐹(𝑥𝑥) → 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓) = 𝑅𝑅
BIBLIOGRAFIA:
FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004
LARSON, Roland Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993

HOSTETLER, Robert
En la siguiente página se muestran gráficamente algunos conceptos.

http://descartes.cnice.mec.es

4.3.- Funciones III
4.3.1.- Gráfica de una Función
Si 𝑓𝑓 es una función, entonces la gráfica de 𝑓𝑓 es el conjunto de todos los puntos (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) en 𝑅𝑅2 , para los
cuales, (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es una pareja ordenada en 𝑓𝑓 . (Es un punto de la gráfica y satisface su ecuación).
Ejemplo:
Grafique la función 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2 y verifique que algún punto geométrico de la gráfica satisface la ecuación.
Usando esta tabla de valores graficamos la función.
Verifiquemos ahora
los puntos de la
gráfica, por ejemplo
(1,3)
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2
3=1+2
3=3
PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Al trazar cualquier recta vertical a la gráfica de f, la gráfica a

debe ser cortada en un solo punto para que sea función, caso contrario no es la gráfica de una
función real.

4.3.2.- Funciones básicas
4.3.2.1.- Función constante
A la función f , la llamaremos función constante , si su regla de correspondencia es:
𝑓𝑓 = 𝐶𝐶 , donde C es una constante.
También la función constante, se puede definir por:
𝑓𝑓 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝑅𝑅 × 𝑅𝑅 / 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐} , donde c es una

constante.
donde su dominio es 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅, su rango es 𝑅𝑅𝑓𝑓 = {𝑐𝑐} y su gráfica es:
4.3.2.2.- Función lineal
A la función f , le llamaremos función lineal , si su regla de correspondencia es :
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
Donde a y b son constantes y forma: 𝑎𝑎 ≠ 0.
También la función constante, se puede definir por:
𝑓𝑓 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝑅𝑅 × 𝑅𝑅 / 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏}
donde 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅; 𝑅𝑅𝑓𝑓 = 𝑅𝑅; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅; 𝑎𝑎 ≠ 0.
Su gráfica es:

4.3.2.3.- Función valor absoluto
A la función f , le llamaremos función valor absoluto, si su regla de correspondencia es :
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≥ 0
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥|, 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥 �
−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 < 0
También se puede expresar en la forma: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝑅𝑅 × 𝑅𝑅/𝑦𝑦 = |𝑥𝑥|}
Donde 𝐷𝐷𝑓𝑓 = R y 𝑅𝑅𝑓𝑓 = [0, ∞⟩ y su gráfica es:

4.3.2.4.- Función cuadrática
A la función f, le llamaremos función cuadrática, si su regla de correspondencia es:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅; 𝑎𝑎 ≠ 0
También, la ecuación cuadrática se expresa así:
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝑅𝑅 × 𝑅𝑅/𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅; 𝑎𝑎 ≠ 0}
La gráfica de la función cuadrática es una parábola con eje perpendicular al eje x en el cual
se presenta dos casos.
• Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba.

• Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo.
El dominio de la función cuadrática es: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅. El rango se determina completando

cuadrados.
Como
𝑏𝑏 𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 �𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 2 � + 𝑐𝑐 −
𝑎𝑎 4𝑎𝑎 4𝑎𝑎
𝑏𝑏 2 4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 �𝑥𝑥 + � +
2𝑎𝑎 4𝑎𝑎
𝑏𝑏 4𝑎𝑎𝑎𝑎−𝑏𝑏2
Luego el vértice de la parábola es: 𝑉𝑉 �− , 4𝑎𝑎 � (
2𝑎𝑎

Si a>0 se tiene :
𝐷𝐷𝑓𝑓 = R
4𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2
𝑅𝑅𝑓𝑓 = � , +∞�
4𝑎𝑎
Si a<0 se tiene :
𝐷𝐷𝑓𝑓 = R
𝑅𝑅𝑓𝑓 = �−∞, �
4𝑎𝑎

4.3.3.- Funciones seccionadas
Son aquellas que tienen varias reglas de correspondencia
𝑓𝑓 (𝑥𝑥), 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴1 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑓𝑓) = 𝐴𝐴1 ∪ 𝐴𝐴2

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 1 Donde � .
𝑓𝑓2 (𝑥𝑥), 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴2 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑓𝑓) = 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑓𝑓1 ) ∪ 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑓𝑓2 )
Asocia cada función con su gráfica:
3 1
a) 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 + 5 b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 3 c) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 d) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 2
2 2
2 3
e) 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 2 + 1 f) 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 g) 𝑦𝑦 = − 2 h) 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 2
1. 2.
3. 4.
5.
6.
7. 8.
Respuesta: a. (1) b.(4) c.(6) d.(8) e.(3) f.(2) g.(5) h.(7)

1. Halle el dominio, el rango y esboce la gráfica de la función:
−𝑥𝑥; 𝑥𝑥 ∈ [−9, −6]

⎧ 1
⎪− 𝑥𝑥 + 1 ; 𝑥𝑥 ∈ 〈−5,0〉
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5 3
⎨ |𝑥𝑥 − 4|; 𝑥𝑥 ∈ [0,6⟩
⎪
⎩ 6; 𝑥𝑥 ∈ 〈6, ∞〉
−2; 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0

𝑥𝑥 − |𝑥𝑥 − 4|; 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 < 4
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 2
𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 5; 𝑠𝑠𝑠𝑠 4 ≤ 𝑥𝑥 < 8
12 − 2𝑥𝑥; 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≥ 8
2𝑥𝑥 − 3; 𝑥𝑥 ≤ −1
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 4; 𝑥𝑥 ∈ 〈−1,2〉
−(𝑥𝑥 − 4); 𝑥𝑥 ≥ 4
3 − |𝑥𝑥 + 8|; −10 ≤ 𝑥𝑥 < −5

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
2𝑥𝑥 + 9; 𝑥𝑥 ≥ −5
𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 < −2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � |𝑥𝑥 − 1|; −2 ≤ 𝑥𝑥 < 3
−1; 𝑥𝑥 ≥ 3

𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 ∈ [9,30]
⎧ |𝑥𝑥 − 5|; 𝑥𝑥 ∈ 〈3,6〉
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2
⎨ 𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 + 24; 𝑥𝑥 ∈ 〈−∞, −3〉
⎩4; 𝑥𝑥 ∈ [−3, −2⟩ ∪ 〈−2,2〉 ∪ ⟨2,3]
𝑥𝑥
; 𝑥𝑥 ∈ 〈−4, −2〉
2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �(𝑥𝑥
− 2)2 − 1; 𝑥𝑥 ∈ 〈−2,4〉
|𝑥𝑥 − 8| − 1; 𝑥𝑥 ∈ 〈4, ∞〉
1
⎧ � � 𝑥𝑥 + 4; 𝑥𝑥 ∈ 〈−2,2〉
⎪ 4
⎪ 2 − 𝑥𝑥; 𝑥𝑥 ∈ 〈−2,4〉
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |2𝑥𝑥 − 10| − 1; 𝑥𝑥 ∈ [4,8]
⎨ −4; 𝑥𝑥 ∈ 〈8,10〉
⎪ −𝑥𝑥 + 6; 𝑥𝑥 ∈ [10, +∞⟩
⎪
⎩ 3𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 6; 𝑥𝑥 ≤ −2

Resumen
1. Función constante: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶.
2. *) Función identidad: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥.
3. Función lineal: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏.
𝑥𝑥, 𝑥𝑥 ≥ 0
4. Función valor absoluto: |𝑥𝑥| = � .
−𝑥𝑥, 𝑥𝑥 < 0
5. Función Cuadrática: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐; 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅; 𝑎𝑎 ≠ 0.
• Si a>0 la gráfica se abre hacia arriba.

• Si a<0 la gráfica se abre hacia abajo.
El dominio de la función cuadrática es: 𝐷𝐷𝑓𝑓 = 𝑅𝑅. El rango se determina completando

cuadrados.
𝑏𝑏 4𝑎𝑎𝑎𝑎−𝑏𝑏2
El vértice de la parábola es: 𝑉𝑉 �− , 4𝑎𝑎 �
2𝑎𝑎
Si a>0 se tiene :
𝐷𝐷𝑓𝑓 = R, 𝑅𝑅𝑓𝑓 = � , +∞�
4𝑎𝑎
Si a<0 se tiene :
𝐷𝐷𝑓𝑓 = R, 𝑅𝑅𝑓𝑓 = �−∞, �
4𝑎𝑎
BIBLIOGRAFIA:
FIGUEROA, Ricardo Matemática Básica Edit Gráficas América S.R.L Lima 2004
LARSON, Roland; Cálculo y Geometría Analítica McGraw Hill USA 1993
HOSTETLER, Robert
LEITHOLD, Louis Cálculo con Geometría analítica Editorial Oxford México 2004
En http://descartes.cnice.mec.es se muestra gráficamente algunos conceptos.

UNIDAD
5
FÍSICA APLICADA
Al finalizar la unidad, el estudiante, trabajando de manera individual, resuelve problemas y
situaciones reales del campo de la cinemática haciendo uso de los principios de la física y la
matemática aplicada.
TEMARIO
5.1 Tema 11: Introducción a la Cinemática

5.1.1 Objeto de estudio de la cinemática y sus aplicaciones
5.1.2 Velocidad y aceleración
5.1.3 Sistema de coordenadas
5.1.4 Fundamentos trigonométricos aplicados a la cinemática
5.1.5 Condiciones iniciales en cinemática
5.2 Tema 12: Cinemática

5.2.1 Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
5.2.2 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
5.2.3 Movimiento Parabólico
5.2.4 Movimiento circular uniforme
5.2.5 Movimiento circular uniformemente variado
• Los alumnos diferencian e identifican los diferentes tipos de movimientos realizados en el

campo de la cinemática
• Los alumnos representan correctamente un sistema de movimiento cinemático indicando todos
sus componentes, según los casos y problemas planteados.
• Los alumnos resuelven problemas dentro del campo del movimiento rectilíneo, armónico,
parabólico y circular haciendo uso de las propiedades de la física clásica y la teoría matemática
para la solución de ecuaciones.

5.1.- INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA
5.1.1.- Objeto de estudio de la Cinemática y sus aplicaciones
Antes de iniciar el estudio de la Cinemática, es necesario conocer en qué ámbito se desarrolla el estudio
de la Cinemática y qué lugar ocupa dentro del campo de la Física.
En el mundo de la Física, existe un ámbito, también bastante amplio al que se denomina Mecánica.
La Mecánica es una rama especializada de la física que se encarga de estudiar y analizar el movimiento
y el reposo de cualquier cuerpo con una masa específica, su evolución a lo largo del tiempo como
consecuencia de la aplicación de un conjunto de fuerzas.
Dicho de una manera más simple, la mecánica se encarga del estudio del reposo, el movimiento y la
aceleración de los cuerpos considerando también las fuerzas que producen dicho reposo, movimiento
y aceleración.
Se suele asumir que la mecánica tiene que ver solamente con el estudio de cuerpos de gran masa que
se mueven de están en reposo o se mueven de manera acelerada o desacelerada; sin embargo, la
mecánica tiene un alcance mucho mayor. Tal es así, que la mecánica se aplica a los cuerpos en
movimiento en el plano y en el espacio, cuerpos en reposo, al estudio de los fluidos, a partículas,
moléculas y átomos, a sistemas electromagnéticos, a sistemas cuánticos, etc.
Con respecto a las aplicaciones de la cinemática, podemos mencionar:

• Movimiento y desplazamiento de piezas mecánicas en maquinarias
• Cálculo de velocidades de reproducción de discos duros, DVDs, etc.
• El estudio del movimiento de los planetas
• Cálculos de velocidad de vehículos para garantizar el movimiento estable.
• Modelamiento matemático para videojuegos
• Modelamiento de perspectiva de objetos para realidad virtual y realidad aumentada
• Mapas de cuadriláteros para geolocalización y geoposicionamiento.
• Análisis de desplazamiento de objetivos, movimiento de masas.
• Identificación y predicción de patrones de movimiento, etc.
En ese sentido, la mecánica se clasifica en 4 campos que se muestran en la siguiente gráfica:
Figura 1: Clasificación de la mecánica

Fuente: Tomado de https://geotecnia-sor2.blogspot.com

Asimismo, en la siguiente gráfica se puede apreciar la clasificación de la mecánica clásica:
Figura 2: Clasificación de la mecánica clásica

Fuente: Tomado de https://geotecnia-sor2.blogspot.com
Para el presente capítulo, nos vamos a centrar en la mecánica clásica.
La Mecánica clásica puede clasificarse en tres campos:
• Estática: Es una rama de la mecánica que se encarga del estudio de los cuerpos en reposo y el
equilibrio de las fuerzas que ocasionan dicho reposo.
• Dinámica: Es una rama de la mecánica que describe la forma cómo un sistema físico (como
por ejemplo un sistema mecánico) va evolucionando a lo largo del tiempo considerando los
motivos o causas (fuerzas físicas) que lo producen.
• Cinemática: Es una rama de la mecánica
En específico, el desarrollo del tema que comprende este capítulo se centrará en el estudio de la
Cinemática. Para comprender los sistemas cinemáticos hay que tener en cuenta el SISTEMA DE
REFERENCIA con el que se analizan los cuerpos.
Tanto el reposo como el movimiento tienen un carácter relativo. Es decir, son estados que dependen
de las condiciones mutuas entre el cuerpo que supuestamente está en reposo o en movimiento y el
cuero respecto al cual se refieren estas propiedades. Por ejemplo, un el asiento de un automóvil en

marcha se encuentra en reposo respecto al conductor que está al costado de dicho asiento; sin
embargo, estará en movimiento respecto a un tercer observador que se encuentra fuera del auto. De
la misma manera, un árbol o una casa estarán en reposo respecto a la tierra, pero estarán en
movimiento respecto al mismo automóvil que se encuentra en marcha.
Por lo tanto, podemos concluir que un mismo cuerpo puede encontrarse en reposo respecto a otro, y
a la vez, en movimiento respecto a un tercero. Por consiguiente, al analizar el movimiento de un cuerpo
es necesario especificar con relación a qué otros cuerpos se refiere el movimiento. Estos cuerpos
constituyen lo que denominamos el SISTEMA DE REFERENCIA. Este sistema de referencia está formato
por un sistema de ejes coordinados unidos al cuerpo que sirve de referencia para el análisis de los
cuerpos.
Figura 3: Ejemplo de un sistema de referencia en el plano XY
En un SISTEMA DE REFERENCIA, podemos identificar los siguientes componentes:
• REPOSO: Es el estado inicial en el que se encuentra un cuerpo que no cambia de posición

respecto al sistema de referencia.
• MOVIMIENTO: Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto a un sistema de

referencia a medida que transcurre el tiempo.
• MÓVIL: El cualquier cuerpo que tiene movimiento. Por ejemplo, un cuerpo que cae, una
paloma en vuelo, el sonido, un auto en movimiento, una pelota que es lanzada hacia un arco,
etc. Cuando las dimensiones de este móvil son pequeñas en comparación con las distancias
involucradas en el sistema de referencia físico que se analiza, se considera
(representativamente) como una partícula, o sea un móvil puntual.
• TRAYECTORIA: Es la línea que recorre el cuerpo durante su movimiento y está formada por
todas aquellas posiciones relativas que el cuerpo ocupa en el transcurso del tiempo.
• DESPLAZAMIENTO: Es una magnitud física (técnicamente hablando es una magnitud vectorial)

cuyo valor nos indica la distancia entre el punto de partida t el punto de llegada. Su dirección
es tal que siempre apunta en dirección al punto de llegada.

5.1.2.- Velocidad y Aceleración
a) Velocidad
Es una magnitud de naturaleza vectorial que mide el espacio recorrido por el móvil por cada
unidad de tiempo; es decir relacional el cambio de posición (desplazamiento) de un cuerpo con
respecto al tiempo. Su dirección es siempre tangente a la trayectoria y su sentido es el mismo
que el del movimiento del cuerpo. Se representa con la letra “v” y sus unidades (en el sistema
internacional de unidades) se expresan en “metros por segundo” (m/s), aunque en algunos
casos se suele utilizar también km/h. Por ejemplo, una velocidad uniforme de 30 km/h, significa
que el móvil en cada hora recorrerá un espacio de 30 km.
Matemáticamente, la velocidad se define como el cociente entre la distancia recorrida

(expresada en metros) y el tiempo transcurrido (expresado en segundo)
Si hay un cambio en la velocidad, en la dirección en la que desplaza el cuerpo o en la dirección

opuesta, entonces el objeto tiene una velocidad cambiante y se dice que está sufriendo una
aceleración.
b) Aceleración
Es una magnitud vectorial (es decir con valor numérico y sentido) que nos indica la variación de
la velocidad por unidad de tiempo. Se suele representar con la letra “a” y sus unidades (en el
sistema internacional de unidades) son los “metros por segundo al cuadrado” (m/s2).
De acuerdo con la 2da Ley de Newton, la aceleración es el efecto combinado de dos causas:
• La suma total de todas las fuerzas externas que actúan sobre ese objeto. Esta suma total de
fuerzas es directamente proporcional a la aceleración.
• La masa del objeto. Esta masa es inversamente proporcional a la aceleración; es decir, a
mayor masa, menos aceleración.
Figura 4: Casos de aceleración: aceleración positiva, aceleración negativa y aceleración constante

Matemáticamente, la aceleración se define como la diferencia de la velocidad final del objeto y

su velocidad inicial, dividido entre el tiempo transcurrido.
Para poder entender mejor este concepto, considere un vehículo que arranca estando detenido
(velocidad cero) y viaja en línea recta a velocidades crecientes; en este caso decimos que el
vehículo está acelerando en la dirección de la marcha. Si el vehículo gira, se produce una
aceleración hacia la nueva dirección y cambia su vector de movimiento. La aceleración del
vehículo en su dirección actual de movimiento se llama aceleración lineal (o tangencial si el
movimiento es circular), la reacción que experimentan los pasajeros a bordo como una fuerza
que los empuja hacia atrás en sus asientos. Al cambiar de dirección, la aceleración que efectúa
se llama aceleración radial y la reacción que experimentan los pasajeros será como una fuerza
centrífuga. En cambio, si la velocidad del vehículo disminuye, esto es una aceleración en la
dirección opuesta y matemáticamente se considera negativa, a veces llamada desaceleración,
por lo que los pasajeros experimentan la reacción a la desaceleración como una fuerza que los
empuja hacia adelante.
5.1.3.- Sistemas de coordenadas
En el ítem anterior hablamos del SISTEMA DE REFERENCIA. Este sistema de referencia, para fines de
estudio y análisis de los fenómenos cinemáticos se representa matemáticamente, a través de un
sistema de coordenadas cartesianas. Este sistema de coordenadas puede ser en el plano (sistema XY)
o en el espacio (sistema XYZ).
Figura 4: Sistema de Coordenadas Cartesianas en XY y XYZ
5.1.4.- Fundamentos trigonométricos aplicados a la cinemática
Para el estudio de la cinemática resulta muy importante el conocimiento de los fundamentos

matemáticos del álgebra y la trigonometría.
En el caso de los fundamentos trigonométricos, éstos son de gran ayuda porque ayudan a representar
y modelar matemáticamente el movimiento y desplazamiento de los cuerpos dentro del sistrma de
referencia elegido.

Así, las identidades trigonométricas que se utilizan en cinemática son las siguientes:
Figura 5: Identidades trigonométricas
5.1.5.- Condiciones iniciales en cinemática
Como se mencionó anteriormente, en cinemática es muy importante el sistema de referencia con el

cual se está analizando el movimiento y/o el reposo de un cuerpo.
En ese sentido, cada caso analizado debe iniciar con el establecimiento de CONDICIONES INICIALES; es
decir los elementos iniciales para empezar el estudio del cuerpo en movimiento.
Este movimiento de un cuerpo o una partícula (según lo descrito en el ítem 5.1.1) se puede describir
según los valores de iniciales de velocidad y aceleración:
• Si la aceleración es nula, da lugar a un movimiento rectilíneo uniforme y la velocidad permanece

constante a lo largo del tiempo.
• Si la aceleración es constante con igual dirección que la velocidad, da lugar al movimiento
rectilíneo uniformemente variado y la velocidad variará a lo largo del tiempo.
• Si la aceleración es constante con dirección perpendicular a la velocidad, da lugar al movimiento
circular uniforme, donde el módulo de la velocidad es constante, cambiando su dirección con el
tiempo.

• Cuando la aceleración es constante y está en el mismo plano que la velocidad y la trayectoria, tiene
lugar el movimiento parabólico, donde la componente de la velocidad en la dirección de la
aceleración se comporta como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, y la
componente perpendicular se comporta como un movimiento rectilíneo uniforme, y se genera
una trayectoria parabólica al componer ambas. Un ejemplo muy conocido de este movimiento se
da cuando lanzamos un objeto desde una parte alta y apreciamos cómo este objeto, en su caída,
va describiendo una trayectoria parabólica.
• En el movimiento armónico simple se tiene un movimiento periódico de vaivén, como el
del péndulo, en el cual un cuerpo oscila a un lado y a otro desde la posición de equilibrio en una
dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. La aceleración y la velocidad son
funciones, en este caso, sinusoidales del tiempo.

5.2.- CINEMÁTICA
5.2.1.- Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
En la práctica científica que abarca el estudio del movimiento y/o desplazamiento de objetos, se tiende
a considerar situaciones simplificadas de los fenómenos, para, una vez comprendidas, ir introduciendo
variables que las aproximen más a la realidad.
Como se sabe, el movimiento de un objeto está condicionado por su interacción con el resto de los
objetos del universo que lo rodea (rozamiento, acción de un motor, gravedad, empuje, fuerzas
eléctricas, etc.), los cuales, con más o menos intensidad le transmiten una aceleración que interfiere
en su trayectoria, su distancia, etc. Pero, imagine por un instante, ¿cómo sería el movimiento de un
objeto completamente aislado, o simplemente un escenario en donde se anularán todas las
interacciones que actúan sobre él?
En esta línea, definimos el MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (MRU) a todo aquel movimiento que
no tiene aceleración y describe una trayectoria rectilínea; es decir, la representación matemática de
su trayectoria es la ecuación de una recta. Igualmente, en este movimiento se asume que no existe
ninguna fuerza que cambie la dirección de la velocidad y por lo tanto del objeto.
Para entender esta definición, analicemos el siguiente ejemplo:
En la gráfica, se observa un objeto (representado por un automóvil) que viaja a una velocidad de 6 m/s
a lo largo de una línea recta. Que el móvil se mueva con una velocidad de 6m/s significa que en 1s
recorre 6 metros; por lo tanto, en 2s recorre 12m, en 3s recorre 18m, en 4s recorre 16m y así
sucesivamente; esto significa que se está moviendo con una velocidad constante de 6m/s y que recorre
desplazamientos iguales en intervalos de tiempos iguales.
Siguiente con el mismo ejemplo, gráficamente este movimiento se puede representar de la siguiente
manera:
t(s) X(m)
0 0
1 6
2 12
3 18
4 24

La línea recta con pendiente positiva representa que el cuerpo se mueve con velocidad constante, es
decir, recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales. La pendiente de dicha recta permite
determinar la velocidad con que se mueve el automóvil. Tomando los valores del ejemplo anterior,
para t0 = 0 s , X0 = 0 m y t3 = 3 s , X3 =18 m, , por lo que se puede calcular la velocidad con que se
mueve el auto:
Entonces, aplicando inducción matemática, para el caso del Movimiento MRU, se tiene la siguiente
ecuación que representa la velocidad del objeto en función a la velocidad:
Asimismo, en MRU se es importante considerar que, además de la ecuación fundamental descrita,

también se manejan dos conceptos importantes, como son el TIEMPO DE ALCANCE y el TIEMPO DE
ENCUENTRO. En ambos casos se considera a dos móviles con diferentes velocidades y separados una
determinada distancia en donde, en el TIEMPO DE ALCANCE, los móviles van en el mismo sentido;
mientras que, en el TIEMPO DE ENCUENTRO, los móviles van en sentido contrario.
Para estos dos casos, las fórmulas necesarias son las siguientes:

Ejemplo de aplicación:
Dos autos que están separados 360 km. avanzan en línea recta en sentidos opuestos acercándose cada
vez más a razón de 25 km/h y 20 km/h. Calcule en qué tiempo estarán separados por 90 km. por
primera vez.
Haciendo la gráfica del ejercicio, se tiene lo siguiente:
Luego, considerando que el tiempo transcurrido es t:
Para el móvil 1: e1 = V1t, entonces: e1 = 25t
Para el móvil 2: e2 = V2t, entonces: e2 = 20t
Luego en el espacio total recorrido se tiene: e1 + 90 + e2 = 360
25t + 90 + 20t = 360
t = 6 segundos

5.2.2.- Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
En el caso del MRUV el movimiento del objeto (el cual denominaremos móvil) se realiza con velocidad
variable, es decir el móvil experimenta un aumento o disminución de su velocidad; por lo que decimos
que está acelerando o desacelerando, según sea el caso.
En la situación descrita en la página anterior, si aplicamos la fórmula de velocidad para el tractor,

encontramos que en cada situación el tractor tiene diferente velocidad.
Si llevamos a una gráfica este comportamiento, tendremos lo siguiente:

En este caso, como se puede apreciar, la función que describe este movimiento es una parábola, por
lo que su representación matemática será una función cuadrática.
Donde “a” es la aceleración del móvil.
Aplicando diferentes operaciones matemáticas al MRUV, podemos considerar las siguientes fórmulas
matemáticas
V0 = Velocidad inicial
Vf = velocidad inicial
d = Distancia recorrida
a = Aceleración
n = enésimo segundo
Igualmente hay que considerar que el signo de las ecuaciones será positivo si el movimiento es
acelerado y será negativo si es desacelerado.
Una aplicación importante del movimiento uniformemente acelerado se da cuando esto movimiento
es realizado en el eje vertical del sistema de referencia. Cuando esto sucede, estamos hablando de un
movimiento de CAÍDA LIBRE. En este movimiento la aceleración que se debe considerar es la
aceleración de la gravedad, la cual es igual a 10 m/s2 o 32 pies/s2.
Considere las siguientes situaciones: si arrojamos un objeto hacia arriba en forma vertical o
simplemente soltamos un cuerpo desde una altura determinada y lo dejamos caer; en ambos casos se
experimentará una aceleración producto del campo gravitatorio de la tierra, la cual llamamos
“gravedad”. En este caso, asumimos que no existe ninguna fuerza de rozamiento entre el objeto y su
interacción con el aire.
Veamos un ejemplo sobre la base de la gráfica inferior: Supongamos que un malabarista tira una pelota
en tiro vertical. La altura de la pelota hasta t0 la consideraremos 0 m, la velocidad a la cual tira
inicialmente la pelota es 30 m/s y aproximaremos la aceleración de la gravedad como g = -10 m/s².
Tener en cuenta que, en el sistema de referencia, la aceleración de la gravedad será negativa.

Un auto lleva un movimiento uniformemente acelerado. Entre dos puntos A y B de su trayectoria hay
una distancia de 64 metros, que los recorre en 4 segundos. Si su velocidad al pasar por el punto B es
de 22 m/s, calcule:
a) La velocidad que llevaba al pasar por el punto A

b) La aceleración del movimiento del auto
c) ¿A qué distancia de A parte del reposo?
Graficando el problema:
Entonces, aplicando la ecuación de velocidad final:
ecuación (1)
Luego con la ecuación de la distancia:
ecuación (2)
Luego, resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtienen los siguientes valores:
Finalmente, calculamos la distancia solicitada (d0A)

5.2.3.- Movimiento Parabólico
El movimiento parabólico describe un tipo de movimiento realizado por cualquier objeto o móvil cuya
trayectoria se puede representar a través de una parábola. Esta trayectoria describe, por ejemplo, la
trayectoria idea de un proyectil lanzado hacia arriba con algún grado de inclinación o por una pelota
que es pateada por un futbolista hacia un arco.
El movimiento parabólico constituye un modelo físico-matemático que representa el movimiento

realizado por un móvil en dos dimensiones o sobre un plano; por lo que se considera que el movimiento
parabólico es la combinación de dos movimientos: un movimiento horizontal uniforme (a lo largo del
eje X del sistema de referencia) y un movimiento vertical (a lo largo del eje Y)
En rigor, es necesario entender que cuando se habla de cuerpos que se mueven alrededor de un campo
gravitatorio como el de la tierra (el cual está sometido constantemente a fuerzas de atracción como la
gravedad) el movimiento no es estrictamente parabólico sino más bien elíptico. Sin embargo, en la
superficie de la tierra, este movimiento es tan acotado (con límites) que puede representarse a través
de una parábola. Por ejemplo, cuando se lanza una piedra, la piedra intenta realizar la trayectoria de
tipo elipse, sin embargo, como consecuencia de las fuerzas de atracción, la piedra llega a una altura
máxima y luego inicia su descenso hasta que cae al piso. Por ello, su trayectoria tiene un límite y no
llega a completar toda la trayectoria de una elipse: así pues, su trayectoria es solo “una parte” de la
elipse.
Debido a este fenómeno es que podemos, matemáticamente hablando, representar esta “parte” de la
elipse como una aproximación hacia una parábola. Si nos alejáramos de la superficie de la tierra, sí
tendríamos que utilizar la ecuación de una elipse para describir el movimiento del móvil, como sucede
cuando se estudia el movimiento y traslación de los planes o cuando se calcula la trayectoria de los
satélites artificiales.
El movimiento parabólico puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos:
un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
vertical. En este sentido, el análisis del movimiento parabólico se puede realizar por separado y de
manera independiente: un movimiento horizontal, aplicando las fórmulas del MRU y un movimiento
vertical utilizando las fórmulas del MRUV. En ambos casos, hay que tener en cuenta que, debido a que
en la trayectoria existe un ángulo de elevación, se deben utilizar algunas funciones trigonométricas
que tomen en cuenta dicho ángulo.
El movimiento parabólico tiene las siguientes características:

• La trayectoria del movimiento parabólico se puede identificar conociendo la velocidad de
salida inicial (V0), el ángulo de inclinación inicial (α) y la diferencia de alturas (entre la salida y
la llegada)

• Los ángulos de salida y llegada son iguales (siempre que la altura de salida y de llegada sean
iguales).
• La mayor distancia cubierta por el movimiento parabólico se logra con un ángulo de salida de
45°
• Para lograr la mayor distancia a un ángulo cualquiera, el factor más importante es la velocidad
del móvil.
Para fines de cálculo del movimiento parabólico se utilizará el siguiente sistema de referencia con sus
respectivas fórmulas.
Recorrido en el eje Y:
Recorrido en el eje X:
Velocidad en el eje Y:
Tiempo recorrido por el móvil:
Alcance a punto en el eje horizontal
Altura máxima del móvil:
Recorrido máximo del móvil:

Una pelota de fútbol que reposa sobre una cancha es pateada con un ángulo de 35° sobre la horizontal,
con una velocidad inicial de 20 m/s.
a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
b) ¿Cuál es la distancia máxima recorrida por la pelota?
Del ejercicio se tiene la siguiente gráfica en donde lo que se desea calcular es Xmax y Ymax.
Para iniciar la solución del ejercicio debemos tener en cuenta que, en el punto máximo de la
trayectoria, la velocidad de la pelota es igual a cero (Vy=0). Entonces aplicando la fórmula, tenemos:
Luego utilizando la ecuación del recorrido en el eje Y:
Finalmente, utilizando la ecuación del desplazamiento máximo en el eje X:

5.2.4.- Movimiento Circular Uniforme (MCU)
El movimiento circular uniforme (MCU) es el movimiento que realiza un objeto describiendo una
trayectoria circular con velocidad constante la cual no cambia.
Por ejemplo, en el gráfico de la siguiente página sed puede ver un objeto describiendo una trayectoria
circular con velocidad de 20 m/s, la cual se denomina VELOCIDAD TANGENCIAL y cuyo procedimiento
de cálculo es similar al del movimiento MRU descrito anteriormente.
Un concepto importante dentro del movimiento circular es la VELOCIDAD ANGULAR, la cual se define
como el ángulo que el radio de giro barre por cada unidad de tiempo expresado en radianes. Por
ejemplo, para nuestro móvil que realiza un movimiento circular en un determinado instante, entonces
tendrá una velocidad angular de π rad/s, eso significa que, en 1 segundo, el radio de giro va a barrer
un ángulo de π rad (o 180°).

Para poder realizar cálculos y resolver situaciones relacionadas con el Movimiento Circular Uniforme
(MCU) tendremos en cuenta el siguiente cuadro de fórmulas:
Ecuaciones Tangenciales y Angulares para MCU
θ : desplazamiento angular (rad).

ω : rapidez angular (rad/s).
t : tiempo (s).
L : longitud de arco (m).
V : rapidez tangencial (m/s).
R : radio de giro (m).
ac : aceleración centrípeta (m/s2).
T : período (s).
F : frecuencia (Hz).
5.2.5.- Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUV)
En el caso del Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV) es un movimiento de trayectoria

circular con aceleración angular constante. El MCUV, según el valor de la aceleración angular puede
ser, al igual que en el MRUV, uniformemente acelerado (cuando la aceleración angular es positiva) o
uniformemente desacelerado (cuando la aceleración angular es negativa).
Veamos como ejemplo el móvil de la figura inferior; el cual se encuentra realizando un movimiento
circular uniformemente variado, realiza una trayectoria circular con aceleración angular constante. Por
ello, a medida que avanza el tiempo, su velocidad cambia de manera constante.
Es necesario mencionar que no necesariamente la velocidad angular debe aumentar; sino también
puede disminuir. En el movimiento circular uniformemente variado hay que tener en cuenta dos
elementos importantes de este movimiento.
El primero de ellos es la ACELERACIÓN ANGULAR (α), la cual es una magnitud vectorial que indica el
cambio de la velocidad angular por unidad de tiempo y se expresa en rad/s2. En el MCUV, la aceleración
angular es constante y nunca cambia.
El segundo es la ACELERACIÓN TANGENCIAL, la cual es una magnitud vectorial que indica el cambio de
la velocidad tangencial por unidad de tiempo y se expresa en m/s2. En un movimiento circular
acelerado, la aceleración y la velocidad tangenciales apuntan en el mismo sentido. En movimiento
desacelerado, la aceleración y la velocidad tangenciales apuntan en sentido opuesto.

Para poder realizar cálculos y resolver situaciones relacionadas con el Movimiento Circular
Uniformemente Variado (MCUV) tendremos en cuenta los siguientes cuadros de fórmulas:
Ecuaciones Tangenciales en MCUV
Vf : velocidad tang. final (m/s).

V0 : velocidad tang. inicial (m/s).
at : aceleración (m/s2).
t : tiempo (s).
L : longitud de arco (m).
Ecuaciones Angulares en MCUV
ω0 : velocidad ang. inicial (rad/s).

ωf : velocidad ang. final (rad/s).
α : aceleración (rad/s2).
t : tiempo (s).
θ : desplazamiento angular (rad).

Ejercicios Propuestos
Ejercicios sobre Movimiento Rectilíneo Uniforme
01. Se presenta la siguiente situación: a Mariana le dieron el encargo de pasear a su perro por el
parque. Sin embargo, este se soltó de su correa y de inmediato empezó a correr en línea recta
hacia el norte. Al llegar a los 18 metros, cambió de dirección hacia el este, conservando su rapidez
de 2 m/s. A los 12 segundos de permanecer en esta dirección, es alcanzado por su dueña, quien
siguió una trayectoria lineal con velocidad constante. Consideremos que ambos iniciaron juntos
la partida. ¿Cuánta distancia ha recorrido la mascota por el este? ¿cuánta distancia ha recorrido
Mariana desde el inicio hasta alcanzar a su perro?
02. Un móvil con velocidad de 10 m/s se dirige del punto A hacia el punto B. Determine en cuánto
tiempo lo hace, si se sabe que la distancia entre el punto A hacia el punto B es de 140 metros.
03. Un tren de 10 m de longitud que va con una velocidad de 20 m/s quiere pasar un túnel de 50 m
de longitud. Determina el tiempo que el tren emplea para pasar el túnel desde su ingreso hasta la
salida total del tren.
04. Un automóvil de 5 metros de largo, que va con una velocidad constante de 10 m/s, quiere pasar
a un ómnibus de 10 metros de largo que va con una velocidad constante de 3 m/s. Si en ese
instante la parte delantera del automóvil está separada 20 m con la parte trasera del ómnibus,
determina en cuánto tiempo el automóvil logra pasar completamente al ómnibus.
05. Ana y Josefina están separadas 60 metros y lanzan sus canicas en direcciones opuestas, hacia el
centro. La canica de Ana va a una velocidad de 1 m/s y la de Josefina a 2 m/s. ¿En cuánto tiempo
se encuentran las canicas y cuántos metros recorrió la canica de Josefina?
06. Ante una llamada de emergencia de la familia Huamán, se le encarga al conductor del carro de
bomberos que vaya a apagar un pequeño incendio. Al salir, se desplaza a una velocidad de 20 m/s
hasta llegar al lugar; se demoran 4 minutos en controlar y apagar el incendio. Vuelve por el mismo
lugar y lo hace con 54 km/h, en ambos casos con MRU. Si para esta emergencia tardaron 25
minutos ¿a qué distancia de la estación de bomberos, en metros, se encuentra la casa de la familia
Huamán?
07. Dos móviles pasan por un mismo punto y se mueven en el mismo sentido con velocidades de 20
m/s y 30 m/s. Delante de ellos a 300 metros hay un árbol. ¿Después de qué tiempo los móviles
equidistan del árbol?
08. Un móvil viaja con MRU y debe llegar a su destino a las 7 pm. Si viajara a 40 km/h llegaría una
hora después; pero, si viajara a 60 km/h llegaría una hora antes. ¿Qué velocidad debido llevar
para llegar a su destino a la hora fijada?
09. Un tren para atravesar un túnel de 900 pies de longitud tarda 76 segundos y en pasar por delante
de un observador tarda 16 segundos. ¿Cuál es la longitud del tren?
10. Un niño de 1 metro de estatura va caminando con una velocidad de 2 m/s constante y pasa junto
a un poste de luz de 2 metros de altura. Calcular la velocidad con que la sombra del niño se mueve
con respecto al poste.
11. Dos móviles están separados 800 metros y avanzan en línea recta uno al encuentro del otro con
velocidades de 25 m/s y 15 m/s, respectivamente. Al cabo de un tiempo los móviles se cruzan y
se alejan. ¿Al cabo de cuánto tiempo estarán separados 1600 metros?
12. Se dispara un proyectil con una velocidad de 170 m/s directamente hacia un blanco. Una persona
parada al costado del blanco inicia el conteo con un cronómetro cuando escucha el disparo y tres
segundos después lo detiene cuando escucha el impacto del proyectil en el blanco. ¿A qué
distancia del blanco se efectuó el disparo? Considere la velocidad del sonido igual a 340 m/s.

Ejercicios sobre Movimiento Uniformemente Variado
13. A un auto que viaja a 10 m/s se le aplican los frenos y se detiene después de recorrer 50 metros.
¿Qué tiempo demoró en detenerse?
14. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 4 m/s2. ¿Qué espacio recorre en 10 segundo y
cuál es su velocidad al cabo de ese tiempo?
15. Un carro se mueve con MRUV y al pasar por un punto “P” tiene una velocidad de 60 m/s. Si 360
metros más adelante su velocidad es de 120 m/s, ¿Cuál fue su velocidad 100 metros antes del
punto “P”?
16. Un peatón corre hacia un ómnibus que se encuentra a 25 metros, para alcanzarlo con una
velocidad constante de 6 m/s. En ese mismo instante, el ómnibus parte del reposo acelerando a
razón de 1m/s2. Determinar si el peatón alcanza o no al ómnibus.
17. Un auto pate del reposo con aceleración constante. Entre el octavo y el novelo segundo recorre
34 metros. ¿Qué distancia recorre en el doceavo segundo?
18. Un móvil que se encuentra en el punto A, se pone en marcha desde el reposo incrementando su
velocidad de cero a “v” con una aceleración constante “a1” hasta el punto B. Luego de esto
mantiene su velocidad hasta llegar al punto C. Finalmente empieza a desacelerar con una
aceleración negativa “a2” hasta que se detiene. Hallar el tiempo total “T”, si la distancia total
recorrida es “S”
19. Un cuerpo es dejado caer en un lugar en donde la gravedad es 32 pies/s. ¿Qué velocidad tiene
después de 2 segundos?
20. Un cuerpo resbala con MRUV por un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Si
el cuerpo parte del reposo, hallar el valor de dicho ángulo, sabiendo que después de 10 segundos,
adquiere una velocidad de 80 m/s.
21. Una persona en la orilla de una azotea arroja una piedra verticalmente hacia arriba con una
velocidad inicial de 64 pies/s. 3 segundos más tarde deja caer otra piedra. ¿A qué distancia debajo
de la orilla de la azotea se encuentran las piedras? (g = 32 pies/s2)
22. ¿De qué altura debe caer un cuerpo para recorrer una distancia “L” en el último segundo de su
caída?
23. Un ascensor está subiendo con una velocidad constante de 20 pies/s y cuando el ascensor se
encuentra a una altura de 200 pies se suelta un perno del piso del ascensor. Calcule al cabo de 5
segundos, qué distancia separa al perno y a la parte más baja del ascensor.
24. Se deja caer una pelota de tenis desde una altura de 4 pies, rebotando hasta una altura de 1 pie.
Si la pelota estuvo en contacto con el suelo 0.01 segundos, ¿cuál su aceleración media durante el
contacto? Considere g = 32 pies/s2

Ejercicios sobre Movimiento Parabólico
25. Una bola de billar es lanzada horizontalmente desde la parte superior de un acantilado de 500
metros. De altura, con una velocidad de 5 m/s. ¿Qué espacio horizontal recorrió el cuerpo hasta
el instante que choca con el agua? (considere g=10 m/s)
26. Una piedra es soltada desde un avión que se mueve a una velocidad de 50 m/s. Si el avión está a
una altura de 2000 metros, ¿qué tiempo demora la piedra en llegar al suelo y además qué espacio
horizontal recorrió?
27. Un bote de motor parte desde la orilla de un río con una velocidad constante de 40 m/s,
perpendicular a él. Las aguas del río tienen una velocidad de 30 m/s y el ancho de éste es de 160
metros. ¿Qué tiempo demora el bote en llegar a la otra orilla? ¿Qué espacio se desfasa con
respecto al punto de partida? ¿Qué espacio total recorre el bote?
28. Desde el descanso de una escalera se lanza una bola con una velocidad de 3 m/s. el el alto y ancho
de cada escalón es de 0.7 metros cada uno, ¿En qué escalón caerá por primera vez la bola?
(considere g=10 m/s)
29. Demuestre que el alcance máximo de un móvil que es lanzado desde un punto inicial se da cuando
el ángulo de elevación respecto a la horizontal es de 45°.
30. Una pelota de tenis es lanzada horizontalmente desde una altura “H” con una velocidad de 16
pies/s. Igualmente, se sabe que la distancia horizontal recorrida es de 8 pies. Calcular la altura
máxima que alcanza el primer rebote, sabiendo que la pelota, durante el primer rebote,
permanece en contacto con el suelo 0.01 segundos y su aceleración media durante ese contacto
es 2000 pies/s.
31. Una piedra es lanzada con una velocidad resultante de 50 m/s, formando un ángulo de 37° con la
horizontal. Calcular el espacio horizontal que recorre la piedra.
32. Un ciclista se encuentra en un camino que se encuentra elevado en 15° respecto a la horizontal.
En dicha trayectoria el ciclista desea saltar un obstáculo que tiene 20 metros de longitud. Calcule
la mínima velocidad a la que debe ir el ciclista para lograr salta el obstáculo.
33. Se tiene un plano inclinado en 30° respecto a la horizontal. En dicho plano se lanza un proyectil
con velocidad de 20 m/s y con un ángulo de 30° con respecto al plano inclinado. Calcular la
distancia máxima recorrida por el proyectil en el plano inclinado.
34. Juan, un jugador de fútbol, patea una pelota que sale disparada a razón de 15 m/s y haciendo un
ángulo de 37° con respecto a la horizontal. Pedro, otro jugador que se encuentra a 27 metros de
distancia y delante de Juan, corre a recoger la pelota. ¿Con qué velocidad debe correr Pedro para
recoger la pelota justo en el momento en que ésta llega a tierra?
35. Un bateador le pega a una pelota que lanzan a una altura de 4 pies sobre el suelo, de tal manera
que su ángulo de proyección es de 45° y su alcance horizontal es de 350 pies. En el trayecto de la
pelota se encuentra una cerca de 24 pies de alto y ubicado a 320 metros del bateador. Determine
si la pelota pasará o no sobre la cerca.
36. Una partícula es proyectada con velocidad V0, hasta alcanzar una distancia sobre la horizontal que
es el doble de su altura máxima. Calcule el valor de la altura máxima.

Ejercicios sobre Movimiento Circular
37. Una partícula con MCU describe un arco de 6 metros en un tiempo de 3 segundo. Calcular la
velocidad tangencial de la partícula.
38. Una partícula gira con una frecuencia correspondiente a 120 rpm. Calcule su velocidad angular en
rad/s.
39. Un disco gira a razón de 45 rpm y tiene un radio de giro igual a 13 cm. Determine la velocidad
tangencial de un punto que se encuentra a 7 cm. del borde.
40. Determine la velocidad angular del horario, el minutero y el segundo de un reloj en rad/h.
41. Las agujas de un reloj (horario y minutero) están marcando las 3 de la tarde. ¿A qué hora dichas
agujas formarán un ángulo de 180°?
42. La velocidad angular de un motor gira a 1800 rpm y en dos segundos desciende uniformemente
hasta 1200 rpm. Calcule la aceleración angular
43. Un cuerpo gira alrededor de una circunferencia con aceleración angular constante de 20 rad/s2.
Si se sabe que necesita 3 segundos para girar un ángulo de 234 radiantes. ¿Qué velocidad angular
poseía al cabo de ese tiempo?
44. Desde una altura de 4.9 centímetros se suelta una piedra sobre un punto “x” perteneciente a la
periferia de un disco de 90 rpm. La piedra es soltada justo cuando el disco empieza a girar. ¿Qué
distancia separa al punto “x” de la piedra cuando éste choca con el disco, si se sabe que el radio
del disco es de 10 cm.
45. Un objeto irregular se pega a la superficie de una rueda; luego ésta empieza a girar partiendo del
reposo con aceleración angular constante de 2 rad/s2. Calcular el valor de la distancia “a” sabiendo
que el objeto se desprende después de 4 segundos. Considere g=10 m/s
46. En el siguiente sistema, calcula la velocidad angula de la rueda E, sabiendo que RB = 3m; RC =
2m; RD = 1m; RE= 3m y wA=2 rad/s
47. Un ventilador gira con una velocidad que corresponde a una frecuencia de 900 rpm. Al
desconectarlo, su movimiento pasa a ser uniformemente desacelerado hasta que se detiene por
completo después de dar 75 vueltas. ¿Cuánto tiempo transcurre desde el momento en que se
desconecta el ventilador hasta que se detiene por completo?
48. De la figura RA=4m; RB=2m ; wA=60 rad/s. Calcule la velocidad angular de la rueda B.


Resumen
1. En el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad se mantiene constante y no existe aceleración;
mientras que en el movimiento rectilíneo uniformemente variado la velocidad cambia a lo largo
del tiempo y la aceleración se mantiene constante
2. En el movimiento parabólico se analizar dos planos: En el plano vertical con las técnicas de MRU
y en el plano vertical con las técnicas de MRUV.
3. En los movimientos parabólicos y de caída libre la aceleración es la aceleración de la gravedad “g”,

que para fines de cálculo se considera con un valor de 10 m/s2
4. En el movimiento circular, que puede ser uniforme o uniformemente variado, aparecen dos
nuevos conceptos: la velocidad y la aceleración angulares, las cuales se expresan en radianes.
Recursos
Pueden revisar los siguientes enlaces para ampliar los conceptos vistos en esta unidad:
o https://www.youtube.com/watch?v=XE9UXxtep6M
o https://www.youtube.com/watch?v=USFdbyGp8w8
o https://www.youtube.com/watch?v=U78kZ19K3O0
o https://www.youtube.com/watch?v=uCdZ0PWgDes

Bibliografía
• Sears, Zemansky, Young, Freeman (2016). Física Universitaria. Vol. 1, 13ª edición Addison
Wesley.
• Serway, R. y Jewett, J. (2008). Física para Ciencias e Ingenierías. VII Edición. México: Cengage
Learning. Volumen 1.
• Mendoza D., Jorge. (2012) Física. Teoría y Problemas. Editorial Gómez, Lima-Perú.
• Díaz Mosto, Jorge. (2010) Mecánica Racional. Editorial de Libros Técnicos, Lima-Perú
• Aguirre, Jaime; Luque, Hildebrando. Física. Publicación del Centro de Estudios Pre
Universitarios de la Universidad Peruana Cayetano Heredia. 1990. Lima-Perú
• Beiser, Arthur. (2017). Física Aplicada. Segunda Edición. 2da Edición, McGraw Hill.
• Bragado, Ignacio Martín. (2003) Física General. Extraído de

https://fisicas.ucm.es/data/cont/media/www/pag-39686
• Atilio de C., Fabian. (2004). Problemas Resueltos de Física. Publicación de la Secretaría de

Ciencia y Tecnología de la Universidad Nacional de Catamarca. Argentina. Extraído de
http://editorial.unca.edu.ar/Publicacione%20on%20line

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MATEMÁTICA II

1.2. Tema 2: Inecuaciones Cuadráticas 12

2.2. Tema 4: Matrices II 26

2.3. Tema 5: Matrices III 36

3.2. Tema 7: Plano Cartesiano II 59

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 2

4.2. Tema 9: Funciones II 69

4.3. Tema 10: Funciones III 78

5.2 Tema 12: Cinemática 95

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 3

El presente manual de matemática II, ha sido diseñado bajo la modalidad de unidades de

Esta asignatura es de naturaleza práctica. Emplea las propiedades, postulados y teoremas

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 4

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 5

1.1. Tema 1: Desigualdades e Inecuaciones Lineales

1.2. Tema 2: Inecuaciones Cuadráticas

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 6

1.1. DESIGUALDADES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

1.1.1. Desigualdades: propiedades

Esta relación puede ser:

Aquellas que se verifican para cualquier número real.

𝑖𝑖𝑖𝑖) 2𝑥𝑥 − 3 < 10

1) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑏𝑏 > 𝑐𝑐; entonces 𝑎𝑎 > 𝑐𝑐

2) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 ∈ ℝ; entonces 𝑎𝑎 ± 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 ± 𝑐𝑐

3) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 𝑑𝑑; entonces 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑

Si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 𝑑𝑑; entonces 𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑

4) Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 > 0; entonces 𝑎𝑎 × 𝑐𝑐 > 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 7

Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 < 0; entonces 𝑎𝑎 × 𝑐𝑐 < 𝑏𝑏 × 𝑐𝑐

1.1.2. Inecuaciones lineales de una sola variable.

Pasos para su resolución:

1) Se cancelan los denominadores, multiplicando el MCM de dichos denominadores. Considerando que si

4) Graficar en la recta numérica el intervalo solución.

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 8

Ejemplo: Halle el conjunto solución de:

⟹ 5𝑥𝑥 + 5 − 4𝑥𝑥 + 12 > 10𝑥𝑥 + 30 − 20𝑥𝑥 + 80

∴⊂ 𝑆𝑆 = 𝑥𝑥 ∈< 93�11 , ∞ >

Problemas propuestos para la clase

1) Determine el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:

2) Halle el conjunto solución de:

3) Resuelva la siguiente inecuación:

1.1.3. Inecuaciones Racionales (Lineales)

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IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 10

Problemas propuestos para la clase

1) Halle el conjunto solución de:

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 11

1.2. Inecuaciones cuadráticas

1.2.1. Definición: partes

Son inecuaciones que tienen la siguiente forma:

𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ≥ 0 o 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 ≤ 0 ; 𝑎𝑎 ≠ 0

Corolario: Sea 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅 entonces

1.2.2. Inecuaciones de 2do grado (método: puntos críticos)

⇒ −3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ +1 ⇒ 𝐶𝐶. 𝑆𝑆. : [−3; 1]

⇒ 𝑥𝑥 ≤ −7 ∨ 𝑥𝑥 ≥ +3 ⇒ 𝐶𝐶. 𝑆𝑆. : 〈−∞; −7] ∪ [3; +∞〉

1.2.3. Inecuaciones cuadráticas factorizables y no factorizables

IES CIBERTEC Escuela de Tecnologías de la Información Página 12

a) Inecuaciones cuadráticas factorizables

Factorizamos la expresión: (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0