Este documento presenta 15 problemas de cálculo vectorial y electromagnético como parte de una tarea de una escuela de vacaciones de ingeniería eléctrica. Los problemas incluyen calcular campos eléctricos dados diferentes distribuciones de carga, encontrar áreas, volúmenes y longitudes asociados con superficies dadas en coordenadas cilíndricas y esféricas, y determinar vectores y ángulos entre puntos dados en el espacio.
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Este documento presenta 15 problemas de cálculo vectorial y electromagnético como parte de una tarea de una escuela de vacaciones de ingeniería eléctrica. Los problemas incluyen calcular campos eléctricos dados diferentes distribuciones de carga, encontrar áreas, volúmenes y longitudes asociados con superficies dadas en coordenadas cilíndricas y esféricas, y determinar vectores y ángulos entre puntos dados en el espacio.
Este documento presenta 15 problemas de cálculo vectorial y electromagnético como parte de una tarea de una escuela de vacaciones de ingeniería eléctrica. Los problemas incluyen calcular campos eléctricos dados diferentes distribuciones de carga, encontrar áreas, volúmenes y longitudes asociados con superficies dadas en coordenadas cilíndricas y esféricas, y determinar vectores y ángulos entre puntos dados en el espacio.
Este documento presenta 15 problemas de cálculo vectorial y electromagnético como parte de una tarea de una escuela de vacaciones de ingeniería eléctrica. Los problemas incluyen calcular campos eléctricos dados diferentes distribuciones de carga, encontrar áreas, volúmenes y longitudes asociados con superficies dadas en coordenadas cilíndricas y esféricas, y determinar vectores y ángulos entre puntos dados en el espacio.
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE MECÁNICA ELÉCTRICA ÁREA DE ELECTROTÉCNIA ESCUELA DE VACACIONES DICIEMBRE 2021 TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA 1
Tarea No. 1
1. Un vector desde el origen hasta el punto A está dado por (6, −2, −4), y un vector unitario dirigido desde el origen hasta el punto B está dado por (2, −2, 1)/3. Si los puntos A y B se encuentran a diez unidades entre sí, encontrar las coordenadas del punto B.
2. Dado el campo vectorial E = 4zy2 cos 2x ax + 2zy sen 2x ay + y2 sen 2x az en la
región |x|, |y| y |z| menor a 2, encontrar:
a. Las superficies en las que Ey = 0;
b. La región en la que Ey = Ez; c. La región en la que E = 0.
3. Dados los puntos M (0.1, −0.2, −0.1), N (−0.2, 0.1, 0.3) y P(0.4, 0, 0.1), encontrar: a. El vector RMN; b. El producto punto RMN · RMP; c. La proyección escalar de RMN sobre RMP; d. El ángulo entre RMN y RMP.
4. Tres vectores que se extienden desde el origen están dados por r1 = (7, 3, −2), r2=(−2, 7, −3) y r3=(0, 2, 3,). Encontrar: a. Un vector unitario ortogonal a r1 y r2; b. Un vector unitario perpendicular a los vectores r1 − r2 y r2 − r3; c. El área del triángulo formado por r1 y r2; d. El área del triángulo que forman las puntas de los vectores r1, r2 y r3.
5. a. Expresar con componentes y variables cilíndricas el campo D = (x2 + y2) −1 (xax + yay); b. Evaluar D en el punto donde ρ = 2, φ = 0.2π y z = 5, expresando el resultado en componentes cilíndricas y cartesianas.
6. Una superficie cerrada está definida por las superficies ρ = 3, ρ = 5, φ = 100°,
φ = 130°, z = 3 y z = 4.5. a. Encontrar el volumen encerrado; b. Hallar el área total de la superficie encerrada; c. Encontrar la longitud total de las doce esquinas de las superficies; d. Encontrar la longitud de la línea recta más larga que está encerrada dentro del volumen.
7. Dado el punto P (r = 0.8, θ = 30°, φ = 45°) y E = 1/r2 (cos φar + sen φ/sen θaφ), a. Encontrar E en P; b. Encontrar |E| en P; c. Hallar un vector unitario en la dirección de E en P.
8. Expresar el campo vectorial uniforme F = 5ax en:
a. Componentes cilíndricas; b. Componentes esféricas.
9. Una superficie cerrada está definida por las superficies r = 2 y 4, θ = 30° y 50°, y φ = 20° y 60°. a. Encontrar el volumen encerrado; b. Hallar el área de la superficie encerrada; c. Encontrar la longitud total de las doce orillas de la superficie; d. Hallar la longitud de la línea recta más larga que se encuentra dentro de la superficie.
10. Cuatro cargas positivas de 10nC se ubican en el plano z = 0 en las esquinas de un
cuadrado de 8 cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa en un punto ubicado a 8 cm de distancia de las demás. Calcular la magnitud de la fuerza total sobre esta quinta carga para Ɛ= Ɛ0.
11. Una carga Q0 que está en el origen genera un campo cuyo valor Ez = 1 kV/m en el punto P(−2, 1, −1).
a. Encontrar Q0. Encontrar E en M (1, 6, 5) en b. Coordenadas cartesianas; c. Coordenadas cilíndricas; d. Coordenadas esféricas.
12. Un volumen esférico de 2 μm de radio tiene una densidad volumétrica de carga de
1015 C/m3. a. ¿Cuál es la carga total encerrada en el volumen esférico? b. Suponer que una región de gran tamaño contiene una de estas pequeñas esferas en cada esquina de un enrejado cúbico de 3 mm de lado y que no hay cargas entre las esferas. ¿Cuál es la densidad volumétrica de carga en dicha región?
13. Una carga lineal uniforme de 2 μC/m está sobre el eje z. Encontrar E en el punto P(1, 2, 3) en coordenadas cartesianas si la carga está entre: a. −∞ < z < ∞; b. −4 ≤ z ≤ 4. 14. Encontrar el valor de E en el origen si las distribuciones de carga siguientes están presentes en el espacio libre: carga puntual, 12 nC en P (2, 0, 6); densidad de carga lineal uniforme, 3 nC/m, en x=−2, y = 3; densidad de carga uniforme, 0.2 nC/m2 en x = 2.
15. Si E = 20e−5y(cos 5xax− sen 5xay), encontrar:
a. |E| en P(π/6, 0.1, 2);
b. Un vector unitario en la dirección de E en P; c. La ecuación de la línea que pasa por P.
