C Lculo Diferencial IF FIA UAQ 2021 II A

1
Portafolio de tareas de cálculo diferencial

Ingenierı́a Fı́sica 2021-II Facultad de Ingenierı́a
Universidad Autónoma de Querétaro
Instrucciones
1. Capture la sección y el número del ejercicio a resolver de los libros
disponibles en la biblioteca del curso en Google Classroom y su nombre
completo.
2. Capture todo el enunciado del problema en el entorno ejercicio.
3. Capture su respuesta de manera clara en un entorno de respuesta en
la sección correspondiente.
4. Escriba su respuesta claramente, con detalle y el procedimiento, ela-
borado por usted.
5. Cualquier respuesta copiada de una guı́a de soluciones anula por com-
pleto la actividad.
6. Verifique que no haya errores de compilación en la sección de Logs y
archivos de salida ya que esto le afecta a usted y a todos sus com-
pañeros.
7. No se aceptan ejercicios capturados después del dı́a de entrega.
8. No es válido escribir solamente fórmulas en la respuesta, se debe des-
cribir a detalle el procedimiento para la respuesta elaborado por usted.
9. No es válido tomar una fotografı́a de la respuesta, sólo se permiten
imágenes de ilustraciones y gráficas elaboradas por usted. Puede usar
el paquete que usted guste.
10. No se permite resolver mas de una vez cada ejercicio en este docu-
mento. En caso de estar repetido se tomará en cuenta únicamente el
primero que se capturó y se anulará la actividad para la persona que
repita algún ejercicio.
11. Es muy importante que al terminar de escribir el ejercicio verifiquen
que no quede ningún error de compilación. Es decir, se debe verificar
del lado izquierdo del código en la barra con el número de lı́nea no
aparezca una equis roja y que el icono al lado de compilar quede en
en blanco (sin notificaciones de error).
2
12. No es necesario esperar a que los compañeros terminen los ejercicios

para descargar el PDF con sus ejercicios y subirlo a la plataforma.
0.1. Evaluación II
Sesión 1
2.1.0 El problema de la tangente, el problema de la velocidad en
caı́da libre, definición de lı́mite.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Matemáticas 1: Cálculo dife-

rencial, Denis G. Zill, sección 3.1 ejercicio 10) Evalué el lı́mite, grafiquelo
y determine si existe o no
x4 − 1
lı́m
x→1 x2 − 1
Respuesta. si evaluamos el limite tal y como esta nos daria
0
lı́m =
x→1 0
por lo que debemos factorizar el termino de arriba
(x2 − 1)(x2 + 1)
lı́m
x→1 x2 − 1
se elimina términos semejantes
lı́m (x2 + 1)
x→1
evaluamos x = 1
lı́m (12 + 1)
x→1
1+1=2
esto nos dice que el lı́mite existe y tiene ası́ntotas verticales cuando se acerca
a 2 y lo podemos observar en la gráfica
0.1. EVALUACIÓN II 3
Ejercicio. (Notas de Calculo diferencial J.J Trejo Alonso Sección 2,2,7 ejer-
cicio 1 inciso (a), Jonathan Segundo Arteaga)
Determine la pendiente de la recta que contiene los puntos dados.
(a) (1,1) y (2,2)

Respuesta. Para calcular la pendiente en un recta que pasa por 2 puntos
se utiliza la siguiente formula:
y2 − y1
m= (1)
x2 − x1
una vez teniendo la formula lo único que resta es sustituir los valores de los
puntos en la formula quedando de la siguiente forma:
2−1
m= (2)
2−1
por lo que una vez hechas las operaciones correspondientes la pendiente de

la recta que pasa por los dos puntos es igual:
m=1 (3)
Ejercicio. (Notas de Calculo diferencial J.J Trejo Alonso Sección 3.1, Pro-
blema 3.1.1, Inciso b. Hector Marcelo Valtierra Martı́nez)
4
Determine el lı́mite que se indica:

√
lı́m x−1
x→5
√
Respuesta. Para este caso tenemos la expresión x − 1 para cuando el
lı́mite es 5, con ello partiremos a realizar la sustitución correspondiente en
función de x −→ 5 √
x−1
Para ello sustituiremos el valor de x en 5:
p √
(5) − 1 = 4 = 2
Con ello hemos determinado que, el lı́mite de la expresión para cuando nues-
tro lı́mite en función de x −→ 5 es 2.
Ejercicio. (Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. J. Stewart,
7ma edición Sección 2.1, ejercicio 1, inciso a). Brandon Galicia Alvarez)
Un tanque contiene 1000 galones de agua que se drenan por la parte inferior
del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V
de agua que queda en el tanque (en galones) después de t minutos. (a) Si P
es es punto (15, 250) sobre la gráfica de V, encuentre las pendientes de las
rectas secantes PQ cuando Q es el punto sobre la gráfica con t = 5, 10, 20, 25
y 30.
Figura 1: Tabla de relación entre volumen y tiempo
Respuesta. Si tenemos en consideración que la ecuación que nos permite

encontrar la pendiente de una recta es la siguiente
y2 −y1
m= x2 −x1
Y se toma como referencia el punto P = (15, 250) comparando que 15 re-

presenta el valor de x2 y 250 el de y2 podemos observar que al sustituir
los valores de los puntos Q1 = (5, 694), Q2 = (10, 444), Q3 = (20, 111),
Q4 = (25, 28) y Q5 = (30, 0), ası́ como compararlos igual que con el pun-
to P, pero ahora se representan los valores como x1 y y1 se obtendrán las
siguientes pendientes: (al ser sustituidas en la ecuación de la pendiente an-
teriormente mencionada)
250−694 −444
1. m1 = 15−5 = 10 = −44,4
250−444 −194
2. m2 = 15−10 = 5 = −38,8
250−111 139
3. m3 = 15−20 = −5 = −27,8
250−28 222
4. m4 = 15−25 = −10 = −22,2
250−0 250
5. m5 = 15−30 = −15 = −16,66
Quedando ası́ las pendientes de la rectas secantes de los puntos P Q.
Ejercicio. (Notas de Calculo diferencial J.J Trejo Alonso Sección 4.1.1.
Problema Problema 4.1.2.Jesús Octavio Rangel Moreno) Encuentre las pen-
dientes de las rectas tangentes a la curva
y = x2 − 1
en los puntos donde x = −2, −1, 0, 1, 2.

Respuesta. Para calcular la pendiente usamos la siguiente fórmula:
f (c + h) − f (c)
mtan = lı́m ms ec = lı́m h → 0 (4)
h→0 h
[(c + h)2 − 1] − (c2 − 1)

mtan = lı́m (5)
h→0 h
Como son muchos valores de las pendientes que hay que calcular, usamos
una literal y después sustituiremos.
c2 + 2ch + h2 − 1 − c2 + 1
mtan = lı́m (6)
h→0 h
Desarrollamos el binomio cuadrado que tenemos.
2ch + h2
mtan = lı́m (7)
h→0 h
reducimos términos semejantes.
h(2c + h)

mtan = lı́m (8)
h→0 h

factorizamos y simplificamos nuestra expresión.
mtan = 2c (9)
6
ahora que encontramos nuestra ecuación solo hay que sustituir nuestros va-
lores.
2(−2) = −4 (10)
2(−1) = −2 (11)
2(0) = 0 (12)
2(1) = 2 (13)
2(2) = 4 (14)
nuestras pendientes son: −4, −2, 0,2,4 partiendo de nuestra ecuación resul-
tante y sustituyendo valores.
Ejercicio. (Calculo de una variable Trascendentes tempranas,James Ste-
wart, Séptima Edición, Capitulo 2, Sección 2.1, ejercicio 5, inciso a), ii),
Jose Emmanuel Mendoza Ugalde) Si se lanza una pelota al aire con una
velocidad de 40 pies/s su altura en pies después de t segundos esta dada por:
y = 40t − 16t2
a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que comienza cuando
t=2s y permanece ii) 0.1s
Respuesta. Sabemos que la velocidad promedio esta dada por:
s2 − s1 ∆s
vm = =
t2 − t1 ∆t
En donde la velocidad promedio es el cambio en la posición entre el tiempo
transcurrido donde realizaremos la diferencia de la posición y la diferencia
del tiempo.
Evaluaremos la altura en t=2s
y = 40(2s) − 16(2s)2 = 16pies (15)
Y ahora evaluaremos cuando t=2.1s
y = 40(2,1s) − 16(2,1s)2 = 13,44pies (16)
Y tendremos que tiempo transcurrido es de 0.1s, puesto que solo habrá una
diferencia de 0.1s entre los tiempos en la ecuación al momento de sustituir
los valores tenemos:
∆s (13,44 − 16)pies
vm = = = −25,6pies/s
∆t 0,1s
Lo cual seria la respuesta a este ejercicio.
Ejercicio (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G., Sección 3.1, ejer-

cicio 6, Emiliano Toscano Ramı́rez). Encuentre el lı́mite dado:
x2 − 3x
lı́m (17)
x→0 x
Respuesta. Lo que debemos hacer primero es factorizar nuestra operación

para poder eliminar terminos, y arriba de nuestra operación podemos facto-
rizar por termino común:
x(x − 3)
lı́m
x→0 x
Ahora tomamos que x 6= 0 y podemos cancelar términos:
lı́m (x − 3)
x→0
Ahora solo sustituimos

= (0 − 3) = −3
llegamos a esto
x2 − 3x
lı́m = −3
x→0 x
Ejercicio (Calculus - Michael Spivak, Parte 2, Capı́tulo 5, Pág 108, ejercicio

1 (vi), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Halle los siguientes lı́mites.
√ √
a+h− a
lı́m (18)
h→0 h
Respuesta. Primero transformamos la expresión usando los conjugados,

de la siguiente manera
√ √ √ √ √ √
a+h− a a+h− a a+h+ a
= ·√ √ (19)
h h a+h+ a
Multiplicando nos queda
a+h−a 1
√ √ =√ √ (20)
h( a + h + a) a+h+ a
Si evaluamos el lı́mite cuando h tiende a cero nos queda
1 1 1
lı́m √ √ =√ √ = √ (21)
h→0 a+h+ a a+ a 2 a
8
Racionalizando finalmente nos queda

√ √
1 1 a a
√ = √ ·√ = (22)
2 a 2 a a 2a
Por lo tanto √ √ √
a+h− a a
lı́m = (23)
h→0 h 2a

7ma ed. Sección 2.1, ejercicio 3, inciso a). Emilio Moreno Almanza).
El punto P(2, -1) se encuentra en la curva y = 1 / (1 - x).
a) Si Q es el punto (x, 1 / (1 - x)), utilice la calculadora para hallar la
pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de seis decimales) para
los siguientes valores de x:
i) 1.5, ii) 1.9, iii) 1.99, iv) 1.999, v) 2.5, vi) 2.1, vii) 2.01 y viii) 2.001.
Respuesta. Para resolver los incisos, unicamente hay que evaluar los va-
lores dados en la función para hallar la pendiente de la recta secante. Toda
esta cantidad de valores nos dejan un procedimiento similar al de la evalua-
ción de un lı́mite, sin embargo, este tipo de procedimientos se utilizan mas
que nada para las rectas tangentes y no secantes, como es el caso.
i) 1.5, Q = (1.5, 1/(1 - 1.5)) = (1.5, -2)

1 − (−2) 3
m(i) = = = 6,000000 (24)
2 − 1,5 0,5
ii) 1.9, Q = (1.9, 1/(1 - 1.9)) = (1.9, -1.111111)
1 − (−1,111111) 2,111111
m(ii) = = = 21,111111 (25)
2 − 1,9 0,1
iii) 1.99, Q = (1.99, 1/(1 - 1.99)) = (1.99, -1.010101)
1 − (−1,010101) 2,010101
m(iii) = = = 201,010101 (26)
2 − 1,99 0,01
iv) 1.999, Q = (1.999, 1/(1 - 1.999)) = (1.999, -1.001001)
1 − (−1,001001) 2,001001
m(iv) = = = 2001,001001 (27)
2 − 1,999 0,001
v) 2.5, Q = (2.5, 1/(1 - 2.5)) = (2.5, -0.666666)
1 − (−0,666666) 1,666666
m(v) = = = 3,333333 (28)
2 − 2,5 −0,5
vi) 2.1, Q = (2.1, 1/(1 - 2.1)) = (2.1, -0.909090)
1 − (−0,909090) 1,909090
m(vi) = = = −19,090909 (29)
2 − 2,1 −0,1
vii) 2.01, Q = (2.01, 1/(1 - 2.01)) = (2.01, -0.990099)
1 − (−0,990099) 1,990099
m(vii) = = = −199,009901 (30)
2 − 2,01 −0,01
viii) 2.001, Q = (2.001, 1/(1 - 2.001)) = (2.001, -0.999000)
1 − (−0,999000) 1,999000
m(viii) = = = −1999,000999 (31)
2 − 2,001 −0,001
Ejercicio (Cálculo Diferencial 2ed-Trejo Alonso, sección 3.1, ejercicio 3.1.1,

incisio (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Determine el lı́mite que se
indica:
1
lı́m (1 + ) (32)
x→0 x
Respuesta. Para encontrar el lı́mite, se puede sustituir x en la ecuación

para cuando x −→ 0.
1
1+ (33)
0
1
Como 0 es indefinido, entonces el resultado queda como:
1
1+ =1 (34)
0
Entonces, se tiene que el lı́mite cuando x −→ 0 es 1.
Ejercicio. (Calculus - Michael Spivak, Parte 2, Capı́ıtulo 5, Pág 108, ejer-
cicio 1 (III), Gilberto Martinez Ordoñez) Halle los siguientes lı́mites
3 −8
lı́m xx−2
x→3
Respuesta. Se evalúan los limites
lı́m x3 − 8 (35)
x→3
10
lı́m 33 − 8 (36)
x→3
lı́m 27 − 8 = 19 (37)
x→3
y
lı́m x − 2 (38)
x→3
lı́m 3 − 2 (39)
x→3
lı́m 1 (40)
x→3
entonces
19
lı́m (41)
x→3 1
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas, Stewart, sec-

ción 2.1, ejercicio 7 inciso a, Ignacio Ismael Flores Landaverde). La tabla
muestra la posición de un ciclista.
Figura 2: Posición del ciclista
Encuentre la velocidad promedio para i) [1, 3]

Respuesta. El intervalo que se nos da, al estar entre corchetes es un in-
tervalo en el que se nos dan los segundos que trascurren con el ciclista, es
su tiempo en determinada posición, lo que nos permite usar la tabla, ya que
dado el tiempo también se nos da la distancia recorrida por el ciclista.
Sabiendo que la velocidad promedio esta dada por la siguiente expresión:
∆x
velocidad = (42)
∆t
Por lo que nuestra distancia, son las que se encuentran en los tiempo de 1s
y 3s, por lo que podemos tomar las distancias de la tabla.
10,7 − 1,4
velocidad = (43)
3−1
9,3
velocidad = (44)
2
m
velocidad = 4,65 (45)
s
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Transcendentales tempranas. Stewart.

Sección 2.1 ejercicio 6 inciso a i). Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Si
una piedra se lanza hacia arriba en el planeta Marte a una velocidad de
10 m
s , su altura en metros t segundos después está dada por
y = 10t − 1,86t2 (46)
a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: 1)

[1, 2]
Respuesta. La altura en m de la piedra en determinado tiempo es y =
10t−1,86t2 , respecto el tiempo, es decir, la altura de la piedra está en función
del tiempo. La velocidad promedio se puede calcular como:
∆y
vp = (47)
∆t
El cambio de posición es la distancia entre la altura de la piedra entre el
segundo 1 y el segundo 2, y el tiempo transcurrido es la resta de cuántos
segundos pasaron entre 1 y 2. Por lo cual sustituimos los datos.
(10t − 1,86t2 ) − (10t − 1,86t2

vp = (48)
2−1
Sustituimos en t los valores de 2 y 1, primero 2 al tratarse de la posición
final, y 1 después al tratarse de la posición inicial.Resolvemos
[10(2) − 1,86(2)2 ] − [10(1) − 1,86(1)2 ]

vp = (49)
2−1
[20 − 7,44] − [10 − 1,86]

vp = (50)
1
vp = [12,56] − [8,14] (51)
m
vp = 4,42 (52)
s
Por lo tanto la velocidad promedio de la piedra en el intervalo de [1, 2] es de
4,42 m
s
12
Ejercicio (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G., Sección 3.2, ejerci-

cio 4, Sergio Adrian Rocha Andrade). Encuentre el lı́mite dado, o concluya
que no existe. lı́m (3x − 9)
x→2
Respuesta. Aplicando los teoremas de los lı́mites, tenemos que:
lı́m (3x − 9) = 3 lı́m x − lı́m 9

x→2 x→2 x→2
Al emplearlos de nuevo tenemos que
3 lı́m x − lı́m 9 = 3(2) − 9

x→2 x→2
6 − 9 = −3
Por lo tanto
lı́m (3x − 9) = −3
x→2
Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón, Stewart, Calculo de una variable trascen-

dentes temprana 7 ed. Capı́tulo 2 Página 86 EJERCICIO 2)
Un monitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente des-
pués de una cirugı́a. El aparato compila el número de latidos del corazón
después de t minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la ta-
bla se representan gráficamente, la pendiente de la recta tangente representa
la frecuencia cardiaca en latidos por minuto.
Figura 3: Tabla de latidos
El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante.

Utilice los datos para estimar el ritmo cardiaco del paciente después de 42
minutos, utilizando la recta secante entre los puntos con los valores dados
de t.
a) t = 36 y t = 42
b) t = 38 y t = 42
c) t = 40 y t = 42
d) t = 42 y t = 44
Respuesta. Utilizando la recta secante se va a usar la pendiente de estos

conjuntos de dos puntos.
a) t = 36 y t = 42
Los puntos quedan: P 1 = (36, 2530) y P 2 = (42, 2948)
La pendiente se denota como:
y2 − y1
m= (53)
x2 − x1
Sustituyendo:
2948 − 2530
m= = 69,67 (54)
42 − 36
b) t = 38 y t = 42
2948 − 2661
m= = 71,75 (55)
42 − 38
c) t = 40 y t = 42
2948 − 2806
m= = 71 (56)
42 − 40
d) t = 44 y t = 42
2948 − 3080
m= = 66 (57)
42 − 44
Conforme los valores de tiempo se van acercando a 42, el resultado de la
pendiente es mas cerca a 71, cuando el segundo intervalo es 44, este es 66.
Ejercicio. (Notas de Cálculo diferencial, J. J. Trejo-Alonso, Sección 2.7,
ejercicio 2.7.2 (a), Andrea Quiroz Garduño) Escriba la ecuación de la recta
que pasa por (-2,1) y que pasa por (7,3):
Respuesta. Para poder escribir la ecuación de la recta se puede hacer uso
de la forma m = xybb −ya
−xa para obtener la pendiente con los dos puntos de la
pendiente.
yb − ya
m= (58)
xb − xa
3−1 2
m= = (59)
7 − (−2) 9
14
Con la pendiente de la recta, simplemente se pude usar la forma de la ecua-

ción y = mx+b, sustituyendo el valor de la pendiente y de uno de los puntos
para despejar b (la intersección de la recta en el eje y), en este caso se uso
el punto (7,3)
y = mx + b (60)
2
3 = ( )(7) + b (61)
9
13
b= (62)
9
Conociendo b, ya se puede obtener la ecuación de la recta:
2 13
y = x+ (63)
9 9
Ejercicio. (Notas de Calculo diferencial, J.J Trejo Alonso, Sección 4.1.1.

Problema Problema 4.1.4., Página 104, Cinthia Alejandra Olvera Bautis-
1
ta)Haga un bosquejo de la gráfica y = x+1 y luego encuentre la ecuación de
1
la recta tangente en (1, 2 )
Respuesta. Primero graficamos la ecuación y localizamos el punto.
Figura 4: Función graficada y localización del punto
Para poder encontrar la ecuación de la recta tangente tenemos que su pen-

diente está representada por
f (c + h) − f (c)
mtan = lı́m
h→0 h
Esto es par aun punto P (c, f (c)). Por lo que al remplazar los valores nos
queda
1 1
f (1 + h) − f (1) (1+h)+1 − 1+1
mtan = lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
Que simplificando nos queda de la siguiente manera
1 1 2−2−h −h
2+h − 2 2+2h 2+2h
mtan = lı́m = lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h h→0 h
Si seguimos simplificando vamos a poder eliminar la h de la siguiente manera
−6h 1
mtan = lı́m = lı́m −
h→0 6 h(2 + 2h) h→0 2 + 2h
Donde encontramos que la pendiente esta dada por

1 1
lı́m − =−
h→0 2 + 2(0) 2
Y ocupando la fórmula de punto pendiente para una recta
y − y1 = m(x − x1 )
Sustituyendo nos da que
1 1
y− = − (x − 1)
2 2
Donde si realizamos las operaciones suficientes podemos reducirla a
1 1 1 1
y =− x+ + =− x+1
2 2 2 2
Por lo que podemos concluir que la recta tangente que pasa por el punto
(1, 12 ) en la ecuación y = x+1
1
está dada por
1
y =− x+1
2
16
2.2.0 Lı́mites infinitos, ası́ntota vertical y ejemplos resueltos de

obtención de ası́ntotas verticales.

rencial, Denis G. Zill, sección 3.5 ejercicio 35) encuentre todas las ası́ntotas
verticales y horizontales para la gráfica de la función dada f.Trace la gráfica.
1
f (x) =
x2 (x − 2)
Respuesta. Primero debemos identificar los valores en los que x se inde-

termina, al ser una fracción el denominador no debe valer 0
Tomamos el denominador e indicamos que x debe tener valor distinto a 0
para no indeterminarse
x2 (x + 2) 6= 0
los valores que indeterminada la función es x = −2 y x = 0 ya que
−22 (−2 + 2) 6= 0
−22 (0) 6= 0
0 6= 0
02 (0 + 2) 6= 0
0(2) 6= 0
0 6= 0
por lo que x = −2 y x = 0 son ası́ntotas verticales,y = 0 es una ası́ntota

horizontal
Ejercicio. (Notas de Calculo Diferencial J.J Trejo Alonso, Sección 3.1.1

ejercicio 1 inciso (c), Jonathan Segundo Arteaga)
x2 − 1
lı́m ( )
x→1 x−1
Respuesta. Para resolver esto se evalúan los limites del numerador y el

denominador por separado:
lı́m (x2 − 1) (64)

x→1
lı́m (x − 1) (65)
x→1
se evalúa el limite en el numerador:
12 − 1 = 0 (66)
se evalúa en el denominador:
1−1=0 (67)
0
Dado que la expresión 0 es una forma indeterminada se factoriza la expre-
sión inicial
(x − 1)(x − 1)
lı́m ( ) (68)
x→1 x+1
18
se reduce la expresión
lı́m (x + 1) (69)
x→1
se evalúa el limite:
lı́m (x) + lı́m (1) (70)
x→1 x→1
por lo que quedarı́a
1+1=2 (71)
ası́ obtenemos la solución al ejercicio
Ejercicio. James Stewart - Calculo de una variable Trascendentes tempra-
nas, sección 2.6 ejercicio 71. Hector Marcelo Valtierra Martinez.
1
Demuestre mediante la definición 8 que lı́m =0
x→−∞ x
Respuesta. Bien sabemos que según una función dada f(x) sobre algún in-
tervalo (a, ∞) entonces lı́m f (x) = L.
x→∞
Lo que significa que para toda ε > 0 existe un numero N tal que si x > N
entonces |f (x) − L| < ε.
Entonces, dada la definición 8; podemos declarar que sea f una función defi-
nida sobre algún intérvalo, para este caso (−∞, a) de igual forma tenemos:
lı́m f (x) = L
x→∞
Lo que nos dicta que, para todo ε > 0 existe un numero N tal que si x < N .
Y por lo tanto:
|f (x) − L| < ε
1
No obstante, para este caso. x por lo que no se cumple dicha defición
Ejercicio. (Notas de Cálculo Diferencial, J.J Trejo Alonso, sección 3.4.1.
inciso (b) Ignacio Ismael Flores Landaverde). Determine Los lı́mites
x2
lı́m
5−x 3
x→∞
Respuesta. Como se observa es un limite que tiende al infinito, para anali-

zarlo tenemos que tener en cuenta la indeterminación, en el caso de infinitos
existe la indeterminación ∞
∞ , por lo que tenemos que quitar esta indetermi-
nación, dividiendo la expresión entre la variable que tenga el mayor expo-
nente en este ejercicio seria x3 . Pero antes veamos que pasa si evaluamos
el lı́mite en ∞
(∞)2
lı́m (72)
x→∞ 5 − (∞)3
Un infinito sumándole o restándole seguirá siendo un infinito, al igual que

elevándolo a la n, por lo que si hacemos eso nos quedarı́a ∞
∞ lo cual no esta
definido.
Ahora si nosotros dividimos entre la variable de exponente mas grande:
x
(73)
x3
En el denominador:
5 x3
− (74)
x3 x3
Lo que nos quedaria:
1
x
lı́m (75)
x→∞ 53 +1
x
Evaluando en infinito:
1
∞
lı́m (76)
x→∞ 5 +1
∞
n
Por definición de lı́mite al infinito tenemos que ∞ donde n es una constante
eso es igual a 0 y sumándole un numero cualquiera a un infinito seguirá
siendo infinito.
0
lı́m (77)
x→∞ −1
Entonces el limite nos queda:

lı́m 0 (78)
x→∞
Ejercicio. (Notas de Calculo Diferencial J.J Trejo Alonso, sección 3.1.1

ejercicio 1 inciso (i), Cinthia Alejandra Olvera Bautista)Determine el lı́mite
que se indica:
m4 − 18m2 + 81
lı́m = (79)
m→3 (m − 3)2
Respuesta. Para resolver este lı́mite, es necesario, primero factorizar el

numerador, por lo que si factorizamos como si fuera un trinomio cuadrado
perfecto tenemos que
(m2 − 9)2
lı́m = (80)
m→3 (m − 3)2
Pero nos queda una diferencia de cuadrados por lo que podemos escribirlo
como
[(m − 3)(m + 3)]2
lı́m = (81)
m→3 (m − 3)2
20
Y elevando al cuadrado cada binomio podemos expresarlo como

(m − 3)2 (m + 3)2
lı́m = (82)
m→3 (m − 3)2
Vemos que tenemos un término común en el numerador y denominador, por
lo que podemos cancelarlos y nos queda esta expresión
lı́m = (m + 3)2 (83)
m→3
Ahora sustituyendo el valor al que se aproxima m y realizando las operacio-

nes podemos ver que
lı́m = (3 + 3)2 = (6)2 = 36 (84)
m→3
Por lo que tenemos como resultado 36.

inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Determine los lı́mites.
x
lı́m (85)
x→∞ x − 5
Respuesta. Para encontrar el lı́mite se puede dividir el numerador y el

denominador por la potencia más alta de x que esté en el denominador, lo
que en este caso es x1 .
x
x 1
x 5 = 1−0 =1 (86)
x − x
El lı́mite cuando x −→ ∞ es 1.
Ejercicio (Cálculo de una variable J. Stewart, sección 2.6, ejercicio 15,
Sergio Adrian Rocha Andrade). Encuentre el lı́mite o demuestre que no
3x − 2
existe. lı́m
x→∞ 2x + 1
Respuesta. Primero dividimos cada término de la función entre la variable

con mayor exponente, que en este caso es x1 = x.
3x 2 2
− 3−
lı́m x x
= lı́m x
x→∞ 2x + 1 x→∞ 2 + 1
x x x
1
Ahora, y de acuerdo a la propiedad lı́m = 0, tenemos que:
x→∞ xn
2
3− x 3−0
lı́m 1 =
x→∞ 2 +
x
2+0
Por lo tanto
3x − 2 3
lı́m =
x→∞ 2x − 1 2
Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón, Notas de cálculo diferencial Capı́tulo 3.4

Página 87 EJERCICIO 3.4.1)
Determine cuando el lı́mite va al infinito.
Respuesta.
x3
lı́m (87)
x→∞ 2x3 − 100000x2
Se divide toda la expresión con la variable con mayor exponente en este caso
x3 .
x3
x3
lı́m (88)
x→∞ 2x3 − 100000x2
x3 x3
Eliminando términos:
1
lı́m (89)
x→∞ (2) − ( 100000
x )
Al darte valores enormes a x, es insignificativo lo que se le resta a 2, por lo

que el lı́mite es:
1
lı́m (90)
x→∞ 2

7ma edición Sección 2.2, ejercicio 29, Brandon Galicia Alvarez).Determine
cada uno de los siguientes lı́mites infinitos.
x+2
lı́m (91)
x→−3+ x+3
Respuesta. Si tenemos que x > −3 entonces podemos decir que x tiende a

−3, entonces el denominador x + 3 es un número muy pequeño positivo, el
numerador x + 2 es un número muy grande negativo (en comparación con
x+2
el denominador) y f (x) = x+3 es un número negativo muy grande entonces
se pude decir que el
x+2
lı́m x+3 = −∞, ya que la división se da entre dos números con distinto
x→−3+
signo y se queda el signo negativo. Lo cual podemos comprobar con la gráfica
de la figura 5
22
Figura 5: Gráfica del ejercicio 29
Ejercicio.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. Stewart.Sección

2.2 ejercicio 3 inciso a. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Explique el sig-
nificado de cada una de las siguientes proposiciones.
lı́m f (x) = ∞ (92)

x→−3
Respuesta. Se lee como: el lı́mite de la función f(x) cuando x tiende a −3

es igual a infinito. Tomando a a como −3 quiere decir que en la función
donde el lı́mite tiende a −3 de ambos lados los valores de y se vuelven ar-
bitrariamente grandes, esto quiere decir que tienden al infinito. Creando un
ası́ntota vertical en 3.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. J. Stewart,

7ma ed. Sección 2.2, ejercicio 30. Emilio Moreno Almanza). Determinar el
siguiente lı́mite infinito.
x+2
lı́m (93)
x→−3− x + 3
Respuesta. El lı́mite se puede plantear de la siguiente forma:

1
lı́m (x + 2) ∗ (94)
x→−3− x+3
Lo que nos da la posibilidad de evaluar el lı́mite de cada término por sepa-
rado, es decir:
lı́m (x + 2) (95)
x→−3−
1
lı́m (96)
x→−3− x+3
Primeramente, evaluamos el primer lı́mite de la siguiente manera:
lı́m (x + 2) = −3 + 2 = −1 (97)
x→−3−
Posteriormente, se evalúa el resto del lı́mite.

1
lı́m = −∞ (98)
x→−3− x+3
Dado que a ∗ (−∞), cuando a < 0 se define como +∞, entonces:
1
lı́m (x + 2) ∗ = +∞. (99)
x→−3− x+3
x+2
Esto es, el lı́mite de x+3 cuando x tiende a -3 por la izquierda, es igual a
+∞.
inciso (c), Jesús Octavio Rangel Moreno.). Determina los lı́mites. c)
t2
lı́m
t→∞ 7 − t2
Respuesta. Para encontrar el lı́mite dividimos el numerador y denomina-

dor entre la potencia más alta de t en el denominador.
t2
t2 1
t2
= = −1 (100)
7
− 0−1
t2 t2
1
De acuerdo a la propiedad lı́m = 0, tenemos que el lı́mite de la función
x→∞ xn
t2
lı́mt→∞ 7−t2
es -1
24

x2 − 1
lı́m
x→1 x − 1
Respuesta. Factorizamos:
(x − 1)(x + 1)
lı́m
x→1 x−1
Cancelamos y después sustituimos:
lı́m x + 1
x→1
1+1=2
x2 − 1
lı́m =2
x→1 x − 1
Ejercicio. (Notas de Cálculo, J. J. Trejo-Alonso, Sección 3.4.1, ejercicio

3.4.2 (a), Andrea Quiroz Garduño) Obtenga el valor del lı́mite indicado:
1
lı́m (101)
x→1 (x − 1)4
Respuesta. Para resolver el lı́mite, se deben obtener los lı́mites laterales a

la izquierda y a la derecha, tomando valores muy cercanos al 1 sin serlo;
1
lı́m (102)
x→1− (x − 1)4
1
lı́m = 10000 (103)
x→1− (,9 − 1)4
1
lı́m = 1000000000000 (104)
x→1− (,999 − 1)4
1
lı́m = +∞ (105)
x→1− (x − 1)4
Se puede decir que el lı́mite por la izquierda de 1 es +∞
1
lı́m = 10000 (106)
x→1+ (1,1 − 1)4
1
lı́m = 1000000000000 (107)
x→1+ (1,001 − 1)4
1
lı́m = +∞ (108)
x→1+ (x − 1)4
Se puede decir que el lı́mite por la derecha de 1 es +∞
Para ambos lı́mites laterales, conforme los números se acercan a 1, el valor
de la función se acerca a infinito. Ya que la función tiene ambos lı́mites
laterales y estos coinciden, el lı́mite es igual a +∞
Ejercicio. (Calculo de una variable 7ma. Ed., James Stewart, Capitulo 2,
sección 2.2, ejercicio 36. Jose Emmanuel Mendoza Ugalde)Determinar cada
uno de los siguientes lı́mites infinitos:
x2 − 2x
lı́m
x→2− x2 − 4x + 4
Respuesta. Tenemos que evaluar el limite cuando x tiende a 2 pero no es

igual a 2 por la izquierda lo que refiere a que sean valores de x menores a 2.
Si intentáramos evaluar la función en x=2 tendrı́amos una indeterminación
por lo que procederemos a factorizar.
Entonces tendremos
x2 − 2x = x(x − 2) x2 − 4x + 4 = (x − 2)(x − 2)
nos quedarı́a la siguiente expresión
x(x−2) x
lı́mx→2− (x−2)(x−2) lı́mx→2− (x−2)
Ahora tomares un valor menor a dos, pero que se aproxime en la nueva

expresión; asignado el a usar como 1.9999 se puede ver que los valores se
empiezan a crecer al infinito en el numerador tendremos números negativos
que cada ves se hacen mas cercanos a cero y sabemos que dividir a una
cantidad diferente de 0 entre un numero que tiende a 0 es infinito, como
el denominador es negativo y el numerador positivo por leyes de los signos
sera al infinito negativo.Tendremos que el limite por la derecha de tiende a
menos infinito
x2 − 2x
lı́m 2 = −∞
x→2− − 4x + 4
Y tenemos que la recta x=2 es la ası́ntota vertical de el limite trabajado en
este ejercicio
ejercicio 1 inciso (f ), Gilberto Martinez Ordoñez)Determine el lı́mite que se
26
indica
t − sin(t − 3) − 3
lı́m (109)
t→3 t−3
Respuesta. Para iniciar, se debe de evaluar los limites del numerador y

denominador por separado
lı́m(t − sin(t − 3) − 3) (110)

t→3
lı́m 3 − sin(3 − 3) − 3 (111)

t→3
lı́m 3 − sin(0) − 3 (112)

t→3
lı́m 3 − 3 (113)
t→3
lı́m 0 (114)
t→3
Y lo mismo con el otro

lı́m(t − 3) (115)
t→3
lı́m(3 − 3) = 0 (116)
t→3
por lo que se indetermina y su respuesta es 0

Ejercicio. (Matemáticas Calculo Diferencial Dennis G sección 3.5 ejercicio
2, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Exprese el lı́mite dado como un número,
como −∞, o como ∞.
4
lı́m (117)
x→6 (x − 6)2
Respuesta. Vamos a evaluar la función en valores cercanos a 6 por la

izquierda y por la derecha.
Primero lo hacemos por la izquierda evaluando la función en 5.9, 5.99 y
5.999
4
= 400 (118)
(5,9 − 6)2
4
= 40000 (119)
(5,99 − 6)2
4
= 4000000 (120)
(5,999 − 6)2
Observemos que mientras x está más cerca de 6 la función crece de una

manera enorme.
Ahora acerquémonos a 6 por la derecha, utilizando los valores 6.1, 6.01 y
6.001
4
= 400 (121)
(6,1 − 6)2
4
= 40000 (122)
(6,01 − 6)2
4
= 4000000 (123)
(6,001 − 6)2
Podemos ver que los valores que toma la función crecen igual como cuando
nos acercamos por la izquierda, por lo tanto mientras más cerca de 6 esté x
la función tomará un valor muy grande (positivo), por lo tanto:
4
lı́m =∞ (124)
x→6 (x − 6)2
2.2.1 Ejemplos de lı́mites, lı́mites laterales, por la izquierda y de-

recha, función de Heaviside.
rencial, Denis G. Zill, sección 3.2 ejercicio 24) encuentre el lı́mite dado, o
concluya que no existe.
t3 + 1
lı́m
t→−1 t2 − 1
Respuesta. Evaluamos según lı́mt→−1
−13 + 1
lı́m
t→−1 −12 − 1
−1 + 1
+1 − 1
0
0
28
El lı́mite se indetermina por lo que hay que transformarlo.

Factorizamos las dos partes, tanto el numerador como el denominador
(x + 1)(x2 − x + 1)
lı́m
t→−1 (x − 1)(x + 1)
se eliminan términos
(x2 − x + 1)
lı́m
t→−1 (x − 1)
evaluamos el lı́mite
((−1)2 − (−1) + 1)
lı́m
t→−1 (−1 − 1)
(+1 + 1 + 1)
lı́m
t→−1 (−2)
3
lı́m −
t→−1 2

ejercicio 1 inciso (d), Jonathan Segundo Arteaga)
|x|
lı́m
x→0 x
Respuesta. Primero se evalúan los limites por separado:
lı́m (|x|) (125)

x→0
lı́m (x) (126)

x→0
Se evalúan los limites y obtenemos que ambos nos da 0 por lo que la expresión
0
0 es una forma indeterminada por lo que se procede a evaluar los limites
izquierdo y derecho:
|x|
lı́m ( ) (127)
x→0− x
|x|
lı́m (
) (128)
xx→0+
Al evaluarlos nos queda de resultado -1,1 por lo que al ser distintos se con-
cluye que el limite no existe
blema 3.1.1, Inciso g. Hector Marcelo Valtierra Martı́nez)
p
(t − 7)3
lı́m
t→7+ t−7
Respuesta. Tenemos que los lı́mites de derecha e izquierda refieren a el

signo del valor en función de x, que puede ser positivo o bien negativo, esto
determinará si es un lı́mite de derecha o de izquierda. Para este caso se
tiene que x −→ 0. Para ello primero sustituimos a x en la expresión.
p
(t − 7)3
lı́m
t→7+ t−7
p
(7 − 7)3
lı́m
t→7+ 7−7
p
(0)3
lı́m
t→7+ 0
o
lı́m
t→7 0+
0
0
Con ello tenemos como resultado una fracción prácticamente imposible, pues-
to que cero entre cero se considerará como indeterminado o bien, cero.
Además se tiene nuestra base de lı́mite como 7+ lo que significa que, en
teorı́a se trata de un lı́mite de derecha; es ası́ que, el lı́mite se convierte
en un valor indeterminado.
Ejercicio (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G., sección 3.2, ejerci-
cio 17, Sergio Adrian
√ Rocha Andrade). Encuentre el lı́mite dado, o concluya
que no existe. lı́m 2x − 5
x→6
Respuesta. Dado que f (x) no está definida para 2x − 5 < 0, solo se puede
+
√ el lı́mite de la función cuando x → 6 . Por lo que procedemos con
calcular
lı́m 2x − 5.
x→6+
Ahora aplicamos los teoremas de los lı́mites.

√ q
lı́m 2x − 5 = 2 lı́m x − lı́m 5
x→6+ x→6+ x→6+
30
q p
2 lı́m x − lı́m 5 = 2(6) − 5
x→6+ x→6+
p √
2(6) − 5 = 7
Por lo que: √ √
lı́m 2x − 5 = 7
x→6
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas.Stewart,

sección 2.2 ejercicio 4, inciso c. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Utilice
la gráfica de f para establecer el valor de cada cantidad si ésta existe. Si no
existe, explique por qué.
lı́m f (x) (129)

x→2
Respuesta. De manera gráfica vemos en como x = 2 se encuentra una

discontinuidad, pero analizada con lı́mites, podemos ver que cuando x tiende
a 2 por la izquierda, es decir toma valores menor a 3 pero muy cerca, como
2,99, 2,998, 2,999, el lı́mite es igual a 3.
lı́m = 3 (130)
x→2−
Por el otro lado, analizando el lı́mite cuando x tiende a 3 por la derecha, en

este caso valores más grandes que 3 pero muy cercanos, como 3,1, 3,001, 3,00001,
en este caso el lı́mite de x es 1
lı́m = 1 (131)
x→2+
Como los lı́mites por derecha y por izquierda no coinciden se dice que la
función f(x) en 2 no tiene lı́mite.
Para la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente.
a) lı́m R(x)
x→2
b) lı́m R(x)
x→5
c) lı́m R(x)
x→−3
d)Ecuaciones ası́ntotas verticales
Figura 6: Función R(x)
Respuesta 1. Para el inciso a se evalúan los lı́mites tanto de izquierda por

derecha y obtenemos que:
lı́m R(x) = −∞ (132)

x→2−
lı́m R(x) = −∞ (133)

x→2+
Por lo tanto:
lı́m = −∞ (134)
x→2R(x)
32
Respuesta 2. El inciso b se hace lo mismo.
lı́m R(x) = ∞ (135)

x→5−
lı́m R(x) = ∞ (136)

x→5+
Por lo tanto:
lı́m R(x) = ∞ (137)
x→5
Respuesta 3. Inciso c
lı́m R(x) = −∞ (138)

x→−3−
lı́m R(x) = ∞ (139)

x→−3+
Por lo tanto:
lı́m R(x) = No existe lı́mite (140)
x→−3
Respuesta 4. Ecuaciones de las ası́ntotas verticales:
x = −3 (141)
x=2 (142)
x=5 (143)

7ma edición Sección 2.3, ejercicio 11, Brandon Galicia Alvarez).Evalúe cada
uno de los siguientes lı́mites si éstos existen.
x2 − 6x + 5
lı́m (144)
x→5 x−5
Respuesta. Si evaluamos el lı́mite en esta función vamos a obtener que no

esta definida cuando x = 5 ya que se presenta una división entre 0. Pero,
siguiendo la definición de lı́mite se tiene que:
x2 − 6x + 5 (x − 5)(x − 1)
lı́m = lı́m = lı́m x − 1 = 5 − 1 = 4 (145)
x→5 x−5 x→5 x−5 x→5
Debido a que podemos factorizar el polinomio de grado dos y luego dividir los
factores comunes ya que no se esta dividiendo entre 0 y entonces tenemos
como resultado que el lı́mite es 4. Lo cual es consistente con la gráfica que
se encuentra en la figura 7
Ejercicio (Cálculo diferencial 2ed-Trejo Alonso, sección 3.3.1, ejercicio (k),

Aránzazu Norma Celedón Pinto). Encuentre el lı́mite dado si es que existe:
5 −1)3
lı́mh→0+ (h+2)(h
√
( h+4)2
Respuesta. Se debe encontrar el lı́mite de la función cuando h se acerca a 0

por la derecha. Esto significa que se están tomando los valores de h mayores
a 0. Para esto se sustituye el valor de h en la ecuación:
(h + 2)(h5 − 1)3 (0 + 2)(05 − 1)3

lı́m √ = √ (146)
h→0 ( h + 4)2 ( 0 + 4)2
(2)(−1)3
lı́m = (147)
h→0 42
−2 1
lı́m = =− (148)
h→0 16 8
El lı́mite cuando h se acerca a 0 desde la derecha es − 18
√
lı́m x−1
x→5
34
Respuesta. En esta simplemente sustituimos y resolvemos, no hay que ha-

cer mucho:
√
5−1
√
4
Llegamos a:
√
lı́m x−1=2
x→5
Ejercicio. (Notas de Cálculo, J. J. Trejo-Alonso, Sección 3.4.1, ejercicio

3.4.2 (c), Andrea Quiroz Garduño) Obtenga el valor del lı́mite indicado
2 + sinθ
lı́m (149)
θ→0+ θ
Respuesta. Para obtener el lı́mite lateral por la derecha, en este caso los
números positivos (ya que son los números a la derecha de 0) se debe trans-
formar la ecuación para comprobar si es un lı́mite infinito. Según las propie-
dades de los lı́mites, el lı́mite de lı́mx→a fg(x)
(x)
es igual que lı́mx→a f (x)/(lı́mx→a g(x))
por lo que se puede cambiar a:
lı́mθ→0+ (2 + sinθ)
(150)
lı́mθ→0+ θ
2
(151)
+∞
Evaluando cada uno de los lı́mites se tiene una multiplicación de con infinito
1
((2)( +∞ ) el resultado del lı́mite a la derecha es +∞
Ejercicio. (Calculus, M. Spivak, 3ra. ed., Parte 2, Capitulo 5, ejercicio 2,

inciso (i), Jose Emmnauel Mendoza Ugalde)Halle los siguientes limites.
√
1− x
lı́m
x→1 1 − x
Respuesta. Como se puede apreciar en el limite este es indeterminado

cuando x es igual a 1 pero nos interesa cual es la tendencia de la función
cuando se evalúa por lo procederemos a manipular. Para esto multiplicare-
mos por uno, sabemos que multiplicar por uno alguna función no la cambia
permitiéndonos hacer que el limite no sea indeterminado y conocer la ten-

dencia al acercarse a ese punto.
√ √ √
1− x 1− x 1+√x
lı́mx→1 1−x = lı́mx→1 1−x 1+ x )
(
√
12 −( x)2 (1−x)1
lı́mx→1 (1−x)(1+√x) = lı́mx→1 (1−x)(1+ √
x)
Nos quedarı́a
lı́mx→1 1+1√x
Al evaluar la nueva forma del limite en x igual a 1 tenemos:

1 1 1
lı́m √ = lı́m =
x→1 1 + 1 x→1 1 + 1 2
Este seria el valor del limite cuando x tiende a 1

7ma ed. Sección 2.3, ejercicio 13. Emilio Moreno Almanza). Evalúe el lı́mite
si este existe:
x2 − 5x + 6
lı́m (152)
x→5 x−5
Respuesta. El lı́mite de la función dada cuando x tiende a 5 resulta en

una indefinición, por lo que se sigue la definición de lı́m f (a), se obtiene lo
x→a
siguiente.
x2 − 5x + 6 (x − 3)(x − 2)
lı́m = (153)
x→5 x−5 x−5
Como podemos observar, el numerador no tiene un término común con el
denominador, por lo tanto, el lı́mite continua siendo indefinido, es decir,
este no existe.
(Notas de Calculo diferencial J.J Trejo Alonso Sección 3.2. Problema Pro-
blema 3.1.1, inciso (f) Jesús Octavio Rangel Moreno). Determina el lı́mite
que se indica:
x2 − t2
lı́m (154)
x→−t x + t
Respuesta. Primero debemos de simplificar nuestra expresión factorizando

nuestro numerador:
(x − t)
(x+t)

lı́m (155)
x→−t (x + t)

lı́m x − t (156)
x→−t
36
Lo siguiente que haremos es sustituir -t en nuestra nueva expresión.
(−t) − t = −2t (157)

x2 −t2
Por lo tanto, nuestro lı́mite de la expresión lı́mx→−t x+t es −2t
Ejercicio. (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G. sección 3.2. Ejer-
cicio 14. Gilberto Martinez Ordoñez). Encuentre el lı́mite dado, o concluya
que no existe.
x2 − 6x
lı́m 2 (158)
x→6 x − 7x + 6
Respuesta. factorizamos
(x − 6)(x)
lı́m (159)
x→6 (x − 1)(x − 6)
eliminamos factores comunes

(x)
lı́m (160)
x→6 (x − 1)
evaluamos
6 6
lı́m = (161)
x→6 (6 − 1 5
Ejercicio. (Cálculo de una variables, Trascendentes tempranas, Stewart.

Sección 2.3, ejercicio 12.Ignacio Ismael Flores Landaverde). Evalúe el lı́mite
si este existe.
2
lı́m 2x −4x
x→4 x −3x−4
Respuesta. Para que un limite exista se dice que cunado el limite tienda a
algún valor por la derecha y izquierda es el mismo o tienden a lo mismo, en
este limite si sustituimos por 4 veremos que sucede una división entre cero
la cual no esta definida
x(x − 4)
lı́m (162)
x→4 (x − 4)(x + 1)
x
lı́m (163)
x→4 x + 1
Si tomamos valores cercanos a 4 por la derecha como puede ser el 4.01 y
evaluamos en este limite nos queda
4,01
lı́m = 0,80 (164)
x→4+ 4,0 + 1
Si tomamos valores cercanos a 4 por la izquierda como puede ser el 3.99 y

evaluamos en este limite nos queda
3,99
lı́m = 0,79 (165)
x→4− 3,99 + 1
Nos queda que cuando el limite tiende por la izquierda es 0.79 mientras que
en el otro 0.80 por lo que podemos ver que 0.79 si se redondea es 0.80 por
lo tanto el limite existe
4 4
lı́m = = 0,80 (166)
x→4 4 + 1 5
Por lo tanto el lı́mite existe
31, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Encuentre el lı́mite dado, o concluya que
no existe.
(x + 2)(x5 − 1)3
lı́m √ (167)
x→0+ ( x + 4)2
Respuesta. Como la función si está definida en 0 entonces el lı́mite será

la función evaluada en 0, nos queda entonces que:
(x + 2)(x5 − 1)3 (2)(−1)3 −2 1

lı́m √ = = =− (168)
x→0+ ( x + 4) 2 (4)2 16 8
Por lo tanto
(x + 2)(x5 − 1)3 1
lı́m √ =− (169)
x→0+ ( x + 4)2 8
blema 3.1.1, inciso h. Cinthia Alejandra Olvera Bautista)Determine el lı́mite
que se indica:
(3u + 4)(2u − 2)3
lı́m
u→1 (u − 1)2
Respuesta. Para contestar estos problemas es necesario simplificar la ecua-

ción, de lo contrario obtenemos un cero en el denominador lo que lo hace
un indeterminante, entonces lo simplificamos como
(3u + 4)(2u − 2)3 (3u + 4)((2)(u − 1))3 (3u + 4)(2)3 (u − 1)3

lı́m = lı́m = lı́m
u→1 (u − 1)2 u→1 (u − 1)2 u→1 (u − 1)2
38
Cancelamos el polinomio de abajo debido a la simplificación de la fracción

y tenemos que
(3u + 4)(2u − 2)3

lı́m = lı́m (3u + 4)(2)3 (u − 1) (170)
u→1 (u − 1)2 u→1
Ahora realizamos las operaciones para obtener un polinomio
lı́m (3u + 4)(8u − 8) = lı́m 24u2 − 24u + 32u − 32 = lı́m 24u2 + 8u − 32

u→1 x→1 x→1
Ahora sustituimos el valor de la x
lı́m 24u2 + 8u − 32 = lı́m 24(1)2 + 8(1) − 32 = 24 + 8 − 32 = 32 − 32 = 0

u→1 u→1
Entonces tenemos que la respuesta es
(3u + 4)(2u − 2)3

lı́m =0
u→1 (u − 1)2
Sesión 2
2.3.0 Cálculo de lı́mites usando las leyes de los lı́mites y la propie-
dad de sustitución directa.
rencial, Denis G. Zill, sección 3.2 ejercicio 27) encuentre el lı́mite dado, o
concluya que no existe.
x3 + 3x2 − 10x
lı́m
t→−1 x+2
Respuesta. usamos propiedades de los limites

f (x) lı́mx→a f (x)
lı́m =
x→a g(x) lı́mx→a g(x)
lı́mx→2 x3 + lı́mx→2 3x2 − lı́mx→2 10x

lı́m
x→2 lı́mx→2 x + 2
evaluamos por sustitución directa
(2)3 + 3(2)2 − 10(2)

lı́m
x→2 (2) + 2
Resolvemos
8 + 3(4) − 20
lı́m
x→2 2+2
8 + 12 − 20
lı́m
x→2 2+2
20 − 20
lı́m
x→2 4
0
lı́m
x→2 4
lı́m = 0
x→2
Determinamos que el lı́mite existe en 0
Ejercicio (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G., sección 3.2, ejerci-

cio 10, Sergio Adrian Rocha Andrade). Encuentre el lı́mite dado, o concluya
x+5
que no existe. lı́m .
x→0 3x
Respuesta. Dado que el lı́mite del denominador es igual a cero, concluimos

que el lı́mite no existe cuando x → 0.
Ejercicio (James Stewart - Calculo de una variable Trascendentes tempra-

nas. Sección 2.6 ejercicio 1 inciso a). Hector Marcelo Valtierra Martinez.).
Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de los siguientes
lı́mites. lı́m f (x) = 5
x→∞
Respuesta. Poniendo como base las leyes de los lı́mites sobretodo:
lı́m c = c
x→a
Por lo que, podemos declarar que el lı́mite de una constante es su misma

contante por lo que la función f(x) está determinada por una contante, la
cual, es 5. Ası́ que, cuando x es muy grande, f(x) tiende a 5.
40
Ejercicio (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas, Stewart, sec-

ción 2.3, ejercicio 1, inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto). Dado que
lı́mx→2 f (x) = 4, lı́mx→2 g(x) = −2, lı́mx→2 h(x) = 0, encuentre los lı́mites
que existen. Si el lı́mite no existe, explique por qué:
(a) lı́m [f (x) + 5g(x)] (171)

x→2
Respuesta. Para resolver el ejercicio se utiliza la ley de los lı́mites que dice
que:
lı́m [f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x) (172)
x→a x→a x→a
También se va a usar la ley que dice que:
lı́m [cf (x)] = c lı́m f (x) (173)

x→a x→a
Ası́ que, se realiza lo siguiente:
lı́m [f (x) + 5g(x)] = lı́m f (x) + 5 lı́m g(x) (174)

x→2 x→2 x→2
Finalmente, se sustituyen los valores de los lı́mites y se realiza la operación.
lı́m f (x) + 5 lı́m g(x) = 2 + 5(−2) = 2 − 10 = −6 (175)

x→2 x→2
Ejercicio (Calculus: One and several variables. Saturnino. Sección 2.1, Ejer-
cicio 15 Página 62, Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Determinar si el
lı́mite indicado existe, evalúelo si este existe.
lı́m (2x − 1)
x→0
Respuesta. Para resolver el problema, podemos notar que se trata de una

función polinomial, y que se evalúa en el rango de la función, en consecuen-
cia de esto podemos usar la propiedad de sustitución directa para encontrar
el lı́mite.
lı́m (2x − 1) = 2(0) − 1 = −1
x→0
También podemos determinar el resultado por medio de las propiedades de

los lı́mites, donde debido a la propiedad de linealidad, podemos desarrollar
el lı́mite de la siguiente manera:
lı́m (2x − 1) = 2 lı́m x − lı́m 1

x→0 x→0 x→0
Ahora por la propiedad de
lı́m C = C
x→a
Tenemos que
2 lı́m x − lı́m 1 = 2(0) − 1 = −1

x→0 x→0
Seguir las propiedades de los lı́mites nos llevó al mismo resultado que el
anterior, debido a que la propiedad de sustitución es un resumen de las
mismas, por lo que llegamos al resultado del lı́mite que sı́ existe y toma el
valor de -1 al ser evaluado.
7ma edición Sección 2.3, ejercicio 1-e, Brandon Galicia Alvarez) Dado que
lı́m f (x) = 4
x→2
lı́m g(x) = −2
x→2
lı́m h(x) = 0
x→2
Encuentre los lı́mites que existen. Si el lı́mite no existe, explique por qué.
g(x)
e) lı́m
x→2 h(x)
Respuesta. Podemos decir que por la propiedad 5 de los logaritmos, la cual

nos dice que
f (x) lı́m f (x)
lı́m = x→a ⇐⇒ lı́m g(x) 6= 0
x→a g(x) lı́m g(x) x→a
x→a
podemos concluir que este lı́mite no existe ya que no está definido en el

g(x)
dominio de x cuando x = 2 en la función h(x) debido a que h(x) tiende a
cero mientras que el numerador g(x) se acerca a un número no cero que es
menos dos.
Ejercicio. (Notas de calculo diferencial J.J Trejo Alonso , sección 3.1.1
inciso (j), Jonathan Segundo Arteaga) Determine el limite que se indica.
(2 + h)2 − 4
lı́m
h→0 h
42
Respuesta. Primero se evalúan los limites de ambos componentes por se-

parado
lı́m ((2 + h)2 − 4 (176)
h→0
lı́m (h) (177)
h→0
al evaluar el limite se obtiene de ambos el resultado igual a 0 por lo que se
determina que la expresión 00 es una forma indeterminada y se procede a
transformar la expresión
(2 + h)2 − 4
lı́m ( ) (178)
h→0 h
usando (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 se desarrolla la expresión
4 + 4h + h2 − 4
lı́m ( (179)
h→0 h
h(4 + h)
lı́m ( ) (180)
h→0 h
lı́m (4 + h) (181)
h→0
Una vez hecho esto se procede a evaluar el limite
4+0 (182)
Al sumar nos da como resultado 4 por lo que esto se interpreta como la
solución del limite mencionado
lı́m (x2 − 1) (183)
x→2
Usando las propiedades vistas en el video del profesor sustituimos
lı́m (x2 − 1) = lı́m (22 ) + lı́m (1)

x→2 x→2 x→2
Ahora solo resolvemos los limites desglosados:

(4)-1=3
lı́mx→2 (x2 − 1) = 3
Ejercicio. (Notas de Cálculo Diferencial, J. J. Trejo-Alonso, Sección 3.1.1,

ejercicio 3.1.1 (e), Andrea Quiroz Garduño) Determine el lı́mite que se in-
dica:
x4 + 2x3 − x2
lı́m (184)
x→0 x2
Respuesta. Según la forma en la que se encuentra la ecuación, si se evalúa
en 0, queda indefinida, por lo que se debe transformar la ecuación.
x4 + 2x3 − x2
lı́m (185)
x→0 x2
x2 (x2 + 2x − 1)
lı́m = lı́m x2 + 2x − 1 (186)
x→0 x2 x→0
Con esta forma ya se puede obtener el lı́mite
lı́m (x2 + 2x − 1) (187)

x→0
02 + 2(0) − 1 = −1 (188)

dentes temprana 7 ed. Capı́tulo 2 Página 106 EJERCICIO 3 y 6)
Utilizando las propiedades de los lı́mites, evalúe los siguientes.
a) lı́m (5x3 − 3x2 + x − 6) (189)

x→3
Respuesta 1. Comenzando con la primera propiedad para obtener los lı́mi-

tes vamos a separar las constantes de las x y a descomponer el polinomio
en suma de lı́mites de monomios. Esta es la propiedad:
lı́m (cf (x) + dg(x) = c lı́m f (x) + d lı́m g(x) (190)

x→a x→a x→a
Al aplicar la propiedad tenemos que:
5 lı́m x3 − 3 lı́m x2 + lı́m x − lı́m 6 (191)

x→3 x→3 x→3 x→3
La siguiente propiedad que utilizaremos será para cuando x está elevada a

una potencia n y n ∈ N, de igual manera para el último termino aplicamos
la propiedad de evaluar un lı́mite a una constante, ambas propiedades nos
quedan ası́ respectivamente:
lı́m xn = an (192)
x→a
44
La segunda propiedad:
lı́m c = c (193)
x→a
Por lo tanto al utilizar estas propiedades:
5(3)3 − 3(3)2 + (3) − 6 = 105 (194)
Es decir:
lı́m (5x3 − 3x2 + x − 6) = 105 (195)
x→3
Respuesta 2.
p
b) lı́m ( u4 + 3u + 6) (196)
u→−2
Para este lı́mite usaremos la pripiedad de raı́z, la cual dice que.

p q
lı́m ( n f (x) = n lı́m f (x) (197)
x→a x→a
Evaluándolo tenemos lo siguiente:

q
lı́m (u4 + 3u + 6) (198)
u→−2
Aplicando otras propiedades vistas:

q
lı́m (u4 ) + 3 lı́m (u) + lı́m (6) (199)
u→−2 u→−2 u→−2
Al momento de resolver tenemos que:

p √
((−2)4 ) + 3(−2) + (6) = 16 (200)
El resultado es: p
lı́m ( u4 + 3u + 6) = 4 (201)
u→−2
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas. Stewart.

Sección 2.3 ejercicio 24. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Evalúe cada
uno de los siguientes lı́mites si éstos existen.
x2 + 2x + 1
lı́m (202)
x→−1 x4 − 1
Respuesta. Primero se comprueba si el lı́mite a evaluar puede resolverse

por la propiedad de sustitución directa, que es: si f es una función polinomial
o una función racional y a está en el dominio de f entonces:
lı́m f (x) = f (a) (203)

x→a
Como la función es racional se comprueba que −1 pertenezca a su dominio.

Para obtener el dominio de f(x) son todos los números excepto aquellos que
hagan que la fracción se indetermine, ası́ que para que la división no se
indetermine se igual el denominador a 0 y se despeja x.
x4 − 1 = 0 (204)
x4 = 1 (205)
√
4
x= 1 (206)
x = −1 (207)
Ası́ que como −1 indetermina la función no pertenece al dominio, por lo

cual no se puede resolver por propiedad de sustitución directa. En este caso
se aplica la propiedad de los lı́mites: Si f (x) = g(x) cuando a 6= 0, entonces:
lı́m f (x) = lı́m g(x) (208)

x→a x→a
Por lo cual se busca la función que en −1 sea el mismo lı́mite que la fun-
ción f(x), para ello se factoriza la función. El denominador se factoriza por
binomio cuadrado perfecto y el denominador por binomios conjugados.
x2 + 2x + 1 (x + 1)(x + 1
lı́m = 2 (209)
x→−1 x4 − 1 (x + 1)(x + 1)(x − 1)
Se vuelven 1 los factores (x + 1) y la nueva función serı́a:

46
x2 + 2x + 1 x+1
lı́m = lı́m (210)
x→−1 x4 − 1 x→−1 (x2 + 1)(x − 1)
Ahora en esta función −1 pertenece al dominio, ası́ que por la propiedad de

sustitución directa evaluamos.
x+1 −1 + 1
lı́m = (211)
x→−1 (x2 + 1)(x − 1) 2
(−1 + 1)(−1 − 1)
x2 + 2x + 1 x+1
lı́m 4
= lı́m 2
=0 (212)
x→−1 x −1 x→−1 (x + 1)(x − 1)
El lı́mite de la función es 0.
Ejercicio. (Cálculo de una Variable, TRascendentes Tempranas, Stewart,
seccion 2.3, ejercicio 4, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Evalúe el lı́mite
y justifique cada paso indicando las leyes de los lı́mites apropiadas.
lı́m (x4 − 3x)(x2 + 5x + 3)
x→−1
Respuesta. Para resolver el ejercicio podrı́amos aplicar la sustitución di-

recta, sin embargo lo haremos paso a paso por leyes de los limites, la primer
ley que usaremos será la siguiente: lı́m [(f (x) + g(x)] = lı́m f (x) + lı́m g(x)
x→a x→a x→a
Aplicando esto a nuestro limite:
( lı́m x4 − lı́m 3x)( lı́m x2 + lı́m 5x + lı́m 3) (213)

x→−1 x→−1 x→−1 x→−1 x→−1
Ahora el limite de 3 podemos ver que es una constante y podemos decir por
leyes de los limites que lı́m C = C donde C es una constante y todo lo que
x→a
esta elevado a una potencia es lo mismo que lı́m xn = an
x→a
Aplicando esto a nuestro limite nos quedarı́a de la siguiente forma:
( lı́m (−1)4 − lı́m 3(−1))( lı́m (−1)2 + lı́m 5(−1) + 3) (214)

x→−1 x→−1 x→−1 x→−1
( lı́m 1 − lı́m (−3))( lı́m 1 + lı́m (−5) + 3 (215)

x→−1 x→−1 x→−1 x→−1
Ahora sumando los limites:
( lı́m 4)( lı́m −1) (216)

x→−1 x→−1
Por leyes de los limites podemos decir que lı́m [(f (x).g(x)] = lı́m f (x). lı́m g(x)
x→a x→a x→a
Lo que al final nos queda:

lı́m −4 (217)
x→−1
Ejercicio. (Calculo de una vairiable, 7ma. Ed. James Stewart, Capitulo 2,

Sección 2.3, ejercicio 3, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde)Evalué el limite y
justifique cada paso indicando las leyes de los limites apropiadas.
lı́m (5x3 − 3x2 + x − 6)
x→3
Respuesta. Para resolver el limite con las leyes de los limites usaremos las
siguientes:
1. lı́mx→a [f (x) + g(x)] = lı́mx→a f (x) + lı́mx→a g(x)
2. lı́mx→a [f (x) − g(x)] = lı́mx→a f (x) − lı́mx→a g(x)
3. lı́mx→a [cf (c)] = c lı́mx→a f (x)
4. lı́mx→a c = c
5. lı́mx→a x = a
6. lı́mx→a xn = an donde n es número entero positivo
Teniendo en mente estas leyes de los limites tenemos.
Por la ley 1 y 2 ya mencionadas
lı́m (5x3 − 3x2 + x − 6) = lı́m 5x3 − lı́m 3x2 + lı́m x − lı́m 6
x→3 x→3 x→3 x→3 x→3
Por la ley 3.
lı́m (5x3 − 3x2 + x − 6) = 5 lı́m x3 − 3 lı́m x2 + lı́m x − lı́m 6
x→3 x→3 x→3 x→3 x→3
Finalmente por la ley 4, 5 y 6. Evaluamos cuando x=3

lı́mx→3 (5x3 − 3x2 + x − 6) = 5(3)3 − 3(3)2 + (3) − 6
lı́mx→3 (5x3 − 3x2 + x − 6) = 105

7ma ed. Sección 2.3, ejercicio 1, inciso f. Emilio Moreno Almanza). Dado
que
lı́m f (x) = 4 lı́m g(x) = −2 lı́m h(x) = 0 (218)
x→2 x→2 x→2
Encuentre los lı́mites que existen. Si el lı́mite no existe, explique por qué.
g(x)h(x)
f) lı́m (219)
x→2 f (x)
48
Respuesta. Para este ejercicio, se usan dos de las leyes de los lı́mites (para
multiplicación y división):
lı́m [f (x)g(x)] = lı́m f (x) · lı́m g(x) (220)

x→a x→a x→a
f (x) lı́m f (x)

lı́m = x→a , si lı́m g(x) 6= 0 (221)
x→a g(x) lı́m g(x) x→a
x→a
Por lo tanto, procedemos a aplicar primeramente la ley de la multiplicación
para el numerador de nuestro lı́mite.
lı́m [g(x)h(x)] = lı́m g(x) · lı́m h(x) (222)

x→2 x→2 x→2
Posteriormente, aplicamos la ley para la división para incluir al resto de

nuestro lı́mite.
lı́m g(x) · lı́m h(x) lı́m g(x) · lı́m h(x)
x→2 x→2 x→2 x→2
lı́m = (223)
x→2 f (x) lı́mx→2 f (x)
Por último, sustituimos valores y resolvemos.
(−2) · (0) 0
= =0 (224)
4 4
Ejercicio (Calculus - Michael Spivak, Parte 2, Capı́tulo 5, Pág 108, ejercicio

1 (ii), Jesús Octavio Rangel Moreno ). Halle los siguientes lı́mites. (Todos
ellos se deducen , tras algunas manipulaciones algebraicas, de los distintos
apartados del Teorema 2; el lector debe asegurarse que conoce los distin-
tos apartados que se utilizan en cada caso, aunque no es necesario que los
enumere.)
x3 − 8
lı́m (225)
x→2 x − 2
Respuesta. Para este ejercicio lo primero que hay que hacer es aplicar la
f (x)
propiedad de los lı́mites que nos dice que lı́m (g(x) = lı́m f (x)
lı́m g(x) , por lo que nos
quedarı́a de la siguiente manera:
lı́mx→2 x3 − 8
(226)
lı́mx→2 x − 2
Evaluamos nuestro lı́mite en ambas expresiones:
(2)3 − 8 0
= (227)
(2) − 2 0
Como el resultado es una indeterminación, entonces factorizamos nuestra

expresión usando a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
2 + 2x + 4)
−2)(x
(x
lı́m (228)

x→2 x− 2

Simplificamos y evaluamos nuestro lı́mite en nuestra nueva expresión.
x2 + 2x + 4 (229)
(2)2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 (230)
x3 −8
Por lo tanto, nuestro lı́mite de lı́mx→2 x−2 es 12.
no existe. r
10x
lı́m (231)
x→10 2x + 5
Respuesta. Simplemente hay que sustituir x por 10 en la expresión, nos

queda lo siguiente:
s
100 √
r r
10x (10)(10)
lı́m = = = 4=2 (232)
x→10 2x + 5 (2)(10) + 5 25
Por lo tanto r
10x
lı́m =2 (233)
x→10 2x + 5
Ejercicio. (Cálculo de una Variable, Stewart, sección 2.3, ejercicio 8,

Gilberto Martinez Ordoñez). Evalúe el lı́mite y justifique cada paso indicando
las leyes de los lı́mites apropiadas.
t2 − 2
lı́m( )2 (234)
t→2 t3 − 3t + 5
Respuesta. iniciamos con la tercera ley, con la que podemos expresar el

limite de la siguiente manera:
lı́m t2 −2
t→2
= (235)
lı́m t3 − 3t + 5
t→2
50
ahora, podemos utilizar la segunda ley para obtener:
(lı́m t)2 − 2
t→2
= (236)
(lı́m t)3 − 3(lı́m t) + 5
t→2 t→2
sustituyendo obtenemos
(2)2 − 2
= (237)
(23 ) − 3(2) + 5
4−2
= (238)
8−6+5
2
= (239)
7
Sesión 3
2.3.1 Lı́mites de funciones definidas por partes, teorema de com-
presión de lı́mites y ejemplos.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Cálculo de una variable, Tras-
cendentales tempranas. Stewart. Sección 2.3 ejercicio 48. encuentre: a) lı́mx→−1
b) lı́mx→1
(
x2 + 1 six < 1
: f (x) = 2
(x − 2) , six ≥ 3
Respuesta. evaluamos el limite de cada función por la condición dada

a)empezamos por la primer función
lı́m = (−1)2 + 1
x→−1
lı́m = +1 + 1
x→−1
lı́m = 2
x→−1
b) Evaluamos la segunda función según la condición dada
lı́m = (x − 2)2
x→−1
lı́m = (x2 − 4x + 4)
x→−1
lı́m = ((−1)2 − 4(−1) + 4)

x→−1
lı́m = (1 + 4 + 4)
x→−1
lı́m = 9
x→−1
Ejercicio (Calculus Saturnino L., sección 2.2, ejercicio 18, Sergio Adrian Ro-
cha Andrade). Decidir, si existe o no el lı́mite indicado. Evaluar los lı́mites
que sı́ existen: 
2
x ,
 x<3
lı́m f (x) si f (x) = 7, x=3
x→3 
2x + 3, x > 3

Respuesta. Primero definimos los lı́mites laterales de la función. Para el

lı́mite al acercarse por la derecha utilizamos f (x) = 2x + 3, x > 3, quedan-
do como lı́m (2x + 3), y procedemos utilizando los teoremas de los lı́mites
x→3+
como sigue:
lı́m (2x + 3) = 2(3) + 3 = 9
x→3+
Ahora calculamos el lı́mite de la función cundo te acercas por la izquierda,
utilizando f (x) = x2 , x < 3, quedando como lı́m x2 , y procedemos de nuevo
x→3−
utilizando los teoremas de los lı́mites como sigue:
lı́m x2 = (3)2 = 9
x→3−
Finalmente, calculamos el lı́mite para f (x) = 7, x = 3, cuando x se acerca

a 3 quedando como lı́m 7, utilizando los teoremas de los lı́mites.
x→3
lı́m 7 = 7
x→3
Debido a que el lı́mite de la función dada para cada una de sus partes no es
el mismo, concluimos que el lı́mite para la función f (x) no existe cuando x
se acerca a 3.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, trascendentales tempranas. Stewart.
Sección 2.3 ejercicio 48 inciso a). Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Sea
x2 − 1 si x < 1

f (x) = (240)
(x − 2)2 si x > 1
a) Encuentre lı́m f (x) y lı́m f (x).

xto1− x→1+
52
Respuesta. Al ser una función por partes, se calculan los lı́mites por sus
propiedades dependiendo de los valores a tomar. Primero, el lı́mite de la
función cuando x tiende a 1 por la izquierda, se toman valores menores que
1 por lo cual se calcula el lı́mite con la primera parte.
lı́m x2 − 1 (241)
x→1−
Por las propiedad de sustitución directa de las funciones polinomiales eva-

luamos directamente el lı́mite:
lı́m x2 − 1 = (1)2 − 1 = 1 (242)

x→1−
Por el otro lado, el lı́mite de la función por la derecha toma los valores
mayores que 1 por lo que el lı́mite se evalúa en la segunda parte.
lı́m (x − 2)2 (243)

x→1
Por la misma propiedad de sustitución directa calculamos el lı́mite por la

derecha:
lı́m (x − 2)2 = (1 − 2)2 = 1 (244)

x→1
Esto quiere decir que al ser los mismo lı́mites por ambos lados se dice que
el lı́mite es 1
lı́m x2 − 1 = 1 = lı́m (x − 2)2 (245)

x→1− x→1+
Ejercicio. (James Stewart - Calculo de una variable Trascendentes tempra-

nas.Sección 2.3, ejercicio 42. Hector Marcelo Valtierra Martinez)
Encuentre el siguiente lı́mite, si no existe, explicar porqué.
2x + 12
lı́m
x→−6 |x + 6|
Respuesta. Tenemos que |x + 6| corresponde a ser mayor y menor que

cero por lo que para el primer caso quedará como. x + 6 al corresponder
al conjunto de los positivos; mientras que para el segundo se evalúa como
−x − 6.
2(x + 6)
lı́m =2
x→−6 x + 6
Se determina que el lı́mite para x + 6 > 0 es 2, por lo que, para x + 6 < 0

corresponde a -2.
Por lo que, el resultado de dicho lı́mite NO existe para esta función. Puesto
que 2 y -2 no son iguales, deben ser los mismos para que exista dicho lı́mite.
Ejercicio. (Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, Stewart,
sección 2.3, ejercicio 37, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Si 4x − 9 ≥
f (x) ≥ x2 − 4x + 7 para x ≥ 0 encuentre lı́m f (x)
x→4
Respuesta. Para resolver el ejercicio usamos el teorema de la comprensión

que nos dice que podemos calcular el limite de una función que esta entre
otras, donde el limite de las dos funciones es el mismo y por consiguiente el
limite de la función de en medio sera el mismo que el de las dos funciones
la manera de denotarlo seria: g(x) ≥ h(x ≥ f (x).
Denotanremos g(x) = 4x − 9 y h(x) = x2 − 4x + 7
lı́m 4x − 9 ≥ lı́m f (x) ≥ lı́m x2 − 4x + 7 (246)

x→4 x→4 x→4
Si observamos las funciones g(x) y h(x) vemos que son polinomiales y por
ende podemos aplicar la sustitución directa la cual es lı́m f (x) = f (a)
x→a
lı́m 4(4) − 9 ≥ lı́m f (x) ≥ lı́m (4)2 − 4(4) + 7 (247)

x→4 x→4 x→4
lı́m 7 ≥ lı́m f (x) ≥ lı́m 7 (248)

x→4 x→4 x→4
Y por definición del teorema de la comprensión, f(x) tendrá el mismo limite

lo que queda:
lı́m f (x) = 7 (249)
x→4

7ma edición Sección 2.3, ejercicio 36, Brandon Galicia Alvarez) Utilice el
teorema de la compresión para demostrar que
54
√
lı́m x3 + x2 sen πx = 0
x→0
evidenciándolo con las gráficas de las funciones f, g y h (en la notación del

teorema de la compresión,) en la misma pantalla.
Respuesta. Si sabemos que una de las propiedades de sen x es que el rango

de y = sen πx es y ∈ [−1, 1]. Entonces para un x > 0 se cumple el teorema
de compresión, el cual nos dice que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), siendo
p p π p
− x3 + x2 ≤ x3 + x2 sen ≤ x3 + x2
x
√ √
y sabiendo que lı́m − x3 + x2 = 0 = lı́m x3 + x2 al hacer sustitución
x→0 x→0
directa y también evaluarlo en la figura 8, donde se encuentran las fun-
ciones graficadas podemos confirmar que ambos lı́mites existen, debido a
que sus lı́mites
√ laterales son iguales y por lo tanto queda demostrado que el
lı́m x → 0 x3 + x2 sen πx = 0
Figura 8: Gráfica de las funciones f , g y h. Teorema de compresión.

ción 2.3, ejercicio 50, inciso (a)(v), Aránzazu Norma Celedón Pinto). Sea


 x si x<1




 3 si x=1


g(x) = (250)

 2
2 − x si 1 < x ≤ 2






x − 3 si

x>2
Evalúe cada uno de los siguientes lı́mites si es que existen.
lı́m g(x) (251)

x→2+
Respuesta. Se debe encontrar el lı́mite cuando x se acerca a dos por la

derecha, ası́ que se deben tomar los valores mayores a 2, lo que significa que
se debe utilizar la definición de g(x) que dice g(x) = x − 3 si x > 2 Entonces,
se sustituye de la siguiente manera y se realizan las operaciones:
lı́m g(x) = x − 3 = 2 − 3 = −1 (252)

x→2+
El lı́mite de g(x) cuando x → 2+ es -1.

7ma ed. Sección 2.5, ejercicio 46. Emilio Moreno Almanza). Encuentre los
valores de a y b que hacen a f continua para toda x.
 x2 −4

 x−2 si x<2



f (x) = ax2 − bx + 3 si 2 ≤ x < 3 (253)





2x − a + b si x≥3
Respuesta. Para que la función f(x) sea continua para toda x, es decir, x
= c, se deben cumplir las siguientes condiciones.
Que f(c) exista
Que lı́m f (x) exista
x→c
Que lı́m f (x) = f (c)

x→c
56
Siendo el segundo punto, el mas importante de comprobar, lo cual se realiza

de la siguiente manera.
lı́m f (x) = lı́m f (x) (254)

x→2− x→2+
Lo anterior significa que el lı́mite sı́ existe y que, por lo tanto, tiene conti-
nuidad en x.
Ahora, que el lı́mite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda, significa
que x es ligeramente menor que 2 (x < 2). Por otra parte, que el lı́mite de
f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha, significa que x es ligeramente mayor
que 2 (x > 2).
Con esta información, podemos definir qué ecuación adopta la función, a
partir de las que se enuncian al principio del problema.
Entonces, para el lı́mite de f(x) cuando x tiende a 2 por la izquierda, tenemos
que:
x2 − 4
lı́m (255)
x→2 x − 2
(x − 2)(x + 2)
=x+2=2+2=4 (256)
x−2
Y para el lı́mite de f(x) cuando x tiende a 2 por la derecha tenemos lo
siguiente:
lı́m ax2 − bx + 3 (257)
x→2
a(2)2 − b(2) + 3 = 4a − 2b + 3 (258)

Posteriormente, igualamos estos valores y obtenemos nuestra primera ecua-
ción del sistema:
4 = 4a − 2b + 3 → 4a − 2b = 1 (259)
Realizamos el mismo procedimiento, pero ahora con el valor de 3.
lı́m f (x) = lı́m f (x) (260)

x→3− x→3+
Al igual que en el caso anterior, que el lı́mite de f(x) cuando x tiende a

3 por la izquierda, significa que x es ligeramente menor que 3 (x < 3). Y
que el lı́mite de f(x) cuando x tiende a 3 por la derecha, significa que x es
ligeramente mayor que 3 (x > 3).
Entonces, para el lı́mite de f(x) cuando x tiende a 3 por la izquierda, tenemos

que:
lı́m ax2 − bx + 3 (261)
x→3
2
a(3) − b(3) + 3 = 9a − 3b + 3 (262)
Y para el lı́mite de f(x) cuando x tiende a 3 por la derecha tenemos lo
siguiente:
lı́m 2x − a + b (263)
x→3
2(3) − a + b = 6 − a + b (264)
E igualmente igualamos ambas expresiones para obtener la segunda ecuación
del sistema, aunque, en este caso, pasamos las incógnitas de un lado y las
constantes de otro.
9a − 3b + 3 = 6 − a + b → 10a − 4b = 3 (265)
Ahora que contamos con un sistema de ecuaciones, he optado por el método
de suma y resta para resolverlo.

 10a − 4b = 3
(266)
4a − 2b = 1

Multiplicando por -2 la segunda ecuación, podemos deshacernos de b.


 10a − 4b = 3 (1)
(267)
4a − 2b = 1 (−2)


 10a − 4b = 3
(268)
−8a + 4b = −2

2a = 1 → a = 1/2 (269)
Ahora, para encontrar b, sustituimos el valor de a en cualquiera de las ecua-
ciones.
4(1/2) − 2b = 1 → 2 − 2b = 1 → b = 1/2 (270)
Podemos comprobar esto en la primer ecuación.
10(1/2) − 4(1/2) = 3 → 5−2=3 X (271)
Con esto, concluimos que los valores de a y b para que la función sea continua
en x=c, son de 1/2 tanto para a como para b.
58
Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón. Cálculo de una variable trascendentes tem-

pranas, séptima edición, Capı́tulo 2, página 167 ejercicio 30)
Dada la siguiente función:
 √

 −x si x<0



f (x) = 3−x si 0 6 x < 3 (272)




(x − 3)2 si x>3

Cuando:
Respuesta.
lı́m f (x) (273)
x→0+
Para este valor se consideran lo número menores a 0 por lo que se usa la

siguiente función:
lı́m 3 − xf (x) (274)
x→0+
Donde al sustituir.
lı́m 3 − 0 = 3 (275)
x→0+
Para:
lı́m f (x) (276)
x→0−
Se usa la siguiente: p
lı́m −(0) = 0 (277)
x→0−
Por lo tanto al no tener los lı́mites laterales iguales:
lı́m f (x) = No existe (278)

x→0
Para:
lı́m f (x) (279)
x→3+
Son lo números mayores a 3 que se aproximan a este por lo tanto se toma

la función:
lı́m (x − 3)2 = 0 (280)
x→3+
Y para:
lı́m f (x) (281)
x→3−
Se toma la siguiente función donde los valores que se aproximan a 3 son

menores a este:
lı́m 3 − x = 0 (282)
x→3−
Por lo tanto:
lı́m f (x) = 0 (283)
x→3
Ejercicio. (Calculo Diferencial Deniss G sección 3.1 Ejercicio 1, Jonathan

Segundo Arteaga)
En los problemas encuentre el limite dado o concluya que no existe
lı́m 15
x→−4
Respuesta. Al evaluar el limite anterior como es constante por lo que se

concluye que el limite existe y es igual a la constante del problema por lo
que el resultado de esto es igual a
lı́m 15 = ... (284)

x→−4
... = 15 (285)
cicio 1, Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Respecto a la gráfica con c = 2
en la gráfica, encuentre
a) lı́m f (x)
x→c−
b) lı́m f (x)
x→c+
c) lı́m f (x)
x→c
b)f (c)
60
Figura 9: Gráfica de f(x)
Respuesta. a) Vemos que el lı́mite por la izquierda da un valor de 2.

b) Vemos que el lı́mite por la derecha está en -1.
c) El lı́mite no existe pues para que esto suceda es necesario que el lı́mite
por la izquierda y derecha deben ser iguales.
d) Vemos que la función está definida para c = 2 definida en −3.
Ejercicio. (Calculus: One aand several variables, S. Saturnino, Sección 2.1,
ejercicio 17, Andrea Quiroz Garduño) Decide on intuitive grounds whether
or not the indicated limit exists; evaluate the limit if it does exist
lı́m (|x| − 2) (286)

x→−3
Respuesta. Para resolver el ejercicio se puede hacer uso del teorema que
indica que existe lı́mx→a f (x) si:
lı́m f (x) = L = lı́m f (x) (287)

x→a− x→a+
Por lo que se pueden sacar los lı́mites laterales para comprobar que el lı́mite
existe
lı́m (|x| − 2) = (| − 3| − 2) = 1 (288)
x→−3−
lı́m (|x| − 2) = (| − 3| − 2) = 1 (289)

x→−3+
Al tener lı́mites laterales iguales se cumple con el teorema anterior, por lo

que el lı́mite serı́a:
lı́m = 1 (290)
x→−3
Ejercicio. (Calculo de una variable, trascendentales tempranas. Stewart,

Sección 2.3, ejercicio 22, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde) Evalué cada
uno de los siguientes limites y determine si estos existen.
2x2 + 3x + 1
lı́m
x→−1 x2 − 2x − 3
Respuesta. Teniendo el limite podemos ver que si lo evaluamos directa-

mente este es indeterminado por lo que procederemos a factorizar.
2x2 + 3x + 1 (2x + 1)(x + 1) 2x + 1

= =
x2 − 2x − 3 (x − 3)(x + 1) x−3
Lego de ver que factorizando se pude simplificar evaluaremos el limite en la
función simplificada por sustitución directa si no obtiene un limite procede-
moremos con otros metodos.
2x + 1 2(−1) + 1 −1 1
lı́m = lı́m = =
x→−1 x − 3 x→−1 (−1) − 3 −4 4
Al momento de factorizar y evaluar de manera directa nos permitió encon-
trar el limite concluimos que el limite si existe
Ejercicio. (Cálculo diferencial 2da edición, Parte 2, Sección 3.3, Ejercicio
3.2, inciso a), Omar Fabian Izquierdo Pérez).Demuestre formalmente los
dos lı́mites trigonométricos anteriormente vistos:
sin x
a) lı́mx→0 x =1
Respuesta. Consideremos un cı́rculo de radio 1 y centro O. P y R son
dos puntos en la circunferencia tales que 0 < ∠P OR < 90. El punto Q
es la intersección con OR de la perpendicular que pasa por P y S es la
intersección de OP y la lı́nea perpendicular que pasa por R. Si ∠P OR = x
observemos que las siguientes afirmaciones son ciertas.
sin x = P Q (291)
cos x = OQ (292)
tan x = RS (293)
62
Ahora consideremos las siguientes áreas, A1 = |OP Q|, A2 = sector|OP R|

y A3 = |OSR|. Es fácil notar que
A1 < A2 < A3 (294)
Lo cual equivale a
1 1 1 sin x
· sin x · cos x < · x < · (295)
2 2 2 cos x
sin x
sin x · cos x < x < (296)
cos x
Dividimos todo entre sin x
x 1
cos x < < (297)
sin x cos x
sin x 1
cos x < < (298)
x cos x
Observemos que:
1
lı́m cos x = lı́m =1 (299)
x→0 x→0 cos x
Por el teorema de compresión concluimos que
sin x
lı́m =1 (300)
x→0 x
Ejercicio. (cálculo de una variable, Steward. sección 2.5 ejercicio 39.

Gilberto Martinez Ordoñez) Demuestre que cada una de las siguientes fun-
ciones es continua sobre (−∞, +∞)
 2
 x si x < 1
f (x) = (301)
 √
x si x ≥ 1
Respuesta. ,
para x2
para este caso tenemos que
lı́m x2 = 1 (302)
x→1−
lı́m (1)2 = 1 (303)

x→1−
1=1 (304)
su limite es 1
√
para x √
lı́m x≥1 (305)
x→1+
para este caso tenemos que
p
lı́m (1) ≥ 1 (306)
x→1+
1=1 (307)
su limite es 1 sus limites tanto por la derecha como por la izquierda
son -1, +1
ción 2.3, ejercicio 50, inciso (a)(ii), Jesús Octavio Rangel Moreno). Sea


 x si x<1




 3 si x=1


g(x) = (308)

 2
2 − x si 1 < x ≤ 2






x − 3 si

x>2
lı́m g(x) (309)

x→1
Respuesta. Se debe encontrar el lı́mite cuando x tiende a 1 entonces debe

evaluarse cuando es uno, en el caso de que x tienda a 1− se deberı́a evaluar
por la izquierda, pero como solo es a 1, se evalúa cuando x = 1
g(x) = 3 (310)
Cuando x = 1, entoncesg(x) = 3, por lo tanto el lı́mite de lı́mx→1 g(x) es 3.
2.4.0 La definición precisa y matemática de lı́mite, lı́mite por la

izquierda y lı́mite por la derecha.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Cálculo de una variable, Tras-
cendentales tempranas. Stewart. Sección 2.3 ejercicio 14.)
Evalúe cada uno de los siguientes lı́mites si éstos existen.
x2 − 4x
lı́m
x−4 x2 − 3x − 4
64
Respuesta. En adición al problema determinaremos definiremos de manera

precisa el lı́mite
primero obtenemos el valor del limite
evaluamos según la condición del lı́mite
x2 − 4x
lı́m
x→4 x2 − 3x − 4
(4)2 − 4(4)
lı́m
x→4 (4)2 − 3(4) − 4
(16 − 16
lı́m
x→4 (12 − 12
lı́m = 0
x→4
al indeterminarse debemos de transformar la operación factorizando los

términos.
(x)(x − 4)
lı́m
x→4 (x(x + 1) − 4(x + 1)
sacamos x y -4 del denominador
x(x − 4)
lı́m
x→4 (x + 1)(x − 4)
se elimina términos semejantes

x
lı́m
x→4 (x + 1)
evaluamos el lı́mite
4 5
lı́m =
x→4 (4 + 1) 4
Obtenemos el valor del limite
x2 − 4x 5
lı́m 2
=
x→4 x − 3x − 4 4
ahora probamos que esto es cierto
si
lı́m f (x) = L
x→a
sustituimos
0 < |x − 4| <
entonces
x2 − 4x 5
|( 2
)− |<
x − 3x − 4 4
x+5
|(− |<
4x + 4
x+5
se busca un quepuedasatisf acerlaecuación|x − 4| < 4x+4 por lo tanto

δ=
4x + 4

Sección 2.4 ejercicio 25. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Demuestre
cada una de las siguientes proposiciones utilizando la definición − δ de
lı́mite.
lı́m x2 = 0 (311)
x→0
Para demostrar que el lı́mite de la función es igual a cero cuando la misma

tiende a cero utilizamos la definición precisa: demostramos que para cada
siempre se puede encontrar un δ tal que si 0 < |x − a| < δ entonces
|f (x) − L| < , en este caso a = 0 por lo tanto y L = 3:
|x2 − 0| < (312)
Podemos decir que por las propiedades del valor absoluto:
x2 < (313)
Y sacando raı́z a ambos lados:
x < 2 (314)
Por lo tanto δ = 2 dado que > 0. Si
√
0 < |x − 0| < (315)
66
Ası́ si 0 < |x − a| < δ entonces |x2 − 0| < , por lo tanto por la definición de
lı́mites:
lı́m x2 = 0 (316)
x→0

nas. Sección 2.4 ejercicio 24. Hector Marcelo Valtierra Martinez)
Demuestre la siguiente preposición utilizando la definición ε − δ
lı́m c = c
x→a
Respuesta. Tenemos que |f (x) − c| < ε sólo si:

0 < |x − a| < δ
Ası́ pues, ya hemos definido que f (x) está cerca de c cuando se acerca con a,
porque la expresión nos dice que se puede hacer que los valores f (x) queden
dentro de una distancia arbitraria ε a partir de c.
Ahora bien, sabemos que:
lı́m f (x)=L
x→a
Por lo que: |f (x) − c| < ε. Sólo si: ε > 0 y por ende: δ > 0
7ma edición Sección 2.4, ejercicio 19, Brandon Galicia Alvarez) Demuestre
cada una de las siguientes proposiciones utilizando la definición − δ de
lı́mite.
2+4x
lı́m 3 =2
x→1
Respuesta. Se quiere mostrar que para cada siempre podemos encontrar

un δ tal que si 0 < |x − 1| < δ entonces |( 2+4x
3 ) − 2| < . Pero podemos
darnos cuenta que podemos restar los valores idénticos y luego factorizar la
función, con lo cual nos queda:
4x 2 4x 4 4
| + − 2| = | − | = | (x − 1)| (317)
3 3 3 3 3
Por lo tanto se busca un δ tal que si 0 < |x − 1| < δ entonces |x − 1| < 34 .
Tomamos δ = 34 dado un > 0 si 0 < |x − 1| < δ entonces
4x 2 4x 4 4 4 4 3
| + − 2| = | − | = | (x − 1)| < δ = · (318)
3 3 3 3 3 3 3 4
ası́ si 0 < |x − 1| < δ entonces |( 2+4x

3 ) − 2| < . Por lo tanto por la definición
de lı́mite se comprueba que
2+4x
lı́m 3 =2
x→1
Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón. Cálculo de una variable trascendentes tem-

pranas, séptima edición, Capı́tulo 2, página 117 ejercicio 19)
Demuestre cada una de las siguientes proposiciones utilizando la
definición - δ de lı́mite.
2 + 4x
lı́m =2 (319)
1 3
Respuesta. Primero vamos a recordar lo que nos dice la definición de lı́mi-

te matemática, existe un δ > 0 y un > 0 tal que existen dos premisas las
que dice que: |f (x) − L| < y 0 < |x − a| < δ
. Delimitando nuestros valores tenemos que:
f (x) = 2+4x
3
a=1
L=2
2 + 4x
| − 2| < (320)
3
Al hacer la resta tenemos que:
4x − 4
| |< (321)
3
Haciendo la comparación con la otra premisa tenemos que :
0 < |x − 1| < δ (322)
Por lo que de la primera premisa hay que buscar un factor que al extraerlo
del valor absoluto nos de como resultado lo que se encuentra en el valor
absoluto de la segunda es decir |x − 1|.
4 x−1
| |< (323)
3 1
4
Se extrae el 3 y se llega al resultado deseado por lo que ahora tenemos que:
3
|x − 1| < (324)
4
68
Denotando que:
3
δ= (325)
4
Volviendo a la segunda premisa omitiendo la parte del cero tenemos que:
4 4
|x − 1| < δ (326)
3 3
Al realizar operaciones y sustituir δ:
4x − 4 4 3
| | < ( )( ) (327)
3 3 4
Simplemente realizamos los ajustes y tenemos lo siguiente:
2 + 4x
| + 2| < (328)
3
Que efectivamente es lo mismo que:
|f (x) − L| < (329)
Ejercicio. (Calculo Diferencial Sección 3.2 Ejercicio 3, Jonathan Segundo

Arteaga)
En el problema encuentre el limite dado o concluya que no existe
lı́m ((−4)x)
x→3
Lo que se hace es transformar la expresión usando lı́mx→c ((a)(f (x)) =

(a)(lı́mx→c (f (x)) lo que nos quedaria como
(−4)( lı́m (x) (330)

x→3
evaluamos sustituyendo el valor x=3 en la expresion
(−4)(3) = −12 (331)
por lo que se concluye que el limite existe y es igual a -12

Ejercicio (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas, Stewart,
sección 2.4, ejercicio 13 inciso a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). En-
cuentre un número δ tal que si |x − 2| < δ entonces |4x − 8| < , donde
= 0,1.
Respuesta. Se tiene que

|x − 2| < δ (332)
Y que
|4x − 8| < = |4x − 8| < 0,1 = 4|x − 2| < 0,1 (333)
Entonces si despeja |x − 2|
0,1
|x − 2| < = |x − 2| < 0,025 (334)
4
El valor de δ es 0.025.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, J. Stewart, Sección 2.4, ejercicio 27,
Andrea Quiroz Garduño) Demuestre cada una de las siguientes proposiciones
utilizando la definición − δ de lı́mite
lı́m |x| = 0 (335)

x→0
Respuesta. Para demostrar el lı́mite anterior se debe de hacer función de

la definición matemática que indica que si para cada número > 0 existe
un número δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| < , lo cuál
serı́a:
||x| − 0| < (336)
x< (337)
En el caso de δ, se tiene que
0 < ||x| − 0| < δ (338)
0<x<δ (339)
Por lo que δ = , y al cumplirse la definición, se confirma la existencia del
lı́mite:
lı́m |x| = 0 (340)
x→0

10, Omar Fabian Izquierdo Pérez). En los problemas 1-24, use las definicio-
nes 3.6.1, 3.6.2 o 3.6.3 para demostrar el resultado sobre lı́mites dado.
lı́m 8(2x + 5) = 48 (341)

x→ 12
70
Respuesta. Si el lı́mite es correcto quiere decir que para todo ε > 0 existe
un δ > 0 tal que |8(2x + 5) − 48| < ε siempre que se cumpla 0 < |x − 12 | < δ.
Entonces, manipulando un poco |8(2x + 5) − 48| nos queda que:
1
|8(2x + 5) − 48| = |16x + 40 − 48| = |16x − 8| = 16|x − | (342)
2
Notemos que si despejamos |x − 12 | obtenemos
1 ε
|x − | = (343)
2 16
ε
Entonces bastará tomar un δ tal que δ = 16 y por lo tanto el lı́mite si es
correcto.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. Stewart.
Sección 2.4 ejercicio 15. Cinthia Alejandra Olvera Bautista) Demuestre ca-
da una de las siguientes proposiciones utilizando la definición − δ de lı́mite
e ilústrelo con un diagrama como el de la figura9.
1
lı́m (1 + x) = 2
x→3 3
Respuesta. Para demostrar la proposición primero tenemos que para delta
0 < |x − a| < δ
Donde remplazamos el valor de a
0 < |x − 3| < δ
Para épsilon tenemos que

|f (x) − L| <
Donde de igual manera remplazamos el valor de f (x) y L dados en el ejer-
cicio
1
|(1 + x) − 2| <
3
Ahora simplificamos esta última desigualdad
1
| x − 1| <
3
Ahora multiplicamos ambos lados por 3
1
(3)| x − 1| < (3)
3
Y simplificando nos queda que
|x − 3| < 3
Entonces una vez simplificada la expresión de épsilon podemos encontrar su

relación con delta, entonces recordando que
0 < |x − 3| < δ comparandola |x − 3| < 3
Podemos observar que delta y épsilon se pueden mostrar de la siguiente

manera
δ ≡ 3
Por lo que despejando épsilon tenemos el valor de delta
δ
≡
3
Y volviendo a la expresión en la que se encontraba épsilon, podemos hacer
la siguiente modificación
1 1 δ
|(1 + x) − 2| < → |(1 + x) − 2| <
3 3 3
Por lo que resolviendo y sustituyendo valores podemos ver que
1 δ 1
| x − 1| < ≡ ∗ 3 ≡
3 3 3
Con esto encontramos la relación de delta y épsilon por lo que el lı́mite queda
demostrado
1
lı́m (1 + x) = 2
x→3 3
Y la gráfica la podemos ver en la siguiente figura
Figura 10: Ejercicio 18, épsilon y delta con lim=3

72
Ejercicio. (Calculo de una varibale, Trascendentes tempranas. Stewart.

Sección 2.4 ejercicio 21,Jose Emmanuel Mendoza Ugalde) Demustre cada
una de las siguientes proposiciones utilizando la definición ε − δ de lı́mite.
x2 + x − 6
lı́m = =5
x→2 x−2
Respuesta. Por definición de lı́mite tenemos que demostrar que para ε > 0
existe un δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δentonces |f (x) − L| < ε
x2 +x−6
Tenemos a = 2, f (x) = x−2 y L=5
2
0 < |x − 2| < δentonces | x x−2
+x−6
− 5| < ε
2
Pero | x x−2
+x−6
− 5| = | (x−2)(x+3)
x−2 − 5| = |(x + 3) − 5| = |x − 2|
Por tanto queremos un δ tal que
0 < |x − 2| < δentonces |x − 2| < ε
Esto siguiere que se debe elegir δ=ε
volviendo a la expresión de épsilon se puede hacer la modificación a conti-

nuación
x2 + x − 6
| − 5| = |x − 2| < δ = ε
x−2
Con esta relación de delta y épsilon por lo que el limite queda demostrado.
x2 + x − 6
lı́m =5
x→2 x+2
Ejercicio. (Notas de calculo. jj trejo alonso, 3.2.1 ejercicio.

Gilberto Martinez Ordoñez)
En los incisos siguientes proporcione una prueba - δ para cada lı́mite dado:
lı́m (2x − 1) = −1 (344)

x→0
Respuesta. partiendo de 0 < |x − a| < δ y |f (x) − L| < tenemos que:

a=-1 y L=3
|2x − 1 − (−1)| < (345)
|2x − 1 + 1| < (346)
|2x + 0| < (347)
2x < (348)

x< (349)
2

y tenemos que δ = 2 dado que > 0 con

0 < |x − (−1)| < (350)
2
contemplando que 0 < |x − 1| < δ entonces |2x − 0| < por lo tonta con la
definición de limite tenemos que
lı́m (2x − 1) = −1 (351)

x→0

ción 2.3, ejercicio 50, inciso (a)(iv), Jesús Octavio Rangel Moreno). Sea


 x si x<1




 3 si x=1


g(x) = (352)
2 − x2 si 1 < x ≤ 2








x − 3 si

x>2
lı́m g(x) (353)

x→1−
Respuesta. Para resolver, esto como tiene signo negativo,debemos evaluar-

lo por la izquierda, es decir cuando x < 1, para esto se usa entonces la
definición de g(x) que dice que g(x) = x si x < 1, sustituimos valores:
g(x) = x = 1 (354)
74
El lı́mite de g(x) cuando x → 1− es 1.

Ejercicio (Cálculo de una variable, Stewart J., sección 2.4, ejercicio 13 b),
Sergio Adrian Rocha Andrade). Encuentre un número δ tal que si |x−2| < δ,
entonces |4x − 8| < ε, donde ε = 0,01.
Respuesta. Si observamos el valor absoluto |4x − 8|, vemos que tiene como
factor común el 4, por lo que la desigualdad completa queda como sigue:
4|x − 2| < ε
Despejando
ε
|x − 2| <
4
Debido a que está desigualdad queda de la misma forma que |x − 2| < δ,
podemos deducir que δ = 4ε , por lo que podemos calcular δ como sigue:
0,01
δ=
4
δ = 0,0025
Por lo tanto, δ = 0,0025.
2.4.1 Demostración de la existencia de lı́mites, demostración de

suma de lı́mites y lı́mites infinitos.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado,La derivada, Matemáticas 1 calcu-
lo diferencial . saturnino L. Salas Sección 2.2, ejercicio 13 ) evalúa si el
lı́mite existe o no √
x−1
lı́m
x→1 x
Respuesta. se divide el limite usando la regla de los lı́mites de los cocientes

√
lı́mx→1 x − 1
lı́m
x→1 lı́mx→1 x
se separa el limite por la regla de a suma de los lı́mites
√
lı́mx→1 x − lı́mx→1 1
lı́mx→1 x
√
1−1(1)
se evalúan los lı́mites a 1 1 obtenemos que el limite es igual a 0

Sección 2.4 ejercicio 44 a). Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Suponga
que lı́m f (x) = ∞ y lı́m g(x) = c, donde c es un número real. Demuestre
x→a x→a
cada una de las siguientes proposiciones.
lı́m [f (x) + g(x)] = ∞ (355)

x→a
Respuesta. Para demostrar la suma de lı́mites sea > 0 se busca un δ > 0

tal que si 0 < |x − a| < δ entonces:
|f (x) + g(x) − (L + M )| < (356)
Por la desigualdad de triángulos se tiene que:
|f (x)+g(x)−L−M | = |f (x)−L+g(x)−M | 6 |f (x)−L|+|g(x)−M | (357)
Por el lado de la función f(x) el lı́mite si existe un δ1 que si |f (x) − L| < 2 ,

donde
f (x) > M (358)
Esto se debe al tratarse de un lı́mite igual a infinito negativo, la función

siempre va a ser más grande conforme x tiende a a.
Por el otro lado, la función g(x) existe el lı́m g(x) = c tal que haya un δ2
x→a
tal que si 0 < |x − a| < δ2 entonces:

|g(x) − c| < (359)
2
Sea δ = (δ1 , δ2 se tiene que

|f (x) + g(x) − (M + c)| 6 |f (x) − M | + |g(x) − c| 6 + = (360)
2 2
Por lo tanto existe el lı́mite:
lı́m [f (x) + g(x)] = ∞ (361)

x→a
76

Demuestre la siguiente preposición utilizando la definición de ε−δ de lı́mite:
lı́m x3 = 8
x→2
Respuesta. Para sentar bases, se tiene que hay un numero ε > 0 y por
ende se busca un numero δ > 0. Según el intervalo
0 < |x − 2| < δ
Nos da por ende, en base a la expresión: —f (x) − L| < ε la siguiente susti-

tución.
|x3 − 8| < ε
Donde |x3 − 8| = |x − 2||x + 2||x − 2|
Como x tiende a 2 se tiene una constante positiva mayor que x + 2 = 4 osea
mayor que 4, tal que se acota: |x + 2| < c.
Por lo tanto, como existe ε > 0 tenemos demostrado que lı́m x3 = 8
x→2

7ma edición Sección 2.4, ejercicio 42, Brandon Galicia Alvarez). Demuestre,
1
utilizando la definición 6, que lı́m (x+3) 4 = ∞
x→−3
Respuesta. Sea J > 0 se busca δ > 0 tal que si 0 < |x + 3| < δ, entonces
1 1 1 1
4
> ⇐⇒ (x + 3)4 > ⇐⇒ |x + 3| > √
4
(x + 3) J J J
1 1 1
Por lo tanto tomamos δ = √
4 y 0 < |x + 3| < δ = 4 ,
√ entonces (x+3)4
> J.
J J
1
Demostrando que (x+3)4
tiende a infinito conforme x tiende a −3.
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G Sección 3.2 Ejercicio 6, Jonathan

Segundo Arteaga)
En el problema encuentre el limite dado o concluya que no existe
lı́m (−x3 )
x→5
Respuesta. Evaluamos el limite usando
lı́m (−f (x)) = − lı́m (f (x))

x→c x→c
esto para que nos de igual

− lı́m (x3 ) (362)
x→5
Este a su vez lo evaluamos usando
lı́m (f (x)a ) = (lı́m (f (x)))a

x→c x→c
lo que nos queda igual a

− ( lı́m (x))3 (363)
x→5
y en esta expresión se evalúa sustituyendo el valor x=5 lo que nos queda
como
− 53 = −125 (364)
por lo que se concluye que el limite existe y es igual a -125
Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón, Cálculo de una variable: Trascendentes
tempranas. J. Stewart, 7ma edición
Ejercicio. Matemáticas 1 Cálculo Diferencial, Dennis, Sección 3.2, ejerci-
cio 5, Andrea Quiroz Garduño) En los problemas 1-52, encuentre el lı́mite
dado, o concluya que no existe:
lı́m x2 (365)
x→−2
Respuesta. Ya que se puede decir que el lı́mite anterior es continuo, se

debe evaluar
lı́m x2 = (−2)2 = 4 (366)
x→−2
Entonces el lı́mite de lı́mx→−2 x2 sı́ existe y es 4

Ejercicio.
9, Omar Fabian Izquierdo Pérez). En los problemas 1-24, exprese el lı́mite
dado como un número, como −∞ o como ∞
x2 − 3x
lı́m (367)
x→∞ 4x2 + 5
Respuesta. Primero transformemos la expresión, lo hacemos de la siguien-

te manera:
1
x2 − 3x 2
x2 x − 3x 1 − x3
= 1 = (368)
4x2 + 5 x2
4x2 + 5 4 + x5
78
Ahora si evaluamos el lı́mite nos queda que:

3
1− x 1
lı́m 5 = (369)
x→∞ 4 +
x
4
1
Y de esta manera tenemos que el lı́mite es 4
Ejercicio. (Calculo de una variable: Trascendentes tempranas. J. Stewart

7ma edición, Sección 2.4, ejercicio 36, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde)
demuestre limx→2 x1 = 12
Respuesta. Sea ε > 0 se busca un δ tal que
0 < |x − 2| < δ entonces | x1 − 21 | < ε
1 1 2−x −(x − 2) |x − 2|
Pero | − |=| |=| |=
x 2 2x 2x 2|x|
Entonces nos quedarı́a
|x − 2|
0 < |x − 2| < δ entonces <ε
2|x|
Como nos queda δ y ε en función de x se tiene que establecer un valor a δ.

Tomando δ = 1 podemos decir
|x − 2| < 1 Por desigualdad del triangulo tenemos
−1 < x − 2 < 1 entonces 1<x<3
Entonces el valor de x que hace más pequeño a |x − 2| < 2ε|x| es 1

Con esto tenemos δ = min1, 2ε podemos decir
|x−2|
< 12 |x − 2|
2|x|
podemos cambiar el|x − 2|por el valor de δ
|x−2x| 1
2|x| < 2 2ε
|x−2|
2|x| <ε
Queda demostrado que |f (x) − L| < ε por lo que podemos concluir que
1 1
lı́m =
x→2 x 2

Sección 2.4 ejercicio 29. Cinthia Alejandra Olvera Bautista) Demuestre cada
una de las siguientes proposiciones utilizando la definición δ − de lı́mite.
lı́m (x2 − 4x + 5) = 1
x→2
Respuesta. Comenzamos recordando que el lı́m f (x) = L, si para todo

x→a
> 0 existe un δ > 0, tal que
Si 0 < |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <
Por lo que tenemos que para δ
0 < |x − 2| < δ
Y para
|(x2 − 4x + 5) − 1| <
|x2 − 4x + 4| <
También puede escribirse de la siguiente manera
|(x − 2)2 | <
Entonces el valor de es √
|(x − 2)| <
Por lo que escogemos √
δ=
Para que √
0 < |x − 2| <
Entonces en esta última expresión tenemos que
√
|x − 2| <
Podemos elevar ambos lados al cuadrado y tenemos
|(x − 2)2 | <
Donde si desarrollamos el binomio, podemos encontrar la manera de volver

a la ecuación primeramente definida para
|x2 − 4x + 4| < → |(x2 − 4x + 5) − 1| <
Entonces queda demostrada la preposición.

80
Ejercicio. (Notas de Cálculo Diferencial, J.J Trejo Alonso, sección 3.4.

Problemas 3.4.1 inciso (e) Jesús Octavio Rangel Moreno). Determine Los
lı́mites
x2
lı́m 2
x→∞ x − 8x + 15
(370)
Respuesta. Primero dividimos toda nuestra expresión entre la potencia

más grande (x2 )
x2
x2 1
= (371)
x2
x2
8x 15
− x2 + x2 1 − x + x152
8
lı́m 1 = 1 (372)
x→∞
El lı́mite de una constante es la misma constante.

Usamos limx→a (f (x) ± g(x)) = limx→a f (x) ± limx→a g(x)
8 15
lı́m 1 − lı́m + lı́m 2 (373)
x→∞ x→∞ x x→∞ x
Usamos la propiedad lı́mx→a (a)(f (x)) = a lı́mx→a f (x)
1 1
lı́m 1 − 8 lı́m + 15 lı́m 2 (374)
x→∞ x→∞ x x→∞ x
1
De acuerdo a la propiedad lı́m = 0, tenemos que el lı́mite de la función
x→∞ xn
t2
lı́mt→∞ 7−t2
1 − 8(0) + 15(0) = 1 (375)
x2
El limite de x2 −8x+15
cuando x tiende a ∞ es 1.
Sesión 4
2.5.0 Definición matemática de continuidad y cómo demostrar con-
tinuidad en un punto de una función.
Ejercicio. (Notas de Cálculo Diferencial, J.J Trejo Alonso, sección 3.5.3
inciso (b) Carlos David Casiano Hurtado). Determine, si los hay, los número
en los que la función dada es discontinua, apoyándose con los teoremas que
ha aprendido. Clasifique, según sea el caso, en discontinuidades removibles

o no removibles.
x
f (x) = 2
x +4
para que la función no se indeterminé el denominador al ser operado no
debe de resultar en 0
x2 + 4 6= 0
x2 6= −4
la única forma de indeterminada la función es con algún número imagi-

nario, entonces cualquier numero real satisface la función si que esta se
indetermine lo que la hace continua en todos sus puntos

Sección 2.5 ejercicio 2. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Si f es continua
sobre (−∞, ∞), ¿qué puede decir acerca de su gráfica?
Respuesta. Como primer punto, definimos la continuidad como: una fun-

ción f es continua si en x = a si lı́m f (x) = f (a). Esto quiere decir que
x→a
la función es continua puntualmente si cuando se evalúa la función en ese
punto es igual al lı́mite cuando x tiene a ese punto. Pero para que ello se
cumpla se necesitan tres condiciones:
1. f (a) está definido, donde a pertenece al dominio de f(x)
2. lı́m f (x) existe.

x→a
3. lı́m f (x)=f(a).
x→a
Al decir que la función es continua en (−∞, ∞) quiere decir que x puede

tomar cualquier valor de los reales, por lo que cualquier a pertenece al do-
minio de la función f(x), se cumple la primera condición. Para la segunda
condición, dice que el lı́mite de la función existe, al decir que es continua
no hay punto en la función donde se indetermine o haya una discontinui-
dad, por lo cual los lı́mite existen. Y por el tercer punto, Al decir que son
continuos, la tercera condición al evaluar el lı́mite en cualquier punto va a
ser igual a la función evaluada en el mismo punto.
De esta manera, la función f(x) al ser continua en (−∞, ∞) puede tomar

cualquier valor de los reales y al evaluarlos en el lı́mite será lo mismo que
la función evaluada en ese mismo punto.
82

7ma edición Sección 2.5, ejercicio 12, Brandon Galicia Alvarez). Utilice la
definición de continuidad y las propiedades de los limites para demostrar que
cada una de las siguientes funciones es continua en el número dado x = a
√
f (x) = 3x4 − 5x + 3
x2 + 4, a = 2
Respuesta. Al ser una función polinomial (lineal) de cuarto grado, porque

podemos ver que es el máximo exponente al que está elevado x podemos
decir que si sustituimos este valor de a por sustitución directa en la función
f (x) obtendremos que es continua en a, ya que forma parte del dominio de
la función, al igual que todos los números R debido a que no se restringe
ningún número al no haber divisiones y por lo tanto divisiones entre cero,
como si ocurre con algunas funciones racionales. Entonces, al realizar la
sustitución directa podemos ver que:
p
f (2) = 3(2)4 − 5(2) + 3
(2)2 + 4 = 48 − 10 + 2 = 40.
√
Entonces para f (x) = 3x4 − 5x + 3
x2 + 4 se tiene que lı́m f (x) = f (2).
x→2
Por lo cual cumple con las 3 reglas para poder definir que esta función es
continua en el punto a = 2. Ya que se tiene que:
1. f (a) está en el dominio de f(x) y por lo tanto está definida en f(x).
2. lı́m f (x) = f (a)

x→a
3. lı́m f (x) existe.

x→a
Además, podemos comprobar esto en la gráfica de la función en la figura 11

Figura 11: Gráfica del ejercicio 12. Demostración de la continuidad de la

función

Demuestre la siguiente preposición
lı́m (x2 − 1) = 3
x→−2
Respuesta. De primeras, tenemos para demostrar la continuidad de una

función en base a la sustitución directa de f(x) evaluado en a, osea: f (x) =
f (a). En donde en este caso a = −2 Donde:
84
,→ f (a) se encuentra definida dentro del dominio de f (x)

,→el lı́mite para f (x) existe y es a
,→ lı́m f (x) = f (a)
x→a
Por lo que, aplicando una sustitución directa, la expresión simplemente se
evalúa en a:
lı́m ((−2)2 − 1 = 3
x→−2
lı́m (4 − 1) = 3
x→−2
Y es ası́, como queda demostrada la continuidad de la expresión. Pues cum-
ple con los tres parámetros de la función contı́nua.
tempranas. J. Stewart, 7ma edición Página 118 Ejercicio )
¿Cómo podrı́a “remover la discontinuidad” en cada una de las siguientes
funciones en x = 2?
x2 − x − 2
f (x) = (376)
x−2
Respuesta 1. Gracias a las caracterı́sticas que debe de tener una función
continua, es que esta pueda ser evaluada con el valor del lı́mite, es decir:
lı́m f (x) = f (a) (377)

x→a
Por lo que si observamos en la función dada, si evaluamos la función en
x = 2, tendremos una división entre cero, por lo que no es posible. Para
evitar esta discontinuidad podemos factorizar para eliminar si es posible el
denominador y ası́ no nos afecte. Por lo que factorizando en este caso el
numerador de la función:
x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) (378)
Al ponerlo en la función:
(x − 2)(x + 1)
(379)
(x − 2)
Ası́ se puede eliminar un (x−2) del numerador y un (x−2) del denominador,
y obtenemos que:
f (x) = x + 1 (380)
Al evaluar el lı́mite en la función cuando x tiende a 2:
lı́m (x + 1) = 3 (381)
x→2
Y al evaluar la función con el valor del lı́mite:
f (2) = 2 + 1 = 3 (382)
Por lo que ahora si se considera que la función cuando x = 2 es continua

Para:
x3−8
f (x) = (383)
x2 − 4
Respuesta 2. Si se evalúa la función cuando x = 2 nos resultarı́a una

división entre cero por lo que se pueden factorizar en este caso tanto el
denominador y el numerador.
Para el numerador se puede factorizar por diferencia de cubos:
(x3 − 8) = (x − 2)(x2 + 2x + 4) (384)
Para el caso del denominador se puede factorizar por binomios conjugados

de la siguiente manera:
(x2 − 4) = (x − 2)(x + 2) (385)
Al momento de ponerlo en la función:
(x − 2)(x2 + 2x + 4)
(386)
(x − 2)(x + 2)
Cancelando el (x − 2):
(x2 + 2x + 4)
(387)
(x + 2)
Si evaluamos la función en x = 2 tendremos lo siguiente
((2)2 + 2(2) + 4)
=3 (388)
((2) + 2)
Si calculamos el lı́mite con las leyes de los lı́mites nos resultarı́a lo siguiente:
(x2 + 2x + 4)
lı́m (389)
x→2 (x + 2)
Por propiedades de los lı́mites:
lı́m x2 + 2 lı́m x + lı́m 4

x→2 x→2 x→2
(390)
lı́m x + lı́m 2
x→2 x→2
86
Al sustituir resulta lo siguiente.
((2)2 + 2(2) + 4)
=3 (391)
((2) + 2)
Comprobando que ahora si la funcion es continua en x = 2

Ejercicio. [Calculus: One and several variables. Saturnino. Sección 2.4,
Ejercicio 3, Cinthia Alejandra Olvera Bautista] Determine si la función es
continua en el punto indicado. De no ser ası́ determine si se trata de una
discontinuidad removible o esencial.Si es el último, indique si se trata de
una discontinuidad de salto, un infinito discontinuidad, o ninguna.
f (x) = x3 − 5x + 1; x = 2
Respuesta. Debemos recordar que para determinar si una función es con-

tinua en un punto a, entonces
f (a) debe estar definida.
lı́m f (x) debe existir
x→a
lı́m f (x) = f (a), el lı́mite y la función en el punto a deben ser iguales.

x→a
Primero revisamos si la función está definida en x = 2, por lo que
f (2) = (2)3 − 5(2) + 1 = 8 − 10 + 1 = −1
Ahora para saber el lı́mite realizamos
lı́m f (x) = lı́m x3 − 5x + 1 = (2)3 − 5(2) + 1 = 8 − 10 + 1 = −1

x→2 x→2
Ahora comparamos los resultados y verificamos la última condición
lı́m x3 − 5x + 1 = −1 = f (2)
x→2
Vemos que la función en x = 2 cumple con las condiciones para que sea
continua en este punto.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. Stewart, sec-
ción 2.5, ejercicio 15, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Utilice la defini-
ción de continuidad y las propiedades de los lı́mites para demostrar que cada
una de las siguientes funciones es continua sobre el intervalo dado.
2x+3
f (x) = x−2 , (2, ∞)
Para que una función sea continua debe cumplir con 3 propiedades o carac-
terı́sticas donde la primera serı́a que la función evaluada este en el dominio
de la función f(x). Si sacamos el dominio de la función sabemos que el de-
nominador x 6= 2 y nos queda que el dominio de la funcion es x ∈ R|x 6= 2
el valor que hace discontinua a la función es 2 y como el intervalo que se
nos da (2, ∞) el valor de 2 esta en el intervalo podemos decir que la función
no es continua en (2, ∞)

ción 2.5, ejercicio 17, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Explique por qué
cada una de las siguientes funciones es discontinua en el número dado x = a.
Dibuje la gráfica de la función.
1
f (x) = (392)
x+2
Para a = −2
Respuesta. La función es discontinua en el punto x = 2 porque para ser

continua se debe cumplir que f(x) esté definida en f(a), pero en este caso
f(a) da como resultado una división entre cero, la cuál es indefinida:
1
f (x) = (393)
(−2 + 2)
1
f (x) = (394)
0
La gráfica de esta función se ve de la siguiente manera:

88
Figura 12: Función f(x)
Ejercicio. Matemáticas 1 Cálculo Diferencial, Dennis, Sección 3.3, ejerci-

cio 1, Andrea Quiroz Garduño) En los problemas 1-12, encuentre los núme-
ros, en caso de haberlos, en que la función f dada es discontinua:
f (x) = x3 − 4x2 + 7 (395)
Respuesta. Para conocer si la función es discontinua o no se debe hacer uso

de la definición que indica que una función f es continua sobre un intervalo
si es continua en cada uno de los números del intervalo. En este caso, el
intervalo de la función es [−∞, ∞] porque es una función polinomial. Esto
significa que el dominio de la función abarca todos los números reales, por
lo cuál no tiene un número donde sea discontinua, ya que es una función
continua.
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, seccion 4.2, Ejercicio 5, Jo-
nathan Segundo Arteaga)
encontrar la derivada de la función dada.
f (x) = 3x2
Respuesta. Obtenga la derivada de ambos lados
d
f 0 (x) = (3x2 ) (396)
dx
Utilizando la regla de diferenciacion

d d
((a)(f )) = (a)( (f )
dx dx
Lo que nos quedaria como
d 2
f 0 (x) = 3 (x ) (397)
dx
Una vez hecho se usa
d n
(x ) = (n)(xn−1 )
dx
para resolver la derivada lo cual quedaria de la siguiente manera
d 2
(x ) (398)
dx
2x2−1 = 2x1 = 2x (399)
lo que resulta en
f 0 (x) = (3)(2x) (400)
Una vez hecho esto solo se calcula el resultao y quedaria que la derivada de
f (x) = 3x2 es
f 0 (x) = 6x (401)

61, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Dado que f y g son continuas en un
número a, demuestre que f + g es continua en a.
Respuesta. Si f y g son continuas en a entonces podemos afirmar lo si-
guiente:
lı́m f (x) = f (a) (402)
x→a
lı́m g(x) = g(a) (403)
x→a
Entonces, lo que queremos demostrar es que:
lı́m (f + g)(x) = (f + g)(a) (404)
x→a
Calculemos lo siguiente:
lı́m (f + g)(x) = lı́m f (x) + lı́m g(x) = f (a) + g(a) (405)
x→a x→a x→a
Lo cual equivale a:
lı́m (f + g)(x) = (f + g)(a) (406)
x→a
Exactamente lo que querı́amos demostrar, por lo tanto (f+g) si es continua
en a.
90
Ejercicio. (Calculus: One and several variables. Saturnino. Sección 2.4,

Ejercicio 4, Gilberto Martinez Ordoñez. Determine si la función es continua
en el punto indicado.)
p
g(x) = (x − 1)2 + 5; x = 1 (407)
Respuesta. comprobamos los tres requerimientos:

f (a) está definida p
lı́m = (x − 1)2 + 5 (408)
x→1
p
lı́m = (1 − 1)2 + 5 (409)
x→1
p √
lı́m = (x − 1)2 + 5 = 5 = 2,23 (410)
x→1
lı́m f (x) existe

x→a
si existe
√
lı́m f (x) = f (a) lı́m f (x) = 5
x→a x→a
√
lı́m f (a) = 5
x→a
por lo tanto determinamos que la función es continua en el punto que

se nos da
Ejercicio. (Calculo de una variable Trascendente tempranas. J. Stewart,
Sección 2.5, Ejercicio 14, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde)Utilize la defi-
nición de continuidad y las propiedades de los limites para demostrar que
cada una de las siguientes funciones es continua en el numero dado x = a
2t − 3t2
14. h(t) = a=1
1 + t3
Respuesta. Tenemos que para que una función sea continua debe cumplir
los siguientes criterios
1. f(a) esta definida
2. lı́mx→a f (x) existe
3. lı́mx→a f (x) = f (a)
Para el primer apartad podemos decir que tenemos una función racional y
esta es continua siempre que este definida, refiriendo a continuidad en su
dominio su dominio de h es D = x ∈ R : 1 + t3 6= 0 y tenemos que 1 si esta
dentro del dominio por lo que h(1) si esta definida.
En el inciso 2 Por propiedades de los limites de sustitución directa como es
una función racional y 1 esta en el dominio de h entonces se cumple
lı́m h(t) = h(1)

t→1
Con esto se cumple el segundo y el tercer punto

2(1) − 3(1)2 2−3 1
h(1) = 3
= =−
1 + (1) 1+1 2
Por lo anteriormente dicho de sustitución directa
2t − 3t2 2(1) − 3(1)2 2−3 1
lı́m = = =−
t→1 1 + t3 1 + (1)3 1+1 2
Ejercicio. ( Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. J. Stewart,

7ma edición Página 118 Ejercicio b). Jesús Octavio Rangel Moreno) ¿Dónde
es discontinua cada una de las siguientes funciones?
 1
 x2 si x 6= 1
f (x) = (411)
1 si x = 0

Respuesta. Está definido que f (0) = 1, pero no podemos evaluar el lı́mite

cuando x tiende a cero porque:
1 1
lı́m → 0 2
= (412)
x x 0
Esto no está definido.Por lo tanto, la función es discontinua en x = 0
Sesión 5
2.5.1 Ejemplos de continuidad, definición precisa de continuidad
por la izquierda y por la derecha.
lo diferencial . Denis G. Sill Sección 2.2, ejercicio 10 ) evalúa si el lı́mite
existe o no √
lı́m 9 − x2
x→3−
92
Respuesta. Identificamos que el lı́mite se acerca por la izquierda
lı́m
x→3−
movemos el limite debajo del radical y lo separamos por la regla de suma de

limites q
lı́m 9− lı́m x2
x→3− x→3−
Evaluamos el lı́mite de 9 que es constante conforme x se acera a 3

√
9− lı́m x2
x→3−
sacamos el exponente √
9− lı́m x2
x→3−
evaluamos x √
9−(3)2
obtenemos que
0
si el limite de la función se acerca a 3 por el lado izquierdo este se vuelve 0
7ma edición Sección 2.5, ejercicio 18, Brandon Galicia Alvarez). Explique
por qué cada una de las siguientes funciones es discontinua en el número
dado x=a. Dibuje la gráfica de la función.
1
f (x) = { x+2 si x 6= −2, 1 si x = −2 con a = −2
Respuesta. En un primer momento podemos observar que si evaluamos
1
a la función x+2 con a esta se vuelve indeterminada ya que se tiene una
división entre 0, la cual nos dice que esta función no es continua en el punto
a. Pero, como se tiene un punto en donde se ha redefinido a f (x) podemos
graficarla, observando en la figura 13 que a pesar redefinir la función en
a sigue teniendo discontinuidades, debido a que estamos tratando con una
función que tiene una ası́ntota verticales en el punto a = −2 y una horizontal
1
en el punto a = 0, lo cual nos ı́ndica que lı́m x+2 no existe pero si tiene
x→a
lı́mites laterales que tienden a −∞ y a ∞. Por lo que
1
lı́m = ∞, lı́m 1x + 2 = −∞
x→a+ x+2 x→a−
determinando que aunque se redefina el punto a en donde es discontinua no

se remueve esta discontinuidad debido a que los valores tienden al infinito
para cada lı́mite lateral.
Figura 13: Gráfica ejercicio 18

nas. Sección 2.4 ejercicio 22. Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Demuestre la siguiente preposición.
9 − 4x2
lı́m =6
x→1,5 3 − 2x
Respuesta. Primeramente, para demostrar la continuidad de una función,

se tienen en cuenta tres parámetros:
,→ f (a) se encuentra definida dentro del dominio de f (x)

,→el lı́mite para f (x) existe y es a
,→ lı́m f (x) = f (a)
x→a
Por lo que, aplicando una sustitución directa, la expresión se evalúa en a:
(3 − 2x)(3 + 2x)
lı́m = (3 + 2(1,5)) = 6
x→1,5 3 − 2x
94
Aplicando ası́, la condición f (x) = f (a) por lo que se trata de una función
continua.
Sección 2.5 ejercicio 20. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Explique por
qué cada una de las siguientes funciones es dis-continua en el número dado
x = a. Dibuje la gráfica de la función.
(
x2 −x
x2 −1
xix 6= 1
f (x) = (413)
1 si x = 1
a=1
Respuesta. Para empezar se define la continuidad: Una función f es con-
tinua en x = a si
lı́m f (x) = f (a) (414)

x→a
Por lo que, f (1) = 1 cuando evaluamos a 1 en la función. Para ver si la

continuidad se cumple evaluamos el lı́mite cuando x tiende a 1.
x2 − x
lı́m (415)
x→1 x2 − 1
Se factoriza el denominador y el numerador por binomios conjugados.
√ √
(x − x)(x + x
lı́m
x→1 (x − 1)(x + 1)
Como se ve, no hay una discontinuidad evitable, no hay otra función que
actúe igual que f(x) cuando tiende a 1, y viendo el dominio que tiene la
función polinomial, para que no se indetermine el número 1 no pertenece al
domino.
De esta manera en lı́mite cuando f(x) tiende a 1 es diferente que f (1),
presentando una discontinuidad inevitable.
lı́m f (x) 6= f (1) (416)

x→1

tempranas. J. Stewart, 7ma edición Página 128 Ejercicio 16 )
Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los lı́mites para

demostrar que cada una de las siguientes funciones es continua sobre el in-
tervalo dado.
2x + 3
f (x) = (417)
x−2
Respuesta. Al ser un intervalo abierto en 2, se puede evaluar el lı́mite con

valores cercanos pero mayores a 2, en este caso se puede definir como un
lı́mite con la derecha:
2x + 3
lı́m (418)
x→2 x − 2
+
Al darle valores muy muy cercanos a 2 y que sean mayores el limite se

muestra como:
2(2,00001) + 3
lı́m =∞ (419)
x→2+ 2,00001 − 2
Para el otro extremo del intervalo se establece el lı́mite al infinito:
2x + 3
lı́m (420)
x→∞ x − 2
Al darle valores enormes a x se puede despreciar la adición del numerador

(+3)y la sustracción del denominador (−2) ya que al ser valores diminutos
en comparación a los de x se puede inferir que :
2x + 3
lı́m =2 (421)
x→∞ x − 2
Por lo tanto si es continua la función en el intervalo abierto (2, ∞)

ción 2.5, ejercicio 22. Ignacio Ismael Flores Landaverde). Explique por qué
cada una de las siguientes funciones es discontinua en el número dado x m
a. Dibuje la gráfica de la función.
( 2
2x −5x−3
x−3 six 6= 3
f (x) =
1 si x = 3
96
Respuesta. Para que una función sea continua se deben de cumplir 3 ca-
racterı́sticas donde la primera es que f (c) esta definida y si analizamos la
primer parte de la expresion no podemos decir que x = 3 esta definida sin
embargo en la segunda parte si lo esta nos dice que cuando x vale 3 la fun-
ción tiene valor de 6 por los que aplicando esto nos queda f (3) = 6 por lo
que si esta definida. Ahora buscaremos que el lı́mite exista es decir para 3
2 −5x−3
lı́m 2x x−3 por lo que debemos resolver la indeterminación.
x→3
(2x + 1)(x − 3)
lı́m (422)
x→3 x−3
lı́m 2x + 1 = 7 (423)
x→3
Como nos queda un limite distinto a lo que se supone que cuando x tiende
a 3 debe ser 6, y resolviendo el limite podemos decir que hay discontinuidad
en x=3 y es discontinua porque cuando x vale 3 la expresión nos dice que
6 por lo que contradice al limite que dice que cuando x es 3 entonces toma
el valor de 7 dando a entender que cunado x es3 y da 6 no pertenece a la
expresión.

ción 2.5, ejercicio 21, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Explique por qué
cada una de las siguientes funciones es discontinua en el número dado x = a.



 cos(x) si x < 0



f (x) = 0 si x = 0 (424)




1 − x2 si x > 0

Para a = 0
Respuesta. Para que la función sea continua se debe cumplir que esté de-
finida en f(a), que el lı́mite en este punto existe y que el lı́mite fe f(x) y f(a)
sean iguales. Primero se va a revisar si la función está definida en f(a):
f (0) = 0 (425)
Sı́ está definida en a. Ahora se va a revisar si existe el lı́mite tanto por la

izquierda como por la derecha:
lı́m = cos(x) = cos(0) = 1 (426)

x→0−
lı́m = 1 − x2 = 1 − 02 = 1 (427)
x→0+
Entonces
lı́m f (x) = 1 (428)
x→0
El lı́mite existe, sin embargo, no es igual a f (0), por lo que la función no es

continua en 0. Su gráfica es la siguiente:
Figura 14: Función f(x).

98
Ejercicio. (Calculus One and several variables, Saturnino, Sección 2.4,

ejercicio 3, Andrea Quiroz Garduño) Determine whether or not the function
is continuous at the indicated point. If not, determine whether the disconti-
nuity is a removable discontinuity or an essential discontinuity. If the latter,
state whether it is a jump discontinuity, an infinite discontinuity, or neither.
f (x) = x3 − 5x + 1; x = 2 (429)
Respuesta. Para conocer si la función es discontinua o no se debe hacer

uso de sus definiciones que indican que una función f es continua si f(a)
está definida, lı́mx→a f (x) existe y si lı́mx→a f (x) = f (a). En este caso el
lı́mite se puede plantear como:
lı́m x3 − 5x + 1 (430)
x→2
Al evaluar el lı́mite se tiene que:

lı́m x3 − 5x + 1 = (2)3 − 5(2) + 1 = −1 (431)
x→2
Como puede verse f(a) sı́ se encuentra definida, por lo que la función es
continua en -1 cuando x=2.
cicio 5, Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Determine si la función es con-
tinua en el punto indicado. De no ser ası́ determine si se trata de una dis-
continuidad removible o esencial.Si es el último, indique si se trata de una
discontinuidad de salto, un infinito discontinuidad, o ninguna.
p
f (x) = x2 + 9; x = 3
Respuesta. Para determinar si una función es continua es necesaria que

se cumpla la condición de
lı́m f (x) = f (a)
x→a
Por lo que revisamos primero si es que la función está definida para f (a)
entonces p √ √ √
f (3) = (3)2 + 9 = 9 + 9 = 9 ∗ 2 = 3 2
Ahora para encontrar el lı́mite tenemos que
p p √ √
lı́m x2 + 9 = lı́m (3)2 + 9 = lı́m 9 ∗ 2 = 3 2
x→3 x→3 x→3
Esto nos muestra que el lı́mite de la función en a y la función evaluada en

a son el mismo valor, por lo que tiene continuidad en ese punto.
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, seccion 4.3 ejercicio 3, Jonathan

Segundo Arteaga)
dy
en los siguientes problemas encontrar dx
y = x9
Respuesta. Primero se obtiene la derivada de ambos lados
dy 9
y0 = (x ) (432)
dx
dy n
Usando dx (x ) = (n)(xn−1 ) se resuelve la derivada
dy
= 9x9−1 (433)
dx
dando como resultado
dy
= 9x8 (434)
dx
Ejercicio. (Matemáticas Calculo Diferencial Dennis G sección 3.3 ejerci-

cio 2, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Encuentre los números, en caso de
haberlos, en que la función f dada es discontinua.
x
f (x) = (435)
x2 +4
Respuesta. Observemos que la gráfica de la función no tiene ası́ntotas

verticales, ya que no hay manera de que x2 + 4 = 0, porque eso implicarı́a
que x2 = −4, lo cual no tiene sentido. Entonces esto nos dice que la función
está definida para cualquier número x, es decir el lı́mite cuando tiende a un
número n es simplemente la función evaluada en n, esto es:
lı́m f (x) = f (n) (436)

x→n
Por lo tanto es continua en todos los puntos y no tiene alguno de disconti-

nuidad.
Ejercicio 41. Gilberto Martinez Ordoñez) Define the function at 5 so that it
is continuous √
x+4−3
f (x) =
x−5
100
Respuesta. evaluamos
√
5+4−3
lı́m = (437)
x→5 5−5
0
como esto nos da 0 lo multiplicamos por su binomio conjugado
√ √
x+4−3 x+4+3
lı́m = ∗√ (438)
x→5 x−5 x+4+3
obteniendo
x−5
lı́m = √ (439)
x→5 (x − 5)( x + 4 + 3)
eliminando las x-5
1
lı́m = √ (440)
x→5 x+4+3
evaluando obtenemos
1
lı́m = √ (441)
x→5 5+4+3
1
lı́m = (442)
x→5 6
1
de esta manera encontramos que la función evaluada en 5 es continua en 6
Ejercicio. (Notas de Calculo diferencial J.J Trejo Alonso Sección 3.5. Pro-
blema Problema 3.5.1.Ejercicio (a) Jesús Octavio Rangel Moreno) Deter-
mine, si los hay, los número en los que la función dada es discontinua,
apoyándose con los teoremas que ha aprendido.
x3 − 4x2 + 7 (443)
Respuesta. Toda función polinómica es continua, por tanto, la función

x3 − 4x2 + 7 es continua en cualquier valor que se evalúe.
Ejercicio. (Calculo de una variable: Trascendentes tempranas, Stewart,
Sección 2.5, ejercicio 35, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde) Utilice la con-
tinuidad para evaluar que cada uno de los limites.
√
5+ x
lı́m √
x→4 5+x
Respuesta. Sabemos que para tener continuidad se debe cumplir la siguien-

tes criterios
1. f(a) esta definida

2. lı́mx→a existe
3. lı́mx→a f (x) = f (a)
En la parte del inciso 1 sabemos que es una función racional y esta es
continua en su dominio el cual es D = x ∈ R+ esto lo obtenemos por simple
inspección al evaluar la función f (x) en x = 4
√ √
5+ x 5+ 4 7
f (x) = √ =√ =
5+x 5+4 3
Cumpliendo con el primer apartado. Luego con respecto al segundo apartado
como 4 esta dentro del dominio de f(x) podemos hacer sustitución directa
√ √
5+ x 5+ 4 7
lı́m √ = lı́m √ =
x→4 5 + x x→4 5 + 4 3
Se cumple con el segundo apartado y podemos ver en el tercer apartado con
los anteriores este se cumple por lo que queda demostrado la continuidad del
limite.
2.5.2 Combinación de funciones continuas, principio de sustitución

y catálogo de funciones continuas.
lo diferencial . Denis G. Sill Sección 2.2, ejercicio 10 ) evalúa si el lı́mite
existe o no
x
lı́m √
x→4 x+1
Respuesta. Dividimos el lı́mite usando la regla de la suma de los limites

lı́mx→4 x
lı́m √
x→4 lı́mx→4 x + 1
separamos los limites usando la regla de la suma de limites

lı́mx→4 x
lı́m √
x→4 lı́mx→4 x + lı́mx→4 1
evalúas los limites para todas las x
4
lı́m √
x→4 4+1
102
resuelves el denominador
4
lı́m
x→4 3

Sección 2.5 ejercicio 25. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Utilizando los
teoremas 4, 5, 7, 9 explique por qué cada una de las siguientes funciones es
continua en todo número de su dominio. Determine el dominio.
2x2 − x − 1
F (x) = (444)
x2 + 1
Respuesta. El teorema 5 dice: Cualquier función polinomial es continua

en todo su dominio; es decir, es continua sobre −∞, ∞. Cualquier función
racional es continua siempre que esté definida; esto es, es continua en su
dominio.
La función planteada es una función racional compuesta en el denominador
y en el denominar por funciones polinomiales. Se define el dominio de F(x).
2x2 − x − 1
F (x) = (445)
x2 + 1
En este caso serı́a los números que el denominador no puede tomar sin
convertirse en cero. No hay un número en el campo de los reales que inde-
termine la función; como todos los números, ya sean negativos o positivos,
al elevarse al cuadrado se vuelve positivo, y se suma 1 es positivo no hay
número que vuelva cero al denominador.Entonces:
D = {x ∈ R} (446)
Como el denominar pertenece a todos los reales, y el numerador también la

función F tiene como dominio (−∞, ∞), de esta manera es continua en el
mismo intervalo.
7ma edición Sección 2.5, ejercicio 26, Brandon Galicia Alvarez). Utilizando
los teoremas 4, 5, 7 y 9, explique por qué cada una de las siguientes funciones
es continua en todo número de su dominio. Determine el dominio.
x2 + 1
G(x) =
2x2 − x − 1
Respuesta. Si tenemos el teorema que nos dice que toda función polinomial
es continua en R y cualquier función racional es continua en su dominio,
podemos observar que la función G(x) es una función racional de la forma
P (X)
f (x) = Q(X) , siendo P (x) una función polinomial de segundo grado y Q(x)
igualmente una función polinomial de segundo grado. Podemos resolver la
función Q(x) mediante factorización de diferencia de cuadrados para poder
encontrar sus raı́ces, las cuales son: 2x2 − x − 1 = (2x + 1)(x − 1) siendo
x1 = − 12 y x2 = 1.
Por lo tanto, siguiendo con el teorema que nos dice que el dominio de la
función f es D = {x ∈ R|Q(x) 6= 0}, entonces el dominio de G es D = {x ∈
R|x 6= − 12 , 1}
Considerando que esto es para todo a ∈ D y siguiendo la ley de los lı́mites
tenemos que
x2 + 1 lı́m x2 + 1 lı́m a2 + 1
x→a x→a
lı́m G(x) = lı́m 2 = = = G(a)
x→a x→a 2x − x − 1 lı́m 2x2 − x − 1 lı́m 2a2 − a − 1
x→a x→a
(447)
Concluyendo que lı́m G(x) = G(a), siendo G(x) continua en todo punto a
x→a
el cual pertenece a su dominio, por lo que al evaluar en esos puntos siempre
se cumplirá la condición de continuidad.
Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los limites para de-

mostrar que cada una de las siguientes funciones es continua en el número
dado.
p
3
f (x) = 3x4 − 5x + x2 + 4 (448)
Cuando x = 2
Respuesta. Conocemos que uno de los teoremas vistos en clase nos indi-
ca que una función polinomial es continua en Z, al comprobarlo podemos
utilizar las propiedades de los limites las cuales nos dicen que a partir de:
p3
lı́m 3x4 − 5x + x2 + 4 (449)
x→2
Podemos obtener que:
q
3 lı́m x4 − 5 lı́m x + 3 lı́m x2 + lı́m 4 (450)
x→2 x→2 x→2 x→2
104
Por lo que al aplicar la propiedad para la potencia:

p
3(2)4 − 5(2) + 3 (2)2 + 4 = 40 (451)
p
3
lı́m 3x4 − 5x + x2 + 4 = 40 (452)
x→2
La función evaluada en (a) = 40, esto quiere decir que:
lı́m f (x) = f (a) (453)

x→2
Dando a entender que efectivamente la función es continua en x = 2.

ción 2.5, ejercicio 19, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Explique por qué
cada una de las siguientes funciones es discontinua en el número dado x=a.
x
e six < 0
f (x) =
x2 si x ≥ 0
Respuesta. Para saber donde es discontinua la función primero debemos
saber si es continua por lo tanto si nosotros hacemos el limite por la derecha
como la izquierda debe ser el mismo para que exista. Entonces si hacemos el
limite por la derecha.
lı́m x2 = 0 (454)
x→0+
Ahora si hacemos el limite por la izquierda debe ser el mismo.
lı́m ex = 1 (455)
x→0−
Por lo que los limites son distintos es una función no continua en x=0
Figura 15: El limite toma valores tintos si nos aproximamos por derecha y
izquierda

Sección 2.5 ejercicio 23. Cinthia Alejandra Olvera Bautista) ¿Cómo podrı́a
“remover la discontinuidad” en cada una de las siguientes funciones? En
otras palabras, ¿cómo redefinirı́a f (2) a fin de que sean continuas en x = 2?
x2 − x − 2
f (x) =
x−2
Respuesta. Para esta función se puede realizar un factorización de la si-

guiente manera en el numerador
(x − 2)(x + 1)
f (x) =
x−2
Por lo que podemos eliminar el binomio que aparece en el numerador y
denominador y la simplificación nos queda como
(x − 2)(x + 1)
f (x) = =x+1
x−2
Y realizando las operaciones para f (2) tenemos que
f (2) = (2) + 1 = 3
Por lo que de esta manera ya encontramos a la función evaluada en f (2)

¿Cómo podrı́a “remover la discontinuidad” en cada una de las siguientes
funciones? En otras palabras, ¿cómo redefinirı́a f (2) a fin de que sean con-
tinuas en x = 2?
x3 − 8
f (x) = 2
x −4
Respuesta. Sabemos que para que se de continuidad, es primordial poder

evaluar f(x) en a. Donde f (x) = f (a)
Para ello, haremos una factorización de la siguiente manera
(x2 − 4)(x + 2)
=x+2=4
x2 − 4
Ahora ası́, tenemos a f(x) evaluada en a.
106

Segundo Arteaga)
dy
y = 4x12
Respuesta. primero obtenemos la derivada de ambos lados

dy 12
y0 = (x ) (456)
dx
dy n
Usando dx (x ) = (n)(xn−1 ) se resuelve la derivada
dy 12
(x ) = 12x12−1 (457)
dx
lo cual quedaria como
dy
= 12x11 (458)
dx
Ejercicio. (Cálculo de una variable Trascendentes tempranas, Stewart, Sec-

ción 2.5, ejercicio 29, Andrea Quiroz Garduño) Utilizando los teoremas 4,
5, 7 y 9, explique por qué cada una de las siguientes funciones es continua
en todo número de su dominio. Determine el dominio.
A(t) = arcsen(1 + 2t) (459)
Respuesta. Se puede resolver tomando el teorema que plantea que Si g es

continua en x = a y f es continua en g(a), entonces la función compuesta
f ◦ g dada por (f ◦ g)(x)=f(g(x)) es continua en x = a. Considerando esto
se puede plantear la función como dos distintas:
f (t) = arcsen(t) (460)
g(t) = 1 + 2t (461)
En el caso de f(t), su dominio es [-1,1], mientras que g(t) tiene un dominio
que abarca a todos los números reales. A partir de sus dominios se debe
sacar la intersección entre ellos, considerando que g(t) debe formar parte
del dominio de f(t), por lo que se plantea lo siguiente:
2x + 1 ∈ [−1, 1] (462)
2x + 1 ≥ −1 (463)
2x + 1 ≤ 1 (464)
Esto darı́a de resultado:

x ≥ −1 (465)
x≤0 (466)
Por lo que f ◦ g (ó A(t)=arcsen(1+2t)) será continua en su dominio que es

[-1, 0]
no existe. p
lı́m x2 x2 + 5x + 2 (467)
x→2
Respuesta. Como la función si está definida en 2 simplemente sustituimos,

esto es: p p
lı́m x2 x2 + 5x + 2 = 22 22 + 5(2) + 2 (468)
x→2
p √ √
lı́m x2 x2 + 5x + 2 = 4 4 + 10 + 2 = 4 16 = 4(4) = 16 (469)
x→2
Entonces el lı́mite es 16.

Ejercicio 9 Gilberto Martinez Ordoñez) Determine f + g, f g, and give the
domain of each f(x)=2x-3 y g(x)=2-x
Respuesta. ,
f+g
f (x) + g(x) = 2x − 3 + 2 − x = x − 1
f-g
f (x) + g(x) = 2x − 3 − 2 + x = 3x − 5
debido a que una función polinomial es continua en su dominio. Además

de que cualquier función racional es continua siempre que esta está
definida podemos saber que está función tiene su rango en todos los
reales.
f (x) + g(x), f (x) − g(x) = ∈ R
108
blema Problema 3.5.1.Ejercicio (b) Jesús Octavio Rangel Moreno) Deter-
mine, si los hay, los número en los que la función dada es discontinua,
apoyándose con los teoremas que ha aprendido.
x
f (x) = (470)
x2 +4
Respuesta. Para conocer dónde es discontinua tenemos que igualar el de-

nominador a 0 x2 + 4 = 0 y despejar
x2 + 4 = 0 (471)
√
x= −4 (472)
Las raı́ces negativas no pertenecen a los números reales, por lo tanto, no

tiene discontinuidades y es continua en cualquier punto.
Ejercicio. (Calculo de una variable : Trascendentes tempranas, J. Ste-

wart, 7ma edición Sección 2.5, ejercicio 47, Jose Emmanuel Mendoza Ugal-
de)¿Cuál de las siguientes funciones f siguientes tiene discontinuidad remo-
vible, determine una función g que concuerde con f para x 6= a y sea continua
en x = a
x4 + 1
f (x) = a=1
x−1
Respuesta. Podemos observar que f(x) no esta definida en a = 1 da-

do a generar una división con 0 podemos decir que el dominio de f(x) es
D = x ∈ R : x 6= 1 por que podemos remover esta discontinuidad de f(x) si
factorizamos dicha expresión como lo haré a continuación
x4 − 1 ((x2 + 1)(x2 − 1) (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)

f (x) = = = (x2 + 1)(x + 1)
x+1 x−1 x+1
Con esto encontrarı́amos dicha función g en la cual es un polinomio y sa-

bemos que cualquier polinomio es continua en su dominio o sea en todo
R = (−∞, ∞) Definiendo a g donde x = a esta definida
g(x) = x3 + x2 + x + 1
2.5.3 Continuidad en intervalos, lı́mites de composición de funcio-

nes, Teorema del Valor Intermedio.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado,Calculus, M. Spivak Parte II,
Capitulo 6, ejercicio 1 ) ¿Para cuáles de las siguientes funciones existe una
función continua F con dominio R tal que F(x) = f(x) para todo x del do-
minio de f
x2 − 4
f (x) =
x−2
|x|
f (x) =
x
Respuesta. Para la primera función
x2 − 4
f (x) =
x−2
debemos determinar el dominio, al ser una fracción este no debe resultar en
0
x − 2 6= 0
x 6= 2
el dominio de la función son todos los números reales excepto 2, haciéndola
una función continua según su gráfica.
para la segunda función hacemos exactamente lo mismo
|x|
f (x) =
x
x 6= 0
por lo que x pertenece a los números reales excepto 0
pero es una funcion discontinua ya que al intersectar y=0 se parte ya que
x 6= 0
Sección 2.5 ejercicio 34. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Identifique las
discontinuidades de cada una de las siguientes funciones e ilústrelas con una
gráfica.
y = ln tan2 x (473)
110
Respuesta. Siendo la función h(x) = ln tan2 x y h(x) = f ◦ g, está com-

puesta por las funciones;
f (x) = ln x (474)
g(x) = tan2 x (475)
Al componer la función g en f da como resultado la función h. Determinamos

el dominio de la función h: la función f es continua en los reales positivos por
ser en logaritmo natural; la tangente inversa tiene como dominio todos los
naturales, siendo la intersección entre los dos dominios los reales positivos:
D = x ∈ R+

(476)
Por el teorema, si g es continua en x = a y f es continua en g(a), entonces

f ◦ g por (f ◦ g)(x) = f (g(x)) es continua en a.Por lo tanto la función h es
continua en los reales positivos, sin presentar discontinuidades.

7ma edición Sección 2.5, ejercicio 33, Brandon Galicia Alvarez). Identifique
las discontinuidades de cada una de las funciones e ilústrelas con una gráfica.
1
y= 1
1 + ex
Respuesta. Para resolver el problema se utilizará el teorema que nos habla

1
sobre los lı́mites en las composiciones de funciones. Sea f (x) = 1+x y g(x) =
1
e x . Si tenemos en cuenta que las funciones exponenciales son continuas en
1
sus dominios, y que g(x) = e x es continua en R, excepto en x = 0, ya que
1
se da una indeterminación y f (x) = 1+x es continua en R, excepto cuando
x = −1, podemos establecer que al componer está función en f (g(x)) =
1
1 obtenemos que cuando x = 0 se genera una indeterminación con el
1+e x
exponente al que se va a elevar e, por lo que cuando
1
lı́m 1 (477)
x→0 1 + ex
Se vuelve discontinua, ya que al hacer la composición de funciones podemos

1
1
notar que prevalece la indeterminación de e x y se quita la de 1+x debido a
1
que e x si está determinada en ese punto.
Entonces, se concluye que la discontinuidad se da cuando x = 0 y que además

el limite en ese punto no existe, comprobándolo por la figura 16

Utilizando los teoremas 4, 5, 7 y 9, explique por qué la siguiente función es

continua en todo número de su dominio. Determine el dominio.
tan(x)
f (x) = √ (478)
4 − x2
Respuesta. La función anterior es una función racional en la cual el nu-

merador y el denominador están formado por una función trigonométrica
y una racional, por lo que es continua en su dominio. Para identificar cual
es su dominio primero podemos iniciar con su numerador el cual es tan(x),
esta función la podemos ver en la gráfica y nos indica lo siguiente:
112
Figura 17: Gráfica de tan(x) con intersecciones en y donde hay ası́ntotas.
Las ası́ntotas quieren decir que la función en ese caso la función da como
resultado ∞y − ∞ cuando la función es evaluada en ciertos puntos, gráfica-
mente los podemos conocer, sin embargo para encontrarlos sin la necesidad
de la gráfica considerarı́amos lo siguiente:
La función tan(x) se representa como:
sen(x)
tan(x) = (479)
cos(x)
Donde existe una indeterminación si cos(x) = 0, por lo que se conoce que la
5π −π −3π
función cos(x) = 0 en los valores de: π2 , 3π π
2 , 2 , 2 , 2 , etc. Es decir en 2
cuando es multiplicado por números impares ya sean positivos o negativos.
Lo que se puede expresar de la siguiente manera:
2k + 1
cos(x) = 0| π, k ∈ Z (480)
2
Llevándolo al dominio de tan(x)=
2k + 1
R−( )π (481)
2
Para la parte del denominador es más sencillo ya que con la raı́z cuadrada se
sabe que tiene que ser positiva, ası́ que si consideramos que (4 − x2 > 0), los
números en los cuales se cumple la desigualdad son los que están contenidos
en el intervalo abierto de (−2, 2), el cual representa su dominio.

Al hacer la intersección de dominios de las dos partes de la función original
teneos que el el dominio de f (x) =
2k + 1
x 6= ( π), k ∈ Z, x ∈ (−2, 2) (482)
2

Demuestre que la función valor absoluto F (x) = |x| es continua para toda x.
Respuesta. Primeramente definiremos a x como una expresión cualquiera

que pertenece al conjunto de los números reales R. Ello conlleva a que x ∈ R.
Lo que nos da un intervalo para la función x definido por el rango de los
números reales. A EXCEPCIÓN del cero, pues, no hay un lı́mite en dicha
posición de la recta.
D = x ∈ R|x 6= 0
Por lo que podemos concluir que, para toda función f (x) tal que |x|, es
continua en todos sus valores a excepción de cuando es cero.

ción 2.5,Ignacio Ismael Flores Landaver). Utilice el teorema del valor inter-
medio para demostrar que existe una raı́z en cada una de las ecuaciones
dadas en el intervalo especificado.
x4 + x − 3 en el intervalo (1,2)
Respuesta. Para usar el teorema del valor comenzaremos con evaluar a la

función donde es continua en el intervalo el cual es (1,2) tal que nos queda
que al evaluar debe haber un valor que sea menor y uno mayor.
f (1) = (1)4 + 1 − 3 = −1 (483)
f (2) = (2)4 + 2 − 3 = 15 (484)
Entonces por el teorema del valor hay un N tal que esta entre las funciones
evaluadas es decir f (1) < N < f (2) entonces ∃c ∈ (1, 2) por lo tanto existe
una raı́z
114

Segundo Arteaga)
dy
y = 7x2 − 4x (485)
Iniciamos obteniendo la derivada de ambos lados
dy
y0 = (7x2 − 4x) (486)
dx
dy dy dy
Utilizando la regla de diferenciación dx (f + g) = dx (f ) + dx (g) obtenemos
dy dy
y0 = (7x2 ) + (−4x) (487)
dx dx
Calculando la derivada obtenemos el resultado
y0 = (7)(2x) − 4 (488)
y concluimos con el resultado es
y0 = 14x − 4 (489)

ción 2.5, ejercicio 52, Cinthia Alejandra Olvera Bautista).Utilice el teorema
del valor intermedio para demostrar que existe una raı́z en cada una de las
ecuaciones dadas en el intervalo especificado.
√
3
x = 1 − x (0, 1)
Respuesta. Para demostrar que existe una raı́z en el intervalo indicado,

recordemos que el teorema de valor intermedio dice que existe N tal que
f (a) < N < f (b) entonces ∃c ∈ (a, b) por lo que f (c) = N , colocamos la
función de la siguiente manera para una mejor comprensión
√
f (x) = 3 x + x − 1
Ası́ que tenemos c = 0 y N = 1, por l que evaluamos la función en 0 y 1
para ver si se cumple la condición
√3
f (0) = 0 − 1 + 0 = −1
√3
f (1) = 1 − 1 + 1 = 1
Por lo que vemos sea N = 0 se cumple que f (0) < N < f (1) por lo que sı́
tiene raı́z en ese intervalo.
f (a) < N

ción 2.5, ejercicio 31, Andrea Quiroz Garduño) Utilizando los teoremas 4,
5, 7 y 9, explique por qué cada una de las siguientes funciones es continua
en todo número de su dominio. Determine el dominio.
r
1
M (x) = 1 + (490)
x
Respuesta. Para encontrar el dominio de la función se debe considerar que

los valores dentro de la raı́z deben ser igual o mayores que 0, ya que no se
puede sacar la raı́z de un número negativo, por lo que se plantea:
1
1+ ≥0 (491)
x
x+1
≥0 (492)
x
A partir de esto, se pueden sacar las desigualdades siguientes para el nume-
rador y el denominador (considerando que el denominador debe ser diferente
a 0):
x+1≥0 (493)
x>0 (494)
Además de eso, se puede tener lo siguiente (considerando que tanto el nume-

rador como el denominador son negativos, por lo que toda la fracción serı́a
positiva):
x+1≤0 (495)
x<0 (496)
A partir de esto, se puede sacar la intersección y escribirlo como intervalo,

el cuál serı́a el dominio (∞, −1] ∪ (0, ∞) de la función M(x)

19 (b), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Determine si la función f es continua
en el intervalo indicado.
x
f (x) = 3 (497)
x +8
En el intervalo (−∞, ∞)
116
Respuesta. Si la función es continua en el intervalo (−∞, ∞), entonces

está definida para todos los números reales, veamos si es cierto, observemos
el caso cuando x=-2
−2 2 2
f (−2) = 3
=− =− (498)
(−2) + 8 −8 + 8 0
Lo cual no está definido, por lo tanto la función no es continua en dicho
intervalo.
Ejercicio. (James Stewart - Calculo de una variable Trascendentes tem-
pranas. Sección 2.5 ejercicio 16. Gilberto Martinez Ordoñez) Utilice la de-
finición de continuidad y las propiedades de los lı́mites para demostrar que
cada una de las siguientes funciones es continua sobre el intervalo dado.
√
g(x) = 2 3 − x, (−∞, 3]
Respuesta. conocemos que para que una función sea continua debe cumplir
con 3 propiedades
f (a) está definida
lı́m f (x) existe
x→a
lı́m f (x) = f (a) lı́m

x→a x→a
entonces si evaluamos en algún valor superior a 3, tendrı́amos que evaluar

la funcion en x como por ejemplo; 4
√ √
g(x) = 2 3 − 4 = 2 −1
nos encontramos con una raı́z negativa, saliéndonos de el campo de los reales,
e incumpliendose el intervalo que se nos pide, en cambio, evaluando en uno
menos a tres, por ejemplo 2, tenemos
√ √
g(x) = 2 3 − 2 = 1 = 1
obteniendo ası́ el valor, evaluando en 2 dentro de el rango. y al ser una

función polinómica, su rango se extiende hasta el -∞
blema Problema 3.5.2.Ejercicio (a) Jesús Octavio Rangel Moreno )En los
siguientes problemas determine si la función dada es continua en los inter-
valos indicados
f (x) = x2 + 1 (499)
En:
a)[−1, 4] Continua
b) [5, ∞) Continua
Respuesta. Para resolver este problema primero que nada es necesario co-
nocer el dominio de la función. Como es una función polinómica, su dominio
son todos los números reales.
Partiendo de lo anterior, convertimos nuestro primer intervalo en abierto y
verificamos si nuestra función es continua en ese intervalo (−1, 4). Como
es continua en todos los reales, entonces es continua en el intervalo abierto.
Ahora tenemos que evaluar su continuidad en sus extremos:
lı́m f (x) = lı́m (−1)2 + 1 = 2 (500)

x→−1− x→−1−
Ahora evaluamos la función
f (−1) = (−1)2 + 1 = 2 (501)
lı́m = f (−1) (502)

x→−1−
Es continua al ser igual su lı́mite con la función evaluada en ese punto.
lı́m f (x) = lı́m (4)2 + 1 = 17 (503)

x→4+ x→4+
Ahora evaluamos la función.
f (4) = (4)2 + 1 = 17 (504)
lı́m = f (4) (505)

x→4+
Es continua en los primeros intervalos.
Para los siguientes ya conocemos el dominio. Evaluamos los lı́mites y la
función de nuestro primer valor:
lı́m f (x) = (5)2 + 1 = 26 (506)

x→5−
Ahora la función
f (5) = (5)2 + 1 = 26 (507)
Es continua en este extremo.
Para el infinito, sabemos que el dominio de nuestra función va de −∞ a ∞,
por lo tanto es continua cuando tiende a infinito la función.
Por lo tanto, es continua en los intervalos dados la función.
118
Ejercicio. (Calculo de una varibale: Trascendentes tempranas, J. Stewart,

Sección 2.5, ejercicio 54, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde)Utilice el teorema
del valor intermedio para desmostrar que existe una raı́z en cada una de las
ecuaciones dadas en el intervalo especificado.
sen x = x2 − x (1, 2)
Respuesta. Para demostrar la existencia de una raı́z en el intervalo indi-

cado recordemos por el teorema de valor intermedio dice que existe N tal que
f (a) < N < f (b) entonces existe un c en (a, b) de manera que f (c) = N
Para tener una mejor manera pasamos todo a un lado
sen x − x2 + x = 0 denotaremos a la función como f
Sea f (x) = sen x − x2 + x buscamos un numero c entre 1 y 2 de manera
f (c) = 0 en este caso tenemos a = 1 y b = 2 con esto evaluaremos f (x) en
1 y 2 con N = 0
f (1) = sen 1 − (1)2 + (1) = 0,8414 > 0
f (2) = sen 2 − (2)2 + (2) = −1,0907 < 0
Entonces tenemos f (2) < 0 < f (1) entones N=0 es un numero entre f(1) y
f(2) y por ultimo f es una combinación de un polinomio con una función tri-
gonométrica, sabiendo esto nosotros podemos decir que todos los polinomios
son continuos y también la función trigonométrica es continua, de manera
que el teorema confirma la existencia de un c entre 1 y 2 tal que f (c) = 0.
En otras palabras f tiene por lo menos una raı́z c entre 1 y 2
ción 2.3, ejercicio 38, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Si 2x ≤ g(x) ≤
x4 − x2 + 2 para toda x, evalúe
lı́m g(x) (508)
x→1
Respuesta. Primero se evalua el lı́mite para 2x:

lı́m 2x = 2(1) = 2 (509)
x→1
Después se evalúa el lı́mite para x4 − x2 + 2:

lı́m x4 − x2 + 2 = 14 − 12 + 2 = 2 (510)
x→1
Como ambos lı́mites son iguales entonces, de acuerdo al teorema de compre-

sión se puede definir que
lı́m g(x) = 2 (511)
x→1
2.6.0 Limites hacia el infinito, lı́mites hacia menos infinito y defi-

nición de ası́ntota horizontal.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Cálculo de una variable: Tras-
cendentes tempranas. J. Stewart, 7ma edición Sección 2.6, ejercicio 26 )
Encuentre el lı́mite o demuestre que no existe.
p
lı́m (x + x2 + 2x)
x→∞
Respuesta. separamos el limite por la regla del producto de los lı́mites con-
forme x se aproxima a infinito
p
( lı́m X)(x + x2 + 2x)( lı́m )
x→∞ x→∞
EL LÍMITE DE UN POLINOMIO INFINITO CUYO COEFICIENTE PRIN-

CIPAL DA POSITIVO ES INFINITO
p
(∞) lı́m (x + x2 + 2x)
x→∞
A medida que x se acerca a infinito para los radicales el valor de x se acerca

a infinito.
(∞)(∞)
infinito por infinito es infinito, por lo que el lı́mite de la función es infinito
Sección 2.6 ejercicio 41. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Encuentre las
ası́ntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo grafica-
dor, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las ası́ntotas.
2x + 1
y= (512)
x−2
Respuesta. Como primer paso, se determina los dominios que tienen las
funciones polinomiales con conforman la función racional f(x): el numera-
dor solo es una función polinomial de manera que su dominio son todos los
reales; el denominador también es una función polinomial donde su dominio
son todos los reales, más queremos excluir los números donde el denomina-
dor sea cero e indetermine la función, para ellos despejamos el denominador.
x=2 (513)
120
Para ver si existe una ası́ntota vertical se evalúa el lı́mite cuando x = 2.
2x + 1
lı́m = −∞ (514)
x→2− x−2
2x + 1
lı́m =∞ (515)
x→2+ x−2
Por lo tanto existe una ası́ntota vertical en x = 2

Para determinar si existe ası́ntotas horizontales evaluamos la función cuan-
do x = ∞ y x = −∞, para ello se divide tanto numerador como denomina-
dor entre x.
2x + 1
lı́m
x→∞+ x−2
2x 1
x + x
lı́m x 1 (516)
x − x
x→∞+
Por la leyes de los lı́mites se tiene que:
1
2 + lı́m
x→∞ x
(517)
1− lı́m 2
x→∞ x
Por el teorema, donde r > 0 es un número racional tal que xr está definida
para toda x.
1
lı́m
=0 (518)
x→∞ xr
Se tiene que:
2+0
=2 (519)
1−0
Por lo tanto hay una ası́ntota horizontal en y = 2. Ahora hacemos la misma

evaluación pero con x = −∞
Figura 18: Gráfica ejercicio 41 sección 2.6 Stewart
1
2 + lı́m
x→−∞ x
=2 (520)
1− lı́m 2
x→−∞ x
Ası́ que concluimos que la ası́ntota vertical es x = 2 y la ası́ntota horizontal

es y = 2. Graficamos:
nas. Sección 2.6 ejercicio 1 (b). Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de los siguientes
lı́mites. lı́m f (x) = 3
x→−∞
Respuesta. Tomando como punto de partida, la ley de limites:
lı́m c = c
x→a
Podemos notar, que el lı́mite para f(x) siendo x una constante, da en si

mismo, la misma contante. Por lo que se puede llegar a la conclusión de que
mientras más negativo sea nuestro lı́mite, más tiende a 3.
7ma edición Sección 2.6, ejercicio 42 , Brandon Galicia Alvarez). Encuentre
122
las ası́ntotas horizontales y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo

graficador, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las ası́ntotas.
x2 + 1
y=
2x2 − 3x − 2
Respuesta. Sabemos que x2 + 1 > 0 para todo x ∈ R. Entonces x2 + 1 está

definida en todo R. El denominador 2x2 −3x−2 al ser una función polinomial
también estarı́a definida en todos los reales, pero al ser un denominador
y tener 2 raı́ces genera una indeterminaciones, podemos factorizarla para
obtenerlas, teniendo:
2x2 − 3x − 2 = (2x + 1)(x − 2)
−1
Siendo x1 = 2 y x2 = 2.
Ahora calculamos los lı́mites
x2 + 1 x2 + 1
lı́m = −∞, lı́m =∞ (521)
x→ −1
− 2x2− 3x − 2 2
x→ −1 2x − 3x − 2
+
2 2
x2 + 1 x2 + 1
lı́m = ∞, lı́m = −∞ (522)
x→2+ 2x2 − 3x − 2 x→2− 2x2 − 3x − 2
−1
Entonces podemos decir que y tiene dos ası́ntotas verticales, una en x = 2
y otra en x = 2.
Ahora determinamos si la función y tiene ası́ntotas horizontales
x2 +1 1
x2 + 1 x2
1+ x2
lı́m = lı́m 2x2 −3x−2
= lı́m 3 2 (523)
x→∞ 2x2 − 3x − 2 x→∞ x→∞ 2− −
x2 x x2
Siguiendo el desarrollo y teniendo en cuenta el teorema que nos dice que si

r > 0 es un número racional entonces lı́m x1r = 0. Si r > 0 es un número
x→∞
racional tal que xr está definida para toda x, entonces lı́m x1r = 0, tenemos
x→∞
que:
1 + lı́m x12 1+0 1
x→∞
3 2 )= 2−0 = 2
2 − lı́m ( x + x2
x→∞
Por lo que y tiene una ası́ntota horizontal en x = 12 y dos verticales en x = 2

y x −1
2 . Lo cual es consistente con la gráfica de la figura 19, donde la lı́nea
roja es la ası́ntota vertical y las ası́ntotas verticales son un poco más fáciles
de visualizar según lo que ya se a demostrado.

Encuentre las ası́ntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dis-
positivo graficador, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las
ası́ntotas.
2x2 + x − 1
f (x) = (524)
x2 + x − 2
Respuesta. Considerando como primera parte las ası́ntotas verticales, estás

se pueden encontrar como la discontinuidad en de la función, por lo que se
debe de encontrar el dominio de esta función racional, la cual es compuesta
por un numerador que es un polinomio y su dominio son todos los números
reales ya que el Dominio de un polinomio= R.
Para el denominador se debe de considerar que este no de cero para que no
exista una división indefinida por lo que se debe de hacer la resolución de la
ecuación de segundo grado:
x2 + x − 2 = 0 (525)
124
Factorizando:
(x + 2)(x − 1) = 0 (526)
Por lo que:
x1 = −2 (527)
x2 = 1 (528)
(529)
Las ası́ntotas verticales están en x = 1 x = −2.
Para las ası́ntotas horizontales se evalúan los lı́mites cuando tienden a ∞ y

−∞:
2x2 + x − 1
lı́m 2 (530)
x→∞ x + x − 2
Dividiendo todo entre x2 :
1 1
2+ x − x2
lı́m 1 1 (531)
x→∞ 1+ x − x2
Utilizando propiedades de los lı́mites:
1 1
2 + lı́m − lı́m 2
x→∞ x x→∞ x
(532)
1+ lı́m 1 − 1
lı́m 2
x→∞ x x→∞ x
Dándonos como resultado:

2
=2 (533)
1
2x2 + x − 1
lı́m =2 (534)
x→∞ x2 + x − 2
Si la calculamos a −∞ serı́a lo mismo por lo que:
2x2 + x − 1
lı́m =2 (535)
x→−∞ x2 + x − 2
Figura 20: Lineas cuando x = −2, x = 1 y y = 2
Efectivamente hay ası́ntotas en x = −2, x = 1 y y = 2.

57, inciso a), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Suponga que f (x) = x2 /(x+1)
y g(x) = x − 1
Demuestre que
lı́m [f (x) − g(x)] = 0 (536)
x→±∞
Respuesta. Primero transformemos un poco la expresión, tenemos enton-

ces que:
x2 x2 − x(x + 1) x
f (x) − g(x) = −x+1= +1=− + 1 (537)
x+1 x+1 x+1
Y de esta forma es más fácil calcular el lı́mite, lo hacemos de la siguiente
manera
x
lı́m [f (x) − g(x)] = lı́m (− + 1) (538)
x→±∞ x→±∞ x+1
Evaluando el lı́mite nos queda
x
lı́m (− ) + lı́m 1 (539)
x→±∞ x+1 x→±∞
126
Resolviendo
x
lı́m (− ) + 1 = −1 + 1 = 0 (540)
x→±∞ x
De esta manera queda demostrado.
Segundo Arteaga)
dy
y = 6x3 + 3x2 − 10
Respuesta. Iniciamos obteniendo la derivada de ambos lados

dy
y0 = (6x3 + 3x2 − 10) (541)
dx
dy dy dy
dy dy dy
y0 = (6x3 ) + (3x2 ) − (10) (542)
dx dx dx
Calculamos la derivada de lo anterior
y0 = [(6)(3x2 )] + [(3)(2x)] − 0 (543)
Simplificamos la expresión
y0 = 18x2 + 6x (544)
lo cual seria la derivada de la expresión inicial.

Sección 2.6 ejercicio 45. Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Encuentre las
ası́ntotas horizontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo grafica-
dor, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las ası́ntotas.
x3 − x
y=
x2 − 6x + 5
Respuesta. Para calcular primero las ası́ntotas horizontales, calculamos el

lı́mite de y cuando tiende a infinito.
x3 − x
lı́m
x→∞ x2 − 6x + 5
Primero localizamos la variable con un número de exponente mayor que es

x3 por lo que dividimos todos las expresiones por x3 ası́ que nos queda
x3 −x
x3
lı́m
x→∞ x2 −6x+5
x3
Y simplificándola
x3 −x 1
x3
1− x2 1
lı́m = lı́m =
x→∞ x2 −6x+5 x→∞ 1 − 6
+ 5 0
x3 x x2 x3
Esto nos indica que el lı́mite no existe, pues la división entre 0 no está
definida por lo que la curva no tiene ası́ntotas horizontales.
Para determinar sus ası́ntotas verticales, tabajaremos con la expresión del

denominador y pero antes simplificaremos la función
x3 − x x(x2 − 1) x(x − 1)(x + 1)

2
= =
x − 6x + 5 (x − 5)(x − 1) (x + 5)(x − 1)
Cancelamos los términos en común, vimos que se factorizó la función de

segudno grado en el denominador, y arriba se factorizó por factor compun
y diferencia de cuadrados, por lo que la expresión nos queda de
x(x + 1) x2 + x
=
x+5 x+5
Ahora por el denominador de la función simplificada, podemos notar que la

función no está definida en
x=5
Por lo que es la ası́ntota vertical. En conclusión, la función no tiene ası́nto-

tas horizontales, solo verticales, y la única se encuentra en x = 5, lo podemos
ver en la siguiente figura.
128

ción 2.6, ejercicio 44, Andrea Quiroz Garduño) Encuentre las ası́ntotas ho-
rizontal y vertical de cada curva.
1 + x4
y= (545)
x2 − x4
Respuesta. En primer lugar, se necesita saber que valores no puede tomar

x, para evitar que el denominador sea 0, en este caso son todos los números
reales R a excepción de 0, 1 y -1. Con esta información se pueden calcular
los lı́mites:
1 + x4
lı́m ( 2 ) (546)
x→0 x − x4
1 + x4
lı́m ( ) (547)
x→1 x2 − x4
1 + x4
lı́m ( ) (548)
x→−1 x2 − x4
En todos estos lı́mites se debe calcular sus lı́mites laterales.
1 + x4 1 + x4
lı́m ( 2 4
) = ∞ = lı́m ( 2 ) (549)
x→0− x −x x→0+ x − x4
1 + x4 1 + x4
lı́m ( ) = ∞ 6
= lı́m ( ) = −∞ (550)
x→1− x2 − x4 x→1+ x2 − x4
1 + x4 1 + x4
lı́m ( ) = −∞ 6
= lı́m ( )=∞ (551)
x→−1− x2 − x4 x→−1+ x2 − x4
Como se puede ver, únicamente en lı́mx→0 se tiene un lı́mite, el cuál serı́a

∞. Tanto en lı́mx→1 , como en lı́mx→−1 sus lı́mites laterales no son iguales,
por lo que no existe el lı́mite. A pesar de todo, aunque no exista el lı́mite
en las anteriores, sı́ se cumple con la definición de ası́ntota vertical, la cuál
dice que puede existir la ası́ntota si el lı́mite o lı́mites laterales son infinitos
positivos o negativos. A partir de esto, se sabe que las ası́ntotas verticales
son 0, 1, -1
Finalmente para obtener las ası́ntotas horizontales, se debe sacar el lı́mite

al infinito positivo y negativo:
1 + x4
lı́m ( ) = −1 (552)
x→∞ x2 − x4
1 + x4
lı́m ( ) = −1 (553)
x→−∞ x2 − x4
Entonces la ası́ntota horizontal de y es -1
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas. Stewart.Sección
2.6 ejercicio 43 Gilberto Martinez Ordoñez). Encuentre las ası́ntotas hori-
zontal y vertical de cada curva. Si tiene un dispositivo graficador, verifique
su trabajo graficando la curva y estimando las ası́ntotas.
2x2 + x − 1
y=
x2 + x − 2
Respuesta. para obtener las ası́ntotas, calculamos la función cuando tiende

a infinito
2x2 + x − 1
lı́m = 2
y→∞ x +x−2
para iniciar dividimos ambos lados de la fracción entre el valor con potencia
2x2 +x−1
mas alta de x, en este caso x2 lı́m = x2
x2 +x−2
con esto obtenemos
y→∞
x2
1 1
2+ x − x2
lı́m = 1 2
y→∞ 1+ x − x2
y desarrolando:
2x2 + x − 1
lı́m =
y→∞ x2 + x − 2
130
convirtiendo y simplificando obtenemos que

2x2 + x − 1 2
lı́m = = =2
y→∞ x2 + x − 2 1
ası́ que su limite horizontal es 2
inciso (d) Jesús Octavio Rangel Moreno). Determine Los lı́mites
x2
lı́m (554)
x→∞ (x − 5)(3 − x)
Respuesta. Primero desarrollamos el producto del binomios del denomina-

dor.
x2
lı́m (555)
x→∞ −x2 + 8x − 15
Después dividimos todo entre la potencia mayor.

x2
x2 1
−x2 +8x−15
= 8 15 (556)
x2
−1 + x − x2
Ahora usamos la propiedad del cociente de lı́mites y calculamos el lı́mite del

numerador y del denominador por separado.
lı́m 1 = 1 (557)
x→∞
El lı́mite de una constante es igual a la misma constante.

8 15 8 15
lı́m (−1 + − 2 ) = lı́m −1 + lı́m − lı́m 2 (558)
x→∞ x x x→∞ x→∞ x x→∞ x
Usamos limx→a (f (x) ± g(x)) = limx→a f (x) ± limx→a g(x)

1 1
− 1 + 8 lı́m − 15 lı́m 2 (559)
x→∞ x x→∞ x
Usamos la propiedad lı́mx→a (a)(f (x)) = a lı́mx→a f (x)
− 1 + 8(0) − 15(0) = −1 (560)
Usamos la propiedad lı́mx→±∞ x1n = 0

Ahora solo nos queda realizar nuestra última división.
1
=1 (561)
−1
Entonces, al aplicar varias propiedades de los lı́mites, podemos concluir que

x2
el lı́mite de lı́mx→∞ (x−5)(3−x) es −1

sección 2.6, ejercicio 46, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Encuentre las
ası́ntotas horizontal y vertical de cada curva:
2ex
y= (562)
ex − 5
Respuesta. Para encontrar la ası́ntota horizontal, se divide el cociente de

ex en el numerador con el cociente de ex en el denominador:
2
y= =2 (563)
1
La ası́ntota horizontal está en y = 2. Para la ası́ntota vertical se iguala el
denominador a cero y se encuentra x:
ex − 5 = 0 (564)
lnex = ln5 (565)

x = ln5 (566)
La ası́ntota vertical se encuentra en x = ln5
Ejercicio. (Calculo de una variable: Trascendentes tempranas. J. Stewart,
Sección 2.6, ejercicio 29, Jose Emmanuel Mendoza Ugalde) Encuentre el
limite o demuestre que no existe.
x4 − 3x2 + x
lı́m
x→∞ x3 − x + 2
Respuesta. Al momento de evaluar el limite en x → ∞ obtenemos una

indeterminación por lo que procedemos a dividir tanto el numerador como
el denominador por el valor mas alto del denominador
x4 −3x2 +x
x3
lı́m x3 −x+2
x→∞
x3
Haciendo las respectivas simplificaciones tenemos
x − 3 x1 + 1
x2
lı́m 1 2
x→∞ 1− x2
+ x3
132
Sabemos que al evaluar los limites de individualmente de cada uno tenemos

c
que el limite de ∞ esto es cero por lo que quedarı́a
lı́mx→∞ x ∞
=
lı́mx→∞ 1 1
por lo que el limite de la función te lleva a +∞ lo cual este caso no tiene
ası́ntota horizontal
Sesión 6
2.6.1 Ejemplos de lı́mites al infinito, definición precisa de lı́mite al
infinito y demostraciones.
inciso (e) Carlos David Casiano Hurtado). determine los lı́mites
x2
lı́m
x→∞ x2 − 8x + 15
Respuesta.
x2
lı́m
x→∞ x2 − 8x + 15
se escoge a la literal con el exponente más alto, en este caso seria x2

x2
x2
lı́m
x→∞ x2 −8x + 15
x2 x2 x2
comienzas a dividir
1
lı́m 8 15
x→∞ 1− x + x2
por propiedades de limites se saca el numerador para valuar la x
1
lı́m
x→∞ 1− 8 lı́mx→∞ x1 + 15 lı́mx→∞ 1
x2
como es infinito el valor mas cercano a ∞ es 0
1
lı́m
x→∞ 1 − 8(0) + 15(0)
1
lı́m
x→∞ 1 − 8(0) + 15(0)
1
lı́m
x→∞ 1
lı́m 1
x→∞

Sección 2.6 ejercicio 38. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Encuentre el
lı́mite o demuestre que no existe.
lı́m arctan(ln x) (567)

x→0+
Respuesta. Primero, se sabe que el lı́mite de la función natural de x está

indefenidida en 0 por lo que tiende al menos infinito de manera que:
lı́m ln x = −∞ (568)
x→0+
Como arctan es continua se dice que:
lı́m arctan(ln x) = lı́m arctan x (569)

x→0+ x→−∞
Esto es igual a:
π
lı́m arctan x = − (570)
x→−∞ 2

7ma edición Sección 2.6, ejercicio 34 , Brandon Galicia Alvarez). Encuentre
el lı́mite o demuestre que no existe.
e3x − e−3x
lı́m
x→∞ e3x + e−3x
Ejercicio. Sabemos que las funciones exponenciales tienen una imagen en

los números positivos y su dominio se da en todos los R, además cuando se
acerca se hace muy grande tiende a infinito y cuando se hace muy pequeña
tiende a 0. Entonces, a continuación desarrollaremos el lı́mite teniendo en
cuenta que lı́m e1x = 0.
x→∞
1
1 e3x − 3x
e3x − e−3x e3x − e3x
e
e3x
lı́m 3x = lı́m = lı́m = (571)
x→∞ e + e−3x x→∞ e3x + 1 x→∞ e3x + e3x1
e3x 3x
e
134
Siguiendo el desarrollo
1
1− 1 1 − lı́m 6x 1−0
e6x x→∞ e
lı́m 1 = 1 = =1 (572)
x→∞ 1+ e6x
1+ lı́m 6x 1+0
x→∞ e
e3x −e−3x
Por lo que el lı́m 3x −3x = 1.
x→∞ e +e

Sección 2.6 ejercicio 16. Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Encuentre el
lı́mite o demuestre que no existe.
1 − x2
lı́m
x→∞ x3 − x + 1
Respuesta. Para resolver este problema, dividimos todo el lı́mite entre la

potencia mayor del denominador que es x3 por lo que
1−x2
x3
lı́m
x→∞ x3 −x+1
x3
Que podemos simplificar como

1 1
x3
− x
lı́m 1 1
x→∞ 1− x2
+ x3
Y debido a ley de los signos nos queda
0−0 0
lı́m = lı́m = 0
x→∞ 1−0+0 1
Por lo que tenemos que
1 − x2
lı́m =0
x→∞ x3 − x + 1

p
lı́m x2 + 1
x→∞
Respuesta. A simple vista, podemos evaluar la función f(x) √ en a. No obs-

tante, nuestro a toma valores arbitrariamente altos, por lo que x2 + 1 toma
valores muy altos para nuestra función f (x) por lo que, nuestro lı́mite tiende
al infinito debido a ser un valor tan alto como se quiera en a. Por lo que, sı́
existe un lı́mite dadas las condiciones que se estipulen.
31, Omar Fabian Izquierdo Pérez). En los problemas 1-24, use las definicio-
nes 3.6.1, 3.6.2 o 3.6.3 para demostrar el resultado sobre lı́mites dado.
5x − 1 5
lı́m = (573)
x→∞ 2x + 1 2
5x−1
Respuesta. Queremos encontrar un N > 0 tal que si ε > 0 entonces | 2x+1 −
5
2 | < ε siempre que x > N
Entonces tenemos que
5x − 1 5 2(5x − 1) − 5(2x + 1) −7
| − |=| |=| | (574)
2x + 1 2 2(2x + 1) 4(x + 12 )
Debido a que claramente x > 0 nos queda que
−7 7
| 1 |= (575)
4(x + 2 ) 4(x + 12 )
Además es fácil notar que
7 7
1 < 4x < ε (576)
4(x + 2 )
Entonces despejando x nos queda
7
<x (577)
4ε
7 7
Ox> 4ε , por lo tanto bastará con tomar N = 4ε

ción 2.6, ejercicio 22, Andrea Quiroz Garduño) Encuentre el lı́mite o de-
muestre que no existe.
x2
lı́m √ (578)
x→∞ x4 + 1
136
Respuesta. Ya que en su forma original la función es indeterminada, se

debe transformarla. Para hacerlo se puede factorizar el denominador:
x2
lı́m q (579)
x→∞ 1
x4 (1 + x4
)
x2
lı́m (580)
x→∞ √
q
1
x4 (1 + x4
)
x2
lı́m q (581)
x→∞ 2 1
x (1 + x4
)
1
lı́m q (582)
x→∞ 1
(1 + x4
)
lı́mx→∞ 1
q (583)
1
lı́mx→∞ ( (1 + x4
))
Con esta forma ya se puede evaluar el lı́mite
1
p =1 (584)
(1 + 0)
Ejercicio. Calculo Diferencial Dennis G, Seccion 3.4 Ejercicio 1, Jonathan

Segundo Arteaga
Encuentre el limite dado o concluya que no existe
sen3t
lı́m
t→0 2t
Respuesta. Al evaluarlo nos damos cuenta que los limites del numerador
y el denominador resultarı́a en una forma indeterminada entonces se usa
0(x)
la regla de L’Hopital lı́mx→c ( fg(x)
(x)
) = lı́mx→c ( fg0(x) ) por lo que nos quedarı́a
como:
d
(sin(3t))
lı́m( dt d ) (585)
dt (2t)
t→0
Se calcula la derivada lo cual quedarı́a como:
3cos(3t)
lı́m( ) (586)
t→0 2
A continuación se evalúa el limite y este seria:
3cos((3)(0))
(587)
2
Una vez ası́ se simplifica la expresión y nos da que limite es
3
(588)
2

sin2 (x)
lı́m (589)
x→∞ x2 + 1
Respuesta. Lo primero que haremos será dividir todo entre el mayor alto
del polinomio, en este caso x2
sin2 (x)
x2
lı́m (590)
x→∞ x2 + 1
x2 x2
Podemos sacarle raı́z cuadrada en el denominador por lo que nos queda lo

siguiente:
sin(x)
x
lı́m (591)
x→∞ 1 + 12
x
Vamos a evaluar el lı́mite en el denominador y conocemos que el seno de x

oscila entre [-1,1], por lo que se expresa como lo siguiente:
− 1 6 sin(x) 6 1 (592)
Y al evaluarlo con el lı́mite que tenemos:
1 sin(x) 1
lı́m (− 6 6 ) (593)
x→∞ x x x
Si utilizamos las propiedades de los lı́mites:
1 sin(x) 1
lı́m − 6 lı́m 6 lı́m (594)
x→∞ sin(x) x→∞ x x→∞ x
138
Y conocemos que lı́m − x1 = 0 por lo que:

x→∞
sin(x)
0 6 lı́m 60 (595)
x→∞ x
Entonces el lı́mite del denominador cuando tiende a infinito es igual al 0.
Para el denominador:
1
lı́m (1 + )=1 (596)
x→∞ x2
Entonces:
0
lı́m =0 (597)
x→∞1
sin2 (x)
lı́m 2 =0 (598)
x→∞ x + 1

7ma edición Sección 2.6, ejercicio 17 , Cinthia Alejandra Olvera Bautis-
ta).Encuentre el lı́mite o demuestre que no existe.
x−2
lı́m
x→∞ x2 + 1
Respuesta. Para comenzar con este ejercicio empezamos dividiendo todos

los elementos de la función entre x2 por ser la variable con una mayor
potencia, por lo que tenemos que
x 2 1 2
x2
− x2 x − x2
lı́m = lı́m 1
x→∞ x2 + 1 x→∞ 1+
x2 x2 x2
Por leyes de los lı́mites en infinito, tenemos que

1 2
x − x2 0−0
lı́m 1 = =0
x→∞ 1+ x2
1+0
Entonces la respuesta al lı́mite es
x−2
lı́m =0
x→∞ x2 + 1

Sección 2.6 ejercicio 31. Gilberto Martinez Ordoñez). Encuentre el lı́mite o
demuestre que no existe.
lı́m (x4 + x5 )
x→−∞
Respuesta. factorizamos entre el exponente más grande que es x4 lı́m x4 (1+

x→−∞
x)si sustituimos obtenemos
lı́m 0(1 + 0)
x→−∞
con lo que obtenemos que no tiene limites, extendiéndose en todos los núme-
ros reales
inciso (g) Jesús Octavio Rangel Moreno). Determine Los lı́mites
3x3 − x2
lı́m (599)
x→∞ πx3 − 5x2
Respuesta. Primero dividimos todo entre el denominador con mayor po-

tencia.
3x3 2
x3
− xx3 3 − x1
πx3 5x2
= 5 (600)
x 3 − x 3 π − x
Ahora aplicamos lı́mite en numerador y denominador.

f (x) 1
lı́m f (x)
usamos las siguientes propiedades lı́m (g(x) = = 0, limx→a (f (x)±
lı́m g(x) ,x→∞
lı́m
xn
g(x)) = limx→a f (x) ± limx→a g(x) y lı́mx→a (a)(f (x)) = a lı́mx→a f (x)
1 1
lı́m 3 − = 1 − lı́m (601)
x→∞ x x→∞ x
1
lı́m 3 − lı́m =3−0=3 (602)
x→∞ x→∞x
5 5
lı́m π − = lı́m π − lı́m (603)
x→∞ x x→∞ x→∞ x
5 1
lı́m π − lı́m = π − 5 lı́m = π − 5(0) = π (604)
x→∞ x→∞ x x→∞ x
3x3 −x2 3
el lı́mite de πx3 −5x2
cuando x tiende a ∞ es π
2.7.1 Derivadas y tangentes: Lı́nea secante y lı́nea tangente.

inciso (B) Carlos David Casiano Hurtado). En los siguientes problemas trace
la gráfica de la función y de la recta tangente, usando como dato en el punto
dado.
140
Respuesta.
f (x) = x2 + 4x; (0, 0)
derivamos la función
f (x) = x2 + 4x
f 0 (x) = 2x + 4
evaluamos en x=0
f 0 (0) = 2(0) + 4
f 0 (0) = 4
la pendiente es igual a 4, m=4
y − y1 = m(x − x1 )
y − 0 = 4(x − 0)
y = 4x
y − 4x = 0

Sección 2.7 ejercicio 1 . Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Una curva
tiene la ecuación y = f (x).
a)Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por
los puntos P(3, f (3)) Q (x, f (x)).
b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P.
Respuesta. a)La fórmula de la pendiente es:
y2 − y1
m= (605)
x2 − x1
Donde y2 = f (x), y1 = f (3), x2 = x y x1 = 3 . Sustituyendo en la fórmula:
f (x) − f (3)
m= (606)
x−3
b) La fórmula de la pendiente para la tangente es:
f (x2 ) − f (x1 )
m = lı́m (607)
x→x2 x2 − x1
En este inciso el Punto 1 es P y el punto Q es el punto 2, de manera que la

expresión queda como:
f (x) − f (3)
m = lı́m (608)
x→3 x−3

nas. Sección 2.7 ejercicio 9 (inciso c). Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Dada la curva y = 3 + 4x2 − 2x3 y los puntos (1,5) y (2,3); Grafique la curva
y ambas rectas tangentes en una misma pantalla.
Respuesta. Para ello, se utilizará el software de Geogebra para graficar la
función y se lo calizarán los puntos (1,5) y (2,3).
Posterior a ello, se sabe que para calcular las coordenadas del punto donde
la recta es tangente, si nos dan la coordenada x del punto, sólo tenemos que
sustituir la x por la coordenada en la función y obtendremos la coordenada
142
y. Esto para los puntos (1,5) y (2,3).

Cuando x = 1 ; y = 5
y = 2x + 3
Lo mismo para la siguiente, con los puntos (2,3)
Cuando x = 1 ; y = 11
Cuando x = 2 ; y =3
Cuando x = 3 ; y = -5
y = −8x + 19
Figura 22: Grafica de curva y ambas rectas tangentes a y = 3 + 4x2 − 2x3

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 3, Brandon Galicia Alvarez). a) Halle la
pendiente de la recta tangente a la parábola y = 4x − x2 en el punto (1, 3).
i)Usando la definición 1 ii)usando la ecuación 2.
b)Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso a). c)Dibuje la parábo-
la y la recta tangente. Como verificación de su trabajo, haga un acercamiento
hacia el punto (1, 3) hasta que la parábola y la recta tangente sean indistin-
guibles.
Respuesta 1. a) En esencia, la definicón dada en el libro y la ecuación
−y1
2 se basan en la fórmula para obtener la pendiente, la cual es m = xy22 −x 1
.
Entonces teniendo en cuenta la definición 1
f (x) − f (a)
m = lı́m
x→a x−a
y la ecuación 2
f (a + h) − f (a)
m = lı́m
h→0 h
Podemos desarrollar que, mediante la definición 1
4x − x2 − (4(1) − (1)2 ) 4x − x2 − 3 (x − 1)(−x + 3)
m = lı́m = lı́m = lı́m
x→1 x − 1) x→1 x−1 x→1 x−1
= lı́m −x + 3 = −(1) + 3 = 2 (609)
x→1
Y del mismo modo, siguiendo la ecuación 2
4(1 + h) − (1 + h)2 − (4(1) − (1)2 )
m = lı́m
h→0 h
4 + 4h − 1 − 2h − h2 − 4 + 1
= lı́m
h→0 h
2h − h2 h(2 − h)
lı́m = lı́m = lı́m 2 − h = 2 (610)
h→0 h h→0 h h→0
Por lo que la pendiente m = 2 y obtenemos la misma pendiente usando tanto
la definición 1 como la ecuación 2.
Respuesta 2. Ahora, para poder encontrar la ecuación de la recta tangente
se usará la fórmula para calcularla, la cual es
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
Entonces, utilizando la pendiente encontrada anteriormente y las coordena-
das del punto dado, tenemos que
y − 3 = 2(x − 1), y − 3 = 2x − 2, y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1 (611)
Por lo que la ecuación de la recta tangente en este punto de la curva es
y = 2x + 1.
144
Respuesta 3. Podemos apreciar la función (color azul) y la ecuación de la

recta tangente (color rojo) en ese punto en la gráfica 23
Figura 23: Gráfica de la parábola y la recta tangente en el punto (1,3)
Ejercicio. (Calculus - Michael Spivak, Parte 3, Capı́tulo 9, Pág 164, ejer-

cicio 1 inciso a) y b), Omar Fabian Izquierdo Pérez).
a)Demuestre, aplicando directamente la definición, que si f (x) = x1 , enton-
ces f 0 (a) = − a1 , para a 6= 0.
b) Demuestre que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, 1/a)
sólo corta a la gráfica de f en este punto.
Respuesta. Resolvamos primero el inciso a). Aplicando la definición de
derivada tenemos que
1 1
0 f (a + h) − f (a) a+h− a
f (a) = lı́m = lı́m (612)
h→0 h h→0 h
Para calcular el lı́mite primero transformamos un poco la expresión, de la

siguiente manera:
1 1 a−a−h
a+h − a a(a+h) −h 1
= = =− (613)
h h ha(a − h) a(a − h)
De esta manera es más fácil calcular el lı́mite, nos queda lo siguiente:

−1 1
lı́m =− 2 (614)
h→0 a(a − h) a
Y ası́ queda demostrado el inciso a).

Ahora vamos con el inciso b). Tenemos que f 0 (a) = − a12 , eso nos quiere
decir que la lı́nea tangente a f en el punto (a,1/a) tiene pendiente de − a12
Podemos construir la ecuación de la recta tangente a partir de esto, sabemos
la pendiente y sabemos un punto de dicha recta, entonces podemos hacer lo
siguiente:
y − a1 1 1 x 1
= − 2 =⇒ y − = − 2 + (615)
x−a a a a a
Reduciendo un poco obtenemos que:
1 2
y=− 2
x+ (616)
a a
Ahora si queremos verificar que esta recta toca solo en un punto a la función
f simplemente resolvamos el sistema de ecuaciones.
1
Si y = x entonces:
1 1 2
= − 2x + (617)
x a a
Multilpicando todo por x y por a2
x2 − 2ax + a2 = 0 (618)
Observemos que nos queda un binomio al cuadrado, lo cual quiere decir que
tiene única solución, entonces:
1
(x − a)2 = 0 =⇒ x = a =⇒ y = (619)
a
Por la tanto, estas dos funciones solo se tocan en un punto, que de hecho es
el punto (a,1/a), es decir, el punto de tangencia.
146
cicio 1 Página 62, Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Differentiate the fun-
ction by forming the difference quotient
f (x + h) − f (x)
h
and taking the limit as h tends to 0.
f (x) = 2 − 3x
Respuesta. Para empezar a derivar la función f (x), sustituimos en la ecua-

ción dada, con lı́mite cuando h tiende a 0, por lo que nos queda como
(2 − 3(x + h)) − (2 − 3x)

lı́m
h→0 h
Resolvemos las multiplicaciones y simplificamos de la siguiente manera
2 − 3x − 3h − 2 + 3x 3h
lı́m = lı́m = lı́m 3
h→0 h h→0 h h→0
Ahora resolvemos y por propiedades de los lı́mites nos queda que
lı́m 3 = 3
h→0
Por lo tanto la derivada de f (x) = 2 − 3x es: f 0 (x) = 3

Ejercicio. Calculus one and several variables, Saturninio 3.1, ejercicio 5
Andrea Quiroz Garduño) Differentiate the function by forming the difference
quotient
f (x + h) − f (x)
(620)
h
and taking the limit as h tends to 0.
f (x) = x4 (621)
Respuesta. Para resolver lo anterior es necesario formar la diferencia de

cocientes planteada, la cuál tiente una forma f (x+h)−f
h
(x)
, considerando que
4
f(x) es x , quedarı́a:
(x + h)4 − x4
(622)
h
Con esto, solamente es necesario obtener el lı́mite cuando h tiende a 0

(x + h)4 − x4
lı́m (623)
h→0 h
Si se evaluara el lı́mite quedarı́a indefinida, por lo que es necesario trans-
formarla. En primer lugar, el numerador puede ser factorizado
(h)(2x + h)(2x2 + 2xh + y 2 )
lı́m (624)
h→0 h
lı́m ((2x + h)(2x2 + 2xh + h2 )) (625)
h→0
Una vez con esto, ya se puede evaluar el lı́mite
(2x + 0)(2x2 + 2x(0) + (0)2 ) = 2x(2x2 ) = 4x3 (626)

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x−x3 en el punto
(1,0)
Respuesta. La forma de la pendiente es:
f (x + h) − f (x)
lı́m (627)
x→0 h
Sabemos que el x = 1 y f (x) = 0 por lo que:
x+h=1+h (628)
y
f (x + h) = (x + h) − (x + h)3 (629)
Ası́ que al sustituir tenemos que:
(1 + h) − (1 + h)3 − 0
lı́m (630)
x→0 h
Al realizar las operaciones tenemos que:
−h(2 − 3x − x2 )
lı́m (631)
x→0 h
Cancelando las x y sustituyendo directamente el cero del lı́mite tenemos que
la pendiente es:
m = −2 (632)
148

Ejercicio 4 Gilberto Martinez Ordoñez). Differentiate the function by for-
ming the difference quotient
f (x + h) − f (x)
h
Respuesta. f (x) = 2x3 + 1 iniciamos sustituyendo la formula que tenemos

en la ecuación que se nos da
2x3 + 1(x + h) − (2x3 + 1)
lı́m
h→0 h
desarrollamos y simplificamos
2x3 + x + h − 2x3 − 1
lı́m
h→0 h
+x + h − 1
lı́m
h→0 h
la derivada de nuestra funcion debe de ser 6x2
Problemas 4.3.1 ejercicio 1 Jesús Octavio Rangel Moreno). Resuelva las
siguientes derivadas con los teoremas vistos en esta sección:
Ejercicio. y=x9
Respuesta. Para calcular su derivada tenemos que bajar su exponente como
coeficiente y al exponente restarle 1. Nos queda de la siguiente manera:
f (x) = x9 (633)
f 0 (x) = 9x8 (634)
Entonces tenemos que la derivada de y = x9 es 9x8
ción 2.1, ejercicio 2, inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Un mo-
nitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de
una cirugı́a. El aparato compila el número de latidos del corazón después de t
minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la tabla se represen-
tan gráficamente, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia
cardiaca en latidos por minuto. El monitor estima este valor calculando la
pendiente de una recta secante. Utilice los datos para estimar el ritmo car-
diaco del paciente después de 42 minutos, utilizando la recta secante entre
los puntos con los valores dados de t: t = 36 y t = 42.
Respuesta. Para encontrar la recta secante se debe encontrar primero la

pendiente:
2948 − 2530
m= = 69,6 (635)
42 − 36
Se sustituye en la ecuación punto-pendiente:
y − 2948 = 69,6(x − 42) (636)
y = 69,6x + 22 (637)
2.7.2 Cómo construir una lı́nea tangente a la curva por medio del
lı́mite de lı́neas secantes.
lo diferencial . Denis G. Sill Sección 4.4, ejercicio 35 ) encuentre una ecua-
ción de la recta tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado
de x.
5x
f (x) = 2 ;X = 2
x +1
Respuesta. Obtenemos el valor de y evaluando con x
5(2)
f (2) =
(2)2 + 1
10
f (2) =
4+1
10
f (2) =
5
y=2
El punto es (2,2)
Derivamos f(x) para obtener la pendiente de la ecuación
−5x2 + 5
f 0 (x) =
(x2 + 1)2
Evaluamos en 2 la función
−5(2)2 + 5
f 0 (2) =
((2)2 + 1)2
150
−20 + 5
f 0 (2) =
((2)2 + 1)2
−20 + 5
f 0 (2) =
(4 + 1)2
−20 + 5
f 0 (2) =
(4 + 1)2
−20 + 5
f 0 (2) =
(5)2
−15
f 0 (2) =
25
reducimos
3
f 0 (2) = −
5
utilizamos la formula de punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
3
y − 2 = (− )(x − 2)
5
3 6
y−2=− x−
5 5
3 6
y+ x−2+ =0
5 5
3 4
y+ x− =0
5 5

Sección 2.7 ejercicio 7. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Encuentre la
ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el pun-
to dado.
√
y= x(1, 1) (638)
Respuesta. Se rescatan dos fórmulas para calcular la lı́nea tangente:

1. ecuación de la lı́nea secante
y − y1 = m(x − x1 ) (639)
2. ecuación de la pendiente como lı́mite.

√ √
1+h− 1
m = lı́m (640)
h→0 h
De esta manera x1 = 1 y y1 = 1, se sustituye en la primera ecuación.
y − 1 = m(x − 1) (641)
Se sustituyen los valores de x en la ecuación de la pendiente.Tomando en

√
cuenta que y = x
p √
(1 + h) − 1
m = lı́m (642)
h→0 h
Se racionaliza al numerador con su binomio conjugado:
p √ √ √
(1 + h) − 1 1+h+ 1
lı́m ( )( √ √ ) (643)
h→0 h 1+h+ 1
1+h−1
lı́m √ √ (644)
h→0 h( 1 + h + 1
1
lı́m √ √ (645)
h→0 ( 1 + h + 1
Evaluamos el lı́mite:
1
lı́m √ √ (646)
h→0 ( 1+0+ 1
1
m= (647)
2
Sustituimos el valor de m en la primera ecuación:
152
1
y − 1 = (x − 1) (648)
2
x 1
y= + (649)
2 2

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 8, Brandon Galicia Alvarez).Encuentre
la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el
punto dado.
2x + 1
y= , (1, 1)
x+2
Respuesta. Para encontrar la ecuación de la recta tangente primero de-

bemos de encontrar la pendiente, la cual se calculará usando la ecuación 2
mencionada en el libro de Stewart y en el video del profe, la cual es:
f (a + h) − f (a)
m = lı́m
h→0 h
realizando las composiciones de funciones tenemos que la pendiente es:

2(1+h)+1 2(1)+1 3+2h 3+2h−3−h h
(1+h)+2 − 1+2 3+h −1 3+h 3+h
m = lı́m = lı́m = lı́m h
= lı́m
h→0 h h→0 h h→0 h→0 h
1 1
h 1 1
= lı́m = lı́m = (650)
h→0 h(3 + h) h→0 3+h 3
Ahora, se sustituye en la ecuación de la recta, la cual es:
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
Por lo que tenemos que:

1 x 1 x 1 x 2
y − 1 = (x − 1), y − 1 = − , y = − + 1 = + (651)
3 3 3 3 3 3 3
x
Siendo la ecuación de la recta tangente que pasa en este punto y = 3 + 23 .

ción 3.1, ejercicio 24, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Encuentre la ecua-
ción de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto
dado. y = x4 + 2x2 − x en (1,2)
Respuesta. Usando la derivada, podremos encontrar la pendiente en cual-
quier punto de la función lo que nos permitirá encontrar la pendiente en el
punto que se nos pide.
(x + h)4 + 2(x + h)2 − (x + h) − (x4 + 2x2 − x)
lı́m (652)
h→0 h
x4 + 4x3 h + 6xv2h2 + 4xh3 + h4 + 2x2 + 4xh + 2h2 − x4 − 2x2 − x
lı́m
h→0 h
(653)
Si simplificamos todos estos términos entre la h que divide nos queda
4x3 h + 6x2 h2 + 4xh3 + h4 − 2h2 + 4xh
lı́m (654)
h→0 h
lı́m 4x3 + 6x2 + 4xh2 + h3 − 2h + 4x (655)
h→0
Ahora si hacemos que h valga 0 nos queda:
f (x) = 4x3 + 4x − 1 (656)
Ahora podemos evaluar la primer derivada con la coordenada en x que tene-
mos la cual es 1
f (1) = 4(1)3 + 4(1) − 1 = 7 (657)
Ahora si aplicamos de la ecuación de la recta con la pendiente y el punto
y − y1 = m(x − x1 ) (658)
y − 2 = 7(x − 1) (659)
y = 7x − 7 + 5 (660)
y = 7x − 5 (661)
Lo que quiere decir que la ecuación de la recta tangente en el punto (1,2) es
y = 7x − 5
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas.Stewart.
Sección 2.7 ejercicio 5. Cinthia Alejandra Olvera Bautista) Encuentre la
ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto
dado.
y = 4x − 3x2 (2, −4)
154
Respuesta. Para poder encontrar la ecuación de una recta es importante

encontrar primero la pendiente, la cual está dada por la siguiente ecuación
f (x + h) − f (x)
m = lı́m
h→0 h
Ası́ que pasamos a sustituir los valores que se nos dieron al principio en el
problema
{4(x + h) − 3(x + h)2 } − (4x − 3x2 )
m = lı́m
h→0 h
Procedemos a realizar las multiplicaciones correspondientes y se desarrolla
el binomio al cuadrado
4x + 4h − 3(x2 + 2xh + h2 ) − 4x + 3x2
lı́m
h→0 h
Seguimos simplificando y ahora realizando las sumas y restas
4x + 4h − 3x2 − 6xh − 3h2 − 4x + 3x2
lı́m
h→0 h
4h − 6xh − 3h2 +
lı́m
h→0 h
Factorizamos h en el numerador y tenemos que
h(4 − 6x − 3h2 )
lı́m
h→0 h
Por tanto, nos queda 4 − 6x − 3h2 , entonces resolviendo el lı́mite nos da que
lı́m (4 − 6x − 3h2 ) = 4 − 6x
h→0
Ahora para tener la pendi3nte, evaluamos en el punto que se nos dió, es

decir 2
f 0 (2) = 4 − 6(2) = 8
Por lo que ahora tenemos la pendiente m = 8 y un punto por donde pasa la
recta, ası́ que podemos usar la ecuación de punto pendiente para encontrar
la ecuación de la recta.
y − y1 = m(x − x1 )
Donde sustituyendo los valores tenemos que
y + 4 = 8(x − 2) = 8x − 16
Entonces la ecuación que pasa por la función y = 4x − 3x2 en el punto
(2, −4) es
y = 8x − 20

17, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Use (2) para encontrar la pendiente de
la recta tangente a la gráfica de la función en el valor dado de x. Encuentre
una ecuación de la recta tangente en el punto correspondiente.
√
f (x) = x, x = 4
Respuesta. Para obtener la pendiente de la recta perpendicular calculamos
el siguiente lı́mite: √ √
x+h− x
m = lı́m (662)
h→0 h
Transformamos un poco la expresión de la siguiente manera:
√ √ √ √ √ √
x+h− x x+h− x x+h+ x
= · √ √ (663)
h h x+h+ x
√ √
x+h− x x+h−x 1
= √ √ =√ √ (664)
h h( x + h + x) x+h+ x
Y ası́ es más fácil calcular el lı́mite, nos queda:
1 1
lı́m √ √ = √ (665)
h→0 x+h+ x 2 x
Si evaluamos cuando x=4

1 1
m= √ = (666)
2 4 4
Ahora que tenemos la pendiente podemos calcular la ecuación de la recta

perpendicular, teniendo en cuenta que esta pasa por el punto (4,2).
y−2 1 1
= =⇒ y − 2 = x − 1 (667)
x−4 4 4
Entonces la recta tiene como ecuación
1
y = x+1 (668)
4
Ejercicio. (Calculus one and several variables, Saturninio, Sección 3.2,

ejercicio 31, Andrea Quiroz Garduño) Find an equation for the tangent line
at the point (c, f (c)).
x
f (x) = ; c = −4 (669)
x+2
156
Respuesta. Para resolverlo es necesario sacar primero las coordenadas del

punto, ya se sabe que c=-4, pero para sacar f(c) se requiere sustituir:
−4
f (x) = =2 (670)
−4 + 2
Una vez conociendo el punto, se puede sacar la ecuación de la tangente con
la forma:
y − f (c) = m(x − c) (671)
Sin embargo, aún no se conoce el valor de la pendiente m, la cuál va a poder
obtenerse a partir de la derivada de la función en el punto c
2
f 0 (x) = (672)
(x + 2)2
2 1
f 0 (c) = = (673)
(−4 + 2)2 2
Conociendo m, ahora si se puede sustituir en la ecuación:
1
y − 2 = (x + 4) (674)
2
x
y= +2+2 (675)
2
1
y = x+4 (676)
2
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, sección 4.5 Ejercicio 2, Jonathan

Segundo Arteaga)
Encontrar la derivada de los siguientes problemas
y = 1 + 7sen(x) − tan(x)
d
y0 = (1 + 7sen(x) − tan(x)) (677)
dx
d d d
Utilizamos la regla de diferenciación dx (f + g) = dx (f ) + dx (g) y obtenemos
d d d
y0 = (1) + (7sen(x)) − (tan(x)) (678)
dx dx dx
Una vez asi calculamos la derevada de lo anterior y obtenemos
y0 = 0 + 7cos(x) − sec(x)2 (679)
Una vez obtenido esto solo resta simplificar la expresión y obtenemos el

resultado el cual es:
7cos(x)3 − 1
y0 = (680)
cos(x)2
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, sección 4.5 Ejercicio 1, Jonathan

Segundo Arteaga)
Encontar la derivada de los siguientes problemas
y = x2 − cos(x)
Respuesta. Comenzamos obteniendo la derivada de ambos lados
d 2
y0 = (x − cos(x)) (681)
dx
d d d
Utilizando la regla de diferenciación dx (f + g) = dx (f ) + dx (g) Obtenemos:
d 2 d
y0 = (x ) − (cos(x)) (682)
dx dx
Por ultimo obtenemos la derivada
y0 = 2x + sin(x) (683)

Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes cur-

vas en el punto dado. y = 4x − 3x2 y pasa por el punto (2, −4) Vamos a
considerar como punto 1 (2,-4) x1 = 2, y1 = −4 y como punto 2 el incre-
mento de h en ambos puntos, por lo que x2 = 2 + h y y2 = f (x + h).
Recordando que primero debemos de sacar la pendiente la cual se delimita

como:
y2 − y1
m= (684)
x2 − x1
158
Al sustituir esto tenemos que m:

f (x + h) − f (x)
m= (685)
x+h−x
Al sustituir los valores por lo siguiente f (x) = −4 y f (x + h) = 4(2 + h) −
3(x + h)2 :
4(2 + h) − 3(22 + 4h + h2 ) + 4
m= (686)
h
Y lo anterior lo evaluaremos en un lı́mite cuando este tiende a 0 ya que el
punto 2 se acerca al punto 1:
4(2 + h) − 3(22 + 4h + h2 ) + 4
lı́m ( ) (687)
x→0 h
reducir términos:
−h(8 + 3h)
lı́m (688)
x→0 h
Se cancelan las h y obtenemos que ese lı́mite es:
lı́m f (x) = −8 (689)

x→0
Entonces m=-8 y el punto de la recta es (2, −4):
y + 4 = −8(x − 2) (690)
Por lo que la recta es:

y = −8x + 12 (691)

Problemas 4.1.1 inciso (b) Jesús Octavio Rangel Moreno).En los siguientes
problemas trace la gráfica de la función y de la recta tangente, usando como
dato en el punto dado.
f (c) = x2 − 4x, (0, 0) (692)
Se obtiene la pendiente derivando la ecuación
Respuesta.
y = x2 − 4x
dy 2
m= x − 4x
dx
obtienes
m = 2x − 4
evaluas en el punto (0,0)

2(0) − 4 = −4
sustituyes en la ecuacion de punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
y − 0 = (−4)(x − 2)
resuelves por distributiva
y − 0 = −4x + 4
pasas todo de un solo lado de la ecuación
y + 4x − 4 = 0
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G. sección 4.1 ejercicio 10, Gilberto

Martinez Ordoñez) Encuentre una ecuación de la recta tangente en el punto
correspondiente.
f (x) = −x2 + 5x − 3
en el punto x=-1
Respuesta. para encontrar y debemos sutituir x en la ecuación
f (x) = −(−1)2 + 5(−1) − 3
f (x) = −1 − 5 − 3 = −9
evaluamos nuestra en la formula de la pendiente
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
(x + h)2 − 8(x + h) + 9 + x2 − 5x + 3
lı́m
h→0 h
x + 2xh + h − 8x + 8h + 9 + x2 − 5x + 3
2 2
lı́m
h→0 h
2 2
2x + 2xh + h − 3x + 8h + 12
lı́m
h→0 h
después evaluemos la pendiente en la formula de la recta con una pendiente
y − y0 = m(x + x0 )
y + 9 = 4(x + 1)
y = 4x − 5
160

ción 2.1, ejercicio 2, inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Un mo-
nitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de
una cirugı́a. El aparato compila el número de latidos del corazón después de t
minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la tabla se represen-
tan gráficamente, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia
cardiaca en latidos por minuto. El monitor estima este valor calculando la
pendiente de una recta secante. Utilice los datos para estimar el ritmo car-
diaco del paciente después de 42 minutos, utilizando la recta secante entre
los puntos con los valores dados de t: t = 38 y t = 42.
Respuesta. Para encontrar la recta secante se debe encontrar primero la
pendiente:
2948 − 2661
m= = 71,75 (693)
42 − 38
Se sustituye en la ecuación punto-pendiente:
y − 2948 = 71,75(x − 42) (694)
y = 71,75x − 65,5 (695)
Sesión 7
2.7.3 Velocidad promedio, velocidad instantánea, función posición,
función de velocidad, caı́da libre.
lo diferencial . Denis G. Sill Sección 4.1, ejercicio 35 ) La altura por arriba
del suelo a que se suelta una pelota a una altura inicial de 122.5 m está
dada por s(t) = −4,9t2 + 122,5 donde s se mide en metros y t en segundos.
a) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t = 12 b) ¿En qué instante la pelota
golpea el suelo? c) ¿Cuál es la velocidad de impacto?
1
Respuesta. Para la velocidad instantánea en 2 se debe derivar la función
con respecto al tiempo que nos indican .
s(t) = −4,9t2 + 122,5
s0 (t) = −9,8t
1 1
s0 ( ) = −9,8( )
2 2
1
s0 ( ) = −4,9m/s
2
b) ¿En qué instante la pelota golpea el suelo?

al saber que la función esta dada s(t) que su derivada es la velocidad y la
velocidad inicial es igual a 0 debemos cambiar el valor en la función
0 = −4,9t2 + 122,5
ahora nuestra única variable es t por lo que habrá que despejar para obtener
el tiempo en el que golpea el suelo
r
−122,5
=t
−4,9
al resolver obtenemos el tiempo
t = 5s
c) ¿Cuál es la velocidad de impacto?

ya tenemos el tiempo, ahora solo debemos sustituir y resolver en la derivada
de la función
s0 (5) = −9,8(5)
s0 (5) = 49m/s

Sección 2.7 ejercicio 16 inciso b. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). El
desplazamiento (en metros) de una partı́cula que se mueve en lı́nea recta
esta dado por s = t2 − 8t + 18, donde t se mide en s.
b) Halle la velocidad instantánea cuando t = 4
Respuesta. Se determina la ecuación de la velocidad instantánea por medio
del lı́mite, donde se sustituye t por a y a + h:
f (a + h) − f (a)
lı́m (696)
h→0 h
((a + h)2 − 8(a + h) + 18) − (a2 − 8a + 18))

lı́m (697)
h→0 h
Se desarrolla la expresión:
(a2 + 2ah + h2 − 8a − 8h + 18) − (a2 − 8a + 18))

lı́m (698)
h→0 h
162
Se reducen los términos semejantes:
2ah + h2 − 8h
lı́m (699)
h→0 h
Se factoriza la h para que se haga 1 con la h del denominador.
h(2a + h − 8)
lı́m (700)
h→0 h
lı́m (2a + h − 8) (701)

h→0
Se evalúa el lı́mite cuando h tiende a cero.
2a − 8 (702)
Ya teniendo la ecuación se evalúa cuando el tiempo es 4
2(4) − 8 = 0 (703)
Por lo que cuando el tiempo es 4 la velocidad es cero.
nas. Sección 2.7 ejercicio 10 inciso a). Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Dada la expresión y = √1 en el punto donde x = a.

x
Respuesta. Para ello, se toma la siguiente formula
f (x + h) − f (x)
m = lı́m
h→0 h
Y sustituiremos los valores:
√ √
1/( x + h) − 1/( x)
m = lı́m
h→0 h
−1 −1
1(x + h) 2 − 1(x) 2
m = lı́m
h→0 h
Elevando al cuadrado la expresión:

(x + h)(x)
m = lı́m
h→0 h
Tomando los lı́mites de h como cero, nos queda:
(x + 0)(x)
m= = x2
0

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 14 b), Brandon Galicia Alvarez). Si se
lanza una roca verticalmente hacia arriba en el planeta Marte con una ve-
locidad de 10 m
s , su altura (en metros) después de t segundos está dada por
H = 10t − 1,86t2 . b)Halle la velocidad de la roca cuando t = a
Respuesta. Para encontrar la velocidad en algún tiempo a, se utilizará la
formula de la pendiente de la tangente, la cual es:
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
Entonces, siguiendo la fórmula anterior, realizaremos la sustitución de esta

para poder encontrar la velocidad instantánea en cualquier tiempo a, con lo
cual nos quedarı́a de la siguiente forma:
(10(a + h) − 1,86(a + h)2 ) − (10a − 1,86a2 )

v(a) = lı́m
h→0 h
10a + 10h − 1,86(a2 + 2ah + h2 ) − 10a + 1,86a2
= lı́m
h→0 h
(10h − 1,86(2ah) − 1,86h2 h(10 − 1,86(2a) − 1,86h)
= lı́m == lı́m
h→0 h h→0 h
= lı́m 10 − 1,86(2a) − 1,86h = 10 − 1,86(2a) (704)
h→0
Por lo que la velocidad de la roca para cuando t = a estará dada por la

ecuación de v(a) = 10 − 1,86(2a)
cicio 11 (a), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Demuestre que Galileo se equi-
vocó: si un cuerpo cae una distancia s(t) en t segundos, y s0 es proporcional
a s, entonces s no puede ser una función de la forma s(t) = ct2 .
164
Respuesta. Supongamos que la función s es de la forma s(t) = ct2 , es fácil

calcular s0 , simplemente nos queda s0 (t) = 2ct. Entonces, si s0 es proporcio-
nal a s, quiere decir que hay una constante k tal que:
s0 (t) = ks(t) (705)
Por lo tanto
t
2ct = kct2 =⇒ 2 = kt =⇒ k = (706)
2
Entonces podemos concluir que no existe ninguna constante k, ya que aquı́
claramente depende de t. Por lo tanto s no puede ser una función de la
forma s(t) = ct2 .
Sección 2.7 ejercicio 15. Cinthia Alejandra Olvera Bautista) El desplaza-
miento (en metros) de una partı́cula que se mueve en lı́nea recta está dado
por la ecuación de movimiento s = 1/t2 , donde t se mide en segundos. Halle
la velocidad de la partı́cula en los instantes t = a, t = 1, t = 2 y t = 3.
Respuesta. Para determinar la velocidad instantánea que es la que nos
pide el problema, tenemos que está definida por
s(t + h) − s(t)
v(t) = lı́m
h→0 h
Ası́ que primero obtenemos la fórmula para calcular la velocidad instantánea
y empezamos sustituyendo los valores en la ecuación anterior
1 1
(t+h)2
− t2
v(t) = lı́m
h→0 h
Ahora resolvemos las operaciones necesarias para poder simplificar
t2 −(t+h)2
t2 (t+h)2 t2 − (t + h)2
lı́m = lı́m
h→0 h h→0 (h)(t2 )(t + h)2
Si realizamos el binomio al cuadrado y simplificamos de la siguiente manera,

podemos simplificarla más
t2 − t2 − 2th − h2 ) −2th − h2
lı́m = lı́m
h→0 (h)(t2 )(t + h)2 h→0 h(t2 )(t + h)2
Ahora factorizamos h arriba en el numerador entonces podemos simplificarlo

de la siguiente manera
h(−2t − h) −2t − h
lı́m 2 2
= lı́m 2
h→0 h(t )(t + h) h→0 t (t + h)2
Y ahora efectuando el binomio al cuadrado del denominador, tenemos que
−2t − h −2t − h
lı́m = lı́m 4
h→0 t2 (t2
+ 2th + h ) h→0 t + 2t3 h + t2 h
2
Y ahora resolviendo el lı́mite tenemos que
−2t − h −2t − 0 −2t

lı́m = lı́m = 4
h→0 t4 + 2t3 h + t2 h h→0 t4 + 2t3 (0) + t2 (0) t
Ahora simplificamos la expresión que nos queda
−2t 2
4
=− 3
t t
Por lo que tenemos que la velocidad instantánea está dada por
2
v(t) = −
t3
Entonces procedemos a evaluar esta función en cada uno de los valores in-
dicados.
Para t = a
2
v(a) = − m/s
a3
Para t = 1
2
v(1) = − = −2m/s
(1)3
Para t = 2
2 2 1
v(2) = − = − = − m/s
(2)3 8 4
Para t = 3
2 2
v(3) = − = − m/s
(3)3 27

ción 2.7, ejercicio 39, Andrea Quiroz Garduño) Una partı́cula se desplaza a
lo largo de una lı́nea recta con ecuación de movimiento s=f(t), donde s se
mide en metros y t en segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t=5
f (t) = 100 + 50t − 4,9t2 (707)

166
Respuesta. Para resolverlo se debe obtener la velocidad instantánea, la cuál

se tiene la forma de:
f (a + h) − f (a)
v(a) = lı́m (708)
h→0 h
Adaptándola al ejercicio quedarı́a:
100 + 50(t + h) − 4,9(t + h)2 − (100 + 50t − 4,9t2 )
f (t) = lı́m (709)
h→0 h
Se debe desarrollar para obtener el resultado
100 + 50t + 50h − 4,9(t + h)2 − 100 − 50t + 4,9t2
f (t) = lı́m (710)
h→0 h
50h − 4,9t2 − 9,8th − 4,9h2 + 4,9t2
f (t) = lı́m (711)
h→0 h
50h − 9,8th − 4,9h2
f (t) = lı́m (712)
h→0 h
h(50 − 9,8t − 4,9h)
f (t) = lı́m (713)
h→0 h
f (t) = lı́m 50 − 9,8t − 4,9h (714)
h→0
50 − 9,8t − 4,9(0) = −9,8t + 50 (715)
Una vez con esta forma, se puede sustituir el valor del tiempo t por el dado
en el ejercicio:
m
− 9,8(5) + 50 = 1 (716)
s
Ejercicio. Calculo Diferencial Dennis G, Sección 4.10, Ejercicio 1, Jo-
nathan Segundo Arteaga
Encontar la derivada de la función dada
y = 10 log(x)
Respuesta. Primero empezamos obteniendo la derivada de ambos lados

d
y0 = (10 log(x)) (717)
dx
d d
Utilizando la regla de diferenciacion dx ((a)(f )) = (a)( dx (f )) obtenemos
d
y0 = (10)( (log(x)) (718)
dx
d
Usando dx (log(x)) = x1 , resolvemos la derivada
1
y = 0 = (10)( ) (719)
x
Calculamos y obtenemos el resultado es igual a:
10
y0 = (720)
x

tempranas. J. Stewart, 7ma edición Página 151 Ejercicio 40)
Una partı́cula se desplaza a lo largo de una lı́nea recta con ecuación de

movimiento s=f(t), donde s se mide en metros y t en segundos. Halle la
velocidad y la rapidez cuando t=5.
f (t) = t−1 − t (721)
Respuesta. Conocemos que la velocidad instantánea se define como la pen-

diente de la recta tangente, es decir el lı́mite cuando x → 0 de esta pendiente
por lo que el tiempo tiende a cero, es decir se acerca al punto 1.
Punto 1. x1 = 5, y1 = 5−1 − 5 = − 24
5
1
Punto 2. x2 = (5 + h), y2 = ( (5+h) − (5 + h))
Al sustituir en en lı́mite cuando x tiende a cero:

1 24
(5+h) −5−h+ 5
lı́m (722)
h→0 h
Haciendo operaciones:
1
5+h − 15 − h
(723)
h
5−(5+h)−h(5+h)(5)
(5+h)(5)
(724)
h
−26h−5h2
25+5h
(725)
h
−26h − 5h2 −26
lı́m = (726)
h→0 25 + 5h 25
168

Si una pelota se lanza al aire verticalmente hacia arriba, con una velocidad
de 40 pies/s, su altura (en pies) una vez que transcurren t segundos, está
dada por y = (40t)(16t2 ). Encuentre la velocidad cuando t = 2.
Respuesta. Tenemos una función y dada por x, en donde t es el tiempo y
va variando dependiente a qué instante nos referimos. Para ello, requerimos
su incremento.
4x = x2 − x1
Y supone un cambio correspondiente en y:
4y = f (x2 ) − f (x1 )
4y
Con ello, ya disponemos de una razón de cambio instantánea, dada por 4x :
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
Donde 4x tiende a cero. Este caso puede interpretarse como una pendiente
de una recta secante en dos puntos en el tiro vertical. aplicando la formula:
f (x + h) − f (x)
m = lı́m
h→0 h
Para finalmente dar un resultado de velocidad = 24 pies/s
Sección 2.7 ejercicio 14. inciso (a) Jesús Octavio Rangel Moreno ).Si se
lanza una roca verticalmente hacia arriba en el planeta Marte con una velo-
cidad de 10 mYs, su altura (en metros) después de t segundos está dada por
H = 10t − 1,86t2 . a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo.
Respuesta. Se determina la ecuación de la velocidad instantánea por medio
del lı́mite, donde se sustituye t por a y a + h:
f (a + h) − f (a)
lı́m (727)
h→0 h
(−1,86(a + h)2 − 10(a + h)) − (−1,86a2 + 10a
lı́m (728)
h→0 h
(−1,86a2 − 3,72ah − 1,86h2 + 10a + 10h) − (−1,86a2 + 10a)
Desarrollamoslaexpresión lı́m
h→0 h
(729)
Se reducen términos semejantes
−3,72ah − 1,86h2 + 10h

lı́m (730)
h→0 h
Factorizamos la h
(h)(−3,72a
− 1,86h + 10)
lı́m (731)
h→0 h

Se evalúa el lı́mite cuando h tiende a 0
− 3,72a + 10 (732)
Por último evaluamos cuando nuestro tiempo es igual a 1 segundo
− 3,72(1) + 10 = 6,28 (733)
Por lo tanto, en el primer segundo su velocidad es 6,28m/s

Sección 2.7 ejercicio 16 a. Gilberto Martinez Ordoñez) El desplazamiento
(en metros) de una partı́cula que se mueve en lı́nea recta esta dado por
s = t2 − 8t + 18 donde t se mide en segundos.
Encuentre la velocidad promedio en el tiempo: i) 3
Respuesta. tenemos que la velocidad promedio está dada por
desplazamiento
velocidadpromedio =
tiempo
lı́m = t2 − 8t + 18
t→3
por sustitución directa tenemos que
lı́m = 32 − 8(3) + 18
t→3
lı́m 9 − 24 + 18 = 3m
t→3
la velocidad promedio es de 1 m s
170

ción 2.7, ejercicio 12, inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Se mues-
tran las gráficas de las funciones posición de dos competidoras, A y B, quie-
nes compiten en los 100 m y terminan en empate. Describa y compare cómo
desarrollaron la carrera las competidoras.
Respuesta. La competidora A mantuvo una aceleración constante, su velo-
cidad siendo una lı́nea recta positiva. La competidora B, por otro lado, tuvo
una aceleración variada, en la que ganó velocidad poco a poco con hasta que
en el final el incremento fue mayor, por lo que su velocidad actúa como una
curva.
Sesión 8
2.7.4 Cómo encontrar la recta tangente a una curva en un punto
dado usando la derivada de la curva.
lo diferencial . Denis G. Sill Sección 4.2, ejercicio 22 ) encontrar la derivada
de la función dada. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica
de la función en el valor indicado de x.
1
f (x) = x3 + 2x − 4, x = 0
3
Respuesta. para obtener el valor de y hay que valuar la función en x
1
f (0) = (0)3 + 2(0) − 4
3
y = −4
el punto es (0, −4)
Ahora debemos derivar la función para obtener la pendiente
1
f 0 (x) = x3 + 2x − 4
3
f 0 (x) = x2 + 2
Evaluamos en x
f 0 (0) = (0)2 + 2
f 0 (0) = 2
La pendiente es igual a m = 2
sustituimos en la ecuación punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
y − (−4) = 2(x − 0)
y − (−4) = 2(x − 0)
y + 4 = 2x
y − 2x + 4 = 0
La gráfica corresponde a la tangente y a la función

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 19, Brandon Galicia Alvarez). Si la ecua-
ción de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto donde a = 2 es
y = 4x − 5, encuentre f (2) y f 0 (2).
172
Respuesta. Para encontrar f (2) solo basta con evaluar a la función (la
cual es la ecuación de la recta) en ese punto, por lo que tenemos:
f (x) = 4x − 5, f (2) = 4(2) − 5 = 8 − 5 = 3 (734)
Por lo que f (2) = 3. Ahora, para poder evaluar f 0 (2) es necesario derivar la
función original, la cual es y = 4x − 5. Teniendo en cuenta la definición de
la derivada, la cual se da en un número x = a es:
f (a + h) − f (a)
f 0 (a) = lı́m
h→0 h
Por lo que tendrı́amos que:
4(2 + h) − 5 − (4(2) − 5) 8 + 4h − 5 − 8 + 5)
f 0 (2) = lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
4h
= lı́m =4 (735)
h→0 h
Concluyendo que f 0 (2) = 4. Es muy interesante también notar que inde-
pendientemente en que número se valore a f 0 (a) de la función f (a) (que es
igual a decir que es la función f (x) que previamente se dio en el comienzo
del ejercicio), la derivada será siempre una constante, que en este caso es
4.
Sección 2.7 ejercicio 6. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Encuentre la
ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto
dado.
y = x3 − 3x + 1(2, 3) (736)
Respuesta. Sustituimos los puntos en la ecuación de la tangente, donde

x0 = 2 y y0 = 3:
y − y0 = m(x − x0 ) (737)
y − 3 = m(x − 2) (738)
Calculamos la pendiente de la recta como el lı́mite de la secante al punto.

f (x + h) − f (x)
m = lı́m (739)
h→0 h
((x + h)3 (x + h) + 1) − (x3 − 3x + 1)

m = lı́m (740)
h→0 h
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − 3x − 3h + 1 − x3 + 3x − 1)
m = lı́m (741)
h→0 h
Se reducen términos semejantes.
3x2 h + 3xh2 + h3 − 3h)

m = lı́m (742)
h→0 h
Se factoriza h en el numerador por término común y se cancela con la h del

denominador.
h(3x2 + 3xh + h2 − 3)
m = lı́m (743)
h→0 h
lı́m 3x2 + 3xh + h2 − 3 (744)

h→0
Se evalúa el lı́mite.
3x2 + 3x(0) + (0)2 − 3 = 3x2 − 3 (745)
Se evalúa a x con el valor del punto dado
3(2)2 − 3 = 9 (746)
Por lo que el valor m = 9, se sustituye en la ecuación y se simplifica:
y − 3 = 9(x − 2) (747)
y = 9x − 15 (748)
174

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y = x − x3 . En el
punto (0,1)
Respuesta. Tenemos que la fórmula de la recta tangente es:
y − y0 = m(x − x0 )
y − (1) = m(x − 0)
y − 1 = mx
y = mx + 1
Donde para m:
f (x + h) − f (x)
m = lı́m
h→0 h
(x0 + h) − (x0 + h)3 − (x0 − x30 )
m = lı́m
h→0 h
(x0 + h) − (x30 + 3x0 h2 + h3 + 3hx20 ) − (x0 − x30 )
m = lı́m
h→0 h
h(x0 − x30 − 3x0 − 3x20 ) − (x0 − x30 )
m = lı́m
h→0 h
(x0 + h) − (x30 + 3x0 h2 + h3 + 3hx20 ) − (x0 − x30 )
m = lı́m
h→0 h
h(x0 − x30 − 3x0 − 3x20 ) − (x0 − x30 )
m = lı́m
h→0 h
Evaluamos h en cero:
m = lı́m (x0 − x30 − 3x0 − 3x20 ) − (x0 − x30 )

h→0
m = 3x0 − 3x20
m para el punto (0,1)
m=1
Dada la recta de pendiente y = mx + 1 Donde mx = 0 tenemos demostrado
que, cuando x = 0, y toma el valor de 1. y = 1
Siendo nuestra recta tangente en el punto (0,1) y = x.
Ejercicio. (Matemáticas Cálculo Diferencial, Dennis G, sección 4.1, ejer-

cicio 1, Ignacio Ismael Flores Landaverde). En los problemas 1-6, trace la
gráfica de la función y la recta tangente en el punto dado. Encuentre la pen-
diente de la recta secante que pasa por los puntos que corresponden a los
valores indicados de x. f (x) = −x2 + 9, (2,5); x = 2, x = 2,5
Respuesta. Para conocer la recta tangente a la función que se nos propor-
ciona basta con conocer en un punto donde queremos que la tangente toque,
usando la derivada podemos saber la pendiente en este punto, por lo que si
calculamos la derivada nos queda:
−(x + h)2 + 9 − (−x2 + 9)

lı́m (749)
h→0 h
−x2 − 2xh − h2 + 9 + x2 − 9)
lı́m (750)
h→0 h
Si simplificamos sumando o restando y dividiendo entre h
−2xh − h2
lı́m = −2x (751)
h→0 h
Ahora que sabemos la derivada de la función podemos evaluarla en la coor-
denada x del punto que se nos da el cual es (2,5)
f 0 (2) = −2(2) = −4 (752)
Lo que quiere decir que la pendiente es igual a -4 sustituyendo en la ecuación

de la recta y − y1 = m(x − x1 )
y − 5 = −4(x − 2) (753)
y = −4x + 13 (754)
Ahora para sacar la tangente en los puntos usamos la definición de la pen-
diente de una secante, pero primero denotaremos los puntos que se nos dan
como x1 = (2, f (a)) y x2 = (2,5, f (b)). Como conocemos la función y sabe-
mos que y depende de x entonces si ponemos la coordenada x y evaluamos
en la función nos dara el valor de y, entonces primero con la pendiente de
la secante usamos que m = f (b)−f
b−a
(a)
donde a sera 2 y b 2.5.
f (a) = f (2) = −(2)2 + 9 = 5 (755)
f (b) = f (2,5) = −(2,5)2 + 9 = 2,75 (756)

176
Figura 24: La recta azul corresponde a la tangente y la roja a la secante
Ahora como conocemos los valores f(a) y f(b) podemos usar la definición de
pendiente
2,75 − 5 9
m= =− (757)
2,5 − 2 2

Sección 2.7 ejercicio 9 inciso a). Cinthia Alejandra Olvera Bautista) Deter-
mine la pendiente de la recta tangente a la curva y = 3 + 4x2 − 2x3 en el
punto donde x = a
Respuesta. Para encontrar la pendiente tenemos la siguiente fórmula
f (x + h) − f (x)
m = lı́m
h→0 h
Por lo que al remplazarla y usarla para poder encontrar la pendiente tenemos

que
3 + 4(x + h)2 − 2(x + h)3 − (3 + 4x2 − 2x3 )
m = lı́m
h→0 h
Empezamos resolviendo los binomios elevados
3 + 4(x2 + 2xh + h2 ) − 2(x3 + 3x2 h + 3h2 x + h3 ) − 3 − 4x2 + 2x3

lı́m
h→0 h
Ahora efectuando las sumas y multiplicaciones tenemos que
3 + 4x2 + 8xh + 4h2 − 2x3 − 6x2 h − 6xh2 − 2h3 − 3 − 4x2 + 2x3

lı́m
h→0 h
Ahora al sumar y restar tenemos que
8xh + 4h2 − 6x2 h − 6xh2 − 2h3

lı́m
h→0 h
Factorizamos h en el numerador y tenemos
h(8x + 4h − 6x2 − 6xh − 3h2 )

lı́m
h→0 h
Lo que nos reduce a una función de
lı́m (8x + 4h − 6x2 − 6xh − 3h2 )

h→0
Resolviendo el lı́mite tenemos que
lı́m (8x + 4(0) − 6x2 (0) − 3(0)2 ) = 8x − 6x2

h→0
Entonces para determinar la pendiente en el punto a reemplazamos la x en

a de la siguiente manera
m = 8(a) − 6(a)2 = 8a − 6a2
Entonces la pendiente de la recta tangente a la curva y = 3 + 4x2 − 2x3 en

el punto a es m = 8a − 6a2
Ejercicio. (Matemáticas Calculo Diferencial Dennis G sección 4.3, ejerci-
cio 21, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Encuentre una ecuación de la recta
tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado de x.
y = 2x3 − 1; x = −1
Respuesta. Primero calculemos la derivada de y, para ası́ saber el valor de
la pendiente de la recta tangente.
y 0 = 6x2 (758)
Entonces, cuando x = −1, la pendiente serı́a:
m = 6(−1)2 = 6 (759)
178
Ya tenemos la pendiente, ahora calculemos el valor de y cuando x = −1:
y = 2(−1)3 − 1 = −2 − 1 = −3 (760)
Ahora calculamos la ecuación de la recta tangente de la siguiente manera:
y+3
= 6 =⇒ y + 3 = 6x + 6 (761)
x+1
Entonces la escuación de la recta tangente serı́a:
y = 6x + 3 (762)
Ejercicio. (Matemáticas 1 Cálculo diferencial, D, Zill y W. Wright, Sección

4.1, ejercicio 7, Andrea Quiroz Garduño) En los problemas 7-18, use (2) para
encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el
valor dado de x. Encuentre una ecuación de la recta tangente en el punto
correspondiente
f (x) = x2 − 6; x = 3 (763)

punto, conociendo el valor de x solo se necesita conocer y:
f (x) = (3)2 − 6 = 3 (764)

la forma:
y − f (x1 ) = m(x − x1 ) (765)
obtenerse a partir de la derivada de la función en el punto x1
f 0 (x) = 2x (766)
f 0 (x1 ) = 2(3) = 6 (767)

y − 3 = 6(x − 3) (768)
y = 6x − 15 (769)
Ejercicio. Calculo Diferencial Dennis G, Seccion 4.10 Ejercicio 3, Jo-

nathan Segundo Arteaga
Encontrar la derivada de la función dada
1
y = log(x 2 )
Respuesta. Obtenemos la derivada de ambos lados

d 1
y0 = (log(x 2 )) (770)
dx
1
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = x 2 ,
quite la derivada
d d 1
y0 = (log(g)) ∗ (x 2 ) (771)
dg dx
Ahora calculamos la derivada
1 1 1
y0 = ∗ x2 (772)
g 2
1
Devolvemos la sustitucion de g = x 2 quedaria como:
1 1 1
y0 = ( )( x− 2 )
1 (773)
x 2 2
Se simplifica la expresion y se obtiene el resultado el cual es igual a:

1
y0 = (774)
2x

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 23, Jesús Octavio Rangel Moreno ). Si
f (x) = 3x2 − x3 , encuentre f 0 (1) y utilı́cela para encontrar la ecuación de la
recta tangente a la curva y = 3x2 − x3 en el punto (1, 2).
Respuesta. Para encontrar f 0 (1) se usa el lı́mite de la función
f (a + h) − f (a)
m = lı́m (775)
h→0 h
(3(a + h)2 − (a + h)3 ) − (3a2 − a3 )
lı́m
h→0 h
(776)
180
Desarrollamos
3a2 + 6ah + 3h2 − a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 − 3a2 + a3
lı́m (777)
h→0 h
Simplificamos
6ah + 3h2 + 3a2 h + 3ah2 + h3
lı́m (778)
h→0 h
Factorizamos h
h(6a + 3h + 3a2 + 3ah + h2 )

lı́m (779)
h→0 h

Evaluamos el lı́mite cuando h tiende a 0
6a + 3a2 = 9 (780)
y − 2 = 9(x − 1) (781)
y=9x-7
Sección 2.7, ejercicio 20, Gilberto Martinez Ordoñez)
si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa a través del punto (0, 2), halle
f (4) y f´(4)
Respuesta. dado que se nos da el punto en que la recta tangente intersecta
a la curva, ası́ como otro punto por donde pasa, podemos obtener la ecuación
a través de su pendiente
y − y0 = m(x − x0 )
primero obtenemos su pendiente

y2 − y1
m=
x2 − x1
3−2 1
m= =
4−0 4
ahora sustituyendo en la formula de la recta tangente obtenemos que
1
y − 3 = (x − 4)
4
x
y= +2
4
ahora para f(4), evaluamos
x
+2 lı́m
x→4 4
4
lı́m + 2 = 3 (782)
x→4 4
ahora para f´(4) debemos de deribar la funcion de la recta tangente con
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
x+h
4 − x4 + 4
lı́m
h→0 h
multiplicando’ por 4 obtenemos
x + h − x + 16
lı́m
h→0 4h
h + 16
4h

tempranas. J. Stewart, 7ma edición Página Ejercicio 27)
Encontrar la recta tangente a la parábola
f (x) = 3x2 − 4x + 1 (783)

En el punto (0, 1)
Respuesta. Punto 1. x1 = 0 y1 = 1
Punto 2. x2 = 0 + h y2 = 3(x + h)2 − 4(x + h) + 1
Tenemos que encontrar la pendiente primero y eso se hace con el lı́mite,

cuando tiende a cero.
3(x + h)2 − 4(x + h) + 1 − 1
m = lı́m (784)
h→0 h
Al sustituir las x:
3(h)2 − 4(h)
m = lı́m (785)
h→0 h
182
Para evitar la división entre cero, factorizamos el denominador y eliminamos

una h de arriba y ua de abajo por lo que:
m = lı́m 3h − 4 (786)
h→0
Al resolver el lı́mite por sustitución directa:

m = 3(0) − 4 = −4 (787)
Para obtener la recta solo sustituimos el punto en la ecuación general de la
recta con la pendiente:
y − (1) = −4(x − 0) (788)
Al resolver tenemos que la ecuación de la recta tangente que pasa por el
punto (0,1) es:
y = −4x + 1 (789)
Ejercicio. Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas, Stewart, sec-

ción 2.7, ejercicio 9, inciso (b), Aránzazu Norma Celedón Pinto.Determine
las ecuaciones de las rectas tangentes a los puntos (1, 5) y (2, 3).
y = 3 + 4x2 − 2x3 (790)
Respuesta. Primero se obtiene la derivada de la función:

y 0 = −6x2 + 8x (791)
Luego, para encontrar la pendiente se evalúa en los puntos, se va a comenzar
con el punto (1, 5):
m = −6(1)2 + 8(1) = 2 (792)
Se sustituye en la fórmula de la recta punto-pendiente:
y − 5 = 2(x − 1) (793)
y = 2x + 3 (794)
Esa el la ecuación de la tangente en el punto (1, 5). Se repite el proceso pero
ahora para el punto (2, 3):
m = −6(22 ) + 8(2) = −8 (795)
y − 3 = −8(x − 2) (796)
y = −8x + 19 (797)
Esta el la ecuación de la tangente en el punto (2, 3).
2.7.5 Razones de cambio, razón de cambio promedio. La derivada

como una razón de cambio instantáneo.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Cálculo de una variable: Tras-
cendentes tempranas. J. Stewart, 7ma edición Sección 2.7, ejercicio 48 )
El número de bacterias después de t horas en un experimento controlado
de laboratorio es n = f (t). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f 0 (5)?
¿Cuáles son sus unidades?
Respuesta. No sabemos el valor de la función pero estamos conscientes
que el numero de bacterias sera proporcional al tiempo transcurrido, signi-
fica que entre más pasa el tiempo mayor será el número de bacterias en el
experimento.
La derivada de una función matemática es la razón o velocidad de cambio
de una función en un determinado punto. Es decir, qué tan rápido se está
produciendo una variación. Desde una perspectiva geométrica, la derivada
de una función es la pendiente de la recta tangente al punto donde se ubi-
ca x. por lo que la derivada evaluada en 5 (horas) sera una aproximación
de la cantidad de bacterias que habrá transcurrido ese tiempo. las unidades
podrı́an ser Bacterias
h

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 44 b), Brandon Galicia Alvarez). En la
tabla se proporciona el número N de establecimientos de una popular cadena
de cafeterı́as. (Se dan los números de establecimientos al 1 de octubre.)
Año 2004 2005 2006 2007 2008

N 8569 10241 12440 15011 16680
Cuadro 1: Tabla ejercicio 44
b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 considerando dos

razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades?
Respuesta. Si tenemos que en consideración que la fórmula para encontrar
la razón de cambio promedio es:
4y f (x2 ) − f (x1 )
=
4x x2 − x1
y la razón de cambio instantánea es:
4y f (x2 ) − f (x1 )
lı́m = lı́m
4x→0 4x x2 →x1 x2 − x1
184
Podemos elaborar utilizar una tabla con razones de cambio promedio entre
dos años que estén cercanos al año en el que queremos conocer su razón de
cambio, siendo esto como la notación de f 0 (N ) = lı́m f (NN22)−f (2006)
−2006 :
N →2006
f (2005) − f (2006)
f 0 (N ) = lı́m = 2199 (798)
N →2006 2005 − 2006
f (2007) − f (2006)
f 0 (N ) = lı́m = 2571 (799)
N →2006 2007 − 2006
Por lo que ahora podemos sacar la razón de instantánea en 2006 al promediar
estás dos razones obtenidas, teniendo que:
2571 + 2199
f 0 (2006) = = 2385 (800)
2
Por lo que se durante ese año se dio un crecimiento de 186 establecimientos
de la popular cadena de cafeterı́a al 1 de octubre, teniendo las unidades de
establecimientos creados sobre año.
Sección 2.7 ejercicio 43 inciso b. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). La
tabla muestra el número N de usuarios de telefonı́a celularen EU. (Se pro-
porcionan estimaciones semestrales.)
t 1996 1998 2000 2002 2004 2006

N 44 69 109 141 182 233
b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 tomando dos razones

de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades?
Respuesta. Tenemos que la razón de cambio promedio está dada por la
fórmula:
∆x f (x2 ) − f (x1 )
= (801)
∆y x2 − x1
Y la razón de cambio instantánea se calcula como:
∆x f (x2 ) − f (x1 )
lı́m = lı́m (802)
∆x→0 ∆y x2 →x1 x2 − x1
La razón de cambio instantánea del año 2002 esta dada por la expresión:
N (t2 ) − N (2002)
N (t) = lı́m (803)
N →2002 t2 − 2002
Los dos años cercanos a 2002 son 2000 y 2004, por lo que evalúandolos en
la fórmula serı́a:
N (2000) − N (2002)
N (t) = lı́m (804)
N →2002 2000 − 2002
109 − 141
N (t) = lı́m = 16 (805)
N →2002 2000 − 2002
N (2004) − N (2002)
N (t) = lı́m (806)
N →2002 2004 − 2002
182 − 141
N (t) = lı́m = 20,5 (807)
N →2002 2004 − 2002
Para sacar la razón de crecimiento instantáneo promediamos las razones

obtenidas.
16 + 20,5
N (t) = = 18,25 (808)
2
Esto significa que durante el año 2002 hubo un aproximado de 18 usuarios
de la telefonı́a semestralmente.
ción 2.7, ejercicio 48, Ignacio Ismael Flores Landaverde).El número de bac-
terias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es
n = f (t). a)¿Cuál es el significado de la derivada f 0 (5)? ¿Cuáles son sus
unidades? b)Considere que existe una cantidad de espacio y nutrientes pa-
ra la bacteria. Qué cree usted: ¿Es mayor f 0 (5) o f 0 (10)? Si se limita el
suministro de nutrientes, ¿afectarı́a su conclusión? Explique.
Respuesta. Para saber el significado de la derivada a los 5 segundos es
necesario tener una definición de lo que es una razón de cambio, dando una
definición se puede decir que si se tiene una función y = f (x) esta depende
del cambio que tenga otra variable como bien puede ser x, entonces la razon
186
∆y
de cambio se da por la derivada de ∆x es decir la derivada de y con respecto
a x.
Para el inciso a) supongamos n el numeró de bacterias y t como el tiempo
en que se forman bacterias, entonces estamos diciendo o condicionando que
el incremento de bacterias depende del tiempo t, entonces podemos decir
que la derivada como razón de cambio es ∆n ∆t entonces podemos decir que
la derivada f 0 (5) es el tiempo en que las bacterias aumentan en cuanto a
organismos, de otra forma de la derivada de n con respecto a t cuando t = 5s
Para b) Podemos decir que las bacterias aumenta conforme al tiempo o con
respecto a este entonces si aumentan las bacterias respecto 5s aumentan aun
más en 10s, pienso que no afectarı́a el disminuir nutrientes ya que seguirı́an
en aumento
7ma edición Sección 2.7, ejercicio 49, Cinthia Alejandra Olvera Bautista)Sea
T (t) la temperatura (en F) en Phoenix t horas después de la medianoche
del 10 de septiembre de 2008. La tabla muestra los valores de esta función
registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado de T 0 (8)? Estime su valor.
t 0 2 4 6 8 10 12 14
T 82 75 74 75 84 90 93 94
Respuesta. Para sacar la razón de cambio instantánea que es la que nos

piden, está definida por la siguiente fórmula
∆x f (x2 ) − f (x1 )
=
∆y x2 − x1
Para este ejemplo tomamos a x1 = 8 y x2 cambiará a los valores de x2 = 6

y x2 = 10, entonces podemos expresar la razón de cambio instantánea en
T 0 (8) como
f (x2 ) − f (8)
lı́m
x2 →8 x2 − 8
Y para poder estimar T 0 (8) cambiamos x2 por los valorea antes mencionados,
entonces para x2 = 6 tenemos que
f (6) − f (8) 75 − 84
lı́m = = 4,5
x2 →6 6−8 6−8
Y para x2 = 10 tenemos que

f (10) − f (8) 90 − 84
lı́m = =3
x2 →10 10 − 8 10 − 8
Ahora tenemos que sacar el promedio de estos dos resultados, entonces lo
efectuamos de la siguiente manera
4,5 + 3
= 3,75
2
Por lo que como respuesta tenemos que T 0 (8) representa la razón de cambio
8 horas después de media noche, y esta razón de cambio es de 3,75F/h.
55, Omar Fabian Izquierdo Pérez). El volumen V de una esfera de radio r
es V = 43 πr3 . Encuentre el área superficial S de la esfera si S es la razón de
cambio instantánea del volumen con respecto al radio.
Respuesta. Si S es la razón de cambio instantánea entonces podemos ex-
presarla a través de la siguiente ecuación:
4
V1 − V πr3 − 4 πr3
S = lı́m = lı́m 3 1 3 (809)
r1 →r r1 − r r1 →r r1 − r
Que equivale a
4 3 4
3 π(r1− r3 ) π(r1 − r)(r12 + r1 r + r2 )
S = lı́m = lı́m 3 (810)
r1 →r r1 − r r1 →r r1 − r
4 4
S = lı́m π(r12 + r1 r + r2 ) = π3r2 = 4πr2 (811)
r1 →r 3 3
Entonces el área superficial S es igual a 4πr2
correspondiente
f (x) = −3x2 + 10; x = −1 (812)

f (x) = −3(−1)2 + 10 = 7 (813)

188

la forma:
y − f (x1 ) = m(x − x1 ) (814)

f 0 (x) = −6x (815)
f 0 (x1 ) = −6(−1) = 6 (816)
y − 7 = 6(x + 1) (817)
y = 6x + 13 (818)
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Sección 4.10 Ejercicio 7, Jo-

y = x2 log(x3 )
d 2
y0 = (x ∗ log(x3 )) (819)
dx
d d d
Utilizando la regla de diferenciación dx (f ∗g) = dx (f )∗g+f ∗ dx (g) obtenemos
que:
d 2 d
y0 = (x ) ∗ log(x3 ) + x2 ∗ (log(x3 )) (820)
dx dx
Calculamos la derivada de lo anterior lo cual nos queda como
1
y0 = 2x ∗ log(x3 ) + x2 ∗ ∗ 3x2 (821)
x3
simplificamos y obtenemos el resultado de lo anterior seria:
y0 = 2x ∗ log(x3 ) + 3x (822)

Una partı́cula empieza moviéndose a la derecha a lo largo de una recta ho-

rizontal; la gráfica de su función posición se muestra enseguida.
¿Cuándo se mueve la partı́cula a la derecha?
¿Cuándo a la izquierda?
¿Cuándo permanece inmóvil?
Figura 25: Posición de una partı́cula
Respuesta. ¿Cuándo se mueve la partı́cula a la derecha? Se inter-

preta la gráfica respecto a su posición en dónde; se interpreta el incremento
en y como un movimiento hacia la derecha y un decrecimiento como hacia
la izquierda.
4y|y + = desplazamientoderecha
4y|y − = desplazamientoizquierda
Por lo que, empezó su recorrido hacia la derecha, y para el segundo retomó
una trayectoria ascendente. Por lo que estuvo hacia la derecha en un intérva-
lo respecto a x ∈ (0, 6) 6= [1, 4]
¿Cuándo a la izquierda? Estuvo hacia la izquierda en un intérvalo res-
pecto a x ∈ (2, 3)
¿Cuándo permanece inmóvil? Estuvo sin trayectoria ascendente ni des-
cendente en x∈[1,2] y [3,4]
190
El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artı́culo es C(x) =

5000 + 10x + 0,05x2
Encuentre la razón de cambio promedio de C respecto a x,cuando cambia el
nivel de producción:
a) De x = 100 a x = 105
Respuesta. Para obtener la razón de cambio promedio tenemos de consi-
derar la siguiente fórmula:
∆y f (x2 ) − f (x1 )
= (823)
∆x x2 − x1
Conocemos que x2 = 105, x1 = 100 y para determinar f (x2 ) y f (x1 haremos
lo siguiente:
f (x1 ) = 5000 + 10(100) + 0,05(100)2 = 6500 (824)
f (x2 ) = 5000 + 10(105) + 0,05(105)2 = 6601,25 (825)

Simplemente al sustituir obtendremos que:
∆y 6601,25 − 6500
= = 20,25 (826)
∆x 105 − 100
Razón de cambio promedio es de 20.25 dólares.
7ma edición Sección 2.7, ejercicio 27), Jesús Octavio Rangel Morenoo). En-
cuentre f 0 (a) en cada una de las siguientes funciones.
f (x) = 3x2 − 4x + 1 (827)
Respuesta. Para hacer esta derivada bajamos el exponente y le restamos 1
(2)3x2−1 − 4x1−1 = 6x − 4 (828)
entoences f 0 (a) de la función f (x) = 3x2 − 4x + 1 es 6a − 4

Ejercicio. (Calculo Diferencial Deniss G sección 5.6 Ejercicio 1, Gilberto
Martinez Ordoñez) Un cubo se expande con el tiempo. ¿Cómo está relacio-
nada la razón a la cual crece el volumen con la razón a la que aumenta la
arista?
Respuesta. recordemos que la fórmula del volumen de un cubo involucra

el tamaño de sus aristas en las 3 dimensiones, ası́ que a medida que estas
varı́en en su medida, involucrará una variación de su volumen
arista volumen
1 1
2 8
3 27
4 64
podemos decir que la razón de cambio de el volumen respecto a las aristas
es de volumen=(aristas)3
sección 2.7, ejercicio 45, inciso (a)(ii), Aránzazu Norma Celedón Pinto.).
El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artı́culo es C(x) =
5000 + 10x + 0,05x2 . Encuentre la razón de cambio promedio de C respecto
a x, cuando cambia el nivel de producción de x = 100 a x = 101.
Respuesta. Se utiliza la fórmula de la razón de cambio y se sustituye con
los valores de x:
f (x2 ) − f (x1 )
lı́m x2 → x1 (829)
x2 − x1
5000 + 10(101) + 0,05(1012 ) − 5000 + 10(100) + 0,05(1002 )
lı́m x2 → x1
101 − 100
(830)
20,05
lı́m x2 → x1 (831)
1
lı́m x2 → x1 = 20,05 (832)
2.8.0 La derivada como función, su gráfica, comparación con la

función original y operador derivada.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, ; regla de la cadena,Matemáti-
cas 1 Calculo diferencial, Dennis G. zill, sección 4.6 ejercicio 39)
encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada
en el valor indicado de x.
y = (x2 + 2)3 , x = −1
Respuesta. a falta de el segundo valor del punto debemos sustituir el valor

de x en la función para obtener el valor de y y ası́ tener un punto de la
pendiente
f (x) = (x2 + 2)3
192
f (−1) = (x2 + 2)3

f (−1) = (−12 + 2)3
f (−1) = (1 + 2)3
f (−1) = (3)3
f (−1) = 27
nos queda como
(−1, 27)
obtenemos la derivada de la función para poder evaluarla en x = −1 y ası́

obtener la pendiente de la ecuación
para derivar la función tendremos que hacer uso de la regla de la cadena,
primero derivamos f(x)
f (x) = (x2 + 2)3
f (x) = 3(x2 + 2)2
ahora obtenemos la derivada de g(x)
g(x) = x2 + 2
g(x) = 2x
aplicamos la regla de la cadena y sustituimos
3(x2 + 2)2 (2x)
desarrollamos las ecuaciones y obtenemos
f 0 (x) = 6x5 + 24x3 + 24x
evaluamos con x para obtener el valor la pendiente
f 0 (−1) = 6x5 + 24x3 + 24x
f 0 (−1) = 6(−1)5 + 24(−1)3 + 24(−1)

f 0 (−1) = −6 − 24 − 24(
f 0 (−1) = −54
sustituimos en la formula de punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
y − 27 = (−54)(x − (−1))
y − 27 = (−54)(x + 1))
y − 27 = −54x − 54
y + 54x + 54 − 27 = 0
y + 54x + 27 = 0
Graficamos
Figura 26: Gráficas de la función original y la tangente de esta misma

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 31, Brandon Galicia Alvarez). Encuentre
194
f 0 (a) en cada una de las siguientes funciones.
√
f (x) 1 − 2x
Respuesta. Teniendo en cuenta la definición de la derivada, la cual es:
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0 h
Y sabiendo que se quiere encontrar cualquier número a en el que exista la

derivada, se tiene que:
p √
0 1 − 2(a + h) − 1 − 2a
f (a) = lı́m
h→0 h
Por lo que podemos racionalizar el lı́mite por medio de una diferencia de

cuadrados
p √ √ √
1 − 2a − 2h) − 1 − 2a 1 − 2a − 2h + 1 − 2a
= lı́m ·√ √
h→0 h 1 − 2a − 2h + 1 − 2a
Desarrollándola tenemos que:
1 − 2a − 2h − 1 + 2a −2h
= lı́m √ √ = lı́m √ √
h→0 h( 1 − 2a + h + 1 − 2a) h→0 h( 1 − 2a + h + 1 − 2a)
Y luego simplificando y evaluando las expresiones obtenidas en el lı́mite dado

se obtiene que la derivada es:
−2 −2 −1
= lı́m √ √ = √ =√ (833)
h→0 1 − 2a + h + 1 − 2a 2 1 − 2a 1 − 2a
Y las podemos representar, tanto a la función (color amarillo) como a la

derivada (color azul), en una gráfica como la de la figura 27.
Figura 27: Gráficas de la función original y la derivada de esta misma

Sección 2.8 ejercicio 33. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). a) Si f (x) =
x4 + 2x, encuentre f ’(x). b) Vea si su respuesta al inciso a) es razonable
comparando las gráficas de f y de f´.
Respuesta. a) Para determinar la función derivada utilizamos la definición

de derivada como función:
f (x + h) − f (x)
lı́m (834)
h→0 h
Sustituimos en la fórmula la función de x.
(x + h)4 − 2(x + h) − x4 + 2x
lı́m (835)
h→0 h
Desarrollamos las expresiones y se reducen los términos semejantes.

196
x4 + 4x3 h + 6x2 h2 + 4xh3 + 4h4 − 2x + 2h − x4 + 2x

lı́m (836)
h→0 h
4x3 h + 6x2 h2 + 4xh3 + 4h4 + 2h

lı́m (837)
h→0 h
Se factoriza por término común a la h en el numerador y se hace 1 con la h

del denominador.
h(4x3 + 6x2 h + 4xh2 + 4h3 + 2)

lı́m (838)
h→0 h
lı́m 4x3 + 6x2 h + 4xh2 + 4h3 + 2 (839)

h→0
Evaluar el lı́mite cuando h tiende a cero.
4x3 + 6x2 (0) + 4x(0)2 + 4(0)3 + 2 (840)
f 0 (x) = 4x3 + 2 (841)
b) Se grafican con la aplicación de GeoGebra las funciones.

Como se puede ver, la función derivada tiene sus raı́ces en los máximos y
mı́nimos de la función original, además de se creciente y decreciente cuan-
do la función original lo es, por lo tanto la función derivada obtenida es
razonable.
ción 2.7, ejercicio 28, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Encuentra f 0 a)
en cada una de las funciones f (x) = 2t3 + t
Respuesta. Para calcular la derivada recordemos la definición de derivada
la cual es un limite cunado este limite tiene a cero. lı́m f (x+h)−f
h
(x)
aplicando
h→0
esto a nuestra función.
2(t + h)3 + t − 2t3 − t

f 0 (t) = lı́m (842)
h→0 h
Figura 28: Gráfica de función original y función derivada
Si hacemos el binomio al cubo y lo multiplicamos por dos nos queda:

2t3 + 6ht2 + 6h2 t + 2h3 + t − 2t3 − t
f 0 (t) = lı́m (843)
h→0 h
Si simplificamos la suma y la division entre h nos queda
f 0 (t) = lı́m 6t2 + 6ht + 2h3 + 1 (844)
h→0
Ahora si evaluamos h en 0 nos queda que la derivada es

f 0 (t) = 62 + 1 (845)

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 27, Cinthia Alejandra Olvera Bautis-
ta).Encuentre f 0 (a) en cada una de las siguientes funciones
f (x) = 3x2 − 4x + 1
Respuesta. Para encontrar lo que nos piden, primero vemos que es una
derivada, y las derivadas se pueden definir como
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0 h
198
Por lo que procedemos a remplazar las partes de la ecuación de acuerdo a

la función que se dió al principio del problema
(3(x + h)2 − 4(x + h) + 1) − (3x3 − 4x + 1)
lı́m
h→0 h
Desarrollando el binomio al cuadrado tenemos que
(3(x2 + 2hx + h2 ) − 4(x + h) + 1) − (3x2 − 4x + 1)
lı́m
h→0 h
Ahora multiplicando tenemos que
3x2 + 6hx + 3h2 − 4x − 4h + 1 − 3x2 + 4x − 1
lı́m
h→0 h
Si realizamos las sumas y restas tenemos que
6hx + 3h2 − 4h
lı́m
h→0 h
Podemos factorizar de la siguiente manera a h
h(6x + 3h − 4)
lı́m
h→0 h
Entonces nos queda que
lı́m (6x + 3h − 4) = 6x − 4
h→0
Por lo que tenemos que f 0 (a) = 6x − 4
nas. Sección 2.8 ejercicio 3 inciso b). Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Con las gráficas de sus derivadas en las figuras I a IV. Dé las razones para
sus selecciones. Inciso b:
Figura 29: Grafica b

Figura 30: Grafico IV
Respuesta. Para este gráfico considero le corresponde al grafico IV: Se tra-

ta de una función discontinua, en donde sus derivadas en valles y crestas
son inexistentes, pues, no existe limite alguno y por ende, no hay una deri-
vada en esos puntos. es por ello que también posee una pendiente m = 0 en
intervalos que van en sus puntos más altos y bajos, se encuentra acotada y
posee dos ası́ntotas horizontales.
9, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Encuentre f 0 (x). Simplifique.
f (x) = 15 x5 − 3x4 + 9x2 + 1
Respuesta. Para encontrar la derivada tendremos que derivar cada término,
es decir:
d 1 5 d 4 d 2 d
f 0 (x) = x − 3x + 9x + 1 (846)
dx 5 dx dx dx
Resolviendo nos queda que:
f 0 (x) = x4 − 12x3 + 18x (847)
Que es el resultado final.

Siguele echando ganas, si se puede;) xd
correspondiente
f (x) = x2 − 3x; x = 1 (848)
200

f (x) = (1)2 − 3(1) = −2 (849)

la forma:
y − f (x1 ) = m(x − x1 ) (850)
f 0 (x) = 2x − 3 (851)
f 0 (x1 ) = 2(1) − 3 = −1 (852)

y + 2 = −1(x − 1) (853)
y = −x − 1 (854)

log(x)
y=
x

d log(x)
y0 = ( ) (855)
dx x
d d
d f (f )∗g−f ∗ dx (g)
Utilizando la regla de la diferenciación dx ( g ) = dx g2
obtenemos
que:
d d
(log(x)) ∗ x − log(x) ∗ dx (x)
y0 = dx (856)
x
Procedemos a calcular la derivada
1
x ∗ x − log(x) ∗ 1
y0 = (857)
x2
Por ultimo simplificamos la expresión anterior y nos da como resultado
1 − log(x)
y0 = (858)
x2

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 28), Jesús Octavio Rangel Moreno). En-
f (t) = 2t3 + t (859)
Respuesta. Bajamos el exponente y le restamos 1 al mismo para encontrar

f 0 (a)
f 0 (a) = (3)2t3−1 + 1t1−1 = 6x2 + 1 (860)
Fraficamos la función original y su derivada
Figura 31: f (t) = 2t3 + t y f 0 (t) = 6x2 + 1

Sección 2.7, ejercicio 30, Gilberto Martinez Ordoñez).Encuentre f(a) en cada
una de las siguientes funciones f (x) = x−1
Respuesta. primero debemos derivar la función mediante
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
evaluamos en nuestra ecuación
(x + h)−1 − (x)−1
lı́m
h→0 h
1 1
x+h− x
lı́m
h→0 h
202
x−x−h)
x(x+h)
lı́m
h→0 h
−h
x(x+h)
lı́m
h→0 h
por lo tanto f´(x)
1
−
x2
Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la

definición de derivada. Establezca los dominios de la función y de su deri-
vada.
f (x) = x2 − 2x3 (861)

Utilizando la fórmula de la derivada vamos a obtener lo siguiente:
(x + h)2 − 2(x + h)3 − x2 + 2x3
lı́m (862)
h→0 h
Haciendo las operaciones del binomio al cubo y al cadrado tenemos lo si-
guiente:
x2 + 2hx + h2 − 2x3 − 6hx2 − 6h2 x − 2h3 − x2 + 2x3
lı́m (863)
h→0 h
Al reducir términos y factorizar tenemos:
h(2x + h − 2h2 − 6x2 − 6hx)
lı́m (864)
h→0 h
Eliminamos la h del denominador con una del numerador:
lı́m 2x + h − 2h2 − 6x2 − 6hx (865)

h→0
Hacemos la sustitución directa de lı́mite y obtenemos que es:
f 0 (x) = 2x − 6x2 (866)

El dominio de la derivada son todos los números reales ya que es un polino-
mio.
Ejercicio (Cálculo diferencial-Dennis G., sección 4.2, ejercicio 7, Aránzazu

Norma Celedón Pinto.). En los problemas 1-20, use (2) de la definición
4.2.1 para encontrar la derivada de la función dada:
f (x) = −x2 + 4x + 1 (867)
Respuesta. Se deriva f(x) de la siguiente manera:
f 0 (x) = −2x + 4 (868)
2.8.1 Funciones continuas no diferenciables, derivada, diferencia-

bilidad, función diferenciable.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, ; IMPLICIT DIFFERENTIA-
TION; RATIONAL POWERS, saturnino L. Salas, sección 3.7 ejercicio 53)
evalúa los siguientes limites según la definición de derivada
(1 + h)2 − 2(1 + h) + 1
lı́m
h→0 h
Respuesta. desarrollamos la ecuación antes de evaluarla
(1 + h)2 − 2(1 + h) + 1
lı́m
h→0 h
1 + 2h + h2 − 2 − 2h + 1
lı́m
h→0 h
h2
lı́m
h→0 h
aplicas leyes de los exponentes
lı́m h
h→0
evalúas
lı́m (0)
h→0

7ma edición Sección 2.8, ejercicio 52 a), Brandon Galicia Alvarez). a) Si
2
g(x) = x 3 , demuestre que g 0 (0) no existe.
204
Respuesta. Utilizando la definición de derivada, la cual es:
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0 h
Evaluamos la función g(x) en g(0), teniendo que:

2 2 p √
3
0 (0 + h) 3 − 0 3 3
(0 + h)2 − 02
g (0) = lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
Desarrollando el binomio al cuadrado tenemos (aunque no es tan necesa-

rio realizar este proceso, ya que cualquier número multiplicado por 0 da 0,
mientras que cualquier número sumado con 0 da el mismo número) que:
p √
3
√
3 2
3
(02 + 2(0)(h) + h2 − 02 h2 h3 2 −3
= lı́m = lı́m = lı́m = lı́m h 3 · h 3
h→0 h h→0 h h→0 h h→0
Siendo que podemos interpretar una potencia fraccionaria como una raı́z,
siendo el numerador la potencia a la que se eleva la expresión y el denomi-
nador la potencia de la raı́z, el lı́mite es:
−1 1 1
= lı́m h 3 = lı́m = lı́m √
1 3
= no existe (869)
h→0 h→0 h 3h→0 h
Con lo que podemos ver que la derivada de g 0 (0) no existe, ya que se inde-
termina al dividir entre 0.
Sección 2.8 ejercicio 55 incisos a y b Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).
a) Dibuje la gráfica de la función f (x) = x|x|. b) ¿Para qué valores de x es
f derivable?
Respuesta. a) Usamos el programa de Geogebra para poder graficar la fun-
ción establecida.
b) Para cuando x|x| tiende:
 −x si x ∈ R−

(x) = 0 si x = 0 (870)
x si x ∈ R+

Cuando x = 0 tenemos que su lı́mite es

Figura 32: Gráfica de la función f (x) = x|x|

206
f (x + h) − f (x)
lı́m (871)
h→0 h
(x + h)(|x + h|) − (x)(|x|)

lı́m (872)
h→0 h
(0 + h)(|0 + h|) − (0)(|0|)

lı́m (873)
h→0 h
(h)(|h|) − 0
lı́m (874)
h→0 h
El valor absoluto de h es h.
h2
lı́m (875)
h→0 h
lı́m h (876)
h→0
Evaluando el lı́mite es igual a 0
lı́m h = 0 (877)
h→0
Al no generar una función derivada, no existe una derivada cuando la función

es x = 0
Por el otro lado si x pertenece a los reales positivos:
(x + h)(|x + h|) − (x)(|x|)

lı́m (878)
h→0 h
El valor absoluto de x + h y x al pertenecer a los positivos también es

positivo.
(x + h)(x + h) − (x)(x)
lı́m (879)
h→0 h
Se desarrollan los binomios y se reducen los términos semejantes.

x2 + 2xh + h2 − x2
lı́m (880)
h→0 h
2xh + h2
lı́m (881)
h→0 h
Se factoriza por término común a la h en el numerador para convertirse en

1 con la h del denominador.
h(2x + h)
lı́m (882)
h→0 h
lı́m 2x + h (883)
h→0
Al evaluar el lı́mite se obtiene que la función derivada para los valores de x

reales positivos es 2x.
lı́m 2x + h = 2x (884)
h→0
Para los valores de x cuando son reales negativos, su función derivada es:
(−x − h)(| − x − h|) − (−x)(| − x|)

lı́m (885)
h→0 h
Para −x y −x − h sus valores absolutos son positivos.
(−x − h)(x + h) − (−x)(x)

lı́m (886)
h→0 h
Se desarrollan los binomios y se reducen términos semejantes.
−x2 − 2xh − h2 + x2
lı́m (887)
h→0 h
−2xh − h2
lı́m (888)
h→0 h
208
Se factoriza por término compun para cancelar la h del denominador.
−h(2x + h)
lı́m (889)
h→0 h
lı́m (−1)(2x + h) (890)

h→0
Evaluando el lı́mite la función derivable para x cuando son valores reales

negativos es:
lı́m (−1)(2x + h) = −2x (891)

h→0
Por lo cual, x es derivable para el intervalo (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

nas. Sección 2.8 ejercicio 31. Hector Marcelo Valtierra Martinez). Encuentre
la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la definición
de derivada. Establezca los dominios de la función y de su derivada.
f (x) = x4
Respuesta. Aplicaremos la fórmula de la derivada como función:
f (x + h) − f (x)
f (x) = lı́m
h→0 h
(x + h)4 − (x4 )
f (x) = lı́m
h→0 h
(x4 + 4xh3 + h4 + 4hx3 + 6x2 + 6h2 ) − (x4 )
f (x) = lı́m
h→0 h
Evaluamos h a cero:
f (x) = 4x3

ción 2.8, ejercicio 53, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Demuestre que la
función f (x) = |x − 6| no es derivable en x = 6. Encuentre una fórmula
para f y trace su gráfica.
Respuesta. El valor absoluto podemos separarlo como una función a trozos

donde condicionamos cuando es menor a cierto valor y mayor a otro valor.

x−6 si x > 6
f (x) = (892)
−x + 6 si x ≤ 6
Ahora sabiendo que para que una función sea derivable debe tener la misma
derivada tanto a la izquierda como a la derecha la cual podemos calcular con
la derivada por definición. Primero la derivada por la derecha.
(x + h) − 6 − (x − 6)
f 0 (x) = lı́m (893)
h→0+ h
x + h − 6 − x + 6)
f 0 (x) = lı́m =1 (894)
h→0+ h
Ahora calculamos la derivada por izquierda.
−(x + h) + 6 − (−x + 6)
f 0 (x) = lı́m (895)
h→0− h
−x − h + 6 + x − 6
f 0 (x) = lı́m = −1 (896)
h→0− h
Como las derivadas por la izquierda y derecha no coinciden podemos decir
que la función no es derivable en x = 6
ción 2.8, ejercicio 21, Andrea Quiroz Garduño) Encuentre la derivada de
cada una de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada.
Establezca los dominios de la función y de su derivada
1 1
f (x) = x − (897)
2 3
Respuesta. Para encontrar la derivada se plantea f ’(x)

d 1 1
( x− ) (898)
dx 2 3
d 1 d 1
( x) − ( ) (899)
dx 2 dx 3
1 1
−0= (900)
2 2
El dominio de la función f(x) serı́a todo el conjunto de los números reales ya
que es una función lineal, mientras que en su derivada f ’(x) también serı́an
todos los reales porque es una función constante x ∈ R
210
Ejercicio. (Calculo Diferencial Deniss G sección 4.2 Ejercicio 33, Cinthia

Alejandra Olvera Bautista)Demuestre que la función dada no es diferenciable
en el valor indicado de x.

−x + 2 si x ≤ 2
f (x) = x=2
2x − 4 si x > 2
Respuesta. Sabemos que para que una derivada exista , deben coincidir la
derivada por la izquierda y por la derecha. Empezamos buscando la derivada
por la derivada de la izquierda, que está definida por
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0− h
Donde remplazando por la función del inicio, tenemos que
−(x + h) + 2 − (−x + 2)
lı́m
h→0− h
Resolviendo multiplicaciones nos da
−x − h + 2 + x − 2
lı́m
h→0− h
Y realizando sumas y restas
−h
lı́m = −1
h→0− h
Ahora para la derivada por la derecha tenemos que
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0+ h
Entonces, remplazando por la función que necesitamos
2(x + h) − 4 − (2x − 4)
lı́m
h→0− h
Multiplicando tenemos que
2x + 2h − 4 − 2x + 4
lı́m
h→0− h
Y realizando las sumas y restas
2h
lı́m =2
h→0− h
Vemos que nos da un valor diferente a la operación realizada anteriormente,
por lo que la función no es diferenciable en x = 2.

42, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Suponga que F (x) = xf (x) + xg(x),
donde f y g son funciones diferenciables. Encuentre F 00 (0) si f 0 (0) = −1 y
g 0 (0) = 6
Respuesta. Recordemos que F 00 (0) = (F 0 (0))0 , entonces primero la deriva-
da de F . Aplicando la fórmula para el producto nos queda que:
F 0 (x) = xf 0 (x) + f (x) + xg 0 (x) + g(x) (901)
Ahora volvemos a derivar y nos queda lo siguiente:
F 00 (x) = xf 00 (x) + f 0 (x) + f 0 (x) + xg 00 (x) + g 0 (x) + g 0 (x) (902)
Ahora si evaluamos en 0
F 00 (0) = 0 · f 00 (0) + f 0 (0) + f 0 (0) + 0 · g 00 (0) + g 0 (0) + g 0 (0) (903)
Lo cual equivale a
F 00 (0) = f 0 (0) + f 0 (0) + g 0 (0) + g 0 (0) = 2f 0 (0) + 2g 0 (0) (904)
Tomando los datos que nos proporciona el problema tenemos entonces que:
F 00 (0) = 2(−1) + 2(6) = −2 + 12 = 10 (905)
Por lo tanto nuestra respuesta final es
F 00 (0) = 10 (906)
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Seccion 4.9 Ejercicio 9, Jonathan

Segundo Arteaga)
e−2x
f (x) = (907)
x

d e−2x
f 0(x) = ( ) (908)
dx x
d d
d f (f )∗g−f ∗ dx (g)
Utilizando la regla de la diferenciación dx ( g ) = dx
g 2 Obtenemos:
d −2x ) ∗ x − e−2x ∗ d
dx (e dx (x)
f 0(x) = (909)
x2
212
Calculamos la derivada de la función compuesta
e−2x ∗ (−2)x − e−2x ∗ 1

f 0(x) = (910)
x2
Finalmente simplificamos la expresión anterior y nos da el resultado
2x + 1
f 0(x) = − (911)
x2 e2x

7ma edición Sección 2.7, ejercicio 30), Jesús Octavio Rangel Moreno). En-
f (x) = x−2 (912)
Respuesta. Para resolver esta derivada, primero tenemos que bajar el ex-
ponente y restarle 1, después reescribir la función.
f 0 (x) = −2x−2−1 = −2x− 3
(913)
reescribimos:
2
f 0 (x) = − (914)
x3

ción 2.8, ejercicio 23,Gilberto Martinez Ordoñez) Encuentre la derivada de
cada una de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada.
Establezca los dominios de la función y de su derivada.
f(t)=5t-9t2
Respuesta. para encontrar f´(t) necesitamos aplicar la formula de la deri-
vada mediante
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
5(x + h) − 9(x + h)2 − 5(x) + 9(x)2
lı́m (915)
h→0 h
5x + 5h − 9(x2 + 2xh + h2 ) − 5x + 9x2
lı́m (916)
h→0 h
5x + 5h − 9x2 + 18xh + 9h2 − 5x + 9x2

lı́m (917)
h→0 h
se elimina lo que se pueda eliminar
5h + 18xh + 9h2
lı́m (918)
h→0 h
factorizamos h por termino común y se eliminan las h
h(5 + 18x + 9h)
lı́m (919)
h→0 h
lı́m (5 + 18x + 9h) (920)
h→0
evaluamos h como cero y nuestro restante es la derivada
f´(x)= 18x+5
además demostramos que esta función es derivable
Determine la derivada de la función y en que punto esta no es continua:

√
f (x) = 1 − 2x (921)
Respuesta. Gracias a la definición de derivada conocemos lo siguiente:

p √
0 1 − 2(x + h) − 1 − 2x
f (x) = lı́m (922)
h→0 h
Podemos multiplicar por su conjugado y nos resulta de la siguiente manera:
p √ p √
0 1 − 2(x + h) − 1 − 2x 1 − 2(x + h) + 1 − 2x
f (x) = lı́m ·p √ (923)
h→0 h 1 − 2(x + h) + 1 − 2x
Por lo que obtenemos:
1 − 2(x + h) − 1 + 2x
f 0 (x) = lı́m p √ (924)
h→0 h( 1 − 2(x + h) + 1 − 2x)
Al efectuar operaciones obtendremos lo siguiente:

−2h
f 0 (x) = lı́m p √ (925)
h→0 h( 1 − 2(x + h) + 1 − 2x)
214
Eliminamos la h para evitar la división entre cero.

−1
f 0 (x) = √ (926)
1 − 2x

Norma Celedón Pinto.). En los problemas 1-20, use (2) de la definición
4.2.1 para encontrar la derivada de la función dada:
f (x) = −3x + 5 (927)
Respuesta. La derivada de f(x) se encuentra:
f 0 (x) = −3 (928)
Sesión 9
2.8.2 Funciones no diferenciables: Funciones con picos, con tan-
gente vertical, con salto y ası́ntota.
ejercicio 4.2.3 (2), Carlos David Casiano Hurtado) En los siguientes pro-
blemas use la ecuación f 0 (x) lı́mh→0 f (x+h)−f
h
(x)
para obtener f ’(x) y f ”(x)
de las funciones dada
u(x) = x4 + sinx
Respuesta. sustituimos los valores en la ecuación
(x + h)4 − (x4 + sinx)

f 0 (x) lı́m
h→0 h
desarrollamos la ecuación para
x4 + 4hx3 + 6h2 x2 + 4h3 x + h4 − x4 − sinx

f 0 (x) lı́m
h→0 h
factorizas
x4 + h(4x3 + 6hx2 + 4h2 x + h3 ) − x4 − sinx

f 0 (x) lı́m
h→0 h
evalúas h=0 para eliminar h
f 0 (x) = x4 + 4x3 + −x4 − sinx

eliminas términos semejantes
f 0 (x) = 4x3 − sinx
derivas la función trigonométrica
f 0 (x) = 4x3 + cosx
para f ”(x) se hace lo mismo

sustituimos en la ecuación con f ’(x)
f (x + h) − f (x)
f 00 (x) lı́m
h→0 h
4(x + h)3 − (+cosx)

f 00 (x) lı́m
h→0 h
desarrollamos
4(h3 + 3h2 x + 3hx2 + x3 ) − cosx)

f 00 (x) lı́m
h→0 h
se evalua h para eliminarla
f 00 (x) = 4(3x2 ) − cosx
multiplicamos
f 00 (x) = 12x2 − cosx
cambiamos el valor de la función trigonométrica
f 00 (x) = 12x2 − senx
Graficamos
216
Tendrı́amos que obtener hasta la tercera derivada para poder apreciar la

recta tangencial que pasa por las otras 3,incluyendo la función inicial.
nas. Repaso 2, ejercicio 19. Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Si f es continua en x = a, entonces f es derivable en x = a.
Respuesta. Dicha afirmación es correcta, puesto que es bien sabido que
toda función continua es derivable en sus puntos tal que x ∈ R 6= 0 y si:
x=a
Entonces dicho lı́mite existe, por lo que es derivable en ese punto.

definición de derivada para hallar f 0 (x) y f 00 (x). Después, grafique f , f 0 y f 00
en una misma pantalla y verifique para ver si sus respuestas son razonables.
f (x) = 3x2 + 2x + 1
Respuesta. Utilizando la definición de derivada, la cual es:
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m
h→0 h
Comenzaremos realizando la primera derivada, la cual es f 0 (x), teniendo

que:
3(x + h)2 + 2(x + h) + 1 − (3x2 + 2x + 1)

f 0 (x) = lı́m
h→0 h
3(x2 + 2xh + h2 ) + 2x + 2h + 1 − 3x2 − 2x − 1)

= lı́m
h→0 h
6xh + h2 + 2h h(6x + h + 2)
= lı́m = lı́m = lı́m 6x+h+2 = 6x+2 (929)
h→0 h h→0 h h→0
Siendo entonces la primer derivada de la función f (x), f 0 (x) = 6x + 2.

Ahora, para encontrar la segunda derivada (f 00 ) utilizamos está primer de-
rivada que obtuvimos siguiendo la misma definición de derivada, pero ahora
utilizando la primer derivada para desarrollar esta segunda, teniendo que:
6(x + h) + 2 − (6x + 2) 6x + 6h + 2 − 6x − 2
f 00 (x) = lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
6h
= lı́m =6 (930)
h→0 h
Teniendo como segunda derivada una función que es constante en el número

6. Las gráficas de estás funciones las podemos observar en la figura 33
218
Figura 33: Gráfica de las funciones f (verde), f 0 (azul) y f 00 (rojo)
Concluyendo que las derivadas obtenidas son razonables a su gráfica, ya que

f nos dice la función tiene un punto mı́nimo, en donde la derivada es 0, pero
este no se encuentra en el centro debido a que la función tiene una constante,
la cual es 1, que mueve la función. Además, f 0 nos indica en donde empieza
a crecer y donde termina de decrecer. Por último la segunda derivada f 00
nos indica que es constante el crecimiento y decrecimiento de la función,
ası́ como que está solo tiene un valle debido a que es horizontal y además
nos dice que el cambio de la primer derivada siempre es constante, con lo
cual queda demostrado que la graficación es correcta ası́ como las funciones
obtenidas.
Sección 2.8 ejercicio 48. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). La figura mues-
tra la gráfica de f, f´ y f´´ . Identifique cada curva y explique su elección.
Respuesta. Primero, analizamos las tres gráficas, la gráfica a muestra un
punto de intersección con los ejes, la gráfica b muestra tres puntos de inter-
Figura 34: Gráfica de ejercicio 48 sección 2.8 Stewart
sección, y la gráfica c muestra un solo punto.
La gráfica b presenta dos crestas y un valle, la gráfica c presenta una cresta

y un valle, pero se puede observar que cuando la gráfica b es cero, la cresta
y el valle de la gráfica c es el máximo y mı́nimo que pueden tomar. Esto es
una propiedad de la primera derivada de una función; otra propiedad es que
la primera derivada de la función indica cuándo la función es decreciente
y creciente, la primera derivada es de valores crecientes cuando la función
original crece, y decrece cuando la función original también decrece. En estas
dos gráficas se puede observar cuando la función b está creciendo la gráfica
c también crece, y cuando la gráfica b decrece la gráfica c también decrece,
por lo tanto la gráfica b es f y la gráfica c es f´.
Por lo tanto la gráfica a es la segunda derivada de f, pero se corrobora cuan-

do vemos en la gráfica propiedades la segunda derivada. La segunda derivada
es cero cuando la función original presenta un cambio de concavidad, que
también se nota cuando la función de la segunda derivada crece presenta una
concavidad hacı́a arriba, mientras que cuando decrece hay una concavidad
hacı́a abajo. Lo podemos ver en la función original (b) y en la función a,
cuando a decrece, la función f tiene una concavidad hacı́a abajo, mientras
que cuando la gráfica a crece, la función muestra una cresta, es decir, pre-
senta una concavidad hacı́a arriba, ası́ que la segunda derivada f´´es la
gráfica a.

cicio 27, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Si Sn (x) = xn , y 0 ≤ k ≤ n,
220
demuestre que

n! n n−k
Sn(k) (x) = x n−k
= k! x (931)
(n − k)! k
Respuesta. Veamos que pasa cuando k = 1

n!
Sn(1) (x) = xn−1 = nxn−1 (932)
(n − 1)!
Lo cual es correcto, debido al resultado del problema 4.
Ahora supongamos que para cierto número j, la derivada de j-ésimo orden
de la función Sn (x) está dada por
n!
Sn(j) (x) = xn−j (933)
(n − j)!
Bastará demostrar que
n!
Sn(j+1) (x) = xn−(j+1) (934)
(n − (j + 1))!
Para terminar el problema.
Entonces, partiendo de la siguiente afirmación
Sn(j+1) (x) = (Sn(j) (x))0 (935)
Y de los resultados obtenidos en el problema 4 y 6, tenemos que:
n! n!
(Sn(j) (x))0 = ( xn−j )0 = (n − j)xn−(j+1) (936)
(n − j)! (n − j)!
Reduciendo la expresión nos queda lo siguiente:
n! n!
(n − j)xn−(j+1) = xn−(j+1) (937)
(n − j)! (n − (j + 1))!
Entonces concluimos que, efectivamente
n!
Sn(j+1) (x) = xn−(j+1) (938)
(n − (j + 1))!
Del mismo modo queda demostrado que

n! n n−k
Sn(k) (x) = x n−k
= k! x (939)
(n − k)! k
n! n−k k! n!
(Observemos que si multilpicamos (n−k)! x por k! obtenemos k! k!(n−k)! xn−k ,
que es justamente k! nk xn−k )


7ma edición Sección 2.8, ejercicio 49, Cinthia Alejandra Olvera Bautista).Si
f (x) = 2x2 − x3 encuentre f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x) y f (4) (x) Grafique f, f 0 , f 00 y
f 000 en una misma pantalla. ¿Las gráficas son consistentes con la interpre-
tación geométrica de estas derivadas?
Respuesta. Primero para f 0 (x) tenemos que
f (x + h) − f (x) 2(x + h)2 − (x + h)3 − (2x2 − x3 )

lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
Ahora desarrollando los binomios tenemos que
2(x2 + 2xh + h2 ) − (x3 + 3h2 x + 3hx2 + h3 ) − (2x2 − x3 )

lı́m
h→0 h
Efectuando operaciones con los signos tenemos que
2x2 + 4xh + 2h2 − x3 − 3h2 x − 3hx2 − h3 − 2x2 + x3

lı́m
h→0 h
Realizando las sumas nos queda que
4xh + 2h2 − 3h2 x − 3hx2 − h3

lı́m
h→0 h
Factorizamos la h en el numerador y tenemos
h(4x + 2h − 3hx − 3x2 − h2 )

lı́m
h→0 h
Y simplificando obtenemos
lı́m (4x + 2h − 3hx − 3x2 − h2 ) = 4x − 3x2

h→0
Para obtener el resultado de f 00 (x), seguimos un procedimiento parecido, por

lo que tenemos
4(x + h) − 3(x + h)2 − (4x − 3x2 )

lı́m
h→0 h
Empezamos realizando el binomio al cuadrado
4x + 4h − 3(x2 + 2xh + h2 ) − 4x + 3x2

lı́m
h→0 h
222
Seguimos multiplicando para seguir simplificando
4x + 4h − 3x2 − 6xh − 3h2 − 4x + 3x2

lı́m
h→0 h
Realizamos las sumas en el numerador y obtenemos
4h − 6xh − 3h2
lı́m
h→0 h
Factorizamos y simplificamos la expresión
h(4 − 6x − 3h)
lı́m = lı́m (4 − 6x − 3h)
h→0 h h→0
Entonces tenemos el valor de f 00 (x) que es
f 00 (x) = 4 − 6x
Continuamos para f 000 (x) con
f (x + h) − f (x) 4 − 6(x + h) − 4 + 6x
lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
Simplificando tenemos que
4 − 6x − 6h − 4 + 6x −6h
lı́m = lı́m = lı́m −6
h→0 h h→0 h h→0
Por lo tanto
f 000 (x) = −6
Y finalmente para obtener f (4) (x) tenemos que
f (x + h) − f (x) −6 + 6
lı́m = lı́m =0
h→0 h h→0 h
Y la gráfica que representa f (x), f 0 (x), f 00 (x) y f 000 (x) es la siguiente:

Figura 35: Ejercicio 49 sección 2.8

ejercicio 4.2.3 (1), Andrea Quiroz Garduño) En los siguientes problemas use
la ecuación f 0 (x) lı́mh→0 f (x+h)−f
h
(x)
para determinar la derivada en x de las
funciones dada
f (x) = x2 + 3x + π (940)
Respuesta. Para resolver el ejercicio es necesario sacar la derivada de la

función con la fórmula
f (x + h) − f (x)
f 0 (x) = lı́m (941)
h→0 h
Sustituyéndola con la función quedarı́a
(x + h)2 + 3(x + h) + π − (x2 + 3x + π)
f 0 (x) = lı́m (942)
h→0 h
Se debe desarrollar la ecuación:
(x + h)2 + 3(x + h) + π − x2 − 3x − π
f 0 (x) = lı́m (943)
h→0 h
x2 + 2xh + h2 + 3x + 3h + π − x2 − 3x − π
f 0 (x) = lı́m (944)
h→0 h
224
2xh + h2 + 3h
f 0 (x) = lı́m (945)
h→0 h
h(2x + h + 3)
f 0 (x) = lı́m (946)
h→0 h
f 0 (x) = lı́m 2x + h + 3 (947)
h→0
Finalmente se debe evaluar el lı́mite:
f 0 (x) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3 (948)

Encuentre la derivada de la función dada
log(4x)
y=
log(2x)

d log(4x)
y0 = ( ) (949)
dx 2x
Usando log(x ∗ y) = log(x) + log(y) desarrollamos la expresión
d log(4) + log(x)
y0 = ( ) (950)
dx log(2) + log(x)
Escribimos el numero en forma exponencial en base 2
d log(22 ) + log(x)
y0 = ( ) (951)
dx log(2) + log(x)
Usando log(ac ) = c ∗ log(a), transformamos la expresión
d 2 log(2) + log(x)
y0 = ( ) (952)
dx log(2) + log(x)
d d
d f (f )∗g−f ∗ dx (g)
Utilizando la regla de diferenciación dx ( g ) = dx
g2
) desarrollamos
la expresión
d d
dx (2 log(2) + log(x)) ∗ (log(2) + log(x)) − (2 log(2) + log(x)) ∗ dx (log(2) + log(x))
y0 =
(log(2) + log(x))2
(953)
Calculamos la derivada de la suma o la resta

1 1
x ∗ (log(2) + log(x)) − (2 log(2) + log(x)) ∗ x
y0 = (954)
(log(2) + log(x))2
Ahora solo resta simplificar la expresión anterior y obtener el resultado de

esta
log(2)
y0 = − (955)
x ∗ (log(2) + log(x))2

cicio 7, inciso a, Jesús Octavio Rangel Moreno ). Suponga que f (x) = x3
Cuál es el valor de f 0 (9), f 0 (25), f 0 (26)
Respuesta. Lo primero que hay que hacer aquı́ es derivar la función ba-
jando el exponente y restando uno a ese exponente.
f 0 (x) = (3)x3−1 = 3x2 (956)
A continuación evaluamos cada punto y graficamos
f 0 (x) = 3(9)2 = 243 (957)
f 0 (x) = 3(25)2 = 1875 (958)

f 0 (x) = 3(36)2 = 3888 (959)
Ahora graficamos
Figura 36: f (x) = x3 y g(x) = 3x2

226
Ejercicio. (Calculus one and several variables, Saturninio, Sección 3.3,

ejercicio 27, Gilberto Martinez Ordoñez)
Find the second derivative. f (x) = 7x3
Respuesta. mediante
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
7(x + h)3 − 7x3
lı́m
h→0 h
7x + 21hx + 21h2 x + −7h3 − 7x3
3 2
lı́m
h→0 h
eliminando términos semejantes obtenemos
21hx2 + 21h2 x + −7h3
lı́m
h→0 h
factorizando h como termino común tenemos
h(21x2 + 21hx + −7h2 )
lı́m
h→0 h
y podemos eliminar las h
lı́m 21x2 + 21hx + −7h2

h→0
evaluamos en 0
lı́m 21x2
h→0
ahora la segunda derivada
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
21(x + h)2 − 21(x)2
lı́m
h→0 h
21x + 42xh + 21h2 − 21x2
2
lı́m
h→0 h
se eliminan y factorizamos a h
h(42x + 21h
lı́m
h→0 h
evaluamos h en 0 y tenemos
f (x) = 42x

Calcula la derivada de la función y determina en que valor de x no es deri-

vable:
f (x) = x−2 (960)
Respuesta. Para esta función vamos a calcular su derivada por la fórmula

que tenemos de derivación, pero primero la transformaremos con su expo-
nente positivo pasando la x en el denominador:
1
f (x) = (961)
x2
Posteriormente con la fórmula tenemos lo siguiente:
1 1
(x+h)2
− x2
0
f (x) = lı́m (962)
h→0 h
x2 −(x+h)2 1
(x+h)2 −x2
− x2
0
f (x) = lı́m (963)
h→0 h
Haciendo las operaciones correspondientes:
x2 − (x + h)2
f 0 (x) = lı́m (964)
h→0 hx2 (x + h)2
Al resolver los binomios obtendremos lo siguiente:

h(−2x − h)
f 0 (x) = lı́m (965)
h→0 hx2 (x + h)2
Por lo que eliminaremos la h y sustituiremos para resolver el lı́mite:
2
f 0 (x) = − (966)
x3
La función derivada es continua en todos los números reales excepto el cero,
por lo que en dicho valor presenta una ası́ntota vertical.
ción 2.6, ejercicio 43, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Encuentre las ası́nto-
tas horizontal y vertical de cada curva:
2x2 + x − 1
y= (967)
x2 + x − 2
228
Respuesta. Para encontrar las ası́ntotas verticales primero se debe facto-

rizar el denominador:
x2 + x − 2 = 0 (968)
(x + 2)(x − 1) = 0 (969)
x+2=0 (970)
x = −2 (971)
x−1=0 (972)
x=1 (973)
La ası́ntotas verticales están en x = −2 y x = 1. Para encontrar la ası́ntota
horizontal, se divide el cociente de la x de mayor grado en el numerador con
el cociente de la x de mismo grado del denominador:
2
y= =2 (974)
1
La ası́ntota horizontal se encuentra en y = 2.
3.1.0 Demostración de la fórmula para calcular la derivada de cual-

quier polinomio de cualquier grado.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, THE MEAN-VALUE THEO-
REM; APPLICATIONS OF THE FIRST AND SECOND DERIVATIVES,
saturnino L. Salas, sección 4.7 ejercicio 36)
Deriva la siguiente función
f (x) = 2x4 − 2x3 + 5x2 + 7x + 6
Respuesta. sabemos que la derivada de una suma es la suma de las deri-

vadas por lo que tenemos que aplicar la siguiente formula.
f (x) − f (a)
f 0 (x) = lı́m
x→a x−a
cambiando los valores obtenemos que
(g(x) + h0 (x) − (g(a) + h(a)
(g + h)0 = lı́m
x→a x−a
multiplicamos para cambiar el signo y ordenamos por la propiedad conmu-
tativa de la suma
(g(x) − g(a) + h(x) − h(a)
(g + h)0 = lı́m
x→a x−a
y al sustituir y resolver nos queda
(g + h)0 = 8x3 − 6x2 + 10x + 7

¿Dónde no es derivable la función entero mayor f(x)=[x]?
Respuesta. Se tiene que esta función en la grafica luce de esta forma:
Donde la función f(x) luce de ma-

nera de techo y de forma escalonada, por lo que posee la función n+1 dentro
de un intérvalo:
x∈Z
Al tratarse de números enteros, posee puntos de discontinuidad en los núme-

ros enteros pero es diferenciable para el resto de puntos. Por lo que es deri-
vable en puntos que no sean números enteros.
f (x) 6= Z

7ma edición Sección 3.1, ejercicio 6, Brandon Galicia Alvarez). Derive cada
una de las siguientes funciones.
3
F (x) = x8
4
230
Respuesta. Primero tenemos que tener en cuenta que la definición de de-

rivada es:
f (x + h) − f (x) (x + h)n − (x)n
lı́m = lı́m
h→0 h h→0 h
Por lo que es necesario desarrollar (x + h)n , y para hacer eso se utiliza el
teorema del binomio, el cual es:
n(n−1) n−2 2
[xn + nxn−1 h + x h + ... + nxhn−1 + hn ] − xn
f 0 (x) = lı́m 2
h→0 h
n(n−1) n−2 2
nxn−1 h + 2 x h + ... + nxhn−1 + hn
= lı́m
h→0 h
n(n − 1) n−2 2
lı́m [nxn−1 + x h + ... + nxn−1 hn−1 + hn−1 ] = nxn−1
h→0 2
Y además la regla del múltiplo constante la cual nos dice que si c es una
constante y f es una función derivable, entonces
d d
[cf (x) = c f (x)]
dx dx
Por lo que, siguiendo la definición de la derivada, la regla del múltiplo cons-

tante y este teorema del binomio tenemos que:
3
4 (x + h)8 − (x)8 3 (x + h)8 − (x)8
F 0 (x) = lı́m = · lı́m =
h→0 h 4 h→0 h
3 (x8 + 8x7 h + 28x6 h2 + 56x5 h3 + 70x4 h4 + 56x3 h5 + 28x2 h6 + 8xh7 + h8 ) − x8

· lı́m =
4 h→0 h
3 8x7 h + 28x6 h2 + 56x5 h3 + 70x4 h4 + 56x3 h5 + 28x2 h6 + 8xh7 + h8
· lı́m =
4 h→0 h
3 h(8x7 + 28x6 h + 56x5 h2 + 70x4 h3 + 56x3 h4 + 28x2 h5 + 8xh6 + h7 )
· lı́m =
4 h→0 h
3
·8x7 +28x6 (0)+56x5 (0)2 +70x4 (0)3 +56x3 (0)4 +28x2 (0)5 +8x(0)6 +(0)7 =
4
3 24x7
· 8x7 = = 6x7 (975)
4 4
Con lo que queda demostrado por medio del teorema del binomio que cual-
quier función polinomial elevada a un exponente n, tendrá una derivada de
d
la forma dx (xn ) = nxn − 1. Siendo en este caso la derivada de la función
0
F (x) es F (x) = 6x7 .

Sección 3.1 ejercicio 14. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Derive cada
5 2
y = x3 − x3 (976)
Respuesta. Se puede definir la derivada de una función elevada a un ex-

ponente como:
(x + h)n − (x)n
lı́m (977)
h→0 h
Se desarrolla el binomio por el teorema de binomios, y al se evaluado el

lı́mite queda la siguiente expresión:
(x + h)n − (x)n
lı́m = nxn − 1 (978)
h→0 h
Derivamos utilizando la regla de la cadena:
5 5 2 2
f (x) = x( − 1) − x( − 1) (979)
3 3 3 3
5 2 2 −1
f (x) = x( ) − x( ) (980)
3 3 3 3
√
3
5 x2 2
f (x) = − √ (981)
3 33x

cicio 4, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Para cada número natural n, sea
Sn (x) = xn . Recordando que Si S10 (x) = 1, S20 (x) = 2x, y que S30 (x) = 3x2 ,
encuentre una fórmula para Sn0 (x). Demuestre que la fórmula es correcta.
(La expresión (x + h)n puede desarrollarse mediante el binomio de Newton.)
Respuesta. Observando que S10 (x) = 1, S20 (x) = 2x, y S30 (x) = 3x2 , pode-
mos deducir que Sn0 (x) = nxn−1 , pero hay que demostrarlo.
232
Para esto aplicamos la definición de derivada, de la siguiente manera:
(x + h)n − xn
Sn0 (x) = lı́m (982)
h→0 h
Desarrollando un poco esto nos queda que:
xn + n1 xn−1 h + ... + n−1 n

n−1
+ hn − x n

0
xh
Sn (x) = lı́m (983)
h→0 h
h( n1 xn−1 + ... + n−1 n

n−2
+ hn−1 )

0
xh
Sn (x) = lı́m (984)
h→0 h

0 n n−1 n
Sn (x) = lı́m ( x + ... + xhn−2 + hn−1 ) (985)
h→0 1 n−1

0 n n−1
Sn (x) = x (986)
1
Observemos que:
n n!
= =n (987)
1 1!(n − 1)!
Y por lo tanto
Sn0 (x) = nxn−1 (988)
Justo lo que querı́amos demostrar.
ción 3.1, ejercicio 39, Ignacio Ismael Flores Landaverde).Encuentre f ’(x).
Compare las gráficas de f y f ’ y utilı́celas para explicar por qué su respuesta
es razonable. f (x) = x4 − 2x3 + x2
Respuesta. Al ser un polinomio podemos usar la derivación para derivar
cualquier polinomio de cualquier grado la cual es f (x) = x4 − 2x3 + x2
Si derivamos por medio de nxn − 1
f 0 (x) = 4x4−1 − 2(3)x3−1 + 2x2−1 (989)
f 0 (x) = 4x3 − 6x2 + 2x (990)

Ahora comparamos las gráficas de la derivada y la función. Si analizamos la
gráfica y vemos que cuando la derivada toca al eje y es decir en 0 vemos que
muestra los puntos donde hay una cuerva de la función original, es decir los
máximos y cuando decrece podemos ver que la derivada toca a la función en
los mı́nimos
Figura 37: morado es f (x) y gris f 0 (x)

Sección 3.1 ejercicio 9. Cinthia Alejandra Olvera Bautista). Derive cada una
de las siguientes funciones.
f (x) = x2 (1 − 2x)
Respuesta. Primero terminamos de realizar las operaciones que hay en la

función
f (x) = x2 − 2x3
Ahora sabemos que una derivada de una función elevada a un exponente n
está definida como
(x + h)n − xn
lı́m = nxn−1
h→0 h
Por lo que hacemos ese procedimiento para las partes de la función que se
da al inicio
f 0 (x) = 2x2−1 − 2(3)x3−1
Realizamos las operaciones y tenemos que la derivada de f (x) = x2 (1 − 2x)
es
f 0 (x) = 2x − 6x2

ción 3.1, ejercicio 8, Andrea Quiroz Garduño) Derive cada una de las si-
guientes
f (t) = 1,4t5 − 2,5t2 + 6,7 (991)
Respuesta. La función anterior es un polinomio, lo cuál debe ser tomado

en consideración, una vez planteada la derivada de la función quedarı́a:
d
f 0 (t) = (1,4t5 − 2,5t2 + 6,7) (992)
dx
234
d d d
f 0 (t) = (1,4t5 ) − (2,5t2 ) + (6,7) (993)
dx dx dx
d d d
f 0 (t) = (1,4) (t5 ) − (2,5) (t2 ) + (6,7) (994)
dx dx dx
f 0 (t) = (1,4)(5t4 ) − (2,5)(2t) + 0 (995)
f 0 (t) = 7t4 − 5t (996)
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Seccion 4.10 Ejercicio 16, Jo-

Encontrar la derivada de la funcion dada
1
y = log( )
x
Respuesta. Empezamos obteniendo la derivada de ambos lados

d 1
y0 = (log( )) (997)
dx x
d d d 1
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g)) donde g = x
obtenemos
d d 1
y0 = (log(g) ∗ ( ) (998)
dg dx x
Proseguimos a calcular la derivada
1 1
y0 = ∗ (− 2 ) (999)
g x
1
Devolvemos la sustitucion de g = x
1 1
y0 = 1 ∗ (− ) (1000)
x
x2
Por ultimo simplificamos la expresion y obetemos el resultado que seria:

1
y0 = − (1001)
x

cicio 6, Jesús Octavio Rangel Moreno). En los problemas 1-8, encuentre
dy/dx.
y = 6x3 + 3x2 − 10 (1002)
Respuesta. Para este ejercicio usamos la fórmula para calcular la derivada

de cualquier polinomio, la cual consiste en bajar el exponente de la literal y
restarle 1 al exponente.
f 0 (x) = (3)6x3−1 + (2)3x2−1 − 0 = 18x2 + 6x (1003)
La derivada del polinomio y = 6x3 +3x2 −10 es f 0 (x) = (3)6x3−1 +(2)3x2−1 −

0 = 18x2 + 6x
sección 3.1, ejercicio 21, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Derive cada una
de las funciones:
h(u) = Au3 + Bu2 + Cu (1004)
Respuesta. Se utiliza la regla de potencias para derivar cada elemento del

polinomio:
h0 (u) = 3Au2 + 2Bu + C (1005)

Sección 3.1 ejercicio 10. Gilberto Martinez Ordoñez). Derive cada una de
las siguientes funciones.
h(x) = (x − 2)(2x + 3)
Respuesta. para iniciar desarrollamos las operaciones 2x2 + 3x − 4x − 6=
2x2 − x − 6
mediante
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
2(x + h) − (x + h) − 6 − 2x2 + x + 6
2
lı́m
h→0 h
2x + 4xh + 2h − x − h − 6 − 2x2 + x + 6
2 2
lı́m
h→0 h
eliminando lo que podemos obtenemos
4xh + 2h2 − h
lı́m
h→0 h
factorizando h obtenemos
h(4x + 2h − 1)
lı́m
h→0 h
eliminando las h en el nominador y denominador tenemos
f (h) = 4x − 1
236
Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón, Notas de Cálculo diferencial Página 115

EJERCICIO 2)
Demuestre por qué la derivada de una constante es 0.
π6
y= (1006)
12
Respuesta. Vamos a evaluar el lı́mite que ya conocemos de la definición

de la derivada:
f (x + h − f (x))
y 0 = lı́m (1007)
h→0 h
Al sustituir con nuestros valores vamos a obtener lo siguiente:
π6 π6
0 12 − 12
y = lı́m (1008)
h→0 h
Por lo que el denominador obtendremos 0:
0
y 0 = lı́m (1009)
h→0 h
Y no tiene caso evaluar el lı́mite ya que el resultado es 0:
y0 = 0 (1010)
3.1.1 Derivada de una función por una constante, suma de funcio-

nes, derivada de función exponencial.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, DERIVADAS DE FUNCIO-
NES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES, James Stewart, sección 3.1
ejercicio 36)
Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las
siguientes curvas en el punto dado.
y = x4 + 2x2 − x(1, 2)
Respuesta. Derivamos la función
y = x4 + 2x2 − x
y = 4x3 + 4x − 1
Evaluamos en el punto (1,2)
f (1) = 4x3 + 4x − 1
f (1) = 4(1)3 + 4(1) − 1

f (1) = 4 + 4 − 1
f (1) = 8 − 1
f (1) = 7
M =7
sustituimos en la ecuación punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
y − 2 = (7)(x − 1)
y − 2 = 7x − 7
pasamos todo de un lado de la ecuación
y − 2 − 7x + 7 = 0
restamos
y − 7x + 5 = 0
encontramos la ecuación de la recta de la tangente
para la ecuación normal de la tangente se debe cumplir que
(mn )(mt ) = −1
por lo que debemos invertir el valor de la pendiente

1
mn = −
7
este es el valor de la pendiente de la recta normal, debemos sustituir en la
ecuación punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
usamos el punto dado por el enunciado

1
y − 2 = − (x − 1)
7
238
1 1
y−2=− x+
7 7
1 1
y−2+ x− =0
7 7
1 15
y+ x− =0
7 7
obtenemos la ecuación de la recta normal
Ejercicio. (DIFFERENTIATING THE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS,
saturnino L. Salas, calculus one or several variables, sección 3.3 ejercicio
12, Toscano Ramı́rez Emiliano)Encuentre la derivada indicada:
d
(5x + 2)
dx
Respuesta. Lo empezamos a resolver por el metodo de suma por termino

d d
=5 (x) (2)
dx dx
La derivada de 2 es cero y la de x es 1:
d
=5 (x) + 0
dx
= 5(1) + 0
Tenemos como resultado final:
=5

¿Cómo se define el número e?
Respuesta. El número de Euler parte de la función: f (x) = ax y la fórmula
de la derivada como función:
f (x + h) − f (x)
f (x) = lı́m
h→0 h
Esto nos arroja un resultado de :
= ax f (0)
El número de Euler es aquél, cuyo lı́mite nos da 1 y por ende, su derivaba
es él mismo, el numero e.
ex f (x) = ex

la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el
punto dado.
√
y = 4 x, (1, 1) (1011)
Respuesta. Para poder encontrar la ecuación de la recta tangente debemos

de encontrar primeramente la pendiente de la recta, la cual la encontramos
derivando la función.
Para poder derivar esta función es necesario conocer la siguiente regla:
Regla de la potencia
d n
(x ) = nxn−1
dx
√ 1
Por lo que, podemos respresentar a y = 4 x como f (x) = x 4 y, siguiendo la
regla anteriormente mencionada, tenemos que:
d 1 1 1 4 1 −3 1 1
= (x 4 ) = · x 4 − 4 = · x 4 = 3 = √
4
(1012)
dx 4 4 4x 4 4 x3
Teniendo como resultado la pendiente de la recta tangente, la cual es de 14

(por la derivada encontrada anteriormente). Ahora, conociendo la estructura
de la ecuación de la recta, la cual es:
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
Y conociendo que x = 1 y y = 1, por los puntos dados en el inicio, tenemos

que:
1 1 1 4 x 3
y − 1 = (x − 1), y = x − + = + (1013)
4 4 4 4 4 4
Por lo que esta es la ecuación de la recta tangente que pasa por los puntos
√
(1, 1) de la función y = 4 x
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. Stwewart.
Sección 3.2 ejercicio 51 inciso a. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Si g
es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada
una de las funciones siguientes.
y = xg(x) (1014)
240
Respuesta. Por la definición de derivada se plantea la derivada de y.
f (x + h) − f (x)
lı́m = (1015)
h→0 h
xg(x + h) − xg(x)
lı́m = =y (1016)
h→0 h
En esta función x es una constante, y la derivada de una constante es.
lı́m x = x (1017)
h→0
Por lo tanto, podemos sacar a x de la derivada de y.
g(x + h) − g(x)
x lı́m = =y (1018)
h→0 h
Por lo que la derivada de la función es y = xg(x)

cicio 6, inciso b), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Demuestre, aplicando la
definición
b) si g(x) = cf (x), entonces g 0 (x) = cf 0 (x)
Respuesta. Partamos por la definición de derivada
g(x + h) − g(x) cf (x + h) − cf (x)

g 0 (x) = lı́m = lı́m (1019)
h→0 h h→0 h
c(f (x + h) − f (x))
g 0 (x) = lı́m (1020)
h→0 h
Observemos que
c(f (x + h) − f (x)) (f (x + h) − f (x))

lı́m = c lı́m (1021)
h→0 h h→0 h
Y por lo tanto
(f (x + h) − f (x))
c lı́m = cf 0 (x) (1022)
h→0 h
De esta manera queda demostrado que g 0 (x) = cf 0 (x)

ta).Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto dado, a cada
una de las siguientes curvas. Ilustre graficando la curva y la recta tangente,
en la misma pantalla.
y = 3x2 − x3 , (1, 2)
Respuesta. Para encontrar la ecuación de la recta tangente, primero de-

bemos obtener la pendiente, recordando que la pendiente se puede definir
como
d n f (x + h) − f (x) n−1
m= x = lı́m nx
dx h→0 h
Entonces al sustituir los valores tenemos que
m = (3)(2)x − (3)x2 = 6x − 3x2
Para encontrar la pendiente en ese punto, remplazamos el valor de x por

x=1
m = 6(1) − 3(1)2 = 3
Ahora ocupando la ecuación de la recta, punto pendiente que está definida

por
y − y1 = m(x − x1 )
Remplazamos m = 3, x = 1 y y = 2 para encontrar la ecuación de la recta
y − 2 = 3(x − 1)
Por lo que la ecuación de la recta tangente en el punto (1, 2) en la función

de f (x) = 32 − x3 está dada por
y − 2 = 3x − 3
Graficando la función original y la de la recta tangente tenemos la siguiente

figura.
242
Figura 38: Ejercicio 37 Sección 3.1

ción 3.4, ejercicio 25, Andrea Quiroz Garduño) Obtenga la derivada de cada
una de las siguientes funciones
y = 5−1/x (1023)
Respuesta. La función anterior tiene la forma f (x) = ax y para derivarla

se debe plantear:
d −1/x
y0 = (5 ) (1024)
dx
Para resolverla se debe hacer uso de la regla de la cadena, considerando que
w = −1/x
d w d 1
y0 = (5 ) (− ) (1025)
dx dx x
Una vez derivando quedarı́a:
1
y 0 = ln(5)(5w )( ) (1026)
x2
Después de esto, se puede sustituir el valor de w, y reacomodar
1
y 0 = ln(5)(5−1/x )( ) (1027)
x2
ln(5)
y0 = 1 (1028)
5 x x2

Encuentre la derivada de la funcion dada
f (x) = log(x log(x))
Respuesta. Obtenemos la derivado de ambos lados

d
f 0(x) = (log(x log(x)) (1029)
dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = x log(x)
d d
f 0(x) = (log(g)) ∗ (x log(x)) (1030)
dg dx
Calculamos la derivada
1 1
d0(x) = ∗ (log(x) + x ∗ ) (1031)
g x
Devolvemos la sustitucion g = x log(x)
1 1
f 0(x) = ∗ (log(x) + x ∗ ) (1032)
z log(x) x
Finalmente simplificamos y obtenemos el resultado de la derivada inical
log(x) + 1
f 0(x) = (1033)
x log(x)

7ma edición Sección 3.1, ejercicio 11, Jesús Octavio Rangel Moreno). Derive
cada una de las siguientes funciones.
3
g(t) = 2t− 4 (1034)
Respuesta. Primero debemos de sacar la constante de la expresión.

3
2g(t) = t− 4 (1035)
Ahora bajamos el exponente y le restamos 1

3 3 3 7
2g 0 (x) = − t− 4 −1 = (2) − t− 4 (1036)
4 4
244
Ahora simplificamos y reescribimos para cambiar el exponente negativo

3
g 0 (x) = − 7
x4
(1037)
Y ese es el resultado de nuestra derivada exponencial.

ción 3.2, ejercicio 5, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Derive cada una de
las siguientes funciones:
x
y= x (1038)
e
Respuesta. Para derivar se utiliza la regla del cociente, además de la pro-

piedad de f (x) = ex , f 0 (x) = ex :
(1)(ex ) − (ex )(x)

y0 = (1039)
(ex )2
ex − xex
y0 = (1040)
e2x
ex (1 − x)
y0 = (1041)
e2 x
1−x
y0 = (1042)
ex

Sección 3.1 ejercicio 24. Gilberto Martinez Ordoñez). Derive cada una de
las siguientes funciones.
y=101−x
Respuesta. mediante
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
101−(x+h) − 101−x
lı́m
h→0 h
101−x−h − 101−x
lı́m
h→0 h
10−h
lı́m
h→0 h
−h
10
lı́m
h→0 h
−h
lı́m
h→0 10h
h(−1)
lı́m
h→0 h(10)
−1
f (h) =
10

Encuentra la siguiente derivada:

f (x) = 2x3 + 2x (1043)
Respuesta. Podemos demostrar en esta función una propiedad de la de-

rivada de una función por una constante, por lo que vamos a extraer la
constante de esta función y al final la multiplicaremos por su derivada:
2(f (x) = x3 − x) (1044)
Por lo que al sustituir en la fórmula de derivada:
(x + h)3 + x + h − x3 − x
2(f 0 (x) = lı́m ) (1045)
h→0 h
Al resolver el binomio al cubo:
x3 + 3h2 + 3h2 + h3 + x + h − x3 − x
2(f 0 (x) = lı́m ) (1046)
h→0 h
Obtenemos lo siguiente:
h(3x2 + 3hx + h2 + 1)
2(f 0 (x) = lı́m ) (1047)
h→0 h
Eliminamos la h y evaluamos el lı́mite en h = 0
2(f 0 (x) = 3x2 + 1) (1048)
Al final solo multiplicamos por 2:
f 0 (x) = 6x2 + 2 (1049)
246
Sesión 10
3.2.0 Fórmula de Leibnitz o fórmula de la derivada de un producto
de funciones y regla del cociente.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Teoremas de derivación, J.J
Trejo Alonso, sección 4.3.1 ejercicio 24)
resuelva por regla de cociente
xcosx + sinx
x2 + 1
Respuesta. obtenemos f(x) y su derivada f ’(x)
f (x) = xcosx + sinx
f 0 (x) = xsinx + 2cosx

Obtenemos g(x) y su derivada g’(x)
g(x) = x2 + 1
g 0 (x) = 2x
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
Sustituimos en la regla del cociente (g(x))2
(xsinx + 2cosx)(x2 + 1) − (xcosx + sinx)(2x)

(x2 + 1)2
multiplicamos cada termino
−x3 + 2x2 cosx + xsinx − 2cosx − 2x2 cosx + 2xsinx

(x2 + 1)2
eliminamos términos semejantes
−x3 + xsinx − 2cosx − +2xsinx

(x2 + 1)2
sumamos términos semejantes
−x3 + −2cosx + 3xsinx

(x2 + 1)2
obtenemos la derivada de la función

(James Stewart - Calculo de una variable Trascendentes tempranas. Sección

3.1 ejercicio 4. Hector Marcelo Valtierra Martinez).
Derive: f (x) = e5
Respuesta. Tenemos que se busca la derivada de una función elevada a
una constante, por lo que, no posee una derivada sino que, se pasa como 0.
f (e5 ) = 0e5

7ma edición Sección 3.2, ejercicio 24, Brandon Galicia Alvarez). Derive
1 − xex
f (x) =
x + ex
Respuesta. Para poder empezar la derivación de estás funciones, primero

tenemos que tener en cuenta las reglas de derivación del producto y del
cociente, ya que, como podemos ver, es una función racional en la cual
numerador de la función una multiplicación (por interpretación) de una
función con otra, ya que tenemos xex . A continuación se enuncian las reglas
anteriormente mencionadas para utilizarlas.
Sea u = f (x) y v = g(x) Regla del producto
y 0 = f (x)g 0 (x) + g(x)f 0 (x) = uv 0 + vu0
Sea las igualdades establecidas anteriormente en una división de funciones

F (X) = fg(x)
(x)
Regla del cociente
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) u0 v − uv 0

y0 = 2
=
(g(x)) v2
Entonces, igualando a la u y v que vamos a utilizar de acuerdo a las reglas

mencionadas, tenemos que
u = 1 − xex , v = x + ex
Pero, al mencionar anteriormente e identificar que u puede ser derivada

conforme a la regla del producto y v conforme a las reglas de derivación
para las expresiones dadas, tenemos que:
u1 = −x, v1 = ex , u01 = −1, v10 = ex

248
Entonces
F1 (x) = −xex − ex
Por lo que
u0 = −xex − ex , v 0 = 1 + ex
Sustituyendo en la regla de cociente, tenemos que:
(−xex − ex )(x + ex ) − (1 − xex )(1 + ex )
f 0 (x) =
(x + ex )2
Desarrollando las multiplicaciones y el producto notable
(−x2 ex − xe2x − xex − e2x ) − (1 + ex − xex − xe2x )
=
x2 + 2xex + e2x
Simplificando expresiones similares, tenemos que la derivada es
−x2 ex − e2x − ex − 1
= = (1050)
x2 + 2xex + e2x
Concluyendo que al usar las reglas de derivación es más sencillo realizar
este tipo de ejercicios.
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas.Stewart.Sección
3.2 ejercicio 29. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Halle f´(x) y f´´(x) de
x2
f (x) = (1051)
1 + 2x
Respuesta. Para poder derivar la función, definimos como la regla del co-
ciente, ala cual es obtenida de aplicar la regla del producto a una función
racional:
f (x) f (x)g(x) − f (x)g(x)

( )= (1052)
g(x) (g(x))2
Se derivan s(x) = x2 y g(x) = 1 + 2x por la regla de la cadena.
f (xn ) = nx( n − 1) (1053)
s(x) = 2x2 − 1 = 2x (1054)

g(x) = 2(1)x( 1 − 1) = 2 (1055)
Se sustituyen las derivadas en la regla del cociente y se resuelve.
f (x) (2x)(1 + 2x) − (x2 )(2)

( )= (1056)
g(x) (1 + 2x)2
f (x) 2x + 4x2 − 2x2

( )= (1057)
g(x) 4x2 + 4x + 1
f (x) 2x + 2x2
( )= 2 (1058)
g(x) 4x + 4x + 1
Se factoriza el numerador y el denominador para poder cancelar un 2x tanto

arriba como abajo.
f (x) 2x(1 + x)
( )= (1059)
g(x) 2x(2x + 2) + 1
f (x) 1+x
( )= (1060)
g(x) 2x + 2 + 1
f (x) 1+x
( )= (1061)
g(x) 2x + 3
Primera derivada ( fg(x)

(x)
)= 1+x
2x+3
Para obtener la segunda deriva, volvemos a derivar s y g con la regla de la

cadena.
s(x) = 1x1 − 1 = 1 (1062)
g(x) = 2(1)x1 − 1 = 2 (1063)
Se vuelven a sustituir los valores en la regla del cociente y se resuelven.

250
f (x) (1)(2x + 3) − (1 + x)(2)

( )= (1064)
g(x) (2x + 3)2
f (x) 2x + 3 − 2 − 2x
( )= (1065)
g(x) 4x2 + 12x + 9
f (x) 1
( )= 2 (1066)
g(x) 4x + 12x + 9
Por lo tanto la segunda deriva es ( fg(x)

(x)
)= 1
4x2 +12x+9
Ejercicio. (Calculus - Michael Spivak, Parte 3, Capı́tulo 10, ejercicio 20,

Omar Fabian Izquierdo Pérez). Suponga que existen f (n) (a) y g (n) (a). De-
muestre la fórmula de Leibniz.
n
(n)
X n (k)
(f · g) (a) = f (a) · g (n−k) (a) (1067)
k
k=0
Respuesta. Para simplificar un poco las cosas consideremos que f (n) (a) =
f (n) y g (n) (a) = g (n) , principalmente por el espacio. Comencemos revisando
el caso n = 1, sustituyendo nos queda que:
1
(1)
X 1 (k) (1−k)
(f · g) = f ·g = f (0) · g (1) + f (1) · g (0) (1068)
k
k=0
Lo que equivale a
f · g0 + f 0 · g (1069)
Lo cual es correcto (recordemos la fórmula para la derivada de un producto

de funciones).
Entonces la fórmula sirve para n = 1. Ahora supongamos que para algún
número j, la derivada de orden j del producto de las funciones f y g está
dada por la siguiente fórmula:
j
(j)
X j (k) (j−k)
(f · g) = f ·g (1070)
k
k=0
Bastará probar que

j+1
(j+1)
X j+1
(f · g) = f (k) · g (j+1−k) (1071)
k
k=0
Para terminar con la demostración.

Comencemos con (f · g)(j+1) , es fácil notar que lo podemos expresar de la
siguiente manera:
0
(f · g)(j+1) = (f · g)(j) (1072)
Es decir, la derivada de (f · g)(j) . Entonces nos queda que:
j
!0
(j+1)
X j (k) (j−k)
(f · g) = f ·g (1073)
k
k=0
Es fácil calcular la derivada de esto que tenemos arriba, observemos que

podemos derivar cada término kj f (k) · g (j−k) y después sumarlos. entonces
derivando nos queda que:
j (k) (j−k) 0

j (k) (j+1−k) j (k+1) (j−k)
f ·g = f ·g + f ·g (1074)
k k k
Esto debido a que f (k) y g (j−k) actúan como funciones, entonces simplemente
calculamos la primera derivada del producto de un par de funciones, además
recordemos que (h(i) )0 = h(i+1) .
Ya obtuvimos la derivada de un término, la derivada completa será simple-
mente la suma de todos estos términos, es decir:
j j
X j (k) (j+1−k) X j (k+1) (j−k)
f ·g + f ·g (1075)
k k
k=0 k=0
Si observamos bien, el primer término (el de la izquierda), se parece un poco

a lo que queremos demostrar, el segundo no tanto, trataremos de reescri-
birlo de otra manera para poder juntarlo con el otro, entonces, ahora nos
enfocamos en el término de la derecha, primero observemos que:
j j−1
X j (k+1) (j−k) X j (k+1) (j−k) j (j+1) (0)
f ·g = f ·g + f ·g (1076)
k k j
k=0 k=0
252
Es decir separamos el término jj f (j+1) · g (0) y ası́ la sumatoria nos queda

hasta k = j − 1. Ahora veamos que:

j−1 j
X j (k+1) (j−k) X j
f ·g = f (k) · g (j+1−k) (1077)
k k−1
k=0 k=1
Es decir, si empezamos con k = 1 tendrı́amos que parar hasta k = j. Una

manera fácil de observar esto es que la sumatoria tiene j − 1 + 1 términos,
es decir j términos, entonces si comenzamos a contar desde 1 y queremos
llegar hasta j, pues tendrı́amos que contar j términos.
Recordando un poco lo que vimos anteriormente podemos concluir que:
j j
X j (k+1) (j−k) X j (k) (j+1−k) j (j+1) (0)
f ·g = f ·g + f ·g (1078)
k k−1 j
k=0 k=1
Si recordamos la derivada que obtuvimos anteriormente, esa que tenı́a dos

términos, podemos ahora reescribir el primero (el que estaba a la izquierda)
de la siguiente manera. Si hacemos algo parecido nos queda que:
j j
X j j (0) (j+1) X j (k) (j+1−k)
f (k) · g (j+1−k) = f ·g + f ·g (1079)
k 0 k
k=0 k=1
Hicimos lo mismo, solo que ahora separamos el término 0j f (0) · g (j+1) y ası́

la suma empieza desde k = 1. Tenemos estas dos igualdades que son muy
importantes:
j j
X j (k) (j+1−k) j (0) (j+1) X j (k) (j+1−k)
f ·g = f ·g + f ·g (1080)
k 0 k
k=0 k=1
j j
X j (k+1) (j−k) X j j (j+1) (0)
f ·g = f (k) ·g (j+1−k) + f ·g (1081)
k k−1 j
k=0 k=1
Si las sumamos (que es lo que querı́amos desde el principio) tenemos lo

siguiente:
j
j (0) (j+1) X j j j (j+1) (0)
f ·g + + f (k) · g (j+1−k) + f ·g
0 k k−1 j
k=1
(1082)
Observemos que:

j j j! j!
+ = + (1083)
k k−1 k!(j − k)! (k − 1)!(j + 1 − k)!
j(j − 1)...(j − k + 1)(j − k)! j(j − 1)...(j − k + 2)(j − k + 1)!

= + (1084)
k!(j − k)! (k − 1)!(j − k + 1)!
j(j − 1)...(j − k + 1) kj(j − 1)...(j − k + 2)
= + (1085)
k! k(k − 1)!
j(j − 1)...(j − k + 2)(j − k + 1 + k)
= (1086)
k!
(j + 1)(j)(j − 1)...(j − k + 2)(j − k + 1)!
= (1087)
k!(j − k + 1)!
(j + 1)!
= (1088)
k!(j + 1 − k)!
Por lo tanto

j j (j + 1)! j+1
+ = = (1089)
k k−1 k!(j + 1 − k)! k
Regresando a lo que tenı́amos anteriormente nos queda que:

j
j (0) (j+1) X j + 1 (k) (j+1−k) j (j+1) (0)
f ·g + f ·g + f ·g (1090)
0 k j
k=1
Veamos que la suma completa comienza desde un i = 0 hasta un i = j + 1,

entonces ahora hacemos lo inverso de lo que hicimos anteriormente, cuando
separamos una sumatoria, ahora lo que vamos a hacer es a juntarla, entonces
la expresión anterior equivale a:
j+1
X j+1
f (k) · g (j+1−k) (1091)
k
k=0
Que es exactamente lo que querı́amos demostrar. El caso de n = 0 es muy

fácil de comprobar, serı́a la derivada de orden 0, es decir el producto de las
funciones.
Y de esta manera terminamos la demostración.
254

7ma edición Sección 3.2, ejercicio 8, Cinthia Alejandra Olvera Bautista)
Derive cada una de las siguientes funciones.
x2 − 2
G(x) =
2x + 1
Respuesta. Sabemos que la derivada de funciones racionales de polinomios,

está dada por la siguiente fórmula
f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)

Si f (x) = entonces f 0 (x) =
g(x) (g(x))2
Por lo que primero sacamos la derivada del numerador
f (x) = x2 − 2 f 0 (x) = 2x
Para la función del denominador
g(x) = 2x + 1 g 0 (x) = 2
Por lo que remplazando en la fórmula, tenemos
(2x)(2x + 1) − (x2 − 2)(2)

G0 (x) =
(2x + 1)2
Resolviendo las multiplicaciones,tenemos que
(4x2 + 2x) − (2x2 − 4) 4x2 + 2x − 2x2 + 4

G0 (x) = =
4x2 + 4x + 1 4x2 + 4x + 1
Ahora realizando sumas y restas, obtenemos el resultado del ejercicio.
2x2 + 2x + 4
G0 (x) =
4x2 + 4x + 1

guientes funciones
1 + 2x
g(x) = (1092)
3 − 4x
Respuesta. La anterior función puede resolverse a través de la regla del

cociente la cuál está definida por
f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
y0 = = (1093)
g(x) (g(x))2
Por lo que usando esa forma en la función que se tiene quedarı́a:
d(1+2x)
1 + 2x 0 (3 − 4x) − (1 + 2x) d(3−4x)
g 0 (x) = ( ) = dx dx
(1094)
3 − 4x (3 − 4x)2
2(3 − 4x) − (1 + 2x)(−4)
g 0 (x) = (1095)
(3 − 4x)2
6+4
g 0 (x) = (1096)
9 − 24x + 16x2
10
g 0 (x) = 2
(1097)
16x − 24x + 9
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Sección 4.10 Ejercicio 14, Se-

gundo Arteaga Jonathan)
1
y= log(|sen(3x)|) (1098)
3

d 1
y0 = ( log(|sen(3x)|)) (1099)
dx 3
√
usando |x| = x2 transformamos la expresión
d 1 p
y0 = ( log( sen(3x)2 ) (1100)
dx 3
d d
Utilizando la regla de diferenciación dx (a ∗ f) = a ∗ dx (f ) obtenemos que:
1 d p
y0 = ∗ (log( sen(3x)2 )) (1101)
3 dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g), donde g =
p
sen(3x)2
1 d d p
y0 = ∗ (log(g)) ∗ ( sen(3x)2 ) (1102)
3 dg dx
256
1 1 1
y0 = ∗ ∗ p ∗ 2sen(3x)cos(3x) ∗ 3 (1103)
3 g 3 sen(3x)2
p
Devolvemos la sustitución g = sen(3x)2
1 1 1
y0 = ∗p ∗ p ∗ 2sin(3x)cos(3x) ∗ 3 (1104)
3 sen(3x)2 2 sen(3x)2
y al por ultimo simplificamos y obtenemos el resultado de la expresión inicial
y0 = cot(3x) (1105)

7ma edición Sección 3.2, ejercicio 16, Jesús Octavio Rangel Moreno). Derive
t
y=
(t − 1)2
(1106)
Respuesta. Usamos la fórmula de cociente para derivarlo
f f 0g − g0f
( )0 = (1107)
g g2
Sustituimos valores.
d d
d dx (x)(x − 1)2 − dx ((x − 1)2 )(x)
= (1108)
dx ((x − 1)2 )2
d 1(x − 1)2 − 2(x − 1)x −1 − x

= 2 2
= (1109)
dx ((x − 1) ) (x − 1)3
Aplicando la regla del cociente obtenemos la derivada de nuestro cociente.


sección 3.2, ejercicio 3, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Derive cada una
de las funciones:
f (x) = (x3 + 2x)ex (1110)
Respuesta. Se obtiene el resultado utilizando la regla del producto, para el

cuál se va a definir a x3 + 2x como u, y a ex como v. Aplicando u’v + v’u:
f 0 (x) = (3x2 + 2)ex + ex (x3 + 2x) (1111)
f 0 (x) = x3 ex + 3x2 ex + 2xex + 2ex (1112)
f 0 (x) = ex (x3 + 3x2 + 2x + 2) (1113)

Sección 3.2, ejercicio 13, Gilberto Martinez)Derive cada una de las siguien-
tes funciones.
x3
y=
1 − x2
Respuesta. derivamos x3 y 1 − x2 y obtenemos 3x2 y −2x

ahora tomando en cuenta que
f (x) f ”(x)g(x) − f (x)g”(x)

( )= (1114)
g(x) (g(x))2
f (x) (3x2 )(1 − x2 ) − (x3 )(−2x)

( )= (1115)
g(x) (1 − x2 )2
f (x) 3x2 − 3x4 + 2x4

( )= (1116)
g(x) 1 − 2x4 + x4
realizando operaciones tenemos que
f (x) 3x2 − x4
( )= (1117)
g(x) 1 − x4
eliminando −x4
f (x) 3x2
( )” = (1118)
g(x) 1
258

Encuentra la derivada:
x+1
f (x) = (1119)
x3 +x−2
Respuesta. Utilizaremos la fórmula de derivación para el cociente, que

indica lo siguiente:
f gf 0 − f g 0
( )0 = (1120)
g g2
Al hacerlo en la derivada:
(x3 + x − 2)(1) − (x + 1)(3x2 + 1)

y0 = (1121)
(x3 + x − 2)2
Al hacer las operaciones correspondientes:
x3 + x − 2 − 3x3 − x − 3x2 − 1
y0 = (1122)
(x3 + x − 2)2
−2x3 − 3x2 − 3
y0 = (1123)
(x3 + x − 2)2
Sesión 11
3.3.0 Obtención de la fórmula de derivación de las funciones tri-
gonométricas seno, coseno y tangente.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, regla de la cadena, Stewart,
sección 3.4 ejercicio 13) encuentre dx
dy de la ecuación
y = sen(tan2x)
Respuesta. obtenemos el valor de g(x) y su derivada
g(x) = tan2x
el valor de la secante se obtiene por derivar la función trigonométrica
g 0 (x) = 2sec2 (2x)

Ahora obtenemos el valor de f(x) y su derivada
f (x) = sen(tan2x)
f 0 (x) = cos(tan2x)
aplicamos regla de la cadena h0 (x) = f 0 (gx))(g 0 (x))
cos(tan2x)2sec2 (2x)
acomodamos los términos
2sec2 (2x)cos(tan(2x))
Ejercicio. (Matemáticas Calculo Diferencial Dennis G sección 4.11 ejer-

cicio 15, Toscano Ramı́rez Emiliano). Encuentre la derivada de la función
dada:
y = senh3 x
d
Respuesta. Usamos la regla donde u=3x y du sinh(u) = cosh(u). Tenemos
que
d
= cosh(3x)( (3x))
dx
Sacamos nuestras constantes
d
3( (x))cosh(3x)
dx
Y quedamos que:
= 3cosh(3x)

Encuentre la derivada de la siguiente función:
√
f (x) = xsen(x)
Respuesta. Aplicando la fórmula de derivación:

(vu0 + v 0 u)
(uv)0 =
v2
Lo que nos lleva a sustituir:
2xcos(x) + sin(x)
f 0 (x) = √
2 x
260

la derivada de cada una de las siguientes funciones:
t sin(t)
y=
1+t
Respuesta. Para poder realizar está derivada es necesario tener en cuenta

que el numerador es un producto de dos funciones, la función t y la función
sin(t), mientras que en el denominador podemos observar que solo es una
función, entonces conociendo que sea u = f (t), y = t y v = g(t), y = sin(t),
se tiene la Regla del producto
y 0 = f (x)g 0 (x) + g(x)f 0 (x) = uv 0 + vu0
Sea las igualdades establecidas anteriormente en una división de funciones

y = fg(x)
(x)
, tenemos la Regla del cociente
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) u0 v − uv 0

y0 = =
(g(x))2 v2
Por lo que, establecemos a u = t sin(t) y v = t + 1, teniendo en cuenta lo que

anteriormente se comento, u0 se encuentra realizando la regla del producto,
teniendo que u1 = t, v1 = sin(t), entonces u01 = 1 v10 = cos(t). Por lo tanto,
aplicando la regla del producto tenemos que:
u0 = sin(t) · 1 + t · cos(t), v 0 = 1
.
Siguiendo la regla del cociente y sustituyendo tenemos que:
(sin(t) + (t · cos(t))(1 + t)) − (t sin(t)(1))
y0 =
(1 + t)2
Desarrollando las multiplicaciones y el binomio al cuadrado, obtenemos que
sin(t) + t · cos(t) + t · sin(t) + t2 · cos(t) − t · sin(t)

y0 =
1 + 2t + t2
Se efectúa la resta
sin(t) + t · cos(t) + t2 · cos(t)

y0 =
1 + 2t + t2
Y se puede sacar factor común, para tener como resultado final la derivara
de la función y
sin(t) + (t + 1)(cos(t) + t · cos(t))

y0 = (1124)
1 + 2t + t2

Sección 3.3 ejercicio 12. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Encuentre la
derivada de cada una de las siguientes funciones:
cos x
y= (1125)
1 − sen x
Respuesta. Se aplica la fórmula de Leibnitz al tratarse de una función

racional, la regla de Leibniz es:
f (x) f (x)g(x) − f (x)g(x)

( )= (1126)
g(x) (g(x))2
Primero se obtienen las derivadas de f(x) y g(x) por separado. Al evaluar el

lı́mite de seno y coseno como derivadas se tiene que:
sen(x) = cos(x) (1127)

Por lo tanto:
d
1 − sen(x) = cos(x) (1128)
dx
cos0 (x) = −sen(x) (1129)
Sustituimos en la fórmula y se desarrollan los binomios, excepto el del de-

nominador.
d d
(1 − sen(x) dx cos(x) − (cos(x) dx 1 − sen(x)
y= (1130)
(1 − sen(x))2
(1 − sen(x)(−sen(x)) − (cos(x)(cos(x))
y= (1131)
(1 − sen(x))2
262
−sen(x) + sen2 (x) + cos2 (x)

y= (1132)
(1 − sen(x))2
Por la identidad trigonométrica sen2 (x) + cos2 (x) = 1 se sustituye en la

derivada y se cancela con uno de los binomios del denominador.
1 − sen(x)
y= (1133)
(1 − sen(x))(1 − sen(X))
1
y= (1134)
1 − sen(X)
cicio 3, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Halle las derivadas de las funciones
tg, ctg, sec, cosec. (No es necesario memorizar estas fórmulas, aunque se ne-
cesitarán de vez en cuando; si se expresan las soluciones de manera correcta,
resultan sencillas y algo simétricas.)
Respuesta. Comencemos con la función tangente, sea p(x) = tan x, en-
tonces:
sen x
p(x) = tan x = (1135)
cos x
Si derivamos obtenemos lo siguiente
cos x · cos x + sen x · sen x 1
p0 (x) = 2
= = sec2 x (1136)
cos x cos2 x
1
Ahora consideremos la función q(x) = cot x = tan x
1
− sec2 x cos2 x 1 1
q 0 (x) = 2 = − 2 =− sen2 x
=− = − csc2 x
tan x tan x 2
cos x · sen2 x
cos2 x
(1137)
1
Sea r(x) = sec x = cos x , la derivada serı́a:
sen x 1
r0 (x) = 2
= tan x = tan x · sec x (1138)
cos x cos x
1
Finalmente, tomemos la función s(x) = csc x = sen x , si la derivamos tene-
mos que:
− cos x cos x 1
s0 (x) = 2
=− · = − cot x · csc x (1139)
sen x sen x sen x

ción 3.3, ejercicio 10, Andrea Quiroz Garduño) Encuentre la derivada de
cada una de las siguientes funciones:
y = senθcosθ (1140)
Respuesta. La función anterior es un producto entre seno y coseno por lo

que se puede resolver usando la regla de producto
(f (x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x) (1141)
Remplazando la ecuación con la función quedarı́a:
dsen(θ) dcos(θ)
y 0 = (sen(θ)cos(θ))0 = cos(θ) + sen(θ) (1142)
dx dx
y 0 = cos(θ)cos(θ) + (−sen(θ))sen(θ) (1143)
0 2 2
y = cos(θ) − sen(θ) (1144)
0
y = cos(2θ) (1145)

7ma edición Sección 3.3, ejercicio 1, Cinthia Alejandra Olvera Bautista)Encuentre
y = 3x2 − cos x
Respuesta. Para esto sabemos que para una derivada de un número elevado
a una potencia está dada por
d n
(x ) = nxn−1
dx
Por lo que para la primera parte de la función y tenemos que
d d d
y0 = (3x2 ) − (cos x) → y = 6x − (cos x)
dx dx dx
Para cos sabemos que
cos0 x = − sin x
Por lo que
d
y 0 = 6x − (cos x) → y 0 = 6x − (− sin x)
dx
Entonces tenemos que la solución es
y 0 = 6x + sin x
264

ción 3.3, ejercicio 17, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Demuestre que
d
dx (cscx) = −cscxcotx
Respuesta. Para comenzar a demostrar lo que se quiere llegar debemos

tener presentes ciertas funciones trigonométricas la primera sera reescribir
1
csc como senx .
1
f (x) = (1146)
senx
De esta parte podemos derivar usando la formula de Leibniz que es la función
original, por la derivada de la segunda menos la derivada de la primera por
la función dos, entre la función dos al cuadrado.
d (1)(cosx) − (senx)(0)
f 0 (x) = (1147)
dx sen2 x
El cero que multiplica al cero se elimina o nos da 0, lo que si simplificamos
nos queda:
d cos
f 0 (x) = − (1148)
dx sen2 x
Entonces podemos separar los términos.
d cos 1
f 0 (x) = (− )( ) (1149)
dx senx senx
Estos terminos son dos identidades el primero es la cotagente y el segundo
la cosecante, simplificando estos terminos.
d
− cotxcscx (1150)
dx
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Seccion 4.9 ejercicio 2, Jonathan

Segundo Arteaga)
Encontrar la derivada de la funcion dada
y = e2x+3
Respuesta. obtenmos la derivada de ambos lados

d 2x+3
y0 = (e ) (1151)
dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = 2x + 3
obtenemos
d g d
y0 = (e ) ∗ (2x + 3) (1152)
dg dx
d
y0 = eg ∗ (2x + 3) (1153)
dx
y0 = eg ∗ 2 (1154)
Devolvemos la sustitucion g = 2x + 3
y0 = e2x+3 ∗ 2 (1155)
Usamos la propiedad conmutativa para reorganizar los terminos y obtenemos
el resultado
y0 = 2e2x+3 (1156)

dy
Norma Celedón Pinto.). En los problemas 1-12 encuentre dx :
y = 1 + 7 sen x − tan(x) (1157)
Respuesta. Se deriva cada componente de la función, para derivar 7 sen x

se utiliza la regla del producto:
y 0 = 0 + 7 cos x − sec2 (x) (1158)
y 0 = 7 cos x − sec2 (x) (1159)

7ma edición Sección 3.4, ejercicio 40, Jesús Octavio Rangel Moreno). Ob-
tenga la derivada de cada una de las siguientes funciones.
sen(sen(sen(x))) (1160)
Respuesta. Para resolver este ejercicio primeramente tenemos que utilizar

la regla de la cadena (f (g))0 = f (g)g 0
d d
(sin g) (sin (sin (x))) (1161)
dg dx
d
Usamos dx (sin(x)) = cos(x)
cos(g) = cos(sin(x))cos(x) (1162)
Tenemos que quitar a g de la expresión.
cos(sin(sin(x)))cos(sin(x))cos(x) (1163)
Ese es el resultado de nuestra derivada.
266

Encuentre la derivada de la siguiente función:

cos(x)
f (x) = (1164)
1 − sin(x)
Respuesta. Utilizando la fórmula de cociente tenemos:

f gf 0 − f g 0
( )0 = (1165)
g g2
Es decir:
(1 − sin(x))(−sin(x)) − cos(x)(−cos(x))
y0 = (1166)
(1 − sin(x))2
Haciendo las operaciones correspondientes:
−sin(x) + sin2 + cos2 (x)

y0 = (1167)
(1 − sin(x))2
Sabemos que sin2 (x) + cos2 (x) = 1 por lo que:

−sin(x) + 1
y0 = (1168)
(1 − sin(x))2
Eliminando términos:
1
y0 = (1169)
(1 − sin(x))

Martinez Ordoñez) Encontrar la derivada de la función:
y = cos(x)cot(x)
cos(x)
Respuesta. sabemos que cot(x) = sin(x) por lo que
cos(x)
y = cos(x)
sin(x)
y multiplicando
cos(x)2
y=
sin(x)
mediante la regla de derivada de la formula de Leibnitz

f (x) f ”(x)g(x) − f (x)g”(x)
( )= (1170)
g(x) (g(x))2
f (x) −sin(2x)sin(x) − cos(x)2 cos(x)

( )= (1171)
g(x) (sin(x)2
desarrollando operaciones
f (x) −sin(2x)sin(x) − cos(x)3
( )” = (1172)
g(x) (sin(x)2
3.3.1 Ejemplos resueltos a detalle de derivación de funciones que

incluyen funciones trigonométricas.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, derivadas de funciones trigo-
nométricas, Stewart, sección 3.3 ejercicio 16)
suponga que f ( π3 ) = 4 y f 0 ( π3 ) = −2, g(x) = f (x)senx y h(x) = cosx
f (x)
encuentre g 0 ( π3 )
Respuesta. primero sustituimos los valores de la función g(x) en ( π3 )
g(x) = f (x)sen(x)
π π
g( ) = f ( )sen(x)
3 3
π
cambiamos el valor de f ( 3 ) de acuerdo al enunciado
π
g( ) = (4)sen(x)
3
Derivamos la función
π
g 0 ( ) = (−2)cos(x)
3
el cos se obtiene de las derivadas trigonométricas
encuentre el valor de h0 = ( π3 )
cosx
h(x) =
f (x)
π
evaluamos x a 3
π cosx
h( ) = π
3 f( 3 )
268
sustituyes el valor de f ( π3 ) por el del enunciado

π cosx
h( ) =
3 4
se deriva la función de acuerdo a los valores mencionados en el enunciado
y las derivadas trigonométricas
π −senx
h0 ( ) =
3 −2
eliminas signos
π senx
h0 ( ) =
3 2

Encuentre la derivada de la función:
f (x) = xex csc(x)
Respuesta. Tomando como base la fórmula de derivación como función:
vu0 − v 0 u
(uv)0 =
v2
Sustituimos:
xex csc0 (x) − xex0 csc(x)
(uv)0 =
csc(x)2
ex (xsin(x) − xcos(x) + sin(x)
(uv)0 =
(sin(x))2

Sección 3.3 ejercicio 33. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).¿Para qué va-
lores de x la gráfica de cada una de las siguientes funciones tiene una recta
tangente horizontal?
f (x) = x + 2sen(x) (1173)
Respuesta. Sabemos que la derivada de la suma de funciones es igual a

la suma de las derivadas que lo componen, ası́ que primero se obtienen las
derivadas por separado.
((f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) (1174)
d
f (x) = x=1 (1175)
dx
d d
g(x) = 2 sen x = 2 sen x = 2 cos x (1176)
dx dx
Ya teniendo las derivadas se suman.
d
(x + 2sen(x) = 1 + 2 cos x (1177)
dx
Teniendo la derivada de la función se quiere conocer cuando la función tiene

una recta tangente horizontal, es decir cuando la tangente es 0.Se iguala la
derivada a 0 y se despeja para conocer los valores que toma x.
1 + 2 cos x = 0 (1178)
−1
cos x = (1179)
2
Al ser coseno una función periódica, coseno va a tener valores de tangente

π
igual a 0 en sus máximos y mı́nimos los cuales alcanza cuando x = , −π
2
Siendo que n pertenece a los pares enteros.

π
x= ,n ∈ P (1180)
2+n

7ma edición Sección 3.3, ejercicio 34, Brandon Galicia Alvarez). ¿Para qué
valores de x la gráfica de cada una de las siguientes funciones tiene una
recta tangente horizontal?
f (x) = ex · cos(x)
270
Respuesta. Tenemos que la derivada de un producto de funciones está dada

por la regla del producto, la cual es
y 0 = f (x)g 0 (x) + g(x)f 0 (x) = uv 0 + vu0
Entonces, siguiendo esta regla y conociendo las reglas de la derivada del cos x
y de ex tenemos que: u = ex y v = cos(x), por lo que u0 = ex y v 0 = − sen x.
Sustituyendo los valores obtenidos en la regla del producto tenemos que:
f 0 (x) = (ex )(− sen x) + (ex )(cos x)
Factorizando por términos en común, obtenemos que la derivada es:
f 0 (x) = ex (cos x − sen x) (1181)
Ahora, graficando la derivada obtenida y analizando los puntos en donde

la derivada es 0 o una recta horizontal, nos podemos dar cuenta que esto
sucede cuando
{x = nπ, n ∈ Z} (1182)
cicio 1 (ii), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Como ejercicio de precalenta-
miento, halle f 0 (x) para cada una de las siguientes f . (No se preocupe por
el dominio de f o de f 0 ; obtenga tan sólo una fórmula para f 0 (x) que dé la
respuesta correcta cuando tenga sentido.)
(ii)= f (x) = sen x + sen x2
Respuesta. Aplicando las formulas de derivadas de funciones trigonométri-
cas nos queda que:
f 0 (x) = cos x + cos x2 · 2x (1183)

ción 3.3, ejercicio 9, Andrea Quiroz Garduño) Encuentre la derivada de cada
una de las siguientes funciones:
x
y= (1184)
2 − tanx
Respuesta. La anterior función puede resolverse a través de la regla del

cociente la cuál está definida por
f (x) f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
y0 = = (1185)
g(x) (g(x))2
Por lo que usando esa forma en la función que se tiene quedarı́a:

d(x)
x dx (2 − tanx) − (x) d(2−tanx)
y0 = ( )0 = dx
(1186)
2 − tanx (2 − tanx)2
1(2 − tanx) − x(−sec(x)2 )
y0 = (1187)
(2 − tanx)2
2 − tanx + xsec(x)2
y0 = (1188)
(2 − tanx)2
sen(x) 1
2− cos(x) + x( cos(x) )2
0
y = sen(x) 2
(1189)
(2 − cos(x) )
2cos(x)2 −cos(x)sen(x)+x
cos(x)2
y0 = (2cos(x)−sen(x))2
(1190)
cos(x)2
2cos(x)2 − cos(x)sen(x) + x
y0 = (1191)
(2cos(x) − sen(x))2

7ma edición Sección 3.3, ejercicio 5, Cinthia Alejandra Olvera Bautista)Encuentre
y = sec θ tan θ
Respuesta. Para resolver esta derivada, podemos identificar que es una

derivada de un producto, y esta está definida por
(f g)0 = f 0 g + g 0 f
Por lo que necesitamos la derivada de cada parte que participa en la multi-

plicación, entonces tenemos que
f = sec θ f 0 = sec θ tan θ
Y para el segundo componente
g = tan θ g 0 = sec2 θ
Ahora que contamos con los componentes, remplazamos en la fórmula de la

derivada de un producto
y 0 = (sec θ tan θ)(tan θ) + (sec2 θ)(sec θ)

272
Efectuando las multiplicaciones tenemos la respuesta de la derivada
y 0 = sec θ tan2 θ + sec3

ción 3.3, ejercicio 23, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Encuentre la ecua-
ción de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas, en el punto
especificado. y = cosx − senx, (π, −1)
Respuesta. EL primer paso sera encontrar la derivada de la función para
que podamos encontrar la derivada en el punto que se asigna, y derivaremos
con la formula de Leibniz.
f 0 (x) = (cosx)(−cosx) + (−senx)(−senx) (1192)
Lo que nos queda que la derivada es
f 0 (x) = −senx − cosx (1193)
Ahora que conocemos la derivada podemos sustituir por el valor de π para

conseguir el valor de la pendiente
f 0 (π) = −sen(π) − cos(π) (1194)
Si ponemos esto en nuestra calculadora nos dará que
f 0 (π) = 0, −1 = −1 (1195)
Ahora que conocemos podemos usar la ecuación de la recta la cual es y−y1 =

m(x − x1 )
y + 1 = −1(x − π) (1196)
y = −x + π − 1 (1197)
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Sección 4.9 Ejercicio 3, Jonathan

Segundo Arteaga) Encontrar la derivada de la funcion dada
√
x
y=e (1198)
Respuesta. Iniciamos obteniendo la deriva de ambos lados

d √x
y0 = (e ) (1199)
dx
d d d √
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = x
d g d √
y0 = (e ) ∗ ( x) (1200)
dg dx
1
y0 = eg ∗ √ (1201)
2 x
√
Devolvemos la sustitución g = x
√ 1
x
y0 = e ∗ √ (1202)
2 x
Calculamos el producto de lo anterior
√
e x
y0 = √ (1203)
2 x
El cual es el resultado de la derivada inicial.
Norma Celedón Pinto.). En los problemas 13-22 encuentre f ’(x). Simplifi-
que:
cot(x)
f (x) = (1204)
x+1
Respuesta. Para derivar se utiliza la regla del cociente:
(−csc2 (x))(x + 1) − (1)(cot(x))
f 0 (x) = (1205)
(x + 1)2
−xcsc2 (x) − csc2 (x) − cot(x)

f 0 (x) = (1206)
(x + 1)2

7ma edición Sección 3.4, ejercicio 31, Jesús Octavio Rangel Moreno). Ob-
tenga la derivada de cada una de las siguientes funciones.
y = sin(tan2x) (1207)

d d
(sin(g)) = (tan(2x))
dg dx
274
(1208)
d
Usamos dx (sin(x)) = cos(x)
cos(g) = sec(2x)2 (2) (1209)
Quitamos a g de la expresión
cos(tan(2x))sec(2x)2 (2) (1210)
Ese es el resultado de nuestra derivada

Encuentra la derivada:
tan(x) − 1
f (x) = (1211)
sec(x)
Respuesta. Tomando la fórmula del cociente obtendremos:

sec(x)sec2 (x) − (tan(x) − 1)sec(x)tan(x)
(1212)
sec2 (x)
Al resolver los productos:
(sec(x))(sec2 (x) − (tan(x) − 1)tan(x))
(1213)
sec2 (x)
Obtenemos al simplificar:
sec2 (x) − tan2 (x) + tan(x)
(1214)
sec(x)
sec2 (x) − tan2 (x) = 1 asi que se sustituye:
1 + tan(x)
(1215)
sec(x)
Seguimos simplificando:
sin(x)
1+ cos(x)
1 (1216)
cos(x)
Queda como resultado que:
y 0 = cos(x)sin(x) (1217)
Ejercicio. (Matemáticas Calculo Diferencial Dennis G sección 4.11 (C)

ejercicio 8, Toscano Ramı́rez Emiliano). Encuentre la derivada de la función
dada:
y = 10cot8x
Respuesta. Reescribimos nuestro termino para poderlo derivar:
d 10cos(8x)
(
dx sen(8x)
Sacamos nuestra constante y usamos la regla para derivar:
1 d d
= 10( (− (sen(8x)))cos(8x) + ( (cos(8x)))sin(8x)))
sen2 (8x) dx dx
ahora derivamos las faltantes usando la regla de la cadena:
10(−8cos2 (8x) − 18sin2 (8x))

=
sin2 (8x)
Nos da:
= −80csc2 (8x)

Martinez Ordoñez) Encontrar la derivada de la función:
y = csc(x)tan(x)
Respuesta. conociendo que

1
csc(x) = sin(x)
sin(x)
tan(x) = cos(x)
276
podemos expresar la función como
f (x) 0 1 sin(x)
( ) =
g(x) sin(x) cos(x)
donde a simple vista se puede eliminar sin(x) del denominador y numerador,

obteniendo ası́
f (x) 0 1
( ) =
g(x) cos(x)
mediante la formula de Leibnitz tenemos que
f (x) 0 f ”(x)g(x) − f (x)g”(x)

( ) = (1218)
g(x) (g(x))2
f (x) 0 −1 − sin(x)
( ) = (1219)
g(x) (cos(x))2
f (x) 0 sin(x)
( ) = (1220)
g(x) cos(x)2
3.3.2 Funciones trigonométricas como modelos de velocidad y ace-

leración de un objeto en un resorte.
sección 3.4 ejercicio 81)
Cefeida, una estrella variable, tiene una brillantez que aumenta y disminuye
de manera alternada. La estrella de ese tipo más visible es Delta Cefeida,
para la cual el intervalo entre los momentos de máxima brillantez es de 5.4
dı́as. La brillantez promedio de esta estrella es de 4.0, y cambia en 0.35. En
vista de estos datos, la brillantez de Delta Cephei en el tiempo t, medido en
dı́as, se ha modelado mediante la función
2πt
B(t) = 4,0 + 0,35sen( )
5,4
a) Halle la razón de cambio de la brillantez después de t dı́as.

b) Encuentre, con una aproximación de dos cifras decimales, la razón de
aumento después de un dı́a.
Respuesta. Al poner los datos del problema obtenemos lo siguiente

se hace la suma y la resta de 0, 35 ya que es la brillantez máxima y mı́nima

que la estrella puede alcanzar, esto define el rango de la función
si cada 5,4 dı́as se alcanza la brillantez de la estrella define una función
senoidal que explica el comportamiento.
para la aproximación en decimales solo hay que sustituir el valor de t por
uno ya que t esta definido en dı́as y ası́ obtenemos
(2)(π)(1)
B(1) = 4,0 + 0,35sen( )
5,4
B(1) = 4,32138
indicando una disminución en el brillo.
nas. Sección 3.3 ejercicio 18. Hector Marcelo Valtierra Martinez). Demues-
d
tre que dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)
Respuesta. Para ello, aplicaremos la fórmula de derivación:
vu0 − v 0 u
(uv)0 =
v2
Sustituimos los valores:
d d 1
(sec(x)) =
dx dx cos(x)
cos(x)(0) + sen(x)
=
cos2 (x)
sen(x) 1
=
cos(x) cos(x)
278
Ahora bien, por identidades conocemos que:
= tan(x)sec(x)
d
y ası́ queda demostrado que: dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)

3.4 ejercicio 79. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).El desplazamiento de
una partı́cula sobre una cuerda vibrante está dada por la ecuación s(t) =
10 + 41 sen 10πt , donde s se mide en centı́metros y t en segundos. Encuentre
la velocidad de la partı́cula después de t segundos.
Respuesta. La obtención de la velocidad por los principios de cinemática es

igual a la derivada de la ecuación que describe el movimiento de la partı́cula.
Ası́ que derivamos la ecuación de la partı́cula.
d 1d
v = s0 (t) = 10 + sen 10πt (1221)
dt 4 dt
La derivada de una constante es cero y derivamos por aparte al seno.
d d
sen 10πt = cos 10πt 10πt (1222)
dt dt
La derivada de seno es coseno, pero se necesita volver a derivar al argumento

del coseno, este se deriva por la regla de la cadena.
d
cos 10πt 10πt = cos 10πt(10π) (1223)
dt
Por lo tanto la velocidad de la partı́cula en la cuerda es v = cos 10πt(10π)

7ma edición Sección 3.3, ejercicio 35, Brandon Galicia Alvarez). Una masa
en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y nivelada,
en un movimiento armónico simple (Vease la figura 39). Su ecuación de
movimiento es x(t) = 8 · sen(t), donde t está dada en segundos y x en
centı́metros.
a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t.

Figura 39: Ilustración ejercicio 35
Respuesta. Teniendo en cuenta la primer derivada de una función que nos

da la posición de un objeto es la velocidad, mientras que la segunda derivada
corresponde a la aceleración, entonces, al afectuar la primer derivada de
la función x(t), tenemos que tener en cuenta la regla de la derivada del
producto, la cual nos dice que
y 0 = f (x)g 0 (x) + g(x)f 0 (x) = uv 0 + vu0
Definiendo a v y u, obtenemos que u = 8 v = sen t, por lo que al aplicar

las reglas de derivación obtenemos u0 = 0 y v 0 = cos t. Sustituyendo los
valores obtenidos en la regla de derivación obtenemos la velocidad, la cual
es también la primer derivada, como se habı́a mencionado anteriormente
x0 (t) = (8)(cos t) + (0)(sin t) = 8 · cos t (1224)
La cual estarı́a dada en el instante t.

Ahora, para encontrar la aceleración solo hay que efectuar la segunda deri-
vada siguiendo los mismos pasos que es realizaron para encontrar la primer
derivada, pero ahora teniendo en cuenta que u = 8, v = cos t y, por consi-
guiente u0 = 0 y v 0 = − sen t.
x00 (t) = (8)(− sen t) + (0)(cos t) = −8 · sen t (1225)
La cual también estarı́a dada en el instante t.

ción 3.4, ejercicio 80, Andrea Quiroz Garduño) Si la ecuación del movi-
miento de una partı́cula está dada por s = Acos(wt + δ), se dice que la
partı́cula describe un movimiento armónico simple, encuentra la velocidad
de la partı́cula en el instante t. ¿Cuándo es 0 la velocidad?
280
Respuesta. La velocidad se obtiene sacando la derivada de la ecuación, por

lo que quedarı́a:
d
s0 = (Acos(wt + δ)) (1226)
dx
v = s0 = −Asen(wt + δ) (1227)
Esto serı́a la velocidad de la partı́cula en el instante t Para conocer cuando
es 0 la velocidad se necesita igualar la ecuación obtenida con 0 y despejar t
0 = −Asen(wt + δ) (1228)
0
= sen(wt + δ) (1229)
−A
wt + δ = kπ, k ∈ Z (1230)
wt = kπ − δ, k ∈ Z (1231)
t = (kπ − δ)/w, k ∈ Z (1232)

7ma edición Sección 3.3, ejercicio 36, inciso a, Cinthia Alejandra Olvera
Bautista)Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta en
su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo y, luego, se
deja en libertad, vibra verticalmente en un movimiento armónico simple. La
ecuación del movimiento es s = 2 cos t + 3 sin t, t ≥ 0, donde s se mide
en centı́metros y t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente
hacia abajo.)
a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t.
Respuesta. Para obtener la velocidad y aceleración sabemos que se ocupa
la primera y segunda derivada, por lo que para sacar la velocidad tenemos
que
d d
s0 = 2 cos t + 3 sin t
dt dt
Realizando las operaciones, tenemos que
s0 = 2(− sin t) + 3(cos t) = −2 sin t + 3 cos t
Entonces la velocidad está dada por
s0 = v(t) = −2 sin t + 3 cos t

Para obtener la aceleración, realizamos la segunda derivada de la función,

por lo que
d d
s00 = −2 sin t + 3 cos t
dt dt
Realizando las operaciones, se simplifica a
s00 = −2(cos t) + 3(− sin t)
Por lo que tenemos como la aceleración dada por la ecuación de
s00 = a(t) = −2 cos t − 3 sin t

60, inciso b), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Considere una masa sobre un
resorte. En ausencia de fuerzas de amortiguación, el desplazamiento (o dis-
tancia dirigida) de la masa, medido desde una posición denominada posición
de equilibrio, está dado por la función
v0
x(t) = x0 cos ωt + sen ωt (1233)
ω
p
donde ω = k/m k es la constante del resorte (un indicador de la rigidez
del resorte), m es la masa (medida en slugs o kilogramos), y0 es el despla-
zamiento inicial de la masa (medido por arriba o por debajo de la posición
de equilibrio), y0 es la velocidad inicial de la masa y t es el tiempo medido
en segundos.
b) Compruebe que x(t) satisface las condiciones iniciales x(0) = x0 y x0 (0) =
v0
Respuesta. Para comenzar, evaluamos la función en 0, nos queda de la
siguiente manera.
v0
x(0) = x0 cos ω · 0 + sen ω · 0 = x0 (1234)
ω
Ya que sen 0 = 0 y cos 0 = 1
Ahora, si derivamos la función, tendrı́amos que:
v0
x0 (t) = −x0 ω sen ωt + ω cos ωt = −x0 ω sen ωt + v0 cos ωt (1235)
ω
De nuevo, si evaluamos en 0 nos quedarı́a que:
x0 (0) = −x0 ω sen ω · 0 + v0 cos ω · 0 = v0 (1236)
Por lo tanto es cierto que x(0) = x0 y x0 (0) = v0 .
282
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G, Sección 4.9 Ejercicio 6, Jonathan

Segundo Arteaga)
2
y = 10−3x (1237)
Respuesta. Empezamos Obteniendo la derivada de ambos lados

d 2
y0 = (10−3x ) (1238)
dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = −3x2
obtenemos
d d
y0 = (10g ) ∗ (−3x2 ) (1239)
dg dx
y0 = log(10) ∗ 10g ∗ (−3 ∗ 2x) (1240)
Devolvemos la sustitución de g = −3x2

2
y0 = log(10) ∗ 10−3x ∗ (−3 ∗ 2x) (1241)
Simplificamos la expresión y obtenemos el resultado de la derivada
6 log(10)x
y0 = (1242)
1000x2

3.4 ejercicio 83. Jesús Octavio Rangel Moreno ). El movimiento de un resor-
te que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento
(como un amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante el
producto de una función exponencial y una función seno o coseno. Suponga
que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es
s(t) = 2e−1,5t sen2πt
donde s se mide en centı́metros y t en segundos. Encuentre la velocidad
después que transcurren t segundos
Respuesta. Para calcular la velocidad, a partir de una función, solo nece-
sitamos calcular la derivada de la misma. Utilizamos (af )0 = af 0
2 d
2e− 3 (sin(2πt)) (1243)
dt
Usamos la regla de la cadena (f (g))0 = f (g)g 0

2
2e− 3 cos(g)2π
(1244)
Nos deshacemos de g en la expresión y simplificamos
2 4πcos(2πx)
2e− 3 cos(2π)2π = 3 (1245)
e2
La velocidad del resorte es
4πcos(2πx)
(1246)
e2

ción 3.4, ejercicio 84, inciso (b), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). En cier-
tas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación p(t) = 1+ae1 −kt ,
donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en el tiempo t, y a
y k son constantes positivas. Halle la rapidez de esparcimiento del rumor.
Respuesta. Para encontrar la rapidez de esparcimiento del rumor se debe
calcular la derivada de la función, se utiliza la regla de potencias:
p0 (t) = (1 + ae−kt )−1 (1247)
p0 (t) = −1(1 + ae−kt )−2 (−ktae−kt ) (1248)

ktae−kt
p0 (t) = (1249)
(1 + ae−kt )2
ktae−kt
La rapidez está dada por p0 (t) = (1+ae−kt )2

Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superficie lisa y

nivelada, en un movimiento armónico simple. Su ecuación de movimiento
es x(t) = 8sen(t), donde t está en segundos y x en centı́metros. Calcule
velocidad y aceleración en t = ( 2π
3 )
284
Respuesta. Para la velocidad se calcula la primera derivada
y = 8sin(t) (1250)
Usando la fórmula de la constante:
y 0 = 8(cos(t)) (1251)
Al evaluar la derivada con t = ( 2π

3 )
2π m
8cos( ) = −4 (1252)
3 2
Para la aceleración es la segunda derivada:
y 00 = 8(−sin(t)) (1253)
Es decir que la aceleración es:
2π m
− 8(sin( )) = −6,92 2 (1254)
3 s
Sesión 12
3.3.3 Derivadas de funciones trigonométricas de orden mayor. Cómo
calcular una derivada de orden 27
.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, DIFFERENTIATING THE
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS, saturnino L. Salas, calculus one or se-
veral variables, sección 3.4 ejercicio 23) encuentre dx
dy de orden 45 de la
ecuación
y = 6cosx + 2sinx
Respuesta. derivamos hasta encontrar un patrón
y 0 = −6senx + 2cosx
y 00 = −6cosx − 2senx
y 000 = 6senx − 2cosx
y iv = 6cosx + 2senx
El patrón se repite cada 4 funciones y en la cuarta es cuando regresamos a

la función de origen.
Quedando de esta manera la forma de encontrar la derivada de orden 45
4n + 1
al sustituir 11 obtenemos el valor 45
4(11) + 1 = 44 + 1 = 45
El valor de 4n + 1 corresponde a la primer derivada
por lo que la derivada de orden 45 es

Sección 3.4 ejercicio 79. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Encuentre la
50a. derivada de y = cos 2x.
Respuesta. Primero se obtienen las derivadas de la función hasta encontrar
un valor repetitivo.
f 0 (x) = −2 sen 2x (1255)
f 00 (x) = −4 cos 2x
f 000 (x) = 8 sen 2x (1256)
f 0000 (x) = 16 sen 2x (1257)
f (x) = −32 sen 2x (1258)
Como podemos ver se repite un patrón cada cuatro derivadas, las cuales
pueden ser descritas como:
286
f 4n (x) = −(1)2n sen 2x (1259)
f 4n+1 (x) = −1(2)n cos 2x (1260)
f 4n+2 (x) = 2n sen 2x (1261)
f 4n+3 (x) = 2n cos 2x (1262)
n es un número cualquiera que pertenece a los enteros. Siendo 50 la función

de 4(12) + 2, la función de la 50a. derivada es:
f 4n+2 (x) = 2n sen 2x = 250 sen 2x (1263)

la 1000a. derivada de f (x) = xe−x
Respuesta. Para poder empezar a derivar esta función es necesario hacer
notar que existe un producto de funciones, por lo que al derivarla es necesario
utilizar la regla del producto, la cual nos dice que
y 0 = f (x)g 0 (x) + g(x)f 0 (x) = uv 0 + vu0
Por lo que definimos a u = x y v = e−x , siendo que u0 = 1 y v 0 = −e−x ,

sustituyendo en la regla del producto podemos obtener la primer derivada, la
cual serı́a
f 1 (x) = x(−e−x ) + e−x (1) = −xe−x + e−x
Siguiendo el mismo desarrollo que la primer derivada, pero ahora conside-
rando una suma, en la cual se derivan cada componente de la suma, podemos
desarrollar las siguientes derivadas:
f 2 (x) = xe−x − 2 · e−x
f 3 (x) = −xe−x + 3 · e−x

f 4 (x) = xe−x − 4 · e−x
Entonces, podemos observar que hay un patrón evidente, donde si las de-
rivadas que se realizan pertenecen al conjunto de los números impares (los
cuales para este ejercicio se definen como M), entonces la deriva queda del
siguiente modo:
dn
= −xe−x + n · e−x , n ∈ M
dxn
Mientras que si pertenecen al conjunto de los números pares (definidos por
P), entonces es del siguiente modo:
dn
= xe−x − n · e−x , n ∈ P
dxn
Y al pertenecer el número 1000 al conjunto de los números pares, entonces
la derivada quedarı́a será de la siguiente forma:
d1000
= xe−x − 1000 · e−x (1264)
dx1000
Ejercicio. (Matemáticas Calculo Diferencial Dennis G sección 4.11 ejer-

cicio 3, Toscano Ramı́rez Emiliano). Encuentre la derivada de la función
dada:
y = cosh10x
Respuesta. Usamos la regla de la cadena:
d
(cosh10x)
dx
u = 10x
d
(cosh(u)) = senh(u)
dx
d
(10x))senh(10x)
dx
d
= 10 (x)senh(10x)
dx
Esto nos da:
y(x) = 10senh(10x)
(M atemáticasCalculoDif erencialDennisGsección4,3ejercicio59, OmarF abianIzquierdoP érez).

288

cio 59, Omar Fabian Izquierdo Pérez). El sı́mbolo n representa un entero
positivo. Encuentre una fórmula para la derivada dada.
dn n
dxn x
Respuesta. Comencemos revisando casos sencillos, calculando las deriva-

das de orden menor de xn
d n
x = nxn−1 (1265)
dx
d2 n
x = n(n − 1)xn−2 (1266)
dx2
d3 n
x = n(n − 1)(n − 2)xn−3 (1267)
dx3
Si continuemos haciendo lo mismo hasta la derivada de orden n tenemos
que:
dn n
x = n! (1268)
dxn
Recordemos que:
dk n n!
k
x = xn−k (1269)
dx (n − k)!
Entonces el problema es un caso particular, el caso cuando k = n, sustitu-
yendo
dn n n! n!
x = xn−n = x0 = n! (1270)
dxn (n − n)! 0!
Y esto demuestra la fórmula.
Aplique la función de derivada y demuestre que: si f (x) = cos(x) entonces
f 0 (x) = −sen(x)
Respuesta. Sabemos pues que:
f 0 (sen(x)) = cos(x)
Ası́ como:
f (0 (−sen(x)) = −cos(x)
Y ası́ de forma recı́proca, no obstante, para determinar que la derivada de

cos(x) sea -sen(x). Se debe estipular que se trata de una derivaba a las demás
derivadas de estas funciones trigonométricas.
f 0 (−sen(x)) = −cos(x)
f 0 (cos(x)) = −sen(x)

ta)Encuentre la derivada que se muestra, mediante la búsqueda de las pri-
meras derivadas y observando el patrón que aparece.
d35
(x sin x)
dx35
Respuesta. Primero obtenemos las derivadas para poder encontrar una re-
petición, recordando que la derivada de un producto está dada por
(f g)0 = f 0 g + g 0 f
Y para la expresión tenemos que
f =x f0 = 1 y g = sin x g 0 = cos x
Por lo que la primera derivada está dada por

d
(x sin x) = (1)(sin x) + (x)(cos x) = sin x + x cos x
dx
Para obtener la segunda derivada, en la suma hay una multiplicación que
debe derivarse, y sus elementos son
f =x f0 = 1 y g = cos x g 0 = − sin x
Entonces para tener la segunda derivada
d2
(x sin x) = cos x + cos x − x sin x = 2cosx − x sin x
dx2
Seguimos derivando, ahora por la tercera derivada
d3 d d
3
(x sin x) = 2 cos x − (x sin x)
dx dx dx
290
Para la segunda parte de la derivada vemos que se habla nuevamente de un

producto, por lo que sus elementos para resolverla son
f =x f0 = 1 y g = sin x g 0 = cos x
La derivada ya resuelta nos da
d3
(x sin x) = −2 sin x − (sin x + x cos x) = −2 sin x − sin x − x cos x
dx3
Simplificando, tenemos que
d3
(x sin x) = −3 sin x − x cos x
dx3
Pero no es una derivada que nos sea útil para contestar todavı́a el problema,
continuamos ası́ hasta la 5ta derivada
d4 d d
4
(x sin x) = −3 sin x − (x cos x)
dx dx dx
Por procedimientos anteriores, sabemos la derivada de cada una de las partes
de la función, por lo que
d4
(x sin x) = −3 cos x − (+ cos x − x sin x) = −3 cos x − cos x + x sin x
dx4
Entonces para la cuarta derivada tenemos
d4
(x sin x) = −4 cos x + x sin x
dx4
Los procedimientos para obtener la 5ta derivada son
d5 d
(x sin x) = −4 cos x + (x sin x)
dx5 dx
Colocando los resultados de las derivadas que se hicieron anteriormente,
tenemos que
d5
(x sin x) = 4 sin x + sin x + x cos x
dx5
Para la 5ta derivada tenemos como resultado
d5
(x sin x) = 5 sin x + x cos x
dx5
Entonces de resultados tenemos

d
(x sin x) = sin x + x cos x
dx
d2
(x sin x) = 2 cos −x sin x
dx2
d3
(x sin x) = −3 sin x − x cos x
dx3
d4
(x sin x) = −4 cos x + x sin x
dx4
d5
(x sin x) = 5 sin x + x cos x
dx5
Entonces vemos un patrón y podemos deducir que
d5 n
(x sin x) = 5n sin x + x cos x
dx5 n
Por lo que la respuesta se puede escribir como
d5 (7)
(x sin x) = 5(7) sin x + x cos x = 35 sin x + x cos x
dx5 (7)

ejercicio 4.5.1 d), Andrea Quiroz Garduño) Encuentre la tercera derivada
de las siguientes funciones
1
y= (1271)
x−1
Respuesta. El ejercicio pide obtener una derivada de orden superior, es-

pecı́ficamente tercera derivada y”’, la cuál se obtendrá:
d 1
y0 = ( ) (1272)
dx x − 1
d
(x − 1)
y 0 = − dx (1273)
(x − 1)2
d d
(x) − dx (1)
y 0 = − dx 2
(1274)
(x − 1)
1−0
y0 = − (1275)
(x − 1)2
292
1
y0 = − (1276)
(x − 1)2
Ahora es necesario sacar la segunda derivada:
d 1
y 00 = (− ) (1277)
dx (x − 1)2
2(x − 1)
y 00 = (1278)
(x − 1)4
2
y 00 = (1279)
(x − 1)3
Finalmente se puede calcular la tercera derivada
d 2
y 000 = ( ) (1280)
dx (x − 1)3
d
((x − 1)3 )
y 000 = −2( dx ) (1281)
((x − 1)3 )2
3(x − 1)2 )
y 000 = −2( ) (1282)
(x − 1)6
6
y 000 = − (1283)
(x − 1)4
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G Sección 4.9 Ejercicio 24, Jo-

x+2
y = e x−2
Respuesta. Obtenemos la deriva de ambos lados

d x−2x+2
y0 = (e ) (1284)
dx
d d d x+2
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = x−2
obtenemos
d g d x+2
y0 = (e ) ∗ ( ) (1285)
dg dx x − 2
(x − 2) − (x + 2)
y0 = eg ∗ (1286)
(x − 2)2
x+2
Devolvemos la sustitución de g = x−2
x+2 (x − 2) − (x + 2)
y0 = e x−2 ∗ (1287)
(x − 2)2
Simplificar la expresión y obtenemos el resultado
x+2
4e x−2
y0 = − (1288)
(x − 2)2

ción 3.3, ejercicio 40, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Determine cada
uno de los siguientes limites lı́m sen4x
sen6x
x→0
Respuesta. Si evaluamos el limite cen x = 0 nos daremos cuenta que ten-

deremos una división entre cero, de la misma forma arriba nos quedara 0
entonces debemos resolver la indeterminación del limites, por una ley de los
limites debemos tener lo mismo abajo que lo que esta en la función trigono-
metrica
4x(sen4x)
4x
lı́m (1289)
x→0 6x(sen6x)
6x
Todo esto lo podemos separar por limites distintos gracias a las reglas de los
limites lo que nos queda:
lı́m sen4x
( lı́m 4x)( x→04x )
x→0
lı́m sen6x
(1290)
x→0
( lı́m 6x)( 6x )
x→0
Lo que haria que el seno sea igual a 1 tanto numerador como denominador
y nos queda
4x
lı́m (1291)
x→0 6x
Pero esto se puede simplificar sacando mitad y por leyes de los exponentes
podemos restar las x lo que nos queda.
sen4x 2
lı́m = (1292)
x→0 sen6x 3

ción 3.4, ejercicio 13, Jesús Octavio Rangel Moreno) Obtenga la derivada
de cada una de las siguientes funciones.
y = cos(a3 + x3 ) (1293)
294

d d
(cos(g)) (a3 + x3 ) (1294)
dg dx
Usamos d
dx (sin(x)) = cos(x) y (f + g)0 = f 0 + g 0
− sin(g)3x2 (1295)
quitamos a la g de nuestra expresión y reorganizamos
− 3x2 sin(a3 + x3 ) (1296)
Ası́ queda la derivada de la función

Ejercicio (Cálculo Diferencial 2ed, sección 4.5, ejercicio 4.5.1, inciso (c),
Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Encuentre la tercera derivada de las si-
guientes funciones:
y = sen(7x) (1297)
Respuesta. Se calcula la primera derivada utilizando la regla de cadena:
y 0 = 7cos(7x) (1298)
Después, se calcula la segunda derivada utilizando también la regla de cade-

na:
y 00 = −14sen(7x) (1299)
Para finalizar, a partir de este resultado se calcula la tercera derivada utili-
zando la misma regla:
y 000 = −21cos(7x) (1300)

Determine el lı́mite:
sen(x2 )
lı́m (1301)
x→0 x
Respuesta. Lo que haremos será encontrar las derivada del numerador y
del denominador por lo que:
d 2
dx sin(x)
lı́m d
(1302)
dx x
x→0
Esto da como resultado:

cos(x)2 (2x)
lı́m (1303)
x→0 1
lı́m 2x(cos(xx ) (1304)
x→0
Y su solución por sustitución del lı́mite es 0

Ejercicio. (Notas de Cálculo Diferencial, J. J. Trejo-Alonso, Sección 4.5.1,ejer-
cicio 4.5.1 b), Gilberto Martinez Ordoñez) Encuentre la tercera derivada de
las siguientes funciones
y = (3x + 5)3
Respuesta. mediante
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
(3x + 3h + 5)3 − (3x + 5)3
lı́m
h→0 h
h(81x2 + 27h2 + 225 + 81hx + 270x + 135h
lı́m
h→0 h
eliminamos h
lı́m 81x2 + 27h2 + 225 + 81hx + 270x + 135h

h→0
entre 9
lı́m 9x2 + 3h2 + 25 + 9hx + 30x + 15h
h→0
evaluando h en cero
lı́m 9x2 + 30x + 25
h→0
siguiendo el mismo proceso obtenemos que f ”(x)=18x+30 f ”’(x)=18
Sesión 13
3.4.0 Ejemplos resueltos de cómo aplicar la regla de la cadena a
diversas composiciones de funciones.
sección 3.4 ejercicio 13) encuentre dx
dy por regla de la cadena de la ecuación
f (x) = cos(a3 + x3 )
296
Respuesta. sabemos que g(x)= u

Entonces debemos obtener la derivada de g(x)
g(x) = (a3 + x3 )
su derivada
g 0 (x) = (3a2 + 0)
al derivar una constante su valor es 0 por lo que x=0

obtenemos la derivada de f(x)
f (x) = cos(a3 + x3 )
obtenemos la derivada trigonométrica de cos
dx
cos = −sen
dy
sustituimos en f(x) el valor de la derivada de cos
f 0 (x) = −sen(a3 + x3 )
usamos la regla de la cadena f 0 (g(x))g 0 (x)
−sen(a3 + x3 )(3a2 )
realizamos el producto
−3sen2 (a3 + x3 )
se obtiene la derivada de la función con la regla de la cadena

la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas, en el
punto especificado.
π
y = sec(x), ( , 2)
3
Respuesta. Para ello, se procede a graficar la función f(secx). E insertar

el punto especificado, por lo que vemos que, en efecto se trata de una recta
tangente a la función f(sec(x)).
Figura 40: Función sec(x)
Podemos apreciar que la recta tangente se rige por la ecuación:
y = 3,46x − 1,63

Sección 3.4 ejercicio 9. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Obtenga la de-
rivada de cada una de las siguientes funciones.
√
F (x) = 1 − 2x (1305)
Respuesta. Como primer punto definimos que u = 1−2x ası́ que F(x) está
compuesta en u. Por la regla de la cadena se define que:
y = f (g(x)) (1306)
y 0 = f 0 (g(x))g(x) (1307)
Esto quiere decir que la derivada de una función compuesta es igual a la
derivada de f compuesta en g por la derivada de g. En este caso g = u y
F (x) = f (g(x)). Ası́ que derivamos a u para poder componer después la
función.
u0 = −2 (1308)
298
√ 1
Ası́ que F (x) = u.Se reescribe la función F(x) como F (x) = u 2 . Por regla
de la cadena se obtiene que:
1 −1
y 0 = (1 − 2x) 2 (−2) (1309)
2
Se simplifica la función por leyes de los exponentes:
−2
y0 = 1 (1310)
2(1 − 2x) 2
−1
y0 = √ (1311)
1 − 2x

7ma edición Sección 3.1, ejercicio 3, Toscano Ramı́rez Emiliano)Derive cada
una de las siguientes funciones:
f (x) = 24 0
Respuesta.
d d (
(f (x)) = (2 40))
dx dx
Derivada de fx es 1 y la de 24 0es0
Nos queda
f (x) = 0

7ma edición Sección 3.4, ejercicio 26, Brandon Galicia Alvarez). Obtenga
la derivada de cada una de las siguientes funciones.
(y − 1)4
G(y) =
(y 2 + 2y)5
Respuesta. Primeramente debemos tener en cuenta que para encontrar la

derivada tenemos que hacer uso de la regla de la cadena, ası́ como de las
reglas de derivación anteriormente, en este caso es la del cociente y algunas
más como exponenciales y de constantes.
Regla de la cadena
df df dg
= ·
dx dg dx
Entonces, sea u = y − 1, u0 = 1 y v = y 2 + 2y, v 0 = 2y + 2. Siguiendo la
regla de la cadena, tenemos que
u4 0 u0 v − uv 0 4u3 · u0 · v 5 − u4 · 5v 4 · v 0
G(y) = → G (y) = =
v5 v2 (v 5)2
Sustituyendo por las variables definidas anteriormente se tiene que
4(y − 1)3 · (1) · (y 2 + 2y)5 − (y − 1)4 · 5(y 2 + 2y)4 · (2y + 2)
G0 (y) =
(y 2 + 2y)10
Desarrollando las multiplicaciones y simplicando obtenemos
4(y − 1)3 · (y 2 + 2y)5 − 5(y − 1)4 (y 2 + 2y)4 · (2y + 2)
G0 (y) =
v 10
(y − 1)3 · (y 2 + 2y)4 (4(y 2 + 2y) − 5(y − 1)(2y + 2))
=
(y 2 + 2y)10
Obteniendo finalmente la derivada
(y − 1)3 (4(y 2 + 2y) − 5(y − 1)(2y + 2))
G0 (y) =
(y 2 + 2y)6
Y también, si se quiere, se puede simplificar aún más la expresión haciendo
las multiplicaciones indicadas, pero en este caso he decido dejarlo hasta aquı́.
Ejercicio. (Calculus - Michael Spivak, Parte 3, Capı́tulo 10, ejercicio 1
(iii), Omar Fabian Izquierdo Pérez). Como ejercicio de precalentamiento,
halle f 0 (x) para cada una de las siguientes f . (No se preocupe por el dominio
de f o de f 0 ; obtenga tan sólo una fórmula para f 0 (x) que dé la respuesta
correcta cuando tenga sentido.)
(iii)= f (x) = sen(cos x)
Respuesta. Para obtener esta derivada tenemos que recordar primero la
derivada de la función seno, que es coseno, y también la regla de la cadena,
nos queda entonces que:
f 0 (x) = cos(cos x)(− sen x) (1312)
Primero derivamos sen(cos x) y después cos x. Nos queda entonces que:
f 0 (x) = − cos(cos x) · sen x (1313)

300

Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones.
F (x) = (x4 + 3x2 − 2)5
Respuesta. Para resolver este problema utilizamos la regla de la cadena,

entonces determinamos una variable u en la función de tal manera que
F (u) = u5 F 0 (u) = 5u4 u0 u = x4 + 3x2 − 2 u0 = 4x3 + 6x
Entonces remplazando los valores en su respectivo lugar tenemos
F 0 (x) = 5(x4 + 3x2 − 2)4 (4x3 + 6x)
Simplificando tenemos la respuesta del problema
F 0 (x) = (20x3 + 30x)(x4 + 3x2 − 2)4

Encontrar la derivada de la función anterior
e7x
y=
e−x

d e7x
y0 = ( ) (1314)
dx e−x
Simplificamos la expresion
d 8x
y0 = (e ) (1315)
dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = 8x
obtenemos.
d g d
y0 = (e ) ∗ (8x) (1316)
dg dx
Calculamos la deriva
y0 = eg ∗ 8 (1317)
Devolvemos a la sustitución g = 8x
y0 = e8x ∗ 8 (1318)
Usando la propiedad conmutativa para reorganizar los términos y obtenemos

el resultado final.
y0 = 8e8x (1319)

ejercicio 4.4.1 7), Andrea Quiroz Garduño) Encuentre la derivada usando
la regla de la cadena cuando corresponda
x2 − 1 2
r(x) = ( ) (1320)
x2 + 1
Respuesta. Para obtener la derivada de la función anterior puede hacerse

uso de la regla de la cadena, la cuál indica:
d df du
f (g(x)) = · = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
dx du dx
Sustituyéndola con la función que se tiene serı́a (considerando que f =
x2 −1
x2 +1
):
d x2 − 1 2
r(x)0 = (( ) ) (1321)
dx x2 + 1
d d x2 − 1
r(x)0 = (f 2 ) ( 2 ) (1322)
df dx x + 1
d d
d 2 dx (x2 − 1)(x2 + 1) − (x2 − 1) dx (x2 + 1)
r(x)0 = (f )( ) (1323)
df (x2 + 1)2
(2x)(x2 + 1) − (x2 − 1)(2x)
r(x)0 = (2f )( ) (1324)
(x2 + 1)2
Una vez resueltas las derivadas, se puede sustituir el valor de f y simplificar
la expresión
x2 − 1 (2x)(x2 + 1) − (x2 − 1)(2x)
r(x)0 = (2 · )( ) (1325)
x2 + 1 (x2 + 1)2
x2 − 1 2x3 + 2x − 2x3 + 2x)(2x)
r(x)0 = (2 · )( ) (1326)
x2 + 1 (x2 + 1)2
x2 − 1 4x
r(x)0 = (2 · )( 2 ) (1327)
x + 1 (x + 1)2
2
4x · (x2 − 1) · 2
r(x)0 = (1328)
(x2 + 1)2 · (x2 + 1)
8x3 − 8x
r(x)0 = (1329)
(x2 + 1)3
302

ción 3.4, ejercicio 21, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Obtenga la deri-
2
vada de cada una de las siguientes funciones. y = ( xx2 +1
−1
)3
Respuesta. Usando la regla de la cadena podemos resolver para obtener la
derivada, sin embargo esta regla nos pide que debemos derivar también lo que
es u, entonces es necesario aplicar la regla para la obtención de la derivada
2
de una función racional, entonces comenzamos con decir que u = xx2 +1 −1
entonces debemos encontrar la derivada de u.
(2x)(x2 − 1) − (x2 + 1)(2x)
u0 = (1330)
(x2 + 1)2
Si multiplicamos y restamos nos queda que la derivada es:
4x
u0 = − (1331)
(x2 + 1)2 )
Ahora que conocemos la derivada de u solo simplificamos las cosas con la
regla de la cadena quedando:
x2 + 1 3−1 4x
3( 2
) (− 2 ) (1332)
x −1 (x + 1)2
Podemos simplificar para que nos quede:
4x
y0 = − (1333)
(x2 − 1)4 ((x2 + 1)4

dy
y = (−5x)30 (1334)
Respuesta. Se utiliza la regla de potencias para funciones y la regla de la

cadena:
y 0 = 30(−5x)29 (−5) (1335)
y 0 = −150(−5x)29 (1336)

ción 3.4, ejercicio 11, Jesús Octavio Rangel Moreno) Obtenga la derivada
1
f (z) = (1337)
z2 + 1
Respuesta. Para resolver este ejercicio primeramente tenemos que utili-

zar la regla de la cadena (f (g))0 = f (g)g 0 . Primero reescribimos nuestra
expresión
d −1 d 2
(g (x + 1) (1338)
dg dx
Usamos (f + g)0 = f 0 + g 0 y d n
dx (x ) = nxn−1
− 1g −2 2x (1339)
Sacamos a la g de la expresión
2x
− 1(x2 + 1)−2 2x = − (1340)
(x2 + 1)2
Derivamos nuestra función usando la regla de la cadena.
f (x) = (x4 + 3x2 − 2)5 (1341)
Vamos a delimitar lo siguiente:
u = x4 + 3x2 − 2 (1342)
u0 = 4x3 + 6x (1343)
Al derivar f (x) = u5 :
f 0 (x) = 5(u)u0 (1344)
Simplemente sustituyendo:
f 0 (x) = 5(x4 + 3x2 − 2)4 (4x3 + 6x) (1345)
Por lo que queda:
f 0 (x) = (20x3 + 30x)(x4 + 3x2 − 2) (1346)

7ma edición Sección 3.4, ejercicio 11, Gilberto Martinez Ordoñez) Obtenga
la derivada de cada una de las siguientes funciones.
1
y=
x2 + 1
304
Respuesta. podemos representar la función como
y = (x2 + 1)−1
mediante la regla de la cadena podemos asignar una literal a la funcion tal

que f (u) = (u)1 , f ’(u)=-2u1 u0 f 0 = 2x
1
3.4.1 Cómo utilizar la regla de la cadena para derivar composicio-

nes de varias funciones y ejemplos.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Derivada, calculus one and se-
veral variables, sección 3.5 ejercicio a)) resuelva usando la regla de la cadena
f (x) = (x2 + 1)2
Respuesta. derivas f(x)

2(x2 + 1)
derivas g(x)
2x
aplicas la regla de la cadena
f 0 (g(x))g 0 (x)
((2x + 1)(2x))
(2(2x2 + 2x))
se aplica distributiva
(4x3 + 4x)
Resuelves
Sección 3.4 ejercicio 37. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Obtenga la de-
rivada de cada una de las siguientes funciones.
y = cot2 sen θ (1347)
Respuesta. Definimos que la función f(x) está compuesta de la función

g(x), la cual es igual a u. Siendo ası́, primero se deriva a u.
u = sen θ (1348)
u = cos θ (1349)
Para conocer la derivada de y se deriva la función f(x) por la regla de la

cadena:
y 0 = f 0 (g(x))g 0 (x) (1350)
Sustituyendo:
y 0 = −2 csc u2 (u) (1351)
y 0 = −2 csc2 cos θ(cos θ) (1352)
y 0 = −2 cos θ csc2 (cos θ) (1353)

Escriba la función compuesta en la forma f (g(x)). Luego, encuentre la de-
rivada dy/dx de cada una de las siguientes funciones.
√
x
y=e
Respuesta. Para ellos determinamos nuestra ü”que en este caso se trta de

√
x.
d√ 1
x= √ =u
dx 2 x
Ahora, ejecutamos la formula de derivación:
df df dy
=
dx dg dx
y = eu (u0 )
√ 1
x
y=e √
2 x
306

7ma edición Sección 3.4, ejercicio 40, Brandon Galicia Alvarez).Obtenga la
derivada de cada una de las siguientes funciones.
y = sen(sen(sen(x)))
Respuesta. Debemos tener en cuenta que para encontrar la derivada de

esta función tenemos que hacer uso de la regla de la cadena, ası́ como de las
reglas de derivación anteriormente vistas, como lo son las de las funciones
trigonométricas. Regla de la cadena
dy df dg dh
= · ·
dx dg dh dx
Entonces, comenzamos definiendo las variables que estaremos utilizando pa-
ra la derivación, sea
u = sen(x), u0 = cos(x), v = sen(u), v 0 = cos(u) · u0 y y = sen(v)· y 0 =
cos(v) · v 0 .
A continuación, comenzaremos sustituyendo las variables establecidas con-
forme a la regla de la cadena, del siguiente modo:
y 0 = cos(v) · v 0 = cos(sen(u))cos(u) · u0
= cos(sen(sen(x)))cos(sen(x))cos(x)
Obteniendo la derivada y por último, solo la ordenarı́amos
y 0 = cos(x)cos(sen(x))cos(sen(sen(x))) (1354)
Esto mediante el uso de la regla de la cadena y una sustitución adecuada de

las variables definidas para esta misma.
23, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Encuentre f 0 (x)
f (x) = (2 + x sen 3x)10 (1355)
Respuesta. Aplicando la regla de la cadena nos queda que:
f 0 (x) = 10(2 + x sen 3x)9 (x · cos 3x · 3 + sen 3x) (1356)
Finalmente
f 0 (x) = 10(2 + x sen 3x)9 (3x cos 3x + sen 3x) (1357)


y = 2sin πx
Respuesta. Para resolver este problema hacemos uso de la regla de la ca-

dena determinando dos variables más que serán derivadas de la siguiente
manera
u = πx u0 = π
Y
v = sin u = sin πx v 0 = u0 cos u = π cos πx
Por lo que la función original nos queda como
y = 2v y 0 = 2v lnv(v 0 )
Donde sustituyendo las variables tenemos que
y 0 = 2π cos πx ln(sin πx)(π cos πx)
Que es la respuesta de la derivada.

Encontrar la deriva de la función dada
y = e2x e3x e4x (1358)

d 2x 3x 4x
y0 = (e e e ) (1359)
dx
Calculamos el producto
d 9x
y0 = (e ) (1360)
dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = 9x
obtenemos
d g d
y0 = (e ) ∗ (9x) (1361)
dg dx
y0 = eg ∗ 9 (1362)
308
Devolvemos la sustitución g = 9x
y0 = e9x ∗ 9 (1363)
Usamos la propiedad conmutativa para reorganizar los términos
9e9x (1364)
Lo cual esto hace que esta sea la solución al problema inicial

ejercicio 4.4.1 9), Andrea Quiroz Garduño) Encuentre la derivada usando
la regla de la cadena cuando corresponda
3x2
f (x) = cos( ) (1365)
x+2
Respuesta. Para obtener la derivada de la función anterior puede hacerse

uso de la regla de la cadena, la cuál indica:
d df du
f (g(x)) = · = f 0 (g(x)) · g 0 (x)
dx du dx
3x2
Sustituyéndola con la función que se tiene serı́a (considerando que u = x+2 ):
d 3x2
f (x)0 = (cos( )) (1366)
dx x+2
d d 3x2
f (x)0 = ( (cos(u)) ( )) (1367)
du dx x + 2
d d
d (3x2 )(x + 2) − (3x2 ) dx (x + 2)
f (x)0 = ( (cos(u))( dx 2
)) (1368)
du (x + 2)
(6x)(x + 2) − (3x2 )(1)
f (x)0 = (−sen(u))( )) (1369)
(x + 2)2
Una vez derivada la función, se puede sustituir u y despejar
3x2 (6x)(x + 2) − (3x2 )(1)

f (x)0 = (−sen( ))( )) (1370)
x+2 (x + 2)2
3x2 3x2 + 12x

f (x)0 = −sen( )·( )) (1371)
x+2 (x + 2)2

ción 3.4, ejercicio 32, Ignacio Ismael Flores Landaverde). Obtenga la deri-
vada de cada una de las siguientes funciones. y = sec2 (mθ)
Respuesta. Si observamos podemos ver que es una composición de funcio-
nes las cales son dos y debemos identificarlas, la primera sera la sec2 y la
segunda lo que esta dentro del paréntesis mθ, entonces comenzaremos deri-
vando la primer funcion mθ y la denotaremos como u mientras que y = sec2
la seguiremos denotando como y.
y = sec2 y la derivada de esta función es y 0 = 2sec2 (u)tan(u) mientras que
u = mθ su derivada es u0 = m todas estas derivadas son con respecto a m,
ya que se puede derivar con respecto a theta. Entonces aplicando la regla de
la cadena tenemos
y 0 = (y 0 u)(u0 ) (1372)
Si sustituimos las funciones que asignamos nos queda:
y 0 = 2sec2 (mθ)tan(mθ)m (1373)
Lo que simplificando solo pasando la m con el dos, para obtener de forma

mas estetica la derivada nos queda:
y 0 = 2msec2 (mθ)tan(mθ) (1374)
cicio 1, Toscano Ramirez Emiliano). Encuentre la derivada de la función
dada.
y = 3x4 − x2 + 1
Respuesta. Empezamos a separar cada termino y derivar cada uno de ellos,

dejando afuera las constantes.
d 4 d 2 d
= 3( (x )) − (x ) 1
dx dx dx
Empezamos a derivadar a cada uno y nos queda:
= 3(4x3 ) − 2x + 0
Simplificamos
= 2x(6x2 − 1)
310

dy
r
x2 − 1
y= (1375)
x2 + 1
Respuesta. Primero se utiliza la regla de las potencias para las funciones

y después se utiliza la regla del cociente:
1 x2 − 1 − 1 (2x)(x2 + 1) − (2x)(x2 − 1)
y0 = ( 2 ) 2( ) (1376)
2 x +1 (x2 + 1)2
1 x2 − 1 − 1 4x
y0 = ( 2 ) 2( 2 ) (1377)
2 x +1 (x + 1)2
2x
y0 = √ 3 (1378)
( x2 − 1(x2 + 1) 2

ción 3.4, ejercicio 44, Jesús Octavio Rangel Moreno).Obtenga la derivada
x2
y = 23 (1379)
Respuesta. Para resolver este ejercicio primeramente tenemos que utili-

zar la regla de la cadena (f (g))0 = f (g)g 0 . Primero reescribimos nuestra
expresión
d g d x2
(2 ) (3 (1380)
dg dx
d x
Usamos dx (a ) = In(a)ax y la regla de la cadena
2
In(2)2g In(3)3x 2x (1381)
Sustituimos g y multiplicamos
x2 2 x2 +1 2
In(2)23 In(3)3x 2x = In(2)In(3)23 3x x (1382)
Simplificamos lo más posible la expresión


Encuentre la derivada:
1
y = 5− x (1383)
Respuesta. Recordando la forma de las derivadas exponenciales tenemos

que y = ax :
y 0 = ax ln(a)x0 (1384)
En este caso delimitaremos

−1
u= (1385)
x
1
u0 = (1386)
x2
y’=au Ln(a)u0 Sustituimos y nos queda que:
−1 1
Ln(5)
y0 = 5 x x2 (1387)
Es decir:
Ln5
y0 = −1 (1388)
5 x x2
Ejercicio. (Calculo Diferencial Deniss G. sección 4.9 Ejercicio 5, Gilberto

Martinez Ordoñez) encuentre la derivada de la función dada.
y = 52x
Respuesta.
f (x + h) − f (x)
lı́m
h→0 h
52x+2h − 52x
lı́m
h→0 h
52x+2h − 25x
lı́m
h→0 h
312
3.4.2 El problema del camello bajo la cuerda. Rectas tangentes a

la circunferencia y aplicaciones.
7ma edición Sección 3.4, ejercicio 56 , Brandon Galicia Alvarez). a) La
|x|
curva y = √2−x 2
se llama curva nariz de bala. Encuentre la ecuación de la
recta tangente a esta curva en el punto (1,1).
Respuesta. Para encontrar la ecuación de la recta tangente debemos de
calcular primero la pendiente, ya que la ecuación de la recta tangente está
dada por
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
Si simplificamos por las coordenadas dadas, entonces tendrı́amos que
y2 − (1) = m(x2 − (1))
Ahora, para calcular la derivada de la función debemos de ubicar primero las

variables que se utilizarán para poder utilizar la regla del cociente y obtener
la deriva. Entonces, sea
p −x
u = |x|, u0 = sign(x), v = 2 − x2 v 0 = √
2 − x2
Entonces, usamos la regla de la cadena y obtenemos que
√ −x
√ |x|x
(sign(x) 2 − x2 ) − (|x| √2−x2
) signx 2 − x2 + √
2−x2
)
y0 = √ =
( 2 − x2 )2 (2 − x2
√ √
sig(x) 2−x2 2−x2 +|x|x sig(x)(2−x2 )+|x|x
√ √
2−x2 2−x2 sig(x)(2 − x2 ) + |x|x
= = = 3
2 − x2 2 − x2 (2 − x2 ) 2
(1389)
Entonces, evaluamos la derivada obtenida en el punto donde x = 1, dadas
las coordenadas mencionadas en el problema, obteniendo que
sig(1)(2 − 12 ) + |1|1 1(1) + 1

y0 = 3 = =2
(2 − 12 ) 2 1
Ahora, utilizando la pendiente que hemos obtenido y la simplificamos en la

ecuación de la recta tangente, despejando a y, obtenemos que:
y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1 (1390)

Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes
funciones:
y = cos(x2 )
Respuesta. Se identifica primero nuestra u, que es x2 y su derivada es 2x.

Ahora haremos la derivada de la función
d
= −sen(x2 )(2x)
dx
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Derivada, Notas de calculo di-

ferencial, sección 4.1.1 ejercicio a)) trace la gráfica de la función y de la
recta tangente, usando como dato en el punto dado.
f (x) = −x2 + 9(2, 5)
Se obtiene la pendiente derivando la ecuación
Respuesta.
y = −x2 + 9
dy
m= − x2 + 9
dx
obtienes
m = −2x
evaluas en el punto (2,5)
−2(2) = −4
sustituyes en la ecuacion de punto pendiente
y − y1 = m(x − x1 )
y − 5 = (−4)(x − 2)
resuelves por distributiva
y − 5 = −4x + 4
pasas todo de un solo lado de la ecuación
y + 4x − 5 − 8 = 0
y + 4x − 13 = 0
314
Ejercicio. (Calculo de una variable, Trascendentales tempranas.Stewart.Sección

3.4 ejercicio 51. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo). Encuentre la ecuación
de la recta tangente a la curva en el punto dado.
y = (1 + 2x)10 (0, 1) (1391)
Respuesta. La recta tangente es definida como:
y − y1 = m(x − x1 ) (1392)
Donde m es igual a la derivada de la función, por lo tanto se deriva la

función por la regla de la cadena. Se dice que 1 + 2x = u ası́ que f(u) es
igual a:
y = (u)10 (1393)
Por la regla de la cadena se tiene que
y 0 = f 0 (g(x))g 0 (x) (1394)
Por lo tanto primero derivamos a u y se sustituye en la regla de la cadena

para derivar a f(u).
u0 = 2 (1395)
Se deriva a f(x) compuesta por x por regla de la cadena y se simplifica.
y 0 = 10(1 + 2x)9 (2) (1396)
y 0 = 20(1 + 2x)9 (1397)
Se sustituye el valor de x en la derivada para conocer la pendiente y los

valores del punto dado en la ecuación de la recta tangente de la curva.
y 0 = 20(1 + 2(0))9 = 20 (1398)

y − 1 = y 0 (x − 0) (1399)
y = 20x − 1 (1400)
Ejercicio. (Calculus - Michael Spivak, Parte 3, Capı́tulo 10, ejercicio 13,

Omar Fabian Izquierdo Pérez).
√
(a) Halle f 0 (x) para −1 < x < 1, si f (x) = 1 − x2 .
√
(b) Demuestre que la tangente a la gráfica de f en (a, 1 − a2 ) corta a la
gráfica solamente en este punto (y ası́ demuestre que la definición geométrica
elemental de tangente coincide con la nuestra).
Respuesta. Para el inciso (a) simplemente calculamos la derivada, lo ha-
cemos de la siguiente manera, usando lo que ya sabemos. Debido que f (x) =
√ 1
1 − x2 = (1 − x2 ) 2
1 1 1 x
f 0 (x) = (1 − x2 )− 2 (−2x) = −x(1 − x2 )− 2 = − √ (1401)
2 1 − x2
Ahora para el inciso

√ (b) primero calculamos la pendiente de la recta tangente
en el punto (a, 1 − a2 ), serı́a:
a
m = −√ (1402)
1 − a2
Entonces la ecuación de la recta tangente la podemos calcular de la siguiente
manera:
√
y − 1 − a2 a p
= −√ =⇒ y 1 − a2 − (1 − a2 ) = −ax + a2 (1403)
x−a 1 − a2
Entonces, despejando y
ax 1
y = −√ +√ (1404)
1−a 2 1 − a2
Ahora solo tenemos que resolver el sistema de ecuaciones y verificar que
tenga una solución única.
ax 1
y = −√ +√ (1405)
1 − a2 1 − a2
316
p
y= 1 − x2 (1406)
Si igualamos tenemos que:
ax 1 p
−√ +√ = 1 − x2 (1407)
1 − a2 1 − a2
Elevamos todo al cuadrado
a2 x2 2ax 1
2
− 2
+ = 1 − x2 (1408)
1−a 1−a 1 − a2
a2 x2 − 2ax + 1
= 1 − x2 (1409)
1 − a2
a2 x2 − 2ax + 1 = 1 − a2 − x2 + a2 x2 (1410)
x2 − 2ax + a2 = 0 =⇒ (x − a)2 = 0 (1411)

Por lo tanto
x=a (1412)
Y p
y= 1 − a2 (1413)
Entonces el sistema tiene solución único, es √ decir la recta tangente toca en
un solo punto a la gráfica de f , el punto (a, 1 − a2 ), justo lo que querı́amos
demostrar.
ta)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.
p
y= 1 + x3 , (2, 3)
Respuesta. Para obtener la respuesta de este problema, debemos recordar

que la ecuación de una recta está dada por
y − y1 = m(x − x1 )
Para encontrar la pendiente en el punto de la curva tenemos que
d dp d 1
m= f (x) = 1 + x3 = (1 + x3 ) 2
dx dx dx
Derivando la función, encontramos la definición dela pendiente

1 1 3x2
(1 + x3 )− 2 (3x2 ) = p
2 2 (1 + x3 )
Ahora para que esta pendiente pase por el punto indicado, x va a tomar el
valor de x = 2
3(2)2 12
p = √ =2
2 (1 + (2)3 ) 2 9
Entonces remplazamos los elementos en la ecuación de la recta punto pen-
dinte
y − 3 = 2(x − 2)
Por lo que la ecuación de la recta que pasa por ese punto está dada por
y = 2x + 1

ex + e−x
y=
ex − e−x

d ex + e−x
y0 = ( ) (1414)
dx ex − e−x
d d
d f (f )∗g−f ∗ dx (g)
Utilizando la regla de Diferenciación dx ( g = dx
g 2 obtenemos
d
dx (e
x + e−x ) ∗ (ex + e−x) − (ex + e−x ) ∗ d
dx (e
x − e−x )
y0 = (1415)
(ex − e−x )2
Calculamos la deriva de la suma o la resta y queda:
(ex + e−x ∗ (−1)) ∗ (ex − e−x ) − (ex + e−x ) ∗ (ex − e−x ∗ (−1))
y0 =
(ex − e−x )2
(1416)
4e2x
y0 = − (1417)
(e2x − 1)2
Esta ultima siendo el resultado de la derivada
318

ejercicio 4.1.1(c), Andrea Quiroz Garduño) En los siguientes problemas tra-
ce la gráfica de la función y de la recta tangente, usando como dato en el
punto dado
f (x) = x3 ; (−2, −8) (1418)
Respuesta. Para obtener la lı́nea tangente de una función se hace uso de
y − f (x2 ) = m(x − x2 ) (1419)
Donde la pendiente m es
f (x2 ) − f (x1 )
m = lı́m (1420)
x1 →x2 x2 − x1
Esto serı́a igual a la derivada de la función, por lo que se debe plantear:
d 3
f 0 (x) = (x ) (1421)
dx
f 0 (x) = (3x2 ) (1422)

Una vez con la fórmula de la pendiente se puede sustituir con el punto que
se tiene
f 0 (−2) = (3(−2)2 ) (1423)
f 0 (−2) = 12 (1424)
A partir de aquı́, ya se puede sustituir la ecuación de la lı́nea tangente:
y − (−8) = 12(x − (−2)) (1425)
y + 8 = 12x + 24 (1426)
y = 12x + 24 − 8 (1427)
y = 12x + 16 (1428)

sección 3.5, ejercicio 27, Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Utilice la deri-
vación implı́cita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva
del punto dado: x2 + xy + y 2 = 3 para (1, 1).
Respuesta. Primero se deben sacar las derivadas de los componentes de la

función y encontrar y’:
2x + y + xy 0 + 2yy 0 = 0 (1429)
y 0 (x + 2y) = −2x − y (1430)

−2x − y
y0 = (1431)
x + 2y
Después, para encontrar el valor de la pendiente se evalúa y’ para el punto
(1, 1):
−2(1) − 1 −3
m= = = −1 (1432)
1 + 2(1) 3
Ahora, se utiliza la fórmula punto pendiente y se despeja y:
y − 1 = −1(x − 1) (1433)
y − 1 = −x + 1 (1434)
y = −x + 2 (1435)
La ecuación de la recta tangente es y = −x + 2
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas, Stewart,
sección 3.1, ejercicio 38,Ignacio Ismael Flores Landaverde). Encuentre la
ecuación de la recta tangente en el punto dado, a cada una de las siguien-
tes curvas. Ilustre graficando la curva y la recta tangente, en la misma
√
pantalla.y = x − x en (1,0)
Respuesta. Para conocer la recta tangente a la cuerva debemos conocer
la pendiente que hay en ese punto, y la derivada nos permite conocerla por
lo que primero debemos derivar la función, usando leyes de los exponentes
podemos representar a la raı́z como un exponente racional:
1
y = x − x2 (1436)
Y si derivamos usando la derivación de un polinomio:

1
y 0 = x1−1 − x 2 −1 (1437)
1 1
y 0 = 1 − x− 2 (1438)
2
Ahora usando leyes de los exponentes nos queda:
1
y0 = 1 − 1 (1439)
2x 2
320
El exponente fraccionario lo pasamos a raiz y sustituimos el valor del punto

de la coordenada en x en la derivada quedando:
1
y0 = 1 − √ (1440)
2 x
1 1
y 0 (1) = 1 − √ = (1441)
2 1 2
Ahora con la ecuación de la recta y−y1 = m(x−x1 ) sustituimos la pendiente
y los valores del punto
1
y − 0 = (x − 1) (1442)
2
1 1
y = x− (1443)
2 2
Ejercicio. (Notas de calculo diferencial, sección 4.1.1 ejercicio d). Jesús
Octavio Rangel Moreno)En los siguientes problemas trace la gráfica de la
función y de la recta tangente, usando como dato en el punto dado.
1
f (x) = .(1, 1) (1444)
x
Respuesta. Para obtener la lı́nea tangente de una función se hace uso de
y − f (x2 ) = m(x − x2 ) (1445)
Donde la pendiente m es
f (x2 ) − f (x1 )
m = lı́m (1446)
x1 →x2 x2 − x1
Esto serı́a igual a la derivada de la función, por lo que se debe plantear:
d 1 1
f 0 (x) = =− 2 (1447)
dx x x
Sustituimos el valor que tenemos
1
− = −1 (1448)
(1)2
Solo resta sustituir en la ecuación y − f (x2 ) = m(x − x2 )
y − 1 = −1(x − 1) = y + x − 2 (1449)
La recta tangente es y = −x + 2
Ejercicio.
Respuesta.
3.5.0 Derivación Implı́cita: ¿Qué es? ¿en qué casos sirve? ¿cómo
se aplica? Resolvemos tres ejemplos.
√
Escriba |x| = x2 y demuestre que:
d x
|x| =
dx |x|
Respuesta. Para ello, se utiliza la fórmula de derivación:
d
x = nxn − 1
dx
d
x = 1(x)1 − 1 = x0
dx
x0 = 1
x
=1
x

7ma edición Sección 3.5, ejercicio 8, Brandon Galicia Alvarez).Encuentre
dy
dx por derivación implı́cita.
2x3 + x2 y − xy 3 = 2
Respuesta. Aplicamos la derivación implı́cita, respetando la regla de la

cadena. Por lo tanto, obtenemos que
6x2 + (2xy + x2 y 0 ) − (y 3 + 3xy 2 y 0 ) = 0
Ahora, dejamos las expresiones que contengan a y 0 del lado izquierdo y a las
demás que no lo contengan las pasamos al lado derecho, siendo que
x2 y 0 − 3xy 2 y 0 = −6x2 − 2xy + y 3

322
Factorizamos para dejar y despejamos para solo dejar a y 0 del lado izquierdo
y 0 (x2 − 3xy 2 ) = −6x2 − 2xy + y 3
−6x2 − 2xy + y 3
y0 = (1450)
(x2 − 3xy 2 )
Obteniendo finalmente en la derivada implı́cita de esta igualdad. Cabe des-

tacar que si se quiere conocer si el resultado es correcto solo hace falta eva-
luarla en un punto donde se cumple la igualdad y encontrar la ecuación de
la pendiente que pasa por ese punto, graficarla y si coincide entonces se está
correcto.
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Derivadas de funciones logarit-
micas, Stewart, sección 3.5 ejercicio 7) encuentre dx
dy por derivación implı́cita
x2 + xy − y 2 = 4
Respuesta. Derivamos cada variable de la ecuación

2x + 1 + x + y 0 − 2yy 0 = 0
pasamos las x y y de un lado de la ecuación dejando del otro laod las y’
y − 2x + y 0 = −x − 2y
despejamos para dejar sola a la y’
x − 2y
y0 =
y − 2x
cicio 11, Toscano Ramirez Emiliano). Enceuntre la derivada de la función
dada.
d
(2x − 5)
dx
Respuesta.
d d
(−5) + 2 (x)
dx dx
La derivada de -5 es 0, asi que no hay necesidad de ponerlo y la derivada
de x es 1.
d
= 2 (x)
dx
2(1) = 2
Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentales tempranas. Sección

dy
3.5 ejercicio 6. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Encuentre dx por deri-
vación implı́cita.
√ √
2 x+ y =3 (1451)
Respuesta. Como primer paso reescribimos la función como exponentes

para ser más fácil trabajar por regla de la cadena.
1 1
2x 2 + y 2 = 3 (1452)
Para resolver por derivación implı́cita derivamos primero a la x por regla de

la cadena.
2 1
1 + y2 = 3 (1453)
2x 2
1 1
√ + y2 = 3 (1454)
x
Se deriva a la y también por regla de la cadena siendo:
1 1
√ + √ 0 =3 (1455)
x 2 yy
Se suman las fracciones:
√ √
2 yy 0 + x
√ √ =3 (1456)
2 x yy 0
Se despeja al denominador.
√ √ √ √
2 yy 0 + x = 3(2 x yy 0 ) (1457)
Se pasan de una solo lado los términos que contienen y´:
√ √ √ √
x = 6 x yy 0 − 2 yy 0 (1458)
324
Factorizar la y´para después despejarla.
√ √ √ √
x = y 0 (6 x y − 2 y) (1459)
√
0 x
y = √ √ √ (1460)
6 x y−2 y
√
Por lo tanto la derivada es y 0 = √ √x √
6 x y−2 y

5, Omar Fabian Izquierdo Pérez). suponga que la ecuación dada define por
lo menos una función diferenciable implı́cita. Use diferenciación implı́cita
para encontrar dy/dx.
y 2 − 2y = x
Respuesta. Vamos a aplicar la derivación implı́cita, lo hacemos de la si-
guiente forma:
d 2 d d
y − 2y = x (1461)
dx dx dx
Aplicando las reglas de la derivación implı́cita obtenemos que:
dy dy
2y −2 =1 (1462)
dx dx
dy
(2y − 2) = 1 (1463)
dx
dy 1
= (1464)
dx 2y − 2
Lo cual es el resultado que buscábamos.
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G Seccion 4.9 Ejercicio 8, Jonathan
Segundo Arteaga)
y = e−x sen(πx)

d −x
y0 = (e sen(πx)) (1465)
dx
d d
d f (f )∗g+f ∗ dx (g)
Utilizando la regla de Diferenciación dx ( g = dx
g 2 obtenemos
d −x d
y0 = (e ) ∗ sen(πx) + e−x ∗ (sen(πx)) (1466)
dx dx
y0 = e−x ∗ (−1) ∗ sen(πx) + e−x ∗ cos(πx) ∗ π (1467)
Simplificamos y con esto obtenemos las solución del problema

−sen(πx) + π ∗ cos(πx)
y0 = (1468)
ex

Encuentre dy/dx por derivación implı́cita.
x3 + y 3 = 1
Respuesta. Para resolver este problema empezamos derivando de la si-

guiente manera
3x2 + 3y 2 y 0 = 0
Despejamos y 0
3x2
y0 =
3y 2
Simplificamos la fracción y obtenemos la respuesta del ejercicio
x2
y0 = (1469)
y2

ejercicio 4.6.1 a), Andrea Quiroz Garduño) Encuentre las derivadas implı́ci-
tas de las siguientes funciones
x3 y 2 = 2x2 + y 2 (1470)
dy
Respuesta. En este caso, se va a sacar la derivada de y ( dx ), por lo que
primero se saca la derivada de ambos lados de la ecuación
(x3 y 2 )0 = (2x2 + y 2 )0 (1471)

326
3x2 y 2 + 2x3 yy 0 = 4x + 2yy 0 (1472)

Una vez derivada, se despeja y’
2x3 yy 0 − 2yy 0 = 4x − 3x2 y 2 (1473)
y 0 (2x3 y − 2y) = 4x − 3x2 y 2 (1474)

4x − 3x2 y 2
y0 = (1475)
2x3 y − 2y

ción 3.5, ejercicio 1, inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Encuentre
y’ por derivación implı́cita:
9x2 − y 2 = 1 (1476)
Respuesta. Se calcula derivando x, y, tomando en cuenta que y es una

función de x:
18x − 2yy 0 = 0 (1477)
− 2yy 0 = −18x (1478)
−18x
y0 = (1479)
−2y
9x
y0 = (1480)
y
Ejercicio. (Notas de calculo diferencial, sección 4.6.1 ejercicio b). Jesús

Octavio Rangel Moreno). Encuentre las derivadas implı́citas de las siguien-
tes funciones
(x2 + y 2 )6 = x3 − y 3 (1481)
dy
dy d d
= 6(x2 + y 2 )5 (2x + 2y (y)) = 3x2 − 3y 2 (y) (1482)
dx dx dx
d
Ahora despejamos dx (y)
d x(4x10 + 20x8 y 2 + 40x6 y 4 + 40x4 y 6 + 20x2 y 8 − x + 4y 10 )

(y) = −
dx y(4y 10 + 20x2 y 8 + 40x4 y 6 + 40x6 y 4 + 20x8 y 2 + y + 4x10 )
(1483)

Encontrar la derivada implı́cita:
9x2 + y 2 = 9 (1484)
Respuesta. Se resuelve de la siguiente manera:
18x + 2yy 0 = 0 (1485)
−18x
y0 = (1486)
2y
Al simplificar:
−9x
y0 = (1487)
y
Sesión 14
3.5.1 Ejemplos resueltos de aplicación de derivación implı́cita para
obtener derivadas de funciones.
Encuentre y’ por derivación implı́cita.
2x2 + x + xy = 1
Respuesta. Primero se iguala a cero:
2x2 + x + xy − 1 = 0
Se determina y
2x2 + x − 1
y=
x
Se determina la derivada implı́cita:
y dx dx
0
= 4x +1
dy dy
Queda ası́, la derivación implı́cita con respecto a y

328

derivación implı́cita para encontrar la ecuación de la recta tangente a la
curva en el punto dado.
π π
ysen(2x) = xcos(2y), ( , )
2 4
Respuesta. Primeramente aplicamos derivación implı́cita a la igualdad que

se tiene, siguiendo la regla de la cadena cuando sea necesario, la regla del
producto y las reglas de derivación de las funciones trigonométricas, entonces
tenemos que
y 0 sin(2x) + 2ycos(2x) = cos(2y) − 2xsin(2y)y 0
Se pone del lado izquierdo a las expresiones que contengan a y 0
y 0 sin(2x) + 2xsin(2y)y 0 = cos(2y) − 2ycos(2x)
Luego la despejamos y obtenemos
y 0 (sin(2x) + 2xsin(2y)) = cos(2y) − 2ycos(2x)
Obteniendo ası́ la derivada de la ecuación dada.

cos(2y) − 2ycos(2x)
y0 = (1488)
(sin(2x) + 2xsin(2y))
Ahora, para poder encontrar la ecuación de la recta tangente debemos susti-
tuir los valores dados, teniendo a x = π2 y y = π4
cos(2( π4 )) − 2( π4 )cos(2( π2 ))
y0 = = 0,5
(sin(2( π2 )) + 2( π2 )sin(2( π4 )))
Por lo que obtenemos una pendiente m = 0,5, ahora solo hace falta sustituir
las coordenadas dadas y la pendiente en la ecuación de la recta tangente, la
cual es
y2 − y1 = m(x2 − x1 )
Sustituyendo y despejando a y obtendremos que
π π
y− = 0,5(x − )
4 2
Y la ecuación de la recta pendiente en el punto dado es
y = 0,5x (1489)
cicio 3, Toscano Ramirez Emiliano). Enceuntre la derivada de la función
dada.
1
y =x−
x
Respuesta. Empezamos a derivar usando la propiedad de la suma donde
podemos separar los terminos derivando cada uno de ellos
d d 1
= x−
dx dx x
=(d dx)( 1 )= d
(x− 1)=−x− 2
x dx
d 1
x − (− 2 )
dx x
la derivada de x es 1 y simplificamos
1
=( + 1)
x2
Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Derivadas de funciones loga-

ritmicas, Stewart, sección 3.5 ejercicio 35)
Halle y” por derivación implı́cita.
Respuesta.
9x2 + y 2 = 9
Derivamos las dos variables y la constante
18x + 2yy 0 = 0
Pasamos 18x del otro lado de la ecuación
2yy 0 = −18x
despejamos 2y
−18x
y0 =
2y
ahora obtenemos y”
reducimos por factor común
−9x
y 00 =
y
obtenemos la segunda derivada
330

dy
Sección 3.5 ejercicio 12. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Encuentre dx
por derivación implı́cita.
cos (xy) = 1 + sen y (1490)
Respuesta. Por derivación implı́cita primero derivamos a x, siendo cos (xy) =

− sen (xy) que a su vez es multiplicada por la derivada del argumento: la de-
rivada de x es 1 y la derivada de y es y´. En el otro lado de la igualdad, la
derivada de una constantes es 0, y se sabe que sen y = x, ası́ que sustituyendo
es:
− sen (xy)y 0 = x (1491)
Se despeja a y’ para poder conocer la derivada:
x
y0 = (1492)
− sen xy

9, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Suponga que la ecuación dada define por
lo menos una función diferenciable implı́cita. Use diferenciación implı́cita
para encontrar dy/dx.
3y + cos y = x2
Respuesta. Si aplicamos derivación implı́cita nos queda lo siguiente:
d d 2
(3y + cos y) = x (1493)
dx dx
d d d 2
3y + cos y = x (1494)
dx dx dx
dy dy
3 − sen y = 2x (1495)
dx dx
Si factorizamos:
dy
(3 − sen y) = 2x (1496)
dx
dy
Despejando dx
dy 2x
= (1497)
dx 3 − sen y
Que es el resultado que querı́amos.
Ejercicio. (Calculo Diferencial Dennis G Seccion 4.9 Ejercicio 22, Jo-

f (x) = sec(e2x )
d
f 0(x) = (sec(e2x )) (1498)
dx
d d d
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g)) ∗ dx (g) donde g = e2x
obtenemos
d d 2x
f 0(x) = (sec(g)) ∗ (e ) (1499)
dg dx
Calculamos la derivada y queda
f 0(x) = tan(g)sec(g) ∗ e2x ∗ 2 (1500)
Devolvemos la sustitución de g = e2x
f 0(x) = tan(e2x )sec(e2x ) ∗ e2x ∗ 2 (1501)
Simplificamos y obtenemos el resultado buscado
2e2x ∗ sen(e2x )
f 0(x) = (1502)
cos(e2x )2

Halle y 00 por derivación implı́cita.
x3 + y 3 = 1
Respuesta. Derivamos la función y nos queda de la siguiente manera
3x2 + 3y 2 y 0 = 0
Despejamos y 0
3x2 x2
y0 = − = −
3y 2 y2
332
Volvemos a derivar la función y obtenemos
6x + 6yy 0 + 3y 2 y 00 = 0
Ahora despejamos y 00 , entonces
−6x − 6yy 0
y 00 =
3x2
Ahora como ya sabemos el valor de y 0 lo sustituimos en la ecuación después
de factorizar y simplificar
2
003(−2x − 2yy 0 ) −2x − 2y(− xy2 )

y = =
3x2 x2
Seguimos simplificando la ecuación y tenemos que
−2xy 2 +2yx2
00 y2 −2xy 2 + 2yx2
y = =
x2 x2 y 2
Factorizamos por factor común en el numerador
xy(−2y + 2x) −2y + 2x

y 00 = 2 2
=
x y xy
Por lo que la respuesta es

−2y + 2x
y 00 =
xy

ejercicio 4.6.2, Andrea Quiroz Garduño) Encuentre y” en (2,1), si 2x2 y −
4y 3 = 4
Respuesta. En este ejercicio va a ser necesario usar la derivación implı́ci-
ta dos veces para conseguir la derivada de orden superior (2nda derivada).
Haciendo la primera derivación implı́cita quedarı́a:
(2x2 y − 4y 3 )0 = (4)0 (1503)
4xy + 2y 0 x2 − 12y 2 y 0 = 0 (1504)

−4xy
y0 = (1505)
2x2 − 12y 2
En este punto, se puede despejar y’ y obtener la primera derivada, la cuál

serı́a y 0 = 2x−4xy
2 −12y 2 , sin embargo se pide la segunda derivada
(−4xy)0
y 00 = (1506)
(2x2 − 12y 2 )0
(−2xy)0
(1507)
(x2 − 6y 2 )0
2(x3 y 00 − x2 y + 6xy 2 y 00 − 6y 3
(1508)
(x2 − 6y 2 )2
2x2 y + 12y 3
y 00 = (1509)
x4 − 12x2 y 2 + 36y 4 + 2x3 + 12xy 2
Una vez teniendo la segunda derivada se puede evaluar en el punto (2,1)
2(2)2 (1) + 12(1)3
(1510)
(2)4 − 12(2)2 (1)2 + 36(1)4 + 2(2)3 + 12(2)(1)2
5
(1511)
11
ción 3.5, ejercicio 3, inciso (a), Aránzazu Norma Celedón Pinto.). Encuentre
y’ por derivación implı́cita:
1 1
+ =1 (1512)
x y
Respuesta. Se derivan ambas componentes, teniendo en cuenta que y es

una función de x:
x−1 + y −1 = 1 (1513)
− 1(x−2 ) − 1(y −2 )(y 0 ) = 0 (1514)
−2 0 −2
−y y =x (1515)
x−2
y0 = (1516)
−y −2
y2
y0 = − (1517)
x2
Ejercicio. (Notas de calculo diferencial, sección 4.6.1 ejercicio e). Jesús
Octavio Rangel Moreno). Encuentre las derivadas implı́citas de las siguien-
tes funciones
x = secy (1518)
334
dy
dy d
(1 = sec(y)tan(y) (y) (1519)
dx dx
dy
Despejamos dx (y)
dy 1
(y) = (1520)
dx sec(y)tan(y)
Esa es la derivada de nuestra función
3.6.0 Fórmulas para calcular las derivadas de logaritmos y ejem-

plos de derivación logarı́tmica.
nas. Sección 3.5 ejercicio 51. Hector Marcelo Valtierra Martinez). Halle la
derivada de :
y = sen− 1(2x − 1)
Respuesta. Se emplea la fórmula de derivación:
(vu0 ) − (v 0 u
(uv)0 =
v2
Al sustituir:
(−csc2x + 1) − (cot2
(uv)0 =
csc2
2cot(2x + 1)
=
sen(2x + 1)

Derive la siguiente función
√
y = (2)(x)(log10 ) x
Utilizando regla de diferenciación
d d √
y= (2x)(log10 ) + (2x) (log10 ( x))
dx dx
se calcula cada derivada en el primer termino
√ d √
y = (2log10 ( x)) + (2x) (log10 ( x))
dx
en el segundo termino se usa la regla de la cadena y calculas cada derivada
d d √
(log10 (g)) ( x)
dg dx
1 1
( )( √ )
log10 (g) 2 x
sustituye g en el primer termino
1 1
( √ )( √ )
log10 ( x) 2 x
sustituyes
√ 1 1
y = (2log10 ( x)) + (2x)( √ )( √ )
log10 ( x) 2 x
eliminas términos semejantes
√ 1 1
y = (2log10 ( x)) + (x)( √ )( √ )
log10 ( x) x
usas las leyes de los exponentes para eliminar la raiz de la variable
1 1
y = (log10 (x)) + (x)( √ )( √ )
log10 ( x) x
Multiplicas las fracciones

x
y = log10 x + ( )
ln(10)x
obtienes la derivada
cio 5, Omar Fabian Izquierdo Pérez). Encuentre la derivada de la función
dada.
y = ln (x4 + 3x2 + 1)
336
Respuesta. Para calcular la derivada haremos uso de la fórmula para la

derivada de funciones logarı́tmicas, además también usaremos la regla de la
cadena. Nos queda de la siguiente manera:
1 d 4
y0 = · (x + 3x2 + 1) (1521)
x4 2
+ 3x + 1 dx
Esto equivale a:
1
y0 = · (4x3 + 6x) (1522)
x4 + 3x2 + 1
Entonces finalmente nos queda que
4x3 + 6x
y0 = (1523)
x4 + 3x2 + 1

√
x2 −1
g(x) = ln (x )(1524)
Respuesta. Se define la derivación de un logaritmo natural de una función

como:
d 1 du
ln u = (1525)
dx u dx
√
En este caso tenemos que u es igual a x x2 − 1, y su derivada es:
du 1 −1 1
= (1)( (x2 − 1) 2 = √ (1526)
dx 2 2 x2 − 1
Sustituimos en la derivada del logaritmo natural y se resuelve hasta obtener

la derivada.
d 1 1
ln u = √ √ (1527)
dx x x − 1 2 x2 − 1
2
d 1
ln u = √ √ (1528)
dx (x x − 1)(2 x2 − 1)
2
d 1
ln u = 2
(1529)
dx 2x(x − 1)
d 1
ln u = 3 (1530)
dx x − 2x

7ma edición Sección 3.6, ejercicio 8, Brandon Galicia Alvarez). Derive cada
f (x) = log5 (xex )
Respuesta. Para la realización de este ejercicio se empleará la derivada

implı́cita, teniendo como referencia que
5 = eln 5
x)
5y = 5log5 (xe
Por lo que
5y = xex
e(ln 5)y = xex
e(ln 5)y (ln 5y 0 ) = xex + ex
5y ln 5y 0 = xex + ex
xex + ex
y0 = y
5 ln 5
Sustituyendo los valores por lo que habı́amos establecido primeramente ob-
tenemos la expresión
xex + ex
y 0 = log (xex )
5 5 ln 5
Obteniendo finalmente la derivada de esta expresión, y ya solo simplificándo-
la al final
xex + ex ex (x + 1) x+1
y0 = = = (1531)
xex ln 5 xex ln 5 ln 5x
Ejercicio. (Calculo Diferencia Dennis G Seccion 4.10 Ejercicio 13, Jo-
y = − log |cos(x)|
338

d
y0 = (− log(|cos(x)|)) (1532)
dx
√
Usando |x| = x2 transformamos la expresión
d p
y0 = (− log( cos(x)2 )) (1533)
dx
d d d
p
Usando la regla de la cadena dx (f (g)) = dg (f (g))∗ dx (g) donde g = cos(x)2
d d p
y0 = (− log(g)) ∗ ( cos(x)2 ) (1534)
dg dx
1 1
y0 = − ∗ p ∗ 2cos(x) ∗ (−sen(x)) (1535)
g 2 cos(x)2
p
Devolvemos la sustitución g = cos(x)2
1 1
y0 = − p ∗ p ∗ 2cos(x) ∗ (−sen(x)) (1536)
cos(x)2 2 cos(x)2
Simplificamos la expresión y ası́ obtener el resultado final el cual es:
y0 = tan(x) (1537)

f (x) = sin(lnx)
Respuesta. Para comenzar a derivar utilizaremos la regla de la cadena

1
f (x) = sin(u) f 0 (x) = u0 cos u u = lnx u0 =
x
Por lo que remplazando las variables tenemos que
cos(lnx)
f 0 (x) =
x

guientes funciones
F (s) = ln(ln(s)) (1538)
Respuesta. Para resolverlo se debe hacer uso de la regla de la cadena,

considerando que u=ln(s)
d
F 0 (s) = lnln(s) (1539)
ds
d d
F 0 (s) = (ln(w)) (ln(s)) (1540)
dw ds
1 1
F 0 (s) = · (1541)
w s
Al tener la derivada resuelta, solo es necesario sustituir w y despejar
1 1
F 0 (s) = · (1542)
ln(s) s
1
F 0 (s) = (1543)
ln(s) · s
Ejercicio (Cálculo Diferencial-Dennis G., sección 4.10, ejercicio 2, Aránzazu

Norma Celedón Pinto.). En los problemas 1-24, encuentre la derivada de la
función dada:
y = ln 10x (1544)
Respuesta. Primero, se establece que se debe derivar el logarı́tmo natural,

y la multiplicación de 10 por x. Ası́ que:
1
y0 = ( )(10) (1545)
10x
10
y0 = (1546)
10x
1
y0 = (1547)
x
Ejercicio. (Cálculo Diferencial-Dennis G, sección 4.10, ejercicio 6, Ignacio

Ismael Flores Landaverde). Encuentre la derivada de la función dada y =
ln(x2 + 1)20
340
Respuesta. Para derivar un logaritmo lo podemos dividri como dos fun-

ciones y haciendo uso de la regla para derivar logaritmos en el caso de
0
los naturales derivamos de la siguiente forma dudu , entonces hagamos que
u = (x2 + 1)20 y para derivar u usamos la regla de la cadena:
u0 = 20(x2 + 1)20−1 (2(x)2−1 + 0) (1548)
u0 = 20(x2 + 1)19 )(2x) (1549)
Ahora aplicando la derivada con respecto a u nos queda que
40x(x2 + 1)19
y0 = (1550)
(x2 + 1)20
Haciendo uso de las leyes de los exponentes para simplificar nos queda:
40x
y0 = (1551)
(x2+ 1)

Sección 3.6 ejercicio 9. Jesús Octavio Rangel Moreno ). Derive cada una
sin xIn(5x)
Respuesta. Primero utilizamos (af )0 = af 0

d
In5 cos(x)x + sin(x) (1553)
dx
d
dx x = 1 Entonces tenemos que:
d
= In5xcos(x) + sin(x) (1554)
dx
3.6.1 Como derivar funciones que incluyen logaritmos combinando

con otras fórmulas de derivación.
nas. Sección 3.6 ejercicio 6. Hector Marcelo Valtierra Martinez). Derive la
función:
1
y=
lnx
Respuesta. Notamos que, la fórmula de derivación para ln, se rige por:
d 1
(lnx) =
dx x
O según sea el caso:
d 1 du
(lnu) =
dx u dx
d
= nxn − 1
dx
y 0 = 1(−1ln(x)− 1
−1
y0 =
xln(x)2

Utiliza la derivación logarı́tmica para hallar la derivada del ejercicio
y = xx
Respuesta.
y = f (x)
tomas el logaritmo natural de ambos lados
In(y) = in(f (x))
In(y) = in(xx )
se mueve x fuera del logaritmo
In(y) = in(x)x
derivas con la regla de la cadena el lado izquierdo
y0
= xIn(x)
y
derivas el lado derecho con la regla de la cadena
y0
= 1 + In(x)
y
342
aislas y 0 y sustituyes la funcion inicial por y en la parte derecha
y 0 = (1 + In(x))xx
se aplica propiedad distributiva
y 0 = (1xx ) + (In(x)(xx ))
ordenas los terminos

y 0 = (xx ) + xx In(x)
Obtienes la derivada
dada.
y = x(ln x)2
Respuesta. Usemos la fórmula para la derivada del producto de funciones,
nos queda que:
d d
y0 = x · (ln x)2 + x(ln x)2 (1555)
dx dx
Si hacemos uso de la regla de la cadena, esto nos queda como:
d
y 0 = x · 2 ln x · ln x + (ln x)2 (1556)
dx
Finalmente, apliquemos la fórmula de derivada para una función logarı́tmica
1
y 0 = x · 2 ln x · + (ln x)2 (1557)
x
Ahora solo hay que reducir
y 0 = 2 ln x + (ln x)2 (1558)
Y este serı́a nuestro resultado final.

Sección 3.6 ejercicio 3. Cinthya Alejandra Zúñiga Castillo).Derive cada una
f (x) = sen ln x (1559)

Respuesta. Se define la regla de la cadena como:
dy dy du
= (1560)
dx du dx
Se puede escribir la función como f (x) = sen u donde u = ln x, primero se

obtiene la derivada de u por la fórmula de la derivada del logaritmo natural
d 1 du
ln u = (1561)
dx u dx
du 1 1
= (1) = (1562)
dx x x
Como siguiente paso se obtiene la derivada de la función sen u
dy
= cos u = cos ln x (1563)
du
Una vez teniendo las dos derivadas se multiplican y se simplifica para tener
la derivada de la función.
dx 1
= (cos ln x)( ) (1564)
dy x
dx cos ln x
= (1565)
dy x

r
a2 − z 2
H(z) = ln
a2 + z 2
Respuesta. Para empezar la derivación debemos de tener en cuenta las

propiedades de los logaritmos para establecer lo siguiente
√ 1 1
y = ln u = ln u 2 = ln u
2
344
Por lo que la función se puede ver de la siguiente forma

√ 1 0 a2 − z 2 0 −4za2
H(z) = ln( u), H 0 (z) = u ,u = 2 , u =
2u a + z2 (a2 + z 2 )2
Entonces, ahora que ya establecimos la variable u, solo hace falta realizar la

regla de la cadena, la cual se desarrolla de la siguiente manera:
d 1 df (x)
f (x) = ·
dx f (x) dx
Obtenemos que, al realizar las simplificaciones correspondientes y efectuando
los productos notables la derivada es
dy 1 −4za2 −2za2 −2za2
= a2 −z 2 · 2 = 2 2 = (1566)
dx 2( a2 +z 2 ) (a + z 2 )2 ( aa2 −z
+z 2
) · (a2 + z 2 )2 (a4 − z 4 )

y = x − log(|5x + 1|)

d
y0 = (x − log(|5x + 1|)) (1567)
dx
√
Usando |x| = x2 transformamos la expresión
d p
y0 = (x − log( (5x + 1)2 )) (1568)
dx
d d d
que
d d p
y0 = (x) − (log( (5x + 1)2 )) (1569)
dx dx
1 1
y0 = 1 − p ∗ p ∗ 2(5x + 1) ∗ 5 (1570)
(5x + 1) 2 2 (5x + 1)2
Simplificamos la expresión y obtenemos la solucion del problema
5
y0 = 1 − (1571)
5x + 1

1
f (x) = ln
x
Respuesta. Para resolver esta derivada debemos recordar que

d 1 dv
ln v =
dx v dx
Por lo que para la ecuación tenemos que
1 1
v= v0 = −
x x2
Por lo que sustituyendo tenemos que
1 1 x 1 x
f 0 (x) = ( 1 )(− 2 ) = ( )(− 2 ) = − 2
x
x 1 x x
Entonces la respuesta es
1
f 0 (x) = −
x

ción 3.6, ejercicio 24, Andrea Quiroz Garduño) 6 Encuentre y’ y y” en cada
ln(x)
y= (1572)
x2
Respuesta. En primer lugar, para sacar la primera derivada se puede usar

la regla de cocientes:
d ln(x)
y0 = ( ) (1573)
dx x2
d 2 d
dx (ln(x))(x ) − (ln(x)) dx (x2 )
y0 = (1574)
(x2 )2
( x1 )(x2 ) − ln(x)(2x)
y0 = (1575)
x4
x − ln(x)(2x)
y0 = (1576)
x4
346
x(1 − 2ln(x))
y0 = (1577)
x4
1 − 2ln(x)
y0 = (1578)
x3
Ahora para sacar la segunda derivada también se puede usar la regla de
cocientes:
d 1 − 2ln(x)
y 00 = ( ) (1579)
dx x3
d d
dx (1 − 2ln(x))(x3 ) − (1 − 2ln(x)) dx (x3 )
y 00 = (1580)
(x3 )2
−2 3
x (x ) − (1 − 2ln(x))(3x2 )
y 00 = (1581)
x6
−2x2 − 3x2 + 6x2 ln(x)
y 00 = (1582)
x6
−5x2 + 6x2 ln(x)
y 00 = (1583)
x6
x2 (−5 + 6ln(x))
y 00 = (1584)
x6
−5 + 6ln(x)
y 00 = (1585)
x4
Ejercicio (Cálculo Diferencial-Dennis G., sección 4.10, ejercicio 11, Aránza-

zu Norma Celedón Pinto.). En los problemas 1-24, encuentre la derivada de
la función dada:
x
y = ln (1586)
x+1
Respuesta. Para encontrar la derivada se debe encontrar la derivada del

logaritmo natural, y de la división. Ası́ que la primera parte de la operación
es:
1
x (1587)
x+1
x
Para la segunda parte de la operación, se debe calcular la derivada de x+1 ,
estableciendo x como u, y x + 1 como v, utilizando la regla del cociente se
obtiene que:
(1)(x + 1) − (1)(x) 1
2
= (1588)
(x + 1) (x + 1)2
Se realiza la multiplicación de las derivadas:

1 1
y0 = ( x )( ) (1589)
x+1 (x + 1)2
1
y0 = (1590)
x(x + 1)

Sección 3.6 ejercicio 4. Jesús Octavio Rangel Moreno ). Derive cada una
f (x) = In(sen2 x) (1591)
d
In (sin2 (x)) (1592)
dx
Aplicamos la regla de la cadena.
d
2sin(x) (sin(x)) (1593)
dx
Aplicamos la derivada y simplificamos.
= In2sin(x)cos(x) (1594)
Utilizamos una identidad trigonométrica (2sin(x)cos(x) = Sin(2x))
Insin(2x) (1595)
Derivamos usando regla de la cadena, función trigonométrica y sacando una

constante.
Sesión 15
3.6.2 Técnicas de derivación para funciones que incluyen logarit-
mos y cómo aplicar las fórmulas.
y’ para:
y = x2 ln(2x)
348
Respuesta. Para ello se usa la formula de derivación:
vu0 − v 0 u
(uv)0 =
v2
Sustituimos en donde:
u = ln(2x)
v = x2
Y sus derivadas:
1
u0 =
2x
v 0 = 2x
1
(x2 2x ) − (ln(2x)2x
y0 =
x4
= x(2(ln(x) + ln(2)) + 1

f (x) = log10 (x3 + 1)
Respuesta. Utilizamos la regla de la cadena
g(x) = (x3 + 1)
la función de g vale u
f (x) = log(x)
sustituimos para empezar a derivar
d d
fx = (log10 (g)) (x3 + 1)
du dx
se obtiene la derivada de cada parte
1
fx = (3x2 )
in(10)g
sustituyes el valor de g en el primer termino

1
fx = (3x2 )
in(10)(x3 + 1)
Multiplicas los numeradores
3x2
fx =
in(10)(x3 + 1)
Obtienes la derivada a partir de la regla de la cadena

dada.
f (x) = ln(ln(ln x))
Respuesta. Aplicando la regla de la cadena nos queda que:
1 d
f 0 (x) = · ln(ln x) (1596)
ln(ln x) dx
Si seguimos con esta regla obtenemos lo siguiente
1 1 d
f 0 (x) = · · ln x (1597)
ln(ln x) ln x dx
1 1 1
f 0 (x) = · · (1598)
ln(ln x) ln x x
Entonces nuestra respuesta final serı́a:
1
f 0 (x) = (1599)
x · ln x · ln(ln x)

p
h(x) = ln x + x2 − 1 (1600)
Respuesta. La función esta compuesta como h(x) = ln u donde u es x +

√
x2 − 1, por la fórmula de la derivada del logaritmo natural se tiene que:
350
d 1 du
ln u = (1601)
dx u dx
Por lo cual primero se deriva u y se sustituye en la fórmula.
du 1 −1 1
= 1 + (x2 − 1) 2 = 1 + √ (1602)
dx 2 2 x2 − 1
d 1 1
ln u = ( √ )( √ ) (1603)
dx x + x − 1 2 x2 − 1
2
Se simplifica para obtener la derivada.
d 1 1
= √ + √ (1604)
dx x + x − 1 2x x − 1 + 2(x2 − 1)
2 2
d 1 1
= √ + √ (1605)
dx x + x − 1 2x x − 1 + 2x2 − 2
2 2
Ejercicio.
Respuesta.
cicio 14, Emiliano Toscano Ramı́rez). Encuentre la derivada de la función
dada:
1
y = ln |sen3x| (1606)
3
Primero acomodamos para poder derivar y empezamos a. usar alguna de las
técnicas de derivación
d 1
= ( ln |sen3x|)
dx 3
1 d
= ( ( ln |sen3x|)
3 dx
Usamos la regla de la cadena:
d d log(u) d(u)
( ln |sen3x|) =
dx d(u) dx
u = |sen3x|
y
d 1
(log(u)) =
du u
Nos da
d
1 dx|sen3x|
3 |sen3x|
Seguimos usando la regla de la cadena y llegamos a:
d
dx (sen3x)(sen3x 1
=
|sen3x| 3|sen3x|
Simplificamos:
d
dx (sen3x)(sen3x
=
3|sen3x|2
Seguimos usando la regla de la cadena:
d sen3x
= cos3x( (3x))
dx 3|sen3x|2
Podemos sacar la constante y después simplificar:
d cos3xsen3x
3( (x))
dx 3|sen3x|2
Simplificamos los senos y nos queda
= cot(3x)

g(r) = r2 ln(2r + 1)
Respuesta. Para poder a comenzar derivar esta función, es necesario per-

catarse de que la función esta dada por un producto de funciones, por lo
que es necesario utilizar la regla del producto de funciones para derivarla,
además de establecer a la variable u, que en este caso alberga el logaritmo
natural. Entonces, tenemos que, siguiendo las reglas de derivación de los
logaritmos y estableciendo las variables para después sustituirlas, obtenemos
1 0
u = 2r + 1u0 = 2, v = r2 v 0 = 2r, z = ln(u)z 0 = u
u
352
Entonces, siguiendo la regla del producto se tiene que

1 2r2
g 0 (r) = v 0 z+vz 0 = (2r)(ln(2x+1))+(r2 )( 2)) = 2r ln(2x+1)+ ))
2x + 1 2x + 1
Por lo que solo restarı́a efectuar la suma de fracciones con las expresiones
obtenidas para poder simplificar mejor la derivada, la cual quedarı́a de la
siguiente forma
4r2 ln(2x + 1) + 2r ln(2x + 1) + 2r2 2r(2r ln(2x + 1) + ln(2x + 1) + r)
g 0 (r) = =
2r + 1 2r + 1
(1607)
Obteniendo ası́ la derivada de la función dada.
1
y=
log(x)

d 1
y0 = ( ) (1608)
dx log(x)
d
d 1 (f )
Usando la regla de la diferenciación dx ( f ) = − dxf 2 obtenemos que
d
(log(x))
y0 = − dx (1609)
log(x)2
d 1
Usando dx (log(x)) = x se resuelve la derivada
1
x
y0 = − (1610)
log(x)2
Simplificamos la fracción compleja y obtenemos el resultado
1
y0 = − (1611)
x ∗ log(x)2

1
y=
ln x
Respuesta. Para resolver esta derivada, utilizamos la regla de la cadena,

por lo que tenemos que
1 1
y= u = ln x u0 =
u x
Ası́ que sustituyendo en la derivada de y 0 tenemos
1
u0
y0 = − = − x
u2 (ln x)2
Por lo que la respuesta es
1
y0 =
x(ln x)2

guientes funciones.
u
f (u) = (1612)
1 + ln(u)
Respuesta. Para resolverlo se debe hacer uso de la regla de cocientes:

d u
f 0 (u) = ( ) (1613)
du 1 + ln(u)
d d
du (u)(1 + ln(u)) − (u) du (1 + ln(u))
f 0 (u) = 2
(1614)
(1 + ln(u))
1 + ln(u) − 1
f 0 (u) = (1615)
(1 + ln(u))2
ln(u)
f 0 (u) = (1616)
(1 + ln(u))2
Ejercicio (Cálculo Diferencial-Dennis G., sección 4.10, ejercicio 4, Aránzazu

Norma Celedón Pinto.). En los problemas 1-24, encuentre la derivada de la
función dada:
1
y = (ln x) 2 (1617)
1
Respuesta. Para encontrar la derivada se establece que (ln x) 2 = u y que
ln x = v. Se encuentran las derivadas de u y v:
1 1
u0 = (ln x)− 2 (1618)
2
354
1
v0 = (1619)
x
Se multiplican las derivadas y se obtiene que:
1 1 1
y 0 = ( (ln x)− 2 )( ) (1620)
2 x
1
0 (ln x)− 2
y = (1621)
2x

Sección 3.6 ejercicio 21. Jesús Octavio Rangel Moreno). Derive cada una
√
y = 2xlog10 x (1622)
d √
2 (xlog10 ( x) (1623)
dx
Aplicamos la regla del producto (f g)0 = f 0 g + f g 0
d √ d √
2( log10 ( x) + (log10 ( x))x) (1624)
dx dx
resolvemos las derivadas y simplificamos
√ 1 1
2(log10 ( x) − x) = log10 (x) − (1625)
2In(10x In(10)
Evaluación III
Sesión 1
3.6.3 Cómo combinar la derivación logarı́tmica con la derivación
implı́cita y la regla de la potencia.
3.6.4 Derivación implı́cita, derivación logarı́tmica. Derivación de
una función elevada a otra función.
3.6.5 ¿Qué es el número de Euler? ¿Cuál es la relación del número
de Euler con un logaritmo? veamos.
3.7.0 El cálculo y las razones de cambio en las ciencias naturales
y razones de cambio en la fı́sica.
Sesión 2
3.7.1 La densidad promedio de una varilla no homogénea. Razón
de cambio en la Quı́mica, reacciones.
3.7.2 Razones de cambio en Biologı́a. Razones de crecimiento de
poblaciones de colonias de bacterias.
3.7.3 Razones de cambio en las finanzas. Costos de producción.
Función de costo marginal. Promedios.
3.8.0 Crecimiento y decrecimiento/decaimiento exponencial. De-
caimiento radiactivo de los materiales.
Sesión 3
3.8.1 Ley de enfriamiento de Newton: ¿Cuánto tarda nuestra be-
bida en enfriarse a cierta temperatura?
3.8.2 Inversiones financieras, interés simple, interés compuesto,
interés continuo, interés a plazo.
3.9.0 Razones relacionadas aplicadas al crecimiento de un globo
esférico y la caı́da de una escalera.
3.9.1 Razones relacionadas aplicadas a un depósito cónico y a la
velocidad de aproximación de autos.
Sesión 4
3.9.2 Estrategia para resolver los problemas que involucran razo-
nes de cambio o razones relacionadas.
3.10.0 Aproximaciones lineales y diferenciales aplicadas a la linea-
lización de diversos problemas.
3.10.1 Técnica para aproximar la derivada de una función y su
lı́nea tangente a partir de la secante.
3.11.0 Catálogo de funciones hiperbólicas y su definición por medio
suma de funciones exponenciales.

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1

Portafolio de tareas de cálculo diferencial

12. No es necesario esperar a que los compañeros terminen los ejercicios

Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Matemáticas 1: Cálculo dife-

Respuesta. si evaluamos el limite tal y como esta nos daria

por lo que debemos factorizar el termino de arriba

se elimina términos semejantes

(a) (1,1) y (2,2)

por lo que una vez hechas las operaciones correspondientes la pendiente de

Determine el lı́mite que se indica:

Figura 1: Tabla de relación entre volumen y tiempo

Respuesta. Si tenemos en consideración que la ecuación que nos permite

Y se toma como referencia el punto P = (15, 250) comparando que 15 re-

en los puntos donde x = −2, −1, 0, 1, 2.

[(c + h)2 − 1] − (c2 − 1)

Ejercicio (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G., Sección 3.1, ejer-

Respuesta. Lo que debemos hacer primero es factorizar nuestra operación

Ahora solo sustituimos

Ejercicio (Calculus - Michael Spivak, Parte 2, Capı́tulo 5, Pág 108, ejercicio

Respuesta. Primero transformamos la expresión usando los conjugados,

Racionalizando finalmente nos queda

Ejercicio. (Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. J. Stewart,

i) 1.5, Q = (1.5, 1/(1 - 1.5)) = (1.5, -2)

v) 2.5, Q = (2.5, 1/(1 - 2.5)) = (2.5, -0.666666)

vi) 2.1, Q = (2.1, 1/(1 - 2.1)) = (2.1, -0.909090)

vii) 2.01, Q = (2.01, 1/(1 - 2.01)) = (2.01, -0.990099)

viii) 2.001, Q = (2.001, 1/(1 - 2.001)) = (2.001, -0.999000)

Ejercicio (Cálculo Diferencial 2ed-Trejo Alonso, sección 3.1, ejercicio 3.1.1,

Respuesta. Para encontrar el lı́mite, se puede sustituir x en la ecuación

Respuesta. Se evalúan los limites

Ejercicio. (Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas, Stewart, sec-

Figura 2: Posición del ciclista

Encuentre la velocidad promedio para i) [1, 3]

Ejercicio. (Cálculo de una variable, Transcendentales tempranas. Stewart.

y = 10t − 1,86t2 (46)

a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: 1)

(10t − 1,86t2 ) − (10t − 1,86t2

[10(2) − 1,86(2)2 ] − [10(1) − 1,86(1)2 ]

[20 − 7,44] − [10 − 1,86]

vp = [12,56] − [8,14] (51)

Ejercicio (Matemáticas 1 Cálculo diferencial Dennis G., Sección 3.2, ejerci-

Respuesta. Aplicando los teoremas de los lı́mites, tenemos que:

lı́m (3x − 9) = 3 lı́m x − lı́m 9

Al emplearlos de nuevo tenemos que

3 lı́m x − lı́m 9 = 3(2) − 9

Ejercicio. (Erik Garcı́a Chacón, Stewart, Calculo de una variable trascen-

Figura 3: Tabla de latidos

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante.

Respuesta. Utilizando la recta secante se va a usar la pendiente de estos

Con la pendiente de la recta, simplemente se pude usar la forma de la ecua-

Ejercicio. (Notas de Calculo diferencial, J.J Trejo Alonso, Sección 4.1.1.

Figura 4: Función graficada y localización del punto

Para poder encontrar la ecuación de la recta tangente tenemos que su pen-

Donde encontramos que la pendiente esta dada por

Y ocupando la fórmula de punto pendiente para una recta

Donde si realizamos las operaciones suficientes podemos reducirla a

2.2.0 Lı́mites infinitos, ası́ntota vertical y ejemplos resueltos de

Ejercicio. (Carlos David Casiano Hurtado, Matemáticas 1: Cálculo dife-