ALGEBRA LINEAL 1

Unidad 1 –
Vectores, Matrices Y Determinantes

Tutor
Jhon Albeiro Martínez

Directora
Viviana Álvarez

Algebra Lineal

Grupo
208046_83
Bucaramanga – Santander
Marzo 2019

1. Realizar mentefacto
ALGEBRA LINEAL 2

b. Vectores en R2 y R3: Algunas operaciones con vectores, vectores base,

producto vectorial.

2. Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 2

a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes

pasos:

 Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los

mismos.

Vectores u⃗ y ⃗v
u⃗ =3i+5 j
⃗v =−4 i+1 j

Magnitud
|u⃗|=√ 3 i2 +5 j2
|u⃗|=√ 9 i+ 25 j
|u⃗|=√ 34
|u⃗|=5,83

|⃗v|= √−4 i 2+1 j2

ALGEBRA LINEAL 3

|⃗v|= √16 i+ 1 j
|⃗v|= √ 17
|⃗v|=4,12unidades

Dirección
Vector u⃗
C . O. 5 5
tanθ= tanθ= θ=tan −1 θ=59.04 °θ=59°
C.A. 3 3

Vector ⃗v
C . O. 1 1
tanθ= tanθ= θ=tan −1 θ=−14.04 °
C.A. −4 −4
θ=180° −14.1
θ=165.6°

 Encontrar el ángulo entre los vectores.

Vectores u⃗ y ⃗v
u⃗ =3i+5 j
⃗v =−4 i+1 j
Principio
u⃗ . ⃗v
cos θ=
|⃗u|.|⃗v|
( 3. (−4 )) + (5 . 1 )
cos θ=
√34 . √ 17
−12+ 5
cos θ=
√ 578
−7
cos θ= pasamos a despejar θ
√ 578
θ=cos−1 ( √−7578 )
θ=106.93°

 Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante.

ALGEBRA LINEAL 4

Vectores u⃗ y ⃗v
u⃗ =3i+5 j
⃗v =−4 i+1 j
u⃗ + ⃗v =( 3+ (−4 ) ) i+ ( 5+1 ) j
u⃗ + ⃗v =−1 i+ 6 j
Vector resultante u⃗ + ⃗v =−1 i+ 6 j
Magnitud
|u⃗ + ⃗v|= √−1 i 2+ 6 j 2
|u⃗ + ⃗v|= √1 i+ 36 j
|u⃗ + ⃗v|= √37
|u⃗ + ⃗v|=6.082unidades

Dirección
Vector u⃗ + ⃗v
C . O. 6 6
tanθ= tanθ= θ=tan −1 θ=−80.53 °
C.A. −1 −1
θ=180−80.53
θ=99.5 °

 Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con
teoría vectorial.

Aplicamos el producto vectorial o en cruz de vectores.

Vectores
Vector base :⃗u=3 i+5 j+k
Altura: ( u⃗ + ⃗v )=−1 i+6 j +k
i j k
(
A= 3 5 0 =⃗
⃗
−1 6 0
6 0 )
A= 5 0 i− 3 0 j+ 3 5 k
−1 0 −1 6 ( ) ( ) ( )
A=( ( 5 ) ( 0 )−(6)(0) ) i−( ( 3 ) ( 0 )−(−1 ) ( 0 ) ) j+ ( (3 )( 6 )−(−1 ) ( 5 ) ) k
⃗

A=( 0 ) i−( 0 ) j+ ( 18+5 ) k

⃗
A=23 k
⃗

A|=√ (23)2=23 unidades

A=|⃗

 Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra,

Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.
ALGEBRA LINEAL 5
ALGEBRA LINEAL 6

b) Dados los vectores ⃗v =3 i−4 j+2 k ⃗

w =2i+5 j+ 4 k calcular:

 −3 ⃗v +2 ⃗
w

−3 ⃗v =−3 ( 3i−4 j+ 2 k )=−9 i+12 j−6 k

−3 ⃗v =−9 i+ 12 j−6 k
2⃗
w =2 (2 i+5 j+4 k )=4 i+10 j+8 k
2⃗
w =4 i+10 j+8 k
−3 ⃗v +2 ⃗
w =(−9+ 4 ) i+ ( 12+10 ) j+ (−6+ 8 ) k
−3 ⃗v +2 ⃗
w =−5 i+22 j+ 2 k

 6(⃗v . ⃗
w)

6 ( ⃗v . ⃗
w )=6 ( 3 i−4 j+2 k )∗6 (2 i+5 j+ 4 k )
6 ( ⃗v . ⃗
w )=( 18 i−24 j+12 k )∗(12 i+ 30 j+ 24 k )
6 ( ⃗v . ⃗
w )=[ ( 18 ) (12 ) ] i+ [ (−24 ) ( 39 ) ] j+ [ ( 12 )( 24 ) ] k
6 ( ⃗v . ⃗
w )=216 i−936 j+ 288 k

 Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores.

La norma de un vector U U ‖=√ a2 +b 2+ c2

⃗ =( a , b , c ) se define como‖⃗
Los cosenos directos del vector U
⃗ son :
a b c
cos α= ,cos β = ,cos γ =
‖U
⃗‖ U‖
‖⃗ U‖
‖⃗
Para ⃗v =3 i−4 j+2 k
a 3 3 3
cos α= 2 2 2
= 2 2 2
= =
√ a +b + c √(3) +(−4) +(2) √9+16 +4 √29
α =cos−1 ( √329 )=56.15 °
b −4 −4 −4
cos β= 2 2 2
= 2 2 2
= =
√ a +b + c √(3) +(−4) +(2) √9+16 +4 √ 29

β=cos−1 ( √−429 )=137.97 °

ALGEBRA LINEAL 7

c 2 2 2
cos γ = 2 2 2
= 2 2 2
= =
√ a +b + c √(3) +(−4) +( 2) √9+ 16+4 √29
γ =cos−1 ( √229 )=68.20°
condición cos 2 α +cos 2 β +cos2 γ =1
Entonces ⃗v =( cos α ,cos β , cos γ ) .
3 2 −4 2 2 2
⃗v =( )( ) ( )
√ 29
+
√ 29
+
√29
=1

w =2 i+5 j+ 4 k
Para ⃗
a 2 2 2
cos α= 2 2 2
= 2 2 2
= =
√ a +b + c √(2) +(5) +( 4) √ 4 +25+16 √ 45
α =cos−1 ( √245 )=72.65°
b 5 5 5
cos β= 2 2 2
=¿ 2 2 2
= = ¿
√ a +b + c √(2) +(5) +(4) √ 4 +25+16 √ 45

β=cos−1 ( √545 )=41.81 °

c 4 4 4
cos γ = 2 2 2
= 2 2 2
= =
√ a +b + c √(2) +(5) +( 4) √ 4+25+16 √ 45
γ =cos−1 ( √445 )=53.40 °
condición cos 2 α +cos 2 β +cos2 γ =1
Entonces ⃗v =( cos α ,cos β , cos γ ) .
2 2 5 2 4 2
⃗v =( )( ) ( )
√ 45
+
√ 45
+
√ 45
=1

 Calcular el producto cruz y el producto punto.

Producto en cruz.

i⃗ ⃗j ⃗k
⃗v . ⃗
|
w = 3 −4 2
2 5 4 |
−4 2 ⃗ 3 2 ⃗ 3 −4 ⃗
⃗v . ⃗w= | 5 4 | | | |
i−
2 4
j+
2 5 |k

⃗v . ⃗
w =[ (−4 ) ( 4 )−( 5 ) ( 2 ) ] i−[ ( 3 )( 4 )− (2 )( 2 ) ] j+ [ ( 3 ) (5 )−( 2 ) (−4 ) ] k
ALGEBRA LINEAL 8

⃗v . ⃗
w =(−16−10 ) i−( 12−4 ) j+ ( 15+8 ) k
⃗v . ⃗
w =−26 i−8 j+ 23 k
⃗v . ⃗
w =(−26 ,−8 , 23)
Producto punto.
⃗v . ⃗
w =( 3 i−4 j+2 k )∗(2 i+5 j+ 4 k )
⃗v . ⃗
w =[ ( 3 ) ( 2 ) ] i+ [ (−4 ) (5 ) ] j+ [ (2 )( 4 ) ] k
⃗v . ⃗
w =6 i−20 j+8 k
⃗v . ⃗
w =( 6 ,−20 , 8)

3. Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V 1 = (5,-3) m/s,
al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad
ha cambiado al valor V2 = (-4,8) m/s.
 ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ⃗∆V . ?

∆ V realizamos una resta entre los dos vectores.

Para encontrar la diferencia en ⃗
∆ V =⃗
⃗ V 2−⃗V1
∆ V =¿
⃗

 ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?

La variación de la velocidad por unidad de tiempo es la diferencia de velocidad

∆ V /⃗
entre la diferencia de tiempo ⃗ ∆ t.

 Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.

 Dados:
a⃗ = (5, 12) y b⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k)
π
tal que la medida en radianes del ángulo b⃗ y a⃗ sea .
3

Datos:
a⃗ =(5 , 12)
b⃗ =( 1 , k ) → k es un escalar=?
π
α = rad
3
Para conocer el valor de k aplicamos el producto escalar de vectores.
ALGEBRA LINEAL 9

a⃗ . ⃗b =( 5 ,12 )∗( 1, k )=[ ( 5 ) ( 1 ) ] i+ [ ( 12 )( k ) ] j=( 5+12 k )

Módulo de los vectores

‖⃗a‖=√(5)2+(12)2 =√ 169=13
‖⃗a‖=√ (1)2 +(k )2=√ 1+ k 2
Utilizamos funciones trigonométricas
a⃗ . ⃗b =‖a⃗‖∗‖a⃗‖∗cos α
Reemplazamos
π
( 5+12 k )= [ ( 13 ) ( √ 1+ k 2 ) ]∗cos
3
Realizamos los cálculos y despejamos k.

( 5+12 k )= [ ( 13 ) ( √ 1+ k 2 ) ]∗1/2

2 ( 5+12 k )=13 √ 1+ k 2
10+24 k=13 √ 1+k 2
2
( 10+24 k )2=( 13 √ 1+k 2 )
2
( 10+24 k )2=( 13 √ 1+k 2 )
2
( 10 )2 +2 ( 10 ) 24 k ¿+ ( 24 k ) ¿2 =( 13 )2∗( √1+k 2)
100+ 480 k +576 k 2=169∗( 1+ k 2)
100+ 480 k +576 k 2=169+169 k 2
( 576 k 2−169 k 2 ) +480 k =169−100
407 k 2 +480 k =69
Igualamos la ecuación a 0 y despejamos k
407 k 2 +480 k −69=0
480 k−69=407 k 2
k2
( 480−69)/407=
k
411
=k
407
k =1.009

4. Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes

ALGEBRA LINEAL 10

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la

unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la
solución con editor de ecuaciones.

Sean las siguientes matrices:

1 0 2 3 9 −5 6
A= −2
1
5
[ 5 6
0 3
2 −3
3
8
0
] [ ] B= 1 3 6
0 −1 3
5 7 −5
0 −2 3 5

[
C= 4 3 5 4
−1 0 −9 8 ]
0 3 x2

[ ]
−2
D= 3 y 2 3
1 0 (x+ y)

Realizar las siguientes operaciones, si es posible:

a) A ∙ B ∙ C

1 0 2 3 9 −5 6
A=
[−2
1
5
5 6
0 3
2 −3
3
8
0
] [ ] B= 1 3 6
0 −1 3
5 7 −5

1∗9+ 0∗6+2∗0+3∗5 1∗(−5 ) +0∗3+2∗(−1 )+ 3∗7 1∗6+0∗6+2∗3+3∗(−5)

[ −2∗9+ 5∗6 +6∗0+3∗5−2∗(−5 ) +5∗3+6∗(−1 ) +3∗7−2∗6+5∗6+6∗3+3∗(−5)

1∗9+ 0∗1+3∗0+8∗5 1∗(−5 )+ 0∗3+ 3∗(−1 )+ 8∗7 1∗6+0∗6+3∗3+8∗(−5)
5∗9+2∗1+ (−3 )∗0+0∗5 5∗(−5 ) +2∗3+ (−3 )∗(−1 ) + 0∗7 5∗6+2∗6+ (−3 )∗3+0∗(−5)
]
24 14 −3
A.B¿
2
[
40 21
49 48 −25
47 −16 33
]
24 14 −3
( AB ) C= 2
49
47
[ 40
][
21 =
48 −25
−16 33
0 −2 3 5
4 3 5 4 =¿
−1 0 −9 8 ]
24 14 −3

[ 2
49
47
40 21 ∗
48 −25
−16 33
][
0 −2 3 5
4 3 5 4
−1 0 −9 8 ]
ALGEBRA LINEAL 11

24∗0+14∗4+ (−3 )∗(−1 ) 24∗(−2 ) +14∗3+ (−3 )∗0 24∗3+14∗5+ (−3 )∗(−9 ) 24∗5+14∗4 (−3 )∗8

[ 2∗0+ 40∗4+ 21∗(−1 ) 2∗(−2 ) + 40∗3+ 21∗0 2∗3+40∗5+21∗(−9 ) 2∗5+ 40∗4+ 21∗8
49∗0+ 48∗4 + (−25 )∗−1
¿
49∗(−2)+

59−6 169 152

(A.B)C¿
[
139116 17 338
217 46 612 237
−97−142−236 435
]
b) 4 B ∙ 2 A

9 −5 6 1 0 2 3
B= 1 3
[ ] [
6
0 −1 3
5 7 −5
A= −2
1
5
5 6
0 3
2 −3
3
8
0
]
9 −5 6
4 B= 1 3
[ ]
6
0 −1 3
5 7 −5
36 −20 24

[
B= 4 12
0 −4
24
12
20 28 −20
]
1 0 2 3
2 A= −2
1
5
[ 5 6
0 3
2 −3
3
8
0
]
2 0 4 6

2
[
A= −4 10 12 6
0 6 16
10 4 −6 0
]
El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la
segunda matriz.

c) 3 C ∙(−7 B)
ALGEBRA LINEAL 12

0 −2 3 5

[
3. C= 4 3 5 4
−1 0 −9 8 ]
0 −6 9 15

[
C= 12 9 15 12
−3 0 −27 24 ]
9 −5 6

[ ]
(−7 ) . B= 1 3 6
0 −1 3
5 7 −5
−63 −35 −42

[ ]
B= −7 −21 −42
0 7 −21
−35 −49 35

−63 −35 −42

][ ]
0 −6 9 15

[
C . B= 12 9 15 12
−3 0 −27 24
−7 −21 −42
0 7 −21
−35 −49 35

¿¿

−483 −546 −588

[
C . B= −1239 −1092 −777
−651 −1260 −1533 ]
d) D2

0 3 x2

[ ]
−2
D= 3 y 2 3
1 0 (x+ y)

0 3 x 2 −2 0 3 x 2 −2

[
¿ 3 y2
][
3 ∗ 3 y2
1 0 (x+ y)
3 =¿
1 0 (x+ y) ]
9 x 2−2 3 x 2 y 2 9 x2 −2 x−2 y

[
D= 3 y 2+ 3 9 x 2 y 4 3 x +3 y 2+ 3 y−6
x+ y 3 x2 x 2+ y 2+ 2 xy−2 ]
ALGEBRA LINEAL 13

e) D .C

0 3 x2 0 −2 3 5

[ ][
−2
D= 3 y 2
3 C= 4 3 5 4
1 0 ( x+ y) −1 0 −9 8 ]
0∗0+3∗x 2∗4+ (−2 )∗(−1) 0∗(−2 ) +3+ x 2∗3+ (−2 )∗0 0∗3+3∗x 2∗5+ (−2 )∗(−9 ) 0∗5+3∗x 2∗4+ (−2 )∗8

( 3∗0+ y 2∗4+3∗(−1)
1∗0+ 0∗4+ ( x +Y ) +(−1)
3∗(−2 ) + y 2∗3+ 3∗0
1∗ (−2 )+ 0∗3+ ( x + y )∗0
3∗3+ y 2∗5+3∗(−9 ) 3∗5+ y 2∗4 +3∗8
1∗3+ 0∗5+ ( x + y )∗(−9 ) 1∗5+ 0∗4+ ( x + y )∗8

12 x 2+2 9 x2 15 x 2+18 12 x 2−16

[
¿ 4 y 2 −3 3 y 2−6
−x− y −2
5 y 2−18 4 y 2+39
−9 x−9 y +3 8 x+ 8 y +5 ]
f) C T ∙ D

0 −2 35
c t =¿
[ 4 3 5 4
−1 0 −9 8 ]
0 4 −1
c= −2
t
3
5
[ ] 3 0
5 −9
4 8

0 4 −1
t
c . D= −2
3
5
[ ][ 3 0
0 9
5 −9 −3 y
4 8 1
2
−2
3
0 x. y .I ]
0∗0+ 4∗(−3 ) + (−1 )∗10∗9+ 4∗y 2 + (−1 )∗0 0∗(−2 ) + 4∗3+ (−1 )∗( xyI )
¿
[
2∗0+3∗(−3 ) +0∗1 2∗9+ 3∗x y 2+ 0∗0−2∗(−2 )+ 3∗3+ 0∗( xyI)
3∗0+5∗(−3 ) + (−9 )∗1 3∗9+ 5∗y 2 + (−9 )∗0 3∗(−2 ) +5∗3+ (−9 )∗(xyI )
5∗0+4∗ (−3 ) +8∗15∗9+ 4∗y 2+ 8∗05∗(−2 ) + 4∗3+8∗( xyI )
]
ALGEBRA LINEAL 14

−13 4∗y 2 (−x∗y +12 )∗I

[ −9 3∗y 2−1813
−24 5∗y 2+ 27 (−9∗x∗y +9 )∗I
−4 4∗y 2 +45 8∗( 8∗x∗y +2 )∗I
]
g) Det ( B)

9 −5 6
B= 1 3
[ ]
6
0 −1 3
5 7 −5

La matriz no es cuadrada.

h) Det (D)

0 3∗x 2 −2

[ 3 y2
1 0 (x+ y)
3

] 2 2 2
3 =−9∗x +9∗x + 2∗y −9∗x ∗y

i) ( BT −C)T

9 −5 6

[ ]
B= 1 3 6
0 −1 3
5 7 −5
0 −2 3 5

[
C= 4 3 5 4
−1 0 −9 8 ]
9 −5 6
B= 1 3
[ ]
6 =BT =
0 −1 3
5 7 −5
9 1 0 5
−5 3 −1 7
6 6 3 −5 [ ]
9 1 0 5 0 −2 3 5
T

[
B = −5 3 −1 7 −C= 4 3 5 4
6 6 3 −5 −1 0 −9 8 ] [ ]
9 3 −3 0

[
BT −C= −9 0 −6 3
7 6 12 −13 ]
ALGEBRA LINEAL 15

9 −9 7
T
( B −C ) = 3
T 0
[ 6
−3 −6 12
0 3 −13
]
5. Resolución de problemas básicos sobre matrices
Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la
Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar
la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores.

Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se

pueden hacer tres rotaciones: Rotación OX , Rotación en OY , Rotación
en OZ .

Haciendo la rotación, tomando al eje y como eje de giro, la matriz de

rotación R ( y , φ ) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que:

Pxyz=R ( y , ϕ ) ∙ Puvw
1

con respecto al eje OY .

2 []
a) Encontrar el vector Pxyz , cuando el punto Puvw= 1 , con ϕ=90 ° ,

cos ( 90 ° ) 0 sen ( 90 ° ) 1 −0,45 0 0,89 1

Pxyz=
[ 0 1 0
][] [
−sen ( 90 ° ) 0 cos ( 90° )
∗1 = 0
2 −0,89
1
0
0 ∗ 1 =¿
−0,45 2 ][]
ALGEBRA LINEAL 16

( 1009 ) 89 89 133

[ ][] [
−9

][ ]
− 0 ∗1+0∗1+ ∗2
100 1 20 100 100
0 1 0 ∗1 = 0∗1+1∗1+ 0∗2 = 1
89 9 2 −89 −9 −179
−( )
100
0 − ( )
20 100
∗1+0∗1+ ∗2
20 100

con respecto a eje OY .

[]
b) Encontrar el vector Pxyz , cuando el punto Puvw= 2 , con ϕ=45 ° ,
3

cos ( 45° ) 0 sen ( 45° ) 1 0,53 0 0,85 1

[ 0 1 0
][][
∗2= 0
−sen ( 45 ° ) 0 cos ( 45° ) 3
1
][]
0 ∗ 2 =¿
−0,85 0 0,53 3

57 17 53 17 77
( 100 )
[ ][] [ ][ ]
0 ∗1+0∗2+ ∗3
20 1 100 20 25
0 1 0 ∗2 = 0∗1+1∗2+0∗3 = 2
17 53 3 −17 53 37
−( )0( )
20 20 20
∗1+0∗2+
100
∗3
50

6. Resolución de problemas básicos sobre matrices

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los

conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con
matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de
ecuaciones.

ELIMINACION GAUSSIANA: Es un procedimiento sistemático para

resolver sistemas de ecuaciones lineales; se basa en la idea de reducir
la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente simple
como para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por
observación.

Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de

peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a
continuación:

% %
Materia Costo Azúcare % Proteína %
Prima $/Kg s Grasas s Inertes
A 2,35 12 10 60 18
B 2 10 10 50 30
C 1,7 8 6 44 42
ALGEBRA LINEAL 17

 Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias

primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de
alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su
contenido de grasa no se mayor del 95% y su contenido de
proteínas no sea menor al 52%.

12 A +10 B+ 8C=10
10 A +10 B+ 6 C=90
60 A+50 B+44 C=52

12 10 8 10
|
10 10 6 90
60 50 44 52 |
Primera línea la dividimos entre 12

5 2 5

| | 1
6 3
10 10 6
60 50 44
6
90
52

f 2−10 f 1
f 3−60 f 1

5 2 5

| |
1
6 3 6
5 −2 260
0
3 3 3
0 0 4 2

f 3=0.5 f 3
f 2=2 f 2
f 1=6 f 2

6 5 4 5
|
0 5 −2 260
0 0 2 1 |
Luego:
1
2 C=3→ C=
2

5 B−2 C=260→ 5 B−1=260

ALGEBRA LINEAL 18

261
B=
5

6 A+5 B+4 C=5

A=−43

A pesar de la matriz tiene solución matemática, el valor de A=-44 representa un

dato no medible para la materia prima A,

2∗261 1.7∗1
costo=−41∗2.35+ + =$ 8.9
5 2

● Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la

Adjunta. fórmula

Fórmula
detA =80

7 −1 −1

[ ]
A−1= −1
4

−5
4
2
3
5
0
4
1
10
1
4

● Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso

anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original)
es igual a la matriz identidad de la matriz identidad.

7 −1 −1

[
12 10 8

] [ ]
4
10 10 6 ∗ −1
60 50 44
−5
4
2
3
5
0
4
1
10
1
4
1 0 0

[ ]
=0 1 0
0 0 1