Operaciones Con Vectores.

Universidad tecnológica Indoamerica
Nombre: Edgar Chacon

Curso: 3 industrial
Tema: recuperación de operaciones con vectores
1) Sean los puntos 𝑃 = (√3, √2) 𝑄 = (2√3, −√2)
Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃
= (2√3 − √2) − (√3, √2) =
= 2√3 − √3, −√2 − √2) =
= (√3, −2√2)
Para calcular el otro vector es suficiente multiplicar el vector anterior por el

escalar -1 para cambiar su sentido:𝑄𝑃 = (−√3 − 2√2)
2) Encontrar el vector que va del punto O al punto P y el vector que va del

punto A al punto B:
𝑂 = (0,0)
𝑃 = (−1,1)
𝐴 = (3,3)
𝐵 = (2,4)
El vector que va de O a P es
𝑣 = 𝑂𝑃 = 𝑃 − 𝑂 =
= (−1,1) − (0,0) =
= (−1,1)
El vector que va de A a B es
𝑊 = 𝐴𝐵 = 𝐴 − 𝐵 =
= (2,4) − (3,3) =
= (−1,1)
Ambos vectores son el mismo vector porque tienen las mismas coordenadas,
aunque están situados en distintos lugares del plano.
Si estamos en el punto O y nos movemos una unidad a la izquierda y una unidad

hacia arriba, entonces llegamos al punto P. Si estamos en el punto A y realizamos
los mismos movimientos, llegamos al punto B.
3) Hallar gráfica y analíticamente la resultante de los siguientes

desplazamientos: A (10 m hacia el Noroeste), B (20 m Este 30º Norte) y C
(35 m Sur)
La representación gráfica de los desplazamientos viene dada en la figura. La

magnitud del desplazamiento final y su orientación será:
D = √D ⋅ D = √(A + B + C) ⋅ ( A + B + C) =
= √A2 + B2 + C2 + 2ABcos105º + 2ACcos135º + 2BCcos120º = 20.65 m
D ⋅ C = DCcosθ
D ⋅ C = (A + B + C) ⋅ C =
= (ACcos135º + BCcos120º + C2 )
D⋅C
θ = arccos ( )=
D⋅C
Acos135º + Bcos120º + C
= arcco ( ) = 29.8º
D
4) Un automóvil recorre 3 km hacia el Norte y luego 5 km hacia el Norte 40º
Este, representar estos desplazamientos y hallar el desplazamiento resultante
gráfica y analíticamente.
La representación gráfica de los desplazamientos viene dada en la figura. La

magnitud del desplazamiento final y su orientación será:
d = √d ⋅ d = √𝑑1 + 𝑑2 ∙ (𝑑1 + 𝑑2 ) =
= √𝑑12 + 𝑑22 + 2𝑑1 𝑑2 cos 40 º = 7.55 km
d ⋅ 𝑑1 = d 𝑑1 cosθ
d ⋅ 𝑑1 = (𝑑1 + 𝑑2 ) ⋅ 𝑑1
= (𝑑12 ∙ 𝑑1 𝑑2 cos 40º)
d ⋅ 𝑑1
θ = arccos ( )=
d𝑑1
𝑑1 + 𝑑2 cos 40º
= arccos ( ) = 25.2º
𝑑
5) Hallar el ángulo formado por los vectores A = 2 i + 2 j − k y B = 6 i − 3 j + 2 k.
El ángulo lo obtenemos a partir del producto escalar:
A⋅B
A ⋅ B = A Bcosθ ⇒ θ = arccos ( ) = 79.0º
AB
6) Dados los vectores:  a = (1, 1, 2) y  b = (1, 3, 4). Calcular: a) el producto escalar

de ambos vectores, b) el ángulo que forman, c) la proyección de b sobre a.
a) El producto escalar será:

𝑎 ⋅ 𝑏 = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 12
b) El ángulo que forman entre sí será:
a ⋅ b
a ⋅ b = ab cosθ ⇒ θ = arccos ( ) = 16.1º
ab
c) La proyección del vector  b sobre el vector  a será:
𝑎⋅𝑏
d = |𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 | = | | = 2√6𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑎
7) Entre los cosenos directores de un vector unitario existen las siguientes
𝑐𝑜𝑠𝛼 2 𝑐𝑜𝑠𝛽 3
relaciones:𝑐𝑜𝑠𝛽 = 3 , 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 4Calcular el producto escalar y vectorial de este vector
con el que tiene por componentes:√29(1,1,1) . ¿Qué ángulo forman entre sí ambos
vectores?
El valor de los cosenos directores lo podemos obtener a partir de las dos ecuaciones
del enunciado y de la relación entre los tres cosenos:
𝑐𝑜𝑠𝛼 2
=
𝑐𝑜𝑠𝛽 3
𝑐𝑜𝑠𝛽 3
=
𝑐𝑜𝑠𝑦 4
𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1
2
cosα = ±
√29
3
cosβ = ±
√29
4
cosγ = ±
√29
Nuestro vector unitario será, por lo tanto:
2 3 4
u = ±( 𝑖+ 𝑗+ 𝑘)
√29 √29 √29
Los productos escalar y vectorial de este vector unitario por el vector del enunciado
serán
2 3 4
u ⋅ v = ±( ∗ √29 + ∗ √29 + ∗ √29) = ±9
√29 √29 √29
𝑖 𝑗 𝑘
2 3 4
u×v = ± ⟨ | | ⟩ = ± − i + 2 j − ( k)
√29 √29 √29
√29 √29 √29
El ángulo que forman entre sí los dos vectores será:
u⋅ v
u ⋅ v = v cosθ ⇒ θ = arccos ( ) = 15.2º ó 167.8º
𝑣
8) Demostrar que el vector unitario u, cuyos cosenos directores son: cosα = 1 3, cosβ =
2 3 y cosγ > 0, es perpendicular al vector b = (6, − 9, 6).
El valor del tercer coseno director lo podemos sacar a partir de la relación entre los
tres cosenos:
2
cos2 α + cos 2 β + cos2 γ = 1 ⇒ cosγ = √1 − cos2 α − cos 2 β =
3
realizando el producto vectorial entre u y b:
1 2 2
u⋅b= ∙ 6 + ∙ (−9) + ∙ 6 = 0
3 3 3
lo cual demuestra que son perpendiculares.
9) Descomponer el vector V = (1, 2, 3) según las direcciones de los vectores: a = (0, 0,

1), b = (1, 1, 1) y c = (1, 0, 1).
Llamemos l, m, n a los coeficientes de  V como composición de a , b y c :
m + n = 1 l = 2
V = l a + m b + n c→{ m = 2 →{m = 2
l + m + n = 3 n = −1
V = 2 a + 2 b– c
Sabiendo que el vector a tiene de módulo 6 y dos de sus cosenos directores son
cosα=1/2, cosβ = 1/3. Calcular las componentes del vector a, y las componentes de
un vector b tal que:
√23 2
a ⋅ b= 𝑦a×b =i − 𝑗
2 3
10) Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores a (2, –3, 4), b (1, 2, –
1) y c (3, –1, 2).
El volumen del paralelepípedo viene dado por el valor absoluto del producto mixto
de los tres vectores:
2 −3 4
Volumen = |𝑎 ⋅ 𝑏 × 𝑐| = |1 2 −1| = |−7| = 7 unid. long 3
2 −1 2
Hallar el volumen del tetraedro formado por los vectores a (1, 1, 1), b (1, 1, 0) y c (1,
0, 1), así como su doble producto vectorial.
Bibliografía
BÁSICAS, VECTORES: OPERACIONES. (s/f). [En línea] (s/f). [Citado el: 24
de mayo de 2019.]
real, Vectores del plano. (s/f). [En línea] (s/f). [Citado el: 24 de mayo de 2019.]
https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/vectores/ejercicios-resueltos-
vectores-suma-producto-escalar-modulo.html.
vectores, Operaciones con. (s/f). [En línea] (s/f). [Citado el: 24 de mayo de
2019.] https://ekuatio.com/operaciones-con-vectores-ejercicios-resueltos-paso-a-
paso/.

Operaciones Con Vectores.

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Operaciones Con Vectores.

Cargado por

Información del documento

Descripción original:

Título original

Derechos de autor

Formatos disponibles

Compartir este documento

Compartir o incrustar documentos

Opciones para compartir

¿Le pareció útil este documento?

¿Este contenido es inapropiado?

Copyright:

Formatos disponibles

Operaciones Con Vectores.

Cargado por

Copyright:

Formatos disponibles

Universidad tecnológica Indoamerica

Nombre: Edgar Chacon

1) Sean los puntos 𝑃 = (√3, √2) 𝑄 = (2√3, −√2)

Encontrar el vector que va de P a Q y el vector que va de Q a P.

= (2√3 − √2) − (√3, √2) =

= 2√3 − √3, −√2 − √2) =

Para calcular el otro vector es suficiente multiplicar el vector anterior por el

2) Encontrar el vector que va del punto O al punto P y el vector que va del

Si estamos en el punto O y nos movemos una unidad a la izquierda y una unidad

3) Hallar gráfica y analíticamente la resultante de los siguientes

La representación gráfica de los desplazamientos viene dada en la figura. La

= √A2 + B2 + C2 + 2ABcos105º + 2ACcos135º + 2BCcos120º = 20.65 m

La representación gráfica de los desplazamientos viene dada en la figura. La

= √𝑑12 + 𝑑22 + 2𝑑1 𝑑2 cos 40 º = 7.55 km

= (𝑑12 ∙ 𝑑1 𝑑2 cos 40º)

El ángulo lo obtenemos a partir del producto escalar:

6) Dados los vectores:  a = (1, 1, 2) y  b = (1, 3, 4). Calcular: a) el producto escalar

a) El producto escalar será:

b) El ángulo que forman entre sí será:

c) La proyección del vector  b sobre el vector  a será:

𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 = 1

Nuestro vector unitario será, por lo tanto:

El ángulo que forman entre sí los dos vectores será:

realizando el producto vectorial entre u y b:

lo cual demuestra que son perpendiculares.

9) Descomponer el vector V = (1, 2, 3) según las direcciones de los vectores: a = (0, 0,

Llamemos l, m, n a los coeficientes de  V como composición de a , b y c :

También podría gustarte