Tipos de funciones

 Función polinómica
 Función constante
 Función polinómica de primer grado
 Función afín
 Función lineal
 Función identidad
 Función cuadrática
 Función cúbica
 Función racional
 Función de proporcionalidad inversa
 Función radical
 Función inversa
 Funciones trascendentes
 Función exponencial
 Función potencial exponencial
 Función logarítmica
 Funciones trigonométricas
 Funciones trigonométricas inversas
 Funciones definidas a trozos
 Función derivada
 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
 Función inyectiva
 Función sobreyectiva
 Función biyectiva
 Funciones explícitas e implícitas
 Función valor absoluto

Función polinómica
Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal como:

El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales.

Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
Se llama grado de una función polinómica al mayor exponente de sus términos. Por
ejemplo, el polinomio de la función del gráfico de arriba es de grado 3.
Los diferentes ai (a0 , a1, …a n), son números reales llamados coeficientes de
un polinomio .
 Función constante
Una función f es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor a para
cualquier elemento del dominio (variable independiente x).

En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de

puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<>x2, se cumple que f(x1) = f(x2).

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

Función polinómica de primer grado

Las funciones polinómicas de primer grado o de grado 1 son aquellas que tienen un
polinomio de grado 1 como expresión. Están compuestas por un escalar que multiplica a
la variable independiente más una constante. Su mayor exponente es x elevado a 1.

Su representación gráfica es una recta de

pendiente m.
La m es la pendiente y la n la ordenada en
el origen, o punto en donde la recta f corta al eje
de ordenadas. Según los valores
de m y n existen tres tipos:
 Función afín
Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen
de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).
Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Los escalares m y n son diferentes de 0.

Función lineal
Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de
coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

También se llaman funciones de proporcionalidad directa. La constante m es la razón

de proporcionalidad.
El término independiente n de la función afín es cero.
 Función identidad
Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es el
mismo valor del dominio.

Estas funciones también suele denotarse por id.

La función identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de
coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes
iguales, o sea, es su bisectriz.
La función identidad es importante en la función inversa.
Función cuadrática
Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones
polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2):

Su representación gráfica es
una parábola vertical.

Una función cuadrática puede tener dos

raíces reales, una sola raíz real o ninguna. Las
raíces de una función son los elementos
del dominio que la hacen nula. Es decir, son los
puntos donde la gráfica de la función corta al
eje X.
Función cúbica
Las funciones cúbicas (o funciones de tercer grado) son funciones polinómicas de grado
3, es decir, las que el mayor exponente del polinomio es x elevado a 3 (x3):

La representación gráfica de la función cúbica es:

Una función cúbica puede tener tres raíces

reales, dos raíces reales o una. Las raíces de
una función son los elementos del dominio que
la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la
gráfica de la función corta al eje X.

Función racional
Las funciones racionales f(x) son el cociente irreducible de dos polinomios (para ello, no
deben tener las mismas raíces). La palabra racional hace referencia a que esta función es
una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador (La variable x debe de
estar en el denominador).
El dominio de una función racional son todos los números reales excepto los valores de
la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio
correspondiente al denominador.

La gráfica de estas funciones, si el polinomio del

denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:
 (En todas las funciones racionales en las que el grado del polinomio
del numerador P(x) sea el mismo que grado del del denominador Q(x), existe una asíntota
horizontal y = a / k, siendo aquí a y k los coeficientes de los términos de mayor grado
de P(x) y de Q(x)) respectivamente.

Función de proporcionalidad inversa

Una función de proporcionalidad inversa es la que, cuando la variable
dependiente y es igual a una constante dividida por la variable independiente x . Su expresión
es:

k es el coeficiente de proporcionalidad inversa.

Su dominio y su codominio son los números reales, excepto en las asíntotas (x = 0 e
(y = 0) en donde hay un punto de ruptura y el denominador es nulo.

La derivada de la función de proporcionalidad inversa es:

 Si k > 0, la función es decreciente y está en el primer y tercer cuadrante.

Si k < 0, la función es creciente y está en el segundo y cuarto cuadrante.

La gráfica es una hipérbola equilátera con una asíntota vertical y otra horizontal en los
dos ejes de coordenadas.

Función radical
Una función radical o función raíz es la que la variable dependiente y se obtiene de una
raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x.

Son llamadas también funciones irracionales.

Cuando el índice de la raíz n es par, el dominio de la función son los valores de x que
hacen al radicando cero o mayor que cero.
 Cuando el índice es impar, el dominio son los números reales.
Un ejemplo de gráfica de función radical con índice n impar:

Función inversa
Sea f una función que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X)
un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y). La función inversa (o función
recíproca) de f (denotada por f-1) es aquella que hace el camino inverso, asignando a los
elementos de Y elementos de X.
 Formalmente, diremos que f-1 es la inversa de f si:

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f-

1 es la inversa de f y f-1 si la composición de f da la función identidad.

Para que una función f tenga inversa necesariamente debe ser inyectiva.

Funciones trascendentes
Una función trascendente es la que la variable independiente x se encuentra en el
exponente, el índice de una raíz, en un logaritmo o en una función trigonométrica.
Para una función trascendente no basta con operaciones algebraicas, sino que se
requieren cálculos como derivadas, integrales, trigonometría, etc.

Son funciones trascendentes las exponenciales, las potenciales exponenciales,

logarítmicas o las trigonométricas.

Función exponencial
Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en
el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

También se suele denotar la función como exp (x).

La función potencial exponencial es aquella en la que, tanto la base como el exponente
son funciones. Dicho de otra manera, la variable independiente x se encuentra en la base y
en el exponente. Su forma genérica es:
 Estas son dos gráficas de la función potencial exponencial. Una, más simple y otro
ejemplo cualquiera:

Características de las funciones exponenciales

f(x) = y = ax a>1
- Es positiva siempre. Creciente.
- Corta al eje Y en el punto (0,1)
- Nunca corta al eje X
- Dom: x ϵ R ; Ran: y ϵ R+
- Monotonía: Curva siempre creciente
- No tiene simetría ni periodicidad.
- Curvatura: Es una curva convexa siempre.
- No tiene discontinuidades
- Tiene asíntota horizontal en la recta y=0

f(x) = y = ax 0<a<1
- Es positiva siempre. Decreciente.
- Corta al eje Y en el punto (0,1)
- Nunca corta al eje X
- Dom: x ϵ R ; Ran: y ϵ R+
- Monotonía: Curva siempre decreciente.
- No tiene simetría ni periodicidad.
- Curvatura: Es una curva convexa siempre.
- No tiene discontinuidades
- Tiene asíntota horizontal en la recta y=0
 Función logarítmica
Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

De la misma manera podemos representar la función f(x)= log1/2 x , obteniendo: (observe que
a<1)

En general,
- El recorrido de todas las funciones de este tipo son todos los
números reales.
- Si a > 1, son crecientes y cóncavas, mientras que si a < 1, son
decrecientes y convexas.
- Todas tienen una asíntota vertical en el eje Y, que irá hacia arriba o hacia abajo dependiendo
de si son crecientes o decrecientes.

Conociendo esto, y que todas ellas pasan por los puntos (1,0) y (a,1), podemos representar
cualquier función logarítmica.

Funciones trigonométricas
las funciones trigonometricas f son aquellas que están asociadas a una razón
trigonométrica.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de
un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.
Existen seis funciones trigonométricas:
 Seno

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y

la hipotenusa (c).

Su abreviatura son sen o sin (del latín sinus).

La gráfica de la función seno es:

La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección
de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.
 Dominio:

 Codominio:

 Derivada de la función seno:

 Integral de la función seno:

 Coseno

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto

adyacente (b) y la hipotenusa (c).

Su abreviatura es cos (del latín cosinus).

La gráfica de la función coseno es:

La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes).

 Dominio:

 Codominio:

 Derivada de la función coseno:

 Integral de la función coseno:

 Tangente

La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto

contiguo o cateto adyacente (b).

Su abreviatura son tan o tg.

La gráfica de la función tangente es:

La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes).

 Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta
casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…
 Codominio:

 Derivada de la función tangente:

 Integral de la función tangente:

 Cotangente
La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de
la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1.
La cotangente de un ángulo α de un triángulo
rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o
cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

Su abreviatura es cot, cotg o cotan.

La gráfica de la función cotangente es:

La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes).

 Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero.
 Codominio:
 Derivada de la función cotangente:

 Integral de la función cotangente:

 Secante
La secante es la razón trigonométrica
recíproca del coseno, es decir sec α · cos α=1.
La secante de un ángulo α de un triángulo
rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c)
y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Su abreviatura es sec.
La gráfica de la función secante es:

La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes).

 Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta
casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…

 Codominio:

 Derivada de la función secante:

 Integral de la función secante:
 Cosecante
La cosecante es la razón trigonométrica
recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1.

La cosecante del ángulo α de un triángulo

rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c)
y el cateto opuesto (a).

Su abreviatura es csc o cosec.

La gráfica de la función cosecante es:

La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).

 Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero.

 Codominio:

 Derivada de la función cosecante:

 Integral de la función cosecante:
 Funciones definidas a trozos
Las funciones definidas a trozos (o función por partes) si la función tiene distintas
expresiones o fórmulas dependiendo del intervalo (o trozo) en el que se encuentra la variable
independiente (x).
Por ejemplo:

La imagen de un valor x se calcula según en que intervalo se encuentra x. Por ejemplo,

el 0 se encuentra en el intervalo (-∞,1), por lo que su imagen es f(0)=0. El valor 3 está en el
intervalo [1,4], entonces su imagen es f(3)=2.

Función derivada de una función

La función derivada f’ de una función f que sea derivable en un intervalo I es una nueva
función que hace corresponder para cada valor de x ∈ I el valor de la derivada de f en ese
punto.
En otras palabras, la función derivada f’ recoge todos los valores de las derivadas
de f existentes en todos los puntos de su dominio.
Puede ocurrir que f no tenga derivada en todo su dominio. En ese caso, el dominio de
la función derivada f’ es más pequeño que el dominio de f.
La expresión de la función derivada respecto a la función inicial es el siguiente límite:
 La función derivada f’ de una función f, derivable en I, cuando el incremeto de la
variable x ∈ I tiende a cero, es el cociente entre el incremento de la función inicial y el
incremento de la variable independiente x.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se
relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.
Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer
conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

Función inyectiva
La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor
de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.
No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno
del conjunto inicial X.

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:
 Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su
dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1).
Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta
paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.
Función sobreyectiva
Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto
final Y tiene al menos un elemento
del conjunto inicial X al que le
corresponde.

Es decir, una función

es sobreyectiva si el recorrido de la
función es el conjunto final Y. Dicho
de otra manera, una función
es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio.
En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Función biyectiva
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si
todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una única imagen en el
conjunto final Y (condición de función
inyectiva).
Digamos que no puede quedarse
ningún elemento en el conjunto
final Y solo, sin asociarse con un único
elemento del conjunto inicial X.

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

 Funciones explícitas e implícitas
Una función explícita es aquella que está expresada de forma que la variable
dependiente está despejada. Es decir, y = f(x).
Un ejemplo de función explícita sería:

Una función implícita es aquella que está expresada de forma que la variable
dependiente y no está despejada. Es decir, que y no está definida en función solo de
la variable independiente x .
Un ejemplo de función implícita sería:

Una función en forma implícita, despejando, siempre se puede pasar a la forma de una
función explícita.

Función valor absoluto

La función valor absoluto devuelve el valor numérico del segundo término, pero
afectado siempre del signo positivo. Tiene sentido para caracterizar distancias, longitudes.
La expresión más simple de una función valor absoluto es: f(x) = |x| y la gráfica son dos
rectas simétricas en el primer y segundo cuadrante, con pendientes 1 y -1 (forma de “V”) que
se cortan en el origen (0,0).

El dominio son números reales y el codominio, los reales positivos.

 Transformando con desplazamientos
Una función valor absoluto se puede desplazar, simplemente, deslizándose el vértice
a derecha e izquierda por el eje de las X con esta forma: f(x) = |x ±k|. (si k va con signo más ,
la gráfica se desplaza una distancia k hacia la izquierda; si k va con signo menos, la gráfica
se desplaza una distancia k hacia la derecha). El vértice estará en (∓k, 0).

También se puede desplazar verticalmente, deslizándose el vértice arriba o abajo por el

eje de las Y con esta forma: f(x) = |x|± k. (si k va con signo más, la gráfica se desplaza una
distancia k hacia arriba; si k va con signo menos, la gráfica se desplaza una distancia k hacia
abajo. El vértice estará en (0, ±k).

(En ambos casos, tomamos la constante k como un número positivo)