03 em 06 Emae U1 Act5 Intervalos Confianza 1

Es importante entender que tan bueno es el estimado obtenido.
Por ejemplo, suponga que se

estima el promedio de volumen de los refrescos en 1 litro, entonces 𝜇̂ =𝑥̅ =1. Ahora bien, debido a
la variabilidad en el muestreo rara vez el promedio real μ es exactamente igual al estimado 𝑥̅ . El
estimado puntual no nos dice nada sobre que tan cerca se encuentra 𝜇̂ de μ. ¿Estará el promedio
real entre 0.9 y 1.1 o 0.99 y 1.01? Responder esta pregunta afecta nuestra decisión sobre el
proceso de llenado de las botellas de refresco. Los límites que representan un intervalo de
posibles valores de un parámetro son un ejemplo de intervalos de estimación.
Un intervalo de estimación para un parámetro de la población se conoce como intervalo de

confianza. Un intervalo corto implica una estimación precisa. Un intervalo de confianza es
construido de tal manera que se tiene una alta confianza de que este intervalo contiene los
parámetros desconocidos de la población.
Un intervalo de tolerancia es otro importante tipo de intervalo de estimación. Por ejemplo,

retomando el ejemplo del llenado de botellas de refresco, queremos calcular los límites que
contienen el 95% de los valores promedio de llenado de botellas. Para una distribución normal
sabemos que el 95% se encuentra entre
μ-1.96σ y μ+1.96σ
Pero este no es un intervalo de tolerancia útil debido a que no conocemos μ ni σ. Las estimaciones
puntuales de 𝑥̅ y s pueden ser empleadas en lugar de μ y σ.
Los intervalos de confianza y de tolerancia acotan los elementos desconocidos de una

distribución. Un intervalo de predicción provee límites sobre una o más observaciones futuras
de una población, por ejemplo, podría ser empleado para limitar una nueva medición sobre los
mililitros de refresco en una botella.
Para entender el concepto de intervalo de confianza se debe pensar primero en una situación
simple, supongamos que se tiene una población con distribución normal, μ desconocida y σ2
conocida, la muestra aleatoria está definida por X1, X2,…,Xn y es una distribución normal. Dado
que el promedio de la muestra 𝑋̅ es una distribución normal con media μ y varianza σ2/n (vea el
teorema del límite central de la unidad anterior), es posible estandarizar 𝑋̅ de la siguiente manera
𝑋̅ − 𝜇
𝑍=
𝜎/√𝑛
Z es una variable aleatoria que tiene una distribución normal estandarizada.
Un intervalo de confianza para μ es un intervalo de la forma l≤ μ≤u donde l y u son obtenidos a

partir de los datos de la muestra, debido a que diferentes muestras producirán diferentes valores
de l y u, estos límites son valores de variables aleatorias L y U. Supongamos que podemos
determinar los valores de L y U a través de la siguiente relación de probabilidad
𝑃{𝐿 ≤ μ ≤ U} = 1 − 𝛼
Donde 0≤α≤1. Hay una probabilidad 1-α de seleccionar una muestra tal que el intervalo de
confianza contendrá el valor real de μ. Una vez seleccionada la muestra 𝑋1 = 𝑥1 , 𝑋2 = 𝑥2 … , 𝑋𝑛 =
𝑥𝑛 y calculado l y u, el intervalo de confianza resultante para μ es l≤ μ≤u.
l y u son los límites de confianza inferior y superior respectivamente y 1-α es el límite de confianza.
Dado que estamos empleando la variable aleatoria Z definida antes
𝑋̅ − 𝜇
𝑃 {−𝑧𝛼/2 ≤ ≤ 𝑧𝛼/2 } = 1 − 𝛼
𝜎/√𝑛
Manipulando algebraicamente la expresión dentro de los corchetes, primero multiplicando por
𝜎/√𝑛, después restando 𝑋̅ y por ultimo multiplicando por -1
𝜎 𝜎
𝑃 {𝑋̅ − 𝑧𝛼/2 ≤ 𝜇 ≤ 𝑋̅ + 𝑧𝛼/2 } = 1 − 𝛼
√𝑛 √𝑛
En resumen si 𝑥̅ es el promedio de la muestra de una muestra aleatoria de tamaño n obtenida de
una población de distribución normal con σ2 conocido, un porcentaje de intervalo de confianza
100*(1-α)% sobre μ está dado por
𝜎 𝜎
𝑥̅ − 𝑧𝛼/2 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑧𝛼/2
√𝑛 √𝑛
Donde 𝑧𝛼/2 es el porcentaje superior 100* α/2 de la distribución normal estandarizada.
Por ejemplo, se plantea un nuevo mecanismo de evaluación en el curso de algebra y se califica

de 0 a 10, y se quiere determinar su efectividad. Para lo cual se recopilan las calificaciones de 10
estudiantes de diferentes grupos: 8.5, 8.0, 7.5, 7.0, 9.5, 6.9, 7.2, 6.8, 7.4 y 8.1, Asumiendo que
las calificaciones tiene una distribución normal y σ=2. Queremos encontrar un intervalo de
confianza de 95% para μ, el promedio de las calificaciones.
En una normal estandarizada, para tener un 95% de los datos de la muestra en el intervalo de
confianza se requiere lo siguiente 𝑧𝛼/2 = 𝑧0.025 = 1.96, además n=10, σ=2 y 𝑥̅ = 7.69.
Sustituyendo en la relación anterior obtenemos el intervalo de confianza de 95%
𝜎 𝜎
𝑥̅ − 𝑧𝛼 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + 𝑧𝛼
√𝑛 2 √𝑛 2
2 2
7.69 − ∗ 1.96 ≤ 𝜇 ≤ 7.69 + ∗ 1.96
√10 √10
6.45 ≤ 𝜇 ≤ 8.93
Esto significa que basados en este muestreo, un rango de valores altamente plausibles para el
promedio de calificaciones de la población es 6.45 ≤ 𝜇 ≤ 8.93. O bien que hay un 95% de
encontrar a μ dentro de este rango. Pero dado que μ es desconocida, la correcta interpretación
consiste en que el intervalo de confianza es un intervalo aleatorio, debido a que L y U son
variables aleatorias, en consecuencia la correcta interpretación del intervalo de confianza de
100*(1-α)% depende de la frecuencia relativa de probabilidad, es decir, si un número infinito de
muestras aleatorias son colectadas y el intervalo de confianza de 100*(1-α)% para μ es calculado
para cada muestra, entonces 100*(1-α)% de esos intervalos contendrán el valor verdadero de μ.
En la siguiente figura se ilustran varios intervalos de confianza de 100*(1-α)% para la media μ de

una distribución normal. El eje horizontal representa el número de intervalos de confianza
calculados, los puntos al centro de los intervalos indican el estimado puntal de μ (es decir 𝑥̅ ),
observe que uno de los intervalos falla al no contener el valor real de μ. Si este fuera un intervalo
de confianza del 95%, solo el 5% de los intervalos fallarían al no contener μ.
Observe que en el ejemplo anterior la elección del nivel de confianza de 95% fue esencialmente
arbitraria. ¿Qué hubiera pasado si se hubiera elegido un nivel de confianza del 99%?
% del intervalo α α/2 zα/2 Longitud del

de confianza Intervalo
𝜎
2 𝑧𝛼
√𝑛 2
𝜎
95 0.05 0.025 1.96 3.92
√𝑛
𝜎
99 0.01 0.005 2.58 5.16
√𝑛
Vea el enlace web “

“ que se sugiere en el contenido de la unidad para recordar como utilizar la tabla de
la normal estandarizada para obtener el valor de zα/2 para 95% y 99%.
Como se podrá observar en la tabla el intervalo de confianza de 99% es mas grande que el de
95%. Generalmente para un tamaño de muestra n y desviación estándar σ, entre más grande
sea el nivel de confianza, más largo es el intervalo de confianza resultante. La longitud del
intervalo de confianza es una medida de la precisión de la estimación. La precisión esta
inversamente relacionada con el nivel de confianza, por lo que se desea obtener un intervalo de
confianza lo suficientemente corto para propósitos de toma de decisiones y además que tenga
una adecuada confianza, una manera de lograrlo es escoger una muestra de tamaño n lo
suficientemente grande que nos de un intervalo de confianza de longitud especifica o precisión
con una confianza prescrita.
𝜎
La precisión del intervalo de confianza esta dad por 2 𝑧𝛼 . Esto significa que al usar 𝑥̅ para
√𝑛 2
𝜎
estimar μ el error 𝐸 = |𝑥̅ − 𝜇| es menor o igual que 𝑧𝛼 con una confianza de 100(1-α), tal como
√𝑛 2
se muestra en la siguiente gráfica.
En situaciones en donde el tamaño de la muestra puede ser controlada, se puede escoger n de

tal manera que se tiene el porcentaje de confianza 100(1-α) que el error al estimar μ es menor
que u limite especificado sobre el error, es decir, el error máximo está dado por el límite del
intervalo de confianza.
𝜎
𝑧𝛼 = 𝐸
√𝑛 2
𝜎 2
𝑛 = ( 𝑧𝛼 )
𝐸 2
Para demostrar el uso de este procedimiento, consideremos el ejemplo anterior en el que se
plantea un nuevo mecanismo de evaluación, suponga que deseamos determinar el número de
estudiantes que queremos examinar para asegurar que el intervalo de confianza de 95% tiene
una longitud máxima de 2, debido a que los límites del error E en la estimación es la mitad de la
longitud del intervalo de confianza, tenemos que E=1, σ=2 y zα/2=1.96, sustituyendo en la
ecuación anterior obtenemos el tamaño de la muestra
2
2
𝑛 = ( ∗ 1.96) = 15.37
1
Dado que n tiene que ser entero, el tamaño de la muestra requerido es n=16.
Observe que si la longitud deseada 2E disminuye, el tamaño de la muestra n aumenta para un

valor fijo de σ y un valor de confianza especifico.
También si σ aumenta, el tamaño de la muestra aumenta para un valor fio de la longitud 2E y un
valor de confianza especifico.
Si el valor de confianza aumenta, el tamaño de la muestra aumenta para un valor fijo de longitud
2E y desviación estándar σ.

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