FISICA III

FLUJO ELÉCTRICO,
LEY DE GAUSS Y POTENCIAL
ELECTRICO

MSc. Giselle Velásquez F.

2019 (1)
 FLUJO ELECTRICO
Considere un Campo Eléctrico que es
uniforme tanto en Dirección como en
Magnitud, tal como se muestra en la figura.
Las líneas de Campo penetran en la
superficie rectangular de área 𝑨, cuyo plano
tiene una orientación perpendicular al
Campo.
Conocemos que el número de líneas por
unidad de carga (densidad de líneas) es
proporcional a la magnitud del campo
eléctrico; por tanto, el total de líneas que
penetran en la superficie es proporcional al
producto 𝑬𝑨.
 FLUJO ELECTRICO
A este producto de la magnitud del campo eléctrico 𝑬 y el área
superficial 𝑨, perpendicular al campo, se le conoce como Flujo Eléctrico
∅𝑬 .
∅𝑬 = 𝑬𝑨
Sus unidades, de acuerdo al sistema internacional, son Newton por
metro cuadrado entre Coulomb:
[N.m2/C]

Por otra parte, si la superficie en cuestión no es perpendicular al

campo, el flujo que pasa a través de él debe ser menor que el
resultante (Considerando la ecuación: ∅𝑬 = 𝑬𝑨).
 FLUJO ELECTRICO
Considerando el caso presentado en la figura, tenemos que la normal
en relación a la superficie 𝑨 forma un ángulo 𝜽 con el campo eléctrico
uniforme.
El número de líneas que atraviesan 𝑨 es igual al número de líneas que
atraviesan 𝑨⊥ .
Ambas áreas están relacionadas por:
𝑨⊥ = 𝑨𝑪𝒐𝒔𝜽
Por lo tanto:
∅𝑬 = 𝑬𝑨⊥ = 𝑬𝑨𝑪𝒐𝒔𝜽
- El Flujo es máximo cuando 𝜽 = 𝟎𝟎
- El Flujo es cero cuando 𝜽 = 𝟗𝟎𝟎
 FLUJO ELECTRICO
En casos generales, el campo eléctrico varía a lo
largo de una superficie.
En el caso anterior asumimos que se trataba de
un campo eléctrico uniforme, razón por la cual la
definición de flujo proporcionada es aplicable solo
para un elemento de área pequeña sobre el cual
el campo es casi constante.
Ahora consideramos una superficie dividida en un
gran número de pequeños elementos, cada uno
de área 𝜟𝑨. Es conveniente definir un vector 𝜟𝑨𝒊
cuya magnitud representa el área del elemento i-
ésimo sobre la superficie y cuya dirección está
definida como perpendicular al elemento de
superficie, como se muestra en la figura.
 FLUJO ELECTRICO
El campo eléctrico 𝑬𝒊 en la ubicación de este
elemento forma un ángulo 𝜽𝒊 con el vector
𝜟𝑨𝒊 . El flujo eléctrico 𝜟∅𝑬 a través de este
elemento es:

𝜟∅𝑬 = 𝑬𝒊 𝜟𝑨𝒊 𝑪𝒐𝒔𝜽𝒊 = 𝑬𝒊 . 𝜟𝑨𝒊

𝜟∅𝑬 = 𝑬𝒊 . 𝜟𝑨𝒊

Donde se considera la definición de producto

escalar:
𝑨. 𝑩 = 𝑨𝑩𝑪𝒐𝒔𝜽
 FLUJO ELECTRICO
Al sumar las contribuciones de todos elementos se obtiene el flujo total
a través de la superficie:

∅𝑬 ≈ ෍ 𝑬𝒊 . 𝜟𝑨𝒊

Suponiendo que el área de cada elemento se acerca a cero, entonces el

número de elementos se acerca infinito y la suma se reemplaza por una
integral. Debido a eso la definición de flujo eléctrico es:

∅𝑬 ≡ න 𝑬. 𝒅𝑨
𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆

El uso de una integral de superficie indica que la misma debe ser

evaluada sobre la superficie en cuestión.
 FLUJO ELECTRICO
A menudo interesa la evaluación del
flujo que pasa sobre una superficie
cerrada, misma que se define como
aquella que divide el espacio en una
región exterior y una interior; de
manera que no es posible pasar de
una región a otra sin atravesarla.
Por ejemplo, la superficie de una
esfera tiene una superficie cerrada.
En la superficie cerrada, presentada
en la figura, los vectores 𝜟𝑨𝒊 apuntan
en direcciones diferentes para
diferentes elementos de superficie,
pero en cada uno de ellos estos
vectores son normales a la superficie,
y siempre apuntan hacia afuera.
 FLUJO ELECTRICO
Del gráfico presentado podemos decir los siguiente:

1. En el elemento [1] las líneas de campo cruzan la superficie del lado

interno al externo y 𝜽 < 𝟗𝟎𝟎 por lo tanto tenemos que 𝜟∅𝑬 = 𝑬. 𝜟𝑨𝟏 es
(+).
2. En el elemento [2] las líneas de campo rozan la superficie
(perpendicular al vector 𝜟𝑨𝟐 ), por tanto 𝜽 = 𝟗𝟎𝟎 y 𝜟∅𝑬 = 𝟎.
3. En el elemento [3] las líneas de campo atraviesan la superficie del
interior al exterior y 𝟏𝟖𝟎𝟎 > 𝜽 > 𝟗𝟎𝟎 ; por lo tanto el flujo es negativo
porque el 𝑪𝒐𝒔𝜽 también es negativo.
 FLUJO ELECTRICO

El flujo neto a través de la superficie es proporcional al número neto de

líneas que salen de la superficie, donde el número neto significa la
cantidad de líneas que salen de la superficie menos la cantidad de
líneas que entran.

- Flujo Positivo: Salen más líneas de las que entran.

- Flujo Negativo: Entran más líneas de las que salen.
 FLUJO ELECTRICO
Se utiliza el símbolo ‫ׯ‬ para representar la integral sobre una
superficie cerrada.
El flujo neto a través de una superficie cerrada viene dado por:

∅𝑬 = ර 𝑬. 𝒅𝑨

∅𝑬 = ර 𝑬𝒏 𝒅𝑨

Donde 𝐸𝑛 representa el componente del campo eléctrico normal a

la superficie.
 LEY DE GAUSS
Suponga una carga puntual positiva 𝒒 ubicada
en el medio de una esfera de radio 𝒓, tal como
se muestra en la figura.
Conocemos que la magnitud del campo
eléctrico en todos los puntos de la superficie de
la esfera es 𝑬 = 𝑲𝒆 . 𝒒/𝒓𝟐 .
Las líneas de campo están dirigidas
radialmente hacia afuera y por tanto son
perpendiculares a la superficie en todos sus
puntos.
 LEY DE GAUSS
Por lo tanto, tenemos que:

𝑬. ∆𝑨𝒊 = 𝑬∆𝑨𝒊
Entonces:

∅𝑬 = ර 𝑬. 𝒅𝑨

∅𝑬 = ර 𝑬𝒅𝑨 = 𝑬 ර 𝒅𝑨

𝑬 puede ser retirado de la integral ya que, por

simetría, este es constante en la superficie.
 LEY DE GAUSS
En vista de que se trata de la superficie de una esfera, tenemos que:

ර 𝒅𝑨 = 𝑨 = 𝟒𝝅𝒓𝟐

Adicionalmente, conociendo que 𝑬 = 𝑲𝒆 . 𝒒/𝒓𝟐 tendríamos:

∅𝑬 = 𝑬 ර 𝒅𝑨

𝒒 𝒒
∅𝑬 = 𝑲𝒆 𝟐 ර 𝒅𝑨 = 𝑲𝒆 𝟐 𝟒𝝅𝒓𝟐
𝒓 𝒓
𝒒
∅𝑬 = 𝟒𝝅𝑲𝒆 𝒒 =
𝝐𝟎
Donde: 𝝐𝟎 = 𝟏ൗ𝟒𝝅𝑲𝒆
 LEY DE GAUSS
Considerando varias superficies cerradas que rodean una carga 𝒒, tal
como se muestra en la figura, tenemos que la superficie 𝑺𝟏 es esférica
pero las superficies 𝑺𝟐 y 𝑺𝟑 no lo son.
𝒒
Conocemos que el flujo a través de 𝑺𝟏 tiene un valor de .
𝝐𝟎
La figura muestra que el número de líneas a través de 𝑺𝟏 es igual al
número de líneas que pasan a través de las superficies no esféricas 𝑺𝟐
y 𝑺𝟑 , por lo tanto:
El flujo neto que pasa a través de cualquier
cerrada que rodea una carga puntual 𝒒
𝒒
tiene un valor de y es independiente de la
𝝐𝟎
forma de la superficie.
 LEY DE GAUSS
Ahora consideremos una carga puntual localizada
en el exterior de una superficie cerrada de forma
arbitraria, como se muestra en la figura.
Como podemos apreciar, cualquier línea de campo
eléctrico que entre en la superficie saldrá de la
misma en algún otro punto. El número de líneas
que entran a la superficie es igual al número de
líneas que salen de la misma.
Por lo tanto el flujo eléctrico neto a través de
una superficie cerrada que no rodea a ninguna
carga es igual a cero.
 LEY DE GAUSS
Por lo tanto se puede expresar el flujo eléctrico a través de cualquier
superficie cerrada como:

∅𝑬 = ර 𝑬. 𝒅𝑨 = ර 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 + ⋯ . 𝒅𝑨

Donde 𝑬 es el campo eléctrico total en cualquier punto sobre la

superficie, producido por la adición vectorial de los campos eléctricos en
dicho punto, debido a las cargas individuales.
 LEY DE GAUSS
Considerando el sistema de cargas mostrado en la figura,
tenemos lo siguiente:
- La superficie 𝑺 rodea a la carga 𝒒𝟏 , por ende:
∅𝑬 = 𝒒𝟏 Τ𝝐𝟎
- El flujo a través de 𝑺 debido a las cargas 𝒒𝟐, 𝒒𝟑 y 𝒒𝟒 es
cero.
- La superficie 𝑺´ rodea a 𝒒𝟐 y 𝒒𝟑, por ende:
∅𝑬 = 𝒒𝟐 + 𝒒𝟑 Τ𝝐𝟎
- El flujo neto a través de 𝑺´´ es cero, ya que no existe
carga en su interior.
- Por último 𝒒𝟒 no contribuye al flujo neto a través de
ninguna superficie.
 LEY DE GAUSS
La Ley de Gauss establece que el flujo eléctrico neto a través de
cualquier superficie cerrada viene dado por:
𝒒𝒊𝒏
∅𝑬 = ර 𝑬. 𝒅𝑨 =
𝝐𝟎

Donde 𝒒𝒊𝒏 representa la carga neta en el interior de la superficie y 𝑬 el

campo eléctrico en cualquier punto de la misma.

OBSERVACIÓN: En teoría la Ley de Gauss puede ser resuelta en función

de 𝑬 para determinar el campo eléctrico debido a un sistema de cargas
o a una distribución continua de las mismas, sin embargo, en la práctica
este tipo de solución solo es aplicable a un número limitado de
situaciones muy simétricas.
 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS A
DISTRIBUCIONES DE CARGA
La ley de Gauss es útil para determinar campos eléctricos cuando la
distribución de carga esta caracterizada por un alto grado de simetría.
El objetivo de este tipo de cálculos es encontrar una superficie que
satisfaga una o más de las siguientes condiciones:
- Demostrar por simetría que el valor del campo eléctrico es constante
sobre la superficie.
𝒒𝒊𝒏
- Que el producto de la ecuación ∅𝑬 =
𝝐𝟎
se expresa como un producto
algebraico simple de 𝑬𝒅𝑨, ya que 𝑬 y 𝒅𝑨 son paralelos entre sí.
𝒒𝒊𝒏
- Que el producto punto de la ecuación ∅𝑬 =
𝝐𝟎
es cero, ya que 𝑬 y 𝒅𝑨
son perpendiculares entre sí.
- Que el campo eléctrico es igual a cero sobre la superficie.
 DISTRIBUCIÓN DE CARGA CON SIMETRÍA
ESFÉRICA
EJERCICIO:
Una esfera sólida aislante con radio 𝒂 tiene una densidad de carga
volumétrica constante 𝝈 y una carga positiva total 𝑸.
- Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto afuera de la
esfera.
- Encuentre la magnitud del campo eléctrico en un punto dentro de
la esfera.
Solución:
 DISTRIBUCIÓN DE CARGA CON
SIMETRÍA
EJERCICIO:
Encuentre el campo eléctrico
a una distancia 𝒓 desde una
línea de carga positiva de
longitud infinita y carga
constante por unidad de
longitud 𝝀.
Solución
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Cuando se coloca un carga de prueba 𝑞0 en un campo eléctrico 𝑬
producido por alguna distribución de carga fuente, la fuerza eléctrica
que actúa sobre ella es 𝒒𝟎 𝑬.
La fuerza 𝒒𝟎 𝑬 es conservativa, ya que la fuerza entre cargas descrita
por la Ley de Coulomb es conservativa.
Cuando se traslada la carga de prueba por algún agente externo en el
campo, el trabajo consumido por el campo en la carga es igual al trabajo
invertido por el agente externo que origina el desplazamiento, pero con
signo negativo.
Esto es semejante a lo que se presenta cuando se levanta un objeto con
masa en un campo gravitacional: El trabajo invertido por el agente
externo es igual a 𝒎𝒈𝒉 y el trabajo consumido por la fuerza
gravitacional es −𝒎𝒈𝒉.
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO

Al analizar campos eléctricos y magnéticos, es común utilizar la

notación 𝑑𝑠Ԧ para representar un vector de desplazamiento infinitesimal
que tiene una orientación tangente a la trayectoria a través del espacio.
Esta trayectoria puede ser recta o curva y la integral calculada a lo largo
de esta trayectoria se conoce como integral de la trayectoria o
integral de línea.
Para un desplazamiento infinitesimal 𝑑 𝑠Ԧ de una carga puntual 𝑞0
inmersa en un campo eléctrico, el trabajo realizado por un campo
eléctrico sobre la misma es:
𝑭. 𝒅𝒔 = 𝒒𝟎 𝑬. 𝒅𝒔
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Conforme el campo consume esta cantidad de trabajo, la energía
potencial del sistema carga-campo cambia en una cantidad:
𝒅𝑼 = −𝒒𝟎 𝑬. 𝒅𝒔
Esto ocurre para un desplazamiento finito de carga desde el punto A al
punto B.
El cambio en energía potencial del sistema 𝜟𝑼 = 𝑼𝑩 − 𝑼𝑨 es:
𝑩
𝜟𝑼 = −𝒒𝟎 න 𝑬. 𝒅𝒔
𝑨

La integración se lleva a cabo a lo largo de la trayectoria que 𝑞0 sigue al

pasar de A a B. Porque la fuerza 𝑞0 𝐸 es conservativa, la integral de
línea no depende de la trayectoria de A a B.
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Para una posición conocida de la carga de prueba en el campo, el
sistema carga-campo tiene un Energía Potencial 𝑈 relativa a la
configuración del sistema definida como 𝑈 = 0.
Al dividir la Energía Potencial entre la carga de prueba se obtiene una
cantidad física que depende solo de la distribución de carga fuente y
tiene un valor en cada uno de los puntos de un campo eléctrico.
Esta cantidad se conoce como Potencial Eléctrico (o simplemente
Potencial) 𝑉:
𝑼
𝑽=
𝒒𝟎
Ya que la energía potencial es una cantidad escalar el potencial
eléctrico también es una cantidad escalar.
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Si la carga de prueba es desplazada entre las posiciones A y B en un
campo eléctrico, el sistema carga-campo experimenta un cambio en su
energía potencial. La Diferencia de Potencial 𝜟𝑽 = 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 entre los
puntos A y B de un campo eléctrico se define como el cambio en
energía potencial del sistema al mover una carga de prueba 𝒒𝟎 entre los
puntos A y B, dividido entre la carga de prueba:
𝑩
∆𝑼
𝜟𝑽 ≡ = − න 𝑬. 𝒅𝒔
𝒒𝟎 𝑨
La Diferencia de Potencial no debe confundirse con la Energía
Potencial.
El potencial es solo una característica del campo sin importar cualquier
partícula de prueba con carga que pueda estar colocada en el campo.
La energía potencial es característica del sistema carga-campo debido a
la interacción del campo con una partícula con carga colocada en el
mismo.
 DIFERENCIA DE POTENCIAL
ELÉCTRICO
Si un agente externo traslada una carga de prueba de A a B sin
modificar la energía cinética de ésta, el agente realiza un trabajo que
modifica la energía potencial del sistema:

𝑾 = ∆𝑼

Si imaginamos una carga 𝒒 arbitraria localizada en un campo eléctrico.

El trabajo consumido por un agente externo al desplazar una carga 𝒒 a
través de un campo eléctrico a velocidad constante viene dado por:

𝑾 = 𝒒∆𝑽
 DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Debido a que el potencial eléctrico es una medida de la energía potencial por
unidad de carga, la unidad del SI, tanto del potencial eléctrico como de la
diferencia de potencial, es Joules por cada Coulomb, que se define como un
Volt [V]:
𝑱
𝟏𝑽 = 𝟏
𝑪
Por otra parte la siguiente ecuación:
𝑩
∆𝑼
𝜟𝑽 ≡ = − න 𝑬. 𝒅𝒔
𝒒𝟎 𝑨
Muestra que la diferencia de potencial tiene unidades de campo eléctrico
multiplicadas por la distancia. De esto se concluye que la unidad del SI del
campo eléctrico (N/C) también puede expresarse en voltios por cada metro:
𝑵 𝑽
𝟏 =𝟏
𝑪 𝒎
Por lo tanto el campo eléctrico es una medida de la relación de cambio en
función de la posición del potencial eléctrico.
DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME
Las ecuaciones presentadas anteriormente son válidas para campos
eléctricos uniformes o no uniformes. Pero estas ecuaciones se
simplifican al considerar un campo eléctrico uniforme.
Considerando un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje y
negativo, presentado en la figura, podemos calcular la diferencia de
potencial entre los puntos A y B separados por una distancia 𝒔 = 𝒅,
donde 𝑠Ԧ es paralela a las líneas de campo.
Tendremos entonces:
𝑩
∆𝑼
= − න 𝑬. 𝒅𝒔
𝒒𝟎 𝑨
𝑩 𝑩
𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = ∆𝑽 = − න 𝑬. 𝒅𝒔 = − න 𝑬𝑪𝒐𝒔 𝟎𝟎 𝒅𝒔
𝑨 𝑨
DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME
𝑩 𝑩 𝑩
𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = ∆𝑽 = − න 𝑬. 𝒅𝒔 = − න 𝑬𝑪𝒐𝒔 𝟎𝟎 𝒅𝒔 = − න 𝑬𝒅𝒔
𝑨 𝑨 𝑨

Por tanto:
𝑩
∆𝑽 = −𝑬 න 𝒅𝒔 = −𝑬𝒅
𝑨
El signo negativo indica que el potencial eléctrico en el punto B es
inferior al del punto A, es decir 𝑽𝑩 < 𝑽𝑨 .
Las líneas de campo siempre apuntan en la dirección en que
disminuye el potencial eléctrico.
DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME

Suponiendo que 𝒒𝟎 se mueve de A hacia B, se puede calcular cambio

en la energía potencial del sistema carga-campo:
∆𝑼 = 𝒒𝟎 ∆𝑽 = −𝒒𝟎 𝑬𝒅
Esta ecuación muestra que si 𝒒𝟎 es positiva, en tal caso U es negativa.
Debido a eso, un sistema consistente de una carga positiva y un campo
eléctrico pierde energía potencial eléctrica cuando la carga se mueve en
la dirección del campo. Esto significa que un campo eléctrico realiza
trabajo en una carga positiva cuando esta se mueve en la dirección del
campo eléctrico.
Ejemplo

Una batería tiene una diferencia de potencial específica V entre sus

terminales y se establece dicha diferencia de potencial entre los conductores
unidos a las terminales. Una batería de 12 V se conecta entre dos placas
paralelas, como se muestra en la figura.
La separación entre las placas es d 0.30 cm y se supone que el campo
eléctrico entre las placas es uniforme. (Esta suposición es razonable si la
separación de las placas es pequeña en relación con las dimensiones de las
placas y no se consideran ubicaciones cerca de los bordes de las placas.)
Encuentre la magnitud del campo eléctrico entre las placas.
Solución
Ejemplo 2

Un protón se libera desde el reposo en el punto A) en

un campo eléctrico uniforme que tiene una magnitud
de 8.0𝑥104 V/m. El protón se somete a un
desplazamiento de 0.50 m al punto B) en la dirección
del 𝐸.
Encuentre la rapidez del protón después de completar
el desplazamiento de 0.50 m.
Solución

Conservación de la energía
 DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME
Analizando el siguiente caso:
Si una carga de prueba positiva en reposo es
liberada en un campo eléctrico, tal como se
muestra en la figura, esta experimenta una fuerza
eléctrica 𝒒𝟎 𝑬 en la dirección de 𝑬, en consecuencia
se acelerará hacia abajo adquiriendo energía
cinética, lo cual provoca que el sistema Carga-
Campo pierda una cantidad igual de energía
potencial.
Si 𝒒𝟎 es negativa, entonces ∆𝑼 es positiva y la
ecuación se invierte.
DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME
Un sistema formado por una carga
negativa y un campo eléctrico adquiere
energía potencial eléctrica cuando la carga
se mueve en la dirección del campo.
Si se libera una carga negativa desde el
reposo en un campo eléctrico, se acelera
en la dirección opuesta a la dirección del
campo.
Para que una carga negativa se acelere
en la dirección del campo deberá existir un
agente externo que aplique una fuerza y
realice un trabajo positivo en la carga.
 DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME
Considerando el caso mas general de una
partícula con carga que se mueve entre A y B en
un campo eléctrico uniforme, en el cual el vector
𝒔 no es paralelo a las líneas de campo, como se
muestra en la figura, se tiene lo siguiente:
𝑩 𝑩
∆𝑽 = − න 𝑬. 𝒅𝒔 = −𝑬. න 𝒅𝒔 = −𝑬. 𝒔
𝑨 𝑨
Por lo tanto el cambio en la energía potencial del
sistema carga-campo- es:
∆𝑼 = 𝒒𝟎 ∆𝑽 = −𝒒𝟎 𝑬. 𝒔
DIFERENCIA DE POTENCIAL EN UN CAMPO
ELÉCTRICO UNIFORME
Por lo tanto, todos los puntos en un plano perpendicular a un campo
eléctrico uniforme tienen el mismo potencial eléctrico.
A cualquier superficie formada por un distribución continua de puntos
con el mismo potencial eléctrico se le denomina superficie
equipotencial.
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

Para determinar el potencial eléctrico en un

punto ubicado a una distancia 𝒓 de la carga
tenemos la expresión:
𝑩
𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = ∆𝑽 = − න 𝑬. 𝒅𝒔
𝑨

En cualquier punto del espacio el campo

eléctrico debido a la carga puntual es:
𝒒
𝑬 = 𝑲𝒆 ൗ 𝟐 𝒓ො
𝒓
Por lo tanto tenemos:
𝒒
𝑬. 𝒅𝒔 = 𝑲𝒆 ൗ 𝟐 𝒓ො . 𝒅𝒔
𝒓
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

El producto escalar 𝒓ො . 𝒅𝒔 = 𝒅𝒔𝑪𝒐𝒔𝜽 debido a

que 𝒓ො = 𝟏 por otra parte 𝒅𝒔𝑪𝒐𝒔𝜽 es la
proyección de 𝒅𝒔 sobre 𝒓ො . Debido a esto
𝒅𝒔𝑪𝒐𝒔𝜽 = 𝒅𝒓.
Es decir, cualquier desplazamiento 𝒅𝒔 a lo largo
de la trayectoria del punto A al punto B produce
un cambio 𝒅𝒓 en la magnitud de 𝒓ො , el vector de
posición del punto en relación con la carga que
crea el campo.
En estas situaciones:
𝒒
𝑬. 𝒅𝒔 = 𝑲𝒆 ൗ 𝟐 𝒅𝒓
𝒓
 POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL A
CAUSA DE CARGAS PUNTUALES
Por lo tanto la expresión de la diferencia de potencial se convierte en:
𝒓𝑩 𝒓𝑩
𝒅𝒓 𝒒
𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = −𝑲𝒆 𝒒 න 𝟐
= 𝑲𝒆
𝒓𝑨 𝒓 𝒓 𝒓𝑨

𝟏 𝟏
𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = 𝑲𝒆 𝒒 −
𝒓𝑩 𝒓𝑨
Esta última ecuación muestra que la integral de 𝑬. 𝒅𝒔 es independiente
de la trayectoria entre los puntos A y B. Al multiplicar por una carga 𝒒𝟎
que se mueve entre los puntos A y B, la integral de 𝒒𝟎 𝑬. 𝒅𝒔 también es
independiente de la trayectoria.
 POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL A
CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

Esta última integral representa el trabajo realizado por la fuerza

eléctrica, que señala que la fuerza eléctrica es conservativa.
Al campo que se relaciona con una fuerza conservativa se lo conoce
como campo conservativo.
Debido a eso esta última ecuación presentada expresa que la diferencia
de potencial entre dos puntos cualesquiera A y B en un campo
producido por una carga puntual depende solo de las coordenadas
radiales 𝒓𝑨 y 𝒓𝑩 .
 POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL A
CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

Por lo común se elige la referencia del potencial eléctrico de una carga

puntual, de forma que sea:
𝑽=𝟎 en 𝒓𝑨 = ∞
Con esta referencia el potencial eléctrico establecido por una carga
puntual a cualquier distancia 𝒓 de la carga es:
𝒒
𝑽 = 𝑲𝒆
𝒓
 POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL A
CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

El potencial eléctrico resultante de dos o mas cargas puntuales se

obtiene mediante la aplicación del principio de superposición.
Es decir, el potencial eléctrico total en algún punto P debido a varias
cargas puntuales es al suma de los potenciales debidos a las cargas
individuales.
Para un grupo de cargas puntuales se puede expresar el potencial
eléctrico total como:
𝒒𝒊
𝑽 = 𝑲𝒆 ෍
𝒓𝒊
𝒊
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES
Si consideramos ahora la energía potencial por un sistema formado por
dos partículas con carga. Si 𝑽𝟐 es el potencial eléctrico en un punto P
debido a la carga 𝒒𝟐 , por lo tanto el trabajo que debe realizar un agente
externo para traer una segunda carga 𝒒𝟏 desde el infinito hasta P sin
aceleración es igual a 𝒒𝟏 𝑽𝟐 . Este trabajo representa una transferencia
de energía hacia el interior del sistema y aparece en este como energía
potencial U cuando las partículas están separadas una distancia 𝒓𝟏𝟐 .
Por lo tanto podemos expresar la energía potencial del sistema como:
𝒒𝟏 𝒒𝟐
𝑼 = 𝑲𝒆
𝒓𝟏𝟐
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

Expresión de Energía Potencial del Sistema:

𝒒𝟏 𝒒𝟐
𝑼 = 𝑲𝒆
𝒓𝟏𝟐
*Cargas del mismo signo (U es Positiva): Un agente externo debe realizar
un trabajo positivo sobre un sistema para acercar las dos cargas.
* Cargas de signos opuestos (U es negativa): Un agente externo debe
realizar un trabajo negativo en contra de la fuerza de atracción entre
cargas de signo opuesto al acercar la una a la otra; debe aplicarse una
fuerza opuesta al desplazamiento para impedir que 𝒒𝟏 se acelera hacia
𝒒𝟐 .
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

El gráfico muestra lo siguiente:

a) Si dos cargas puntuales están separadas una distancia 𝒓𝟏𝟐 la energía
potencial del par de cargas se conoce por 𝑲𝒆 𝒒𝟏 𝒒𝟐 /𝒓𝟏𝟐 .
b) Si se retira la carga 𝒒𝟏 existe un potencial 𝑲𝒆 𝒒𝟐 /𝒓𝟏𝟐 en el punto P
debido a la carga 2.
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES
Si un sistema consiste de mas de dos
partículas con carga, se obtiene la energía
potencial total si se calcula U para cada par de
cargas y se suma los términos
algebraicamente.
Por ejemplo, si el sistema estuviera
compuesto por tres cargas tendríamos:

𝒒𝟏 𝒒𝟐 𝒒𝟐 𝒒𝟑 𝒒𝟏 𝒒𝟑
𝑼 = 𝑲𝒆 + +
𝒓𝟏𝟐 𝒓𝟐𝟑 𝒓𝟏𝟑
POTENCIAL ELÉCTRICO Y ENERGÍA POTENICAL
A CAUSA DE CARGAS PUNTUALES

Físicamente podemos interpretar el resultado de

la siguiente forma:
Imaginemos que 𝒒𝟏 está fija en la posición
mostrada e la figura, mientras 𝒒𝟐 y 𝒒𝟑 están en
el infinito. El trabajo que deberá realizar un
agente externo para traer a 𝒒𝟐 del infinito a una
posición cerca de 𝒒𝟏 es 𝑲𝒆 𝒒𝟏 𝒒𝟐 /𝒓𝟏𝟐 , que es el
primer término de la ecuación.
Los dos últimos términos representan el trabajo
requerido para mover a 𝒒𝟑 a una posición cerca
de 𝒒𝟏 y 𝒒𝟐 .
Ejemplo
Como se muestra en la figura una carga 𝑞1 = 2.00 𝜇𝐶 se ubica en el origen y
una carga 𝑞2 = −6.00 𝜇𝐶 se ubica en (0,3) m.
Encuentre el potencial eléctrico total debido a estas cargas en el punto P, cuyas
coordenadas son (4,0) m.
Solución
 OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A
PARTIR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO
El campo eléctrico y el potencial eléctrico están relacionados.
Podemos calcular el valor del campo eléctrico en una región específica
conociendo el potencial eléctrico.
Podemos expresar la diferencia de potencial 𝒅𝑽 entre dos puntos
separados una distancia 𝒅𝒔 como:
𝒅𝑽 = −𝑬. 𝒅𝒔
Si el campo eléctrico tiene solo una componente en 𝒙, en tal caso:

𝑬. 𝒅𝒔 = 𝑬𝒙 𝒅𝒙
 OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A
PARTIR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO
Por lo tanto tendríamos:
𝒅𝑽 = −𝑬. 𝒅𝒔 = 𝑬𝒙 𝒅𝒙
𝒅𝑽
𝑬𝒙 = −
𝒅𝒙
Pueden hacerse enunciados similares para las componentes en 𝒚 y en 𝒛.
Cuando una carga de prueba se somete a un desplazamiento 𝒅𝒔 en una
superficie equipotencial, en tal caso 𝒅𝑽 = 𝟎 ya que el potencial es
constante en una superficie equipotencial.
Entonces tendríamos que:
𝒅𝑽 = −𝑬. 𝒅𝒔 = 𝟎
 OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A
PARTIR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO
Por lo tanto 𝑬 debe ser perpendicular al desplazamiento a lo largo de la
superficie equipotencial. Esto demuestra que ”las superficies
equipotenciales siempre deben ser perpendiculares a las líneas de
campo eléctrico que pasan a través de ellas”.
Si la distribución de carga que originó un campo eléctrico tiene simetría
esférica tal que la densidad de carga volumétrica depende solo de la
distancia radial 𝒓, el campo eléctrico es radial.
En tal caso:
𝒅𝑽 = 𝑬. 𝒅𝒔 = 𝑬𝒓 𝒅𝒓
 OBTENCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A
PARTIR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO

𝒅𝑽 = 𝑬. 𝒅𝒔 = 𝑬𝒓 𝒅𝒓
𝒅𝑽
𝑬𝒓 =
𝒅𝒓
En general el potencial eléctrico es una función de las tres coordenadas
espaciales.
Si 𝑽 𝒓 se da en coordenadas cartesianas, las componentes 𝑬𝒙 , 𝑬𝒚 y 𝑬𝒛
del campo eléctrico pueden ser determinadas fácilmente a partir de
𝑽 𝒙, 𝒚, 𝒛 como derivadas parciales.
 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A
DISTRIBUCIONES DE CARGAS CONTINUAS
Si se conoce la distribución de carga, considere el potencial debido a un
elemento de carga 𝒅𝒒 pequeño, y trate a este elemento como una carga
puntual.
El potencial eléctrico 𝒅𝑽 en un punto P debido al elemento de carga 𝒅𝒒
es:
𝒅𝒒
𝒅𝑽 = 𝑲𝒆
𝒓
Para tener el potencial total en el punto P, integre a fin de incluir las
contribuciones de todos los elementos de la distribución de carga.
 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A
DISTRIBUCIONES DE CARGAS CONTINUAS
Esto puede ser expresado como:
𝒅𝒒
𝑽 = 𝑲𝒆 න
𝒓

Si debido a otras consideraciones como la Ley de Gauss, el campo

eléctrico ya es conocido, entonces es posible calcular el potencial
eléctrico debido a una distribución de carga continua. Si la distribución
de carga tiene suficiente simetría, primero, mediante la Ley de Gauss,
evalúe 𝑬 y después sustituya el valor obtenido en la ecuación para
determinar el potencial 𝜟𝑽 entre dos puntos cualesquiera.
A continuación se elige el valor del potencial eléctrico 𝑽 de cero en
algún punto conveniente.
 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UN
ANILLO CON CARGA UNIFORME
EJERCICIO:
Encuentre la expresión para el
potencial eléctrico en un punto P
ubicado sobre el eje central
perpendicular de un anillo con
carga uniforme de radio 𝒂 y carga
total 𝑸.
Posteriormente halle una expresión
para la magnitud del campo
eléctrico en P.
 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UN
ANILLO CON CARGA UNIFORME
EJERCICIO:
Un disco con carga uniforme tiene radio R
y densidad de carga superficial 𝝈.
a) Encuentre el potencial eléctrico en un
punto P a lo largo del eje central
perpendicular del disco.
b) Encuentre la componente x del campo
eléctrico en un punto P a lo largo del eje
central perpendicular del disco.
POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA
LÍNEA DE CARGA FINITA
EJERCICIO:
Una barra de longitud 𝒍 ubicada a lo
largo del eje x tiene una carga total 𝑸
y una densidad de carga lineal
uniforme 𝝀 = 𝑸ൗ𝒍.
Encuentre el potencial eléctrico en un
punto P ubicado sobre el eje y a una
distancia a del origen.