Control Automático

Control por realimentación de estado

Contenido
 Controlabilidad
 De estado
 De salida
 En tiempo
e po d
discreto
sc e o
 Realimentación de estado
 Cálculo por sustitución directa
 Cálculo por transformación FCC
 Cál l por lla fó
Cálculo fórmula
l d
de Ackermann
A k
 Ejemplos y ejercicios
E. Interiano 2
Controlabilidad
 La
L controlabilidad
t l bilid d ttrata
t dde lla existencia
i t i dde un
vector de control que puede causar que el
estado del sistema llegue a algún estado
arbitrario en un tiempo finito.
 El concepto de controlabilidad es la base
para solucionar el problema de la ubicación
de polos
 Si el sistema es de estado completamente
controlable entonces es posible seleccionar
controlable,
los polos en lazo cerrado deseados (o las
raíces de la ecuación característica))
E. Interiano 3
Controlabilidad de estado
Partimos del sistema
x  Ax(t )  Bu(t )
y (t )  Cx(t )  Du(t )
Para que este sistema sea de estado
completamente controlable, es necesario y
suficiente que la matriz de controlabilidad M de
n x nr tenga rango n
M  [B AB A 2 B    A n -1B]

E. Interiano 4
Pruebas para la controlabilidad
de estado
 Si M no es cuadrada, se puede formar la
matriz MM’, que es de n x n; entonces si MM’
es no singular M tiene rango n.

 El par [A, B] es completamente controlable si

A y B están en la Forma Canónica
Controlable o FCC, o son transformables a la
Forma Canónica Controlable

E. Interiano 5
Pruebas para la controlabilidad
de estado (2)
 Si llos valores
l propios
i d de A son diferentes
dif t yA
está en la Forma Canónica Diagonal el par
[A B] es completamente controlable si todos
[A,
los elementos de B no son cero

 Si A está en la Forma Canónica de Jordan,

el par [A,
[A B] es completamente controlable si
NO todos los elementos en los renglones de
B que corresponden al último renglón de
cada bloque de Jordan son cero

E. Interiano 6
Ejemplo 1: Controlabilidad
 Sea el sistema descrito por:
 2 1  1 
A  B 
 0 - 1  0 
 La matriz de controlabilidad es
1 - 2
M  B AB   
 0 0 
 Que es singular y por lo tanto el sistema es
no controlable.

E. Interiano 7
Controlabilidad de salida
S ell sistema
Sea i t
x  Ax(t )  Bu(t )
y (t )  Cx
C (t )  Du
D (t )

El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y

sólo sí, la matriz de m x (n + 1) r
posee rango
p g m

[D CB CAB CA 2 B    CA n-1B]
Así, la presencia del término Du(t) ayuda a establecer
la controlabilidad de la salida.

E. Interiano 8
Controlabilidad de estado en
tiempo discreto
Partimos del sistema
x((k  1)T )  A d x(kT )  B d u(kT )
y (kT )  Cx(kT )  Du(kT )
Para que este sistema sea de estado
completamente controlable, es necesario y
suficiente que la matriz de controlabilidad M de
n x nr tenga rango n
n -1
M  [B d Ad Bd    Ad Bd ]
2
Ad Bd

E. Interiano 9
 Ejemplo 2: Controlabilidad en
tiempo discreto
Sistemas completamente controlables
 1 0   x1 (k )  2
x(k  1)        u( k )
 0 - 2  x2 (k ) 3 

 x1 (k  1)   2 1 0 0  x1 ( k )  0 1
 x (k  1)  0 2 1   x ( k )  0 0
 2    2    u1 (k ) 
 x3 (k  1)    0 0 2   x3 (k )   3 0  
      
0  2 
u ( k )
x
 4 ( k  1)   5 1   x4 ( k )   0
 x5 (k  1)   0 0  5   x5 (k )  2 1 

E. Interiano 10
Controlabilidad de salida en
tiempo discreto
Sea el sistema
x((k  1)T )  A d x(kT )  B d u(kT )
y (kT )  Cx(kT )  Du(kT )
El sistema posee controlabilidad de salida completa sí y
sólo
ól sí,í lla matriz
ti dde m x (n
( + 1) r
posee rango m
n -1
[D CBd CAd B d    CAd B d ]
presencia de la matriz D en la ecuación de salida
Así, la p
siempre ayuda a establecer la controlabilidad de la
salida.

E. Interiano 11
Controlabilidad de estado
completo a partir de G(s) o G(z)
 La
L condición
di ió dde controlabilidad
t l bilid d necesaria
i es
que no haya cancelación polo-cero en la
función de transferencia o matrices de
transferencia; ya que si se produce
cancelación el sistema no se podrá controlar
en la dirección del modo cancelado.
( z  0.5)
G( z) 
( z  0.5)( z  0.8)
 Debido a la cancelación del polo (z+0
(z+0.5),
5) el
sistema no es de estado completamente
controlable.
controlable
E. Interiano 12
Realimentación de estado
Tenemos un sistema descrito por
x  Ax  Bu

Hacemos la señal u como

u  Kx
Sustituyendo obtenemos
x  ( A  BK ) x(t )
E. Interiano 13
Realimentación de estado
Puede
P d observarse
b que ell nuevo sistema
i t posee
una nueva matriz ~
A  ( A  BK )

Que posee nuevos valores propios 1, 2, …n

det( I  ( A  BK ))  0
E. Interiano 14
Condición necesaria y suficiente
para la ubicación arbitraria de polos
 La ubicación arbitraria de los polos para un
determinado sistema, es posible si y solo si,
el sistema tiene estado completo controlable,
es decir, la matriz M tiene rango n (tiene
inversa en un sistema SISO).

 Los valores propios de la matriz A – BK (que

se designan 1, 2, …n) son los polos de
lazo cerrado deseados

E. Interiano 15
Ejemplo 3: Ubicación de
polos por tres métodos
Considere el sistema continuo
 0 1  0 
x    x   u
20.6 0 1
y  1 0x
Requisitos: se desea colocar arbitrariamente
los polos de lazo cerrado en  = -1.81 8  j 2.4
2 4 es
decir, los valores propios de (A – BK) deben
ser:
1 = -1.8 + j 2.4
E. Interiano
2 = -1.8 – j 2.4 16
Ejemplo 3: Prueba de aptitud,
controlabilidad
Verificamos
V ifi lla que lla matriz t l bilid d M
t i controlabilidad
tiene rango 2; por lo que es controlable
0 1 
M  B AB   
1 0 
La ecuación característica del sistema es
 1
I  A   2  20.6  0
 20.6 
Y las raíces características son  =  4.539.
El sistema
i t es iinestable
t bl !
E. Interiano 17
Ejemplo 3.1: Solución 1 por
sustitución directa de K
Por sustitución directa de K = [k1, k2] en el
polinomio característico deseado
 0   0 1  0
I  A  BK          k1 k 2  
 0   20.6 0 1
 1
 2  k2  k1  20.6
 20.6  k1   k2
Comparando con (-1)(-2) = 2 + 3.6 + 9

K = [ 29.6 3.6 ]
E. Interiano 18
Transformación a FCC
 Se define x̂ˆ como un nuevo vector de estado
x  Txˆ
 Si el sistema tiene estado completo
controlable, es transformable a la forma FCC
y entonces la matriz T tiene inversa.

 Utilizando la matriz T se puede transformar el

ssistema
s e a a la
a forma
o a ca
canónica
ó ca co
controlable:
t o ab e
x̂  T1 ATxˆ  T1Bu

E. Interiano 19
Cálculo de la matriz T
Sea T la
S l matriz
ti d ió con M la
de ttransformación,
f l
matriz de controlabilidad T  MW
 a1 a2    an1 1
a    1 0 
 2 a3
Y con      
W     
 
     
an1 1    0 0 
 
 1 0    0 0 

donde los ai son los coeficientes del polinomio

característico
I  A  n  an1n1    a1  a0
E. Interiano 20
 Ecuación característica
La ecuación característica del sistema
realimentado se encuentra como

I  ( A  BK )  T 1 (I  ( A  BK ))T  I  T 1 AT  T 1BKT  0

Donde KT de define como la matriz de coeficientes

KT   0 1   n1 

Sustituyendo T-1AT, T-1B y KT en

I  T AT  T BKT  0
1 1

E. Interiano 21
 Ecuación característica (2)
Obtenemos  0 1 0  0  0 
 0 0 1  0  0

I     0        0 1   n 1  
   
 0 0 0  1  0 
 a0  a1  a2   an 1  1
 1 0  0
0  1  0
      
0 0 0  1
a0   0  a1  1  a2   2     an 1   n 1 

   (an 1   n 1 )
n
E. Interiano
n 1
  (a1  1 )  (a0   0 )  0 22
La matriz K
Igualando los coeficientes del polinomio característico
de (A-BK) con los coeficientes de potencias iguales de
 obtenidos de los polos deseados
(  1 )(   2 ) (   n )  n   n 1n 1  1   0  0
n  (an 1   n 1 )n 1  (a1  1 )  (a0   0 )  0
a0   0   0   0   0  a0
KT   0 1   n 1 
a1  1  1  1  1  a1
 K   0 1   n 1 T 1
an1   n1   n1   n1   n1  an1
Finalmente:
K   0  a0  1  a1    n 1  an 1 T 1
E. Interiano 23
Pasos para el diseño por
ubicación de polos por FCC
1. V
1 Verifique
ifi la
l condición
di ió de d controlabilidad
t l bilid d d dell sistema
i t con M.M
2. A partir del polinomio característico de la matriz A,
I  A  n  an n 1 n1
   a1  a0
determine los valores de ai
3. Determine la matriz de transformación T que transforma la
ecuación de estado del sistema a la forma canónica controlable
(si ya está en forma FCC, entonces T = I).
4. Utilizando los valores propios i deseados, halle el polinomio
característico
t í ti correspondiente di t
(  1 )(   2 )  (   n )  n   n 1n 1  1   0
determine los valores de i
5. Determine la matriz K de ganancia de realimentación de estado
K   0  a0  1  a1    n 1  an 1 T 1
E. Interiano 24
Ejemplo 3.2: Solución 2 por
transformación a FCC
Y que ell sistema
Ya i t esta
t en forma
f FCC T = I
FCC,
Se tiene de la ecuación característica que
a1 = 0, a0 = -20.6
De los valores de i deseados
(-1)(-2) = ( + 1.8 - jj2.4)) ( + 1.8 + jj2.4)) =

2 + 3.6 + 9

1 = 3.6 , 0 = 9
E. Interiano 25
Ejemplo 3: Solución por
transformación a FCC (cont.)
Por lo tanto

K = [ (0 – a0) (1 – a1) ] T-1

K = [ (9 + 20.6) (3.6 – 0) ] I-1

K = [ 29.6 3.6 ]

E. Interiano 26
Fórmula de Ackermann
 Para sistemas SISO, existe una forma sistemática de
calcular la matriz K

K  0 0  1 M 1φ(A)

K  0 0  1 B AB  A  n 1

1
B φ(A)

 φ(A)
( ) es el polinomio característico
í del sistema
realimentado, evaluado en la matriz A del sistema
original.
original
 Si el sistema es completamente controlable, la matriz
de controlabilidad M tiene rango n y es no singular
singular.
E. Interiano 27
Ejemplo 3.3: Solución 3 usando
la fórmula de Ackermann
Considere el sistema
 0 1  0 
x    x   u
20.6 0 1
y  1 0x
se desea colocar arbitrariamente los polos de
lazo cerrado en  = -1.8
18j2 2.44 es decir
decir, los
valores propios de (A – BK) deben ser:
1 = -1.8 + j 2.4
2 = -1.8 – j 2.4
E. Interiano 28
 3 3: cálculo de φ(A)
Ejemplo 3.3:
Calculamos φ(A) con  (  )   2
 3 .6   9
φ(A))  A 2  3.6 A  9I
φ(
20.6 0   0 3 .6  9 0 
φ(A)       
 0 20.6
0.6   74
7 . 16
6 0   0 9 
 29.6 3.6 
φ(A))  
φ( 
 74 . 16 29 . 6 
Finalmente
1
0 1   29 .6 3 .6 
K  0 1      29 .6 3.6 
1 0  74 .16 29 .6 
E. Interiano 30
Ejemplo 3: Resultados

Realimentado
Original

Respuesta realimentada
con u = -Kx

E. Interiano 31
Ejemplo 3:Análisis de resultados

 Se puede apreciar que la matriz K puede

obtenerse por varios métodos y que el
resultado esperado para los valores de los
polos de lazo cerrado se cumple en todos los
casos

 También se puede observar que la

realimentación de estado, de la forma
planteada, no corrige el error de estado
estacionario
E. Interiano 32
Ejemplo 4: Usando la fórmula
de Ackermann
El sistema
i t di
discretot
1.65  0.675 1 
x(k  1)    x( k )   u ( k )
 1 0  0 
y (k )  1 0.825x(k ) T  0.01s
Tiene el polinomio característico (en z)
 z  1.65 0.675
zI  A     z 2
 1.65 z  0.675
 1 z 
1 1.65
con polos en z = 0.9 y z = 0.75 y M 
 0 1 
E. Interiano 33
Ejemplo 4: continuación
 Los polos de lazo cerrado deben estar en
1, 2  0.25  j 0.25
 Y el error de estado estacionario debe ser
cero ante una entrada escalón normalizada

El polinomio característico deseado es

 ( z )  ( z  1 )( z   2 )  z 2  0.5 z  0.125
Después de comprobar la controlabilidad
K  0 1 B AB  φ(A)
1

E. Interiano 34
 Ejemplo 4: cálculo de φ(A)
Calculamos φ(A)
φ(A))  A 2  0.5A  0.125I
φ(
2.0475 - 1.1138  0.825  0.3375 0.125 0 
φ(A)       
 1.65
.65 - 0.675   0 . 5 0   0 0 . 5
125 
1.34  0.77625 
φ(A))  
φ( 
1 . 15  0 . 55 
Finalmente
1
1 1.65  1.34  0.77625 
K  0 1      1.15  0.55 
0 1  1.15  0.55 
E. Interiano 35
Ejemplo 5: El sistema
realimentado no homogéneo

Donde r(k) es una entrada forzada y K0 es una

ganancia que se calcula para que el error de
estado estacionario sea cero con
u(k) ( ) - Kx(k)
( ) = K0r(k) ( )
E. Interiano 36
 Ejemplo 5: El sistema
realimentado no homogéneo (2)
~ ~
Las matrices A y B
x ( k  1)  Ax ( k )  Bu ( k )  Ax ( k )  B ( K 0 r ( k )  Kx ( k ))
x ( k  1)  ( A  BK ) x ( k )  BK 0 r ( k )
~ ~
x ( k  1)  Ax ( k )  Br ( k )

~ 1.65  0.675  1  0.5  0.125 

A  A  BK        [1.15  0.55]   
 1 0   0  1 0 

~ 1  K0 
B  BK 0    * K 0   
0 0
E. Interiano 37
Ejemplo 5: Haciendo cero el
error de estado estacionario
Encontramos la función de transferencia
1
~ 1 ~  z  0.5 0.125  K 0 
G ( z )  C ( zI  A ) B  [1 0.825]  0
  1 z   
G(z) representa
(z + 0.825)
0 825)
G( z )  K0  2 al sistema
z - 0.5 z + 0.125 (estable) de lazo
cerrado

Para una entrada escalón normalizada, con el

teorema del valor final, (z 1), calculamos K0
K0 = 0.625/1.825 = 0.3425

E. Interiano 38
Ejemplo 5: Resultados

Respuesta compensada
con u = -Kx y K0 = 0.3425

E. Interiano 39
Ejemplo 5: Análisis de resultados
 Los polos de lazo cerrado se encuentran en el sitio
deseado.
 El error de estado estacionario es cero; pero requiere
conocer exactamente la planta, y ante cualquier cambio,
debe reajustarse la constante K0.
 El método usado no es recomendable para eliminar
completamente el error de estado estacionario
estacionario, es mejor
aplicar el método de la realimentación de estado integral.

 Para este ejemplo

ejemplo, el tiempo de muestreo parece muy
grande para la ubicación deseada de los polos.
 Se está exigiendo al sistema ser demasiado rápido.
E. Interiano 40
Resumen
 El proceso de diseño inicia con la selección de la
ubicación deseada para los polos a partir de algún
tipo de requisitos,
requisitos típicamente de comportamiento en
el dominio del tiempo.
 La controlabilidad es un requisito sine qua non para
la ubicación de polos por realimentación de estado.
 Existen
ste varios
a os métodos
étodos de cálculo
cá cu o para
pa a la
a matriz
at
ganancia constante K.
 La corrección del error de estado estacionario debe
hacerse por aparte de la ubicación de polos.
 El método es aplicable a sistemas en tiempo
continuo y tiempo discreto.
E. Interiano 41
Ejercicio 1: Resuelva usando la
fórmula de Ackermann
Considere
C id ell sistema
i t
 2 0.5 1 0.5
continuo
x   2 0 0 x   0 u
 0 1 0  0 
y  0 0 1x
se desea colocar arbitrariamente los polos de lazo
cerrado en:
1 = -1 + j
2 = -1
1–j
3 = -5 Solución: K = [10 13 12]

E. Interiano 42
Ejercicios
 0.9319 - 0.02414  0.01931 
x(k  1)     x(k )    u
0.03863 0.99951  0.0003908
y (k )  0 1.25 x(k )
1 Encuentre si el sistema es completamente
1.
controlable,
2 Encuentre la matriz K que ubica los polos de
2.
lazo cerrado en  = 0.6 +/- j0.25
3 A) ¿Qué
3. Q é es respuesta
t dead
d d beat?
b t?
B) Encuentre la matriz K si el sistema
controlado
t l d ddebe
b ttener respuestat dead-beat
d db t
E. Interiano 45
Tarea
 Investigue el método para calcular K para
sistemas MIMO. ¿Cuál función de Matlab
realiza este cálculo?

 Investigue la realimentación de estado

integral

 Investigue que es un observador de estado

E. Interiano 46
Referencias
[1] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.

[2] Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en

tiempo discreto
discreto“,, Prentice Hall, 1996, 2ª
2
Ed., México.

E. Interiano 47