Física II Introducción a la Térmica

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
U.N.E.F.A
NÚCLEO - PORTUGUESA

Profesor:
Gilberto Pimentel
V-20.317.430
Ingeniero Civil
C.I.V: 251.126
Periodo II-2019

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 1

Física II Introducción a la Térmica

Unidad 3: Introducción a la Térmica:

Descripción Macroscópica y Microscópica:

La Imagen muestra las temperaturas promedio en el planeta tierra, como puede

observarse según la escala las temperaturas más altas están en la zona ecuatorial y van
bajando a medida que se acerca a los polos

La mecánica newtoniana explica una diversidad muy amplia de fenómenos en la escala

macroscópica, tales como el movimiento de los cuerpos, de proyectiles y de planetas.
Ahora iniciaremos el estudio en la termodinámica, área de la física relacionada con los
conceptos de calor y temperatura. Con la termodinámica se hace la descripción de las
propiedades volumétricas de la materia y la correlación entre esas propiedades y la
mecánica de los átomos y moléculas.

Se ha preguntado alguna vez ¿qué le pasa a la energía cinética de un objeto cuando cae
al suelo y queda en reposo?, o ¿cómo puede enfriar un refrigerador? Las leyes de la
termodinámica y los conceptos de calor y de temperatura nos permitirán contestar estas
preguntas. En general, la termodinámica trata con las transformaciones físicas y químicas
de la materia en todos sus estados: sólido, líquido, gas o plasma.

El objeto de estudio de la física térmica trata con los fenómenos que comprenden
transferencias de energía entre cuerpos que están a diferentes temperaturas. En el estudio de
la mecánica, se definieron claramente conceptos como masa, fuerza y energía, para hacer la
descripción en forma cuantitativa. De la misma forma, una descripción cuantitativa de los
fenómenos térmicos requiere una definición clara de los conceptos de temperatura, calor y
energía interna.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 2

Física II Introducción a la Térmica

La ciencia de la termodinámica está relacionada con el estudio del flujo de calor desde
un punto de vista macroscópico.

Definición Macroscópica de Temperatura y Ley Cero de la Termodinámica:

La temperatura es una magnitud física que se refiere a la sensación de frío o caliente al
tocar alguna sustancia. Así, nuestros sentidos nos entregan una indicación cualitativa de la
temperatura, pero no podemos confiar siempre en nuestros sentidos, ya que pueden
engañarnos. Por ejemplo, si se saca del refrigerador un recipiente metálico con cubos de
hielo y un envase de cartón con verduras congeladas, se siente más frío el metal que el
cartón, aunque ambos están a la misma temperatura; la misma sensación se nota cuando se
pisa la baldosa del piso solo y la alfombra. Esto se debe a que el metal o la cerámica es
mejor conductor del calor que el cartón o la tela. Por lo tanto se necesita un método
confiable para medir la sensación de frío o caliente de los cuerpos.

Experimentalmente se encuentra que si dos objetos que inicialmente están a diferente

temperatura, se ponen en contacto térmico entre sí, llegará el momento en que alcanzaran
una cierta temperatura intermedia. Para comprender el concepto de temperatura definamos
contacto térmico: es cuando entre dos cuerpos puede ocurrir un intercambio de energía
entre ellos sin que se realice trabajo macroscópico; y equilibrio térmico: es una situación en
la que dos cuerpos en contacto térmico entre sí, dejan de tener todo intercambio neto de
energía. El tiempo que tardan los cuerpos en alcanzar el equilibrio térmico depende de las
propiedades de los mismos. Se puede pensar en la temperatura como una propiedad que
determina cuando se encuentra o no un cuerpo en equilibrio térmico con otros cuerpos.

Consideremos dos cuerpos A y B que no están en contacto térmico y un tercer cuerpo C

que usaremos como medidor de temperatura. Se quiere determinar cuando están A y B
están en equilibrio térmico entre sí. Primero se coloca el cuerpo C en contacto térmico con
A hasta que se alcanza el equilibrio térmico. Luego se coloca el cuerpo C en contacto
térmico con B hasta que alcanzan el nuevo equilibrio térmico. Si la temperatura de C
después de ponerse en contacto térmico con A y con B es la misma en ambos casos,
entonces A y B están en equilibrio térmico entre sí. Este resultado se resume en un
enunciado llamado principio cero de la termodinámica: Si dos cuerpos A y B están por
separado en equilibrio térmico con un tercer cuerpo C, entonces A y B están en equilibrio
térmico entre sí. Este enunciado, aunque parezca obvio, es lo más fundamental en el campo
de la termodinámica, ya que se puede usar para definir la temperatura.

Definición Microscópica de Temperatura:

La temperatura de un sistema es una medida de la energía cinética media de las partículas
que lo constituyen.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 3

Física II Introducción a la Térmica

Aunque estudiaremos el concepto de energía cinética en un bloque diferente, es

perfectamente posible entender lo que esta definición quiere decir sin conocer ese término
de antemano. La energía cinética está relacionada con el movimiento de las cosas: cuanto
más rápido se mueve algo, más energía cinética tiene (el propio término proviene del
griego kinesis, movimiento); también tiene que ver con la masa, ya que cuanto más masivo
es algo, más energía cinética tiene para la misma velocidad. De hecho –y esto nos será útil
en este bloque– es posible pensar en la energía cinética como la ―capacidad de empujar‖
que tiene una cosa — si un camión te va a dar un empujón, el empujón será tanto más
fuerte cuanto más rápido vaya el vehículo y cuanta más masa tenga.

De modo que, estadísticamente hablando, la temperatura no es más que una medida de

la energía media debida al movimiento de las partículas. Imagina que tienes dos trozos de
hierro, por ejemplo, y que uno está muy frío y el otro muy caliente. Microscópicamente
hablando, eso quiere decir que las partículas que forman el bloque frío se mueven mucho
más despacio que las del caliente, en promedio. Evidentemente, el bloque de hierro no se
mueve por la habitación, de modo que esos movimientos se producen a una escala muy
pequeña; por ejemplo, los átomos de hierro, aunque tienen posiciones más o menos fijas en
el trozo de metal, pueden vibrar alrededor de esas posiciones de equilibrio. Si el cuerpo está
frío, las vibraciones son más leves y lentas, mientras que si está caliente, las vibraciones
son mucho más violentas y rápidas.

Animación de átomos de helio en movimiento, algunos coloreados en rojo para poder

seguirlos más fácilmente (A. Greg/CC 3.0 License).

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 4

Física II Introducción a la Térmica

La Temperatura es, por lo tanto, una propiedad física intensiva, es decir, no cambia si
variamos el tamaño del sistema dejando todo lo demás igual. Por ejemplo, si un trozo de
hierro tiene una temperatura determinada y lo partimos en dos, cada trozo no tiene la mitad
de temperatura que el trozo inicial. Esto no sucede, por el contrario, con la masa: cada trozo
de hierro tiene la mitad de masa que el inicial. De ahí que la masa sea una
propiedad extensiva, al contrario que la temperatura. Una vez más, cuestión de
definiciones, pero no está mal ir ganando vocabulario para luego.
La Temperatura es el nivel térmico de los cuerpos, es una forma de medir la energía
cinética interna de dicho cuerpo. En el SI la unidad de temperatura es el Kelvin (K) aunque
habitualmente utilizamos la escala Centígrada de Celsius (°C) para medir la temperatura.

Para tener una referencia común en las distintas escalas de medidas de temperatura se
recurre a dos puntos fijos, los cuales se utilizan para calibrar los termómetros:
 Función del hielo = 0 °C=273 K a presión de la atmosférica normal.
 Ebullición del agua= 100 °C=373 K a presión de la atmosférica normal.
 La presión de la atmosférica normal es 1 atm (atmosfera) medida al nivel del mar, o
lo que es lo mismo, 760 mmHg (milímetro de columna de mercurio).

Escalas de medidas de temperatura:

Las escalas de temperatura que se usan más comúnmente en la actualidad son dos: la
Fahrenheit, utilizadas en los países anglosajones y la Centígrada o Celsius usada en el
resto de los países europeos y en general en todos los países que han adoptados el sistema
métrico decimal.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 5

Física II Introducción a la Térmica

Las escalas de temperaturas también denominadas Termométricas, se definen por dos

puntos fijos que delimitan cierto intervalo de temperatura conocido como ―Intervalo
Fundamental de la Temperatura”. Dicho intervalo es el comprendido entre dos cambios
de estado físico del agua, es decir, entre la temperatura de fusión del agua (idéntica a la
congelación) y la de ebullición del agua (agua hirviendo) a una presión de 760mm de
columna de Hg (Mercurio).

Escala Celsius: la escala Centígrada o Celsius (°C) asignan el valor “cero” (0°C) al punto
de congelación del agua o de función del hielo. El punto superior de ebullición del agua (a
una presión de 760mm de Hg) tiene asignado el valor “cien” (100°C).La escala está
dividida en cien parte iguales, correspondiendo cada una de ellas a 1°C. Temperaturas por
debajo de 0°C se asigna como “negativas”, ver figura:

Escala Fahrenheit: en la escala Fahrenheit el punto de congelación del agua (o función del
hielo) está marcado como 32°F y el punto de ebullición del agua (a una presión de 760mm
de Hg) como 212°F. Entre los puntos de congelación y de ebullición del agua se tiene así
180°F (grados Fahrenheit)

Escala Termodinámicas o Absolutas: para trabajos más científicos, se requieren el uso de

temperaturas absolutas (totales), es decir, que no tenga valores negativos. La escala
absoluta comienza de cero hacia arriba. El cero absoluto es una temperatura que se
Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 6
Física II Introducción a la Térmica

determinó matemáticamente, y se supone que a esta temperatura, se tiene el movimiento

molecular de cualquier sustancia. Es la temperatura más baja posible en la tierra y se
supone también que en este punto, hay una total ausencia de calor.
Las escalas usadas para medir temperatura absoluta son la Kelvin (Celsius absoluta) y la
Rankine (Fahrenheit absoluta). La Kelvin usa la misma dimensiones o graduaciones que la
escala Celsius, y el cero absoluto (0K) equivale a -273.15°C. La escala Rankine usa las
mismas dimensiones que la escala Fahrenheit y el cero absoluto (0R) equivale a -460°F.

Relaciones entre las escalas de temperatura:

En la escala Kelvin el tamaño de un grado es exactamente igual a un grado Celsius y un
grado Rankine equivale a un grado Fahrenheit. La unidad de temperatura en el SI es el
Kelvin (K), aunque se permite el uso del °C.
Se cumple que:

La escala Kelvin se relaciona con la escala Celsius por medio de:

La escala Rankine se relaciona con la escala Fahrenheit por medio de:

La escala Rankine se relaciona con la escala Kelvin por medio de:

Temperatura de Equilibrio:

“Al vertir en un recipiente agua a diferentes temperaturas, notaremos que el agua

mezclada alcanzara una temperatura de equilibrio, que estará por debajo de la

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 7

Física II Introducción a la Térmica

temperatura del recipiente de más temperatura y por encima de la del recipiente de menos
temperatura”

Todos sabemos que un cuerpo caliente tiende a aumentar la temperatura de los cuerpos
que lo rodean, mientras que un cuerpo frío provoca una disminución de temperatura a su
alrededor. En términos más rigurosos podemos afirmar que, cuando dos sustancias a
diferentes temperaturas se encuentran próximas, se produce entre ellas un intercambio de
energía que tiende a crear el equilibrio térmico, que se produce cuando ambas temperaturas
se igualan.

De acuerdo con el Principio de Conservación de la Energía el intercambio energético

neto entre los dos sistemas y el entorno sería cero, y restringiéndonos al caso más sencillo,
que es un caso ideal, podría expresarse la situación diciendo que el calor cedido por el
sistema caliente al enfriarse es justamente el calor absorbido por el sistema frío al
calentarse.

En este caso ideal aún puede hacerse una simplificación más: que únicamente se
consideren las sustancias calientes y frías y no los recipientes, que se considerarían
recipientes adiabáticos ideales, cuyas paredes con el exterior serían perfectos aislantes
térmicos; el caso real más parecido sería un termo o un saco de dormir con relleno de
plumas.

Medición de la Temperatura:

“Un termómetro clínico como el de la imagen es muy utilizado para medir la temperatura
corporal de las personas, este funciona gracias a una pequeña columna de mercurio que se
dilata”

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 8

Física II Introducción a la Térmica

Los Termómetros: son dispositivos para definir y medir la temperatura de un sistema.

Todos los termómetros se basan en el cambio de alguna propiedad física con la
temperatura, como el cambio de volumen de un líquido, el cambio en la longitud de un
sólido, el cambio en la presión de un gas a volumen constante, el cambio en el volumen de
un gas a presión constante, el cambio en la resistencia de un conductor o el cambio en el
color de objetos a muy alta temperatura. Los cambios de temperatura se miden a partir de
los cambios en las otras propiedades de una sustancia, con un instrumento llamado
termómetro, de los cuales existen varios tipos.

El termómetro mecánico se basa en la propiedad de dilatación con el calor o contracción

con el frío de alguna sustancia. Por ejemplo, el termómetro de mercurio convencional mide
la dilatación de una columna de mercurio en un capilar de vidrio, ya que el cambio de
longitud de la columna está relacionado con el cambio de temperatura. El termómetro se
puede calibrar colocándolo en contacto térmico con algún sistema natural cuya temperatura
permanezca constante, conocida como temperatura de punto fijo.

Una de las temperaturas de punto fijo que se elige normalmente es la de una mezcla de
agua y hielo a la presión atmosférica, que se define como cero grado Celsius denotado por
0º C. Otro punto fijo conveniente es la temperatura de una mezcla de agua y vapor de agua
en equilibrio a la presión atmosférica, al que se le asigna el valor de 100º C. Una vez que se
han fijado los niveles de la columna de mercurio en estos puntos, se divide en 100 partes
iguales, donde cada una de estas representa un cambio de temperatura equivalente a un
grado Celsius (Anders Celsius, sueco, 1701-1744). Así se define una escala de temperatura
llamada escala centígrada o escala Celsius. Un problema práctico de cualquier termómetro
es su rango limitado de temperaturas.

Por ejemplo, como el mercurio se congela a -39º C, para asegurarse de medir

temperaturas menores que estas, se usan los termómetros de alcohol, que se congela a –
130º C. Los termómetros para medir la mínima diaria en meteorología son de alcohol, se
muestran en la figura inferior, el termómetro superior en esta figura, de mercurio, se usa
para medir la máxima diaria.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 9

Física II Introducción a la Térmica

“Termómetros de máxima y de mínima usados en meteorología”

Termómetro de Gas y escala Kelvin: Se requiere un termómetro universal cuyas lecturas

sean independientes de la sustancia que se use. En un termómetro de gas, las lecturas de las
temperaturas son casi independientes de la sustancia que se utilice en el termómetro. En
este caso, la propiedad física es la variación de la presión del gas con la temperatura. Al
calentarse (enfriarse) el gas, la presión aumenta (disminuye) y la altura de la columna de
mercurio aumenta (disminuye). El cambio de temperatura puede determinarse a partir del
cambio en la presión. Si se supone que la variación de temperatura T con la presión P es
lineal, se puede escribir:

T = aP + b (1)

Donde a y b son constantes, que se pueden determinar a partir de dos puntos fijos, tales
como los puntos de hielo y vapor.

Los experimentos demuestran que cuando se miden las temperaturas con diferentes
termómetros y con diferentes gases, las lecturas son independientes del tipo de gas que se
use, siempre que la presión no sea muy alta. La concordancia mejora al reducirse la presión.
Esta concordancia significa que la intersección b de la ecuación 1 es la misma para todos
los gases. Esto se muestra en un gráfico de presión – temperatura, para un gas 1, gas 2 y gas
3, cualesquiera. Cuando se extrapola la recta de presión a temperaturas muy bajas (líneas de
puntos), se encuentra que la presión es cero cuando la temperatura alcanza el valor -273.15º
C. Esta temperatura corresponde a la constante b en la ecuación 12.1. La extrapolación es
necesaria, ya que todos los gases se licuan antes de llegar a esa temperatura. Punto triple del
agua. Corresponde a la temperatura y presión únicas en las que el hielo, el agua y el vapor
de agua pueden coexistir en equilibrio.

Estos valores son aproximadamente T = 0.01º C y P = 610 Pa.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 10

Física II Introducción a la Térmica

La temperatura en el punto triple del agua en la nueva escala, dada por la ecuación 1, se
tomó como 273.16 kelvin, abreviado 273.16 K. Esta elección se hizo para que la vieja
escala centígrada de temperatura basada en los puntos del hielo y del vapor coincidiera
cercanamente con esta nueva escala basada en el punto triple del agua. Esta nueva escala se
llama escala de temperatura termodinámica y la unidad SI de la temperatura
termodinámica, el Kelvin K, se define como la fracción 1/273.16 de la temperatura del
punto triple del agua (Williams Thompson, inglés, 1824-1907, Primer Barón de Kelvin,
Lord Kelvin).

Gráfico de presión versus temperatura para diferentes gases.

ESCALAS DE TEMPERATURA CELSIUS Y FAHRENHEIT:

La temperatura Celsius, TC, está desplazada respecto a la escala absoluta (o

Kelvin) T en 273.15º, ya que por definición el punto triple del agua (273.16 K) vale 0.01º
C. La relación entre estas escalas es:

TC = T – 273.15

Se observa que el valor de un grado en la escala Kelvin es igual al de la escala Celsius.

Por ejemplo, una diferencia o variación de temperatura de 5º C es igual a una diferencia de
temperatura de 5 K. Las dos escalas solo se diferencian en la elección del punto cero.

Otra escala usada en países anglosajones es la escala Fahrenheit (Daniel Fahrenheit,

alemán, 1686-1736). La temperatura Fahrenheit, TF, se relaciona con la temperatura
Celsius por la expresión:

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 11

Física II Introducción a la Térmica

Dilatación Térmica de Sólidos y Líquidos:

La mayoría de los objetos se dilatan (contraen) cuando se aumenta (disminuye) su

temperatura. En escala microscópica, la dilatación térmica de un cuerpo es consecuencia
del cambio en la separación media entre sus átomos o moléculas. Para comprender esto, se
considerará un sólido que consta de un arreglo regular de átomos mantenidos unidos por
fuerzas eléctricas. Un modelo mecánico de estas fuerzas es imaginar que los átomos están
unidos por resorte rígidos, como se muestra en la figura 1. Por su naturaleza, las fuerzas
interatómicas se consideran elásticas. Para temperaturas en los rangos comunes de la
naturaleza, los átomos vibran respecto a sus posiciones de equilibrio con una amplitud
aproximada de 10E-11 m y una frecuencia de 1013 Hz. La separación promedio entre los
átomos es del orden de 10E-10 m. Al aumentar la temperatura del sólido, los átomos vibran
con amplitudes más grandes y la separación promedio entre ellos aumenta, dando por
resultado que el sólido como un todo se dilate cuando aumente su temperatura. Si la
dilatación de cualquier objeto es lo suficientemente pequeña en comparación con sus
dimensiones, el cambio de cualquier parte, largo, ancho o alto, dentro de una buena
aproximación, es una función lineal de la temperatura.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 12

Física II Introducción a la Térmica

Supongamos que la dimensión lineal de un cuerpo a una cierta temperatura, a lo largo de

alguna dirección es l. La longitud aumentara en una cantidad ∆l para un cambio de
temperatura ∆T. Experimentalmente se demuestra que el cambio en la longitud es
proporcional al cambio de temperatura y a la longitud inicial siempre que ∆T sea pequeña.
Por lo tanto, la ecuación básica para la dilatación de un sólido es:

∆l = α l ∆T (1)

Donde la constante de proporcionalidad α se llama coeficiente promedio de dilatación

lineal para un material dado, se mide en ºC-1. Para ilustrar, por ejemplo un valor de α de
5×10-6 ºC-1 significa que la longitud del objeto cambia 5 millonésimas su valor original
por cada grado Celsius de variación de temperatura. El orden de magnitud de α para los
sólidos es de 1mm por m, cada 100º C. El coeficiente α se considera promedio, porque en
general varia con la temperatura, pero comúnmente esta variación es despreciable a la
escala en que se realizan la mayoría de las mediciones.

Como las dimensiones lineales de los cuerpos cambian con la temperatura, se deduce que el
área y el volumen del cuerpo también cambian con la temperatura. El cambio en el
volumen a presión constante es proporcional al volumen original V y al cambio de
temperatura, lo que se puede escribir como:

∆V = β V ∆T (2)

Donde β es el coeficiente promedio de dilatación volumétrica. Para un sólido isotrópico

(aquel en el cual el coeficiente de dilatación lineal es el mismo en todas las direcciones), el
coeficiente de dilatación volumétrica es el triple del coeficiente de dilatación lineal, o
sea, β = 3α. Por lo tanto la ecuación (2) se puede escribir como:

∆V = 3α V ∆T (3)

De la misma forma, para una hoja o placa delgada, el cambio en el área de una placa
isotrópica es:

∆A = 2α A ∆T (4)

En la tabla 1, se presenta una lista de coeficientes de dilatación lineal para diferentes

materiales, estos datos son valores medios en el intervalo de 0 a 100º C (excepto). Para los
gases, la presión es constante y baja (presión atmosférica o inferior). Observar que α es
positivo para esos materiales, pero pueden existir valores negativos de α o de β, lo que

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 13

Física II Introducción a la Térmica

significa que los materiales se contraen en alguna dirección cuando aumenta la temperatura,
por ejemplo la goma.

Tabla 1. Coeficientes de dilatación, cerca de la temperatura ambiente:

Por lo general, los líquidos aumentan su volumen al aumentar la temperatura y tienen

coeficientes de dilatación volumétrica aproximadamente 10 veces más grandes que el de los
sólidos (tabla 1). El agua es la excepción a esta regla.

Expansión del agua:

El agua es una sustancia compuesta por un átomo de oxígeno y dos de hidrógeno. A
temperatura ambiente es líquida, inodora, insípida e incolora (aunque adquiere una leve
tonalidad azul en grandes volúmenes). Se considera funda- mental para la existencia de la
vida. No se conoce ninguna forma de vida que tenga lugar en ausencia completa de esta
molécula, cuyo esquema se muestra en la figura 2.

Casi todos los líquidos se expanden al calentarse, ¡pero el agua fría hace todo lo
contrario!, este comportamiento del agua es muy extraño, pero que se le va a hacer,
suponemos que la creación es perfecta y se debe aceptar tal como es. El agua a 0º C se
contrae al aumentar su temperatura hasta alcanzar los 4º C, valor a partir del cual comienza
a expandirse, expansión que continua hasta el punto de ebullición. Una cantidad dada de
agua alcanza su volumen mínimo, y por lo tanto su densidad máxima a 4º C. La misma
cantidad de agua tiene su volumen máximo, y por lo tanto su densidad mínima en forma de
hielo, por eso el hielo flota sobre el agua. Una vez convertida en hielo, el agua se contrae si
seguimos reduciendo su temperatura.

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 14

Física II Introducción a la Térmica

La explicación de este comportamiento tiene que ver con la extraña estructura cristalina
del hielo. Los cristales de la mayor parte de los sólidos están estructurados de tal manera
que el estado sólido ocupa un volumen menor que el estado líquido. Pero el hielo tiene
cristales de estructura abierta, consecuencia de la forma angular de las moléculas de agua
(figura 2) y del hecho de que las fuerzas que unen las moléculas de agua son más intensas a
ciertos ángulos. Las moléculas de agua en esta estructura abierta ocupan un volumen mayor
que en el estado líquido. Por eso el hielo es menos denso que el agua.

Figura 2

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 15

Física II Introducción a la Térmica

Ejercicios:

Realiza las siguientes conversiones de temperatura para que apliques las fórmulas de
conversión de temperatura:

a) 212°F a °C

b) 100°C a °F

c) 25°C a °K

d) 70°F a °K

e) 373°K a °C

f) 500°K a °F

g) 590°R a °C y °F

h) 320°K a °C y °R

Profesor Ing. Gilberto Pimentel Página 16