Física 2

Física II Martín Ibarra Silva
UNIDAD I
“… Este mundo inmenso que existe independientemente de los seres humanos…

que se yergue ante nosotros como un grandioso y eterno enigma”
Albert Einstein (1879 – 1955)
El sol se formó hace 4650 millones de años y tiene combustible para 5000
millones de años más. El sol constituye nuestra principal fuente
de energía que se manifiesta sobre todo en luz y calor.
TÉRMICA
1
I.1. El calor es una forma de energía.
Antes del siglo XVIII, la creencia general era que el calor era un fluido invisible e
imponderable llamado calórico, que se desprendía cuando cualquier sustancia era quemada,
y que se transmitía por conducción de un lugar a otro. El abandono de la teoría del calórico
forma parte de los avances científicos de la física clásica en los siglos XVIII y XIX, y se
deben principalmente al Conde Rumford (1753-1814) y al Sir James Prescott Joule.
El conde Rumford había sido comisionado para supervisar la construcción de cañones. A

fin de evitar el sobrecalentamiento del taladro se tenía que refrigerar continuamente con
agua. Rumford observó que cuando la herramienta ya no cortaba era necesario seguir
enfriando; este hecho era contrario a la teoría del calórico, ya que se pensaba que para
calentar el agua se tenía que suministrar el calórico que se obtenía del taladrado del cañón.
Sin embargo, en este caso, era el taladro mismo la fuente inagotable del calórico.
Estas observaciones le permitieron a Rumford ampliar el principio de la conservación de la

energía y comprender que el calórico no era una característica de la materia sino una
manifestación más de la energía que se transforma de una forma a otra. Es decir, la energía
mecánica del taladro se transformaba continuamente en calor y esto constituye un buen
ejemplo del principio de la conservación de la energía.
Rumford estimó la cantidad de trabajo realizado por el taladro y por el agua utilizada como
refrigerante, pero sus mediciones no le permitieron llegar a ninguna conclusión. Fue hasta
el año de 1845, cuando Joule demostró que con la misma cantidad de trabajo realizado
(energía mecánica) siempre obtenía la misma cantidad de energía calorífica. De esta
manera estableció la equivalencia entre la energía mecánica y la energía calorífica, hecho
que se conoce como el equivalente mecánico del calor.
En este contexto, no importa la frecuencia con la que la energía se transforma, la regla

general es sólo una y se aplica en cualquier situación. La energía total, la suma de todas las
formas de energías, es la misma antes y después de la transformación. Esto constituye la
idea fundamental de la primera ley de la termodinámica, que es en esencia una afirmación
del principio de la conservación de la energía y que aplicada a un proceso termodinámico
se enuncia de la manera siguiente:
El cualquier proceso termodinámico la energía calorífica neta absorbida por un sistema

es igual a la suma del equivalente térmico del trabajo realizado por este y el cambio de
energía interna.
La termodinámica estudia los procesos de intercambio de energía de un cuerpo con el

medio que lo rodea. En estos procesos debe cumplirse el principio de la conservación de la
energía de acuerdo a la relación:
∆U = Wmecánico + Q
Que establece que el cambio de energía interna (∆U) del cuerpo es igual a la suma del
trabajo mecánico realizado (W) sobre el cuerpo y el calor absorbido por el mismo (Q).
2
I.2. Energía interna.
Existen varias formas de elevar la temperatura de una sustancia; la más sencilla es

calentándola directamente en una estufa, otra es poniéndola en contacto con otra sustancia
de mayor temperatura, también es posible calentar la sustancia realizando trabajo mecánico
sobre ella. En este sentido, si se analiza una sustancia cualquiera, sería imposible
determinar si la temperatura que tiene es debida a un intercambio calorífico o si se realizó
trabajo sobre ella.
La física invalida la idea de la energía calorífica de un cuerpo, entendida como la energía

cinética de las moléculas que lo componen, en favor de la energía interna del mismo. Desde
el punto de vista atómico, la energía interna de un cuerpo está compuesta por la suma total
de las energías cinéticas y potenciales de todas las moléculas que lo forman. Es conveniente
señalar que la estructura molecular de la materia no se conoce en su totalidad como para
expresar la energía interna sólo con un modelo molecular. Sin embargo, sí se dispone con la
suficiente evidencia experimental para afirmar que la energía de las moléculas y sus
velocidades, sea de un sólido, líquido o gas, aumentan conforme se eleva la temperatura
La figura 1 muestra un modelo del movimiento de las moléculas de un gas en un recipiente

cerrado. La teoría molecular de un gas ideal constituye el fundamento para entender el
comportamiento térmico de la materia. En esta teoría se aceptan las siguientes hipótesis:
1. El número de moléculas es bastante elevado y la separación entre ellas también es

muy grande comparado con sus dimensiones.
2. El movimiento molecular obedece a las Leyes de Newton, pero se mueven en forma

aleatoria, es decir en cualquier dirección.
3. El choque molecular con las paredes del recipiente tiene la característica de ser
elástico, por lo cual durante el choque la energía cinética permanece constante.
4. La fuerza atractiva entre las moléculas es insignificante, excepto cuando chocan.
5. Las moléculas del gas son idénticas.
Fase sólida Fase líquida Fase gaseosa
Figura 1. El movimiento molecular se incrementa al aumentar la temperatura.
3
I.3. Temperatura.
La temperatura de un cuerpo es una medida relativa de calor o frío. El sentido del tacto
brinda indicaciones cualitativas de qué tan caliente o qué tan frío está un cuerpo, pero en
ocasiones la estimación es incorrecta. Por ejemplo, si se toca una charola metálica y un
trozo de madera, a la misma temperatura, se siente más frío el metal. Esto se debe a que los
metales son mejores conductores del calor que la madera. Para medir la temperatura es
necesario medir una magnitud física que varíe con el cambio de la misma. Cualquier
instrumento utilizado para medir la temperatura se llama termómetro.
Algunas propiedades físicas que varían con la temperatura son: la longitud de una varilla, el
volumen de un líquido, la resistencia eléctrica de un conductor, el color del filamento de
una lámpara. Estos cambios físicos son aprovechados para la construcción de los
termómetros. El termómetro más utilizado consiste en un tubo capilar graduado que
encierra una columna de mercurio (fig.2). Al cambiar la temperatura se dilata el mercurio y
el vidrio, por lo cual este instrumento utiliza la diferencia de las dilataciones del líquido y
del vidrio. Como el mercurio se dilata más, es posible tomar la lectura en la escala del
capilar.
Figura 2. Termómetro de mercurio.
I.4. Escalas de temperatura.
Las escalas termométricas más usuales son las escalas Celsius y Fahrenheit. Es arbitrario
escoger una escala o la otra en el sentido de que ambas utilizan dos puntos de referencia,
temperaturas de fácil reproducción. Después se divide en un número de intervalos
convenientes, cada uno llamado “grado”. La escala Celsius toma los puntos de fusión y
ebullición del agua, asignando al primero un valor de cero y al segundo un valor de cien. El
intervalo de cero a cien se divide en cien partes iguales denominados “grados Celsius”.
4
La escala Fahrenheit funciona de manera análoga, el cero de la escala representa la

temperatura más baja que Daniel Fahrenheit pudo medir en su laboratorio y el cien
corresponde a su mejor determinación de la temperatura del cuerpo humano. Hoy en día, y
de la misma forma que la escala Celsius, los puntos de referencia de la escala Fahrenheit
son los puntos de fusión y ebullición del agua que corresponden a 32 oF y 212 oF
respectivamente. El intervalo de 32 a 212 se divide en 180 partes iguales, cada uno
denominado, “grado Fahrenheit”.
El Sistema Internacional de Unidades define como unidad de temperatura al Kelvin (oK).

La escala Kelvin, denominada así en honor de William Thomson (Lord Kelvin) (1824-
1907), uno de los principales fundadores de la termodinámica. La graduación de esta escala
es igual a la escala Celsius, con la salvedad de que el cero en la escala Kelvin corresponde
al cero absoluto; la temperatura más baja que puede alcanzar cualquier sustancia. En el
siglo XIX, el cero absoluto era considerado como la temperatura donde cesaba todo
movimiento atómico. En la actualidad, se considera este valor como la temperatura a la cual
ya no es posible extraer más energía calorífica de la sustancia. El cero absoluto corresponde
al valor de -273.16 oC (-460 oF).
Para determinar la fórmula de conversión entre la escala Celsius y la escala Fahrenheit se

utiliza la temperatura de los dos puntos de referencia, el punto de fusión y ebullición, en
ambas escalas (fig. 3). El punto de fusión del agua en ambas escalas corresponde al punto
de coordenadas P1 (0, 32), mientras que el punto de ebullición corresponde al P2 (100, 212).
Figura 3. Comparación de las escalas de temperatura.
5
Si se grafican ambos puntos en el sistema coordenado, con la escala Celsius en el eje x y

la escala Fahrenheit en el eje y, se obtiene una línea recta con una pendiente de 9/5 y
ordenada al origen igual a 32, con lo cual la ecuación la misma es:
9o
o
F= C + 32 (1)
5
Despejando a oC
5
o
C = ( o F − 32) (2)
9
La correspondiente escala absoluta en el sistema inglés es la escala Rankin que ubica el

punto cero en -460 oF. La magnitud de un grado Fahrenheit y un grado Rankin es idéntica,
por lo que la fórmula de conversión es:
o
R = o F + 460
(3)
De la misma forma, la magnitud de un grado Celsius y un Kelvin es exactamente igual, por

lo que la formula de conversión es:
o
K = o C + 273 (4)
Ejemplo:
La temperatura en la superficie del sol es de aproximadamente 6500 oC. ¿Cuál es la

temperatura correspondiente en oK, oF y oR ?
Solución:
Sustituyendo en las ecuaciones 1, 3 y 4 se obtiene:
o
K = oC + 273 = 6500 + 273 = 6773o K
9 9
o
F = oC + 32 = (6500) + 32 = 11732oF
5 5
o
R = o F + 460 = 11732 + 460 = 12192 o R
6
I.5. Cantidad de calor.
En forma general, la energía en cualquiera de sus manifestaciones, mecánica, eléctrica,

calorífica, radiante, entre otras, es intangible y no permite la construcción de un patrón que
pueda ser guardado en un laboratorio de pesas y medidas. La cantidad de calor que
interviene en un proceso determinado se mide por el cambio en el proceso mismo. Esto
implica que la unidad de calor se defina en función de la cantidad de calor que se
suministra para producir un cambio convenido.
Las unidades usuales para medir la cantidad calor son la caloría (cal), kilocaloría (kcal) y la
unidad térmica británica (BTU), las cuales se definen de la siguiente forma:
Caloría (cal). Es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un gramo de

agua desde 14.5 oC hasta 15.5 oC.
Kilocaloría (kcal). Es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un

kilogramo de agua desde 14.5 oC hasta 15.5 oC.
La unidad térmica británica (BTU). Es la cantidad de calor necesaria para elevar la

temperatura de una libra masa de agua desde 63 oF hasta 64 oF.
Las equivalencias entre las unidades de calor son las siguientes:
• 1 kcal = 1000 cal

• 1 BTU = 252 cal = 0.252 kcal
Como es sabido, James Prescott Joule determinó el equivalente mecánico del calor, que
permitió definir la equivalencia entre las unidades anteriores con la unidad de energía
definida por el Sistema Internacional de Unidades, el Joule (J).
Joule utilizó un aparato que consistía en un conjunto de paletas sumergidas en una cantidad
determinada de agua a una temperatura inicial. Las paletas eran giradas por un conjunto de
esferas que caían desde una altura conocida; al girar las paletas, la energía mecánica era
disipada por rozamiento, permitiendo que el agua elevara su temperatura. Con los datos
anteriores fue posible determinar la energía mecánica aplicada y la cantidad de calor
necesario para el cambio de temperatura. De esta manera, se determinó el equivalente
mecánico del calor, y por lo tanto la correspondencia entre las unidades del calor: cal, kcal
y BTU con las unidades de la energía. Las mediciones más actuales arrojan las siguientes
equivalencias:
• 1 BTU = 1.055 J
• 1 cal = 4.186 J
• 1 kcal = 4186 J
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I.6. Expansión o dilatación térmica.
En el diseño y construcción de un termómetro se aprovecha que el mercurio cambia de

volumen al cambiar la temperatura. Este fenómeno, conocido como expansión o dilatación
térmica, se presenta en general para todos los materiales, aunque existen sustancias en los
que ocurre lo contrario. Un ejemplo conocido es el agua en las proximidades de los 4 oC
aumenta de volumen ocasionando una disminución en la densidad.
La expansión de los materiales es una propiedad que debe ser considerada en la

construcción de vías férreas, en carreteras de concreto, en el diseño de grandes ventanales,
en los puentes de acero, entre otros muchos ejemplos, sobre todo si los cambios de
temperatura entre el día y la noche o entre las estaciones anuales son demasiado bruscos.
Esta propiedad, también es aprovechada en los termostatos, dispositivos que permiten
mantener una temperatura constante. En algunos casos esta regulación se hace
automáticamente por el mismo termostato, y en otros sirve sólo para avisar mediante una
alarma que el cuerpo ha llegado a cierta temperatura.
La deformación macroscópica de los materiales es el resultado de la expansión térmica de

la estructura molecular o de la expansión de los átomos que forman la materia; esto
ocasiona un aumento o una disminución de la separación media de las moléculas o átomos
que la constituyen.
El cambio de tamaño que sufren las sustancias al cambiar la temperatura se debe a que los
átomos vibran de forma natural con una determinada frecuencia y amplitud. A medida que
aumenta la temperatura, la vibración atómica se incrementa, ocasionando un aumento en
todas las dimensiones de la sustancia.
Para determinar un modelo matemático representativo a este fenómeno es necesario
considerar algunos aspectos: en primer lugar, si la deformación es pequeña con respecto a
las dimensiones originales del cuerpo entonces la expansión térmica es, en forma
aproximada, directamente proporcional al incremento de temperatura. En segundo lugar,
es necesario observar la forma del cuerpo para aplicar la expansión lineal, superficial o
volumétrica. En el caso de la dilatación de líquidos y gases, el fenómeno se complica, ya
que es necesario considerar en donde está contenido y los cambios de presión que ocasiona
el cambio en la temperatura.
Dilatación lineal. Cuando un cuerpo tiene la forma de una barra alargada o de un cable,
predomina una dimensión: la longitud con respecto al ancho y a la profundidad. La
experimentación de laboratorio muestra que para un (∆T) lo suficientemente pequeño, (∆L)
es directamente proporcional (∆T) y al tamaño inicial (Lo). La figura 4, muestra una barra
con un tamaño inicial (Lo) y una temperatura inicia (To). Si se aumenta la temperatura hasta
una temperatura final (T), la barra sufre una expansión lineal térmica (∆L) que ocasiona
que ahora presente una longitud final (L).
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Figura 4. Dilatación lineal de una barra.
De acuerdo a lo anterior
∆L ≈ Lo ∆T
Por lo que el coeficiente medio de dilatación lineal está dado por
∆L
α=
Lo ∆T (5)
Rescribiendo se obtiene
∆L = α ⋅ Lo ⋅ ∆T (6)
Sustituyendo cada incremento
L − Lo = α ⋅ Lo ⋅ (T − To )
Despejando L
L = α ⋅ Lo ⋅ (T − To ) + Lo (7)
Factorizando Lo
L = Lo [α ⋅ (T − To ) + 1] (8)
La ecuación 5 muestra que las unidades del coeficiente medio de dilatación lineal son
unidades recíprocas de temperatura (oC-1). La tabla 1 muestra los coeficientes de dilatación
de algunas sustancias a temperatura ambiente.
9
Sustancia Coeficiente Sustancia Coeficiente

Aluminio 24 x 10-6 Oro 14 x 10-6
Cobre 16.6 x 10-6 Plata 19 x 10-6
Bronce 18 x 10-6 Plomo 29 x 10-6
Acero 10 x 10-6 Vidrio ordinario 9 x 10-6
Invar 0.9 x 10-6 Vidrio pirex 3 x 10-6
Hierro 11.7 x 10-6 Platino 8.9 x 10-6
Cuarzo 0.58 x 10-6 Zinc 26.3 x 10-6
Níquel 13 x 10-6 Iridio 6.5 x 10-6
Tabla 1. Coeficientes medios de dilatación lineal (oC-1)
Ejemplo:
La longitud del puente Harvard, hecho de acero, es de aproximadamente 610 m. ¿Cuál es la

deformación del puente entre un día de invierno a una temperatura de -20 oF y otro día de
verano con una temperatura de 100 oF?
Solución:
Como puede observar, las unidades del coeficiente de dilatación lineal son oC-1, por lo cual
es necesario expresar las temperaturas en oC y después sustituir en la ecuación 6.
1
∆L = α ⋅ Lo ⋅ ∆T = 10 × 10− 6 ( o )(610m)(37.8o C + 28.9oC ) = 0.406m
C
Ejemplo:
Para determinar el coeficiente de dilatación lineal del cobre, un alambre de 6 m de longitud

se calienta de 20 oC a 80 oC y se observa que la deformación es de 5.976 mm. ¿Cuál el
valor obtenido?
Solución:
Para sustituir en la ecuación 5 y determinar el coeficiente primero se realiza la conversión

de unidades de la deformación de mm a m:
∆L 5.976 × 10−3 m
α= = = 1.66 × 10−5 C −1 = 16.6 × 10− 6 C −1
Lo ∆T 6m(80 C − 20 C )
o o
10
Dilatación superficial. Puesto que un cambio de temperatura afecta a todas las

dimensiones del cuerpo, para una placa cuadrada o rectangular, la dilatación más
significativa, se presenta a lo largo y a lo ancho de la misma. Por simplicidad, considere
una placa cuadrada con una longitud inicial (Lo) que se encuentra a una temperatura inicial
(To). Si se aumenta la temperatura hasta una temperatura final (T), la longitud de cada lado
aumenta hasta una longitud final (L) (fig. 5).
Figura 5. Dilatación superficial de una placa cuadrada.
El área inicial de la placa cuadrada está dada por AO = Lo , a medida que aumenta la
2
temperatura, la longitud de cada lado aumenta hasta llegar a (L) que está determinada por la
ecuación 7.
L = α ⋅ Lo ⋅ (T − To ) + Lo
Conocida la longitud final es posible determinar el área final de la placa, es decir:
A = L2
Sustituyendo L se obtiene
A = [Lo + α ⋅ Lo (T − To )] ⋅ [Lo + α ⋅ Lo (T − To )]
Desarrollando
A = Lo + 2 ⋅ Lo [α ⋅ Lo ⋅ (T − To )] + α 2 ⋅ Lo ⋅ (T − To ) 2
2 2
11
En esta última expresión, el tercer término contiene a (α2) que es de un orden de magnitud
de 10-12, por lo que se “puede considerar despreciable” para el fenómeno en estudio.
Además, Lo2 es igual al área inicial (Ao). Con estas observaciones, la ecuación anterior se
simplifica a:
A = Ao + 2 ⋅ α ⋅ Ao (T − To )
Como (T − To ) = ∆T entonces
A = Ao + 2 ⋅ α ⋅ Ao ⋅ ∆T
En donde
2α = β
Que se conoce como el coeficiente medio de dilatación superficial, por lo cual:
A = Ao + β ⋅ Ao ⋅ ∆T
Rescribiendo
A − Ao = β ⋅ Ao ⋅ ∆T
Como (T − To ) = ∆T entonces
∆A = β ⋅ Ao ⋅ ∆T (9)
Dilatación volumétrica. Un procedimiento similar aplicado a un objeto cúbico de lado

inicial (Lo) a una temperatura inicial (To), muestra que el aumento de volumen cuando
cambia la temperatura hasta una temperatura final (T) es:
∆V = 3α ⋅ Vo ⋅ ∆T
En donde, 3α = γ, que se denomina el coeficiente medio de dilatación volumétrica, por lo

cual:
∆V = γ ⋅ Vo ⋅ ∆T (10)
Como se observa, los coeficientes medios de dilatación superficial y volumétrica de los

sólidos se obtienen a partir de la tabla 1, multiplicando por dos o por tres respectivamente.
En el caso de líquidos y gases, los coeficientes se muestran en la tabla 2.
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Sustancia Coeficiente
Agua 2.10 x 10-2
Alcohol etílico 1.12 x 10-4
Acetona 1.50 x 10-4
Benceno 1.24 x 10-4
Glicerina 4.85 x 10-4
Mercurio 1.82 x 10-4
Petróleo 8.99 x 10-4
Gasolina 9.60x 10-4
Aguarrás 9.00 x 10-4
Aire 3.67 x 10-3
Helio 3.665 x 10-3
Tabla 2. Coeficientes medios de dilatación

volumétrica (oC-1).
Ejemplo:
Una placa rectangular de aluminio mide 15 cm x 30 cm cuando está a 20 oC ¿Cuál es el

área cuando la temperatura es de 120 oC?
Solución:
La tabla 1 muestra los coeficientes medios de dilatación lineal del aluminio. Multiplicando
por dos el valor de α para obtener β y sustituyendo en la ecuación 9 se obtiene:
1
∆A = β ⋅ Ao ⋅ ∆T = 48 × 10− 6 o
(450cm 2 )(120 − 20) oC = 2.16cm2
C
Como ∆A = ( A − Ao ) = 2.16cm 2 entonces el área final es:
A = 450 cm2 + 2.16 cm2 = 452.16 cm2
Ejemplo:
En tapón de bronce tiene un diámetro de 8.001cm cuando está a una temperatura de 28 oC

¿A qué temperatura debe enfriarse para que se ajuste en un orificio de 8cm de diámetro?
Solución:
Calculando el área inicial y final del tapón de bronce y despejando la temperatura final de
la ecuación 9 se obtiene:
13
π π
Ao = Do = (8.001cm) 2 = 50.2780cm 2
2
4 4
π π
A= D2 = (8cm) 2 = 50.2654cm 2
4 4
De ecuación 9:
∆A (50.2654 − 50.2780)cm + 28o C = 21o C

2
T= + To =
βAo 1
36 × 10− 6 o (50.278cm 2 )
C
Ejemplo:
Un vaso de vidrio pyrex de 50 cm3 se llena completamente con mercurio a una temperatura
de 20 oC ¿Cuál es el volumen derramado si el sistema se calienta uniformemente hasta una
temperatura de 80 oC?
Solución:
Para determinar el volumen derramado de mercurio, es necesario determinar la dilatación

de ambos materiales, es decir:
∆V(derramado) = ∆V(mercurio) - ∆V(vidrio) sustituyendo los datos anteriores:
1  1 
∆V(derramado) = 1.82 × 10 − 4 o
(50cm 3 )(80 − 20) 0 C − 3 × 10 −9 o (50cm 3 )(80 − 20) o C  =
C  C 
∆V(derramado) = 0.546 cm3
Ejemplo:
Un cubo de cobre tiene un volumen de 1 m3 cuando la temperatura es de 20 oC ¿Qué

cambio de temperatura es necesario para producir un aumento en el volumen de 100 cm3?
Solución:
Despejando ∆V de ecuación 10 y sustituyendo los datos anteriores se obtiene:
∆V 100cm 3
∆T = = = 2.008 o C
βVo 49.8 × 10 −6 C −1 (1 × 10 6 cm 3 )
14
I.7. Transmisión del calor.
Una característica importante de la energía es que no sólo puede ser transformada, sino que
también puede ser trasladada de un lugar a otro. Esta es una característica particular de la
energía calorífica; por ejemplo el calor fluye del quemador de la estufa hacia el agua que se
está calentando, o bien, el calor fluye de una bebida hacia los cubos de hielo para que baje
su temperatura. La transferencia de energía calorífica es un fenómeno fundamental de la
naturaleza y está involucrada en infinidad de procesos distintos, como el movimiento de las
placas tectónicas de la tierra, el crecimiento de las plantas, el ciclo hidrológico, etc. La
transmisión del calor se da de tres formas diferentes: conducción, convección y radiación.
Conductividad térmica.
Si se toma con la mano una varilla metálica de un extremo y el otro se mantiene en la llama
de un mechero, en donde la temperatura es de unos 1800 oC, notará de inmediato que la
mano se va calentando poco a poco, lo que evidencia que cierta cantidad de energía se está
transmitiendo conforme transcurre el tiempo. Esto es un ejemplo de la transmisión de calor
por conducción, que ocurre siempre que la energía pasa de una región a otra del cuerpo, o
de un cuerpo a otro que está en contacto con el primero, como resultado de una diferencia
de temperatura entre ambos.
El mecanismo de transmisión del calor por conducción consiste en que las moléculas que
entran en contacto con la flama elevan su temperatura; esto permite que se incremente la
energía de las moléculas y sea transferida a sus vecinas por los constantes choques entre
ellas. Este fenómeno continúa mientras exista una diferencia de energía molecular o de
temperaturas entre los extremos de la varilla.
El modelo matemático para la transmisión de calor por conducción se obtiene al estudiar el

flujo de energía térmica en una placa de espesor (L) y área (A). La placa se mantiene con
una diferencia de temperaturas entre sus caras (T2 – T1), en donde T2 >T1 (fig. 6).
Figura 6. Transferencia de calor en una placa rectangular.
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La rapidez de la transferencia de calor, (H = Q/t), es directamente proporcional a la

diferencia de temperatura entre las dos caras de la placa y al área de la misma e
inversamente proporcional al espesor, esto se escribe como:
A ⋅ ∆T
H≈
L
En donde
Q
H= y ∆T = (T2 – T1)
t
Sustituyendo se obtiene
Q A ⋅ (T2 − T1 )
≈
t L
O bien
A ⋅ t ⋅ (T2 − T1 )
Q≈
L
Por lo cual la constante de proporcionalidad (K), denominada conductividad térmica es:
Q⋅L
K=
A ⋅ t ⋅ (T2 − T1 ) (11)
La tabla 3, muestra las conductividades térmicas de algunas sustancias en el sistema Inglés

y mks.
Sustancia BTU in / ft2 h oF kcal / m s oC

Aluminio 1451 5.0 x 10-2
Latón 750 2.6 x 10-2
Cobre 2660 9.2 x 10-2
Plata 2870 9.9 x 10-2
Acero 320 1.1 x 10-2
Asbesto 4 1.4 x 10-4
Ladrillo 5 1.7 x 10-4
Concreto 12 4.1 x 10-4
Vidrio 7.3 2.5 x 10-4
Agua 4.15 1.4 x 10-4
Corcho 0.3 1.0 x 10-5
Aire 0.16 5.3 x 10-6
Tabla 3. Conductividades térmicas.
16
Despejando la cantidad de calor (Q) transferida por conducción de la ecuación 11 se

obtiene:
K ⋅ A ⋅ t ⋅ (T2 − T1 )
Q= (12)
L
Ejemplo:
Una varilla de aluminio con un área de la sección transversal de 2 cm2 y 1.5 m de longitud,
se coloca con un extremo en cubo de hielo y con el otro en agua hirviendo. ¿Qué cantidad
de calor se transfiere hacia el hielo en un lapso de 35 min?
Solución:
Para sustituir datos en la ecuación 12, es necesario expresar el área de la sección transversal
en metros cuadrados y el tiempo en segundos. La temperatura en cada extremo de la varilla
es 0 oC y 100 oC respectivamente.
(2 × 10− 4 m 2 ) ⋅ (2100s ) ⋅ (100 − 0)oC

kcal
5.0 × 10− 2
K ⋅ A ⋅ t ⋅ (T2 − T1 ) ms oC
Q= = = 1.4kcal
L 1.5m
Ejemplo:
Una ventana de vidrio de un edificio de oficinas mide 6 m de ancho por 3 m de alto con un
espesor de 12.7 mm. Si la temperatura del exterior es de 35 oC y del interior de 20 oC.
¿Cuál es la rapidez de la transferencia de calor?
Solución:
Recuerde que la rapidez de transferencia de calor está dada por H = Q/t, por lo cual el
tiempo no es una incógnita. Despejando Q/t de ecuación 12 y sustituyendo los datos
anteriores se obtiene:
kcal
2.5 × 10− 4 (18m2 ) ⋅ (35 − 20)oC
Q K ⋅ A ⋅ (T2 − T1 ) o
ms C kcal
=H = = −3
= 5.31
t L 12.7 × 10 m s
17
Ejemplo:
Una pared de ladrillo con un área de 20 ft2 y 4 in de espesor se mantiene con una
temperatura de 300 oF y 78 oF en cada cara. ¿Cuál es la cantidad de calor que se transmite
por conducción en un tiempo de 12 h?
Solución:
Utilizando la constante de conductividad térmica en unidades del Sistema Inglés y

sustituyendo los datos en la ecuación 12, se obtiene:
BTU ⋅ in
5 (20 ft 2 ) ⋅ (12h) ⋅ (300 − 78) oF
K ⋅ A ⋅ t ⋅ (T2 − T1 ) ft ⋅ h⋅ F
2 o
Q= = = 66,600 BTU
L 4in
Convección.
Para comprender la transmisión de calor por convección, considere que un vaso de vidrio
pirex, que contiene agua a temperatura ambiente, se coloca a fuego directo en una estufa.
Después de unos minutos, el agua que se encuentra en el fondo del recipiente aumenta de
temperatura, ocasionando con esto un cambio en la densidad. La diferencia de densidades
entre las moléculas de agua provoca que el agua caliente se desplace hacia arriba, mientras
que el agua fría se mueve hacia abajo. Cuando el agua caliente se encuentra en la superficie
se enfría y vuelve hacia abajo, mientras que el agua caliente se mueve hacia arriba. Este
ciclo se repite indefinidamente y da lugar al fenómeno conocido como corrientes
convectivas.
El proceso de transferencia de calor por convección también se presenta a nivel global. La

diferencia de temperaturas entre los casquetes polares y el ecuador permite la formación de
las corrientes convectivas tanto en el océano como en la atmósfera, y éstas forman los
mecanismos naturales de refrigeración de la tierra.
En los ejemplos anteriores, el calor es transmitido por el movimiento de los fluidos,

causado sólo por una diferencia de densidades, cuando esto ocurre se dice que la
convección es natural. En el caso de que los fluidos sean obligados a moverse por un
mecanismo mecánico, como un ventilador o una bomba, se dice que la convección es
forzada.
Para modelar matemáticamente este fenómeno deben ser considerados varios aspectos: las
características térmicas del fluido, el tipo de flujo, (laminar o turbulento), el tipo de
superficie en contacto con el fluido, la misma conducción del calor y si el fluido se evapora
o se condensa. Ahora bien, si fuera posible tomar en cuenta todos los aspectos anteriores, la
ecuación que resulta sería demasiado complicada. En su lugar, y para fines prácticos, se
utiliza la ecuación:
18
Q
H= = h ⋅ A ⋅ ∆T (13)
t
En donde (H) es la rapidez de transferencia de calor por convección en la unidad de tiempo,

(A) es el área en contacto con el fluido y (∆T) es la diferencia de temperatura entre el
cuerpo y el fluido que lo rodea.
Despejando Q de la ecuación 13 se obtiene:
Q = h ⋅ A ⋅ t ⋅ ∆T (14)
En donde
∆T = T2 − T1 con T2>T1
Cuando la transferencia de calor por convección es ocasionada por una placa o por un tubo
cilíndrico de diámetro (D) que se encuentran inmerso en un fluido, o en la atmósfera
misma, los coeficientes de convección (h) se determinan de acuerdo a las fórmulas
mostradas en la tabla 4.
Dispositivo kcal
h ( )
m ⋅ so ⋅ C
2
Placa horizontal con la cara hacia arriba 5.95 × 10 −4 4 ∆T

Placa horizontal con la cara hacia abajo 3.14 × 10 −4 4 ∆T
Placa vertical 4.24 × 10 −4 4 ∆T
Tubo horizontal o vertical ∆T
1.0 × 10 −3 4
D
Tabla 4. Coeficientes de convección.
Ejemplo:
Una pared vertical plana de 6 m2 de área se mantiene a una temperatura constante de 120
o
C, la temperatura del ambiente es de 35 oC ¿Qué cantidad de calor se transfiere por
convección natural, por ambos lados, en un lapso de 2 h?
Solución:
Primero se determina el valor de h utilizando las fórmulas mostradas en la tabla 4 y después

se sustituyen los datos en la ecuación 14.
19
kcal
h = 4.24 × 10− 4 ⋅ 4 ∆T = 4.24 × 10− 4 ⋅ 4 (120 − 35) = 1.287 × 10− 3
m 2 s oC
kcal
Q = h ⋅ A ⋅ t ⋅ ∆T = 1.287 × 10−3 ⋅ (6m 2 ) ⋅ (7200s ) ⋅ (120 − 35)oC = 4727.4kcal
m 2 s oC
La cantidad de calor QT transferida por ambos lados es:
QT = 2 (4727.4 kcal) = 9454.8 kcal
Radiación.
Cuando una persona recibe los rayos del sol en forma directa, la energía transportada por
las ondas electromagnéticas se transforma en calor. En efecto, una parte de la energía
incidente es absorbida por el cuerpo y otra es reflejada. En este caso, el calor no es
transferido del sol a la tierra por conducción, mucho menos por el movimiento de un fluido,
es decir, la convección tampoco explica esta transferencia de calor.
En la actualidad, es un hecho conocido que todas las sustancias irradian energía en forma
de ondas electromagnéticas; por ejemplo, un alambre de cobre colocado en la flama de un
mechero eleva continuamente su temperatura hasta que la radiación emitida entra en el
rango de la luz visible y se observa un color rojo. La palabra radiación se refiere a la
emisión continua de energía desde la superficie de todos los cuerpos. Este tipo de energía se
denomina energía radiante y se encuentra en forma de ondas electromagnéticas que se
propagan a velocidad de la luz.
La superficie del sol irradia energía en todas direcciones en forma de ondas

electromagnéticas y, aproximadamente, la energía que llega a la tierra es del orden de 1340
(J/m2 s), parte de esta energía es reflejada y devuelta al espacio exterior. Sin embargo, la
cantidad de energía neta que llega a la superficie terrestre es, por mucho, mayor a toda la
energía generada por la tecnología humana y aun muy poco aprovechada.
La cantidad de energía radiante emitida por una superficie, por unidad de tiempo y por
unidad de área, depende de la naturaleza de la superficie y de la temperatura. A bajas
temperaturas la cantidad de energía irradiada es relativamente pequeña, pero conforme
aumenta la temperatura la energía radiante aumenta y es directamente proporcional a la
cuarta potencia de la temperatura absoluta. En lo que respecta a la longitud de onda de las
ondas electromagnéticas irradiadas, a bajas temperaturas la longitud de onda es “grande” y
a temperaturas altas la longitud de onda es “pequeña”. Por ejemplo, en una lámpara
incandescente, el filamento se encuentra a unos 3000 oC, y la energía radiante emitida está
formada por diferentes longitudes de onda, relativamente cortas, lo que hace que la lámpara
parezca blanca.
20
John Tyndall (1820–1893) realizó determinaciones experimentales de la cantidad de

energía radiada por unidad de tiempo desde la superficie de un cuerpo. Con estos
antecedentes, Josef Stefan (1835 – 1893) dedujo que la cantidad de energía emitida por
unidad de tiempo estaba determinada por:
P = σ ⋅ A ⋅ e ⋅T 4 (15)
En esta ecuación que se conoce como la Ley de Stefan, (P) es la potencia de radiación
expresada en Joules sobre segundo (J/s = W), (A) es el área de la superficie del cuerpo en
metros cuadrados (m2). La constante (σ) tiene un valor de 5.6699 x 10-8 W/m2 oK4, (e) es
una constante denominada poder emisivo de la superficie que varia de cero a uno
dependiendo de la naturaleza del material y (T) es la temperatura expresada en grados
Kelvin.
Si bien es cierto que cualquier cuerpo irradia energía electromagnética de acuerdo con la
Ley de Stefan, también es un hecho que está absorbiendo energía continuamente; de otra
manera, los cuerpos terminarían por irradiar toda la energía disponible hasta alcanzar el
cero absoluto y esto no sucede, debido que todos los cuerpos están intercambiando energía
constantemente. Por lo anterior, si un cuerpo se encuentra a la temperatura (T) y el medio a
una temperatura (To), la energía neta que el cuerpo gana o pierde en cada segundo por
radiación electromagnética es:
Pneta = σ ⋅ A ⋅ e ⋅ (T 4 − To ) (16)
4
Cuando un cuerpo se encuentra a la misma temperatura que su entorno, irradia y absorbe

energía en la misma proporción, por lo cual la temperatura permanece constante. Si el
cuerpo se encuentra a una temperatura más elevada entonces irradia una cantidad mayor de
energía comparada con la que absorbe y disminuye de temperatura hasta alcanzar una
temperatura de equilibrio con su entorno. En el caso de que la temperatura del cuerpo sea
menor que la del medio, entonces absorbe una cantidad mayor de energía que la que irradia;
dando como resultado que su temperatura se incremente hasta igualar a la del medio. En
estas condiciones, si un cuerpo absorbe toda la energía que incide sobre él, se denomina
absorbedor ideal, y en consecuencia también es un radiador ideal. En realidad no existe tal
objeto pero en general son las superficies negras las que mejor absorben la energía radiante.
Un radiador o absorbedor ideal también se conoce como cuerpo negro, y la radiación que
emite se le llama radiación de cuerpo negro.
Ejemplo:
El diámetro de una esfera, considerada como un radiador ideal, es de 20 cm y se mantiene a

una temperatura de 300 oC en una sala en donde la temperatura es de 20 oC. ¿Cuál es la
rapidez neta de radiación de energía?
21
Solución:
Para el caso de un radiador ideal el poder emisivo de la superficie es igual a uno.

Determinando el área de la superficie de la esfera, expresando la temperatura en grados
Kelvin y sustituyendo en la ecuación 16 se obtiene:
A = 4π ⋅ r 2 = 4π ⋅ (0.1m) 2 = 0.1256m 2
Pneta = σ ⋅ A ⋅ e ⋅ (T 4 − To ) = 5.6699 × 10−8

4 W
2
m K 4
[ ]
(0.1256m 2 ) ⋅ (1.0) ⋅ (573o K ) 4 − (293o K ) 4 =
J
Pneta = 715.2 = 715.2W
s
I.8. Calor específico.
Consideremos ahora dos sustancias distintas con idéntica masa y con la misma temperatura
inicial, por ejemplo un kilogramo de agua y uno de cobre a 20 oC. Si a ambas sustancias se
les proporciona la misma cantidad de calor, la temperatura final es diferente en cada una.
Esto se debe a que todas las sustancias tienen un valor característico de calor específico, es
decir, la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de la unidad de masa en un
grado Celsius es diferente para cada material.
Para determinar el calor específico de una sustancia considere en primer lugar la capacidad
calorífica (C) de la misma. Esta relación se obtiene al proporcionar una cantidad de calor
(Q) y midiendo el correspondiente incremento de temperatura (∆T). La capacidad calorífica
de la sustancia está determinada por:
Q
C=
∆T
Ahora, para definir el calor específico de la sustancia (c) divida la capacidad calorífica
entre la unidad de masa, es decir:
Capacidad ⋅ calorífica
Calor ⋅ específico =
masa
Por lo cual
Q
c=
m ⋅ ∆T (17)
22
Las unidades del calor específico se expresan generalmente como (cal/g oC). Despejando la
cantidad de calor se obtiene:
Q = m ⋅ c ⋅ ∆T (18)
Observe que esta ecuación permite determinar la cantidad de calor necesario para producir
un determinado incremento de temperatura. Además, si la temperatura aumenta, tanto (Q)
como (∆T) son positivos; de manera análoga, si la temperatura disminuye ahora (Q) y (∆T)
son negativos. En el primer caso el calor fluye hacia la sustancia, mientras que en el
segundo el calor fluye hacia fuera de la misma.
El calor específico de una sustancia también es afectado por los cambios de temperatura,
por lo cual los valores mostrados en la tabla 5 están determinados en condiciones
ordinarias.
Sustancia cal/g oC J/kg oC

Agua 1.0 4186
Aluminio 0.215 900
Cobre 0.0924 387
Hielo 0.500 2090
Hierro 0.107 448
Mercurio 0.033 138
Oro 0.0308 129
Plata 0.056 234
Plomo 0.0305 128
Vapor de agua 0.480 2010
Vidrio 0.200 837
Tabla 5. Calor específico de algunas sustancias

a presión ordinaria (1.0 atm).
Ejemplo:
Determine la cantidad de calor necesario para elevar la temperatura de un bloque de cobre

de 10 kg de masa desde una temperatura de 20 oC hasta 180 oC.
Solución:
Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación 18 se obtiene:
Q = m ⋅ c ⋅ ∆T = 10000 g ⋅ (0.0924cal / g oC ) ⋅ (180 − 20)0C = 147480cal = 147.48kcal
23
Ejemplo:
Cuando se proporcionan 448 cal a una muestra de 80 g de plata, la temperatura se

incrementa desde 20 oC hasta 120 oC. ¿Cuál es el calor específico de la plata?
Solución:
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación 17 se obtiene:
Q 448cal cal
c= = = 0.056 o
m ⋅ ∆T 80 g ⋅ (120 − 20) C
o
gC
I.9. Principio del equilibrio térmico.
Es evidente, que al colocar dos sustancias a diferente temperatura en un recipiente aislado

térmicamente, se establece un flujo de energía entre ellas durante un lapso determinado de
tiempo, modificándose en cada instante la temperatura de ambas sustancias. Si después de
este tiempo, no ocurre ningún cambio observable en cualquier propiedad física, se dice que
están en equilibrio térmico. Si después se pone un contacto una tercera sustancia con la
segunda y no se observa ningún cambio en las propiedades físicas de ambos, entonces
también se encuentran en equilibrio térmico. En estas condiciones es posible concluir que
las tres sustancias se encuentran en equilibrio térmico.
Este experimento puede repetirse, bajo las mismas condiciones, con sólidos, líquidos o
gases y los resultados son los mismos. En general, los resultados y conclusiones de todos
los experimentos se incluyen en la ley cero de la termodinámica, que establece que dos
sistemas a la misma temperatura que un tercer sistema tienen la misma temperatura
entre sí. Un enunciado opcional de la ley cero establece que si dos sustancias están
equilibrio térmico cada una con una tercera, entonces están en equilibrio térmico entre sí.
Esta ley, evidente por si misma, se reconoció después de haberse enunciado la primera ley
de la termodinámica; por esta razón se le llamó ley cero, para indicar que precede a la
primera.
Con base a lo anterior, ahora es posible determinar calores específicos de sustancias

líquidas o sólidas empleando un procedimiento denominado calorimetría, que considera el
intercambio de energía térmica entre el sistema y el entorno.
El procedimiento es particularmente simple y consiste en utilizar un calorímetro (fig. 7) de

cualquier material, por ejemplo de aluminio. Se deposita dentro de él una cantidad
determinada de agua a temperatura ambiente. Ahora se coloca dentro del sistema una
tercera sustancia sólida a una temperatura mayor que la temperatura ambiente y se permite
que las tres sustancias alcancen el equilibrio térmico.
24
Figura 7. Calorímetro de aluminio.
Es lógico pensar que las sustancias que están a menor temperatura (calorímetro + agua)
absorben una cantidad determinada de calor que es exactamente igual a la cantidad de calor
que libera el sólido que se encuentra inicialmente a mayor temperatura. Cuando las tres
sustancias alcanzan el equilibrio térmico la temperatura final es la misma para todas.
Como las cantidades de calor se cuantifican con la ecuación 18, ahora lo único que falta es
expresar que la cantidad de calor que gana el sistema calorímetro–agua es numéricamente
igual a la cantidad de calor que libera la tercera sustancia (la energía se conserva). Para
fines prácticos, lo anterior se puede expresar en términos de una ecuación de la siguiente
manera:
Si la cantidad de calor ganado (absorbido) se denota por (Qg) y la cantidad de calor perdido
(desprendido) por (Qp) entonces:
Q g = −Q p (19)
Observe que el signo menos del segundo miembro sirve para corregir la cantidad de calor
que libera la tercera sustancia ya que el incremento de temperatura es negativo.
Para aplicar la ecuación 19, considere al calorímetro como la sustancia número (1) y a el
agua contenida dentro de él como la sustancia (2); por lo tanto, la sustancia sólida que
libera calor es la sustancia (3). Es evidente que las temperaturas iniciales del calorímetro y
del agua son las mismas y que la temperatura final (T), al alcanzar el equilibrio térmico, es
igual para las tres sustancias, por lo anterior:
Qg (calorímetro + agua) = - Qp (sólido)
25
Utilizando los subíndices se tiene
(m ⋅ c ⋅ ∆T )1 + (m ⋅ c ⋅ ∆T ) 2 = −(m ⋅ c ⋅ ∆T )3 = −m3 ⋅ c3 ⋅ ∆T3 (20)
En donde la incógnita es c3 despejando se obtiene
m1c1 (T − To1 ) + m2 c 2 (T − To 2 )
c3 = (21)
− m3 (T − To 3 )
Una vez establecida la ecuación anterior, es posible determinar los calores específicos de
algunas sustancias sin mayor contratiempo, o si lo prefiere, puede acudir a los principios
fundamentales de calorimetría y repetir todo el procedimiento para llegar exactamente a lo
mismo.
Ejemplo:
En un experimento de laboratorio se desea determinar el calor específico del hierro. Para tal
fin, se emplea un calorímetro de aluminio de 60 g de masa que contiene 150 ml de agua a
una temperatura de 18 oC. Al mismo tiempo, una muestra de 85 g de hierro se ha estado
calentando en un recipiente con agua hasta alcanzar los 95 oC, inmediatamente después, se
deposita la muestra de hierro en el calorímetro y se cierra herméticamente. Si la
temperatura de equilibrio es de 22 oC ¿Cuál es el calor específico del hierro?
Solución:
Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación 21se obtiene:
m1c1 (T − To1 ) + m2c2 (T − To 2 )

c3 = =
− m3 (T − To 3 )
60 g ⋅ (0.215cal / g oC ) ⋅ (22 − 18)oC + 150 g ⋅ (1.0cal / g oC ) ⋅ (22 − 18) oC cal
c3 = = 0.105 o
− 85 g ⋅ (22 − 95) C
o
gC
Ejemplo:
Un calorímetro de aluminio contiene 225 g de agua a 27 oC. Se introduce una muestra de

plata de 400 g a una temperatura inicial de 87 oC y se agita constantemente. Cuando el
sistema ha alcanzado el equilibrio térmico la temperatura final es de 35 oC. ¿Cuál es la
masa del calorímetro?
26
Solución:
En este caso, la incógnita es la masa del calorímetro (sustancia 1) entonces al despejar m1

de la ecuación 20 y sustituyendo los datos anteriores se obtiene:
(m ⋅ c ⋅ ∆T )1 + (m ⋅ c ⋅ ∆T ) 2 = −(m ⋅ c ⋅ ∆T )3 = −m3c3∆T3 despejando m1
− m3c3 (T − To 3 ) − m2c2 (T − To 2 )
m1 = =
c1 (T − To1 )
− 800 g ⋅ (0.056cal / g oC ) ⋅ (35 − 87)oC − 225 g ⋅ (1.0cal / g oC ) ⋅ (35 − 27)oC
m1 = =
0.215cal / g oC (35 − 27)oC
2329.6cal − 1800cal
m1 = = 307.9 g
1.72cal / g
Si se retoma nueva cuenta la ecuación 20 y se considera que la incógnita es la temperatura

final del sistema (T), la temperatura de equilibrio, entonces se tiene:
(m ⋅ c ⋅ ∆T )1 + (m ⋅ c ⋅ ∆T ) 2 = −(m ⋅ c ⋅ ∆T )3 = − m3c3∆T3
Sustituyendo cada uno de los incrementos de temperatura
m1c1 (T1 − To1 ) + m 2 c 2 (T2 − To 2 ) = − m3 c3 (T3 − To 3 )
Desarrollando los productos:
m1c1T1 − m1c1To1 + m2 c 2T2 − m2 c2To 2 = −m3 c3T3 + m 3 c3To 3
Agrupando los términos que contienen la incógnita en el primer miembro
m1c1T1 + m2 c 2T2 + m3 c3T3 = m1c1To1 + m2 c 2To 2 + m3 c3To3
Como T1 = T2 = T3 = T entonces
T (m1c1 + m2 c 2 + m3 c3 ) = m1c1To1 + m2 c 2To 2 + m3 c3To3
Finalmente la temperatura de equilibrio es
m1c1To1 + m2 c2To 2 + m3 c3To3

T=
m1c1 + m2 c2 + m3 c3 (22)
27
Esta ecuación generaliza la determinación de la temperatura de equilibrio cuando

interactúan tres sustancias dentro de un sistema aislado térmicamente. Si son cuatro las
sustancias involucradas, sólo se adicionan los términos que siguen a la ecuación 22.
Ejemplo:
Un vaso de vidrio de 100 g de masa, contiene 80 g de agua a una temperatura de 20 oC. Si

se depositan 100 g de cobre a una temperatura de 100 oC. Sin considerar pérdidas de calor
con el ambiente ¿Cuál es la temperatura de equilibrio?
Solución:
Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación 22 se obtiene:
100g ⋅ (0.2cal / g oC) ⋅ (20oC) + 80g ⋅ (1.0cal / g oC) ⋅ (20oC) + 100g ⋅ (0.0924cal / g oC) ⋅ (100oC)
T= =
100g ⋅ (0.2cal / g oC) + 80g ⋅ (1.0cal / g oC) + 100g ⋅ (0.0924cal / g oC)
T = 26.77 o C
I.10. Cambios de estado y el calor latente.
De manera ordinaria, cuando se transfiere una cantidad de calor hacia una sustancia ocurre
un incremento en la temperatura, y asociado a éste, la dilatación de la misma. Sin embargo,
también se presentan situaciones en las cuales no ocurre ni el cambio de temperatura ni la
expansión térmica, aunque si un cambio en la energía interna. Esto sucede cuando ocurre
un cambio de estado, ya que precisamente durante el cambio de fase la temperatura se
mantiene con un valor constante.
A medida que una sustancia absorbe calor, la velocidad de las moléculas se incrementa
dando como resultado que la temperatura se eleve. Cuando la energía cinética de las
moléculas llega a ser lo suficientemente grande, estas rebasan las fuerzas elásticas por lo
que adquieren cierta libertad de movimiento, lo que asocia con la fase líquida. Si la
temperatura sigue aumentando llegará un momento en que la energía suministrada cambia
la estructura molecular formándose un gas. Los cambios de fase más comunes son de sólido
a líquido (fusión) de líquido a gas (evaporación). En estos cambios de fase, la sustancia
absorbe una cantidad de calor determinada por unidad de masa y que se cuantifica por la
ecuación:
Q = m⋅L (23)
28
En donde (L) se conoce como el calor latente de la sustancia y depende del cambio de fase
y de las propiedades físicas y químicas de la sustancia misma.
Los cambios de fase en los cuales la sustancia libera una determinada cantidad de calor son
de gas a líquido (condensación) y de líquido a sólido (solidificación). De nueva cuenta, la
cantidad de calor liberada puede ser determinada por la ecuación 23, aunque es necesario
distinguir la dirección del cambio de fase. La figura 8 muestra de manera esquematizada los
cambios de fase de la sustancia:
Figura 8. Cambios de fase.
El calor latente de fusión (Lf) de una sustancia es la cantidad de calor por unidad de masa
que se requiere para ocurra el cambio de fase de sólido a líquido a la temperatura de fusión.
De manera análoga, el calor latente de vaporización (Lv) es la cantidad de calor por unidad
de masa para que ocurra el cambio de fase de líquido a gas a la temperatura de ebullición.
Si se invierte la dirección de los cambios de estado, entonces se tiene que el calor latente
de condensación (Lc) es la cantidad de calor liberado por unidad de masa para que la
sustancia cambie de la fase gaseosa a la fase líquida a la temperatura de condensación. El
calor latente de solidificación (Ls) es la cantidad de calor liberado por unidad de masa
durante el cambio de la fase líquida a la fase sólida a la temperatura de solidificación.
Es evidente que la temperatura de fusión es igual a la temperatura de solidificación y que la

temperatura de ebullición es la misma que la temperatura de condensación. De la misma
manera, si una sustancia se encuentra a la temperatura normal de fusión y cambia de la fase
sólida a la fase líquida. Absorbe una cantidad de calor igual a:
Qg = m ⋅ L f (24)
29
Si la misma sustancia se encuentra a la temperatura de solidificación y cambia de la fase

líquida a la sólida, libera exactamente la misma cantidad de calor que absorbió, es decir:
Q p = m ⋅ Ls (25)
De acuerdo a la ecuación 19
Q g = −Q p
Sustituyendo las ecuaciones 24 y 25 se obtiene que
mL f = −mLs
Dividiendo entre m
L f = − Ls (26)
Aplicando un razonamiento similar para el cambio de fase de líquido a gaseoso y de gas a

líquido, se obtiene que:
Lv = − Lc (27)
El calor latente se expresa en cal/g o J/kg. Así por ejemplo, el calor latente de fusión del
agua es de aproximadamente 79.7 cal/g = 3.33x105 J/kg. En la tabla 6, se muestran los
valores del calor latente de fusión y evaporación de algunas sustancias:
Punto Calor latente de Punto de Calor latente de

Sustancia de fusión ebullición vaporización
fusión
o o
C cal/g J/kg C cal/g J/kg
Nitrógeno -209.9 6.09 2.55x104 -195.8 48 2.01x105
Oxígeno -218.8 3.30 1.38x104 -182.97 50.9 2.13x105
Alcohol etílico -114 24.9 1.04x105 78 204 8.54x105
Agua 0.00 79.7 3.33x105 100 540 2.26x106
Plomo 327.3 5.85 2.45x104 1750 208 8.70x105
Aluminio 660 94.8 3.97x105 2450 2720 1.14x107
Plata 960.8 21.1 8.82x104 2193 558 2.33x106
Oro 1063 15.4 6.44x104 2660 377 1.58x106
Cobre 1083 32 1.34x105 1187 1210 5.06x106
Tabla 6. Calores latentes de fusión y vaporización de algunas sustancias.
30
Por ejemplo, considere que se toma una porción de 100 g de hielo de un refrigerador a una
temperatura de -25 oC. El hielo se tritura rápidamente y se coloca dentro de un calorímetro
eléctrico provisto de un termómetro y de un agitador. Ahora el calorímetro se conecta a la
energía eléctrica y la resistencia proporciona energía térmica de manera constante.
Inmediatamente después, se observa que la temperatura medida en el termómetro aumenta
continuamente, como lo muestra la parte de la gráfica comprendida de (a) hasta (b), hasta
llegar al punto de fusión del agua (0 oC). Cuando el hielo alcanza el punto de fusión, inicia
el cambio de fase. En este intervalo de tiempo, el termómetro no registra cambios de
temperatura (del punto b al punto c de la gráfica).
Cuando toda la masa de hielo ha cambiado de la fase sólida a la fase líquida, el termómetro
vuelve a registrar un aumento constante de la temperatura hasta llegar al punto de
ebullición (100 oC), desde el punto (c) hasta el punto (d) de la gráfica. Después de este
instante, la cantidad de calor que absorbe el agua es aprovechado para cambiar de la fase
líquida a la fase gaseosa; de nueva cuenta, en todo este proceso el termómetro no vuelve a
registrar cambio de temperatura (del punto d al punto e de la gráfica).
Por último, si el vapor de agua es recogido en un recipiente, la temperatura sigue

aumentando hasta el punto (f) de la gráfica mostrada en la figura 9.
Si se desea cuantificar la cantidad de calor que se requiere para transformar los 100 g de
hielo a -25 oC hasta que se tenga vapor de agua a 125 oC, se determinan las cantidades de
calor en cada uno de los segmentos de la gráfica mostrada. Recuerde que si no existe
cambio de fase la cantidad de calor necesario para sólo elevar la temperatura está dada por
la ecuación 18, mientras que si ocurre un cambio de fase se utiliza la ecuación 23, en donde
el valor del calor latente (L) depende del cambio de estado actual, mostrado en la tabla 6.
Figura 9. La temperatura permanece constante durante cada cambio de estado.
31
La cantidad de calor (Q1) para elevar la temperatura de 100g de hielo de -25 oC hasta 0 oC
es:
Q1 = m ⋅ c ⋅ ∆T = 100 g ⋅ (0.5cal / g oC ) ⋅[(0 − (−25)]oC = 1250cal

La cantidad de calor (Q2) necesario para el cambio de la fase sólida a la fase líquida es:
Q2 = m ⋅ L f = 100 g ⋅ (79.7cal / g ) = 7970cal
La cantidad de calor (Q3) para elevar la temperatura de 100 g de agua desde 0 oC hasta 100
o
C es:
Q3 = m ⋅ c ⋅ ∆T = 100 g ⋅ (1.0cal / g oC ) ⋅ (100 − 0)oC = 10000cal
La cantidad de calor (Q4) necesario para el cambio de la fase líquida a la fase gaseosa es:
Q4 =m ⋅ Lv = 100 g ⋅ (540cal / g ) = 54000cal
La cantidad de calor (Q5) para elevar la temperatura de 100 g de vapor de agua de 100 oC
hasta 125 oC es:
Q5 = m ⋅ c ⋅ ∆T = 100 g ⋅ (0.48cal / g oC ) ⋅ (125 − 100) oC = 1200cal
La cantidad de calor total es:
QT = (1250 + 7970 + 10000 + 54000 + 1200) cal = 74 720 cal = 74.720 kcal
Ejemplo:
En un experimento para determinar el calor latente de vaporización del agua, un estudiante

utiliza un calorímetro de aluminio y mide, en primer lugar, la masa del vaso con el agitador,
que es de 50 g. Después añade 70 ml de agua a una temperatura de 18 oC e inmediatamente
adiciona 4 g de vapor de agua a 100 oC y permite que el sistema alcance el equilibrio
térmico. Si la temperatura de equilibrio es de 47.4 oC ¿Cuál es el valor del calor latente de
vaporización del agua que obtiene el estudiante?
Solución:
En este caso, es necesario plantear la ecuación 19 (la cantidad de calor ganado es igual a la
cantidad de calor perdido) para las tres sustancias. Además, el vapor de agua se condensa
en agua la líquida, y después disminuye su temperatura, desde 100 oC hasta la temperatura
de equilibrio, por lo anterior:
32
Si la sustancia 1 es el calorímetro de aluminio, la sustancia 2 el agua y la sustancia 3 3l

vapor de agua, se obtiene que:
(mc∆T )1 + (mc∆T ) 2 = −[m3 (− Lc ) 3 + (mc∆T ) 3 ]
(mc∆T )1 + (mc∆T ) 2 = m3 Lc 3 − m3 c3 ∆T3
Despejando a Lc3
(mc∆T )1 + (mc∆T ) 2 + (mc∆T ) 3

Lc3 =
m3
Sustituyendo datos se obtiene que el calor latente de condensación del agua es:
cal
Lc 3 = 540.1
g
En la sustitución de datos se debe de observar que las sustancia 3 corresponde al vapor de

agua y que el término (mc∆T)3 corresponde al agua líquida condensada a una temperatura
inicial de 100 oC. Además, el calor latente de condensación (Lc) corresponde al calor
latente de vaporización (Lv), por lo cual:
cal
Lv = 540.1
g
Ejemplo:
Para determinar el calor latente de fusión del agua, se colocan 200 g de hielo a una
temperatura de 0 oC en un calorímetro de cobre de 220 g de masa y con un calor específico
de 0.1 cal/goC. Si el calorímetro contiene 398 ml de agua a una temperatura de 45 oC y la
temperatura de equilibrio después de que se ha fundido el hielo es de 5 oC ¿Cuál es el calor
latente de fusión del agua?
Solución:
La solución de este ejercicio es análoga al anterior. Es necesario plantear la ecuación19 (la

cantidad de calor ganado es igual a la cantidad de calor perdido). Si se considera que la
masa de hielo se funde y después el agua resultante incrementa su temperatura desde 0 oC
hasta la temperatura de equilibrio de 5 oC se obtiene:
(mL ) + (mc∆T )
f 3 3 = −[(mc∆T )1 + (mc∆T ) 2 ]
33
Despejando al Lf se obtiene
− [(mc∆T )1 + (mc∆T ) 2 ] − (mc∆T ) 3

Lf = =
m3
Sustituyendo datos mostrados se tiene que el calor latente de fusión del agua es:
cal
L f = 79.0
g
34
I.11. Ejercicios propuestos.
1. Explique la teoría cinética molecular de la materia.
2. En un globo ¿el aire ejerce presión en todas direcciones? Explique su respuesta.
3. Distinga claramente la temperatura de la energía térmica.
4. ¿Qué factores se deben de considerar para el diseño de un termómetro sensible?
5. ¿Qué tan bueno es nuestro sentido del tacto como instrumento para tomar la
temperatura?
6. Si cuenta con un termómetro en la escala Celsius sin ninguna marca ¿Cómo procedería
a marcarlo?
7. Si toca una tabla de madera y una placa de hierro a temperatura ambiente ¿Por qué el
hierro parece más frío?
8. ¿A qué temperatura coinciden la escala Celsius y la escala Fahrenheit?
9. Describa un experimento que muestre la dilatación de los líquidos y la dilatación de los

sólidos.
10. Describa un experimento que muestre la transferencia de calor por conducción,

convección y radiación.
11. Explique el funcionamiento de una olla de vapor.
12. Explique la dilatación anómala del agua en las proximidades de los 4 oC.
13. ¿En qué consiste el efecto invernadero?
14. Explique cómo determinaría el coeficiente de dilatación lineal del mercurio utilizando
un termómetro de mercurio.
15. ¿Por qué el punto de ebullición del agua en la ciudad de Querétaro es de 94 oC

aproximadamente?
16. En invierno es más probable que un cable utilizado para la conducción de la energía
eléctrica se rompa ¿Por qué ocurre esto?
17. En una clase de astronomía el profesor cita que la temperatura de una estrella es del
orden de 107 grados ¿Está hablando de grados Celsius o grados Kelvin?
35
18. Exprese las siguientes temperaturas en kelvins y fahrenheit: a) 0 oC, b) 100 oC, c) 20 oC,
d) –35 oC.
19. Exprese las siguientes temperaturas en celcius y fahrenheit: a) 0 oK, b) 250 oK, c) 88
o
K, d) 273 oK.
20. Exprese las siguientes temperaturas en kelvin y celcius: a) 212 oF, b) –356 oF, c) 180 oF,
d) 4200 oF.
21. Para ahorrar energía, los termostatos de un edificio están ajustados a 78 oF en el verano
y a 65 oF en el invierno. ¿Cuáles serían los correspondientes ajustes en celcius?
22. Las temperaturas ambiente más altas y más bajas registrada en los Estados Unidos son
de 134 oF y –80 oF. ¿Cuáles son las temperaturas correspondientes en celcius?
23. Una persona con fiebre tiene una temperatura corporal de 38.8 oC. ¿Cuál es la
temperatura de la persona en fahrenheit?
24. La temperatura de la superficie del sol es de alrededor de 6800 oK. ¿Cuál es la

temperatura en las escalas fahrenheit y celcius?
25. Se estima que en el núcleo del sol la temperatura del sol es de alrededor de 15 millones
de kelvin. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en celcius y fahrenheit?
26. El punto de ebullición del hidrógeno es de –252.78 oC. ¿Cuál es la temperatura

correspondiente en kelvin y fahrenheit?
27. El punto de solidificación del mercurio es de –38.87 oC. ¿Cuál es la temperatura

correspondiente en kelvin y fahrenheit?
28. El punto de fusión del oro es de 1063 oC. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en
kelvin y fahrenheit?
29. El punto de fusión de oxígeno es de 363 oF. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en

celcius y kelvin?
30. El punto de fusión de la plata es de 1762 oF. ¿Cuál es la temperatura correspondiente en

celcius y kelvin?
31. Exprese las siguientes temperaturas en kelvins y fahrenheit: a) 80 oC, b) 150 oC, c) 200
o
C, d) –350 oC.
32. Una aleación de cobre se retira de un horno a 230 oC y se enfría hasta una temperatura
de 20 oC. ¿Exprese el cambio de temperatura en las escalas oF, oK y oR.
33. Un alambre de plata tiene una longitud de 6 m cuando la temperatura es de 20 oC.

¿Cuánto aumenta la longitud si se coloca en agua hirviendo?
36
34. Los rieles de acero de 40 m de longitud se colocan con sus extremos en contacto cuando
la temperatura es de 45 oC ¿Qué espacio habrá entre ellos cuando la temperatura
disminuya hasta 5 oC?
35. Un hilo de acero de 4 m de longitud a 20 oC, se deforma 18.7 mm cuando se calienta

hasta 520 oC. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal del acero?
36. Un disco de aluminio tiene un orificio de 80 mm de diámetro en su centro cuando la

temperatura es de 21 oC. Si el disco se coloca en agua hirviendo ¿Cuál es la nueva área
del orificio?
37. Para asegurar el ajuste perfecto, los remaches de aluminio utilizados en la construcción
de aeroplanos, se hacen ligeramente más gruesos que los orificios y se enfrían con hielo
seco antes de ser introducidos en ellos. Si el diámetro del orificio es de 20 mm. ¿Cuál
debe ser el diámetro del remache a 20 oC, si su diámetro es igual al del orificio cuando
el remache se enfría a -78 oC, temperatura del hielo seco?
38. Un tapón de hierro tiene un diámetro de 3 cm y es 0.012 mm más grande que el agujero
de una placa de cobre cuando ambos materiales se encuentran a 28 oC. ¿A qué
temperatura deberán de estar ambos materiales para que el tapón ajuste libremente en el
agujero?
39. Un matraz de vidrio resistente al calor se calibra para un aforo exacto de 100 cm3 a 20
o
C. ¿Cuál es el aforo del matraz a una temperatura de 50 oC?
40. Un automovilista llena el tanque de gasolina cuando la temperatura de la mañana es de

20 oC. Después estaciona el vehículo y regresa al medio día cuando la temperatura se
había incrementado hasta 35 oC. Si la capacidad del tanque es de 60 lt. ¿Cuál es la
cantidad de gasolina que se derramó? Considere que el tanque de es de aluminio.
41. Un recipiente de vidrio pirex de 100 cm3 se llena completamente con benceno a una
temperatura de 30 oC. Si el sistema se enfría hasta 5 oC. ¿Cuánto benceno se debe de
añadir para volver aforar a 100 cm3?
42. Una placa de acero de 20 mm de espesor tiene una sección transversal de 400 cm2. Si
un lado se encuentra a una temperatura de 170 oC y el otro a 120 oC. ¿Cuál es la rapidez
en la transferencia de calor?
43. Un vidrio de una ventana de 1/8 in de espesor, 3 ft de longitud y 2 ft de altura, se

mantiene a una temperatura de 50 oF en un lado y 40 oF en el otro. ¿Cuál es la cantidad
de calor transferida en un día completo?
44. Una pared de concreto tiene 10 m de altura, 30 m de longitud y 30 cm de espesor. La

temperatura de uno de sus lados es de 20 oC y del otro es de 50 oC. Determine los
minutos necesarios para que se transfieran 100 000 kcal de un lado a otro.
37
45. El vidrio de una ventana de un edificio de oficinas mide 2 m x 6 m y se mantiene a una

temperatura de 40 oC. El aire que lo rodea se mantiene a una temperatura de 15 oC.
¿Cuál es la cantidad de calor que se transfiere por convección por ambos lados en un
lapso de 2 h?
46. Con el objeto de determinar el calor específico del latón, un estudiante calienta una
muestra de 80 g a una temperatura de 98 oC, y lo coloca dentro de un calorímetro de
aluminio de 24 g de masa que contiene 120 ml de agua a una temperatura de 18 oC.
Cuando el sistema alcanza el equilibrio térmico la temperatura es de 23 oC ¿Cuál es el
valor obtenido por el estudiante?
47. Si 200 g de cobre a una temperatura de 200 oC se colocan dentro de un calorímetro de

aluminio de 100 g de masa que contiene 80 ml de agua a una temperatura de 25 oC.
Cuando el sistema alcanza el equilibrio térmico ¿Cuál es la temperatura del sistema?
48. Un cilindro de plomo de 450 g se calienta hasta 100 oC y se deja caer en un calorímetro
de cobre de 50 g de masa que contiene 100 ml de agua a una temperatura de 10 oC. Si la
temperatura de equilibrio es de 21.1 oC ¿Cuál es el calor específico del plomo?
49. En un tratamiento térmico, una pieza de cobre se enfría rápidamente en agua templada.
Si la pieza pierde 80 000 cal y disminuye su temperatura desde 450 oC hasta 50 oC
¿Cuál es la masa del cobre?
50. ¿Cuál es la cantidad de calor que absorbe un refrigerador al bajar la temperatura de 1 lt

de agua desde 35 oC hasta 0 oC?
51. Una bala de plomo de 5 g de masa tiene una energía de 12.6 J. Al alcanzar el blanco
queda en reposo; si ninguna porción de energía se pierde con el entorno ¿Cuál es el
incremento de temperatura de la bala?
52. Un vaso de capacidad calorífica despreciable contiene 500 ml de agua a una

temperatura de 80 oC. Determine la masa de los cubos de hielo a -20 oC que se dejarán
caer dentro del agua para que la temperatura final del sistema sea de 50 oC.
53. Un cubo de hielo con una masa de 50 g se saca de un refrigerador a una temperatura de
-10 oC y se deja caer en un vaso con agua a 0 oC. Si no existe intercambio de energía
con el entorno. ¿Cuál es la cantidad de agua que se solidificará en el cubo de hielo?
54. Un bloque de hierro de 2 kg de masa, se saca de un horno donde la temperatura es de

650 oC y se coloca sobre un bloque grande de hielo a 0 oC. Si toda la energía térmica
que libera el hierro es absorbida por el hielo ¿Cuál es la masa de hielo que se funde?
55. Un calentador de agua puede generar 7500 kcal/h. ¿Cuánta agua puede calentar por
hora, de 10 oC a 50 oC?
56. Un sistema de enfriamiento de automóvil tiene 14 litros de agua. ¿Cuánto calor absorbe
si la temperatura del agua aumenta de 20 oC a 80 oC?
38
57. ¿Cuál es el calor específico de un metal si se necesitan 135 kJ de calor para elevar la
temperatura de 4.5 kg del metal, de 20 oC a 80 oC?
58. Un termómetro de vidrio de 25 g indica 18 oC antes de colocarlo en 110 ml de agua.

Cuando agua y termómetro llegan al equilibrio, éste indica 41.6 oC. ¿Cuál era la
temperatura original del agua?
59. La cabeza, de 600 g, de un martillo tiene una velocidad de 6.0 m/s cuando choca contra
un clavo y se detiene. Determine el aumento de temperatura del clavo de 12 g generada
por diez golpes sucesivos del martillo. Suponga que el clavo absorbe toda la energía.
60. Cuando un trozo de hierro de 290 g a 180 oC se coloca en un calorímetro de aluminio de

100 g con 250 g de glicerina a 10 oC, la temperatura final es 38 oC. ¿Cuál es el calor
específico de la glicerina?
61. ¿Cuál será la temperatura de equilibrio cuando se coloque un bloque de 300 g de cobre
a 240 oC en un calorímetro de aluminio de 180 g con 800 g de agua a 17 oC?
62. Cuando se calientan 220 g de una sustancia a 330 oC y se sumergen en un calorímetro

de aluminio de 100 g con 150 g de agua a 12.5 oC, la temperatura final, que indica un
termómetro de vidrio de 17 g, es de 33.8 oC. ¿Cuál es el calor específico de la
sustancia?
63. Una regla de latón tiene exactamente 2 m de longitud a 20 oC. ¿Cuál es su longitud a
150 oC?
64. Se barrena un agujero en una placa de cobre con una broca de acero cuyo diámetro a 20
o
C es de 4.58 cm. Durante el proceso de barrenado, la temperatura, tanto de la broca
como del cobre contiguo de la placa, sube a 185 oC. ¿Cuál será el diámetro del agujero
de la placa cuando ésta se haya enfriado a 20 oC?
65. Un recipiente se llena completamente con 2 l de agua a 20 oC. Cuando la temperatura

del agua y del recipiente se elevan a 80 oC, se derraman 6 ml de agua por el borde del
recipiente. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal del material del recipiente?
66. Una lata de aluminio se llena hasta el borde con agua a 20 oC. Si se calienta, lata y agua,
hasta 80 oC, ¿qué fracción del agua se derrama?
67. El coeficiente de dilatación lineal de una varilla se determina midiendo su longitud a

dos temperaturas distintas con una regla de acero. A 10 oC, la regla indica 140 cm; a 45
o
C, la lectura es de 140.5 cm. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal encontrado?
68. ¿Cuánto hielo a 0 oC debe de agregarse a 800 ml de agua a 25 oC para que se logre el
equilibrio térmico a 3 oC?
39
69. Una varilla de hierro de 2 cm de diámetro y 120 cm de longitud, se mantiene con un

extremo a 120 oC y el otro a 10 oC. Determine la cantidad de calor que se transmite por
conducción en un lapso de: a) 30 min, b) 1 h, c) 2 h.
70. Una pared de concreto, tiene una longitud de 30 ft, una altura de 10 ft y un espesor de 2
ft. Si la temperatura del exterior es de 15 oF y la del interior de 68 oF, Determine la
cantidad de calor que se transmite por conducción en un lapso de tiempo de: a) 6 h, b)
12 h, c) 24 h.
71. Un recipiente bien aislado contiene 800 g de agua a 20 oC. ¿Cuánto hielo debe
introducirse en el recipiente para lograr que el agua alcance 8 oC después de haber
alcanzado el equilibrio térmico? Considere que la temperatura del hielo es de 0 oC y no
considere la capacidad calorífica del recipiente.
72. Un bloque de 3 kg de cobre cuya temperatura es de 460 oC se deja caer en un recipiente

aislante que contiene una mezcla de hielo y agua a 0 oC. Cuando se alcanza el equilibrio
térmico, el bloque de cobre está a 0 oC. ¿Cuánto hielo se fundió en el proceso?
73. Cuando un extremo de una varilla de cobre de 30 cm de longitud y 0.8 cm de radio se

mantiene en agua hirviendo a 100 oC y el otro extremo se mantiene en hielo, se
encuentra que se funden 4.8 g de hielo por minuto. ¿Cuál es la conductividad térmica de
la varilla?
74. Un alambre de latón de 1 mm de diámetro y 1 m de longitud es utilizado para suspender

un objeto dentro de un horno a 300 oC. El extremo superior del alambre está atado a un
listón de hierro de gran masa mantenido a 20 oC. ¿Qué cantidad de calor es conducida
por el alambre en 1 min?
75. Una plancha de vidrio, que tiene un área de 1 m2 y un espesor de 0.5 cm, separa dos
baños de agua, uno a 0 oC y el otro a 30 oC. ¿Qué cantidad de calor se pierde por minuto
a través de la plancha?
40
UNIDAD II
“El que hace una pregunta es un tonto por el momento…

El que no la hace es un tonto para siempre”
Antiguo proverbio chino
Los colores que emite un disco compacto se deben a la interferencia de las ondas de luz que se reflejan
en los surcos de la superficie que hacen las veces de rejillas de difracción.
ONDAS
41
II.1. Introducción.
La mayoría de los objetos vibran u oscilan, ejemplos evidentes son, un resorte, un diapasón,
el volante de un reloj, un péndulo, las cuerdas de una guitarra o de un violín, etcétera. Las
arañas localizan su presa por la vibración de sus telas; los automóviles oscilan hacia arriba
y hacia abajo cuando las llantas pasan por un bache, los edificios y los puentes vibran
cuando pasa un camión pesado o cuando el viento es muy intenso. En realidad, como la
mayor parte de los sólidos son elásticos, vibran al menos brevemente cuando se les aplica
un impulso. A nivel atómico, los átomos vibran dentro de las moléculas con respecto a sus
posiciones relativamente fijas.
Las vibraciones y el movimiento ondulatorio son temas íntimamente relacionados. Las

ondas, sean del mar, de una cuerda, de un terremoto o del sonido en el aire, tienen como
origen una vibración. En el caso del sonido, la fuente no solo es un objeto que vibra, sino
también vibra el detector: el tímpano o la membrana de un micrófono.
Si usted se situa a la orilla de la playa, de un lago o de una presa, observa que las ondas del
agua se rompen una tras otra. La primera suposición que se le ocurre es pensar que las
ondas llevan agua hacia la orilla. En realidad, este no es el caso, las ondas en el agua se
mueven con determinada velocidad; pero cada partícula de agua solo oscila hacia arriba y
hacia abajo con respecto a un punto de equilibrio. Si le pidieran demostrar esta afirmación,
bastaría con colocar un pedazo de corcho en la superficie del agua, para observar que
conforme pasan las ondas, el corcho solo se mueve hacia arriba y hacia abajo. Es una
característica general que las ondas se desplazan grandes distancias, mientras que el medio
material, en este caso el agua, sólo presenta un movimiento limitado. Así, aunque una onda
no es materia, sí viaja a través de ella; por lo anterior, una onda consiste en oscilaciones
periódicas que se desplazan sin transportar materia.
Las ondas transportan energía de un lugar a otro. Por ejemplo, lo que se mueve hacia la
orilla de la playa no es agua sino energía, las ondas en el agua se producen por la energía
del viento. Todas las ondas mecánicas se comportan de la misma manera: transfieren
energía de un lugar a otro mediante una serie de movimientos periódicos de partículas
individuales, pero no producen un movimiento permanente en la materia.
No todas las ondas necesitan de un medio para propagarse, las ondas electromagnéticas
son la excepción. Sin embargo, su comportamiento es idéntico al de las ondas mecánicas;
los fenómenos de reflexión, refracción, interferencia, difracción funcionan de la misma
manera. Ambos tipos de onda transportan energía y el efecto Doppler se aplica por igual.
El movimiento ondulatorio es fundamental para entender y comprender una gran variedad

de fenómenos físicos relacionados con el sonido, la luz, el calor entre otros. Por lo cual,
esta unidad iniciará con el estudio de las propiedades y características de las ondas
mecánicas y del sonido.
42
II.2. Ondas mecánicas y su clasificación.
Imagine un medio compuesto de un gran número de partículas, cada una de ellas unida o
acoplada a su vecina por una sustancia elástica. Si uno de sus extremos se perturba o se
desplaza de algún modo, el desplazamiento no tendrá lugar inmediatamente en todas las
partículas restantes del medio, sino que el desplazamiento se irá transmitiendo de partícula
a partícula y así sucesivamente. En otras palabras, el desplazamiento se propagará a lo largo
del medio con una velocidad determinada.
El movimiento ondulatorio consiste en una perturbación en un medio capaz de propagar

energía, en lugar del medio en sí mismo. Si la perturbación depende de una fuente
mecánica y de un medio material, entonces la onda se llama mecánica, es decir:
Una onda mecánica en una perturbación física en un medio elástico
Las ondas mecánicas se clasifican de acuerdo al tipo de movimiento de las partículas

materiales que componen al medio y con referencia a la dirección de propagación de la
onda. De esta manera se tiene la siguiente clasificación:
Las ondas transversales son aquellas cuya vibración de las partículas individuales del
medio es perpendicular a la dirección de propagación de la onda y las ondas
longitudinales se presentan cuando la vibración de las partículas individuales del medio es
paralela a la dirección de propagación de la onda. La figura 10 muestra esquemáticamente
ambos tipos de ondas, así como una combinación de ellas.
Figura 10. Ondas transversales y longitudinales.
43
Las ondas longitudinales se forman con facilidad en un resorte estirado si se comprime y se

estira periódicamente de uno de sus extremos. Las zonas donde las espiras se encuentran
instantáneamente más juntas se llaman compresiones y donde se encuentran más separadas
se denominan expansiones o rarefacciones. Un ejemplo importante de las ondas
longitudinales son las ondas sonoras que se propagan en la atmósfera. La fuente en
vibración comprime y rarifica el aire que la rodea produciendo una onda longitudinal que
se desplaza en todas direcciones. Una onda transversal se puede formar utilizando una
cuerda y aplicando una fuerza para formar una onda que hace vibrar a la cuerda de arriba
hacia abajo y viceversa, mientras se desplaza en dirección transversal o perpendicular.
II.3. Movimiento ondulatorio.
Como ya se ha mencionado, dos ejemplos típicos del movimiento de las ondas ocurre
cuando una piedra se deja caer en el agua, las ondas circulares que se forman se mueven
hacia fuera en círculos concéntricos; las ondas se mueven con cierta velocidad, pero cada
partícula de agua sólo oscila con respecto a su posición de equilibrio. De la misma forma,
una onda en una cuerda se desplaza hacia la derecha, mientras las partículas de la cuerda
vibran de arriba hacia abajo. Ésta es una característica general de las ondas, se mueven
grandes distancias sobre el medio mismo sin arrastrar la materia pero si transportando
energía.
En primer lugar, considere la onda que se forma en una cuerda tensada por una fuerza F
(Fig. 11). Es posible formar un pulso si la cuerda se agita rápidamente hacia arriba y hacia
abajo.
Figura 11. Pulso transversal formado en una cuerda.
Si la cuerda tiene una masa (m) y una longitud (l) entonces la velocidad (v) del pulso
transversal en la cuerda se determina estableciendo que el impulso transversal es igual a la
variación de la cantidad de movimiento en la misma dirección. Al plantear el hecho anterior
y solucionar para la velocidad (v) del pulso se obtiene que:
44
F m
v= Si la densidad lineal de la cuerda es µ = entonces
m/l l
F
v= (28)
µ
La ecuación (28) muestra que la velocidad de propagación del pulso transversal depende
sólo de la fuerza de tensión (F) y de la densidad lineal (µ) de la cuerda.
Ejemplo:
Una cuerda de 1.2 kg se estira una distancia de 5.2 m y se sujeta a una fuerza de tensión de
120 N. ¿Cuál es la velocidad de un pulso de la onda transversal en la cuerda?
Solución:
Sustituyendo los datos mostrados en la ecuación 28 se obtiene:
120 N m
v= = 22.8
 1.2kg  s
 
 5.2m 
Ejemplo:
Una cuerda de 30 m de longitud se sujeta a una tensión de 200 N y sustenta una onda que
viaja a una velocidad de 72 m/s. ¿Cuál es la masa de la cuerda?
Solución:
Despejando la masa (m) de la ecuación 28 y sustituyendo los datos anteriores se obtiene

que:
Fl 200 N (30m)
m= = = 1.16kg
v2 (72m / s ) 2
45
Una onda continua o periódica, como la que se muestra en la figura 12, tiene una fuente
de perturbación continua y oscilatoria que permite la formación constante de los pulsos, es
decir, la fuente de cualquier onda es una vibración; si ésta vibra en forma de una senoide
con un movimiento armónico simple, y además, el medio es perfectamente elástico,
entonces la forma de la onda es una senoide.
Figura 12. Características de una onda continúa.
Las características más importantes que se utilizan para describir una onda periódica y
senoidal son: los puntos más altos de la onda que se denominan crestas y los más bajos,
que se llaman valles. La altura medida desde el eje de equilibrio hasta un valle o una cresta
es la amplitud y la longitud medida entre cresta y cresta o valle y valle se denomina
longitud de onda (λ). La frecuencia de una onda (f) es el número de oscilaciones
completas o ciclos que ocurren en la unidad de tiempo y el periodo (T) es el tiempo
necesario para un ciclo u oscilación completa.
La velocidad de una onda (v), es la velocidad a la cual se desplazan las crestas o cualquier
otra parte de la onda. Como una cresta se mueve una distancia igual a la longitud de onda
en un tiempo igual al periodo entonces está dada por:
longitud ⋅ de ⋅ onda
velocidad =
periodo
Por lo cual
λ
v=
T
46
1
Sustituyendo T= entonces la velocidad es
f
v =λ⋅ f (29)
En donde, si las unidades del periodo son los segundos (s), de la frecuencia los Hertz (Hz)
y de la longitud de onda son los metros (m) entonces las unidades de la velocidad son los
metros sobre segundo (m/s).
Ejemplo:
Una onda longitudinal tiene una frecuencia de 200 Hz y una longitud de onda de 4.2 m.
¿Cuál es la velocidad de la onda?
Solución:
Sustituyendo en ecuación 29
v = λf = 200 Hz (4.2 m) = (200 1/s) (4.2 m) = 840 m/s
Ejemplo:
Una lancha que se encuentra a la orilla de un lago hace 6 oscilaciones en 12 s. Si

transcurren 4 s para que una onda en el agua viaje 12 m. ¿Cuál es la longitud de onda de las
ondas en el agua?
Solución:
Primero se determina la frecuencia de oscilación de la lancha, que es igual al número de

oscilaciones en la unidad de tiempo:
6
f = = 0.5 Hz
12s
Y después la velocidad de las ondas en el agua:
d 12m m
v= = =3
t 4s s
Despejando la longitud de onda de la ecuación 29 se obtiene:
v 3m / s
λ= = = 6m
f 0.5Hz
47
II.4. Superposición de ondas.
Es lógico pensar que en una misma región del espacio viajan en forma simultánea un
sinnúmero de ondas provenientes de diferentes fuentes. Por ejemplo, en un concierto de la
Orquesta Filarmónica, el sonido que llega a los oídos es demasiado complejo, pero es
posible escuchar el sonido que emite cada uno de los instrumentos por separado.
Lo mismo sucede en las antenas de un aparato de radio o de televisión, hasta ella llegan
diferentes ondas (señales) provenientes de diferentes centros de emisión. Sin embargo,
podemos sintonizar una solo frecuencia o estación y es la misma que recibiríamos si todas
las estaciones dejaran de transmitir.
Los ejemplos anteriores ilustran el principio de superposición, que postula que cuando
varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de cualquier partícula en un
tiempo dado es igual a la suma vectorial de los desplazamientos que produce cada onda
por separado.
Para ondas mecánicas en medios elásticos, el principio de superposición es válido cuando la

fuerza de restitución varía linealmente con el desplazamiento. Por ejemplo, la figura 13
muestra dos pulsaciones que viajan en dirección contraria en la misma cuerda tensada.
Cuando las pulsaciones se superponen, el desplazamiento de la cuerda es la suma
algebraica de los desplazamientos individuales de la cuerda provocados por cada uno de los
pulsos por separado. Las pulsaciones se mueven simplemente entrecruzándose viajando
cada una de ellas a lo largo de la cuerda como si la otra no existiera.
Figura 13. Dos pulsaciones viajan con dirección contraria y el principio de superposición se aplica
cuando los pulsos se entrecruzan en una región determinada.
48
II.5. Interferencia de ondas.
El principio de superposición permite explicar otro comportamiento de las ondas, que es el

de interferencia. Por ejemplo, si se dejan caer al mismo tiempo dos cuerpos en la
superficie del agua, se forman dos ondas que al superponerse forman un patrón de
interferencia (fig.14).
Figura 14. Patrón de interferencia producido por dos ondas.
La figura 15 muestra que la combinación de las ondas tiene como efecto que en regiones
determinadas aumenten, disminuyan o se neutralicen. Cuando coincide cresta con cresta y
valle con valle los efectos de ambas ondas se suman, dando como resultando una onda con
una amplitud mayor a la de las ondas por separado (Interferencia constructiva). Por el
contrario, si coincide cresta con valle las ondas se neutralizan y el resultado es que la
amplitud resultante sea menor a la de las ondas originales (Interferencia destructiva).
Figura 15. Interferencia constructiva y destructiva de dos ondas.
Un ejemplo de interferencia constructiva y destructiva se presenta cuando se golpean dos

diapasones de igual frecuencia, la intensidad del sonido que resulta varía desde el silencio
virtual hasta intensidades mayores. La interferencia es un fenómeno característico de todo
movimiento ondulatorio.
49
II.6. Reflexión de ondas.
Una propiedad bastante conocida de las ondas es la capacidad que tiene para ser reflejada
cuando se encuentra con un obstáculo. Cuando se envía un solo pulso a través de una
cuerda tensada, entonces la energía de la onda debe ser absorbida por el soporte o bien
reflejada hacia atrás. En la práctica, una cantidad de energía es absorbida al llegar al
obstáculo; pero la cantidad restante es reflejada en dirección contraria al movimiento de la
onda (fig.16).
Figura 16. La pulsación en una cuerda se invierte cuando se refleja en un extremo fijo.
Cuando la onda alcanza el obstáculo no lo puede tirar, y como no “cede”, el mismo ejerce
un impulso sobre la cuerda y la acelera con una intensidad tal que la cantidad de
movimiento de la cuerda la lleva por debajo de la línea cero. El resultado es que el pulso se
invierte cuando la onda choca con el obstáculo, tal como se muestra en la figura anterior.
Si se envía una serie de ondas a través de una cuerda extendida, las ondas reflejadas se
encontrarán de frente con las ondas que se están desplazándose hacia adelante. Cada
segmento de la cuerda debe responder entonces a dos desplazamientos diferentes en el
mismo instante. Los dos desplazamientos se suman; si el segmento se está desplazando en
la misma dirección por medio de ambas ondas, se moverá en esa dirección con una
amplitud igual a la suma de los dos desplazamientos. Por otro lado, si las ondas ocurren en
direcciones contrarias, los segmentos tendrán una amplitud igual a la diferencia de las dos.
En un momento dado, los dos desplazamientos se pueden cancelar completamente para

ciertos puntos de la cuerda mientras que los puntos entre éstos se mueven con una amplitud
al doble de lo normal.
50
En esta situación parece que las ondas no se están moviendo (fig. 17). Algunas partes de la
cuerda sólo se mueven hacia arriba y hacia abajo y otras permanecen en reposo. Las ondas
de este tipo se denominan ondas estacionarias.
Figura 17. Ondas estacionarias.
II.7. Refracción y difracción.
Dos aspectos más que permiten comprender del comportamiento ondulatorio son la
refracción y la difracción. Si se considera un tren de ondas que llega a la frontera de
separación de dos medios entonces ocurren varios fenómenos, en primer lugar, parte de las
ondas son reflejadas y algo de la energía transportada se absorbe. Sin embargo, también las
ondas viajan hacia el segundo medio pero con diferente velocidad y dirección que la que
tenían originalmente. Este fenómeno se conoce como refracción de las ondas. Un ejemplo
común se presenta cuando las ondas sonoras que se propagan en el aire llegan a la
superficie del agua y pasan a través de ella pero con diferente velocidad y dirección.
La figura 18 inciso a, muestra una onda que se dirige a la frontera entre dos medios con una
velocidad v. Cuando llega a la superficie de separación, se presenta el fenómeno de
reflexión y refracción (inciso b). La onda que se mueve en el segundo medio viaja ahora
con una velocidad distinta a la que tenía originalmente.
a)
b)
Figura 18. Refracción y reflexión de una onda.
51
Conforme se propagan las ondas se dispersan, y cuando encuentran un obstáculo, lo rodean

y continúan desplazándose. Este comportamiento de las ondas se conoce como difracción.
La figura 19, muestra un frente de ondas que es difractada por una rejilla formada por dos
obstáculos. Es necesario remarcar que, la difracción e interferencia es un comportamiento
característico de la energía que transportan las ondas y no de las partículas individuales que
componen el medio.
Figura 19. Difracción de las ondas por una rendija.
II.8. Resonancia.
En general, todos los cuerpos tienen una forma natural de vibrar y la frecuencia
correspondiente se denomina frecuencia natural, por ejemplo, un edificio alto, un puente,
un péndulo, una copa de vidrio, vibran con una frecuencia característica. Por otro lado, si
un cuerpo se somete a la acción de una serie de impulsos periódicos de tal manera que la
frecuencia de éstos coincida o se aproxime a la frecuencia natural de vibración, entonces el
resultado es una nueva vibración con una amplitud relativamente grande, a este fenómeno
se le llama resonancia.
Si una copa de vidrio se coloca frente a una cantante de opera entonces la vibración que se
produce tiene una amplitud mayor que es capaz de hacer pedazos la copa. Otro ejemplo es
el que ocurre con los puentes y la fuerza del viento; es un hecho conocido, que una pequeña
fuerza es capaz de provocar una vibración de grandes amplitudes que provocan la ruptura
del puente. El puente de Tacoma Narrows en el Estado de Washington se colapsó en 1940
como resultado de haber entrado en resonancia debido a las fuerzas del viento. De la misma
forma, el 19 de Septiembre de 1985, muchos de los edificios que se colapsaron en la
Ciudad de México fue debido a que entraron en resonancia con la frecuencia de vibración
producida por los sismos. A nivel molecular este fenómeno adquiere extrema importancia
debido a que los sistemas en estado de resonancia absorben una gran cantidad de energía.
52
II.9. El sonido.
Gran variedad de fenómenos que ocurren en la naturaleza se percibe a través del oído en
forma de sonidos, por lo cual es necesario estudiar sus características principales, la forma
de propagación y algunas de sus aplicaciones.
Es de interés estudiar las ondas longitudinales y en particular aquellas que al llegar al oído
dan origen a la sensación de sonido. Estas ondas están comprendidas en el intervalo de 20
hasta 20 000 Hz y se denominan genéricamente ondas sonoras.
La recepción de una onda sonora por el oído engendra una vibración de las partículas del
aire situadas delante del tímpano, con una frecuencia y amplitud definida. Esta vibración
puede considerarse también debida a la variación de la presión en la misma región. La
presión del aire se eleva sobre la presión atmosférica y después se hace inferior a ella, de
acuerdo al movimiento armónico simple. El exceso máximo de presión sobre la presión
atmosférica se denomina amplitud de los cambios de presión.
Medidas efectuadas con las ondas sonoras indican que las máximas variaciones de presión
en los sonidos más fuertes que el oído puede tolerar son del orden de 280 Dinas/cm2. La
elongación máxima correspondiente para una frecuencia de 1000 Hz, es aproximadamente
igual a una milésima de centímetro. Las amplitudes de la elongación, aun para sonidos muy
fuertes, son extraordinariamente pequeñas. Las variaciones máximas de presión en los
sonidos más débiles, con una frecuencia de 1000 Hz, es de tan solo unos 0.0002
Dinas/cm2; la amplitud de la elongación correspondiente es de un orden de 10-9 cm. A
modo de comparación, el diámetro de una molécula es de alrededor de 10-8 cm. En
conclusión, y como se puede observar, el oído es un órgano extraordinariamente sensible.
El término sonido se utiliza en dos formas diferentes. Por un lado, los fisiólogos lo definen
en función de las sensaciones auditivas producidas por las perturbaciones longitudinales en
el aire. Por otro lado, la física se refiere a las perturbaciones en sí y no a las sensaciones
producidas.
Cualquier onda sonora tiene como fuente a un objeto que vibra. Los instrumentos musicales
producen sonidos de diferentes maneras. Por ejemplo, el sonido de un tambor lo produce la
vibración de una membrana, el sonido de un clarinete tiene como fuente una lengüeta que
vibra, el sonido de un piano proviene de la vibración de las cuerdas, el sonido de un
cantante es producido también por la vibración de las cuerdas vocales.
Las ondas sonoras (el sonido), son ondas longitudinales que se propagan en un medio
elástico. El medio de propagación pueden ser tanto los sólidos como los líquidos o los
gases.
Las ondas sonoras se clasifican en tres categorías formadas por intervalos de frecuencia; las
ondas audibles, son ondas longitudinales que pueden ser percibidas por el oído humano y
que van desde los 20 hasta los 20 000 Hz de frecuencia. Las ondas infrasónicas aquellas
que está por debajo de los 20 Hz y las ondas ultrasónicas que son mayores a los 20 000
Hz.
53
II.10. Características del sonido.
Las características de las ondas sonoras están en función con el efecto sensorial que
producen. Los efectos sensoriales denominados como tono, timbre y frecuencia
corresponden a las propiedades físicas de frecuencia, forma de onda e intensidad
respectivamente.
Tono y timbre.
Si se deja vibrar libremente una cuerda pulsada, vibra con varías frecuencias
simultáneamente, es muy raro que un cuerpo lo haga con una sola frecuencia. Si un
diapasón construido con precisión, es golpeado ligeramente por un bloque de goma
entonces sí vibra con una sola frecuencia. En el caso de los instrumentos musicales, se
encuentran presentes y al mismo tiempo la frecuencia fundamental y sus armónicos. Los
impulsos enviados desde el oído al cerebro originan una sensación de conjunto
característico del instrumento.
Por ejemplo, si el espectro de un sonido consta de una frecuencia fundamental de 200 Hz y

de los armónicos 2, 3, 4 y 5 todos con diferente intensidad; y otro sonido está formado
exactamente con las mismas frecuencias pero con diferente intensidad, entonces los sonidos
son diferentes y difieren en el timbre.
Es común utilizar diferentes adjetivos para calificar el timbre de un sonido: alto, brillante,
sonoro, melodioso, etc. Para la física el timbre del sonido está determinado por el número
de armónicos presentes y por sus intensidades respectivas.
El tono de un sonido también suele clasificarse de manera subjetiva como: alto, medio y
bajo. Físicamente es relativamente sencillo explicar lo anterior, si se toman diferentes
diapasones que pueden vibrar con una sola frecuencia y se golpea uno por uno con una
goma, se observa que cuanto mayor es la frecuencia mayor es el tono. Sin embargo, este
caso se complica cuando el sonido que se produce está formado por varias frecuencias. Si la
frecuencia fundamental es considerablemente mayor que cualquiera de los armónicos, el
tono del sonido queda determinado por ella; pero no siempre ocurre de esta manera, si el
sonido está compuesto por varias frecuencias el tono puede corresponder a una frecuencia
que no este presente en el sonido mismo.
Intensidad del sonido.
Cuando se golpea un diapasón para producir un sonido, la energía de la vibración es

transmitida a las capas de aire subyacente y por esta razón deja de vibrar después de un
lapso de tiempo. La intensidad del sonido está relacionada con el flujo de energía a través
del aire y se define como:
54
La intensidad (I), de una onda es la razón del flujo de energía a través de la unidad de área
(A), en sentido perpendicular a la dirección de propagación.
En términos de un modelo matemático, la intensidad se representa por:
1 ∆E
I=
A ∆t
En donde la relación ∆E/∆t es la energía transferida en la unidad de tiempo y que es igual a

la potencia P, por lo cual:
P
I= (30)
A
La intensidad del sonido apenas perceptible por el oído humano (Io) es del orden de 10-16
W/cm2. Por convención, esta intensidad ha sido tomada como cero y se denomina umbral
de audición. La intensidad intolerable para el oído (Ip), se denomina umbral del dolor y es
del orden de 10-4 W/cm2.
Debido a la gran amplitud del intervalo de intensidades a las que es sensible el oído
humano, se utiliza una escala logarítmica en lugar de la escala natural, rescribiendo la
ecuación (30) en términos de un logaritmo se obtiene:
 I 
β = 10 log  (31)
 Io 
En donde (β) representa la intensidad relativa del sonido y se denomina nivel de

intensidad o nivel en decibeles. Las unidades asignadas a β son los decibeles (dB) en
honor al inventor del teléfono Alexander Graham Bell. La tabla 7, muestra el nivel de
intensidad característico de algunos ruidos.
Descripción del ruido Nivel de intensidad (dB)

Umbral del dolor 120
Máquina remachando 95
Silbato del tren 90
Calle con mucho tráfico 70
Conversación ordinaria 65
Automóvil a marcha moderada 50
Radio con volumen moderado 40
Conversación en voz baja 20
Murmullo de una hoja 10
Umbral de la sensación sonora 0
Tabla 7. Nivel de intensidad de algunos ruidos.
55
II.11. Propagación y velocidad del sonido.
Como ya se mencionó, el sonido es una onda longitudinal que se propaga a través de un

medio elástico, sólido, líquido o gas. Es claro que el sonido no puede propagarse en
ausencia de materia; es imposible percibir el sonido de un timbre si está encerrado en una
campana de vacío.
La velocidad del sonido es distinta para diferentes materiales. En el aire a una temperatura
de 0 oC y una presión atmosférica de 1 atm, el sonido se desplaza a una velocidad de 331
m/s y va aumentando conforme aumenta la temperatura a razón de 0.6 m/s por cada 1 oC
que se eleve la misma. Por lo anterior:
m
v = (331 + 0.60T ) (32)
s
En general la velocidad del sonido es más grande en los líquidos y mayor aun en los
sólidos. La tabla 8, muestra algunos ejemplos típicos.
Material Velocidad (m/s)

Aire a 0 oC 331
Aire a 20 oC 343
Helio 1005
Hidrógeno 1300
Agua a 20 oC 1482
Agua de mar 1560
Hierro y acero 5000
Aluminio 5100
Vidrio refractario 5640
Tabla 8. Velocidad del sonido en distintos materiales.
Cuando un cuerpo en movimiento se desplaza con una velocidad mayor que la del sonido
presenta una velocidad supersónica. En este caso, es conveniente utilizar el número Mach
que se obtiene dividiendo la velocidad del cuerpo (vc) entre la velocidad del sonido (v). El
resultado es un número adimensional denominado Mach. Cuando la velocidad del cuerpo
es mayor que la velocidad del sonido (vc > v), se forma un frente de onda cónico que se le
conoce como onda de choque.
Los aviones supersónicos forman ondas de choque que son las responsables de las fuertes
explosiones, estruendos sónicos, que son percibidos desde la tierra. Estos ruidos son
desagradables para el oído humano y pueden dañar los edificios cuando los aviones vuelan
a velocidades supersónicas y a baja altitud.
56
Ejemplo:
Determine los niveles de intensidad en decibeles de las siguientes intensidades (a) 10-7
W/cm2 y (b) 100 µW/cm2.
Solución:
Sustituyendo las intensidades en la ecuación 31 se obtiene:
 I   10 −7 
a) β = 10 log  = 10 log −16  = 90 dB
 Io   10 
b) I = 100 µW/cm2 = 100 x 10-6 W/cm2 Sustituyendo se obtiene:
 I   100 × 10 −6 
β = 10 log  = 10 log −16
 = 120 dB
 Io   10 
Ejemplo:
¿Cuál es la velocidad del sonido a una temperatura de 20 oC?
Sustituyendo en ecuación 32 se obtiene:
m
v = (331 + 0.60T ) = (331 + 0.60 (20)) m/s = 343 m/s
s
Ejemplo:
Exprese las siguientes velocidades en Mach (a) 1029 m/s (b) 1372 m/s
Solución:
Dividiendo las velocidades anteriores entre la velocidad del sonido:
1029m / s
a) = 3Mach
343m / s
1372m / s
b) = 4 Mach
343m / s
57
II.12. Efecto Doppler.
Un fenómeno conocido, y que tiene que ver con cualquier tipo de ondas, se presenta cuando
un cuerpo con velocidad constante emite un sonido y se va acercando a un punto donde se
encuentra un observador, para después pasar frente a él y finalmente alejarse sin cambiar la
velocidad. Para el observador, la frecuencia del sonido proveniente del cuerpo va
cambiando conforme se acerca a él y, cambia también, cuando se aleja.
Este mismo hecho se presenta cuando la fuente que emite el sonido está en reposo y es el
observador quién se mueve a velocidad constante, hacia la fuente y después se aleja. De
nueva cuenta, el observador percibe una frecuencia cuando se acerca y otra cuando se aleja.
Este fenómeno se denomina efecto Doppler, en honor al físico austriaco Cristian Andreas
Doppler quien lo enunció en 1842, y consiste en el cambio aparente de la frecuencia de un
sonido cuando existe un movimiento relativo entre la fuente que origina el sonido y el
observador que está escuchando.
Como ya se ha dicho, el sonido viaja a una velocidad característica en el aire y es

independiente a la velocidad de la fuente o del observador. Sin embargo, debido a la
velocidad de la fuente o del observador, las ondas que se encuentran adelante estarán más
próximas de lo que normalmente están; mientras que las ondas que se encuentran atrás se
encontrarán más separadas (fig. 20). Esto da por resultado que el observador perciba una
frecuencia aparente que no corresponde a la frecuencia real del sonido.
Figura 20. Efecto Doppler con la fuente en movimiento.
Para determinar la magnitud de la frecuencia aparente percibida por el observador se

presentan dos situaciones: primero, si la fuente que emite el sonido está en movimiento y el
observador en reposo; segundo, si el observador se encuentra en movimiento y la fuente
que emite el sonido está en reposo:
58
Primer caso: La fuente se mueve a velocidad constante y el observador está en reposo:
Si (fs) es la frecuencia real del sonido que proviene de la fuente, (vs) es la velocidad de la
fuente y (v) es la velocidad del sonido, entonces la frecuencia aparente (fo) percibida por el
observador está dada por:
Si se acerca: v ⋅ fs
fo =
v − vs (33)
Si se aleja v ⋅ fs
fo =
v + vs (34)
Segundo caso: La fuente está en reposo y el observador se mueve a velocidad constante:
Si el observador se mueve a una velocidad (vo) y se acerca a una fuente que emite un sonido
con una frecuencia (fs) y si la velocidad del sonido en ese instante es (v), entonces la
frecuencia aparente (fo) que percibe el observador cuando se acerca y cuando se aleja está
dada por:
Si se acerca f s (v + v o )
fo = (35)
v
Si se aleja f s (v − v o )
fo = (36)
v
59
Ejemplo:
La frecuencia fundamental del silbato de un tren es de 300 Hz y la rapidez con que se

mueve es de 60 km/h, la temperatura del ambiente es de 20 oC. ¿Qué frecuencia escuchará
un observador inmóvil cuando el tren se acerca? ¿Cuál es la frecuencia que escucha cuando
el tren se aleja?
Solución:
En primer lugar, es necesario realizar la conversión de unidades para expresar los km/h en
m/s y después utilizar la velocidad del sonido de 343 m/s que corresponde a los 20 oC.
Utilizando las ecuaciones 33 y 34 se obtiene:
v ⋅ fs 343m / s (300 Hz )
fo = = = 315 Hz cuando se acerca.
v − vs (343m / s − 16.67 m / s )
v ⋅ fs 343m / s (300 Hz )
fo = = = 286 Hz cuando se aleja.
v + vs (343m / s + 16.67m / s )
Ejemplo:
El silbato que señala la salida de los trabajadores de una fábrica tiene una frecuencia de 360
Hz. Si un automovilista viaja con una rapidez de 108 km/h. ¿Qué frecuencia percibe cuando
se acerca? ¿Qué frecuencia escuchará cuando se aleja?
Solución:
Sustituyendo los datos anteriores en las ecuaciones 35 y 36 se obtiene:
f s (v + vo ) 360 Hz (343m / s + 30m / s )

fo = = = 391.5 Hz cuando se acerca.
v 343m / s
f s (v − vo ) 360 Hz (343m / s − 30m / s )

fo = = = 328.5 Hz cuando se aleja.
v 343m / s
60
II.13. Acústica en los locales cerrados.
La acústica es un tema fascinante la música, arquitectura, ingeniería, teatro, medicina,

psicología, lingüística, entre otras, buscan en ella respuestas básicas a cuestiones propias de
cada campo. La acústica estudia problemas diversos como el proyecto de auditorios,
estudios de radiodifusión, diseño de altavoces, percepción de sonidos, producción sintética
de voz, propagación del sonido en diferentes medios, reducción del ruido en vehículos,
reconocimiento ultrasónico del cuerpo humano, etcétera.
La acústica está entrando a una nueva era: la era de las nuevas tecnologías. Hace unos 140
años, la acústica era todo un arte, los ingenieros utilizaban sus oídos y las únicas fuentes
controladas para la producción de sonidos eran los silbatos, gongs y las sirenas; los
micrófonos consistían en diafragmas articulados con una punta metálica que delineaba la
forma de la onda en una superficie ennegrecida de un tambor rotatorio y cuya altura variaba
de acuerdo a la presión acústica.
Por esa época aparecieron en la literatura técnica los nombres de Rayleigh, Stokes,
Thomson, Lamb, Helmholtz, Konig, Tyndall, Kundt y otros. Sus contribuciones a la
acústica física fueron seguidas por la publicación del tratado en dos volúmenes de Lord
Rayleigh “Theory of Sound” (1877). La acústica no tuvo mayores avances hasta que
W.C. Sabine, en una serie de artículos (1900-1915) llevó a la acústica a la categoría de
ciencia.
Aunque la contribución de estos hombres de ciencia fue muy importante, el mayor interés
en el campo de la acústica siguió hasta la invención del tríodo de vacío (1907) y el
advenimiento de la radiodifusión (1920). Con los amplificadores de válvula ya disponibles,
podían producirse sonidos con la frecuencia deseada y con la intensidad conveniente, a la
vez que era posible medir los sonidos muy débiles. Por encima de todo, la invención de la
válvula de vacío permitió construir instrumentos de medición “compactos” e insensibles a
las corrientes de aire.
El progreso de la acústica de las comunicaciones fue apresurado por el esfuerzo de los

“Bell Telephone Laboratories” y el desarrollo del sistema telefónico de los Estados Unidos.
La acústica arquitectónica recibió un gran impulso gracias a los aportes teóricos y
experimentales de la Universidad de Harvard, el Instituto Tecnológico de Massachussets y
la Universidad Californiana de los Ángeles (1930-1940); además de la aportación de varios
centros de investigación de Europa, especialmente de Inglaterra y Alemania.
Durante este periodo se explicó a detalle el decrecimiento del sonido en los locales
rectangulares, se especificaron las impedancias de los materiales y se fundamentó la
atenuación del sonido en los conductos. Se demostró también las ventajas de las paredes
irregulares y el uso de materiales acústicos en el diseño de las edificaciones.
También se desarrolló la ciencia de la psicoacústica. El los laboratorios telefónicos Bell,

bajo la dirección de Harvey Fletcher, se cuantificaron los conceptos de sonoridad
(loudness) y enmascaramiento; además se determinaron los factores que rigen la
comunicación hablada (1920-1940). La acústica, a través de los ultrasonidos, penetró en el
61
campo de la medicina y la química. Se ensayó la diatermia ultrasónica y la aceleración de

reacciones químicas por medio de ultrasonidos.
Finalmente, llegó la segunda guerra mundial con su demanda de dispositivos para la

detección de submarinos y de medios de comunicación confiables en ambientes muy
ruidosos como los tanques y aeronaves de guerra. Los grandes laboratorios instalados en
Inglaterra, Alemania, Francia y los Estados Unidos se ocuparon de estos problemas. Las
investigaciones acústicas alcanzaron proporciones no soñadas hasta ese tiempo y se han
mantenido hasta nuestros días.
Hoy en día, la acústica sigue avanzando y se ha transformado en una herramienta de la

industria telefónica. Para los arquitectos e ingenieros militares es un tema de interés de la
vida diaria. También hay una tendencia internacional hacia la legislación y la provisión de
viviendas silenciosas. Los trabajadores y profesionales piden lugares de trabajo seguro y
confortable desde el punto de vista acústico. Los ingenieros y arquitectos solicitan cada vez
más los servicios de los ingenieros acústicos para el diseño y construcción de los edificios.
Además, cada día es más importante la necesidad de resolver problemas relacionados con el
ruido de diversas fuentes, en la actualidad cada vez se diseñan automóviles más silenciosos.
La acústica finalmente ha entrado a todos los hogares en donde la reproducción de música
de alta fidelidad es cosa de todos los días.
La acústica de los locales estudia la propagación del sonido en locales cerrados y las
condiciones que deben de reunir para obtener una buena audición; esto depende
principalmente de la reverberación o persistencia del sonido después de suprimir la fuente
sonora y de las características acústicas de los materiales. En el caso de una sala de cine, de
un estudio de televisión, de una cabina de radio, la acústica debe ser diseñada de tal manera
que el tiempo de reverberación no exceda de un segundo; esto con la finalidad de que los
sonidos subsiguientes no se mezclen con los que ya fueron emitidos y evitar, de esta
manera, la interferencia entre sonidos.
Para minimizar el tiempo de reverberación, los teatros, las salas de cine, etc. son recubiertos
para materiales absorbentes del sonido (materiales que no reflejen las ondas sonoras) como
son: las cortinas, alfombras, butacas acojinadas, etcétera. W.C. Sabine, propuso un modelo
empírico para determinar el tiempo de reverberación del sonido en un local cerrado. Si (V)
es el volumen de la sala y (A) el poder absorbente de los materiales entonces el tiempo de
reverberación (t) está determinado por:
V
t = 0.164 (37)
A
En donde (A) se obtiene multiplicando el área (metros cuadrados) u objetos por el

respectivo coeficiente de absorción de cada material (Tabla 9), es decir:
A = S1α 1 + S 2α 2 + S 3α 3 + ... + S nα n (38)
62
Descripción Coeficiente de absorción

(α)
Aplanado de yeso 0.025
Concreto y terrazo 0.015
Cortinas gruesas 0.400
Espectador 0.440
Madera seca 0.600
Madera barnizada 0.010
Metal 0.010
Mármol 0.010
Muro de tabique aplanado 0.017
Muro de tabique sin aplanar 0.032
Silla de madera 0.009
Sillas tapizadas 0.140
Tapetes rugosos 0.020
Ventana abierta 1.000
Vidrio liso 0.027
Yeso acústico 0.055
Tabla 9. Coeficientes de absorción de los materiales.
Al aplicar la ecuación 37 para determinar el tiempo de reverberación de un local cerrado se

compara con el mostrado en la tabla 10 para definir el tipo de acústica del local en diseño o
en estudio.
Tiempo de reverberación Acústica

t<1 excelente
1<t<2 buena
2<t<3 regular
t>4 mala
Tabla 10. Tipo de acústica de un local cerrado.
Por otro lado, si al determinar el tipo de acústica resulta que es regular o mala, se puede
optar por recubrir o sustituir algunos materiales con otros que tengan mayor coeficiente de
absorción, por ejemplo las cortinas y las alfombras. Sustituidos los materiales se vuelve a
realizar el cálculo para determinar otra vez el tipo de acústica del local.
Ejemplo:
Obtenga el tiempo de reverberación de una sala de espectáculos con un cupo total de 800
personas. Si la sala mide 6 m x 18 m x 24 m (altura, ancho y largo respectivamente) y el
aforo promedio es de 200 espectadores.
63
Solución:
La superficie de los materiales que componen la sala, además de los materiales que no se
cuantifican en metros cuadrados, así como el respectivo coeficiente de absorción se muestra
en la tabla 11.
Descripción del material Área (m2) o número α A=Sα

Aplanados 680 0.017 11.56
Madera 630 0.060 37.80
Metal 57 0.010 0.57
Vidrio 37 0.027 1.0
Asientos de madera 550 0.009 4.95
Espectadores 200 0.440 88.0
Tabla 11. Descripción de materiales.
El volumen de la sala es:
V = (6 m) (18 m) (24 m) = 2592 m3
El poder absorbente de todos los materiales es:
A = (11.56 + 37.80 + 0.57 + 1.0 + 4.95 + 88) = 143.88
Por lo tanto el tiempo de reverberación es:
 2592 
t = 0.164  = 2.95s
 143.88 
Por lo cual, al comparar el resultado anterior con la tabla 10 se obtiene que la acústica del
local es regular. Como ya se mencionó si se desea mejorar la acústica es necesario sustituir
o recubrir algunos materiales por otros que tengan mayor capacidad de absorber el sonido.
Una vez que se ha decido que se va a cambiar o sustituir se vuelve a calcular el tiempo de
reverberación para observar si ya se ha mejorado.
64
II.14. Ejercicios propuestos:
1. ¿Puede sugerir alguna forma de propagar una onda unidimensional en una cuerda?
2. La velocidad de las ondas sonoras depende de la temperatura ¿Porqué esto no sucede con
las ondas electromagnéticas?
3. ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia y velocidad de una onda?
4. Si dos ondas de distinta amplitud se propagan en el mismo medio y con dirección

contraria ¿Es posible que se produzca una interferencia destructiva completa? Explique
su razonamiento.
5. Explique algunas aplicaciones del efecto Doppler con el sonido.
6. ¿Dónde se aplica el efecto Doppler con la luz?
7. ¿Qué son las microondas?
8. ¿Cómo funciona un radar?
9. ¿Cómo funciona un sonar?
10. ¿En qué consiste la comunicación vía satélite?
11. ¿Por qué las antiguas templos y catedrales están construidas con techumbres elípticas o
parabólicas?
12. Explique el vuelo de un murciélago.
13. ¿Cómo afecta la resonancia los edificios altos?
14. ¿Cómo se explora el subsuelo empleando ondas sonoras?
15. ¿Por qué en las noches se perciben los sonidos lejanos?
16. ¿Cómo se propaga un sismo? ¿De qué tipo de ondas se trata?
17. ¿Cómo prueba que el sonido es una onda y que transporta energía?
18. ¿Qué ocurre cuando una onda sonora pasa del aire al agua?
19. ¿Cómo percibe el sonido una persona que se encuentra buceando en una alberca?
20. ¿Qué es el ultrasonido? ¿Dónde se aplica?
65
21. Un hilo de acero de 6m de longitud tiene una masa de 60 g y se somete a una fuerza de
tensión de 1000 N ¿Cuál es la velocidad de propagación de una onda transmitida en el
hilo?
22. ¿Cuál es la velocidad de propagación de una onda longitudinal que tiene una frecuencia
de 150 Hz y una longitud de onda de 10 m?
23. Una lancha sube y baja por el paso de las olas cada 3s. Entre cresta y cresta hay una
distancia de 20 m ¿Cuál es la velocidad de las olas?
24. Una cuerda de acero propaga ondas con una frecuencia de 250 Hz y a una velocidad de
150 m/s ¿Cuál es la longitud de onda?
25. Un barco emite una señal ultrasónica para determinar la profundidad del mar. La señal
tarda 1.2 s en regresar al barco. ¿Cuál es la profundidad del mar en ese punto?
26. Una persona observa el resplandor de un rayo y cinco segundos después se escucha el
trueno. En forma aproximada ¿A qué distancia cayó el rayo?
27. Un avión supersónico vuela con una velocidad de 600 m/s y a 10 000 m de altura. ¿Cuál
es su velocidad en MACH? ¿En qué tiempo se escucha el estampido supersónico?
28. ¿Cuál es el nivel de intensidad, en decibeles, de las siguientes ondas sonoras? a) 10-10
W/cm2. b) 10-14 W/cm2. c) 10-15 W/cm2.
29. Un observador situado en una estación de ferrocarril oye que el sonido de una bocina de
una locomotora que se aproxima a 320 Hz. Después de que ha pasado, la frecuencia
parece disminuir a 256 Hz ¿Cuál es la frecuencia real del sonido emitido?
30. El claxon de otra locomotora que se aproxima parece sonar con una frecuencia de 280
Hz, según los viajeros que están en la estación. Sin embargo, la frecuencia que captan
los pasajeros de abordo es de 262 Hz. ¿Cuál es la velocidad del tren?
31. Una sirena acústica que se encuentra inmóvil emite un sonido con una frecuencia de
500 Hz. a) ¿Qué frecuencia percibe un observador que se mueve hacia la sirena a 30
m/s? b) ¿Qué frecuencia escucha si se aleja de la sirena a la misma velocidad? Ahora
suponga que el observador está en reposo y que la sirena se mueve. c) ¿Qué frecuencia
percibe el observador si la sirena se acerca a 30 m/s? d) ¿Qué frecuencia escucha si
ahora la sirena se aleja con la misma velocidad?
32. Un tren de pasajeros viaja con una rapidez de 30 m/s, un tren de carga se mueve en una
vía paralela y en sentido contrario a 15 m/s y hace sonar su sirena con una frecuencia
de 256 Hz. ¿Qué frecuencia escucha un observador del primer tren cuando el otro se
acerca y después se aleja? Para un observador en reposo situado al lado de la vía ¿Qué
frecuencia escucharía en cada caso?
66
Unidad III
“El arco iris es una maravilla natural tan extraordinaria, su causa ha sido tan celosamente buscada por
los hombres inteligentes, y sabemos tan poco de el, que pienso que no pude escoger algo más adecuado
para demostrar cómo se puede alcanzar el conocimiento”
René Descartes (1596 – 1650)
ÓPTICA
67
III.1. Introducción.
Como otros fenómenos físicos que se perciben directamente con los sentidos, las
propiedades de la luz han estado sujetas desde la antigüedad a investigaciones especulativas
y experimentales. Los griegos y los romanos ya conocían los fenómenos de reflexión,
refracción y dispersión de la luz visible en sus diferentes longitudes de onda, aunque no lo
comprendían completamente. En la edad media, se utilizaban las propiedades refringentes
del vidrio para corregir los defectos visuales.
Es posible seguir el estudio sistemático de la óptica hasta Roger Bacon, Galileo Galilei e
Isaac Newton quienes lograron construir buenos telescopios astronómicos. Puede
considerarse que el “Tratado de Óptica” de Newton fue la fuente de donde provino gran
parte del conocimiento posterior. El físico danés Christian Huygens, propuso por primera
vez en 1678, la idea de que la luz era un fenómeno ondulatorio, aunque ésta hipótesis no
fue aceptada totalmente durante más de un siglo. A principios del siglo XIX, Thomas
Young en Inglaterra y Augustin Jean Fresnel en Francia establecieron la teoría
ondulatoria de la luz, demostrando que en condiciones adecuadas la luz presenta los
fenómenos de interferencia, difracción y polarización característicos de las ondas. Ahora se
sabe, como lo demostraron Maxwell y Hertz, que las ondas de luz son una forma de
radiación electromagnética de alta frecuencia.
Conforme se incrementó la comprensión de la naturaleza de la luz, aumentaron las

aplicaciones prácticas de la óptica y la invención de instrumentos ópticos. La comprensión
de las leyes de la reflexión y refracción condujo al desarrollo de los telescopios,
microscopios y sistemas de lentes más complejos para cámaras y proyectores. El
descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz permitió la construcción de
interferómetros, polarímetros, rejillas de difracción y la fabricación de recubrimientos
contra la reflexión. El estudio de la óptica sigue siendo un campo activo de investigación
dentro de la física; el desarrollo del amplificador de la luz coherente por emisión estimulada
de radiación, mejor conocido como LASER se logró apenas en 1957, y no solamente ha
hecho posible el diseño de nuevos instrumentos ópticos, sino que permitió comprender
mejor la interacción de la radiación electromagnética con la materia.
La óptica y los nuevos instrumentos han contribuido al desarrollo de otras áreas de la

ciencia y, por lo tanto, al bienestar y salud del ser humano. La óptica aplicada dio origen,
por ejemplo, a los binoculares, las cámaras reflex y a nuevos instrumentos necesarios para
la investigación.
Es posible afirmar, sin temor a equivocarse, que las ciencias biológicas y médicas no
hubieran podido desarrollarse sin contar con el microscopio. De la misma forma, la
medicina moderna no hubiera logrado tal desarrollo sin la ayuda de los poderosos aparatos
e instrumentos basados en la óptica. Por otro lado, el conocimiento del sol, de las estrellas y
del universo en general ha sido posible por el uso de los potentes telescopios construidos
también gracias al conocimiento de la óptica.
68
III.2. La luz como una onda.
Considerar la luz como una onda era una vieja controversia acerca de su naturaleza misma,
esta controversia databa de los tiempos de Isaac Newton, quién realizó estudios extensos de
los efectos ópticos. Newton era partidario de la teoría corpuscular, que representaba a la
luz como una granizada de minúsculas partículas que viajan en línea recta. Uno de sus
contemporáneos, el físico holandés Christian Huygens, se inclinaba por la teoría
ondulatoria. En esta época, los datos con los que se contaba no eran suficientes para
distinguir la certeza de las dos teorías, aunque para estos tiempos era más plausible el modo
de pensar de Huygens. Pero era tal el prestigio de Newton, que pocos físicos se atrevían a
desechar la teoría de las partículas en favor de la teoría ondulatoria, a pesar de la creciente
evidencia de los fenómenos de difracción y refracción de la luz que eran fáciles de explicar
considerando la luz como una onda y no como una partícula.
Thomas Young, cuya labor representó el principal argumento para favorecer la teoría
ondulatoria en contra de la teoría de Newton, era un hombre multifacético. Todavía joven
renunció a su puesto de profesor de física para ejercer la medicina, y sus últimos años, los
paso descifrando la clave de la piedra de la roseta y los jeroglíficos egipcios.
El experimento que escogió Young fue el de la interferencia con dos rendijas. Para
entender este experimento, es útil pensar en las ondas del agua que avanzan hacia dos
pequeñas brechas formadas por el rompeolas (fig. 21). Las olas que golpean en él
producirán dos nuevos frentes circulares de onda que a su debido tiempo se traslaparán
entre sí. Conforme avanzan las dos ondas, llega un instante en que se encuentran
coincidiendo cresta con cresta, formando ondas con el doble de amplitud. A medida que se
alejan de las brechas, la sincronía se destruye y empiezan a combinarse las crestas de una
onda con los valles de la otra. En este momento la interferencia es destructiva y el
resultado es que la amplitud de la onda resultante sea más pequeña o desaparezca del todo.
Más adelante el fenómeno se repite nuevamente, las ondas interfieren constructivamente y
después destructivamente.
Figura 21. Interferencia con dos rendijas.
69
Regresando al experimento de Young (fig. 22), remplacemos el rompeolas por una pantalla
opaca con dos rendijas estrechas. En una hoja de papel situada atrás de las rendijas se
observará un patrón de interferencia, franjas claras y obscuras paralelas a las rendijas: una
clara al centro y dos obscuras a los lados. Si se mide el espaciado entre las líneas es posible
determinar la longitud de onda de la luz. El resultado en un número demasiado pequeño; las
ondas luminosas tienen una longitud de onda de 0.00007 cm para la luz roja y de 0.00004
cm para la luz azul.
Figura 22. Experimento de la doble rendija de Thomas Young.
III.3. Naturaleza de la luz.
El experimento de Young pudo convencer a los más escépticos de que la luz era un
fenómeno ondulatorio; pero faltaba averiguar de qué tipo de onda se trataba. Fue Maxwell
quien dio la respuesta al advertir la relación entre el electromagnetismo y la luz.
El cuadro que dio Maxwell se muestra en la figura 23. Se basa en dos hechos descubiertos
por Faraday: siempre que un campo eléctrico cambia, genera un campo magnético
perpendicular al anterior. Esta relación es recíproca, cuando cambia el campo magnético
genera ahora un campo eléctrico con las mismas características. Este hecho se repite
indefinidamente conforme la onda avanza con dirección perpendicular a ambos campos.
Maxwell determinó la velocidad a la que se propaga este tipo peculiar de ondas y descubrió
que coincidía con la velocidad de la luz. Este hecho era demasiado notable para que le
permitiera inferir que se trataba de la luz misma y que su naturaleza era una onda
electromagnética.
De las leyes de la electricidad y el magnetismo se fundamentaba cómo podía generarse una

onda con este comportamiento. Si una carga eléctrica tiene un movimiento periódico,
movimiento circular o una simple oscilación, entonces genera un campo eléctrico y otro
magnético, debido a que la carga está en movimiento. El campo es cambiante porque la
posición de carga cambia y la intensidad varía con respecto a la posición.
70
De esta manera, cualquier objeto que emite luz ha de contener cargas eléctricas que oscilen
rápidamente, ya que la frecuencia de las ondas luminosas es del orden de 1014 Hz.
Figura 23. Onda electromagnética.
Cualquier cuerpo que oscile con tal frecuencia tenía que ser demasiado pequeño y parecía
un problema difícil de probar. Maxwell razonó que oscilaciones más lentas también podían
generar ondas electromagnéticas con una intensidad suficiente para descubrirla por medios
eléctricos. Veinte años después de que Maxwell publicó su teoría, en 1887, el físico alemán
Heinrich Hertz logró la generación y detección de dichas ondas.
Hertz creó violentas oscilaciones eléctricas en un circuito eléctrico. Con otro circuito
situado a unos cuantos metros, y sin conectar ninguna fuente de energía, produjo
oscilaciones eléctricas de la misma frecuencia: las frecuencias de las oscilaciones se
midieron con relativa facilidad; utilizando las propiedades de interferencia de las ondas se
pudo deducir las longitudes de onda. De esta manera fue posible medir la velocidad que
coincidió con la velocidad de la luz. Las ondas hertzianas fueron posteriormente la base
para desarrollar las radiocomunicaciones modernas.
Posteriormente, se descubrieron los rayos X, que resultaron ser ondas electromagnéticas; y

después los rayos gamma, emitidos por sustancias radiactivas, que también son ondas del
mismo tipo y viajando a la misma velocidad. Estas ondas se han clasificado de acuerdo a su
longitud de onda y en su conjunto forman el espectro de las ondas electromagnéticas
(fig.24). Como puede observarse, las ondas comprendidas de los 400 nm hasta los 700 nm
conforman a la luz visible.
En la actualidad, se cuenta con la tecnología para manejar las ondas electromagnéticas de

casi cualquier frecuencia. La teoría de Maxwell del electromagnetismo es el ejemplo más
notable de una teoría científica pura conduce a aplicaciones prácticas que jamás hubieran
podido ocurrir por accidente.
71
Figura 24. Espectro de las ondas electromagnético.
III.4. Propagación y velocidad de la luz.
A pesar de los avances en el conocimiento de las ondas electromagnéticas y de la

majestuosa teoría de Maxwell, faltaba una cosa por responder ¿cómo se propagan éstas
ondas? El mismo Maxwell postuló la existencia del éter luminífero como el medio donde
se propagaban la luz.
Con el conocimiento científico de este tiempo, se podía demostrar fácilmente que el éter
tenía que ser una sustancia muy peculiar. El hecho de que la luz se propagará con la misma
velocidad en todo el universo implicaba que el éter era una sustancia también universal.
Como no afectaba el movimiento planetario, observado durante cientos de años, entonces
no era afectado por la gravedad de ningún cuerpo. Además, al admitir una velocidad tan
grande como la velocidad de la luz, permitía inferir que el éter luminífero debería tener una
densidad demasiado pequeña.
72
Albert A. Michelson y Edward W. Morley, realizaron el primer experimento encaminado a

probar la existencia del éter. La idea principal consistía en detectar las variaciones de la
velocidad de la luz al ser lanzada desde la tierra; En efecto, si la tierra también se movía
sobre el éter a una velocidad cercana a los 30 km/s entonces ésta sería suficiente para
alterar la velocidad de la luz. En su primer intento no descubrió ningún viento etéreo, su
primer instrumento de medición era demasiado rústico como para decidir la existencia o no
del éter.
Una de las características de Michelson, quien sería el primer premio Nóbel

estadounidense, era su capacidad para concebir instrumentos de gran precisión; el aparato
de Michelson (fig.25) se basaba en una idea particularmente simple, dicho en el lenguaje
ordinario y mediante una analogía, “se tarda más en recorrer la misma distancia nadando
río arriba que cuando se nada con la corriente a favor”.
Figura 25. Experimento de Michelson y Morley.
Un hecho similar debería de ocurrir cuando dos rayos de luz, perpendiculares entre sí, eran
lanzados desde la tierra para recorrer distancias iguales; se infería que la rapidez de la tierra
modificaría la velocidad de los rayos luz. El primer intento lo realizó el año de 1880 en
Berlín y después en Cleveland, para sorpresa de todos, la velocidad de la luz era la misma.
A pesar de no haber probado la existencia del éter, Michelson se convirtió en toda una
celebridad. En los siguientes años, la actividad principal fue tratar de refinar y repetir el
experimento solo para comprobar los mismos resultados. El valor experimental de la
velocidad de la luz que obtuvo Michelson fue de 299 920 000 m/s. En la actualidad, se
considera que la velocidad de la luz tiene un valor exacto de 299 792 458 m/s.
73
Fue hasta 1905, con la publicación de la “Teoría de la relatividad”, donde Albert Einstein
dio una explicación al resultado del experimento de Michelson y Morley mediante un
postulado increíble que se parecía más a una paradoja, y que exigía la revisión completa de
los conceptos de distancia y tiempo, hasta entonces considerados axiomáticos e
inamovibles por todos los físicos de la historia.
El postulado fundamental de la teoría de la relatividad que explica los resultados de

Michelson es relativamente simple:
“La velocidad de la luz es la misma para todos los observadores en todas direcciones,
independientemente de su estado de reposo o movimiento”.
De esta manera, los rayos de luz perpendiculares utilizados en el interferómetro de

Michelson, son independientes de la velocidad y dirección del movimiento de la tierra.
Cabe señalar que unos años antes de la publicación de la teoría de la relatividad, Henri
Poincaré había dado una explicación muy parecida al experimento de Michelson y decía
que “el movimiento y reposo absolutos nunca habían tenido un lugar en la física desde la
formulación del principio de la inercia”.
III.5. El efecto fotoeléctrico y los cuantos de luz.
La Energía de agitación térmica permite que los metales emitan electrones. Otra forma de
que los electrones puedan ser emitidos por los metales, incluso a temperaturas bajas, es
iluminándolos con luz de onda corta (fig.26). Este fenómeno se denomina efecto
fotoeléctrico, y fue descubierto por primera vez por Heinrich Hertz en 1887. Hertz
observó que una chispa saltaba más fácilmente entre dos esferas cuando sus superficies
eran iluminadas por la luz de otra chispa. Un año después, Hallwachs investigó este efecto
más detenidamente, por lo que este fenómeno también se conoce como efecto Hallwachs.
Figura 26. Efecto fotoeléctrico.
74
Justo antes de terminar el siglo, el físico alemán Max Planck emprendió la solución al
problema. De acuerdo a su estilo, Planck buscó una solución matemática al fenómeno;
mediante un proceso de tanteos guiado por éxitos y fracasos determinó una fórmula
empírica que concordaba con los datos experimentales. Sin embargo, sin un contexto
científico la ecuación de Planck estaba condenada a ser considerada como una curiosidad
científica producto de la casualidad.
A final del año, Planck había dado con un argumento para su teoría cuántica, pero el
supuesto era muy peculiar, y consistía en considerar que la conversión de calor en luz se
daba en forma de bloques cuyo tamaño dependía de la frecuencia de la luz producida. La
cantidad de energía (E) más pequeña que podía transformarse en luz de frecuencia (f)
estaba determinada por la fórmula:
E = h⋅ f (39)
En la ecuación anterior, (h) es la constante de Planck y es con la velocidad de la luz una de
los dos constantes básicas de la naturaleza. La presentación de esta ecuación en la reunión
de la Sociedad Alemana de Física, el 14 de diciembre de 1900, suele considerarse como la
fecha de nacimiento de la teoría cuántica.
Para los físicos de la época, considerar los cambios de energía como simples y pequeños
bloques o cuantos granulares, como los llamó Planck, era lo más absurdo y antinatural del
pensamiento científico. Tal vez ni siquiera el mismo Planck lo tomaba en serio, y sólo
consideraba la suposición como un paso intermedio para llegar a un conocimiento más
profundo.
Albert Einstein que se había estado preocupando por la teoría de Planck observó el efecto
fotoeléctrico como un comportamiento natural de la luz, por lo cual regreso a la imagen
corpuscular de la luz para explicar los cuantos de Planck. Einstein intuyó que los pocos
experimentos observados obedecían de modo natural a la teoría de las partículas de la luz,
en donde, la luz sería como una granizada de cuantos, que denominó fotones.
La explicación del efecto fotoeléctrico fue dada por primera vez por Einstein en 1902, la
teoría era tan radical que no fue aceptada hasta 1906, año en que fue confirmada por
Millikan. A partir del supuesto dado por Planck, Einstein postuló que la luz se compone de
pequeños paquetes de energía que se denominan cuantos de luz o fotones.
Como se puede observar, la luz parece tener un comportamiento dual, la teoría de los
cuantos favorece más a la teoría corpuscular pero las pruebas a favor de que la luz es una
onda son también aplastantes entonces ¿Cómo puede ser la luz a la vez onda y partícula?
Los intentos que hacía Einstein por lidiar con el comportamiento “dual” de la luz no
tranquilizaban a nadie. Cuando lo postularon para miembro de la Academia Prusiana de
Ciencias en 1913, los padrinos de Einstein lo disculparon por aquella debilidad peculiar de
un hombre que por todo lo demás era muy notable. Tres años después, Millikan demostró
que Einstein tenía razón en todas sus afirmaciones. En 1921, Albert Einstein recibió el
premio Nobel, y no por la publicación de la teoría de la relatividad, sino por la explicación
del efecto fotoeléctrico, en donde utilizó la revolucionaria teoría cuántica de Plank.
75
III.6. La óptica geométrica y los rayos de luz.
Si bien es cierto que el comportamiento de la luz es de naturaleza dual, en numerosas

situaciones es posible suponer que viaja en línea recta. Por ejemplo, la luz proveniente del
sol produce sombras bien delineadas detrás del objeto iluminado y la luz emitida por un
LÁSER pareciera ser que se desplaza en línea recta.
Este supuesto ha conducido al modelo de los rayos, que supone que la luz se desplaza en
trayectorias rectas conocidas como rayos de luz. En realidad, un rayo de luz es una línea
imaginaria dibujada perpendicularmente al frente de onda en la dirección del movimiento
(fig.27). Cuando observamos un cuerpo, de acuerdo a este modelo, es porque la luz llega
hasta los ojos, proveniente de los puntos que forman al cuerpo mismo.
Figura 27. Modelo de un rayo de luz.
Los rayos de luz son útiles para estudiar los fenómenos de reflexión y refracción, así como
la formación de imágenes formadas por los espejos y las lentes. Debido a la aplicación de
los rayos de luz, supuestos como líneas rectas, a este tema se le denomina óptica
geométrica.
III.7. La reflexión de la luz.
Cuando la luz incide contra un objeto se suceden varios fenómenos: En primer lugar, parte
la luz es reflejada y otra es absorbida y transformada en calor. Si el cuerpo es transparente,
algo de luz se refracta y viaja a través de él. En el caso de una superficie bien pulida, un
espejo, casi el 95 % de la luz puede reflejarse.
El fenómeno de reflexión de la luz obedece a dos leyes. Para determinarlas, es necesario

definir algunos rayos característicos: El rayo de luz incidente, la normal (línea imaginaría
perpendicular a la superficie) y el rayo de luz reflejado. Si se observa detenidamente la
reflexión de la luz en un espejo plano (fig.28), resulta fácil darse cuenta de dos hechos
básicos:
76
Figura 28. Reflexión de la luz por un espejo plano.
1. El rayo de luz incidente, la normal y el rayo de luz reflejado están en el mismo

plano.
2. El ángulo de incidencia (θi) es igual al ángulo de reflexión (θr).
Las anteriores se conocen como las leyes de la reflexión de la luz, que ya eran conocidas
por los antigüos griegos. Por otro lado, cuando la luz incide sobre una superficie rugosa,
como una hoja de papel, la luz es reflejada en todas direcciones y entonces es visible el
objeto y no hay formación de imágenes; a este fenómeno se le conoce como reflexión
difusa (fig.29). Por el contrario, cuando los rayos de luz inciden en un espejo, la luz es
reflejada de forma regular; a este fenómeno se le llama reflexión especular y, en este caso
tiene lugar la formación de imágenes.
Figura 29. Reflexión irregular o difusa.
77
III.8. Formación de imágenes en espejos planos.
Cuando una persona se ve en un espejo observa lo que parece ser ella misma, además de los
objetos que la rodean. Su cuerpo y los otros objetos, se ven como si estuvieran detrás de
ella. Por supuesto que no es así, los que se observa es la imagen de cada objeto.
La aplicación de las leyes de la reflexión es suficiente para determinar las características de

la imagen formada por un espejo plano. En primer lugar, considere un objeto puntual (P)
situado frente a un espejo plano a una distancia (do) (fig.21). Ahora trace dos rayos que
diverjan del P y apliquemos las leyes de la reflexión cuando chocan con el espejo. Observe
que el rayo (PV) no cambia su trayectoria, mientras que, el rayo (PB) incide con un ángulo
(θi ) y se refleja con el mismo ángulo (θr). Si se prolongan los rayos reflejados se obtiene el
punto imagen (P´).
Figura 30. Formación de una imagen por un espejo plano.
Para determinar la relación que existe entre la distancia al objeto (do) y la distancia a la
imagen (di), utilice la función tangente para el ángulo U y U´. Observe que estos ángulos
son iguales, por lo cual:
h h
tan U = y tan U ´ =
do di
Como U = U´ Entonces
h h
= por lo cual do h = di h
d o di
Al dividir entre h se obtiene:
do = di
78
Es decir, en un espejo plano la distancia del objeto al espejo es igual a la distancia del
espejo a la imagen.
Un procedimiento similar se emplea para determinar la altura de la imagen (Y´) formada

por un espejo plano. Consideremos ahora un objeto (PQ), de tamaño (Y), colocado frente al
espejo (fig.31); tracemos ahora dos rayos que diverjan del punto (Q) y apliquemos las
leyes de la reflexión cuando llegan al espejo. Observe que el rayo QV´ no cambia su
trayectoria, mientras que el rayo (QV) incide con un ángulo (θi) y se refleja con un ángulo
(θr). Si se traza la prolongación de los rayos reflejados se obtiene el punto donde se forma
la imagen (P´Q´).
Q´
P´
Figura 31. Tamaño de la imagen formada por un espejo plano.
Para determinar el tamaño de la imagen (Y´) y compararlo con el tamaño del objeto (Y),
utilicemos los triángulos PVQ y P´VQ´ para calcular la función tangente de los ángulos
(θi) y (θr). Observe que ambos número son iguales, es decir:
tan θi = tan θr
Por lo cual
Y Y´
=
do di
Como do = di entonces
Y = Y´
Por lo cual, el tamaño del objeto es igual al tamaño de la imagen formada por un
espejo plano.
79
En lo anterior, a (P´) se le llama imagen de (P), así como (P´Q´) lo es de (PQ). Ambas
imágenes son virtuales, en el sentido de que se forman por la intersección de la
prolongación de los rayos reflejados; estas imágenes se representan con líneas punteadas. Si
la imagen formada por el espejo tiene el mismo sentido del objeto que la forma, entonces se
denomina imagen derecha, en caso contrario, la imagen es invertida. Un espejo plano
forma imágenes virtuales, derechas y del mismo tamaño.
III.9. Espejos parabólicos y espejos esféricos.
En la cima del Pic du Midi, en los Pirineos franceses, un grupo de investigadores que
estudian los fenómenos relacionados con las altas temperaturas han utilizado grandes
espejos parabólicos para concentrar los rayos de luz y calentar el acero a temperaturas muy
altas. En la India, es frecuente el uso de estufas solares hechas con espejos parabólicos para
cocinar los alimentos. En Astronomía también se utilizan grandes espejos parabólicos para
concentrar la luz proveniente de las estrellas lejanas y así poder imprimir las imágenes en
placas fotográficas para ser analizadas.
Los espejos parabólicos son dispositivos ópticos utilizados comúnmente en los

supermercados, en el cruce de avenidas, en espejos retrovisores o simplemente para
observar una imagen más grande. Estos espejos se clasifican en espejos cóncavos y espejos
convexos; los espejos cóncavos (fig.32) son aquellos que tienen la propiedad de hacer que
los rayos de luz paralelos al eje del espejo converjan en un punto llamado el foco del
espejo. Los espejos convexos (fig.33), son aquellos que tienen la propiedad de divergir los
rayos de luz paralelos al eje del espejo. En este caso, es la prolongación de los rayos de luz
reflejados los que coinciden en el foco virtual.
Figura 32. Espejo cóncavo. Figura 33. Espejo convexo.
Es común referirse a los espejos parabólicos como espejos esféricos debido a que ambas
superficies son muy parecidas; de hecho, en un espejo esférico, los rayos de luz paralelos al
eje del espejo se reflejan y convergen en el punto focal. Las diferencias entre un espejo
esférico y uno parabólico se distinguen sólo cuando el objeto está situado a distancias
lejanas de la superficie del espejo. En un espejo esférico, el centro de curvatura está situado
a una distancia igual a dos veces la distancia focal; por lo cual el radio de curvatura está
definido por R=2f.
80
III.10. Formación de imágenes en espejos esféricos.
El método más simple para estudiar la formación de imágenes en espejos esféricos es el

trazado de los tres rayos de luz principales (fig.34 y 35). Estos rayos divergen del objeto
(O) situado frente al espejo; el punto de intersección de los rayos de luz reflejados por un
espejo cóncavo determina el punto donde se forma la imagen. En el caso de un espejo
convexo, el punto donde se forma la imagen corresponde a la intersección de la
prolongación de los rayos de luz reflejados.
Los tres rayos de luz principales son los siguientes:
Rayo 1. Paralelo al eje focal del espejo, pasa por el punto focal de un espejo cóncavo o
parece provenir del punto focal de un espejo convexo.
Rayo 2. Un rayo de luz que pasa por el punto focal de un espejo cóncavo o procede del
punto focal de un espejo convexo y que se refleja paralelamente al eje del espejo.
Rayo3. Un rayo de luz que avanza a lo largo de un radio del espejo y que se refleja por su
misma trayectoria.
Figura 35. Rayos Principales en un Figura 35. Rayos principales en un

espejo cóncavo. espejo convexo.
Para un espejo convexo, se presenta un sólo caso (fig.35). Las características de la imagen
se definen en función del tamaño de la imagen comparada con el tamaño del objeto, si la
imagen es real o virtual y si aparece invertida o derecha. Para este espejo, la imagen es
derecha, de menor tamaño y virtual.
Las características de la imagen formada por un espejo cóncavo dependen de la posición

del objeto con respecto al punto focal y el centro de curvatura. Para un espejo cóncavo se
presentan cinco casos (fig.36).
81
Caso I. El objeto se encuentra más allá del

centro de curvatura.
Características de la imagen:
Real.
Invertida.
Menor tamaño.
Caso II. El objeto se encuentra en el centro

de curvatura.
Real.
Invertida.
De igual tamaño.
Caso III. El objeto se encuentra entre el

centro de curvatura y el foco.
Real.
Invertida.
De mayor tamaño.
Caso IV. El objeto se encuentra en el foco.
No hay formación de imagen. También se

dice que la imagen se forma en el infinito. De
forma análoga, la imagen de un objeto
situado en el infinito se forma en el foco del
espejo.
Caso V. El objeto se encuentra entre el

foco y el vértice del espejo.
Virtual.
Derecha.
De mayor tamaño.
Figura 36. Formación de imágenes en espejos cóncavos.
82
III.11. Ecuación del espejo.
Para determinar analíticamente las características de las imágenes formadas por un espejo
esférico se emplea la ecuación del espejo que relaciona la posición del objeto (p), con la
posición de la imagen (q) y la longitud focal (f), de acuerdo a:
1 1 2
+ =
p q R
Como R=2f entonces
1 1 1
+ = (40)
p q f
Rescribiendo para q se obtiene
f ⋅p
q=
p− f (41)
El aumento o amplificación del espejo (A), se determina relacionando el tamaño de la

imagen (Y´) con respecto al tamaño del objeto (Y). La amplificación del espejo también es
igual a la relación entre la posición de la imagen y la posición del objeto, es decir:
Y´ q
A= =− (42)
Y p
Debido a que los espejos esféricos se clasifican en cóncavos o convexos, es necesaria una
convención de signos para distinguir entre uno y otro. De hecho, el signo negativo de la
ecuación 42 sirve para tal fin. La convención de signos se muestra en la tabla 12.
Signo + -
p objeto real objeto virtual
q imagen real imagen virtual
f espejo cóncavo espejo convexo
A imagen derecha imagen invertida
Tabla 12. Convención de signos para espejos esféricos.
83
Ejemplo:
Una fuente de luz de 6 cm de altura se coloca a 60 cm de un espejo cóncavo. Si la longitud

focal del espejo es de 20 cm. ¿cuáles son las características de la imagen formada?
Solución:
Para el caso de espejos cóncavos, las ecuaciones anteriores no sufren ninguna corrección de
signo, es decir, se aplican directamente. Sustituyendo en las ecuaciones 41 y 42 se obtiene:
(20cm)(60cm)
q= =30 cm
(60cm − 20cm)
30cm 1
A=− =−
60cm 2
1
Y´= AY = (6 cm) = 3 cm
2
Las características de la imagen son: real, invertida y de menor tamaño, que

corresponden al primer caso.
Ejemplo:
Un objeto luminoso de 8 cm de altura se coloca a 6 cm de un espejo convexo de 12 cm de

longitud focal ¿Cuáles son las características de la imagen formada?
Solución:
En el caso de espejos convexos, es necesario corregir el signo del foco antes de sustituirse
en la ecuación 41. El resultado obtenido se sustituye en la ecuación 42 para obtener:
(−12cm)(6cm)
q= = −4cm
(6cm + 12cm)
− 4cm 2
A=− =+
6cm 3
2
Y ´= (8cm) = 5.33cm
3
Las características de la imagen son: virtual, derecha y de menor tamaño. Recuerde que
este caso es único.
84
III.12. Refracción de la luz.
Cuando la luz pasa de un medio a otro, parte de la luz incidente se refleja en la frontera que
separa a los dos medios. El resto pasa al otro medio sufriendo un cambio de velocidad y
dirección. En efecto, cuando la luz incide con un ángulo diferente de 90º con respecto a la
superficie de separación, se desviará conforme avance en el nuevo medio. A este cambio en
la dirección de la luz, cuando cambia de medio, se le conoce como refracción de la luz.
Un experimento sencillo que muestra la refracción de la luz es “el quiebre” aparente que
sufre un lápiz sumergido en un vaso con agua; de la misma manera, las albercas parecen
menos profundas cuando están llenas con agua que cuando están vacías; también, la
refracción que sufre la luz al penetrar a la atmósfera terrestre causa que las estrellas titilen.
El fenómeno de refracción de la luz también obedece a dos leyes fundamentales. Para

observarlas es necesario considerar dos medios en donde se propague la luz, por ejemplo
aire y agua. Si un rayo de luz incide con un ángulo (θi) al pasar al agua se refracta (fig.37)
con un ángulo (θr). El rayo incidente se acerca a la línea normal siempre que la luz penetre a
un medio donde viaja con menor rapidez; por el contrario, si cambia a un medio donde la
luz viaje con mayor rapidez, el rayo refractado se aleja de la normal.
Figura 37. Fenómeno de refracción de la luz.
Las leyes de la refracción de la luz son:
1. El rayo de luz incidente, la normal a la frontera de separación y el rayo de luz

refractado se encuentran en un mismo plano.
2. La trayectoria formada por el rayo de luz incidente y el rayo de luz refractado es

perfectamente reversible.
85
III.13. Índice de refracción y dispersión de la luz.
Como es sabido, la velocidad de la luz en el vacío es de casi 3x108 m/s. Cuando la luz pasa
a otro medio, con muy pocas excepciones, la velocidad de la luz es menor al valor anterior.
Por ejemplo, la velocidad de la luz en el agua es de casi 2.25x108 m/s, mientras que, en el
vidrio es aun menor, aproximadamente 2.0x108 m/s. La relación entre la velocidad de la luz
en el vacío (c) y la velocidad de la luz en un medio en particular (v) se denomina índice de
refracción (n), es decir:
c
n= (43)
v
El índice de refracción es un número adimensional y generalmente es mayor que la unidad.

Para el agua n = 1.333, para el vidrio n = 1.5. La tabla 13 muestra el índice de refracción
de algunas sustancias.
Sustancia n Ángulo crítico

Hielo 1.3100 49.76
Agua 1.3330 48.61
Acetona 1.3590 47.38
Alcohol etílico 1.3610 47.31
Glicerina 1.4740 42.72
Cloroformo 1.5010 41.78
Cuarzo 1.5400 40.49
Cloruro de sodio 1.5442 40.36
Diamante 2.4173 24.44
Tabla 13. Índices de refracción para luz amarilla con una

longitud de onda de 589 nm.
Como se puede observar, los índices de refracción se determinan utilizando luz amarilla
monocromática de 589 nm. La razón de utilizar este tipo de luz es porque la velocidad de la
luz para todas las longitudes de onda es igual sólo en el vacío; al pasar a otro medio, cada
longitud de onda viaja con diferente rapidez. La luz roja viaja más rápido que la luz azul,
esto se observa haciendo pasar un rayo de luz visible por un prisma, debido a las diferentes
velocidades, la luz se separa en las diferentes longitudes de onda que la forman, fenómeno
conocido como dispersión (fig. 38). La proyección del haz de luz disperso se conoce como
espectro de la luz visible.
Figura 38. Dispersión de la luz visible.
86
III.14. Ley de Snell.
El comportamiento de la luz al pasar de un medio a otro fue estudiado por el astrónomo

holandés Willebrord Snell (1591–1626) quién llegó a la conclusión de que el ángulo de
refracción depende la velocidad de la luz en ambos medios, así como del ángulo de
incidencia. Hacia el año de 1621, llegó experimentalmente a un modelo matemático entre
(θi) y (θr). Esta ecuación de conoce como Ley de Snell y se escribe como:
senθ i vi
=
senθ r vr (44)
Es común enunciar la Ley de Snell como:
La razón del seno del ángulo de incidencia al seno del ángulo de refracción es igual a la
razón entre la velocidad de la luz en el medio de incidencia a la velocidad de la luz en el
medio de refracción.
En la ecuación 44, la velocidad de la luz en el medio de incidencia y la velocidad de la luz

en el medio de refracción se pueden sustituir en función del índice de refracción, es decir:
Reescribiendo la ecuación 44 se obtiene
vi ⋅ senθ r = vr ⋅ senθ i
En donde
c c
vi = y vr =
ni nr
Sustituyendo
c c
senθ r = senθ i
ni nr
Dividiendo entre la velocidad de la luz (c)
senθ r senθ i
=
ni nr
Reescribiendo
ni ⋅ senθ i = nr ⋅ senθ r (45)
87
En la ley de Snell, queda claro que si nr > ni entonces θr < θi ,es decir, si la luz penetra a un
medio con un índice de refracción mayor, donde su velocidad es menor, entonces el rayo de
luz se desvía hacia la normal. Caso contrario, si nr < ni entonces θr > θi , ahora el rayo de
luz se desvía alejándose de la normal.
Ejemplo:
Si un haz de luz incide con un ángulo de 30º con respecto a la normal de la superficie del
agua ¿Cuál es el ángulo de refracción? ¿Cuál es la velocidad de la luz en el agua?
Solución:
Por simplificación considere que el índice de refracción del aire es aproximadamente igual
a 1.0 (ni = 1.0). Al despejar el (senƟr ), de la ecuación 45 se obtiene que:
ni 1.0
senθ r = senθ i = sen30 o = 0.3751
nr 1.333
θ r = sen −1 (0.3751) = 22.03o
Dividiendo la velocidad de la luz en el vacío entre el índice de refracción del agua se

obtiene:
3 × 10 8 m / s
vr = = 2.25 × 10 8 m / s
1.333
Que es la velocidad de la luz en el agua.
Ejemplo:
Un rayo de luz que se propaga en el aire incide con un ángulo de 45º con respecto a la
normal de la superficie de una sustancia transparente y se refracta con un ángulo de 34º.
¿Cuál es el índice de refracción del material? ¿Cuál es la velocidad de la luz en el mismo?
Solución:
Despejando nr de la ecuación 45 y sustituyendo los datos anteriores se obtiene:
88
senθ i  sen 45 o 
n r = ni = 1.0  = 1.265
senθ r  sen34
o

La velocidad de la luz en el material es:
3 × 10 8 m / s
vr = = 2.37 × 10 8 m / s
1.265
III.15. Reflexión total de la luz y el ángulo límite.
Como se ha mencionado anteriormente, cuando la luz pasa de un medio a otro donde el

índice de refracción es menor, por ejemplo de agua a aire, la luz se desvía alejándose de la
normal. Para un ángulo determinado, la luz se refracta con un ángulo de 90º, paralelo a la
superficie que separa ambos medios, sin pasar al otro medio.
Para observar este fenómeno, considere un rayo de luz que diverge del punto (P), situado
en un medio con un índice de refracción (n2) y haga incidir el rayo de luz en la superficie
de separación con el medio 1, con un índice de refracción (n1), con distintos ángulos hasta
que el rayo refractado sea paralelo a la superficie de separación (fig.39).
Figura 39. Reflexión total de la luz.
En la figura anterior, el rayo 1 es perpendicular a la superficie de separación y al

refractarse no cambia su dirección. El rayo 2 y el rayo 3 inciden con ángulos cada vez
mayores y el rayo de luz se refracta alejándose de la normal cada más. El rayo 4, incide
con un ángulo (φc) y el rayo de luz se refracta en forma paralela a la superficie de
separación de ambos medios, a este ángulo se le denomina como el ángulo crítico. Para
ángulos mayores al ángulo crítico (rayo 5) el seno del ángulo de refracción calculado por la
89
Ley de Snell es mayor que la unidad; esto indica que los rayos de luz que inciden con un
ángulo mayor a (φc) no pasan al otro medio sino que son reflejados totalmente.
El ángulo límite para dos medios cualesquiera con n2 > n1 está definido por:
n1
senϕ c = (46)
n2
III.16. Lentes delgadas.
La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el uso de lentes que se utilizan para
corregir los defectos visuales y para amplificar objetos pequeños. Las lentes se utilizan en
gran cantidad de dispositivos ópticos, cámaras fotográficas, binoculares, telescopios,
microscopios, estereoscopios y una gran variedad de dispositivos médicos. El desarrollo de
los dispositivos ópticos que hacen uso de las lentes data de los siglos XVI y XVII, aunque
el registro más antigüo se remonta al siglo XIII.
En general, una lente es de forma circular y sus caras son esféricas, cóncavas o convexas, o
planas. Una lente está construida de tal manera que tiene la propiedad de formar imágenes
por refracción de la luz. Las lentes se clasifican en convergentes y divergentes.
La figura 40 muestra una lente convergente que está construida por dos superficies
convexas (lente doble convexa). Este tipo de lente tiene la propiedad de refractar y
converger los rayos de luz paralelos al eje en un punto situado del otro lado del lente
llamado foco real.
Una lente divergente está construida por dos superficies cóncavas (lente doble cóncava) y
tiene la propiedad de refractar y divergir los rayos de luz paralelos al eje de la lente. En este
caso, es la prolongación de los rayos refractados los que coinciden en un punto común
llamado foco virtual de la lente (fig.41).
Figura 40. Punto focal de una lente

convergente.
Los rayos de luz provenientes de una fuente

lejana pueden considerarse paralelos al eje de
la lente, por lo cual la imagen se forma en el
foco.
90
Figura 41. Lente divergente.
En una lente divergente, las prolongaciones de

los rayos de luz refractados son los que se
interceptan, por lo cual el tipo de imagen que
forma es virtual.
III.17. Formación de imágenes en lentes delgadas.
El método para determinar las características de las imágenes formadas por lentes delgadas
es similar al empleado en espejos esféricos. Se trazan tres rayos principales que divergen
del objeto (O) situado frente a la lente (fig.42 y fig.43). El punto de intersección de los
rayos de luz refractados por una lente convergente determina el punto donde se forma la
imagen. En el caso de una lente divergente, el punto donde se forma la imagen corresponde
a la intersección de la prolongación de los rayos de luz refractados.
Figura 42. Rayos principales en una lente Figura 43. Rayos principales en una lente
convergente. divergente.
Los tres rayos principales son:
Rayo 1. Un rayo de luz paralelo al eje de la lente que pasa por el segundo punto focal (f2)
de una lente convergente o que parece provenir del primer punto focal (f1) de una lente
divergente.
Rayo 2. Un rayo de luz que pasa por el primer punto focal (f1) de una lente convergente o
que prosigue hacia el segundo punto focal (f2) de una lente divergente. Se refracta en forma
paralela al eje de la lente.
Rayo 3. Un rayo de luz que pasa por el centro geométrico de la lente y no cambia de
dirección.
Para una lente divergente, se presenta un solo caso (fig.43). Las características de la
imagen son análogas a las de un espejo convexo: virtual, de menor tamaño y derecha.
91
Las características de la imagen formada por una lente convergente dependen de la posición
del objeto con respecto al punto focal. Para una lente convergente se presentan cinco casos
(fig.44).
Caso I. El objeto se encuentra más allá del

doble de f1.
Real.
Invertida.
Menor tamaño.
Caso II. El objeto se encuentra en 2f1.
Real.
Invertida.
Igual tamaño.
Caso III. El objeto se encuentra entre

2f1 y f1.
Real.
Invertida.
Mayor tamaño.
Caso IV. El objeto se encuentra en f1.
No existe formación de imagen.
También se dice que la imagen se forma

en el infinito
Caso V. El objeto se encuentra entre f1 y el centro

geométrico de la lente.
Virtual.
Derecha.
Mayor tamaño.
Figura 44. Formación de imágenes en lentes convergentes.
92
III.18. Ecuación de las lentes.
Para determinar analíticamente las características de las imágenes formadas por las lentes
se utiliza un método completamente análogo al empleado en los espejos esféricos. De
hecho, la ecuación que relaciona la posición del objeto (p), con la posición de la imagen (q)
y la longitud focal (f) es la misma, es decir:
1 1 1
+ = (47)
p q f
Rescribiendo para q se obtiene
f ⋅p
q=
p− f (48)
El aumento o amplificación de la lente (A) se determina relacionando el tamaño de la

imagen (Y´) con respecto al tamaño del objeto (Y). La amplificación de la lente también es
igual a la relación entre la posición de la imagen y la posición del objeto, es decir:
Y´ q
A= =− (49)
Y p
Debido a que las lentes se clasifican en convergentes y divergentes, es necesaria una

convención de signos para distinguir entre uno y otro. De hecho, el signo negativo de la
ecuación 49 sirve para tal fin. La convención de signos se muestra en la tabla 14.
Signo + -
p objeto real objeto virtual
q imagen real imagen virtual
f lente convergente lente divergente
A imagen derecha imagen invertida
Tabla 14. Convención de signos para lentes delgadas.
Como observa, las ecuaciones anteriores y la convención de signos, necesarios para

resolver problemas relacionados con lentes, son idénticas a las empleadas en la
determinación de las características de las imágenes formadas por los espejos esféricos. A
manera de recomendación, se sugiere que primero realice una gráfica de la lente para
identificar el caso de que se trata y después emplee las ecuaciones anteriores.
93
Ejemplo:
Una lámpara de 8 cm de altura se coloca a 36 cm de una lente convergente con una longitud
focal de 12 cm. ¿Cuáles son las características de la imagen formada?
Solución:
Como puede observar se trata del primer caso para lentes convergentes y signo de la
longitud focal no se modifica. Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación 48 y 49 se
obtiene:
f ⋅ p (12cm) ⋅ (36cm)
q= = = 18cm
p− f (36cm − 12cm)
Y´ q 18cm 1
A= =− = − =−
Y p 36cm 2
1
Y´= (8cm) =4.0cm
2
Las características de la imagen son: real, invertida y de menor tamaño, que

corresponden justo al primer caso de lentes convergentes. Observe que el signo negativo de
(A) se utiliza sólo para identificar que la imagen es invertida.
Ejemplo:
Una fuente luminosa de 8 cm de altura se coloca a 4 cm de una lente divergente de 12 cm

de longitud focal. ¿Cuáles son las características de la imagen formada?
Solución:
Ahora si es necesario corregir el signo de la longitud focal y después sustituir en la

ecuación 48.
f ⋅ p (−12cm) ⋅ (4cm)
q= = = −3cm
p− f 4cm + 12cm
Y´ q  − 3cm  3
A= = − = − =+
Y p  4cm  4
3
Y ´= AY = (8cm) = 6cm
4
Las características de la imagen son: virtual, derecha y de menor tamaño.
94
III.19. Ecuación del fabricante de lentes.
La ecuación del fabricante de lentes (50) relaciona la longitud focal de una lente (f) con el
radio de curvatura de sus dos superficies y con el índice de refracción del material (n) con
el que se fabrica. En esta ecuación, los radios de curvatura (R1 y R2) se consideran positivos
para superficies convexas y negativos para superficies cóncavas. Para el foco (f), también
se considera una convención de signos: si el foco es positivo corresponde a una lente
convergente, mientras un foco negativo es para una lente divergente.
1  1 1 
= (n − 1) +  (50)
f  R1 R2 
Ejemplo:
Una lente menisco tiene una superficie convexa, con un radio de curvatura de 10 cm y una
superficie cóncava con un radio de curvatura de 15 cm. Si la lente se construye con un
vidrio que tiene un índice de refracción de 1.52 ¿Cuál es la longitud focal de la lente?
Solución:
Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación 50 y considerando R1 positivo y R2

negativo se obtiene:
1  1 1  1 1
= (n − 1) +  = (1.52 − 1) −  = 0.01733cm −1 Por lo tanto:
f  R1 R2   10 15 
f = + 57.70 cm (el signo positivo indica que es una lente menisco convergente).
Ejemplo:
Una lente plano convexa construida con lucita, con un índice de refracción de 1.51, tiene
una superficie plana y la otra convexa con un radio de curvatura de 18.4 cm ¿Cuál es la
longitud focal?
Solución:
Para una superficie plana, el radio de curvatura es infinito, por lo que el valor de 1/R1
tiende a cero. Al sustituir datos en ecuación 50 se obtiene:
1 1 1   1  −1
= (n − 1) +  = (1.51 − 1) +  = 0.02771cm = +36.0cm
f  R1 R2   18.4 
95
III.20. Color.
Desde la antigüedad, los colores han intrigado a los artistas, arquitectos, pintores. El físico
no ha sido la excepción. Sin embargo para él, el color no está en la sustancia misma, sino
que está en los ojos del observador. En este sentido, el color se debe a las frecuencias de la
luz que son reflejadas por los objetos. Las rosas parecen rojas debido a que reflejan luz de
una longitud de onda que corresponde a este color; otras longitudes de onda reflejadas
provocan la sensación de otros colores.
Cuando la luz incide sobre una flor, sus células absorben luz de determinada frecuencia y
reflejan otra. Las células que contienen clorofila absorben la luz casi en su totalidad y sólo
reflejan la porción que corresponde al verde; por esto, las plantas se ven verdes. Los pétalos
de una rosa roja, reflejan luz de longitud de onda que corresponde al rojo y en menor grado
al azul.
Los cuerpos amarillos, como la flor de un girasol, reflejan la luz correspondiente al rojo y al
azul, además del amarillo. En general, los cuerpos de color, reflejan luz de diferentes
longitudes de ondas, sólo que la sensación producida en los ojos del observador es la de un
color único.
Isaac Newton fue el primero en sistematizar el estudio del color, ya había observado que
haciendo pasar la luz solar a través de un prisma obtenía los colores del arco iris. El prisma
descomponía la luz solar en un conjunto de colores que el mismo Newton llamó espectro.
La luz solar es un ejemplo de lo que se llama luz blanca. Un cuerpo de color blanco
iluminado con luz blanca se ve blanco; de manera análoga, un cuerpo de color iluminado
con luz blanca se observa de su color. Newton también demostró que el color era una
propiedad de la luz y no de los cuerpos. Para demostrarlo, colocó un segundo prisma en el
espectro de luz y volvió a obtener la luz blanca. De esta manera, hablando estrictamente, el
color blanco no es un color sino una mezcla de todos los colores. Por otro lado, el color
negro no es un color, sino la ausencia de luz. Un objeto se ve negro cuando absorbe todas
las longitudes de onda de la luz visible; aun así, refleja algo de luz para que pueda ser
observado.
En la actualidad, la palabra color es usada con varias acepciones diferentes. Un psicólogo

utiliza esta palabra para referirse a la sensación producida en el observador humano cuando
la retina es estimulada por energía radiante. En un sentido más mundano el color se utiliza
para especificar la propiedad de un objeto, por ejemplo, “el color del libro es azul”. El
Comité de Colorimetría de la Optical Society of America ha recomendado la siguiente
definición: “El color se compone de aquellas características de la luz distintas a las de
espacio y tiempo; siendo la luz aquel aspecto de la energía radiante que el hombre percibe
a través de las sensaciones visuales que se producen por estímulo a la retina”.
96
III.21. Mezcla de luz de color.
Es un hecho conocido que cuando se combinan todos los colores del espectro se obtiene la
luz blanca, aunque curiosamente también es posible obtener luz blanca combinado solo los
colores rojo, verde y azul (fig.45). La combinación del color azul y verde da como
resultado un color azul verdoso llamado cian, mientras que con la combinación del verde y
rojo se obtiene el color amarillo. También, con la combinación del azul y rojo se obtiene un
color rojo azulado llamado magenta. Los colores que pueden ser obtenidos mediante la
combinación de los colores del espectro se denominan colores reales.
Figura 45. Mezcla aditiva de colores.
Con la superposición de los colores azul, verde y rojo, y variando su intensidad, es posible
obtener una gran variedad de colores, en este sentido, a estos colores se les llama colores
primarios.
Gran variedad de dispositivos electrónicos, televisión, scanner, cámaras digitales, entre

otros, basan su funcionamiento en el hecho de que el ojo humano percibe las
combinaciones de tres colores distintos. Si observa con detenimiento la pantalla de una
televisión se dará cuenta que la imagen está compuesta por diminutos puntos de diferentes
colores (rojo, verde o azul) que vistos de lejos dan la sensación de una imagen a todo color.
97
III.22. Ejercicios propuestos:
1. Una alberca siempre parece menos profunda de lo que en realidad es. Explique lo
anterior utilizando la ley de Snell.
2. ¿La refracción de la luz en la atmósfera hace que los días sean más largos o más
cortos?
3. ¿Porqué las imágenes formadas por espejos planos se invierten de derecha a izquierda
pero no de arriba hacia abajo?
4. ¿Porqué las superficies de las lentes son generalmente esféricas?
5. ¿En qué difieren las imágenes reales de las virtuales?
6. ¿En qué consiste la aberración esférica?
7. ¿Cuál es la causa de la aberración cromática?
8. Describa el funcionamiento óptico de un microscopio y de un telescopio.
9. ¿Cuáles son las semejanzas entre el ojo humano y una cámara fotográfica.
10. Visto desde la superficie terrestre el cielo es azul ¿De qué color se observará si lo ve
desde la superficie de la luna?
11. ¿Por qué el cielo es azul?
12. Una película fotográfica se coloca en el punto donde se forma una imagen virtual
¿Cuáles son los resultados obtenidos al revelar la película?
13. ¿Por qué se forman los espejismos?
14. ¿Cómo funcionan las fibras ópticas? ¿Para qué se utilizan?
15. ¿Qué es un rayo LÁSER?
16. ¿Qué afecta más la piel? Los rayos ultravioleta o los rayos infrarrojos.
17. ¿Explique que es y como funciona una cámara obscura?
18. ¿Cómo argumentaría que la luna es rugosa y no lisa?
19. Se dice que Arquímedes incendió toda la flota romana utilizando espejos esféricos para
reflejar la luz del sol ¿Es esto posible?
20. En cualquier circunstancia ¿Puede una lente divergente formar una imagen real?
98
En los siguientes ejercicios, siempre que sea posible, realice una gráfica donde
muestre los datos conocidos y desconocidos para identificar el caso correspondiente.
21. Suponga que el diámetro del sol es de 1x 106 mi y su distancia a la tierra de 100 x 106
mi. Determine el tamaño de la imagen real del sol formada por una lente convergente
de 20 m de distancia focal.
22. Un espejo cóncavo, utilizado para rasurarse, se coloca a 15 cm de la cara de un

individuo produciendo una imagen virtual del doble de tamaño. ¿Cuál es la distancia
focal del espejo?
23. Un dentista utiliza un espejo cóncavo para observar la orificación de un diente. Si el

radio de curvatura es de 4 cm y el espejo es colocado a 4 cm del diente. ¿Cuáles son las
características de la imagen formada?
24. Un rayo de luz que viaja en el aire incide en un material plástico transparente con un
ángulo de 45o con respecto a una normal de la superficie del material. El ángulo de
refracción es de 30o ¿Cuál es el índice de refracción del material? ¿Cuál es la velocidad
de la luz?
25. Un rayo de luz que viaja en el agua choca con una superficie de vidrio con un ángulo de
43o con respecto a la normal de la superficie. Si el ángulo de refracción en el vidrio es
de 35o ¿Cuál es el índice de refracción en el vidrio?
26. El ángulo crítico para un cierto tipo de vidrio es de 39o. ¿Cuál es el índice de refracción
del vidrio?
27. Un espejo cóncavo con un radio de curvatura de 10 cm, forma una imagen de un objeto
de 2 cm de alto que está situado a 20 cm delante del espejo. Determine la posición y
tamaño de la imagen. ¿Cuáles son las características de la imagen? Repita el ejercicio
para las distancias del objeto de 10 cm, 8 cm, 5 cm y 3 cm.
28. Determine la naturaleza, posición y tamaño de la imagen de un objeto de 10 cm de

altura que se encuentra 40 cm delante de un espejo convexo que tiene una distancia
focal de 10 cm. Repita el ejercicio para distancias de 20 cm y 5 cm.
29. Se dispone de un espejo cóncavo con una distancia focal de 20 cm. ¿Dónde debe de
estar colocado el objeto para que su imagen sea real y de doble tamaño? Repita el
ejercicio para el caso de que la imagen tenga que ser virtual.
30. Determine la posición, naturaleza y tamaño de la imagen formada de un objeto de 3 cm

de alto por una lente convergente de 15 cm de distancia focal, para las siguientes
distancias del objeto: 90 cm, 30 cm y 5 cm.
31. Una lente divergente con una distancia focal de 40 cm es empleada para formar una
imagen de un objeto de 5 cm de alto. Determine las características de la imagen si el
objeto se encuentra en las siguientes posiciones: 80 cm, 60 cm y 20 cm.
99
32. Si una lente divergente ha de ser empleada para formar una imagen con un tamaño igual
a la mitad del objeto. ¿Donde debe de colocarse?
33. Una lente de vidrio ordinario tiene una distancia focal de 20 cm en el aire. ¿Cuál es su
distancia focal cuando se sumerge en el agua?
(Sugerencia) La distancia focal de una lente sumergida en un medio diferente al aire está
dada por:
f n m (n g - 1)
f medio =
aire
ng - nm
En donde:
nm = índice de refracción en el medio y

ng = índice de refracción del cristal.
100
UNIDAD IV
“Vivimos en el mundo cuando amamos.

Sólo una vida vivida para los demás merece
la pena de ser vivida”
Albert Einstein (1879-1955)
Al frotar los globos con los cabellos se produce una transferencia de electrones que
ocasiona que tanto el globo como el cabello se carguen eléctricamente, dando
como resultado una fuerza eléctrica de atracción entre ambos.
ELECTRICIDAD
101
IV.1. Introducción.
Cualquiera de ustedes ha experimentado o visto, en algún momento de su vida, los efectos

debidos a la electricidad estática; después de caminar por la alfombra y tocar un objeto
metálico se observa una pequeña descarga, al frotar los cabellos con un globo y colocarlo
en la pared o en el techo se queda adherido por una extraña fuerza. Si una hoja de papel se
frota varias veces contra el pizarrón, el efecto es el mismo, la hoja se queda “pegada” sin
utilizar ningún tipo de adhesivo. Los ejemplos anteriores, demuestran que el frotamiento de
un cuerpo contra otro hace que se presente la transferencia de “algo” entre ellos, dando
como resultado una fuerza de atracción o de repulsión. En la actualidad, es un hecho
conocido, que lo que transfiere de un cuerpo a otro es la carga eléctrica.
El conocimiento de la electricidad se remonta al año 600 a.C., cuando lo griegos

observaron que al frotar el ámbar con un paño de lana adquiría la propiedad de atraer
pequeños trozos de paja. Los griegos también conocían algunos fenómenos magnéticos, ya
que habían observado que el hierro era atraído por una extraña piedra, la magnetita. Sin
embargo, tuvieron que pasar cientos de años para que las observaciones fueran cuantitativas
y se pudiera establecer una relación sólida entre los fenómenos eléctricos y magnéticos.
En la sociedad actual, la electricidad es asociada de inmediato a cualquier dispositivo

eléctrico como lámparas, motores, ventiladores, radios, televisiones, etcétera. En la escala
histórica, todo lo anterior tiene un origen relativamente reciente; durante unos dos mil años
antes de 1800, el conocimiento humano de la electricidad se limitó a los fenómenos
electrostáticos, que habían observado los antiguos griegos. La ciencia electrostática no se
desarrolló sino hasta después del renacimiento; hacia los años de 1800, los trabajos de los
científicos como Coulomb, Gauss, Gilbert y Franklin habían hecho avanzar esta ciencia
casi hasta el estado actual.
En el siglo XVIII ocurrió un explosivo desarrollo de la electricidad, iniciando con el

experimento de Oersted de que los campos eléctricos son acompañados por corrientes
eléctricas, y que culminó, en 1864 con la brillante obra teórica de Maxwell que predijo la
existencia de las ondas electromagnéticas; y la detección de las mismas por H. Hertz hacia
el año de 1888. Durante este periodo se inventaron el motor, el generador eléctrico, se
desarrollaron las comunicaciones eléctricas por medio del telégrafo y del teléfono; además,
se comenzaron a utilizar de manera cotidiana otros dispositivos eléctricos y
electromecánicos.
Hacia este año, 1888, se contaba prácticamente con todo el marco teórico para elaborar la
tecnología de las telecomunicaciones por medio de la radio, televisión y las microondas;
sólo hacía falta aplicar el conocimiento para el diseño y construcción de los dispositivos
electrónicos que permitieran controlar la generación, emisión y detección de las ondas
electromagnéticas.
El hecho de que se comenzara a comprender intensamente la electricidad después del año

1800, se debió a determinados eventos que ocurrieron entre los años de 1786 y 1800. En
primer lugar, antes del año 1786, no existía una manera práctica de establecer un flujo
continuo de carga (una corriente eléctrica), lo que limitaba realizar experimentos solo con
102
carga eléctrica en reposo, es decir solo a experimentos electrostáticos. Desde luego que fue
posible observar fenómenos en donde el flujo de carga permanecía por unos instantes como
la carga y descarga de un condensador o la producción de una chispa eléctrica entre dos
electrodos a diferentes potenciales. Sin embargo, el flujo de carga era tan repentino que era
imposible observar los efectos que producía con los aparatos de medición conocidos en ese
tiempo.
En 1786, el científico italiano Aloisio Galvani observó contracciones musculares continuas

en las terminales nerviosas de las patas de una rana al haberlas conectado en serie con dos
conductores de metales distintos. Alessandro Volta, continuó con las investigaciones de
Galvani; atribuyó la “acción galvánica” a las presencia de metales di símbolos y luego
construyó las “pilas voltaicas”, que consistían en piezas de metales no semejantes, como el
cobre y el zinc, separados por pedazos de tela humedecidos en una solución salina. Estas
pilas, conocidas ahora como pilas o celdas electroquímicas, podían mantener una intensidad
de corriente relativamente intensa y constante a través de circuitos conductores mediante
las diferencias de potencial eléctrico generado químicamente.
La pila de Volta facilitó las investigaciones posteriores como Oersted, Ampère, Faraday,
Maxwell, Hertz, entre otros, quienes “rápidamente” descubrieron, analizaron y
sistematizaron los efectos magnéticos, térmicos y químicos relacionados con las corrientes
continuas de electricidad.
No fue casual que en 1820 ocurriera el descubrimiento de Oersted de que la aguja de una
brújula se desvía con la presencia de un conductor que transporte una corriente eléctrica.
Esto no pudo haber sucedido con anterioridad, ya que antes de que se construyera la pila
voltaica nadie había podido mantener un flujo de carga continuo. Después de la invención
de la pila, se inicio con los descubrimientos importantes relacionados con la electricidad
dinámica.
IV.2. Estructura atómica de la materia.
El concepto de átomo fue planteado por Demócrito y Leucipo cuatro siglos a.C., y
afirmaban que toda la materia está constituida por átomos que eran indivisibles. El átomo,
como parte fundamental de la materia, es la fracción más pequeña de un elemento que
conserva todas las propiedades químicas; el átomo está formado por protones, neutrones y
electrones; los protones y neutrones forman el núcleo del átomo, constituyendo la masa
atómica del mismo. La diferencia entre los protones y neutrones radica en que los primeros
tienen masa y carga eléctrica positiva, lo que significa que son atraídos por carga eléctrica
negativa y rechazada por una positiva. El neutrón tiene masa pero no tiene carga eléctrica,
es eléctricamente neutro. Los electrones se encuentran fuera del núcleo atómico localizados
en niveles de energía determinados, tienen carga eléctrica negativa y también tienen masa,
aunque mucho menor que la masa de un protón o de un neutrón. La masa de un protón es
aproximadamente igual a la masa de un neutrón, siendo estas de unas 1840 veces mayor
que la masa de un electrón.
103
El átomo es eléctricamente neutro, es decir, el número de protones es igual al número de

electrones, de modo que la carga eléctrica positiva se equilibra con la carga eléctrica
negativa. En otras palabras, si un átomo no está excitado y no se transfiere ningún electrón,
es eléctricamente neutro (fig. 46). Si por el contrario, se transfieren electrones a otro átomo,
la estructura queda cargada positivamente, mientras que el átomo que los ganó queda
cargado negativamente, denominándose a ambos ión negativo y positivo respectivamente.
El proceso de ceder o ganar electrones se llama ionización.
Figura 46. Representación de un átomo de carbono.
La masa de toda partícula elemental, como la de un electrón, es una propiedad inherente a

la partícula. De manera análoga, la carga eléctrica de cualquier partícula es también una
característica intrínseca. Resulta entonces necesario, determinar por medios experimentales
la existencia de masa y de carga y sus respectivos valores numéricos, ya que no existe una
teoría contundente que permita predecir tales valores, la Segunda Ley de Newton es
suficiente para determinar la masa de una partícula eléctrica, mientras que la carga eléctrica
se puede inferir a partir de la intensidad de las fuerzas eléctrica que actúan sobre una
partícula en condiciones experimentales perfectamente estandarizadas.
Si bien es cierto que la comprensión de los conceptos anteriores representa un desafío a la

mente humana, lo es más aun la actividad que existe dentro del átomo. Sin embargo, la
misma actividad humana, la física, la química y todos sus científicos han permitido la
construcción de modelos atómicos que simplifican la comprensión del átomo.
El instrumento que permitió a la comunidad científica dar una primera vista al interior del
átomo fue inventado por William Croques. El tubo de Croques (fig. 47) está constituido
por dos placas metálicas colocadas en los extremos del mismo y encerradas en un tubo de
cristal. Tiene también una boquilla donde se conecta una bomba de vacío para extraer el
aire del interior. Las placas metálicas son conectadas a un circuito eléctrico, de modo tal
que una placa sea el ánodo (polo positivo) y la otra el cátodo (polo negativo). Al cerrar el
circuito, se produce en el tubo una luminiscencia que sale del cátodo. Estos rayos se
denominaron rayos catódicos.
104
Figura 47. Tubo de Crookes.
El átomo de Thomson.
A finales del siglo XIX, J.J. Thomson (1856 – 1940), realizó cinco experimentos
utilizando el tubo de Crookes, que causaron una sacudida en el mundo científico y
cambiaría para siempre la concepción tradicional del átomo como un ente indivisible.
En el primer experimento, Thomson recubrió la placa del ánodo con una sustancia
fluorescente que reaccionaría cuando incidieran en él los rayos catódicos. En este
experimento también puso una cruz de metal en la trayectoria de los rayos catódicos para
mostrar que dichos rayos no son capaces de atravesar la cruz y que se mueven en línea recta
dando como resultado la formación de una sombra bien definida.
Dentro del tubo, colocó después un rehilete en perfecto equilibrio para demostrar que
cuando los rayos catódicos inciden sobre él empieza a girar. Estas observaciones le
permitieron concluir que los rayos catódicos están formados por partículas materiales y no
son simples haces de luz.
En el tercer experimento, Thomson sujetó el tubo de Crookes a la acción de un campo

magnético creado por imanes. Al cerrar el circuito observó que los rayos catódicos
cambiaban de dirección por la presencia del campo magnético, lo que indicaba que las
partículas que componen los rayos catódicos están cargadas con “electricidad negativa”.
Después, Thomson colocó placas cargadas eléctricamente en cada lado de la trayectoria de

los rayos catódicos y, midiendo la carga necesaria para desviar el haz de partículas,
determinó que la masa de las partículas catódicas era “unas dos mil veces más pequeñas”
que la masa de un átomo de hidrógeno, que es el elemento más ligero que se conoce.
105
En el último experimento, Thomson utilizó diferentes metales como cátodo, y además

colocó diferentes gases en el tubo como marcadores. Las observaciones realizadas le
permitieron inferir que los rayos catódicos se comportan de la misma manera,
independientemente del metal que se utilice como cátodo, por lo cual dichos rayos forman
parte de cualquier elemento.
En abril de 1897, Thomson publicó los resultados de sus investigaciones y afirmó que “los
rayos catódicos son partículas de electricidad negativa, se propagan en línea recta, son
partículas materiales y, como provienen del interior del átomo, se puede concluir que no
son indivisibles porque la acción de las fuerzas eléctricas pueden arrancar las partículas
de carga negativa”. También dijo “todas estas partículas tienen la misma masa, tienen el
mismo tipo de electricidad negativa y sea cual fuere el átomo del elemento del que
provengan son iguales, es decir forman parte de todos los átomos”.
Thomson había encontrado partículas que se encontraban en cualquier átomo, en un

principio las llamó corpúsculos. Después se les dio el nombre de electrones, concepto que
se había utilizado antes para describir las partículas eléctricas. Con estos descubrimientos,
los científicos se dieron cuenta de que el átomo no era el último constituyente de la materia
y que no era indivisible, por lo cual debería tener una estructura definida. Thomson planteó
el modelo del “budín de pasas” (fig. 48), en donde los electrones se hallarían en una zona
de carga positiva como las pasas de un pastel, asegurando con esto la neutralidad del
átomo.
Figura 48. Modelo atómico de Thomson.
El átomo de Ernest Rutherford.
Rutherford había sido discípulo de Thomson y se encargó de continuar las investigaciones

para responder algunas cuestiones que habían quedado sin respuesta, tenía una gran
curiosidad por saber si era posible encontrar más cosas al interior del átomo. Hans Geiger
(1882 – 1945), el inventor del contador de Geiger, trabajo con Rutherford en sus
investigaciones. Ambos decidieron que la mejor forma de investigar el interior del átomo
106
era sometiéndolo a un bombardeo que lo desintegrara. Para ello escogieron las partículas
alfa (núcleos de Helio) como proyectil para bombardear y hacer estallar el átomo. Para
dispararlas colocaron una pequeña masa de radio, elemento radiactivo que emite partículas
atómicas constantemente, encerrada en una cápsula de plomo con una pequeña abertura
para dirigir las partículas alfa.
En el primer experimento, Rutherford y Geiger colocaron la cápsula de plomo, con el radio

dentro, frente a una pantalla fluorescente para que se emitiera un destello luminoso cada
vez que chocara una partícula alfa y así poder contarlas (fig. 49). Después colocaron una
hoja de oro laminado con un espesor de 1/500 mm y observaron que la pantalla
fluorescente seguía emitiendo destellos luminosos; por alguna razón, las partículas alfa
podían atravesar la hoja de oro.
Figura 49. Primer experimento de Rutherford y Geiger.
Los científicos cambiaron de posición la pantalla (a los lados, arriba y abajo de la lámina de
oro) y observaron que para cualquier posición continuaban los destellos en la pantalla
fluorescente. Esto les permitió inferir que algunas de las partículas alfa rebotan después de
incidir en la lámina de oro.
Con base a estas observaciones, Rutherford propuso un nuevo modelo atómico (fig. 50), en
donde el átomo estaba compuesto por un núcleo central, en donde se encontraba la masa del
átomo y la carga positiva. Por otro lado, la dimensión del núcleo comparada con la
dimensión del átomo es “demasiado pequeña”, en consecuencia, la concentración de la
masa y la carga eléctrica positiva es “relativamente grande”. Con respecto a los electrones,
Rutherford propuso que se situaran orbitando al núcleo en trayectorias no definidas.
107
Ante esta perspectiva, consideró también que gran parte del átomo era espacio vacío. Esto
explicaba por qué las partículas alfa atravesaban la hoja de oro; además, si ese espacio
estaba ocupado por un núcleo central que contiene casi toda la masa atómica y la carga
positiva, se explicaba por qué algunas partículas alfa eran desviadas y las pocas que
chocaban con el núcleo eran rechazadas.
Rutherford realizó otro experimento encaminado a investigar la composición del núcleo del
átomo y determinar lo que equilibraba la carga negativa de los electrones. Esta vez, las
partículas alfa provenientes del polonio eran impactadas en los átomos de nitrógeno; lo que
encontró fue que una pequeña parte del nitrógeno se transformaba en átomos de hidrógeno
y oxígeno, es decir la partícula alfa interacciona con el núcleo del nitrógeno, produciéndose
un protón y un núcleo de oxígeno.
Rutherford observó que los átomos de hidrógeno quedaban cargados positivamente después
del impacto; esto le permitió concebir una de sus ideas más importantes: cada elemento
contiene uno o más de estos átomos de hidrógeno con carga positiva que les llamó protón,
palabra derivada del griego que significa primero. De esta manera, Rutherford propuso un
modelo atómico más completo, en el cual el núcleo se encuentra en el centro y está
formado por protones con carga positiva.
Ahora solo quedaba una interrogante: ¿Dónde se encuentran los electrones? Rutherford ya
había determinado que los electrones se encuentran a cierta distancia del núcleo del átomo,
y que eran atraídos por la carga positiva de los protones; esto implicaba la existencia de otra
fuerza que fuera capaz de equilibrar la fuerza de atracción entre electrones y protones.
Entonces, si los electrones se encuentran en movimiento girando alrededor del núcleo,
parece razonable pensar que es una fuerza centrifuga la que equilibra la fuerza de atracción.
Si lo anterior era cierto, lo único que faltaba era determinar la velocidad a la que giran y
demostrar que la fuerza centrífuga era suficiente para que los electrones no cayeran al
núcleo del átomo. Los cálculos demostraron que los electrones giran a una velocidad de
decenas de miles de kilómetros cada segundo y que están situados a una cienmillonésima
de centímetro del núcleo.
Figura 50. Modelo atómico de Rutherford.
108
La estructura del átomo parecía estar completa. Sin embargo, el núcleo seguía siendo un
misterio, ya se había aceptado la idea de que los protones estaban en el núcleo y los
electrones girando a su alrededor en órbitas cerradas. No obstante, algunos científicos
buscaban en el interior del núcleo y tres de ellos, en forma totalmente independiente,
predijeron en 1920 que había otra partícula en el interior de núcleo atómico: Ernest
Rutherford en Inglaterra, Guillermo D. Harkins en los Estados Unidos y Masson en
Australia. Ellos estaban de acuerdo que era una partícula con una masa aproximada a la del
protón pero sin carga eléctrica. Harkins, la describió como una partícula con una carga
eléctrica igual a cero, por lo que la llamo neutrón, debido a que no tenía carga.
Doce años después, James Chadwick demostró la existencia de los neutrones al

bombardear berilio con partículas alfa. Observó que el berilio emitía algunas partículas que
recorrían grandes distancias sin ser desviadas por los polos de un imán. Esto le permitió
concluir que se trataba de partículas neutras y que tenían una masa aproximada a la del
protón, debido a que eran capaces de desprender a los protones del núcleo de otras
sustancias.
El modelo atómico de Rutherford fue mejorado por uno sus más brillantes estudiantes,
Niels Bohr, quien en 1913 propuso un modelo más general para explicar los espectros
atómicos basado en el concepto de la cuantización de la energía que Max Planck había
postulado años antes. De esta manera, Bohr concilió el modelo atómico de Rutherford con
la teoría cuántica de Planck y de Einstein, estableciendo tres postulados fundamentales del
movimiento de los electrones en el átomo:
1. En un átomo cualquiera, sólo hay unos cuantos orbitales estables en los cuales el
electrón puede girar alrededor del núcleo.
2. Cuando los electrones se mueven en uno de estos orbitales no emiten ni absorben

energía en forma de ondas electromagnéticas.
3. Los electrones sólo emiten o absorben energía cuando saltan de una órbita a otra.
Esta energía está asociada a la emisión o absorción de fotones individuales o cuantos
de energía. Si un electrón salta de una órbita de mayor energía a otra de menor
energía emite un fotón que se manifiesta en el espectro de emisión.
El trabajo de Bohr fue recibido de manera favorable. Cuando Albert Einstein se dio cuenta
de la importancia de este trabajo, se refirió a él como “uno de los más grandes
descubrimientos”
Las propiedades de los electrones son fundamentales, ya que en ciertas condiciones

experimentales se comportan como ondas y en otras como partículas. A esto se refiere
cuando se habla de la dualidad onda – partícula, que también es característico de los
sistemas cuánticos donde nunca se observan las propiedades ondulatorias y corpusculares
juntas; el hecho de que se comporten de una u otra forma depende de las condiciones
específicas.
109
IV.3. Fuerzas y cargas eléctrica.
El modelo atómico de Rutherford es una analogía del sistema planetario solar. Resulta un
hecho conocido, que los planetas se encuentran girando alrededor del sol y que la fuerza
que los mantiene en órbita es la fuerza gravitacional que ejerce el sol sobre cada uno. De
manera análoga, los electrones se encuentran orbitando el núcleo del átomo por la acción de
la fuerza eléctrica de atracción que ejerce el núcleo sobre ellos.
La naturaleza de las fuerzas eléctricas está en las partículas atómicas; tanto en el modelo de
Rutherford como de Bohr, el átomo está formado por un núcleo de carga positiva y, girando
a su alrededor, se encuentran los electrones de carga negativa. Los protones atraen a los
electrones, pero éstos se repelen entre sí. El comportamiento de atracción y repulsión se
atribuye a la carga eléctrica. La regla fundamental que subyace a todo fenómeno eléctrico
es relativamente simple y se conoce como la ley de las cargas eléctricas. Esta ley afirma
que:
“Cargas de igual signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen”
Benjamín Franklin definió inicialmente la carga negativa como el tipo de electricidad que
se manifiesta en el caucho (o hule) después de haber sido frotado con una piel de gato y la
carga positiva como la electricidad que adquiere el vidrio después de haber sido frotado con
un paño de seda. Hoy en día se sabe que un cuerpo cargado negativamente manifiesta la
misma carga que la del electrón, en tanto que un cuerpo que está cargado positivamente
manifiesta una carga igual a la del protón. Por convención, la carga de un electrón se
considera negativa, mientras que la carga de un protón es positiva.
IV.4. Carga de un cuerpo por fricción, contacto e inducción.
Como ya se ha mencionado, cuando un cuerpo se frota contra otro se presenta una

transferencia de electrones que ocasiona que el cuerpo quede cargado eléctricamente. Un
ejemplo común se observa cuando se frota una barra de plástico con un paño de lana, y
después se acerca a pequeños pedazos de papel. Lo mismo ocurre cuando una hoja se frota
fuertemente contra el pizarrón hasta que se queda pegada a él. En ambos casos, los cuerpos
se han cargado eléctricamente por fricción.
Los electrones también se transfieren de un material a otro por un simple contacto. Cuando
una barra de plástico ha sido previamente cargada y se pone en contacto con un cuerpo
eléctricamente neutro, parte de la carga eléctrica es transferida a éste. Este método de carga
se denomina simplemente carga por contacto.
Un fenómeno similar ocurre cuando un cuerpo cargado eléctricamente se acerca a una

superficie conductora, los electrones se moverán aun sin contacto físico. Por ejemplo,
considere dos esferas metálicas A y B eléctricamente neutras (fig. 51), después acerque una
barra cargada negativamente a la esfera A; los electrones del metal serán rechazados por la
barra y un excedente de carga negativa se desplazará hacia la esfera B, dejando a la esfera
110
A cargada positivamente. La carga eléctrica en la superficie de las esferas se ha

redistribuido como consecuencia de haber acercado la barra cargada negativamente. En este
caso se dice que la carga de las esferas es por inducción. Como la barra cargada no toca a
las esferas, conserva su carga inicial.
Figura 51. Carga de dos esferas metálicas por inducción.
En conclusión, la materia está compuesta por átomos que están formados por electrones y
protones, además de los neutrones. Un cuerpo que tiene el mismo número de electrones y
de protones es eléctricamente neutro; pero si se presenta una transferencia de electrones,
entonces el cuerpo presenta una carga eléctrica determinada. De la misma forma que la
energía, los electrones no se crean ni se destruyen, sino sólo se transfieren de un cuerpo a
otro. De esta manera, en cualquier proceso, microscópico o macroscópico, la carga eléctrica
se conserva, este principio se conoce como el principio de la conservación de la carga
eléctrica.
Todo cuerpo cargado eléctricamente presenta un exceso o un defecto de electrones. Esto

implica que la carga del cuerpo es siempre un múltiplo entero de la carga de un electrón. En
1909, Robert Millikan (1886 – 1953) descubrió que cuando un cuerpo está cargado
eléctricamente su carga es un múltiplo de la unidad fundamental de carga, denotada por (e).
En otras palabras, se dice que la carga está cuantizada, es decir, la carga se presenta en
paquetes discretos; Por lo cual, se puede expresar como ± e,±2e,±3e , y así sucesivamente.
Los experimentos realizados por Millikan demostraron que la carga de un electrón es de
(–e), mientras que la carga de un protón es de (e). Ahora se sabe que la carga de un electrón
es de 1.60219 x 10-19 C.
111
Por otro lado, es conveniente clasificar las sustancias en función de su capacidad para
conducir las cargas eléctricas. En general, y atendiendo a esta característica, las sustancias
se clasifican como conductores, semiconductores y aislantes.
Los conductores son los materiales en donde las cargas eléctricas se mueven con relativa
facilidad. Los metales son buenos conductores y muchas de las propiedades que los
caracterizan, como su elevada conductividad térmica y su alta reflexividad óptica, están
relacionadas con el número de electrones libres que presentan.
Las sustancias que no tienen la capacidad para conducir o transferir electrones se

denominan aisladores o dieléctricos. Por ejemplo, los vidrios, el plástico, las ceras, la
madera seca, son buenos aislantes.
Existen otras sustancias que presentan una capacidad intermedia para conducir las cargas
eléctricas y presentan pocos electrones libres. Estas sustancias se denominan
semiconductores y destacan entre estos el silicio y el germanio que son muy utilizados en
la fabricación de diversos componentes electrónicos.
El instrumento diseñado para la detección de las cargas eléctricas se llama electroscopio

(fig. 52). El electroscopio consiste en dos laminillas de oro muy delgadas suspendidas de
una barra metálica que sale fuera del recipiente y forma el electrodo externo. Cuando este
instrumento detecta la carga eléctrica, las laminillas de oro se cargan con el mismo tipo de
carga y se repelen mutuamente. La magnitud de la carga puede cuantificarse midiendo la
divergencia entre las laminillas.
Figura 52. Electroscopio de laminillas de oro.
112
IV.5. Ley de Coulomb.
Los primeros experimentos realizados con la finalidad de determinar la magnitud de la

fuerza de atracción o repulsión entre los cuerpos cargados electricamente fueron hechos por
el físico francés Charles Augustin Coulomb (1736 – 1806). En 1875, Coulomb estableció
las bases para comprender la ley fundamental de la fuerza eléctrica entre dos partículas
estacionarias cargadas eléctricamemente. Los experimentos mostraron que:
La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es directamente

proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellas.
La figura 53 muestra dos cargas eléctricas, (q1 y q2), en diferentes casos, separadas por una
distancia (r).
Figura 53. Dos cargas eléctricas puntuales experimentan una

fuerza atracción o repulsión.
De acuerdo a la Ley de Coulomb
F ∝ q1 ⋅ q2
Y además
1
F∝
r2
Por lo cual
113
q1 q 2
F∝
r2
Por lo cual, la constante de proporcionalidad es
F ⋅ r2
k= (51)
q1 ⋅ q2
Reescribiendo
q1 ⋅ q 2
F =k (52)
r2
Como se muestra en la figura 53, la fuerza eléctrica que se presenta entre dos cargas
eléctricas puntuales del mismo signo es repulsiva, mientras que en cargas eléctricas
puntuales de diferente signo se presenta una fuerza eléctrica de atracción.
Experimentalmente se conoce que el valor de la Constante de Coulomb en el Sistema

Internacional de Unidades es de:
k = 8.9875 x 109 N m2/C2
Por simplificación se utilizará un valor aproximado de:
k = 9 x 109 N m2/C2
Como se observa, la unidad de la carga eléctrica es el Coulomb, denotado por (C). Un

Cuolomb, se define como la cantidad de carga eléctrica que produce una fuerza de
8.9875 x 109 N cuando está situada a 1 m de distancia de una carga semejante.
El Coulomb es una unidad relativamente grande, más cuando se compara con la carga
eléctrica de las partículas elementales. Como ya se ha dicho, la carga de un electrón,
medida en Coulomb es:
1 e = -1.60219 x 10-19 C.
Y un Coulomb expresado en función de la carga de un electrón es:
1 C = 6.25 x 1018 electrones.
114
Ejemplo:
Dos cargas eléctricas puntuales de -3 µC y de +4 µC se colocan a 30 mm de distancia entre

sí. ¿Cuál es la fuerza electrostática entre ellas?
Solución:
En primer lugar, se expresa el valor de la carga eléctrica en Coulomb y la separación entre

cargas en metros. Después se sustituye en la ecuación 52.
−6 −6
9 Nm (3 × 10 C )( 4 × 10 C )
2
q1 q 2
F =k = 9 × 10 = 120 N (fuerza de atracción)
r2 C2 (30 × 10 −3 m) 2
Ejemplo:
Una carga puntual de 100 µC se encuentra a 5 cm de una carga de -60 µC ¿Qué fuerza
ejerce una sobre la otra? Una tercera carga de 50 µC, se coloca a 4 cm de la carga positiva y
a 1 cm de la negativa ¿Cuál es la fuerza resultante sobre la tercera carga?
Solución.
Para la primera pregunta, sólo se realizan las conversiones correspondientes y se sustituye

en la ecuación 52.
−6 −6
9 Nm (100 × 10 C )(60 × 10 C )
2
q1 q 2
F =k = 9 × 10 = 21600 N (fuerza de atracción)
r2 C2 (5 × 10 − 2 m) 2
Para la segunda pregunta, es necesario realizar el diagrama de cuerpo libre (fig. 54) para
observar la dirección de la fuerza resultante.
Figura 54. Diagrama de cuerpo libre.
115
Como observa, la fuerza resultante sobre la carga (q3) es la suma vectorial de la fuerza que
ejerce la carga (q1) y la carga (q2), por lo cual:
FR3 = F13 + F23
q1q2 qq
FR 3 = k 2
+ k 2 23 =
r12 r23
 Nm 2 (100 ×10 −6 C )(50 ×10 −6 C )   −6 −6

9 Nm (50 × 10 C )(60 × 10 C ) 
2
FR 3 = 9 × 10 9 2 +
 9 × 10 =
 C (4 ×10 −2 m) 2   C2 (1× 10 −2 m) 2 
FR3 = 28 125 N + 270 000 N = 298 125 N (dirigida hacia la derecha)
Ejemplo:
En un átomo de hidrógeno, la distancia promedio que separa al electrón del protón es de

aproximadamente 5.3 x 10-11 m. Determine la magnitud de la fuerza de atracción eléctrica y
gravitacional.
Solución:
Aplicando la Ley de Coulomb y la Ley de gravitación universal se obtiene:
−19
q1 ⋅ q2 9 Nm (1.60219 × 10
2
C )(1.60219 ×10 −19 C )
Feléctrica = k = 9 × 10 = 8.2 ×10 −8 N
r2 C2 (5.3 ×10 −11 m) 2
−31
m1 ⋅ m2 −11 Nm (9.11× 10
2
kg )(1.67 × 10 −27 kg )
Fgravitacional = G = 6 .67 × 10 = 3.6 ×10 −47 N
r2 kg 2 (5.3 × 10 −11 m) 2
Observe que cuando se trata de cargas eléctricas, la fuerza gravitacional es mucho menor
que la fuerza eléctrica.
116
IV.6. Concepto de campo.
Un campo se puede entender en términos matemáticos como una función o un conjunto de

funciones que asigna una cantidad, escalar o vectorial, a cada punto del espacio. En física,
al tratar con el espacio se refiere por lo general al espacio real tridimensional definido por
las coordenadas (x, y, z), y en ciertos casos, al espacio cuatridimensional que toma al
tiempo como una cuarta coordenada lo que se denota por (x, y, z, t).
Considere, por ejemplo un campo de temperaturas; si la temperatura es constante en todos

los puntos del espacio considerado, entonces el campo se denomina escalar y se denota por
T(x, y, z). Si la temperatura cambia con respecto al tiempo entonces se dice que el campo
de temperaturas es función del tiempo y se denota por T(x, y, z, t). En un fluido en
→
movimiento el campo de velocidades esta dado por v (x, y, z, t) lo que indica la velocidad
en cada punto del fluido. En estos ejemplos, el campo de temperaturas es un campo escalar,
mientras que el campo de velocidades es un campo vectorial.
Existen varias ideas creadas para ayudar a comprender el comportamiento de los campos.
Pero tal vez la más correcta es la más abstracta; por lo cual, consideremos simplemente los
campos como funciones matemáticas de posición y tiempo, que asignan magnitudes
escalares o vectoriales, a cada uno de los puntos del espacio considerado, además de la
intensidad y dirección del campo.
IV.7. Campo eléctrico.
Sin duda, uno de los conceptos físicos más difíciles de visualizar es el de fuerza, ya sea,
gravitacional, eléctrica o magnética. Por esta razón, los físicos postulan la existencia de un
campo de fuerzas (gravitacional, eléctrico y magnético) que rodea a las masas, cargas e
imanes respectivamente.
Es un hecho conocido que la tierra ejerce una fuerza de atracción sobre cualquier cuerpo
que se encuentre sobre o cerca de su superficie. Esta fuerza va disminuyendo conforme el
cuerpo se coloca a mayor altura, hasta un punto que la fuerza de atracción es imperceptible.
Para mostrar que la tierra forma un campo gravitacional a su alrededor bastaría colocar un
cuerpo en cualquier punto del campo y medir la fuerza con la cual es atraído por la tierra.
De manera análoga, la presencia de una carga eléctrica altera las propiedades del espacio
que la rodea, ejerciendo una fuerza de naturaleza eléctrica sobre una carga cercana. Esto
muestra la presencia de un campo eléctrico alrededor de la carga. Las fuerzas que actúan
dentro de un campo eléctrico pueden ser analizadas de diferentes maneras, pero las ideas
de Michael Faraday (1791–1867) simplifican el análisis.
Considere una carga eléctrica positiva (Q) que forma un campo eléctrico a su alrededor
(fig. 55). Si se coloca una segunda carga de prueba con una carga mucho más pequeña (qo)
a una distancia (r), entonces la intensidad de campo eléctrico (E) en la posición de la carga
117
de prueba se define como el cociente entre la magnitud de la fuerza eléctrica que actúa
sobre ella y la magnitud de su carga, es decir:
Figura 55. Intensidad de campo E en la posición de qo.
De acuerdo a lo anterior, la intensidad de campo es:
F
E= (53)
qo
Las unidades de la intensidad de campo son las unidades de fuerza divididas entre las
unidades de carga (N/C). Si en la ecuación 53 se sustituye la fuerza eléctrica (F) en
términos de la Ley de Coulomb, se obtiene:
Q ⋅ ( qo )
k
E= r2
qo
Simplificando
Q
E=k (54)
r2
Si Q es positiva, la intensidad de campo (E) se aleja radialmente de Q. Por el contrario, si

Q es negativa, la intensidad de campo se dirige radialmente hacia Q La ecuación 54
muestra que el campo eléctrico depende únicamente del valor de la carga Q que establece
el campo y de la distancia (r) en un punto específico del campo.
118
Un campo eléctrico se representa gráficamente por medio de líneas de campo (fig. 56). Las
líneas de campo relacionan la dirección e intensidad del campo eléctrico en cualquier punto
del espacio de la siguiente manera:
1. El vector de campo eléctrico (E) es tangente a las líneas de campo eléctrico en todos los
puntos del espacio.
2. El número de líneas por unidad de área que atraviesan una superficie perpendicular a las
líneas es proporcional a la intensidad de campo en una región determinada.
3. Las líneas de campo eléctrico inician en la carga positiva y terminan en la carga

negativa o en el infinito.
4. Las líneas de campo se dibujan simétricamente saliendo o entrando a la carga eléctrica.
5. El número de líneas que salen de una carga positiva, o entran a una negativa, son
proporcionales al valor de la carga eléctrica.
6. A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas de campo están igualmente

espaciadas y son radiales como si procediesen de una carga puntual equivalente a la
carga neta del sistema.
7. Dos líneas de campo nunca pueden cortarse.
Figura 56. Representación gráfica de un campo eléctrico en distintas condiciones.
119
Ejemplo:
Un cuerpo pequeño con una carga de -10 x 10-9 C experimenta una fuerza dirigida hacia
debajo de 20 x 10-9 N cuando es colocada en un punto determinado de un campo eléctrico.
a) ¿Cuál es la intensidad del campo en dicho punto? b) ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza
ejercida sobre una partícula α (alfa) colocada en ese punto?
Solución:
Para el inciso a, sólo se sustituyen los datos de la carga del cuerpo y la fuerza que
experimenta en la ecuación 53.
F 20 × 10 −9 N N
E= = −9
=2
qo − 10 × 10 C C
Para el inciso b, se determina la carga eléctrica de la partícula alfa que es igual a dos veces
la carga de un electrón. De la ecuación 53, se despeja la fuerza F y se sustituyen ambos
valores.
qα = 2(1.6 × 10 −19 C ) = 3.2 × 10 −19 C
F = E qo = 2
N
C
( )
3.2 × 10 −19 C = 6.4 × 10 −19 N
Ejemplo:
Determine la intensidad del campo eléctrico de una carga de 900 µC en un punto situado a
12 cm de la carga.
Solución:
Expresando la carga en Coulomb, la distancia en metros y sustituyendo en la ecuación 54,

se obtiene:
−6
9 Nm  900 × 10 C 
2
Q N
E=k = 9 × 10 2  −2 2 
= 5.625 × 10 8
r 2
C  (12 × 10 m)  C
120
IV.8. Energía potencial eléctrica.
Es un hecho conocido, que cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo para levantarlo
desde la superficie terrestre hasta una altura determinada, se realiza un trabajo. El cuerpo
adquiere propiedades que antes no tenía; al caer hacia la tierra puede comprimir un resorte,
levantar otro cuerpo, mover un generador, etcétera. En otras palabras, el trabajo realizado
para separar dos cuerpos que se atraen (tierra y cuerpo) puede recuperarse y aplicarse para
realizar otro trabajo. Estas ideas conducen al concepto de energía potencial gravitatoria,
conocida como la energía que poseen los cuerpos dada su posición sobre la superficie
terrestre. El trabajo realizado para separar el cuerpo de la tierra incrementa la energía
potencial del sistema y, al permitir que ambos cuerpos se vuelvan a juntar, la energía
potencial almacenada se libera transformándose en otras formas de energía.
Estas ideas son aplicables cuando se analiza un sistema de cargas eléctricas. Si se tienen
dos cargas eléctricas del mismo signo, es necesario realizar un trabajo para acercarlas entre
sí. De manera análoga, si las cargas eléctricas son de diferente signo, ahora se tiene que
realizar trabajo para separarlas. La energía almacenada por el sistema de cargas se recupera
cuando se permite que regresen a su posición original. En conclusión, cuando dos cargas
eléctricas del mismo signo se aproximan o cuando dos cargas eléctricas de diferente signo
se separan, aumenta la energía potencial eléctrica del sistema y el aumento es
numéricamente igual al trabajo que se realiza para lograr que se aproximen o se separen.
IV.9. Potencial eléctrico.
Considere una carga eléctrica que forma un campo eléctrico uniforme a su alrededor y una
segunda carga de prueba de carácter infinitesimal que se coloca dentro del campo eléctrico
en cualquier posición (fig. 57). Aplicando los conceptos anteriores, fue necesario realizar
un trabajo para colocar la carga de prueba en el punto A, esto implica que dicha carga
tenga ahora una determinada energía potencial eléctrica en ese punto. Ahora bien, el
potencial eléctrico en un punto del campo eléctrico se define como la relación entre la
energía potencial de la carga de prueba y el valor de la misma carga. Se debe de observar
que el potencial eléctrico existe independientemente de la carga de prueba y que la carga
inicial no se altera por la introducción de la misma.
Figura 57. Potencial eléctrico en el punto A.
121
En general, el potencial eléctrico se denota por la letra (V) y, en particular el potencial

eléctrico en el punto A o B se denota por VA y VB respectivamente. En particular, el
potencial eléctrico en el punto A es igual a la razón entre la energía potencial eléctrica de la
carga en dicho punto entre el valor de la misma, es decir:
∆U p
VA =
q
De la definición anterior se deduce que la energía potencial eléctrica, denotada por ∆UP, en
el punto A, está dada por:
∆U p = q ⋅V A (55)
Las unidades del potencial eléctrico en el Sistema Internacional de Unidades son las
unidades de energía (J) divididas entre las unidades de carga eléctrica (C); como ambas
magnitudes son escalares entonces el potencial eléctrico también es una magnitud escalar.
A las unidades Joule sobre Coulomb (J/C) se le asigna el nombre de Volt (V) en honor al
físico italiano Alessandro Volta que inventó la pila voltaica. Un Volt se define de la
siguiente manera:
El potencial eléctrico en un punto de un campo electrostático es de un Volt si la razón

de la energía potencial de una carga al valor de la carga misma es de un
Joule/Coulomb.
IV. 10. Diferencia de potencial.
Considere ahora una carga eléctrica positiva infinitesimal que se introduce dentro del
campo eléctrico de una carga positiva (fig. 58). Cuando la carga de prueba se encuentra en
el punto A y se desplaza hacia el punto B, se tiene que realizar un trabajo en contra de la
fuerza de repulsión. Esto implica que la energía potencial eléctrica de la carga de prueba
sea mayor en el punto B que en el punto A y, por lo tanto que el potencial eléctrico también
sea mayor en el punto B que en el punto A.
Figura 58. Diferencia de potencial entre dos puntos.
122
Cuando los potenciales eléctricos dentro de un campo electrostático son distintos entre sí,
se establece el concepto de diferencia de potencial entre dos puntos, que numéricamente
es igual a la diferencia entre los potenciales eléctricos entre los puntos considerados. En
particular, la diferencia de potencial entre los puntos B y A se denota como VBA y se
expresa como:
VBA = VB − V A (56)
Las unidades de la diferencia de potencial también son los Volts (V). La diferencia de
potencial entre dos puntos B y A es de un Volt (1 V), si es necesario realizar un trabajo de
un Joule (1 J) contra las fuerzas de campo para desplazar la carga de prueba desde el punto
A hasta el punto B.
El concepto de diferencia de potencial es uno de los más importantes en el campo de la

electrostática y también en el análisis de los circuitos eléctricos. Por otro lado, es común
referirse a la diferencia de potencial simplemente como “voltaje”. Por ejemplo, la
diferencia de potencial entre las terminales de una batería de automóvil es de 12 V,
denominándose el borne más elevado son el signo positivo (+), y el de menor potencial con
el signo negativo (-). Cada borne está cargado positiva y negativamente respectivamente,
por lo cual existe un campo eléctrico alrededor de cada uno. El hecho de que la batería sea
de 12 V implica solamente que si una carga se desplazara del borne positivo al negativo se
tendría que realizar un trabajo igual a 12 J. Cuando la carga eléctrica vuelve a realizar el
recorrido por todo el circuito eléctrico, cede los 12 J de energía que le proporcionó la
batería a los demás componentes del circuito.
IV.11. Capacitancia.
Un circuito eléctrico está formado por varios dispositivos: resistencias, transistores, fuentes
de energía, relevadores, leds, etcétera. Uno de los más importantes es el capacitor o
condensador que se utiliza para eliminar la chispa eléctrica que se produce al cortar
súbitamente un circuito que posee autoinducción, o bien, para sintonizar una frecuencia
determinada en un circuito de radio. Un capacitor también se emplea para eficientar el
rendimiento de la conducción de energía a través de las redes eléctricas.
Un capacitor está formado por dos placas metálicas paralelas entre sí y separadas por una
distancia (d) (fig. 59). Cuando las placas se encuentran conectadas a una fuente de energía
(fem), una placa transfiere una cantidad determinada de electrones por lo que se carga
positivamente. Cuando la batería conduce los electrones hasta a la otra placa, ésta se carga
negativamente. La transferencia de carga de una placa a otra se interrumpe cuando la
diferencia de potencial entre las placas es igual a la diferencia de potencial que proporciona
la fuente de energía. El capacitor cargado se puede considerar como un almacén de carga y,
por lo tanto, de energía eléctrica que puede ser recuperada cuando sea necesario para una
aplicación específica.
123
Figura 59. Capacitor de placas paralelas de área A.
La capacitancia (C) de un capacitor se define como la razón entre la carga (q) de cualquiera
de las placas y la diferencia de potencial (∆V) entre las mismas. Por lo anterior:
q
C=
∆V (57)
En la ecuación 57 se observa que las unidades de la capacitancia son las unidades de carga
eléctrica divididas entre las unidades de la diferencia de potencial (C/V). A estas unidades
se le asigna el nombre de farad (F) en honor a Michael Faraday. En la realidad, el farad es
una unidad demasiado grande, por lo cual los capacitores comerciales se miden de
microfaradios (µF) hasta picofaradios (pF).
La figura 59, muestra el esquema de un capacitor de láminas paralelas de área (A)

separadas por una distancia (d), que es pequeña, en comparación con las dimensiones de la
placa. Este tipo de capacitor es el más frecuente y también se conoce como capacitor
plano. La capacidad está determinada por:
A
C = εo (58)
d
En donde εo es una constante llamada permisividad del espacio libre y su valor es:
C2
εo = 8.85 x 10-12
N ⋅ m2
124
Además de los capacitores planos, también pueden construirse los capacitores variables.
Un capacitor variable tiene la propiedad de modificar su capacidad entre ciertos límites; se
emplean en los circuitos de sintonía de los radiorreceptores. En general, son capacitores que
utilizan como dieléctrico al aire, son de capacidad relativamente pequeña y están
construidos por un conjunto de láminas paralelas fijas que forman una de las armaduras del
capacitor. La armadura móvil está formada por otro conjunto de láminas paralelas
conectadas entre sí, montadas sobre un eje, que permite que se pueda girar sobre la
armadura fija y se intercalen entre sí, modificándose así la capacidad del capacitor.
La mayor parte de los capacitores tienen entre sus láminas una sustancia sólida no
conductora llamada dieléctrico. Un ejemplo es el capacitor formado por láminas u hojas
metálicas separadas por hojas de papel impregnadas de cera que constituyen el dieléctrico.
Con este capacitor, se puede obtener una capacidad de varios microfaradios en un volumen
relativamente pequeño. La botella de Leyden, construida pegando una hoja metálica en la
superficie de una botella de vidrio, es en esencia un capacitor plano en donde el dieléctrico
está formado por el vidrio.
IV.12. Circuitos eléctricos con capacitores.
Con la finalidad de obtener una capacidad determinada, los capacitores se pueden conectar
entre sí y alimentarse con una fuente de fuerza electromotriz (fem); también pueden ser
conectados con otros dispositivos electrónicos de diversas maneras. Por otro lado, en el
análisis de circuitos eléctricos, los dispositivos se representan por símbolos (fig. 60).
Figura 60. Algunos símbolos utilizados en los circuitos eléctricos.
125
Conexión de capacitores en serie.
Una conexión de capacitores en serie se presenta cuando todos se conectan entre sí a lo

largo de la misma trayectoria. Considere, en primer lugar, el efecto que se presenta cuando
tres capacitores, (c1, c2 y c3), inicialmente descargados, son conectados en serie. Al conectar
el circuito a una fuente de fuerza electromotriz, que proporciona una diferencia de potencial
(VT), cada capacitor se carga eléctricamente con una carga (q1, q2 y q3), que mantiene una
diferencia de potencial (V1, V2 y V3) en cada capacitor respectivamente. El circuito anterior
puede ser reemplazado por un circuito más simple que consta de un solo capacitor, llamado
el capacitor equivalente, y denotado por (cE). El capacitor equivalente está cargado
eléctricamente con una carga (qT) que mantiene una diferencia de potencial (VT) en sus
extremos (fig. 61).
Figura 61. Conexión de tres capacitores en serie a una fem.
La solución de un circuito de capacitores en serie implica solamente determinar el capacitor

equivalente (cE) y su respectiva carga (qT). Para esto, es necesario conocer las
características de esta conexión.
• Para una conexión de capacitores en serie, la carga en cada capacitor es la misma e

igual a la carga del capacitor equivalente, es decir:
qT = q1 = q2 = q3 (59)
• La diferencia de potencial en el capacitor equivalente es igual a la suma de la diferencia

de potencial en cada uno de los capacitores, por lo cual:
VT = V1 + V2 + V3 (60)
126
De la ecuación 57, se sabe que la capacidad de un capacitor es igual a la razón entre la

carga y la diferencia de potencial. Por lo cual, la diferencia de potencial en un capacitor está
determinada por:
q
V = (61)
C
Entonces, al sustituir la diferencia de potencial de cada capacitor en la ecuación 60, se

obtiene que:
qT q1 q 2 q3
= + +
c E c1 c2 c3
De acuerdo a la ecuación 59, todas las cargas son iguales, al dividir entre (q) y
generalizando para n número de capacitores conectados en serie, se tiene que el capacitor
equivalente está dado por:
1 1 1 1 1
= + + + ⋅⋅⋅ + (62)
cE c1 c2 c3 cn
Ejemplo:
Tres capacitores de 2 µF, 4 µF y 4 µF se conectan en serie a una fem que proporciona una
diferencia de potencial de 12 V. Determine el capacitor equivalente, la carga y diferencia de
potencial en cada capacitor.
Solución:
Expresando la capacidad de cada capacitor en faradios (F), y sustituyendo los valores en la

ecuación 62, se obtiene la capacidad equivalente:
1 1 1 1
= −6
+ −6
+ −6
= 1 × 10 6 F −1
c E 2 × 10 F 4 × 10 F 4 × 10 F
Por lo cual
c E = 1 × 10 −6 F
La carga en cada capacitor es igual a la carga en el capacitor equivalente:
qT = q1 = q 2 = q 3 = c EVT = 1 × 10 −6 F (12V ) = 12 × 10 −6 C
127
Finalmente, aplicando la ecuación 61 para obtener la diferencia de potencial en cada

capacitor, se obtiene:
q1 12 × 10 −6 C
V1 = = = 6V
c1 2 × 10 −6 F
q 2 12 × 10 −6 C
V2 = = = 3V
c2 4 × 10 −6 F
q3 12 × 10 −6 C
V3 = = = 3V
c3 4 × 10 −6 F
Observe que la suma de las diferencias de potencial en cada capacitor es igual a 12 V, que
es igual a la diferencia de potencial que proporciona la fem. Esto comprueba que la solución
anterior es correcta.
Conexión de capacitores en paralelo.
La figura 62 muestra tres capacitores (c1, c2 y c3) inicialmente descargados, conectados en

paralelo con una fuente de fuerza electromotriz que proporciona una diferencia de potencial
(VT). Como se observa, todas las placas izquierdas están conectadas a la terminal positiva
de la batería, mientras que todas las placas derechas están conectadas a la terminal negativa.
Cuando se alimenta el circuito, las placas izquierdas se cargan eléctricamente con carga
positiva y las placas derechas con carga negativa; las cargas en cada capacitor son (q1, q2 y
q3) y la correspondiente diferencia de potencial es (V1, V2 y V3) respectivamente. De
manera análoga, el circuito anterior puede ser reemplazado por un circuito simplificado que
consta de un solo capacitor, el capacitor equivalente (cE), que adquiere una carga (qT) y que
mantiene una diferencia de potencial (VT) en sus extremos.
De nueva cuenta, la solución de un circuito de capacitores en paralelo implica solamente

determinar el capacitor equivalente (cE) y su respectiva carga (qT). Para esto, también es
necesario conocer las características de la conexión de capacitores en paralelo.
• Para una conexión de capacitores en paralelo, la carga en el capacitor equivalente es

igual a la suma de la carga en cada capacitor, es decir:
qT = q1 + q2 + q3 (63)
• La diferencia de potencial en el capacitor equivalente es igual a la diferencia de

potencial en cada uno de los capacitores, por lo cual:
VT = V1 = V2 = V3 (64)
128
Figura 62. Conexión de tres capacitores en paralelo a una fem.
De la ecuación 57 se sabe que la carga en el capacitor está determinada por el producto de

la diferencia de potencial y la correspondiente capacidad, por lo cual:
q =V ⋅c (65)
Entonces, al sustituir la carga de cada capacitor en la ecuación 63, se tiene que:
VT ⋅ c E = V1 ⋅ c1 + V2 ⋅ c 2 + V3 ⋅ c3
De acuerdo a la ecuación 64, la diferencia de potencial en cada capacitor es la misma, por

lo cual, al dividir entre el valor de (V), y generalizando para n número de capacitores
conectados en paralelo, se obtiene que:
c E = c1 + c 2 + c3 + ⋅ ⋅ ⋅ + c n (66)
129
Ejemplo:
Tres capacitores de 2 µF, 4 µF y 6 µF se conectan en paralelo a una fuente de fuerza

electromotriz de 24 V. Determine la capacidad del capacitor equivalente, la carga y la
diferencia de potencial en cada capacitor.
Solución:
Expresando la capacidad de cada capacitor en faradios (F) y sustituyendo los valores en la

ecuación 66 se obtiene la capacidad equivalente.
c E = 2 × 10 −6 F + 4 × 10 −6 F + 6 × 10 −6 F = 12 × 10 −6 F
Por lo que
c E = 12 × 10 −6 F
La diferencia de potencial en cada capacitor es igual a la diferencia de potencial

proporcionada por la fem, es decir:
VT = V1 = V2 = V3 = 24V
La carga en el capacitor equivalente es
qT = VT ⋅ c E = 24V (12 × 10 −6 C ) = 288 × 10 −6 C
La carga en cada capacitor es
q1 = V1 ⋅ c1 = 24V (2 × 10 −6 F ) = 48 × 10 −6 C
q 2 = V2 ⋅ c 2 = 24V (4 × 10 −6 F ) = 96 × 10 −6 C
q3 = V3 ⋅ c3 = 24V (6 × 10 −6 F ) = 144 × 10 −6 C
Observe que la suma de la carga en cada uno de los capacitores es igual a la carga en al
capacitor equivalente. Esto comprueba que la solución anterior es correcta.
48 × 10 −6 F + 96 × 10 −6 F + 144 × 10 −6 F = 288 × 10 −6 F
130
Circuito serie – paralelo (circuito mixto).
Por lo general, las conexiones entre dispositivos eléctricos se presentan como una
combinación de las conexiones anteriores. Un circuito eléctrico que presenta una
combinación de circuito serie y circuito paralelo se denomina circuito mixto. La técnica
utilizada para resolver un circuito mixto de capacitores consiste en identificar los
capacitores que están conectados en serie o en paralelo, para después determinar los
capacitores equivalentes y dibujar el circuito equivalente, que debe ser más simple que el
circuito anterior, esta técnica se repite hasta determinar el capacitor que sustituye al circuito
original.
En el siguiente ejemplo se aplica la técnica anterior. Por facilidad cada capacitor

equivalente se distinguirá por medio de subíndices que corresponden a los capacitores de
donde provienen.
Ejemplo:
Para el circuito mostrado en la figura 63, determine la capacidad equivalente entre las
terminales A y B. Las capacidades de cada capacitor del 1 al 7 son: 3, 5, 4, 4, 3, 4 y 2 (µF)
respectivamente.
Figura 63. Conexión mixta de capacitores.
131
Solución:
Para determinar el capacitor equivalente del circuito mostrado en la figura 63, se identifican
los capacitores que se encuentran conectados en serie o en paralelo. En el circuito 1, los
capacitores (c1, c2 y c3), así como el (c6 y c7) están conectados en paralelo. Al determinar
los correspondientes capacitores equivalentes se obtiene:
c123 = c1 + c2 + c3 = (3 + 5 + 4) µf = 12 µF
c67 = c6 + c7 = (4 + 2) = 6 µF
Observe que al sustituir los capacitores equivalentes se obtiene el circuito 2, más sencillo
que el anterior. En este circuito, los capacitores (c123 y c4), así como los capacitores (c5 y
c67), se encuentran conectados en serie. Al determinar los capacitores equivalentes se
obtiene:
1 1 1 1 1 4
= + = + = Por lo cual
c1234 c123 c 4 12µF 4 µF 12 µF
12 µF
c1234 = = 3µF
4
1 1 1 3
= + = Por lo cual
c567 3µF 6 µF 6 µF
6 µF
c567 = = 2 µF
3
Al volver a dibujar y sustituir los capacitores equivalentes (c1234 y c567), se obtiene el

circuito 3, el cual ya sólo consta de dos capacitores conectados en paralelo. Finalmente se
obtiene la capacidad equivalente del circuito original.
c E = c1234 + c567 = 3µF + 2 µF = 5µF
Si el capacitor equivalente se conecta a una fuente de fuerza electromotriz de 24 V de

diferencia de potencial, entonces la carga en el capacitor equivalente es:
qT = c E ⋅ VT = 5 × 10 −6 F (24V ) = 120 × 10 −6 C = 120µC
132
IV.13. Intensidad de corriente.
Como se mencionó anteriormente, el aprovechamiento de la energía eléctrica se logró hasta

que el hombre pudo controlar el flujo de la carga eléctrica. La corriente eléctrica alimenta
todos los dispositivos que ahora son de uso común: televisión, computadora, teléfono,
radio, refrigerador, etcétera. Ahora nos interesa estudiar, los factores que contribuyen a la
resistencia del flujo de carga eléctrica a través de los conductores y las transformaciones de
la energía eléctrica en los circuitos eléctricos.
Es un hecho conocido que un conductor es un material en cuyo interior hay cargas libres
que se mueven en presencia de un campo eléctrico. Las cargas eléctricas en un conductor
metálico son electrones y éstos se reagrupan cuando el conductor se somete a la acción del
campo eléctrico. El movimiento de las cargas en el proceso de reacomodo constituye una
corriente eléctrica; esta corriente es de muy corta duración y se denomina corriente
transitoria. Para mantener una intensidad de corriente constante y permanente dentro del
conductor es necesario que el campo eléctrico mantenga un gradiente de potencial
constante. Si el campo eléctrico presenta siempre el mismo sentido, aunque existan
variaciones de intensidad, entonces produce una corriente continua dentro del conductor.
Por el contrario, si el campo se invierte periódicamente, el flujo de carga también se
invierte, dando como consecuencia una corriente alterna.
Cuando el conductor se mantiene dentro del campo eléctrico, las cargas libres se ponen en
movimiento, las cargas positivas se desplazan en dirección del campo mientras que las
cargas negativas en dirección contraria. La figura 64, muestra una porción de un conductor
sujeto a la acción de un campo eléctrico de intensidad (E) y algunas cargas eléctricas
positivas y negativas.
Figura 64. Movimiento de las cargas eléctricas dentro de un conductor metálico.
133
Cuando fluyen cargas eléctricas (positivas o negativas o ambas) a través de una superficie
conductora (fig. 64), el flujo de cargas eléctricas de un mismo signo constituye una
corriente eléctrica.
Para definir el concepto de intensidad de corriente con mayor precisión, considere que en
un intervalo de tiempo (∆t) cruza una cantidad de carga (∆q) la región sombreada de la
figura 64. De esta manera, la intensidad de corriente es igual a la razón entre la cantidad de
carga que pasa por un punto determinado y el correspondiente intervalo de tiempo, es decir:
∆q
I=
∆t (67)
Como se observa, las unidades de la intensidad de corriente en el Sistema Internacional de

Unidades es el Coulomb entre el segundo (C/s). Estas unidades reciben el nombre de
Ampère (A) en honor al físico francés André Marie Ampère.
Por convección, se asigna a la corriente eléctrica la misma dirección que tiene un flujo de
carga positiva. En un conductor metálico, la corriente está constituida por el movimiento de
los electrones, por lo cual la dirección de una corriente electrónica es contraria a la
dirección convencional.
IV.14. Fuente de fuerza electromotriz (fem).
La invención de la pila voltaica, por Alessandro Volta en 1799, revolucionó el estudio de

la electricidad y dio al mundo uno de sus mayores descubrimientos, la corriente eléctrica.
Volta sostenía correspondencia con Luigi Galvani, profesor de anatomía en Bolonia, que
había observado contracciones en los músculos de ranas cuando eran puestos en contacto
con metales di símbolos. Esto lo llevó a pensar que la corriente eléctrica era de origen
animal y causada por los mismos organismos.
Alessandro Volta cuestionó si la corriente eléctrica resultante era producida por el tejido
muscular o, por el contrario, por los diferentes metales que se insertaban en el músculo de
la rana. En opinión de Volta, existía una diferencia eléctrica entre los dos metales, hierro y
latón, y la rana misma sólo servía como sensor del paso de la corriente eléctrica. Para
aclarar lo anterior, decidió utilizar sólo los metales, sin la rana. Observó de inmediato que
también se producía corriente eléctrica y que esta era independiente del tejido muscular y
de la vida animal.
Volta continuó con sus investigaciones utilizando diferentes metales hasta que logró
mantener una diferencia de potencial más o menos constante. Tal dispositivo se denomina
pila voltaica o pila galvánica en honor a Volta y Galvani que fueron los primeros que la
estudiaron.
134
La pila voltaica fue el primer dispositivo que se utilizó para producir una corriente eléctrica
y así estudiar los efectos producidos por la misma. Es claro que ahora existen múltiples
aparatos y formas de mantener una corriente eléctrica; a estos dispositivos se les conoce
genéricamente como fuente de fuerza electromotriz (fem). Es decir, una fem es cualquier
dispositivo que se utilice para mantener una corriente eléctrica constante en un circuito
conductor cerrado.
La función de una fuente de fuerza electromotriz, como una pila seca, una batería, un
generador, una foto celda, o cualquier otra fem, es realizar un trabajo sobre las cargas
eléctricas que circulan a través de un circuito, aumentando su energía potencial eléctrica a
medida que pasan por el dispositivo.
A la cantidad de energía potencial eléctrica (∆Up) por unidad de carga (q) que puede
impartir una fem sobre una carga eléctrica se le conoce como fuerza electromotriz
denotada por la letra (ε). Por lo anterior, la fuerza electromotriz está dada por:
∆U p
ε= (68)
q
Sustituyendo ∆Up = q ∆V se obtiene que
q ⋅ ∆V
ε= = ∆V (69)
q
La ecuación 69, permite interpretar a la fuente de fuerza electromotriz (ε) como una
diferencia de potencial, debida a fuerzas no electrostáticas, que es capaz de mantener una
intensidad de corriente constante en un circuito conductor cerrado. También permite
observar que las unidades de la fem son las mismas unidades de la diferencia de potencial,
es decir los Volts (V).
IV.15. Potencia eléctrica.
Como se ha mencionado repetidamente, la fem se utiliza para realizar un trabajo sobre la

carga eléctrica que pasa a través de ella. De esta manera, la carga incrementa su energía
potencial eléctrica que le permite continuar su recorrido por el circuito eléctrico. Si el
trabajo realizado por la fem se divide entre la unidad de tiempo, entonces se obtiene la
potencia eléctrica, es decir:
Trabajo
Potencia =
tiempo
135
En donde el trabajo realizado por la fem es igual al incremento de energía de la carga

eléctrica, por lo cual:
T = ∆U P = q ⋅ ∆V
Despejando el valor de (q) de la ecuación de intensidad de corriente (67) se tiene:
q = I ⋅t
Por lo cual el trabajo realizado por la fuente de fuerza electromotriz queda definido por:
T = ∆U P = ∆V ⋅ I ⋅ t (70)
Observe que numéricamente el trabajo realizado por la fem es igual al incremento de

energía de la carga eléctrica, y además es equivalente a la cantidad de energía disipada en
forma de calor, cuando la carga pasa a través de una resistencia eléctrica.
Sustituyendo la ecuación 70 en la ecuación de la potencia eléctrica se obtiene:
∆V ⋅ I ⋅ t
P= = ∆V ⋅ I (71)
t
Las unidades de la potencia eléctrica en el Sistema Internacional de Unidades son los Volt
multiplicados por los Amperes ( V ⋅ A ), remplazando (V = J/C) y (A = C/s), se obtienen las
unidades (J/s), que se denomina Watt (W) que son las unidades comunes de la potencia
eléctrica y también mecánica.
IV.16. Resistencia eléctrica y Ley de Ohm.
En general, todas las sustancias presentan un cierto grado de oposición al flujo de carga
eléctrica a través de ellas. En los conductores metálicos, la oposición es debida a la
vibración atómica, que ocasiona choques con las cargas eléctricas en movimiento. Cuando
una carga eléctrica choca, pierde una cantidad determinada de energía que se transforma en
calor. Este efecto fue estudiado por George Simon Ohm (1787 – 1854) y las conclusiones a
las que llegó se establecen en la ley de Ohm, que afirma:
• La intensidad de corriente que circula en un conductor metálico es directamente

proporcional a la diferencia de potencial aplicado en sus extremos.
136
Lo anterior se escribe como
I ∝ ∆V
Si la proporción anterior es exacta, entonces la constante de proporcionalidad es:
∆V
=R (72)
I
En donde a la constante de proporcionalidad (R) se le da el nombre de resistencia eléctrica

y tiene por unidades al Volt entre el Ampère (V/A), que recibe el nombre de Ohm,
denotado por (Ω). De manera general, la ley de Ohm se expresa como:
V =I ⋅ R (73)
La ley de Ohm es válida sólo para determinadas sustancias, en las cuales la relación
intensidad de corriente versus diferencia de potencial es lineal, estos materiales se conocen
como óhmicos. Los materiales que no obedecen a la ley de Ohm se conocen como no
óhmicos. En general, los semiconductores utilizados en la fabricación de diodos y
transistores son no óhmicos.
La ecuación de ley de Ohm puede ser sustituida en la ecuación 71 para obtener dos
ecuaciones alternativas para la potencia eléctrica, es decir:
P = V ⋅ I = ( I ⋅ R )( I ) = I 2 ⋅ R
Por lo cual
P = I2 ⋅R (74)
También
V  V
2
P =V ⋅ I =V  =
R R
Es decir
V2
P= (75)
R
137
Ejemplo:
Una máquina para soldar emplea 0.75 A cuando se conecta a 120 V ¿Cuál es su resistencia
eléctrica?
Solución:
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación 72 se obtiene:
120V
R= = 160Ω
0.75 A
Ejemplo:
¿Cuál es la intensidad de corriente que circula por una resistencia de 10 Ω cuando se sujeta
a una diferencia de potencia del 24 V?
Solución:
Despejando la intensidad de corriente de la ecuación 73 se obtiene:
V 24V
I= = = 2.4 A
R 10Ω
Ejemplo:
A través de una resistencia de 300 Ω fluye una intensidad de corriente de 6 A durante 1

hora. ¿Cuál es la potencia eléctrica? ¿Cuál es la cantidad de calor que se genera?
Solución:
Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación 74 para calcular la potencia eléctrica y

después multiplicando por el tiempo indicado para determinar el gasto de energía se
obtiene:
P =(6 A) 2 (300Ω) = 10800W
T = ∆U P = P ⋅ t = 10800W (3600s ) = 38,880,000 J
Expresando los Joules en unidades de calor se tiene que la cantidad de calor es:
 1kcal 
Q = 38880000 J   = 9288.1kcal
 4186 J 
138
Ejemplo:
Una bombilla eléctrica tiene un filamento de 80 Ω y está conectada a una línea de 110 V.
¿Cuál es la intensidad de corriente que circula por el filamento? ¿Cuál es la potencia
disipada?
Solución:
La intensidad de corriente se determina aplicando la ley de Ohm y después la potencia se

determina sustituyendo el resultado anterior en la ecuación 71.
V 110V
I= = = 1.375 A La potencia es
R 80Ω
P = V ⋅ I = (110V )(1.375 A) = 151.25W
IV.17. Circuitos eléctricos con resistencias.
Para comprender el funcionamiento de un circuito eléctrico con resistencias, considere en

primer lugar una resistencia (R) conectada a una fuente de fuerza electromotriz que
proporciona una diferencia de potencial (VT) determinada (fig.65). En primer lugar, para
que el circuito funcione es necesario accionar el interruptor (sw), de inmediato las cargas
eléctricas empiezan a fluir a través del conductor. Sí se considera que las cargas eléctricas
(los electrones) se mueven con la dirección convencional, entonces al llegar a la resistencia
presentan un potencial alto, que disminuye conforme pasan a través de la resistencia
eléctrica por el trabajo realizado. Cuando las cargas eléctricas “atraviesan” la resistencia
pierden energía, lo que hace que el potencial disminuya (sufre una caída de potencial). La
pérdida de energía es recuperada hasta que las cargas eléctricas llegan a la fem, la cual
realiza un trabajo por unidad de carga para elevar el potencial de la misma y vuelva a
realizar el recorrido por el circuito eléctrico.
Figura 65. Circuito eléctrico con una resistencia.
139
La mayor parte de los circuitos eléctricos no contienen una fuente de fuerza electromotriz y
mucho menos una resistencia eléctrica, sino que se componen de múltiples fem,
resistencias, diodos, transistores, capacitores, circuitos integrados, leds, y muchos otros
dispositivos, conectados entre sí de una forma relativamente complicada. Sin embargo, para
comprender el funcionamiento de ellos, es necesario conocer los circuitos más simples; en
este caso, la conexión de resistencias en serie, en paralelo y la conexión mixta de
resistencias.
En forma análoga a los circuitos con capacitores, en el análisis de circuitos con resistencias
eléctricas se utilizarán subíndices para distinguir cada una de ellas, así como a la respectiva
intensidad de corriente y caída de potencial que ocurra en la resistencia. Por ejemplo, a la
resistencia uno (R1), le corresponde la intensidad de corriente uno (I1) y la caída de
potencial uno (V1).
IV.18. Conexión de resistencias eléctricas en serie.
Como se mencionó en párrafos anteriores, la conexión en serie consiste en conectar entre sí

los dispositivos eléctricos a lo largo de la misma trayectoria. Considere ahora, tres
resistencias eléctricas (R1, R2 y R3) conectadas en serie a una fuente de fuerza electromotriz
que proporciona una diferencia de potencial (VT), figura 66. Al alimentar el circuito
eléctrico, fluye a través de cada resistencia una intensidad de corriente (I1, I2 e I3), y cada
vez, que la carga eléctrica fluye a través de una resistencia sufre una caída de potencial (V1,
V2 y V3) respectivamente. De manera análoga, el circuito anterior puede ser sustituido por
un circuito con una sola resistencia equivalente (RE), por donde circula una intensidad de
corriente total (IT) y donde ocurre una caída de potencial (VT).
Figura 66. Circuito serie de resistencias eléctricas.
140
La solución de un circuito de resistencias en serie implica determinar la resistencia

equivalente, así como la intensidad de corriente y la caída de potencial en cada resistencia.
Para realizar lo anterior, es necesario conocer las características de una conexión serie, las
cuales son:
• Para una conexión de resistencias en serie, la intensidad de corriente total (IT) que fluye
a través del circuito es igual a la intensidad de corriente en cada resistencia, es decir:
I T = I1 = I 2 = I 3 (76)
• La diferencia de potencial (VT) proporcionada por la fem es igual a la suma de las

caídas de potencial en cada una de las resistencias, por lo cual:
VT = V1 + V2 + V3 (77)
De la ley de Ohm (ecuación 73) se tiene que:
V = I ⋅R
Entonces al sustituir la caída de potencial de cada resistencia en la ecuación 77 se obtiene

que:
I T RE = I1 R1 + I 2 R2 + I 3 R3
Como la intensidad de corriente es igual para todas la resistencia entonces al dividir la

ecuación anterior entre (I) se obtiene la expresión que permite determinar la resistencia
equivalente (RE) de una conexión de resistencias en serie. Al generalizar para n número de
resistencias:
RT = R1 + R2 + R3 + ... + Rn (78)
Ejemplo:
Tres resistencias de 2, 6 y 8 Ω son conectadas en serie a una fuente de fuerza electromotriz

de 24 V. Determine la resistencia equivalente, la intensidad de corriente total, así como la
intensidad de corriente y caída de potencial en cada resistencia.
Solución:
En primer lugar, se determina la resistencia equivalente y la intensidad de corriente que

circula a través de ella:
RE = 2Ω + 6Ω + 8Ω = 16Ω
141
La respectiva intensidad de corriente es:
VT 24V
IT = = = 1.5 A
RE 16Ω
Como la intensidad de corriente es igual para todas las resistencias, se tiene que:
I T = I 1 = I 2 = I 3 = 1.5 A
Por lo cual la caída de potencial en cada resistencia es:
V1 = I 1 R1 = 1.5 A(2Ω) = 3V
V2 = I 2 R2 = 1.5 A(6Ω) = 9V
V3 = I 3 R3 = 1.5 A(8Ω) = 12V
Como se observa, la suma de las caídas de potencial en cada resistencia es igual a 24 V, con
lo cual se comprueba que la solución es correcta.
IV.19. Conexión de resistencias eléctricas en paralelo.
La figura 67, muestra tres resistencias (R1, R2 y R3) conectadas en paralelo a una fuente de
fuerza electromotriz que proporciona una diferencia de potencial (VT). Al cerrar el circuito
fluye una intensidad de corriente (IT), que se divide en cuanto llega a cada uno de los nodos
del circuito, de tal manera que a través de cada resistencia fluye sólo una parte de la
intensidad total. Por otro lado, como las resistencias están conectadas directamente a la
fem, entonces la caída de potencial en cada resistencia es la misma para todas. Al igual que
en el caso anterior, el circuito puede ser reemplazado por uno más simple que consta de una
sola resistencia, la resistencia equivalente (RE), a través de la cual fluye la intensidad de
corriente total (IT).
Figura 67. Circuito paralelo de resistencias eléctricas.
142
Para determinar la resistencia equivalente del circuito mostrado es necesario conocer las
características de la conexión en paralelo de las resistencias eléctricas. Como se menciona
en el párrafo anterior, éstas características son las siguientes:
• La caída de potencial en cada resistencia es igual a la diferencia de potencial que

proporciona la fuente de fuerza electromotriz.
VT = V1 = V2 = V3 (79)
• La intensidad de corriente total que circula en el circuito es igual a la suma de las

intensidades de corriente que fluyen a través de cada resistencia.
I T = I1 + I 2 + I 3 (80)
De la ley de Ohm se tiene que la intensidad de corriente es:
V
I=
R
Al sustituir cada intensidad de corriente en la ecuación 80 se tiene:
VT V V V
= 1 + 2 + 3
RE R1 R2 R3
Al dividir entre (V) y generalizando para cualquier número de resistencias se obtiene que:
1 1 1 1 1
= + + + ... + (81)
RE R1 R2 R3 Rn
Ejemplo:
Tres resistencias de 2, 6 y 12 Ω son conectadas en paralelo a una fuente de fuerza

electromotriz de 24 V. Determine la resistencia equivalente, la intensidad de corriente total,
así como la intensidad de corriente y la caída de potencial en cada resistencia.
143
Solución:
En primer lugar, se determina la resistencia equivalente y la intensidad de corriente que

circula a través de ella.
1 1 1 1 12 + 4 + 2 18
= + + = =
RE 2Ω 6Ω 12Ω 24Ω 24Ω
Por lo cual
24Ω
RE = = 1.333Ω
18
La intensidad de corriente a través de la resistencia equivalente es:
VT 24V
IT = = = 18 A
R E 1.333Ω
Como la caída de potencial es igual a la diferencia de potencial (VT) que proporciona la fem
VT = V1 = V2 = V3 = 24V
Finalmente la intensidad de corriente en cada resistencia es:
V1 24V
I1 = = = 12 A
R1 2Ω
V2 24V
I2 = = = 4A
R2 6Ω
V3 24V
I3 = = = 2A
R3 12Ω
Como se observar, la suma de las intensidades de corriente es igual a 18 A, con lo cual se

comprueba que la solución del circuito es correcta.
IV.20. Conexión serie – paralelo (circuito mixto) de resistencias eléctricas.
Como en el caso de los capacitores, una conexión mixta de resistencias eléctricas se

presenta cuando el circuito eléctrico presenta una combinación de conexiones serie y
paralelo de resistencias. De la misma forma, la solución de la conexión mixta consiste en
identificar el grupo de resistencias que se encuentren conectadas, ya sea en serie o en
paralelo, para después dibujar el circuito simplificado y repetir el procedimiento anterior
hasta que se tenga una sola resistencia, la resistencia equivalente.
144
El ejemplo siguiente muestra el método anterior. En este caso, es necesario analizar el flujo
de corriente y la caída de potencial en cada grupo de resistencias eléctricas y aplicar las
características de la conexión serie y paralelo. Al igual que en los casos anteriores, cada
resistencia se distinguirá por subíndices y la respectiva intensidad de corriente y caída de
potencial llevará los mismos subíndices.
Ejemplo:
El circuito mostrado en la figura 68 se alimenta a una fem que proporciona 24 V. Las

resistencias mostradas tienen los siguientes valores: 2, 4, 6, 6, 4 y 2 Ω respectivamente.
Determine la resistencia equivalente, la intensidad total que circula en el circuito, la
intensidad de corriente y caída de potencial en cada resistencia.
Solución:
Observe que primero se ha designado la intensidad de corriente y la caída de potencial para

cada una de las resistencias eléctricas para después localizar las resistencias que se
encuentran en serie o en paralelo.
Figura 68. Circuito mixto de resistencias eléctricas.
Para este circuito, (R2, R4 y R6) se encuentran conectadas en serie, por lo cual es la primera
simplificación que se efectuará. Es conveniente también observar la relación que existe
entre las intensidades de corriente y las caídas de potencial.
R246 = R2 + R4 + R6 = (4 + 6 + 2) Ω = 12 Ω
Y además
I2 = I4 = I6 = I246
145
V246 = V2 + V4 + V6
El circuito equivalente que resulta después de la simplificación anterior se muestra en el

circuito A de la figura 69. En este circuito las resistencias (R3 y R246) están conectadas en
paralelo por lo cual:
1 1 1 1 1 2 +1 3
= + = + = =
R2346 R3 R246 6Ω 12Ω 12Ω 12Ω
Despejando a R2346 se obtiene
12Ω
R2346 = = 4Ω Además
3
V3 = V246 = V2346
Figura 69. Simplificación de un circuito mixto de resistencias eléctricas.
146
El circuito B de la figura 69 muestra el circuito equivalente después de la simplificación

anterior. En este circuito, las resistencias (R1, R2346 y R5) están conectadas en serie por lo
cual se sustituyen por la resistencia equivalente del circuito (circuito C).
RE = R1 + R2346 + R5 = (2 + 4 + 4) Ω = 10 Ω
Y además
I1 = I5 = I2346 = IT
Para determinar la intensidad de corriente y la caída de potencial en cada resistencia se

determina primero la intensidad de corriente total en el circuito C y después la caída de
potencial en el circuito B hasta terminar con el circuito A.
En el circuito C se tiene determinado la resistencia equivalente y se conoce la diferencia de

potencial (VT), que proporciona la fuente de fuerza electromotriz, por lo cual se puede
determinar la intensidad de corriente total (IT) que circula en el circuito.
VT 24V
IT = = = 2.4 A
RE 10Ω
En el circuito B las tres resistencias están conectadas en serie y en consecuencia la

intensidad de corriente es igual en todas, es decir:
I1 = I5 = I2346 = IT = 2.4 A
Por lo cual se determina la caída de potencial en cada resistencia:
V1 = I 1 R1 = (2.4 A)(2Ω) = 4.8V
V5 = I 5 R5 = (2.4 A)(4Ω) = 9.6V
V2346 = I 2346 R2346 = (2.4 A)(4Ω) = 9.6V
Observe que la suma de las caídas de potencial es igual a 24 V.
147
En el circuito A, la caída de potencial es igual en las resistencias (R3 y R246) por lo cual se
pueden determinar las intensidades de corriente correspondientes.
V3 = V246 = V2346 = 9.6 V
Las intensidades de corriente son:
V3 9.6V
I3 = = = 1.6 A
R3 6Ω
V246 9.6V
I 246 = = = 0.8 A
R246 12Ω
Observe que la suma de las intensidades de corriente anteriores debe ser igual a I1.
En el circuito original (fig. 68), las resistencias (R2, R4 y R6) están conectadas en serie, por
lo que la intensidad de corriente es la misma para cada una, es decir:
I2 = I4 = I6 = I246 = 0.8 A
Por lo cual las caídas de potencial son:
V2 = I 2 R2 = (0.8 A)(4Ω) = 3.2V

V4 = I 4 R4 = (0.8 A)(6Ω) = 4.8V
V6 = I 6 R6 = (0.8 A)(2Ω) = 1.6V
Observe que la suma de las caídas de potencial anteriores es igual a V246 = 9.6 V. Ahora ya
se conoce la intensidad de corriente y la caída de potencial para cada una de las resistencias
y la solución del circuito está completa. La tabla 15 muestra los datos obtenidos en la
solución:
Resistencia (Ω) Intensidad de corriente (A) Caída de potencial (V)

R1 = 2 2.4 4.8
R2 = 4 0.8 3.2
R3 = 6 1.6 9.6
R4 = 6 0.8 4.8
R5 = 4 2.4 9.6
R6 = 2 0.8 1.6
Tabla 15. Resumen de datos obtenidos.
148
IV.21. Magnetismo.
El fenómeno del magnetismo se conoce casi desde hace tanto tiempo como la electricidad
estática. Los antiguos griegos conocían las fuerzas magnéticas que ejercían las sustancias
imantadas permanentemente, como la magnetita, sobre los objetos hechos con hierro; hacia
el año 1000 d. C, los chinos ya utilizaban las brújulas o agujas magnéticas. Cuando ocurrió
la guerra de la independencia de los Estados Unidos de Norteamérica, la brújula era un
instrumento de navegación bastante confiable para navegar por todo el mundo y ya se había
delimitado con exactitud el magnetismo terrestre. Para entonces, ya se conocía que los
polos terrestres magnéticos no coincidían con el eje de rotación de la tierra, de manera que
se habían trazado mapas exactos de la declinación magnética, donde se señalaba la
desviación del “norte magnético” con respecto al norte terrestre. Durante la segunda parte
del siglo XIX se especuló demasiado acerca de la posible relación entre los fenómenos
eléctricos y magnéticos.
En el año de 1819, el científico danés Hans Christian Oersted, utilizando la recién

descubierta pila voltaica para mantener una corriente eléctrica constante, descubrió que la
aguja de una brújula se desviaba al acercarse a un conductor por el que fluye una corriente
eléctrica. Este experimento evidenció una profunda relación entre los fenómenos de
naturaleza eléctrica y los de naturaleza magnética, y en consecuencia, originó una rápida
comprensión del magnetismo y su relación con la electricidad.
Años más tarde, Michael Faraday demostró que cuando se mueve un alambre cerca de un
imán, se induce una corriente eléctrica en el alambre. James Clerk Maxwell utilizó estas
observaciones y otros experimentos como base para formular las leyes del
electromagnetismo como se conocen actualmente. Las aportaciones de Maxwell al
electromagnetismo son especialmente importantes porque son aplicables a cualquier
fenómeno electromagnético. Su obra se compara en importancia a la formulación de las
leyes del movimiento y de la gravitación universal de Isaac Newton.
Las aplicaciones tecnológicas del electromagnetismo son grandes y variadas. Es posible

construir desde los grandes electroimanes para levantar cargas pesadas hasta pequeños
electroimanes para los altavoces de una televisión o una computadora. Los imanes se
utilizan en infinidad de aparatos e instrumentos de medición como multímetros, bocinas,
motores, generadores. Las cintas magnéticas se utilizan por lo general para registrar señales
de audio y video. En la actualidad, se utilizan intensos campos magnéticos en dispositivos
de formación imágenes por resonancia magnética, con la finalidad de explorar el cuerpo
humano sin el peligro que representa el uso de los rayos X. El hecho de que se pensara que
las fuerzas magnéticas se debieran a imanes permanentes naturales dificultó la comprensión
de la relación entre el magnetismo y de la electricidad. Sólo después de un periodo
relativamente largo se comprendió de manera general que todos los campos magnéticos,
incluso los asociados a imanes permanentes, se deben al flujo de corrientes eléctricas. Es
decir, las cargas magnéticas afectan las cargas eléctricas en movimiento, y de la misma
manera, las cargas eléctricas en movimiento producen campos magnéticos. La naturaleza
última de todo campo magnético es el movimiento de las cargas eléctricas, ya sea la
corriente en un conductor o la que produce el movimiento de las cargas en el interior de los
átomos y las moléculas.
149
IV.22. Imanes y dipolos magnéticos.
Seguramente cualquiera de ustedes conoce un imán y está familiarizado con los efectos que
produce sobre una aguja o una esfera de hierro. También se habrá dado cuenta que un imán
de barra ejerce mayor fuerza en sus extremos denominados polos del imán, polo norte y
polo sur respectivamente. Si un imán en forma de barra se suspende de su centro de
gravedad entonces se orientará de forma natural hasta lograr el equilibrio, el polo que
apunta hacia el norte terrestre se denomina polo norte y el extremo contrario que apunta al
polo sur terrestre se denomina polo sur.
Otro hecho significativo se presenta cuando se tienen dos imanes de barra y se intentan
juntar los polos norte o los polos sur de los dos imanes sin lograrlo debido a la fuerza de
repulsión entre ambos. El caso contrario se presenta cuando se junta un polo norte con un
polo sur sin ninguna dificultad ya que ahora la fuerza que se presenta es de atracción, de
manera general:
Los polos magnéticos de igual naturaleza se repelen y de diferente naturaleza se atraen.
Invariablemente los imanes tienen polo norte y polo sur de igual intensidad, por lo cual se
denominan dipolos. Más aun, si un imán de barra se corta en dos entonces se obtienen dos
imanes, cada uno con su polo norte y polo sur y de la misma intensidad (fig. 70). Es decir,
los polos magnéticos siempre se presentan en pares. La segunda ley de Maxwell afirma la
no existencia de los polos magnéticos aislados, aunque no da una explicación de cómo se
forman los polos magnéticos. En la actualidad, un campo de investigación activo es la
consecución de un monopolo magnético.
Figura 70. Dipolos magnéticos.
150
IV.23. Campos magnéticos y líneas magnéticas.
Como se describió anteriormente, una característica inherente a una carga eléctrica es el

campo eléctrico; más aun, si la carga eléctrica está en movimiento, además del campo
eléctrico que rodea a la carga, también es rodeada por un campo magnético. De la misma
forma, todo cuerpo que esté imantado forma un campo magnético a su alrededor.
Para definir el campo magnético es necesario conocer la intensidad de campo y su

dirección. La dirección del campo magnético (B) en un punto determinado del campo es la
dirección en la que se dirige el polo norte de la aguja de una brújula. Para evidenciar la
presencia del campo magnético de un imán, es suficiente con cubrir el imán con una hoja
delgada de papel, para después espolvorear limaduras de hierro a su alrededor.
Para representar un campo magnético se utilizan las líneas de flujo que se dibujan a partir
del polo norte y se dirigin hacia el polo sur del imán. Las líneas de flujo en la región de dos
polos iguales o diferentes se muestran en la figura 71.
Figura 71. Representación de los campos magnéticos con ayuda de las líneas de fuerza.
151
IV.24. Las corrientes eléctricas generan campos magnéticos.
La electricidad y el magnetismo son dos aspectos del mismo fenómeno, y las ecuaciones de
Maxwell resumen todo el conocimiento sobre éstos. El principio más importante de las
ecuaciones de Maxwell implica que la electricidad y el magnetismo son dos aspectos
diferentes de misma fuerza
Durante el siglo XVIII, varios filósofos naturales trataron de establecer la conexión entre la
electricidad y el magnetismo y el resultado obtenido fue que una carga eléctrica
estacionaria y el campo magnético de un imán no tenían ninguna relación entre sí. Fue
hasta el siglo XIX que se empezó a descubrir la relación entre la electricidad el
magnetismo.
Como otros sucesos que han marcado el descubrimiento y desarrollo del conocimiento
humano, la historia de la relación entre la electricidad y el magnetismo es también curiosa.
En 1819, el físico danés Hans Christian Oersted se encontraba dando una conferencia
sobre física, cuando observó que al conectar un interruptor para que la corriente eléctrica
empezara a circular producía un salto en una brújula que tenía sobre el escritorio.
Experimentos posteriores le permitieron confirmar que una corriente eléctrica circulando
por un conductor metálico produce un campo magnético.
En 1820, un experimento realizado por Oersted demostró que un conductor por donde
circula una corriente eléctrica produce un campo magnético a su alrededor. Este
experimento consiste en colocar varias brújulas en un plano perpendicular al alambre por
donde circula la corriente (fig.72). Cuando no fluye corriente eléctrica todas las agujas
apuntan en la misma dirección (la del campo magnético terrestre). Sin embargo, al conectar
el circuito, todas las agujas se desvían en direcciones tangentes al círculo donde se
encuentran colocadas las brújulas.
Figura 72. Experimento de Oersted.
Para determinar la dirección del campo magnético, se utiliza la regla de la mano derecha,
que consiste en tomar el alambre con la mano derecha, de manera que el pulgar apunte en la
dirección que fluye la corriente eléctrica, los dedos restantes señalan la dirección del campo
magnético.
152
Después del descubrimiento de Oersted del efecto magnético que produce la corriente
eléctrica al fluir por un alambre, Ampère encontró que una espira o bobina de alambre
actúa como un imán. Una bobina de alambre de este tipo se denomina solenoide; en este
caso, un extremo de la bobina actúa como polo norte y el otro como polo sur magnético.
Fuera de la bobina las líneas de campo van de polo norte hacia el polo sur de la misma
forma que para un imán de barra (fig. 73).
Figura 73. El campo magnético de un solenoide y de un imán de barra es análogo.
Unos años después del descubrimiento de Oersted y de la demostración de Ampère de las

propiedades magnéticas de un solenoide, William Sturgeon dispuso la bobina alrededor de
un núcleo de hierro dulce y consiguió un imán muy poderoso. Mientras se mantenga una
corriente electrónica a través del solenoide arrollado en el núcleo de hierro, la intensidad de
campo es de cientos de veces más grande que la intensidad de campo magnético que
produce sólo la bobina.
Una aplicación común de esta ley natural es la construcción de un electroimán. Un

electroimán consiste en una o más bobinas arrolladas en un núcleo fabricado con material
de una gran permeabilidad. Se utilizan para la construcción de una gran variedad de
dispositivos, desde un timbre hasta los grandes ciclotrones. Los electroimanes tienen
muchas y variadas aplicaciones tecnológicas, ya que es posible generar grandes campos
magnéticos y, en consecuencia, ejercer fuerzas demasiado intensas sobre otros cuerpos.
Una aplicación importante la constituye los relevadores, en donde una pequeña intensidad
de corriente imana un núcleo de hierro que atrae a una armadura metálica, de manera que se
abra un circuito eléctrico y se cierre otro. Además de los imanes, los electroimanes también
se usan en la construcción de gran variedad de instrumentos de medición tales como:
galvanómetros, multímetros, brújulas, etc. Los aparatos de uso común como los audífonos,
bocinas, timbres, motores, generadores, utilizan también, imanes y electroimanes para su
construcción.
153
Hacia 1821, Michael Faraday descubrió que cuando un alambre que transporta una
corriente eléctrica se coloca dentro de un campo magnético de un imán natural se ejerce
una fuerza mecánica sobre el alambre. Es este el principio en que se basa el funcionamiento
del motor eléctrico moderno.
IV.25. Las Leyes de Maxwell.
Las leyes de Maxwell resumen y encuadran en una sola teoría todo el conocimiento sobre
el comportamiento de los campos eléctricos, las cargas y las corrientes eléctricas en el
vacío y en la materia, que se había acumulado después de muchos años de investigación.
La formulación matemática representa no sólo la unificación de la electricidad y el
magnetismo sino uno de los triunfos más grandes del conocimiento humano. Sin embargo,
más allá de la representación matemática de las leyes de Maxwell, por el momento sólo nos
interesa el significado físico de las mismas.
Como en otros casos, las cuatro leyes de Maxwell, ya habían sido estudiadas por científicos
anteriores a James Clerk Maxwell. Sin embargo, él tuvo el ingenio de reformularlas en una
sola teoría y, obtener de la misma, gran información acerca de los fenómenos
electromagnéticos.
Las cuatro leyes de Maxwell son las siguientes:
1. Ley de Gauss.
2. Ley sobre la ausencia de los monopolos magnéticos.
3. Ley de Faraday.
4. Ley de Ampère – Maxwell.
Las leyes anteriores fueron descubiertas experimentalmente, con excepción de una parte de
la cuarta ley, la aportación de Maxwell. Se puede afirmar que fue Faraday quien, al
descubrir la ley que lleva su nombre, introdujo el campo magnético en 1845. Junto con
estas leyes existen las llamadas relaciones constitutivas, que relacionan los campos con la
magnetización y polarización de la materia.
La ley de Gauss.
Como se ha mencionado anteriormente, un campo eléctrico es producido por una carga o
un sistema de cargas eléctricas. La relación que existe entre campo y carga puede ser
simplificada utilizando el concepto de flujo. La figura 74 muestra una superficie cerrada de
forma arbitraria y el campo representado por las líneas que atraviesan la superficie; ahora
bien, si la superficie se divide en pequeñas secciones que se puedan considerar planas y el
campo eléctrico no cambia de manera apreciable entonces el flujo queda determinado por el
producto del campo eléctrico y la correspondiente área de la sección que atraviesa. Por lo
anterior, el flujo permite tener una idea de la magnitud del campo eléctrico que actúa en la
totalidad de la superficie.
154
Figura 74. Superficie cerrada dividida en n número de secciones.
La ley de Gauss se aplica para cargas eléctricas encerradas en una superficie, y establece
que el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada es directamente
proporcional al valor de la carga total. Esta ley tiene el mismo significado físico de la ley de
Coulomb, pero expresada en términos del campo eléctrico y no de la fuerza eléctrica.
Ley de ausencia de los monopolos magnéticos.

La figura 75 muestra el campo magnético de un imán de barra y tal parece que existe una
concentración de “carga magnética positiva” y de “carga magnética negativa” en los
extremos del imán. De esta manera, bien se podría pensar en una ley de Gauss para los
campos magnéticos. Aunque, solo en el caso de que existiera una superficie que incluyera a
una región del espacio con un polo magnético aislado permitiría la formación de un flujo
neto y en consecuencia existiría una ley de Gauss para el caso magnético. Sin embargo, y
como es sabido, la materia está compuesta por cargas eléctricas libres y no de cargas
magnéticas, lo que invalida la idea de la existencia de los monopolos magnéticos. Por lo
anterior, la ley de Gauss aplicada para este caso establece que el flujo neto del campo
magnético en una superficie cerrada es igual a cero. Esto se generaliza para todo el
espacio por la no existencia de los monopolos magnéticos.
Sin embargo, en principio no existe impedimento físico para pensar que en algún lugar del
espacio (o en el pasado) existieron monopolos magnéticos. A lo largo de este siglo ha
habido numerosos intentos para localizar un monopolo magnético. Algunas modernas
teorías cosmológicas predicen que pares de polos magnéticos fueron creados al principio
del Universo para separarse posteriormente. Estos monopolos serían "pocos" comparados
con el número de electrones, por ejemplo, y difíciles de detectar. Esta fascinante búsqueda
tal vez tendrá éxito en el futuro.
155
Figura 75. Campo magnético de un imán de barra.
La ley de inducción de Faraday.

Faraday y Ampère fueron los físicos con más aportaciones al conocimiento del
electromagnetismo. Faraday, entre otras cosas, encontró que una aguja se magnetiza por el
efecto de una corriente eléctrica inducida y que puede ser magnetizada en sentido opuesto
cuando el circuito es desconectado. Esto es debido a la fuerza que un campo magnético
ejerce sobre una carga eléctrica en movimiento.
Al desplazar un circuito eléctrico dentro de un campo magnético, la fuerza electromotriz
inducida genera una corriente eléctrica en el circuito, que es directamente proporcional al
flujo de campo magnético. Faraday demostró que ocurre lo mismo cuando se cambia la
corriente eléctrica y el circuito eléctrico se mantiene en reposo. Estos dos fenómenos son
equivalentes, y a partir de este hecho la ley de inducción establece de forma general que: la
fuerza electromotriz inducida en un circuito es directamente proporcional a la variación
temporal del flujo del campo magnético que rodea al circuito.
Como la fuerza electromotriz se relaciona con el campo eléctrico, la ley de Faraday
establece una relación entre el campo eléctrico en una trayectoria cerrada y la razón de
cambio temporal del campo magnético. Esta ley es fundamental para comprender como se
induce un campo eléctrico al variar el campo magnético, la no existencia de los monopolos
magnéticos y el hecho de que no existen corrientes magnéticas que induzcan corrientes
eléctricas.
Ley de Ampère – Maxwell.

El hecho experimental que relaciona esta ley es la producción de campos magnéticos a
partir de una corriente eléctrica que circula en un conductor; este descubrimiento, debido a
Oersted, conmocionó al mundo científico. Ampère descubrió más tarde que si una corriente
eléctrica estacionaria circula por un alambre, si se traza una trayectoria cerrada alrededor
del alambre, el producto del campo magnético originado por la corriente eléctrica
multiplicado por la longitud de la trayectoria es proporcional a la intensidad de corriente. El
resultado llevó a Ampère a proponer que el magnetismo en la materia es causado por
corrientes de electrones en sus órbitas.
156
Por cierto tiempo se creyó que sólo la corriente eléctrica generaba un campo magnético. Sin
embargo, faltaba un elemento, que el genio de Maxwell aportó, su razonamiento fue el
siguiente, como la carga eléctrica está compuesta de cargas en movimiento y la carga no se
crea ni se destruye, la ecuación de continuidad establece que si la carga varía con el tiempo
en un punto del espacio, existe una fuente o sumidero de corriente en ese punto.
La ley de Ampère es válida para corrientes estacionarias que no varían con el tiempo.
Suponga ahora que se tiene una distribución de cargas que si varía con el tiempo; entonces
se debe agregar un término a la ley de Ampère. Este término proviene del hecho de que al
variar un campo eléctrico se origina un campo magnético. En ausencia de corriente
eléctrica éste deber ser el único efecto que generara un campo magnético.
Observe que el caso es análogo a lo que sucede en la ley de Faraday y que al agregar este
término Maxwell hizo simétricas las ecuaciones. ¿Por qué Faraday no notó este efecto en
sus experimentos? Esto se fue debido a que en los aparatos utilizados, la variación del
campo eléctrico es muy lento. Para hallar tal efecto se necesita que el campo cambie
rápidamente, tan rápidamente como el tiempo que la luz tarde en cruzar el aparato, o sea un
tiempo de carácter infinitesimal. Utilizando microondas, Hertz comprobó la existencia de
este efecto predicho por Maxwell.
Por lo tanto, se puede enunciar la ley como sigue: la razón de variación temporal del campo
eléctrico más la corriente estacionaria producida por cargas en movimiento, es proporcional
al campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada.
Por último, solo queda decir, que la curiosidad de James Clerk Maxwell, pese a su corta
existencia, lo llevó a ser uno de los más grandes científicos que han existido. Sus
innovaciones en el estudio de la electricidad, el magnetismo y los gases, permitieron más
adelante, la generación de las ondas electromagnéticas que son utilizadas hoy en día para
las radiocomunicaciones y la transmisión de datos y video en tiempo real. Con los estudios
de Maxwell dio inicio el conocimiento actual de la luz y la materia que desembocó años
después en la teoría de la relatividad de Albert Einstein.
157
IV.26. Ejercicios propuestos.
1. Defina con sus palabras los siguientes conceptos: Electricidad, electrostática,

electrodinámica, cuerpo cargado, ión positivo, ión negativo, conductor, superconductor,
semiconductor y aislador.
2. ¿Qué es un electroscopio? ¿Cómo funciona?
3. Al frotar un tubo de PVC con un pañuelo de seda ¿se crea carga eléctrica?
4. Si dos cuerpos se atraen o se repelen entre sí ¿es señal de que están cargados
eléctricamente?
5. El principio de conservación de la carga eléctrica establece que la cantidad total de

carga eléctrica en el universo no cambia. ¿Puede explica este principio?
6. Explique los siguientes conceptos: Campo eléctrico, intensidad de campo eléctrico,

líneas de campo eléctrico.
7. ¿Existe un campo eléctrico en una región de espacio en donde una carga eléctrica no
experimenta ninguna fuerza de naturaleza eléctrica?
8. ¿Cuáles son las similitudes entre el campo eléctrico y el campo gravitacional? ¿En qué
aspectos son diferentes?
9. Es común decir que el campo eléctrico es el espacio que rodea a una carga eléctrica y
que se han modificado sus propiedades originales ¿Puede explicar lo anterior?
10. ¿En qué consiste la superconductividad a altas temperaturas?
11. Explique que son las partículas subatómicas. ¿Cuántas se han descubierto?
12. En que consisten los procesos de fisión y fusión nuclear.
13. Explique el experimento de R.A. Millikan para determinar la carga de un electrón.
14. Explique los siguientes conceptos: Potencial eléctrico, diferencia de potencial,

capacitor, capacitor variable.
15. Mencione algunos usos de los capacitores.
16. Explique los siguientes conceptos: Intensidad de corriente, resistencia eléctrica y caída
de potencial.
17. Explique el funcionamiento del voltímetro, amperímetro y ohmetro.
158
18. ¿En qué consiste un circuito de resistencias conectadas en serie? ¿Cuáles son sus
características?
19. ¿En qué consiste un circuito de resistencias conectadas en paralelo? ¿Cuáles son sus
características?
20. La fuente de fuerza electromotriz (fem) ¿Es una fuente de fuerza?
21. Explique el funcionamiento de una fem.
22. Al encender un aparato electrodoméstico, es más probable que el fusible se “funda” que
al estar funcionando ¿puede explicar lo anterior?
23. Cuando se “funde” un fusible de 10 A, es muy peligroso reemplazarlo por uno de 20 A

¿puede explicar porqué?
24. La energía eléctrica se tiene que transmitir a grandes voltajes ¿puede explicar porqué?
25. ¿Cómo se construye una pila seca y una pila húmeda?
26. ¿Qué es un ciclotrón? ¿Cómo funciona?
27. El radio de la órbita de un electrón alrededor de un protón en un átomo de hidrógeno es

de unos 52 pm. ¿Cuál es la fuerza electrostática de atracción?
28. ¿Cuál debe ser la separación entre dos cargas eléctricas de 20 µC, si la fuerza de
repulsión entre ellas es de 100 N?
29. Dos cargas eléctricas de la misma magnitud, experimentan una fuerza de repulsión de
80 N cuando están separadas 100 mm. ¿Cuál es la magnitud y signo de cada una de las
cargas?
30. Dos esferas de unicel experimentan una fuerza de repulsión de 80 N. Si cada esfera
tiene una carga de 60 µC. ¿Cuál es la distancia que las separa?
31. Dos cargas de 10 µC y -12 µC son colocadas a 100 mm de distancia. (a) ¿Cuál es la
fuerza resultante sobre una tercer carga de 4 µC colocada justo a la mitad de las cargas
anteriores. (b) Si la tercera carga se coloca a 20 mm de la carga positiva y a 80 mm de
la carga negativa. ¿Cuál es ahora la fuerza resultante sobre la tercera carga?
32. Tres cargas eléctricas de 10 µC, -20 µC y 40 µC son colocadas en los vértices de un
triángulo equilátero de 60 mm de lado. Determine la magnitud y dirección de la fuerza
resultante en cada una de las cargas.
33. Para sostener una carga de 15 µC en un punto dentro de un campo eléctrico es necesaria
una fuerza de 0.04 N. ¿Cuál la intensidad del campo eléctrico en ese punto?
159
34. Un conductor eléctrico con una sección transversal uniforme conduce una corriente
eléctrica de 5 A. ¿Cuántos electrones pasan por un punto determinado del conductor en
un tiempo de un minuto?
35. El voltaje de funcionamiento de un calentador eléctrico es de 110 V. Si circula una

corriente eléctrica de 6 A ¿Cuál es la energía térmica, medida en Joules, que suministra
en una hora?
36. Una bombilla eléctrica de 100 W se alimenta con una línea de 110 V. ¿Cuál es la
resistencia del filamento? ¿Cuál es la intensidad de corriente que circula en el mismo?
37. Una lámpara eléctrica de 300 W opera con una línea de 220 V y se sumerge en 8 litros
de agua a una temperatura de 27 oC. Determine la intensidad de corriente que circula a
través de la lámpara. ¿Cuál la temperatura del agua después de 5 minutos?
38. Cuatro capacitores de 4 µF, 8 µF, 12 µF y 6 µF son conectados en serie a una fuente de
fuerza electromotriz de 120 V. Determine la capacidad equivalente y la carga en cada
uno de los capacitores.
39. Cuatro capacitores de 4 µF, 8 µF, 12 µF y 6 µF son conectados en paralelo a una fuente
de fuerza electromotriz de 120 V. Determine la capacidad equivalente y la carga en
cada uno de los capacitores.
40. Cuatro resistencias eléctricas de 8 Ω, 12 Ω, 4 Ω y 6 Ω, son conectadas en serie a una

fuente de fuerza electromotriz de 24 V. Determine la resistencia equivalente y la
intensidad de corriente total que circula por el circuito. ¿Cuál es la intensidad de
corriente y caída de potencial en cada resistencia?
41. Cuatro resistencias eléctricas de 8 Ω, 12 Ω, 4 Ω y 6 Ω, son conectadas en paralelo a una

fuente de fuerza electromotriz de 24 V. Determine la resistencia equivalente y la
intensidad de corriente total que circula por el circuito. ¿Cuál es la intensidad de
corriente y caída de potencial en cada resistencia?
160
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161
FACTORES DE CONVERSIÓN
Longitud
1 kilómetro (km) = 1000 m 1 pulgada (in) = 2.540 cm
1 metro (m) = 100 centímetros (cm) 1 pie (ft) = 30.48 cm ; 1 yarda (yd) = 3 ft
1 centímetro (cm) = 10-2 m 1 milla (mi) = 1.609 km
1 milímetro (mm) = 10-3 m 1 milésima (mil) = 10-3 in
1 micrómetro (µµm) = 10-6 m 1 centímetro (cm) = 0.3937 in
1 nanómetro (nm) = 10-9 m 1 metro (m) = 39.37 in
1 Angstrom (A) = 10-10 m 1 kilómetro (km) = 0.6214 mi
Área
1 metro cuadrado (m 2) = 10.76 ft2 1 milla cuadrada (mi 2) = 640 acres
2 2
1 pie cuadrado (ft ) = 929 cm 1 acre = 43 560 ft2
Volumen
1 litro (lt) = 1000 cm = 61.02 in = 0.03532 ft3
3 3
1 metro cúbico (m 3) =1000 lt = 35.32 ft3

1 pie cúbico (ft 3) =7.481 galones (U.S) = 0.02832 m3 = 28.32 lt
1 galón (U.S) = 231 in3 = 3.785 lt ; 1 galón británico = 1.201 galón (U.S) = 277.4 in3
Masa
1 kilogramo (1 kg) = 2.2026 libras (lb) = 0.06852 slug ; 1 lb = 453.6 g = 0.03108 slug
1 slug = 32.174 lb = 14.59 kg
Velocidad
1 km/h = 0.2778 m/s =0.6214 mi/h = 0.9113 ft/s
1 mi/h = 1.467 ft/s = 1.609 km/h = 0.4470 m/s
Fuerza
1 Newton (N) = 105 Dinas = 0.1020 kilogramo fuerza (kgf) = 0.2248 libra fuerza (lbf)
1 lbf = 4.448 N = 0.4536 kgf ; 1 kgf = 2.205 lbf = 9.807 N
Energía
1 Joule (J) = 1 N m = 107 Erg = 0.2389 cal = 9.481 x 10-4 BTU
1 caloría (cal) = 4.186 J = 3.968 x 10-3 BTU
1 BTU = 1055 J = 0.293 W h ; 1 kW h = 3.6 x 106 J = 860 kcal = 3413 BTU
1 electrón volt (eV) = 1.602 x 10-19 J
Potencia
7
1 Watt (W) = 1 J/s = 10 Erg/s = 0.2389 cal/s
1 caballo de fuerza (hp) = 550 lb ft/s = 33 000 lb ft/min = 745 W
1 kilowatt (kW) = 1.341 hp = 737.6 lb ft/s = 0.9483 BTU/s
Presión
1 N / m = 1 Pascal (Pa) =10 Dinas/cm = 9.869 x 10-6 atmósferas (atm) = 2.089 x 10-2 lb / ft2
2 2
1 lb / in2 = 6895 N/m2 = 5.171 centímetros de mercurio (cm de Hg) = 27.68 in de agua
1 atm = 1.013x105 N/m2 = 1.013 x 106 Dinas/cm2 = 14.70 lb / in2 = 76 cm de Hg
1 kPa = 1000 N/m2 = 0.145 lb / in2 ; 1 bar = 1.00 x 105 N/m2 = 0.1 MPa
Cantidad de calor
1 BTU = 778 lb – ft ; 1 cal = 4.186 J ; 1 kcal = 4186 J ; 1 BTU = 252 cal
162
Solución de ejercicios propuestos.
Unidad I. Ondas.
21. 316.22 m/s
22. 1500 m/s
23. 6.67 m/s
24. 0.60 m
25. 936 m
26. 1715 m
27. 1.75 Mach ; 16.67 s
28. a) 60 dB
b) 20 dB
c) 10 dB
29. 284.44 Hz
30. 79.4 km/h
31. a) 543.7 Hz
b) 456.3 Hz
c) 547.9 Hz
d) 459.8 Hz
32. a) 294.7 Hz ; 226.3 Hz
b) 267.7 Hz ; 245.3 Hz
Unidad II. Óptica.

21. 20 m
22. 30 cm
23. Real, invertida y de igual tamaño.
24. a) 1.4142 ; b) 2.12132 x 108 m/s
25. 1.5849
26. 1.5890
27. a) Real, invertida y de menor tamaño.
b) Real, invertida y de igual tamaño.
c) Real, invertida y de mayor tamaño.
d) No existe formación de imagen.
e) Virtual, derecha y de mayor tamaño.
28. a) Virtual, derecha y de menor tamaño.
b) Virtual, derecha y de menor tamaño.
c) Virtual, derecha y de menor tamaño.
29. a) p = 30 cm para formar una imagen real.
b) p = 10 cm para formar una imagen virtual.
30. a) Real, invertida y de menor tamaño.
b) Real, invertida y de igual tamaño.
c) virtual, derecha y de mayor tamaño.
163
31. a) Virtual, derecha y de menor tamaño.

b) Virtual, derecha y de menor tamaño.
c) Virtual, derecha y de mayor tamaño.
32. p=f
33. 79.82 cm
Unidad III. Térmica.

33. 9.12 mm
34. 1.6 cm
35. 9.35 x 10-6 C-1
36. 5045.6 mm2
37. 20.047 mm
38. 109.74 oC
39. 100.027 cm3
40. 0.7992 litros
41. 0.31 cm3 (sin considerar la dilatación del recipiente)
42. 1.1 kcal/s
43. 84026 BTU
44. 135.5 min
45. 4095.76 kcal (por ambos lados)
46. 0.1043 cal /g oC
47. 51.95 oC
48. 0.0327 cal / g oC
49. 2164.5 g
50. 35 kcal
51. 19.69 oC
52. 107.37 g
53. 3.1367 g
54. 1745.3 g
55. 187.5 litros
56. 840 kcal
57. 500 J / kg oC
58. 42.67 oC
59. 20 oC
60. 0.543 cal / g oC
61. 24.13 oC
62. 0.056 cal / g oC
63. 2.0043 m
64. 4.5750 cm
65. 6.98 x 10-3 oC-1
66. 25.5 % del volumen inicial
67. 10.2 x 10-5 oC-1
68. 212.81 g
69. a) 4.768 kcal b) 9.537 kcal c) 19.07 kcal
164
70. a) 47700 BTU b) 95400 BTU c) 190800 BTU

71. 109.46 g
72. 1599.89 g
73. 0.09513 kcal /m s oC
74. 3.428 x 10-4 kcal = 0.3428 cal
75. 90 kcal
Unidad IV. Electricidad.

26. 8.5 x 10-8 N
27. 8.48 cm
28. 9.428 µC (ambas positivas o negativas)
29. 4.05 mm
30. a) 316.8 N b) 967.5 N (ambas fuerzas dirigidas hacia la derecha)
31. a) FR1 = 866 N ; θ = 210º
32. 2666.67 N/C
33. 1.125 x 1023 electrones
34. 567.60 kcal
35. 0.9090 A ; 121 Ω
36. 1.3636 A ; 29.69 oC
165

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Física II Martín Ibarra Silva

“… Este mundo inmenso que existe independientemente de los seres humanos…

Albert Einstein (1879 – 1955)

I.1. El calor es una forma de energía.

El conde Rumford había sido comisionado para supervisar la construcción de cañones. A

Estas observaciones le permitieron a Rumford ampliar el principio de la conservación de la

En este contexto, no importa la frecuencia con la que la energía se transforma, la regla

El cualquier proceso termodinámico la energía calorífica neta absorbida por un sistema

La termodinámica estudia los procesos de intercambio de energía de un cuerpo con el

I.2. Energía interna.

Existen varias formas de elevar la temperatura de una sustancia; la más sencilla es

La física invalida la idea de la energía calorífica de un cuerpo, entendida como la energía

La figura 1 muestra un modelo del movimiento de las moléculas de un gas en un recipiente

1. El número de moléculas es bastante elevado y la separación entre ellas también es

2. El movimiento molecular obedece a las Leyes de Newton, pero se mueven en forma

4. La fuerza atractiva entre las moléculas es insignificante, excepto cuando chocan.

5. Las moléculas del gas son idénticas.

Fase sólida Fase líquida Fase gaseosa

Figura 1. El movimiento molecular se incrementa al aumentar la temperatura.

Figura 2. Termómetro de mercurio.

I.4. Escalas de temperatura.

La escala Fahrenheit funciona de manera análoga, el cero de la escala representa la

El Sistema Internacional de Unidades define como unidad de temperatura al Kelvin (oK).

Para determinar la fórmula de conversión entre la escala Celsius y la escala Fahrenheit se

Figura 3. Comparación de las escalas de temperatura.

Si se grafican ambos puntos en el sistema coordenado, con la escala Celsius en el eje x y

La correspondiente escala absoluta en el sistema inglés es la escala Rankin que ubica el

De la misma forma, la magnitud de un grado Celsius y un Kelvin es exactamente igual, por

La temperatura en la superficie del sol es de aproximadamente 6500 oC. ¿Cuál es la

Sustituyendo en las ecuaciones 1, 3 y 4 se obtiene:

I.5. Cantidad de calor.

En forma general, la energía en cualquiera de sus manifestaciones, mecánica, eléctrica,

Caloría (cal). Es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un gramo de

Kilocaloría (kcal). Es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un

La unidad térmica británica (BTU). Es la cantidad de calor necesaria para elevar la

Las equivalencias entre las unidades de calor son las siguientes:

• 1 kcal = 1000 cal

I.6. Expansión o dilatación térmica.

En el diseño y construcción de un termómetro se aprovecha que el mercurio cambia de

La expansión de los materiales es una propiedad que debe ser considerada en la

La deformación macroscópica de los materiales es el resultado de la expansión térmica de

Figura 4. Dilatación lineal de una barra.

Por lo que el coeficiente medio de dilatación lineal está dado por

Sustituyendo cada incremento

Sustancia Coeficiente Sustancia Coeficiente

Tabla 1. Coeficientes medios de dilatación lineal (oC-1)

La longitud del puente Harvard, hecho de acero, es de aproximadamente 610 m. ¿Cuál es la

Para determinar el coeficiente de dilatación lineal del cobre, un alambre de 6 m de longitud

Para sustituir en la ecuación 5 y determinar el coeficiente primero se realiza la conversión

Dilatación superficial. Puesto que un cambio de temperatura afecta a todas las

Figura 5. Dilatación superficial de una placa cuadrada.

Conocida la longitud final es posible determinar el área final de la placa, es decir:

Que se conoce como el coeficiente medio de dilatación superficial, por lo cual:

Dilatación volumétrica. Un procedimiento similar aplicado a un objeto cúbico de lado

En donde, 3α = γ, que se denomina el coeficiente medio de dilatación volumétrica, por lo

Como se observa, los coeficientes medios de dilatación superficial y volumétrica de los

Tabla 2. Coeficientes medios de dilatación

Una placa rectangular de aluminio mide 15 cm x 30 cm cuando está a 20 oC ¿Cuál es el

Como ∆A = ( A − Ao ) = 2.16cm 2 entonces el área final es: