RM Bimestre 4to
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Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
- “¡Eh aquí, señoras y señores, el truco más sorprendente del mundo! El Calculador Mental “Mister
ET” hallará, de memoria, raíces de índices muy elevados del números que tengan muchísimas
cifras. Sólo es necesario que usted mismo prepare el número, tomando una cantidad cualquiera y
lo eleve a la potencia que se le ocurra”.
Y con la intención de hacer fracasar al famoso calculador, agarré pacientemente un número, lo
elevé a la potencia 31 y obtuve un número de 35 cifras. Y dirigiéndome al “Malabarista” de los
números le dije:
- ¡Basta ya de trucos! Intente hallar la raíz de índice 31 de siguiente número de 35 cifras. ¡Tome
nota! ¡SE lo voy a dictar!
El calculador tomó la tiza, pero antes de que yo pronuncie siquiera la primera cifra, él ya había
encontrado el resultado: 13. El Calculador, sin saber el número, ha extraído la raíz de índice 31, lo ha
hecho de memoria y, por si fuera poco, ¡con la velocidad del rayo!
Para que no se desesperen los atentos lectores de este tema, intentaré “desenmascarar” al
calculador. En realidad, el secreto consiste en que no existe más que un solo número, precisamente
el 13, que elevado a la potencia 31, da un resultado de 35 cifras. Los números menores que 13, dan
menos y los que son mayores más.
Pero, ¿cómo sabía eso el calculista? ¿Cómo halló el número 13?. Es indudable que el calculista
sabía usar los logaritmos. Y se valió de los logaritmos de dos cifras de mantisa, los cuales recuerda
de memoria para los 15 ó 20 primeros números. Aprenderlos no es tarea difícil. Recuerde que el
logaritmo de un número compuesto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores primos.
es igual a:
1
log 35 cifras
31
34 34,99
y
34 31
De esta manera es como se llega al resultado que a muchos dejó perplejo. Claro está que, para
hacer todo esto rápido y en mente, hay que tener mucha práctica e ingenio pero, en esencia, la
cuestión es bastante sencilla.
Consorcio Educativo “El 31
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
LOGARITMOS
PROBLEMAS
1. Calcular el logaritmo de 3
2 2 en base
2 8. Hallar la suma de raíces de:
a) 2 b) 1 c) . log2x + logx2 = 2(2 – logx2)
2
d) 2 e)
2 a) 14 b) 4 c) 12
d) 8 e) 10
2. Hallar “n”
9. Indicar lo falso:
2
log10(n – 21n) = 2
a) log7(-7) = b) log-28 =
a) sólo 25 b) 25 -4 c) 25 4 c) log15 = d) log11=
d) 8 e) 80 e) todas son falsas
a) nn b) 1 c) n a) 16 b) 18 c) 19
n
d) 21 e) 22
1
d) n-n e)
n 11. Calcular el valor de E = 10r, si:
6 (102x) + 4 = 10x-1 1 3
a) x b) x c)
3 2
1 1 3
a) 1 b) c) – x
3 3 2
d) log 3 e) log 2
Consorcio Educativo “El 32
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
3 5 1
d) x e) x logx = 2 + (log 18 + log 8 – 2log 25)
2 2 2
a) 24 b) 51 c) 45
d) 36 e) 48
15. Resolver: 19. Si: log x = log a + 2log b – log c
27 9 ab
a) x b) x c) a) 1 b) c) ab2c
4 2 c
3 ab 2
x d) e) –2abc
2 c
3 3
d) x e) x 20. Indicar la diferencia de raíces:
2 2
logn125 = log2 a) 1 b) 2 c) 3
8
d) 0 e) 5
a) 15 b) 10 c) 25
21. Hallar la menor raíz de:
d) 30 e) 5
log4(2x2 + 15x + 26) = 3
17. Si: log4b = 2
a) 5 b) 3 c) 2
d) 1 e) 6
PROBLEMAS PROPUESTOS
a) 4 ó –1 b) 4 ó –2 c) sólo 2 a) 4 b) 2 c) 3
d) sólo 4 e) sólo –2 d) 5 e) 10
2a 5a 3a log 2 log 2 N 2
a) b) c) M=
1 a 1 3a 1 a 1 log 2 log 2 N
2a 2a
d) e)
1 a 1 3a a) 1 b) 2 c) N
d) N2 e) 2N
4. Hallar “x”
11. Hallar “x”
x3. log0.5x = 20.5
1 1 logna. loga(x2 – 2 n x 2n ) = 1
a) b) c) 2-8
2 16
a) 2n b) n2 c) 4
d) 2 -6
e) 0,25 d) n e) n
a) log32 = (log23)-1 1
b) log23 . log32 = 1 logn(log9n) = –40
2
log 3
c) log 2 3
log 2 a) 9 b) 6 c) 2
d) log a + log b = logbab d) 3 e) 27
e) 1 + log23 = log26
13. Calcular: log616, siendo:
6. Hallar “x”
log1227 = a
log(x – 4) + log(x + 5) = log 36
12 3a 12 3a
a) 8 b) 9 c) 10 a) b) c)
2a 3 a
d) 6 e) 7
12 4a
7. Hallar “a” 3 a
a5 a 3
log2a + log4a – log 1 000 = 0 d) e)
16 5a a 8
a) 3 b) 5 c) 4 14. Si: a b ) (log5a)(log5b)
d) 8 e) 16
Calcular:
E = 5 2 25
Consorcio Educativo “El 34
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
a) 1 b) 2 c) 4 a) 20 b) 24 c) 16
d) 6 e) 8 d) 18 e) 30
22. Resolver:
15. Log 4; es equivalente a:
log(35 – x3) = 3log(5 – x)
a) 2 –log2 b) log2 –log5 c) 1 –log2
d) 2 –2log5 e) (log2)2 a) –2 b) –3 c) –1
16. Resolver: d) 3 e) 4
1 10 3
4
a) 3 3 b) 3 c) x log x
3 x
d) 3-9 e) 3 9
a) 10-1 b) 10 c) 100
17. Hallar “n”
d) 1 000 e) 10-4
n log 4 3 16 24. Resolver:
log 8
27
4 3 5 log x 2 + log8x2 = colog2x0,25
a) b) c) 8
9 8 4
2 3 a) 2-6 b) 2-7 c) 2-9
d) e)
3 2 d) 2-10 e) 2-8
25. Calcular:
18. Si: log4b = 2, Hallar: “a” para que se
cumpla: cologba + logba
a 2b3 a) 1 b) a + b c) a – b
log 4 5 d) 0 e) – 1
16
26. Antilog22x = 16
a) 1 b) 3 c) 4
d) 2 e) 16 a) 2 b) 1 c) 4
d) 16 e) 8
19. Si: log123 = a. Hallar: log128
27. Hallar el productor de raíces de:
1 a
a) (1 – a) b) (a – 1) log42 x – 3log8 = 8
2 2
3 3 a) 16 b) 8 c) 32
c) (a + 1) d) (2a – 1)
2 2 d) 64 e) 128
3
e) (1 – a) 28. Hallar: n
2
20. Hallar x 48
log n = log 100 + log
100
1
log2x + log4x + log8x = 5 a) 24 b) 20 c) 40
2
d) 46 e) 48
a) 4 b) 8 c) 6
d) 16 e) 5
29. Si: logx2 197 = 3, logxy = 2
21. Resolver:
Calcular: 5x – 2y
1 1
logx = log 16 – log 8 + 1
2 3 a) –173 b) –156 c) 156
Consorcio Educativo “El 35
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 2 y 4 A = log1218, B = log2454
d) 1 y 4 e) 3 y 4
a) 8 b) 6 c) 4
32. Resolver: d) 16 e) 20
JUEGOS DE INGENIO
Dos contrabandista astutos operaban hábilmente en la impunidad por medio de cajones numerados
del 1 al 9. Cuando una de ellos dejaba mercaderías de contrabando colocaba los cajones en clave:
tres en el centro, dos a cada costado y uno en cada extremo.
El secreto fincaba en que multiplicando el número de cada extremo por el que formaban los dos
cajones adyacentes, el resultado era igual a la cantidad representada por los tres centrales.
2 por 78 igual a 156 y 39 por 4 igual a 156, el compinche retiraba los cajones sabiendo que haría
provechoso negocio.
Cuando volvió el socio advirtió que los cajones no habían sido recogidos y que manos anónimas
habían alterado su distribución. Para corregir el error, sin ser advertido, hizo el menor número de
cambios posibles, ordenándolos otra vez de acuerdo con la clave.
Respuesta:
Explicación:
El segundo lo pasó al primer lugar y primero al segundo; el último lo colocó en medio de los tres
centrales; el que estaba allí lo colocó en reemplazo del octavo, y el octavo pasó al último lugar.
Consorcio Educativo “El 37
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
ANÁLISIS COMBINATORIO
Solución: Ejemplos:
........................................................................... a. Calcular:
...........................................................................
........................................................................... E =
........................................................................... 1! 2! 2! 3! 3! 4! 20! 21!
........................................................................... 1! 2! 3! 20!
...........................................................................
Solución:
Del ejemplo concluimos que “Análisis
combinatorio” consiste en averiguar de ....................................................................
cuántas maneras diferentes puede ocurrir ....................................................................
cierto experimento que se esté realizando. ....................................................................
....................................................................
CONCEPTOS PREVIOS ....................................................................
....................................................................
I. FACTORIAL DE UN NÚMERO. El factorial
de un número “n”, denotado por n! ó | n , se b. Simplificar:
calcula de la siguiente manera:
x! ( x 1)! ( x 2)!
| n = n! = 1x2x3x4x ...... x(n-1)xn
( x 1)! x!
Donde: n |N
Solución:
Ejemplos:
....................................................................
1! = 1 ....................................................................
2! = 1x2 = 3 ....................................................................
3! = 1x2x3 = 6 ....................................................................
4! = 1x2x3x4 = 24 ....................................................................
5! = 1x2x3x4x5 = 120 ....................................................................
6! = 1x2x3x4x5x6 = 720 ....................................................................
7! = 1x2x3x4x5x6x7 = 5040
8! = 1x2x3x4x5x6x7x8 = 40320
9! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 362880 II. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
10! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 = 3628800 DE CONTEO:
1. 8! = 1x2x3x4x5x6x7x8 Suceso o
Evento
6!
8! = 7! x 8
8! = 6! x 7 x 8 “m” “n”
Maneras O Maneras
Consorcio Educativo “El 38
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
Solución:
2. Principio de Multiplicación: (Y). Ocurre uno
y a continuación ocurre el otro, es decir sí ..............................................................
ocurren simultáneamente. ..............................................................
..............................................................
Suceso o ..............................................................
Evento
b. Para vestirse Carlos cuenta con 3
pantalones distintos y 4 polos de
diferentes tipos. ¿De cuántas maneras
diferentes se podrá vestir
“m” “n” considerando dichas prendas?
Maneras Y Maneras
Solución:
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
El siguiente esquema nos indica la diferencia entre una permutación y una combinación:
n
Ordenar “K” Elementos Pk
n
Agrupar “K” Elementos Ck
I. PERMUTACIÓN. Es un arreglo u ordenamiento que se puede formar con una parte o con todos
los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación si interesa el orden como se
tomen los elementos. Los principales tipos de permutación son:
1. Permutación Lineal:
a)
Ordenar ......
Linealmente “K” Elementos
n!
PK
n
“n” Elementos ; 0 < Kn
(n K )!
Consorcio Educativo “El 39
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
b)
Ordenar ......
Linealmente “n” Elementos
“n” Elementos Pn = n!
Solución: .....................................................
.....................................................
..................................................... .....................................................
..................................................... .....................................................
..................................................... .....................................................
.....................................................
..................................................... b. ¿De cuántas maneras diferentes
se pueden ubicar 5 personas
b. ¿De cuántas maneras diferentes alrededor de una mesa que tiene
se pueden ubicar 4 personas en asientos numerados del 1 al 5?
una fila de 4 asientos
numerados? Solución:
Solución: .....................................................
.....................................................
..................................................... .....................................................
..................................................... .....................................................
..................................................... .....................................................
.....................................................
..................................................... 3. Permutación con Repetición:
“n” elementos
2. Permutación Circular:
... ... ... ........ ...
a)
Ordenar “K1” Elem. “K2” Elem. “K3” Elem. “Kr”
Elem.
Circularmente “K”
Elementos
Donde:
“n” Elementos P
n! n: # total de elementos a ordenar
c( K )
n
K1, K2, K3, .... Kr: # de elementos
K (n K )! repetidos de cada clase
K1 + K2 + K3 + .... + Kr n
0 < Kn
P
b) n!
Ordenar
n
K1 , K 2 , K r
K1! K 2! K r !
Circularmente “n” Elementos
Observaciones:
Agrupar
“K” Elementos
C 0n 1
n! C 1n n
CK
n
“n” Elementos
K (n K )! C nn 1
n(n 1)
Donde: C n2
0 < Kn 2
C k Cn k
n n
Ejemplo:
Consorcio Educativo “El 41
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
PROBLEMAS
Rpta: ........................................ A
Rpta: ........................................ B
PROBLEMAS PROPUESTOS
Rpta. 15
PRACTICANDO N° 1
5. Hallar “n”
10. 10 habitaciones se han dividido en dos
n
C3 +C3
n 1
+ C3
n2
= 27 grupos de 5 para ocupar 2 mesas.
¿Cuántas maneras diferentes hay para
repartir a los invitados?
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
a) 336 b) 364 c) 525
d) 720 e) 420
6. Se lanzaron 3 dados, ¿de cuántas
maneras hay, que salga como suma de los
3 dados 11 y los números sean diferentes?
11. Una orquesta debe interpretar cuatro
piezas musicales, dentro de un total de
a) 18 b) 12 c) 13
Consorcio Educativo “El 44
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
14. Si se lanza cuatro dados legales, ¿cuál es Cba 3 3Cba 2 3Cba1 Cba C312
el número de maneras diferentes que la
suma sea igual a ocho? a) 16 b) 17 c) 19
d) 20 e) 18
a) 34 b) 35 c) 36
PRACTICANDO N° 2
PROBABILIDADES
PROBLEMAS PROPUESTOS
a) 6 b) 7 c) 8 1 2 1
d) 9 e) 16 a) b) c)
2 3 3
2. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar tres
3 7
d) e)
veces una moneda, se obtengan 2 caras? 4 4
3 17 3
a) b) c)
8 25 25
2 7
d) e)
25 25
5 3 5
a) b) c)
16 8 8
3 1
d) e)
16 8
Consorcio Educativo “El 48
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
PRACTICANDO
7 11 5
a) b) c) 17. Se escogen al azar 2 sillas entre 10, de las
18 18 18
cuales 6 sin defectuosas. Hallar la
3 1 probabilidad de que dos exactamente
d) e)
17 36 sean defectuosas:
13. En un grupo de 6 hombres y 4 mujeres se
eligen al azar 4 personas. ¿Cuál es la 5 3 4
probabilidad de que las personas elegidas a) b) c)
12 7 7
sean 2 hombres y 2 mujeres?
17 5
d) e)
4 5 3 63 19
a) b) c)
7 7 4
18. En un salón de clases se encuentran 10
3 1 niños y 4 niñas, si se escogen tres
d) e)
7 6 estudiantes al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que los dos primeros sean
14. Se lanzan tres dados, ¿cuál es la niños y la última sea niña?
probabilidad de que los números que
salgan en sus caras sumen 6? 17 17
a) b) c)
93 101
5 7
a) b) c) 19
108 108
103
7
15 15
216 d) e)
91 103
5 9
d) e)
216 216 19. De una baraja de 52 cartas se salen tres
naipes, determínese la probabilidad que
todos sean corazones.
13 15
15. Sean los eventos A y B representados en a) b) c)
710 721
el siguiente diagrama:
11
A B 850
13 15
* * * * * * d) e)
870 720
*
* * * * * *
20. Se lanza un dado e independientemente
se escoge al azar una carta de una baraja
* * * * *
normal. ¿Cuál es la probabilidad de que el
dado muestre un número par y la carta
Hallar: P(A/B)
sea de un palo rojo?
a) 40% b) 50% c) 30%
d) 20% e) 75%
1 3 1
a) b) c)
2 4 4
16. Con 7 médicos y 4 ingenieros se debe 1 1
formar un comité de 6 miembros, ¿cuál es d) e)
12 52
la probabilidad que el comité incluya al
menos dos ingenieros?
53 51 51
a) b) c)
65 71 72
53 36
d) e)
73 81
Consorcio Educativo “El 50
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
ÁREAS SOMBREADAS
a) 8 cm2
b) 12 cm2
c) 16 cm2
d) 20 cm2
Consorcio Educativo “El 51
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
e) 6 (18 – ) cm2
a) 32 b) 64 c) 128
d) 72 e) 68
11) La base del rectángulo de la figura
adjunta, es doble de su altura. Hallar el
área de la región sombreada. 15) Calcular el área de la siguiente región
sombreada. ABCD es un cuadrado.
a) 8 ( – 3) cm2
b) 16 ( – 2) cm2
c) 16 ( – 3) cm2
d) 12 ( – 1) cm2
e) 24 ( – 2) cm2
O centro de la semicircunferencia.
16) Calcular el área de la siguiente región
a) 32 b) 8 c) 15 sombreada. ABCD es un cuadrado.
d) 12 e) 16
a) 64 cm2
b) 32 cm2
c) 16 cm2
a) 6 cm2 b) 9 cm2 d) 8 cm2
c) 6 2 cm2
2
e) 128 cm2
d) 6 3 cm e) 8
2 cm2
13) Calcular el área de la región sombreada 18) Calcular el área de la siguiente región
sabiendo que el cuadrado ABCD tiene 12 sombreada. ABCD es un cuadrado. M, N,
cm de lado. P y Q son puntos medios. AD = 8 cm.
a) 27 cm2
b) 49 cm2 a) 8 ( – 2) cm2
c) 30 cm2 b) 12 ( – 2) cm2
d) 54 cm2 c) 4 ( + 2) cm2
e) 42 cm2 d) 12 ( + 2) cm2
e) 16 ( – 2) cm2
14) Calcular el área de la siguiente región 19) Dado el rectángulo ABCD, AB = 8 cm.
sombreada. ABCD es un cuadrado. M, N, Hallar el área de la región sombreada.
P y Q son puntos medios.
a) 12 (4 – ) cm2
b) 18 ( – 3) cm2
c) 9 (6 – ) cm2
d) 18 (6 – ) cm2
Consorcio Educativo “El 52
Carmelo” RAZONAMIENTO
Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to
año
a) 48 3 cm2 b) 24 3 cm2
c) 24 cm2 d) 48 cm2
e) 12 cm2