LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA

LILIANA PATRICIA CHAMORRO MANJARRES

BEDER DAVID MARTINEZ BARRERA

RONALD ANDRÉS PERALTA MANJARREZ

CARLOS ANDRÉS PÉREZ PÉREZ

KARINA ISABEL TATIS DÍAZ

Seminario II

Programa de licenciatura en matemáticas

Facultad de educación y ciencias

Universidad de sucre
 INTRODUCCIÓN

A través de la historia el hombre a tenido la necesidad de emplear las matemáticas en

diferentes situaciones de la vida cotidiana como lo son, contar, medir, entre otras, sin
embargo, se conciben las matemáticas como una ciencia abstracta cuyos objetos de estudio
son irreales e imaginarios; producto de la imaginación y el pensamiento del hombre. Por esta
razón, se hace un poco complejo el aprendizaje de estas en sus diferentes niveles y áreas.

En la actualidad, las matemáticas han sido el foco de múltiples avances tecnológicos, y

gracias al avance de las didácticas y la pedagogía se logran establecer relaciones entre objetos
abstractos y la realidad; las cuales permiten a los aprendizajes y maestros una claridad en los
conceptos matemáticos y sus aplicaciones. En este orden de ideas Freudenthal en los 70
propone una teoría global que abarca todos los elementos de las teorías del aprendizaje y
tiene como fundamento ver la matemática como una actividad humana de todos y para todos
llamada LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA; la cual se define y se detalla en el
siguiente trabajo de recopilación; exponiendo sus principios y herramientas importantes para
el quehacer pedagógico y la enseñanza de las matemáticas.
Historia de la Educación matemática realista.

Educación Matemática Realista es una línea de la didáctica que reconoce como fundador al
Dr. Hans Freudenthal (1905- 1990). Esta corriente nace en Holanda como reacción frente al
movimiento de la Matemática Moderna de los años 70 y al enfoque mecanicista de la
enseñanza de la matemática, generalizado en ese momento en las escuelas holandesas.

Freudenthal fue matemático y educador de origen alemán, doctorado en la Universidad de

Berlín, desarrolló su carrera académica y sus teorías pedagógicas en Holanda. Fue un
potenciador de un cambio en la enseñanza tradicional de la matemática y mucha de su
popularidad proviene de su amplia actuación como fundador y participante activo en el
Grupo Internacional de Psicología y Educación Matemática (PME) y la Comisión
Internacional para el Estudio y el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática
(CIEAEM) en cuyas reuniones manifestaba oposición a las corrientes pedagógico-didácticas
y a las “innovaciones” en la enseñanza vinculadas a la matemática que se propiciaban a
mediados del siglo pasado, tales como la teoría de los objetivos operacionales, los test
estructurados de evaluación, la investigación educativa estandarizada, la aplicación directa
del estructuralismo y el constructivismo de Piaget en el aula, la separación entre investigación
educativa, desarrollo curricular y práctica docente y la matemática “moderna” en la escuela.

A pesar de sus escasas referencias a autores no matemáticos, Freudenthal reconoce

influencias de Decroly, de quien valoriza sus centros de interés (que se asemejan a su propia
teoría de aprendizaje de la matemática en el contexto de la vida real), de Dewey, a quien
también reconoce similitudes con su idea de reinvención guiada, de Pierre y Dina Van Hiele
de los cuales toma los niveles de matematización en función de su trabajo de tesis acerca del
Desarrollo del Pensamiento Geométrico y su Didáctica (1957). También se notan en él
influencias de las ideas pedagógicas de Lagenveld (pedagogía fenomenológica), Castelnuovo
E. (didáctica intuitiva), Petersen (educación progresiva), Kry Van Perreren y las teorías
socioculturales de la Europa del Este. Sus publicaciones sobre Educación matemática se
remontan a 1948 y en el curso del tiempo desarrolla a través de ellas, junto con otros
colaboradores del Instituto para el desarrollo de la Educación Matemática, IOWO, fundado
por él en 1870 en la Universidad de Utrech, renombrado hoy como Instituto Freudenthal, las
bases sobre las que hoy trabaja la corriente conocida como Educación Matemática Realista
(EMR).

Para dar un concepto, según la literatura de consulta, el concepto de ​Educación matemática

realista” se ve fundamentado en los siguientes principios lo cuales de manera inmersa y
mediante la claridad de cada tipo de eje facilita el desarrollo del realismo en la educación
matemática.

Los principios de la educación matemática realista.

La educación matemática realista es una teoría global que abarca todos los elementos de las
teorías del aprendizaje y tiene como fundamento, ver la matemática como una actividad
humana con todos y para todos, a lo que Freudenthal hace referencia como matematización,
además reconocer que el desarrollo de la comprensión matemática es un proceso que se lleva
a cabo por niveles donde priman los contextos sociales, y para este desarrollo se hace
necesario un proceso didáctico denominado reinvención guiada. Para llevar a cabo este
proceso se requiere de la fenomenología didáctica como metodología de investigación, esto
es, la búsqueda de contextos y situaciones contextualizadas, para conocer el conjunto de
fenómenos que hay que tomar en consideración para presentarlos en el desarrollo curricular.

Los rasgos más significativos de la EMR según autores, de forma resumida son los
siguientes:

Según Heuvel&Panhuizen, (2002). Se trata de un enfoque en el que se utilizan situaciones de

la vida cotidiana o problemas contextuales como punto de partida para aprender matemáticas.
Progresivamente, estas situaciones son matematizadas a través de modelos, mediadores entre
lo abstracto y lo concreto, para formar relaciones más formales y estructuras abstractas.

Para Fauzan, Plomp y Slettenhaar; (2002). La EMR se apoya en la interacción bidireccional

en el aula entre los estudiantes y el docente. Esta interacción, que debe ser intensa, permitirá a
los profesores construir sus clases teniendo en cuenta las producciones de los estudiantes.

Otra idea importante propuesta por De Corte, Greer y Verschaffel, (1996).Es que a los
estudiantes en las instituciones educativas se les debe dar la oportunidad de reinventar la
matemática bajo la guía de un adulto, en lugar de intentar transmitirles una matemática
pre-construida. Pero esta matemática no debe estar alejada de su realidad y debe ser relevante
para la sociedad.

Implícitos se encuentran los Principios de la educación matemática realista los cuales serán
definidos a continuación.

PRINCIPIO DE ACTIVIDAD

Este principio no es elaborado por Freudenthal a detalle, se propone más bien que la
matemática posee valor educativo en la medida en que permite comprender y participar de los
modos en que esta disciplina organiza distintas esferas de nuestro entorno social y natural.

La actividad vista como un principio nos propicia una matemática para todos, reconociendo
que no todos los estudiantes han de llegar a ser matemáticos, y que para una mayoría la
matemática a utilizar será la que les ayude a resolver los problemas de la cotidianeidad.

Por otro lado, también plantea que los niños no pueden matematizar la matemática, ya que, en
un principio, no hay objeto matemático que sea de su experiencia real. Por lo tanto, se trata de
posibilitar el acceso a conocimientos, destrezas y disposiciones mediante situaciones
problemáticas que generen en los estudiantes la necesidad de utilizar herramientas
matemáticas para su organización y solución

PRINCIPIO DE REALIDAD

Freudenthal en este principio enfatiza acerca de que la matemática surge como

matematización (organización) de la realidad, el aprendizaje matemático debe originarse
también en esa realidad. Esto no sólo significa mantener a esta disciplina conectada al mundo
real o existente sino también a lo realizable, imaginable o razonable para los alumnos.

Para ello debemos presentar problemas en principio en contextos de la vida diaria, de modo
que los alumnos puedan imaginar las situaciones en cuestión y, a partir de ahí, utilizar su
sentido común y poner en juego los procedimientos de cálculo, las estrategias de resolución y
los modelos matemáticos que mejor sirvan para organizarlas.
Además de estos contextos vinculados a la cotidianeidad, Freudenthal considera contextos
también a aquellos puramente matemáticos (o puros), en tanto sean significativos para los
niños presentándose a ellos como juegos o desafíos: buscar regularidades en tablas y tableros,
construir pirámides numéricas trabajando operaciones inversas, completar cadenas de
operaciones buscando relaciones entre los números que las integran, etc. Para no generalizar
el concepto de contexto realista es importante tener en cuenta el carácter relativo del mismo,
pues un contexto, sea o no realista, depende de la experiencia previa de los alumnos y/o de su
capacidad para imaginarlo o visualizarlo.

PRINCIPIO DE REINVENCIÓN

La educación matemática organizada como proceso de reinvención da cabida a que los

estudiantes experimenten un proceso similar a cuando se crea un concepto matemático, pues
la reinvención hace referencia a un proceso de aprendizaje que permite reconstruir el
conocimiento matemático mediante instrucciones.

Este proceso se realiza en las aulas conjugando los roles y responsabilidades del
docente y del alumno a través de una forma de interacción que Freudenthal denomina
“reinvención guiada” y la entiende como “…un balance sutil entre la libertad de
inventar y la fuerza de guiar” Bresan, A. (1991).

A través de este proceso los estudiantes son animados a desarrollar sus propios métodos
informales para hacer matemáticas e intercambian estrategias en clase, aprenden y adoptan
métodos los unos de los otros.

Para orientar adecuadamente este proceso es menester que los docentes comprendan en toda
su esencia los conceptos matemáticos establecidos en el currículo, además realizar
observaciones y meditar en relación a los estilos de aprendizaje, y los fenómenos que llevan a
los estudiantes a constituir los objetos mentales. Esto da claridad en torno a las competencias
y habilidades de los estudiantes para planear la actividad en el aula, además focaliza en la
enseñanza los procesos de aprendizaje, no sólo a corto y medio, sino a largo plazo.
incluyendo este proceso de reinvención como principal en el proceso didáctico.
Se puede trabajar presentando situaciones problemas abiertas que ofrezcan una gran variedad
de estrategias de solución, para que en ese orden de ideas los estudiantes socialicen entre
ellos sus estrategias e invenciones, a su vez puedan discutir el grado de eficacia de cada
modelo.

PRINCIPIO DE NIVELES

Este principio hace referencia a que los estudiantes pasan varios niveles de entendimiento:
desde organizar en sus estructuras cognitivas soluciones informales relacionadas con el
contexto, crear niveles de atajos y esquematizaciones, hasta comprender la esencia misma del
concepto y cómo este está relacionado con las estrategias de solución. Estas
esquematizaciones son importantes para hacer el puente entre lo informal y la matemática
formal, y deben cambiar de ser un modelo de una situación particular a ser un modelo para
cualquier situación equivalente. (Bresan, s/f)

Se completa este proceso con lo que Treffers entiende como “Matematización progresiva”.
Los alumnos deben comenzar por matematizar un contenido o tema de la realidad para luego
analizar su propia actividad matemática. (Bresan , 2004).

Este proceso fue profundizado por Treffers (1978, 1987) y retomado por Freudenthal (1991)
bajo dos perfiles:

· ​La de matematización horizontal, que consiste en convertir un problema contextual en

un problema matemático, basándose en la intuición, el sentido común, la aproximación
empírica, la observación, la experimentación inductiva

· ​La de matematización vertical, ya dentro de la matemática misma, que conlleva

estrategias de reflexión, esquematización, generalización, prueba, simbolización y
rigorización (limitando interpretaciones y validez), con el objeto de lograr mayores
niveles de formalización matemática.

En este proceso de matematización los estudiantes pasan por distintos niveles de

comprensión, según Freudenthal (1971) estos niveles son: situacional, referencial, general y
formal. Los cuales se darán a conocer a continuación.
Nivel situacional:

Este nivel hace referencia a la interpretación de la situación problema y las estrategias en el

contexto de la misma apoyándose en el sentido común y la experiencia. En este proceso se ve
reflejado la matematización horizontal, pues los estudiantes apoyándose en la experiencia y
sentido común pueden visualizar el problema de diferentes formas e identificar y describir la
matemática que yace en el contexto.

Por otro lado, los demás niveles están relacionados con la matematización vertical.

Nivel referencial.

Hace referencia a la aparición de los modelos gráficos, descripciones, conceptos que

esquematizan el problema completo.

Nivel general.

Se desarrolla a través de la exploración, reflexión y generalización de lo aparecido en el nivel

anterior, pero focalizándose matemáticamente en las estrategias que superen la referencia al
contexto.

Nivel formal.

Hace referencia a la comprensión, conceptos, procedimientos y notaciones convencionales

propios de la disciplina de la matemática.

Cabe resaltar que el proceso de reinvención se inspira en los procedimientos informales de

resolución, y estos se interpretan como procesos anticipados a los procesos formales.

MODELACIÓN DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA REALISTA.

A continuación se dan a conocer 6 modelos de la educación matemática realista:

● La representaciones de situaciones donde se reflejan aspectos matemáticos relevantes

para solucionarlas.
● Se aceptan modelos o estrategias informales plateadas por los estudiantes
● El alumno organiza la actividad.
 ● Sirve como puente entre matemática formal e informal.
● Favorece la matematización vertical.
● Se basa en en el análisis reflexivo del trabajo oral y escrito del estudiante.

Según (carmona, 2015, pág 24) se define la matematización horizontal y la matematización

vertical.

Matematización Horizontal

● Identificar las matemáticas en contextos generales.

● Esquematizar.
● Formular y visualizar un problema de varias maneras.
● Descubrir relaciones y regularidades.
● Reconocer aspectos isomorfos en diferentes problemas.
● Transferir un problema real a uno matemático.
● Transferir un problema real a un modelo matemático conocido.

Matematización vertical

● Representar una relación mediante una fórmula.

● Utilizar diferentes modelos.
● Refinar y ajustar modelos.
● Combinar e integrar modelo.
● Probar regularidades.
● Formular un concepto matemático nuevo.
● Generalizar.
La didáctica desde la EMR

Si la actividad primordial de los alumnos es matematizar, ¿cuál es la actividad primordial de

los profesores? Según Freudenthal (1991) es la de didactizar, entendida también como una
actividad organizadora que se da tanto a nivel horizontal como a nivel vertical.
Horizontalmente, los docentes trabajan en torno a fenómenos de enseñanza-aprendizaje que
emergen en sus aulas y en las de otros; verticalmente, reflexionan y generalizan a partir de
estas situaciones hasta reinventar su propia caja de herramientas didácticas para facilitar la
matematización.

La didáctica de una disciplina significa la organización de los procesos de enseñanza

aprendizaje relevantes a esa área… Nuestra visión de la didáctica reflejará lo dicho
sobre la matemática… la matemática surgiendo de la matematización es espejada por
la didáctica surgiendo de la didactización. Nótese que el paralelismo intentado aún
se extiende a distinguir la didactización horizontal y vertical: desde la realidad
didáctica para tornarse consciente de ella por un lado y para paradigmatizar por el
otro (Freudenthal, 1991, p. 45).

La didáctica para Freudenthal no lleva solo a la transmisión del conocimiento sino también al
desarrollo de conocimientos, normas y valores asociados con ser un “buen ciudadano”, lo que
lo aleja de una mirada netamente vocacional, instrumental o profesional de la educación,
donde la didáctica prioritariamente atiende a teorías de propósitos y contenidos de
instrucción. Para él, el término currículo significa proceso, no una norma preestablecida, y su
expresión la constituyen los desarrollos educativos (no los denomina curriculares), que no
son elaboraciones de “académicos” y no se restringen a diseños curriculares, sino que son
diseños estratégicos fundados que incluyen una filosofía educativa explícita e incorporan toda
clase de materiales, a partir de la práctica en las escuelas, buscando “fomentar un cambio en
la marcha de la enseñanza actual de la clase” (Gravemeijer & Terwel, 2000).
“Herramientas conceptuales” en que se basa la teoría de la EMR

A continuación se detallan algunas de las ideas centrales que sostiene la EMR y que
Freudenthal denomina “herramientas conceptuales para una teoría de la educación
matemática” (Goffree, 1993, 31; Freudenthal, 1991).

1. P
​ artir de contextos y situaciones problemáticas realistas​, en el sentido de

representables, razonables, imaginables para los alumnos, como generadores de su

actividad matematizadora.

Para Freudenthal, “un contexto es ese dominio de la realidad el cual, en algún proceso de
aprendizaje particular, es revelado al alumno en orden a ser matematizado” (1991, p. 73).

Según este autor, dado que en gran parte la matemática surge históricamente como
herramienta para matematizar situaciones del entorno natural y social, su enseñanza debe
basarse también en la organización de este tipo de situaciones. Esto no significa restringirse a
fenómenos del mundo real (perceptual), dado que esto limitaría las oportunidades para que
los alumnos aprendan a operar dentro de la matemática misma. Se trata que los alumnos,
quienes al principio no poseen herramientas matemáticas suficientes, las reinventen a partir
de abordar problemas presentados en contextos y situaciones realistas (1973, 1991).

Un contexto es un evento, una proposición o situación derivada de la realidad, la cual es

significativa para los alumnos o la pueden imaginar y conduce a usar métodos matemáticos
desde su propia experiencia. Provee significado concreto y apoyo para las relaciones y
operaciones relevantes de la matemática. Las situaciones podrían ser tomadas desde
experiencias cotidianas, tales como los recorridos del colectivo o las compras y el manejo del
dinero. Además de los contextos derivados de la vida experiencia diaria, los contextos pueden
encontrarse en la matemática misma – el mundo de problemas con números puros y las
relaciones numéricas, tales como el contexto de los números primos (van den Heuvel-
Panhuizen, 1994, p. 243)​.

Existen distintos tipos de contextos: reales, artificiales (fantasía), matemáticos o virtuales,

que nacen de la realidad pero contienen elementos no reales en sí mismos, usados con el
objetivo de simplificar o simular situaciones (Dekker & Elshout-Mohr, 2001).
 ​ tilizar los ​modelos (materiales, lingüísticos, esquemas, diagramas y símbolos) que
2. U
emergen de la propia actividad matemática de los alumnos como herramientas para
representar y organizar estos contextos y situaciones.

El modelo es simplemente un intermediario, a menudo indispensable, a través

del cual una realidad o teoría compleja es idealizada o simplificada con el fin
de volverla susceptible a un tratamiento matemático formal (Freudenthal,
1991, p. 34).

Cabe aclarar que desde la perspectiva de la EMR el término modelo no se refiere a modelos
antes constituidos e impuestos desde la matemática formal, sino a modelos emergentes.
Durante las trayectorias de aprendizaje- enseñanza, las cuales por lo general giran en torno a
preguntas que surgen de situaciones problemáticas, los alumnos se abocan a actividades
organizadoras y reorganizadoras de las cuales surgen los modelos. Si bien, en un principio
están estrechamente ligados a los contextos y situaciones de los que emergen, poco a poco se
van despegando de la situación particular hasta adquirir el carácter de modelos formales y
generales y, por lo tanto generalizables y aplicables a otros contextos y situaciones, pasando
así de ​“modelo de” relativo a una situación particular, a ​“modelo para” razonar
matemáticamente en situaciones variadas de fuera y dentro de la matemática misma.

3. Reconocer el papel clave del ​docente como guía y organizador de la interacción en las
aulas. La enseñanza de la matemática debe tomar en la EMR la forma de reinvención
guiada (Freudenthal, 1991), o sea, un proceso en el que los alumnos re-inventan ideas y
herramientas matemáticas a partir de organizar o estructurar situaciones problemáticas, en
interacción con sus pares y bajo la guía del docente. La negociación explícita,
intervención, discusión, cooperación y evaluación son elementos esenciales en un proceso
constructivo de aprendizaje en el cual los métodos informales son usados como base para
el logro de los formales. En esta enseñanza interactiva los estudiantes son convocados a
explicar, justificar, acordar o disentir, cuestionar alternativas y reflexionar sobre ellas. El
docente posee un papel bien definido como mediador entre los alumnos y las situaciones
problemáticas en juego, entre los alumnos entre sí, entre las producciones informales de
 los estudiantes y las herramientas formales ya institucionalizadas de la matemática como
disciplina.

​ l aprendizaje de la ​matemática ​es considerado como una ​actividad social donde la

4. E
reflexión colectiva lleva a niveles de comprensión más altos. Las interacciones sociales
verticales (docente-alumno) y horizontales (alumno-alumno) ocupan un lugar central,
siendo clave el modo en que el docente maneja estos eventos con miras a maximizar
oportunidades para la producción, el intercambio y la apropiación de ideas por parte de
los alumnos (Dekker et al., 2004; Elbers, 2003; Zolkower & Shreyar, 2002, 2007).

No se piensa en una clase homogénea en sus trayectos de aprendizaje, sino en individuos que
siguen senderos propios. Sin embargo, esto no lleva a partir la clase en grupos con procesos
similares, sino más bien a mantener la clase general junta como una unidad de organización o
al trabajo cooperativo en grupos heterogéneos, lo que fue defendido por Freudenthal desde
los años ‘45 (Freudenthal, 1983, 1991).

Dado que los problemas se seleccionan de manera que den lugar a soluciones apelando a
diferentes niveles de comprensión, todos los alumnos pueden trabajar en ellos.

​ a fuerte ​interrelación e integración de los ejes o unidades curriculares de la

5. L
matemática. La resolución de situaciones problemáticas realistas a menudo exige
establecer conexiones y la aplicación de un amplio rango de comprensiones y
herramientas matemáticas. La EMR no hace profundas distinciones entre los ejes
curriculares, lo cual da una mayor coherencia a la enseñanza y hace posibles diferentes
modos de matematizar las situaciones bajo distintos modelos y lenguajes, logrando alta
coherencia a través del currículo (de Lange, 1996; Gravemeijer, 1994).

Una de las razones es que aplicar la matemática es muy difícil si cada eje es enseñado
aisladamente, negando las conexiones que los cruzan, ya que usualmente en las aplicaciones
se necesita más que solo conocimientos de la aritmética, o el álgebra o solo la geometría para
solucionar un problema.
Bibliografía

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(Eds.), Investigación en Educación Matemática XIII (pp. 119- 127). Santander: SEIEM.

Refelxiones teóricas para la educación matemática Autores: Humberto Alagía, Ana Bressan,
Patricia sandovsky Editorial: libros de Zorzal, 2005, Buenos Aires – argentina (pag 69-97)

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http://ayura.udea.edu.co:8080/jspui/bitstream/123456789/2070/1/JC01013_franciaelena_car
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Mathematics 54: 9-35. (Ver traducción: ​www.gpdmatematica.org.ar​)

Dekker, R. & Elshout-Mohr, M. (2004). Teacher interventions aimed at mathematical level

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Academic Publishers. Holanda.

De Lange, J. de (1996). Using and Applying Mathematics in Education. in: A.J. Bishop, et al.
(eds). 1996. International handbook of mathematics education, Part one. 49-97.

Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education: China Lectures, Kluwer,

Dordrecht, Reidel Publishing Co.