CAPITULO I

Introducción a la Mecánica de Materiales

1.1 Hipótesis fundamentales de la mecánica de materiales.

La mecánica de materiales tiene como objetivo prioritario la determinación de la
respuesta de las estructuras cuando están sometidas a los diferentes tipos de
acciones que pueden presentarse durante su construcción y vida útil. Se entiende
por respuesta a la obtención de los estados de esfuerzo y deformación a los que la
estructura va a estar sometida como consecuencia de los diferentes estados de
carga que se consideran.
En general, la determinación de los estados de esfuerzos se requiere para revisar
los criterios de resistencia que establece el código de construcción vigente en la
localidad, con objeto de garantizar la seguridad de la estructura. Por otra parte, la
obtención de los estados de deformación suele ser necesaria para revisar los
criterios de rigidez, que a su vez están relacionados con los requisitos de
funcionalidad de las estructuras.
La validez de los resultados obtenidos con los métodos de la mecánica de
materiales depende del grado de aproximación que se tenga con el cumplimiento
de las hipótesis o principios en los que se fundamenta esta disciplina. Puede
considerarse que son cuatro las hipótesis en las que se basa esta rama de la
ingeniería estructural, las cuales se enlistan a continuación:
a) Hipótesis de homogeneidad e isotropía. Esta hipótesis supone que el
material es homogéneo (es decir, tiene las mismas características físicas) e
isótropo (es decir, tiene las mismas propiedades mecánicas) en cualquier
dirección de análisis.
b) Hipótesis de las deformaciones pequeñas o principio de rigidez. Este
principio establece que: “las ecuaciones de equilibrio se pueden formular
sobre la geometría indeformada, es decir, sin considerar los
desplazamientos ocasionados por el sistema de cargas”.
Con esta hipótesis se infiere que los movimientos de la estructura debidos a
las cargas aplicadas deben ser pequeños: los desplazamientos,
comparados con las dimensiones de la estructura, y los giros (en radianes),
comparados con la unidad. Si no se cumple con esta condición, las
ecuaciones de equilibrio deberán plantearse con la geometría deformada de
la estructura y el problema deja de ser lineal para transformarse en uno
geométricamente no lineal.
En la figura 1.1 se muestra la consecuencia de que se cumpla o no esta
hipótesis: en la figura de la izquierda se supone que se cumple y las
reacciones en el empotramiento sólo dependen de la geometría inicial y de
las cargas aplicadas; en la figura de la derecha se supone que no se
4
 cumple esta hipótesis y las reacciones dependen de la deformación de la
estructura, la cual es desconocida al inicio del problema.

Fig. 1.1. Hipótesis de las deformaciones pequeñas (Cervera Ruiz, M. y

Blanco Díaz, E., 2003).

c) Hipótesis o principio de superposición. Este principio sólo el válido para

la solución de problemas lineales, es decir, aquellos que cumplen con dos
condiciones: los desplazamientos son pequeños (principio de rigidez,
descrito en el apartado anterior) y que las deformaciones y las cargas
aplicadas sean directamente proporcionales (ley de Hooke, que se discutirá
más adelante en este trabajo). Este principio establece que “los efectos que
un sistema de fuerzas origina sobre una estructura son iguales a la suma
de los efectos que originan cada una de las fuerzas del sistema actuando
por separado”. Una implicación directa de esta hipótesis es que el estado
final de esfuerzos y deformaciones de una estructura sometida a un sistema
de fuerzas no depende del orden de aplicación de dichas fuerzas. Una
utilidad inmediata de la aplicación de este principio permite, por ejemplo,
analizar una estructura sujeta a un sistema de cargas complejo
descomponiéndolo en casos más simples de resolver. También es posible
definir y analizar estados de carga de interés como una combinación de
estados de carga previamente definidos y analizados. Estas dos opciones
se utilizan frecuentemente en la solución de problemas de esta disciplina.
En la figura 1.2 se muestra una viga con dos apoyos articulados sobre la
que se aplican dos cargas puntuales (figura superior); este sistema puede
descomponerse en los dos sistemas más simples mostrados en la parte
inferior de la figura. El principio de superposición implica que las
reacciones, desplazamientos, esfuerzos y deformaciones que produce el
estado de cargas original sobre la estructura es igual a la suma de las

5
 reacciones, desplazamientos, esfuerzos y deformaciones que provocan los
estados de carga en los que se descompone.

Fig. 1.2. Principio de superposición (Cervera Ruiz, M. y Blanco Díaz, E.,

2003).

d) Hipótesis o principio de Saint-Venant. Este principio puede enunciarse

como sigue: “en una pieza prismática, los esfuerzos que actúan sobre una
sección transversal recta, alejada de los puntos de aplicación de un sistema
de cargas, sólo dependen de la fuerza y del momento resultantes de las
fuerzas situadas a un lado de la sección considerada”. Puede decirse que
este principio implica que los esfuerzos locales (fuerzas concentradas,
apoyos, variaciones de la sección transversal) sólo afectan a una zona
localizada a uno y otro lado de las secciones en que se generan. La forma
concreta como se apliquen las caras o los dispositivos o instrumentos
utilizados para aplicarlas, así como los aspectos constructivos en la
realización de los apoyos, sólo afectan el estado de esfuerzos de esta zona
localizada, que tiene una longitud aproximadamente igual al peralte del
elemento considerado.
En la figura 1.3 se muestran dos ejemplos de una viga en voladizo con un
momento aplicado en su extremo libre. En el primer caso, el empotramiento
se logra mediante la unión de la viga a una placa (por ejemplo, al patín de
una columna metálica) utilizando dos ángulos de acero soldados a ambos
elementos, los cuales anulan el giro del elemento en ese extremo; además,
el momento aplicado es la resultante de un par de fuerzas horizontales. En
el segundo caso, el empotramiento se consigue introduciendo un segmento
de la viga en el elemento de apoyo (por ejemplo, en un muro de concreto
reforzado); el momento en el extremo libre es la resultante de un par de
fuerzas inclinadas respecto al eje de la viga. En ambas situaciones el

6
 momento resultante de las fuerzas actuantes es idéntico, con una resultante
de las fuerzas nula.
A pesar de que la realización de las condiciones de empotramiento y de los
momentos aplicados es diferente para los dos casos mostrados en la figura
antes referida, su idealización para efectos de cálculo es idéntica, como se
indica en el inciso c) de la figura 1.3. Según el principio de Saint-Venant, los
esfuerzos que aparecen en las zonas centrales de las vigas dependen,
exclusivamente, del momento resultante de las fuerzas actuantes; en las
zonas extremas, por el contrario, se ven afectadas por los efectos locales y
la determinación de su estado de esfuerzos requerirá de otro tipo de
consideraciones.

Fig. 1.3. Principio de Saint-Venant (Cervera Ruiz, M. y Blanco Díaz, E.,

2003).

Para que las hipótesis anteriormente descritas se cumplan y sean válidos los
resultados de la mecánica de materiales, los elementos estructurales deben
satisfacer ciertas condiciones:
a) Geometría del eje longitudinal (directriz). En barras con directriz curva,
los radios de curvatura de ésta deben ser grandes en comparación con el
peralte de la sección transversal de la pieza. Si se cumple esta condición,

7
 los efectos de curvatura pueden despreciarse en el análisis del
comportamiento de las secciones transversales de la barra y utilizar las
expresiones obtenidas para las piezas de directriz recta.
b) Dimensiones de la sección transversal de las barras. Las dimensiones
de la sección transversal del elemento, peralte y ancho, deben ser
pequeñas respecto a su longitud. Esto es necesario para que se cumpla el
principio de Saint-Venant y las hipótesis de deformación que se utilizan
habitualmente. Además, las características geométricas de las secciones
transversales deben asegurar que las barras tengan la rigidez necesaria
para que se cumpla ha hipótesis de las deformaciones pequeñas. Como
criterio muy general, son admisibles las relaciones peralte/claro libre (h/l)
siguientes:

h 1 1
 a para piezas rectas de concreto reforzado
l 10 12

h 1 1
 a para piezas rectas de concreto presforzado
l 15 25

h 1 1
 a para piezas rectas de acero laminado
l 20 35

h 1 1
 a para arcos
l 40 100

c) Variación de las dimensiones de la sección transversal de las barras.

En piezas de sección variable, la variación de las dimensiones de la sección
transversal debe ser gradual y lenta. Las variaciones bruscas de estas
dimensiones producen efectos locales que invalidan la aplicación del
principio de Saint-Venant.

8
1.2 Características y propiedades mecánicas de materiales comunes en la
construcción.

La selección del material más conveniente para utilizarlo en obras de ingeniería

civil requiere la consideración de múltiples características, algunas de los cuales
son:
 Resistencia
 Rigidez
 Ductilidad
 Peso
 Tenacidad a la fractura
 Maquinabilidad
 Manejabilidad
 Soldabilidad
 Apariencia
 Estabilidad
 Costo
 Disponibilidad
 Sustentabilidad

En relación con el estudio de la mecánica de materiales, el énfasis principal es

sobre la resistencia, rigidez y ductilidad. Los tipos de resistencia que se
consideran con mayor frecuencia son la resistencia a tensión y a compresión. Por
regla general, la manera de establecer el comportamiento mecánico de un material
cuando está sometido a una carga es hacer ensayes en el laboratorio. El
procedimiento común es colocar probetas del material a ensayar en máquinas de
prueba, aplicar las cargas y medir las deformaciones resultantes (tales como
cambio de longitud y diámetro de la probeta). Muchos laboratorios de pruebas de
materiales tienen máquinas capaces de cargar las probetas de diferentes
maneras, incluyendo las cargas estáticas y dinámicas tanto en tensión como en
compresión.
En la figura 1.4 se muestra una máquina de prueba a tensión, en la cual la probeta
se coloca entre las dos grandes mordazas y posteriormente se carga en tensión.
Los dispositivos de medición registran las deformaciones y los sistemas de control
automático y de procesamiento de datos, tabulan y grafican los resultados.

9
Fig. 1.4. Máquina de pruebas de tensión con un sistema automático de
procesamiento de datos (Gere, J. M. y Goodno, B.J., 2009).

En la figura 1.5 se muestra una vista detallada de una probeta para prueba de
tensión. Los extremos de la probeta, de sección transversal circular, tienen un
área mayor en la zona en que se sujetan por las mordazas, de manera que la falla
no ocurra en esta parte del elemento. Una falla en esas zonas no proporcionaría la
información deseada acerca del material, debido a que la distribución de esfuerzos
cerca de la mordaza no es uniforme. En una probeta bien diseñada, la falla
ocurrirá en la porción prismática, donde la distribución del esfuerzo es uniforme y
la barra está sometida sólo a tensión pura. Con referencia a la misma figura 1.5, el
dispositivo que se muestra a la derecha, unido por medio de dos brazos a la
probeta, es un extensómetro que mide el alargamiento durante la aplicación de la
carga.

10
Fig. 1.5. Especimen típico de prueba de tensión con un extensómetro unido a él
(Gere, J. M. y Goodno, B.J., 2009).

Con el fin de que los resultados de los ensayes sean comparables, es necesario
que el tamaño de las probetas y los métodos de aplicación de las cargas se
estandaricen. En Estados Unidos una de las principales organizaciones
normativas es la American Society for Testing and Materials (ASTM) (Sociedad
Americana de Pruebas de Materiales), la cual publica especificaciones y normas
para materiales y pruebas. Además de esa, existen otras organizaciones
normativas como la American Standards Association (ASA) (Sociedad Americana
de Normas) y el National Institute of Standards and Technology (NIST) (Instituto
Nacional de Normas y Tecnología). En México quien establece este tipo de
normas y especificaciones es la Secretaría de Economía, a través de la Norma
Oficial Mexicana (NOM). En el caso de los materiales utilizados en la construcción,
existe una organización llamada Organismo Nacional de Normalización y
Certificación de la Construcción y Edificación (ONNCCE) que emite normas y
especificaciones para este tipo de materiales.
La probeta de tensión estándar de la ASTM, que también es utilizada en nuestro
país, tiene un diámetro de 0.505 pulgadas y una longitud calibrada de 2 pulgadas
entre las marcas de calibración, que son los puntos donde los brazos del
extensómetro se unen a la probeta. Al deformar la probeta, se mide y registra la
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carga axial, ya sea automáticamente o por lecturas en la carátula de la máquina
de prueba. El alargamiento sobre la longitud calibrada se mide simultáneamente
por medio de dispositivos mecánicos como el que se muestra en la figura 1.5 o
con medidores de resistencia eléctrica. En las pruebas de tipo estático, la carga se
aplica lentamente y no se requiere conocer con toda precisión la velocidad de
carga, ya que no afecta el comportamiento de la probeta. Por otra parte, en una
prueba dinámica, la carga se aplica rápidamente y en algunas ocasiones de
manera cíclica. Debido a que la naturaleza de una carga dinámica afecta las
propiedades de los materiales, es necesario medir su velocidad de aplicación.
Las pruebas de compresión en metales se realizan generalmente en probetas
pequeñas en forma de cubos o cilindros circulares. Los cubos tienen dimensiones
de 2 pulgadas por lado y los cilindros tienen un diámetro aproximado de 1 pulgada
y longitudes de 1 a 12 pulgadas. En estos ensayes se miden tanto la carga
aplicada como el acortamiento de la probeta, la cual debe medirse sobre una
longitud calibrada que sea menor que la longitud total de la probeta para eliminar
los efectos de borde.
En el caso del concreto, éste se prueba a compresión en todo proyecto importante
de construcción para garantizar que se ha obtenido la resistencia requerida. La
probeta estándar para pruebas de concreto de la ASTM, que también se utiliza en
nuestro país, tiene 6 pulgadas (15.2 cm) de diámetro, 12 pulgadas (30.5 cm) de
longitud y 28 días de edad (se considera que el concreto alcanza su resistencia de
diseño a esta edad). En el caso de pruebas de compresión en rocas se utilizan
probetas similares, pero más pequeñas.

Fig. 1.6. Muestra de roca en proceso de prueba a compresión (Gere, J. M. y

Goodno, B.J., 2009).

12
En general, los resultados de los ensayes de laboratorio dependen del tamaño de
la probeta. Debido a que los elementos que se utilizan en una estructura pueden
tener longitudes y secciones diferentes del espécimen ensayado, los resultados de
las pruebas se deben expresar en forma tal que puedan aplicarse a miembros de
cualquier tamaño. Una forma de cumplir con este objetivo es convertir los
resultados de las pruebas en esfuerzos y deformaciones unitarias.
El esfuerzo axial σ en una probeta de prueba se calcula dividiendo la carga axial P
entre el área A de la sección transversal.

P
 (1.1)
A

Cuando se utiliza el área inicial de la probeta en los cálculos, el esfuerzo se

denomina esfuerzo nominal (también se utilizan los nombres esfuerzo
convencional y esfuerzo ingenieril). Si se utiliza el área real de la barra (en la
sección donde ocurre la falla) para calcular el esfuerzo axial, se denomina
esfuerzo verdadero, el cual es mayor que el nominal, debido a que el área real en
una prueba de tensión es menor que el área inicial.
La deformación unitaria axial promedio ε en la probeta de prueba se calcula
dividiendo el alargamiento medido δ entre las marcas de calibración, entre la
longitud calibrada L.


 (1.2)
L

13
Si se utiliza la longitud calibrada inicial en los cálculos (por ejemplo, de 2 pulgadas
en las probetas de acero), se obtiene la deformación unitaria nominal. Debido a
que la distancia entre las marcas de calibración crece conforme se aplica la carga,
se puede obtener también la deformación unitaria verdadera (o deformación
unitaria natural) para cualquier valor de la carga utilizando la distancia real entre
las marcas de calibración. Para los ensayes de tensión, la deformación unitaria
verdadera siempre es menor que la deformación unitaria nominal, sin embargo,
para los problemas reales de estructuras en ingeniería civil son adecuados los
esfuerzos y la deformación unitaria nominal.
Una vez que se efectúa una prueba de tensión o de compresión y se determinan
el esfuerzo y la deformación unitarias para varias magnitudes de carga, se puede
trazar un diagrama del esfuerzo versus deformación unitaria. Este diagrama
esfuerzo-deformación unitaria es una característica del material que se ensaya y
contiene información importante sobre las propiedades mecánicas y el tipo de
comportamiento. En la fig. 1.7 se muestra un diagrama de este tipo obtenido de un
ensaye a tensión.

Fig. 1.7. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un acero estructural común

ensayado a tensión (Gere, J. M. y Goodno, B.J., 2009).

A continuación, se describirán las principales características y propiedades

mecánicas de algunos materiales utilizados en la construcción.
a) Acero. El término acero se refiere a aleaciones de hierro y carbón y, en
muchos casos, con otros elementos. Pueden clasificarse como aceros al
carbón, aceros aleados, aceros inoxidables y aceros estructurales. De
éstos, los que nos interesan son los estructurales, los cuales se producen
en la forma de lámina, placa, barras, tubería y perfiles estructurales tales
como vigas I, vigas de patín ancho, canales y ángulos. La ASTM establece
una designación numérica para estos aceros, la cual es el número del

14
estándar que define las propiedades mínimas requeridas. Un acero muy
común para aplicaciones estructurales es el ASTM A36, un acero al carbón
utilizado para muchos perfiles, placas y barras comercialmente disponibles.
Tiene una resistencia mínima de fluencia de 248 MPa (36 ksi), es soldable y
se utiliza en puentes, edificios y para propósitos estructurales generales.
Los perfiles W (vigas de sección I con patines más anchos que la sección
estándar), que se utilizan ampliamente en la construcción de edificios y
otras estructuras industriales se hacen comúnmente de acero ASTM A992,
uno de los varios grados de acero de baja aleación y alta resistencia
(denominados HSLA). Con una resistencia mínima a la fluencia de 345 MPa
(50 ksi), permite utilizar elementos más livianos en comparación con el
acero ASTM A36, con el consiguiente ahorro en el costo de la estructura.
Otro grado HSLA de acero estructural que cada vez se utiliza más es el
ASTM A913, grado 65, con resistencia mínima a la fluencia de 448 MPa (65
ksi). Su uso en secciones de columnas pesadas y algunos elementos
críticos de vigas y armaduras ha permitido ahorrar en peso y costos en
estructuras grandes como rascacielos y estadios deportivos. Este acero
también está disponible en grados 50, 60 y 70, con esfuerzos mínimos de
fluencia de 50 ksi, 60 ksi y 70 ksi, respectivamente.
El ASTM A242, fabricado en grados 42, 46 y 50 (esfuerzos de fluencia
mínimos de 42, 46 y 50 ksi, respectivamente) es otro acero HSLA que se
produce como perfiles, placas y barras para usos estructurales generales.
Una ventaja importante de este tipo de aleación es su resistencia a la
corrosión, aproximadamente cuatro veces la del acero al carbón simple, por
lo que también se le denomina “acero a prueba de intemperie”. Los tres
grados están disponibles en perfiles W. El grado 50 es el más comúnmente
disponible para otros perfiles laminados.
El ASTM A514 es un acero de aleación de alta resistencia, térmicamente
tratado mediante enfriado por inmersión y temple y producido para placas y
barras. Los espesores hasta de 6.35 cm (2.5 in) tienen un esfuerzo de
fluencia de 690 MPa (100 ksi). Los espesores mayores se clasifican a una
resistencia mínima a la fluencia de 620 MPa (90 ksi).
Otro acero estructural HSLA de uso general es el ASTM A572, disponible
en todo tipo de perfiles, placas y barras. Los grados 42, 50, 55, 60 y 65 se
utilizan para perfiles. Todas las placas y barras de hasta 20.3 cm (8 in)
están disponibles en el grado 42; de hasta 10.2 cm (4 in) en el grado 50; de
hasta 5.1 cm (2 in) en el grado 55 y de hasta 3.2 cm (1.25 in) en los grados
60 y 65.
Las secciones estructurales huecas (HSS, hollow structural sections),
también llamadas tubería estructural, son redondas, cuadradas o
rectangulares y típicamente están hechas de acero ASTM A501 (moldeado
en caliente) o de acero ASTM A500 (moldeado en frío) en varios grados de
resistencia. Cuando se producen como tubo, se especifica el acero ASTM
A53, grado B, con una resistencia a la fluencia de 240 MPa (35 ksi).

15
En lo que se refiere a su comportamiento mecánico, la forma típica de su
diagrama esfuerzo-deformación unitaria se muestra en la figura 1.8. En la
curva mostrada en esa figura se pueden distinguir las siguientes zonas: un
tramo proporcional (OA), en donde la relación entre el esfuerzo y la
deformación unitaria es lineal (ley de Hooke) para esfuerzos menores a σp,
llamado límite de proporcionalidad (punto A en la figura), además a la
pendiente de este segmento de recta se le llama módulo de elasticidad o
módulo de Young y se designa con la letra E; un tramo elástico (OB), en el
cual si se suprime la carga aplicada, la probeta recupera su longitud inicial,
el cual es válido hasta el esfuerzo σe, llamado límite elástico (punto B de la
figura); una zona plástica (BD), en donde se observa una deformación
permanente en la probeta (OL en la figura), si se elimina la carga aplicada,
además, al esfuerzo σf se le llama esfuerzo de fluencia o de cedencia; una
zona de endurecimiento por deformación (DE), en el cual es necesario un
esfuerzo mayor que el de fluencia para seguir aumentando la deformación
plástica de la probeta; finalmente se tiene una zona de estricción (EF), en
donde se observa que la sección de una parte de la probeta comienza a
disminuir de forma apreciable (estricción).

Fig. 1.8. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria del acero estructural

(Cervera Ruiz M. y Blanco Díaz, E., 2003).

El módulo de elasticidad, de acuerdo con las Normas Técnicas

Complementarias para Diseño y Construcción de Estructuras Metálicas del
Reglamento de Construcción de Baja California Sur es E=2,040,000 kg/cm2;
el AISC especifica un módulo de elasticidad de 200 GPa (o bien 20 X 106

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 lb/in2). Además, el módulo de elasticidad al cortante estipulado es
G=784,000 kg/cm2 (77,200 MPa).

b) Concreto simple. Los componentes del concreto son cemento, agua,

agregado grueso y agregado fino. La adición de agua y el mezclado
completo de los componentes tienden a producir una estructura uniforme
con el cemento que recubre todas las partículas del agregado. Después de
curada, la masa está firmemente unida. Las variables que intervienen en la
determinación de la resistencia final del concreto son el tipo de cemento
utilizado, el tipo y tamaño de los agregados y la cantidad de agua.
Una mayor cantidad de cemento en el concreto produce una mayor
resistencia. La reducción de la cantidad de agua con respecto a la cantidad
de cemento incrementa la resistencia del concreto. Desde luego, se debe
agregar suficiente agua para que el cemento recubra el agregado y permita
que el concreto sea vertido y trabajado antes de que inicie el fraguado del
mismo.
El concreto se clasifica de acuerdo con su resistencia a la compresión, la
cual puede tener un rango muy amplio de variación, usualmente desde 150
kg/cm2 (14.7 MPa) hasta 450 kg/cm2 (44.1 MPa) o aún mayor. Su
resistencia a la tensión es baja (del orden del 10 al 20% de la de
compresión) y en la práctica se suele despreciar. Por tanto, para
aplicaciones prácticas, el concreto debe reforzarse con varillas de acero,
quienes resistirán los esfuerzos de tensión que se presenten en el elemento
estructural.
El concreto debe ser curado para que desarrolle su resistencia nominal.
Debe mantenerse húmedo por lo menos durante 7 días, tiempo en el cual
alcanza del 60 al 70% de su resistencia nominal a la compresión. Aun
cuando su resistencia continúa incrementándose con los años, a menudo
se utiliza la obtenida a 28 días como resistencia nominal a compresión.
Como ya se mencionó anteriormente, el concreto puede ser sometido a
prueba con una máquina universal similar a la mostrada en la fig. 1.5,
preparada para aplicar una carga de compresión. Normalmente la probeta
es un cilindro de 15.2 cm (6 in) de diámetro y de 30.4 cm (12 in) de longitud.
La carga se incrementa lentamente hasta que se presenta la falla del
espécimen, proceso durante el cual se registra y grafica el esfuerzo y la
deformación unitaria de la probeta. En la figura 1.9 se muestran algunos de
los tipos de fallas que se presentan en los ensayes a compresión del
concreto simple.

17
Fig. 1.9. Tipos de fallas en probetas de concreto simple ensayadas a
compresión: (a) falla por cortante; (b) falla por desgajamiento vertical
(“splitting”); (c) combinación de falla por cortante y desgajamiento vertical
(Hassoun, N. M. y Al-Manaseer, A., 2008).

La curva esfuerzo-deformación unitaria del concreto presenta

características diferentes a la del acero, de acuerdo con lo que se muestra
en la figura 1.10. En ella se puede observar lo siguiente: el esfuerzo
máximo se alcanza a una deformación unitaria entre 0.002 y 0.003; este
esfuerzo se designa como f’c y se considera como la resistencia nominal a
compresión del concreto; la parte inicial del diagrama no es una línea recta,
por lo que el módulo de elasticidad se define convencionalmente como la
pendiente de la secante que pase por el origen y el punto que tenga como
ordenada un esfuerzo igual a f’c/2; y la falla ocurre a una deformación
unitaria ligeramente mayor a 0.004.
El peso específico del concreto, en ocasiones llamado peso unitario, se
considera de 2,200 kg/m3 para el concreto simple y de 2,400 kg/m3 para el
concreto reforzado.
En las normas mexicanas, se clasifica al concreto en dos clases: el
concreto clase 1 con peso volumétrico en estado fresco superior a 2.2
ton/m3 (22 kN/m3) y resistencia especificada a compresión f’c mayor o igual
a 250 kg/cm2 (25 MPa) y el concreto clase 2 con peso volumétrico en
estado fresco entre 1.9 y 2.2 ton/m3 (19 y 22 kN/m3, respectivamente) y
resistencia a la compresión inferior a 250 kg/cm2 (25 MPa), pero no menor
de 200 kg/cm2 (20 MPa).
Por lo que respecta al módulo de elasticidad, las normas técnicas del
reglamento de construcción del estado establecen los siguientes valores:

Para concretos clase 1 :

18
 Ec  14000 f 'c (kg/cm2) para concretos con agregado grueso calizo
Ec  11000 f 'c (kg/cm2) para concretos con agregado grueso basáltico

Para concretos clase 2:

Ec  8000 f 'c (kg/cm2)

Fig. 1.10. Curva esfuerzo-deformación unitaria en compresión axial de un

espécimen de concreto simple sujeto a carga de corta duración (González
Cuevas, O. M. y Robles-Fernández, F., 2005).

En el caso del American Concrete Institute (ACI) (Instituto Americano del

Concreto), el módulo de elasticidad se calcula como:

3
Ec  33 2 f 'c

Donde:
Ec = Módulo de elasticidad a compresión, lb/in2.
γ = Peso específico, lb/ft3.
f’c = Resistencia nominal a la compresión del concreto, lb/in2.

c) Aluminio. Las aleaciones de aluminio están diseñadas para que alcancen

propiedades óptimas para usos específicos. Algunas se producen

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principalmente como lámina, placa, barras o alambre. Los perfiles
estructurales estándar y secciones especiales a menudo se troquelan. Se
utilizan varias aleaciones para forja, mientras que otras son aleaciones de
fundición especiales.
El aluminio en forma forjada utiliza una designación de cuatro dígitos para
definir las diversas aleaciones disponibles. El primer dígito indica el grupo
de aleación de acuerdo al elemento de aleación principal. El segundo
denota una modificación de la aleación básica. Los dos últimos identifican
una aleación específica dentro del grupo. Existen siete series principales de
aleaciones de aluminio:
1) Serie 1000, 99% de aluminio o más, tiene una excelente resistencia a la
corrosión, manejabilidad y conductividad térmica y eléctrica, aunque
bajas propiedades mecánicas. Se utiliza en los campos químico y
eléctrico.
2) Serie 2000, cobre como elemento de aleación. Térmicamente tratable
con altas propiedades mecánicas y con una resistencia a la corrosión
más baja que la mayoría de las aleaciones. Se utiliza en la industria
aeronáutica y automotriz.
3) Serie 3000, manganeso como elemento de aleación. No térmicamente
tratable, aunque se puede obtener mediante trabajo en frío. Buena
resistencia a la corrosión y manejabilidad. Se utiliza en equipo químico,
utensilios de cocina, tanques de almacenamiento, etc.
4) Serie 4000, silicio como elemento de aleación. No térmicamente tratable
con un bajo punto de fusión. Utilizada como alambre de soldar y
aleación para soldaduras de latón.
5) Serie 5000, magnesio como elemento de aleación. No térmicamente
tratable, aunque se puede obtener una resistencia moderada mediante
trabajo en frío. Buena resistencia a la corrosión y soldabilidad. Se utiliza
en servicio marino, estructuras soldadas, torres de TV, malacates de
perforación, etc.
6) Serie 6000, silicio y magnesio como elementos de aleación.
Térmicamente tratable a resistencia moderada. Buena resistencia a la
corrosión, formabilidad y soldabilidad. Se utiliza en estructuras de
servicio pesado, camiones y equipo ferrocarrilero, tubos, muebles, etc.
7) Serie 7000, zinc como elemento de aleación. Térmicamente tratable a
muy alta resistencia. Relativamente escasa resistencia a la corrosión y
soldabilidad. Utilizada principalmente para miembros estructurales de
aviones.
Las aleaciones de aluminio fundidas se designan por medio de un sistema
de cuatro dígitos en la forma XXX.X, donde el primer dígito indica el grupo
de aleación principal de acuerdo con los elementos principales de aleación.
Los dos dígitos siguientes indican la aleación específica dentro del grupo o
indican la pureza del aluminio. El último dígito, después del punto decimal,
indica la forma del producto: 0 para piezas fundidas y 1 o 2 para lingotes. El

20
 aluminio fundido se utiliza para grandes miembros estructurales y
bastidores, bloques de motor, cabezas de cilindros, etc.
d) Madera. Como la madera es un producto natural, su estructura depende de
la forma en que crece y no de la manipulación por parte del hombre. La
forma larga, esbelta y cilíndrica de los árboles crea una estructura interna
compuesta de celdas longitudinales. Conforme crece el árbol, se agregan
anillos por afuera de la madera más vieja, de tal forma que el núcleo,
llamado corazón, tiene propiedades diferentes que la madera alburente o
tierna, cerca de la superficie externa.
La especie de la madera también afecta sus propiedades, ya que las
diferentes clases de árboles producen madera más dura o más blanda, más
fuerte o más débil. Incluso en la misma especie se presenta la variabilidad a
causa de las diferentes condiciones de crecimiento, tales como diferencias
en el suelo y la cantidad de lluvia y sol.
La estructura celular de la madera da lugar al grano, el cual es evidente
cuando se sierra en forma de tablones y polines. La resistencia de la
madera depende de si carga perpendicularmente o paralelamente al grano.
Además, siguiendo el grano, la resistencia es diferente en una dirección
radial que en una dirección tangencial con respecto al tronco del árbol
cilíndrico original del cual se cortó.
Otra variable importante que afecta la resistencia de la madera es el
contenido de humedad. El cambio de humedad relativa puede variar la
cantidad de agua absorbida por las celdas de la madera.
En la construcción se utiliza principalmente madera de pino y abeto y se
clasifican en madera de grado 1, que es aquella limpia con pocos defectos
tales como nudos; de grado 2, que es madera de construcción común con
nudos u otros defectos ocasionales; y de grado 3, que es el más deficiente
con nudos notables y gran variedad en el grano. Los valores de resistencia
permisible se reducen drásticamente del grado 1 al grado 3.
Los esfuerzos permisibles, paralelos al grano, tienen los siguientes valores:
1) Para flexión varían entre 95 kg/cm2 (1350 lb/in2, 9.3 MPa) y 200 kg/cm2
(2850 lb/in2, 19.7 MPa).
2) Para tensión varían entre 53 kg/cm2 (750 lb/in2, 5.2 MPa) y 162 kg/cm2
(2300 lb/in2, 15.9 MPa).
3) Para compresión varían entre 113 kg/cm2 (1600 lb/in2, 11 MPa) y 151
kg/cm2 (2150 lb/in2, 14.8 MPa).
El módulo de elasticidad varía entre 91,500 kg/cm2 (1.3 X 106 lb/in2, 9 GPa)
y 161,850 kg/cm2 (2.3 X 106 lb/in2, 15.9 GPa).

e) Plásticos. Los plásticos se componen de grandes cantidades de moléculas

llamadas polímeros. Son materiales orgánicos sintéticos que pueden ser
formulados y procesados en miles de formas.

21
Una clasificación sencilla es dividirlos en materiales termoplásticos y
materiales de termofraguado. Los termoplásticos pueden ser ablandados
repetidamente mediante calentamiento sin que cambien las propiedades o
la composición química. Por otra parte, después de un curado inicial de los
plásticos de termofraguado, no pueden ser ablandados de nuevo. Durante
el curado ocurre un cambio químico con calor y presión. Algunos ejemplos
de termoplásticos son:
1) Nylon (Poliamida PA). Buena resistencia, resistencia al desgaste y
tenacidad; una amplia variedad de posibles propiedades según los
rellenos y formulaciones. Se utiliza en partes estructurales, artefactos
mecánicos tales como engranajes y cojinetes y partes que requieren
resistencia al desgaste.
2) Acrilonitrilo-butadieno-estireno (ABS). Buena resistencia al impacto y
resistencia y rigidez moderada. Utilizado para cajas, cascos, estuches,
piezas de aparatos domésticos, tubos y accesorios de conexión.
3) Policarbonato. Excelente tenacidad, resistencia al impacto y estabilidad
dimensional. Utilizado para levas, engranes, cajas, etc.
4) Acrílico. Buena resistencia a la intemperie y al impacto. Puede
fabricarse con excelente transparencia o traslucido u opaco con color.
Utilizado para encristalado de ventanas, lentes, señalizaciones y cajas.
5) Cloruro de polivinilo (PVC). Buena resistencia, resistencia a la
intemperie y rigidez. Utilizado para tubos, conductos eléctricos,
pequeñas cajas, ductos y molduras.
6) Poliamida. Buena resistencia y resistencia al desgaste, muy buena
retención de las propiedades a temperaturas elevadas hasta 500°F. Se
utiliza en cojinetes, sellos, aspas giratorias y partes eléctricas.
7) Acetal. Alta resistencia, rigidez, dureza y resistencia al desgaste; baja
fricción, buena resistencia a la intemperie y resistencia química.
Utilizado en engranes, bujes, ruedas dentadas, partes de
transportadoras de banda y productos de plomería.
8) Elastómero de poliuretano. Un material semejante al hule y una
excepcional tenacidad y resistencia a la abrasión; buena resistencia al
calor y los aceites. Utilizado para ruedas, rodillos, engranes, ruedas
dentadas, etc.
9) Resina de poliéster termoplástico (PET). Resina de politereftalato de
etileno (PET) con fibras de vidrio o minerales. Muy alta resistencia y
rigidez, excelente resistencia a productos químicos y al calor, excelente
estabilidad dimensional y buenas propiedades eléctricas. Se utiliza en
partes de bombas, cajas, partes eléctricas, partes de motor, autopartes,
etc.
10) Elastómero de poliéter-éster. Plástico flexible con excelente tenacidad y
elasticidad, alta resistencia a la fluencia, al impacto y la fatiga bajo
flexión y buena resistencia química. Permanece flexible a bajas
temperaturas y conserva buenas propiedades a temperaturas

22
 moderadamente elevadas. Utilizado en sellos, cinturones, diafragmas de
bombas, botas protectoras, tuberías, etc.

Respecto a los materiales termofraguados, comprenden los siguientes

grupos:
1) Fenólicos. Tienen alta rigidez, buena moldeabilidad, estabilidad
dimensional y muy buenas propiedades eléctricas. Se utilizan para
partes que soportan carga en equipo eléctrico, mecanismos de control
eléctrico, contactos múltiples, pequeñas cajas, manijas de aparatos
domésticos y utensilios de cocina, engranes y partes estructurales y
mecánicas. El alquido, alilo y amino tienen propiedades y usos similares
a los de los fenólicos.
2) Poliester. Conocido como fibra de vidrio cuando se refuerza con fibras
de vidrio. Tiene alta resistencia y rigidez y buena resistencia a la
intemperie. Se utiliza para cajas, perfiles estructurales y paneles.
Con frecuencia se selecciona un plástico particular para una combinación
de propiedades, tales como peso ligero, flexibilidad, color, resistencia,
rigidez, resistencia química, características de baja fricción o transparencia.
A continuación, se dan algunas características especiales de los plásticos:
1) La mayoría de las propiedades de plásticos son altamente sensibles a la
temperatura. En general, la resistencia a la tensión, a la compresión, el
módulo elástico y la energía de falla por impacto se reducen
significativamente conforme se incrementa la temperatura.
2) Muchos plásticos absorben una gran cantidad de humedad del ambiente
y exhiben cambios dimensionales y como resultado se tienen
degradación de las propiedades de resistencia y rigidez.
3) Los componentes que soportan cargas continuamente deben ser
diseñados para soportar la fluencia o relajación.
4) El comportamiento de los plásticos bajo carga repetida (fatiga), choque
e impacto es muy variable y muchos grados son especialmente
formulados para un buen desempeño en semejantes ambientes.
5) Los métodos de procesamiento pueden tener grandes efectos en las
dimensiones y propiedades finales de las piezas hechas de plástico.
6) La resistencia a químicos, a la intemperie, a la luz directa del sol y a
otros cambios ambientales debe ser verificada.
7) Los plásticos pueden tener cambio en las propiedades a medida que
envejecen, en particular cuando se someten a temperaturas elevadas.
8) Las características de inflamabilidad y eléctricas deberán considerarse
en la selección del tipo de plástico.

23
1.3 Esfuerzo normal y deformación normal.

Dos conceptos que son muy importantes en la mecánica de materiales son el de

esfuerzo y el de deformación unitaria. Considere un elemento estructural recto con
sección transversal constante en toda su longitud (barra prismática) sujeto a una
carga dirigida a lo largo de su eje longitudinal y que lo somete a tensión o
compresión (fuerza axial) como se muestra en la figura 1.11. En la parte (a) de esa
figura se muestra un diagrama de cuerpo libre de la barra mencionada, en donde
se desprecia el peso propio del elemento y se supone que las únicas fuerzas que
actúan son las cargas P mostradas en sus extremos. En las partes (b) y (c) se
presentan dos vistas del elemento: en la primera se muestra antes de aplicarle las
cargas y en la segunda, después de hacerlo. La longitud inicial de la barra es L y
la longitud después de aplicarle las cargas es L+δ, por lo que la deformación
longitudinal, o incremento de longitud, es δ.

Fig. 1.11. Barra prismática en tensión: (a) diagrama de cuerpo libre de un

segmento de la barra; (b) segmento de la barra antes de cargarla; (c) segmento de
la barra después de aplicada la carga, y (d) esfuerzos normales en la barra (Gere,
J. M. y Goodno, B.J., 2009).

Si se realiza un corte imaginario a través de la barra en la sección mn (fig. 1.11c),

pueden apreciarse los esfuerzos internos en el elemento. Debido a que esa
sección se toma perpendicularmente al eje longitudinal del elemento, se denomina
sección transversal. A continuación, se puede aislar como cuerpo libre el
segmento de barra a la izquierda de la sección de corte mn (fig. 1.11d). En el

24
extremo derecho de esa parte del elemento se muestra la acción del segmento
retirado (a la derecha de mn) sobre la parte restante. Dicha acción consiste en una
fuerza distribuida en forma continua que actúa sobre toda la sección transversal. A
la intensidad de esta fuerza (es decir, la fuerza por unidad de área) se le llama
esfuerzo y se denota con la letra griega σ (sigma). En consecuencia, la fuerza
axial P que actúa en la sección transversal es la resultante de los esfuerzos
distribuidos en forma continua.
Si se supone a los esfuerzos uniformemente distribuidos en la sección transversal
mn (fig. 1.11d), entonces la resultante debe ser igual a la intensidad σ multiplicada
por el área de la sección transversal, A, por lo que:

P
 (1.1, repetida)
A

La expresión anterior permite calcular la intensidad del esfuerzo uniforme en una

barra prismática cargada axialmente de sección transversal arbitraria. Cuando la
barra experimenta un alargamiento debido a las fuerzas P, los esfuerzos son de
tensión; si se invierte el sentido de las fuerzas, ocasionando un acortamiento de la
barra, los esfuerzos son de compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en
dirección perpendicular a la superficie cortada, se denominan esfuerzos normales.
Convencionalmente se asigna el signo positivo a los esfuerzos de tensión y,
correspondientemente, se asigna el signo negativo a los de compresión.
Las unidades del esfuerzo son de fuerza entre área, por lo que en el sistema
métrico pueden ser en kilogramos sobre centímetro cuadrado (kg/cm2), kilogramos
sobre metro cuadrado (kg/m2), toneladas sobre metro cuadrado (ton/m2), etc.; en
el sistema internacional (SI), la fuerza se expresa en newtons (N) y el área en
metros cuadrados (m2), por tanto, el esfuerzo se expresa en N/m2, que se
denominan pascales (Pa). Debido a que el pascal es una unidad de esfuerzo muy
pequeña, frecuentemente se utilizan megapascales (1 MPa=1 X 10 6 Pa) y
gigapascales (1 GPa=1 X109 Pa). Cuando se utilizan unidades inglesas, el
esfuerzo puede expresarse en libras sobre pulgada cuadrada (psi), libras sobre pie
cuadrado (psf) o en kilolibras sobre pulgada cuadrada (ksi).
Es importante mencionar que la ec. 1.1 es válida sólo si el esfuerzo está
uniformemente distribuido sobre la sección transversal de la barra, lo cual se
cumple sólo si la fuerza axial actúa a través del centroide del área de esa sección.
Si esto no ocurriera así, la barra también estará sujeta a flexión. Esta situación se
analizará en el capítulo 5 del presente trabajo.

25
Como se mencionó con anterioridad, una barra prismática cambiará de longitud
cuando se le aplique una carga axial, volviéndose más larga en tensión y más
corta en compresión. Por ejemplo, con referencia a la fig. 1.11c, el alargamiento
total δ es el resultado acumulativo del alargamiento de todos los elementos del
material en todo el volumen de la barra. Si se parte de que el material es el mismo
en toda la barra, entonces para la mitad de ella (longitud L/2) se obtendrá un
alargamiento igual a δ/2, y si se considera un cuarto de barra (longitud L/4) se
obtendrá un alargamiento igual a δ/4. Siguiendo con este razonamiento, una
unidad de longitud de la barra tendrá un alargamiento igual a 1/L veces δ. Esta
cantidad se denomina alargamiento por unidad de longitud o deformación unitaria,
se representa con la letra griega ε (épsilon) y se calcula mediante:


 (1.2, repetida)
L

La deformación unitaria ε se llama deformación unitaria normal porque está

asociada a esfuerzos normales. Convencionalmente la deformación unitaria a
tensión (alargamiento) se considera positiva y, correspondientemente, la
deformación unitaria a compresión (acortamiento) se considera negativa.
Puesto que la deformación unitaria es el cociente de dos longitudes, es una
cantidad adimensional, por tanto, se expresa como un número independiente de
cualquier sistema de unidades. Con frecuencia, las unidades originales de δ y L
suelen unirse a la deformación unitaria misma y, por ejemplo, puede expresarse
como mm/m, μm/m, in/in, etc. Además, a veces se expresa como porcentaje, por
ejemplo, una deformación unitaria de 0.003 puede expresarse como 0.3%.

Ejemplo 1.1 (Vable, M., 2002):

Todos los elementos de la armadura mostrada en la figura tienen un área de sus
secciones transversales de 500 mm2. Calcule los esfuerzos normales en las
barras BC y DE para las cargas indicadas en la figura.

26
Solución:
Para calcular la fuerza normal interna en la barra DE se puede dibujar un
diagrama de cuerpo libre del nudo D y plantear las ecuaciones de equilibrio en
dicho nudo como se muestra a continuación.

Del equilibrio de fuerzas en la dirección vertical (positivas hacia arriba):

45° − 21 = 0 ∴ = 29.7
Y del equilibrio de fuerzas horizontales (positivas hacia la derecha):
− − 45° = 0 ∴ = −21
De acuerdo con estos resultados la fuerza en la barra DE tiene sentido contrario al
indicado en el diagrama de cuerpo libre, por tanto, es de compresión. Además, el
esfuerzo normal en esta barra es,
−21(10 )
= = = −42(10 ) = −42 ( ó )
500(10 )
En la figura siguiente se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento de
armadura después de realizar un corte imaginario a través de las barras CB, CF y
EF.

Y tomando momentos con respecto al punto F (positivos en el sentido de las

manecillas del reloj) se puede calcular el valor de la fuerza axial interna en la barra
CB como se indica a continuación:

27
 − (2) + 21(4) = 0 ∴ = 42
Y por tanto, el esfuerzo normal en esa barra es:
42(10 )
= = = 84(10 ) = 84 ( ó )
500(10 )

28
1.4 Límite elástico, límite de proporcionalidad, esfuerzo de fluencia o cedencia,
resistencia de ruptura.

Para algunos metales, por ejemplo, el acero estructural, el diagrama esfuerzo-

deformación unitaria, tiene la forma característica mostrada en la figura 1.12. En
un diagrama de este tipo, existen algunos puntos característicos que se enlistan a
continuación.

Fig. 1.12. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para acero estructural a tensión

(sin escala) (Gere, J. M. y Goodno, B.J., 2009).

a) Límite de proporcionalidad. Es el valor del esfuerzo en la curva esfuerzo-

deformación unitaria en el que la curva se aparta por primera vez de una
línea recta (punto A de la fig. 1.12), es decir, hasta este valor, los esfuerzos
y las deformaciones unitarias son directamente proporcionales.
b) Límite elástico. Es el valor del esfuerzo en la curva esfuerzo-deformación
unitaria hasta el cual la probeta o elemento estructural recupera su longitud
original cuando se retira la carga. En muchos materiales este valor no se
distingue del límite de proporcionalidad (como en el caso del material de la
figura 1.12) por lo que para ellos se toma dicho valor como límite elástico.

29
 c) Esfuerzo de fluencia o de cedencia. Es el valor en la gráfica esfuerzo-
deformación unitaria donde existe un incremento significativo de la
deformación con poco o ningún incremento del esfuerzo (puntos B y C de la
figura 1.12). La zona definida por los puntos B y C de la figura 1.12 se
conoce como zona plástica o de fluencia y es importante mencionar que si
una probeta o elemento estructural se descarga después de haber
alcanzado el esfuerzo de fluencia no recuperará su longitud original, sino
que tendrá una deformación permanente.
Existen algunos metales, por ejemplo, las aleaciones de aluminio, que no
poseen un esfuerzo de fluencia claramente definido, aunque tengan una
región inicial con un límite proporcional reconocible. Para ellos puede
determinarse un esfuerzo de fluencia convencional por el método del
corrimiento o desplazamiento. Éste consiste en trazar una línea recta, sobre
el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, paralela a la parte lineal inicial
de la curva (fig. 1.13), pero desplazada cierta deformación unitaria estándar
(generalmente 0.002 = 0.2%). La intersección de la línea desplazada y la
curva esfuerzo-deformación unitaria (punto A en la fig. 1.13) define el
esfuerzo de fluencia, al cual generalmente se le llama esfuerzo de fluencia
desplazado para distinguirlo del esfuerzo de fluencia verdadero.

Fig. 1.13. Esfuerzo de fluencia convencionalmente determinado mediante el

método del desplazamiento o corrimiento (Gere, J. M. y Goodno, B.J., 2009).

d) Esfuerzo último. Es el valor más alto del esfuerzo aparente en la curva de

esfuerzo-deformación unitaria (punto D de la figura 1.12).

30
 e) Esfuerzo de ruptura o de fractura. Es el último valor del esfuerzo obtenido
del ensaye de la probeta, cuando ésta se rompe. Como los esfuerzos se
calculan con el área original de la probeta se obtiene el punto E (fig. 1.12)
como esfuerzo de ruptura, aunque el valor real (usando el área real de la
probeta en esta etapa del ensaye) es el punto E’. Para efectos prácticos de
diseño se toma la curva con línea continua de la fig. 1.12 como diagrama
esfuerzo-deformación unitaria del material.

Ejemplo 1.2 (Vable, M., 2002):

Se realizó un ensaye a tensión de una probeta de aleación de titanio. La longitud
calibrada del especimen fue de 2 in y su diámetro antes del ensaye fue de 0.5 in.
Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla, donde P es la carga
aplicada y δ su deformación total correspondiente. Calcule: (a) el esfuerzo
correspondiente al límite proporcional; (b) el esfuerzo último; (c) el esfuerzo de
fluencia para un desplazamiento de la deformación unitaria del 0.4%; (d) el módulo
de elasticidad; y (e) los módulos secante y tangente para un esfuerzo de 136 ksi.

Punto P (kips) δ (10-3 in)

1 0.0 0.0
2 5.0 3.2
3 15.0 9.5
4 20.0 12.7
5 24.0 15.3
6 24.5 15.6
7 25.0 15.9
8 25.2 16.9
9 25.4 19.7
10 26.0 28.5
11 26.5 36.9
12 27.0 46.5
13 27.5 58.3
14 28.0 75.2
15 28.2 87.1
16 28.3 100.0
17 28.2 112.9
18 28.0 124.8

31
Solución:
En primer lugar, se calcularán los puntos correspondientes al diagrama esfuerzo-
deformación unitaria de la probeta, donde las ordenadas son los esfuerzos, que se
calculan mediante la ec. 1.1, es decir,

Y las abscisas son las deformaciones unitarias, que se obtienen con la ec. 1.2,

Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla.

Punto σ (ksi) ε (10-3 )
1 0.0 0.0
2 25.5 1.6
3 76.4 4.8
4 101.9 6.4
5 122.2 7.7
6 124.8 7.8
7 127.3 8.0
8 128.3 8.5
9 129.4 9.9
10 132.4 14.3
11 135.0 18.5
12 137.5 23.3
13 140.1 29.2
14 142.6 37.6
15 143.6 43.6
16 144.1 50.0
17 143.6 56.5
18 142.6 62.4

Y la gráfica correspondiente es la que se presenta a continuación.

32
(a) El punto A de la figura anterior representa el límite de proporcionalidad, por
tanto, el esfuerzo correspondiente es:
= 128

(b) De la figura anterior, se observa que el esfuerzo máximo es el que corresponde

al punto B, por tanto,
= 144

(c) El desplazamiento de la deformación unitaria de 0.004 (o 0.4%) corresponde al

punto C de la gráfica anterior. Si se dibuja una paralela a la recta OA a partir del
punto C, ésta intersecta al diagrama esfuerzo-deformación unitaria en el punto D,
que corresponde al esfuerzo de fluencia pedido, por tanto,
= 132

(d) El módulo de elasticidad es la pendiente de la recta OA. Si se toma un

triángulo rectángulo en el punto I de la figura mostrada para calcular esa pendiente
se obtiene lo siguiente.
96 − 64
= = 16(10 )
0.006 − 0.004

33
(e) En el punto F es esfuerzo es de 136 ksi. Se puede encontrar el módulo
tangente si se calcula la pendiente de la tangente en F, es decir,
140 − 132
= = 666.67
0.026 − 0.014

Se puede utilizar el triángulo OFG para calcular la pendiente de OF para obtener

el módulo de elasticidad secante para un esfuerzo de 136 ksi,
136 − 0
= = 6800
0.02 − 0

34
1.5 Materiales con comportamiento lineal y no lineal.
Los diagramas esfuerzo-deformación unitaria que se describieron anteriormente
permiten conocer el comportamiento mecánico de los materiales ingenieriles
cuando están cargados en tensión o en compresión. Ahora se considerará lo que
sucede con esos materiales cuando se retira la carga antes de alcanzar la
resistencia del elemento. Considere una probeta a la cual se le aplica una carga
de tensión de manera que el esfuerzo y la deformación unitaria van del origen O al
punto A sobre la curva esfuerzo-deformación unitaria de la figura 1.14a. Se
supondrá, además, que cuando la carga se retira, el material sigue la misma curva
de regreso al origen O. Esta propiedad, según la cual un material recupera sus
dimensiones originales al ser descargado, se llama elasticidad y al material que
posee estas características se le llama elástico. Es importante mencionar que la
curva esfuerzo-deformación unitaria de O a A no tiene que ser lineal para que el
material sea elástico.
Si ahora se carga el mismo material a un esfuerzo mayor, de manera que se
alcanza el punto B sobre la curva esfuerzo-deformación unitaria (fig. 1.14b).
Cuando la descarga se presenta desde el punto B, el material sigue la línea BC
sobre el diagrama. Esta línea de descarga es paralela a la porción inicial de la
curva de carga; es decir, la línea BC es paralela a la tangente de la curva
esfuerzo-deformación unitaria en el origen. Cuando se llega al punto C, la probeta
no tiene carga, pero el material conserva una deformación unitaria residual o
deformación unitaria permanente, que en la figura 1.14b está representada por el
segmento de recta OC. Este alargamiento residual de la barra se llama
deformación remanente. En resumen, durante la descarga la probeta retorna a su
forma original en forma parcial y se dice que el material es parcialmente elástico.
La característica de un material por la cual sufre deformaciones unitarias
inelásticas más allá de la deformación unitaria en el límite elástico se conoce como
plasticidad. En el diagrama esfuerzo-deformación unitaria de la fig. 1.14a se tiene
una región elástica (segmento de curva OE) seguida de una región plástica
(segmento de curva EF). Cuando ocurren grandes deformaciones en un material
dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material sufre un flujo plástico.
Cuando un material se comporta elásticamente y muestra, además, una relación
lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria, se dice que es elástico lineal.
Para estos materiales, la relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria
puede expresarse mediante la ecuación:

  E (1.3)

En esa expresión, σ es el esfuerzo axial, ε es la deformación unitaria axial y E es

una constante de proporcionalidad llamada módulo de elasticidad o módulo de

35
Young. El módulo de elasticidad tiene las mismas unidades del esfuerzo axial
(debido a que la deformación unitaria es adimensional) y es la pendiente del
diagrama esfuerzo-deformación unitaria de la región elástica lineal. A la ecuación
1.3 se le llama ley de Hooke, en honor del científico inglés Robert Hooke (1635-
1703), quien fue el primero en investigar científicamente las propiedades elásticas
de diversos materiales como metales, madera, piedra hueso y tendones.

Fig. 1.14. Diagramas esfuerzo-deformación unitaria para: (a) comportamiento

elástico y (b) comportamiento parcialmente elástico (Gere, J. M. y Goodno, B.J.,
2009).

36
1.6 Ejercicios propuestos.
Resuelva los siguientes problemas:
1. Un foco de 6 kg de peso se cuelga del techo de una habitación mediante
dos cables de 0.75 mm de diámetro como se muestra en la figura.
Determine el esfuerzo normal en los cables AB y BC.

2. El cuadro de una pintura de 3 kg de peso se cuelga utilizando un cable de 3

mm de diámetro como se muestra en la figura de abajo. ¿Cuál es el
esfuerzo normal promedio en el cable?

3. Una tabla se levanta mediante un cable y una polea para apoyarla en el

muro de la izquierda como se muestra en la figura siguiente. Determine el
esfuerzo normal en el cable en términos de la longitud L y del peso

37
 específico por unidad de longitud γ de la tabla, así como del diámetro d del
cable y de los ángulos θ y α mostrados en la figura.

4. En la siguiente figura se muestra la sección transversal de una columna de

esquina de concreto que está cargada uniformemente en compresión.
Determine el esfuerzo de compresión promedio σc en el concreto si la carga
es igual a 3,200 k y las coordenadas xc y yc del punto donde la carga
resultante debe actuar a fin de producir un esfuerzo normal uniforme en la
columna.

5. Una losa de concreto de en forma de “L” de 12 ft por 12 ft (con un corte de

6 ft por 6 ft) y espesor t= 9 in, se levanta mediante tres cables sujetos en los
puntos O, B y D, como se muestra en la figura. Los cables se juntan en el
punto Q, que está 7 ft arriba de la superficie de la losa y directamente arriba

38
del centro de masa (punto C). Cada cable tiene un área transversal efectiva
Ae= 0.12 in2. (a) Determine la fuerza de tensión Ti (i=1, 2, 3) en cada cable
debido al peso W de la losa de concreto (desprecie el peso de los cables).
(b) Determine el esfuerzo normal promedio σi en cada cable.

39