Taller

Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá
Departamento de Matemáticas
Primer semestre de 2010
Matemáticas Básicas - Taller 8
I. Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones:

p x p p
f (x) = x g(x) = h(x) = 5 x m(x) = ln x
r [x]
r
x+1 1 2x 1
k(x) = l(x) = j(x) = n(x) = 2x
x 1 3 (2x + 3)2
II. Considere las siguientes funciones:
f (x) = x2 g(x) = 8ln x h(x) = 2x2 + 5x + 3 j(x) = jxj + x
( x
1 < x + 2 si x 1 si x 6= 0
k(x) = l(x) = 1 si jxj < 1 m(x) = jxj n(x) = ex
x : 0 si x = 0
0 si x 1
a) Encuentre el dominio e imagen de cada función.
b) Haga la grá…ca de cada una de ellas.
c) Determine cuáles son inyectivas o uno a uno.
d) Determine cuáles son pares y cuáles son impares.
e) De…na y encuentre el dominio de:
h m f k
1) f k 2) jk 3) h + j 4) 5) 6) 7)
g j h h
III. Utilizando las grá…cas de la parte b) del punto II. haga las siguientes grá…cas:
1) y = f (x) 3;
y = f (x) + 3; y = f (x 3); y = f (x + 3);
1
y = f (3x); y = f ( x)
3
2) y = g(x) 1; y = g(x) + 1; y = g(x 1); y = g(x + 1);
1
y = g(2x); y = g( x)
2
3) y = n(x + 2); y = n(2x); y = 2n(x); y = n(x) + 2;
y= n(x); y = n( x):
4) y = k(2x); y = k( 3x); y = k(x) + 1:
IV. Considere una función arbitraria F y una constante positiva c. Observe las
grá…cas obtenidas en III y recuerde lo estudiado en relaciones para describir la
forma de obtener las grá…cas de las siguientes funciones:
a) y = F (x + c) : b) y = F (x c):
c) y = F (x) + c: d) y = F (x) c:
e) y = cF (x): f) y = cF (x):
g) y = F (cx) con c > 1: h) y = F (cx) con 0 < c < 1:
1
V. Si f es par y g es impar, qué puede decir de f + g, f g, f g; g f ? Y si
f y g son pares? Y si f y g son impares? Haga una tabla para organizar la
información.
VI. Considere las siguientes funciones:
1 x
f (x) = x2 + 1 g(x) = jxj + x h(x) = 2x2 + 5x + 3 j(x) =
( x 2
p 1 si x 6= 0
n(x) = x k(x) = m(x) = jxj l(x) = 2 + ln (x)
x 0 si x = 0
a) Encuentre el dominio e imagen de cada función.
b) De…na y encuentre el dominio de:
1) n k 2) k n 3) g k 4) n h 5) k m
6) n f 7) f n 8) n l 9) l h 10) l f
VII. a) Exprese el área A y el perímetro P de un triángulo equilátero como
funciones de la longitud l de un lado.
b) Exprese la longitud l del lado de un cuadrado y su área A como funciones de
la longitud d de su diagonal
c) Exprese el área de la super…cie de un cubo A y su volumen V como funciones
de la longitud de su arista l.
VIII El costo del parqueadero en un centro comercial depende del tiempo t que
el auto permanezca en él. Por las primeras dos horas o fracción su costo es de
$2.500 y por cada cada cuarto de hora o fracción adicional $500 más. El cobro
máximo diario es de $12.000. Represente en un plano cartesiano la función costo
C(t).
IX. La producción de manzanas de cada árbol en un huerto es de (500 5x)
kilos, en donde x es la densidad con la que se plantan los árboles, es decir,
el número de árboles por hectárea. Determine el valor de x que hace que la
producción total por hectárea sea máxima.
X. El héroe de una popular historia de espías ha escapado del cuartel general de
una banda internacional de contrabandistas de diamantes en la pequeña región
mediterránea de Azusa. Nuestro héroe huye conduciendo un camión de leche,
a una velocidad de 72 km por hora. Cuarenta minutos después los tra…cantes
comienzan a perseguirlo en un Ferrari, a 168 km por hora. La distancia desde
el cuartel general de los contrabandistas a la frontera, y a la libertad, es de 83,8
km. Escapará nuestro héroe de la banda? Si lo hace, con qué ventaja cruzará
la frontera?
XI. En condiciones ideales, se sabe que cierta población de bacterias se duplica
cada tres horas. Suponga que primero hay 100 bacterias.
a) Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?
b) Cuál es el tamaño de la población después de t horas?
c) Se puede a…rmar que después de 20 horas el número de bacterias está entre
6.000 y 13.000?
d) Estime el tiempo para que la población llegue hasta 50.000 bacterias.
2
XII.La vida media de un isótopo de sodio es de 15 horas. Esto signi…ca que
cualquier cantidad de este isótopo se reduce a la mitad al cabo de 15 horas.
Una muestra tiene una masa de 2 gramos.
a) Encuentre la cantidad que queda después de 60 horas.
b) Halle cuánto queda después de t horas.
c) Estime la cantidad que queda después de 4 días.
d) Estime el tiempo requerido para que la masa se reduzca a 0,01 gramos.

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