Geoplanalitica2 PDF
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MARCOSAPB
2009
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
2
SISTEMAS DE MEDIDAS
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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AYLES DEL CARMEN PALACIOS BONILLA, hermana que sacrificó su felicadad para que
cada uno de sus hermanos alcanzara el más alto grado de conocimiento, este trabajo es un
reflejo de la meta trazada por ella y la correspondencia al deseo…
Gracias amigo
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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PRESENTACIÓN
Estimado estudiante, si usted está leyendo este libro guía es porque hace parte del selecto
grupo de personas que escogieron este trabajo para alcanzar el más alto grado de desarrollo
educativo. Bienvenido al fascinante mundo de las matemáticas. Analizaremos los
componentes claves de la geometría plana y analítica, las principales expresiones que
facilitan la solución de un problema, la proporcionalidad (reglas de tres simple directa,
inversa y compuesta) y los casos que permiten aislar(despejar) una incógnita en una fórmula
matemática.
Dentro de la geometría plana, haremos un análisis bien detallado de las principales figuras
geométricas: El punto, tipos de líneas, ángulos, triángulos, cuadriláteros, círculos, sólidos y
las relaciones que existen entre ellas. Además, desarrollaremos los teoremas más importantes
de la misma…En la geometría analítica: El plano cartesiano, distancia entre dos puntos, punto
medio, división proporcional de un segmento, la línea recta y sus atributos y las secciones
cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Además, presenta la
aplicación de los componentes de esta asignatura del saber, en la solución de los problemas
de la sociedad y de las ciencias a las que sirve de apoyo.
LAS INCÓGNITAS DESPEJADAS, presentan un estudio detallado y general de los pasos que se
deben seguir para aislar o despejar los elementos o magnitudes que intervienen en una
fórmula. A través del análisis y de la aplicación adecuada de los procedimientos indicados, el
estudiante adquiere destreza y habilidad en el manejo de las diferentes fórmulas que se
utilizan en las diferentes ramas del saber. Además, instruye al educando en el manejo de las
fórmulas que utilizamos para representar los fenómenos naturales, y le brinda al educando
una herramienta muy importante para resolver los problemas de la vida cotidiana, y además,
le facilita conocer las principales fórmulas usadas por las ciencias.
LOS SISTEMAS DE MEDIDAS, son un componente que le permite al educando interiorizar las
unidades de medidas que el hombre ha diseñado para medir la longitud, la masa, el
volumen, el área y el tiempo. Además, los diferentes métodos para realizar conversiones
entre las mismas unidades de medidas, y entre unidades de medidas.
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A manera de reflexión:
Este libro guía, es un texto preparado cuidadosamente, para que tanto el educando como el
educador, puedan visualizar más fácilmente la comprensión y aplicación de los conceptos más
importantes de la geometría plana y analítica, las incógnitas despejadas, las expresiones de los
problemas y los sistemas de medidas. De ahí, que la correcta interpretación de esta obra le
facilitará al educando la comprensión y predicción de los eventos naturales.
IMPORTANTE:
Este libro guía, carece de respuesta a los ejercicios propuestos. La idea es potencializar la
capacidad de aplicar los conceptos y de seguir los procedimientos, para llegar a las
soluciones.
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CONTENIDO
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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TIPOS DE GEOMETRÍAS
PLANA: Analiza las figuras en dos dimensiones(largo y ancho)
DEL ESPACIO: Analiza los cuerpos de tres dimensiones(largo, ancho y alto)
ANALÍTICA: Combina la plana, la del espacio y el algebra
DESCRIPTIVA Y PROYECTIVA: Aplicadas al dibujo técnico
Entre otras…
MÉTODOS DE LA GEOMETRÍA
1. MÉTODO DEDUCTIVO: Es el más usado por esta área, a partir de conocimientos previos
conocidos, se obtienen nuevos conocimientos.
2. AXIOMA: Es una proposición tan sencilla y evidente que no necesita demostración, y siempre
se toma como verdadera.
EJEMPLO 1: El padre tiene más edad que el hijo.
EJEMPLO 2: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.
3. POSTULADO: Es una proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se
admite sin demostración.
EJEMPLO 1: Hay infinitos puntos.
EJEMPLO 2: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a dicha recta.
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PUNTO GEOMÉTRICO
Las siguientes figuras son puntos geométricos:
A Q
Léase: punto A y punto Q.
LÍNEA
Es un conjunto especial de puntos.
Todas estas figuras son líneas
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LÍNEA RECTA
Las siguientes figuras son líneas rectas:
Para denotar(nombrar) una recta, se denotan dos de sus puntos o se le asigna una letra.
Veamos:
Q K S
Simbólicamente:
Simbólicamente: QK , léase: Línea recta QK
S , léase: Línea recta S
Por los punto Q y K, es imposible trazar otra línea recta diferente…y si se traza es la
misma…
POSTULADO 2: Dos rectas no pueden tener más que sólo punto en común.
Q K P
A los puntos Q, K y P se le han asignado
10 12 14 los números 10, 12 y 14, respectivamente.
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N
LÍNEA RECTA OBLICUA O TRANSVERSAL
Sur
No es horizontal ni vertical.
S F
Q
D B P
M
K
K // M , léase: Línea recta K paralela a la recta M
D // B ….? P // K ….? MN // RS ….?
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K
A
P 90° M
B
Q
PM KQ , léase: Recta PM perpendicular a la recta KQ. K M ….?
¿Serán perpendiculares el par de rectas no denotadas? ¿Porqué?
LÍNEA CURVA
No tiene porción recta.
POSTULADO: Al unir un punto interior A con uno exterior B de una curva simple cerrada se
corta dicha curva.
LÍNEA MIXTA
Está formada por segmentos de rectas y curvas.
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SEMIRRECTA
Cada una de las dos partes en que se divide una línea recta.
Q O K
Q O O K
PLANO
Superficies como: una pared, el piso, una hoja de papel, una baldosa, etc, dan una idea de lo
que es un plano.
Veamos:
K R
P Q
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D
A
Los puntos A, B y D son no alineados, al
unirse sólo puede pasar un plano por ellos.
B
POSTULADO 2: Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está
contenida en el plano.
SEMIPLANO
Cada una de las dos partes en que se divide un plano.
K M R K M M R
P Q N
N P N Q
El plano ha sido dividido por la recta MN, formándose los semiplanos y .
Si en el semiplano ubicamos dos puntos, estos no cortan la recta MN que crearon el semiplano;
pero, si en el semiplano ubicamos un punto y en el semiplano ubicamos otro punto, al unirse, se
corta la recta MN que formó los dos semiplanos.
INTERSECCIÓN DE PLANOS
La recta MN se forma por la intersección
de los planos y .
M
POSTULADO 1: Si dos planos tienen un
punto común tienen una recta común.
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SEGMENTO
Es la distancia más corta entre dos puntos. A menudo hacen uso de esta definición para la
línea recta….Error. K
A B
AB léase : segmentoAB. PK ..... ? P
Construye: Un segmento de 4cm, uno de 1m, uno de 7Km, uno de 10m y otro de 8cm
ADICIÓN DE SEGMENTOS
Clave: Se coloca uno a continuación de otro. El segmento suma va del origen del primero a
la cabeza del último. Sumemos los siguientes segmentos:
A B
M N
P Q
M N
A B P Q
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EJEMPLO
Hallemos la suma de los siguientes segmentos:
4m 4m M 5m N
A B A B
5m Suma :
M N AN AB MN 4m 5m 9m
SUSTRACCIÓN DE SEGMENTOS
Clave: Se superponen los segmentos de tal forma que los orígenes coincidan, el segmento
diferencia va de la cabeza del segmento menor a la cabeza del mayor.
M P
Superponiendo:
Diferencia
Q R Q R
M P
Re s tan do :
PR QR MP
EJEMPLO
Hallemos la diferencia de los siguientes segmentos:
A 4m M MN = ? N
9,25m
MN AN AM 9,25m 4m 5,25m
M P
4 7
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P Q
Hallemos 5PQ :
P Q P Q P Q
M N
El segmento producto va de M a N: MN 5PQ
EJEMPLO 1.
Dado el segmento QK , hallemos , 5QK
Q 4,5cm K
Solución:
P R
PR 5QK 5(4,5cm) 22,5cm
EJEMPLO 2.
Dado el segmento MN , hallemos:
M 9m N
Solución:
Sea el segmento producto, entonces:
En este caso, el segmento producto es menor que el segmento factor; esto, se presenta,
siempre y cuando el número o escalar sea una fracción propia(denominador mayor que el
numerador).
P = 5,4m D
PQ = PK + KQ…suma de segmentos.
P K Q
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EJERCICIOS
1. Construye: Segmentos de 4cm; 6,5cm; 1cm; 9,34cm y 7,2cm. Además, halle la suma…
2. Para cada figura, realice la operación indicada:
M 2,25m R 3/4m Q 3m K
Q ?
MK 6,24Km K
P 15,85cm Q K
3QK ? 23m
QK ?
M 8/3 R 3/4m Q 9/2 K
MK ?
D 20cm F 5 B
Halle: DE 52 DF
D R
L(DR) = ? L(BD) = ?
2 11
M 12,2Km R
M S
5 D
Halle: ME 53 MR
L(MS) = ?
12 4
P M Q K N R
32 1 12 0 1
2
1
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ENVOLVENTE Y ENVUELTA
ENVOLVENTE: Línea que rodea a otra. ENVUELTA: Línea que es rodea.
D
A B
TEOREMA 1.
En dos poligonales convexas, de extremos comunes, la envolvente es mayor que la envuelta.
B G C Hipótesis:
ABCD envolvente
AFED envuelta
H
A y D son los puntos extremos
F E
A Tesis:
D AB + BC + CD AF + FE + ED
Demostración:
Construcción auxiliar: Prolonguemos AF hasta que corte a BC en G y prolonguemos a FE
hasta que corte a CD en H.
En ABGF:
AB + BG AF + FG….(1)…….Distancia más corta entre dos puntos.
En FGCH:
FG + GC + CH FE + EH….(2)…….Distancia más corta entre dos puntos.
En HDE:
EH + HD ED….(3)…….Distancia más corta entre dos puntos.
Pero:
BG + GC = BC….(5)…..suma de segmentos.
CH + HD = CD….(6)…..Suma de segmentos.
Los tramos de rectas de la figura anterior, son segmentos, para abreviar el trabajo
se ha obviado y se obviará la gorrita() que lleva el símbolo en la parte
superior….pero son segmentos y hay que imaginarlos con su gorrita…
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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EJEMPLO 1.
Si E es la intersección de CD con AB y CG = GD, CF = FD, CE = ED.
Demostremos que: CG CF CE
Solución:
C CFD es envolvente para CED, entonces:
CF + FD CE+ ED. Pero: FD = CF y ED = CE
Luego: CF + CF CE+ CE 2CF 2CE
Por lo tanto: CF CE ….(1)
A B
E F G CGD es envolvente para CFD, entonces:
CG + GD CF+ FD. Pero: GD = CG y FD = CF
Luego: CG + CG CF+ CF 2CG 2 CF
Por lo tanto: CG CF ….(2)
D Comparando 1 y 2:
CG CF y CF CE. Entonces:
EJEMPLO 2.
CG CF CE…Por transitividad…Demostrado
G
Q Demostremos que:
GR + GM + RM PF + PQ + QF
P
Sumando miembro a miembro:
M RF + RP + PG + GQ + QM + FM PF + PQ + QF…(4)
R F
Pero:
Solución: RP + PG = GR.
RGM es la envolvente y PFQ, la envuelta. GQ + QM = GM.
En FRP: En PGQ: RF + FM = RM…..Sustituyendo estas expresiones
RF + RP PF…(1) PG + GQ PQ…(2) en (4):
En FQM: GR + GM + RM PF + PQ + QF
QM + FM QF…(3)
EJERCICIO
R
Para cada figura, realice la demostración indicada:
M D K
R M D
K
Q Si QD = DK y QR = RK K
Q D Demuestre que : QR QD
Q R
Demostrar que el perímetro del rectángulo
Q
P H QRKM es mayor que el perímetro del
F triángulo DQR
Demuestre que:
PK + KM + MH + PH FQ + QR + RD + FD
Q P R
F
M D
F M
N
R Demuestre que el perímetro del
Demuestre que:
QR + FP FM + MR + QD + DP FQM es mayor que el perímetro
P
del PNR
Ayuda: Ubique un punto donde se cortan las envolventes
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ÁNGULOS
Geométricamente, un ángulo es la unión de dos semirrectas con un extremo común.
Veamos:
1 D
F
Semirrecta
R 3
Ángulo 2
Exterior
Región
I Interior del ángulo O
Semirrecta N convexa
A
Extremo común
Exterior M
Región no
convexa
IF e IN , son semirrectas. N
REGIÓN CONVEXA: Cuando el segmento que une dos puntos que están dentro de ella, queda
contenido en su totalidad dentro de la misma. Todos los anteriores ángulos son convexos.
El ángulo (1) del ejemplo anterior se denota: FIN, NIF o simplemente I.
Léase: ángulo FIN, ángulo NIF o simplemente ángulo I.
Cuando se denota un ángulo utilizando tres letras, ¿qué posición ocupa la letra que se
encuentra en el extremo común?
Cuando se denota utilizando una sola letra, ¿cuál se toma?
EJERCICIO
Construye 4 ángulos y denótelos.
ELEMENTOS DE UN ÁNGULO
Consideremos el siguiente ángulo.
F
FORMACIÓN DE UN ÁNGULO
Un ángulo se forma por la rotación de una semirrecta sobre su origen.
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Veamos:
y y
y
0 x
0 x 0 x
EJERCICIO
Construye: Dos ángulos positivos, dos negativos y tres en posición normal.
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SISTEMA SEXAGESIMAL
En este sistema, los ángulos se expresan en grados (unidad más común). Un ángulo puede
medir: 1°, 15°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°, 620°, etc.
1° Léase: un grado. El grado es la unidad patrón de este sistema.
1
Un grado es la de una rotación total.
360
EJEMPLO
1
Hallemos y grafiquemos el ángulo que es de una rotación total.
4
Solución:
1 360
Como una rotación total mide 360 (360) 90, este es el ángulo
4 4
Gráfica:
90°
EJERCICIO
1 2 1 3 1 1 4
Halle y grafique el ángulo que representa: , , , , , , y de
2 3 4 2 6 2 5
rotación total.
El signo (+) indica que la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj y el
signo (), en el mismo sentido.
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Grado ANÁLISIS:
De mayor a menor, se multiplica
60
Minuto De grado a minuto: se multiplica por 60.
De minuto a segundo: se multiplica por 60.
60 De grado a segundo: se multiplica dos veces por 60.
Segundo
De menor a mayor, se divide
Se aplica el procedimiento anterior, pero dividiendo
EJEMPLO 1.
Expresemos en grados, minutos y segundos el siguiente ángulo: 90°.
Solución:
90 89 1 Quitandóle un grado a 90°, esto, porque el ángulo está representado por un
número entero
90 89 60| Convirtiendo el grado en minutos.
90 8959| 1| Quitándole un minuto a 60 | .
90 8959| 60|| Convirtiendo el minuto en segundo.
NOTA: La conclusión se puede expresar por simple inspección (Sin seguir los pasos
propuestos).
EJEMPLO 2
Expresemos en grados minutos y segundos: 49,7°
Solución:
60|
49,7 49 0,7 Separando la parte entera de la decimal. Entonces: 0,7 42|
1
49,7 4942| Convirtiendo la parte decimal en minutos.
49,7 4941| 1| Quitandóle un segundo a 42| .
49,7 4941| 60|| Convirtiendo el minuto en segundo.
EJEMPLO 3.
Expresemos en grados, minutos y segundos: 43268 .
Solución:
El siguiente esquema muestra lo que se va a realizar.
Grado
60 43268| 60
Minuto 43268 126 21
60 68 43268| 7218|
Segundo
8 43268| 7217 | 60 ||
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EJEMPLO 4
Expresemos en grados, minutos y segundos: 53216
Solución:
El siguiente esquema muestra lo que se va a relizar.
Grado
60 53216 || 60
Minuto 521 886 | 60
60
416 286 14
Segundo 53216 56 46 53216 || 1446| 56 ||
Grados
Segundos Minutos
EJERCICIO
Exprese los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos:
90, 180, 60; 9,5; 5,48; 4326, 23465, 9000 y 31416
SISTEMA CÍCLICO
En este sistema los ángulos se expresan en radián(rad).
S r
D
S r
I 1 1rad .
r Arco r r
á Un radián es la amplitud que tiene un ángulo,
m
S=r que subtiende un arco igual a la longitud del
e radio de la circunferencia.
t
r r
o L 2r Longitud de la circunfere cia
D
D 2r Diámetro. r
2
ARCO: Porción de circunferencia comprendido entre dos puntos.
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360 2
EJEMPLO 1.
Expresemos en radianes el siguiente ángulo 80°.
180
80 4 4
x . De donde : 80
x 80 180 9 9
EJERCICIOS
3 2
a Exprese en grados los siguientes ángulos : , , , , , , y 2.5rad
12 6 3 4 2 2 3
b Exprese en radianes los siguientes ángulos : 30, 45, 60, 90, 120, 150 y 240
ÁNGULO NULO
Mide cero grado 0°.
mA = 0°. = ángulo
0° B C
A Léase: La medida del ángulo A es igual a cero
grado.
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ÁNGULO RECTO
Mide noventa grados 90°.
R
ÁNGULO LLANO
Mide ciento ochenta grados 180°.
180°
mRQK = 180°
R Q K
ÁNGULO AGUDO
Mide menos de 90°.
Si 90°, entonces,
es agudo
45° 78°
ÁNGULO OBTUSO
Mide más de 90°.
Si 90° 180°,
entonces, es obtuso 135°
98°
ÁNGULO DE UN GIRO
Mide 360°.
B C
A mBAC = 360°
360°
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= 90°
EJERCICIO
Para cada ángulo, halle su complemento: 30°, 45°, 60°, 75°, 80° y 68,50°
Solución:
Sea x el complemento de 30°, entonces: x 30° = 90° x = 90° 30° = 60°.
El complemento de 30° es 60°.
Halle el complemento de los demás ángulos.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 180°, o sea, un ángulo
llano.
= 180°
180°
EJERCICIO
Para cada ángulo, halle el suplemento: 10°, 30°, 45°, 60°, 90°, 130° y 80,75°
Solución:
Sea x el suplemento de 45°, entonces: x 45° = 180° x = 180° 45° = 135°.
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ÁNGULOS ADYACENTES
Tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.
Lado común
2
y 2 son adyacentes
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
Tienen un lado común.
1, 2, 3, 4, y 5 son consecutivos.
2
3 1
4 5
ÁNGULOS CONGRUENTES
Dos o más ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.
mQ = 110°
110° 110° mD = 110° mQ = mD
Q D Entonces: Q D
Léase: ángulo Q congruente con
el ángulo D
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que tiene por origen el vértice del ángulo y lo
divide en dos ángulos congruentes(igual medida).
m KDR = 60°
R K
m KDS = 60°
Entonces: KDR KDS
EJERCICIOS
1. Dada la figura: R
3
K 2
P Q
4
5 1
70°
P D
K 20°
mapb 31
M
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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EJERCICIO
Dados: A 90. B 8549| 33|| . D 2959| 48|| . E 10045|. Q 9025||
Halle : A B. B D. D E. E Q. B Q. A E. BDE
Solución:
B D 8549 | 33|| 2959 | 48|| 11549 | 21||
8549 | 33||
81|| 60 109 | 60
21|| 1| 49 | 1
2959 | 48||
114108|81||
EJERCICIO
Dados: A 90. B 180. D 5049| 47|| . E 3959| 60|| . Q 1039|| . R 4529|
Halle: A D. B E. D E. R Q. B Q. A R
Solución:
A D 90 5049| 47|| . Como 90° no tiene minutos ní segundos, se descompone:
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
33
EJERCICIO
Dados: A 90. B 3045|. E 1925| 42|| . y Q 4527|| .
Halle : 2 A. 4B. 3E. 2Q. 2 A 4E. 2Q 2B. E 5Q
Solución:
3E 3(1925| 42 || )
1925| 42|| Los minutos y segundos no deben pasar de 60.
3
5775|126|| 5777 | 06 || 5817 | 06 ||
5775 126 ||
|
3E 5817 | 06 ||
Hipótesis:
ABD y DBK son adyacentes
A K
B Tesis:
Demostración: ABD + DBK = 180°
ABD + DBK = ABK……(1)….suma de ángulos
Pero: ABK = 180°……...(2)…..ángulo llano.
Sustituyendo 2 en 1:
ABD + DBK = 180°…..demostrado.
TEOREMA 3
Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Hipótesis:
y son opuestos por el vértice
Tesis:
=
mapb 33
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
34
Comparando 1 y 2:
+ = + …..por transitividad.
= …….simplificando……...demostrado. Demuestre usted que: = .
TEOREMA 4
Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180°.
K
R Hipótesis:
PQK, KQR y RQD son consecutivos
formados a un mismo de la recta PD
P D Tesis:
Q PQK + KQR + RQD = 180°
Demostración:
PQR + RQD = 180°….(1)….por ser adyacentes.
PQR = PQK + KQR….(2)….suma de ángulos.
Reemplazando 2 en 1:
PQK + KQR + RQD = 180°…..demostrado.
TEOREMA 5
La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro ángulos rectos(360°).
P Q Hipótesis:
Los PKQ, QKM y PKM son
consecutivos alrededor del punto K
K
Tesis:
PKQ + QKM + PKM = 4R(360°) R = 90°
D
Demostración: M
Prolonguemos uno de los lados de los ángulos, en este caso PK hasta D, quedando dividido el
QKM en dos ángulos: QKD y DKM
Pero:
QKD + DKM = QKM…(4)…..?
mapb 34
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
35
EJEMPLO 1.
Dos ángulos están en relación de 4 : 5 y su suma es 160°. Hallemos los ángulos.
Solución:
Sea x la constante de proporcionalidad
Cada elemento de la relación se multiplica por esta constante, esto es: 4 x, 5 x
Como la suma es 160°, entonces: 4 x 5x 160 . De donde:
160
9 x 160 x 17,77777 1746| 40||
9
Multiplicando a 4 x , 5 x por la constante de proporcionalidad:
4 x 4(1746| 40 || ) 68184 |160 || 7106| 40 ||
5 x 5(1746 | 40|| ) 85230 | 200 || 8853| 20||
Los ángulos son : 7106 | 40 || y 8853| 20 ||
EJEMPLO 2.
Hallemos el ángulo que es igual a la tercera parte de su suplemento.
Sea x = un ángulo. Como el otro ángulo que es el suplemento de x equivale a la tercera parte,
x
entonces: es el suplemento de x .
3
x
Como son suplementarios, entonces: x 180. Resolviendo esta ecuación lineal:
3
mapb 35
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
36
540 x 135
3x x 540 4 x 540 x 135. Luego : 45
4 3 3
Debido a que 135° y 45° son suplementarios y además, 45° es la tercera parte de 135°, entonces, 45°
es el ángulo.
EJEMPLO 3.
Solución:
Los ángulos x y 3 x son suplementarios, entonces:
2
x x 6x 7x
x 3 x 180 180 180.
2 3x 2 2 2
360 | ||
Luego : 7 x 360 x 5125 42
Hallemos el valor de los ángulos. 7
EJERCICIOS
4. Dos ángulos están en relación de 3 a 6 y su suma vale 240°. Halle los ángulos.
5x
2x 2 x
3x 3 2
6x
2x
2x + 20°
4x
3x 2x +5°
2
mapb 36
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
37
AUTOEVALUACIÓN NRO 1.
K P
Q
M R
B
mapb 37
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
38
4.
a) Exprese en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:
35,09. 90. 5634000|| . 4016794|. 180.
3
b) Halle y gráfique el ángulo que representa las 10 partes de una rotación total en
ambos sentidos.
c) Exprese los siguientes ángulos en grados: 25 y 2,9rad.
d) Exprese los siguientes ángulos en radianes: 80° y 105°.
e) Halle el valor de dos ángulos complemetarios que están en relación de 5 a 10.
f) Halle el ángulo que es igual a las 2/3 partes de su suplemento.
g) Dados:
A 90. B 4647| 23||. D 6032|
Halle :
A B. D B. 3B 4 D. ( B D) A. D( 4 A 5 D)
70°
P Q
K 20°
mapb 38
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
39
QR ?
P 3 34 Q R 2,8 K
12
P Q S T M R
53 23 13 0 1
3
2
3
Q
R
2x
M N K
4x + 10°
PKQ = ?
P PKM = ?
2x
3
M
5x + 10°
K R
Q
MKR = ?
NKR = ?
D K
R Demuestre que:
M PQ + KR MP + MR + QD + DK
mapb 39
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
40
TEOREMA 6
Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.
P
D
Hipótesis:
Sea el PQR y QM su bisectriz
M Tesis:
QM es única
Q
N
K
R
Demostración:
Tracemos DK que pase por M y N e intercepte a QP y QR en los puntos D y K. De tal forma que
QD = QK
Ahora:
PQR = PQM + MQR…(4)….suma de ángulos.
PQR = PQN + NQR…(5)….suma de ángulos.
mapb 40
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
41
PERPENDICULARIDAD
Recordemos que dos rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos
rectos(90°).
Q 1 = 2 =3 = 4 = 90°
1 PQ
2 90°
P
3 4 Las rectas de la figura no tiene las flechitas, para abreviar
el trabajo se ha obviado y se obviará la flechita() en la
gráfica como en la notación simbólica, por eso las letras P
y Q carecen de ellas…
POSTULADO: Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha
recta y sólo una.
P Las rectas M y N no son perpendiculares
y también pasan por el punto P.
En cambio, la recta PR pasa por el punto P y
Q
es perpendicular a Q. Esto es: PR Q
R N M
TEOREMA 7
Si por un punto exterior a una recta trazamos una perpendicular y varias oblicuas, se verifica
que:
1. El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta, es menor que cualquier
segmento de oblicua.
2. Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular, son iguales
3. De dos segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es
mayor el que dista más…
P
Hipótesis:
PQ AB
PF, PR y PS son oblicuas
FQ = QR y QS QR
A B
F Q R S Tesis:
1. PQ PR
2. PF = PR
3. PS PR
mapb 41
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
42
Demostración:
Doblemos la figura por AB, esto nos muestra la imagen discontinua, a demás:
PQ = QM
PR = RM
PS = SM
PF = FM
Demostración 1:
PQM es envuelta para PRM, entonces:
PQ + QM PR + RM…..por el T1. Pero: PQ = QM y PR = RM. Luego:
PQ + PQ PR + PR……………………sustituyendo QM y RM
2 PQ 2PR….sumando…. PQ PR….simplificando……...demostrado.
Demostración 2:
Doblemos la figura por PM, esto muestra que el punto F coincide con el punto R, por ser
FQ = QR. Luego: PR = PF.
Demostración 3:
PSM es envolvente para PRM, entonces:
PS + SM PR + RM…..por el T1. Pero: PS = SM y PR = RM. Luego:
PS + PS PR + PR …………………….Sustituyendo SM y RM
2 PS 2PR ….sumando……. PS PR…..simplificando………..demostrado.
PARALELISMO
D // K
D
mapb 42
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
43
TEOREMA 8
Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.
Demostración:
Supongamos que A y B no son paralelas, entonces se cortarían en un punto determinado,
digamos P. Si esto es a si, por P pasarían dos rectas perpendiculares a R; esto contradice el
postulado anterior (Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha
recta y sólo una). Luego, A y B son paralelas. A//B….demostrado.
COROLARIO 1: Por un punto exterior a una recta pasa una paralela a dicha recta
POSTULADO DE EUCLIDES
Por un punto exterior a una recta, pasa una y sola paralela a dicha recta.
N P
COROLARIO 2
Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.
M
Demostración:
P N
Supongamos que M y N no son paralelas,
entonces, se cortarían en un punto P.
Entonces por P pasarían dos rectas paralelas
Q
a Q. Esto contradice el postulado de
EUCLIDES, por ende: M//N…demostrado
Hipótesis: Tesis:
M//Q M//N
N//Q
mapb 43
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
44
COROLARIO 3
Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a ésta.
R
K P Demostración:
Si R no corta a D, entonces, R y D serían
paralelas(R//D). Esto muestra que por el
punto P pasarían dos paralelas a D, las rectas
D
K y R, esto contradice el postulado de
EUCLIDES, por ende R corta a
Hipótesis: Tesis: D…demostrado.
K//D R corta a D
R corta a K en P
COROLARIO 4
Si una recta es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda paralela a esta otra.
K
Demostración:
N Si K corta a N, también corta a M…corolario 3.
Supongamos que K no es perpendicular a M
y que se cortan en el punto P. Entonces, es
posible trazar por P la recta Q perpendicular
M
a K, luego, por P pasarían dos paralelas a N;
P las rectas Q y M, esto es imposible.
Q
Entonces: KM
Hipótesis: Tesis:
M//N KM
KN
mapb 44
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
45
TEOREMA 9
Si dos rectas distintas se intersecan, entonces, su intersección es un único punto.
Q Hipótesis:
Q y K son rectas distintas y se intersecan en el
punto X
X
K Tesis:
X es único
Demostración:
Supongamos que Q y K se intersecan en dos puntos distintos, digamos X, Y. Si esto es a si,
entonces: (X, Y) Q y (X, Y) K, esto no es posible. Por ende: X = Y. Luego: X es único
ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS RECTAS SON CORTADAS POR UNA SECANTE
M
S
2 1
3 4
POSTULADO: Toda secante forma con dos paralelas ángulos correspondientes iguales
M
mapb 45
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
46
TEOREMA 10
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.
M
Hipótesis:
2 1 S//K y M recta secante
S
3 4 3 y 6 ….alternos internos
4 y 5…..alternos internos
5 6
K
8 7 Tesis:
3 = 6
Demostración: 4 = 5
1 = 3….(1)….opuestos por el vértice.
1 = 6….(2)….correspondientes.
TEOREMA 11
Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales
M
Hipótesis:
2 1
S
S//K y M recta secante
3 4 1 y 8 ….alternos externos
2 y 7…..alternos externos
5 6
8 7 K
Tesis:
1 = 8
2 = 7
Demostración:
1 = 3….(1)….opuestos por el vértice.
3 = 8….(2)….correspondientes.
mapb 46
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
47
TEOREMA 12
Dos ángulos conjugados o colaterales internos, entre paralelas, son suplementarios.
M
Hipótesis:
2 1 S
S//K y M recta secante
3 4
3 y 5 …conjugados o colaterales internos
4 y 6…conjugados o colaterales internos
5 6 K Tesis:
8 7 3 + 5 = 180° = 2R R = 90°
4 + 6 = 180° = 2R
Demostración:
3 + 4 = 180°….(1)….por ser adyacentes .
4 = 5….(2)….alternos internos.
TEOREMA 13.
Los ángulos conjugados o colaterales externos, entre paralelas, son suplementarios.
Demuéstrelo….
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, realicemos los cálculos exigidos:
P
1 2
R
3 4 P // Q, R // K // M // N.
18
1 = 2 x y 19 = x .
19
K
16 17
a). Hallemos la amplitud de los
5 6 14 15 ángulos comprendidos entre
M
7 8 las rectas M y R.
T 13
b). Demostremos que:
9
10
11 12 11 12 13 180
N
Q
Solución:
De igual forma: 2 = 3 = 6 = 15 = 16 = 19 = x …Por: opuestos por el vértice, alternos
internos, correspondientes, alternos internos y opuestos por el vértice.
mapb 47
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
48
180
Resolviendo la ecuación: 3x 180 x 60 . De donde: 2x 2(60) 120 .
3
Luego: 1 = 4 = 5 = 14 = 17 = 18 = 120° y 2 = 3 = 6 = 15 = 16 = 19 = 60°.
b) 9 10 11 180....(1) …Ángulos consecutivos formados a un mismo lado de una recta.
Pero: P // Q , M, T y N son secantes.
9 12....(2)..... Por correspondientes.
10 13....(3)..... por alternos internos.
Reemplazando (2) y (3) en (1): 11 12 13 180 ……demostrado
EJERCICIO
Para cada figura, halle el valor de los ángulos indicados:
R N
Q
<
Q
< 3 1
< R E M
2 4
< <
< <
< 1 <
< 6 7 M 4 <
5 5 3 2 <M
Q<//M y R secante. 8 <
< H Q
3 = 30° , halle los demás <
K
< <
< < La recta EM es la bisectriz
<
< < < del QEN y K = Q
< < Q //R. Demuestre que: < Demuestre que: EM //KQ
< R 1 + 2 + 3 = 180° <
Q < < K
< <
< < <
< < <
< < <
2x< 6x < 120° <
P S M N
< K < R <
PK //RQ< y PR//QK <
<
RPK<= 2x y PKQ = 6x < <
Halle: < < A < B
PKQ,< KQR, QRP, QKS y RPK <
AB//MN.< MRK = 120°
< <
< Halle: BAK y KRN
< M < <
< K < <
< < <
Q < N < K // R, M <// N // Q // P.
< 1 2 < 15 = 2x <y 19 = 4 x .
< 6 R <
18 16 3 <
P < 9 7 < 5
19 <
8 4 a). Halle
< la amplitud de los
< <
< 14 < 17 ángulos
< comprendidos entre
11
< < las<rectas P y N.
< 12 < b). <
Demuestre que:
10
< 15
13 < 1 2 3 180
<
< < <
< < <
< < <
< < <
< < <
< < <
< < <
mapb <
48
< <
< < <
< < <
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
49
K
P // Q y K secante.
P Identifique las clases de ángulos que se
forman según los colores.
Q Ejemplo:
El color rojo al interior de las paralelas,
muestra que los ángulos son alternos internos
TEOREMA 14
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido
son iguales.
P
Hipótesis:
B AC//QR y AB//PQ
BAC y PQR tienen sus lados
paralelos y dirigidos en el mismo
Q sentido
R
Tesis:
A
K
C BAC = PQR
Demostración:
Prolonguemos PQ hasta que corte a AC, formándose el K.
Como AB//PQ, entonces: BAC = K…(1)….por ser correspondientes
Como AC//QR, entonces: K = PQR…(2)….por ser correspondientes
TEOREMA 15
Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario
son iguales.
Hipótesis:
M//Q y N//P
M
P y tienen sus lados paralelos y
dirigidos en sentido contrario
Tesis:
Q =
N
mapb 49
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
50
Demostración:
Prolonguemos los lados P y Q hasta formar el ángulo .
= …(1)…opuestos por el vértice.
= …(2)….por el teorema 14 (tener sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido)
TEOREMA 16
Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos ellos dirigidos en el mismo
sentido y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.
S
Hipótesis:
M
PM//RS, y dirigidos en el mismo
sentido
PN//QR, y dirigidos en sentido
Q
contrario
Tesis:
P N + = 180°
Demostración:
Prolonguemos QR hasta formar el
= …(1)… por el teorema 14 (tener sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido)
+ = 180°……(2)….por ser adyacentes.
TEOREMA 17
Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son iguales.
S P N Hipótesis:
QPKM 90°
D K QRMN 90
Tesis:
M
=
Q R
Demostración:
Traslademos los lados del hasta el vértice del .
Al trasladar la figura, se evidencia que:
SQQR y DQQP.
Entonces:
mapb 50
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
51
+ = 90°…..(1)….por se complementarios
+ = 90°……(2)…por ser complementarios
TEOREMA 18
Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son
suplementarios.
P
Hipótesis:
S QPTS 90°
QRTK > 90
T
Tesis:
+ = 180°
K
Q
R
Demostración:
Prolonguemos TK hasta formar el
+ = 180°…..(1)….por ser adyacentes.
= ……(2)…teorema 17 (por tener sus lados perpendiculares)
TEOREMA 19
Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales.
P T
Hipótesis:
QPTN > 90°
N
QRMN > 90
Tesis:
M =
Q R
Demostración:
Prolonguemos MN hasta formar el
K = …(1)……..teorema 17(por ser agudos y tener sus lados perpendiculares)
+ K = 2R…..(2)…. Por ser adyacentes
+ = 2R ……(3)… Por ser adyacentes
mapb 51
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
52
EJEMPLO
Solución:
M
R N 4 = Q = 45°. Por tener sus lados paralelos y dirigidos
3 2 en el mismo sentido o correspondientes.
K
1 Q = 2 = 45°. Por ser correspondientes. GD//K
P
M K
N//K y M//Q
= ?. = ? P//R//N. MD, KP, QN y FE
= ?. =?
N
K R D M
P
M
Q
50°
P
Q
K 32° =?
PQ//PR, PK//QR, N//QR y M//PQ N
= ?. = ?. =? M D =?
M//K y P//Q
DM y QN
= ?. = ?
mapb 52
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
53
N M
K 55°
K
125° Q
Q R N
NK y MQ M P//N y K//M. RN y QM P
=? = ?. =?
R N K M Q
=?
=? R
70° 3x
50° 60°
x
R // N y M // K. = ?. = ? P
Q M // N y K // R. = ?. = ?
x 5 2 x 25
K G x
N T
M 140°
M
F N
P K R
P // Q, M // N, G M, F P, K Q y T N.
= ?. = ?
G
2x 10
K
20x
3 40
Q
R M
N
P
D
P // Q // K // G, M Q y N R.
R es la bisectriz D. = ?. = ?
mapb 53
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
54
AUTOEVALUACIÓN NRO 2.
1. Dados los siguientes enunciados, escribe V(verdadero) y F(falso):
a) Por un punto exterior a una recta se pueden trazar dos paralelas a dicha recta .
b) Los ángulos cuyos lados son paralelos y dirigidos en cualquier sentido son
iguales .
c) La distancia más corta de un punto a una recta, es la oblicua trazada desde el
punto a la recta .
d) Los ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares no son iguales .
e) Por un punto exterior a una recta se pueden trazar varias perpendiculares a
dicha recta .
f) Los ángulos correspondientes entre paralelas no son iguales .
g) Los ángulos alternos internos entre paralelas no son congruentes .
E
F
Q
N
2x
2x 3
R
P
K
P//R//N. MD, KP, QN y FE
= ?. =?
D M
M
K
=?
=?
Q
N
110°
P
P//Q y K//M, DM y QN
= ?. = ?
mapb 54
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
55
TRIÁNGULO
Lado
Vértice
P Q
PQR, léase: triángulo PQR
TRIÁNGULO ISÓSCELES
Tiene dos lados iguales.
R
P Q
PR = QR. También: QPR = PQR
RQK
R Q
TRIÁNGULO ESCALENO R
Tiene sus tres lados desiguales.
P Q
PR QR PQ. También: P Q R
PQR es escaleno
mapb 55
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
56
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
Tiene sus ángulos agudos, o sea, que miden menos de 90°.
R
PRQ es acutángulo
P Q
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Tiene un ángulo recto, o sea, que mide 90°.
P
Hipotenusa
Cateto
90°
R Q
Cateto
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
Tiene un ángulo obtuso, o sea, que mide más de 90°.
P
Q
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Son aquellos que no tienen ningún ángulo recto.
M
P K
mapb 56
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
57
K N
BARICENTRO: Punto donde se cortan o
intersectan las medianas
B Q
M
h1
h3
h2
PR = RD R
R K DK = KQ K
PH = HQ Son mediatrices
H
mapb 57
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
58
EJERCICIO
Dada la figura:
M ES = Mediatriz
T
N = Mediana de TD
E KR = Bisectriz del PKD
S TQ = Altura sobre PD
N
KD = PK
R ND = MN = DM
P D
Q
Identifique:
a). Los ángulos y las líneas congruentes.
K b). Los triángulos según la medida de sus lados y
sus ángulos.
Q
M N
K R
Identifique: El número de triángulos
E formados.
S T
D P
TEOREMA 20
La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180° (dos ángulos rectos)
K M
1 2
Hipótesis:
P, Q y M son interiores del PQM
Tesis:
P + Q + M = 180° = 2R
P Q
Demostración:
Por M tracemos K //PQ, formándose los ángulos 1 y 2.
1 + 2 + M = 180°…(1)…ángulos consecutivos a un mismo lado de una recta.
Pero:
K//PQ , PM y QM son secantes, entonces:
1 = P…(2)….ángulos alternos internos
2 = Q…(3)….ángulos alternos internos
mapb 58
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
59
Demostración:
P + Q + K = 180° …(1)…..teorema 20.
Pero: K = 90°…(2) por se PQK rectángulo en K.
TEOREMA 21.
La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro rectos(360°).
P
2 Hipótesis:
Los 1, 2 y 3 son
exteriores al PQK
1 3 Tesis:
K Q 1 + 2 + 3 = 4R(360°)
Demostración:
1 + K = 2R…..adyacentes
2 + P = 2R……?
3 + Q = 2R…..?
mapb 59
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
60
Pero:
K + P + Q = 2R….(2)…..?
TEOREMA 22
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.
P
Hipótesis:
En el PQK , el es exterior,
P y K son no adyacentes al
Tesis:
K
Q
= P + K
Demostración:
K + P + Q = 2R….(1)…..?
+ Q = 2R….(2)…..?
P P| P|
Q K| Q| K| Q|
K
K Q
Superponiendo el PQK sobre el p|Q|K|:
mapb 60
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
61
CASO 1. ALA(Ángulo, Lado, Ángulo): Dos ángulos iguales y el lado adyacente a estos
iguales.
P|
P
K| Q|
K Q
K = K| y Q = Q|
KQ = K|Q| PQK = P|Q|K| . PQK P|Q|K|
CASO 2. LAL (Lado, Ángulo, Lado): Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales.
P|
P
K| Q|
K Q
K = K|
KQ = K|Q| y KP = K|P| PQK = P|Q|K| . PQK P|Q|K|
P|
P
K| Q|
K Q
QP = Q|P| , KQ = K|Q| y KP = K|P|
mapb 61
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
62
P P|
Q Q|
Q = Q| , K = K| y P = P|
QK = Q|K|, QP = Q|P| y PK = P|K|,
2. En todo triángulo, un lado es menor que las suma de los otros dos.
En el PQK:
PQ PK + KQ…..T1(envolvente y envuelta). Si al escoger una terna de números que represente
los lados de un triángulo, no se cumple está propiedad, este triángulo sería imposible de construir;
debido, a que nunca se cerraría. Es el caso del triángulo cuyos lados miden: 1, 2 y 3. Encuentre 4
ternas de números asociados a los lados de un triángulo, que imposibiliten la construcción.
Realice las gráficas.
DB = BK. D = K
BE = mediana y bisectriz
D K
E
K
En el PQK, rectángulo:
PQ = PK = QK.
mapb 62
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63
E E|
B K B| K|
E E|
BK = B|K|. K = K| . B = B|
B K B| K|
E E|
BE = B|E|. K = K| . B = B|
B K B| K|
B K B| K|
B K B| K|
mapb 63
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
64
TEOREMA 23
En todo triángulo rectángulo 30°, 60° y 90°, la medida del lado opuesto al ángulo de 30° es la
mitad de la hipotenusa.
R D Hipótesis:
60° El PQR rectángulo es 30°, 60 y 90°:
QR es la hipotenusa
K
60° Q = 30°, es agudo y PR es su lado
opuesto
60°
30°
P Q Tesis:
QR
PR 2
Demostración:
Por P tracemos la mediana PK correspondiente a la hipotenusa y completemos el rectángulo.
En el rectángulo PQDR:
PD = QR: En todo rectángulo, las diagonales son iguales
K es el punto medio donde las diagonales PD y QR se bisecan (se dividen en dos partes iguales)
Entonces:
KR = QK = PK = KD…..(1)
El PKR es isósceles, por ser: PK = KR.
Luego:
RPK = PRK = 60°….(2)
Pero:
RPK + PRK + PKR = 180°….(3)….Suma ángulos interiores triángulo.
PKR es equilátero
Luego:
PR = PK = KQ…(4) ….Por se lados de triángulos equiláteros.
Pero:
RK + KQ = QR….(5)….Suma de segmentos.
mapb 64
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65
EJEMPLO 1.
Dada la figura, realicemos el cálculo indicado.
X Solución
En el triángulo XYR:
r = 18,32
Y = 30° y R = 90° .
Como X + Y = 90°…complementarios
y=?
Entonces: X = 90° Y = 90° 30° = 60°
30°
Y R
Luego: XYR es 30°, 60° y 90°
Debido a que el triángulo XYR es 30°, 60° y 90°, por el teorema 23( el lado opuesto al ángulo de
30° es la mitad de la hipotenusa), entonces:
r 18,32 hipotenusa . y cateto opuesto a 30
y 2r 182,32 9,16 este es el cálculo exigido
EJEMPLO 2.
Solución
En el triángulo:
115° es exterior y los 80° y son no adyacentes,
80°
entonces:
115° = 80° + = 115° 80° = 35° = 35°
115°
Pero:
= ?. = ?
115° + = 180° = 180° 115° = 65° = 65°
Q
EJEMPLO 3. Solución:
En los PKD y DQR:
N K D 1 PD = DQ y KD = DR….dados.
4
3 2 R M 1= 2 …opuestos por el vértice
PKD DQR…..caso LAL.
PNMN, QMMN , KD = DR, Luego:
P PD = DQ y MN PQ PK = QR y 3 = 4. Además los PKN y QRM
Demostremos que:
son rectángulo, entonces: PKN QRM
PKD DQR
PQ biseca MN
Como el PKD DQR y el PKN QRM. O sea: PKD = DQR y el PKN = QRM
Pero:
PND = PNK + PKD PND = PNK + DQR…..(1)
QDM = DQR + QMR QDM = PKN + DQR ….(2)
mapb 65
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
66
EJEMPLO 4.
Q K
60° 30°
D
El PQR es equilátero.
y Hallemos los valores de y de y
30° 30°
2 30° 60°
4
P
R
Solución:
PQR es equilátero, entonces, todos sus ángulos interiores miden 60° cada uno, la gráfica
muestra que
2 = 4. Si esto es a si, PK es la bisectriz del ángulo P. O sea: 2 = 4 = 30°. Como el
Q = 60°, luego, = 90°, porque la suma de los ángulos internos del triángulo PQD
suman 180°. Esto nos muestra que el triángulo PQD es rectángulo y además, es 30°, 60° y
90°.
Pero en un triángulo equilátero, la bisectriz también es mediana, esto muestra que el lado
PQ
QD DR 2 .
EJERCICIOS
1. Construye:
a Un triángulo equilátero de 7cm de lado y determine la amplitud de sus
ángulos.
b Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 10m y determine la
amplitud de los ángulos de la base.
c Un triángulo obtusángulo de 13cm, 7,5cm y 8cm de lado y determine la
amplitud de sus ángulos.
d Un triángulo cuyos catetos midan 7m y 4m y determine la amplitud de sus
ángulos e hipotenusa.
mapb 66
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67
3 30°
1 P
Q 4 3x
2 x
2
4
Q P
R =?. Q =?. P =? Q
QR = QD y PR = PD. R
Demuestre que: QRP QPD
Q P
R K
K E
4 3 4
3
2 1
R D
DRPD, DRRQ , P D
1 = 2 = x/2 y P = x
El PQD es isósceles R y K son
Demuestre que: DRP QRD los puntos medios de PQ y QD:
3 =? y 4 =? Demuestre que: PE = ED, RE =
30° 65° EK y 3 = 4
R = ?. = ?
K Q
3
4
NDPQ, KRPQ , MK = MD
2 NQ = PR y RN PQ
Q 1 Demuestre que:
D
PQ biseca NR
N D
DQ//RK, DK//RQ, QD = RK DNM MKR y QNM MPR
Demuestre que: QDK QRK
M
Q
K R
M N
K R
9 23 60°
E
S T P y=?
Identifique: Los triángulos
semejantes.
D P
R
60°
El MQR es equilátero.
k Hallemos los valores de y de k
30°
Q
M
mapb 67
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68
POLÍGONO
Figura geométrica que tiene varios lados. P
N M N
D
D K
K
M
E Q
R
R
Un polígono es regular, si y sólo si todos sus lados son iguales (tienen la misma longitud)
K
K K
K
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO
Ángulo interior
M
6
5
4
Ángulo exterior
3 K
2
Q 7 1
P
8 Vértice
Lado
Ángulo exterior: 2, 4, 6 y 8
Ángulo interior: 1, 3, 5 y 7
mapb 68
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69
Los demás polígonos reciben el nombre según el número de lados que poseen.
Ejemplo: Polígono de 23 lados, polígono de 50 lados, polígono de 100 lados, etc.
mapb 69
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
70
DIAGONAL DE UN POLÍGONO
Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
M
K
En el polígono PQRKMN:
P, Q, R, K, M y N son vértices
P y R , P y K, P y M son vértices no
consecutivos
N R
PR, PK y PM son diagonales, Para trazarlas
se puede tomar cualquier vértice como punto
de partida.
P Q
Este polígono tiene 6 lados y como se puede observar desde el vértice P solo se puede trazar
3 diagonales. Si hace lo mismo desde cada vértice, se puede comprobar que solo es posible
trazar 3 diagonales.
Solución:
S 3240.
i
Pero : S 2R(n 2) 180(n 2), entonces :
i
3240 360
3240 180(n 2) 3240 180 n 360 n 20 lados
180
El icoságono es el polígono de 20 lados
Total de diagonales:
n(n 3) 20(20 3) 20(17) 340
D 170
2 2 2 2
mapb 70
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71
EJERCICIO
Complete el siguiente cuadro, haciendo uso de la información suministrada.
Valor de
Diagonales Total de Suma Valor de un
Polígono desde un diagonales ángulos un ángulo ángulo
vértice interiores exterior interior
1800°
50°
30
44
100°
CUADRILÁTEROS
Los siguientes polígonos son cuadriláteros:
mapb 71
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
72
CLASES DE CUADRILÁTEROS
P
K
Tiene los lados y los ángulos
contiguos desiguales
Q Romboide PQ QR y P Q
R
Q
R K Trapecio Solo tiene un par de lados paralelos
P
P//Q y R no es paralelo K
Q K
Tiene dos ángulos rectos
Trapecio Rectángulo PR//QK
P R
P = Q = 90°
Q
Tiene los lados no paralelos iguales
R K
Trapecio Isósceles K=R
P
No es rectángulo ni isósceles
Trapecio Escaleno
mapb 72
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73
ELEMENTOS DE UN TRAPECIO
K Base menor R
En el trapecio PQRK:
PQ = base mayor. KR = base menor
Altura KD = altura
PK = diagonal
Q P
D
Base mayor
P Q
5. Los triángulos que forman las diagonales son congruentes dos a dos
PKM QKR y PKQ MKR.
mapb 73
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
74
AUTOEVALUACIÓN NRO 3.
1. Dados los siguientes enunciados, escribe V(verdadero) y F(falso):
a) Los triángulos que tienen dos lados iguales son equiláteros .
b) Los triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual son conggruentes
.
c) El punto donde se cortan las alturas de un triángulo se llama ortocentro .
d) Los triángulos que tienen sus tres lados iguales no son congruentes .
e) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo obtuso .
f) Las diagonales de todo paralelogramo se bisecan(se dividen mutuamente en
partes iguales) .
g) El triángulo equilátero es aquel que tiene sus lados desiguales .
h) El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama cateto .
i) En triángulo se pueden trazar cuatro bisectrices .
j) En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores vale 170° .
k) Los polígonos regulares tienen sus lados iguales .
l) En todo triángulo equilátero, la altura correpondiente a cada lado es mediana,
bisectriz y mediatriz .
m) El polígono que desde un vértice se pueden trazar 7 diagonales sellama
dodecágono .
M
D NE = Mediatriz
P
T R = Mediana de MS
QT = Bisectriz del MQP
R DS = Altura sobre MP
N
MQ = PQ
E
KR = MR = KM
S
K
Identifique:
a) Los ángulos y las líneas congruentes.
b) Los triángulos según las medidas de su ángulos y sus lados.
mapb 74
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
75
4.
a) Halle el polígono cuya suma de diagonales es 90.
b) Halle el valor del ángulo exterior e interior de un icoságono.
c) Halle el polígono que desde un vértice se pueden trazar nueve diagonales.
60°
43,8
y=?
r=?
4 32
30°
R
x
3
3x x
N 50° 110°
4 2
P Q = ? = ?
P = ? Q = R = ?
M
E
R RKPN, MQPN R
PNQR.
PR = QN y KE = ME
K Demuestre que:
PRENQE
PN biseca a QR
P Q
El triángulo PQR es equilátero.
Demuestre que al trazar las alturas correspondientes
a cada lado, se forman tres triángulos isósceles.
mapb 75
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
76
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
PQ 9 X ....suma de segmento
D
PQ
X ....despejando X . Cada división equivale al cociente de PQ sobre 9
9
EJERCICIO
P
Divida cada segmento en el número de partes indicadas:
Q Dividir en 5
P
Dividir en 12 partes iguales partes iguales
R S
RS = 20m. Dividir en 7 partes iguales
RAZÓN DE SEGMENTOS
Consideremos los siguientes segmentos:
u u u u u u u u u u u
P Q K D
PQ 4u y KD 7u
Larazón entre PQ y KD es :
PQ 4u PQ 4 KD 7
. La razón entre KD y PQ es : ......Razón inversa
KD 7u KD 7 PQ 4
La razón entre dos segmentos, se expresa por medio(a través) de una división indicada
PQ PQ Antecedent e...
. Elementos de esta ( y toda ) razón
KD KD Con sec uente...
Léase : PQ es a KD
PQ
Las expresiones: PQ es a KD, PQ : PQ y
KD
Indican lo mismo: La razón entre dos segmentos o elementos
mapb 76
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
77
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Dos o más segmentos son proporcionales si y solo si sus razones son iguales.
4 8 8 16
P Q R M N K
PQ 4 1 PQ 1 MN 8 1 MN 1
.....(1). .....(2)
QR 8 2 QR 2 NK 16 2 NK 2
PQ MN
Las expresiones: PQ es a KR como MN es a NK , PQ : KR :: MN : NK y
KR NK
Indican lo mismo: La proporción entre dos razones.
OTRAS PROPIEDADES:
PQ MN PQ MN PQ MN Suma de antecedentes y consecuentes es
Sí
QR NK QR NK QR NK igual a cada antecedente y consecuente.
PQ MN PQ QR MN NK
Sí . Enúnciela…
QR NK QR NK
PQ MN PQ QR MN NK
Sí . Enúnciela…
QR NK QR NK
mapb 77
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
78
EJEMPLO 1.
x 3
Dada la proporción , hallemos los valores de x , y. Si x y 14
y 4
Solución:
x y 14
x 3 x y 3 4 14 7 14 4 56
y 8
y 4 y 4 y 4 7 7
x 14 y 14 8 6. Para cada ejemplo, identifique la
propiedad aplicada.
EJEMPLO 2.
x 7
En la proporción , determinemos los valores de x , y. Si x y 9
y 4
Solución:
x y 9
x 7 x y 74 9 3 9 4 36
y 12
y 4 y 4 y 4 7 3
x 9 y 9 12 21.
Para cada ejemplo, identifique la
propiedad aplicada.
EJEMPLO 3.
t k
Dada la proporción , hallemos los valores de t , k. Si t k 8
5 11
Solución :
tk 8
t k tk t k 8 t k 85 5
t 2 12
5 11 5 11 5 11 16 5 11 16 2
5
t 2 2
1
5 11
k 8t 8 2 52.
1
Re spuesta : 2
2 k 11 5 12
2
EJEMPLO 4.
m n k
. Si m n k 24, hallemos los valores de m, n y k
4 7 12
Solución :
m n k mnk m n k 24 m n k
De donde:
4 7 12 4 7 12 4 7 12 23 4 7 12
24 m 24 4 96
m 44. Halle : n y k
23 4 23 23 23
mapb 78
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
79
EJEMPLO 5.
EJERCICIOS
CUARTA PROPORCIONAL
Solución:
Sea X la cuarta proporcional de los segmentos 10, 12 y 8, entonces:
10 8 12(8) 96 48
X 9 53
12 X 10 10 5
mapb 79
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
80
TERCERA PROPORCIONAL
La tercera proporcional de dos segmentos P y Q es el segmento X , que hace que se cumpla la
P Q
propiedad fundamental de la proporciones. Esto es:
Q X
EJEMPLO
Hallemos la tercera proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 4 y 8.
Solución:
Sea X la tercera proporcional de los segmentos 4 y 8, entonces:
4 8 8(8) 64
X 16
8 X 4 4
MEDIA PROPORCIONAL
La media proporcional de dos segmentos P y Q es el segmento X , que hace que se cumpla la
P X 2
propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: X PQ X PQ
X Q
EJEMPLO
Hallemos la media proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 5 y 9.
Solución:
Sea X la media proporcional de los segmentos 5 y 9, entonces:
5 X 2
X 59 X 45 3 5
X 9
5 X 8(8) 64
X 16
X 9 4 4
EJEMPLO
3 6 9
Si es una serie de razones iguales, entonces:
4 8 12
369 3 6 9 18 3 6 9
4 8 12 4 8 12 24 4 8 12
Si combinamos cada razón con la suma de antecedentes y consecuentes, en todos los casos se
cumple la propiedad fundamental de la proporciones. Compruébelo…
mapb 80
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
81
EJERCICIOS
TEOREMA 24
Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos transversales, determinarán
segmentos iguales en la otra transversal.
S S|
A A| Hipótesis:
AA|// BB|// CC|//DD|
B B| S y S| son transversales
M AB = BC = CD
C C|
Tesis:
N
A|B| = B|C| = C|D|
|
D D
K
A| , léase: A prima
Demostración:
Por los puntos A, B y C tracemos segmentos paralelos a S| y que corten la paralela siguiente:
AM , BN y CK son paralelas a S|
En los ABM, BCN y CKD:
AB = BC = CD…..por hipótesis
B = C = D….Por ser ángulos correspondientes.
A = CBN = DCK…
Pero:
AM = A|B|….Por ser lados opuestos de paralelogramos.
BN = B|C|….
CK = C|D|….
mapb 81
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
82
A A|
Hipótesis:
u u| AA|// BB|// DD|
u u|
S y S| son transversales
AB y BD segmentos correspondientes de S
B u u| B| A|B| y B|D| segmentos correspondientes de S|
u|
u
Tesis:
u u|
AB A| B |
u u|
BD B | D |
D u u| D|
Demostración:
Dividamos los segmentos AB y BD en una unidad cualesquiera, digamos u.
De igual forma:
A| B | m u | …(4)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).
B | D | n u | …(5)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).
A| B | m u | A| B | m
....(6).
B| D| n u | B| D| n
mapb 82
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
83
A A|
AB A| B | DM
| | | |
BD B D DM
B B|
ó
AB BD DM
D| D | |
| | | |
AB BD DM
M| M
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos el valor de los lados desconocidos:
L1
L2
L3 L4
De la gráfica :
2,4
X= ? 4,8 X 2, 4
De donde :
4,8 4 1,9 Y
4,8 X 4.8(1,9)
1,9 X 2, 28
S 4 Y =? 4 1,9 4
T
4,8 2, 4 4 ( 2, 4 )
Y 2
4 Y 4,8
L1//L2//L3//L4. S y T transversales
TEOREMA 26
Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados, en segmentos
proporcionales.
D R F
Hipótesis:
En el PQR, KM//PQ
K M
Tesis:
RK RM
Q PK MQ
P
mapb 83
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
84
Demostración:
Por R tracemos DF//KM, entonces:
KM//PQ…(1)…por hipótesis
DF//KM…(2)…por construcción
COROLARIO
El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado
e igual a su mitad.
R
Hipótesis:
En el PQR, M y K son los
2 K
puntos medios de PR y QR
M
3 Tesis:
MK//PQ
P Q
D PQ
MK
2
Demostración:
Por K tracemos KD//PR, formándose el DKQ.
RM
1...(1).. por ser M punto medio de PR : RM MP
MP
RK
1...(2).. por ser K punto medio de RQ : RK KQ
KQ
Comparando (1) y (2) :
RM RK
.... por transitividad
MP KQ
MK // PQ.....demostrado
Entonces:
MKR = DKQ….por el caso ALA (ángulo lado ángulo)
Pero:
MK = DQ…(1)….Lados correspondientes de triángulos iguales.
MK = PD…(2)…. Lados opuestos de paralelogramos.
mapb 84
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
85
TEOREMA 27
PROPIEDAD DE LA BISECTTRIZ DE UN TRIÁNGULO: La bisectriz de un ángulo interior de un
triángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
D Hipótesis:
En el PQR:
R RK es la bisectriz del R
PK y KQ son los segmentos
1 2 determinados por RK sobre PQ
3 Tesis:
P Q PK PR
K
KQ RQ
Demostración:
Por Q tracemos QD//RK y prolonguemos PR hasta que corte QD en D, formándose el
QRD.
mapb 85
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
86
En el PQD:
PK PR
.......(1)... por ser RK // QD(T . Tales )
KQ RD
Pero :
1 D......(2).... por correspondientes
1 2......(3).... por ser RK bi sec triz del PRQ
Comparando (2) y (3) :
2 D.....(4)
Pero :
2 3.....(5).... Alternos int ernos
Comparando (4) y (5) :
3 D
QRD es isósceles , entonces :
RD RQ....(6)
Re emplazando (6) en (1) :
PK PR
KQ RQ
EJEMPLO
Los lados de un triángulo miden: 5, 10 y 15. Hallemos la longitud de los segmentos
determinados por la bisectriz sobre el lado mayor.
Solución:
Consideremos el PQR y la bisectriz sobre el lado(mayor) que mide 15.
R
De la figura:
10 5 PR = 10
PQ = 15
Q
QR = 5
P
K
15
mapb 86
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
87
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados
proporcionales.
R
R|
10 8
5 4
P Q P| Q|
14 7
En los PQR y P | Q | R | : P P | , Q Q | y R R |
10 8 14 PR QR PQ
2 | |
| | | |
5 4 7 PR QR PQ
PQR P | Q | R | Léase : Triángulo PQR semejante con el triángulo P | Q | R |
CARACTERES DE LA SEMEJANZA
1 IDÉNTICO : PQR PQR...Todo triángulo es semejante consigo mismo
| | | | | |
2 RECÍPROCO : PQR P Q R P Q R PQR...?
| | | | | |
2 TRANSITIVO : PQR P Q R y P Q R ABC PQR ABC ...?
TEOREMA 28
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA EXISTENCIA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES(T.F.E..S): Toda paralela
a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.
Hipótesis:
En el PQR: MK //PQ
M K
Tesis:
PQR MKR
Q
P D
mapb 87
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
88
Demostración:
Por K tracemos KD//PR, formándose el triángulo KQD.
Pero:
RM RK
.......(1).... por ser MK // PQ
PR RQ
Se ha demostrado que:
También :
R = R
PD RK P = M
.......(2).... por ser DK // PR
PQ RQ Q = K
Comparando (1) y (2) :
PQR MKR
RM PD RK
....(3)....transitividad
PR PQ RQ
Pero :
MK PD....(4)....lados opuestos de parale log ramos
Re emplazando (4) en (3) :
RM MK RK
PR PQ RQ
R|
P Q P| Q|
En los PQR y P | Q | R | : P P | y R R |
PR QR PQ
Luego : PQR P | Q | R | | | | | | |
PR QR PQ
mapb 88
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
89
R|
P Q P| Q|
En los PQR y P |Q | R | :
R R. PR y RQ, P | R | y R |Q| . Son lados adyacentes respectivamente
PR P | R | y RQ R |Q| . Entiéndase PR proporcional a P|R|
PR QR PQ
Luego : PQR P | Q | R | | | | | | |
PR QR PQ
R|
P Q P| Q|
En los PQR y P |Q | R | :
PR P | R | , PQ P |Q| y RQ R |Q|
PR QR PQ
Luego : PQR P | Q | R | | | | | | |
PR QR PQ
R|
M K
P Q P| Q|
Hipótesis: Tesis:
R = R |
PQR P|Q|R|
P = P|
mapb 89
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
90
Demostración:
En el PQR tracemos MR = P|R| y MK//PQ, formándose el MKR.
P = M……(1)….por correspondientes
P = P|…….(2)….por hipótesis
Pero:
PQR MKR…..(4)…..T.F.E..S.
M K
P| Q|
P Q
Hipótesis: Tesis:
R = R| PQR P|Q|R|
PR QR
| |
| |
PR QR
Demostración:
En el PQR tracemos MR = P|R| y MK//PQ, formándose el MKR.
mapb 90
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
91
Pero :
PR RQ
| |
| | .....(4).... por hipótesis
PR RQ
Comparando (3) y (4) :
RQ RQ R | Q | RQ
| | RK R |Q | RK R | Q |
RK R Q RQ
MKR P | Q | R | .....(5).....caso LAL
Pero :
PQR MKR.....(6).....T .F .E..S .
Sustituyen do (5) en (6) :
PQR P | Q | R | .....demostrado
M K
P| Q|
P Q
Hipótesis Tesis:
PQR P|Q|R|
PR QR PQ
| |
| |
| |
PR QR PQ
Demostración:
En el PQR, tracemos MR = P|R| y MK//PQ, formándose el MKR.
mapb 91
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
92
R|
P Q
P| Q|
P P |
PQR P |Q | R |
R R |
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos que se forman son
semejantes y realicemos el cálculo exigido:
M
5m 7m
P R
K
PM PR y QR PR
QK = ?
10m
mapb 92
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
93
Solución:
En la figura:
P = 90°, por ser PM PR. R = 90°, por ser QR PR. Pero: PKM = QKR , por
opuestos por el vértice. Luego: PKM QKR
R|
P Q P| Q|
P P | 90
PQR P | Q | R |
PQ P Q y PR P R
| | | |
P M Q
Solución:
En la figura:
Q = Q = 90°….común para los PQR y MQK.
PQ es proporcional a MQ, por estar contenido en PQ. De igual forma: QR es proporcional
a QK
Luego: PQR MQK
mapb 93
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
94
R|
P Q P| Q|
P P | 90
PQR P | Q | R |
QR Q R y PQ P Q ó QR Q R y PR P R
| | | | | | | |
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos son semejantes y
establezcamos la proporcionalidad entre los lados homólogos.
R
K
P Q
M
Solución:
En la figura:
P = P = 90°….común para los QPR y MQK.
PQ es proporcional a MQ, por estar contenido en PQ. De igual forma: QR es proporcional
a QK
Luego: QPR MQK
mapb 94
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
95
h1 h2
P Q P| Q|
.
h1 Altura correspondiente al . h2 Altura correspondiente al .
Las alturas h1 y h2 , dividen cada triángulo en dos triángulos rectángulo semejantes entre sí, y
semejantes a los triángulos rectángulos del otro triángulo. Estableciendo la proporcionalidad
entre los lados homólogos:
PR QR PQ h
| |
| | | | 1
PR QR PQ h2
EJEMPLO 1.
Dados los siguientes triángulos semejantes y sus respectivas alturas, hallemos el valor del
dato pedido:
5,6
h2 = ?
10cm 6cm
Solución
De la gráfica :
10cm 5,6cm 6cm 5,6cm
h2 3,36cm
6cm h2 10cm
La semejanza de triángulos, es muy útil para determinar las dimensiones de un elemento grande a
partir de otro más pequeño, siempre y cuando, al unir los vértices del elemento pequeño(triángulo)
con los puntos extremos (muestran lo que se quiere medir) del elemento grande, se formen dos
triángulos semejantes entre sí.
mapb 95
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
96
EJEMPLO 2. APLICACIÓN
Un vagabundo que desea medir la distancia de una estrella a la tierra, se ubica en un punto extremo
del planeta. Hace coincidir un triángulo rectángulo de dimensiones 5cm, 12cm y 13cm con la estrella
y el centro de la tierra.
Grafique la situación presentada.
Halle la distancia aproximada de la estrella a la tierra.
Ayuda: Diámetro de la tierra = 12756Km.
Gráfic
SOLUCIÓN
a h
Observando el triángulo rectángulo que se
forma al unir la estrella con el centro de la
tierra y el punto donde está ubicado el Posición del 13cm
vagabundo 12cm
vagabundo, y el triángulo rectángulo utilizado
por éste para mirar la estrella, notamos que r
5cm Diámetro =
tienen dos ángulos iguales, siendo los mismos 12756Km
semejantes, entonces estableciendo la
proporcionalidad entre los lados homólogos:
5cm 12cm 12756km
. Pero : 5cm 0,00005km. 12cm 0,00012km. r 6378km
r h 2
0,00005km 0,00012km 6378km 0,00012km 0,76535km
h 15307,2km
6378km h 0,00005km 0,00005
mapb 96
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
97
R
EJERCICIO
D
Para cada figura, realice la demostración y el cálculo exigido: K
N
P M Q
K
PQ // DK y MD // QR.
R
P Demuestre que PMD DKR y
Q establezca la proporcionalidad entre
PR // QN. QN = 12cm. PR = 5cm los lado homólogos K
PK = 7cm.
Demuestre que KQN PKR
Halle el valor de KN
R
P Q
M
M
Q PR // MK. MQ = 50cm. KQ = 21cm
MP = 23cm. KR = ?
P
N
K
QR // KM. Q K P
R
Demuestre que PQR KPM
y esablezca la proporcionalidad R KQ // NR. KR = 30cm. RP = 23cm
entre los lados homólogos NR = 10cm. KQ = ?
Q
K
16cm
4cm
P Q
N 20cm N
P
R
QR // NK. PN = ?
QR PR y PK PR
QR = 30cm. KP = 11cm. NP = 14cm.K
RN = ?
PROBLEMAS
mapb 97
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
98
AUTOEVALUACIÓN NRO 4
PQ PQR MKR .
A B S // K .
MKN DKR M S // Q .
ABC PQR .
mQ .
K P
Q
M R
B
mapb 98
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
99
3.
a) Halle la cuarta proporcional de los números: 0,7; 3,14 y 2,71
b) Halle la tercera proporcional de los números: 4 12 y 9
c) Halle la media prporcional de los números:
2 y 2 2. 1,73 y 1,41. 0,866 y 2.
31 5
d) Verifique si la siguiente pareja de razones forman una proprción: 3 ,
4 1 12
e) Los lados de un triángulo miden: 8m, 14m y 20m. Halle los segmentos
determinados por la bisectriz de cada ángulo sobre su lado opuesto
f) Los lados de un triángulo miden: 10cm, 7cm y 12cm. Halle la altura
correspondiente a cada lado.
L4 R
4,6 4
L3
K 8,76 S
9,2 X=?
L2
Y=? 5 Q
P
L1 RK = PK. RS = SQ
L1//L2//L3//L4 PQ = ?
K
R
E D
N
N
M KM//RN. Demuestre que: KMEREN
12,6cm
P Q
30,8cm K 19,9m
PKNPQD. QD = ?
L4 N
7 6,5
L3 P R
K
7 X=?
L2
7 Y=?
Q
L1
L1//L2//L3//L4 PQ//NR
PK = 20cm. KN = 5cm.
QK = 10cm. KR = ?
PROBLEMA
Desde un punto situado a 50m del pie de una montaña, un observador a línea los bordes de
una escuadra de dimensiones 30cm, 17cm y 35cm, con la cima de la montaña. Halle la
altura aproximada de la montaña.
mapb 99
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
100
T G| F
| |
K D| M R| Q| N| A|, B|
K | proyección de K sobre TF . G
Para cada triángulo, proyectemos dos de sus lados sobre el tercero. En este caso, sobre los
lados PQ y MN, respectivamente.
R K
P R| M N
Q K|
N B
D
K
Sobre KD F M Q
Sobre MQ
R G
Sobre FG
mapb 100
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
101
TEOREMA 32
Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenussa, se verifica
que:
R
Hipótesis
K
En el PQR, PK es la altura correspondiente
a la hipotenusa
P Q
Tesis:
QR PR QR PQ
1. . 4. y
PR KR PQ KQ
RK PK ( PR) 2 KR
2. . 5.
PK KQ ( PQ) 2 KQ
RQ PQ
3. .
PR PK
DEMOSTRACIONES:
1. En los
.
. Entonces: ….(1)…tener un ángulo agudo igual.
En los
.
. Entoces: ….(2)…tener un ángulo agudo igual.
mapb 101
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
102
5. De la demostración 4:
PR2 QR KR....(a) . Multiplicando en cruz:
QR PR
PR KR
PQ2 QR KQ....(b) . Multiplicando en cruz:
QR PQ
PQ KQ
R H Tesis:
q
r 2 q2 h2
Demostración:
En el triángulo rectángulo, tracemos la altura correspondiente a la hipotenusa,
formándose los triángulos rectángulos . Como cada cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella, por el teorema anterior:
r h r q
h 2 r QK .....(1). q 2 r HK .....(2)
h QK q HK
Sumando miembro a miembro:
h 2 q 2 r QK r HK
h2 q 2 r QK HK ....(3)..... factorizan do r.
Pero: r QK HK....(4)
mapb 102
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
103
EJEMPLO 1.
Dado el siguiente triángulo, hallemos el valor del lado desconocido:
Solución:
El triángulo que muestra la figura es rectángulo, y
en este caso se desconoce el valor de un cateto.
40
20
Ojooo
Siempre se parte de
Entonces, aplicando Pitágoras: la hipotenusa
(40) 2 (20) 2 x 2 x?
x (40) (20) ….Despejando x .
2 2 2 2
De donde: x (40) 2 (20) 2 ….Despejando x .
x 1600 400 1200 34,64 ….Desarrollando potencias, restando y extrayendo raíz.
EJEMPLO 2.
Hallemos la llongitud de los lados del siguiente triángulo:
2x Solución:
x 1 Como se puede observar, las longitudes de
los lados de este triángulo vienen expresadas
por la variable x .
x3
mapb 103
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
104
EJEMPLO 3.
Demostremos que la diagonal de un ortoedro de dimensiones a b h , viene dada por la
expresión: d 2 a 2 b 2 h 2 .
Demostración: d a2 b2 h2
K
En el ortoedro de la figura, al trazar la
Arista diagonal d , se debe trazar la diagonal r
h d h de la base, porque para determinar la
Q longitud diagonal, primero hay que
r calcular la diagonal de la base.
b
b Las caras de un ortoedro son rectángulos
R a P
r a2 b2
En el triángulo rectángulo :
r Hipotenusa. a y b Catetos. Aplicando Pitágoras:
r 2 a2 b2 r a2 b2
d 2 a2 b2 h2 d a 2 b 2 h 2 …..demostrado
EJECICIO
Para cada figura, halle el valor de los lados desconocido.
8cm 8x 1 r=?
17
m
30°
n=?
60° d =?
25m
n=? 40cm
d=?
10cm
30cm
k=?
mapb 104
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
105
r=?
6cm
8cm
Q 10m
y De la figura:
r x = 11, y = 6. h=?
r = 10, p = 6. x=?
x h p r = 15, q = 10. y=?
p = 4, q = 6, x = 4,5. y = ?
P R
q
Q
Tesis:
B
y K x b 2 q 2 r 2 2ry
r
mapb 105
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
106
En el rectángulo: En el rectángulo:
q (r x) h 2 ….(1)….Pitágoras.
2 2
h b 2 x 2 ….(2)….Pitágoras.
2
En el BQR, h es la altura
correspondiente al lado r. La altura
q b h divide al BQR en dos
h triángulos rectángulos: BKR
y QKR
B Q
y K x
r
En el :
q2 r 2 b2
b 2 q 2 r 2 2ry y …..(1)…..Despejando y .
2r
En el rectángulo: h 2 q 2 y 2 …..(2)…..Pitágoras.
Sustituyendo (1) en (2):
2
q2 r 2 b2 q 2 r 2 b 2 q2 r 2 b2
h q
2 2
q q ….Factorizando.
2r 2r 2r
2qr q 2 r 2 b 2 2qr q 2 r 2 b 2
h 2 …..Sumando racionales.
2r 2r
(q 2 2qr r 2 ) b 2 b 2 (q 2 2qr r 2 )
h 2 …Agrupando los trinomios cuadrados
2 r 2 r
perfectos.
mapb 106
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
107
(q r ) 2 b 2 b 2 (q r ) 2
h 2 ……Factorizando los trinomios.
2 r 2 r
( q r b )( q r b )(b q r )( b q r)
h2 2
…….(3)……..Factorizando la diferencia de
4r
cuadrados perfectos.
Pero:
b q r 2 p ….(4)…..Semiperímetro. q r 2 p b ….(5). b q 2 p r ….(6)
b r 2 p q ….(7)
EJEMPLO
Dado el siguiente triángulo, hallemos la altura con respecto al lado mayor:
R
r
k = 14cm
5cm = d
h
D
K r = 12cm Altura con respecto a k
Solución:
mapb 107
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
108
EJERCICIO
Para cada triángulo, halle la altura correspondiente a cada lado.
18m
8m 13cm 7cm
14m
17cm
15m
9m
12m
mapb 108
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
109
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
DEFINICIÓN
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan(están a l misma
distancia) todos de otro punto llamado centro.
mapb 109
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
110
D N
S
En la circunferencia de la derecha:
RET ARCO: Porción(parte) de la circunferencia.
RT CUERDA: Segmento que une dos puntos de la…
OT RADIO: Segmento que une el centro de la circunferencia y un punto de la misma.
PQ DIÁMETRO: Cuerda que divide la circunferencia en dos partes iguales
Cada parte se llama semicircunferencia
El diámetro es igual a dos radios: PQ = r + r = 2r
DN SECANTE: Recta que toca la circunferencia en dos puntos.
S TANGENTE: Recta que toca la circunferencia en un solo punto.
SEMICIRCUNFERENCIA: Cada una de las dos partes en que se divide una circunferencia.
Q
D OPKQ Semicircunferencia
K O
OPDQ Semicircunferencia
OPKQ + OPDQ = O
mapb 110
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
111
d = Diámetro. r = Radio. S = Arco.
r S = Ángulo central (en radianes).
P = L = Perímetro o longitud de la circunferencia.
d
d d=2r r . S r. P L 2 r d .
2
= 3,141592654…
EJEMPLO
Calculemos el radio, el ángulo central y el perímetro de la siguiente circunferencia:
Solución:
r 50m d = 80m. S = 50m. r = ?. =?
P = L?.
d 80m
80m r 40m.
2 2
S 50m
S r 1,25rad .
r 40m
180
1,25rad 71,61
3.1416
P L 2 r d 3.1416(80m) 251.328m
EJERCICIO
Para cada circunferencia, calcule el valor de los elementos desconocidos:
2
500cm 3
2
5 5cm 25.9m
9
mapb 111
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
112
CÍRCULO
Las siguientes figuras son círculos:
DEFINICIÓN
Un círculo es el conjunto formado por todos los puntos de la circunferencia que lo
circunda(rodea) y por los puntos interiores a los mismos.
FIGURAS EN EL CÍRCULO
SECTOR CIRCULAR: Parte de un círculo limitada por dos radios y el arco que forman.
SEGMENTO CIRCULAR: Porción de círculo limitado por una cuerda y su arco.
CORONA CIRCULAR: Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas.
TRAPECIO CIRCULAR: Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas y dos.
radios
mapb 112
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
113
P
En la circunferencia “O” el vértice del POR está en
el centro de la circunferencia. Cuando esto sucede, se
dice que el ángulo es central.
O POR, es central. El arco correspondiente a éste
ángulo es el limitado por sus lados: OP y OR
El arco OPR ó ORP es correspondiente al POR
P M
O O|
Q N
O O||
T N
En O y O||:
HOT > DO||N, entonces: OHT > O||DN
mapb 113
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
114
TEOREMA 36
El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.
M
Hipótesis:
En la circunferencia O:
PQ = cuerda, que es el diámetro
P Q
O MK = cuerda, que noes el diámetro
Tesis:
PQ > MK
Demostración:
Unamos M, K y O, formándose el MKO.
En el MKO:
MO + KO > MK……(1)….teorema de la envolvente y la envuelta
Pero:
MO = KO…..(2)…..por ser radios de O
MO = PO y KO = QO…..(3)…..por ser radios
Pero:
PO + QO = PQ….(5)….suma de segmentos
TEOREMA 37
Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos subtendidos en partes
iguales.
P
Hipótesis:
En la circunferencia O:
PQ = diámetro
MN = cuerda
O PQ MN
1 2
Tesis:
M K
N MK = KN
y > Q
mapb 114
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
115
Demostración:
Unamos M, N y O, formándose el MON
De igual forma:
OPNQ = OPMQ…..(1)….por ser PQ diámetro
OPM + OMQ = OPN + ONQ….(2)…..suma de arcos y PQ diámetros
Pero: OMQ = ONQ…(3)…demostrado.
TEOREMA 38
RELACIONES ENTRE LAS CUERDAS Y LOS ARCOS CORRESPONDIENTES.
En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a arcos iguales correponden
cuerdas iguales y a arcos desiguales corresponden cuerdas desiguales.
Hipótesis:
En la circunferencia O:
OMK = OPQ
MK y PQ , son cuerdas correspondientes
1 O
2
M Q Tesis:
MK = PQ
P
Demostración:
En la circunferencia O, unamos M, K, P y Q con O, formándose los MOK y POQ
mapb 115
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
116
Pero:
OMK = OPQ …..por hipótesis, entonces:
1 = 2….por ser centrales y oponerse a arcos iguales
MOK = POQ ….caso LAL
Por ende:
MK = PQ ….demostrado…lados homólogos de triángulos iguales.
Q
Hipótesis:
En la circunferencia O:
OPQ > OMK y ambos menores que una
circunferencia
O MK y PQ , son cuerdas correspondientes
P Tesis:
K PQ > MK
Demostración:
En la circunferencia O, unamos M, K, P y Q con O, formándose los POQ y MOK
Pero:
OPQ > OMK….por hipótesis
POQ > MOK
Por ende:
PQ > MK….demostrado.
mapb 116
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
117
P
EJEMPLO
Dos puntos distan 4cm y 8cm del centro de una circunferencia de 10cm de diámetro.
Hallemos la distancia de cada punto a la circunferencia.
K Para el punto Q:
Q OQ = 4cm. OK = r = 5cm.
QK = ? distancia de Q a O
4cm QK = r OQ = 5cm 4cm = 1cm
5cm O 5cm
Para el punto P:
PO = 8cm. NO = r = 5cm. PN = ? distancia de P a O
PN = PO r = 8cm 5cm = 3cm
P
mapb 117
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
118
R
O
O|
O y O| son exteriores
O R M K r
O|
d
d = Distancia que
separa los centros
OO| = d = R + r + MK d > R + r
Esto muestra, que si la distancia que separa los centros de dos
circunferencias es mayor que la suma de sus radios, las mismas
son exteriores.
R
O |
r O y O| son tangentes
O exteriormente
OO| = d = R + r d=R+r
Esto muestra, que si la distancia que
separa los centros de dos
R r circunferencias es igual a la suma de
O O
|
sus radios, las mismas son tangentes
d exteriormente
mapb 118
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
119
R
O O| r
O
r
O| d
d+r =R d=Rr
Si dos circunferencias se cortan y además, la distancia que
separan sus centros, se halla estableciendo una diferencia entre
sus radios, las misma son tangentes interiormente.
O y O| son secantes
M
O
R r
O|
|
O O
d
K
OO| = d < R + r
Si la suma de los radios de dos circunferencias es
mayor que la distancia que separa sus centros, las
circunferencias son secantes
mapb 119
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
120
CIRCUNFERECIAS INTERIORES: Todos los puntos de una de ella, son interiores de la otra.
O y O| son interiores: Todos los puntos de O| son puntos interiores de O
R
R
O r O|
x y
r O
O|
d
R = x + r + r + y. Pero: d = x + r R = d + r +y
Luego: d = R r y d < R r
Si en dos circunferencias la distancia que une sus centros es
menor que la diferencia de sus radios, las mismas son interiores
O
O
||
Las circunferencias O y O|| son excéntricas
mapb 120
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
121
A
B 2
A
B
En la figura 2: La lúnula esférica o huso esférico es la región demarcada con las líneas
gruesas y
las líneas negras finas, muestran los dos círculos. Además, estas circunferencias máximas
definen otros tres husos, y se intersecan en dos puntos polares opuestos, como en el caso de
los polos Norte y Sur geométricos.
HUSO ESFÉRICO: Parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se
cortan en el diámetro de la misma.
mapb 121
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
122
TEOREMA 39
Los arcos de una circunferencia conprendidos entre paralelas , son iguales.
D
P Q
Hipótesis:
K N En O:
PQ // KN
O
Tesis:
OKP = ONQ
M
Demostración:
En O, tracemos el diámetro MD. Entonces:
MD PQ y MD KN…..todo diámetro es perpendicular a una cuerda.
Pero:
OKP + OPD = OKD OKP = OKD OPD…(4)
OQN + OQD = OND OQN = OND OQD…(5)
EJERCICIOS
1.
O Si PQ = QK = KN
P Demuestre que:
POK = QON
N
Q
K
mapb 122
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
123
17
O6
2O
8
14
O5
O1
O4
O3
10 12
20
P Q
O
4. Si PK // MQ y O es el punto medio de
PQ
Demuestre que PK = MQ
mapb 123
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
124
5.
Q
DQ = DP
O Demuestre que:
K N
D OQN = OPN
6. Q
1 2
P K
PQ = QK
O 1 = 2.
Demuestre que:
PQK = PKO
mapb 124
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
125
r
5 r
P Q
O O1
r
N
O M O1
N
O y O1 son iguales
P
En las circunferencias O y O1 :
El POM es central y OPM su arco correspondiente.
El QOM es central y OQM su arco correspondiente
El MO1N es central y O1MN su arco correspondiente
QOM OQM QOM OQM
En O : . En O y O1 :
POM OPM MO1 N O1 MN
mapb 125
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
126
Q PQK es inscrito
K
OPK
PQK . De igual forma : OPK 2PQK
2
P
EJEMPLO
En la circunferencia O1, el arco O1MN mide 100°, hallemos la medida del ángulo inscrito.
Solución :
100°
O1 MN 100
O1
O1 MN 100
50°
MKN 50
2 2
N
K
mapb 126
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
127
Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos, o sea que
miden 90°.
En la semicircunferencia OKMQP:
El arco OPK es común para los ángulos
PQK y PMK, que son inscritos…
Q
M Pero: OPK = 180° por ser OKMPQ
semicircunferencia, entonces:
OPK 180
PQK 90....(1)
2 2
OPK 180
PMK 90....(2)
P K
2 2
O
PQK PMK 90, son rectos
ÁNGULO SEMI – INSCRITO: Tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una
tangente y el otro una secante.
En la circunferencia O:
P
PQ es secante y QK es tangente, y además son los
lados del ángulo PQK , luego el PQK es semi-
inscrito
O La medida del ángulo sem-inscrito es igual a la
mitad del arco comprendido entre sus lados.
OPQ
PQK . De igual forma : OPQ 2PQK
2
Q K
mapb 127
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
128
EJEMPLO
En la circunferencia O, el PQK es semi-inscrito, hallemos la medida de éste ángulo.
En la circunferencia O:
PQ es secante y diámetro. QK es tangente.
PQK es semi-inscrito, entonces:
P Q
O OPQ 180
PQK 90 esto muestra, que toda
2 2
tangente es perpendicular al diámetro
Q El PQM es inscrito
El MQK es adyacente al PQM
Entonces:
MQK es ex - inscrito
O
La medida de un ángulo ex – inscrito es igual a la
P semisuma de los arcos que tienen su origen en el
vértice y sus extremos en uno de los lados y en la
prolongación del otro
M OQM OQP
MQK
2
N PKM
PKQ
Q MKN Son interiores
QKN
M
K O
La medida de un ángulo interior es igual a la
semisuma de los arcos de sus lados y la
prolongación de los mismos
OPQ OMN
PKQ MKN
2
P
PKM QKN
mapb 128
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
129
K
QPK es exterior
N
La medida de un ángulo exterior es igual a
P O la semi-diferencia de las medidas de los
M arcos comprendidos por sus lados
OKQ OMN
Q QPK
2
EJEMPLO
En la circunferencia O, PKQ = 30° y OMN = 50°. Hallemos la mediada de OPQ.
Solución :
Q PKQ.....es exterior a la circunfere ncia O,
N entonces :
O 30° K OPQ OMN
50° PKQ
2
M
OPQ 50
30 OPQ 60 50 110
P
2
EJERCICIOS
1. Dada la siguiente figura, clasisfique los ángulos en: central, inscrito, semi-inscrito,
interior, exterior, exinscrito, y además idetifique sus arcos.
N
K
O
P
mapb 129
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
130
O 40°
M
M
R
K
P
Q
N
K
P
N P
P
K PKQ = 39°
O Q OPQ = ?
M
Q M
O P
QOM = 120°
POM = ? OQM = ?
OMQ = ? OPM = ?
OMQ = ?
Q
QNM = 36° y > PKN = ? y NQP = ?
mapb 130
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
131
M
R Hipótesis:
PR y QM soncuerdas que se se cortan en K
MK y KQ segmentos correspondientes de MQ
K PK y KR segmentos correspondientes de PR
O
Tesis:
P PK KR MK KQ
Demostración:
Unamos M con R y Pcon Q, formándose los triángulos PKQ y MKR
EJEMPLO 1.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
M
10 R
4 Por el teorema 40 :
8
K QK KR MK KP
O P MK KP 10 8
QK 20
KR 4
Q
QK = ?
mapb 131
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
132
EJEMPLO 2.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor de los datos desconocidos:
Por el teorema 40 :
PK KQ MK KR PK KQ 6 4
O
Q PK KQ 24....(1)
K Pero : PK KQ PQ 14 KQ 14 PK ...(2)
M
P Sustituyendo ( 2) en (1) :
2
MK = 4 , KR = 6 y PQ = 14 PK (14 PK ) 24 14 PK ( PK ) 24
PK = ? y KQ = ? 2
( PK ) 14 PK 24 0
Aunque PK puede tomar dos valores positivos: 12 y 2; si analizamos la figura, sólo para PK = 12,
hay una correspondencia entre la longitud del tramo y el número asignado.
Cuando los valores tienen diferente signo, se toma el valor positivo.
Hipótesis:
R
En O:
M Q es exterior
Q QR y PQ secantes que pasan por Q
MQ y QK segmentos exteriores de QR y PQ
respectivamente
O K
Tesis:
QR MQ PQ KQ
mapb 132
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
133
Demostración:
Unamos P y M y R y K , formándose los triángulos PMQ y QKR.
EJEMPLO 1.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
Solución:
PQ = PK + KQ = 6 + 5 = 11
R
M 4
Q Por el teorema 41:
QR MQ PQ KQ
5 Re emplazando :
K 55
6 4QR 11 5 QR
4
P
Pero :
QR MR MQ MR QR MQ
KQ = 5. MQ = 4. PK = 6
PQ = ?. MR = ? 55 55 16 39
MR 4 9 3 9,75
4 4 4 4
EJEMPLO 2.
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
Solución:
QR MQ MR 10 15 25
R
15 Por el teorema 41 :
M QR MQ QK QP.....(1)
10
Pero : QK KP. QR 25 y MQ 10
Q
K P PQ QK KP QK QK 2QK
Re emplazando estos valores en (1) :
KQ = KP. MQ = 10. MR = 15 2 250
QR= ?. PK = ? 25(10) QK ( 2QK ) (QK ) 125
2
Q K 125 5 5 PK
mapb 133
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
134
Hipótesis:
K
En la circunferencia O:
QP es secante
QK es tangente
O
Tesis:
QP QK
QK QM
Q P
M
Demostración:
Unamos K con P y con M, formándose los triángulos PKQ y QMK
En los PKQ y QMK:
Q = Q……común
P = QKM…inscrito y semi-inscrito en el mismo arco
PKQ QMK…..además son rectángulos
Establecie ndo la proporcionalidad entre sus lados hom ó log os :
Qp QK
.....demostrado
QK QM
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:
Solución :
PQ PM MQ 12 10 22
Por el teorema 42 :
12 10 QP QK 22 QK
P Q
M QK QM QK 10
2
(QK ) 220 QK 220 14,83
QK y PQ tangente y secante
PM = 12 y MQ = 10
QK = ?
mapb 134
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
135
P K Q
PQ PK
Decimos que el segmento PQ está dividido aureamente, si se cumple que: PK KQ
O sea: El tramo de la división mayor es media proporcional entre la longitud del segmento y
la división menor.
La división áurea es considerada, como la más precisa división proporcional que se puede hacer
de un segmento.
l PQ l
x lx PK x
KQ l x
P K Q
EJEMPLO 1.
Hallemos la división áurea de un segmento de 10m y el porcentaje que representa.
Solución :
l 10m. x? % que representa ?
x 0,618 l 0,618(10m) 6,18m
Porcentaje que representa :
10m 100% 6,18m 100%
j 61,8%
6,18m j 10m
mapb 135
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
136
EJEMPLO 2.
Hallemos el segmento cuyo segmento áureo vale 9cm.
Solución :
x 9cm l ?
x 9cm
x 0,618 l l 14,56cm
0,618 0,618
EJEMPLO 3.
Dada la siguente figura, hallemos el segmento áureo del segmento tangente
R
PQ tan gente
PR sec ante
14
PQ ?
M x ? división áurea de PQ
10
P Q
EJERCICIO
Para cada figura, halle el valor de los datos desconocidos:
M Q
N
N K M
Q
P
KN = 6. QK = 9. PM = 12 PK = 20. KQ = 6. NK = 14
PK = ?. KM = ? KM = ?.
mapb 136
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
137
M
P
13 PK = ?
M
15
K
Q
N
K
PN = 14 Q
PK = 18
MN = ? Además, halle el x+2
segmento áureo de la
tangente. K x+6
P
M x
N
P
4
K PN = ?
9
NQ = ?
x+4 MK = ?
KQ= ?
N M
7
P
PN = ? Q
Q 15
K
PN = QN
6,5
PN = ?
M
16cm N
P Q
Halle el segmento áureo y el
porcentaje que representa.
0,618
P 20cm
M K N
P K Q
MK = x = 0,618, división áurea.
MN = ? KQ = x = 20cm, división áurea.
PQ = ?
mapb 137
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
138
SUPERFICIE
Se entiende por superficie, la parte exterior de un cuerpo o figura geométrica. También suele
considerarse como el contorno que delimita el espacio interior del exterior de un cuerpo o
figura geométrica. Hay superficies: Cuadradas, rectangulares, circulares, triangulares, etc.
Veamos:
PERÍMETRO
El perímetro es la medida (longitud) del contorno de una figura o cuerpo geométrico.
El perímetro se halla, sumando todos los lados que posee una figura geométrica.
P=kxyz
k P perímetro
y
EJEMPLO
Para cada figura, hallemmos el perímetro.
5cm
14cm 15m 2x 2
4x 1
19cm 5x 4
9cm
Fig. a Fig. b
11,18cm
Solución:
Suma vertical
Para la figura a :
Sea P = perímetro, entonces: 5x 4
P 5cm 15cm 19cm 11,18cm 9cm 14cm 73,18cm 4x 1
2x 2
Para la figura b :
Sea P = perímetro, entonces: 11x 1
P 4x 1 5x 4 2x 2 11x 1
mapb 138
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
139
EJERCICIO
Para cada figura, halle el perímetro:
5m 8,705cm
11,18m
5m 11m 6,956cm
11,25cm
10m 3,45cm
3,98cm
5, 56m
3x 4
x1
2x 2
10, 64m
ÁREA
El área es la medida de la superficie de una figura geométrica. También puede considerarse el
área, como la región delimitada (comprendida) por líneas poligonales.
A A
A
A
mapb 139
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
140
EJEMPLO
Para cada figura, realicemos el cálculo exigido.
18m 2
15,24m 2 x 2 3x 11 A1 ?
AT =?
Fig. a AT 2 x 2 3x 14 Fig. b
Solución:
Para la figura a :
A1 18m 2 y A2 15,24m 2
AT A1 A2 18m 2 15,24m 2 33,24m 2 A cada término del sustraendo
se le cambia el signo y se suma
Para la figura b : común y corriente.
AT 2 x 2 3x 14 y A2 x 2 3x 11 Sustracción vertical
AT A1 A2 A1 AT A2 2 x 3x 14 ( x 3x 11)
2 2 2 x 2 3x 14
A1 2 x 2 3x 14 x 2 3x 11 x 2 3 x 2 3x 1
x2 3
EJERCICIO
Para cada figura, halle el área exigida:
15m 2 38,4 cm 2 44 cm 2
8m 2 35 cm 2
AT = ?
AT = ?
A1 =?
A2 = ?
25,8m 2
43,88m 2 A1 =?
54 cm 2
AT =43,4 m 2
AT =79,56m 2
AT =135cm 2
x2 4
x 2 xy 1 A2 ?
2 x 3x
2
3x x 4
2
A x 2 4 xy 2
AT ? T
mapb 140
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
141
b Base
h Altura
h A = bh. Base por altura
EJEMPLO 1.
Solución:
A ?. P?
b 5,64cm. h 8cm
A bh 5,64cm8cm 45,12cm 2 .
P 2b 2h 25,64cm 28cm 11,28cm 16cm 27,28cm
EJEMPLO 2.
La siguiente figura muestra las dimensiones de un salón múltiple de un colegio.
Hallemos:
a) El área de la salón múltiple
b) Si se desea embaldosar el salón con baldosas de dimensiones:
51,5cm x 51,5cm, ¿cuántas bladosas aproximadamente se
necesitan?
6m c) Si cada baldosa tiene un costo de $120,86. ¿Cuánto dinero se
15m necesita par embaldosar el salón?
d) Un vagabundo que desee dar cuatro vueltas y media al salón,
¿cuántos metros recorre?
Solución:
a) Como el salón tiene forma rectangular, el área se calcula multiplicando la base (15m) por
la altura (6m)
A1 bh 15m(6m) 90m 2 900000cm 2 este es el área del salón
mapb 141
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
142
Para hallar la cantidad de baldosas que se necesitan para embaldosar el salón, aplpicamos una
regla de tres simple directa entre el área A1 (salón) y A2 (una sóla baldosa)
A1 90m 2 900000cm 2 1 m 2 10000cm 2
Baldosa cm 2
1 900000
1 2652,25 De donde : x 339,33 340 baldosas que se necesi tan
2652,25
x 900000
c) Como cada baldosa cuesta $120,86. Para comprar las 340 baldosas se necesita:
340(120,86) $41092,4 $42000
d) Para determinar los metros que recorre el vagabundo al dar 4 vueltas y ½ al ssalón,
primero calculamos el perímetro del salón:
P 15m 6m 15m 6m 42m dis tan cia que recorre en una sola vuelta
En media vuelta recorre : 21m
En las 4 vueltas y 1 / 2 recorre :
4(42m) 21m 189m
EJERCICIOS
1. Halle el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5m y 3m de lado.
2. El lado mayor de un rectángulo mide 14,68cm. Si el lado menor mide la mitad del mayor,
halle el área y el perímetro.
3. El lado mayor de un rectángulo excede al menor en 5m. Si el menor mide 8m, halle el
área y el perímetro.
4. El lado menor de un rectángulo mide 2,04cm. Si el mayor es tres veces el menor, halle el
área y el perímetro.
5. Identifica los escenarios deportivos de tú ciudad que tienen forma rectángular, mide las
dimensiones, calcule el área y el perímetro.
6. Las dimensiones del piso de un coliseo miden 30,5m y 18,5m.
a) Halle el área del piso del coliseo.
b) ¿Cuántas baldosas de dimensión 49,35cm x 49,35cm se necesitan para cubrirlo?
c) Si un metro de baldosa trae 5 baldosas, ¿cuántos metros se necesitan?
d) Si cada metro de baldosa cuesta $30000, ¿cuánto dinero se necesita?
e) Una persona que desee recorrer 4Km alrededor de la pista del coliseo, ¿cuántas
vueltas debe dar?
7. Halle el área total de la parte sombreada(pintada):
4m
7, 4m
mapb 142
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
143
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO
A bh
A A
b h
h b
h
El área de un paralelogramo es
igual al producto de la base por
b la altura.
EJEMPLO
El área de un paralelogramo mide 100m 2. Si la altura mide 12m, halle la base.
Solución:
A 100m 2 . h 12m
b?
A 100m 2
b 8,33m. La base mide 8,33m
h 12m
EJERCCIOS
1
bh 1
2 r 1 h r bh h
bh 2
2
H H
b R b R
1 bh
A bh
La diagonal BH divide el rectángulo en dos triángulos 2 2
iguales, por eso, el área de un triángulo es la mitad del
área de un rectángulo.
El área de todo triángulo es la mitad del área del rectángulo que lo contiene.
mapb 143
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
144
B
1 bh
A bh El área de cualquier triángulo
2 2
se halla multiplicando la base
c a por la altura y dividiendo este
1
h producto por dos
A C P=abc
b
B
A
b C
EJEMPLO
Para cada triángulo, hallemos el área.
20m
5,4cm 8m
16m
12,4cm
Fig. a Fig. b
mapb 144
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
145
Solución:
EJERCICIOS
3. Para los lados de cada triángulo, halle el área y la altura con respecto a un lado
Lados: 5cm, 16cm y 25cm
Lados: 10m, 8m y 7m
Lados : 12 19 25
5 cm, 4 cm y 4 cm
Lados: 10,5m; 7,8m y 17,86m
4. Halle el área total de la región sombreada (pintada):
5m
10m
5m
8m 14m 10m
mapb 145
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
146
P = 4k
Solución:
k 4,68cm
A k 2 (4,68cm) 2 (4,68cm)(4,68cm) 21,90cm 2
4,68cm
EJEMPLO 2.
Calculemos el lado del siguiente cuadrado.
Solución:
A 81m 2 . k ?
2
81m
A k 2 k A 81m 2 9m
k ?
EJERCICIOS
9,6m
4,8m
mapb 146
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
147
ÁREA DE UN ROMBO
Dd
A D Diagonal mayor
2
2A
D d Diagonal menor
D d
d 2A
d El área de un rombo es igual al
D
semiproducto de las diagonales
EJEMPLO
La diagonal mayor de un rombo excede a la menor en 4,25cm. Si la diagonal menor mide
5cm, hallemos el área del rombo.
Solución:
d 5cm . Como la diagonal mayor excede a la menor en
9,25cm
4,25cm, entonces: D 5cm 4,25cm 9,25cm
5cm
Aplicando la fórmula:
(9,25cm)(5cm) 46,25cm 2
A Dd 23,12cm 2
2 2 2
EJERCICIOS
ÁREA DE UN TRAPECIO
b A
B b h .
2
B Base mayor
h b Base menor
mapb 147
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
148
EJEMPLO
Calculemos el área de un trapecio cuyas bases miden 4m y 10m , y tiene 5m de altura
Solución:
A ?. b 4m. B 10m. h 5m
A
B b h 10m 4m 5m 14m 5m 70m 2 35m 2
2 2 2 2
EJERCICIOS
1. Las bases de un trapecio miden 8m y 12m, si la altura mide 4m, halle el área.
2. Si las bases de un trapecio miden 4,64cm y 8,04cm y su altura es de3,62cm, ¿cuál es
la medida del área?.
3. La base mayor de un trapecio excede a la menor en 4. Si la base mayor mide 20cm y
el trapecio tiene una altura de 8cm, halle el área.
4. El área de un trapecio mide 27cm2. Si la base mayor y la altura miden 12cm y 3cm,
respectivamente, determine el valor de la base menor.
Apotema: Segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados.
a 32L . Expresión que permite calcular la apotema de un hexágono regular.
EJEMPLO
Determinemos el área de un pentágono regular de 15m de lado y 6m apotema.
Solución:
15m
n 5, por ser un pentágono
l 15m
a 6m
nla 5(15m)(6m) 450m 2
6m A 225m 2
2 2 2
15m
mapb 148
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
149
EJERCICIOS
A r 2 1 D 2 3,14
4
r P L 2 r.
L Longitud de la circunferencia o perímetro.
Diámetro
D
D 2r r . D Diámetro
2
r 2
A AS . Área semicircírculo
r 2
EJEMPLO
Calculemos el área y el perímetro de un círculo de 4,7m de radio.
Solución:
A ?. P ?. r 4,7 m
A r 2 3,144,7 m 3,14 22,09m 2 69,362m 2
2
P 2 r 23,144,7 m 29,516m
EJERCICIOS
1. Calcule el área y el perímetro de un círculo si se sabe que el radio mide 5m.
2. El diámetro de un círculo mide 7cm, halle el área y el perímetro.
3. Halle el área de un semicírculo de 9m de diámetro.
4. El área de un círculo mide 50,24m 2. Halle: El radio, el diámetro y el perímetro.
5. Si el radio de una circunferencia se duplica, ¿qué sucede con el área del círculo
Correspondiente?.
mapb 149
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
150
A (R 2 r 2 )
R
r Rr El área de una corona circular es
igual al producto del número por
la diferencia de los cuadrados de los
radios
EJEMPLO
Hallemos el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas cuyos
radios miden 3cm y 5cm.
Solución:
A ?. R 5cm. r 3cm.
A R r 2
5cm 3cm
2 2 2
EJERCICIOS
r 2
A A En grados
360
1 r2
3
S A En radianes
r 2
º
S r En radianes
S Arco comprendido entre los puntos A y B
B
ángulo central
mapb 150
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
151
EJEMPLO 1.
Calculemos el área del siguiente sector circular.
Solución:
Como el ángulo central está expresado en grados, hacemos uso de
5m r 2
la fórmula: A , donde: 70 y r 5m
70 º 360
r 2 70(3,14)(5m) 2 70(3,14)(25m 2 )
A
360 360 360
70(3,14)(25m ) 5495m
2 2
A 15,26m 2
360 360
EJEMPLO 2.
Hallemos el área del siguiente sector circular.
Solución:
Como el ángulo central está expresado en radianes, hacemos uso de
r2
2 la fórmula: A , donde: 23 y r 12cm
3 2
12cm 2 2 50 m2
r2 (5m) 2 (25m 2 ) 3
A 3
3
2 2 2 2
50 m2
3 50 m 2
A 8,33π m 2
EJERCICIOS
2 6
( R 2 r 2 )
A En grados
360
R (R r 2 )
2
A En radianes
º 2
r Rr
El área de un trapecio circular es igual al
semiproducto del ángulo central por la diferencia
de los cuadrados de los radios
ángulo central
mapb 151
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
152
EJERCICIOS
1. Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 8m y 16m. Si el ángulo central
que forman los radios mide 80º, halle el área del trapecio circular que forman.
2. Halle el área de un trapecio circular limitado por dos circunferencias concéntricas de
4m y 10m de radios, si el ángulo central que forman mide 120º.
3. Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4cm y 16cm. Halle el área
2
del trapecio circular que forman los radios, si el ángulo central mide .
3
EJERCICIOS
1. Dos círculos de 7cm de diámetros se intersecan formando un ángulo de 90°. Grafique la
situación y halle el área de la lúnula formada.
2. Dos círculos de 9,25m de radios se intersecan formando un ángulo de 2/3. Grafique la
situación y halle el área de la lúnula formada.
3. Halle el área de la lúnula mostrada en la figura:
17,5cm 70°
mapb 152
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
153
r2 EJERCICIOS
Ar 2
4
r El radio de una embecadura mide
1
P r 2r 4cm. Halle el área y el perímetro.
2 Halle el área y el perímetro de una
r
embecadura de 5m de radio
2
D2 d
P 2 .... perímetro
2
EJERCICIOS
1. Los diámetros de una elipse miden 7cm y 14cm. Halle el área y el perímetro
2. Calcule el área y el perímetro de una elipse cuyos radios miden 3,6m y 4,9m.
3. El diámetro mayor de una elipse excede en 3m al menor. Si el diámetro mayor mide
8,54m, halle el área y el perímetro de la elipse.
Ruta 1
A
56,80m
R
u 3,5m Un visitante se
t 6,80m encuentra en el
a 2,60m punto A, y desea
10,70m desplazarse al
2 5,60m puntoB. Pero, quiere
4m
escoger la distancia
11,30m 2m 1,8m más corta.
31,10m
7,20m ¿Qué ruta le
3,80m 5m recomendarías al
visitante?
5,40m
8,50m
3m 9,80m
4,20m 3,90m
B
10,50m 4,20m 3,20m 12m
mapb 153
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
154
PROCEDIMIENTO:
Calcule el área de la figura mayor, y el área de la menor.
Establezca la diferencia (resta) entre las áreas.
15m
16m
9m
8m
8m
5m 15m
20m
5m
ra 6m
7,2 m
10m
3m
5m 7m
18 cm
10m
3m
7m 6m
12m
20m 7m
106º
7m
5m
3m
4m
mapb 154
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
155
PERÍMETRO
El perímetro de una figura se halla sumando todos los lados.
EJERCICIO
Escribamos la expresión algebraica que representa el perímetro de cada figura y calculemos
el valor numérico del mismo para los valores asignados:
x y z
1 x = 3m, y = 2m, z = 1m
Solución:
P = x y z. Expresión algebraica del perímetro de la figura.
P = x y z = 3m 2m 1m = 6m. m = Metro
2x 8
x1 4x 7
2x 2
Solución:
P = 2x 2x + 8 x 1 4x 7 = 9x + 2. Expresión algebraica
P = 9x + 2 = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29m
3x
3 2x 1
x 2 4 x
x 2
x 1
25x 5
x 5
2x 2x 4
mapb 155
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156
6 8z 1
5y 2
7
4x 4
x2 x4
x1 4x 12
8 4x 2
5 9
2x 3 2x 3
x3
11
5
x1 4y 4
10
4y 3
13
12
2x 2
14
3z 11
mapb 156
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
157
ÁREA TOTAL
El área total de una figura geométrica es igual a la suma de las áreas de las regiones en que
esta se ha subdividido(suma de todas las áreas).
EJERCICIO
Para cada figura, hallemos el área indicada:
4x2 2xy 4 2
x2 4xy
x2
1 x2 8
AT = ?
AT = ?
8x2 2xy 1
7y2 3xy 9
3
4 A2 = ?
A1 = ?
AT = 11y2 2xy 9
AT = 10x2 2xy 2
AT = ?
mapb 157
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
158
ÁREA
Aplicando el concepto y la fórmula de área para cada figura, hallemos la expresión algebraica
que representa el área y calculemos la misma para los valores asignados.
Recordemos que:
El área se expresa en unidades cuadradas. u2 = Unidad cuadrada.
Después de reemplazar las letras por su valor numérico y realizadas las operaciones indicadas, al
número que resulta se le agrega u2.
EJEMPLO
Hallemos la expresión algebraica que representa el área de cada figura, y además el valor de las
misma para los valores indicados.
2 3
VALORES
1 8x 6 x=2
x
y=1
2x 2
2y 1
Solución:
La figura 1 es un rectángulo: La figura 2 es un círculo:
b 2x 2 y h x d 8 x 6 r d2 8 x26 4 x 3
A bh. Entonces :
A r 2 . Entonces :
A bh (2 x 2)( x) 2 x 2 x
2
A r 2 ( 4 x 3) 2 (16 x 2 24 x 9)
A 2x 2x ... exp resión que representa el área
2
A 16x 2 24x 9 .
Para x 2 :
A 16π x 2 24π x 9π... exp resión
A 2x 2x 2(2) 2(2)
2 2
Para x 2 :
A 2(4) 4 8 4 12u 2
A 64π 48π 9π 25πu 2
La figura 3 es un cuadrado: A 25πu 2
k 2y 1
A k 2 A (2 y 1) 2 4 y 2 4 y 1 A 4y 2 4y 1.... exp resión
Para y 1 :
A 4(1) 2 4(1) 1 4(1) 4 1 4 4 1 9u 2 A 9u 2
EJERCICIO
Para cada figura, halle la expresión algebraica que representa el área y el perímetro si es
posible. Además, determine el valor numérico para los valores indicados.
VALORES: x = 2, y = 1
1 2
y2 y
3x 1 4x 1
x 4
6x
6
3
x6 4x 1 y1
5
10x 3
3x 5
mapb 158
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
159
8 9
7
3y 1
10 y
2x 1
2x 3 2y 3
y6
8x 1
13 x7
x 2
15 x
x2 x 7
11 16 2x
2x 3 x1
4x 2
3x 2
18
5 14
8x 6
4x 3
2x
5x 3 20
17
x 2
2x 5 x1
19
8 x 7
21
23
22
2/3 x 4
24
x 1
2x 9
x
3. x a x b x 2 bx ax ab x 2 (b a) x ab
mapb 159
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
160
EJERCICIO
Para cada figura, halle el área de la región sombreada:
3x 2 1
x+3
2x +1
2
x1
x 3
2x 2 4x 6
x5 x 1
r=a
4
x 12
x +1 6
3x +2
5
x
3x + 2
4x 3
x+3
7
8 x+1
Veamos:
Para estas figuras geométricas, no existen fórmulas que permitan hallar el área.
mapb 160
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
161
EJEMPLO
Hallemos el área aproximada de la siguiente figura.
0,2m
2,32m 1,2m
0,25m
9,13m Minimizando y
0,2m seprando las figuras
0,7m
0,5m
0,4m 2,98m
6,25m
0,91m
3,4m 3,1m
0,41m 6,13m 0,9m
0,56m 3,3m
0,38m 0,2m
8,39m
0,18m
3,5m 0,37m 3m
3,8m
Sumando las área se tiene que: 35,07m 2 . Esta es el área aproximada de la figura
mapb 161
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
162
q b b
q
b r r
r b
2
1
r b
r r q
q
b q q
En la figura 1:
Dentro del cuadrado mayor se ha construido otro más pequeño de lado r, que es la hipotenusa de cada
uno de los triángulos rectángulos formados por los lados de los dos cuadrados.
OTRA FORMA
Consideremos el triángulo rectángulo cuyos lados son la terna de números pitagóricos 3, 4 y 5
mapb 162
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
163
DESARMANDO LA FIGURA:
Base b Base b
h a h a
mapb 163
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
164
EJEMPLO 1.
Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas
dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.
Solución:
B ab (8cm )(5cm ) 40 cm 2 .
AT AL 2 B 2h(a b) 2 B 52 cm 2(40 cm ) 52 cm 80 cm
2 2 2 2
AT 132 cm
2
d 93cm 9,64cm
2
EJEMPLO 2.
La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una cominidad
Re cuerde que :
Solución: 3
1 litro 1000cm
a) El volumen del deposito se halla multiplicando las tres dimensiones: 3 3
1 m 1000000cm
V (30,8m)(20,5m)(16m) 10102,4m 3 10´102.400.000cm 3
b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:
Litros cm 3
1 10´102.400.000
1 1000 De donde : x 10.102.400 litros
1000
x 10´102.400.000
mapb 164
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
165
d) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas
consumen en un día: 135(99,5) 13432,5 litros
Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:
Litros días
10´102.400
13432,5 1 De donde : x 752,08 días
13432,5
10´102.400 x
e) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este
caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15 miembros
y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más. Entonces:
Personas días
30 20 30 15
15 30 De donde : x 22,5 días
x 15 20
20 x
EJERCICIOS
1. Halle el volumen, el área total y la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones miden 6m,
12m y 8m.
2. Las dimensiones de un ortoedro son: 5m, 9m y 12m. Calcule el volumen, el área total y la
diagonal.
3. El volumen de un ortoedro es de 192cm3 y dos de sus dimensiones son 8cm y 6cm. Halle
la otra dimensión, el área lateral y la diagonal.
4. ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa, que tenga forma de ortoedro
rectangular cuyas dimensiones sean: 4cm, 3.5cm y 2cm. Sugerencia: Halle el área de las caras.
7. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 30m x 10m x 3m.
a) Halle el volumen de la piscina
b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas
caben en la piscina?
c) Si el litro de agua cuesta $25.56, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?
d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas
horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?
Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación.
mapb 165
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
166
V k k k k 3. V k 3
Arista
A L k k k k 4k
2 2 2 2 2
K
A L 4k 2 .
B k 2 . 2 B 2k 2 .
K
AT A L 2 B 4k 2k 6k
2 2 2
K
AT 6k 2 .
3
k V Fórmula para calcular la arista.
El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.
DESARMANDO LA FIGURA:
K K
EJEMPLO 1.
Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.
Solución:
d 3 k 1,73(4,25m) 7,35m
4,25m
mapb 166
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
167
EJEMPLO 2.
Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?
V2
Como se puede observar, la
V1 arista del cubo de la derecha es
el doble de la del cubo de la
izquierda
k 2k
Haciendo uso de la ecuación anterior( V2 8V1 ), complete la siguiente tabla para los valores
indicados e indique la proporción
V1 V2 Proporción
8
3
30 1:8
15
5
¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones?
EJERCICIOS
mapb 167
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
168
DESARMANDO LA FIGURA:
L
L
h
h L
L
L
L a
En este caso, el prisma es pentagonal,
porque su base es un pentágono.
Cualquier polígono puede servir de base.
Todas las caras son crectángulos.
nLa Pa nLah
V Bh . Pero: B . Entonces: V Bh .
2 2 2
AL nLh
AT 2 B nLh 2 2 nLh nLa nLh nL(a h)
nLa
AT nL(a h)
Solución:
3 L
h . Fórmula altura triángulo equilátero
2
b h
A . Área triángulo. L 8m. h 10m
2
10m 3 L 1,73(8m) 13,84m
h 6,92m.
2 2 2
b h
2
8m(6,92m) 55,36m
B 27,68m 2
8m 2 2 2
mapb 168
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
169
n 3.
AL nlh 3(8m)(10m) 240m 2 esta es el área lateral .
2 B 2(27,68m 2 ) 55,36m 2 esta es el área de las bases.
AT AL 2 B 240m 2 55,36m 2 295,36m 2 esta es el área total
EJERCICIOS
1. Un prisma recto tiene como base un cuadrilátero cuyos lados miden 8cm y 12cm. Halle el
área total y el volumen, si la altura mide 15cm.
2. Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 4cm de lado. Si la
altura del prima es de 7cm, calculemos el volumen y el área total.
3. Un prisma hexagonal recto tiene por base un hexagono de 2m de lado. Si la altura mide
90cm, halle el volumen y el área lateral.
3L
Ayuda: a . Apotema de un hexagono.
2
4. Un poste de alumbrado tiene 6m de altura y base hexagonal regular de 18cm de lado.
Calcule el volumen y el área total del poste.
5. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m, halle
el volumen y el área total.
6. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma
alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.
7. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras
laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras paredes
son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de 100m. Si
máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:
a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros
b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la
cominudad?
mapb 169
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
170
Base
El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.
El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).
En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras laterales
EJEMPLO
Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un rectángulo
de 7m y 4m de lado
Solución:
1 Bh
V Bh . AT A L B
3 3
11m Área de la base : B 7m(4m) 28m 2
Bh 28m 2 (11m)
Volumen pirámide : V 102,66m 3
4m 3 3
7m
EJERCICIOS
1. Halle el volumen de una pirámide que tiene 5cm de altura y su base es un cuadrado de 8cm de
lado.
2. Halle el volumen de una pirámide que tiene 15m de altura y su base es un rectángulo de 500cm y
300cm.
3. Halle el volumen y el área total de un tetraedro regular si la arista mide 8cm.
Tetraedro regular: Pirámide cuya base y caras laterales son triángulos equiláteros
2 l3 3 l2
V ...volumen tetraedro. A ....área de una cara
12 4
4. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza una
altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide.
5. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado cuyo lado mide 232m y la arista de
las caras laterales tiene igual medida que el lado de la base. Calcule el volumen y el área total.
mapb 170
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
171
d r
h
h
2 r
r
r
EJEMPLO1.
Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una
altura de 14cm.
Solución:
d 9cm
d 9cm. r 4,5cm. h 12cm. 3,1416.
2 2
12cm V r 2 h (3,1416)(4,5cm ) 2 (12cm).
V (3,1416)(20,25cm 2 )(12cm) 763,4cm 2
mapb 171
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
172
EJEMPLO 2.
¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la base?.
Solución:
El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:
A L 3B (1)
A L 2 rh (2). B r 2 (3). Re emplazando (2) y (3) en (1), se tiene :
2 h
2
r 2h 2
2 rh 3 r 2 r h.
r 3 3 3
El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.
Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.
EJERCICIOS
1. Un tanque cilíndrico tiene 5m de radio y 10m de altura. Halle el volumen y el área total.
2. La base de un cilindro tiene un diámetro de 16cm. Calcule el volumen y el área total, si la
altura es de 2cm.
3. ¿Cuál es la altura de un tanque cilíndrico que tienen una capacidad de 400litros, si su
diámetro es de 75cm. Ayuda: Litro = 1000cm3.
4. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de
gasolina puede contener?. Ayuda: Galón = 3,78 litros.
5. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el
volumen.
6. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?.
g
h
2 r
r
r
1
g Generatriz. h g r . V r 2 h. A L rg. B r2
2 2
3
AT A L B r g r r ( g r ) AT r ( g r )
2
mapb 172
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
173
EJEMPLO
Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En qué
proporción están sus volúmenes?.
Solución:
h h . d 1 1,12m. d 2 2,4m.
d 1,12m
r1 1 0,56m
2 2
d 2,4m
r2 2 1,2m
2 2
g
h g h
d1 d2
3 3 3 3
Establecie ndo la proporción :
V 1 0,10h 2 1 V1 1
0,2 V 2 5V 1
V 2 0,48h 10 5 V2 5
Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en
su efecto, V2 es 5 veces V1.
EJECICIOS
1. El radio de la base de un cono recto mide 4m. Si la altura y la generatriz miden 5m y 8m,
respectivamente. Halle el volumen y el área total.
2. Halle el área total y el volumen de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3cm, la
altura 5cm y la generatriz 6cm.
3. Halle el volumen y el área total de un cono sabiendo que el diámetro de la base mide12m,
la altura 6m y la generatriz 9m.
4. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En qué
proporción están sus volúmenes?.
5. Dos conos tienen el mismo diámetro y sus alturas miden 6cm y 4cm. ¿En qué proporción
están sus volúmenes, áreas laterales y áreas totales?.
6. La generatriz de un cono mide 12m y el área lateral de la superficie desarrollada forman
un sector circular de 60º. Calcule el volumen y el área total.
7. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base,
determine el volumen.
8. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de
14cm. ¿Cuál es el volumen?.
mapb 173
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
174
d
3 3
d d
r . r 3
2 2 8
r 4 1
V r 3 d 3 . A 4 r 2 d 2
3 6
A 3V 1 3V
r . r 3 3
4 4 2
EJEMPLO
Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:
a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas.
c). La razón entre los dos volúmenes.
D1 = 3r2
2r1 = 3 r2
r 3 3
2r 3 r 2 1
. La razón de los radios es . De la anteriorexp resión se tiene que :
1
r 2 2
2
3r 2 2 r1
r y r2 .
1
2 3
2
3r 2
2 9r
El área 1 es : A1 4 r 1 4
4
9 r 2 . A 2 4 r2 .
2 2 2
2
2 1 4
Establecie ndo la proporción entre las áreas :
A1 9 r 12 9 A1 9 9
. La razón de las áreas es : .
4 r
2
A2 4 A2 4 4
2
3r
3
3
27 r
4 2
4 2
4 r 3 2 108 r 3 9 r 3
El volumen 1 es : V 1 1
8 2
2
.
3 3 3 24 2
mapb 174
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
175
4 r 3
El volumen 2 es : V 2 2
. Estableciendo la proporción entre los volúmenes :
3
9 r 3
2
V1 27 r 3 27 V1 27 27
2 2
. La razón de los volúmenes es : .
V 2 4 r 8 r
3 3
8 V2 8 8
2 2
EJERCICIOS
x Esfera
4 (
x 3
4 r 3
) x3
r x.
2 Ve 2 .....(2)
3 3 6
Establecie ndo la relación entre los dos volúmenes (1) y (2) :
x3
Vc 6 x 3 6 3 Vc 3 3 2
4 Vc Ve o Ve Vc
x3 4 x
3
Ve 4 2 Ve 2 2 3
6
Lo anterior se interprreta a sí: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de
la esfera es 2/3 del volumen del cilindro
mapb 175
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
176
B1
EJERCICIOS
1. El área de las bases de un tronco de pirámide miden 16cm2 y 8cm2. Si la altura que las separa es
de 7cm, halle el volumen del tronco de pirámide que forman.
2. Las bases de un tronco de pirámide son dos cuadrados de 10m y 6m de lado. Calcule el volumen,
si altura que las separa es de 8m.
3. Las bases de un tronco de pirámide son dos triángulos equiláteros de 5cm y 0,15m de lado. Si la
altura que separa las dos bases es de 15cm, halle el volumen.
4. Dos rectángulos uno de 4cm y 7cm de lado y el otro de 3,6cm y 4,9cm de lado, son las bases de
un tronco de pirámide. Halle el volumen.
5. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m3. Si el tronco
sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de la
pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.
h1
R Radio círculo mayor . r Radio círculo menor .
r h h1 h2 . D 2 R. d 2r.
h
D R h2 R
. .
h2 d r h1 r
R
1
V h2 R 2 r 2 Rr
h2 R 2 r 2 Rr
3 3
AL g ( R r )
EJERCICIOS
TA A (R 2 r 2 )
1. Un tronco de cono tiene como bases dosL círculos de 18cm y 9cm de diámetros. Si la altura que las
separa es de 5cm y su generatriz mide 8cn, halle el volumen y el área total
2. 8,5m y 4,5m son los radios de un tronco de cono. Si la altura que separa los dos círculos mide 3m
y la generatriz vale 7m, halle el volumen y el área lateral.
3. 14cm y 8cm son los radios de un tronco de cono. Si la altura del tronco mide 9cm, halle: a). El
volumen. b). El volumen del cono restante. c). l volumen de todo el cono.
mapb 176
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
177
h
h
R h2
h1
R r
R
V R 2 h V R 2 (h1 h2 )
V h( R 2 r 2 )
CONO OBLICUO SECTOR ESFÉRICO
ELIPSOIDE
h d
R D
R h
2R 2 h
R h 2 V 4Ddk
V 3 V
3 3
R
B n
h
b
V B2b h 6h
3
V
4R 3 n
B y b, son áreas
3 360
n Ángulo en grados
mapb 177
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
178
PRINCIPALES POLÍGONOS
Polígono: Figura cerrada que tiene varios lados.
Polígono regalar: Es aquel que tiene sus lados iguales (la misma medida)
nla
Hexágono regular Tiene 6 lados iguales
2
mapb 178
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
179
PRINCIPALES POLIEDROS
Poliedro: Sólido que tiene varias caras.
Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.
mapb 179
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
180
VOLUMEN TOTAL
El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se
halla sumando los volúmenes.
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen total: Análisis:
Halle por separado el volumen de cada
uno de los sólidos involucrados en la
8cm figura, luego, sume los volúmenes
1
Halle el área total de las figuras 2 y 3
3cm 3cm
12m
5cm
4cm
2
11cm
9m
10m
3
10m 10m
8m
14,78m
10m
7,96m
K 3. abh. Bh
16m nlah Pah Bh
.
9,8m 2 2 3
r h2
4 r 3
. r 2 h.
3 3
5m
11,6m
mapb 180
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
181
EJERCICIO
Para cada figura, halle el volumen limitado:
Análisis:
1 Calcule el volumen del sólido mayor.
Calcule el volumen del sólido menor.
9cm Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes
7cm
19cm
2 18cm
8m
6cm
18cm
14,6m
3
5
19m
14m
8,2m
10,5m
17m
8 7
8 15,79cm
mapb 181
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
182
EJEMPLO
Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el
área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.
Solución:
El poliedro involucrado es un ortoedro de
dimensiones . Entonces:
,
d esta es la expresión algebarica que representa el
volumen
, valor numérico
A d ( x 1) ( x 1) 2 x 2 2 x 5 2 x 4 6 x 3 11x 2 12 x 5
EJERCICIOS
1. Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica que
representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace falta
informción, no realice el cálculo exigido
mapb 182
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
183
RECUERDE:
El volumen se expresa en unidades cúbicas…………….u3 = unidad cúbica.
Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones
indicadas, al número que resulta se agrega u3.
3
Halle el área
1 lateral y total
x de las figuras:
3y + 1
2 1, 3, 4 y 8
3x + 2
3x
6x 2 5y 2
x = 2, y = 3, z =
4
6
4 5
2z + 2 2y +4
z+1
2x 1
2x + 1
9
2x + 1
7 y +4
x+4 8
x
2x + 3 y
2y + 3
2. Para cada figura, halle el volumen limitado.
3
2 2y + 6
1
5x 2y 3z + 1
2x + 2 2y + 1
4x + 3 z
z+4
z 4
5
5z 3
5x 4
3x + 2
mapb 183
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
184
3. Para cada figura, halle la expresión que representa el volumen y el área de la región
sombreada y además, halle el valor numérico para: x 1
x +3
x+ 1
x
4x 3
2x + 1
x+ 1
2x
x
2x + 2 x
3x
2x
4x x
6x
Q P
E C
M N
mapb 184
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
185
Para hallar la altura h del tetraedro, primero debemos determinar los valores del cateto K y de
la hipotenusa r del BQF, para luego, calcular la altura FR = h del triángulo QRF que es la
misma altura del tetraedro.
Calculando K y r:
tan g 30 K K L tan g 30 L 3 3L K 3L
L 2 2 3 6 6
2
2
36L L2 336
L2 L2 L2 r 3L
2 2
r K
2 2 L
2 4 3 3
Calculando en el QRF la altura h :
2 2
h 2 L2 r 2 L2 L3 2 L3 h 2
L ….esta es la altura del tetraedro
3
Calculando el área de la base:
QM
3L .....altura del PQD(equilátero)
2
3L
L Calcule usted el área
L (QM ) 2 3 L2
B lateral y el área total
2 2 4
El volumen del tetraedro es:
3 L2
2 L
Bh 4 3 2 L3 3 L3
V V
3 3 12 12
mapb 185
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
186
4cm
4,1cm
2,85cm 7,56cm
16,5cm
7cm
5,85cm 15,54cm
AT = ?
3cm
9cm
mapb 186
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
187
Halle el área de la región sombreada (pintada)
30m
9m
6m
4m
r=a
6m
3cm
8 cm
5m 4,5cm
8m
12,68m
8m
x+2
2x 1
x1 3x 1
5x + 1
2x + 6
x 3x + 3
AT = ?
x+1
4x 3
mapb 187
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
188
5.
a) Los lados de un rectángulo están en relación de 5 a 2. Si su perímetro es de
20m, halle el área.
b) Las bases de un trapecio miden 40cm y 20cm. Si la altura es las 2/5 partes de
la base mayor, halle el área.
c) Los lados de un triángulo miden: 8cm, 14cm y 20cm. Halle el área.
d) Los diámetros de dos círculos miden 8m y 4m, ¿en qué proporción están sus
áreas y sus perímetros.
e) El área de un triángulo mide 255cm2. Si la base mide 20cm, halle la altura
f) Halle el área de un hexagono regular de 30cm de lado.
g) Un cuerpo celeste que gira alrededor de la tierra describe una elipse cuyos
diámetros mayor y menor miden 800000km y 500000km. Halle el área de la
región delimitada por la órbita del cuerpo celeste y la distancia que recorre en
dos vueltas y media.
6cm
14m
11m
1cm 1cm
3cm
2cm
9cm
7m
VT = ?
12m 12m
12m
5m
11,78m VT = ?
4,96m VT = ?
13m
6,8m
2m
8,6m
mapb 188
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
189
3x + 2
3x + 1
4x + 2
9x
x1 x1
x+ 1
x
4x + 2
7x 3
VT = ? 5x + 2
x+1 x+1
x+1
3x + 2 VT = ?
VT = ?
5x 2
3x +1
2x + 3
8.
a) ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa cuyas dimensiones
sean 18cm x 25cm x 40cm.
b) Una tina de forma cúbica tiene 5,64m de arista.
¿Cuántas baldosas de dimensiones 50cm x 51cm se necesitan para
cubrirla?
¿Cuál es la capacidad de la tina?
Si el litro de agua cuesta $20,25. ¿Cuánto dinero se debe invertir para
llenarla?
c) Las dimensiones de una sala de un primer piso son 8m x 10m x 4m.
¿Cuántas baldosas de dimensiones 30cm x 30cm se necesitan para
embaldosarla?
Si se decidde convertir la sala en una bodega, ¿cuántos libros de
dimensiones 20cm x 30cm x 4,5cm caben en la sala?
d) Si la arista de un cubo se duplica, ¿cuánto crece el volumen y el área?
e) Los diámetros de una esfera hueca miden 20cm y 18,34cm. Halle el volumen
del metal limitado por los dos diámetros.
f) Si el diámetro de un cono es la mitad del diámetro de otro cono, y si ambos
tienen la misma altura, halle la razón entre los volúmnes y las área de las
bases.
mapb 189
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
190
GEOMETRÍA ANALÍTICA
Geometría analítica = Geometría plana y del Espacio + Álgebra. Establece la relación entre
las diferentes figuras geométricas y su representación algebraica, y además analiza el
comportamiento… Hoy, es el componente clave de la Física y la Astronomía,
principalmente; pero, interviene en la comprensión de las demás ciencias y en la aplicación
de todas ellas…
PLANO CARTESIANO
Abscisas
3 2 1 0 1 2 3 x
1 En el eje horizontal, de cero hacia la derecha
2 se ubican los positivos y hacia la izquierda, los
negativos.
3
En el eje vertical, de cero hacia arriba se
4 ubican los positivos y hacia abajo, los
negativos.
mapb 190
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
191
EJERCICIO
Para cada uno de los puntos anteriores, identifique la abscisa, la ordenada y las coordenadas
Solución:
x 2 Abscisa
A 2 , 3 y 3 Ordenada Analice los demás puntos
2, 3 Coordenadas
x y
PROCEDIMIENTO
Se identifican las abscisas y las ordenadas de cada punto.
Se traza un plano cartesiano que incluya las coordenadas de cada punto, para ello, se
identifica el mayor y el menor valor de la abscisa y de la ordenada, estos valores indican
el tamaño del plano. El plano se extiende un punto más allá de los valores máximos.
La graduación(escala) de cada eje, puede hacerse de acuerdo a la conveniencia
del interesado.
Para graficar un punto: En el eje x
se identifica el valor de la abscisa y se traza una
perpendicular discontinua que pase por la misma, luego, en el eje y , la ordenada y se
traza una perpendicular discontinua que pase por ella. Donde se cortan las dos
perpendiculares, se ubica el punto.
NOTA
Cuando una de las coordenadas del punto es cero, el punto queda ubicado sobre uno
de los ejes
EJEMPLO
Grafiquemos los siguientes puntos: A 0, 3 ,
B 2, 4 ,
D 4, 0
Solución:
Máximo valor de x
4, mínimo valor de x 2. Máximo valor de y 3,
mínimo valor de y 4
Construyamos el plano con estas especificaciones. y
A0 , 3 B 2 , 4
4
3 A0,3
x y x y
2
D4,0
1
EJERCICIO 3 2 1 0 1 3
x
2 4 5
1
Gráfica en un mismo plano los
puntos del ejercicio anterior y 2
los tú que inventaste 3
B 2,4 4
5
mapb 191
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
192
Debido a que nuestro sistema de numeración es decimal (en base 10), el espacio que
existe entre dos números enteros consecutivos, se considera dividido en 10 partes
iguales.
El espacio comprendido entre 0 y 1 es dominado por el 0, allí se ubican los decimales que
empiezan por 0; el espacio comprendido entre 1 y 2 es dominado por el 1, allí se ubican los
decimales que empiezan por 1; el espacio comprendido entre 2 y 3 es dominado por el 2, allí
se ubican los decimales que empiezan por 2; y a si sucesivamente.
¿Quién domina el espacio comprendido entre: 3 y 4, 4 y 5, 50 y 60, 90 y 100, 200 y 300?.
EJEMPLO
Grafiquemos los siguientes números decimales: 0,5; 0,8; 1,3; 2,3 y 3,5.
Solución:
Como el mayor decimal es 3,5; la recta numérica se gradúa hasta 4, por ser el número entero
más próximo.
0,8
0,5
0 1 1,3 2
2,3 3 3,5 4
EJERCICIO
Grafique los siguientes decimales: 2,4; 0,5; 1,5; 3,1; 4,5; 0,75; 0,25; 0,86; 1,9; 2,6 y 4,2.
PROCEDIMIENTO
a) Se divide el número racional(numerador denominador) hasta obtener una o dos cifras
decimales.
b) En la recta numérica se identifica la posición del decimal(cociente), y en ese lugar se
ubica el número racional.
c) Si el número es irracional, se le extrae raíz y se aplica el paso b.
mapb 192
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
193
EJERCICIOS
1 3 5 4 1 3 9 10 1 3 9 4
, , , , , , , , , , , , 2 , 3 25 y 3
2 2 4 3 2 2 2 3 2 4 2 5
Sol :
1 10 9
1 2 0,5. 10 3 3,33. 9 2 4,5
2 3 2
9 1 10
2 2 3
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
9 7 4 9 7 11 16 3
A 0, , B , 0 , D , 6 , E , , P 5, , Q , ,
2 3 3 2 2 2 3 4
3
2
3
2
3
R 0, , R 0, , T 5 , , G 2 , 10 y D 3 9 , 4 25
2
y
P2 ( x2 , y1 ) Como la recta es paralela
P1 ( x1 , y1 )
y1 al eje X, en ambos puntos
la segunda componente
d tiene el mismo valor,
entonces: y1 y1 0
x1 0 x2 x
Luego: d x2 x1
NOTA:
La distancia siempre es positiva. Si el resultado es negativo, debe
escribirse con signo positivo
mapb 193
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
194
EJEMPLOS
a) Hallemos la distancia que recorre un móvil entre los puntos P1( 4, 5 ) y P2( 5, 5 ).
Solución:
Como en ambos puntos la ordenada tiene el mismo valor, esto indica que el móvil se
mueve paralelo al eje , entonces:
d x2 x1 5 (4) 5 4 9 . La distancia es 9.
Solución:
d x2 x1 4 9 5 5 . Luego: d = 5.
Solución: x1 x2
6 9
d
P1 x1 6, P2 x2 9.
d x2 x1 9 6 3. La dis tan cia es : 3
EJERCICIO
Para cada par de puntos, halle la distancia:
a) P1( 0,7 ) y P2( 8,7 ). b) P1(4 ,6 ) y P2(7 , 6 ). c) P1(8 , 8 ) y P2( 9, 8 ).
d) P1 = 4 y P2 = 10. e) P1 = 8 y P2 = 7 . c) P1 = 2 y P2 = 10.
y1 P1 ( x1 , y1 )
mapb 194
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
195
EJEMPLOS
a) Hallemos la distancia que recorre un móvil entre los puntos P1( 4, 8 ) y P2( 4, 3 ).
Solución:
En ambos puntos, la abscisa tiene el mismo valor:
d y 2 y1 5 8 11 11
b) Un cuerpo que es lanzado verticalmente pasa por P1( 1, 6 ) después de cierto tiempo
pasa por P2( 1, 9 ). Calculemos la distancia que separa los dos puntos.
Solución:
d y2 y1 9 (6) 9 6 15
c) Un cuerpo que cae libremente pasa por P1 = 14m y P2 = 2m de altura.
¿Qué distancia recorrió el cuerpo entre P1 y P2?.
Solución:
P1 y1 14m, P2 y 2 2m.
d y 2 y1 2m 14m 10m 10m. La dis tan cia es : 10m
EJERCICIOS
a) Para cada par de puntos, halle la distancia que los separa.
P1( 4, 10) y P2( 4, 8 ). P1(o,5 ) y P2(0 , 9 ). P1(2 , 6 ) y P2(2, 1 ).
b) Una ventana de un edificio está ubicada en P1( 2, 9) y otra ventana se encuentra en
P2( 2, 6). ¿Qué distancia las separa?.
d) Un cuerpo al caer pasa por P1 = 190cm y P2 = 60cm. ¿Qué distancia recorre el cuerpo
al pasar por dichos puntos?.
3. PUNTOS SOBRE UNA RECTA QUE NO ES PARALELA A NINGUNO DE LOS DOS EJES
y
y2 P2 ( x2 , y 2 )
La distancia entre P1 y P2 , es
d y 2 y1 la hipotenusa del triángulo
rectángulo que se ha
formado al trazar las
y1 perpendiculares discontinuas
x2 x1 respecto a los ejes
P1 ( x1 , y1 )
0 x
x1 x2
d 2 x 2 x1 y 2 y1
2 2
Con esta expresión se calcula
d x2 x1 2
y 2 y1
2 la distancia entre P1 y P2
mapb 195
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
196
EJEMPLOS
Solución: y
4
d x 2
x 1 y 2 y 1
2
2
3
d 3 42 4 52
2
4 3 2 11
0
1 2 3 4 x
d d 7 2 4 52
2
d 7 2 92
3
d 49 81 130 11,40
4
5
Solución:
d x 2
x 1 y 2 y 1
2
2 2 42 6 72
d 22 12 4 1 5
EJERCICIOS
a) Para cada par de pareja de puntos, halle la distancia que los separa:
( 5, 1) y ( 4, 3 ). (1,1 ) y (1 ,1 ). P1(6 , 1/2 ) y P2(6, 1/3 ).
( 4, 4) y ( 8, 8 ). ( 0, 7) y ( 3, 0 ).
b) Grafique en el plano cartesiano los puntos: P1(6 , 4 ), P2( 2, 4 ), P3( 2,4 ) y calcule
la distancia entre ellos.
c) Compruebe que los puntos A( 2,2 ), B( 6,2 ) y D( 4,4 ) son los vértices de un
triángulo isósceles.
mapb 196
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
197
PLANO TRIDIMENSIONAL
z z
Plano inverso
Plano directo, el
que se va a utilizar
0 0
x y
x Abscisa
x y Ordenada
y z cota
A(2, 0, 3), B(3, 4, 0), D(3, 0, 0), E (4, 5, 6), P(0, 2, 2), Q(3, 3, 3),
R(4, 5, 2), S (0, 4, 0), T (0, 0, 5) y K (4, 7, 5),
EJRCICIO
a) Para cada uno de los puntos anteriores, identifique: La abscisa, la ordenada, la cota y las
coordenadas.
b) Grafique los anteriores puntos.
Solución b): z
K (4, 7, 5) x 4, y 7, z 5
k( 4 , 7, 5 )
Grafique los demás...
5
0
4 y
7
x
mapb 197
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
198
Y P2
y2 Como PP 1 0
y PP
0 2
son
proporcionales, entonces:
r2 P1 P0 r1
P0
y0 R P0 P2 r2
r1
r1 Proporción o razón,
P1 r2
y1
Q PP
resulta de dividir: 1 0
T P0 P2
x1 0 x0 x2 X
Demostración :
De la gráfica se observa que : P1TP0 P0 RP2 , entonces :
P1T r1 P0T r1
(1). (2).
P0 R r2 P2 R r2
Pero :
P1T x0 x1 P0T y 0 y1
(3). (4).
P0 R x 2 x0 P2 R y 2 y 0
Re emplazando (3) en (1) :
x0 x1 r1
x 2 x0 r2
x0 r2 x1 r2 x 2 r1 x0 r1 ..................................multiplica ndo en cruz
x 2 r1 x1 r2
x0 ........................transponiendo, factorizan do y despejando x0
r1 r2
Re alice la otra demostración
mapb 198
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
199
EJEMPLOS
a) Hallemos las coordenadas del punto que está a dos terceras partes de la distancia de
los puntos (4,6 ) y (8 ,2 )
Solución:
r1 2 Dos tercios de la distancia entre P1 y P2
r2 1 Un tercio de la distancia entre P1 y P2 r1 r2
P1 P0 r1 2 2 1
3 3
P0 P2 r2 1
x r x2 r1 4(1) 8(2) 4 16 12
x0 1 2 4
r1 r2 2 1 3 3
y r y 2 r1 6(1) (2)(2) 6 4 2
y0 1 2
r1 r2 2 1 3 3
P0 x0 , y0 P0 4, 23 estas son las corrdenadas del punto pedido.
b) Hallemos las coordenadas del punto situado a 3/2 de la distancia entre los puntos (7, 3
) y (6 ,8 )
Solución:
r1 3 y r2 2
P1 P0 r1 3
P0 P2 r2 2
x r x2 r1 7(2) (6)(3) 14 18 32
x0 1 2
r1 r2 3 2 5 5
y r y 2 r1 3(2) 8(3) 6 24 18
y0 1 2 . Entonces : P0 35
5 , 5
18
r1 r2 3 2 5 5
c) Calculemos las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto
( 5, 8 ) al punto (2 ,6 ) en la relación 5: 3
Solución:
r1 5 y r2 3
x r x2 r1 5(3) (2)(5) 15 10 5
x0 1 2
r1 r2 53 8 8
y r y 2 r1 8(3) 6(5) 24 30 54 27
y0 1 2 . Entonces : P0 85 , 27
r1 r2 53 8 8 4 4
mapb 199
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
200
EJERCICIOS
a) Halle las coordenadas del punto situado a dos quintas partes de la distancia que hay
entre los puntos (3, 5 ) y (4 ,9 )
b) Calcule las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto
(8, 8 ) a ( 6 ,6 ) en la relación 1/3.
c) Halle las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto
( 2, 5 ) a (7 , 11 ) en la proporción 5: 4
d) Halle las coordenadas del punto situado a cinco terceras partes de la distancia que hay
entre los puntos ( 0, 4 ) y (10 ,0 )
e) Los extremos de un segmento son los puntos P1( 7 , 4 ) y P2( 1, 4 ). Halle la razón
en la que P0( 1 , 2 ) divide el segmento. Sugerencia: Calcule las distancias: P1 P0 y P0
P2.
Y
P2( x2 , y2)
y2
Sea P0 el
punto medio
del segmento
y0 P (x ,y) P1 P2. Las
0 0 0
coordenadas
de P0 son
y1 x0 , y0.
P1 ( x1 , y1)
0 x1 x0 x2 X
Las siguientes expresiones permiten calaular las coordenadas del punto medio:
x x2 y y2 x x2 y1 y 2
x0 1 . y0 1 . P0 1 ,
2 2 2 2
mapb 200
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
201
x1 r2 x 2 r1 x1 r1 x 2 r1 r1 ( x1 x 2 ) x1 x 2
x0
r1 r2 r1 r1 2r1 2
y1 r2 y 2 r1 y1 r1 y 2 r1 r1 ( y1 y 2 ) y1 y 2
y0
r1 r2 r1 r1 2r1 2
x x 2 y1 y 2
P ( x0 , y 0 ) 1 ,
0
2 2
Para hallar el punto medio de un segmento, se suman algebraicamente los extremos y
la suma se divide por dos
EJEMPLOS
Hallemos las cooordenadas del punto mediodel segmento determinado por los puntos
P1(4 , 8 ) y P2(6, 4 ).
Solución:
46 2
x0 1.
2 2
84
Luego : P0 1 , 6
12
y0 6.
2 2
Calculemos las cooordenadas del punto mediodel segmento quetiene por extremos los
puntos P1( 5 , 9 ) y P2( 6, 4 ).
Solución:
56 11
x0 .
2 2
94 5 11 5
y0 . Luego : P0 ,
2 2 2 2
EJERCICIO
Para cada pareja de punto, halle las coordenadas del punto medio:
a) P1( 0 , 6 ) y P2( 6, 9 ). b) P1( 3 , 3 ) y P2( 6, 6 ).
c) P1(9 , 0 ) y P2( 0, 7 ). d) P1( 1/2 , 3/4 ) y P2( 8, 9 ).
mapb 201
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
202
FUNCIÓN CONSTANTE
Una función constante es de la forma:
y f x k. k R. k cons tan te no cambia
Gráfica: y
f(x) k
EJEMPLOS de
k funciones constantes:
f x 3
0
f x 4
x
2
f x , etc
3
Grafiquemos la función: f x 3 .
Solución:
Elaboremos la siguiente tabla:
x Variable independie nte, se le puede asignar cualquier valor
y f x Variable dependient e, el valor que toma depende de x
f 3 3. f 2 3. f 1 3. f 0 3. f 1 3.
f 2 3. f 3 3.
0 x Escriba 4 funciones
4 3 2 1 1 2 3 4
constantes
1 Grafique las demás
funciones del
2 ejemplo anterior
f ( x) 3
3
4
mapb 202
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
203
FUNCIÓN LÍNEAL
b f x m x b m tang
0 X
Solución:
Comparando la forma particular con la general:
y 2 x 1
m 2 y b 1. De donde : m tan g tan g 1 (m)
tan g 1 (m) tan g 1 (2) 6326| 05||
y m xb
Como la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación real se calcula con
la expresión: 180 180 6326| 05|| 11633|55||
mapb 203
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
204
Solución:
Consideremos la siguiente tabla:
Variable independiente
x 2 1 0 1 2 3
y 5 3 1 1 3 5 Variable dependiente
y 2 x 1
5
y 2 x 1
1
0 x
2 1 1 1 2 3
2
3
4
5
6
NOTA:
Se escogen mínimo seis(6) valores para hacer una gráfica o en su efecto dos; cuando se
escogen dos valores, los mismos son: 0 y 0, uno para cada variable. En este caso, se hace
una variable igual a cero (0) y se halla el valor de la otra y viceversa.
mapb 204
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
205
EJEMPLO 2.
Gráfiquemos la función 3x 4 y 12 0 , haciendo uso de dos puntos:
Solución:
Consideremos la siguiente tabla:
Como únicamente debemos obtener dos puntos;
x 0 4 primero hacemos , determinamos el valor de .
Luego, , determinamos el valor de .
y 3 0
Esto es:
Para x 0 : 3(0) 4 y 12 0 0 4 y 12 0 4 y 12 y 412 3
Para y 0 : 3x 4(0) 12 0 3x 0 12 0 3x 12 x 12
3
4
Gráfica: y
3x 4 y 12 0
EJERCICIOS
Escribe 3 funciones líneales, diferente a las
que aparecen en este libro.
0
x Gráfique las siguientes funciones, primero
4 haciendo uso 6 puntos, y luego, de dos
puntos
3
a y 3x. e f ( x ) 23x .
b f ( x ) x. f f ( x ) 2x 1.
c y x 1. g y 5 x315 .
d f ( x ) x 1. h 2 x 5 y 10 0.
1. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Una función cuadrática es de la forma: f ( x) ax 2 bx c. a, b y c R .
Gráfica:
f ( x ) ax bx c
2
y
Para a 0 y
Parábola
Parábola
c
f ( x ) ax bx c
2
c
Para a 0
0 x
0 x
mapb 205
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
206
f ( x ) 2 x 2 x 1, y x 2 2, y x 2 3, y x2 ,
1 2 etc.
Solución:
Comparando la ecuación particular dada, con la forma
f ( x ) 2 x x 0
2
x 4 3 2 1 0 1 2
f ( x)
7 2 1 2 1 2 7
f 4 42 2 4 1 16 8 1 7. f 0 1
f 3 32 2 3 1 9 6 1 2. f 1 2
f 2 22 2 2 1 4 4 1 1. f 2 7
f 1 12 2 1 1 1 2 1 2. y
7
y f x x 2 2 x 1
3
2
5 4 3 2 1
0 1 2 3 x
1
2
3
mapb 206
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
207
EJERCICIOS
Escribe 3 funciones cuadráticas.
Gráfica las siguientes funciones:
y x 2 , f x x 2 , y x 2 x 1, y 2 x 2 x 4,
y x 2 2 x, f x x 2 , f x 2 x 2 3x 5 , y 2 x 2 10
EJEMPLOS:
f x 4 x 2 , y 1 x 2 , y 9 x 2
y 16 x 2 , y 25 x 2 , y 36 x 2 , etc
2
1,73 Grafique las demás funciones
del ejemplo anterior
1
2 1 0 1 2 x
1
1,73
2
mapb 207
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
208
4x 2 x2 9x 2
f x 4 , y 1 , y 9
25 4 25
9x 2
y 9
16
9x 2
Grafiquemos: y 9 . 4,4. La raíz cuadrada del denominador muestra el
16
recorrido del dominio.
9( 4) 2 16 9 9 0
f ( 4) 9 16 9 916
9( 3) 2
f ( 3) 9 16 9 9169 9 16
81 14481
16 63
16 3,93 1,98
9( 2) 2
f ( 2) 9 16 9 9164 9 94 369
4 27
4 6,75 2,59
9( 1) 2 91 9 9 1449
f ( 1) 9 16 9 16 16 16 135
16 8,43 2,9
9( 0) 2
f (0) 9 16 9 16
90
9 16
0 90 9 3
De igual forma :
f ( 1) f (1) 1,98. f ( 2) 2,59. f (3) 1,98. f ( 4) 0. porque los valores se repiten
x 4 3 2 1 0 1 2 3 4
f x 0 1, 98 2, 59 2, 9 3 2, 9 2, 59 1, 98 0
y 2,9
3
2,59 Elipse
2
1,98
1
4 3 1 0 4
2 1 2 3 x
1
1,98
2
2,59
3 Grafique las demás funciones del
2,9 ejemplo anterior
mapb 208
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
209
EJEMPLOS:
1 4 2 x 2x 3 5
y , y , y , y , y , y , etc.
x x x x 1 x2 x2
Escribe 4 funciones racionales
3
Grafiquemos la función: y
x
x 3 2 1 0 1 2 3
y 1 3/2 3 3 3/2 1
3 3 3 3 3
y 1. y . y 3. y
3 2 2 1 0
3/2 = 1,5
, léase: Infinito. Indica que la curva se apróxima al eje y, pero nunca lo toca; es como
si en ese punto existiera un agujero o un hueco.
y
3
Gráfica de la función:
3
2 y 3x
2
1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 x
1
32 Grafique las demás funciones
2 del ejemplo anterior
3
mapb 209
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
210
y 2x , y 4 x , y 3 x1 , x
y 12 , y 2 x , etc.
ex ex
y ex, y e x , y e x1 , y ex , y e 2 x1 , y , y , etc.
2 2
EJEMPLOS de funciones logarímicas:
y log x. log logaritmo en base 10 o de Briggs
y ln x. ln logaritmo natural, la base es en número irracional e
En estas funciones logarítmicas, x siempre toma valores positivos
EJERCICIOS
Gráfica: y 2 x , y 2 x , y 4 x , y e x , y ln x, y log x.
Grafique en un mismo plano: y 3 x , y 3 x
Solución:
Grafiquemos en un plano la siguiente funcion: y 2 x
x 2 1 0 1 2 3
y 1/4 1/2 1 2 4 8
y
2 1 1
y2 2 . 8
2 4
1 1 7
y 2 1 1 . y 2x
2 2
6
y 2 1
0
5
y 21 2.
y 2 2 4. 4
y 23 8 3
2
1
4
1
1
2
1 0
3 2 1 2 3 x
1
mapb 210
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
211
0
0
y Lnx
Decreciente y Logx
Decreciente
y ex
Creciente 1
y ex y ex
ex
Decreciente
0 Creciente
Decreciente 0
y e x
y xb
Decreciente EJERCICIO
Creciente Grafique las siguientes funciones :
a f ( x) x 2 . b f ( x) x 2 .
b
y x
c f ( x) x 3. d f ( x) x 4.
e f ( x ) 2 x 1.
mapb 211
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
212
y x k. para x k
y x b
y x y x k. para x k
EJERCICIO
Grafique las siguientes funciones :
a f ( x) x . b y x 1. c f ( x) 2 x 3. d y x 1.
FUNCIÓN CÚBICA
Son de la forma: f ( x) y ax 3 bx 2 kx c. a, b, k , c R
y ax 3 bx 2 kx c
y ax 3 bx 2 kx
c
EJERCICIO
Grafique las siguientes funciones :
a y x3. c f ( x) x 3 x 2 x. e f ( x) x 3 x 2 2 x 1
b y 2 x 3 . d f ( x) 2 x 3 3x 2 4. f y x3 1
mapb 212
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
213
OBSERVACIONES:
3x 4 y 15 0 f ( x) x 2 2 x 1
2 x y 1 0 y 2x 1
f ( x ) 4
1 . 2 . 3 y x . 4 f ( x) x 2 .
f ( x ) 5 Identifique el punto y 3x 4
de int er sec ción f ( x ) x 2 x 2
2
x2 y2 y 1x y 3x y ex
1
5 25 16 . 6 y 1x . 7 y 3 x . 8 y e x .
x 2 y 2 16 Do min io : 5,5 y 3 x y ex
ex
y
2 y x y x
ex y log x
9 y . 10 . 11 y x 2 . 12 y x 2.
2 y log x
ex y x 4 y x 2
y
2
CUARTO PERIODO:
y x2 x 4
y x 3
13 . 14 y x 3 .
y x 3 y x
mapb 213
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
214
Anallizar la gráfica de una función es establecer una correlación entre las magnitudes que la
determinan. Las magnitudes que intervienen en una gráfica se denominan variables.
Las variables pueden ser: Independientes y Dependientes
EJEMPLO:
En la función: y 2 x
x Variable independiente
y Variable dependiente.
Al analizar las dos magnitudes que generan una gráfica se pueden presentar las siguientes
consideraciones:
La gráfica es una recta que pasa por el origen La gráfica es una recta que no pasa por el
del sistema de coordenadas cartesianas origen del sistema de coordenadas cartesianas
0 t
Magnitudes directamente
Magnitudes directamente correlacionadas
proporcionales
Es muy dificil definnir un procedimiento para analizar las gráficas de las situaciones 4 y 5,
debido, a que no presentan un comportamiento secuencial que permita predecir los cambios
que pueden presentar. De ahí, que la habilidad y capacidad del interesado es vital para
construir una función que permita conjeturar sobre estos tipos de gráficas.
mapb 214
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
215
Caso contrario sucede con los numerales 1, 2 y 3; por eso, se hace mucho más énfasis en
ellos.
EJEMPLO 1.
y
Analicemos la siguiente gráfica.
3
2 x, variable independiente
1
y, variable dependiente
3 2 1 0 1 2 3 x
1
2
3
Solución:
Consideremos la siguiente tabla con algunos valores de x , y.
3
v, variable dependiente
2 t, variable independiente
3/2
1
0 t
1 2 3 4
mapb 215
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
216
EJEMPLO 3.
Analicemos la siguiente figura:
V(m/s)
30
v, variable dependiente
t, variable independiente
20
v, velocidad
10 t, tiempo
0 3 5 7 t(s)
9
Solución:
Para t = 15s , v = 30m/s. Esto, porque v es constante .
mapb 216
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
217
EJEMPLO 4.
Analicemos la siguiente gráfica.
y
¿Qué valor toma x, cuando y = 15?
7
¿Qué valor toma y, cuando x = 5.5?
Este método es muy útil para valores muy pequeños de las variables.
OTRA FORMA:
Consiste en construir una función lineal para la gráfica y a partir de ahí, sustituir los valores
dados, para los pedidos. Una vez detrminada la función, se podrá asignar a una variable
cualquier valor, para hallar el valor de la otra…
Esto se podrá comprender mejor, cuando aprendamos a determmminar la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos.
mapb 217
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
218
EJERCICIO
Analice cada gráfica y responda los interrogantes planteados:
y
30
¿Qué valor toma x , cuando y = 150 ?
20
¿Qué valor toma y , cuando x = 17 ?
10
12 8 4 4 8 12 5
10
20
30
y
3
3 2 1 0 1 2 3 x
1
¿Qué valor toma x , cuando y = 15 ?
¿Qué valor toma y , cuando x = 12,9 ?
2
3
4 v
30
5
¿Qué valor toma v , cuando t = 10 ?
¿Qué valor toma t , cuando v = 100 ?
20
15
10
0 1 2 3 4 t
mapb 218
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
219
P(atm.)
80
40
20
0 1 2 V(m3)
3 4
V(m/s)
27
0 2 4 6 t(s)
8
y
¿Qué valor toma y , cuando x=3?
¿Qué valor toma y , cuando x=0?
¿Qué valor toma x , cuando v = 27 ?
30
2 0 2 4 6 x
30
60
mapb 219
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
220
PROCEDIMIENTO:
Se grafican las dos ecuaciones en un mismo plano catesiano. Normalmente, se hallan dos
puntos para cada recta. Haciendo primero , se determina el valor de , después, se
hace , se determina el valor de
Se identifica el punto de intersección de las rectas, y desde dicho punto, se trazan
perpendiculares a cada eje. Los números a donde llegan las perpendiculares, forman el
conjunto solución de las ecuaciones. Esto quiere decir, que las coordenadas del punto de
intersección satisfacen(hacen verdadera) cada ecuación.
Si las ecuaciones no tienen un punto de intersección, significa que las rectas son
paralelas, por ende, el sistema de ecuaciones no tiene solución. Cuando esto ocurre, se
dice que son “INCOMPATIBLES”
Si las rectas de ambas ecuaciones coinciden(se superponen), el sistema tiene
infinnitos puntos comunes(conjunto solución infinito), esto muestra, que las
ecuaciones son “EQUIVALENTES”
EJEMPLO 1.
Hallemos gráficamente el conjunto solución de
Solución:
Para cada ecuación, encontremos dos puntos para trazar su gráfica.
Para la ecuación :
.
Esto se resume en la siguiente tabla:
0 6 Para la ecuación 0 1
4 0 La tabla es: -1 0
Gráfica
Punto de intersección
de las rectas Como se puede observar, en el punto es
donde se cortan las dos rectas que
representan cada ecuación. Al trazar
perpendiculares(discontinuas) hacia cada eje,
las mismas caen en las coordenadas (3,2).
2 O sea:
Luego, la solución del sistema es:
0
3
mapb 220
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
221
EJEMPLO 2.
Resolvamos graficamente:
Solución:
0 4 0 1
0 0
0
Como las rectas son paralelas, el
sistema no tiene solución. Las
ecuaciones son incompatibles
EJEMPLO 3.
Hallemos el conjunto solución de:
Solución:
0 5 0 5
0 0
3
Como se puede observar, las rectas
coinciden, esto muestra, que todos los puntos
que satifacen una ecuación, también satifacen
la otra, y como una recta tiene infinitos
puntos, el conjunto solución es infinito;
mostrando que las ecuaciones son
equivalentes, o sea, la una es la
0
ampliación(multiplicación) de la otra por un
número o escalar
mapb 221
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
222
EJERCICIO
Halle gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:
3 x 2 y 10 x y 7 3 x y 6
a d g
x y 4 x y 1 3 x y 10
x 2 y 10 2 x 4 3 y 2
b e
2 x y 5 x 2 2 y 6
x 4 y 8
x 3 y 6
c x y 3 f
x 3 y 1 2 x 6 y 12
LA LÍNEA RECTA
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mapb 222
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
223
Solución:
Despejando y : y 32 x 2 . De donde: m 32 , est es el valor de la pendiente.
tan g 1 ( 32 ) tan g 1 (1,5) 5618|35||
La inclinación es:
El ángulo real de inclinación se calcula con la expresión: 180 .
Entonces: 180 180 5618|35|| 12341| 24||
La expresión 180° + se utiliza sólo cuando la pendiente es negativa
EJEMPLO 2.
Hallemos la pendiente e inclinación de la siguiente recta 4 x 4 y 12
Solución:
Despejando y : y x 3. De donde : m 1 este es el valor de la pendiente
La inclinació n es : tan g 1 (1) 45
EJEMPLO 3.
Encontremos la pendiente e inclinación de la siguiente recta 5x 2 y 0
Despejando y : . De donde: este es el valor de la pendiente
La inclinació n es : tan g 1 ( 52 ) 6811| 54||
EJERCICIO
Para cada recta, halle la pendiente inclinación:
3x 2 y 4 0. 2 x 5 y 10. y 2 x 5. 4 x 6 y. 6 x 4 y 9 0.
mapb 223
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
224
y
P2 Consideremos la recta que pasa por los
y2
puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
y 2 y1 m tan g
y1
P1
y 2 y1 y y
x2 x1 tan g m 2 1
x 2 x1 x 2 x1
Con esta expresión se calcula la pendiente
de una recta que pasa por dos puntos.
0 x1 x2 x
EJEMPPLO 1.
Hallemos la gráfica, pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos.
P1(1,2) y P2(3,5)
P2
5 P1 (1, 2) P2 (3, 5)
x1 y1 x2 y 2
y 2 y1 5 2 3
m
x 2 x1 3 1 2
3
2
P1
tan g 1 m tan g 1 5618 | 35 ||
2
0 1 3 x
mapb 224
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
225
EJEMPLO 2.
Hallemos la gráfica, pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos.
P1(3,5) y P2(1,3)
P1 (3, 5) P2 (1, 3)
x1 y1 x2 y2
y
y 2 y1 35 2 1
m
x 2 x1 1 (3) 1 3 2
5 1
P1 tan g 1 m tan g 1 2633| 54 ||
2
Para hallar el ángulo verdadero, hacemos
3
P2
uso de la siguiente exp resión : 180
180 180 2633| 54 || 15326 | 5 ||
3
0 1
x
EJERCICIOS
1. Para cada par de puntos, halle la gráfica, la pendiente e inclinación de la recta que
Pasa por ellos:
P1 (3,5) y P2 (2,3). P1 (0,4) y P2 (5,0).
P1 (4,5) y P2 (8,8). P1 (2,1) y P2 (5,6).
2. Los vértices de un triángulo son los puntos: A(2,3), B(3,2). D(1,3)
Halle la pendiente e inclinación de cada lado.
y
y De la gráfica se obtiene que:
P(x,y)
y y1 y y1
tan g pero : m tan g
x x1
y1 Q
x x1 y y1
Entonces : m de donde :
x x1
y y1 m( x x1 ) Ecuación de la recta
0 x1 x x punto pendiente
L
mapb 225
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
226
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,4) y que tiene 2 de pendiente.
Solución :
m 2. P(3,4). De donde : x1 3 y1 4
y y1 m( x x1 )
y 4 2( x 3)...................reemplazando m, x1 , y1
y 4 2 x 6.....................aplicando la propiedad distributi va
y 4 2 x 6 0................transponiendo tér min os
y 2 x 2 0.....................reduciendo tér min os semejantes
y 2 x 2 0....................esta es la ecuación pedida
EJEMPLO 2.
2
Determinemos la ecuación de la recta que tiene de pendiente y que pasa por el punto
3
A(4,1).
Solución:
m 23 . A(4,1)
2x 8
y y1 m( x x1 ) y 1 23 ( x 4) y 1 3 y 3 2 x 8
3
3 y 3 2 x 8 0 2 x 3 y 11 0........ecuación
EJERCICIO
Para cada punto y pendiente, halle la ecuación de la recta que pasa por él…
P(4,3), m 23 . Q(5,3), m 5. R(4,6), m 1. D(3,2), m 12 .
0 x x
mapb 226
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
227
EJEMPLO
Hallemos la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y la intersección con eje y es 2
Solución:
m 3. y1 2. x1 0
y y1 m( x x1 ) y (2) 3( x 0)
y 2 3x 3x y 2 0.....ecuación
EJERCICIO
Para cada punto de intersección con el eje y, halle la ecuación de la recta según la pendiente
dada:
y1 2, m 23 . y1 4 3 , m 52 . y1 4, m 7.
EJEMPLO
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q(4,2) y P(3,4)
Solución:
Q(4, 2) P(3, 4)
x1 y1 x2 y2
y 2 y1 4 (2) 42
y y1 ( x x1 ) y (2) ( x 4) y2 ( x 4)
x 2 x1 34 7
6 6
y2 ( x 4) y 2 ( x 4) 7( y 2) 6( x 4)
7 7
7 y 14 6 x 24 6 x 7 y 10 0.......Ecuación
mapb 227
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
228
EJERCICIO
Para cada para de puntos, halle la ecuación de la recta que pasa por ellos:
1. P(3,2) y Q(1,2). P(0,4) y Q(4,0). P(5,2) y Q(6,6). P(4,5) y Q(3,5).
2. Encuentre la ecuación de cada uno de los lados de un triángulo cuyos vértices son
los puntos P(3,4), R(2,5) y Q(5,6).
EJEMPLO 1.
Determinemos si las rectas que pasan por los puntos indicados son paralelas:
L1 : P1 (2, 4) y P2 (5, 6). L2 : P3 (0, 5) y P4 (4, 9).
Solución:
Para responder a esta situación, solo debemos probar que las pendientes de las rectas L1 y L2 son
iguales. Entonces: Sea m1 la pendiente de L1 : P1 (2, 4) y P2 (5, 6) y m 2 , la pendiente de
L2 : P3 (0, 5) y P4 (4, 9) . Luego:
y 2 y1 6 4 10 10 y 2 y1 9 5 4
m1 . m2 1 . Como se puede
x2 x1 5 2 7 7 x2 x1 4 0 4
observar: m1 m2 10
7 1 , por ende, L1 no es paralela a L2 . Trace usted la gráfica.
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, 5) y que es paralela a la recta
2x 3 y 5 0 .
Solución:
Sea L1 la recta 2 x 3 y 5 0 , y L2 la recta que pasa por el punto P(4, 5), y que es paralela a L1
O sea: L1 // L2 .
De L1 : 2 x 3 y 5 0 , despejemos y para determinar el valor de la pendiente m1 de L1 . Esto es:
2 5
y x . De donde: m 1 23 . Como L1 // L2 , entonces: m 1 m 2 23 .
3 3
m2 pendiente de L2 .
mapb 228
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
229
EJERCICIOS
1. Determine si las rectas que pasan por los puntos indicados son paralelas:
a L1 : P1 (2, 8) y P2 (0, 2); L2 : P3 (1, 2) y P4 (2, 7).
b L1 : P1 (1, 4) y P2 (3, 1); L2 : P3 (2, 4) y P4 (2, 5).
c L1 : P1 (2, 2) y P2 (6, 0); L2 : P3 (2, 11) y P4 (6, 13).
2. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto indicado y que es paralela a la
recta dada:
a P(4,5), 2 x 3 y 5 0. Ayuda: Halle la pendiente de la ecuación despejando
b Q(4,6), 4 x 5 y 0. y. Como las rectas tienen la misma pendiente, haga
uso de la ecuación de la recta punto pendiente
c R(2,1), x 2 y 4.
mapb 229
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
230
EJEMPLO 1.
Determinemos si las rectas que pasan por los puntos indicados son perpendiculares:
Solución:
L1 : P1 (0, 3) y P2 (2,1). L2 : P3 (2, 2) y P4 (4,1).
Sea m1 la pendiente de L1 y m2 la pendiente de L2 . Entonces:
y y1 1 (3) 1 3 1 2 1 1
m1 2 2. m2
x2 x1 20 2 42 6 6
1 2 1
m1 m2 2 , las rectas L1 y L2 no son perpendiculares, porque el producto de
6 6 3
sus pendientes no es igual a 1
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es perpendicular a la
recta 3x +2y = 4.
Solución:
De la ecuación 3x 2 y 4 , despejemos y . Esto es: y 32 x 2 .
Sea m1 32 la pendiente dde la recta dada y m2 la pendiente de la recta que pasa por el
punto P(4, 5). Como las rectas son perpendiculares, entonces: m1 m2 1
1 1 2
De donde: m2 3 . Haciendo uso de la ecuación y y1 m2 ( x x1 ) .
m1 2 3
Entonces: y 5 23 ( x 4) 3 y 15 2 x 8 3y 2x 7 0
Trace usted la gráfica.
EJERCICIOS
1. Determine si las parejas de rectas que pasan por los puntos indicados son
perpendiculares
a L1 : P1 (0,0) y P2 (3,2); L2 : P3 (2,2) y P4 (4,11).
b L1 : P1 (3,4) y P2 (5,2); L2 : P3 (2,1) y P4 (4,7).
c L1 : P1 (5,5) y P2 (3,17 / 5); L2 : P3 (7,34) y P4 (4,2).
2. Para cada recta, halle otra que sea perpendicular y que pase por el punto indicado:
a P(0,4), 4 x 6 y 4.
b Q(4,6), 3x 4 y 8 0.
c R(2,1), 8 x 4 y 20 .0
mapb 230
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
231
m2 m1
Por consiguiente: tan g tan g ( 2 1 ) con esta expresión se halla el ángulo
1 m2 m1
entre dos rectas.
EJEMPLO 1.
Hallemos el ángulo formado por las rectas cuyas pendientes son 4 y 8.
Solución:
Denotemos como m1 y m2 las pendientes en cuestión, esto es: m1 4 y m2 8 , y sea el
ángulo entre las dos rectas, entonces:
m2 m1 84 4 4
tan g 0,121 .
1 m1 m2 1 4 8 1 32 33
De donde: tan g 1 (0,121) 654| 40|| , este es el ángulo pedido.
EJEMPLO 2.
Determinemos el ángulo formado por las rectas 2 x 4 y 8 0 , 3x 4 y 12 .
Solución:
Sea m1 la pendiente de 2 x 4 y 8 0 y m2 , la pendiente de 3x 4 y 12 .
En ambas ecuaciones, despejemos y :
2x 8 1 1
Para 2 x 4 y 8 0 : y x 2 m1 .
4 4 2 2
3x 12 3 3
Para 3x 4 y 12 : y x 3 m2 .
4 4 4 4
Sea el ángulo entre las rectas en cuestión, entonces:
m2 m1 31 5 5
40
tan g 4 2
43 4
2. De donde:
1 m1 m2 1 2 4 1 8
1 3 5
8 20
tan g 1 (2) 6326| 05|| , este es el ángulo pedido. Trace usted la gráfica.
mapb 231
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
232
EJERCICIOS
1. Para cada par de pendientes que se presentan a continuación, halle el ángulo que
forman las rectas al cortarse: 4 y 8; 5 y 3; 1 y 1; 4 y 2.
Q(x,y)
d
0 x
Ax + By + C = 0
En el análisis que hicimos en geometría plana, mostramos que la distancia más corta entre
un punto y una recta, es la perpendicular trazada desde la recta al punto. En nuestro caso, el
segmento PQ que es igual a la distancia d(d = PQ) es perpendicular a la recta L.
Demostración
Pasos:
1. Determinamos la ecuación de la recta L1 que es perpendicular a L.
2. Como el punto Q es común para las dos rectas, hallamos las coordenadas
resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma.
4. Calculamos la distancia entre los puntos P y Q que es la distancia del punto a la
recta
mapb 232
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
233
B 2 x1 ABy 1 AC
De igual forma: x . Entonces, las coordenadas del punto Q son:
A2 B 2
B 2 x1 ABy 1 AC ABx1 A 2 y1 BC
Q( x, y ) Q , , con estas coordenadas y las del
A2 B 2 A2 B 2
punto P( x1 , y1 ) , hallemos la distancia entre los puntos P y Q. Esto es:
2 2
B 2 x1 ABy 1 AC ABx1 A 2 y1 BC
d x1
2
y
1
A2 B 2 A2 B 2
2 2
A 2 x1 B 2 x1 B 2 x1 ABy 1 AC A 2 y1 B 2 y1 ABx1 A 2 y1 BC ...Sumando fracciones.
d 2
A B
2 2
A2 B 2
2 2
A 2 x1 ABy1 AC B 2 y1 ABx1 BC ….Reduciendo términos semejantes.
d 2
A2 B 2 A2 B 2
AAx1 By1 C BAx1 By1C …Ordenando y factorizando.
2 2
d2
A B
2 2
A2 B 2
d2
A 2
Ax1 By 1 C 2
B 2
Ax1 By 1 C 2
…Desarrollando potencias.
A2 B 2 2 A2 B 2 2
d2
A 2
B 2 Ax1 By1 C
2
Ax1 By1 C 2 ….Sumando fracciones, factorizando y
A 2
B2
2
A2 B 2
simplificando.
d
Ax1 By1 C 2
Ax1 By1 C …Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros
A B
2 2
A2 B 2
mapb 233
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
234
EJEMPLO 1.
Hallemos la distancia que separa a la recta 2x +3y 6 =0 y el punto P(2, 4)
Gráfica
2x3y 6 0 P(2, 4)
y
A B C x1 y1
Ax1 By1 C 2(2) 3(4) (6)
2x + 3y 6 = 0
d
A2 B 2 2 2 32
0
4 12 6 22
x d
d 49 13
22 22
d ...dis tan cia
13 13
P(2, 4)
El signo menos de la distancia, muestra que el punto está por debajo de la recta, pero,
sabemos que la distancia nunca es negativa, por eso, en este caso se halla el valor absoluto
de la misma.
Si la distancia es positiva, el punto se encuentra por encima de la recta o a la derecha
EJEMPLO 2.
Los puntos P(4, 3), Q(4, 2) y K (1, 4) son los vértices de un triángulo, hallemos la altura
correspondiente a cada lado.
y
Solución: Altura con respecto
al lado PQ
K(1, 4)
PASOS A SEGUIR:
Q(4, 2)
Determinemos la ecuación de la recta que
Contiene cada lado, haciendo uso de la
y y1
x ecuación : y y1 2 ( x x1 ) .
0 x 2 x1
Luego, calculemos la distancia de cada
Punto (vértice) a cada lado.
P(4, 3)
mapb 234
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
235
EJEMPLO 3.
Dadas las rectas L1 : 2 x 3 y 6 0 y L2 : 4 x 3 y 12 0 , hallemos la distancia que
las separa en un determinado punto.
y
2x 3 y 6 0
4 x 3 y 12 0
2
Importante:
3 d 2 Debido al carácter infinito de las rectas, es
0 x imposible calcular la distancia que las separa
3
en todo el recorrido, pero, si podemos estimar
2, 43
4
L1 3
la distancia que las aparta en determinados
puntos del trayecto
4
L2
EJERCICIOS
mapb 235
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
236
No existe una fórmula mágica que permita construir la función (fórmula expresión
algebraica) que represente las características de un fenómeno natural, esto se debe a que los
fenómenos naturales son heterogéneos (distintos) y por ende, nos es posible establecer unas
reglas (condiciones) que los represente a todos. Por eso, la capacidad e inventiva del
interesado es muy importante para llevar a cabo tal construcción.
Es muy importante anotar, que casi siempre las relaciones involucran dos variables
mapb 236
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
237
Gráfica
y y f ( x) mx k
0 x
EJEMPLO 1.
Durante una reunión familiar, el padre se compromete a darle a un hijo $500 más diario para sus
gastos, siempre y cuando, éste asista todos los días de la semana al colegio.
a) Hallemos una función para el ingreso adicional del hijo en función de los días asistidos al colegio
b) Determinemos, ¿cuánto acumulará en 46 días?
Solución:
En un día recibe: 500. Que equivale a multiplicar 500(1)
En dos días recibirá: 500 + 500 = 1000. Que equivale a multiplicar 500(2)
En tres días recibirá: 500 + 500 + 500 = 1500. Que equivale a multiplicar 500(3)
En cuatro días recibirá: 500 + 500 + 500 + 500 = 2000. Que equivale a multiplicar 500(4)
El en cinco días recibirá: 500(5), y a si sucesivamente.
El anterior análisis muestra, que para determinar el ingreso del hijo en un determinado
número de días, solo hay que multiplicar lo que se gana el primer día ($500) por el número
de días transcurrido
I ( x) 500 x Función
b) Al transcurrir 46 días, o sea, para x 46 el hijo recibirá:
I (46) 500(46) $23.000 Ingreso
Gráfica: I ( x) 500 x
x 0 1 2 3 4
2000
y 0 500 1000 1500 2000 1500
1000
500
0 Días
1 2 3 4
mapb 237
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
238
EJEMPLO 2.
Un comerciante le paga a un empleado $10850 diario por la jornada ordinaria de trabajo. Con
el objetivo de aumentar la producción, el patrón acuerda con el empleado el pago de $2500
por cada hora extra (hora adicional a la jornada ordinaria) labrada
Determinemos la función para el sueldo diario en función de las horas extras laboradas
Solución:
Debido a que las horas extras se contabilizan después de la jornada ordinaria de trabajo, y
además, el trabajador primero asegura el sueldo de la jornada ordinaria ($10850), entonces:
Para una hora extra: 10850 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(1)
Para dos horas extras: 10850 + 2500 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(2)
Para tres horas extras: 10850 + 2500 + 2500 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(3)
Para una hora extra: 10850 + 2500(4), y a si sucesivamente
El sueldo percibido por las horas extras laboradas, resulta de multiplicar el valor de la hora
extra por el número de horas extras transcurridas. O sea: 2500 x . Pero, para tener derecho al
pago de horas extras, el trabajador primero asegura el sueldo de la jornada ordinaria
($10850), que lo suma al sueldo de las horas extras, entonces la función es:
Gráfica:
x 0 1 2 3 4
y 10850 13350 15850 18350 20850
Sueldo
0 Horas
EJEMPLO 3. 1 2 3 4
Una fábrica paga a un empleado $200 por cada día laborado. Pero, debido a un préstamo que
la cooperativa de la fábrica le hizo al trabajador, cada vez que le pagan le hacen un descuento
de $80 para amortizar la deuda.
a) Construyamos una función para el ingreso del empleado en función de los días pagados.
b) Determinemos los días que debe trabajar para obtener un sueldo de $1000.
mapb 238
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
239
Solución:
S = Sueldo en función de los días trabajados
x = Días laborados
$200 = Sueldo devengado en un día
$80 = Descuento que le hacen al trabajador cada vez que pagan
Como en un día gana $200, en x días ganará: 200 x . Pero, para amortizar la deuda, cada vez
que pagan le hacen un descuento de $80, entonces, en x días pagados, recibirá: 200 x 80 .
De donde:
S ( x) 200 x 80 Función
Gráfica:
x 0 1 2 3 Sueldo
y 80 120 320 520 560
520
480
400 S ( x) 200 x 80
320
¿Cuál será la ganancia cuando el 240
trabajador no trabaja? 160
¿Cuánto recibirá si trabaja todo 120
el mes? 80
0 1 2 3 4 Días
80
EJEMPLO 4.
Para construir una casa comunal, los habitantes de un barrio de Quibdó compran un terreno
rectangular de 240m2 de área. Pero debido a la falta de presupuesto, la obra no podrá ser
construida inmediatamente, y la comunidad decide cercarlo con alambre.
Expresemos la longitud (perímetro) del lote como una función de uno de sus lados.
mapb 239
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
240
EJEMPLO 5.
Una tienda de video juego, presenta a sus clientes las siguientes opciones para la adquisición
de películas: Si comparan 4 películas a $160 cada una, entonces pueden comprar películas
adicionales a mitad de precio. Pero, debido a la poca oferta, a cada cliente solo se puede
vender un máximo de 10 películas
Hallemos la función del costo de la compra en función del número de películas compradas.
Solución:
C = Costo de la compra
x = Número de películas compradas
$160 = Precio de cada película
Como nunca es posible comprar cero películas, x toma valores mayores a cero.
Si un cliente compra de 1 a 4 (1 x 4) películas. El costo de la compra es: 160 x , entonces:
C( x) 160 x. para 1 x 4........(1)
Pero después de comprar 4 películas, las demás se pueden pagar a mitad de precio, o sea a:
$160 $80 cada una. Esto muestra, que para la adquisición de 4 x 4 películas, el cliente
2
paga cada una a 80 x . Pero como ya pagó las 4 primeras a 160 x 160(4) $640 , el costo de
comprar más de 4 películas, viene dado por la suma de las 4 que paga a $160 más las que
paga a mitad de precio. Luego:
C( x) 640 80 x. para 4 x 10.......(2)
Reuniendo (1) y (2):
160 x para 1 x 4
C( x ) . Se ha obtenido una función por tramo
640 80 x. para 4 x 10
¿Cuánto debe pagar un cliente que compre 3, 6, 7 o 9 películas?
EJEMPLO 6.
Carmen Bonilla hace helados a un costo de $8 cada uno. Si los vende a x pesos, podrá
vender 18 x helados al día.
a). Hallemos una función que represente la utilidad (ganancia) en función del precio
b). Calculemos la utilidad si los helados se venden a $10.
En las operaciones comerciales, la Utilidad o
Solución:
Ganancia, el Ingreso o Venta, el Costo y la Perdida,
G = Utilidad o ganancia están relacionadas a través de las siguientes
x = Precio de cada helado expresiones:
$8 = Costo de cada helado Ganancia o Utilidad venta o Ingreso cos to
18 x = Número de helados vendidos Perdida cos to venta
Pero:
Ingreso (número de helados )( precio por helado ) Ingreso (18 x)( x)
Costo (número de helados )(cos to por helado ) Costo (18 x)(8)
Haciendo uso de la expresión: Utilidad Ingreso cos to se tiene que:
G( x) (18 x)( x) (18 x)(8) (18 x)( x 8) x 2 26 x 144
G( x) x 2 26 x 144.......Función
mapb 240
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
241
EJEMPLO 7.
Una persona compra una motocicleta por $200.000. Después de 10 años de uso la
motocicleta está obsoleta y sin ningún valor.
a). Hallemos una función para el valor de la depreciación de la motocicleta durante
los 10 años de uso.
b). Transcurrido 7 años, ¿en cuánto se puede vender la motocicleta?
Solución:
V = Valor de la depreciación de la motocicleta
10 = Tiempo de vida útil
t = Tiempo que debe transcurrir para que la motocicleta quede obsoleta
$200.000 = Valor compra de la motocicleta
Como la motocicleta tiene una vida útil de 10 años, y queda obsoleta en t años, cada año se
t , pero a medida que pasan los años, el precio de la motocicleta se deteriora
deteriora 10
proporcionalmente al tiempo transcurrido, entonces, la misma se deprecia en:
200000 t 20000t .
10
El valor V de depreciación se calcula estableciendo la diferencia entre el costo inicial o
valor compra($200.000) y la depreciación del precio en t años ( 20000t ). Luego:
EJEMPLO 8.
Para estimular el consumo de un producto que tiene un precio de $200, el gerente de un
supermercado decide hacerle un descuento continuo diario del 10% sobre el costo,
disminuyendo constantemente su precio.
a). Hallemos una función para el costo del producto en función de los días que
permanece disponible al público.
b). Determinemos el costo del producto los 10 días de promoción
Solución:
Recordemos:
2,5
k % 100
k . 30% 100
30 . 2,5% 100 . 10% 100
10 . 85% 100
85 .
k )
Para hallar el porcentaje de un número, multiplicamos la expresión racional( 100
k Q kQ
del porcentaje por el número. Esto es: El k% de Q 100 100
40 (500) 20000 200
Hallemos el 40% de 500. Entonces: 100 100
mapb 241
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
242
El tercer día, se descuenta el 10% del precio del día anterior, esto es:
10% de 200 1 10
1 . De donde:
2
200 1 10
1
2
10
1 200 1 1
10
2
200 1 10
2
1 1 1 200 1 1
10 10
3
G(t ) 200 1 10 t
1 …..Función
2001 10
1 …..Quinto día
5
G(t ) 200 1 10
1 t 2000,9t
En general:
G = Costo del artículo al aplicarle el descuento continuo
Q = Precio inicial
r % 100
r = Porcentaje de descuento
t = Tiempo
Luego:
r t ….Esta es la fórmula para calcular el interés compuesto
G(t ) Q 1 100
mapb 242
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
243
EJEMPLO 9.
Comparando las escalas de temperaturas Celsius o Centígrada y la Fahrenheit, se observa que para 0°
Celsius (punto de congelación del agua), la escala Fahrenheit marca 32° y para 100° Celsius (punto de
ebullición del agua), la escala Fahrenheit marca 212°. Si las dos escalas se relacionan linealmente:
a) Hallemos la función o fórmula que relaciona las dos escalas
b) Para una temperatura de 60° en la escala Celsius, ¿cuántos grados marca la escala Fahrenheit
Solución:
El enunciado muestra que las dos escalas coinciden en dos puntos distintos, esto nos lleva a utilizar la
eceuación de la recta que pasa por dos puntos.
0
C Celsius y 0F Fahrenheit
Los puntos son: °F Gráfica
0, 32 100, 212 212° (100°,212°) Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
0 0 0 0 y y1
C1 F1 C2 F2 32° (0°,32°) y y1 2 ( x x1 )
x 2 x1
0° °C
100°
Haciendo uso de las variables seleccionadas para nuestra solución, la ecuación es:
F F1
F F1 2 (C C1 ) . Sustituyendo los valores de los puntos en esta ecuación, se
C 2 C1
tiene que:
212 32 180 9
F 32 (C 0) F 32 C F 32 C
100 0 100 5
9
Luego : F C 32 Esta es la función
5
Como se puede observar la escala Fahrenheit está en función de la escala Celsius.
b) Para °C = 60°:
9 9 540
F C 32 (60) 32 32 108 32 140
5 5 5
Entonces: Para °C = 60°, °F = 140°
EJERCICIOS
1. La siguiente tabla muestra el plan que una empresa telefónica ofrece a sus
usuarios
Precio minuto = $250 Cargo fijo por minuto = $12
a). Halle una función para el costo del plan en función de los minutos
consumidos
b). Si un usuario consume 680 minutos, ¿cuánto debe pagar?
c). Con $40000, ¿cuántos minutos puede comprar?
d). Trace la gráfica
mapb 243
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
244
2. Un rectángulo tiene un perímetro de 200m y sus lados están denotados con las
letras x, y .
a). Exprese el área del rectángulo en función de x
b). Para un área de 200cm 2 , ¿cuál es el valor de x
c). Para x 8,56cm , ¿cuánto vale el área?
d). Trace la gráfica
Ayuda :
y
Área rectángulo : A xy
Perímetro : P 2 x 2 y
x
3. Una empresa paga a sus empleados $400 por cada día laborado. Para evitar que
los trabajadores lleguen tarde , establece recortar $80 por cada hora de retraso
a). Halle una función para el sueldo de un trabajador en función de las horas de
retraso.
b). Para que un empleado reciba $100, ¿cuántas horas debe retrasarse?
c). ¿Cuál es el sueldo de un trabajador que se retrasa 5 horas?
d). Trace la gráfica.
4. Una empresa abona a sus agentes de ventas $3000 por alojamiento y alimentación
más $20 por cada km de viaje en coche
a). Escribe una función para el abono de un agente en función de los km recorridos
b). ¿Cuántos km debe recorrer un agente para obtener un abono de $36000?
c). Para un recorrido de cero km, ¿cuál será el abono que recibe un agente?
6. Un cilindro recto tiene una superficie total de 80m2 y su radio y altura están
denotadas por las letras x, y .
a). Exprese el volumen en función de x
b). Para que valor de x el volumen será de 40m 3
Ayuda :
y Volumen cilindro : V r 2 h
x Área total : AT 2 r (h r )
mapb 244
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
245
8. Felipe compra celulares a $40 cada uno. Debido a la crisis económica del país, para
evitar la quiebra del negocio, tuvo que vender los celulares en $5 menos del precio
inicial. Él decide vender 20 x celulares diario.
a). Escribe una función de la perdida en función del número de celulares vendidos
b). ¿Cuántos celulares debe vender diariamente para que la perdida sea mínima?
Ayuda : Perdida Venta Costo
9. Se va a construir una caja abierta de una pieza cuadrada de material de 30cm de lado,
cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando por las líneas de puntos.
a). Exprese el volumen de la caja en función de x
b). Para obtener un volumen de 1200cm 3 , ¿cuál debe ser el valor de x ?.
x
x
x
Pieza 30 2 x
30 2 x Caja Ayuda
cuadrada construida
V abh
x
30cm 30 2 x
10. Un padre le asigna a su hijo un estímulo económico de $500 diarios por asistir al
colegio , y adicionalmente le promete $700 por cada examen aprobado.
a). Escribe una función para el dinero percibido por el hijo en función de los
exámenes aprobados.
b). ¿Cuántos exámenes debe aprobar para obtener $6800?
c). ¿Cuánto recibirá si reprueba(pierde) todos los exámenes?
d). Trace la gráfica
11. CODECHOCÓ decide reforestar unas hectáreas de bosques que fueron taladas por
unos leñadores. Cuando los funcionarios inspecciones el área, contabilizan un
total de de 500 árboles. Después de hacer un análisis, estiman(deciden) sembrar
cada mes el 20% de los árboles existentes.
a). Halle una función para la cantidad de árboles que contiene el bosque en
función de los meses sembrados
b). ¿Cuántos árboles tendrá el bosque en un semestre?
13. Un banco ofrece el 8% de utilidad diaria sobre el saldo, y cada día la ganancia se
acumula al capital. Un comerciante atraído por la oferta del banco deposita
$2000
a). Halle la función que le permite al comerciante estimar la ganancia en función
mapb 245
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
246
de los días
b). A los 10 días de tener el dinero en el banco, ¿cuánto recibe?
14. Un estudio sobre la producción de oro en el departamento del Chocó mostró que en
el mes de enero se extrajeron 10 castellanos por cada 4m3 de tierra dragada y en el
mes de junio de 80 castellanos por cada 20m3 de tierra dragada. Si las dos variables
tienen un comportamiento líneal:
a) Halle una función para la producción de oro en el Chocó
b) Para una producción de 50 castellanos, ¿cuántos m3 se deben dragar?
c) Para un dragado de 80m3, ¿cuántos castellanos se producen?
15. Las ventas del comercio de Quibdó en los dos primeros meses de 2009 fue de 400 y
600 millones de pesos, respectivamente. Si el crecimiento de las ventas tienen un
comportamiento lineal:
a) Halle una función para las ventas
b) En el 10 mes, ¿a cuánto hacienden las ventas)
c) ¿Cuántos meses deben transcurrir para obtener unas ventas de 2000 millones
de pesos?
mapb 246
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
247
SECCIONES CÓNICAS
Las secciones cónicas son curvas que se forman por la reflexión e intersección de una
superficie cónica de revolución con un plano.
e
Las secciones cónicas son:
LA CIRCUNFERENCIA: El plano que corta el
cono es perpendicular al eje.
Generatriz(g) LA PARÁBOLA: El plano es paralelo a la
Vértice generatriz y oblicuo al eje.
LA ELIPSE: El plano es oblicuo al eje y corta las
dos generatrices.
LA HIPÉRBOLA: El plano es paralelo a las dos
generatrices.
Eje
LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias equidistan
todas (misma separación) de un punto llamado centro. La distancia a la que equidistan se
llama el radio de la circunferencia.
y
Radio
r r
Centro
0
x
C
0 x
mapb 247
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
248
y
P( x, y ) La distancia entre los puntos P y C es el
radio de la circunferencia(r).
r Aplicando la fórmula para hallar la distancia entre
los puntos, se tiene que:
k C( h, k )
( x h) 2 ( y k ) 2 r 2 ….Esta es la ecuación
ordinaria o canónica de una circunferencia.
mapb 248
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
249
EJEMPLO 1.
La expresión x 2 y 2 2 x 4 y 35 0 es la ecuación de una circunferencia. Hallemos los
valores de D, E, F, el centro y el radio.
Solución:
La ecuación particular x 2 y 2 2 x 4 y 35 0 se comprara con la general
x 2 y 2 Dx Ey F 0
Comparando:
x 2 y 2 2 x 4 y 35 0
x y D x E yF 0
2 2
Gráfica: y
0
40 x
C (1,2)
mapb 249
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
250
EJEMPLO 2.
La ecuación de una circunferencia es 4 x 2 4 y 2 12 x 16 y 20 0 . Hallemos el centro
y el radio.
4 x 2 4 y 2 12 x 16 y 20
0 x 2 y 2 3x 4 y 5 0.
4 4 4 4 4
Solución:
Primero eliminamos los coeficientes de x 2 , y 2 dividiendo toda la ecuación por el coeficiente
de x 2 , o sea, por 4, luego, se compara con la general. Esto es:
Trace la gráfica….
Comparando:
D3 h
D
2
3
.
2
E 4 k
E
2
(4)
2
2. El centro es : C 32 .2
5
F 5 F h2 k 2 r 2 r radio
2
EJEMPLO 3.
La ecuación de una circunferencia es 4 x x 2 y 2 1 0 . Hallemos el centro y el radio.
D (4) E 0
D 4 h 2. E0 k 0. El centro es : C 2,0
2 2 2 2
F 1 F h k r r 3 radio
2 2 2
EJEMPLO 4.
Hallemos la ecuación ordinaria y general de la siguiente circunferencia.
y C (2, 3), de donde : h 2, k 3, r 10
10 h k
C (2,3) Reemplazando h, k y r en la ecuación canónica:
( x h) 2 ( y k ) 2 r 2
[ x (2)]2 ( y 3) 2 (10) 2 .
( x 2) 2 ( y 3) 2 (10) 2 ……….Ecuación ordinaria.
0 x x 2 4 x 4 y 2 6 y 9 100 .
x 2 y 2 4x 6y 87 0 ……. Ecuación general.
mapb 250
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
251
EJEMPLO 5.
Determinemos la ecuación general de una circunferencia cuyo diámetro tiene por extremo los
puntos ( 2, 6) y (2, 4).
0 x
EJEMPLO 6.
Determinemos la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C( 2, 2) y pasa por
el punto (2,3).
y
(2,3)
Hallemos el radio, determinando la distancia entre
los dos puntos:
r (2 2) 2 (2 3) 2 (4) 2 (5) 2
r
r 16 25 41.
x (2)2 y (2)2
2
x 41
C(2, 2) x 22 y 22 41
x 2 4 x 4 y 2 4 y 4 41
x 2 y 2 4 x 4 y 33 0 ….Ecuación …
mapb 251
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
252
EJEMPLO 7.
( x 4) 2 ( y 6) 2 49 r 49 7 .
Para P(3, 5) : (3 4) 2 (5 6) 2 7 2 7 …Si se cumple, entonces, P(3,5) está en
el interior de la circunferencia.
Para Q(4, 8) : (4 4) 2 (8 6) 2 7 196 7 14 7 …Si se cumple,
entonces, Q(4,8) está en el exterior de la circunferencia.
EJEMPLO 8.
Hallemos la ecuación de la circunferencia de radio 10 y cuyo centro es el punto de
intersección de las rectas
2x 3 y 7 y 3x 4 y 2 0
Solución:
El centro de la circunferencia es el punto de intersección de las dos rectas involucradas; para
hallar las coordenadas del punto de intersección que para nuestra circunferencia es el centro,
se resuelve el sistema por cualquiera de los métodos analizados en los años anteriores.
Resolviendo el sistema se tiene que C(2,1), entonces:
x 22 y 12 (10) 2 x 2 4 x 4 y 2 2 y 1 100
x 2 y 2 4 x 2 y 95 0 Ecuación general....
EJEMPLO 9.
Observe la siguiente circunferencia. Si la circunferencia se traslada 8 unidades hacia la
derecha, o sea, en la dirección V (8, 0) , ¿cuál es la ecuación de la circunferencia en la nueva
posición?.
mapb 252
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
253
EJERCICIOS
7 0 x
11
0 x
3. Para cada par de puntos que determina el diámetro de cada circunferencia, halle la
ecuación general
a). A(2, 2) y Q(2,2). b). A(0, 0) y Q(8,10). c). R(4, 5) y Q(4, 2).
y y
Se traslada 4unidades hacia la
izquierda y 3 hacia abajo, o sea,
7
en la dirección V (4, 3)
0 x
0 x Se traslada 5unidades
11
hacia la derecha y 4
hacia arriba, o sea, en
la dirección V (5, 4)
mapb 253
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
254
NOTA
COMO COMPLETAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Las expresiones ax 2 bx y ax 2 bx hacen parte de un trinomio cuadrado perfecto, pero
como se puede observar, a ambas expresiones le hace falta un término. Para hallar el término
que falta, se aplica el siguiente procedimiento:
Se ordena la expresión en forma descendente (de mayor a menor)
Se factoriza toda la expresión por el coeficiente del término de mayor grado
Cuando el trinomio hace parte de una ecuación o identidad, toda la expresión se divide
por el coeficiente del término de mayor grado
El coeficiente del segundo término se divide por 2 y el cociente se eleva al cuadrado
A la expresión inicial se suma y resta la potencia obtenida.
Finalmente, si es necesario se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.
1
4
2
1 ….elevando el cociente al cuadrado.
16
2 x 2 12 x 16
1 1 …sumando y restando
16
1
16
2 x 14
2
16
1 ….factorizando. Entonces: 2 x 1
4
2
16
2 , sí esta expresión se desarrolla,
reproduce la inicial.
2
3 9 …elevando el cociente al cuadrado. x 2 3x 94 94 0 x 32
2
94 0
2 4
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE X 2 Y 2 DX EY F 0
Al inicio de la guía se mostró que la ecuación ordinaria de una circunferencia se puede
escribir de la siguiente forma:
x 2 y 2 Dx Ey F 0 Ecuación general de una circunfere ncia.
x 2 Dx y 2 Ey F Ordenando y transponiendo a F
2 2 2 2
D D E E
x 2 Dx y 2 Ey F Comple tan do los trinomios...
4 4 4 4
2 2
D E
2 2
D E
x y F Factorizan do y aislando los trinomios...
2 2 4 4
De esta ecuación se obtiene que :
2 2
D E D E 1
h . k . r2 F r D E 4F
2 2
2 2 4 4 2
D E
El centro es : C ,
2 2
mapb 254
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
255
Gráfica:
y
0 x
CONSIDERACIONES IMPORTANTES
SOBRE D E 2 4F
2
C D2 , E
2 Si D 2 E 2 4F 0, la circunferencia
es real
Si D 2 E 2 4F = 0, la circunferencia
r 1
D 2 E 2 4F
2 se reduce a un punto
Si D 2 E 2 4F 0, la circunferencia
es imaginaria
EJEMPLO
Grafiquemos la circunferencia x 2 y 2 2 x 2 y 9 0
Solución:
x2 y2 2 x 2 y 9 0
x 2 y 2 Dx Ey F 0
Comparando:
D (2) E 2
D 2 h 1. E2 k 1.
2 2 2 2
El centro es : C 1, 1
F 9 pero : r 1
2 D 2 E 2 4F 1
2 (2) 2 (2) 2 4(9) 1
2 44 11
0 x
C (1, 1)
11
mapb 255
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
256
EJERCICIO
Grafique las siguientes circunferencias:
x 2 y 2 2 x 2 y 5 0. x 2 y 2 6 x 4 y 4 0.
x 2 y 2 2 x 5 y 1 0. 4 x 2 4 y 2 8 x 12 y 2 0.
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,2) , B(6,6) y
Q(6, 2).
Solución:
En este caso utilizamos la ecuación x 2 y 2 Dx Ey F 0 . Reemplazando las
coordenadas de cada punto en la ecuación anterior, formamos un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas(D,E,F). El objetivo es hallar el valor de cada incógnita, para luego,
reemplazarlos en la ecuación general…
mapb 256
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
257
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(6,2), Q(8,0) y
cuyo centro está sobre la recta 3x 7 y 2 0
y
En este caso utilizaremos la ecuación
x h 2 y k 2 r 2
Para A(6,2) :
A( 6,2 )
6 h 2 2 k 2 r 2
Q( 8,0 ) h 2 k 2 12h 4k 40 r 2 ......(1)
0
C(h,k) x Para Q(8,0) :
3x 7 y 2 0
8 h 2 0 k 2 r 2
h 2 k 2 16h 64 r 2 .......(2)
x 42 y (2) 2 ( 20 ) 2 x 4 y 2) 20
2 2
x 2 8 x 16 y 2 4 y 4 20 x 2 y 2 8 x 4 y 20 20 0 x 2 y 2 8 x 4 y Ecuación ...
EJERCICIOS
1. Para cada terna de puntos, halle la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos:
a). P(1,0), Q(3,2) y R(1, 4). b). A(2, 2), B(1,4) y H(4, 6)
2. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 4), (2, 1) y
cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y +5 = 0.
3. Una circunferencia de centro (3, 2), es tangente a la recta 3x + 4y + 2 = 0. Determine la
ecuación de la circunferencia y la gráfica de la misma.
4. Sea la circunferencia 4 x 2 4 y 2 16 x 20 y 12 0 . Halle la ecuación de la
circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x 12y = 1.
mapb 257
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
258
PROBLEMAS RESUELTOS
C1 x 2 y 2 4 x 8 y 16
2. Determinemos las ecuaciones de tres circunferencias, tangentes dos a dos, con centro en
los puntos A(0,0), B(12,5) y Q129).
y C2
9 Q(12,9)
C3
mapb 258
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
259
4. Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación es x 2 y 2 900 0 . Si la partida
se halla en el Este del centro, determinemos el número de vueltas que debe recorrer para
cubrir 4000m y la posición del atleta, en el momento de la llegada.
y x 2 y 2 900 r 900 30m.
Llegada
P(x, y) Con el radio, calculamos los metros que recorre en una vuelta:
P = 2r = 2(3,1416)(30) = 188,495m
41,605m En una sola vuelta recorre 188,495m.
r y 4000m
Para cubrir los 4000m, necesita: 21,22 vueltas
188,495
0 x x En 21 vuelta recorre: 21188,495m = 3958,395m. Para completar
Partida los 4000m, faltan 41,605m; esto significa que el recorrido finaliza
a 41,605m del punto de partida. Con el arco(41,605m) y el radio,
hallemos el valor del ángulo central ( ).
S 41,605m
S r 1,386rad.
r 30m
mapb 259
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
260
180
En 1,386rad. hay : 1,386rad. 79,41 . La posición del atleta son las coordenadas del
rad.
punto P(x,y). Haciendo uso del triángulo rectángulo de la figura, se tiene que:
x r cos 30m cos 79,41 5,51m. y r sen 30m sen71,41 29,48m.
La llegada se da en el punto P(5.51, 29.48)
PROBLEMAS PROPUESTOS
mapb 260
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
261
SECCIONES CÓNICAS
LA PARÁBOLA
Las siguientes figuras geométricas son parábolas:
DEFINICIÓN
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Eje de simetría
Lado cóncavo
Lado cóncavo: Es la curva hacia
dentro (interior) de la parábola.
Lado recto
Vértice
Lado convexo
Directriz
mapb 261
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
262
P(x, y)
Q
La ecuación de la parábola
tiene una sola variable
p p elevada al cuadrado
0 F(p, 0) x
x=p
D / : demostración
Dado: V(0,0), F(p,0) y d = P
y 2 4 Px Ecuación de la parábola...
Con P 0
D/ :
PF PQ (1)....Definición de parábola. PF ( x p) 2 ( y 0) 2 (2)...Dist. dos puntos
PQ x p (3)........Dis tan cia del punto a la recta (directriz )
( x p) 2 ( y 0) 2 x p......... Re emplazando 2 y 3 en 1
( x p) 2 ( y 0) 2 ( x p) 2 .........Elevando ambos miembros al cuadrado
y 2 4 Px....Desarrollando las potencias , reduciendo tér min os semejantes y despejando...
mapb 262
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
263
P(x, y)
Q y 2 4 Px Ecuación de la parábola...
Con P 0
Foco : F ( P,0).
p p
Lado Re cto : LR 4 P
F(p, 0) 0 x Vértice : V (0,0)
d Directriz : x P
x= p
Resumiendo: y
EJEMPLO 1.
Hallemos el foco, el vértice, la directriz, la longitud del lado recto y tracemos la gráfica de la
siguiente parábola: y 2 4 x .
Solución:
y 2 4 x. Comparando esta ecuación particular con la general se tiene que :
4
4P 4 P 1. F ( P,0) F (1,0).
4
y 2 4 Px. V (0,0). Directriz : x P 1. LR 4 P 4(1) 4
mapb 263
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
264
Gráfica:
Primero hallamos los puntos guías. Para ello, se tiene en cuenta el Vértice, el Foco y dos
puntos que se obtienen al reemplazar x por la primera componente del foco, esto para facilitar
el trabajo… Entonces:
y 2 4 x. F (1,0) x 1. y 2 4(1) y 2 4 y 4 y 2
Los puntos guías son : V (0,0), F (1,0), D(1,2)
y
x=1 F(1, 0)
0 1 x
2
EJEMPLO 2.
Hallemos el foco, el vértice, la directriz, la longitud del lado recto y tracemos la gráfica de la
siguiente parábola: 2 y 2 5 x 0 .
Solución:
2 y 2 5x 0
5
y 2 x Dividiendotoda la exp resión por el coeficiente del tér min o de mayor grado y transponiendo...
2
5 5 5 5 5
De donde : 4 P P . F ,0 . V (0,0). Directriz : x
2 8 8 8 8
5 5 y
LR 4 P 4 .
8 2
5
4
Gráfica 1
5 5 25 25 5
y
2
y .
2 8 16 16 4 x= 5
1 8
85 0 x
F ( 85 ,0)
5 5 5
Puntos guías : F ,0 , V (0,0), D ,
8 8 4
mapb 264
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265
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación de la parábola con foco en (5,0) y directriz la recta x = 5.
Solución:
La gráfica de la parábola es:
EJEMPLO 4.
El lado recto de una parábola tiene una longitud de 16cm. Hallemos el foco, el vértice y la
ecuación.
Solución:
LR 16cm. Como : LR 4 P, entonces : 4 P 16cm P 4cm.
El foco es : F ( p;0) F (4,0). La directriz es : x 4. El vértice es : V (0,0)
La ecuación es : y 2 4 Px
y 2 4(4) x 16 x y 2 16 x Esta es la ecuación de la parábola...
Trace la gráfica….
EJEMPLO 5.
Hallemos la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y que pasa por el punto
A(3,6).
Solución:
La ecuación general de la parábola es : y 2 4 Px
Para hallar el valor de P, reemplazamos las coordenadas de A(3,6) en la ecuación, esto es :
(6) 2 4 P(3) 36 12 P P 36
12 3
y 2 4(3) x y 2 12 x Ecuación de la párábola
Trace la gráfica…
mapb 265
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
266
EJERCICIOS
1. Para cada parábola, halle el foco, el vértice, la directriz, el lado recto y trace la gráfica:
a y 2 x. b y 2 9 x. c 2 y 2 8x 0. d y 2 3x 0. e y 2 x 0.
3. Para cada lado recto, halle la ecuación y la gráfica de la parábola que lo contiene:
a LR 8cm. b LR 20m. c LR 6cm.
0 x
p
y=p
Q
y
y=p Q
mapb 266
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
267
Resumiendo:
y
x 2 4 py. Con P 0
F(0, P)
xP
EJEMPLO
Determinemos el foco, la directriz, el lado recto y tracemos la gráfica de la siguiente
parábola: x 2 8 y
Solución:
x 2 8 y. 4 P 8 P 84 2.
x 4 Py.
2
F (0,2). V (0,0). Directriz : y 2. LR 4 P 4 2 8
Gráfica:
Para hallar los puntos guías, se remplaza y por la segunda componente del foco:
x 2 8 2 16 x 16 4.
Los puntos guías son : F (0, 2), V (0, 0) y D(4, 2).
y
x2 8y
F(0, 2)
2
0 x
4 4
y=2
EJERCICIOS
1. Para cada parábola, halle el vértice, el lado recto, la directriz y trace la gráfica:
a x 2 y. b x 2 9 y. c 2 x 2 16 y. d 4 x 2 4 y 0.
2. Dado el vértice y el foco, halle la ecuación y trace la gráfica de la parábola que los
contiene:
F(0,5) y V(0,0). F(0,4) y V(0,0). F(0,1) y V(0,0).
mapb 267
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
268
APLICACIÓN
EJEMPLO 1.
La farola de una linterna tiene una longitud de 30cm y un diámetro de 16cm.
¿A qué distancia de la base de la farola se debe ubicar el bombillo?
Solución:
Tracemos un plano cartesiano por la base de la farola, de tal forma que la divida en dos partes
iguales.
y 30cm
(30,8)
La distancia a la cual debe
ubicarse el bombillo es el foco
16cm de la parábola que forma la
parábola
F x
(30,8)
La ecuación de la parábola es: y 2 4Px . Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las
coordenadas del punto (30,8):
64
(8) 2 4 P(30) 64 120 P P 0,53. F ( P,0) F (0,53;0)
120
y 2 2.12 x Ecuación...
El bombillo debe ubicarse a 0,53cm de la base de la farola…
EJEMPLO 2.
La cúpula de una iglesia tiene una superficie parabólica. Si la cúpula tiene una longitud de
12m y un diámetro de 17m, ¿cuál será la mejor ubicación de una fuente de luz, para obtener
la mayor iluminación?
La ecuación de la parábola
es: x 2 4 py
(8,5; 12) (8,5; 12)
17m
Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:
72,25
(8,5) 2 4 P(12) 72,25 48P P 1,5. F (0, p) F (0; 1,5)
48
x 2 6 y Ecuación...
La fuente debe ubicarse a 1,5m por debajo de la parte superior de la cúpula
mapb 268
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
269
EJEMPLO 3.
Una antena parabólica tiene un diámetro de 80m y una longitud de 60m.
¿A qué distancia de la base debe colocarse un relector, para que recepcione la mayor cantidad
de señal posible?
80m
Para una mayor recepción,
(40, 60) (40, 60)
el receptor debe ubicarse
en el foco de la parábola
60m
F La ecuación es: x 2 4Py
x
0
y
Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:
1600
(40) 2 4 P(60) 1600 240 P P 6,66. F (0, p) F (0; 6,66)
240
x 2 26,64 y Ecuación...
La el receptor debe ubicarse a 6,66m de la base de la parábola.
EJEMPLO 4.
Un edificio moderno tiene una puerta en forma de arco parabólico, la cual mide 10m de alto y
6m de ancho. Hallemos una ecuación para la parábola y determinemos la altura de un punto
situado a 2m del centro.
y
0 x
La ecuación general de la
parábola es: x 2 4 Py . con P 0
10m
2m
Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:
9
(3) 2 4 P(10) 9 40 P P 0,225. F (0, p) F (0; 0,225)
40
x 2 0,9 y Ecuación de la parábola
Para x 2m, det er min aremos la coordenada( y ) del punto situado a 2m del centro :
4
(2) 2 0,9 y 4 0,9 y y 4,44m
0,9
Como la coordenada de y es 4,44m de la parte superior de la puerta, el punto se encuentra
a una altura de: 10m 4,44m = 5,56m del piso
mapb 269
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
270
EJEMPLO 5.
Los bordes de una laguna que tiene forma parabólica están separados por una distsncia de
1200. Si la profundidad en su punto central es de 500m, hallemos la ecuación para la forma
de la laguna y determinemos la profundidad para una embarcación ubicada a 200m de uno de
los bordes.
Posición de la
embarcación Borde
500 200
Como la parábola abre hacia arriba, su
A(600,500)
ecuación es de la forma: .
Utilizando las coordenadas del punto A,
determinemos el valor de P
0 . Sustituyendo P en la
400 600
ecuación general:
. Ecuación de la forma de
la laguna
EJERCICIOS
1. La cúpula de una catedral tiene una longitud de 20m y un diámetro de 40m.
¿A qué distancia de la parte superior de la cúpula se debe ubicar una lámpara para que la
iluminación sea máxima?
2. Un radiotelescopio de forma parabólico, tiene una profundidad de 9,4m y un ancho de
18,6m. ¿A qué distancia de la base de la parábola se debe ubicar un receptor para obtener
mayor eficiencia?
3. La farola de una lámpara tiene forma parabólica. Si la misma tiene una longitud de 12cm
y un diámetro de 10cm, ¿a qué distancia de la base de la farola debe colocarse un
bombillo, para que la iluminación sea máxima?
4. Un lago que tiene forma parabólica, tiene un ancho de 900m y una profundidad de 300m.
Encuentra una ecuación para la parábola que describe el lago y la profundidad para un
punto situado a 100m de uno de los bordes.
5. La puerta de un edificio tiene un arco parabólico, el cual mide 14m de alto y 7m de
ancho. Halle una ecuación para la parábola y determine la altura para un punto situado a
1,5m de uno de los bordes.
mapb 270
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
271
L
P L1
0 F Haces de luz
x
De igual forma, los haces de luz o señal que llegan a la parábola paralelamente al eje focal, se
concentran en el foco. Como se puede evidenciar en las linternas, lámparas, antenas
parabólicas, espejos parabólicos y cualquier otro elemento que tenga forma parabólica y que
sirva para emitir y recibir señal.
Ver
gráfica
y
Haces de luz
0 F x o señal
mapb 271
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
272
0 x Lado recto :
h
LR 4 P
Directriz
Re emplazando PF y PQ en (1) :
( x h p) 2 ( y k ) 2 x h p
( x h p) 2 ( y k ) 2 ( x h p) 2 ....Elevando ambos miembros al cuadrado
( y k ) 2 4 P( x h)....Desarrollando las potencias , reduciendo tér min os semejantes y factorizando
( y k ) 2 4 P( x h).....Ecuación de la parábola con vértice V (h, k )
Con P 0
Si P 0:
y h+p Por definición de parábola:
P(x, y)
Q
x
k p p
.
F(h p, k) V (h, k ) Con P 0
Directirz:
Directriz Lado recto:
0 h x
mapb 272
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
273
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto
F(6,4) y vértice en el punto V(2,4)
y ( y k ) 2 4 P ( x h).....Ecuación general
p V ( 2, 4). ( y 4) 2 4 P ( x 2).
4
V(2, 4) F(6,4) El valor de P se halla estableciendo
h k la diferencia horizontal entre el
vértice y elfoco : P 6 2 4
( y 4) 2 4( 4)( x 2)
0
2 4 x ( y 4) 2 16( x 2)..Ecuación pedida
x = 2 Directriz : x h p 2 4 2
Lado recto :
LR 4 P 4 4 16
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola de vértice V(4, 3) y foco
F(1,3).
Solución:
V (4, 3) y F (1,3)
( y k ) 2 4 P( x h)..Ecuación general .. ( y 3) 2 4 P( x (4)) ( y 3) 2 4 P( x 4).
El valor de P se halla estableciendo la diferencia horizontal entre elvértice y el foco :
P 1 (4) 1 4 3 ( y 3) 2 4(3)( x 4) ( y 4) 2 12( x 4)..Ecuación pedida
Directriz : x h p 4 3 1 LR 4 P 4 2 12
Trace la gráfica…
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola de V(2,2) y F(4,2)
y
x=8
F(4,2) 2 V(2, 2)
p
0
4 8 x
2
mapb 273
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
274
Directriz:
Lado recto:
EJEMPLO 4.
Si la parábola de la figura se desplaza 3 unidades hacia la derecha, hallemos la ecuación de la
nueva posición.
x2 = 1 Nueva posición
y
p p Como el desplazamiento es paralelo
4
al eje X, para las coordenadas de la
V1(2, 4) V2(5, 4) F1(6,4) F2(9,4) nueva posición, a cada abscisa
(primera componente) se le suma la
unidad de desplazamiento.
En este caso: 3
0 x
2 6 9
x1 = 2
EJEMPLO 5.
Si la parábola de la figura se desplaza 5 unidades hacia la izquierda, hallemos la ecuación de
la nueva posición. y
10 0 x
7 5 2
mapb 274
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
275
EJEMPLO 6.
La parábola de la gráfica se ha desplazado 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia
arriba. Hallemos la ecuación de la nueva posición
Nueva posición
y
NOTA:
Hacia la derecha y hacia arriba: Suma
Hacia la derecha y hacia abajo: Suma y resta
Hacia la izquierda y hacia abajo: Resta
Hacia la izquierda y hacia arriba: Resta y suma
EJEMPLO 7.
Hallemos la ecuación de la parábola de foco F(5,5) y directriz que pasa por el punto P(1,0)
y
Para hallar las coordenadas del vértice,
V (3,5) determinamos el punto medio entre el foco y
5 la directriz. Esto es:
F(5,5)
k 5
5 1 6
h 3 V ( h, k ) V (3,5)
x=1 2 3
P(1,0)
0 1 5 x
mapb 275
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
276
EJEMPLO 8.
Hallemos la ecuación de la parábola de vértice V(2,2) y que pasa por el punto P(4,6)
Solución:
Como los punto P y V(vértice) hacen parte de la parábola, las coordenadas de ambos
satisfacen la ecuación:
( y k ) 2 4 P( x h)..Ecuación general ..
V (2, 2) P 4, 6)
h k x y (6 2) 2 4 P(4 2) (4) 2 4 P(2)
16
16 8P P 2
8
( y 2) 2 4 2( x 2) ( y 2) 2 8( x 2)....Ecuación exigida...
EJERCICIOS
1. Para cada vértice y foco, halle la ecuación, la directriz, el lado recto y trace la gráfica de
la parábola que los incluye:
V(1,4) y F(5,4). V(2,5) y F(5,5). V(4, 4) y F(2, 4). V(6,2) y F(3,2).
2. Dado el foco y el punto por donde pasa la directriz, halle la ecuación y la gráfica de cada
parábola:
Directriz: P(2,0) y F(4,6). Directriz: P(0,0) y F(4,2).
Directriz: x + 2 = 0 y F(2,). Directriz: P(1,0) y F(3,5).
3. Para cada vértice y punto, halle la ecuación de la parábola que los incluye:
V(2,4) y P(6, 1). V(1,1) y P(4, 3). V(3, 2) y P(6, 7).
4. Para cada gráfica, halle la ecuación de la parábola según el movimiento indicado:
3 unidades
4 unidades
hacia la izquierda
hacia la derecha
F
F
F
4 derecha y 5
hacia arriba
3 derecha y 5 5 hacia arriba
6 izquierda
hacia abajo
y 5 hacia abajo
F
F
F
mapb 276
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
277
P(x, y)
Por definición de parábola:
PF = PQ (1)
F(h ,k + p)
p
PF ( x h) 2 ( y k p) 2
k
V (h, k ) PQ y k p
p
Directriz Distancia entre dos puntos
Q Directriz :
kp
ykp
0 x
h
Lado recto :
LR 4 P
Re emplazando PF y PQ en (1) :
( x h) 2 ( y k p ) 2 y k p
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando las potencias ,
reduciendo tér min os semejantes y factorizando :
( x h) 2 4 P( y k ).....Ecuación de la parábola con vértice V ( h, k ) y eje paralelo a las
ordenadas. Con P 0
Si P 0
y
Directriz Q
Por definición de parábola:
p PF = PQ (1)
V (h, k )
k
PF ( x h) 2 ( y k p) 2
kp p PQ y k p
F(h ,k p)
Distancia entre dos puntos
kp P(x, y)
Directriz :
ykp
0 h x Lado recto :
LR 4 P
mapb 277
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
278
Re mplazando PF y PQ en (1) :
( x h) 2 ( y k p ) 2 y k p
Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando las potencias ,
reduciendo tér min os semejantes y factorizando :
( x h) 2 4 P( y k ).....Ecuación de la parábola con vértice V ( h, k ) y eje paralelo a las ordenadas
Con P 0
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto (2,2) y
vértice el punto (2,7).
y
Directriz F (2,2), V 2,7). Son el foco y el vértice ...
El valor de P, se halla estableciendo la
diferencia vertical entre el vértice y el foco :
V ( 2,7)
7 P 2 7 5
( x h) 2 4 P( y k )..Ecuación general ...
( x 2) 2 4(5)( y 7)
F(2,2)
( x 2) 2 20( y 7)....Ecuación ...
0 x
2
Directriz : y k p 7 5 12
LR 4 p 4 5 20
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto
(3,5) y vértice el punto (3,2).
mapb 278
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
279
EJERCICIOS
1. Para cada vértice y foco, halle la ecuación, la directriz, el lado recto y trace la gráfica de
la parábola que los incluye:
V(1,1) y F(1,4). V(2,4) y F(2,6). V(1, 1) y F(1, 4). V(1,2) y F(1, 5).
2. Dado el foco y el punto por donde pasa la directriz, halle la ecuación y la gráfica de cada
parábola:
Directriz: P(0, 2) y F(6,4). Directriz: P(0,0) y F(4,2).
Directriz: y + 2 = 0 y F(2,3). Directriz: P(0,8) y F(3,4).
3. Para cada vértice y punto, halle la ecuación de la parábola que los incluye:
V(2,2) y P(4, 4). V(3,2) y P(2, 3). V(1,1) y P(5, 4).
4 unidades
hacia la derecha
F
F
F
4 derecha
4 derecha y 5
hacia arriba
6 izquierda 5 hacia arriba
y 5 hacia abajo
F
F
mapb 279
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
280
0 h x
( y k ) 2 4 P ( x h)
y 2 2ky k 2 4 Px 4 Ph........................Desarrollando las operacione s indicadas
y 2 2ky 4 Px k 2 4 Ph 0...................Transponiendo tér min os y ordenendo
Haciendo : D 2k . E 4 P. F k 2 4 Ph
y 2 Dy Ex F 0.................................. Re empalazando D, E y F
y 2 Dy Ex F 0..........Ecuación general de la parábola
Si el eje focal es paralelo al eje de las ordenadas , la ecuaciónes :
x 2 Dx Ey F 0.
Esta ecuación suele escribirse de la siguiente forma : y ax 2 bx c
Si a 0, abre hacia arriba y si a 0, hacia abajo
h2 4 pk
De donde: a 1 . b h . c .
4P 2P 4P
CANÓNICA: Forma simple o normal de una ecuación que representa un fenómeno, posición
general o común de una figura geométrica
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación general de la parábola de V(2,3) con P = ½ y abre hacia el eje negativo
de las x.
Solución:
La ecuación canónica de esta parábola es ( y k ) 2 4P( x h)
V (2, 3) h 2, k 3 y p 12 . Sustituyendo h, k y P en la ecuación canónica:
( y 3) 2 4( 12 )( x 2) ( y 3) 2 2( x 2)....operando el coeficient e de ( x 2)
y 2 6 y 9 2 x 4...desarrollando el binomio y las operaciones indicadas
y 2 6 y 2 x 5 0...transponiendo y reduciendo tér min os semejantes
y 2 6y 2x 5 0....esta es la ecuación
mapb 280
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
281
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación general de la parábola de V(1,1) con P = 1 y abre hacia el eje
positivo de las y.
Solución:
La ecuación canónica de esta parábola es: ( x h) 2 4P( y k )
V (1, 1) k 1, h 1 y P 1 . Sustituyendo k, h y P en la ecuación canónica:
( x (1)) 2 4(1)( y (1)) ( x 1) 2 4( y 1)
x 2 2 x 1 4 y 4....... ?
x 2 2x 4 y 1 4 0
x 2 2x 4y 3 0......Ecuación general
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación general de la parábola de vértice V(2,5) y que pasa por el punto P(4,6)
y abre hacia el eje negativo de las y.
Solución:
V (2, 5). P(4, 6) h 5, k 5, x x, y 6
La ecuación canónica de esta parábola es: ( x h) 2 4P( y k )
Como pasa por el punto P(4,6) , entonces, las coordenadas de P satisfacen la ecuación
anterior:
(4 2) 2 4P(6 5) (2) 2 4P(11) 4 44P P 44 4 1
11
( x 2) 2 4 11
1 ( y 5) ( x 2) 2 4 ( y 5) x 2 4 x 4
11
4 y 20
11
11x 44 x 44 4 y 20
2
EJEMPLO 4.
Hallemos el foco, el vértice y el lado recto de la siguiente parábola: y 2 4 x 6 y 1 0
Solución:
y 2 4x 6 y 1 0
y 2 6 y 4 x 1 …..Aislando la variable de mayor grado
y 2 6 y 9 9 4 x 1 ….Completando el trinimio cuadrado perfecto
( y 3) 2 4 x 1 9 ….Transponiendo y factorizando el primer miembro
( y 3) 2 4( x 2) ….Reduciendo términos semejantes en el segundo miembro y
factorizando
Comparando con la canónica: ( y k ) 2 4P( x h) se tiene que:
k 3 k 3. h 2 h 2. 4P 4 P 44 1
V (h, k ) V (2, 3). F (h p, k ) F (1, 3). LR 4(1) 4
mapb 281
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
282
EJERCICIOS
X 0 X
0
0 X
y 2 4 px. p 0 y 2 4 px. p 0
x 4 py. p 0
2
x 4 py. p 0
2
x ay 2 . a 41p x ay 2 . a 41p
y ax 2 . a 1
4p
y ax 2 . a 41p
Y Y Y Y
V(h,k)
V(h,k)
V(h,k)
V(h,k)
0 X 0 X 0 0
X X
2
( x h) 4 p ( y k ). p0 y p0 2
( y k ) 4 p ( x h). p0 y p0
a 41p
2
y ax bx c. x ay by c. a 41p
2
mapb 282
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
283
EJEMPLO
Determinemos la ecuación de la parábola cuyo eje focal sea paralelo al eje x y que pasa por
los puntos (2,2), (6,5) y (6,-2).
(6,5)
La ecuación general de esta
parábola es:
y Dy Ex F 0
2
(2,2)
0 x
(6,2)
mapb 283
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
284
EJERCICIOS
1. Determine la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje y que pasa por los
puntos (4,5), (2,11) y (2, 11).
2. Halle la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje x que pasa por los
puntos (1,0), (3, 4) y (3, 4).
3. Determine la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje y que pasa por los
puntos (3,2), (1,8) y (2, 8).
4. Una parábola tiene su vértice en el centro de la circunferencia
4 x 2 4 y 2 12 x 8 y 51 0 y pasa por los puntos (0,5) y (6, 7). Determine su
ecuación y represéntela gráficamente.
APLICACIÓN
EJEMPLO 1.
Por el vértice y el lado recto de la parábola x 2 8 y pasa una circunferencia.
Determinemos la ecuación de la circunferencia.
Solución:
Hallemos el foco, el vértice el lado recto, la gráfica de la parábola; a demás tracemos la
circunferencia que pasa por los extremos del ledo recto.
8
x 2 8 y. Comparando : 4 p 8 P 2. Lado recto : LR 4 p 8
4
x 2 4 py Vértice : V (0,0). Foco : F (0,2). Directriz : y 2
y
x2 8y
4
0
4
x
Directriz
F 0 F 0 F 0
16 4 4 D 2 E F 0 4 D 2 E 20 . Re solviendo el sistema : D 0
16 4 4 D 2 E F 0 4 D 2 E 20 E 10
Sustituyen do estos valores en : x y Dx Ey F 0 se tiene :
2 2
mapb 284
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
285
EJEMPLO 2.
El punto M(2,4) es el punto medio de una cuerda de la parábola x 2 10 y 0 . Prolongando
dicha cuerda, intersecta al eje focal en el punto P. Determinemos las coordenadas de P.
Solución:
Hallemos el foco, el vértice el lado recto y la gráfica de esta parábola:
10 5
x 2 10 y 0 x 2 10 y Comparando : 4 p 10 P . Lado recto : LR 10
4 2
E. general x 2 4 py
Vértice : V (0,0). Foco : F 0, 52 . Directriz : y 52
y
x 2 10 y 0
Primero debemos hallar la
ecuación de la recta que pasa por
M(2,4)
P P, para luego, determinar las
coordenadas de P, que intersecta
el eje y
0 x
mapb 285
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
286
x0
2 2 16
y4 ( x 2) y 4 (0 2) y
5 5 5
16
Las coordenadas del punto P son : P(0, )
5
EJEMPLO 3.
Determinemos la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los puntos
(3,5) y (3,3).
y A B
Como el lado recto es perpendicular al eje focal,
(3,5)
entonces, la ecuación de la parábola tiene la
x +1 = 0
forma: ( y k ) 2 4 p( x h) , esto debido a
que la parábola puede abrir hacia la derecha o
hacia la izquierda del lado recto.
V1 (1,1)
F (3,1) V2 ( 5,1) Las coordenadas del foco se halla, calculando el
punto medio del lado recto:
x1 x2 3 3 y1 y 2 5 3
0 x 3. 1.
2 2 2 2
F(3,1) es igual para las dos parábolas
(3,3) x 7 = 0
Para determinar las coordenadas de los vértices y las ecuaciones de las directrices, primero
hallamos el valor de P. Para ello, calculamos el valor del lado recto:
LR 5 (3) 8. Pero : LR 4 p p 2 .
El foco de la parábola B es de la forma F (h p, k ) . Pero el foco de la parábola de la gráfica
es F(3,1). Comparando los focos: h p 3 h 3 p 3 2 1 . Debido a que el eje
focal es paralelo al eje x, la componente k en y no varía, entonces: k = 1. De donde el vértice
de la parábola B es:
V (h, k ) V1 (1,1).
La directriz es : x h p 1 2 1 x 1 0
Para la parábola A:
El foco es de la forma : F (h p, k ). .Pero de la gráfica : F (3,1)
Entonces : h p 3 h 2 3 5. k 1 V2 (5,1).
Directriz : x h p 2 5 7 x 7 0
La ecuación de la parábola B es : ( y k ) 2 4 p( x h)
( y 1) 2 4 p( x 1) y 2 2 y 8 x 9 0
mapb 286
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
287
EJEMPLO 4.
Un cable de suspensión de un puente colgante adopta forma de arco parabólico. Los pilares
que lo soportan tienen una altura de 70m y están separados por una distancia de 600m,
quedando el punto más alto bajo el cable a una altura de 20m sobre la calzada del puente.
Determinemos la ecuación de la parábola y calculemos la altura de un punto situado a 80m del
centro del puente.
20m
70m 70m
600m (300,70) (300,70)
(0,20) Figura 2
Trazando el sistema de coordenadas rectangulares por el centro del puente, la figura 2 nos
ilustra mejor la situación
EJERCICIOS
1. Por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola x 2 16 y pasa una
circunferencia . Determine la ecuación de la circunferencia.
2. Los extremos de un cable de un puente colgante están a 800m de distancia y a
30m de altura (en los puntos de amarre) con respecto al piso en la vía horizontal.
Encuentre la altura del cable sobre el piso a una distancia de 100m del punto de
amarre
3. Si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba a una velocidad de 40m/s, la
trayectoria descrita está dada por la ecuación S = 40 t2 donde S es la altura en
metros de la pelota en el instante t.
¿En qué instante golpeará la pelota al piso?
Traza la curva de la trayectoria de la pelota.
Ubique a t sobre el eje x y S sobre el eje y.
4. Determine la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los
puntos (3,2) y (3,2).
mapb 287
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
288
mapb 288
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
289
5. Los modelos de tres invernaderos para cultivar tomate que presenta un ingeniero
a un agricultor están representados por la siguientes ecuaciones.
Pr imer mod elo : ( x 2) 2 2( y 2). Segundo mod elo : ( x 2) 2 8( y 2)
Tercer mod elo : ( x 2) 2 10( y 2)
¿Cuál de los modelos producirá más tomates?
LA ELIPSE
DEFINICIÓN
La elipse es el lugar geométrico de puntos en el plano cuya suma de distancia a dos puntos
fijos llamados focos(F1 y F2), es constante.
M P
mapb 289
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
290
D A Dd
D2 d 2
P 2
2
EJEMPLO
Hallemos el área y el perímetro de la siguiente elipse:
D = 10m A=?
d = 6m P=?
6m
10m A D d (10m) (6m) 60m 2
D2 d 2 (10) 2 (6) 2
P 2 2
2 2
100 36
P 2 4 17 m
2
EJERCICIO
Para cada elipse, halle el área y el perímetro:
2x+3
9cm
x+1
5,5m 2,14m 4cm 20m
30m
El diámetro mayor de una elipse excede al menor en 5,45cm. Si el menor mide 19,34cm,
halle el área y el perímetro.
El área de una elipse mide 56,99m2. Si el diámetro menor mide 5,23m, halle el mayor
El diámetro mayor de una elipse mide 80cm. Si el menor es las ¾, partes del mayor, halle
el área y el perímetro.
Los diámetros de dos elipses son 9cm , 5cm y 18cm , 10cm respectivamente. ¿En qué
relación están sus áreas y perímetros?
mapb 290
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
291
L2
ELEMENTOS DE UNA ELIPSE
B1
L
V1 V2
C F L1
F1 2
R
B2
EJES DE SIMETRÍA: Eje focal L1 y eje normal o secundario L2
VÉRTICES: Son los punto V1 y V2 donde el eje focal corta le elipse
EJE MAYOR( V1V2 ): Es la distancia que hay entre los vértices(diámetro mayor)
SEMIEJE MAYOR( CV2 CV1 ): Es la mitad del eje mayor
EJE MENOR( B1 B2 ): Es la distancia comprendida entre los puntos en donde el eje normal
o secundario corta la elipse (diámetro menor)
SEMIEJE MENOR( CB1 CB2 ): Es la mitad del eje menor
FOCOS: Son los puntos fijos F1 y F2 ubicados sobre el eje mayor
LADO RECTO(LR): Es la cuerda perpendicular al eje focal(mayor) que pasa por uno de los
focos
LA EXCENTRICIDAD: Es la razón que se establece entre las distancias que separan al
F1C
centro de un foco y al centro de un vértice( Exentricid ad )
V1C
b V1V2 2a
V1 (a,0) V2 (a,0)
F1 F2 2c
F1 (c,0) 0 F2 (c,0) x
B1 B2 2b
B2
mapb 291
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
292
( x c) 2
y2 2a
2
( x c) 2 y 2 2
Desarrollando potencias:
( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2
( x c) 2 ( x c) 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 …Transponiendo y reduciendo términos semejantes
x 2 2cx c 2 x 2 2cx c 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 …Desarrollando potencias
4cx 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 …Rediciendo términos semejantes
cx a 2 a ( x c) 2 y 2 …Dividiendo por 4 y transponiendo
cx a 2 2
a ( x c) 2 y 2 …Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado
2
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 ( x c) 2 y 2 … Desarrollando potencias
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2cx c 2 y 2 ……..?
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 ……..?
c 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 4 ……..?
x 2 a 2 c 2 a 2 y 2 a 2 a 2 c 2 …Factorizando por x 2 , por a 2 y ordenando
x a c a a c2
2 2 2 2 2 2 2
a y
…Dividiendo por a 2 a 2 c 2
a a
2 2
c a a c a a
2 2 2 2 2 2
c 2
x2 y2
2 1 . Haciendo: b 2 a 2 c 2 , se tiene que:
a 2
a c 2
2
x y2
1 …Ecuación de la elipse en cuestión. Con a b 0, a c y a2 b2 c2
a2 b2
F1 (0, c) x2 x2
1......Demuestre estaecuación
b2 a2
P( x, y )
ab
B2 b B1
x 2b 2
0 Lado recto : LR
a
c a2 b2
Excentrici dad : e
F2 (0,c) a a
V2 (0,a)
mapb 292
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
293
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, el foco, la excentricidad y el lado recto de elipse cuyos semieje
mayor y menor miden 6 y 4 respectivamente
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, el lado recto, la longitud de los semiejes mayor y menor y los vértices
5
de la elipse de foco F(0, ± 5) y excentricidad e
8
y
V1(0,8) e 85 . F (0,5) F1 (0,5) y F2 (0,5) c 5
c c 5 40
Pero : e a 8.
a e 85 5
F1(0,5) Además : a 2 b 2 c 2 b a2 c2
b (8) 2 (5) 2 39 . La ecuación es :
( 39 ,0)
x x2 y2 x2 y2 x2 y2
0 1 1 1
b2 a2 ( 39 ) 2 (8) 2 39 64
Vértice : V1, 2 (0 a ) V1, 2 (0 8)
F2(0,5)
2b 2 2( 39 ) 2 2 39 39
Lado recto : LR
a 8 8 4
Semiejes :
Mayor a 8. Menor b 39
mapb 293
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
294
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación, los focos y la excentricidad de una elipse de centro C(0,0), vértices V(±
6,0) y lado recto LR = 5.
Solución:
El vértice muestra que la elipse tiene su eje focal sobre el eje x.
2b 2 2b 2
V (6,0) a 6. LR 5. pero : LR 5 b 2 15
a 6
b 15.
x2 y2 x2 y2 x2 y2
La ecuación es : 2 2 1 1 1
a b (6) 2 15 36 15
Paralos los fo cos, det er min amos el valorde c :
c a 2 b 2 36 15 21. entonces : F1, 2 ( 21,0)
c 21
e ..................................Trace la gráfica
a 6
EJEMPLO 4.
Determinemos la ecuación y la excentricidad de la elipse de centro en el origen, uno de los
vértices en V(0,5) y que pasa por el punto P(4,2).
mapb 294
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
295
EJEMPLO 5.
Hallemos la ecuación de la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x, que su centro está en
el origen; sabiendo que pasa por los puntos P(2,3) y Q(4,2).
y
P(2,3)
P(4,2)
0 x
x2 y2
La ecuación de esta elipse es : 1 . Como pasa por los puntos P(2,3) y Q(4,2),
a2 b2
Ambos puntos satisfacen la ecuación…
Para P (2,3) :
(2) 2 (3) 2 4 9
2
2 1 2 2 1 (1)
a b a b
Para Q(4,2) :
(4) 2 (2) 2 16 4
2
2 1 2 2 1 (2)
a b a b
Re solviendo el sistema :
4 9 128 32
a 2 b 2 1 (1) Se tiene que : a 2
23
y b2
3
16 4 1 (2)
a 2 b 2
x2 y2
Sustituyen do a 2 y b 2 en : 1 se tiene :
a2 b2
x2 y2
128
32
1.....ecuación ...
23 3
EJEMPLO 6.
Determinemos la ecuación de la elipse de foco F(0,3) cuyo centro y semieje mayor es igual al
centro y radio de la circunferencia x 2 y 2 16 , respectivamente.
Solución:
x 2 y 2 16 ..Ecuación de la circunferencia que contiene a la elipse. El centro de esta
circunferencia es C(0,0), que es el mismo centro de la elipse. El radio de la circunferencia es:
r 2 16 r 4 . Como el semieje mayor de la elipse es igual al radio de la circunferencia,
uno de los vértices de la elipse es el punto V(0,4), porque el foco es F(0,3)
mapb 295
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
296
V(0,4)
x 2 2 16
F(0,3)
x2 y2
1
7 16
0 x
EJEMPLO 7.
Determinemos la ecuación de la siguiente elipse:
y
(0,2)
(0,5)
0 x
mapb 296
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
297
EJEMPLO 8.
Dada la ecuación de la siguiente elipse, determinemos: Los vértices, los focos, el lado recto, la
excentricidad y tracemos su gráfica.
4 x 2 5 y 2 20
Solución:
4 x 2 5 y 2 20
….Dividiendo toda la ecuación por 20 para darle la forma.
20 20 20
x2 y2
1 ….Comparando esta ecuación con su canónica:
5 4
x2 y2
2
2 1 a 2 5 a 5. b2 4 b 4 2
a b
Pero: a 2 b 2 c 2 c a2 b2 5
2
(2) 2 5 4 1 1
Vértices: V1, 2 (a, 0) V1, 2 ( 5 , 0)
Focos: F1, 2 (c, 0) F1, 2 (1, 0)
2b 2 2 4 8 c 1
Lado recto: LR . Excentricidad: e
a 5 5 a 5
El centro en el origen es: C (0, 0)
Las coordenadas del semieje menor son: (0, b) (0, 2)
Para trazar la gráfica, hacemos uso de los vértices, los semiejes menor y el centro
y
(2,0)
4 x 2 5 y 2 20
( 5 ,0) ( 5 , 0)
0 x
(2,0)
EJEMPLO 9.
Dada la ecuación de la siguiente elipse, hallemos: Los vértices, los focos, el lado recto, la
excentricidad y tracemos su gráfica.
2x 2 y 2 3
Solución:
2x 2 y 2 3 2x 2 y 2
Dividiendo toda la ecuación por 3: 1 . Esta ecuación se puede
3 3 3 3 3
x2 y2
expresar de la siguiente forma: 3 1 …Comparando esta eecuación con su canónica:
2
3
mapb 297
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
298
x2 y2
3
1. b 2 32 b 3 6.
2 2 a2 3 a 3
2
3
x2 y2
1
b2 a2
Pero: a 2 b 2 c 2 c a 2 b 2 3 32 32 c 32 26
Vértices: V1, 2 (0, a) V1, 2 (0, 3 )
…………………………………………………………………………..Trace la gráfica
EJERCICIOS
1. Para cada par o terna de datos, halle la ecuación de la elipse que los contiene:
a. foco F(±4,0) y excentricidad e = 4/5
b. Lado recto LR = 8 y vértices V(±10,0)
c. Centro C(0,0), semieje menor = 10 y semieje mayor = 14
d. Foco F(0,±,5) y semieje menor = 8
2. Halle la ecuación de la elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje y, su centro está en el
origen y pasa por los puntos P(2,6) y Q(7,1)
3. Determine la ecuación de la elipse de foco en (4,0) cuyo centro y semieje mayor es igual
al centro y al radio de la circunferencia x 2 y 2 68
4. Para cada ecuación de La elipse, halle: el centro, el lado recto, los focos, los vértices, la
excentricidad y trace su gráfica:
x2 y2
a. 4 x 2 6 y 2 24. b. 1. c. 2 x 2 3 y 2 2 0
9 4
2 2
x y
d. 1. e 8 x 2 3 y 2 12.
16 25
0
0
mapb 298
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
299
b
a
F
V1 (h a, k ) V2 (h a, k )
k
0 F1 (h c, k ) h(h, k ) F2 (h c, k )
0
B2
0 x
h
0
( x h) 2 ( y k ) 2
1........Con a b... Eje focal paralelo al eje x
a2 b2
mapb 299
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
300
V1 (h, k a)
y
F1 ( h, k c)
P( x, y )
( x h) 2 ( y k ) 2
1
(h, k ) b2 a2
k Con a b... Eje focal paralelo al eje y
0
F2 ( h, k c)
V2 (h, k a)
0 h x
0
EJEMPLO 1.
Hallemos la ecuación, los focos y el lado recto de la elipse con eje focal paralelo al eje x que
tiene sus vértices en los puntos (3,4) y (3,4) y excentricidad e = 2/3.
(0,4)
V1 (3,4) V2 (3, 4)
F1 (2,4) F2 (2,4)
0 x
mapb 300
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
301
La coordenada h del centro(h,k), se halla calculando el punto medio del eje mayor, entonces:
33
h 0 de la gráfica k = 4, el centro es (0,4)
2
Semieje mayor : a 3 0 3
c 2
Semieje menor : e c a e 3 2.
a 3
Pero : a 2 b 2 c 2 b a c (3) 2 (2) 2 5 b 5 semieje menor
2 2 2
La ecuación es :
( x h) 2 ( y k ) 2 ( x 0) 2 ( y 4) 2 x2 ( y k)2
1 1 1
a2 b2 32 5 9 5
Fo cos :
F1 (h c, k ) F1 (2,4). F2 (h c, k ) F2 (2,4).
lado recto :
2b 2 2 5 10
LR
a 3 3
EJEMPLO 2.
Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de focos
en los puntos (6,3) y (6,9) y semieje mayor igual a 10.
k c 3 c 3 k 3 ( 3) 6
Calculandob :
x
0 a 10. c 6. b a c 100 36 64
2 2 2
Laecuación es :
Los vértices :
V 1 ( h, k a ) V 1 ( 6, 3 10) V 1 ( 6,6)
10 V 2 ( h, k a ) V 2 ( 6, 3 10) V 2 ( 6, 13)
Lado recto :
F (6, 9)
2
2b 2 2 64 64
LR
a 10 5
Excentricidad :
V2 (3, 4) c 6 3
e
a 10 5
mapb 301
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
302
EJEMPLO 3.
Hallemos la ecuación, los vértices, los focos, el lado recto y la excentricidad de la elipse de
centro (1,2), eje paralelo al eje x y que pasa por los puntos P(1,1) y Q(3,2).
y
2 2
( x h) ( y k)
(1,2) La ecuación es: 1
Q(3, 2) a2 b2
Como la elipse pasa por los puntos P(1,1) y
Q(3,2), ambos puntos satisfacen la ecuación
P (1,1)
0 x
2 2
(1 1) (1 2) 1
Para P (1, 1) y (1, 2) 2
2
1 0 1 b 1
a b b2
. Para Q(3,2) y (1,2)
2 2
(3 1) ( 2 2) 4
x y h k
1 a 2 2
2
1
a b a2
Calculando c : a 2 b 2 c 2 c 2 a 2 b 2 1 3 c 3
La ecuación es :
2 2 2 2 2
( x h) ( y k) ( x 1) ( y 2) ( x 1)
2
2
1 1 ( y 2) 2 1
a b 4 1 4
Fo cos : F1 ( h c, k ) F1 (1 3 , 2). F ( h c , k ) F 2 (1 3 , 2).
2
Los vértices : V 1 ( h a , k ) V 1 ( 1, 2). V 2 ( h a , k ) V 2 (3, 2).
2b 2 2 1
Lado recto : LR 1
a 2
c 3
Excentricidad : e
a 2
EJEMPLO 4.
Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto, los focos y la excentricidad de la elipse
de centro (1,3), eje focal paralelo al eje x y semieje mayor y menor 4 y 3, respectivamente
y
De la gráfica y el enunciado: centro( 1,3)
3 h 1 y k 3
4 (1,3) a4 y b 3.
2 2 2
c a b 6 9 7 c 7
x
0
mapb 302
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
303
La ecuación es :
2 2 2 2
( x h) ( y k) ( x 1) ( y 3)
1 1
a2 b2 16 9
Fo cos : F ( h c , k ) F1 ( 1 7 ,3). F ( h c , k ) F 2 ( 1 7 ,3).
1 2
Los vértices : V 1 ( h a , k ) V 1 ( 5,3). V 2 ( h a , k ) V 2 (3,3).
2b 2 23 c 7
Lado recto : LR 3. Excentricidad : e
a 2 a 4
EJEMPLO 5.
Hallemos la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyos focos son los puntos (4,2) y
(4, 6) y la longitud del lado recto es 6.
y
0 x
F1 ( 4, 2) 2b 2
Lado recto : LR . Centro de la forma( h, k )
a
26
h 4. k 4. centro ( 4, 4)
2
( 4, 4) Fo cos :
F1 ( h , k c )
2b 2 2( a 2 c 2 )
Además : b a c
2 2 2
Pero : LR 6. 6.
a a
a c 3a a 3a c 0
2 2 2 2 2 2 2 2
2 a 2c 6 a a 3a ( 2 ) 0
a 2 3a 4 0...ecuación de segundo grado Las solución es : a 4 y a 1
Descartamo s a 1, porque los semiejes son positivos y además es mayorque c
2b 2 2b 2 b2
b 12
2
Para a 4: 6 6 6
a 4 2
La ecuación es :
2 2 2 2
( x h) ( y k) ( x 4) ( y 4)
1 1
b2 a2 12 16
c 2 1
Excentricidad : e
a 4 2
mapb 303
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
304
EJEMPLO 6.
Hallemos la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (5,2) y (3,2) y sus covértices
los puntos (1,5) y (1, 1)
y
(1,5)
(5, 2) (3, 2)
(1,2)
0 x
( 1, 1)
2 2
( x h) ( y k)
La ecuación de esta elipse es : 1
a2 b2
Debemos hallar las coordenada s del centro y las longitudes de los semiejes ...
53 5 1
Para el centro ( h, k ) : h 1. k 2. centro ( 1, 2)
2 2
Semieje mayor : Dis tan cia del centro a uno de los vértices . a 1 ( 5) 4
Semieje menor : Dis tan cia del centro a uno de los cov értices . b 2 ( 1) 3
2 2 2 2
( x h) ( y k) ( x 1) ( y 2)
La ecuación es : 1 1
a2 b2 16 9
EJEMPLO 7.
Hallemos la ecuación de la elipse cuya suma de distancia de cada punto a los puntos Q(4,2)
y R(5,3) es 6.
y
Este desarrollo es parecido al que realizamos para demostrar la ecuación inicial o canónica de
la elipse. Continúe usted el análisis…
mapb 304
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
305
EJEMPLO 8.
2 2
( x 2) ( y 1)
Dada la ecuación
1 de la elipse. Determinemos el centro, los vértices, los
9 16
focos, el lado recto, la excentricidad y tracemos su gráfica
Solución:
2 2 2 2
( x 2) ( y 1) ( x h) ( y k)
1 comparando con la canónica 1, se tiene :
9 16 b2 a2
Centro (h, k ) :
h 2 h 2. k 1 k 1. Centro (h, k ) (2,1)
Vértices y fo cos :
b2 9 y a 2 16 a 16 4. c 2 a 2 b 2 16 9 7 c 7
V1 (h, k a ) V1 (2,1 4) V1 (2,3) F1 (h, k c) F1 (2,1 7 )
V2 (h, k a ) V2 (2,1 4) V2 (2,5) F2 (h, k c) F2 (2,1 7 )
Lado recto y excentrici dad :
2b 2 2 9 9 c 7
LR . e
a 4 2 a 4
Para la gráfica, hacemos uso del centro, los vértices y los covértices. Como esta elipse tiene su
eje focal paralelo al eje y, los covértices se calculan con la siguiente expresión:
Covértice 1 : (h b, k ). Covértice 2 : (h b, k ).
b 2 9 b 9 3.
Covértice 1 : (h b, k ) (2 3,1) (1,1). Covértice 2 : (h b, k ) (2 3,1) (5,1).
V1 (2,3) y V2 (2,5). F1 (2,1 7 ) y F2 (2,1 7 )
V 1 ( 2,3)
( x 2) 2 ( y 1) 2
1
9 16
0 x
( 1, 1) (5, 1)
( 2, 1)
V 2 ( 2, 5)
mapb 305
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
306
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación, los focos y el lado recto de la elipse con eje focal paralelo al eje y, que
tiene sus vértices en los puntos (2,4) y (2,2) y excentricidad e = 2/5
2. Determine la ecuación, los vértices, la excentricidad y el lado recto de la elipse de focos
F1(2,5) y F2(3,5), y eje mayor igual a 14
3. Halle la ecuación, los focos, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de
centro en (2,2) y que pasa por los puntos P(0,5) y Q(0,2)
4. Halle la ecuación, los focos, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de
centro en (2, 2), eje focal paralelo al eje y, y semiejes mayor y menor de 10 y 6,
respectivamente
5. Determine la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyos focos son (5,4) y (1,4), si la
longitud del lado recto es 6
6. Determine la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (0,2) y (8,2) y covértices
(4,0) y (4,4)
7. Determine la ecuación de la elipse cuya suma de distancia de cada punto a los puntos (2,3)
y (5, 1) es 7.
8. Para cada ecuación de la elipse, halle: los focos, los vértices, el lado recto, la excentricidad
y trace su gráfica
( x 2) 2 ( y 5) 2 x2 y2
a 1. c 1.
6 10 25 16
( x 2) 2 ( y 3) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2
b 1. d 1.
16 4 9 16
9. Para cada elipse, la ecuación de la posición inicial y final, según la traslación
indicada:
5
(3,12
)
5 unidades hacia la
derecha 3 hacia arriba
(1,5) (9,5)
5 unidades izquierda
y 3 hacia arriba
(3,2)
mapb 306
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
307
APLICACIÓN
EJEMPLO 1.
La órbita de la tierra es una elipse, con el sol en uno de sus focos. La distancia máxima del
planeta al sol es de 96,56 millones de millas, y su distancia mínima es de 91,44 millones de
millas. ¿Cuáles son los semiejes mayor y menor de la órbita de la tierra y cuál es su
excentricidad?
Solución:
La siguiente gráfica, ilustra el enunciado
Sol
Tierra
Tierra
a c ac
Perihelio
ac
Apogeo
Respuestas:
Semieje mayor( a 93 ) es 93 millones de millas
Semieje menor( b 92,98 ) es de 92,98 millones de millas
La excentricidad es de 0,0167.
La excentricidad es casi igual acero, muestra que la órbita de la tierra es casi circular;
mostrando que los semiejes son casi iguales.
mapb 307
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
308
EJEMPLO 2.
Uno de los cometas más famosos es el cometa Halley. El astrónomo Edmund Halley,
discípulo de Newton, mostró que este cometa fue observado por los habitantes de la tierra en
los años 1682, 1607, 1531, 1456, 1066. En 1682, predijo que este cometa regresaría en 1759,
en 1835 y en 1910, lo cual fue correcto. El cometa Halley es observado cada 76 años, esto
muestra que también fue observado en 1986 y se espera que aparezca en el año 2062. La
órbita del cometa Halley es una elipse, con el sol en uno de sus focos, los semiejes mayor y
menor de esta órbita miden 18,09UA y 4,56UA, respectivamente.
¿Cuáles son las distancias máxima y mínima del sol al cometa Halley?.
UA = Unidad astronómica = 1,5108km
Hallemos:
a). La distancia máxima y mínima del cometa al sol.
b). la ecuación de la órbita del cometa
c). La excentricidad del cometa
Cometa
b Apogeo
Sol
Perihelio
ac
c a
ac
mapb 308
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
309
EJEMPLO 3.
PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA ELIPSE
L
P
Recta tangente
Se enuncia a si: La recta tangente L en
un punto P de la elipse forma ángulos
iguales con las dos rectas PF1 y PF2 de
F1 F2 los focos a la elipse. O sea: =
=
Algunas mesas de billar se fabrican en forma elíptica, los focos de tales mesas están
señalados.
En medicina la propiedad de la reflexión se aplica en la “Litotripsia por ondas de choques”,
para desvanecer cálculos. U reflector elíptico con un transductor(transmisor de energía) se
ubica en uno focos fuera del cuerpo del paciente, el otro foco, se hace coincidir con el cálculo
y éste es bombardeado con ondas electromagnéticas, que pulverizan el cálculo.
mapb 309
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
310
EJERCICIOS
1. La órbita del cometa Kahoutek es una elipse de excentricidad extrema e = 0,999925 con el sol en
uno de sus focos. La distancia mínima entre el sol y el cometa es de 0,13UA. Halle la distancia
máxima al sol y la ecuación de la órbita
2. La órbita de la tierra es una elipse que tiene al sol como uno de sus focos. La longitud del eje
mayor es de 2,99108Km y la excentricidad es de 1,67102. Determine las distancias máxima y
mínima de la tierra al sol y la ecuación de su órbita
3. La órbita del planeta mercurio es una elipse de excentricidad e = 0,206. Sus distancias máxima y
mínima al sol son 0,467UA y 0,307UA, respectivamente. Halle la longitudes de los semiejes
mayor y menor y la ecuación de su órbita.
4. Un satélite de comunicación es lanzado al espacio para que orbite alrededor de la tierra. Según los
científicos, el satélite describirá una órbita elíptica de eje mayor 40000Km y de eje menor
38500Km. Halle las distancias máxima y mínima de la tierra al satélite y la ecuación de la
trayectoria.
P F
1
F1 F2
0
0 F2
P
mapb 310
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
311
y
B1 P( x, y)
V1 (h a, k ) V2 (h a, k )
k
0 F1 (h c, k ) h(h, k ) F2 (h c, k )
0
B2
0 x
h
0
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación de la elipse de focos (3’5), (3,3) y eje focal 12 unidades
mapb 311
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
312
EJEMPLO 2.
Dada la elipse 4 x 2 y 2 8x 2 y 1 0 , hallemos el centro, la excentricidad y tracemos su
gráfica
Solución:
4 x 2 y 2 8x 2 y 1 0
Comparando la ecuación particular con la general:
Ax By Dx Ey F 0
2 2
A 4, pero : A b 2 b A 4 2
B 1, pero : B a 2
a B 1 1
Ahora:
c2 a2 b2 4 1 3 c 3
c 3
La excentricidad es: e 3
a 1
Además:
D 8 8
D 8, pero : D 2b 2 h h 1
2b 2
2(2) 2
8
E 2 2
E 2, pero : E 2a 2 k k 1
2a 2
2(1) 2
2
El centro es : C (h, k ) C 1, 1
( x h) 2 ( y k ) 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2
La ecuación canónica es: 1 1
a2 b2 1 4
Solución:
4 x 2 y 2 8x 2 y 1 0
4 x 2
8 x y 2 2 y 1 0......ordenando y agrupando
4x 2
2 x y 2 y 1 0...... factorizan do
2
4x 2
2 x 1 y 2 y 1 1 1 4 0......comple tan do trinomios
2
x 12 y 1
2
1......dividiendo por 4 y transponiendo
4
mapb 312
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
313
EJERCICIOS
1. Para cada ecuación general de la elipse, halle: El centro, los vértices, los focos, el lado
recto, los semiejes mayor y menor, la excentricidad y trace la gráfica
a 25 x 2 9 y 2 10 x 12 y 220 0
b x 2 2 y 2 10 x 12 y 43 0
c 2 x 2 3 y 2 10 x 12 y 20 0
mapb 313
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
314
EJEMPLO
Hallemos la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (4,1), (4,1), (2,3) y (2, 1) y cuyo
eje focal es paralelo al eje x.
y
(2,3)
(4,3)
(4,1)
0 x
(3,1)
EJERCICIO
Para cada cuarteto de puntos, halle la ecuación general de la elipse que pasa por ellos:
a. (6,4), (8,1), (2,4) y (8, 3)
b. (2,2), (4,10), (6,9) y (7, 5)
mapb 314
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
315
LA HIPÉRBOLA
DEFINICIÓN
La hipérbola es el lugar geométrico de puntos en el plano cuya diferencia de distancia a dos
puntos fijos, llamados focos(F1 y F2), es constante.
Asíntota
Rama de la hipérbola
Lado recto
Rectángulo: Facilita la
construcción de la hipérbola Eje normal
mapb 315
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
316
Asíntotas: Son las rectas diagonales L1 y L2 del rectángulo que se trazan para
construir la hipérbola
P( x, y )
B1
Por definición de hipérbola :
b PF1 PF2 2a.......(1)
V1(a,0) V2(a,0)
0 Por dis tan cia entre dos puntos :
F1(c,0) F2(c,0) X
PF1 ( x c) 2 y 2 ......(2)
PF2 ( x c) 2 y 2 ......(3)
B2
mapb 316
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
317
( x c) 2
y2 2a
2
( x c) 2 y 2 2
Desarrollando potencias:
( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2
( x c) 2 ( x c) 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 …Transponiendo y reduciendo términos semejantes
x 2 2cx c 2 x 2 2cx c 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 …Desarrollando potencias
4cx 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 …Rediciendo términos semejantes
cx a 2 a ( x c) 2 y 2 …Dividiendo por 4 y transponiendo
cx a 2 2
a ( x c) 2 y 2 …Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado
2
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 ( x c) 2 y 2 … Desarrollando potencias
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2cx c 2 y 2 ……..?
c 2 x 2 2a 2 cx a 4 a 2 x 2 2a 2 cx a 2 c 2 a 2 y 2 ……..?
c 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 4 ……..?
x 2 c 2 a 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 2 …Factorizando por x 2 , por a 2 y ordenando
x c a a c2 a2
2 2 2 2 2 2
a y
2 2 …Dividiendo por a 2 a 2 c 2
a c
2 2
a a c
2 2 2
a 2
a c a 2
x2 y2
2 1 . Haciendo: b 2 c 2 a 2 , se tiene que:
a 2
c a 2
2
x y2
1 …Ecuación de la hipérbola en cuestión. Con c a y a2 b2 c2
a2 b2
2b 2 c a2 b2
Lado recto: LR . Excentricidad: e .
a a a
Los extremos del lado recto son de la forma: c, ba
mapb 317
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
318
Y
F1(0, c)
P( x, y)
Por definición de hipérbola :
PF1 PF2 2a
V1(0, a)
La ecuación de esta hipérbola es :
y2 x2 x2 y2
B2 b 1 o 1
0
B1 X
a2 b2 b2 a2
F (0,c)
2
y
La gráfica muestra que:
Entre más se acerca el valor de x a 2, el
valor de y se hace infinitamente
1 grande. Entonces, en x = 2 hay una
Asíntota
horizontal asíntota vertical.
0 2 x De igual forma, mientras más se acerca
el valor de y a 1, el valor de x se hace
infinitamente grande.
Entonces, en y = 1 hay una asíntota
Asíntota horizontal
vertical
ASÍNTOTA: La asíntota de una curva es una recta cuya distancia a la curva tiende a cero a
medida que la curva se aleja indefinidamente del origen.
Para la asíntota horizontal, la ecuación es: y = k con k R.
Para la asíntota vertical, la ecuación es: x = k con k R.
mapb 318
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
319
La ecuación de la hipérbola es :
( a, b) ( a, b)
x2 y2
1
b a2 b2
V1(a,0) V2(a,0)
0
F1(c,0) F2(c,0) X
Asíntotas oblicuas
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, los vértices, la excentricidad, el lado recto, el eje transverso, el eje
conjugado y las asíntotas de la hipérbola de centro en el punto (0,0), foco en (6,0) y semieje
transverso igual a 4.
20 x 4 y 0 Y
Del enunciado :
C ( 0, 0 ) y F2 (6,0)
Eje focal paralelo al eje X
V1(4,0) V2(4,0) Su ecuación canónica es :
0
F1(6,0) F2(6,0) X
x2 y2
1
a2 b2
mapb 319
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
320
F2 (c,0) F2 (6,0) c 6.
a 4, por ser la mitad del eje transverso : Dis tan cia entre los vértices
Pero : b 2 c 2 a 2 b 2 36 16 20 b 20 2 5
Sustituyen do a y b en la ecuación canónica de esta hipérbola :
x2 y2x2 y2
1 1....ecuación
a2 b2 16 20
2b 2 2 20
Vértices : V 1,2 ( a,0) V 1,2 (4,0). Lado recto : LR 10
a 4
c 6 3
xcentricid ad : e . Eje transverso : V 1V 2 2a 2 4 8
a 4 2
Eje conjugado : B 1 B 2 2b 2 2 5 4 5
Ecuaciones de las asíntotas :
bx ay 0 20 x 4 y 0. bx ay 0 20 x 4 y 0.
También se pueden exp resar de la siguiente forma : bx ay 0 20 x 4 y 0
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, los vértices, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola de focos en F1(0,5) y F2(0,5) y excentricidad e = 5/3.
Y
F1(0,5) 3x 4 y 0
V1(0,3)
Del enunciado :
0 X F1 (0,5), F2 (0,5) y e 5
3
V2(0,3
Eje focal paralelo al eje Y
Su ecuación canónica es :
F2(0,5)
y2 x2
1
F1 (0, c) F1 (0,5) c 5. e
2 2
5
3
a b
c c 5 35
e a 3
a e 53 5
Pero : b 2 c 2 a 2 b 2 25 9 16. b 4
Sustituyen do a y b en la ecuación canónica de esta hipérbola :
y2 x2 y2 x2
1 1....ecuación
a2 b2 9 16
2b 2 2 16 32
Vértices : V 1,2 (0, a) V 1,2 (0,3). Lado recto : LR
a 3 3
mapb 320
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
321
Eje transverso : V 1V 2 2a 2 3 6
Eje conjugado : B1 B 2 2b 2 4 8
Ecuaciones de las asíntotas :
ax by 0 3x 4 y 0. ax by 0 3x 4 y 0.
También se pueden exp resar de la siguiente forma : ax by 0 3 x 4 y 0
EJEMPLO 3.
Determinemos la ecuación, los focos, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (8,0) y (8,0), y que tiene una
excentricidad de 5/4.
Y
6x 8 y 0
Del enunciado :
V1 (8,0), V2 (8,0) y e 5
4
V2 (a,0) V1 (8,0) a 8. e 5
4
c 40
e c a e 8 54 10
a 4
Pero : b c a b 100 64 36. b 6
2 2 2 2
2b 2 2 36
Fo cos : F 1,2 (c,0) F 1,2 (10,0) Lado recto : LR 9
a 8
Eje transverso : V 1V 2 2a 2 8 16 Eje conjugado : B 1 B 2 2b 2 6 12
Ecuaciones de las asíntotas :
bx ay 0 6 x 8 y 0. bx ay 0 6 x 8 y 0.
También se pueden exp resar de la siguiente forma : bx ay 0 6 x 8 y 0
mapb 321
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
322
EJEMPLO 4.
Hallemos la ecuación, la excentricidad, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (0,3), (0,3) y (0,6), (0,6),
respectivamente.
Y
F1(0,6) 3x 3 3 y 0
Del enunciado :
V1(0,3)
V1 (0,3), V2 (0,3) y F1 (0,6), F2 (0,6)
Eje focal paralelo al eje Y
X
Su ecuación canónica es :
V2(0,3)
y2 x2
1
2 2
F2(0,6)
a b
2b 2 2 3 3
Lado recto : LR 2 3.
a 3
Eje transverso : V 1V 2 2a 2 3 6 Eje conjugado : B 1 B 2 2b 2 3 3 6 3
Ecuaciones de las asíntotas :
ax by 0 3 x 27 y 0. ax by 0 3 x 27 y 0.
También se pueden exp resar de la siguiente forma : ax y 0 3 x 27 y 0
EJEMPLO 5.
Dada la hipérbola 10 x 2 16 y 2 160 , determinemos: sus focos, sus vértices, el lado recto, las
asíntotas, el eje transverso, el eje conjugado y tracemos la gráfica
Solución:
10 x 2 16 y 2 160 . Dividiendo toda la expresión por 160:
10 x 2 16 y 2 160 x2 y2 x2 y2
1 . La canónica de esta ecuación es 2 2 1
160 160 160 16 10 a b
mapb 322
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
323
2b 2 2 10
Lado recto : LR 5
a 4
c 26
xcentricid ad : e Eje transverso : V 1V 2 2a 2 4 8
a 4
Eje conjugado : B 1 B 2 2b 2 10
Ecuaciones de las asíntotas :
bx ay 0 10 x 4 y 0. bx ay 0 10 x 4 y 0.
También se pueden exp resar de la siguiente forma : bx ay 0 10 x 4 y 0
GRÁFICA:
Para trazar la gráfica, hacemos uso del centro, los ejes transverso y conjugado, los vértices,
los focos y principalmente: C (0, 0), V1, 2 26 , 0 , 8 y 2 10
Como las asíntotas pasan por los vértices del rectángulo que forman los ejes, los siguientes
pasos son de gran ayuda:
Ubicamos el centro y trazamos el eje focal (identificando la orientación de la hipérbola)
A partir del centro y el eje focal, construimos el rectángulo cuyos lados tienen la misma
longitud de los ejes
Trazamos las asíntotas y las ramas de la hipérbola
Finalmente, ubicamos los demás elementos
Y
10 x 4 y 0
x2 y2
1
16 10
V1 V2
F1 0 F2 X
mapb 323
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
324
EJERCICIOS
1. Halle la ecuación, la excentricidad, los vértices, el eje conjugado, el lado recto y las
asíntotas de la hipérbola de centro en el origen, foco en (10,0) y semieje transverso igual a 6.
2. Halle la ecuación, la excentricidad, el eje conjugado, el eje transverso, el lado recto y
las asíntotas de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (0,8) y (0, 4),
respectivamente.
3. Halle la ecuación, los focos, el eje conjugado, el eje transverso, el lado recto y las
asíntotas de la hipérbola de vértices en (5,0) y excentricidad e = 3/2.
4. Escribe la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados sobre el eje x, su centro
está en el origen y que cumple con las siguientes condiciones: 2a = 10 y 2b = 12.
5. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,7) y (0,7), y la
longitud del lado recto es 6. Halle la ecuación, los focos, la excentricidad, lo eje
transverso, el eje conjugado y conjugado y las asíntotas
6 Determine la ecuación, los vértices, los el conjugado, el lado recto y las asíntotas
de la hipérbola cuyos focos son los puntos (13,0) y (13,0) y cuyo eje transverso
mide 24.
7. Determine la ecuación, los vértices, los focos y las asíntotas de una hipérbola de
centro en el origen y su eje transverso sobre el eje x. Si sabemos e = 1/26 y
que pasa por el punto (2,1)
8. Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3, 1), cuyos ejes transverso
y conjugado son iguales
9. Para cada hipérbola, determine: Los vértices, los focos, el eje transverso, el eje
conjugado, la excentricidad, el lado recto y trace la gráfica:
x2 y2 y2 x2
1. 1. 2 x 2 y 2 8. 4 x 2 3 y 2 12 0. x 2 y 2 4.
4 9 16 4
b( x h) a ( y k ) 0 b( x h) a ( y k ) 0
Y
y k ba ( x h) y k ba ( x h)
X
La ecuación de
0 h
la hipérbola es :
( x h) 2 ( y k ) 2
1
a2 b2
mapb 324
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
325
Asíntotas : y k ba ( x h)
Vértices : V1 (h a, k ) y V2 (h a, k ).
Fo cos : F1 (h c, k ) y F2 (h c, k ).
2b 2 c a2 b2
Lado recto : LR . Excentrici dad : e
a a a
Eje conjugado : V1V2 2a. Eje transverso : B1 B2 2b.
a ( x h) b( y k ) 0
y k ba ( x h)
Y
F1(h,k+c) a ( x h) b( y k ) 0
y k ba ( x h)
V1(k,h+a)
La ecuación de
k (h, k) la hipérbola es :
( y k ) 2 ( x h) 2
1
a2 b2
V2(h,ka)
F2(h,kc)
0 X
h
Asíntotas : y k ba ( x h)
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto, la excentricidad y las asíntotas de la
hipérbola de centro (4,3), eje transverso 8 y uno de los focos en (10,3)
Y
mapb 325
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
326
EJEMPLO 2.
Hallemos la ecuación, los focos, la excentricidad, el eje transverso, el eje conjugado y las
asíntotas de la hipérbola cuyo lado recto mide 9/4 y los vértices son los puntos (4,5) y (4,3)
Y
V1 (4,3)
h 42 4 4. k 523 1
F
2
Centro : C (h, k ) C (4,1)
V1V2 8
Eje transverso : V1V2 5 (3) 5 3 8. Pero : V1V2 2a a 4
2 2
2b 2 2b 2 9
Lado recto : LR b2 9
2
a 4 4
( y k ) 2 ( x h) 2
Sustituyen do a, b, h y k en 1:
a2 b2
( y 1) 2 ( x 4) 2
9
1....ecuación
16 2
mapb 326
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
327
Pero : b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 a 2 16 92 41
2 c 41
2
2b 2 2b 2 9
Lado recto : LR b2 9
2 b 9 3
3 2
a 4 4 2 2 2
Fo cos : F1 (h, k c) F1 4,1 41
2 . F2 (h, k c) F2 4,1 41
2
41
c
Excentrici dad : e 2
a 4
Eje conjugado 2b 2 3 2
3 2
2
Asíntotas : y k ba ( x h) y 1 3 42 ( x 4) y 3 3 82 ( x 4)
2
EJEMPLO 3.
( x 3) 2 ( y 4) 2
Dada la hipérbola 1 , hallemos: El centro, los vértices, los focos, el lado
25 49
recto, el eje transverso, el eje conjugado, las asíntotas y tracemos su gráfica
Sol :
( x 3) 2 ( y 4) 2
1. El eje focal de esta hipérbola es paralelo al eje X ,
25 49
( x h) 2 ( y k ) 2
su ecuación canónica es : 1.
a2 b2
Comparando las dos ecuaciones :
h 3 h 3. k 4 k 4. Centro : C (h, k ) C (3,4)
Vértices y Fo cos :
a 2 25 a 25 5. b 2 49 b 49 7.
Pero : b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 25 49 74 c 74
V1 (h a, k ) V1 (3 5,4) V1 (2,4). V2 (h a, k ) V2 (3 5,4) V2 (8,4).
F1 (h c, k ) F1 (3 74 ,4). F2 (h c, k ) F2 (3 74 ,4).
2b 2 49 98
2
Lado recto : LR 19 53
a 5 5
c 74
Excentrici dad : e
a 5
Eje transverso 2a 2 5 10. Eje conjugado 2b 2 7 14.
Asíntotas : y k ba ( x h) y 4 75 ( x 3)
mapb 327
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
328
Gráfica:
Para la gráfica, hacemos uso del centro, los vértices, los focos y el eje
conjugado. Aunque, el eje conjugado(14) no se observa en la gráfica, a
partir del eje transverso(10) y entre los vértices, se forma el rectángulo de
dimensiones 10x14
Y ( x 3)2 ( y 4) 2
) 1
a2 b2
0
F1 V1 C(4,3) V2 F2
EJERCICIOS
6 unidades hacia la
izquierda y 2 hacia arriba
mapb 328
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
329
HIPÉRBOLAS CONJUGADAS
Las siguientes hipérbolas son conjugadas.
=1
Y
=1
V1 V2
F1 0 F2 X
H1 y H2 , hipérbolas
EJEMPLO
Dada la hipérbola , hallemos su conjugada y tracemos la gráfica
Solución:
mapb 329
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
330
La
conjugada de esta hipérbola es de la forma:
Para la gráfica, hallemos el centro, los vértices, los focos, los ejes tranversos y conjugados y
las asíntotas.
(0´0) 4 6
Y
Gráfica: =1
=1
V2 V1
F2 0 F1 X
HIPÉRBOLAS EQUILÁTERAS
Dos hipérbolas son equiláteras, si y sólo si, sus ejes transversos y conjugados son iguales.
Esto implica que: . Luego:
Pero: …..(1)
mapb 330
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
331
(0´0) 2a 2a
Y
Gráfica =1
=1
V2 V1
F2 0 X
F1
EJEMPLO
Dada la siguiente hipérbola, hallemos la hipérbola euilátera y sus elementos:
Solución:
(0´0)
Trace la gráfica
EJERCICIOS
mapb 331
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
332
EJEMPLO 1.
En 1911, el físico ERNEST RUTHERFORD(1981 – 1937) descubrió que si se disparan párticulas
alfas hacia el nucleo de un átomo, aveces son repelidas(desviadas) y se alejan del nucleo
formando trayectorias parabólicas. La figura muestra la trayectoria de una párticula que va
hacia la recta , y llega a 5 unidades del nucleo. Determinemos la ecuación de la
trayectoria que sigue la párticula.
Y
Párticula
a
0 X
5
=1
Como se puede observar en la gráfica, la párticula alfa describe una de las ramas de una
hipérbola cuyo centro está en el origen(0,0). El vértice de esta hipérbola es V(5,0) y la
asíntota es la recta .
La ecuación general de esta hipérbola es de la forma , cuyo vértice es y la
asíntota . Comparando las asíntota general con la particular y reemplazando el valor de , se
tiene que:
3
V ( 5, 0) y
x
4
b b 3 b 3 15
V ( a, 0) a 5 y x b
a a 4 5 4 4
Sustituyen do los valores de a y b en la ecuación general :
x2 y2 x2 y2
1 1....ecuación de la trayectori a trazada por la párticula
a2 b2 25 225
16
EJEMPLO 2
SISTEMA DE NAVEGACIÓN LORAN(del Inglés Long Range Navigatión)
Dos estaciones A y B que se encuentran en un litoral recto, están separadas por una distancia
de 600Km. Un buque registra una diferencia de tiempo de 0,000984 segundos(tiempo señal
emitida por la estación B menos el tiempo señal emitida por la estación A) entre dos señales
Loran. Hallemos la distancia en donde el buque tocaría tierra, si sigue la hipérbola
correspondiente a esta diferencia de tiempo.
mapb 332
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
333
Solución Y
En la navegación es
donde más se aplica la
hipérbola
Posición del
buque
Las estaciones A y B son
B(-300,0) 0 A(300,0) X puntos fijos y constituyen los
600 focos de la hipérbola
La distancia que recorre el buque entre una señal y otra se calcula con la siguiente expresión:
c velocidad de la luz. c 300000 Km / seg
d ct . De donde :
t tiempo (diferencia de tiempo entre las señales ). t 0,000984seg
d ct 300000(0,000984) 295,2 Km
Como el buque describe una hipérbola en todo momento, la distancia que separa los
focos(estaciones A y B) es constante, entonces:
295,2
BP PA 2a 295,2 2a 295,2 a 147,6 Km
2
El vértice de esta hipérbola es:
La diferencia entre el foco y el vértice, indica la distancia a la que el buque tocaría tierra
desde la estación A. Entonces:
EJEMPLO 3.
La figura muestra una aeronave que sigue una trayectoria hiperbólica según la ecuación
4 y 2 2 x 2 16 . Hallemos la mínima distancia(altura) a la que llega la aeronave a una casa
situada 300m del centro de la hipérbola.
Aeronave
iculaa
Y Sea la mínima altura a la
que llega la aeronave de la
casa. Entonces, la aeronave se
aproxima más a la casa,
cuando pasa por el punto
de coordenadas
0 X
300m
mapb 333
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
334
EJERCICIOS
1. Dos estaciones sonoras A y B muy potentes, se encuentran separadas por una distancia de
2000m sobre una carretera recta. Un desocupado que vuela en una cometa en la zona de
influencia de las dos estaciones, registra una diferencia de 10 segundos entre las dos señales
sonoras. Halle una ecuación para la posición de la cometa y la altura a la que se encuentra,
cuando coincide con un punto situado a 400m de la estación A, si la cometa sigue una
trayectoria hiperbólica. Ayuda: .
2. Dos estaciones Loran A y B están a una distancia de 500km a lo largo de un litoral recto. Un
barco registra una diferencia de tiempo de 0’000048segs. entre las dos señales Loran. Halle la
distancia a la que tocaría el barco la costa si sigue una trayectoria hiperbólica.
3. Dos estaciones de RADAR distan 2000km. Un avión que sigue una trayectoria hiperbólica,
recibe la primera señal a las 8:30AM y 0’000025segs. después recibe la segunda señal. Halle
una ecuación para la trayectoria del avión y determine la posición para un punto situado a
800m de la primera estación.
4. Dos estaciones de radio A y B están en una línea en dirección Este-Oeste, de modo que A está
a 100 millas de al oeste de B. Un avión viaja hacia el oeste en una línea recta a 500 millas al
norte de la línea AB. Las señales de radio (viajan a 980pies/segs) se envían de manera
4
simultáneas desde A y B, y la enviada desde B llega al avión 4 10 segs antes que la
enviada desde A. ¿Dónde está el avión?
5. Dos estaciones A y B que se encuentran en la dirección Norte-Sur están separadas por 300km.
Se transmiten señales simultáneas desde cada estación a un barco que se encuentra entre ellas.
El barco recibe la señal de A 0’0005segs antes de recibir la de B. Suponga que la velocidad de
las señales es de 320m/segs. Halle la distancia a la que se encuentra el barco de la costa y la
ecuación de la trayectoria quen describe.
Pájaro
Y
0 X
400m
mapb 334
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
335
F2 F1
b 2 x 2 2hx h 2 a 2 y 2 2ky k 2 a 2 b 2 …..Desarrollando potencias
b 2 x 2 2b 2 hx b 2 h 2 a 2 y 2 2a 2 ky a 2 k 2 a 2 b 2 ….multiplicando
b 2 x 2 a 2 y 2 2b 2 hx 2a 2 ky b 2 h 2 a 2 k 2 a 2 b 2 0 ….Ordenando y transponiendo
Haciendo:
A b2 . B a 2 . D 2b 2 h. E 2a 2 k. F b 2 h 2 a 2 k 2 a 2b 2 .
Se tiene que:
Ax 2 By 2 Dx Ey F 0 ….Ecuación general de la hipérbola en cuestión
Los coeficientes de x 2 , y 2 son diferentes. El signo más (+) para x 2 y el signo menos () para y 2 .
Para la hipérbola con eje focal paralelo al eje y, la ecuación general es:
Ay 2 Bx 2 Dy Ex F 0
mapb 335
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
336
Con: A b 2 . B a 2 . D 2b 2 k. E 2a 2 h. F b 2 k 2 a 2 h 2 a 2b 2 .
Los coeficientes de y 2 , x 2 son diferentes. El signo más (+) para y 2 y el signo menos () para x 2 .
EJEMPLO 1.
Determinemos la ecuación general de la hipérbola focos F1 (3,2) y F2 (3,8) con eje transverso de
4 unidades
Solución:
Si analizamos bien las coordenadas de los focos F1 (3,2) y F2 (3,8) de la hipérbola en cuestión,
notamos que la misma tiene su eje focal paralelo al eje y.
Hallando las coodenadas del punto medio de los focos, tendremos el centro de la hipérbola, entonces:
33 28
h 3. k 5. El centro es C (h, k ) C (3,5)
2 2
Pero, el foco uno es de forma: F1 (h, k c) . Comparándolo con F1 (3,2) . Se tiene que:
k c 2 c 2 k 2 (5) 2 5 3 c 3
Pero:
b 2 c 2 a 2 (3) 2 (2) 2 9 4 5 b 5
20
5 y 10 y 25 4 x 2 6 x 9 20 5 y 2 50 y 125 4 x 2 24 x 36 20
2
0 x
F1 (3, 2)
mapb 336
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
337
EJEMPLO 2.
Dada la hipérbola 4x 2 9y 2 36y 32x 64 , hallemos el centro, los focos, los vértices, los ejes
ttransverso y conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.
Solución:
(y 2) 2 (x 4) 2
1 a 2 4 a 4 2. b 2 9 b 9 3.
4 9
Pero : b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 4 9 13 c 13
(y k) 2
(x h) 2
h 4. k 2
2
1
a b2
mapb 337
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
338
Gráfica:
y
2 2
4x 9y 36y 32x 64
2 x 3 y 14 0 C( 4, 2)
F1
V1 V2 4. B1 B 2 6.
V1
F1 (4, 2 13 ). F2 (4, 2 13 ).
C
V2 V1 (4, 4). V2 (4, 0).
0
x
F
2
2x 3y 2 0
EJEMPLO 3.
Dada la hipérbola 9x 2 18x 4y 2 16y 43 0 , hallemos el centro, los focos, los vértices, los
ejes ttransverso y conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.
Solución:
(x 1) 2 (y 2) 2
1 a 2 4 a 4 2. b 2 9 b 9 3.
4 9
Pero : b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 4 9 13 c 13
(x h) 2
(y k ) 2
h 1. k 2
2
1
a b2
mapb 338
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
339
2 2
2b 2(3) 29
Lado recto: LR 9
a 2 2
c 13
Excentricidad: e
a 2
Asíntotas:
a ( y k ) b( x h) a( y k ) b( x h)
2( y 2) 3( x 4) 2( y 2) 3( x 4)
2 y 4 3x 12 2 y 4 3x 12
3x 2y 16 0 3x 2y 8 0
Gráfica:
3x 2 y 8 0
3x 2y 16 0
y C(1, 2)
V1 V2 4. B1 B 2 6.
2 2
9x 18x 4 y 16y 43 0 F1 (1 13 , 2). F2 (1 13 , 2
V1 (3, 2). V2 (1, 2).
V2 C V1
F2 F1
0 x
EJERCICIOS
2. Para cada una de las hipérbolas, halle el centro, los focos, los vértices, los ejes ttransverso y
conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.
a) 2 x 2 y 2 4 x 4 y 0. c) 9 y 2 x 2 8 x 4 y 7 0
b) 4 x 2 9 y 2 16 x 36 y 16 0
mapb 339
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
340
CASO 1.
SI B 0 AC 0 . Es decir: A 0 ó C 0 , la ecuación se reduce a:
y
Ax Dx Ey F 0 ó By 2 Dx Ey F 0 , ambas ecuaciones representan una
2
parábola.
CASO 2.
SI B 0 y AC 0 . Es decir: A 0 y C 0 ó A 0 y C 0 , la ecuación se
reduce a: Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 , la ecuación representa una elipse.
CASO 3.
SI B 0 y AC 0 . Es decir: A 0 y C 0 ó A 0 y C 0 , la ecuación se
reduce a: Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0 ó Cy 2 Ax 2 Dx Ey F 0 , ambas
ecuaciones representan una hipérbola.
CASO 4.
SI B 0 y A C , la ecuación se reduce a: Ax 2 Ay 2 Dx Ey F 0 , la ecuación
representa una circunferencia.
EJERCICIO
mapb 340
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
341
7. 8 EXCEDE A 5 EN 3.
De la anterior oración se pueden plantear 3 ecuaciones:
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
5 4 9 5 5
5 exced a 4 en 9 5 (4) 9 9 9
5 9 4 4 4
x 7 1
x excede a 7 en 1 x 7 1
x 1 7
9. En general:
K veces el exceso de X sobre P. Esto es: K ( X P)
mapb 342
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
343
Solución:
14. Tres números pares consecutivos. Esto es:
2 x..... primer número 2x 2x 2 2 x 4 36
2 x 2.....segundo número
2 x 4.....tercer número, y asi sucesivamente
Solución:
17. Tres números impares consecutivos. Esto es:
2 x 1 2 x 3 20
2 x 1..... primer número
2 x 3.....segundo número
2 x 5.....tercer número, y asi sucesivamente
1
18. LA MITAD, UN MEDIO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 2: Es un multiplicado por un
2
número.
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
Un medio de 18 1 (18) 18 9
2 2
La mitad de x 1 ( x) 1 x x
2 2 2
mapb 343
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
344
2
21. LAS DOS TERCERAS PARTES: Es multiplicado por un número.
3
EJEMPLOS
Expresión verbal Expresión matemática
Las dos terceras partes de 18 2 36
3 (18) 3 12
Las dos terceras partes de x 2 ( x) 2 x
3 3
Del mismo modo se puede calcular sobre un número: La quinta parte 15 ,
la sexta parte 16 , la séptima parte 17 , la octava parte 18 , la novena parte 19 , la décima
parte 10
1 , las tres cuartas partes 3 , las dos quintas partes 2 , los tres medios 3 ,y así
4 5 2
sucesivamente.
8 24 8
4 8
2
2 4
EN GENERAL
ES K veces mayor que R.
X
R
X
K
Signo por
X KR
K R
mapb 344
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
345
26. Porcentajes:
K K
K %, esto es : . De donde : K %
100 100
% Signo de porcentaje . K % Léase : K porciento
30 75 423 1,5
30% . 75% . 423% . 1,5% .
100 100 100 100
K K Q Para hallar el k % de
27. K % de Q. Esto es : Q
100 100 Q , se multiplica el
45 45 500 porcentaje expresado
45% de 500. Esto es : 500 225
100 100 en racional por el
K K Q número base ( Q )
28. K más el K % de Q. Esto es : K Q K
100 100
50 5075
50 más el 50% de 75. Esto es : 50 75 50 87,5
100 100
X X K
29. K más el X % de K. Esto es : K K K
100 100
40 4030
30 más el 40% de 30. Esto es : 30 30 30 42
100 100
K K Q
30. K menos el K % de Q. Esto es : K Q K
100 100
50 50 75
50 menos el 50% de 75. Esto es : 50 75 50 12,5
100 100
X X K
31. K menos el X % de K. Esto es : K K K
100 100
40 40 60
60 menos el 40% de 60. Esto es : 60 60 60 36
100 100
mapb 345
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
346
EJEMPLO
El cuádruplo x de excede al triplo de x en 9.
Solución:
4 x ….Cuádruplo de x
3x ….Cuádruplo de x
Como el cuádruplo de x excede al triplo de x en 9, entonces: 4 x excede a 3 x en 9.
De donde: 4 x 3x 9 4 x 3x 9 x 9
EJERCICIOS
mapb 346
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
347
NOTA
Desarrolle las operaciones indicadas, si es posible.
La certeza en la solución de los ejercicios, viene dada por la correcta aplicación por parte
del alumno de los procedimientos indicados para cada caso. Por eso, este libro carece de
respuesta a los ejercicios propuestos.
La idea es involucrar a los educandos en el seguimiento lógico de los procesos matemáticos.
mapb 347
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
348
FÓRMULA
EJEMPLO
El siguiente fenómeno natural nos permite construir una expresión matemática(fórmula) que
lo represente: La distancia recorrida por un móvil es igual al producto de la velocidad por el
tiempo empleado para recorrer dicho tramo.
Análisis:
Las magnitudes o elementos esenciales del evento natural son: La distancia, la velocidad o
rapidez y el tiempo.
Llamemos:
d Dis tan cia. v Velocidad. t Tiempo
Analizando el enunciado tenemos:
d vt Fórmula
Las letras que intervienen o hacen parte de una fórmula se llaman(reciben el nombre) de
incógnitas. Así, en la fórmula: d v t , las incógnitas son: d, v y t
Una fórmula es una igualdad que se establece entre las magnitudes que intervienen en
un evento natural
mapb 348
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
349
mapb 349
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
350
GM 1 M 2
27. F Fuerza de atracción gravitacional.
d2
28. F KX Fuerza ejercida por un resorte. K Constante de elasticidad.
mv 2
mv 2
mv mv0
2 2
29. Ec Ecf Eci 0 Energía cinética.
2 2 2
30. E p mgh Energía potencial.
mv 2 mv02
31. ET Ec E p mgh Energía total.
2
32. E mc 2 Principal ecuación de la relatividad de Albert Einstein.
2
KX
33. E p Energía potencial elástica.
2
34. W Fd Trabajo realizado por una fuerza.
mv 2 mv02 mv 2 mv02
35. W Ecf Eci Trabajo en función de la masa y la velocidad.
2 2 2
2
FX
36. W Trabajo realizado por un resorte.
2
37. Fd Torque.
38. F d R r Ley de las palancas. M 1 y M 2 masas
39. P m v Cantidad de movimiento. F fuerza
40. L L0 (1 t ) Dilatación.
L0 longitud inicial
Q cons tan te de dilatación
41. C Calor específico.
m t
t diferencia de temperatura
42. y Asenwt Elongación.
43. T 2 Lg Período de un péndulo. Q1 y Q 2 c arg as
V voltaje
1 n
44. f Frecuencia. I int ensidad
T t
Q Q
45. F 1 2 2 Fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas.
d
W
46. V Potencial eléctrico.
Q
V
47. R Resistencia eléctrica.
I
1 1 1 1
48. Resistencia equivalente de un circuito e paralelo.
R R1 R2 Rn
49. n1 senI n2 senR Ley de Snell.
50. ax 2 bx c 0 Forma de una ecuación de segundo grado.
b b 2 4ac
51. x Fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.
2a
52. x 2 y 2 r 2 Ecuación de una circunferencia de centro en el origen (0,0).
53. d ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 Distancia entre dos puntos.
54. y y1 m( x x1 ) Ecuación de la recta punto pendiente.
mapb 350
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
351
69. a 2 b 2 c 2 2bc cos A Ley o teorema del coseno para el ABC oblicuángulo.
senA senB senC a b c
70. o Ley o teorema de los seno, ABC.
a b c senA senB senC
71. cos 2 x sen 2 x 1 Identidad fundamental.
b base
bh
72. A Área de un triángulo. h altura
2
( B b) h B base mayor
73. A Área de un trapecio.
2 l lado
74. A bh Área de un rectángulo. D diagonal mayor
75. A l 2 Área de un cuadrado. d diagonal menorn
Dd
76. A Área de un rombo. n número de lados de un polígono
2
77. A r 2 Área de un círculo. ángulo en grado
nla Pa 3,1416 cons tan te
78. A Área de un polígono regular.
2 2 A área de la base
b
r 2 r 2
79. A Área de un sector circular. a arista
2 360
80. P a b c Perímetro del ABC.
81. P 2a 2b Perímetro de un triángulo de lados a , b .
82. P 4l Perímetro de un cuadrado de lado l .
83. P 2 r d Perímetro o longitud de una circunferencia.
84. P nl Perímetro de un polígono regular.
85. d 2r diámetro de una circunferencia.
mapb 351
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
352
91. x
xi f i Promedio de una serie de datos.
n
CASO 1.
TÉRMINOS O MAGNITUDES QUE SUMAN O RESTAN LA INCÓGNITA
Toda magnitud o término que sume o reste la incógnita, se pasa para el otro miembro a restar
o a sumar según el caso.
EJERCICIO
Dadas las siguientes fórmulas, despejemos las incógnitas indicadas:
mapb 352
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
353
Solución :
a ) x y 3k . despejemos : x. Esto es :
x 3k y......Hemos pasado(transpuesto) a y para el segundo miembro,
cambiándole el signo
Ahora despejemos y : y 3k x
Toda magnitud o cantidad que cambia
b) V V0 at. despeje : V , V0 de miembro, también cambia de signo
Despejendo V : V at V0
Despejendo V0 :
V0 at V .......... Aislando la incógnita con su propio signo
V0 V at....Cambiándole el signo a la incógnita y ordenando
c) P a b c. depeje : a, b, c
Pbca a pbc
Pacb b pac
Pabc c pab , Léase: Entonces
mapb 353
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
354
CASO 2.
MAGNITUDES O FACTORES QUE MULTIPLICAN LA INCÓGNITA
Toda magnitud o factor que multiplique la incógnita, pasa a dividir.
VEAMOS:
Despejemos las incógnitas indicadas:
a ) 2 x k . despeje : x e) V wr. despeje : w, r
b) 5 y Q. despeje : y f ) 3V 4 r 3 . despeje : V
c) at V V0 . depeje : a, t g ) Bh V . despeje : B, h
d ) 2 A bh. despeje : b, h h) P nl. despeje : n, l
Solución :
a ) 2 x k . despeje : x despejemos : x. Esto es :
k
x ......El factor 2 ha pasado al segundo miembro a dividir a k ,
2
porque estaba multiplica ndo la incógnita
e) V wr. despeje : w, r
V
Despejendo w : w
r
V
Despejendo r : r
w
EJERCICIO
Despejemos las incógnitas indicadas:
a ) 3 x 2 y 6k Q. despeje : x, y, k d) p 4a 2b 5c. despeje : a, b, c
b) V0 at V . depeje : a, t e) V02 2 gh V 2 . despeje : g , h
c) 3 p 2q t 2 R. depeje : p, q, t f ) T1 2T2 mg. despeje : m, g , T2
Solución :
a ) 3 x 2 y 6k Q. despeje : x, y, k
Despejemos x :
3 x Q 2 y 6k ... Aislando el tér min o que contiene la incógnita
Q 2 y 6k
x ...... Aplicando el caso 2
3
mapb 354
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
355
Despejemos y :
2 y Q 3x 6k ... Aislando el tér min o que contiene la incógnita
Q 3 x 6k
y ...... Aplicando el caso 2.
2
Despejemos k :
6k Q 3 x 2 y... Aislando el tér min o que contiene la incógnita
Q 3x 2 y
x ...... Aplicando el caso 2
6
EJERCICIO
Despejemos las incógnitas indicadas:
x A B
a) p. despeje : x e) . despeje : A, B
3 2a 7b
a x
b) r 2 . despeje : a f) V . despeje : V
w t
x k f
c) . depeje : x, k g) 1. despeje : f
y p d
m p mv 2
d) . despeje : m, p h) F . despeje : m
nh Qt r
Solución :
x
a) p. despejejem os x. Esto es :
3
x 3 p......El factor 3 ha pasado al otro miembro a multiplica r ,
porque estaba dividiendo la incógnita
m p
. Despejemos: m y p
nh Qt
pnh
Despejando m : m ….Las magnitudes n y h pasaron a multiplicar, por eso,
Qt
aparecen en el numerador de la fracción.
mQt
Despejando p : p
nh
mapb 355
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
356
CASO 5.
CUANDO LA INCÓGNITA ESTÁ EN EL DIVISOR(DENOMINADOR) DE UNA
IGUALDAD RACIONAL
PROCEDIMIENTO:
a) Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores.
b) Se aplican los casos anteriores.
EJERCICIO
A B A B
a) . despeje : a, b e) . despeje : a, b
a b 2 a 7b
x x
b) V 2 . despeje : d f) V . despeje : t
d t
x k SenA SenB
c) . depeje : y, p g) . despeje : a, b
y p a b
m p mv 2
d) . despeje : n, h, Q, t h) F . despeje : r
nh Qt r
Solución :
A B
a) . despejejem os a, b. Esto es :
a b
Ab Ba...........................Multiplica ndo en cruz
Ab
a........................... Aplicando el caso 2
B
BA
b
A
desarrolle los demás ejercicios.
CASO 6.
CUANDO LA INCÓGNITA ESTÁ ELEVADA A UN EXPONENTE MAYOR QUE LA UNIDAD
PROCEDIMIENTO:
a) Se selecciona el término que contiene la incógnita, tal cual como está.
b) Se aísla la incógnita con su propio exponente, aplicando los casos anteriores.
c) Se extrae raíz en ambos miembros de la igualdad, colocando como índice el
exponente de la incógnita. Luego, se saca la incógnita de la raíz dejando el segundo
miembro bajo el signo radical
EJERCICIO
a) c 2 a 2 b 2 . despeje : a, b, c e) V r 2 h. despeje : r , h
b) V 2 V02 2ax. despeje : V ,V0 f ) 3z 3 8u 2 2 y 4 p. despeje : z, u, y
c) a w 2 r. depeje : w, r g ) 2 x at 2 . despeje : a, t
d ) 3V 4 r 3 . despeje : r h) V 2 V02 2ax. despeje : V0 ,V , a, x
mapb 356
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
357
Solución :
a ) c 2 a 2 b 2 . despeje : a, b, c
Despejando c :
La incógnita c, ya está selecciona da y aislada , por eso, no hay necesidad de hacerlo
c 2 a 2 b 2 ....Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad , porque el
exp onente de la incógnita es 2
c a 2 b 2 ....Extrayéndo le raíz cuadrada a la incógnita y dejando el otro miembro
bajo el signo radical
Despejando a :
c 2 b 2 a 2 .....Selecciona ndo el tér min o que contiene la incógnita
c 2 b 2 a 2 .........Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros...
c 2 b 2 a a c 2 b 2 ..........Extrayéndo le raíz cuadrada a la incógnita ...
Despejando b :
c 2 a 2 b 2 .....Selecciona ndo el tér min o que contiene la incógnita
c 2 a 2 b 2 .........Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros...
c 2 a 2 b b c 2 a 2 ..........Extrayéndo le raíz cuadrada a la incógnita ...
f ) 3 z 3 8u 2 2 y 4 p. despeje : z , u, y
Despejando z :
3 z 3 8u 2 2 y 4 p.......Selecciona ndo el tér min o que contiene la incógnita
3 z 3 4 p 8u 2 2 y....aislando el tér min o que contiene la incógnita
4 p3 8u 2 2 y
z3 .......aislando la incógnita
3
4 p 8u 2 2 y
3
z3 3 .......Extrayendo raíz cúbica en ambos miembros de la igualdad , porque el
3
exp onente de la incógnita es 3
4 p 8u 2 2 y
z3 .....Extrayéndo le raíz cúbica a la incógnita y dejando el otro miembro
3
bajo el signo radical
mapb 357
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
358
Despejando u :
3 z 3 8u 2 2 y 4 p....... ?
8u 2 4 p 3 z 3 2 y....... ? Despejando y :
4 p 3z 3 2 y
2
3 z 3 8u 2 2 y 4 p...... ?
u 2
........ ?
8 2 y 4 p 3 z 3 8u 2 ...... ?
2
4 p 3z 3 2 y 4 p 3 z 3 8u 2
u 2
........... ? y
8 2
2
4 p 3z 3 2 y
u ........ ?
8
............................................................Desarrolle los demás ejercicios.
PROCEDIMIENTO:
a) Ambos miembros se elevan a la potencia que indique el índice.
b) Se desarrolla la potencia y se extrae raíz .
c) Se aplican los casos anteriores.
EJERCICIO
2y
a) V 2ax . despeje : a, x e) t . despeje : y, a
a
b) k 3 4 x 2 z . despeje : x, z f) x 2 y 2 r. despeje : x, y
L Fr
c) V . depeje : L, X g) V . despeje : a, t
X m
3V
d) r 3 . despeje : V h) V V02 2ax . despeje : V0 , a, x
4
3V
r3 . despejemos V
4
3
r 3 3V .........................................Elevando ambos miembros al cubo, porque el índice es 3
3
4
3V
r3 .....................................................Desarrollando potencias
4
3V 4 r 3 ..................................................Caso 4.
NOTA:
4 r 3
V ..................................................Caso 2 Cuando el exponente coincide con el
3 índice, el signo radical desaparece y las
cantidades salen tal cual como están
mapb 358
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
359
CASO 8.
CUANDO LA INCÓGNITA ES UN EXPONENTE
PROCEDIMIENTO:
a) Se aplica logaritmo en ambos miembros de la igualdad. Log, para logaritmo en base
10 y Ln, para logaritmo natural (La base es e )
b) Se aplican las propiedades de los logaritmos.
c) Se aplican los casos anteriores que sean necesarios.
EJERCICIO
a ) Y 2 x . despeje : x f ) C P (1 r ) t . despeje : t
b) K 3 4 x . despeje : x g ) 3 x 1 729 . despeje : x
c) U a r n1. depeje : n h) Y KE 5t . despeje : t
d ) Q e 4t . despeje : t i ) W e t 2 . despeje : n, l
n
e) 3 x 60. despeje : x j) A BE 4 . despeje : n
Solución :
a ) Y 2 x . despejemos x :
LogY Log 2 x ............... Aplicando log aritmo decimal (base 10) en ambos miembros
LogY x Log 2.......... ..... Aplicando log aritmo de una potencia
LogY
x .....................Caso 2
Log 2
g ) 3 x 1 729 . despeje x :
Log 3 x 1 Log 729 ................ ?
( x 1) Log 3 Log 729.............. ?
Log 729
x 1 ........................ ?
Log 3
Log 729
x 1.....................Caso 1
Log 3
d ) Q e 4t . despejemos t :
LnQ Lne 4t ...................... Aplicando log aritmo natural (base e) en ambos miembros
LnQ 4t Lne.................... ?
Lne Lne
4t t
LnQ 4 LnQ
mapb 359
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
360
REPASO
LOGARITMACIÓN
Operación inversa a la potenciación.
Veamos:
Potenciación Logaritmación
Exponente Potencia
1. LOGARITMO DE UN PRODUCTO
Log ( A B) Log A Log B
k k k
2. LOGARITMO DE UN COCIENTE
Log ( A B) Log A Log B
k k k
mapb 360
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
361
EJERCICIOS DIVERSOS
1 1 1 1 G
a) . despeje : K , Q, F g) Q . despeje : P, G, L
K Q F P L
2 3 5
b) . despeje : K , M , R h) S e 5t 3k . despeje : t , k
R K M
m n p
c) . despeje : m, n, p i) K 7 x Q 3 y . despeje : x, y
4 5 7
x y z 2 4
d) . despeje : x, y, z j) A K 5x . despeje : x
A B D
u x y z
e) . despeje : u , b, y, d k ) R e 2t 5
a b c d
f ) 2 K 3 PR x . despeje : P, R, x l) V 42x
Solución :
1 1 1
a) . despeje : K , Q, F
K Q F
Despejando K :
1 1 1
............ Aislando el tér min o que contiene la incógnita ............caso 1
K F Q
1 QF
.............. Re s tan do los racionales heterogéne os en el segundo miembro
K QF
K (Q F ) QF ....................E lim inando deno min adores, multiplica ndo en cruz
QF
K ............................caso 2.
QF
De la misma forma se despeja Q y F ..........................Despéjelas
x y z
d) . despeje : x, y, z
A B D
Despejemos x :
x x yz
..................... propiedad fundamenta l de la serie de razones iguales
A A B D
Ax Bx Dx Ax Ay Az.......................multiplica ndo en cruz
x( B D) A( y z )......................................simplifica ndo y factorizan do
A( y z )
x ...............................................caso 2
BD
mapb 361
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
362
Ahorad espejemos y :
y x yz
..................... propiedad fundamenta l de la serie de razones iguales
B A B D
Ay By Dy Bx By Bz.......................multiplica ndo en cruz
y ( A D) B( x z )......................................simplifica ndo y factorizan do
B( x z )
y ...............................................caso 2
A D
Despejar z.
i ) K 7 x Q 3 y . despeje : x, y
Despejemos x :
LogK 7 x LogQ 3 y
3 y LogQ 3 y LogQ
7 x LogK x
7 LogK
7 x LogK 3 y LogQ
7 x LogK 3 y y 7 x LogK
LogQ 3LogQ
PROPORCIONALIDAD
RAZÓN MATEMÁTICA
Se entiende por razón matemática a la relación que se establece entre dos magnitudes. Esta
relación se expresa a través de una división indicada.
La razón que existe entre los números 4 y 8, se expresa a sí: 4 a 8 o 4:8, léase: 4 es a 8. Se
4
indica:
8
La razón que existe entre la parte coloreada de la figura y las partes en que se ha dividido la
2
misma, es 2 a 5.
5
a
En la razón , a es el antecedent e y b, el con sec uente
b
mapb 362
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
363
PROPORCIÓN
Se entiende por proporción a la igualdad entre dos razones.
2 4
léase : 2 es a 3 como 4 es a 6
3 6
a c
léase : a es a b como c es a d
b d
0 x
t
Representa dos magnitudes
Representa dos magnitudes
directamente correlacionadas
directamente proporcionales
EJEMPLO 1.
Cuatro naranjas cuestan $12, ¿cuántas naranjas se compran con $850?.
Solución:
A más naranjas, más dinero se paga por ellas.
mapb 363
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
364
PLANTEAMIENTO
Al plantear una regla de tres, las unidades se escriben de tal forma que se correspondan. En
este caso, naranja debajo de naranja y costo debajo de costo
Regla de tres simple directa
Naranjas Costo
4 12 x , naranjas que se compran con $850
x 850
ANÁLISIS:
1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en
4 12 forma de fracción tal cual como está.
x 850 2. Después del signo igual, se escribe la otra magnitud
como está
3. Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores
12 x 4(850) 4. Se despeja la incógnita y se desarrollan las operaciones
4(850) indicadas
x 283,33 naranjas
12
Con $850 se compran 283,33 naranjas.
EJEMPLO 2.
Un Km tiene 1000m. En 4,58Km, ¿cuántos m hay?
Solución:
FORMA ABREVIADA: El término que va con
A más Km, más m. la incógnita pasa a dividir(divisor) y los otros, se
Km m multiplican en el numerador(dividendo)
1 1000
La incógnita se relaciona diagonalmente con
4,58 x una magnitud o cantidad
4,58(1000)
1
1000
x
4,58(1000)
4580m x 4580m
4,58 x 1 1
EJERCICIOS
a) Un año tiene 365 días, en 2005 días, ¿cuántos años hay?.
b) Una fotocopiadora reproduce 250 hojas cada minuto. ¿Cuántas hojas sacará en 10
horas?.
c) Un vagabundo cobra $854 por cada Kg de carga. Por transportar 5362 Kg al mismo
destino; ¿cuánto cobrará?.
d) Un cilindro contiene 100 litros de agua, cuando el liquido alcanza 20cm de altura.
Cuando el nivel del agua baja 12cm de altura, ¿qué cantidad de agua contendrá?.
e) Un metro tiene 1000 milímetros. En 45600 milímetros, ¿cuántos metros hay?.
mapb 364
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
365
0 t 0 x
1 2
EJEMPLO 1
12 Obreros realizan una obra en 20 días, ¿cuántos Obreros se necesitan para hacer la misma
obra en 10días?.
Solución:
A más Obreros, menos días empleados para culminar(terminar) la obra.
mapb 365
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
366
PLANTEAMIENTO
EJEMPLO 2.
Se contrataron cinco alumnos para pintar un salón de clase en 15 días. Si dos alumnos
deciden no hacer el trabajo, ¿cuántos días se gastarán los demás alumnos?.
Solución:
A más alumnos pintando, menos días empleados para pintar el salón.
Alumnos Días FORMA ABREVIADA: El término que va con
Como 2 alumnos se
5 15 retiraron, el salón fue la incógnita pasa a dividir(divisor) y los otros, se
3 x pintado por 3 estudiantes multiplican en el numerador(dividendo)
EJERCICIOS
a) Una cuadrilla de 7 obreros puede hacer una obra en 8 días. ¿En cuántos obreros habría
que aumentar la cuadrilla para hacer la misma obra 5 días?
b) Una persona gasta 3 horas en recorrer una distancia a 15 Kilómetros por horas. ¿En
cuánto tiempo recorrerá la misma distancia a una velocidad de 6,8 Kilómetros por
horas?
c) 5 profesores gastan 650 litros de agua. ¿Cuántos profesores se necesitan para
consumir 900 litros de agua?
d) En un criadero de cerdos hay alimento para 200 animales durante 4 meses. ¿Cuántos
cerdos hay que sacar para que el alimento dure 9 meses?
e) Para hacer una obra, un grupo de obreros tarda 9 días trabajando 5 horas diaria.
¿Cuántos días hubieran empleados trabajando una hora diaria menos?
f)
mapb 366
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
367
EJEMPLO 1
20 alumnos se alimentan con 600kg de comida durante 15 días, ¿Durante cuánto tiempo se
alimentaran 12 alumnos con 1200kg de comida?.
Solución:
A más alumnos, el alimento alcanza para menos días y a más días, más alimento.
Alumnos kg Días
20 600 15
12 1200 x
15 12 600 15 7200
x 20 1200 x 24000
15(24000) 360000
7200 x 15(24000) x 50 días
7200 7200
ANÁLISIS:
1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en forma de fracción tal cual como está.
2. Se compara cada magnitud con la que contiene la incógnita
3. Después del signo igual, se escriben las demás magnitudes teniendo en cuenta lo siguiente:
Si son directamente proporcionales, se escriben las cantidades como están.
Si son inversamente proporcionales, las cantidades se invierten
4. Se realizan las operaciones indicadas y se despeja la incógnita.
EJEMPLO 2.
5 secretarias escriben 11 cartas en 4 horas. ¿Cuántas cartas escribirán 10 secretarias en 6
horas?.
Solución:
Secret . Cartas Horas
5 11 4
10 x 6
11 5 4 11 20 11(60) 660
, luego : x 33 cartas
x 10 6 x 60 20 20
mapb 367
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
368
EJERCICIOS
a) 4 obreros hacen 300 metros de construcción en 24 días, ¿en cuántos días 10 obreros
harán 500 metros?.
a) Durante 8 días 5 profesores gastan 650 litros de agua.¿Cuántos profesores se necesitan
para consumir 900 litros en 10 días?.
b) Una familia de 8 personas consume 48 m 3 de agua en un mes. Si las condiciones de
consumo individual son las mismas, una familia de 15 personas, ¿qué cantidad de
agua consume durante 50 días?.
c) Una persona tarda 12 días en la lectura de un libro de 450 páginas, leyendo
diariamente 25 minutos. Si dispone de 20 días para leer un libro de 200 páginas, ¿qué
tiempo debe dedicar diariamente a la lectura?.
ESCALAS MATEMÁTICAS
1c 1c 1c 1c 2c 3c
m m m m m m
1km 1km 1km 0 1km 2km 3km
Este es un dibujo a escala, porque está representando una realidad grande con una figura
pequeño.
CONCEPTO
Se puede entender una escala matemática, como el procedimiento que permite seleccionar un
factor que ayude a representar la realidad (que es muy grande o muy pequeña) en función de
elementos (dibujos a escalas) que se puedan manipular y comprender fácilmente, haciendo
uso de las proporciones como operación.
mapb 368
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
369
1c 0 100 200 300km
m 1c
m
0 20 40 60km
0 50 100 150k
m
En la primera escala: 1cm representa 20Km. En la segunda escala: 1cm
representa 50Km.
En la tercera escala: 1cm representa 100Km.
LA ASTRONOMÍA, a la hora de recrear los planetas, el sol, los cometas, las galaxias, las
estrellas, las distancias que separan los cuerpos celestes, entre otros…
Como las escalas se pueden expresar en forma de fracción (lo que realmente son), es
posible identificar entres varias escalas la de mayor y menor tamaño. El siguiente cuadro
ilustra la situación
FORMA DE FORMA Al presentar un dibujo a
ESCALA FRACCIÓN O RAZÓN DECIMAL escala, debe indicarse la
1:100 0,01 misma, para que el lector
0,0083 pueda comprender
1:120
fácilmente las condiciones
1:125 0,008 reales.
1:150 0,0066
Entre más grande sea la
1:175 0,0057 estructura o realidad a
representar, más pequeña
1:500 0,002
debe ser la escala.
1:1000 0,001
Cuando se comparan
1:1500 0,00066
fracciones de igual
1:10000 0,0001 numerador, mayor es la que
tiene menor denominador.
Estableciendo la relación de orden:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. De igual forma:
100 120 125 150 175 500 1000 1500 10000
mapb 369
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
370
EN GENERAL:
Si k Z N , o sea, k es un número entero positivo, entonces, las expresiones:
1 : k , 2 : k , 3 : k , 4 : k , ... son escalas.
Veamos:
2:100, esta escala muestra que 2cm equivale a 100cm en la realidad.
2:500, esta escala muestra que 2cm equivale a 500cm en la realidad.
3:175, esta escala muestra que 3cm equivale a 175cm en la realidad.
Y QUE DECIR DE LAS MATEMÁTICAS, que se encarga de exponer las escalas, sin
ellas le sería imposible recrear, manipular, estimar y predecir la realidad. Para estas áreas
citadas, las escalas son imprescindibles.
ACTIVIDAD:
Identifica en tú entorno 3 situaciones diferentes a las citadas en donde se hayan utilizado
escalas.
Veamos:
4
4 1
Si la escala es 4:4000, entonces: 4
4000 1000
.O sea: 4:4000 1:1000.
4000 4
5
5 5 1
Si la escala es . Entonces: 12000
5
1 : 2400
12000 12000 5 2400
EJEMPLO 1.
Las dimensiones de un terreno rectangular miden 130m, 150m y 200m.
a) Tracemos un dibujo a escala del terreno.
b) Hallemos el área del terreno.
c) Si el metro cuadrado (1m2) cuesta $50,75; ¿cuánto se debe pagar por el terreno?
mapb 370
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
371
Solución:
a) El procedimiento que nos permite representar la realidad expuesta en una hoja de papel,
recibe el nombre de dibujo a escala.
Tomemos 1:1500 como escala, o sea, 1500cm de la realidad es representado en la hoja
por 1cm. Entonces:
Para: 130m = 13000cm:
Escala 1 13000 13000
Dibujo (cm) Realidad (cm) x 8,6cm . O sea, este es
1500 1500
1 1500 el valor que le corresponde a 130m en el dibujo.
x 13000
1 15000 15000
Para: 150m = 15000: x 10cm .
1500 1500
1 20000 20000
Para: 200m = 20000: x 13,3cm .
1500 1500
DIBUJO:
EJEMPLO 2.
Se estima que la población del continente americano es de 840´000.000 millones de
habitantes. Si toda la población se pudiera reducir 200 habitantes de un pueblo,
determinemos:
a) ¿Cuántos habitantes del pueblo le tocaría a Colombia que tiene 42´000.000 millones de
habitante?
b) ¿Cuántos habitantes del pueblo le correspondería al departamento del Chocó que tiene
500.000 habitantes?
c) ¿Cuál será la población real de un país del continente que tendría 30 habitantes del
pueblo?
Solución:
Como se trata de recrear una realidad en función de una cantidad pequeña, el problema nos
conduce a una escala. Para establecer la misma, solo debemos expresar en forma de razón
mapb 371
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
372
Escala 500.000
k 0,11 habitantes del pueblo. Como se puede
Población Población 4´200.000
pueblo americana observar, la población del Chocó no es representada por
1 4´200.000 ninguna
k 500.000 persona del pueblo, porque no se puede tener 0,11 personas.
c) Para un país del continenteBajo las perspectiva
que tenga 30 personas de esta escala,
del pueblo, el Chocó
la población no tiene
real es:
Escala representación
Población Población 30 4´200.000
pueblo americana k 126´000.000 habitantes
1
1 4´200.000
30 k
EJEMPLO 3.
El gráfico muestra un segmento de plano de una casa. Identifiquemos la escala utilizada.
3m 5m
B Solución:
El tramo AB mide 4m, que en el dibujo es
Alcob representado por 4cm. Entonces:
Sala 4cm 1cm 1cm 1
4m 1cm
a 1 : 100 escala
4m 1m 100cm 100
m
A
De igual forma:
3cm 1cm 1 5cm 1cm 1
1 : 100 escala. 1 : 100 escala.
3m 100cm 100 5m 100cm 100
mapb 372
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
373
EJERCICIOS
1cm Baño
m
20m 6,5m
Alcoba
Sala comedor
5. Haz una representación gráfica del plano de tú casa, toma las dimensiones con un metro,
regla u otro elemento, e identifica las escalas utilizadas.
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
374
SISTEMAS DE MEDIDAS
RESEÑA HISTÓRICA
Desde que el hombre apareció en la tierra, siempre se preocupo por medir los objetos que
utilizaba a diario. Esta necesidad lo llevo a idear diferentes formas de medir: La longitud, la
masa, el volumen, el área y el tiempo (desgaste de los objetos o durabilidad)
Para la longitud utilizo: Los dedos, la palma de las manos, los pies, los brazos, pedazos de
palos y cualquier elemento que le sirviera para tal fin.
Para la masa: conchas, granos, piedras y cualquier objeto que le sirviera para comparar las
masas de dos cuerpos.
La duración de la jornada laboral, también fue una necesidad sentida del hombre, por eso
diseño diferentes formas de medir el tiempo. Para el tiempo utilizó: La sombra de los árboles
y de las personas, los pétalos de las flores, el canto de las aves, el comportamiento de los
animales, relojes de arenas entre otros; hasta llegar a los sofisticados relojes que hoy miden
el tiempo.
La dificultad radicaba, en que cada pueblo tenía su propio sistema de medidas, y las
unidades(cantidades) variaban demasiado de una comunidad a otra , esto frenaba el
intercambio comercial entre las regiones.
MEDIDAS DE LONGITUD
EL METRO
El Metro es la unidad patrón o fundamental de las medidas de longitud.
El Metro se utiliza para medir: La distancia entre dos pueblos, el largo de un salón, el
ancho de una cancha de fútbol, la estatura de una persona, la profundidad de el océano, el
largo de un rio, la distancia entre la tierra y la luna, etc.
El Metro se simboliza con la letra M o m . Generalmente se utiliza la letra m
mapb 374
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
375
1 2 3
milímetros centímetros
Cada división del metro recibe el nombre de milímetro(mm). Así, un metro tiene
1000 mm. O sea : 1m 1000mm
Cada 10 divisiones del metro recibe el nombre de centímetro(cm). Entonces, un metro tiene
100cm. O sea : 1m 100cm
Cada 10cm del metro recibe el nombre de decímetro(dm). O sea : 1m 10dm
MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO
U .P unidad patrón
mapb 375
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
376
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO:
EJEMPLOS:
Solución:
Consideremos la siguiente tabla.
mapb 376
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
377
ANÁLISIS:
Mm
0,254km se ha escrito en la unidad
km 0,254km 25400cm correspondiente, o sea, en km. Como de km a
cm hay 5 lugares, la coma se ha corrido 5
espacios hacia la derecha. A sí: 0,254km queda
Hm 52Hm 5200000mm convertido en 25400cm.
Esto es: 0,254km = 25400cm
Dm
2345,12m se ha escrito en la Unidad
2345,12m 2,34512Km correspondiente, o sea, en m. Como de m a km
m
hay 3 lugares, la coma se ha corrido 3 espacios
dm hacia la izquierda. Así: 2345,12m queda
convertido en 2,34512km.
356cm 0,00356Km Esto es: 2345,12m = 2,34512km
cm
NOTA 0Jooooo
Los espacios vacios se llenan con ceros(0).
Cuando la coma no se ve, la misma se ubica después de la última cifra
Sí delante de la coma no queda ningún número, se escribe un cero(0).
Sí los números que siguen después de la coma son ceros, no se escriben.
EJERCICIOS
1. Exprese 45,623Km en : m, cm, mm y Dm
2. Lleve 2018972mm a : km, m y Mm
3. ¿ Cuántos : km, m, Hm y dm hay en 546,2cm ?
4. Una persona en un día realiza los siguientes recorridos : 7 km, 56m, 500cm y 345Hm.
¿ Qué dis tan cia en m recorre la persona ?
5. Un rapimotero recorre 9km en 1 hora, ¿ Cuántos km recorrerá en 5 horas ?
2
6. Exprese el resultado de la siguiente operación en cm : 45m 3km 235,8mm 50cm
7. Exprese el resultado en m : 35Hm 60m 3Mm 42km 300cm 5 Dm
mapb 377
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
378
Para pasar de una unidad a otra, se aplican reglas de tres simple directas
EJEMPLO 1.
ANÁLISIS:
En 456cm, ¿ cuántas pu lg . hay ? Como se puede observar, al
Solución : plantear la regla de tres simple
pu lg . cm las unidades se escriben de tal
1 456 forma que se correspondan, es
1 2,54 De donde : x 179,52 pu lg . decir, cm de bajo de cm y
2,54
x 456 pulg. de bajo de pulg.
EJEMPLO 2.
En 500m, ¿ cuántos pies hay ?
Solución :
pies . m
1 500
1 0,3048 De donde : x 1640,41 pies Luego : 500m 1640,41 pies
0,3048
x 500
EJEMPLO 3.
Expresemos 55426 pies en km
Solución :
pies . cm
30,48 55426
1 30,48 De donde : x 1689384,48cm
1
55426 x
Como no hay una conexión directa entre pies y km, los pies se expresan en una unidad que
tenga relación con pies y Km. En este caso, hemos escogido pies y cm
Ahora, de cm a km hay 5 lugares. Como vamos de una unidad menor a otra mayor
la coma se corre hacia la izquierda 5 espacios, entonces, 1689384,48cm queda convertido en
16,898448km. Luego, en 55426pies hay 16,898448km. Lo anterior se expresa de la siguiente
forma: 55426pies = 16,898448km.
mapb 378
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
379
EJERCICIOS
1. Exprese en mm 35 pu lg . 2. En 48m, ¿ cuántos pies hay ? . 3. Lleve 9 var as a m
4. En 89Km , ¿ cuántas cuadras hay ? 5. En 402568m, ¿ cuántas mils. hay ?
6. Exprese en Km 6231480125pu lg .
7. Un avión sup ersónico pasa por Quibdó a 10000pies de altura. .Exprese esta altura en m
C DOS
DIMENSIONES
H
1m
1m
O
L A R G O
1m 2 10000cm 2 10 4 cm 2 . 1m 2 100dm 2 10 2 dm 2 .
1m 2 1000000cm 2 10 6 mm 2 .
mapb 379
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
380
NOTA
Cualquier unidad de longitud se puede expresar en unidades de áreas(cuadradas), solo hay que elevar
al cuadrado ambos miembros de una equivalencia y desarrollar las potencias
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO:
Se aplica el mismo método utilizado en las medidas de longitud, teniendo en cuenta, que por
cada espacio la coma se corre dos lugares hacia la derecha o hacia la izquierda según el caso.
EJERCICIOS
1. Exprese 254691,23cm 2 en : m 2 , Dm 2 y km 2
2cm
4,25cm
FANEGADA(Faneg)
Es un cuadrado que tiene 80 m por cada lado.
80m
80m
100m
HECTÁREA(Ha)
Cuadrado que tiene 100m por cada lado.
100m Ha
1Ha 100m 100m 10000m 2 100m
mapb 380
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
381
ÁREA(A)
Cuadrado que tiene un decámetro(10m) por cada lado.
1Dm 10m
1Dm Ar 1Dm
1Ar 1000m 2 . Ha 100 Ar
1Dm
CENTIÁREA(Ca)
Cuadrado que tiene un metro por cada lado.
1m 1Ca 1m 1m 1m 2 1Ca 1m 2
1m Ca 1m 1Ha 10000Ca
1m 1Ar 100Ca
EJERCICIOS
Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando reglas de tres simple directas.
1. Exprese 560000m 2 en Ha. 2. Lleve a Ar, 24Ha 3. Exprese 2,5Ha en cm 2
EJERCICIOS
Aplicando regla de tres…
1. Exprese 564,25cm 2 en pu lg 2 2. Lleve 34 pies 2 a cm 2 3. Exprese 1 var a en pu lg 2
mapb 381
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
382
MEDIDAS DE VOLUMEN
A
L =2m
T
1m O
1m TRES
O
1m H DIMENSIONES
C
=3m
N
A
L A R G O = 6m
La anterior figura geométrica es un ortoedro. Los ortoedros tienen tres dimensiones: Largo,
ancho y alto. El volumen(espacio que ocupa) de este ortoedro es:
Volumen l arg o ancho alto 6m 3m 2m 36m 3
36m 3 es una medida de volumen
Básicamente, las medidas de volumen se utilizan para medir el largo, el ancho y el alto de un
sólido o cuerpo geométrico.
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO:
Se aplica el mismo método que se utilizó en las unidades de longitud, teniendo en cuenta, que por
cada espacio la coma se corre tres lugares hacia la derecha o hacia la izquierda según el caso
mapb 382
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
383
MEDIDAS DE CAPACIDAD
La cantidad de liquido que cabe en un recipiente se llama capacidad del recipiente.
Las medidas de capacidad se utilizan para determinar la cantidad de líquido que cabe en un
recipiente.
M
ú Nombre Símbolo Equivalencia en litros
l
t Kilolitro kL 103 L 1000L
i
p Hectolitro HL 10 2 L 100L
o
s Decalitro DL 101 L 10L
U.P Litro L 10 0 L 1L
Sub
m Decilitro dL 10 1 L 0,1L
ú
l
ti
Centilitro cL 10 2 L 0,01L
plos
Mililitro mL 10 3 L 0,001L
L 100cL. L 10dL.
mapb 383
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
384
CONVERSIÓN DE UNIDADES
PROCEDIMIENTO
Se aplica el mismo método utilizado en las medidas de longitud.
EJERCICIOS
1. Exprese 978L en : kL, mL, HL y dL.
2. Lleve 54,8mL a : L, cL, DL y kL.
3. 5L 4,2kL 6 HL 0,9 DL 2894mL. Exprese el resultado en L.
4. En 125,56dL, ¿ cuántos HL y kL hay ?
5. Se tienen dos recipiente s, en uno se vierten 82564mL y en el otro, 81,99 L.
¿ Cuál de los dos recipiente s tiene mayor capacidad ?
Nombre Equivalencia
Botella(Botell) 0,75L 750mL 750cm 3
Galón 5botell 3,78L
Barril de petróleo 42,06 galones 159L
Tonel 352 galones 1760botell 1320L
EJERCICIOS NOTA
Los alumnos deben manipular
1. Exprese 5604 L en : botell . diferentes clases de recipientes, como:
2 En 9 galones , ¿ cuántos L hay ? botellas de diferentes capacidades y
forma, materiales y latas de gaseosas
3. En 4569 L, ¿ cuántos tonel hay ? de diferentes tamaños.
4. En 125,56dL, ¿ cuántos HL y kL hay ?
5. En 390846 L, ¿ cuántos barriles de petróleo hay ?
UNIDADES DE MASA
Masa: Cantidad de materia que posee un cuerpo.
Materia: Elemento constituyente de los cuerpos.
Cuerpo: Reunión de materia de la misma clase.
La unidad patrón de las medidas de masa es el gramo(g o gr). g o gr, léase: gramo.
mapb 384
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
385
EJERCICIOS
NOTA
1. Exprese 4,5kg en : g , mg, Dg y dg. Desarrolle estos ejercicios utilizando
2 Exprese 2753,5mg en : gr , kg y cg el método que se manipuló en las
medidas de longitud.
3. Lleve 0,025kg a : g , mg y dg
EJERCICIOS
1. Exprese 2500 g en : Oz. EN EL CHOCÓ:
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MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
386
1g 1 mL 1 cm 3
1 kg 1L 1000cm 3
De igual forma:
1L tiene una masa de 1kg
EJERCICIOS
mapb 386
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
387
MEDIDAS DE TIEMPO
Las medidas de tiempo se utilizan para determinar la duración de una persona, un objeto, un
acontecimiento político, un evento social, un fenómeno natural, entre otros.
NOTA
Una ves transcurren 3 años, el que sigue es bisiesto. En el año Bisiesto, el mes
de febrero es de 29 días, normalmente es de 28 días.
BODAS DE PLATA, se celebran a los 25 años.
BODAS DE ORO, se celebran a los 50 años.
EDAD DE NACIMIENTO DE UN SER HUMANO, 9 meses aproximadamente
DURACIÓN VIAJE SONDA HORIZONTE ENVIADA A PLUTÓN, 9 años aproximadamente
EJERCICIOS
mapb 387
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
388
Este método es un poco más complejo que el anterior, su importancia radica en que una vez
sea interpretado correctamente, permite resumir el proceso de conversión, cuando el mismo
involucra más de dos unidades.
ANÁLISIS:
Consideremos la equivalencia 1 pie 30,48cm , obsérvese que es una ecuación algebraica. Si
ambos miembros de una ecuación se dividen por uno de los dos, la igualdad se mantiene y uno
de sus miembros queda convertido en 1(unidad).
Veamos:
1 pie 30,48cm
….Dividiendo ambos miembros por 30,48cm .
30,48cm 30,48cm
1pie
Entonces: 1...(a)
30,48cm
1 pie 30,48cm 30,48cm
….Dividiendo ambos miembros por 1 pie . Entonces: 1 ...(b)
1 pie 1 pie 1pie
1pie 30,48cm
Las fracciones: 1 y 1 , reciben el nombre de factor de
30,48cm 1pie
conversión.
Esto muestra, que de una equivalencia se pueden obtener dos factores de conversión. Lo
mismo se puede hacer con todas las equivalencias.
Para hacer conversiones de unidades haciendo uso del factor de conversión, se propone
interiorizar los siguientes pasos:
Se identifica la unidad de partida y la unidad de llegada
Se multiplica la unidad de partida por el factor de conversión de la unidad de llegada.
Como toda unidad de llegada tiene dos factores de conversión, se escoge el que permite
eliminar la unidad de partida.
Si entre la unidad de partida y la de llegada hay otras unidades, se hacen multiplicaciones
sucesivas hasta la unidad de llegada, pero siempre eliminando la unidad del factor
anterior.
EJEMPLO 1.
Expresemos 400cm en pies
Solución:
Como existe una equivalencia entre cm y pies, entonces:
mapb 388
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
389
EJEMPLO 2.
Llevemos 45,068pies a cm.
Solución:
Como existe una equivalencia entre cm y pies, entonces:
30,48cm
45,068 pies 45,068 30,48cm 1373,67cm. Luego : 45,068pies 1373,67cm .
1pies
Se escogió el factor (b), porque es el que permite eliminar los pies(unidad de partida)
EJEMPLO 3.
Expresemos 0,98Km en pulg.
Solución:
No existe una equivalencia directa entre Km y pulg., pero, si hay una entre Km y cm, y entre
cm y pulg. Esto muestra, que para ir de Km a pulg., debemos pasar por cm. Entonces:
100000cm pu lg .
0,98km 38582,67 pu lg . 0,98km 38582,67pu lg.
km 2,54cm
EJEMPLO 4.
Transformemos 986748,98segs. en años.
Solución:
La equivalencia directa entre segs. y años no existe. Pero, si hay una entre segs. y horas,
entre horas y días, y entre días y años. Entonces:
1hora días 1año 986748,98años
986748,98segs. 0,0312 años.
3600segs. 24horas 365días 31536000
Luego : 986748,98segs. 0,0312 años.
EJERCICIO
Haciendo uso de este método, realice las siguientes conversiones:
a 34,45kg a gr g 0,866km a m
b 4893gr a kg h 4000000cm 2 a Ha
c 3,46años a hr i 3489298 pu lg . a km
d 30m 2 a pies 2 j 895639800hr a decadas
e 9,8L a mL k 54,56 Ha a pies 2
f 0,864m 3 a cm 3 l 0,98 Hm a pies
mapb 389
MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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