Cuaderno de Ingreso Matematica
Cuaderno de Ingreso Matematica
Cuaderno de Ingreso Matematica
MATEMÁTICA
Coordinadora del Seminario de Ingreso Matemática: Mg Alicia Hernández
2
1.9.4 DESIGUALDADES E ……………………………………………………………………………… 48
INECUACIONES
1.9.5 INTERVALOS ……………………………………………………………………………… 49
1.9.6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
INECUACIONES ……………………………………………………………………………… 49
1.9.7 SISTEMAS DE INECUACIONES ……………………………………………………………………………… 49
1.9.8 ACTIVIDADES 54
3
2.4.3 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA
RECTA ……………………………………………………………………………… 97
2.4.4 RECTAS PARALELAS Y
PERPENDICULARES ……………………………………………………………………………… 100
2.4.5 FUNCIONES LINEALES POR
TRAMOS ……………………………………………………………………………… 101
ACTIVIDADES ……………………………………………………………………………… 102
4
3.4.0 CIRCUNFERENCIA UNITARIA Y PUNTOS
TERMINALES ……………………………………………………………………………… 140
3.4.1 CÁLCULO DE PUNTOS TERMINALES ……………………………………………………………………………… 141
5
SIMBOLOGÍA DE APOYO
EJEMPLOS OBSERVÁ
¿? RESPONDÉ
6
EN EL INICIO DE LA PRIMERA ETAPA
¡¡¡HOLA !!!
¿Cómo estás? … Seguramente con muchas expectativas al iniciar esta
primera etapa de tu formación profesional.
Esperamos que esta propuesta sea de utilidad para ordenar y resignificar los
conceptos de Matemática, que has estudiado en la escuela media, necesarios como
fundamento sólido para afrontar con éxito el cursado de las asignaturas básicas de la
especialidad que elegiste.
7
SUGERENCIAS
“El ingeniero del mundo que viene debe tener una gran capacidad de
anticipación para desempeñarse en una sociedad que avanza a un ritmo
superior al suyo propio”
Ing. Marcelo Sobrevila, 1999
Ante esta realidad será necesario que desarrollés nuevas habilidades que
favorezcan tu integración a las formas de vida social que presentarán los nuevos
tiempos.
Por estas razones queremos compartir algunas ideas que, a nuestro criterio,
pueden ayudarte para estudiar y aprender , en particular, Matemática.
Los diferentes objetos matemáticos son herramientas para hacer algo con ellos
Aprendé a reconocer Es importante que reconozcas los diferentes objetos matemáticos ( números,
los objetos matemáticos,
investigando para que sirven, ecuaciones, inecuaciones, funciones). Investigá para qué sirven, cómo y para qué se
como se usan.....
utilizan, cómo se opera con ellos,….
8
Preguntá las veces que creas necesario.
Es un buen camino para entender, quien pregunta aprende. Pregunta todo, lo
Recordá que quién
pregunta aprende. que no has entendido y también lo que te parece que entendiste para asegurarte que
estás en lo correcto.
Identificá los conceptos fundamentales del tema y buscá las posibles relaciones.
A partir de las relaciones que logres establecer entre los conceptos que vas
aprendiendo éstos se van fijando en tus esquemas de conocimientos y de este modo
los podrás usar en el momento que sea necesario.
9
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
no siempre tiene solución inmediata o tal vez no tiene solución.
puede admitir varias vías de aproximaciones y tal vez varias soluciones.
Observá que todos puede demandar algún tiempo hallar su solución.
los problemas poseen aspectos
comunes, todos tienen un
exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad.
estado inicial y tienden a
lograr algún objetivo. Todos los problemas poseen aspectos comunes, todos tienen un estado
inicial y tienden a lograr algún objetivo. Para resolverlos es preciso realizar algunas
operaciones sobre el estado inicial para poder lograr el objetivo.
10
Fase 2 Idear un plan
EJEMPLO 1
2
Un triángulo equilátero de 4 dm de superficie tiene el mismo perímetro que
un hexágono regular¿ Cuál es la superficie del hexágono?
Solución
Realizá un dibujo
a
a a a a
a a
a a
a a a
En las condiciones dadas, tomando el triángulo equilátero de lado a como
unidad de medida, podemos concluir que :
si At 4 dm 2 entonces A h = 6 dm
2
11
EJEMPLO 2
Solución
n = 1, 2, 3 , 4 , 5 ,…. pisos
En estos casos se necesitarán : 1, 4, 9, 16, …. bloques, respectivamente
EJEMPLO 3
459
Determiná el último dígito del número 3 .
Solución
459
El número 3 es muy grande para usar la calculadora, luego planteamos
casos más sencillos( en este caso con la calculadora)
3
2 9
3
3 7
3
4 1
3
5 3
3
6 9
3
7 7
3
8 1
459 | 4
|_____
059 114
19
3
12
EJEMPLO 4
Solución
Incógnita Datos
Perímetro (P)
hipotenusa ( h )
área (A)
matemáticas eran los A = ½ xy (2) P =x+y+h (3)
fundamentos de todas las cosas.
Su lema era todo es número,
refiriéndose con ello a los Relacionamos con algo familiar ( cuadrado de un binomio)
números enteros. 2 2 2
La contribución más (x + y ) =x +y +2xy
extraordinaria de Pitágoras es el
teorema que lleva su nombre: en 2 2
un triángulo rectángulo, el área
luego de (1) y (2) (x+y) = h + 4A
del cuadrado sobre la
hipotenusa es igual a la suma de 2 2 2 2
según (3) ( x + y) = ( P- h) = P + h -2 Ph
las áreas de los cuadrados sobre
los otros dos lados
. 2 2 2
De las dos últimas ecuaciones : h + 4A = P +h -2Ph
c2=a2+b2
2
Simplificando 4A = P -2 Ph
P2 4A
Entonces h
2P
que es la relación solicitada.
Para reflexionar
“Lo más importante no es el fin del camino sino el camino. Quien baja demasiado
rápido se pierde la esencia del viaje”
Louis L ´Amour.
13
NOTACIÓN MATEMÁTICA
Teoría de conjuntos
Notación Se lee
Pertenencia xA x pertenece a A
x A x no pertenece a A.
Inclusión AB A está incluido en B
AB A está incluido o es igual a B
Unión AB A unión B
Intersección AB A intersección B
Expresiones
Notación Se lee
Igualdad xy x es igual a y
Menor que xy x es menor que y
Mayor que xy x mayor que y
Aproximado xy x es aproximadamente igual a y
Notación Se lee
Cuantificador universal x Para todo x
Cuantificador existencial x Existe x
Existe por lo menos (un) x
Tal que x/y x tal que y
x:y
Por lo tanto x y x por lo tanto y
14
CONTENIDOS DEL CURSO
2
Conjuntos numéricos: N, Z, Q, I y R. Operaciones y propiedades en R.
Identidades.
El lenguaje algebraico. Ecuaciones e inecuaciones lineales con una incógnita.
Intervalos de números reales.
Valor absoluto de un número real. Caracterización del valor absoluto por
57 medio de la noción de distancia.
1,5 1012
y=3
x+9
MÓDULO II: FUNCIONES
15
BIBLIOGRAFÍA
Abdala, C., Real, M., Turano, C., Carpeta de Matemática I, Editorial Aique.
Altman, S., Comparatore, C., Kurzrok, L., (2002) Matemática Polimodal, Funciones 1, Editorial Longseller.
Altman, S., Comparatore, C., Kurzrok, L., (2002) Matemática Polimodal, Funciones 2, Editorial Longseller.
Camuyrano, M., Net, G., Aragón, M., (2000) Matemática I, Modelos matemáticos para interpretar la realidad,
Editorial Estrada.
Carnelli, G., Novembre, A., Vilariño, A. (1999) Función de gala. Dramáticas actividades para dominar las
funciones matemáticas. Setenta Soles Grupo Editor.
Engler, A., Müller, D., Vrancken, S., Hecklein, M., (2005) Funciones, Universidad Nacional del Litoral.
Guzmán, M. de, Colera, J., Salvador, A., (1993) Matemáticas Bachillerato 1, Editorial Anaya.
Guzmán, M. de, Colera, J., Salvador, A., (1993) Matemáticas Bachillerato 2, Editorial Anaya.
Guzmán, M. de, Colera, J., Salvador, A., (1993) Matemáticas Bachillerato 3, Editorial Anaya.
Gysin, L., Fernández, G., (1999) Matemática una mirada funcional álgebra y geometría, AZ Editora.
Haussler, E., Richard, P., (1997) Matemáticas para Administración, Economía. Ciencias Sociales y de la Vida,
Prentice – Hall.
Kaczor, P., Schaposchnik, R., Franco, E., Cicala, R., Díaz, B., (1999) Matemática I, Santillana.
16
OBJETIVOS
17
DIAGRAMA CONCEPTUAL GENERAL
SITUACIONES
SITUACIONESPROBLEMÁTICAS
PROBLEMÁTICAS
NÚMEROS
NÚMEROSREALES
REALES FUNCIONES
FUNCIONES
OPERACIONES
OPERACIONES ORDEN
ORDEN//DENSIDAD
DENSIDAD
COMPLETITUD
COMPLETITUD
REPRESENTACIÓN
REPRESENTACI
REPRESENTACI Ó
ÓNN
GRÁÁFICA
GR FICA LINEALES
LINEALES
CUADRÁTICAS
CUADRÁTICAS
PROPORCIONALIDAD
PROPORCIONALIDAD
Algoritmos EXPONENCIAL
EXPONENCIAL
LOGARÍTMICA
LOGARÍTMICA
Propiedades
INECUACIONES
INECUACIONES ECUACIONES
ECUACIONES
Estimaci ón TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONMÉTRICAS
TRIGONMÉTRICAS
18
MÓDULO I: NÚMEROS REALES
OBJETIVOS
Al concluir el módulo I estarás en condiciones de:
DIAGRAMA CONCEPTUAL
NÚMEROS REALES
DENSIDAD REPRESENTACIÓN
OPERACIONES ORDEN COMPLETITUD GRÁFICA
Adición
Multiplicación EXPRESIONES ALGEBRAICAS
División
Potenciación
Radicación
INECUACIONES ECUACIONES
Algoritmos
Propiedades
Estimación
Notación científica
19
UN POCO DE HISTORIA
Hacia el año 2000 a.C. los egipcios comienzan a manejar, con acierto,
1 1 2
algunas fracciones sencillas, como: , , , ...
2 3 3
A Los griegos, que elevaron las manipulaciones y recetas de los egipcios y
babilonios a la categoría de ciencia, dieron el paso siguiente en el camino de los
números.
x +a = b con b<a
x+8=3
Aún a mediados del siglo XVII Descartes llamó falsas a las raíces negativas
de una ecuación algebraica.
x=3-8
x=-5
Es a partir del siglo XVII y con el desarrollo de la Geometría Analítica que
se les da un sentido espacial: los negativos, en geometría, indican retroceso, los
positivos un avance y de este modo se va incorporando el concepto de número
negativo.
20
INICIANDO EL CAMINO
Los números además Medir distintas magnitudes (longitud de un segmento, temperatura del agua,...)
de expresar cantidades y
medidas sirven también para
operar con ellas, es decir,
calcular ciertas cantidades a SITUACIÓN POBLEMÁTICA
partir de otras conocidas
Un productor debe transportar latas de tomate, de forma cilíndrica de 4 cm de
radio y 8,5 cm de altura y desea realizar el envío empacando las latas en cajas.
En el mercado existen dos tipos de cajas de base rectangular
SOLUCIÓN
Analicemos las dos posibilidades
21
Para asegurarnos que es posible, calculamos la distancia entre dos filas
adyacentes. Como muestra la figura, la distancia “d” es la altura del triángulo
equilátero que se determina uniendo los centros de las bases de tres latas
contiguas, su valor es:
1
d = 8 cm sen 60° = 8cm. 3 =4 3 cm
2
Luego para disponer las latas de este modo el largo de la base de las cajas debe
ser como mínimo igual a 2 r + 2 d , es decir:
2 . 4 cm + 2 . 4 3 cm = 8 cm + 8 3 cm 21,856 cm
¿?
¿ Puedes inferir cuál es el tipo
de caja que ofrece el mayor
rendimiento?
Para responder a las
preguntas planteadas en el
problema operamos con dis-
tintos tipos de números.
22
NÚMEROS NATURALES
Verificá con tu calculadora: El conjunto N tiene primer elemento (1) y no tiene último elemento, por lo
que decimos que es infinito.
8! = 40320
10! = 3628800
Indicamos N = {1, 2, 3, 4,......}.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE N
a) 8 (3 2) 25
2
4
b) 4 2 2 3 25 4
2
c) 3 2 1
4 5
d) 3 8. 25
A cada punto marcado en la recta se lo llama “la gráfica” del número
natural correspondiente, mientras que el número asignado a cada punto se le llama
“la coordenada” del mismo.
En China, alrededor del siglo XII a.C. aparece el I-Ching, un libro de adivinación con interesantes reflejos matemáticos,
que tiene que ver con el sistema de numeración en base 2 (sistema binario). También es chino el primer cuadrado mágico, al que se
le atribuían propiedades mágicas interesantes. Según una vieja leyenda, apareció en el caparazón de una tortuga que salió del río Lo.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
23
NÚMEROS ENTEROS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE Z
24
NÚMEROS RACIONALES
1 3 12
Los números ; ; son números fraccionarios.
5 4 7
4 8
Por ejemplo, las fracciones y representan el mismo número ya
5 10
8 42
que
10 5 2
a c
Si dos fracciones y son tales que a . d = b . c entonces son iguales
b d
o sea representan el mismo número.
EXPRESIONES DECIMALES
“Un número racional puede expresarse con una fracción o con una
2 2
expresión decimal”
25
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE Q
3
Para representar el número , dividimos al segmento unidad en cuatro partes
4
iguales y tomamos 3, contando desde 0. Para ello seguimos los siguientes pasos
utilizando regla, escuadra y compás:
En esta construcción, podemos ver que dados dos puntos de una recta
(representativos de números racionales) entre ellos se pueden realizar aún infinitas
divisiones.
Esto es lo mismo que decir que entre dos números racionales siempre
existen “infinitos racionales”.
26
NÚMEROS IRRACIONALES
La matemática en la naturaleza
27
NÚMEROS REALES
REALES
(R )
RACIONALES IRRACIONALES
(Q) (I)
3 7 1
0; 13; ; ; ;
4 8 2 NATURALES ENTEROS
(N) NEGATIVOS
Y CERO
25 16 12
4; ; 100 ;... 0; -13; ; ;...
5 4 3
28
OPERACIONES EN R – PROPIEDADES
En el conjunto de números reales podemos definir las operaciones de: adición, multiplicación,
potenciación, radicación,...
Distributiva de la
multiplicación ab c a.b a.c a, b, c R
respecto a la adición
POTENCIACIÓN
DEFINICIÓN PROPIEDADES
Sean n, m Z
Sea a R, n N
an a ( a.b )n a n b n
a a
n veces a n a m a nm
a0 = 1 si a 0
a n : a m a nm
1
a n ( ) n si a 0 ( a n )m a n.m
a
29
IDENTIDADES NOTABLES
RADICACIÓN
DEFINICIÓN PROPIEDADES
3
8 2 ; 8 no tiene solución en R
30
OPERACIONES CON RADICALES
Solo es posible sumar o restar términos con radicales semejantes. Dos radicales
son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
a) 2 3 3 5 3 2 1 5 3 2 3
b) 4 2 2 5 3 2 6 5 4 3 2 2 6 5 2 4 5
c) 3 2 5 32 7 8 3 2 5 25 7 23
Gerolamo Cardano (1501-
1576) es sin lugar a dudas uno 3 2 5 24 . 2 7 22 . 2
de los personajes más singulares 3 2 5.22 2 7.2 2
en la historia de las matemáticas.
En su época fue el médico con 3 2 20 2 14 2
mayor renombre en Europa y a
pesar de ello sufrió toda su vida 3 20 14 2 3 2
numerosas enfermedades, inclu-
yendo fracturas, hemorroides y
el terror irracional a encontrarse Multiplicación y división de radicales
con perros rabiosos. Sus
adorados hijos lo hicieron sufrir- El producto o cociente de varios radicales es el radical que se obtiene al
su consentido finalmente fue
decapitado por haber asesinado a
multiplicar o dividir radicales reducidos a común índice.
su esposa. Cardano fue un
jugador compulsivo pero a) 5
x 3 . 5 x 5 x 3 .x 5 x 4
aprovechó este vicio para
escribir el Baok on Games of
Chance, el primer estudio de las b) 5
3. 4 2 20 34 .20 25 20 34.25 20 81.32 20 2592
probabilidades desde un punto
de vista matemático correcto.
2
Su obra matemática de mayor 12 2 2
importancia fue el Ars magna, en 6
4 24 12
el cual detalló la solución de las
c) 12 2
ecuaciones polinomiales gene-
4
2 12 3
2 23
rales de tercer y cuarto grado. En
el momento de su publicación
los matemáticos se sentían
incómodos incluso con los
números negativos pero las RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
fórmulas de Cardano abrieron
camino a. la aceptación no sólo
de los números negativos sino
también de los números
Dada una fracción en cuyo denominador aparece algún radical, se entiende por
imaginarios, ya que se presentan racionalizar, encontrar otra fracción igual a la dada y en cuyo denominador no
de manera natural en la figuren radicales.
resolución de las ecuaciones
polinomiales. Por ejemplo, una
de sus fórmulas da la solución
x 3 2 121 - 3 2 121
1) 3 3 2 3 2
para la ecuación cúbica 2 2 2 2
5
x 3 15 x 4 0 2) 3 3 3 3 24 35 16 35 16
5
64 5 26 2 5 2 2 5 2 5 2 4 2 5 2 5 4
Este valor para x de hecho
resulta ser el entero 4, aunque 1
3) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
para determinarlo Cardano tuvo
que utilizar el
imaginario 121 11i
número
3 3 3 3 3 3 32 3 2
93 6
2
2
2 3 2 2 3 2
2 3 2
2
4)
3 2 3 2 3 2 32
31
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Cuando un número es muy grande o muy pequeño conviene expresarlo en
notación científica, pues esta indica directamente el orden de magnitud.
Un número escrito en
notación científica consta de una
parte decimal, mayor o igual a 1 y
menor que 10, seguido de una
potencia de 10. Así por ejemplo:
1. La edad del universo se calcula en 15.000.000.000 = 1,5 .1010 años.
2. El diámetro del electrón es aproximadamente
0,0000000000010 mm = 10-12 mm.
1) Indicá en notación científica.
4 9
a) (4,23.10 ).(5,04.10 )
b) 4,23.10 4
5,04.10 9
EN GENERAL:
a) 5,432 b) 3,053 Aumentar en una unidad la última cifra conservada, si la primera cifra a
c) 6,789 d) 12,674 eliminar es igual o mayor que 5
e) 302,109 f) 6,911
g) 8,945 h) 2 Truncar directamente el número a la cantidad de cifras deseadas, si la
primera cifra eliminada es menor que 5.
32
ACTIVIDADES
1 b) 10 1 1 1
a)
c)
2
d) 1
4 3 2
e) 2 f) e2 g) 25 h) 5
6
René Descartes (1596-1650) 2 j)
27 k) 3 3 l) 5
32
nació en la ciudad de La Haye en
i)
2 18
el sur de Francia, y desde
temprana edad tuvo afición por
las matemáticas debido a "la
certidumbre de sus resultados y a 2) Si es posible, ubicá cada elemento del siguiente conjunto en la categoría que
la sencillez de su lógica". Creía corresponda:
que a fin de descubrir la verdad
22 2
uno debe empezar por dudar de 0 ; 10 ; 50 ; ; 0, 532 ; 7 ; 1, 23 ; ;
todo, incluyendo la propia 7 3
existencia; esto lo condujo a a) Enteros no naturales.
formular quizá la frase más
conocida de toda la filosofía: b) Naturales no enteros.
"Pienso, luego existo". En su c) Racionales no enteros.
libro Discurso del método d) Reales no racionales.
describió lo que ahora se conoce e) Irracionales no reales.
como el plano cartesiano. Esta
idea de combinar el álgebra con
la geometría permitió por vez
primera a los matemáticos 3) Determiná si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando
“visualizar” las ecuaciones que cada respuesta:
estudiaban y el filósofo John
Stuart Mill dijo que esta
a) 3 es un número irracional pero 2 3 no lo es.
invención era "el paso individual b) Todo número natural es racional.
más grande alguna vez realizado
en el avance de las ciencias
c) 2 es un número irracional pero no real.
exactas”. Descartes gustaba de d) El único número racional mayor que 2,1 y menor que 2,3 es 2,2.
levantarse tarde y quedarse en e) Todo número real es racional.
cama por las mañanas pensando
y escribiendo. Inventó el plano f) 5 y 5 45 son números irracionales.
coordenado al observar a una
mosca desplazarse en el cielo
raso y razonar que podía 4) En busca de conclusiones.
describir la localización exacta a) Escribí un número racional mayor que 1.
de la mosca al saber a qué
distancia estaba de dos paredes b) Escribí un número racional mayor que 1, pero menor que el anterior.
perpendiculares entre sí. En c) Escribí más números racionales, cada vez menores, pero siempre mayores
1649 Descartes se convirtió en el que la unidad.
tutor de la Reina Cristina de d) Tratá de hallar el menor número racional que sea mayor que la unidad.
Suecia, la cual gustaba recibir
sus lecciones a las 5 en punto de e) ¿Qué conclusión obtenés?
la mañana cuando, decía, su
mente estaba más despejada.
33
5) Indicá si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá en cada
caso:
a) Entre dos números enteros hay siempre un entero.
b) Entre dos números racionales, siempre hay un racional.
c) Entre dos números racionales siempre hay un irracional.
d) Entre dos números racionales hay siempre infinitos racionales e
irracionales.
e) Los números racionales completan la recta.
f) Los números reales completan la recta.
a) 4 2 0 2
b) 4
2
0 2
2 2
c) d)
7 3
2 2
1 1 a2 b c
2
e) 1 . f)
2 3 a b
3
. a 5 : a 2
3
h) a 5 .a 2
1 1
g) 3x 3x 3x 3x
i)
9
3
8 8
3
j)
64 27
3
27 3
k) l)
6
x 4 9 x 6 15 x10
4
2 2
6
x x
m)
3
n) a a a
x
a) 2 2 5 2 b) a 2 b a b
c) 3 18 11 2 2 50 d) 9x 25x 49x
3 3 16 5 3 2 3 1
e) 54 5 3 f) 4 48 4 32 4 243 4 162
2 27 3 125 2 3
1 5 5
g) 125 4 2 h) 12a 2 4 9a 2
10 16 36
i) x5 4 x x3 4 81x10 j)
4
2a 2 .4 ab.4 2ab
k) 3.( 6 24 ) 98 l)
3
m. m2 . m3
4
3 5 2
m) ab2 . a 2b3 n) 3 =
4
34
6 3
2 26
8) Resolvé de dos maneras diferentes: aplicando propiedades de la
3 7
2
radicación y aplicando propiedades de exponente fraccionario.
9) Racionalizá:
10 2x 4
a) 3
b)
3
c)
2 3 x 9
256 y 8
52 12
1
d) e)
3
f)
4
5 9 27
1 3 2 3
g) h) i)
1 2 1 3 3 2
5 14 3 2
j) k)
7 2 3 2
4 1
b) El triple de la diferencia entre y es:
3 6
3,5 7 1 21
3 3 5
1
1 1
c) El resultado de 21 : . es:
2 8
2 2 1 5
1 1
2 2 2
1
d) La racionalización de es:
5 6
5 6 5 6 5 6 5 6
35
2
e) El desarrollo de 2 3 es:
5
52 6 52 6 -1
5
f) Si a . b 1 y a , entonces el valor de b es:
2
1 5 2 5 2 5
5 5 5
12) Se define el año-luz como la distancia que recorre la luz en un año. Si la luz
se desplaza en el espacio con una velocidad de 3 .10 5 km/seg, calculá a cuántos
kilómetros equivale un año luz.
14) Se sabe que 10 28 electrones pesan 9 gramos; que un neutrón pesa 1834 veces
más que un electrón, y que 100.000 neutrones pesan lo mismo que 100.014
protones. Calculá la masa, en gramos, de un protón, de un electrón, y de un neutrón.
15) Un cuarto aislado de hospital se llena de oxígeno puro. Sus dimensiones son 5
m de ancho, 10 m de largo y 3 m de alto. Sabiendo que un metro cúbico contiene
1000 litros y que 22,4 litros de cualquier gas contiene 6,02.1023 moléculas (número
de Avogadro), ¿cuántas moléculas de oxígeno hay en el cuarto?
16) En promedio hay 7000000 de glóbulos blancos por mililitro de sangre humana.
Si se sabe que por cada kilogramo una persona tiene 80 ml de sangre, ¿cuántos
glóbulos blancos tendrá una persona que pesa 70 kg?
17) La unidad de masa atómica (uma) tiene 1,6606.10-27 kg. Si el átomo de carbono
tiene 12 uma, ¿cuál es en kilógramos la masa de 14000000 átomos de carbono?
18) Escribí cuatro números tales que su aproximación por redondeo a los décimos
sea 3,4; de modo que dos de ellos sean mayores que su aproximación y los otros dos
sean menores.
36
15
19) Calculá dos aproximaciones hasta las milésimas del número racional .
7
¿Cuál de las dos está más próxima a la fracción dada?
37
EL LENGUAJE ALGEBRAICO
Un poco de historia
Los babilonios tuvieron gran En los inicios de la Matemática las fórmulas y las ecuaciones, así como sus
conocimiento de las técnicas resoluciones, se expresaban verbalmente. La utilización del lenguaje algebraico –por
algebraicas y, más tarde, los
griegos se valieron de la geometría ejemplo, los signos que representan las operaciones aritméticas (+, –, , , , ...) o
para resolver problemas las letras (x, y, z, a, b, ...) para nombrar las incógnitas– que agilizó el cálculo y
algebraicos. facilitó los desarrollos, se introdujo recién a partir de los siglos XVI y XVII.
La palabra Álgebra tiene su
origen en el título del libro
“Aljabr w´al muqabalah” que fue
escrito en Bagdad hacia el año 825 Entre los numerosos problemas aritméticos hallados en los papiros egipcios, se
por un matemático musulmán encuentran algunos de tipo algebraico, como la siguiente expresión que figura en el
llamado Al-Khwarizmi. famoso papiro de Rhind (1650 a. C.):
El lenguaje algebraico sirve para expresar los problemas con más claridad.
38
IDENTIDADES
Una identidad es una igualdad algebraica cierta para todo valor de las
variables que intervienen.
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
a2 – b2 = (a – b) (a + b)
a (b + c) = ab + ac
an.am = an + m
Estas identidades sirven para transformar una expresión algebraica en otra más
simple o cómoda de usar.
FÓRMULAS
ECUACIONES
ax b 0 , con a , b , a 0 , x : incógnita
39
Planteo de ecuaciones
Solución de ecuaciones
Existen distintos métodos, y se puede elegir el que resulte más adecuado para
cada problema, el más utilizado es el de transposición.
solución. Significa que no se
cumplen para ningún valor de
la(s) variable(s).
Hay ecuaciones con 2 x 5 11 ecuación original.
infinitas soluciones. Significa 2 x 11 5 se suma –5.
que es verdadera para
6
cualquier valor de la(s)
variable(s).
x 3 se multiplica por ½.
2
S 3 Solución.
Verificación : 2.3 5 11
(2) En un rectángulo un lado es 5 cm. más largo que el otro, si el perímetro mide 32
cm. ¿cuánto mide cada lado?
Solución
2 x 2( x 5 ) 32 ecuación original.
2 x 2 x 10 32 propiedad distributiva.
4 x 10 32 se opera en el primer miembro.
4 x 32 10 se suma –10.
40
4 x 22 se resuelve el segundo miembro.
22
x 5 ,5 se multiplica por ¼.
4
Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III d.C. De su vida no se
sabe mucho, pero en el epitafio de su tumba aparecen algunos detalles sobre
Diofanto vivió en Alejandría
aproximadamente en el año 250 ella.
a.C. Escribió un libro titulado
Aritmética, el cual se considera Caminante!. Aquí yacen los restos de Diofanto. Los
como el primero acerca de números pueden mostrar, oh maravilla! La duración de su x
álgebra. En él se plantean vida
métodos para obtener soluciones
enteras de ecuaciones x
algebraicas. Este texto se ha Cuya sexta parte constituyó la hermosa infancia
leído por más de mil anos. 6
Fermat hizo algunos de sus más x x
Había transcurrido además una duocémina parte de su vida
importantes descubrimientos
cuando se cubrió de vello su barba
mientras estudiaba este libro. La 6 12
principal contribución de
A partir de ahí, la séptima parte de su existencia transcurrió x x x
Diofanto es el uso de símbolos
para representar las incógnitas en en un matrimonio estéril.
6 12 7
un problema. Aunque su
simbolismo no es tan sencillo Pasó, además, un quinquenio y entonces le hizo dichoso el x x x
como el que se utiliza hoy en nacimiento de su primogénito.
5
día, fue un avance importante en 6 12 7
comparación con escribir con
Este entregó su cuerpo y su hermosa existencia a la tierra x x x x
palabras. En la notación de
habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. 5
Diofanto la ecuación 6 12 7 2
x 5 7 x 2 8 x 5 24
Por su parte Diofanto descendió a la sepultura con x x x x
profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo.
5 4
se escribe 6 12 7 2
K Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto hasta que le x x x
x
5 4 x
Nuestra moderna notación llegó la muerte.
6 12 7 2
algebraica no se utilizó de forma
común sino hasta el siglo XVII. La edad de Diofanto es x 84
Más ejemplos.
Calculá si existe la solución de las siguientes ecuaciones.
a) x + 8 = 3
S 5
x = 3 - 8 = -5
1
b) 2 x - 3 =
2
1 7
2x= 3 S
2 4
7
x=
4
c) 3 x - 1 = - 2 x + 4
S 1
3x+2x=4+1=5
5x=5x=1
d) 4 - 5 (4 x - 2) = x - 3 ( 2 x + 1)
4 - 20 x + 10 = x - 6 x - 3 17
- 20 x - x + 6 x = - 3 - 4 - 10 S
15 x = 17 15
41
1
e) 5- 2 (x + 3) = 4 x 2
2
5- 2 x - 6 = - 2 x – 1 SR
-2 x + 2 x = - 1 + 6 – 5
0x = 0
x
f) 3 x - 1 = 6 5
2
3x - 1 = 3 x + 30
3 x - 3 x = 30 + 1
0 x = 31 S
Esto es un absurdo, lo que quiere decir que no existe ningún valor que satisfaga
la ecuación. Decimos que el conjunto solución es vacío.
a) 8x 1 0
b) 3 x 2x 0
c) 3 x 25 x
3 2x 0
3 2x
d) 0
x2
2 2x 1
e) 0
2x 4
SOLUCIONES:
(a) 8x 1 0
como 8 0 x 1 0 luego x 1 S 1
(b) 3 x 2 x 0
debe ser 3x 2 0
ó x=0
2
si 3 x + 2 = 0 x
3
2
S 0 ,
3
42
(c) 3 x 2 5 x 3 2 x 0
debe ser 3x 2 0 ó 5 x 0 ó 3 2x 0
2
si 3 x + 2 = 0 x
3
si 5 x 0 x5
3
si 3 2x 0 x
2
2 3
S , 5 ,
3 2
3 2x
(d) 0
x2
Los valores que
anulan un cociente son los que
Para que se anule el cociente debe ser
anulan el numerador, pero no el 3-2x=0 y x+20
denominador, ya que éste debe 3
ser distinto de cero. De 3 2 x 0 x Como este valor no anula el denominador, es solución
2
3
de la ecuación. S
2
2 2( x 1 )
(e) 0 ; x2
2x 4
2
4
Debe ser 2 x 4 0 x x 2
2
1
Pero si 2 2x 1 0 2 2 x 2 0 2 x 4 0
x=2
43
ACTIVIDADES
b b2 x 2 x3 3 3 2x 1
2 3
vi.
iv. v.
44
e) La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es 23.
i. x x 2 1 23
2
ii. x 12 x 2 23 iii. x 2 1 x 2 23
a) b ... 2b b) y...y y 2
10) Calculá la cuarta parte de un número si se sabe que la mitad de dicho número es
igual a las tres quintas partes del mismo, aumentadas en dos unidades. Indicá a que
conjunto numérico pertenece.
11) El promedio entre un número y sus dos consecutivos inmediatos es igual a las
dos séptimas partes del número más seis unidades. ¿Cuáles son los números?
12) Entre las 8 y las 9 de la mañana una pileta vacía se llena hasta la cuarta parte. A
las 10 se agrega una tercera parte más, y a las 11 se adiciona la mitad de lo que
faltaba. Si todavía faltan 50000 litros para que la pileta esté llena, ¿qué capacidad
tiene la pileta?
13) Para ir a ver a su novia, Luis recorre la quinta parte del camino en moto. Un
problema en la moto lo obliga a tomar un colectivo en el que recorre la tercera parte
del camino que le falta. El último tramo de 12 km lo hace a pie. ¿Cuántos kilómetros
separaban a Luis de su novia?
45
14) Se debe distribuir una bonificación de $300000 entre 500 empleados de una
fábrica.
Hay 50 hombres de 20 años de servicio, 100 con 10 años y 350 con 5 años. El que
tiene 20 años de trabajo recibirá el doble que el que tiene 10, y a su vez, éste, el
doble que el de 5 ¿Cuánto corresponde a cada tipo de empleado?
15) Un padre tiene 33 años y su hijo 10. ¿Cuándo la edad del padre será el duplo de
la del hijo?
16) La edad actual de un padre es el triple que la de su hija. Hace siete años, la suma
de las edades era igual a la edad actual del padre. ¿Cuántos años tienen padre e hija?
17) Una persona compra un electrodoméstico que cuesta $1170 pagando las dos
quintas partes en efectivo y el resto en tres cuotas. Las tres cuotas cumplen las
siguientes condiciones: la primera es igual a las tres cuartas partes de la segunda, y
la segunda es las dos terceras partes de la tercera. ¿Cuál es el importe de cada cuota?
20) Un grupo de personas gana una rifa y cada una recibe $270. Si hubieran tenido
que compartir el premio con cuatro personas más, le hubieran tocado $54 menos a
cada uno. ¿Cuántas personas participaron de la rifa?
21) Si el precio de un artículo aumenta en un 20% resulta 36 dólares más caro que si
su precio se disminuye en un 4%. ¿Cuál es el costo del artículo?
4
a) 3x 4 2x 20 b) 3.(x 2) 5x x2
9
1 5 x 1 2x x 1
c) 2.(x 1) 3.(x 1) 2. 1 x 3 d) 0
2 3 2 6
3x 5 x 5x 4
e) 2x 5 6 f) 1
6 18 9
h) 5x
5 1
5 1 6
g) 4. x 3 0
46
1 1 3
i) 3x 2 . x 1 0 j) . x2
2 2 8
3
x3 3 1 1 1 3
k) x 2 x 0, 5 l) x 2
3 2 3 2
m) 5x
5 1
5 1 6 n)
1 2
5
x
40 7
9
2
2 10
x2 4
4 2 26
o) 3 1 x 21 x 2 p) 2
2 x 1 x 1 x 1
1 4 3x 4
q) 1 r) 0
x 3x x2
s)
2x 3 . x 2 0
2x
47
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Sean a y b R , con a < b Las relaciones numéricas que se expresan con los signos “ < “ y “ > “ se
se verifica:
llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman
(a) a + k < b + k inecuaciones
k R
5 1
(b) a . k < b . k Así: (*) 30 > ; - < 0 son desigualdades
si k > 0 2 2
1
(c) a . k > b . k (*) Las relaciones: - 3 x + 2 < 50 ; 4 x - 0 son inecuaciones
si k < 0 2
(d) a < b 1 1
a b Así, por ejemplo, en: - 3 x + 2 < 50
- 3 x + 2 - 2 < 50 – 2
1
- 3 x < 48 (se multiplica por: - )
3
x > - 16
1
En cambio en: 4 x -
2
0
Para resolver
inecuaciones son válidos los
1 1 1
mismos pasos que para
resolver ecuaciones, la única
4x-
diferencia es que, cuando una
2 2 2
incógnita está multiplicada por
un número negativo se invierte 1 1
el sentido de la desigualdad. 4x ( se multiplica por: )
2 4
1
x
8
48
INTERVALOS
{x R / a < x} (a , + )
{x R / a x} [a, + )
INTERVALOS INFINITOS {x R / a > x} (- , + a)
{x R / a x} (- , a]
{x / x R} (- , + )
Las soluciones de las inecuaciones, como vimos en los ejemplos, pueden ser
de la forma : x < a ; x a ; x > a ; x a que en notación de intervalo
se expresan, respectivamente, (- , a); (- , a] ; (a , + ) ; [a , + ) y gráficamente
significan:
(- , a) -/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-)---------------------->
a
( - , a] -/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-]---------------------- >
a
(a , + ) ---------------------------(-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/ >
a
[a , + ) ---------------------------[-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/ >
a
SISTEMAS DE INECUACIONES
(a , b) ; [a , b) ; (a , b] ; [a , b].
49
(1) Expresá en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones:
Solución
(a) x - 2 5 (b) 3 x + 4 10
1
(c) x + x 2x+3 (d) 3 (x - 4) -7
5
1
(a) - 5 x + 2 2 x (b) 3 (x - 1) + 4 < -3 x + 2
2
1
(c) 2 x + 1 < 2 (4 + x) (d) -3 x - 5 (7 – 6 x)
2
x 3 0 2 x 1 0
(e) (f)
5 2 x 1 5 x 0
3 x 6 0
(g) (h) (x - 1) (x + 2) 0
x 1 0
x2
(i) (x + 3)2 (x - 1) > 0 (j) 0
1 x
1 1 1 x
(k) (l) 1
x 3 2x
Solución
1
(a) - 5 x + 2 2 x
2
-5x+2 2x+1
2-1 2x+5x
1
1 7 x ---------- x
7
S = ,1
7
-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-]---------------------- >
1
7
(b) 3 (x - 1) + 4 < - 3 x + 2
3x-3+4<-3x+2
3x+3x <2-1
6x<1
50
1
x<
6
1
S = ,
6
-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-)---------------------- >
1
6
(c) 2x + 1 < 2 (4 + x)
2x + 1 < 8 + 2 x
1< 8
S=R La desigualdad se cumple siempre.
-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/--/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/ >
1
(d) -3 x - 5 (7 6 x )
2
7
-3 x - 5 -3x
2
7
-5
2
S= La desigualdad no se cumple nunca.
x 3 0
(e)
5 2 x 1
5-2x 1 x 2 -/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/|-/-/-/-]------------------>
2
S = (- , - 3) -/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-)------------------------------ >
-3
2x 1 0
(f)
5 x 0
1
2x+1>0 x >- --------------------(-/-/-|-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/ >
2
-1/2
5-x 0 5 x -/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-/-]---------->
1 5
S= ,5 --------------------(-/-/-|-/-/-/-/-/-/-/]---------- >
2
-1/2 5
3x 6 0
(g)
x 1 0
51
0 2
x+1 0 x -1 -/-/-/-/-/-/-/-/-]-----|------------------------------>
-1 0
S=
(h) (x - 1) (x + 2) 0
El signo del producto depende del signo de los factores. Los números 1 y -2
son los puntos donde los factores cambian de signo.
----------------------------+++++++++++
Signo (x - 1) _____________|_____|____________
0 1
--------+++++++++++++++++++++++
Signo (x + 2) _____|________|_________________
-2 0
Signo (x - 1) (x + 2) +++++-------------------+++++++++++
_____|_____________|____________
-2 1
S = [-2, 1]
El factor (x + 3)2 es siempre positivo. Para que el producto dado sea positivo
debe verificarse que (x - 1) > 0, o sea, x > 1. Los puntos del intervalo (1, + )
verifican la desigualdad
S = (1, + )
x2
(j) 0
1 x
Como en los ejemplos precedentes, el signo de este cociente depende del signo
de los factores. Los números - 2 y 1 son los puntos donde los factores cambian de
signo. Además, debemos tener en cuenta que x 1 porque este valor anula el
denominador.
-------------------++++++++++++++++
Signo (x+2) _____________|_____|____________
-2 0
x 2 -------------------+++++------------------
Signo _____________|_____|____________
1 x -2 1
52
1 1
(k) <
x 3
Un método para resolver el problema consiste en transformar la expresión en
un cociente para analizar su signo como en el ejemplo anterior.
1 1 1 1 3 x
0 0
x 3 x 3 3x
+++++++++++++++-----------------------
sig (3 - x) _________________|_______________
3
----------+++++++++++++++++++++++
sig (3 x) _______|_________________________
0
3 x ----------+++++++++----------------------
sig _______|_________|_______________
3x 0 3
S = ( - , 0) (3, + )
1 x
(l) 1
2x
1 x 2x 1
1 0 0
2x 2x
--------------------------------++++++++++
sig (2x - 1) ________________|_____|___________
0 ½
+++++++++++++++++++++++++++-----
sig (2 - x) _________________|____________|____
0 2
2x 1 ---------------------------------++++++++-----
sig _________________|_____|________|____
2x 0 ½ 2
1
S= 2 ,2
53
ACTIVIDADES
6) Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el
peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay cuatro cajones
iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder
llevarlos en la furgoneta?
7) Se quiere alquilar un auto para un viaje y las opciones que se presentan son: un
costo fijo de $100 a lo que se agrega $20 por kilómetro recorrido o un costo
inicial de $400 más $17 por kilómetro recorrido. ¿Cuánto habrá que recorrer para
que la primera opción sea la más conveniente?
54
10) Una persona tiene veinte años menos que otra. Si las edades de ambas suman a
lo sumo 86 años, ¿cuál es la edad máxima que podría tener la primera persona?
11) En un examen de 40 preguntas se otorgan dos puntos por cada acierto y se restan
0,5 por cada respuesta incorrecta. ¿Cuántas preguntas hay que contestar bien
para obtener un mínimo de 60 puntos?
12) El producto de un número entero por otro, dos unidades mayor, no es mayor que
8. ¿Cuál puede ser ese número?
1 3
a) 3. x 4 18x 5 b) x 5 x
2 4
5x 6
c) 2 4. x 3 5. x 1 3 d) 3x 12
4
5x 1 2x 1 5x 2 3 1
e) 2 f) 1
6 3 3 3
6x 3 x 1 48 5x
g) 1, 3 1 h) 2 30
4 6 2
4x 1 0 4 2x 1
i) j)
x50 3x 5 0
4x 5 7x 2
k) l) 2x 3 . x 4 0
x 1 3x 6
m) 3 x . 2x 1 0 n) x 2 2x 0
1
x x
2 0 p) 3
o) x 1
x 1
3 x 1
q) 1 r) 1
x 1 x
5x 4 2x x 2
s) 2 t)
x3 x3 4 x 4 x
55
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
a si a 0
a 0 si a 0
a si a 0
El valor absoluto es siempre un valor positivo.
2 2 ; 3 3 ; 2 2 ; |0|=0
Propiedad Ejemplos
1- a b a b 3 7 3 7 21
2- a b a b 8 3 8 3 > 5 11
a a 8 8 8
3- 4
b b 2 2 2
4- a b ba 3 5 5 3
5- a2 a
(a) d ( x , y ) 0 ;
(b) d ( x , y ) = 0 x = y
(c) d ( x , y ) = d ( y , x ) | x – y | = | y – x |
(d) d ( x , y ) d ( x , z ) + d ( z , y ) | x – y | | x – z | + | z – y |
56
Expresá simbólicamente los siguientes enunciados:
x3 0 x3 0 x 3
b) 2 x6 0 2 x6 0 x 3
1
c) x 1
3
x 1 d x , 1
1
|
3
1 2 1 4
1 1 1
3 3 3 3
2 4
Solución: ,
3 3
57
1
d) 5x 2
2
2 2 2
Solución: 5 x 2 5x 5 x 5 x
5 5 5
1
Por lo tanto: 5x3
2
2 1 2 1
5 x x
5 2 5 10
2 1
d x,
5 10
|
3 2 5
10 5 10
3 1
Solución: ,
10 2
e) 4 x 2 3
2 1 1
Solución 4 x 2 4 x 4 x 4x 3
4 2 2
1 3 1 3
luego x o sea d x,
2 4 2 4
5 1
,
4 4
|
5 1
1
4 2 4
x x 0 d x , 0 2 -------(-/-/-/-/-/-|-/-/-/-/-/-)--------
-2 0 2
Solución: (-2 , 2)
b) x 3 2
x3 d x ,3 2 --------(-/-/-/-/-/-/-/-|-/-/-/-/-/-/-/-)-------
1 3 5
Solución: (1 , 5)
58
1
c) 2 x 3
2
3 3 1
2x 3 2 x 2 x
2 2 2
3 1 3 1
luego x o sea d x ,
2 4 2 4
5 7
Solución: ,
4 4
-------[-/-/-/-/-/-/-/-/-|-/-/-/-/-/-/-/-/-]----------
5 3 7
4 2 4
d) 2 x 3 2
3 3 3
2 x 3 2 x 2 x 2 x 2
2 2 2
3
luego x 1
2
3
o sea d x , 1
2
-/-/-/-/-/-/-)---------|---------(-/-/-/-/-/-/-
1 3 5
2 2 2
1 5
Solución: , ,
2 2
59
ACTIVIDADES
3
a. x 0 b. 3 x 6
2
c. x 4 4 d. x 5
1
e. 2 x 1 f. 3 x 2 4
3
1
a. x 2 b. x 2
2
1
c. 3 x 4 5 d. 2 x 1
4
e. 3 x 2 1 f. 5 x 1 4
60
ACTIVIDADES FINALES DE INTEGRACIÓN Y PROFUNDIZACIÓN
Si c > 0 a=b+c
Multiplicamos ambos miembros
a(a–b)=(b+c)(a–b)
por ( a – b )
Aplicamos propiedad distributiva a 2 - ab = ba – b 2 + ca - cb
Pasamos ca al primer miembro a 2 - ab – ca = ba – b 2 - cb
Sacamos factor común a(a–b–c)= b(a–b–c)
Simplificamos a=b
Si a < b a2 < b2
2
Si a < b
2
a<b
1 1
Si a > b 2- <2-
a b
Si a > 0 a2 > a
10
4) Si un electrón se mueve a razón de 3.10 cm/seg. ¿Cuántos cm. viajará en
6
3.10 seg.?
6) ¿Entre qué valores está comprendida el área del rombo si sabemos que:
3
7) El volumen del cono está comprendido entre 1210 y 1215 cm . La altura h,
verifica 12,6 < h < 12,9 ¿Entre qué valores está comprendido el radio de la
base?
61
8) Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra
y material es de $ 125 por termostato. Los costos fijos (los costos de un período
dado sin importar la producción) son de $ 250000. Si el precio de venta de un
termostato es de $ 175 ¿cuántos deben venderse para que la compañía obtenga
utilidades?
10) Un químico debe preparar 350 ml. de una solución compuesta por dos partes de
alcohol y 3 de ácido. ¿Cuánto debe utilizar de cada una?
11) El peso total de una cápsula espacial es de 840 kg. Los dispositivos reguladores
de la cápsula pesan el doble que la cápsula vacía, en tanto que el equipo de
observación y registro de datos pesan la mitad. Calculá el peso de cada una de
las partes.
5
13) Un estanciero vendió los de su tropilla de caballos; enseguida compró 12,
7
teniendo entonces 48 caballos menos que al principio. ¿Cuántos caballos tenía
antes de la venta?
14) Una persona invirtió parte de $150000 al 12% anual y el resto al 8% anual. Si su
rédito anual es de $14560, ¿qué cantidad, según cada tasa de interés, invirtió?
62
AUTOEVALUACIÓN
a) 3x 1 4x 3 b) x 5 3
5
c) 2x 7 9 d) 4
x
3x 3 x 1
e) 5 f)
x 1 3x 6 0
5) Indicá si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificá cada una
de tus respuestas. En caso de ser falsas, indicá la respuesta correcta.
S ;1 2;
63
SÍNTESIS - MÓDULO I
Q es un conjunto denso
64
RELACIONES ALGEBRAICAS VALOR ABSOLUTO
65
MÓDULO II: FUNCIONES
“Consideremos cómo están relacionados todos los sucesos. Cuando vemos el relámpago escuchamos el trueno;
cuando oímos el viento miramos las olas del mar; en el otoño frío caen las hojas. En todas partes reina el orden, de manera
que cuando observamos algunos fenómenos podemos preveer que otros se presentarán. El progreso de la ciencia consiste en
observar estas mutuas dependencias y en mostrar, con paciente ingeniosidad, que los sucesos de este mundo que cambian
constantemente no son sino ejemplos de unas pocas dependencias o relaciones generales llamadas leyes . Ver lo general en
lo particular y lo constante en lo transitorio, es la meta del pensamiento científico”.
Formular conjeturas sobre el comportamiento de una gráfica con relación al fenómeno que representa y/o su
expresión algebraica.
Valorar la utilidad del lenguaje gráfico para representar y resolver problemas de la vida cotidiana.
DIAGRAMA CONCEPTUAL
FUNCIONES
POLINÓMICAS TRASCENDENTES
y = ax+b 2
y =ax + bx+c y=ka
x
y = log a x y = k sen(ax)
y= k cos(ax)
y = k tg (ax)
se obtienen sus
RAICES
mediante la solución de
ECUACIONES
66
UN POCO DE HISTORIA
67
LA FUNCIÓN COMO MODELO
SITUACIONES PROBLEMÁTICAS
En cada instante “t” la piedra se encuentra a una altura “h”, luego la altura
depende del tiempo.
h=h o + vo t - ½ g t2 (1)
Donde:
h o representa la altura desde donde se lanza el cuerpo y
v o la velocidad inicial,
g es constante y representa la aceleración de la gravedad en el lugar:
g = 9,8 m/s 10 m/s ,
2 2
h (t) = 80 – 5 t 2
68
2) Si colgamos un resorte por un extremo y aplicamos un peso en el otro, se
produce un alargamiento como se indica en la tabla.
l1 5
0 ,05
p1 100
l2 10
0 ,05
p 2 200
l3 15
0 ,05
p31 300
l4 20
0 ,05
p4 400
¿?
¿Es posible generalizar el
resultado l = k p? De las relaciones l / p = 0.05 concluimos que
69
De la gráfica se infiere que el costo por estacionar 3,5 horas es de $ 3
En las relaciones
representadas a cada valor
del eje horizontal le
corresponde un único valor
del eje vertical, entonces
estas relaciones son
funciones.
70
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Con la notación,
f:A B / y = f(x)
En el curso conside-
raremos, en general, (que se lee: f de A en B tal que y es igual a f de x), indicamos que la función f
funciones con dominio relaciona los elementos del conjunto A(dominio) con los elementos del conjunto B
igual al conjunto de los (codominio) según la fórmula y = f(x).
números reales o Esta definición incluye conjuntos de elementos cualesquiera, numéricos y no
subconjuntos de R y con
codominio igual a R. numéricos.
DOMINIO
CODOMINIO
IMAGEN
71
ACTIVIDADES
a.
b.
c.
72
DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
MEDIANTE GRÁFICAS
MEDIANTE UN TEXTO
“Matías salió de su casa una mañana y bajó las escaleras en dos minutos. Al llegar a la calle tuvo que
detenerse, pues se encontró con el semáforo en rojo. Poco después cruzó la calle en dirección al parque; allí comenzó a
caminar cada vez más deprisa, hasta correr; cansado, al poco tiempo disminuyó la marcha y luego se sentó en un banco.
Después del descanso, de regreso a su casa, la única parada la hizo para comprar el diario y conversar con el
quiosquero.”
Describí mediante una gráfica aproximada, que relacione tiempo – velocidad, la situación anterior.
73
MEDIANTE UNA TABLA DE DATOS
Edad
0 1 2 3 4 5
(años)
Estatura
49 63 75 84 96 109
(cm)
Hay una gran cantidad de funciones que pueden expresarse mediante una
fórmula o expresión algebraica, que relaciona de forma exacta y sintética las
variables.
2
1) h = 80 – 5 t entonces h = f(t)
Ventajas
de la expresión algebraica
Comodidad de expresión.
Precisión en los cálculos.
Posibilidad de recurrir a mo-
delos conocidos y estudiados.
Aplicación de métodos
específicos para analizar las
funciones y extraer gran
cantidad de información.
74
1) Con un cartón de 40 cm por 30 cm se desea fabricar una caja, sin tapa,
recortando cuadrados de igual lado, en las esquinas.
SOLUCIÓN:
V = Superficie base x altura
Entonces
V = (40 – 2 x) (30 – 2x) x
SOLUCIÓN:
200 = x + 2 y (1)
75
Tenemos que expresar el área del terreno:
A=x y (2)
como función de “x”
200 x x
200 – x = 2 y = y ó y = 100 -
2 2
x
A = x ( 100 - )
2
1 2
A(x) = 100 x - x
2
SOLUCIÓN:
Dibujamos un diagrama
Sup. Lateral = 2 r h
y se puede expresar: C total = C base . 2 Sup. Base + C lat. S lateral ;
sustituyendo los valores se tiene:
C = 3,5 ( 2 2
r ) + 2, 8 ( 2 rh) (1)
76
El volumen de la lata es V = r 2
h
1000
Despejamos el valor de h h=
r2
Sustituímos en (1); entonces se tiene:
1000
C = 3,5 ( 2 r
2
) + 2,8 ( 2 r )
r2
Entonces la fórmula:
5600
C ( r) = 7 r
2
+
r
77
GRÁFICOS DE FUNCIONES
78
ACTIVIDAD
a.
b.
c.
d.
e.
79
CARACTERÍSTICAS GLOBALES DE LAS GRÁFICAS
f crece en un intervalo I si
f( x 1 ) < f( x 2 ) siempre
que x 1 < x 2 en I
f decrece en un intervalo I si
f( x 1 ) > f( x 2 ) siempre
que x 1 < x 2 en I
80
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CONTINUIDAD – DISCONTINUIDAD
81
Estos ejemplos nos muestran que existen funciones discontinuas, como las
que representan la primera y segunda situación problemática, o continuas, como la
de la tercera.
f es par si
f(x) = f(-x) La gráfica de la función es
simétrica respecto del
xDf eje y.
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES
verticales
DESPLAZAMIENTOS
horizontales
82
DESPLAZAMIENTO VERTICAL DE LAS GRÁFICAS.
COMO OBTENER LA
DEFINICIÓN APARIENCIA DE LA GRÁFICA
GRÁFICA
COMO OBTENER LA
DEFINICIÓN APARIENCIA DE LA GRÁFICA
GRÁFICA
83
verticales
EXPANSIONES / COMPRESIONES
horizontales
COMO OBTENER LA
DEFINICIÓN APARIENCIA DE LA GRÁFICA
GRÁFICA
y =a f ( x ) La gráfica se expande
verticalmente en un factor
a>1 a “a”
La gráfica se comprime
y =a f ( x ) verticalmente en factor
0<a<1 igual a “a”
COMO OBTENER LA
DEFINICIÓN APARIENCIA DE LA GRÁFICA
GRÁFICA
La gráfica se expande
y = f (a x ) horizontalmente.
0<a<1
84
REFLEXIONES
COMO OBTENER LA
DEFINICIÓN APARIENCIA DE LA GRÁFICA
GRÁFICA
La gráfica se refleja
y=-f(x)
respecto del eje x
La gráfica se refleja
y = f (- x ) respecto del eje y
85
ACTIVIDADES
a) b)
c) d)
e) f)
86
2) En cada caso, dada la gráfica de la función “f”:
Función 1 Función 2
Función 3
Crecimiento de f: ………………………………
Ceros de g: ……………………………………..
87
Ordenada al origen de g: ………….
f(x) = 10 si x = …… r(x) = 0 si x = ……
Escribe dos pares ordenados que pertenezcan a g que tengan la misma imagen:
…………………
Escribe dos pares ordenados que pertenezcan a r que tengan imágenes opuestas:
………………...
88
g) ¿Cuál es la ordenada al origen? ¿Qué significa en términos del problema?
89
8) Asociá gráfico con expresión, sabiendo que la gráfica de la función “f” es la
siguiente:
y
f(x) 4
3
2
1
x
-19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1
-2
-3
90
11) Determiná si las siguientes funciones son pares, impares o ninguna de las dos
opciones:
a) b)
c) d)
e) f)
12) Completá los siguientes gráficos para que correspondan a funciones pares y
luego para que correspondan a funciones impares:
91
13) En cada caso, realizá el gráfico de una función “f” que cumpla con las
condiciones pedidas:
a) Dom f = 4, 5 Im f = 3, 6
Máximo: 1, 3 Mínimo: 2, 3
f(-3) = f(0) = f(4) = 0
f es creciente en 4, 1 y 2, 5
b) Corta al eje de abscisas en x = - 5, x = -1, x = 2.
Creciente: , 3 1,
Decreciente: 3,1
14) Para cada uno de los siguientes enunciados, escribí una fórmula que represente
a la función e indicá cuál es su dominio:
g) Un tanque de acero para gas tiene una forma de cilindro recto de 3 metros de
altura, con una semiesfera unida a cada extremo. Expresá el volumen del
tanque como una función del radio de la circunferencia base del cilindro.
92
i) Dos barcos zarpan simultáneamente de un puerto. Uno navega hacia el sur a
22km/h y el otro hacia el este a 30 km/h. Expresá la distancia entre los barcos
como una función del tiempo (en horas) transcurrido desde su salida.
15) Determiná si las siguientes funciones tienen el dominio que se indica. Justificá tu
respuesta.
a) f (x ) 2x 2 4 Df R
2x 3 5
b) f (x ) Df R
5 2x 2
5
c) f (x ) Df R 3
x 9
2
d) f (x ) 3 x Df 3,
e) f (x ) x 1 . 5 x Df 1, 5
x
f) f ( x ) Df 3,
x 3
x 1
g) f (x ) Df 1,
x 4
2
1
h) f (x ) Df 3, 3 3,
x 3 x 3
x 3 2x 2
i) f (x ) Df 2,
4 x2
2
j) f ( x ) Df , 4 8,
1
x 1 3
2
93
FUNCIÓN LINEAL
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1
SOLUCIÓN:
T temperatur a
Llamamos
h profundidad
a) De acuerdo con los datos, sabemos que por cada 32 metros de profundidad, la
temperatura aumenta un grado. Entonces:
1
T h
32
1
T 10 h
32
1 1
79 10 h 69 h
32 32
h=2208 metros
94
FÓRMULA DE LA FUNCIÓN LINEAL
1 1
T 10 h 20 10 0
32 32
20 10
¿?
¿ Las rectas paralelas al eje
Justificá.
95
PENDIENTE Y ORDENADA EN EL ORIGEN
Consideremos la gráfica de y 2x 3 .
En la figura marcamos los puntos (0,3), (1, 5) ; (2,7). Se puede observar
que en todos los casos que:
y 2 y1
2
x2 x1
y 2 y1
Al valor a se lo llama pendiente de la recta e indica
x2 x1
la inclinación de la recta respecto al eje x positivo.
¿?
Si los valores de la ordenada
derecha:
a=2 a=-2
¿qué pendiente tiene la Los valores de y varían dos unidades hacia arriba Los valores de y varían dos unidades hacia abajo
recta? por cada unidad que aumenta x. por cada unidad que aumenta x.
¿cuál es la ecuación de
la recta? Gráficamente “a” indica la cantidad de unidades que
se desplaza la ordenada y (hacia arriba o hacia abajo) por cada
unidad que se desplaza la abscisa x hacia la derecha.
96
La función definida por:
creciente si a 0
f(x) ax b es decrecient e si a 0
constante si a 0
¿? Los valores de a y b se llaman parámetros y para cada recta tienen un valor
determinado. Si variamos el valor de estos parámetros se obtienen las distintas
¿ Por qué es tan importante rectas.
la función lineal?. Si b=0, las ecuaciones y = a x representan rectas que pasan por el origen de
coordenadas. Estas funciones se llaman funciones de proporcionalidad.
y
Como a , esto indica que la relación entre x e y es constante, es decir, x e y
x
son proporcionales y el número “a” es la relación de proporcionalidad.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1
SOLUCIÓN:
97
De la gráfica correspondiente obtenemos:
y1 y o 35 30 5 1 1
a a a
x1 xo 50 35 15 3 3
1
Luego y ax b y
xb
3
Calculamos “b” sustituyendo las coordenadas de un punto:
1
(35 , 30) recta 30 35 b transponiendo los términos nos queda:
3
35 90 35 55
30 b b b
3 3 3
La ecuación que rige la oferta será:
1 55
y x
3 3
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2
SOLUCIÓN:
En general para
calcular la ecuación de la
recta que pasa por Po (xo , yo ) y
3
posee pendiente a, se tiene: Graficamos según los datos, y observamos que la pendiente es a , como la
2
Si Po (x o , y o ) recta longitud inicial es de 4 dm, y conocemos el punto (0 , 4).
yo axo b Luego expresamos: y ax b
despejando el valor de “b”
b yo axo
3 3
y ax yo axo Según los datos y x b 4 0 b b4
y a(x xo ) yo 2 2
Luego:
E
n 3
y x4
g
2
e
n
e
r
a
l
p
a
r
a
c
a
l
c 98
u
l
a
r
c.- SE CONOCEN LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 3
SOLUCIÓN:
E
n
g
e
n
e
r
A amodo de síntesis
l
La ecuación de la recta que:
p
a pasa por los puntos P(xo , yo ) y P(x1 , y1 ) es:
r y1 y0
a y (x xo ) yo
x1 x0
c pasa por P(x o , yo ) y tiene pendiente a es:
a y a(x xo ) yo
l corta al eje x en a y al eje y en b es:
c
x y
u 1
l a b
a
r
l
a
e
c
u
a
c
i
ó
n
99
d
e
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
1
y x3
2
En síntesis
100
FUNCIONES LINEALES POR TRAMOS
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1
80 20 60
a 12
5 0 5
¿Cuánto vale T(1); T(3); La parte de la gráfica que corresponde a t>5 es una recta horizontal de ecuación:
T(5); T(7)?
s
e
u
t
i
l
i
z
a
T
(
t
) 101
=
8
0
ACTIVIDADES
2) Una presa está construida sobre un río para tener un embalse. El nivel del agua
(medido en metros) es una función del tiempo (en años) desde que la presa se
construyó, y está dado por la fórmula: N( t ) 1, 4 t 8, 5 .
a) ¿Cuál es la variable independiente y que representa? ¿y la variable
dependiente?
b) Graficá la situación y determiná Dominio e Imagen.
c) ¿Qué representan la pendiente y la ordenada al origen en términos del
problema?
d) ¿Cuántos años deben transcurrir para que el nivel de agua sea de 12, 7
metros?
e) ¿Es verdad que a los 10 años se espera que el embalse se vacíe? ¿Por qué?
102
h) Hallá los ceros, conjuntos de positividad y negatividad de la función.
Interpretá los resultados en términos de la investigación de los
meteorólogos.
5) En cada caso, escribí la ecuación de la función lineal que cumple con las
condiciones dadas:
a) Pasa por 2, 3 y tiene pendiente – 2.
2
b) Pasa por el origen y tiene pendiente .
5
c) Tiene pendiente 4 e intersección con el eje y en – 3.
d) Tiene intersección con el eje x en – 3 y con el eje y en 5.
e) Es paralela a la recta y 4 y pasa por el punto 1,5
f) Pasa por 3,1 y es paralela a la recta 3x y 1 0
g) Es perpendicular a la recta que pasa por 1,1 y 2, 3 , y pasa por el
origen de coordenadas.
10) Calculá el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta
3x 2 y 6 0 .
103
11) Encontrá la ecuación de la mediatriz del segmento AB , siendo
A 4, 4 y B 2, 6 .
(Observación: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que se
traza en su punto medio)
15) Para fabricar una pieza de automóvil se tiene, debido a sueldos y a gastos de
mantenimiento de maquinarias, un costo fijo mensual de $350000. Además, el
material para cada pieza cuesta $100. La pieza se vende a los mayoristas a un
precio de $200 cada una. En los meses anteriores, no se pudieron ubicar en el
mercado más de 12000 piezas cada mes y se decidió no fabricar más de esa
cantidad esta vez.
a) Buscá una expresión para las funciones costo c(x) e ingreso i(x) durante el
mes, en función de la cantidad x de piezas fabricadas o vendidas.
b) ¿Cuál es el dominio de las funciones que obtuviste?
c) Si la cantidad de piezas vendidas es igual a la cantidad de piezas
fabricadas, la función b(x) se obtiene calculando la diferencia entre
ingresos y costos. Encontrá la fórmula para expresar el beneficio en
función de las unidades vendidas.
d) Hallá los ceros, los conjuntos de positividad y negatividad de la función
beneficio y analizá qué significado tienen para el fabricante.
104
16) Una empresa de correo de primera clase para entrega inmediata acepta, como
máximo, bultos de 20 kg y su tarifa es la siguiente:
Peso Tarifa
2 kg o menos $300 con seguro incluido
De 2 kg a 10 kg $500 y un adicional por seguro de $50 por kilo
Más de 10 kg $900 y un adicional por seguro de $25 por kilo
17) Algunos científicos opinan que la temperatura superficial promedio del mundo
está aumentando en forma constante. En el año 1900 el promedio era de 8,5° C
y a partir de allí calcularon un aumento lineal de 0,02° C por año.
a) Encontrá la expresión de la función que representa la situación, definiendo
previamente las variables independiente y dependiente.
b) ¿Qué significa la ordenada al origen en términos de la situación?
c) ¿Cuál será la temperatura superficial promedio del mundo en el año 2100?
105
FUNCIONES CUADRÁTICAS
La curva que describe una pelota de básquetbol, los chorros de agua de una
fuente, son parábolas. Las secciones de los faros de los coches, de las antenas que
captan las emisiones de TV procedentes de satélites artificiales y muchos otros
objetos presentes en la vida cotidiana, son parabólicos.
También muchas funciones se representan mediante parábolas: el área de un
cuadrado en función del lado, la altura a la que se encuentra una piedra que
lanzamos hacia arriba en función del tiempo transcurrido o la que cae libremente
desde una cierta altura.
A continuación vamos a analizar las relaciones entre las funciones cuadráticas
y las parábolas.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 1
A (dm2) Se desea fabricar cajas, con láminas cuadradas de hojalata; que miden de 1dm
49 a 7 dm de lado. El área de cada lámina en función del lado es:
Al l 2
A partir de la tabla de valores, se grafica
36
L A
(dm) (dm2)
1 1
Df 1,7
25
2 4
If 1,49
3 9
16
4 16
9
5 25
6 36
4 x (dm) 7 49
1
f x ax2 con a , a 0
donde Df
La representación gráfica es una parábola.
Si a › 0, la función y
tiene un mínimo en el origen. y=2x2
Si a ‹ 0, la función
tiene un máximo en el origen. y=-1/2 x2
a y=x2
Si › 1 el gráfico
se obtiene contrayendo
verticalmente el de y = x2.
a y=-x2
Si ‹ 1 el gráfico
se obtiene dilatando vertical- y=1/2 x2
-y y=-2x2
mente el de y = x2.
a>0 a<0
106
Como se observa en las gráficas, la función toma el mismo valor para valores
opuestos de x, su gráfico es simétrico respecto del eje y.
El eje y es el eje de simetría de la parábola; su ecuación es x = 0.
El único punto que pertenece al eje de simetría y la parábola es el vértice. En
estos casos es el punto V(0,0).
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 2
En una piscina hay un trampolín a 8 metros del agua. Lanzamos una pelota
rodando y cae al agua a 12 metros del trampolín. Calculá la ecuación de la
trayectoria que describe la pelota desde que sale del trampolín hasta que toca el
agua.
SOLUCIÓN:
Con los datos del problema calculamos “a” y “c”. La pelota sale del punto (0,8)
y llega al (12,0), sustituyendo obtenemos:
(0,8) 8 a .0 2 c c 8
(12,0) 0 a.12 2 8
8
8 a .144 a 0 ,05
144
Luego, la ecuación de la trayectoria es:
y 0 ,05.x 2 8
-x2+4
x2+4
x2
Todas las parábolas -x2-1
tienen como eje de simetría al x2+1 -x2+1
eje y, de ecuación x=0. x2-1
El vértice se -x2
desplaza sobre el eje y según
los diferentes valores de c:
V(0,c).
a>0 a<0
107
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA 3
Se desea calcular las dimensiones del cantero rectangular de mayor área que puede
cercarse con 200 metros de alambre.
x SOLUCIÓN:
Dibujamos un diagrama.
Asignamos nombres a los lados del rectángulo.
Relacionamos los valores teniendo en cuenta el dato: 200 m de
y alambre para cercarlo, entonces:
200 2 x 2 y (1)
Planteamos la incógnita: área mayor:
A x. y (2)
De la ecuación ( 1 ), despejamos el valor de “y”:
200 2 x
y
2
Sustituimos el valor en ( 2 ) y obtenemos:
200 2 x
A x. A 100 x x
2
(3)
2
x A
0 0
20 1600
40 2400
50 2500
60 2400
80 1600
100 0
50
Con la información de la tabla y la gráfica observamos que:
El máximo de la función se obtiene si x=50.
Luego las dimensiones del terreno se calculan reemplazando x = 50 en ( 1 ),
de donde y = 50. Por lo tanto los lados del terreno miden:
x=50 ; y=50.
La expresión que permite construir un modelo con esta situación es de la
¿? forma:
y x 2 100x
108
y a x x 0 f x 0
2
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES:
y y
y0 =f(x0)
x
x0
y0 =f(x0)
x
x0
a>0 a<0
y
x0 x
y
y0 = f(x0)
x0 x
¿?
y0 = f(x0)
¿Existen otras posi-
bles gráficas?. ¿Cuáles?.
a>0 a<0
Todas las parábolas tienen como eje de simetría a la recta: x = x0
El vértice es le punto V ( x0 , f(x0)) o V( x0 , y0 )
La intersección con el eje y se obtiene calculando f ( 0 )
La intersección con el eje x, que corresponde a los ceros de la función, se obtiene
calculando la solución de la ecuación: 0 ax x0 f x0
2
ALGUNOS EJEMPLOS y
1.- y x 2 2 3
y=(x+2)2+3
Vértice → V ( -2 , 3 )
Eje de simetría → x = -2
Intersección eje y: f( 0 )= 7
Intersección eje x:
0 x 2 2 3
x
3 x 2 2
No tiene solución en R; luego no existe intersección con el eje x.
109
2.- y x 12 5 x
y
Vértice → V ( -1 , -5 )
y=(x+1)2-5
Eje de simetría → x = -1
x
Intersección eje y: f( 0 )= -4
Intersección eje x:
0 x 12 5 -5
5 x 1 5 x 1
2
entonces : 5 x 1 o 5 x 1
x 1 5
1
x2 1 5
Vértice → V ( 1 , -4 )
Eje de simetría → x = 1
Intersección eje y: f( 0 )= - 6
Intersección eje x:
0 2x 12 4
4 2x 12
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
SOLUCIÓN:
Las utilidades están dadas por las diferencias entre ingresos y costos.
I(x)=75 x
Como vende a $75 cada accesorio, si “x ” es la cantidad de accesorios, el
ingreso está dado por: I x 75.x
C(x)=x2 +25 x +96
U(x) = - x2+50 x -96 El costo diario según los datos se calculan por: C x x 2 25 x 96
Luego las utilidades se determinan por: U x I x C x , y reemplazando:
U x 75 x x 2 25 x 96
25
y operando se obtiene:
110
529
U x x 2 50 x 96
U(x) U(x) = - x2+50 x -96
U x x 2 50 x 96 → Factor común ( -1 ) entre los términos en x.
U x x 252 625 96 → Completamos el cuadrado dentro del paréntesis.
f ( x ) ax 2 bx c , con a, b, c ε R ; a 0
ALGUNOS EJEMPLOS
1. y 2 x 2 4 x 6
SOLUCIÓN:
Calculamos el vértice
y
y 2 x2 2x 6 → Factor común entre los términos en x.
y = 2 x2 + 4x - 6
y 2 x 12 1 6 →
Completamos
paréntesis.
el cuadrado dentro del
x
y 2x 12 2 6
Multiplicamos por dos los términos dentro del
→
corchete.
Eje de simetría: x = -1
Intersecciones en los ejes:
Eje y x = 0 y = -6 f( 0 ) = -6
111
8 2x 12
4 x 12
La abscisa del vértice
equidista de los puntos de x 3
intersección con el eje x. 4 x1 2 x1 1
Se puede calcular: x2 1
x1 x 2
xV
2
2. y x 2 6 x 11
SOLUCIÓN:
Calculamos el vértice
Eje de simetría: x = -3
Eje x y = 0 0 x 32 2
3. y x 2
8 x 16
y SOLUCIÓN:
x
Calculamos el vértice
y x 2 8 x 16 → Sacamos factor común .
y = - x2 + 8 x - 16
y x 4 2 → Completamos el cuadrado.
y x 4 2 V 4 ,0
Eje de simetría: x = 4
Intersecciones en los ejes:
Eje y x = 0 y = -16 f( 0 ) = -16
Eje x y = 0 0 x 4 2 x = 4 ( 4,0)
112
Entonces el punto de corte con el eje x coincide con el vértice.
La gráfica de la función cuadrática y = ax2 + bx + c puede tener distintas posiciones respecto del eje x, las cuales se
muestran en las figuras siguientes. Sea para el caso a > 0.
0 ax 2 bx c
cuya solución se puede obtener como se procedió en los ejemplos anteriores
completando el cuadrado y calculando: x1 y x2 o utilizando la fórmula:
b b 2 4 ac
x1,2
2a
Así, en el ejemplo 1. si: y 2 x 4 x 6 , entonces a = 2; b = 4; c = -6;
2
4 16 4.2. 6 4 64 4 8 x1 1
x1,2
2.2 4 4 x 2 3
6 36 4.1.11 6 36 44 6 8
x1,2
2.1 2 2
8 64 4. 1
. 16 8 0
x1,2 4
2. 1 2
113
luego x1 = x2 = 4 existe un único punto de intersección.
Si conocemos el valor del coeficiente del término de segundo orden “a” y los
valores correspondientes a los puntos de intersección con el eje x: x1 y x2, la función
se puede expresar:
y ax x1 . x x2
A partir de esta fórmula se calcula fácilmente el vértice de la parábola,
V ( xV , yV ) , donde:
x1 x2
xV ; yV f x1
2
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
SOLUCIÓN:
x
90
10 50 ( b ) Podemos expresar esta situación con la siguiente fórmula
A modo de síntesis:
114
ACTIVIDADES
1) Identificá los elementos característicos de cada una de estas parábolas (vértice,
eje de simetría, intersecciones con los ejes de coordenadas):
f x x 4
1 2 2
e) f x x 3 f)
2
f x x 2 d)
2
c)
e) f x x 1 4
2
f) f x x2 1
f x x 1 4
2 5
g) h) f x x 2 2
4
f x x 2
2 1
i) j) f x x2 1
4
115
4) Escribí las funciones que correspondan a las siguientes gráficas:
1
a) De f x x2 trasladada 3 unidades a la izquierda y unidad hacia
3
abajo.
1
b) De f x x 2 desplazada 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacia
4
arriba.
De f x x 3
2
c) desplazada 1 unidad a la izquierda y expansión
vertical al doble.
1
d) De f x x 2 1 trasladada 1,2 unidades hacia abajo.
2
5
e) De f x 2 x 1 desplazada 5 unidades a la izquierda y con una
2
2
reflexión con respecto al eje X.
7) Encontrá los valores reales de k para que las funciones cumplan las
condiciones pedidas:
a) y x 2 k x 3 tiene vértice en el punto ( 2,-1).
b) y k x 2 pasa por el punto ( -3, 6).
1 2
c) y x 2 x k tiene una raíz doble.
2
d) y k x 2 x 2 tiene dos raíces reales distintas.
e) y 2 x2 4 x 3 k tiene imagen , 2
10) ¿En cuánto se debe ampliar un cuadrado de 50 cm de lado para que el área del
nuevo cuadrado sea de 64 dm2?
116
11) Se desea construir una plataforma de observación que dominará un valle. Sus
dimensiones serán de 6 metros por 12 metros. Un cobertizo rectangular de 40
m2 estará en el centro de la plataforma y la parte no cubierta será un pasillo de
ancho uniforme. ¿Cuál será el ancho del pasillo?
12) Desde la azotea de un alto edificio se lanza una pelota hacia arriba. La altura a
la que está la pelota con respecto al suelo viene dada por la función:
h(t) 4,5 4t 0,5t 2 (t en segundos, h en dam).
a) Representá gráficamente la función.
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué momento la alcanza?
c) ¿A qué altura está la azotea?
d) ¿Al cabo de cuantos segundos cae al suelo?
e) ¿Cuál es el dominio de esta función?
13) En una isla se introduce una cierta cantidad de conejos en agosto de 1999. La
función f (x) 1500 120x 3x 2 permite calcular la cantidad de conejos que
hay en la isla x meses después del mes de agosto de 1999.
a) ¿En qué mes la población de conejos fue máxima?
b) ¿Qué cantidad de conejos se introduce inicialmente en la isla?
c) ¿Cuál es la mayor cantidad de conejos que llega a haber en la isla?
d) ¿Cuántos conejos hay en agosto del 2000?
e) ¿Se extingue en algún momento la población de conejos?
15) Los cables que sostienen un puente colgante tienen la forma de una parábola
cuya ecuación es: y 0, 01x 2 x 35 , donde x e y se miden en metros.
a) Representá gráficamente, teniendo en cuenta que la longitud del puente es
100 metros.
b) Encontrá la distancia entre el punto más bajo del cable y el piso del puente.
c) Determiná la altura de las torres que sostienen a los cables.
117
17) Se quiere construir una parcela rectangular y dividirla, con dos cercas paralelas
a uno de sus lados, en tres sectores para realizar distintos cultivos. Se desea
cercar con dos vueltas de alambre todo su perímetro y las divisiones. Para ello
se cuenta con 800 metros de alambre.
a) Expresá el área de la parcela como una función de la base.
b) Represéntala gráficamente.
c) ¿Cuál es el máximo de esta función?
d) ¿Cuál es el dominio de esta función?
x cm
118
FUNCIONES POLINÓMICAS
Llamamos polinomio, de
una indeterminada, a toda Estos son casos particulares de una clase importante de funciones llamadas
expresión de la forma: funciones polinómicas. Estas funciones, por sus propiedades y por la simplicidad
con que se opera con ellas, se utilizan tanto para modelar distintas situaciones como
P(x) = anxn + an-1xn-1 +
………. + a2x2 + a1x + a0
para aproximar otras funciones.
donde n N , a0, a1, ...an son
números reales, x se llama Una función polinómica de grado n es de la forma:
indeterminada.
Es posible asociar a cada (1) f(x)= anxn + an-1xn-1 + …………+ a1 x+ a0
polinomio una función
polinómica de la forma (1) y
recíprocamente. donde an 0 ; a0, a1,….., an R ; n N
Las operaciones cálcu-lo El dominio de la función es el conjunto R.
de raíces y factorización de
polinomios se pueden
consultar en el Anexo En este curso analizaremos las características de un grupo de estas
correspondiente. funciones, aquellas que correspondan a la fórmula:
f(x) = a x n
y y=a x5
y=a x3 y=a x6
y=a x
y=a x4
y=a x2
a>0 a>0
n impar n par
119
ACTIVIDADES
1) Dibujá en un mismo gráfico las siguientes funciones, separando las pares de las
impares.
a. y = 3x2 b. y = ½ x3
c. y = ¼ x4 d. y = ¼ x5
a. y= x3 + 4 b. y= x3 – 1
c. y= -2x3 d. y= (x-1)3 + 5
a. y= x4 – 1 b. y= x4 + 2
c. y= -(x-2)4 d. y= 2(x+1)4 + 5
120
FUNCIONES ESPECIALES
x si x 0
Se define de la siguiente manera: f ( x ) ..
x si x 0
y se indica y f ( x ) x .
La gráfica coincide con la recta y = x, para x 0 y con la recta y x , para
La gráfica de la función
y f (x) es muy fácil
x<0.
Su dominio es el conjunto de los números reales. Indicamos Df= .
de representar si se conoce la
Su imagen es el conjunto de los números reales positivos incluyendo al cero
y f (x)
de pues basta
pasar hacia arriba, en forma
Indicamos: If = 0, .
simétrica, todo lo que está
bajo el eje x.
y=|x| y = | 2x-1|
y = | - ½ x+1 | y = | x2-4|
121
FUNCIÓN PARTE ENTERA
FUNCIÓN SIGNO DE X.
¿?
Cúal es el 1 si x 0
dominio y la imagen de
la función? y sgn x 0 si x 0
1 si x 0
Su gráfica es :
122
ACTIVIDADES
a. g(x) x 1
b. g(x) 1 x
c. g(x) x 2
d. g(x) x 3 1
3
a. f (x) x2
2
b. f (x) x 5x 4
2
123
ACTIVIDADES FINALES DE INTEGRACIÓN Y PROFUNDIZACIÓN
a) La ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;5) y 3;4 es:
1 23
i) y x ii) y 5x 5
5 5
1 27 1 17
iii) y x iv) y x
5 5 5 5
x
c) El dominio de la función: f (x) es:
x 1
Df ,0 1, Df 0,1
Df 0,1 Df ,0 1,
y 2 x 1 2 y 2 x 2 1
2 2
1
y (x 1)2 2 y (x 1)2 2
8
(1,0) (0,0)
1 (0,1)
;0
2
124
2) Para cada uno de los siguientes enunciados, escribí una fórmula que represente a
la función e indicá cuál es su dominio:
4) En el año 2000 una empresa compró máquinas nuevas para su fábrica. En ese
momento el valor de las mismas era de $50000, pero por el uso continuo y los
avances de la tecnología, este valor disminuye $1800 por año.
125
6) Al inicio de su gestión, el gerente de ventas de una empresa recibió un balance
que arrojaba una ganancia de $15 millones anuales. A partir de ese momento la
ganancia de la empresa creció linealmente hasta que, cuatro años después, se
había duplicado. Durante los siguientes dos años, las condiciones de mercado
internacional mantuvieron la ganancia constante, pero al finalizar el sexto año,
ésta comenzó a decrecer linealmente, hasta desaparecer cuatro años después. El
gerente, en reunión extraordinaria de accionistas, planteó la necesidad de poner
en marcha un Plan de Emergencia. Éste fue aceptado y en los siguientes años la
ganancia aumentó a razón de $5 millones por año.
8) Para hacer una ventana como la que muestra el dibujo se dispone de 15m de
varilla.
a) ¿Cuáles deben ser las medidas de la ventana para que la superficie sea
máxima?
b) ¿Cuál es la superficie máxima?
126
AUTOEVALUACIÓN
127
SÍNTESIS MÓDULO II
Creciente / decreciente
Valores máximos / mínimos
Continuidad / discontinuidad
Periodicidad
Par / impar
En la ecuación de la recta y =a x + b:
y = a1 x + b1 son a) paralelas si a 1 = a 2
Las rectas
y= a2 x+ b2 b) perpendiculares si a1 a 2 = - 1
y=ax+b
Ecuaciones de la recta y = a ( x – xo ) + yo
x y
+ =1
a b
128
FUNCIÓN CUADRÁTICA y = f(x) = a x
2
+bx+c a, b, c R, a 0
2
y = a ( x – xo ) + yo
b b 2 4ac
X=
2a
y = a (x – x 1 ) ( x – x 2 )
129
MODULO III TRIGONOMETRÍA
OBJETIVOS
Al concluir el módulo III estarás en condiciones de:
Reconocer los gráficos de las funciones trigonométricas en base a la periodicidad, amplitud, frecuencia,
continuidad, paridad, ...
DIAGRAMA CONCEPTUAL
TRIGONOMETRÍA
(S.II.A. de C.)
resuelve describe
FUNCIONES CIRCULARES
TRIÁNGULOS
asociadas
MOVIMIENTOS
PERIÓDICOS
RECTÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
seno
coseno
tangente
130
NOCIONES DE GEOMETRÍA
A continuación, repasaremos algunas nociones de geometría que te serán útiles
para plantear y resolver problemas a lo largo de este seminario.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
131
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
Rectángulo
Paralelogramos (lados paralelos dos a dos) Rombo
Romboide
Cuadriláteros
Trapecio Rectángulo
Trapecios (sólo dos lados paralelos) Trapecio Isósceles
Trapecio Escaleno
Trapezoides (ningún lado paralelo)
En el Sistema Métrico
Decimal las unidades de
medida son: Km, Hm, Dam,
m, dm, cm y mm
132
Polígono Área
h
bh
2
b
Triángulo
h
bh
b
Paralelogramo
h
bh
b
Rectángulo
l
l2
l
Cuadrado
D
d Dd
2
Rombo
B
h
B b h
2
b
Trapecio
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
El perímetro de una
circunferencia de radio r es:
Perímetro = 2. . r Circunferencia es el conjunto de todos los
puntos del plano que están a una distancia fija de un
punto, llamado centro.
El área de una circunferencia La circunferencia es el borde y el círculo es el
de radio r es:
interior de la circunferencia.
Area = . r2
133
ACTIVIDADES
1) El perímetro de un triángulo ABC es de 59 cm, el lado
AB es 4 cm mayor
que el lado BC y el lado AC es 5 cm menor que el duplo de BC . Calculá la
longitud de los lados del triángulo ABC .
2) Los triángulos rectángulos ABC y BCD son isósceles, y el lado BD tiene
5 cm . Calculá:
una longitud de
a) La longitud de AB .
b) El perímetro de los triángulos ABC y BCD .
c) El área del triángulo ABC .
2
5) Una alfombra rectangular de 2,4 m de largo por 2 m de ancho cubre de un
9
salón de 7,2 m de largo. ¿Cuál es el ancho del salón?
6) En un terreno con forma de trapecio con 200 m de base mayor, 140 de base
menor y 80 m de altura, se han plantado 2 pinos por cada 100 m2. ¿Cuántos árboles
se plantaron en total?
134
9) En la figura, el cuadrilátero ABCD es un cuadrado. La longitud de la
circunferencia es 2 cm. Calculá (en función de ) el área de la figura
sombreada.
c)
4 cm
5 cm
135
UN POCO DE HISTORIA
136
CALCULAMOS ALGUNAS DISTANCIAS
Aristarco esperó hasta que la mitad del disco lunar estuviese iluminada,
porque pensó que en ese momento el ángulo Sol – Luna – observador sería recto.
Como conocía la distancia Tierra – Luna que él mismo había calculado estudiando
un eclipse, le bastó medir el ángulo T y aún con gran error, resolvió el problema.
137
SOLUCIÓN
LT
La relación = cos 89,85° nos permite calcular la distancia pedida,
TS
entonces:
LT
TS 150 10 6 km
cos 89,85
3) Rastreo de un satélite:
138
4) Longitud de un túnel:
c2 = a2 + b2 – 2 . a . b . cos c
c2 15486
c 124,4 m
1) Resorte en vibración:
La masa suspendida del resorte retoma su posición original una y otra vez.
Un ciclo es una vibración completa, por lo que la masa de la figura completa un
ciclo de su movimiento entre o y A.
139
2) Producción de sonido:
140
CIRCUNFERENCIA UNITARIA Y PUNTOS TERMINALES
x2 y2 1
Luego:
A cada número real t le corresponde un único punto en la
circunferencia unitaria, que llamamos: P( t )
Entonces:
140
En las figuras se observan las posiciones inicial y final de las situaciones anteriores.
Como la CÁLCULO DE PUNTOS TERMINALES
circunferencia tiene longitud
2, el punto correspondiente a
t + 2 coincide con el punto Para determinar el valor de puntos terminales podemos proceder, según la
correspondiente a t, situación, de dos maneras:
cualquiera que sea t.
a) t = - b) t = 3 c) t = π
2
141
2) Calculá el punto terminal si t
π
Diferentes valores 4
de t pueden determinar el
mismo punto terminal
El punto P está ubicado sobre la recta y = x (bisectriz del primer cuadrante).
Luego P está en la intersección de la circunferencia: x 2 y 2 1 con la recta y = x.
Sustituyendo en la ecuación obtenemos:
x2 y2 1
2 x2 = 1
1
x2 =
2
1 2
x
2 2
2
Como P está en el primer cuadrante es x y como y x entonces:
2
2
y
.
2
π 2 2
Luego si t es P
4 2 , 2 .
t = 2 /3; t = 4 /3;
t = 3 /4; t = 3 /2;
t = 5 /6; t = 5 /3;
0 (1,0)
t = ; t = 7 /4;
t = 7 /6;
3 1
t = 11/6;
t = 5 /4; t = 2 ; π
2 ,2
6
π 2 2
2 , 2
4
π 1 3
,
2 2
3
π
(0,1)
2
142
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES
y x
tg t = (x 0) ; cotg t = (y 0)
x y
1 1
sec t = (x 0) ; cosec t = (y 0)
x y
x2 y2 1
Como las funciones sustituyendo los valores de la definición, obtenemos:
trigonométricas pueden
definirse en términos de la
circunferencia unitaria, se las sen2 t + cos2 t = 1
suele llamar funciones
circulares.
que recibe el nombre de identidad pitagórica.
143
Tabla 1:
0 0 1 0 -- 1 --
π 1 3 3 2 3
2 3
6 2 2 3 3
π 2 2 1 2 2 1
4 2 2
π 3 1 2 3 3
3 2
3 2 2 3 3
π
1 0 -- 1 -- 0
2
π π π
a) cos 2 b) tg (c) sen 19
3 3 4
SOLUCIÓN:
π π 1
Entonces: cos 2 = - cos =
3 3 2
π π
Entonces: tg = - tg = - 3
3 3
144
c) Primero calculamos el valor correspondiente a 0 t < 2 , es decir,
19 /4 -4 = 3 /4. Luego calculamos el valor de referencia a 3 /4 que es /4;
según la tabla el seno vale 2 y como el valor 3 /4 está en el 2do cuadrante, el
2
valor es positivo.
π π π 2
Entonces: sen 19 = sen 3 = sen =
4 4 4 2
El número π es la razón entre la circunferencia y el diámetro de un
círculo. Desde la antigüedad se sabía que esta razón es la misma para todos los
círculos. El primer esfuerzo sistemático para determinar una aproximación
numérica para π lo llevó a cabo Arquímedes (~ 240 a.C.) quien demostró que
22/7< π <223/71 al determinar los perímetros de polígonos regulares inscritos y
¿? circunscritos a un círculo.
Aproximadamente en el año 480 d. C., el físico chino Tsu Ch’ ung dio la
¿Cómo calculamos el valor de las aproximación
funciones para valores de t que no
355
están en la tabla? 3,141592.....
113
Las calculadoras científicas permiten
realizar los cálculos con gran rapidez, que es correcta hasta seis decimales, y se conservó como la estimación más
pero ... debe estar en modo radianes precisa de π hasta que el matemático holandés Adrianus Romanus (1593) utilizó
para evaluar estas funciones polígonos con más de mil millones de lados para calcular a π correctamente hasta
15 decimales. En el siglo XVII, los matemáticos empezaron a utilizar series
Así por ejemplo, redondeando los infinitas así como identidades trigonométricas en la búsqueda de π. El inglés
resultados a tres decimales, tenemos: Williams Shanks pasó 15 años (1858-1873) usando esos métodos para calcular π
hasta 707 decimales, pero en 1946 se descubrió que sus cálculos estaban
a)sen 1,5 = 0,997 equivocados a partir del 528avo decimal. Hoy día con la ayuda de las
computadoras ha sido posible determinar π correctamente con miles e incluso
b)cos 2,4 = - 0,737 millones de decimales. En 1991, David y Gregory Chudnovsky utilizaron su
c)tg 3,9 = 0,947 computadora de escritorio especialmente diseñada para determinar los primeros
2,160 millones de dígitos de π (el récord de ese momento). El récord actual es
propiedad de Jonathan y Peter Borwein.
145
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Luego las funciones seno y coseno son periódicas ya que cumplen con la
definición:
146
En el intervalo 0,2)
Crecimiento y decrecimiento
La función crece en (0, ) y en (3/2 , 2) y decrece en (/2,3/2)
2
Máximos y mínimos
Dominio: Df =R
Imagen: If = -1,1
Periodicidad: periódica de período 2, luego cos (t + 2k) = cos t kZ
En el intervalo 0,2)
Crecimiento y decrecimiento
La función crece en el intervalo (, 2) y decrece en (0, )
Máximos y mínimos
La función alcanza su máximo valor y = 1 en x = 0 y su mínimo valor y =-1 en
x=
Ceros :
La función se anula en x = /2 y en x = 3/2
Luego: f (/2) = 0 y f (3/2) = 0
147
TRANSFORMACIONES DE LAS GRÁFICAS
a) f (x) = k . sen x
b) f (x) = sen kx
c) f (x) = k + sen x
d) f(x) = sen (x-k)
148
c) El parámetro “k” desplaza la función hacia arriba o hacia abajo , según sea
positivo o negativo.
Graficamos para k = 2y y k = -1 , o sea
F(x) = 2 + sen x
F(x) = -1 + sen x
¿?
¿Que relación existe entre
las gráficas de f(x) = sen (-x)
y f (x) = -sen x ?
Justificá tu respuesta
En base a las modificaciones que
se observan en la función seno,
analizá su correspondencia con la
de la función coseno y graficá.
a) f (x) = cos 2x
b) f (x) =- ½ cos x
c) f (x) = -3 + cos x
d) f (x) = ½ + cos x
e) f (x) = cos (x + π/2 )
f) f (x) = cos (x-π)
f(x) = sen (x + π)
149
f(x) = sen (x – π/2)
Dominio
sen x
La función tangente tg x
cos x
no está definida en todos los valores donde cos x =0 , es decir si
Luego Df = R -{ ( 2 k + 1 ) π/2 , }
cos x
La función cotangente cot g x
senx
no está definida en todos los valores donde sen x = 0 , es decir , si
x = 0 ; x = π ; x = 2π ; ......x = k π , con
luego Df = R - {k π , }
150
Para trazar los gráficos de la secante y la cosecante utilizamos las
identidades recíprocas
¿?
¿ Cuál es el dominio de las
funciones cosecante y
secante?
¿ Cuál es su período?
1
cos ec x
senx
1
sec x
cos x
151
ACTIVIDADES
1) Relacioná expresión, características y gráfico
Función 1 Función 2
Función 3
Función 4
Función 5
Función 6
152
2) Realizá la gráfica de las siguientes funciones. En cada caso, indicá dominio,
imagen y período.
a) f (x ) 1 cos x 1
b) f (x ) sen x
2 2
c) f (x ) 3.sen 2x d) f (x ) cos x
x
e) f (x ) 2 sen f) f (x ) 2.cos x
2 2
g) f (x ) 4 2.senx h) f (x ) sen x
153
6) Siempre que el sentido positivo sea considerado hacia arriba, si un cuerpo está
vibrando, la función f t 8 cos t mide la distancia (en cm) dirigida del
3
cuerpo desde su posición central (considerada en el origen) después de t
segundos. Respondé:
a) ¿Cuál será el máximo desplazamiento?
b) ¿Cuántos segundos deberán transcurrir para que se produzca una vibración
completa del cuerpo?
c) ¿Qué sucede al transcurrir un segundo?
154
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
ÁNGULOS
SISTEMAS DE MEDICIÓN
En símbolos
1 ángulo recto
1º
90
Los submúltiplos son el minuto y segundo sexagesimal, que se definen:
1 1'
1 ' (minuto) 1 " ( segundo)
60 60
155
Sistema radial
long AB long AB
1 rad
OA 1
180 º
1 rad 57.296 º
2
a) 120 120 rad rad
180 3
156
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
sen α = 3/5
en a)
cos α = 4/5
157
TRIÁNGULOS ESPECIALES
Con estos datos y las definiciones dadas es posible calcular las relaciones
trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º
( o lo que es equivalente , y ).
6 4 3
Los valores están en la siguiente tabla, verificá los resultados.
Para calcular los valores de las razones trigonométricas para otros ángulos
utilizaremos la calculadora.
158
1) Calculá la altura de una torre si su sombra mide 13m cuando los rayos de sol
forman un ángulo de 50º con la horizontal.
SOLUCIÓN:
SOLUCIÓN:
cat.adyacente 2 1
cos α = = = , aplicando la función inversa arco
hipotenusa 4 2
coseno obtenemos: ̂ = 60º
SOLUCIÓN:
159
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA CUALQUIER ÁNGULO
y x
sen = =y ; cos = = x
1 1
sen t = y ; cos t = x
160
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
En estos casos se aplican las fórmulas del seno o del coseno, según los
datos del problema.
MÁS EJEMPLOS
cuando un observador que está situado a una cierta distancia del pie de la torre, se
aleja 90m en la misma dirección?.
Teorema del Seno
SOLUCIÓN:
En el triangulo ABC se verifica
o Dibujamos un diagrama con los datos.
senA senB senC o El problema puede resolverse por dos caminos.
= =
a b c a) Usando triángulos rectángulos
h
En el triángulo ABC se verifica la relación: tg 50º = (1)
x
En el triángulo ABD se verifica la relación: tg 18º =
h
x 90
(2)
a² = c² + b² -2.c.b.cos A
De (2) se tiene h = ( x + 90 ). tg 18º
b² = c² + a² -2.c.a.cos B
c² = a² + b² -2.a.b.cos C Igualando los segundos miembros se tiene:
161
b) Aplicando el teorema del seno, se puede calcular AC y luego usando la
definición de razón trigonométrica se calcula h.
d 52,6m
h 40,3m
2) Dos carreteras rectas divergen formando un ángulo de 65º. Dos automóviles salen
de la intersección a las 2:00 PM; uno viaja a 70 km/h y el otro a 90 km/h. ¿Qué
distancia los separa a las 2:30 PM ?.
SOLUCIÓN:
Dibujamos un diagrama.
Suponemos que los automóviles viajan con M.U., luego se verifica d = v.t
El tiempo es t = ½ h
La distancia que recorrió cada automóvil está dada por:
d1 = 70 km/h . ½ h = 35 km = OA
d2 = 90 km/h . ½ h = 45 km = OB
Se puede calcular AB
Aplicando el teorema del coseno se tiene.
d² = a² + b² - 2ab.cos 65º
d² = 45² + 35² - 2.45.35.cos 65º
d² 2025 + 1225 – 1331,25
d² 1918,75
d 43,8 km
162
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
2.cos x –1 = 0
2.cos x = 1
cos x = ½
5
x1 = y x2 =
3 3
5
x1 = + 2k y x2 = + 2k ,
3 3
163
MÁS EJEMPLOS
SOLUCIÓN:
3
(1) cos x = 0 en [ 0 , 2 ) si x= o x=
2 2
(2) 2.sen x + 1 = 0
2.sen x = -1
1
sen x = -
2
3 7 11
S= , , ,
2 2 6 6
164
2) Calculá las soluciones de cos² x = ½ si 0 x < 2
SOLUCIÓN: cos² x = ½
Aplicamos
1
cos ² x
2
2
| cos x | =
2
Las soluciones correspondientes son:
2
cos x = x= ; x=7
2 4 4
y
2
cos x = - x= ; x=5
2 4 4
7 3 5
El conjunto solución es; S = , , ,
4 4 4 4
SOLUCIÓN:
1
1 1 4 2 1 3
sen x = = =
2 2
-2
sen x = 1 (1)
De aquí obtenemos:
sen x = -2 (2)
La ecuación sen x = 1 se verifica si x = 2k con k Z
2
La ecuación sen x = -2 no tiene solución, porque la función seno tiene imagen
entre –1 y 1.
s 2k , k
2
165
4) Calculá la solución de la ecuación 3cos x = 2 sen² x si x 0,2
SOLUCIÓN:
½
3 9 42 2 3 5
cos x = = =
2.2 4
-2
La ecuación cos x = ½ se verifica si x = o x = 5.
3 3
La ecuación cos x = -2 no tiene solución porque la función coseno tiene
imagen entre –1 y 1 luego el conjunto solución es:
5
S= ,
3 3
166
ACTIVIDADES
1) En cada caso, a partir del triángulo rectángulo de la figura y los datos dados,
encontrá la longitud de los lados y la medida de los ángulos restantes:
·
a) 30 y bc 20 cm
b) ac bc 5 cm
·
c) 60 y ab 3 cm
·
2) En un triángulo las medidas de sus ángulos interiores son 45 y $ 105 ,
y el lado que comparten dichos ángulos tiene una longitud de 2 cm .
Determiná su perímetro.
3
3) En un triángulo rectángulo el coseno de uno de los ángulos agudos es y la
2
hipotenusa mide 4 cm. Determiná las medidas de los catetos y las medidas de
los ángulos (en radianes).
Figura 1 Figura 2
Figura 3
167
5) En cada caso, indicá la respuesta correcta, justificando tu respuesta:
a) Si un árbol de 2,38 metros proyecta una sombra de 1,6 metros, el ángulo
de elevación del sol es aproximadamente:
i. 45° ii. 70° iii. 32° iv. 56°
c) Desde una torre se arroja, con un ángulo de depresión de 27º, una soga de
15 metros de longitud y, al tensarla, su extremo se encuentra de la base de
la torre aproximadamente a:
i. 13,36 m ii. 7,64 m iii. 29,44 m iv. 16,83 m
11) Una persona se encuentra a 110 m del lugar donde un globo aerostático
comenzó a elevarse. Pasado un tiempo, el ángulo de elevación con el que
observa el globo cambia de 20° a 35°. ¿Cuántos metros se elevó el globo
durante ese período?
12) Desde un punto, ubicado sobre un camino recto inclinado 5° con respecto a la
horizontal, se observa con un ángulo de elevación de 40° una torre de 30 metros
de altura. Determiná la distancia entre el punto de observación y el punto más
alto de la torre.
168
13) Para localizar una emisora clandestina E ubicada entre dos unidades receptoras
R1 y R2, distantes entre si 8 km, las mismas orientan sus antenas en la dirección
de recepción óptima. Se miden los ángulos R1=32º y R2=48º. ¿A qué distancia
de R1 y R2se encuentra la emisora?
14) Dos automóviles transitan por una autopista que se bifurca en dos caminos que
determinan un ángulo de 32°. En el mismo instante, cada automóvil toma un
camino diferente a 75 km/h y a 90km/h, respectivamente. ¿A qué distancia se
encuentran media hora después de separarse?
15) Un helicóptero viaja de una ciudad hacia otra, distantes entre sí 40 km. En un
determinado momento, los ángulos que forman las visuales, desde el
helicóptero hacia las ciudades, con la horizontal son de 14º y 26º,
respectivamente. ¿A qué altura está el helicóptero? ¿Qué distancia hay en ese
momento entre el helicóptero y cada una de las ciudades?
16) Dos barcos salen de un mismo puerto simultáneamente. Uno avanza a una
velocidad de 50 km/h en dirección N 50º E y el otro a una velocidad de 45 km/h
en dirección S 70º E. ¿Qué distancia los separa después de una hora?
17) Un ingeniero observa una maqueta de tres casas que deberá construir. Las casas
A y B se encuentran separadas por un lago. Trazando líneas rectas desde A
hasta C y desde B hasta C, observa que la distancias son 50 cm y 70 cm,
respectivamente. Además, el ángulo que forman dichas líneas rectas es de 65°.
Sabiendo que la escala para realizar la maqueta fue 1cm 2 km , ¿cuál es la
longitud real del lago que separa las casas A y B?
2 2
19) Sabiendo que sen y cos , determiná el valor de tg , sec
2 2
y cosec .
1
20) Sin encontrar , sabiendo que cos y que IV cuad , determiná sen
2
y tg .
169
1
21) Si cos y III cuadrante, calculá:
3
(Sugerencia: antes de realizar los cálculos, simplificá las expresiones)
a) sec tg 3.cosec
b) cos sec cos
sen sec
c)
tg
d) cos ec sen : cot g
22) En cada caso, determiná el valor de que cumpla las condiciones indicadas:
1
a) sen .
2 2
3
b) tg 3 .
2
2
c) cos 2 .
2
d) sen 1 0 .
a) 2.sen x 3 0 b) 2 cos2 x 1 0
x
c) sen 2 x 2 senx 3 d) cos 1 0
2
k)
x
2 sen 2 0
4
l) tg x 3 cos x 2 0
170
ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN Y PROFUNDIZACIÓN
a. y 3.cos x b. y cos(2x) c. y 3 cos x
2
1
a. g(x) .f x b. h(x) 3 f (x) c. j(x) 1 f (x)
2 2
4) Claudio observa un árbol desde la orilla opuesta de un río, mide el ángulo que
forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 43º; retrocede 10 m y
mide un nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 35º.
5) Julio y Aníbal tienen sus casas en el campo a una distancia de 500 metros. Ambos
divisan un helicóptero volando entre ellos. Julio lo ve con un ángulo de elevación
de 80º y Aníbal está a una distancia de 600 metros del helicóptero.
171
AUTOEVALUACIÓN
1) Si un ángulo está comprendido entre y , ¿qué es mayor, el seno o el coseno
2
del ángulo?
2) ¿En cuánto deben diferir dos ángulos para que sus tangentes coincidan?
2
5) Calculá el valor de x sabiendo que cos x y sen x 0
2
172
SÍNTESIS MÓDULO III
FUNCIONES PERIÓDICAS
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
f(x) = tg x D f = R – { (2k+1) }; I f = R; p= ; Impar: f(x) = - f(-x)
2
1 ángulo recto
Sexagesimal 1
90
long. AB
Radial 1 rad
1
Conversión de un sistema a otro
180
rad = ; = rad
180
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
a b a
sen ; cos ; tg
c c b
IDENTIDAD PITAGÓRICA
sen 2 cos2 1
173
TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
c 2 a 2 b 2 2 a b cosC
174
ACTIVIDADES FINALES DE INTEGRACIÓN Y PROFUNDIZACIÓN
1 1 1 97
a. y b) y 9
Cada problema que resolví 96 9 6 7
se convirtió en una regla
97 9
que sirvió más tarde para c)
7
y 1
7
d) a b 2 y a 2 b2
resolver otros problemas.
Descartes e) 4.9 y 4. 9 f) 27 y 3 3
1 3
g) y h) 64 36 y 64 36
3 3
a)
3
4 y 3 4 b) a.b y a . b
c) 4 . 5 y 4 . 5 d) 3 y 3
e) 4.5 y 4 . 5 f) 4 . 5 y 4.5
175
7) Asociá cada uno de los enunciados con la expresión algebraica que le
corresponde:
ENUNCIADOS EXPRESIONES
4.- n n 1 n 2 33
d) Dos números pares consecutivos.
De las nueve expresiones algebraicas anteriores, hay dos que son ciertas para
cualesquiera valores que demos a las letras. ¿Cuáles son?
176
10) Un fabricante de lámparas vende únicamente a distribuidores mayoristas
mediante su sala de exhibición. El gasto general semanal, incluyendo salarios,
costos de planta y alquiler de la sala de exhibición, es de $6000. Si cada
lámpara se vende en $168 y el material que se utiliza en su producción cuesta
$44.
¿Cuántas lámparas deben producirse y venderse a la semana de modo que el
fabricante obtenga utilidades?
x2 - 6 x + m = 0 tenga:
14) Un predio rectangular tiene un lado 70 m más largo que el otro. Cada diagonal
entre esquinas opuestas mide 130 m. ¿Cuáles son las dimensiones del predio?
1 1 3
a. 3x 4 75x 2 0 b.
x x2 4
c. 4x 5 x 2 d. 2x 3 x 5 2
x 2x
e. 3
x 1 x 1
17) Los vértices de un rombo coinciden con los puntos medios de los lados de un
rectángulo que tiene base 2m mayor que la altura. Sus perímetros se diferencian
en 8 m.
¿Cuánto miden los lados del rectángulo y del rombo?
177
18) Las siguientes figuras representan una función y = f(x). A partir de la gráfica
calculá:
a. dominio, imagen
b. f (0); f(-1); f(3); f(2); f(6)
c. la fórmula que representa la función
d. | f( x ) |
e.. f (x - 1)
f. f (x) + 4
1 si x Q
f ( x)
1 si x Q
x2 x 6
4 4x 5 b) f (x)
2
a) f (x)
1 x
x2 4
c) f (x)
x2 4
21) Un automóvil que consume 10 litros de nafta cada 100 km, parte con 45 litros en
el tanque. Una camioneta que consume 12 litros de gasoil cada 60 km, parte con
60 litros.
178
23) Para construir seis corrales para animales se cercó un terreno rectangular y luego
se lo dividió mediante dos cercas paralelas a la base del terreno y una cerca
paralela al otro lado. En total se utilizaron 1000 metros de cerca. Si x es la
longitud de la base del terreno.
25) Cuando se produce una cantidad x (en miles de toneladas) de una cierta
mercadería dos productores reciben un beneficio mensual (en miles de pesos)
de:
p1(x) x 2 8x 3 p2 (x) 2x 10
26) Se sabe que una parábola corta el eje de abscisas en dos puntos P y Q, que distan
6 unidades entre sí y que toma su valor máximo y = 9 en x = 5.
27) Calculá el área de un trapecio rectangular, sabiendo que sus bases tienen 30 cm
y 40 cm y que el lado oblícuo forma con la base mayor un ángulo de 60º.
179
28) El consumo de energía eléctrica de una familia, en KW-h está dado por la
función
2
E (t ) 600 450 cos t 1
12
donde “t” indica los meses del año (enero =1)
29) Mostrá gráficamente que 1 cos x sen x x en el intervalo 0,
2
32) En el cuadrado ABCD se une el vértice A con M, punto medio del lado BC, y
con N, punto medio del lado CD.
Calculá los lados y los ángulos del triángulo AMN, sabiendo que el lado del
cuadrado mide 4 cm.
180
ALGUNOS EJERCICIOS DE EXÁMENES DE AÑOS ANTERIORES
a. 3
27 4 es un número irracional.
Si a b entonces a b
2 2
b.
c. Si a b entonces 3 2a 3 2b
a 2 b2
d. ab
ab
4
e. El conjunto solución de la inecuación x es S 2,0 2,
x
f. a 2 b2 a b
2 11 9
g. El conjunto solución de la inecuación 4 es S ,
x 5 2 2
h. El dominio de la función: g(x) x 43 x es Dg 4; 3
x 3 si x 2
a. f (x) 1 si 2 x 3
2
x si x 3
3
b. f (x) 2.sen x
2
181
6) A partir de la gráfica de f(x) = sen x representá las funciones:
Para cada función indique: dominio, imagen, período, valores máximos y/o
mínimos.
a.
g(x) f (x) 4 b.
h(x) f (x 3) p x f (2x) 5
c.
2
8) A partir de la gráfica de f(x) = 2 x -4 dibujá la gráfica de
a.
g(x) f (x 1) b.
h(x) 6 f (x 4) p x f (x) 1
c.
En cada caso determine: dominio, imagen, y si existen , las intersecciones con los
ejes, máximos / mínimos.
En ese instante:
182
11) Dada la recta de ecuación : 2ky 3x 1 0 con k R, en cada caso,
calculá el valor de k” si:
12) Un proyectil disparado hacia arriba con una velocidad de 100 m/seg. se mueve
de acuerdo con la ley : y 100t 5t 2 , donde y es la altura en metros desde el
punto de partida y t el tiempo transcurrido, en segundos, después del
lanzamiento.
13) Dibujá un rectángulo que tenga su base sobre el eje x, sus otros dos vértices por
2
encima del mismo y pertenecientes a la parábola y = 8 - x
15) En el rectángulo ABCD, las rectas que contienen a los lados AB y AD son:
2 3 13
y x e y x , respectivamente.
3 2 2
a. Representá gráficamente.
b. Encontrá las coordenadas de A.
14
c. Si C ;6 , encontrá las rectas que contienen a los lados BC y CD.
3
183
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Bahía Blanca
Examen de Ingreso – MATEMÁTICA Y FÍSICA
Apellido y nombre:...............................................................................................D.N.I.…..…………..……….
Completa todos los datos solicitados en el encabezado.
Coloca en todas las hojas el nombre y apellido.
Desarrolla el examen en forma clara y prolija. Lo que no se entienda no se podrá evaluar.
Debes entregar el desarrollo completo de los ejercicios. Las respuestas que no cuenten con la debida justificación, no serán consideradas.
Al finalizar el examen, indica la cantidad total de hojas que entregas y firma.
Ejercicio1: Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica cada una de tus
respuestas. En caso de ser falsa, indica la respuesta correcta:
2x
b) El dominio de la función f(x) es Df , 2 .
x2 1
c) La expresión de la función cuadrática cuya imagen es 1, , crece en 4, y sus raíces son -5 y -3
es: f ( x ) x 2 8x 15 .
d) La ecuación 2 cos2 sen2 1 sólo tiene solución en el primer cuadrante.
Ejercicio 2: Un auto viaja detrás de un colectivo. En determinado momento se encuentran separados por una
distancia de 2000 m, moviéndose en la misma dirección y sentido a velocidades constantes de 90 km/h y 15 m/s,
respectivamente.
a) Elije y dibuja un sistema de referencia que creas conveniente y escribe las ecuaciones de posición en función
del tiempo de ambos vehículos.
b) Calcula el tiempo y la posición en que el auto alcanza al colectivo.
c) Determina en qué instante/s estuvieron separados por una distancia de 1000 metros.
d) Realiza en un mismo sistema de ejes cartesianos los gráficos de posición en función del tiempo de ambos
vehículos, indicando el punto de encuentro.
Ejercicio 3: ¿Cuál es la altura de una torre si el ángulo de elevación disminuye de 46º a 33º cuando un
observador que está situado a una cierta distancia del pie de la torre, se aleja 100 m en la misma dirección?
184
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Bahía Blanca
Examen de Ingreso – MATEMÁTICA Y FÍSICA
Apellido y nombre:...............................................................................................D.N.I.…..…………..……….
Completa todos los datos solicitados en el encabezado.
Coloca en todas las hojas el nombre y apellido.
Desarrolla el examen en forma clara y prolija. Lo que no se entienda no se podrá evaluar.
Debes entregar el desarrollo completo de los ejercicios. Las respuestas que no cuenten con la debida justificación, no serán consideradas.
Al finalizar el examen, indica la cantidad total de hojas que entregas y firma.
Ejercicio1:
2 5 10
2
a) Resuelve la ecuación: 5 1 x 5 1
5
En caso de tener solución única, indica a qué conjunto numérico pertenece dicha solución.
3
b) Resuelve la inecuación: 1 . Indica el conjunto solución en forma de intervalo.
x2
Ejercicio 2: Dos autos se mueven en sentido contrario uno hacia el otro, sobre una ruta recta. El que está a la
izquierda, que llamaremos “A”, viaja con una rapidez de 35 m/s y el que se encuentra a la derecha, “B”, lo hace con
una rapidez de 20 m/s. Inicialmente están separados 8 km.
a) Grafica la situación y elige un sistema de referencia. (ATENCIÓN: si no indicas qué sistema de referencia
eliges, no se podrán corregir adecuadamente los demás ítems)
b) Arma la función horaria (función de la posición en función del tiempo) de cada auto.
c) ¿Qué tipo de funciones matemáticas son?
d) Calcula en qué instante de tiempo se cruzan los autos y en qué posición lo hacen.
e) Grafica la posición en función del tiempo de ambos autos sobre los mismos ejes coordenados, e indica
sobre el gráfico los resultados del inciso anterior.
Ejercicio 3: Un fabricante de accesorios de iluminación tiene costos diarios de producción expresados por la
función C x 800 bx 0,25x 2 , donde C es el costo total (en pesos) y x es el número de unidades producidas.
a) Encuentra el valor de b R sabiendo que producir 12 unidades tiene un costo de $716.
b) Representa gráficamente la función C.
c) ¿Cuántos accesorios deberá producir por día para tener costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo? Justificar.
d) Determinar la cantidad mínima de accesorios que se fabricaron un día que el costo total fue de $749.
Ejercicio 4: Encuentra todas las soluciones de la ecuación cos2 3 sen 3 sen2 0 en el intervalo
0,2 .
Ejercicio 5: Una esfera que pesa 350 N está sostenida por cuerdas como lo muestra la figura. La distancia entre los
puntos de sujeción de las cuerdas, AB, es de 3 m.
A B
a) Calcula la longitud de los segmentos de cuerda AO y BO, y
α 53°
el valor del ángulo α.
b) Dibuja el diagrama de fuerzas aplicadas sobre el punto O, y
104°
adopta un sistema de referencia x-y con origen en ese punto.
c) Escribe las ecuaciones de equilibrio.
d) Determina las fuerzas que ejercen los segmentos de cuerda O
AO y BO.
185
Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Bahía Blanca
Examen de Ingreso – MATEMÁTICA Y FÍSICA
Apellido y nombre: ...............................................................................................D.N.I.…..…………..………
d) La ecuación
2 cos2 sen2 1 en el intervalo 0,2 tiene:
Ejercicio 2: Dos individuos A y B separados entre sí por 4 km, observan un avión que pasa por encima de ellos.
En un instante en que el avión vuela entre A y B, la distancia de A hasta el avión es de 3,18 km. Si en dicho instante
B observa el avión con un ángulo de elevación de 46º, determinar a qué altura vuela el avión y el ángulo de
observación del observador A al avión.
Ejercicio 4: Se lanza una piedra hacia arriba desde el suelo, de modo que sale del dispositivo lanzador con una
2
velocidad de 25 m/s. Se supone que no hay resistencia con el aire, y se considera el valor de g = 10 m/s
a) Obtener las ecuaciones cinemáticas que determinan la posición y la velocidad en función del tiempo de la
piedra, tomando como origen del sistema de referencia el suelo, y sentido positivo hacia arriba.
b) Calcular a qué altura se encuentra cuando su velocidad es de 15 m/s.
c) Calcular el instante de tiempo en que la piedra alcanza la altura máxima, y la altura máxima alcanzada.
d) Confeccionar los gráficos x(t), v(t) y a(t)
186