Bim 2 ALGEBRA 2° BIM II
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2 DE SECUNDARIA
LGEBRA
2do AO DE SECUNDARIA
LGEBRA
2 DE SECUNDARIA
Desde el siglo XVII a.C. los matemticos de Mesopotamia y de Babilonia ya saban resolver ecuaciones de primero
y segundo grado. Adems resolvan tambin, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incgnitas.
En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un lgebra muy elemental que usaron para resolver problemas
cotidianos que tenan que ver con la reparticin de vveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenan
un mtodo para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "mtodo de la falsa posicin". No tenan
notacin simblica pero utilizaron el jeroglfico hau (que quiere decir montn o pila) para designar la incgnita.
Alrededor del siglo I dC. los matemticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu ( que significa El Arte del
clculo), en el que plantearon diversos mtodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, as como
sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas. Con su baco (suan z) tenan la posibilidad de representar
nmeros positivos y negativos.
En el siglo II, el matemtico griego Nicmaco de Gerasa public su Introduccin a la Aritmtica y en ella expuso
varias reglas para el buen uso de los nmeros.
En el siglo III el matemtico griego Diofanto de Alejandra public su Aritmtica en la cual, por primera vez en la
historia de las matemticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no slo las ecuaciones de primer grado, sino
tambin las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incgnita con un signo que
es la primera slaba de la palabra griega arithmos, que significa nmero. Los problemas de lgebra que propuso
prepararon el terreno de lo que siglos ms tarde sera "la teora de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su
notacin simblica y de lo poco elegantes que eran los mtodos que usaba, se le puede considerar como uno de los
precursores del lgebra moderna.
RUBN DARO
RUBN DARO
R a ;b 2a 5 2a 3 b 6 8ab 12
Ejemplo:
b.
Sea P(x)=3x + 1
Es ordenado y creciente respecto a b
P(x + 1) = 3 (x + 1) + 1
Es ordenado y creciente respecto a a
P(x + 1) = 3x + 3 + 1
P(x + 1) = 3x + 4
1 2
Ax2 + Bx2 Cx + B = x + 3x 1
2 4. Si el Grado absoluto de P(x,y)=2xay5z7 es "25"
Resolucin Hallar el GR(x)
Agrupamos los tmanos de manera la siguiente:
1 2 5. P(x,y) = 5x8y8+ 7x6y9 + 2x10y4 ; hallar el
(Ax2 + Bx2) Cx + B = x + 3x 1 GR(x), GR(y) y GA(P)
2
1 2
(A + B)x2 Cx + B = x + 3x 1 6. Dado el polinomio; halla el GR(x), GR(y), y
2
GA(Q)
Identificando: Q(x,y) = xm+5yn+1zn-1 + xm+6ynzn-3 + xm+4yn+2zn-6
i) .
7. Hallar (a+b). Si P(x) es ordenado y completo
respecto de x.
1
A B . P(x) = 7x4 8xb+1 + 5xa-8 + 2x + 1
2
ii) C = 3
8. Hallar a+b, si P(x,y) es homogneo
. C = -3 .
P(x,y) = 6xay6 2x3y2+b + 3 x10y4
iii) . B = 1 .
9. Hallar el valor de m, n y p
1
Luego: A +B + C =
2
+ (3) (12 n)x7 + m 9 + 3x2 (p + 5)x2 + 3x7 2
10. Hallar el valor de m, n y p
5
(12 4n)x6 + m 8 + (3p + 51)x4 0
. a b c . 11. Si: P(x) = 5x 3 Hallar: P(x+2)
2
CONFUCIO
CONFUCIO
am x an = am x n
PROBLEMAS PARA LA CASA a) Multiplicacin de Monomios
Ejemplo:
42 x 6 y 5 21x 3 y 7 35x 5 y 2 42 x 6 y 5 21x 3 y 7 35 x 5 y 2
7 xy 2 7 xy 2 7 xy 2 7 xy 2
El cociente es x3 2x2 + 3x 1 y el residuo es cero
= 6x5y3 3x2y5 + 5x4
DIVISIN DE DOS POLINOMIOS
MTODOS ALTERNATIVOS DE DIVISIN
Para dividir dos polinomios tenemos la siguiente regla
prctica:
Mtodo de Horner
Primeramente se trazan dos rectas que se intersecten,
1. Se ordenan el dividendo y el divisor segn la
una vertical y otra horizontal. Encima de la recta
misma letra, dejando espacios para los trminos
horizontal y a la derecha de la vertical se colocan los
que faltasen.
coeficientes del dividendo con su propio signo. Encima
de la vertical izquierda se coloca el primer coeficiente
2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el
del divisor con su propio signo en ese mismo sitio y
primer trmino del divisor para obtener el primer
debajo de la horizontal se coloca el resto de
trmino del cociente.
coeficientes del divisor con el signo cambiado.
Ejemplo:
Dividir: 7x 3 + 2x4 x3 entre 2x + 3
Resolucin
Ejemplo:
Calcular el residuo del divisor:
3x3 5x2 + 7 entre x 3
Resolucin
Igualamos el divisor a cero
x3=0
Mtodo de Ruffini .x=3.
Este mtodo es aplicable a divisiones de la forma: (x
a) y con ciertas restricciones a divisores de la forma Este valor de x se reemplaza en el dividendo 3x 3
(axn b). 5x2 + 7
6 x 5 17 x 4 7 x 3 mx 2 nx p
NIVEL I es
3x3 4 x 2 5 x 7
exacta.
1. Dividir: x5 + 2x4 x2 + 3 entre x2 2x + 1
15. Hallar la suma de coeficientes del cociente al
2. Dividir 6x5 + 7x4 18x3 + 10x2 + 7x 9 entre dividir
3x + x2 + 2
3
( 20x4 3x3 + 16x2 6 ):( 5x + 1 )
4. Dividir 6x5 + 5x4 26x3 + 3x2 22x + 6 entre 17. Hallar el residuo de dividir:
2x2 3x + 1
x 2
2
x 7 2 x2 x 9 5
5. Dividir 8x4 6x2 + 4x + 9 entre 2x2 3x + 1 x2 x 8
e indicar la suma de coeficientes del cociente
18. Hallar el resto de:
6. 5 4 3 2
Dividir 6x + 7x 18x + 10x + 7x 9 entre ( 9x70 3x40 + 5x14 6x8 + x2 + 7 ):( x2 1 )
3x3 x2 + 2 e indicar el coeficiente del trmino
cuadrtico del cociente 19. Calcular el resto de:
( x20 + x10 + x4 + x + 2 ):( x4 + 1 )
7. Dividir 6x4 7x3 + 11x2 + 15x 14 entre 3x
2 20. Hallar el resto de:
( 3x60 5x45 + 3x30 2x15 + 9x5 + 7 ):( x5 + 1 )
8. Dividir 10x5 9x4 11x3 17x 9 entre 2x +
1 PROBLEMAS PARA LA CASA
NIVEL II
x 2x 4 x 2 3
5
x 2 2x 1
13. Al dividir Indicar la suma de coeficientes del residuo
( 6x4 5x3 + 8x2 + Ax + B ):( 3x2 + 2x + 1 )
se obtiene como residuo (x+2). Determinar 4. Efectuar la divisin e indicar el trmino
A+B"? independiente del residuo
2x 4 x 3 4x 2 x 5 1
14. Encontrar el valor de "m + n + p" si la divisin: 2x 2 x 1
Indicar el trmino independiente del resto
+1 -3 -8
-2
-4 6 -6 8
2 3 -4
x 2
x 4 3x 2 5x 10
11. Calcular el resto de:
x 3