Mamd1 U1 A2 Alrq

UNIVERSIDAD ABIERTA Y
A DISTANCIA DE MEXICO.
Materia: Álgebra Moderna I
Unidad 1: Grupos y subgrupos
Actividad 2: Grupos
Alumno: Alberto Ramírez Quintero.
Facilitador: Rafael Pacheco Espinosa
Lista de ejercicios Actividad 2

a) Probar que las funciones biyectivas de un conjunto A en el mismo, con la
operación composición forman un grupo.
Recordado la definición de función biyectiva, que nos dice que si todos los elementos
del conjunto salida tienen una imagen distinta en el conjunto llegada, y a cada elemento
del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.
Entonces si tenemos el conjunto A y una operación ⨀ , lo representamos como el par

( A , ⨀) es una operación interna o ley de composición interna. Por lo tanto ⨀ en
A cuando es una aplicación se define como.
⨀:A × A→ A
( a , b ) → c=a ⨀ b
Entonces si definimos a A con los elementos { A=a , b , c , d , … } , la operación
combinación asigna a cada par ordenado (a,b) donde a , b ∈ A , un tercer elemento c,
el cual también esta contenido en A. este elemento c es único para cada par (a,b), lo
cual se expresa: c=a ⨀b
Por ejemplo si el conjunto A=Z con la operación producto es un grupo, ya que:
Es asociativo, ya que por ejemplo (1+2)+3=2+(1+ 3) , donde 6 sería el resultado y

donde claramente 1,2,3,6 ∈ Z
Es conmutativa, ya que 1+2=2+1 el resultado es 3, donde 1,2,3∈ Z
Su elemento neutro es el 0, ya que cualquier número entero (en este caso) más el 0,
nos va a dar como resultado el mismo número, a+0=a por ejemplo: 1+0=1, 2+0=2,
3+0=3
Tiene inverso, ya que los números enteros tienen cuentan con numero inverso de
cualquier número (en este caso entero), ya que si a∈ A existe a−1 ∈ A tal que
a+a−1=a−1 +a=e , donde e indica el elemento neutro, en este caso el cero, por
ejemplo 1-1=0,2-2=0
b) Utilizar la tabla para responder las siguientes preguntas.

* e1 e2 e3 e4 e5
e1 e1 e2 e3 e4 e5
e2 e2 e3 e4 e5 e1
e3 e3 e4 e5 e1 e2
e4 e4 e5 e1 e2 e3
e5 e5 e1 e2 e3 e4
- ¿Cuál es el elemento identidad en este conjunto?

El elemento identidad o neutro en este caso es e 1 , ya que
e 1e1=e 1e1=e 1, e 1e2=e 2e1=e 2,e1e3=e 3e1=e 3 por lo tanto vemos que
efectivamente e1 es el elemento identidad (o neutro) para la operación
dada.
- ¿Cómo sabemos que cada elemento tiene inverso por los dos lados? En
este caso estamos hablando del elemento simétrico que indica que para todo
a ∈ A ∃ a ∈ A ⇒ a ∗a=a∗a =e . Podemos decir entonces que el simétrico
−1 −1 −1
−1
del simétrico de un elemento es el propio elemento, es decir ( a−1 ) =a
- ¿Cómo sabemos que ese inverso es único?
Por reducción al absurdo, si, para a ∃ s 1, s 2 simétricos de a, se tiene que:
s 1=s 1∗e=s 1∗( a∗s 2 ) =( s 1∗a )∗s 2=e∗s 2=s 2
Concluimos que los dos simétricos son el mismo elemento, por lo tanto el
inverso es único.
c) Si G es un grupo y a 1, a2,…, an prueba que a1*a2*…*an es único, sin importar

el orden en que se realizan las operaciones.
En otras palabras quiero entender que se esta usando el dicho “el orden de los
factores NO altera el resultado”
Por ejemplo si tenemos el grupo G, con a 1, a 2, a3, … an . Y le aplicamos una

operación ¿
Tenemos a1*a2=a3 por ejemplo, que es lo mismo a2*a1=a3. En otras palabras
estamos aplicando las propiedades asociativas y/o conmutativas. Entonces
Si a1*a2=a3 y a1*a2=a4 por reducción al absurdo a3 ≠ a4, luego entonces el

resultado de uan operación binaria sin importar el orden en un grupo es único
d) Si G es un grupo y a es un elemento de g, y definimos a 0=e; a1=a; a2=a*a, a-

2
=a-1*a-1 y así sucesivamente, prueba que para cada m y n en los naturales
se tiene que am*an=am+n y que (am)n=amn.
Tenemos para m ,n ∈ N
am∗a n=am+n
m n
⏟
a ⏟
∙ a ∙ a … ∙a a ∙a ∙ a … ∙ a
a ∗a =
m−veces n−veces
⏟
a ∙ a ∙ a …∙ aa ∙ a ∙ a … ∙ a
am∗a n=
m+n−veces
Por lo tanto
m n m +n
a ∗a =a
n
Ahora para ( a m ) =a mn donde m ,n ∈ N
a∙ a ∙ a … ∙ a )n
(⏟
m n
(a ) =
m−veces
n
(⏟
a∙ a ∙ a … ∙ a ) (⏟
a∙ a ∙ a … ∙ a ) (⏟
a∙ a ∙ a … ∙ a )
(am) = ∙ ∙
⏟ m−veces m−veces m−veces
n−veces
n
( a m ) =⏟
( a∙ a ∙ a … ∙ a )∗ ( a ∙a ∙ a … ∙ a )∗…∗( a ∙ a∙ a … ∙ a )
m ∙n −veces
m n
Concluimos que ( a ) =a mn

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Unidad 1: Grupos y subgrupos

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Lista de ejercicios Actividad 2

Entonces si tenemos el conjunto A y una operación ⨀ , lo representamos como el par

Por ejemplo si el conjunto A=Z con la operación producto es un grupo, ya que:

Es asociativo, ya que por ejemplo (1+2)+3=2+(1+ 3) , donde 6 sería el resultado y

Es conmutativa, ya que 1+2=2+1 el resultado es 3, donde 1,2,3∈ Z

b) Utilizar la tabla para responder las siguientes preguntas.

- ¿Cuál es el elemento identidad en este conjunto?

c) Si G es un grupo y a 1, a2,…, an prueba que a1a2…*an es único, sin importar

Por ejemplo si tenemos el grupo G, con a 1, a 2, a3, … an . Y le aplicamos una

Si a1a2=a3 y a1a2=a4 por reducción al absurdo a3 ≠ a4, luego entonces el

d) Si G es un grupo y a es un elemento de g, y definimos a 0=e; a1=a; a2=a*a, a-

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