Metodos Numericos (Tarea1)

NOMBRE: Melissa Jhazmin Cardozo Soza 4-A
Actividad 1:
 Grafique la función densidad de probabilidad para una v.a. Gaussiana con media 0 y
dispersión 1.
 Grafique la función densidad de probabilidad conjunta para dos v.a. X e Y, siendo X una
v.a. Gaussiana con media 0 y dispersión 1 e Y otra v.a. independiente de X con media 5
y dispersión 1/2.
a)
>> x=[-5:0.1:5];
>> gx=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);
>> plot(x,gx)
b)
>> y=[0:0.1:10];
>> gy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(y-5).^2/(2*(1/2)^2));
>> G=gy'*gx;
>> mesh(x,y,G)
Actividad 2:
• Sea w una v.a. uniformemente distribuida entre 0 y 1. Calcule su media y su varianza

teóricamente.
• Genere un vector con 10000 muestras de dicha variable, utilizando la función rand, y
grafíquelo.
Calcule la media y la varianza para la v.a. generada, realizando su propio programa. (Deberá
generar un lazo por medio del comando for)
• Calcule la media y la varianza ahora, utilizando las funciones Matlab mean y std.
• Compare los resultados obtenidos en a), c) y d).
Repita incisos c) a e) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los

resultados y escriba sus conclusiones.
•Calcule, haciendo uso del concepto de frecuencia relativa, la P(W>0.5) y la P(W<0.3), para el
caso b) en que considera 10000 muestras.
a)
E[ W ] = 0.5
VAR[W ]= 0.0833
b)
>> w=rand(10000,1);
>> plot(w(1:100))
c)
» mediaw=0;
» suma=0;
» for i=1:10000
suma=suma+w(i);
end
d)
» mean(w)
ans =
0.5052
» std(w)^2
ans =
0.0841
e)
los resultados de las tres formas son iguales
f)
Lo mismo para 1000 muestras:
» w=rand(1000,1);
» mean(w)
ans =
0.5172
» std(w)^2
ans =
0.0814
Se ve que cuanto mas grande es el vector que se usa mas parecidos son los resultados al
resultado teórico.
g)
» w=rand(10000,1);
P(W>0.5)
» sup=0;
» for i=1:10000
if w(i)>0.5
sup=sup+1;
end;
end;
» P=sup/10000
P=
0.5107
P(W<0.3)
» inf=0;
» for i=1:10000
if w(i)<0.3
5
inf=inf+1;
end;
end;
» P=inf/10000
P=
0.2946
Actividad 3:
Considere nuevamente las variables aleatorias con distribución normal X e Y del ejercicio 1.
• Utilizando la función randn, genere un vector de 10000 muestras independientes para X y

uno para Y
• Grafique los primeros 100 valores de cada uno.
Encuentre el histograma de frecuencias de ambas variables utilizando la función hist. Realice

los diagramas de barras correspondientes.
•Estime la función densidad de probabilidad para las dos variables a partir de los histogramas
obtenidos en
c). Grafique en un mismo gráfico la fdp real y la estimada para cada caso.
Repita incisos b) a d) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los

resultados y escriba sus conclusiones.
a)
>> x=randn(10000,1);
>> aux=randn(10000,1);
>> y=1/2*aux+5
b)
>> subplot(2,1,1)
>> plot(x(1:100))
>> subplot(2,1,2)
>> plot(y(1:100))
c)
>> intervalos=30;
[Nj abscisax]=hist(x,intervalos);
bar(abscisax,Nj)
d)
>> rangox=max(x)-min(x);
deltax=rangox/intervalos;
[Njx abscisax]=hist(x,intervalos);
Ntx=sum(Njx);
areax=Ntx*deltax;
fx=Njx/areax;
gx=-4:0.1:4;
gaussx=1/sqrt(2*pi)*exp(-gx.^2/2);
plot(abscisax,fx,gx,gaussx)
e)
» x=randn(1000,1);
» aux=randn(1000,1);
» y=1/2*aux+5;
» intervalos=30;
» [Njx abscisax]=hist(x,intervalos);
» bar(abscisax,Njx)
Actividad 4:
Verificación experimental del Teorema del Limite Central
Considere 12 V.A. independientes, y cada una de ellas uniformemente distribuidas entre 0 y 1.

Sea la nueva
V.A. Z, la suma de dichas variables. Sea Y=Z/12. Encuentre en forma teórica la media y la
varianza de Y.
• Genere 12 variables aleatorias uniformemente distribuidas entre 0 y 1.
• Genere una nueva variable Y definida como el promedio de las variables generadas en b).
Grafique, utilizando la función subplot, los primeros 100 valores de una de las variables
uniformes, y de la
variable Y.
• Estime la fdp, la media y la varianza de Y, utilizando la función hist.
• Compare los valores obtenidos en e) con los calculados en a).
• Grafique superpuestas la distribución teórica con la estimada.
a)
Si Z=ð Xn entonces:
E[Z] = ð E[Xn] Var[Z] = ð Var[Xn] + ðð Cov [Xn,Xm]
Por ser independientes e idénticas: Cov[Xn,Xm] = E[Xn*Xm]−E[Xn]*E[Xm]=0
Luego:
Var[Z] = ð Var[Xn]=n*Var[Xn]
S esta distribuida uniformemente entre 0 y 1: E[Xn]= 1⁄2 E[Y] = 12
La varianza de cada Xn: Var[Xn] = E[Xn^2] − E[Xn]^2 = 1/2 −1/4 = 1/12 = 0.083
Var[Y] = 0.0069
b)
» z=rand(12,10000);
c)
» Y=sum(z)/size(z,1);
d)
» subplot(2,1,1)
» plot(z(1:100))
» subplot(2,1,2)
» plot(Y(1:100))

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NOMBRE: Melissa Jhazmin Cardozo Soza 4-A

• Sea w una v.a. uniformemente distribuida entre 0 y 1. Calcule su media y su varianza

• Compare los resultados obtenidos en a), c) y d).

Repita incisos c) a e) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los

Lo mismo para 1000 muestras:

• Utilizando la función randn, genere un vector de 10000 muestras independientes para X y

• Grafique los primeros 100 valores de cada uno.

Encuentre el histograma de frecuencias de ambas variables utilizando la función hist. Realice

Repita incisos b) a d) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los

Verificación experimental del Teorema del Limite Central

Considere 12 V.A. independientes, y cada una de ellas uniformemente distribuidas entre 0 y 1.

• Genere 12 variables aleatorias uniformemente distribuidas entre 0 y 1.

• Estime la fdp, la media y la varianza de Y, utilizando la función hist.

• Compare los valores obtenidos en e) con los calculados en a).

• Grafique superpuestas la distribución teórica con la estimada.

E[Z] = ð E[Xn] Var[Z] = ð Var[Xn] + ðð Cov [Xn,Xm]

Por ser independientes e idénticas: Cov[Xn,Xm] = E[XnXm]−E[Xn]E[Xm]=0

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