Guia05
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Departamento de Matemática.
2. Identifique las siguientes ecuaciones diferenciales con los campos de direcciones y justifique su elección:
a) ẋ cost b) ẋ x t c) ẋ cosx d) ẋ x
i) ii)
iii) iv)
6. Considere la ecuación diferencial autónoma(*) dw gw donde gw esta dada por la gráfica:
dt
7. Suponga que y x es una solución de la ecuación dy ya − by , donde a y b son constantes positivas. (*)
dx
a. Por inspección, determine dos soluciones constantes de la ecuación.
b. Sólo con la ecuación diferencial, determine intervalos, en el eje y , en los que la solución y x no constante, sea
creciente. Haga lo mismo en los intervalos que sea decreciente.
c. Use sólo la ecuación diferencial , explique por qué y a es la ordenada al origen de un punto de inflexión de la
2b
gráfica de una solución no constante y x.
d. En los mismos ejes coordenados trace las gráficas de las dos soluciones constantes determinadas en el inciso (a) . Estas
soluciones constantes dividen al plano XY en tres regiones. En cada región, trace la gráfica de una solución no
constante y x cuya forma estará indicada por los resultados de los incisos (b) y (c) .
8. El campo de direcciones de dy/dx = 4x/y aparece en la figura 1:
a. Verifique las líneas rectas y = ± 2x son curvas solución, siempre que x ≠ 0.
b. Bosqueje la curva solución con condición inicial y(0) = 2.
c. Bosqueje la curva solución con condición inicial y(2) = 1.
d. ¿Qué puede decir acerca del comportamiento de las soluciones anteriores cuando x → +∞? ¿Y cuando x → - ∞?
9. El campo de direcciones de dy/dx = 2x + y aparece en la figura 2:
a. Bosqueje la curva solución que pasa por (0, -2). A partir de este bosquejo, escriba la ecuación para la solución.
b. Bosqueje la curva solución que pasa por (-1, 3).
c. ¿Qué puede decir acerca de la solución en la parte (b) cuando x → +∞? ¿Y cuando x → - ∞?
10. La ecuación logística para la población de cierta especie (en miles) está dada por dp/dt = 3p – 2p2
a. Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cómputo o el método de las isoclinas.
b. Si la población inicial es de 2000 (es decir, p(0) = 2), ¿qué puede decir acerca de la población límite lím p (t ) ?.
t → +∞
c. Si p(0) = 0.5, ¿Cuál es el valor de lím p (t ) ?
t → +∞
d. ¿Podría una población de 3000 disminuir hasta 500?
11. Utilice la línea de fase para predecir el comportamiento asintótico (cuando t → +∞) de la solución que satisface la condición inicial dada.
a) y’ = y2 – 7y + 10, y(0) =3 b) y’ = cos (y), y(0) = 0 c) y’ = sen2(y), y(0) = π/2
12. Bosqueje un diagrama de bifurcación, interpretando s en la ecuación como un parámetro que varía de -2 a 2.
a) y’ = y2 – 7y + 10, y(0) =3 b) y’ = cos (y), y(0) = 0 c) y’ = sen2(y), y(0) = π/2
Figura 1 Figura 2
Respuestas: P
2) d) → i) a) → ii) c) → iii) b) → iv), 3) limP(t ) = Pe , punto de equilibrio Pe
t →∞
4) a) N b) N t
B t 5) a) b)
N=
α
B −α
N= N=
2α 2B
t N= α
−
B
5) c) d) 7) a) y = 0 y = a/b d) y
b) y = Φ (x) crece en ]0 , a/b[ y
decrece en ]- ∞ , 0[ , ]a , +∞[ x
2
c) y’ = ya – by y’’ = a – 2by
y’’ = 0 → y = a / 2b
8) b) c) 10) a)
b) lim P(t ) = 3 c) lim P(t ) = 3
t →∞ 2 t →∞ 2
d) No