Matemática Aplicada

Unidad I

DERIVADAS: APLICACIONES MECÁNICAS

1. CINEMÁTICA

La cinemática es el estudio del movimiento sin considerar las fuerzas u otros

factores que influyen sobre el mismo.

1.1. MOVIMIENTO RECTILINEO

Es el realizado por un punto P a la largo de una línea recta, que, por

conveniencia, escogeremos como eje x. Los símbolos vectoriales se
omitirán en esta parta.

POSICIÓN
La posición del punto P en un instante cualquiera t se expresa en función
de su distancia x a un origen fijo sobre el eje x. La distancia x será
negativa o positiva de acuerdo con el convenio normal de notación.

1.2. VELOCIDAD MEDIA

La velocidad media vm del punto P durante el intervalo de tiempo entre t

y t + ∆t, durante el cual su posición varía de x a t + ∆t, es el cociente
∆v/∆t. Matemáticamente, se escribe:

∆x
vm =
∆t
(1)

1.3. VELOCIDAD INSTANTÁNEA

La velocidad instantánea v del punto P en el instante t es el límite de la

velocidad media (definida anteriormente) cuando el incremento de tiempo
tiende a cero como límite. Matemáticamente, se escribe:

∆x dx
v = lim =
∆t → 0 ∆t dt
(2)

1
Matemática Aplicada

1.4. ACELERACIÓN MEDIA

La aceleración meda am del punto P durante el intervalo de tiempo entre t

y t + ∆t, durante el cual su velocidad varía de v a v +∆v , es el conciente
∆v/∆t. Matemáticamente, se escribe

∆v
am =
∆t
(3)

1.5. ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

La aceleración instantánea a del punto P en el instante t es el límite de la

aceleración media (definida anteriormente) cuando el incremento de
tiempo tiende a cero como límite. Matemáticamente, se escribe.

∆ v dv d2x
a = lim = =
∆t → 0 ∆t dt dt 2
(4)

En el caso de aceleración constante a = K son válidas las siguientes

fórmulas.
v = vo + at
(5)
v = v + 2as
2 2
o

(6)
1 2
s = vot + at
2
(7)
1
s = ( v + v o )t
2
(8)
En donde:

vo = velocidad inicial.
v = velocidad final.
a = aceleración constante.
t = tiempo.
s = desplazamiento.

2
 Matemática Aplicada

1.6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Movimiento armónico simple es un movimiento rectilíneo en el que la

aceleración es proporcional al desplazamiento con signo negativo.
Matemáticamente, se escribe.

a = -k 2 x
(9)

Como ejemplo, veamos que la ecuación (9) la satisface un punto que

vibra de modo que su desplazamiento x viene dado por la ecuación.

x = A sen ω t
(10)
En donde:

A = Amplitud medida linealmente.

w = frecuencia circular o angular constante en radiantes por segundo.
t = tiempo en segundo.

Así:

x = ASen ω t
dx
v= = AωCosωt
dt
d2 x
a= 2
= −ω2 ASenωt = −ω2 x
dt

EJEMPLO 1

Un punto P se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la

ecuación x = 4t 3 + 2t + 5 en donde x está en metros y t en s. Determinar
el desplazamiento, la velocidad y la aceleración cuando t = 3 s

Solución:

x = 4t 3 + 2t + 5 = 4(3 3 ) + 2 (3) + 5 = 119 m

v = dx/dt = 12t 2 + 2 = 12 (3 2 ) + 2 = 110 m/s
a = dv/dt = 24t = 24 (3) = 72 m/s 2

3
Matemática Aplicada

EJEMPLO 2

Un punto se mueve a lo largo de una línea recta de modo que su

desplazamiento es:
s = 8t2 + 2t, en donde s esta en m y t en s.
Representar el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función
del tiempo.

Solución:

s = 8 t 2 + 2t
v = ds/st = 16t + 2
a = dv/dt = d 2 s/dt 2 = 16

Así se ve que la aceleración es constante, 16 m/seg2.

Para obtener las graficas tabularemos t, s, v, y a.

t s = 8t2 + 2t v = 16t + 2 a = 16
0 0 2 16
2 36 34 16
5 210 82 16
10 820 162 16

4
 Matemática Aplicada

s (cm )
800

600
s = 8t 2 + 2t

4 00

200

0 t (s)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v
t s
∫ vdt = ∫ dv = s − s 0
t0 s0

0 t (s)
t
a t v
∫ a d t= ∫ d v = v − v 0
a t0 v0

0 t (s)
t

De las ecuaciones:

v = ds/st = 16t + 2
a = dv/dt = d2 s/dt 2 = 16

La integración entre los límites adecuados:

t v
∫ adt= ∫ dv = v − v0
t0 v0

t s
∫ vdt = ∫ dv = s − s0
t0 s0

En donde:

t v
∫ adt= ∫ dv = v − v0 = área bajo el diagrama a-t en el intervalo de
t0 v0

tiempo comprendido entre t o y t , por lo tanto representa la variación

de la velocidad.

5
Matemática Aplicada

a t v
∫ adt= ∫ dv = v − v0
t0 v0

0 t (s)
t
t s
∫ vdt = ∫ dv = s − s0 = área bajo el diagrama v − t en el intervalo de
t0 s0

tiempo comprendido entre t o y t , por lo tanto representa la variación

del espacio recorrido.

v
t s
∫ vdt = ∫ dv = s − s 0
t0 s0

0 t (s)

EJEMPLO 3
Un tren varía su velocidad uniformemente de 60 km/h a 30 km/h en una
distancia de 500 m. ¿Cuál es su aceleración?

Solución:

Datos:

v o = 60 km/h = 16,7 m/s.

v = 30 km/h = 8,3 m/s
s = 500 m

La aceleración a es constante porque la velocidad varía uniformemente

en una línea recta.

v 2 = v o2 + 2as

6
 Matemática Aplicada

v 2 - v o2 (8,3 m/s) 2 - (16,7 m/s) 2

a= = = - 0,21 m/s 2
2s 2(500 m)
Que a veces se expresa diciendo que existe una deceleración de 0,209
m/s2.

EJEMPLO 4

La aceleración de un punto en un movimiento rectilíneo viene dada por la

ecuación:

a = -9,8.

Se sabe que la velocidad v es cero y el desplazamiento x es +25 cuando

t es igual a cero. Determinar la ecuación del desplazamiento.

Solución

Como sucede con frecuencia en los problemas físicos, la aceleración

puede obtenerse por observación y sustituirse en la ecuación diferencial
de segundo orden. La resolución es sencilla puesto que las variables x y t
pueden separarse. Escribamos la ecuación dada del modo siguiente:

a = dv/dt = -9,8

Luego:

v t
dv = -9,8 dt. → ∫ dv = ∫ − 9,8dt
v0 t0

v − v o = -9,8t − t 0
v0 = 0 cuando to = 0

La ecuación para la velocidad es:

v = dx / dt = −9,8t.

Luego:
x t
dx = −9,8tdt → ∫ dx = ∫ − 9,8tdt
x0 t0

9,8 2 2
x − x0 = − (t − t0 )
2

7
Matemática Aplicada

x = +25 cuando t0 = 0
La ecuación para el desplazamiento es:
x = −4,9t 2 + 25.

EJEMPLO 5

Una partícula se mueve sobre

s (cm )
una línea recta horizontal con 180
una aceleración de a = 63 s. 144
s = ( t + 1) 3
108
Cuando t = 2s , su 72
desplazamiento es s = +27m y 36
su velocidad v = +27m / s . t (s)
0
Calcular la velocidad y la v (m /s)
90
aceleración de la partícula
72
cuando t = 4s .
v = 3 ( t + 1) 2
54

Solución: 36
18
t (s)
Como la aceleración viene dada 0
2
a (m /s )
en función del desplazamiento,
30
utilizaremos las ecuaciones: a = 6 ( t + 1)
24
dv
a= → dv = adt 18
dt
12
(a)
6
ds
v= → ds = vdt 0 t (s)
dt 1 2 3 4 5
(b)
Al combinar a y b:
vdv = ads
vdv = 63 sds
∫ vdv = 6 ∫ sds
3

v2 s4 / 3
=6 + C1 Luego: v 2 = 9s 4 / 3 + C 1
2 4/3

Cuando v = +27 s = +27 , C1 = 0

Luego: v = 9s 4 / 3 = 3s 2 3

8
 Matemática Aplicada

Utilicemos ahora:

v = ds / dt

Reemplazando:

ds
3s 2 / 3 =
dt
ds / s 2 3 = 3dt
−2 / 3
∫s ds = 3 ∫ dt
s1 / 3
= 3t + C 2
1/ 3
3s 1 3 = 3 t + C 2 .

Cuando s = +27 t = 2, C2 = 3

Luego: s = ( t + 1) .
3

Por consiguiente, las ecuaciones son

s = ( t + 1)3
v = 3( t + 1) 2
a = 6( t + 1)

Cuando t = 4s : s = 125m , v = 75m / s a = 30m / s 2

Se ha dibujado una representación de estas magnitudes en función del

tiempo.

EJEMPLO 6

En el mecanismo de vaivén o biela triangular de la figura la manivela OA

está girando con una velocidad angular constante ω rad/s. Deducir la
expresión del desplazamiento, velocidad y aceleración del elemento
deslizante.

9
Matemática Aplicada

A
ω
θ O
B

Solución

B representa la posición del extremo izquierdo del elemento cuando θ =

0º. El desplazamiento x puede escribirse x = OB − l − OACos θ .

Además:

OB = l + OA , por tanto:
x = l + OA − l − OACosθ = OA(1 − Cosθ)

Sea: OA = R, además como la manivela está girando con velocidad

angular constante ω , la expresión ωt puede sustituir a θ .

Luego:

x = R(1 − Cosωt )
dx
v= = RωSenωt y
dt
dv
a= = Rω2 Cosωt
dt

10
 Matemática Aplicada

PROBLEMAS PROPUESTOS 1

1. Una partida tiene un movimiento en línea recta de acuerdo con la

ecuación x = t 3 - 3t 2 - 5 estando x en m y t en s . ¿Cuál es el
desplazamiento en el lapso en que la velocidad varía de 8 m/s a
40 m/s ?
Sol: x = 121,35m

2. Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de modo que su

desplazamiento medido desde un punto fijo sobre dicha línea viene
dado por s = 3t 2 + 2t . Hallar el desplazamiento, la velocidad y la
aceleración al final de los 3 s.
Sol: 33 m , 20 m / s , 6 m/s 2

3. El movimiento de un partícula está definido por la relación

s = t 4 - 3t 3 + 2t 2 - 8 , estando s en m y t en s .
• ••
Determinar la velocidad s y la aceleración s cuando
t = 2s
• ••
Sol: s = + 4m/s s = + 16 m/s 2

4. La curva velocidad-tiempo de un punto que se mueve sobre una línea

recta está dibujada en la figura. ¿Qué distancia recorre el punto en
2 s?
v (m/s)

1
v = 4Cos πt
4

0 t (s)
1 2

Sol: x = 5,09 m 5.
Un objeto se mueve en línea recta con una aceleración constante
de 2 m/s. ¿Cuánto tiempo tardará en variar su velocidad de 5 a
8 m/s?
¿Qué variación de desplazamiento tendrá lugar en este intervalo
de tiempo?
Sol: t = 1,5 s s = 9,95 m

11
Matemática Aplicada

5. El movimiento de una partícula viene dado por la aceleración

a = t 3 - 2t 2 + 7 estando a en m / s2 y t en s . La velocidad es
de 3,58 m/s cuando t = 1 s y el desplazamiento vale +3,39 m
cuanto t = 1 s .
Calcular el desplazamiento, la velocidad y la aceleración cuando
t = 2 s.
Sol: s = 15,9 m v = 9,67 m/s a = 7 m/s 2

6. Se deja caer una piedra desde un globo que se está elevando con
velocidad constante de 9 m/s. Si la piedra tarda 10 s en alcanzar el
suelo, ¿a qué altura estaba el globo en el momento de dejar caer la
piedra?
Sol: s = 400 m

7. Un globo se está elevando con una velocidad de 1 m/s cuando se

arroja un saco de lastre. Si su altura en el instante en que se suelta el
saco es 84 m, ¿cuánto tiempo (s) tardará este lastre en llegar al
suelo?
Sol: t = 4,23s

8. Una partícula se mueve sobre una línea vertical con una aceleración
a = 2 v . Cuando t = 2s , su desplazamiento es s = 64 / 3m y su
velocidad v = 16m / s . Determinar las ecuaciones del
desplazamiento, la velocidad y la aceleración y evaluar el valor para
cada una de estos parámetros cuando t = 3s
1
Sol: s= ( t + 2) 3 v = (t + 2) 2 a = 2(t + 2)
3
Cuando t = 3 s: s = 41,7 m v = 25 m/s a = 10 m/s 2

9. La aceleración de un punto que se mueve sobre una línea vertical

viene dada por la ecuación a = 12t − 20 . Se sabe que su
desplazamiento es s = −10m en el tiempo t = 0 y que su
desplazamiento es s = +10m en el tiempo t = 5s . Deducir la
ecuación de su movimiento.
Sol: s = 2t 3 - 10t 2 + 4t -10

10. Completar los diagramas de velocidad vs. Tiempo y aceleración vs

tiempo del movimiento lineal de un pistón hidráulico el cual se mueve
controlado por tecnología proporcional.

12
 Matemática Aplicada

L (cm)

L = Posición
a = Aceleraciòn
a4
v = Velocidad
RECTA

v3 v4
PARABOLA
a3

a2 v2
-a2
v1 v5

a1
-a1 t (s)

VSALIDA (cm/s)

t (s)

VENTRADA

a+ (cm/s 2 )

t (s)

a-

11. Determinar el desplazamiento lineal, la velocidad y la aceleración de

la cruceta C en el mecanismo biela-manivela para una posición
cualquiera de la manivela R, que está girando con una velocidad
angular constante de ω rad/s.
Determinar la velocidad del pistón cuando l = 4 cm, R = 10 cm,
θ = 30 . n = 200RPM
o

13
Matemática Aplicada

l
ω
R
h
C
φ θ A
D
X

R2
Sol: x = R (1 − Cos θ ) + Sen 2 θ
2l
R
v = R ω ( Sen θ + Sen 2 θ )
2l
R
a = R ω 2 ( Cos θ + Cos 2 θ )
l

2. RAZÓN INSTANTÀNEA

2.1. RAZÓN

f ( x ) − ( f ( x 0 ) Cambio de ordenadas
=
x − x0 Cambio de abscisas

Razón Instantánea al límite:

f(x) − f(x0 )
lim
x→ x0 x − x0

Existen muchas aplicaciones de estos dos conceptos. Por ejemplo, la

cantidad de agua Q (en litros) que hay en un recipiente es función del
tiempo t . Si el agua entra y sale, Q cambia en una cantidad ∆Q de un
tiempo t a un tiempo t + ∆t.
La razón promedio de cambio de Q con respecto a t es:

∆Q
(l / min)
∆t

14
 Matemática Aplicada

2.2. RAZÓN INSTANTÁNEA

dQ ∆Q
= lim (l/min) .
dt ∆t→0 ∆t

EJEMPLO 1

Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio es llenado con un caudal de

aceite de 4 l/min. Determine la velocidad (cm/s) con que sube la
superficie del aceite.

Solución

El volumen de un cilindro es:

πd2 Q = 4 l/min
V= h
4
Derivando el volumen y la altura
con respecto al tiempo (d = cte) v
πd 2
dV = dh
4 h V
dV πd 2 dh
= d
dt 4 dt

πd 2
Q= v
4
Reemplazando el valor de: Q = 4 l/min = 4000 cm3/min; d = 20 cm.
v = 12,7 cm/min = 0,21 cm/s

EJEMPLO 2

Dos barcos salen simultáneamente de un puesto: uno viaja hacia el Sur a

una velocidad de 20 km por hora, el otro hacia el Este a una velocidad de
30 km por hora. Al final de 3 horas, ¿cuál es la velocidad de separación
de los dos barcos?

15
Matemática Aplicada

Solución

Sea:

z La distancia entre los dos barcos.

20t La distancia hacia el Sur recorrida por el primer barco.
30 t La distancia hacia el Este recorrida por el segundo barco.
t El tiempo transcurrido en horas desde que dejaron el puerto.

Entonces:

20 t
z

30 t

z 2 = (20t ) 2 + (30t ) 2 ; ⇒ z 2 = 1300t 2 ⇒ z = 1300t

dz
= 1300 = 36.06 km por hora aproximadamente.
dt

EJEMPLO 3

A un cono recto circular invertido le entra agua a razón de 2 cm3 por

minuto. La altura del cono es dos veces su diámetro. ¿A qué rapidez sube
la superficie del agua (cm/minuto) cuando la misma alcanza una
profundidad de 10 cm en el cono?

Solución

V Volumen del agua en el cono,

h Profundidad (cm)
r Radio superior (cm)
t tiempo (minutos)
dV Caudal
=
dt
dh Rapidez con que sube la superficie de agua.
=
dt
Entonces:
1 2 con h = 4r
V = πr h
3

16
 Matemática Aplicada

1 h 2 π 3
V= π( ) h = h
3 4 48
dV d π h 3 dh
= ( )
dt dh 48 dt
dV π 2 dh
= h
dt 16 dt

2r

h = 4r
10 cm

Al remplazar las cantidades conocidas por sus valores se tiene:

π 2 dh
2= 10
16 dt
dh 0.32 cm
= = 0.102
dt π min uto

EJEMPLO 4

Se arroja una piedra en un estanque de agua tranquila. El radio de la

onda generada aumenta a una velocidad de 4 pies por segundo, cuando
el radio es de 10 pies. ¿A que velocidad aumenta el área del círculo de
agua perturbada?

Solución:
A = πr 2 .

17
Matemática Aplicada

dA d dr dr
= ( πr 2 ) = 2πr
dt dr dt dt
2π.10.4 = 80 π = 251,33 pie / s

v
r = 10
pies

EJEMPLO 5

Un hombre de 1,80 m de estatura se aleja a una velocidad de 3 Km/h de

una luz que está a 4,5 m sobre el nivel del piso. Cuando su distancia
horizontal de la luz es de 3,6 m:

1. ¿A qué velocidad crece su sombra (Km/h)?

2. ¿A qué velocidad se mueve la parte más alejada de la sombra con
respecto a la luz (Km/h)?

Solución

1. Sea x la distancia horizontal que separa al hombre de la luz y la

longitud de su sombra:

z
4,50 m
1,80 m
sombra

x = 3,6 m y

18
 Matemática Aplicada

dy
Se pide = velocidad con que crece la sombra
dt

En la figura, por semejanza de triángulos se tiene:

x+y y
= ⇔ 1,8 x = 2,7 y
4,5 1,8
dx dy
1,8 = 2,7
dt dt

Remplazando los valores:

dy dy
1,8 (3) = 2,7 ⇒ = 2 km / h
dt dt

dz
2. Se pide = Rapidez con la que se mueve la sombra con respecta a
dt
la luz.

4,50 m z dz
1,80 m dt

sombra
dx dy
dt dt
x = 3,6 m y

Sea: z = ( 4.5)2 + ( x + y )2 = ( 4.5)2 + u2

dz u du
=
dt (4.5)2 + u 2 dt

Donde: x + y = u

Luego:

dz u dx dy
= ( + )
dt (4.5)2 + u 2 dt dt

19
Matemática Aplicada

Cuando:
x = 3.6 → y = 2,4 →u=6

También:
dx dy
= 3 (Dato); = 2 (Caso a)
dt dt

Luego reemplazando estos valores:

dz 6 km
= ( 3 + 2) = 4
dt 4 .5 + 6
2 2 h

EJEMPLO 6

Un balón esférico pierde aire a razón constante de 2 cm3/s. ¿Con que

razón decrece el radio del balón (cm/s) cuando su diámetro es de 1 m.

Solución

Sea:
R = Radio del balón
V = Volumen del balón.

Luego.
4
V= πR 3
3

Derivando con respecto al tiempo se tiene:

dV dR
= 4πR 2
dt dt

3
Q = 2 cm /s

R
v

20
 Matemática Aplicada

Donde:
dR 1 dV
=
dt 4πR 2 dt

dV cm 3
Donde: = −2
dt s

Luego:
dR 1 cm
= ( −2) = −0.00006
dt 4π50 2
s

EJEMPLO 7

En una fábrica de cemento se deposita arena de tal manera que forma

una pila cónica cuya altura siempre es igual a los 4/3 del radio de la base.

1. ¿Con qué rapidez aumenta el volumen cuando el radio de la base es

de 90 cm y el cual aumenta a su vez a una velocidad de 1/8 cm por
minuto?
2. ¿Con qué rapidez aumenta el radio cuando tiene 1,80 m y su
volumen aumenta a una razón de 3 m3 por minuto?

Solución

1. Sea: r = radio de la base y h = altura de la pila en el tiempo t .

1 2
Sabemos que el volumen de la pila cónica es: V = πr h Donde:
3
4
h= r
3

Luego:
1 2 4 4
V= πr ( r ) = πr 3
3 3 9
dV 4 2 dr
= πr
dt 3 dt

Reemplazando los datos:

dr 1
r = 90 =
dt 8
dV 4 1 cm3
= π902 = 1350 π
dt 3 8 min

21
Matemática Aplicada

h = 4/3r

dr 1 cm
=
dt 8 s
r = 90

EJEMPLO 8

Un punto se mueve sobre la parte superior de la parábola semicúbica

y 2 = x 3 de tal manera que su abscisa aumente 5 unidades por segundo
cuando x = 4 . ¿Con qué rapidez cambia la ordenada?

Solución:

Datos: Y
dx
=5
dt
dy
= Incognita
dt
Derivando y 2 = x 3 con respecto a t se X
obtiene:
dy dx
2y = 3x 2 . y2 = x3
dt dt
Cuando x = 4, y = 8 .
Al remplazar estos valores se obtiene:
dy dy unidades
2(8) = 3( 4 2 ).5 ⇒ = 15
dt dt s

22
 Matemática Aplicada

PROBLEMAS PROPUESTOS 2

1. Un hombre camina a 7 ½ km/h hacia la base de una torre que tiene

18 m de altura. ¿Con qué rapidez se acerca a la cima de la torre
cuando su distancia de la base es 24 m?
Resp.: Se acerca a 6 km/n

2. Un punto se mueve sobre la parábola y 2 = 12 x , de manera que la

abscisa aumenta uniformemente 2 cm/s. ¿En qué punto aumentan la
abscisa y la ordenada a la misma razón?
Resp.: (3,6)

3. Halle los valores de x para los que la rapidez de variación de la

función x 3 − 12x 2 + 15 x − 13 es cero.
Resp.:3 y 5

4. Un buque navegaba hacia el Sur a una velocidad de 6 millas por

hora; otro navegaba hacia el Este a una velocidad de 8 millas por
hora. A las cuatro de la tarde el segundo cruzó la ruta del primero en
el punto por el que éste había pasado dos horas antes.
• ¿Cómo variaba la distancia entre los buques a las tres de la tarde?
• ¿Cómo a las cinco de la tarde?
• ¿Cuándo no variaba la distancia entre ellos?
Resp.:
• Disminuía 2,8 millas por hora;
• Aumenta 8,73 millas por hora;
• A las 3 h 17 min de la tarde.

5. Las aristas de un tetraedro regular miden 10 cm; si aumentan 0,1cm

por minuto, calcule la rapidez de aumento del volumen.

6. El diámetro y la altura de un cilindro circular recto son, en un cierto

instante, 10 y 20 cm, respectivamente. Si el diámetro aumenta a
razón de 1 cm por minuto ¿qué alteración de la altura mantendrá el
volumen constante?
Resp.: Una disminución de 4 cm/min.

7. El radio de la base de cierto con aumenta a razón de 3 cm por hora y

la altura disminuye a razón de 4 cm por hora. Calcule cómo varia el
área total del cono cuando el radio mide 7 cm y la altura 24 cm.
Resp.: Aumenta 26 π cm2/h

23
Matemática Aplicada

8. Un gasómetro contiene 1000 m3 de gas a la presión de 300 gf por

cm2 . Si la presión disminuye a razón de 3 gf por cm2 por hora, ¿con
que rapidez aumentará el volumen? (Dése por sentada la ley de
Boyle: pv = c. )
Resp.:10 m3/h

9. La ley adiabática para la expansión del aire es PV 1,4 = c. Si en un

tiempo dado se observa que el volumen es de 10 m3 y la presión es
de 50 kgf por centímetro cuadrado, ¿cuál es la alteración de la
presión si el volumen disminuyen un metro cúbico por segundo?
Resp.: Aumenta 7 kgf/cm2 por segundo

10. Se echa agua en un recipiente hemisférico de 35 cm de diámetro a

razón de 16 cm3 po segundo.¿Con qué rapidez sube el agua:
• Cuando ha llegado a media profundidad;
• En el momento de rebosar?
(El volumen de un segmento esférico de una base es πrh 2 − 1 πh 3 ,
3
siendo h la altura del segmento.)

11. El gas de un globo esférico se escapa a razón de 1000 cm 3 por

minuto. En el instante en que el radio es 25 cm: a) ¿con qué rapidez
disminuye el radio?, b) ¿con qué rapidez disminuye el área de la
superficie?
Resp.: b) 80 cm2/min

12. Una vía de ferrocarril cruza una carretera bajo un ángulo de 60º. Una
locomotora dista 160 m del cruce y se aleja de él a la velocidad de
100 km por hora. Un automóvil dista del cruce 160 m y se acerca a él
a la velocidad de 50 km por hora ¿A qué razón se altera la distancia
entre los dos?
Resp.: 25 km/h o

24