Expresiones

Un término es toda 
expresión algebraica cuyas 
partes no están separadas 
por los signos + y ─. 

Algebraicas
En todo término algebraico 
se distinguen: el signo, el 
  coeficiente, la parte literal 
  y el grado. 
   
Varios siglos después de la aparición de la Aritmética el   
hombre llegó al concepto abstracto de número, base del  El grado de un término puede ser total (suma de los 
álgebra actual.  exponentes de sus factores literales) o referido a una letra 
  (exponente de dicha letra). 
En álgebra utilizamos relaciones numéricas en las que una o  7 grado total: 8
p. ej.  ab5c 2    
más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman  3 grado respecto a "b": 5
variables o incógnitas.   
  Entre las expresiones algebraicas más importantes están los 
Con las cantidades algebraicas ese efectúan las mismas  polinomios (suma de varios términos) 
operaciones que con las aritméticas: suma, resta, 
multiplicación, división, potenciación, radicación,  p. ej. x4  3x3  15x2  19 x  30  
logaritmación, etc…   
  este es un polinomio en la variable “x”; cada sumando es un 
En álgebra se utilizan tres tipos de signos:  monomio. Puede haber polinomios en dos, tres o más 
a) de operación: +, ─, ·, ÷,…  variables. 
b) de relación: <, >, ≤, ≥, =,     
c) de agrupación: ( ), [ ], { }  Un monomio es la mínima expresión algebraica formada por 
  un solo término algebraico. 
Una expresión algebraica es toda combinación de números y   
letras unidos entre sí por medio de operaciones de suma,   
resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de la  Un polinomio en x es la suma (de monomios) de la forma: 
raíz aritmética. 
a0  a1x  a2 x 2  a3 x3    an x n  
 
Si sustituimos en una expresión algebraica las variables por  en donde n es un entero no negativo y cada coeficiente ak  es 
números específicos, el resultado que obtenemos al realizar  un número real. 
las operaciones indicadas se llama valor numérico.   
   
Para x  2, el valor numérico de 3x 2  5 x  1 es:  Si an0 se dice que el polinomio tiene grado n  
p. ej.    Cada expresión akxk es un término del polinomio. 
3(2) 2  5(2)  1  12  10  1  23  El coeficiente ak  de la potencia más alta de x es el 
  coeficiente principal del polinomio. 
EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES 
 El coeficiente a0  es de grado 0 y es el término 
Cuando tienen el mismo valor numérico para cualquier 
independiente del polinomio. 
conjunto de valores que tengan sus letras. 
 
p. ej.  a  b 
2
y a 2  2ab  b 2   GRADO DE UN MONOMIO 
  Es la suma de todos los exponentes de sus variables. 
El dominio de una expresión algebraica está formado por   
todos los números reales que pueden representar las  MONOMIOS SEMEJANTES 

variables. Así, a menos que se indique de otra manera,  Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte 
suponemos que el dominio está formado por los números  literal (las mismas variables afectadas por los mismos 
reales que, cuando se sustituyen por las variables, hacen que  exponentes). 
la expresión tenga significado, en el sentido de que los  Los monomios semejantes que tienen coeficientes opuestos, 
denominadores no pueden ser iguales a cero y las raíces  se dice que son opuestos. 
siempre existen.   
GRADO DE UN POLINOMIO 
 
Es el mayor de los grados de los términos que lo forman. 
5 xy 7
p. ej. 3  2  Dominio: x  0 y y  1    
y 1 x POLINOMIO HOMOGÉNEO 
  Cuando todos sus términos son del mismo grado. 
Una expresión algebraica es:   
POLINOMIO ORDENADO 
 Entera cuando no tiene denominador algebraico ni radical. 
3 2 3 Se puede ordenar de forma creciente o decreciente con 
  p. ej. 3a  b ; 2 x 2  y 2  c 5 ; ab x   respecto a una de sus letras. 
5
 
 Fraccionaria cuando tiene denominador algebraico.  POLINOMIO COMPLETO 
3a  b ab 2 x3 Respecto a una variable si ésta figura con todos los grados 
  p. ej. ; 2 x3c 5 ;  
x 1
3
x y desde 0 hasta el mayor. 
 Racional cuando ninguna de sus letras está afectada por un   
signo radical o por exponente fraccionario.  IGUALDAD DE POLINOMIOS 
 Irracional cuando alguna de sus letras está afectada por un  Dos polinomios son iguales si tienen iguales los coeficientes 
signo radical o por un exponente fraccionario.  correspondientes a todos los términos del mismo grado. 
  p. ej. 4 y  x ; x3  1  y 2  5    
Por el nº de variables: una, dos, tres,...
  Clasificación 
  Por el nº de términos: monomio, binomio, trinomio,...  
de Polinomios 
  Por el grado: cero, uno, dos,...
 
 
1.0
Math Quick Reference Card ─   EXPRESIONES ALGEBRAICAS  (1)  ─   (cc) www.3con14.com
 
 Polinomios
El conjunto de los polinomios en una variable x se representa así:
División Entera de polinomios
 Recordemos que en el conjunto de los números enteros ,
m
 x  polinomios en x con coeficientes en  n
no es un número entero salvo que m sea mútiplo de n.

─ Suma y Producto de polinomios:  Algo parecido ocurre con el cociente de polinomios

Los polinomios, como expresiones algebraicas que son, se pueden sumar, p ( x)
restar y multiplicar utilizando las mismas reglas aritméticas y las mismas que, en general, no es un polinomio.
propiedades que las empleadas con los números. q ( x)

Para sumar o restar polinomios se agrupan todos los términos semejantes 5x

no representa ningún polinomio.
(monomios con igual parte literal). 7 x2  1
p. ej.
Ejemplo : 3x6 1 5
2 x 4  x3 4 x 2  x 2 pero  x si es un polinomio
sumar p( x)  q( x) 12 x 4
x 4
7 x 3
8 x 2
3x 1
p( x)  2 x 4  x3  4 x 2  x  2
x 4
6 x 3
12 x 2
4 x 1 Dados los polinomios p(x) y q(x) con grd p( x)  grd q( x),
q( x)   x 4  7 x3  8 x 2  3x  1
realizar la división entera entre p ( x) y q ( x) consiste en
Para multiplicar polinomios se utiliza la propiedad distributiva de los números
encontrar dos polinomios c( x) y r ( x) que verifiquen
reales, es decir, multiplicar cada término del primer polinomio por cada término
del segundo y sumar los monomios obtenidos. p( x)  q( x)  c( x)  r ( x)
x 3
3x 2
1 con grd r ( x)  grd q ( x)
Ejemplo :
x 3 p( x) es el dividendo y q( x) es el divisor, c( x) es el cociente y r ( x) es el resto
multiplicar p( x)  q( x)
 x4 3x 3
x Si r ( x)  0 la división es exacta y el polinomio p( x) es
p( x)  x3  3x 2  1 divisible por el polinomio q( x).
3x 3
9 x 2
3
q( x)  x  3
 x4 9 x 2
 x 3

Fórmulas fundamentales de multiplicación abreviada:

c( x)  x3  2 x  3
Binomio al cuadrado  a  b 2  a 2  b 2  2ab
r ( x)  20 x  10
Binomio al cubo  a  b 3  a3  3a 2b  3ab 2  b3
Diferencia de cuadrados a 2  b 2   a  b  a  b 
Suma de cubos a 3  b3   a  b   a 2  b 2  ab 

Diferencia de cubos 
a 3  b3   a  b  a 2  b 2  ab  Raíces de un polinomio.

 
Se dice que a es una raíz o cero de un polinomio p( x) cuando éste
Diferencia par a 4  b 4   a  b  a  b  a 2  b 2
se anula al sustituir x por a.
Trinomio al cuadrado a  b  c 2
 a  b  c  2ab  2ac  2bc
2 2 2
Un número real a es una raíz de un polinomio p  x  si p  a   0
por tanto:  x  a  es divisor de p  x   p  a   0
División por x-a: “regla de Ruffini”
es decir, las raíces de p( x) son las soluciones de la ecuación p ( x)  0
Se trata de un procedimiento más sencillo y rápido que el general para
dividir polinomios, siendo el divisor del tipo (x-a) Cuando los coeficientes de un polinomio p(x) son números enteros, los
posibles ceros racionales del polinomio se encuentran entre las fracciones
Ejemplo : que tienen por numerador un divisor del término independiente y como
3 0 7 2 3 1
dividir p( x) : q( x) denominador un divisor del coeficiente del término de mayor grado.
2 6 12 10 24 42
p( x)  3x5  7 x3  2 x 2  3x  1
3 6 5 12 21 43
q( x)  x  2 Descomposición factorial de polinomios
Resultado: c( x)  3x 4  6 x3  5 x 2  12 x  21 ; r ( x)  43
Un polinomio p(x) es divisible por otro polinomio q(x) si el resto de dividir p(x) por
─ Se deben escribir los coeficientes de todas las potencias de la letra q(x) es cero, es decir, si p(x) = q(x) · c(x)
ordenatriz con su signo; si falta alguna potencia su coeficiente es cero.
─ Los números que aparecen debajo de la línea horizontal son los coeficientes Un polinomio p(x) es primo o irreducible si no se puede expresar como producto
del cociente, sabiendo que éste es un grado menor al del dividendo. de dos polinomios, ambos de grado estrictamente menor que el de p(x).
─ El último término es el resto de la división.
A) Sacar factor común
─ También podemos utilizar la regla de Ruffini en estos casos: B) Sacar doble factor común
Métodos
 Cuando el divisor es un binomio de la forma (x+a) basta escribir (x-(-a)). C) Por ecuación de 2º grado
habituales
 Cuando el divisor es un binomio de la forma (a-x) cambiamos de signo D) Utilizar fórmulas abreviadas conocidas (binomio,…)
dividendo y divisor, obteniendo un cociente correcto pero un resto con E) Por la regla de Ruffini sucesivamente.
signo contrario, que deberemos cambiar para conseguir el correcto. Otros...
 Cuando el divisor es un binomio de la forma (ax-b) dividimos dividendo y
del divisor por a, obteniendo un cociente correcto pero un resto dividido 
Sacar Factor Común

Propiedad Distributiva
por a, que deberemos multiplicar por a para conseguir el correcto. A)

5 x5  10 x 4  15 x3  5 x3 x 2  2 x  3 
Teorema del resto
B) 3 x 2  2 xy  6mx  4my
El resto r de la división entera de un polinomio p(x) por (x-a) es el valor
numérico de p(x) cuando x = a, es decir, el resto r = p(a).  x  3 x  2 y   2m  3 x  2 y    3 x  2 y  x  2m 
C ) 3 x 2  4 x  15   a  x  x1  x  x2     3 x  5  x  3
 
Hallar el resto de la división 3x3  2 x  4 :  x  2  sin realizarla.  
 
p. ej.
p  2   3   2   2   2   4  24  4  4  24
3 D) x 2  y 2  4 yz  4 z 2  x 2  y 2  4 yz  4 z 2  x 2   y  2 z 2 

Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.)

  x   y  2 z    x   y  2 z     x  y  2 z  x  y  2 z 
E) 2 x 4  5 x3  5 x  2   x  1 x  1 x  2  2 x  1
El m.c.m. de dos o más polinomios descompuestos en factores primos es
igual al polinomio producto de todos los factores comunes y no comunes 2 5 0 5 2
con el mayor exponente.   x  2
2 4 2 4 2
─ Utilizado para sumar y restar fracciones algebraicas
2 1 2 1 0
El m.c.d. de dos o más polinomios descompuestos en factores primos es 1 2 1 1
  x  1
igual al polinomio producto de todos los factores comunes con el menor
2 1 1 0
exponente.
─ Utilizado para sacar factor común y para 1 2 1   x  1
─ simplificar una fracción algebraica en un solo paso 2 1 0   2 x  1
1.0
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