Introducion Algebra
Introducion Algebra
Introducion Algebra
EJEMPLO
Lenguaje usual Lenguaje numérico
La suma de dos números. a+b
Un número aumentado en cuatro unidades. x+4
El triple de un número. 3⋅m
El doble de un número
Un número disminuido en 3 unidades
La mitad de un número
El cuadrado de un número
El triple de un número
Un número aumentado en 5 unidades
La suma de 15 y 20 Sí No 15 + 20
La diferencia entre a y b
El cuadrado de c
La diferencia entre 15 y 9
El doble de 6
El triple de y
El doble de x más dos unidades
4 Escribe las frases en lenguaje numérico o algebraico, según corresponda. ADAPTACIÓN CURRICULAR
6 OBJETIVO 2
OBTENER EL VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras combinados con los signos de las operaciones
aritméticas: suma, resta, multiplicación, división y potenciación.
EJEMPLO
• El área de un cuadrado se obtiene multiplicando la medida de sus lados:
A = l ⋅ l = l2
• El perímetro de un campo de fútbol es la suma de sus lados (bandas):
P=x+y+x+y
EJEMPLO
a+b 2⋅a
x
+1 x2 + 1
3
3 ⋅ (a + b) x+y−5
a+b
x
4
m+2
3 ⋅ (a ⋅ b)
x
+2
3
2 ⋅ (x − y)
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números
y realizar las operaciones que se indican.
EJEMPLO
Halla el valor numérico de la expresión 2 ⋅ x + 1, para x = 1.
Primero habrá que sustituir la x de la expresión por el valor que se indica: 1.
2⋅1+1
Realizamos la operación y obtenemos el resultado, el valor numérico:
2⋅1+1 = 2+1=3
a) x = 0 c) x = 1 e) x = −1
3 ⋅ 0 − 5 = 0 − 5 = −5
b) x = 2 d) x = −2 f) x = −3
Valor de x 3 ⋅ x −2 x2 + 1
3⋅1−2= 12 + 1 =
x = 1−
=3−2=1 =1+1=2
x = 2−
x = −1
x = 0−
x = −2
ADAPTACIÓN CURRICULAR
Valor de a y b 5 ⋅ a −2 ⋅ b (a + b)2
6 OBJETIVO 3
IDENTIFICAR MONOMIOS. REALIZAR OPERACIONES CON MONOMIOS
MONOMIOS
Un monomio es la expresión algebraica más simple y está formada por productos de letras y números.
• Los números se denominan coeficientes.
• Las letras se denominan parte literal.
Ejemplos de monomios: 2 ⋅ x; 5 ⋅ x 2; −x; x; −3 ⋅ y 2; 3 ⋅ a ⋅ b
2⋅x 2 x −3 ⋅ a ⋅ b −3 a⋅b
−5ab −5 4xyz 4
x3 −3ab 2c
GRADO DE UN MONOMIO
Los monomios se clasifican por grados. El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos
los exponentes de la parte literal del monomio.
EJEMPLO
2x 1 El exponente de x es 1.
2x 2 x 1
−4a 2bc 3
3x 3
MONOMIOS SEMEJANTES
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
EJEMPLO
2x 3x x x Sí
4x 2y 2xy 2 x 2y xy 2 No
3 Para cada monomio escribe dos que sean semejantes y sus partes literales.
3x
−2a 2b
−5x 3
−y 2z 3
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas y/o restas de dos o más monomios no semejantes.
• Cada uno de los sumandos se denomina término.
• Un término puede tener coeficiente y parte literal, o solo coeficiente y/o parte literal.
• Existen términos que solo tienen números, son los términos independientes.
• Los polinomios también se pueden clasificar por grados.
El término de mayor grado determina el grado del polinomio sumando los exponentes de su parte literal.
EJEMPLO
−2x 2 + 3x − 1
4ab − 2a 2b
6x 3 − 5x 2 + 2x − 4
7xy + 2y
6
5 Escribe un polinomio de grado 3 que tenga dos términos y otro con tres términos.
a) 4x + 3x 2 + 1 c) x 3 − 1
b) 4x 2y d) 3x + 4x 2 − 2x 3 − 8
3p
+
+ 2p
=
= 5p 冧 Son monomios semejantes.
La parte literal es p.
5p
−
− 2p
=
= 3p 冧 Son monomios semejantes.
La parte literal es p.
3p
+
+ 2g
=
= 3p + 2g 冧 Son monomios no semejantes.
La suma se deja indicada.
a) x + x + x + x + x + x = d) 5a − 2a − 4a =
b) x + x =
2 2
e) 2x 3 − x 3 =
c) 5ab + 3ab − 2ab = f) 6p + 2p + 5p =
a) x 2 + 4x + 5x 2 + x = 6x 2 + 5x
b) 6x 2 − 7x + 2x 2 − x =
c) 3x 3 − 2x + 5x 2 − x 3 + 4x 2 =
d) 7ab + 5ab − ab + 6ab − 2ab =
e) 3xy − xy + 2xy + 5x − 2y + y + x =
f) 2a − 5a + 4a − a + 10a − 6a =
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
• La multiplicación entre monomios es otro monomio que tiene:
– Por coeficiente, el producto de los coeficientes (números).
– Por parte literal, el producto de las partes literales (letras).
• Recuerda el producto de potencias de la misma base, la multiplicación de números enteros
y la regla de los signos.
+⋅+=+ +⋅−=−
x 2 ⋅ x 3 = x 2+3 = x 5 −⋅−=+ −⋅+=−
EJEMPLO
2x ⋅ 3x 2 −4x 2 ⋅ 5x 3
−4 ⋅ 5 = −20
2⋅3=6
x ⋅ x2 = x3 冧 2x ⋅ 3x 2
= 6x 3
x2 ⋅ x3 = x5 冧 −4x 2
⋅ 5x 3 = −20x 5
a) 3a ⋅ 2a = c) 2x ⋅ 3x ⋅ 4x = e) x ⋅ x ⋅ x =
b) 5a ⋅ (−5a 2) = d) (−3a) ⋅ (−4a 2) = f) (−4x ) ⋅ (3x 2) =
Ejemplo: 2 ⋅ (2 x − 3) = 2 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3 = 4 x − 6
F
a) 2 ⋅ (x + 1) = c) 2 ⋅ (x − 2) =
b) 3 ⋅ (x + x) + 5x =
2
d) −4 ⋅ (x 2 − x) − 2x =
DIVISIÓN DE MONOMIOS
• La división de dos monomios es otro monomio que tiene:
– Por coeficiente, el cociente de los coeficientes.
– Por parte literal, el cociente de las partes literales.
• Recuerda la división de potencias de la misma base, la división de números enteros ADAPTACIÓN CURRICULAR
y la regla de los signos.
+:+=+ +:−=−
x :x =x =x
5 2 5−2 3
−:−=+ −:+=−
EJEMPLO
8x 2 8 x2 12x 5 12 x 5
= ⋅ = 4x − 5
=− ⋅ = −4 ⋅ 1 = −4
2x 2 x 3x 3 x5
8 : 2 = 4; x 2 : x = x 2−1 = x −12 : 3 = −4; x 5 : x 5 = x 5−5 = x 0 = 1
13 Opera.
x3 −3x 4 6a 4 15 x 2
a) = b) = c) = d) =
x 5x 2 2a 3 3y 2
6 OBJETIVO 4
COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE IGUALDAD, IDENTIDAD Y ECUACIÓN
IGUALDAD
Una igualdad es una expresión matemática separada por un signo igual (=).
Las igualdades pueden ser:
• Numéricas, si solo aparecen números:
5 + 2 = 7 o verdadera
5 + 2 = 8 o falsa
• Algebraicas, si aparecen números y letras:
10 + x = 13
Numéricas Algebraicas
2 Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Razona tus respuestas.
a) (3 ⋅ 7) + 21 = 15 + 10
b) 22 − 10 = 8 ⋅ 2
c) (6 ⋅ 4) − 5 = (7 ⋅ 2) + 7
d) 25 : 5 = (10 ⋅ 5) − (9 ⋅ 5)
IDENTIDAD
Una identidad es una igualdad algebraica (números y letras) que se cumple para cualquier valor
de las letras.
EJEMPLO
x + x = 2x a+b=b+a
Si x = 1: 1 + 1 = 2 ⋅ 1; 2 = 2 Si a = 1, b = 2: 1 + 2 = 2 + 1; 3 = 3
a) 2x + x = 3x b) a ⋅ b = b ⋅ a
a) a + b = b + a c) a − b = b − a e) x + x = x 2
b) x + x = 2x d) x ⋅ x = x 2 f) x ⋅ x = 2x
ECUACIÓN
Una ecuación es una igualdad algebraica que solo se cumple para determinados valores de las letras.
EJEMPLO
x+2=8 F Solo se cumple cuando x toma el valor 6:6 + 2 = 8.
EXPRESIÓN TIPO
6 + 5 = 11
3 + x = 15
a+b=b+a
7 + 3 = 10
20 − x = 4
x + x + x = 3x
11 − x = 6
9−x=1
10 − x = 3
x+1=1
10 − 2x = 4 ADAPTACIÓN CURRICULAR
6 OBJETIVO 5
RESOLVER ECUACIONES SENCILLAS DE PRIMER GRADO
Incógnitas
La incógnita es el valor que desconocemos y queremos hallar. Es un valor numérico y se representa
habitualmente por las letras x, y, z, a, b.
• En la ecuación 5 + x = 12, x es la incógnita, el valor que desconocemos.
• El término x tiene grado 1, x = x 1, por lo que estas ecuaciones se denominan ecuaciones de primer
grado con una incógnita.
Solución
La solución es el valor numérico que debemos hallar para que se verifique una ecuación.
• En la ecuación 5 + x = 12, x = 7 es la solución de la ecuación.
• Si sustituimos la incógnita por su valor se verifica la ecuación: 5 + 7 = 12.
7 + x = 20
18 = 2x
5x = 12 + x
14 − 3x = 8 + x
a) 7 + x = 20 c) 3x = 6
b) 15 − x = 12 d) 18 = 2x
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
Resolución por tanteo
Este método utiliza el razonamiento y la intuición para probar valores numéricos en enunciados sencillos
y obtener su solución.
• En la ecuación: x + 5 = 12, la pregunta sería: ¿Qué número sumado a 5 da 12?
• Solución: x = 7, ya que 7 + 5 = 12.
6
3 Completa la tabla.
x−6=9
18 = 2x
x2 = 4
ECUACIÓN SOLUCIÓN
x+1=7
14 = 2x
x
= 3
6
x2 = 9
EJEMPLO
Resuelve la ecuación 5 + x = 12. ADAPTACIÓN CURRICULAR
1.º 5 + x = 12. Observamos que la incógnita está en el primer miembro.
2.º No hay términos semejantes para reducir.
3.º 5 + (−5) + x = 12 + (−5). Despejamos x. Transponemos 5, sumando su opuesto (−5) en ambos miembros.
4.º 0 + x = 12 − 5. Reducimos términos semejantes.
5.º x = 7. Despejamos y hallamos el valor numérico de la incógnita.
6
6 Halla la solución de las ecuaciones.
b) 6x − 2x = 8 c) 8x − 5x = 12
a) 3x + 2 + x = 8 + 2x b) x + 8 = 3x − 6 c) 5x − 3x = 20 + x
8 Completa la resolución de las ecuaciones, dando prioridad a las operaciones entre paréntesis.