Asíncrona Doblemente Alimentada PDF
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DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA
MÁQUINA ASÍNCRONA
DOBLEMENTE
ALIMENTADA
MÁQUINA
ASÍNCRONA
DOBLEMENTE
ALIMENTADA
Miguel Angel Rodríguez Pozueta
• El campo magnético del rotor debe girar a una velocidad absoluta igual
a la velocidad de sincronismo n1 del estator. Esto obliga a que el campo
giratorio del rotor gire con una velocidad relativa n2 con respecto al
rotor tal que
n1 = n 2 + n ⇒ n 2 = n1 − n = s ⋅ n1
E2s = s E2 = V2 + I2 (R 2 + j X 2s )
X 2s = s X 2
P2 = m2 V2 I2 cos ϕV 2
ϕ V 2 : ángulo entre V2 e I2
X cc = X 1 + X'2
I 1 = I 0 + I'2 I 0 = I Fe + I µ
V '2 R'
V1 = E1 + I 1 (R 1 + j X1 ) E'2 = E1 = + I'2 2 + j X '2
s s
ϕ V 2: ángulo V2 − I2
a) b)
Diagramas fasoriales de una máquina asíncrona doblemente alimentada
cuando funciona como motor y su deslizamiento s y potencia P2 son positivos.
a) Diagrama completo con el rotor reducido al estator (a frecuencia f1)
b) Diagrama del rotor real (a frecuencia f2)
V '2 R'
= I'2 x + j X'x
s s
V '2
R 'x + j s ⋅X 'x = V '2 = I'2 R '2x + (s ⋅ X'x )2
I'2
P2 = m 2 V2 I2 cos ϕ v 2
(X cc = X1 + X'2 )
R'2 +R'x
Pa m1 V 12 s
M = =
Ω1 2π 2
n1 R + R'2 +R'x + (X + X' + X' ) 2
60
1
s
1 2 x
Pa = Pmi + P2 + PCu2
1 − s
Pmi = (1 − s ) Pa (P2 + PCu2 ) = s ⋅ Pa Pmi = (P2 + PCu2 )
s
1 − s
Pmi =
s
( 2
m1 V'2 I'2 cos ϕ V 2 + m1 R'2 I'2 )
M.A.R. Pozueta -8-
MÁQUINA ASÍNCRONA DOBLEMENTE ALIMENTADA
Pmi = Pa − (PCu2 + P2 ) = Pa − s ⋅ Pa
1 − s
Pmi = (1 − s ) Pa Pmi = (P2 + PCu2 )
s
PCu2 + P2 1 − s
Pa = Pmi = (P2 + PCu2 )
s s
PCu2 ≈ 0 ⇒ P2 = s ⋅ Pa ≈ s ⋅ P1 P2 ≈ s ⋅ P1
Pm ≈ 0 ⇒ Pu ≈ Pmi = (1 − s ) Pa Pu ≈ (1 − s ) P1
Pc ≈ 0 ⇒ Pred = P1 − P2 + Pc ≈ P1 − P2 Pred ≈ P1 − P2 ≈ Pu
BIBLIOGRAFÍA
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Barcelona: Marcombo Boixareu Editores.
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régimen permanente. Santiago de Compostela: Tórculo Edicións, S.L.
[22] WILDI, T. 2007. Máquinas eléctricas y sistemas de potencia. México: Pearson Educación.
V '2
Q '2 m 1 I'2 sen V 2 m 1 X 'x I'22 (I.6)
s
(a frecuencia f1)
La potencia activa P2 que envía el rotor a través de sus anillos verifica que:
P2 m 2 V2 I2 cos V 2 (I.7a)
tg V 2 s tg x (I.8)
En el rotor hay dos potencias reactivas: Q2, debida a V2, y Q2, debida a la inductancia
de dispersión Ld2 (que al reducir al estator da lugar a la reactancia de dispersión X’2). Ambas
potencias reactivas se producen en un circuito de frecuencia f2 y suman la potencia
reactiva Qa (ver la Fig. I.1):
Q a Q 2 Q 2 (I.9)
(a frecuencia f2)
El flujo de potencia reactiva en el estator se muestra en la Fig. I.2.
Fig. I.2: Flujo de potencia reactiva en el estator, a frecuencia f1 (se supone que Q’2 > 0)
Según esta figura, la potencia reactiva total del rotor Q’a referida al estator verifica
lo siguiente:
Qa
Q'a Q'2 Q'2 (I.10)
s
(a frecuencia f1)
Del circuito equivalente (Fig. II.1) se deduce que Q’a también cumple que:
Q 'a m 1 E'2 I'2 cos 2 (I.11)
Q’2 es la potencia reactiva de dispersión del rotor referida al estator:
Q '2 m 1 X '2 I'22 (I.12)
Q1 es la potencia reactiva total que la máquina consume por el estator:
Q 1 m 1 V1 I1 cos 1 (I.13a)
Q 1 Q 1 Q Q'2 Q'2 Q 1 Q Q'a (I.13b)
Q1 es la potencia reactiva de dispersión del estator y Q es la potencia reactiva
magnetizante:
Q 1 m 1 X 1 I12 Q m1 X I20 (I.14)
Las potencias reactivas Q1, Q y Q2 son siempre positivas, mientras que la potencia
Q2 puede tener signo positivo o negativo, dependiendo del ángulo de desfase V2.
Cuando la máquina tiene el rotor en cortocircuito no existe la tensión V2 ni la potencia
reactiva Q2. Por lo tanto, una máquina asíncrona con el rotor cortocircuitado nunca podrá
generar potencia reactiva y Q1 siempre será positiva.
Cuando la máquina asíncrona está doblemente alimentada y el convertidor del rotor
permite modificar el ángulo V2 es posible conseguir que la potencia Q1 sea negativa (si Q2
es negativa y lo suficientemente grande en valor absoluto como para superar a la suma de
las potencias positivas Q1, Q y Q2). Es decir, la máquina asíncrona doblemente alimentada
puede funcionar como generador de potencia reactiva.
Por otra parte, hay que considerar que, si se desea que el convertidor de frecuencia no
solamente origine la potencia activa P2, sino también la potencia reactiva Q2; el convertidor
debe ser capaz de modificar el ángulo v2 y por él debe circular una corriente mayor, lo que
exige que sea de mayor potencia. Todo esto hace que el convertidor sea más caro.
Fig. II.1: Circuito equivalente de una máquina asíncrona doblemente alimentada
Del circuito equivalente del motor asíncrono doblemente alimentado (Fig. II.1) se
deduce que:
V '2 R'
E'2 I '2 2 j X '2 (II.6)
s s
Si la máquina funciona con un deslizamiento s pequeño sucede que:
R '2 R '2 R'
s X '2 j X'2 2 (II.7)
s s s
De las relaciones (II.6) y (II.7) se obtiene que:
V '2 R' s E'2 V '2
s E '2 I'2 2 I'2 (II.8)
s s R '2
Fig. II.2: Componentes de V ' 2 e Ι ' 2 y diagrama fasorial cuando el deslizamiento s es pequeño.
En esta figura I’2a e I’2r son positivos, pues originan potencias P2 y Q’2 positivas
La expresión (II.8) da lugar al diagrama de la figura II.2, donde se muestran los sentidos
positivos de I’2a e I’2r (que son los que dan lugar a potencias P2 y Q’2 positivas) y de la cual
se deduce que:
s E'2 V '2a V '2r
s I'2a ; I'2r (II.9)
R '2 R '2
De estas relaciones se deduce que, con deslizamientos s pequeños, mediante la
componente V’2a de V '2 paralela a E '2 se controla I’2a y mediante la componente V’2r de V '2
perpendicular a E '2 se controla I’2r.
Una máquina asíncrona doblemente alimentada puede alcanzar en régimen
permanente deslizamientos s mayores que con el rotor en cortocircuito (típicamente en
estas máquinas el convertidor permite que s pueda llegar a valer 0,2 o, incluso, 0,25) donde
ya no son válidas las aproximaciones (II.7), (II.8) y (II.9). Aun así, se puede afirmar que la
componente V’2a de V '2 paralela a E '2 básicamente modifica el par M, el deslizamiento s y la
potencia P1; mientras que la componente V’2r de V '2 perpendicular a E '2 fundamentalmente
regula la potencia reactiva del estator Q1.
ANEXO III:
EJEMPLO DE CÁLCULO DE UNA MÁQUINA ASÍNCRONA DOBLEMENTE ALIMENTADA
SOLUCIÓN:
(a)
(X cc = X 1 + X'2 )
(b)
Casos a calcular:
a b c d e f g
M (Nm) 296,6 296,6 296,6 -296,6 -296,6 -296,6 -296,6
n (r.p.m.) 1 470 1 350 1 650 1 650 1 350 1 650 1 350
s 0,04 0,1 -0,1 -0,1 0,1 -0,1 0,1
R’x (Ω) 0 0,8 -1,2 0,841 -1,241 0,801 -0,918
X’x (Ω) 0 0 0 0 0 -3,204 -5,88
I’2 (A) 39,41 39,41 39,41 38,62 38,62 39,40 46,54
I2 (A) 55,73 55,73 55,73 54,61 54,61 55,72 65,82
V’2 (V) 0 31,53 47,29 32,48 47,93 34,00 50,73
V2L (V) 0 38,62 57,92 39,78 58,70 41,64 62,13
P2 (W) 0 3728 -5591 3763 -5553 3730 -5965
PCu2 (W) 932 932 932 895 895 931 1 300
Pa (W) 46 596 46 596 46 596 -46 596 -46 596 -46 596 -46 596
Q’2 (var) 0 0 0 0 0 -14 921 -38 208
Q2 (var) 0 0 0 0 0 -1 492 -3 821
Q’a (var) 2 330 2 330 2 330 2 237 2 237 -12 592 -34 959
ϕ2 (°) 2,86 2,86 2,86 177,3 177,3 195,1 216,9
ϕV2 (°) 0 0 180 0 180 -21,80 212,7
SOLUCIÓN DETALLADA
La referencia a ecuaciones se indica entre paréntesis () y actúa como un hiperenlace a la ecuación
Cuestiones preliminares
• Velocidad de sincronismo:
60 f1 60 ⋅ 50
n1 = = ⇒ n 1 = 1 500 r.p.m .
p 2
2π 2 π f1 2 π ⋅ 50
Ω1 = n1 = = ⇒ Ω 1 = 157 ,1 rad / s
60 p 2
• Deslizamientos, s:
n1 − n
s = (1)
n1
1500 − 1470
nN = 1470 r.p.m. ⇒ s N = ⇒ s N = 0 ,02
1500
1500 − 1350
n = 1350 r.p.m. ⇒ s = ⇒ s = 0,1
1500
1500 − 1650
n = 1650 r.p.m. ⇒ s = ⇒ s = −0,1
1500
• Reactancias de dispersión:
• Ecuaciones:
V1
I'2 =
2
R ' + R 'x
+ (X 1 + X'2 + X'X )
2
R1 + 2
s
R'2 + R 'x
m1
P s V12
M = a =
Ω1 2π R'2 + R'x
2
+ ( X1 + X'2 + X'x )
n1 + 2
60 1
R
s
Z'x = R'x + j X'x = Z'x ϕ x (2)
Por otra parte, se va a utilizar el siguiente cambio de variable que simplifica los cálculos:
R '2 + R'x
x = (3)
s
R ' x = s ⋅ x − R '2 (4)
V1
I'2 = (5)
(R1 + x )2 + ( X1 + X'2 + X'x )2
m1 x V12
M = (6)
Ω1 ( R1 + x )2 + ( X1 + X'2 + X'x )2
X cc = X 1 + X'2 (7)
P + PCu2
Pa = m1 ⋅ E'2 ⋅ I'2 ⋅ cos ϕ2 = M ⋅ Ω1 = 2 (12)
s
Q2
Q'2 = = m1 ⋅ I'22 ⋅ X'x (14)
s
Q'2 X'
ϕx = ángulo de la impedancia Z'x (ver (2)): tg ϕ x = = x (17)
P2 R 'x
Q2
ϕV2 = ángulo entre V2 e I2 : tg ϕ V 2 = = s ⋅ tg ϕ x (18)
P2
Además, los valores reales de tensión y de corriente del rotor y sus correspondientes
valores reducidos al estator se relacionan así:
V'2
V2 = I2 = m i ⋅ I'2 (20)
mv
Un rotor bobinado siempre se conecta estrella. Por consiguiente, la tensión entre anillos
V2L vale:
a) Condiciones asignadas
• En este caso la velocidad vale nN = 1 470 r.p.m. y el deslizamiento es sN = 0,02 (ver (1)).
• En condiciones asignadas el rotor está en cortocircuito, luego sucede que (ver las
relaciones (10) y (14)):
R ' xN = 0 Ω X ' xN = 0 Ω
0,2 + 0
(1) y (3): n N = 1 470 r.p.m. ⇒ s N = 0,02 ⇒ x N = ⇒ x N = 10 Ω
0,02
• El par MN y la corriente del rotor reducida al estator I’2N se obtienen mediante las
relaciones (7), (6) y (5), respectivamente:
3 ⋅ 10 4002
(7) y (6): MN = ⇒ MN = 296,6 Nm
157,1 (0,1 + 10)2 + 12
400
(7) y (5): I'2N = ⇒ I'2N = 39 ,41 A
(0,1 + 10)2 + 12
• Las potencias activas en el rotor se obtienen mediante las relaciones (11) y (12):
P + PCu2N 0 + 932
(12): PaN = 2N = = 46 600 W
sN 0 ,02
• Las potencias reactivas en el rotor se obtienen mediante las relaciones (15) y (16)
y teniendo en cuenta que Q’2 = 0:
(15) y (16): Q'aN = Q'σ2N = 3 ⋅ 39,412 ⋅ 0,5 ⇒ Q'aN = Q'σ2N = 2 330 var
• Finalmente, el ángulo ϕ2N entre E'2N e I'2N se calcula a partir de la relación (19):
Q'aN 2 330
(19): tg ϕ2N = = = 0,05 ⇒ ϕ2N = 2,86°
PaN 46 596
(cos ϕ2N = 0,999; sen ϕ2N = 0,0499)
• Tanto en este apartado como en los c), d) y e), la potencia reactiva a través de los
anillos del rotor Q2 es nula. Por consiguiente, partiendo de la expresión (14) se
deduce lo siguiente:
0,2 + R'x
(6) y (3): x = x N ⇒ 10 = ⇒ R 'x = 0 ,8 Ω
0,1
• La tensión entre los anillos del rotor V2L se obtiene aplicando sucesivamente las
relaciones (9) (pues ahora X’x = 0), (20) y (21):
31,53
(20): V2 = = 22,30 V
2
• La potencia activa que pasa a través de los anillos del rotor P2 se calcula mediante (10):
• La corriente I2 es igual a la asignada I2N, luego sucede que se tienen los mismos
valores de PCu2, Q’a y Q’σ2 que en condiciones asignadas (ver (11), (15) y (16)):
(11), (15) y (16): I'2 = I'2N ⇒ PCu2 = PCu2N ; Q'a = Q'σ2 = Q'σ2N
0,2 + R ' x
(6) y (3): x = x N ⇒ 10 = ⇒ R 'x = −1,2 Ω
− 0 ,1
• La tensión entre los anillos del rotor V2L se obtiene aplicando sucesivamente las
relaciones (9) (pues ahora X’x = 0), (20) y (21):
47,29
(20): V2 = = 33,44 V
2
Como lo que se está calculando son los valores eficaces de tensiones se ha usado el
valor absoluto de R’x en las expresiones anteriores.
• La potencia activa que pasa a través de los anillos del rotor P2 se calcula mediante (10):
• La corriente I2 es igual a la asignada I2N, luego sucede que se tienen los mismos
valores de PCu2, Q’a y Q’σ2 que en condiciones asignadas (ver (11), (15) y (16)):
(11), (15) y (16): I'2 = I'2N ⇒ PCu2 = PCu2N ; Q'a = Q'σ2 = Q'σ2N
• En estas condiciones la máquina tiene un par negativo por actuar como generador.
El valor absoluto de este par es igual al nominal, luego aplicando la relación (6) se
obtiene que:
3⋅x 4002
(7) y (6): − 296,6 =
157,1 (0,1 + x )2 + 12
x 2 + 10 ,5 x + 1 = 0
Ya se dedujo antes que la resistencia R’x debe ser positiva, luego la solución es:
• La corriente del rotor I2 se obtiene mediante las relaciones (7), (5) y (20):
400
(7) y (5): I'2 = ⇒ I'2N = 38 ,62 A
(0,1 + ( −10,41)) 2
+12
• La tensión entre los anillos del rotor V2L se obtiene aplicando sucesivamente las
relaciones (9) (pues ahora X’x = 0), (20) y (21):
• Las potencias activas en el rotor se obtienen mediante las relaciones (10), (11) y (12):
Nótese que, como el par es igual a –MN, la potencia en el entrehierro vale -PaN. Esta
magnitud también se puede obtener así:
Existe una pequeña diferencia entre ambos resultados debida a errores de redondeo.
• Las potencias reactivas en el rotor se obtienen mediante las relaciones (15) y (16)
y teniendo en cuenta que Q’2 = 0:
(15) y (16): Q'a = Q'σ2 = 3 ⋅ 38,622 ⋅ 0,5 ⇒ Q'a = Q'σ2 = 2 237 var
• Finalmente, el ángulo ϕ2 entre E'2 e I'2 se calcula a partir de (19), (12) y (16):
Q'a 2 337
(19): tg ϕ2 = = = −0,048
Pa − 46 596
(12): Pa < 0 ⇒ cos ϕ2 < 0
(16): Q'a > 0 ⇒ sen ϕ2 > 0
• Como las magnitudes V1 y x tienen los mismos valores que en el caso d), la
expresión (5) indica que ahora se tendrá la misma corriente en el rotor que antes:
• La tensión entre los anillos del rotor V2L se obtiene aplicando sucesivamente las
relaciones (9) (pues ahora X’x = 0), (20) y (21):
47,93
(20): V2 = = 33,89 V
2
Como lo que se está calculando son los valores eficaces de tensiones se ha usado el
valor absoluto de R’x en las expresiones anteriores.
• La potencia activa que pasa a través de los anillos del rotor P2 se calcula mediante (10):
• La corriente I2 es igual a la del caso anterior, luego sucede que se tienen los mismos
valores de PCu2, Q’a y Q’σ2 que en el apartado d) (ver (11), (15) y (16)):
• Al tener en este caso un par igual a -MN, la potencia activa en el entrehierro será
igual a -PaN (ver la relación (12)):
Existe una pequeña diferencia entre ambos resultados debida a errores de redondeo.
• Ahora se tienen los mismos valores de Pa y de Q’a que en el apartado anterior, por
lo tanto, la relación (19) indica que el ángulo ϕ2 es el mismo que en el apartado d):
(19): ϕ2 = 177,3°
• Partiendo de las relaciones (10) y (14) y teniendo en cuenta los signos de X’x y de
R’x se deduce que:
Q'2 X'
(17): tg ϕx = = x = − 4 ⇒ ϕ x = −75,96°
P2 R'x
(cos ϕ x = 0,243; sen ϕ x = −0 ,970 )
3x 4002
(7) y (6): − 296,6 =
157,1 (0,1 + x )2 + (1 + (0,4 x + 0,8))2
Ya se dedujo antes que la resistencia R’x debe ser positiva, luego la solución es:
• La corriente del rotor I2 se obtiene mediante las relaciones (7), (5) y (20):
400
(7) y (5): I'2 = ⇒ I'2N = 39 ,40 A
(0,1 + 10,01)2 + (1 + (− 3,204))2
(20): I2N = 2 ⋅ 39,40 ⇒ I2 = 55,72 A
• La tensión entre los anillos del rotor V2L se obtiene aplicando sucesivamente las
relaciones(8), (20) y (21):
34,00
(20): V2 = = 24,04 V
2
• Las potencias activas en el rotor se obtienen mediante las relaciones (10), (11) y (12):
Nótese que, como el par es igual a -MN, la potencia en el entrehierro vale -PaN. Esta
magnitud también se puede obtener así:
Q'a − 12 592
(19): tg ϕ2 = = = 0,270
Pa − 46 596
Q2 − 1 492
(18): tg ϕV 2 = = = − 0,4 ⇒ ϕ V2 = −21,80°
P2 3 730
• La potencia aparente S2 que circula a través de los anillos del rotor y que debe
soportar el convertidor de frecuencias vale:
ϕ2 = -0,8
g) Funcionamiento como generador; M = -MN; s = 0,1 > 0; Q2 < 0; cos ϕ
• La relación (19) permite poner la suma de las reactancias del rotor reducido al
estator en función de la variable x:
X'2 + X'x
(19): tg ϕ2 = 0,75 ; tg ϕ2 = ⇒ X '2 + X ' x = 0 ,75 x
x
3x 4002
(6): − 296,6 =
157,1 (0,1 + x )2 + (0,5 + 0,75 x )2
Ambas soluciones tienen los signos correctos, aunque los valores obtenidos en el
apartado e) hacen sospechar que la segunda solución es la adecuada. Para
comprobarlo se va a calcular la corriente del rotor reducida al estator I’2 que sale
con ambas soluciones: Para ello se emplea la relación (5):
400
(7) y (5): I'2 = = 818 ,5 A a)
(0,1 + ( − 0,0232))2 + (1 + ( − 0,5174))2
400
(7) y (5): I'2 = = 46 ,54 A b)
(0,1 + ( − 7 ,174 ))2
+ (1 + ( − 5,88 ))2
X'x − 5,88
(17): tg ϕx = = = 6 ,41 ⇒ ϕx = 180° + 81,1°
R'x − 0,918
• La tensión entre los anillos del rotor V2L se obtiene aplicando sucesivamente las
relaciones (8), (20) y (21):
• Las potencias activas en el rotor se obtienen mediante las relaciones (10), (11) y (12):
Nótese que, como el par es igual a -MN, la potencia en el entrehierro vale -PaN. Esta
magnitud también se puede obtener así:
Q'a − 34 9592
(19): tg ϕ2 = = = 0,75
Pa − 46 596
Q2 − 3 821
(18): tg ϕV 2 = = = − 0,641 ⇒ ϕV2 = 212,7°
P2 − 5 965
• La potencia aparente S2 que circula a través de los anillos del rotor y que debe
soportar el convertidor de frecuencias vale: