Libro Recopilacion Psu Ejercicios Demre
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EJERCICIOS DEMRE
CONTENIDOS
EJERCICIOS PSU
RESPUESTAS
ENSAYOS
1
PROF. MATEMÁTICA y FÍSICA
2010
INDICE
Contenido Página
1 Números Enteros, operatoria, propiedades 3
2 Números racionales, operatoria, propiedades 10
3 Potencias, propiedades, aplicaciones 20
4 Operatoria algebraica 26
5 Simbología 38
6 Razones y proporciones 42
7 Tanto por ciento 49
8 Raíces, propiedades, aplicaciones 57
9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de 64
ecuaciones
10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 79
11 Ecuación de segundo grado 83
12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 85
13 Funciones, operatoria, tipos de funciones 88
14 Ángulos y Triángulos, propiedades, Teorema de 108
Pitágoras, teorema de Euclides
15 Congruencia de triángulos 129
16 Semejanza de triángulos 133
17 Cuadriláteros 141
18 Polígonos 152
19 Ángulos en la circunferencia 153
20 Relaciones métricas en la circunferencia, círculo 162
21 Poliedros, volumen 166
22 División interior y exterior 173
23 Trigonometría 175
24 Probabilidad 183
25 Estadística 198
26 Transformaciones isométricas 209
27 Teorema de Tales 221
28 Evaluación de suficiencia de datos 226
29 Respuestas 243
30 Resumen contenidos Primer año medio 248
31 Resumen contenidos Segundo año medio 258
32 Resumen tercer año medio 269
33 Resumen Cuarto año medio 280
34 Ensayo 1 290
35 Ensayo 2 308
36 Ensayo 3 329
37 Ensayo 4 348
38 Ensayo 5 365
39 Ensayo 6 384
2
RESUMEN PSU MATEMATICA
1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225,
256, …
2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … y también:
-1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, …
MÚLTIPLO Y DIVISOR
En la expresión a = b ⋅ c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c
o bien b y c son divisores o factores de a.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número entero es divisible:
Por Cuando
2 Termina en cifra par.
3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.
4 Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son
Ceros.
5 La última cifra es cero o cinco.
6 Es divisible por dos y por tres a la vez.
7 La diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las
Cifras restantes es múltiplo de siete.
8 Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son
Ceros.
9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
10 Termina en cero.
11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y
Las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once.
3
NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.
Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son
primos. Los primeros números compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
TEOREMA FUNDAMENTAL
Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores
de números primos
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.
OPERATORIA EN Z
ADICIÓN
i. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando
el signo común.
ii. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de
menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
MULTIPLICACIÓN
i. Si se multiplican dos números de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
OBSERVACIÓN: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.
VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un número y el 0
n, si n 0
DEFINICIÓN:
n si n 0
ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
Si D: d = c, entonces D = d c + r
r //
D = dividendo
d = divisor
c = cuociente o cociente
4
r = resto
OBSERVACIONES:
1) 0 ≤ r < d
2) La división por cero no está definida.
RELACIÓN DE ORDEN EN Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
i. a > b si y sólo si (a - b) es un entero positivo.
ii. a < b si y sólo si (a - b) es un entero negativo.
iii. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
iv. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
A) – 2
B) 2
C) 4
D) – 4
E) ninguno de los valores anteriores
A) m + n + 1
B) 10m + n + 1
C) 100m + n + 1
D) 100m + 10n + 1
E) 10(m + 1) + n
A) -11
B) -5
C) 5
D) 7
E) -7
5
EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31
niños invitados. ¿Cuál es el número mínimo de golosinas que se necesita agregar para que
cada niño invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21
D) 0
E) 7
EJEMPLO PSU-5: Claudia tenía en el banco $ 4p. Retiró la mitad y horas más tarde
depositó el triple de lo que tenía al comienzo. ¿Cuánto dinero tiene ahora Claudia en el
banco?
A) $ 8p
B) $ 10p
C) $ 12p
D) $ 16p
E) $ 14p
EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el
último número de cada fila es la suma de los tres números anteriores y el último número
de cada columna es la suma de los tres números anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
A) 5 x 4 20
B) 7 4 9
C) 8 8 13
D) 9 24 16 55
E) 16
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
6
dinero se tiene igual cantidad de monedas de $50 y de $100, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas
II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
A) 82
B) 66
C) 60
D) 38
E) 22
EJEMPLO PSU-11: ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una
cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 0 $ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?
A) De 1 forma
B) De 2 formas
C) De 4 formas
D) De 3 formas
E) De 6 formas
EJEMPLO PSU-12: Si hoy es miércoles, ¿qué día de la semana será en 100 días más, a
partir de hoy?
A) Viernes
B) Sábado
C) Lunes
D) Miércoles
E) Jueves
EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 más de los que tengo podría comprar exactamente 4
pasteles de $ 240 cada uno, ¿cuánto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180
cada uno?
7
A) $280
B) $200
C) $120
D) $100
E) $ 40
EJEMPLO PSU-14: El precio de los artículos M, N y T son $(n-1), $(n-2) y $(n -3),
respectivamente. ¿Cuántos pesos se deben pagar por un artículo M, dos artículos N y tres
artículos T?
A) 6n - 14
B) 6n – 6
C) 5n – 14
D) 3n – 14
E) 3n - 6
A) p = nq + r
B) q = np + r
C) q = np
D) p = nq
p 1
E) 1
q q
EJEMPLO PSU-18: M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene
factores en común, salvo el 1, cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?
A) 7
B) 5
8
C) 4
D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-19: En un triángulo equilátero de lado 1.000 se unen los puntos medios de
cada lado y se obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si
repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo que se obtiene es:
1.000
A)
12
1.000
B) 6
2
1.000
C)
26
1.000
D)
6
1.000
E)
25
9
a
Los números racionales son todos aquellos números de la forma con a y b números
b
enteros y b distinto de cero. El conjunto de los números racionales se representa por la
letra Q.
OBSERVACIONES
a a
1. El inverso aditivo (u opuesto) de es - , el cual se puede escribir también como
b b
a a
o
b b
b
2. El número mixto A se transforma a fracción con la siguiente fórmula:
c
DIVISIÓN
OBSERVACIÓN
1
a a b
El inverso multiplicativo (o recíproco) de es , con a 0
b b
a
RELACIÓN DE ORDEN EN Q
10
OBSERVACIONES
1. Para comparar números racionales, también se pueden utilizar los siguientes
procedimientos:
a) igualar numeradores.
b) igualar denominadores.
c) convertir a número decimal.
2. Entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales.
NÚMEROS DECIMALES
Al efectuar la división entre el numerador y el denominador de una fracción, se obtiene un
desarrollo decimal, el cuál puede ser finito, infinito periódico o infinito semiperiódico.
a) Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras
decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales
b) Desarrollo decimal infinito periódico: Son aquellos que están formados por la parte
entera y el período.
Ejemplo: 0,444.... = 0, 4
c) Desarrollo decimal infinito semiperiódico: Son aquellos que están formados por la
parte entera, un anteperíodo y el período.
Ejemplo: 24,42323 ... = 24,4 23
11
224: 120 y se dividen como números enteros
0,05
EJEMPLO PSU-1: 5
0,5
A) 0,5
B) 0,05
C) 0,005
D) 50
E) 500
2 5 3
EJEMPLO PSU-2: El orden de los números a = ,b= yc= de menor a mayor es
3 6 8
A) a < b < c
B) b < c < a
C) b < a < c
D) c < a < b
E) c < b < a
9 3
EJEMPLO PSU-4:
8 5
A) 0,15
12
B) 0,5
C) 0,52
D) 0,525
E) 2
5 1
EJEMPLO PSU-5: Si a se le resta resulta:
6 3
1
A)
2
1
B)
2
2
C)
3
4
D)
3
2
E)
9
1 1
EJEMPLO PSU-6: 3 3
0,75 0,25
8 8
15
A)
3
16
B)
3
16
C)
3
D) 4
8
E)
3
t r
EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces =
r
A) 80,89
B) 80,9
C) 88,9
D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores
1 1 1
EJEMPLO PSU-8: En la igualdad , si P y R se reducen a la mitad, entonces
P Q R
para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe
13
A) duplicar.
B) reducir a la mitad.
C) mantener igual.
D) cuadruplicar.
E) reducir a la cuarta parte.
EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretención. Si se sabe que
cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Juan puede jugar a lo más 3 horas de pool
II) Juan puede conectarse a lo más 5 horas en Internet
III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a internet
A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
1 1 1
EJEMPLO PSU-10:
x x x
A) 3
1
B)
x3
3
C)
x
1
D)
3x
3
E)
x3
1
EJEMPLO PSU-11: Si P RH , entonces H-1 es igual a:
2
14
2P
A)
R
R
B)
2P
2P
C)
R
2R
D)
P
R
E)
2P
1 1 1
EJEMPLO PSU-12:
3 6 2
5
A)
12
2
B)
15
1
C)
9
2
D)
3
1
E)
4
2,6 2 3,8
EJEMPLO PSU-13:
2,6 6 3,8
1
A)
3
5
B)
19,4
5
C)
19,4
2,28
D)
19,4
7,6
E)
9,8
15
1 2
EJEMPLO PSU-14: 3 1
1
4
3
A)
2
1
B)
3
11
C)
6
D) 1
E) 3
50
0,5
EJEMPLO PSU-15: 100
(0,5) 2
A) 10
B) 1
C) 0,1
D) 0,25
E) 0,75
EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilómetros y ha caminado 7.850
metros. ¿Cuánto le falta por recorrer?
A) 4,45 km
B) 4,55 km
C) 5,55 km
D) 5,45 km
E) 6,62 km
16
EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del
licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
ab
A) $
3
ab
B) $
5
C) $(2a 3b)
3a 2b
D) $
18
5 (3a 2b)
E) $
18
1
EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidón de 5 litros de capacidad, llenado hasta los 2
3
litros. ¿Cuántos litros le faltan para llenarlo?
1
A) 2
3
2
B) 2
3
3
C) 2
2
1
D) 3
3
2
E) 1
3
1 1 2
EJEMPLO PSU-20:
3 4 3
1
A)
2
1
B)
4
1
C)
5
1
D)
12
4
E)
21
17
1
EJEMPLO PSU-21: Se define a b = , entonces a (b c) es igual a:
ab
1
A)
abc
a
B)
bc
bc
C)
a
ab
D)
c
c
E)
ab
1
1
EJEMPLO PSU-23: 1
1
1
11
5
A)
2
2
B)
5
C) 1
3
D)
5
1
E)
2
18
EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometró 11,3
segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Javier llegó después de Marcelo
II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la
meta
III) Arturo llegó primero
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se necesitan 200 gramos de
azúcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, ¿por cuál número se debe
multiplicar n para obtener cuántos gramos de azúcar se necesitan?
A) 33, 3
B) 200
C) 1.200
D) 6
E) 0,03
a a
EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d números enteros positivos. Si S , entonces S 1
b d
es:
bd
A)
2a
ad ab
B)
bd
bd
C)
a
bd
D)
2a
bd
E)
a( b d )
EJEMPLO PSU-27: ( 0 ,2 ) 2 =
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
1
E)
5
19
III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
1. 0 n = 0, si n Z+
2. 1 n = 1
3. Si n es par, (1) n = 1
4. Si n es impar, (1) n = -1
Positivo si a 0 y n es par
Signos de una potencia: a n
=
Negativo si a 0 y n es impar
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS
Sean a y b Z, m y n Z+
DEFINICIÓN
OBSERVACIÓN:
0 0 no está definido
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIAS DE BASE 10
20
1
10 0 = 1 10 1 = =0,1
10
1
10 1 = 10 10 2 = =0,01
100
1
10 2 = 100 10 3 = =0,001
1000
10 3 = 1000
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas:
1. Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma k ⋅ 10 n , en que 1
≤ k < 10 y n Z.
2. Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p ⋅ 10n, en que p es
el menor entero y n Z.
3. Un número esta inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la
suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la
potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima,
centésima...) abcde = a ⋅ 10 2 + b ⋅ 10 1 + c ⋅ 100 + d ⋅ 10 1 + e ⋅ 10 2
3 1 4 1
EJEMPLO PSU-1:
5 1
12
A)
35
35
B)
12
7
C)
5
5
D)
7
5
E)
12
0 ,0009 0 ,0000002
EJEMPLO PSU-2:
6 0 ,0003
A) 10-15
B) 10-12
C) 10-7
D) 10-6
E) Ninguno de los valores anteriores
21
D) P, N, M
E) M, P, N
3
1
EJEMPLO PSU-4: a 2
2
A ) 8a 6
B ) 8a 5
1
C ) a 5
2
1
D ) a 6
8
1 6
E) a
2
EJEMPLO PSU-6: 4 2 2 3 2 4
1
A)
8
1
B)
4
1
C)
6
D) 8
E) 6
EJEMPLO PSU-7: ( 2 a ) 3 ( 3a ) 2 =
A) 72a2
B) 72a5
C) 6a5
D) 36a6
E) 36a5
22
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál es la mitad de 2 6 ?
A) 25
B) 23
C) 16
3
1
D)
2
6
1
E)
2
EJEMPLO PSU-10: ¿Cuáles de las siguientes operaciones dan como resultado 41?
I) 2 4 5 2
II ) 6 7 6 0 7 0
III ) 7 2 2 3
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
4 18 n
EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresión es
3 1 6 2 n 1 2 n
A) 2 n
B) 4 2 n
C) 2
D) 6
E) 36
23
3 ,6 10 6 0 ,00006
EJEMPLO PSU-12:
20.000.000
A ) 1,08 10 4
B ) 1,08 10 5
C ) 1,08 10 6
D ) 1,08 10 7
E ) 1,08 10 15
A) 5
B) 10
C) 25
1
D)
25
E) 5
a6 b 15
EJEMPLO PSU-15:
a 2b 5
9
A)
7
B) a8b 10
C) a4b 20
D) a 3b 3
E) 9
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 27
24
A) 5.000 33 bacterias
B) 5.000 34 bacterias
C) 5.000 39 bacterias
D) 5.000 360 bacterias
E) 5.000 3180 bacterias
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?
1
I) 4x
64
II) 4x 43 1
III) (41 )x 64
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
25
Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricos
dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entre
paréntesis.
TÉRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los
mismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.
USO DE PARÉNTESIS
En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Los
paréntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:
Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los signos de
los términos que están dentro del paréntesis.
Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando los signos
de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.
Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez se
encuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a
los paréntesis desde adentro hacia fuera.
OPERATORIA ALGEBRAICA
ADICIÓN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términos
semejantes y uso de paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio
y se reducen los términos semejantes, si los hay.
26
PRODUCTOS NOTABLES:
xy x ay a
EJEMPLO PSU-3: La expresión : es igual a:
y y2
27
A) 0
a
B)
xy
ax
C)
y
xa(y 1)2
D)
y3
xy
E)
a
A) 2a + 2b
B) a - b + 2
C) a + b + 2
D) a + b
E) -2a - 2b
EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectángulo mide 3x + 2y. Si su perímetro mide 10x + 6y,
¿cuánto mide el ancho del rectángulo?
A) 2x + y
B) 4x + 2y
C) 7x + 4y
D) x + 2y
7
E) x + 2y
2
EJEMPLO PSU-7: El área de un rectángulo es 2 x 2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x -
3), el otro lado mide
A) (x + 8)
28
B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4)
D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)
1 a2b2 1 1
EJEMPLO PSU-8: Si a 9 y 2
36 , entonces a
b b b
A) -9
B) 6
C) 4
D) 3
E) 1
z
EJEMPLO PSU-10: Si la base de un triángulo mide z y su altura mide , entonces
2
¿cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene igual área que el triángulo?
z
A)
4
z
B) 2
2
C) z
z
D)
2
2
E) z
4
29
x2 y2
A)
xy
xy
B)
xy
C) 1
2x 2y
D)
xy
E) 2
A) w 2 – 12w - 14
B) w 2 – 12w + 22
C) w 2 – 12w -5
D) w 2 – 12w + 13
E) w 2 – 12w + 14
A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10
E) Ninguno de los valores anteriores
A) k + 1
B) k + 2
C) k – 6
D) k – 3
E) k – 2
30
III) El área de AEFD es b2 + ab
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
es:
A ) 2 3 2( n 3)
B) 2 3( n 3)
C ) 4 3 2( n 3 )
D ) 16 3 2 ( n 3 )
E) 8 3 2( n 3 )
EJEMPLO PSU-20: a [a a (a a) a a] : a
A) –a2
B) –a
C) a
D) 2a
E) a - 2
31
5a 4 2a 6
EJEMPLO PSU-21:
3a 6 2a 4
2a 13
A)
3(a 2)
2a 5
B)
3(a 2)
2a 5
C)
3(a 2)
2a 3
D)
3(a 2)
3a 2
E)
a 10
32
m mr
EJEMPLO PSU-26: Sea m 0, al simplificar la expresión resulta:
2m
A) 0
r
B)
2
1r
C)
2
mr
D)
2
1 mr
E)
2
x x
EJEMPLO PSU-27: Al sumar con m se obtiene , entonces ¿cuál es el valor de de
t t2
m?
A) 0
2x
B)
t(t 2)
x
C)
t2
2x
D)
t(t 2)
2
E)
t(t 2)
A) 0
B) 50
C) 300
D) 350
E) 450
EJEMPLO PSU-29: Jorge compró tres artículos distintos en $(4a + b). El primero le costo $a
y el segundo $(2a – b). ¿Cuánto le costo el tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
33
EJEMPLO PSU-30: El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6,5
entonces, el sucesor de ese número entero es:
A) 6
B) 7
C) 8
D) 14
E) Ninguno de los anteriores
3x
EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectángulo es y el largo es el doble del ancho.
2
¿Cuánto mide su perímetro?
9x 2
A)
2
B) 3x
9x
C)
2
D) 9x
E) 6x
1 1 1
EJEMPLO PSU-32: Si a ,b yc , entonces la expresión x – (a + b + c)
2x 4x 6x
equivale a:
12 x 2 11
A)
12 x
2
x 7
B)
12 x
11x
C)
12
11
D)
12 x
7
E)
12 x
Se sabe que a y b son positivos y a > b. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
34
III. a(a + b) > a2 + b2
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados
de lado x cada uno. ¿Cuál es el área sombreada?
A) 8 – x
B) 64 – 4x2
C) 64 – x2
D) 8 – x2
E) 64 – x4
EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de
otro cilindro P, entonces
I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios
deben ser iguales.
II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las
alturas deben ser iguales.
III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio del cilindro P y las
alturas deben ser iguales.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
35
B) sólo II.
C) sólo III.
D) sólo I y II.
E) sólo I y III
n
EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n 2 3n es igual a:
3
A) 6
B) 9
C) 14
D) 17
E) 18
2 2
EJEMPLO PSU-39: x y x y
3 3
4 2
A) x y2
3
4 2
B) x y2
9
2 2
C) x y2
9
4 2
D) x y2
6
E) Ninguna de las expresiones anteriores
xy
1
xy
EJEMPLO PSU-41: para que la expresión sea positiva, se debe cumplir
xy
1
xy
necesariamente que:
A) xy < 0
B) x < 0
C) xy > 0
D) y < 0
E) x > y
36
EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, ¿cuál es el valor de la expresión x 2 x 3 x 4 ?
A) -9
B) -3
C) -1
D) 1
E) 3
V. SIMBOLOGÍA:
37
1
∗El inverso multiplicativo o recíproco de un número =
n
∗El triple de un número = 3n
∗Un número de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra
de las decenas es d = 10d + u
∗ Un número de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra
de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
p
∗La razón o cuociente entre p y q =
q
∗ El valor absoluto de un número = | n |
p
∗p es directamente proporcional a q = k ( cons tan te )
q
∗ p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)
38
EJEMPLO PSU-3: El enunciado: “A un número d se le suma su doble, y este resultado se
multiplica por el cuadrado del triple de d”, se escribe
A ) d 2d 3d 2
B ) d 2d ( 3d ) 2
C ) (d 2d ) ( 3d ) 2
D ) (d 2d ) 3d 2
E ) (d 2 ) ( 3d ) 2
EJEMPLO PSU-4: Un número real n, distinto de cero, sumado con su recíproco, y todo al
cuadrado, se expresa como
2
1
A) n
n
2
1
B) n 2
n
2
1
C) n
n
D) n ( n ) 2
E) n 2 ( n ) 2
EJEMPLO PSU-6: “Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t”,
se escribe
5m m 2
A)
t
m
m2
B) 5
t
m2
C) 5m
t
m m2
D)
5 t
m
2m
E) 5
t
39
EJEMPLO PSU-7: María (M) tiene dos años menos que el 25% de la edad de Juan (J). Si
hace dos años Juan tenía 10 años, ¿en cuál de las siguientes opciones se plantean
correctamente las ecuaciones que permiten calcular las edades de María y Juan?
J
A) M 2 y J 2 10
4
J
B) M 2 y J 2 10
4
J
C) M 2 y J 2 10
4
J
D) M 2 y J 10
4
J
E) M 2 y J 2 10
4
EJEMPLO PSU-8: hace 3 años Luisa tenía 5 años y Teresa a años. ¿Cuál será la suma de
sus edades en a años más?
A) (11 + 3a) años
B) (11 + 2a) años
C) (11 + a) años
D) (8 + 3a) años
E) (5 + 3a) años
EJEMPLO PSU-9: La expresión: “El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del
doble de (3 – b)” se representa como:
A) 2(3 b 2(3 b)2
2
EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291.
¿Cuál de las siguientes expresiones representa al planteamiento algebraico de este
problema?
A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291
B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
C) (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291
D) (x – 1)2 x2 (x + 1)2 = 291
E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291
40
EJEMPLO PSU-12: La expresión: “para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4
unidades”, se expresa como
A) 2a + c + 4 = 18
B) 2(a + c) – 4 = 18
C) 2(a + c) + 4 = 18
D) 4 – 2(a + c) = 18
E) 2a + c – 4 = 18
x y
PROPORCIÓN es la igualdad de dos razones. Se escribe ó x: a = y : b
a b
Y se lee “x es a a como y es a b”; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL
En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
(x : a = y : b) (x · b = y · a)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
41
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores
correspondientes es constante.
OBSERVACIONES:
En una proporción directa, si una cantidad
aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo número de veces.
El gráfico de una proporcionalidad directa
corresponde a una línea recta que pasa por el
origen
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores
correspondientes es constante
x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ..........= xn · yn = k k : constante
OBSERVACIONES:
En una proporcionalidad inversa, si una
cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra
disminuye (o aumenta) el mismo número de
veces.
El gráfico de una proporcionalidad inversa
corresponde a una hipérbola equilátera
42
1I. 4 electricistas harán el trabajo en 3 días, trabajando 8 horas
diarias.
2II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.
3III. La constante de proporcionalidad es 3.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total
300 árboles. Si hay 120 naranjos y la razón entre los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces
¿cuántos duraznos hay en la quinta?
A) 54
B) 77
C) 84
D) 126
E) 210
EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la
razón de sus longitudes sea 8: 6: 4. ¿Cuánto mide cada trozo de alambre, de acuerdo al
orden de las razones dadas?
A) 180 mm 120 mm 90 mm
B) 420 mm 180 mm 120 mm
C) 320 mm 240 mm 160 mm
D) 510 mm 120 mm 90 mm
E) Ninguna de las medidas anteriores
43
1
EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al número y cuando a
b
toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el valor 6, entonces el valor de b es:
A ) 10
8
B)
5
5
C)
8
1
D)
10
15
E)
4
EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales entre sí. Para
mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N
A) aumenta al doble.
B) disminuye a la mitad.
C) aumenta en dos unidades.
D) disminuye en dos unidades.
E) se mantiene constante.
1
EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a . Según los
y
a
datos registrados, el valor de , es
b
A) 256 z y
B) 16 8 2
1 a 4
C) 1 16
16
D) 64 1 b
1 4
E)
64
44
EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la distancia entre dos
ciudades es 3,5 cm, ¿cuál es la distancia real entre ellas?
A 1,75 km
B 17,5 km
C 175 km
D 1.750 km
E 17.500 km
EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la razón entre los
pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =
A) 4: 7
B) 4: 3
C) 7: 4
D) 3: 7
E) 3: 4
EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta de modo que sus
volúmenes están en la razón 1: 2:3. Si el volumen del segundo tipo es de 4 litros, ¿cuántos
litros tiene la mezcla total?
A 6 litros
45
B 10 litros
C 12 litros
D 14 litros
E 16 litros
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) I, II y III
E) Ninguna de ellas
46
EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artículos en un día, ¿cuántos hombres
se necesitan para fabricar x artículos en un día?
hx
A)
50
50x
B)
h
x
C)
50h
h
D)
50x
E) Ninguno de los valores anteriores
47
EJEMPLO PSU-21: Si el índice de crecimiento C de una población es inversamente
proporcional al índice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D =
0,25, entonces entre ambos índices se cumple:
A) D = 0,5C
B) D = C2
0,5
C) D =
C
D) D = 0,125C
0,125
E) D =
C
EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratará un cierto número de
electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demorarían 6 días, trabajando 8 horas
diarias, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Si se contrataran 4 electricistas, se demorarían 3 días, trabajando 8 horas diarias
II) El número de electricistas y el número de días son variables directamente
proporcionales
III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los
términos de la proporción es 100:
P
P% de C = C
100
48
ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de los
tantos por cientos
a b
El a% del b% de C = C
100 100
INTERÉS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo es fijo. La cantidad final CF después de cumplido el periodo n está dada por la
fórmula:
i
C F C 1 n
100
INTERÉS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n
unidades, en un régimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de
tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una nueva cantidad.
La fórmula para calcular la cantidad final CF después de cumplido el periodo n es:
n
i
C F C 1
100
A) 108
B) 72
C) 180
D) 90
E) 54
EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres años gana $157,5. Calcular el
interés simple anual.
A) 5%
B) 5,25%
C) 5,5%
D) 5,75%
49
E) 15,75%
EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos más dos pantalones valen $ 70.000 en una tienda. Se
ofrece una oferta, al comprar dos o más pares de zapatos del mismo precio se descuenta
un 10% en cada par y por tres o más pantalones del mismo precio un 15% en cada
pantalón. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de zapatos.
¿Cuánto pagó Juan por los dos pares de zapatos?
A) $ 45.000
B) $ 50.000
C) $ 57.150
D) $ 72.000
E) $ 81.900
A) $ 254.625
B) $ 532.000
C) $ 1.275.000
D) $ 1.812.500
E) $ 3.962.500
EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitarían
10 vasos para llenar el jarro.
II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitarían 4 vasos
para llenar el jarro.
III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para 40.000 personas
sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el
25% de su capacidad y el B llena sólo el 50%. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s) ?
I) El estadio A registró mayor asistencia de público que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habría quedado en
éste, menos del 50% de sus asientos vacíos.
III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la
capacidad de B.
50
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
A) 4 litros.
B) 24 litros.
C) 40 litros.
D) 60 litros.
E) ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las ponderaciones 30%,
30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la
segunda. ¿Qué nota debe obtener en la tercera prueba para que su promedio final sea un
5,1?
A) 5,0
B) 5,1
C) 5,2
D) 6,0
E) 6,3
A) Se mantiene igual.
B) Aumenta en un 4%.
C) Disminuye en un 4%.
D) Aumenta al doble.
E) Disminuye a la mitad.
51
1
I) del precio del artículo
8
II) El precio del artículo multiplicado por 12,5
III) El precio del artículo dividido por 100 y multiplicado por 12,5
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente por una actividad
extraprogramática: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta
parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la mejor estimación del porcentaje de
estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?
EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60 m 2 en el primer piso
y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el
52
metro cuadrado y la otra es un 60% más cara, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa el costo total C en alfombras?
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del
precio marcado de una mercadería. Si la mercadería tiene un precio marcado de $ 600,
¿cuánto me descuentan?
A) $ 555
B) $ 510
C) $ 255
D) $ 45
E) $ 90
53
EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo siguiente: “Antes $ 400,
ahora $ 300”. Con respecto al precio original, ¿cuál es el porcentaje de rebaja?
4
A) %
3
B) 10%
C) 25%
D) 33, 3 %
E) 75%
EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relación entre los que practican teatro
y los que no practican es 1: 5 respectivamente. ¿Qué porcentaje practica teatro en relación
al total del curso?
A) 20%
B) 80%
C) 16,6…..%
D) 83,3…..%
E) No se puede determinar
EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la siguiente manera: M
recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000
más un 2% de las ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes, vende
$ 12.000.000 y sólo el 30% corresponde a ganancias, ¿cuánto recibe como sueldo, ese mes,
cada empleado?
M P
A) $ 288.000 $ 72.000
B) $ 288.000 $ 172.000
C) $ 388.000 $ 172.000
D) $ 960.000 $ 240.000
E) $ 960.000 $ 340.000
EJEMPLO PSU-22: Un banco paga interés con una tasa anual del 100%. Si se abre una
cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo año habrá en
la cuenta, en pesos,
100
A) 1.000 + 1.000
12
12
100
B) 1.000 + 1.000
12
C) 2.000
100
D) 1.000
12
12
100
E) 1.000 1
12
EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que corresponden a la quinta
parte del total T de gallinas. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
54
4
I) Las gallinas que no son blancas son T
5
II) El 20% de las gallinas son blancas
III) El número total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el número de
gallinas que son blancas
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en un 15%. ¿Por cuál
número se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?
A) Por 15%
B) Por 0,15
C) Por 1,5
D) Por 1,15
E) depende del precio de cada artículo
EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de interés
compuesto n veces al año, entonces la cantidad P en la cuenta al final de t años está dada
nt
1
por: P C1 .Al invertir $50.000 al 6% anual de interés compuesto
100n
trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de:
A ) 50.000 ( 1,06 ) 4
B ) 50.000 ( 1,06 ) 3
C ) 50.000 ( 1,18) 4
D ) 50.000 ( 1,015) 3
E ) 50.000 ( 1,015) 4
EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000 de compra, una
estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artículo
en $ 19.800, ¿a cuánto asciende el valor de las estampillas de descuento?
A) $ 600
B) $ 750
C) $ 792
D) $ 800
E) $ 19.200
55
EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razón entre los alumnos que practican
teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. ¿Qué porcentaje de alumnos practica teatro
con respecto al total de alumnos del curso?
A) 83, 3 %
B) 80%
C) 20%
D) 16, 6 %
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-29: ¿A qué interés simple anual debe colocarse un capital de $1.000,
durante tres años, para obtener una ganancia de $ 157,5?
A) 5,0%
B) 5,5%
C) 5,27%
D) 5,25%
E) 5,05%
VII. RAÍCES
PROPIEDADES
56
RAÍZ DE UNA RAÍZ
n m nm
a a
RACIONALIZACIÓN
EJEMPLO PSU-1: 5 12 2 27
A) 16 3
B) 4 3
C) 2 3
D) 3 3
E) No se puede det er min ar
1 1 4
EJEMPLO PSU-2: 6 5 8
4 16 25
61
A)
20
7 6 2
B)
2 4 5
151
C)
20
7
D) 6 5 8
20
E) Ninguno de los valores anteriores
57
EJEMPLO PSU-3: 3
a2x 2
3
ax 1
A) a3x 3
6
B) a3x 3
C) a3x
D) a x 3
E) a x 1
III) x2 x
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Ninguna de ellas.
2
EJEMPLO PSU-6: 3
=
2
3
A) 4
3
B) 2
6
C) 8
6
D) 2
E) 1
58
III) a2bc
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
2 7 14
EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresión resulta
7
A) 2 3
B) 2 14
C) 2 2
D) 2 7 2
E) 4
EJEMPLO PSU-9: 12 2 8 3
A) 3 2
B) 15
C) 10 5
D) 20 5
E) Ninguno de los valores anteriores
55 55 55 55 55
EJEMPLO PSU-11:
3
55 55 55 55 55
59
A) 5
5
B) 5 6
C) 1
2
D) 53
3
E) 5 2
60
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) irracional(es)?
I) 2 8
II) 3 3 3
6
III)
24
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
6 3
EJEMPLO PSU-16:
2 2 2 2
A) 0
3
B)
2 2
C) 6 9 2
69 2
D)
2
63 2
E)
2
11 1
EJEMPLO PSU-19: Dados los números reales 3 2 , , 7 , 2 3 , 4 , al
3 3
ordenarlos de menor a mayor, el término que queda en el centro es:
61
A) 2 3
B) 3 2
C) 7
11
D)
3
1
E) 4
3
EJEMPLO PSU-20: (5 2 3 )( 3 5 2 )
A) 25 5
B) 24 5
C) 7
D) 47
E) 0
C) 2 4
D) 214
E) Ninguno de los números anteriores
62
VIII. ECUACIONES:
B. ECUACIONES LINEALES:
63
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x 1,
y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
d AB ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB
son
(α = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si y sólo si (m < 0)
64
L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa
La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es
La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es
RECTAS PARALELAS
RECTAS PERPENDICULARES
65
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen
un sistema de ecuaciones lineales.
La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:
Ax + By = C
Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales.
Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas
ecuaciones.
OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta
en un sistema de ejes coordenados.
i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema
(figura 1).
ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2).
iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3).
L1 L2 L1 L2 L1 L2 L 1 L 2 ∅ (Vacío)
66
MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas,
en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un
sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así
una ecuación con una incógnita.
a1x b1y c1
Sea el sistema: Entonces:
a2 x b2 y c2
a1 b1
* El sistema tiene solución única si
a2 b 2
a1 b1 c1
* El sistema tiene infinitas soluciones si
a2 b 2 c 2
a1 b1 c1
* El sistema no tiene solución si
a2 b 2 c 2
EJEMPLO PSU-2: Una recta que contiene al punto P 1 de coordenadas (1, 3) tiene
pendiente 2, otra recta perpendicular con ella contiene al punto P 2 de coordenadas (8, 2).
Ambas rectas se cortan en el punto P cuya abscisa x vale
A) − 5
B) − 2
C) 2
D) 5
1
E) −
2
1x 2
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación ?
15 5
67
A) - 5
B) 5
C) – 25
D) 25
E) – 35
A) $ 600
B) $ 580
C) $ 547
D) $ 537
E) $ 530
EJEMPLO PSU-5: En la figura las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces ¿cuál de las
siguientes opciones representa a la ecuación de la recta L 1?
5
A) y x 2
4
5
B) y (x 2)
4
4
C) y (x 2)
5
4
D) y x 2
5
5
E) y (x 2)
4
68
7
D)
2
13
E)
6
3
EJEMPLO PSU-8: Si 1 9, entonces x
x
9
A)
2
2
B)
9
9
C)
2
8
D)
3
3
E)
8
A) B) C)
D) E)
69
3x my 9
EJEMPLO PSU-10: En el sistema,
nx 4y 11
¿Qué valores deben tener m y n para que la solución del sistema sea el par (1,−3) ?
m n
A) − 2 1
B) − 2 − 1
C) 2 1
D) 4 −23
E) Ninguno de los valores anteriores
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
A) (2,3)
B) (2,1)
C) (3,-2)
D) (0,2)
E) (3,2)
EJEMPLO PSU-13: Juan en 10 años más tendrá el doble de la edad que tenía hace 5 años.
¿Qué edad tendrá Juan en un año más?
A) 21 años
B) 20 años
C) 16 años
D) 15 años
E) 11 años
70
EJEMPLO PSU-14: Un grupo de amigos salen a almorzar a un restaurante y desean
repartir la cuenta en partes iguales. Si cada uno pone $ 5.500 faltan $ 3.500 para pagar la
cuenta y si cada uno pone $ 6.500 sobran $ 500. ¿Cuál es el valor de la cuenta?
A) $ 20.000
B) $ 22.000
C) $ 25.500
D) $ 26.000
E) $ 29.500
A) $(s 3p)
s 3p
B) $
2
s 3p
C) $
2
s p
D) $
2
E) $(s 3p)
2x 1
EJEMPLO PSU-16: Si 3 , entonces ¿cuánto vale x?
1 3x
2
A)
7
4
B)
7
2
C)
5
D) 2
E) 4
A) 9
B) 16
C) 18
27
D)
10
E) Ninguno de los valores anteriores
71
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por
la ecuación x = a?
EJEMPLO PSU-19: Un padre reparte 12.000 hectáreas entre sus tres hijos. Al menor le da x
2
hectáreas, al del medio los de las hectáreas del menor y al mayor la mitad de las
3
hectáreas de su segundo hijo. El hijo mayor recibió
A) 2.000 hectáreas
B) 4.000 hectáreas
C) 5.333, 3 hectáreas
D) 6.000 hectáreas
E) 8.000 hectáreas
5x ky 2
EJEMPLO PSU-20: ¿Para qué valor de k el sistema no tiene solución?
3x 2y 3
A) 2
B) -2
10
C) -
3
4
D) -
3
3
E) -
2
x2
EJEMPLO PSU-21: ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 1 ?
3
A) -9
B) -5
C) -1
1
D)
3
E) 1
72
26
A) 0,03x
5
B) 3x 5,2 10 2
3 1
C) x 5
100 5
3
D) x 5,2
100
E) 3 10 2 x 5,2
a b 6
EJEMPLO PSU-23: Si 1 1 2 , entonces a b =
a b 3
A) 3
B) 9
1
C)
3
2
D)
3
E) 1
EJEMPLO PSU-25: En un local de flores se venden claveles por unidades. Juan y Luis
compran en el local 1 ramo de claveles cada uno. El ramo de Juan tiene 12 claveles y le
costo $ a. ¿Cuánto pagó Luis por su ramo si tiene 4 claveles más que el de Juan?
A) 4a
B) 16a
a
C)
3
3a
D)
4
73
4a
E)
3
EJEMPLO PSU-26: La señora Pilar acostumbra a comprar todas las semanas 3 kilogramos
de plátanos y 2 kilogramos de manzanas. Cierta semana gastó $1.850. Como en la semana
siguiente los plátanos habían subido $ 50 por kilogramo y las manzanas habían bajado $ 30
por kilogramo, cambio su costumbre y compró 2 kilogramos de plátanos y 3 kilogramos
de manzanas y gastó $1.910. ¿Cuánto costaba el kilogramo esa cierta semana?
A) $450
B) $350
C) $400
D) $346
E) $292
EJEMPLO PSU-27: Al ubicar los puntos A(-1,-2), B(5,-2) y C(5,3), en el sistema de ejes
coordenados, se pude afirmar que:
I) AB BC
II ) AB es paralelo al eje X
III ) ( 0 ,5) es un punto del trazo BC
Es(son) correcta(s):
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
x y 7a 3b
EJEMPLO PSU-28: Según el sistema , ¿cuál es el valor de y?
x y 7a 3b
A) 6b
B) 3b
C) b
D) -b
E) -3b
EJEMPLO PSU-29: Dada la recta L, donde a y b son positivos, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
A) Sólo II
B) Sólo I y II
74
C) Sólo II y III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-34: Se corta una tabla de 3 metros de largo en dos partes, de modo que
una de ellas es 50 cm más larga que la otra. ¿Cuáles son las longitudes de cada parte?
A) 250 cm y 50 cm
B) 150 cm y 150 cm
C) 175 cm y 125 cm
D) 200 cm y 100 cm
E) Ninguna de las medidas anteriores
75
EJEMPLO PSU-35: En la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La pendiente de AD y de BC no es un número real
II) La pendiente de DC es cero
III) La pendiente de AB es positiva
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-37: Jorge compró tres artículos distintos en $ (4a + b). El primero le costó $
a y el segundo $ (2a – b). ¿Cuánto le costó el tercero?
A) $ a
B) $ 7a
C) $ (3a – b)
D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
2t 1
EJEMPLO PSU-39: Si 4 , entonces t =
2
76
A) 5
B) 3
3
C)
2
9
D)
2
7
E)
2
EJEMPLO PSU-40: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un licor Q. Si 6 litros del
licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, ¿cuál es el precio de los 5 litros de mezcla?
ab
A) $
3
ab
B) $
5
C ) $( 2 a 3b )
3a 2 b
D) $
18
5 ( 3a 2 b )
E) $
18
77
VII-2: DESIGUALDADES
Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a b ó a b. las
desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:
INTERVALOS
Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y
b. se simboliza por a , b
Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos
ambos. Se simboliza como [a,b]
78
Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, que incluye al extremo a pero excluye al extremo b. se simboliza
por: a, b
Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales
comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza
por: a, b
a , b x R / a x b
En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este
caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo
a , b x R / a x b
En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, que
dichos puntos pertenecen al intervalo
a , b x R / a x b
a , b x R / a x b
Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El
conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S 1,
S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del
sistema, entonces: S S1 S2 S3 .... Sn
PROBLEMAS DE INECUACIONES
79
En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ó ,
tales como: “a lo menos” (), “cuando mucho” (), “como mínimo” (), “como máximo (),
“sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de
inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de
ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema.
x 1 2
?
x 1 2
A) 1,3
B) ,3 3,
C) ,1 3,
D) 1,3
E) 3,
EJEMPLO PSU-2: ¿Cuál es el conjunto solución de todos los números que están a una
distancia mayor que 6 de 0 y a una distancia menor que 20 de 8?
A) 6,8
B) 6,28
C) .12,6 6,28
D) ,28
E) ,12 6,6 28,
80
13
A) x
2
13
B) x
2
13
C) x
2
13
D) x
2
2
E) x
13
2x 4 6
EJEMPLO PSU-4: Según el siguiente sistema de inecuaciones x 1 4 , ¿cuál
es el gráfico solución?
A) B)
C) D)
E)
81
EJEMPLO PSU-7: El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de
3x 6 3
inecuaciones es
4 2x 6
B. ECUACIONES CUADRATICAS:
2
· Fórmula cuadrática: x b b 4 a c
2a
82
∆ = 0…. 2 raíces reales e iguales
∆ < 0…. No tiene raíces reales
b c
· Propiedades de las raíces: x1 x 2 x1 x 2
a a
EJEMPLO PSU-1: Según la ecuación y = x2 – 2x + a, es correcto afirmar que:
I. Si a > 1, existen dos intersecciones con el eje X.
II. Si a = 1, existe solo una intersección con el eje X.
III. Si a < 1, no hay intersección con el eje X.
A) Sólo I
B) I y II
C) II y III
D) Sólo II
E) Sólo I y III
83
2
EJEMPLO PSU-5: ¿Cuál es el menor valor para la expresión x 2 cuando x satisface la
x
15
igualdad x 16 ?
x
A) 4
B) 3
C) 1
D) 0
E) -1
IX. LOGARITMOS:
84
( 1) log a 1 0
( 2 ) log a a 1
( 3) log a ( x y ) log a x log a y
x
( 4 ) log a log a x log a y
y
( 5) log a x y y log a x
1
( 6 ) log a n
m log a m
n
log b
· Cambio de base: log a b
log a
1
EJEMPLO PSU-2: Si log 2 entonces x vale:
x
1
99
A)
100
B) 99
99
C)
100
101
D)
100
19
E)
20
A ) log 6 log 2
B ) log 10 log 2
C ) 2 log 6
D ) log 2 log 2 log 3
E ) log 6 log 2
85
1
log 2 8 log 3
EJEMPLO PSU-4: El valor de la expresión 9
es
log 4 16
5
A)
2
1
B)
2
C) 3
5
D)
4
7
E)
4
A) 0
B) 1
C) 2
D) a
E) a2
86
EJEMPLO PSU-8: ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
1
I ) log 3 2
9
II ) Si log 3 x 2 , entonces x 3
1
III ) Si log x 49 2 , entonces x
7
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
X. FUNCIONES:
DEFINICIÓN: función
87
Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada
elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como: y
f: A → B x y
x → f(x) = y Re corrido
x
Do min io
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y
∗ Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se
denota Dom f.
∗ Recorrido: Es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y), y se
denota Rec f.
∗ Función Creciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, también
aumenta la variable dependiente.
∗ Función Decreciente: Es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable
dependiente disminuye.
∗ Función Constante: Es aquella que para todos los valores de la variable independiente,
la variable dependiente toma un único valor.
A. FUNCION DE PRIMER
y f (x) f (x) y
GRADO:
a>0
a<0 m negativa
m positiva
88
x x
∗ f(x) = ax + b
B. FUNCION LINEAL: y
C. FUNCION IDENTIDAD: y
x
∗ La recta pasa por el origen.
∗ Existe una proporcionalidad directa entre x e y.
TRASLACIÓN DE FUNCIONES
Si f(x) = ax entonces:
f(x) = ax + k, k > 0 f(x) = ax + k, k < 0 f(x) = a(x – h), h < 0 f(x) = a(x – h), h > 0
89
El valor absoluto de un número real x, denotado por x , es siempre un número real no
negativo.
x Si x 0
f(x) = x
, xR
x, Si x 0
Representaciones gráficas
E. FUNCION CONSTANTE: 3
F. FUNCION CUADRATICA: y
90
Concavidad: Es la abertura que tiene la parábola
CEROS DE LA FUNCIÓN
Los ceros (o raíces) de la función cuadrática son los valores x1 y x2 para los que y = 0
91
DISCRIMINANTE
La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante, pues determina la naturaleza de las
raíces de la ecuación cuadrática asociada a la función y = ax2 + bx + c
EJE DE SIMETRÍA
El eje de simetría de una parábola es una recta que divide a esta curva en dos “ramas”
congruentes.
VÉRTICE DE LA PARÁBOLA
El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría.
92
Si x es un número real no negativo, se define la función raíz cuadrada de x por
OBSERVACIONES:
i. La función es creciente.
ii. La función raíz cuadrada es considerada como un modelo de crecimiento lento.
∗ Su dominio son los IR+ U {0}.
H. FUNCION EXPONENCIAL:
I. FUNCION LOGARITMICA:
93
Una función f definida por f( x ) log a x , con a R , a 1 y x 0 se denomina función
logarítmica
f ( x ) log 2 x
f ( x ) log 2 x
f( x ) log 1 x
2
f( x ) log 1 x
2
94
Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o
igual a x.
Dado que todo número real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo el
número 6,215, esta función persigue que al número real 6,215 se le asocie el número real 6.
Su representación gráfica es
APLICACIONES LINEALES
En el quehacer cotidiano hay muchos problemas que se tratan con funciones, y por ende,
es necesario saber expresar una situación práctica en términos de una relación funcional.
La función que se obtiene produce un modelo matemático de la situación.
2x 3
EJEMPLO PSU-1: Si f(x) , entonces f(7) es igual a:
2
95
A) 4
17
B)
2
11
C)
2
11
D)
2
17
E)
2
EJEMPLO PSU-3: ¿En cuál de las opciones siguientes se grafican las funciones f(x) = 2x + 1
y g(x) = x2 + 1?
A) B) C)
D) E)
EJEMPLO PSU-4: La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 100t − 5t2,
donde t se mide en segundos y la altura y(t) se mide en metros, entonces ¿en cuál(es) de
los siguientes valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo?
96
I) 6 segundos
II) 10 segundos
III) 14 segundos
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en I y en II
E) Sólo en I y en III
1
EJEMPLO PSU-5: Considere la parábola y ( x 1) 2 ¿Cuál(es) de las siguientes
2
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La parábola se abre hacia arriba
II) Su vértice se encuentra en (1,0)
III) Su eje de simetría es x = 1
A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
97
D) y = (– x – 1)(x – 2)
E) y = (x + 1)(– x – 2)
EJEMPLO PSU-9: Sea f(x) una función tal que: f(x − 1) = x2 − (a + 1)x + 1, entonces el valor
de f(a) es
A) 1
B) 1 − a
C) 2 − a
D) 1 + a
E) 3 − 2a
EJEMPLO PSU-10: Sea f una función en los números reales, definida por f(x) = tx + 1 y f(-
2) = 5 ¿Cuál es el valor de t?
A) -3
B) -2
C) 3
D) 2
3
E)
2
98
D) 0
E) –1
EJEMPLO PSU-14: Si f(x) = 4x2, g(x) = x3 y h(x) = x4, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) f(x) g(x), para todo número real x distinto de cero.
II) f(x) = h(x), para algún número real x distinto de cero.
III) f(x) < g(x) < h(x), para todo número real x distinto de cero.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
1x
EJEMPLO PSU-16: Sea f una función cuyo dominio es R –{-1} definida por f ( x ) ,
x1
entonces f(-2)
A) 1
B) -1
C) 3
D) -3
1
E) -
3
EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la función real y = [x +1]
99
EJEMPLO PSU-18: ¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x)
= -(x + 1)2 + 1?
100
A) y = -12 + 0,5x
B) y = - 0,5 + 12x
C) y = 12 + 0,5x
D) y = 12 – 3,5x
E) y = 12 – 0,5x
101
A) 2x
B) x x
C) x x
D) x x
E) 3 x x
EJEMPLO PSU-26: El servicio de agua potable de una localidad rural tiene las siguientes
tarifas según tramo de consumo:
Consumo en m3 Precio
0-9 $3.000
10 – 19 $ 8.000
20 o más $11.000
Además, siempre se agrega un cargo fijo de $ 4.000. Si el consumo no corresponde a un
número entero, éste se aproxima al entero superior. ¿Cuál de los siguientes gráficos
interpreta el sistema de cobros de la empresa?
102
EJEMPLO PSU-27: En la figura ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son)
verdadera(s)?
I) La pendiente de la recta es igual a 5
II) El punto (1,15) pertenece a la recta
III) La ecuación de la recta es y = 5x - 10
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-28: Dada la siguiente figura: ¿Cuál es la ecuación que mejor representa al
gráfico de la figura?
A) y = x2
B) y = x3
C) y = 4x4
D) y = 4x
E) y = 4x2
103
EJEMPLO PSU-29: La relación entre el radio y el área de una circunferencia es: A π r 2
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
1I. π es variable.
2II. r es variable y A sólo toma valores positivos.
3III. A es función de r.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
x3 x
EJEMPLO PSU-30: Dada la función f( x ) , entonces f(-4)=
2x
11
A)
6
1
B)
2
1
C)
2
11
D)
6
E) Otro valor
EJEMPLO PSU-31: Un taxista tiene un cobro fijo de $ 150 y cobra, además, $ 300 por cada
Km. recorrido. Entonces la función que relaciona el valor (y) y los kilómetros recorridos (x)
es:
A ) y 150 300 x
B ) y 150 x 300
C ) y 150 x 1 300
D ) y 150 300 x 1
E ) y 150 300 x 1
104
1
A) y5
2
1
B) - 1 y
2
C) 2 y 2
1 13
D) y
2 2
E) 2 y 10
EJEMPLO PSU-34: Una compañía telefónica ofrece dos planes alternativos de tarifas para
sus clientes:
Plan P): $ 10.000 de cargo fijo mensual, más $ 20 por minuto en llamadas de horario
diurno y $ 5 por minuto en llamadas de horario nocturno.
Plan Q): $ 14.000 de cargo fijo mensual con derecho a llamar hasta 500 minutos, en
cualquier horario; una vez usados los 500 minutos, se paga $ 20 por minuto, por llamadas
en cualquier horario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con
respecto a las llamadas mensuales de los clientes?
I) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 200 minutos en horario
nocturno, entonces le conviene el plan Q.
II) Si una persona llama 400 minutos en horario diurno y 600 minutos en horario
nocturno, entonces le conviene el plan P.
III) Si una persona llama 100 o más minutos en horario diurno y 400 minutos en
horario nocturno, entonces gasta lo mismo no importando el plan que contrate.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
105
I ) f ( 2 ) f ( 1)
1 1
II ) f
2 2
III ) f ( 2 ) 0
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
106
III) S b = 0, a < 0 y c < 0, entonces la gráfica de la función intersecta al eje x en dos puntos
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-41: ¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada por el
gráfico de la figura?
A ) f ( x ) 8x
B ) g( x ) 2 x 2
C ) h( x ) 4 x 2
D ) t( x ) 2 x 3
E ) s( x ) x 4
XI. ANGULOS:
Clasificación de ángulos
Según su medida, un ángulo puede ser:
107
DEFINICIÓN
Ángulo Agudo: su medida es menor que
90° AOB α 90º
DEFINICIÓN
Ángulo Recto: su medida es 90°, es decir,
mide la cuarta parte del ángulo completo. BOC 90
Se dice que sus lados son
“perpendiculares” ()
DEFINICIÓN
Ángulo Obtuso: Su medida es mayor que
90 90° y menor
AOB que
180 180°
DEFINICIÓN
BAC 180 Su medida es 180°
Ángulo Extendido:
Ángulos en el plano
DEFINICIÓN
Ángulos adyacentes: dos ángulos son
adyacentes si y solo si tienen en común el
vértice y un lado, y sus interiores no se
intersectan.
Ángulo BAC
adyacente al ángulo CAD
DEFINICIÓN
108
Ángulos complementarios: dos ángulos
son complementarios si la suma de sus
medidas es 90°.”Complemento” de un
ángulo es la medida del ángulo que le falta
1
para completar de giro (90°).
4
α β 90 , complemento de α 90 α
DEFINICIÓN
Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son
suplementarios si la suma de sus medidas
es 180°. “suplemento” de un ángulo es la
medida del ángulo que le falta para
1
completar de giro. (180°) α β 180
2
Suplemento de α 180 α
DEFINICIÓN
Ángulos opuestos por el vértice: son dos
ángulos cuyos lados forman dos pares de
rayos opuestos.
109
Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta
transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales
hay parejas que cumplen propiedades importantes
Ángulos Correspondientes.
Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con
L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el
nombre de correspondientes, y obviamente son
congruentes.
1 5 2 6 3 7 4 8
(1) α β si :
(2) 180
110
Observaciones:
(a) Bisectriz de un ángulo: Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual
medida (congruentes)
α β
(b) Rectas Perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo cuya medida
es de 90º
L1 L 2
111
Triángulo
DEFINICIÓN
Un triángulo lo podemos
entender como la unión de tres
segmentos determinados por tres
puntos no colineales. Estos tres
puntos se denominan vértices, y
los segmentos, lados del
triángulo; además, se determinan
tres ángulos, cuyos lados son los
lados del triángulo, y se
denominan ángulos interiores
del triángulo
DEFINICIÓN
112
Ángulo Exterior
Se llama ángulo exterior de un
triángulo, al ángulo formado por
un lado del triángulo y la
prolongación de otro.
α' ; β' ; γ' ángulos exteriores
Propiedades
(1) La medida de un ángulo
exterior es igual a la suma de las
medidas de los ángulos interiores
no adyacentes
α' β γ
β' α γ
γ' α β
Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos
113
Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo
interior obtuso
114
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
DEFINICIÓN
1. Transversal de gravedad.-
Es la recta que une un vértice, con el punto
medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb,
tc, donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres transversales de
gravedad se intersectan en un mismo punto
llamado Centro de Gravedad ( o baricentro)
115
DEFINICIÓN
2.- Altura.
Es la perpendicular bajada desde un vértice
al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ;
donde el subíndice indica el vértice por el
cual pasa. Las tres alturas se intersectan en
un mismo punto llamado Ortocentro.
AE BC ; BF AC ; CD AB
AE h a ; BF h b ; CD h c
h a h b h c H
H : Ortocentro
Observaciones:
∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo
∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puesto
que los catetos se confunden con las alturas.
116
DEFINICIÓN
3.- Bisectriz.-
Es la recta que pasa por un vértice y divide
al ángulo en dos ángulos congruentes. Se
denominan: b α ; b β ; b γ ; donde el
subíndice indica el ángulo que dimidia. Las
tres bisectrices se intersectan en un mismo
punto llamado Incentro, el cual
corresponde al centro de la circunferencia
inscrita al triángulo, se decir, el incentro
equidista de los lados del triángulo. El
radio de esta circunferencia se designa por
la letra griega “ ”.
AE AC FB AB CG BC
; b; ; CE bγ
EB AFCB bα ;FCBG AC β GA BA
b α b β b γ I
I: Incentro Propiedad: Las bisectrices dividen al lado
P, Q, R :Puntos de tan gencia opuesto en la razón de las medidas de los
lados que forman el ángulo
Observaciones:
∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al
triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices
DEFINICIÓN
4.- Simetral
117
donde el subíndice indica el lado al cual es
perpendicular.
El punto de intersección de las simetrales se
denomina Circuncentro y corresponde al
centro de la circunferencia circunscrita al
triángulo, es decir, el circuncentro es un
punto que equidista de los tres vértices del
triángulo. Su radio se designa por “r”
OD Sa ; OF Sb ; OE Sc
Sa Sb Sc O
O: Circuncentro
DEFINICIÓN
5.- Mediana
Propiedades:
La mediana es paralela al tercer lado:
RP // AB ; QR // AC ; PQ // BC
Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los
triángulos equiláteros e isósceles.
118
Observación: TRIÁNGULO EQUILÁTERO
PROPIEDADES
( 1) AB BC CA a
( 2 ) ángulos iguales a 60 cada uno ,
α 60
(3) Las transversales de gravedad, alturas
y bisectrices son una misma recta
t a tb t c ha hb hc bα bβ b γ
( 4 ) AM MB M ; punto medio
lado 3 a
( 5) Altura 3
2 2
(lado) 2 3 a 2
( 6 ) Área 3
4 4
(7 ) Radio de la circunferencia inscrita
lado 3 a 3
6 6
( 8) Radio de la circunferencia circunscrita
lado 3 a 3
3 3
TRIÁNGULO ISÓSCELES
119
PROPIEDADES
(1) AC BC ; AB base
( 2 ) α 1 α 2 ángulos basales
( 3) β ángulo del vértice
(4) La altura, bisectriz, simetral y
transversal trazadas desde el vértice del
ángulo distinto o trazadas a la base son
una misma recta. Para los otros vértices
y lados no ocurre lo Mismo hc = tc = b=
CM
u a v b
o bien
v b u a
EA b
EB a
TEOREMA DE PITÁGORAS
120
“El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a
la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos”
“Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c 2 =
a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo”
· Tríos pitagóricos: (a – b – c)
a b c
3 4 5
5 12 13
8 15 17
7 24 25
20 21 29
12 35 37
Teorema:
“Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto a
dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa”
AB
Tesis: BC
2
Teorema:
“En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la
hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa”
121
AC
Tesis: BM
2
Corolario:
“En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la
hipotenusa”
Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un
lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de
su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º)
Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del
arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que
abarcan los dos catetos es de 180º
TEOREMAS DE EUCLIDES
El triángulo de la figura es rectángulo en C y
CD es altura.
a y b: catetos
c: hipotenusa
p y q: proyecciones de los catetos a y b,
respectivamente.
122
Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes.
Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional
Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.
a2 p c
b2 q c
ab
hc
c
c2 a2 b2 c2 a2 b2
c2 a2 b2
OBSERVACIÓN:
“En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al
cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”
ab
ρ
abc
abc
s ; s : semiperímetro
2
123
PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA
124
EJEMPLO PSU-2: En la figura, si ABC y BDF son triángulos equiláteros y BFEC es un
rombo, entonces ¿cuál(es) de las expresiones siguientes es(son) verdadera(s) ?
I) x = z
II) x + y = EBD
III) x + y – z = 60°
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: Si sobre el tercio central de uno de los lados del triángulo equilátero
ABC se construye otro triángulo equilátero, como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El área del Δ DEF es la sexta parte del área del Δ ABC.
II) El lado FE es paralelo al lado AB .
III) El lado FE es perpendicular al lado AC .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
125
A) 2 3
B) 2 6
C) 3
D) 6
E) 12
EJEMPLO PSU-8: ¿Qué pasa con el área de un triángulo si su altura se divide por dos y se
mantiene su base?
1
A)
18
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
6
1
E)
9
126
p 4
EJEMPLO PSU-10: En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si yp+q=
q 1
10, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)
I) a + b = 6 5
II) h = 4
III) El área del triángulo ABC = 20
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
A) Se mantiene igual
B) Aumenta en un 4%
C) Disminuye en un 4%
D) Aumenta al doble
E) Disminuye a la mitad
EJEMPLO PSU-12: El perímetro del triángulo isósceles de la figura es 2s. Si uno de sus
lados iguales mide a, entonces la base c mide:
sa
A)
2
2s a
B)
2
C) s a
D) 2s a
E) 2(s a)
A) 32º
B) 39º
C) 45º
D) 52º
E) No se puede determinar, faltan datos
127
EJEMPLO PSU-14: El triángulo ABC es rectángulo en C. CD es perpendicular a AB .
AD = 9 y DB= 4 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I ) CD 6
II ) AC 117
III ) BC 52
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
1
EJEMPLO PSU-15: Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 0,25 cm y cm,
3
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
5
I) Su hipotenusa es igual a del cateto menor.
3
5
II) El área del triángulo es cm2
12
III) Su perímetro es igual a 1 cm.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
c
EJEMPLO PSU-16: En la figura, el ABC es rectángulo en C y hc = . ¿Cuál(es) de las
2
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) (p + q)2 = 4pq
p q
II) q ó p
2 2
III) El ABC es isósceles.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
128
XIII. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,
de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
AB PQ
AC PR
CB RQ
ΔABC ΔPQR
A P
B Q
C R
129
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos
ángulos adyacentes a ese lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido
entre ellos respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al
mayor de esos lados respectivamente iguales.
130
I) TR // VQ
II) PT // SV
III) RQV RPT
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II y III
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
131
I ) ΔAEC ΔADB
II ) ΔAEC ΔBED
III ) AC DB
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: En la figura, los triángulos ABC y DAE son isósceles congruentes de
bases BC y AE , respectivamente. Si BAC = 36º, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) ∡ DAC ∡ CAB
II) ABC ACD
III) AEP DCP
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
132
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
DEFINICIÓN:
Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del
uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus
lados homólogos proporcionales
∡A∡P
∡B∡Q
AB BC CD DE EA
∡ C ∡ R
PQ QR RS ST TP
∡D∡S
∡E∡T
133
similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma
forma”. Así, por ejemplo;
(1) todos los cuadrados son semejantes entre sí
(2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí
(3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí
En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes
entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las
circunferencias son semejantes entre si.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos,
motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras
Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre
dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas
anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la
ocurrencia de los otros restantes.
* TEOREMA FUNDAMENTAL
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los
ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro
Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo,
determina un triángulo semejante al primero
Si DE //AB , entonces CDE ~ CAB
Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son
semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le
son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de
lados homólogos proporcionales.
134
Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes
Hipótesis: ∡ A ∡ D y ∡C∡F
Tesis ABC DEF
Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con
un tercero, el primero y el tercero son semejantes.
Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos
comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes.
CA CB
C C'
C' A' C' B'
∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los
triángulos son semejantes.
AB BC CA
A' B' B' C' C' A'
∆ ABC ~ ∆ A’B’C’
Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas
LAL y LLL
135
Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos
son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que
le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares
de lados homólogos, proporcionales.
Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90°. Por
lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a
partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce:
136
Sea ABC A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ADC A’D’C’. De esa
CD AC
semejanza se deduce que:
C' D' A' C'
En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de
dos triángulos semejantes.
ha t b
c α .................. λ
h' a t' c b' α
perímetro ΔABC h b
c a ....................................
perímetro ΔA' B' C' h c' b a'
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón
en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera
2 2
área ΔABC b h
a c ..........................
área ΔA' B' C' b a' h c'
137
Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma
unidad, se establece una razón entre estas medidas.
Nota: MN es el segmento.
MN es la medida de MN
La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo.
Dicho número puede ser racional o irracional.
Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos
ángulos respectivamente congruentes.
Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los
triángulos equiláteros son semejantes)
Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus
perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos.
EJEMPLO PSU-1: ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo P es semejante con el
triángulo Q?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en I y en II
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
138
EJEMPLO PSU-2: Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud.
A 148,8 metros del pie de la torre y en la misma dirección que se proyecta la sombra, se
encuentra un poste que mide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la
sombra que proyectan la torre y el poste coinciden, ¿qué altura tiene la torre?
A) 200 metros
B) 198,4 metros
C) 113,2 metros
D) 112,5 metros
E) 110 metros
EJEMPLO PSU-4: Según la figura, ¿Cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son)
semejante(s)?
I) ΔACD y ΔBCE
II) ΔBEC y ΔAEB
III) ΔACD y ΔCAB
A) Sólo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: ¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?
139
A) Solo I y II
B) Solo I y III
C) Solo II y III
D) I, II y III
E) Ninguno de ellos son semejantes entre si
EJEMPLO PSU-7: En la figura se representa un poste y una niña. Si la niña tiene una
altura de 1 metro, y las sombras del poste y de la niña miden 7 metros y 50 centímetros,
respectivamente, ¿cuál es la altura del poste?
A) 3,5 metros
B) 7,1 metros
C) 14 metros
D) 35 metros
E) No se puede determinar
AN
EJEMPLO PSU-9: En relación a la figura, la razón es equivalente a:
NM
140
BC
A)
AB
AB
B)
BC
AC
C)
BC
AN
D)
NC
AM
E)
AC
EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso
tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra
proyectada por el segundo piso?
A) 8 m
B) 10 m
C) 15 m
40
D) m
3
E) No se puede determinar
XV. CUADRILATEROS:
1. CUADRADO:
· 4 ángulos interiores rectos
· 4 lados iguales D C
· Lados opuestos paralelos d1
· Las diagonales son iguales y son perpendiculares
· Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales)
d2 141
A B
a
· Las diagonales bisectan los ángulos
· Se puede inscribir una circunferencia
· Se puede circunscribir una circunferencia
·d= a 2
· p = 4a
· A = a2
D C
2. RECTANGULO:
· 4 ángulos interiores rectos
· Lados opuestos de igual medida d1
b
· Lados opuestos paralelos
· Las diagonales son iguales y se dimidian
d2
· Se puede circunscribir una circunferencia
· p = 2a + 2b A B
a
· A = ab
3. ROMBO:
· 4 lados iguales D C
· Lados opuestos paralelos
d2 d1
· Ángulos opuestos iguales
· Ángulos contiguos suplementarios
h
· Las diagonales son perpendiculares
· Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos
· Se puede inscribir una circunferencia e f
· p = 4a
ef
A B
· A = a · h // A = a
2
4. ROMBOIDE:
· Lados opuestos de igual medida D C
· Lados opuestos paralelos d1
· Ángulos opuestos iguales
· Ángulos contiguos suplementarios
· Las diagonales se dimidian h b
· p = 2a + 2b d2
·A=a·h
A B
a
B. TRAPECIOS:
b
1. TRAPECIO ESCALENO: D C
· Lados no paralelos no son δ γ
congruentes. c d
M N
h
α β 142
A B
a
· AB // CD
· α + δ = 180º
· β + γ = 180º
·p=a+b+c+d
(a b)
· A = MN · h / A = h
2
ab
MN
2
b
2. TRAPECIO ISOSCELES: D C
· Lados no paralelos son iguales (AD = BC) δ d1 γ
· AB // CD c d
· Las diagonales son iguales M N
· Ángulos contiguos suplementarios
·α=β d2
·γ=δ α h β
· p = a + b + 2c A B
(a b) a
· A = MN · h / A = h
2
3. TRAPECIO RECTANGULO:
· Uno de sus lados no paralelos es
b
perpendicular a las bases. D C
· AB es perpendicular a AD γ
· DA es perpendicular a DC
· AB // CD c d
· c = h = altura M N
· Ángulos en A y D son rectos h
· β + γ = 180º β
·p=a+b+c+d A B
(a b) a
· A = MN · h / A = h
2
4. MEDIANA DE UN TRAPECIO: D C
· Segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos. M N
· Es paralela a las bases.
A B
143
· MN = AB + DC
2
D
δ b
C. TRAPEZOIDES:
γ C
· No tienen lados opuestos paralelos. c
d
α β
A B
a
D
c
C · En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las
d sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.
(a + c = b + d)
b
B
A a
144
EJEMPLO PSU-2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) El área de FCGI es 12
II) El área de ABFI es 6
III) El área de AEIH es 3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2).
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro de la figura es 8 2 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 4 2 .
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos?
145
4a 2
A)
9
5a 2
B)
3
3a 2
C)
4
5a 2
D)
9
8a 2
E)
9
146
D) Sólo I y II
E) Sólo I y III
EJEMPLO PSU-9: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la
medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide
5
A)
2
1
B)
5
2
C) 5
3
2
D)
5
E) 1
EJEMPLO PSU-10: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los
triángulos son todos equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región
sombreada es
A) 42 cm
B) 46 cm
C) 48 cm
D) 50 cm
E) 56 cm
147
A) 3 m
B) 6 m
C) 12 m
D) 80 m
3 165
E) m
2
A) 4p + 3q
B) 4p + 4q
C) 3p + 3q
D) 3p + 2q
E) No se puede determinar
148
a2
A)
2
a2
B)
4
a2
C)
8
a
D)
4
a
E)
8
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II, III
149
B) 6
C) 2 3
D) 3 3
E) 3 2
EJEMPLO PSU-20: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:
9
A)
8
B) 1
C) 2
2 3
D)
3
E) 3 1
150
EJEMPLO PSU-24: EFGH es un rectángulo. Si Δ AHD Δ CFB y Δ DGC Δ BEA
entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) DCB DAB
II) DC AB
III) DCG ADG
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
A) 60 cm
B) 70 cm
C) 80 cm
D) 84 cm
E) 120 cm
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
151
A) 600 m2
B) 1.050 m2
C) 1.200 m2
D) 2.100 m2
E) 2.400 m2
A) Sólo III
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
XVI. POLIGONOS:
152
∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180 º( n 2 )
(n = número de lados del polígono)
∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º.
∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3
n( n 3 )
∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados: D
2
A. POLIGONOS REGULARES:
180º ( n 2 )
∗ Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: ángulo int erior
n
360 º
∗ Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: ángulo exterior
n
XVII. CIRCUNFERENCIA:
DEFINICION:
Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a
un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta
distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el
centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio.
NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los
puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.
r AO ( radio )
r BO ( radio)
d AB (diámetro )
De lo anterior se deduce que :
AO BO 2 r
AB 2 r d
153
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ANGULO CENTRAL: Su vértice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios
El ángulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa.
Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario
El ángulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.
154
La medida del ángulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la
circunferencia
ANGULO EXTERIOR: Es el ángulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vértice se
ubica fuera de la circunferencia.
La medida del ángulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en
la circunferencia
ANGULO SEMINSCRITO: Su vértice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una
tangente y una cuerda
155
La medida del ángulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ángulo inscrito que
subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende
Corolarios
1. Todos los Ángulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.
156
4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia
T r
5. El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el
arco menor que determinan las rectas en la circunferencia
x + = 180º
157
EJEMPLO PSU-1: En la figura AB BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE ,
entonces el ángulo mide:
A) 10º
B) 40º
C) 20º
D) 70º
E) 80º
A) 68°
B) 66°
C) 57°
D) 44°
E) ninguno de los valores anteriores
158
EJEMPLO PSU-5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el
∡ BOD = 20° y arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) FALSA(S)?
I) ∡ CBO = 20°
II) ∡ CAO = ∡ AOD
III) ∡ AOD =∡ BOD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°.
Si R es un punto cualquiera del arco PQ, el ∡ x mide
A 55°
B 70°
C 110°
D 125°
E 220°
I) ΔOBC ΔAOD
II) ΔACB ΔBDA
III) ΔAED ΔBEC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
159
A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 160º
EJEMPLO PSU-12: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden
1. AD , DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC .
¿Cuánto vale el radio de la semicircunferencia inscrita?
A) 2 1
2
B)
2
C) 2 1
D) 3 1
E) 2 2
160
A) 12°
B) 24°
C) 48°
D) 132°
E) 156°
161
D) 110º
E) 120º
XVIII. CIRCULO:
A. SECTOR CIRCULAR:
π r2 α
Área del sector =
360º
162
B. SEGMENTO CIRCULAR:
π r2 α
Área triángulo AOB
360 º
PROPORCIONALIDAD EN LA CIRCUNFERENCIA
AP PB CP PD
163
PA PC PB PD
2
PT PA PB
A) 6 cm
B) 12 cm
C) 18 cm
D) 20 cm
E) 24 cm
164
EJEMPLO PSU-2: En la figura, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio
r. PR es tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM,
en términos de r, es
A) r
r 5
B)
2
r 3
C)
2
r 2
D)
2
4r
E)
3
165
A) r 3
B) r 2
3
C) r 3
2
2
D) r 3
3
3
E) r
2
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se
denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.
166
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos
polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista
común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la
arista en un mismo punto.
A. POLIEDROS REGULARES:
a. Tetraedro:
Tiene 4 caras (triángulos c. Icosaedro:
equiláteros), 4 vértices, 6 e. Dodecaedro: tiene 12
Tiene 20 caras (triángulos
aristas. equiláteros), 12 d. caras 30
(pentágonos
Hexaedro
vértices, o cubo:
aristas. regulares),
Tiene 6 caras 20 vértices,8
(cuadrados),
30 aristas.
vértices, 12 aristas, 4
diagonales congruentes.
B. POLIEDROS IRREGULARES:
167
1. PRISMA:
· Tiene dos polígonos iguales de base y varios
paralelogramos como caras laterales.
· A = Área lateral · 2 Área basal
· V = Área basal · h
2. PIRAMIDE:
· Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son
triángulos que tienen un vértice en común también llamado
cúspide.
ap
· A = Área basal (nº de caras) Área lateral h p
2
· V = Área basal · h a
3
A. CILINDRO: r
B. CONO:
C. ESFERA:
168
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un
eje
169
EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno
de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo generado?
A) 4 m3
B) 6 m3
C) 8 m3
D) 16 m3
E) 24 m3
EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente
el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC ?
A) 30 cm3
B) 45 cm3
C) 75 cm3
D) 180 cm3
E) 300 cm3
170
A) 9
B) 18
C) 9 2 3
D) 9 3
E) 9 6
2
EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una
encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:
A) πr3
B) 2 πr 3
C) 3πr 3
D) 4 πr 3
4
E) πr 3
3
EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las
coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden,
respectivamente,
1
A) 2 y 3 2
2
1
B) 3 y 2
2
C) 3 y 3 2
1
D) 3 y 3 2
2
1
E) 2 y 2
2
EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa la superficie a cubrir?
A) 12a2
B) 6a2
C) a2
D) 4a2
E) 8a2
171
EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica
en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del
cilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm3, es
A) 512 - 32
B) 512 - 16
C) 512 - 128
D) 256 - 32
E) 480
172
B) isósceles no equilátero
C) isósceles rectángulo
D) rectángulo en D
E) rectángulo en B
2 m
A. DIVISION INTERIOR:
DIVISIÓN INTERNA
Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n
AP m
PB n
B. DIVISION EXTERIOR:
AQ m m n m n
tal que:
QB n
Q A B A B Q
173
C. DIVISION ARMONICA:
Dividir armónicamente
el trazo AB en la razón m n
m : n , significa dividirlo
interiormente (punto P)
y exteriormente (punto A P B Q
Q) en una misma razón
AP AQ m
dada, tal que:
PB QB n
AB AP
(AP PB )
AP PB
AB
OBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el
AP
NÚMERO ÁUREO
AB 5 1
1,618034
AP 2
EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medida
del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio?
A) 45 cm
B) 15 cm
C) 60 cm
D) 25 cm
E) No se puede determinar.
174
A) Sólo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
XXII. TRIGONOMETRIA:
AB : hipotenusa
AC y BC catetos
α y β : ángulos agudos
175
ABC ADE AFG AHJ
Luego podemos afirmar que se cumplen las siguientes igualdades de razones:
(A) A la razón constante K1 entre dos lados de este triángulo, se le denomina seno de
, y se abrevia sen
(B) A la razón constante K2 se le denomina coseno de , y se le abrevia cos
(C) A la razón constante K3 se la denomina tangente de , y se la abrevia tg
3
30º 45º 60º
senα 1 2 3
2 2 2
cos α 3 2 1
2 2 2
tgα 3 1 3
2
3
177
EJEMPLO PSU-1: En el triángulo rectángulo de la figura, tg es igual a:
1 p2
A)
p
p
B)
1 p2
1 p2
C)
p
p
D)
1 p2
1
E)
1 p2
178
EJEMPLO PSU-3: Dada la siguiente figura:
Es verdadero que:
5
I ) senα
29
2
II ) cos α
29
5
III ) tan α
2
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: La longitud de un cable que tiene sus extremos fijos en un poste y en la
tierra, es de 20 3 metros. El cable forma un ángulo de 60° con la tierra. ¿A cuántos
metros de la tierra está fijo el cable en el poste?
A) A 10 3 metros
B) A 10 6 metros
C) A 30 metros
D) A 40 metros
E) A 60 metros
EJEMPLO PSU-6: Un avión despega del aeropuerto con un ángulo de elevación de 30º
como se muestra en la figura. ¿A qué distancia (d) se encuentra el avión desde el punto de
despegue hasta que alcanza una altura de 1.500
metros?
179
A) 750 metros
B) 3.000 metros
C) 1.000 3 metros
D) 750 3 metros
E) 1.500 3 metros
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
180
EJEMPLO PSU-9: En la figura, el triángulo MNP es rectángulo en P, NP = 1 cm y su área
2
es cm2, entonces tg=
3
1
A)
3
2
B)
3
3
C)
2
3
D)
4
4
E)
3
3
EJEMPLO PSU-11: Si es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y senα ,
5
entonces tgα cos α =
1
A)
20
3
B)
20
1
C)
20
11
D)
15
8
E)
15
181
EJEMPLO PSU-12: Con los datos de la figura, la expresión sen α – cos α es igual a:
ac
A)
b
ca
B)
b
ab
C)
c
ba
D)
c
ac ab
E)
bc
EJEMPLO PSU-15: Con respecto al triángulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las
siguientes opciones es verdadera?
182
b
A ) senα
c
c
B ) cos α
a
a
C ) cos β
c
b
D ) senβ
c
a
E ) tgα
b
XXIII. PROBABILIDAD:
∗ Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un
número indefinido de veces.
∗ Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un
conjunto de resultados posibles.
∗ Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si
se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral.
∗ Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras
palabras, es un subconjunto del espacio muestral.
∗ Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas,
bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra
cosa.
TIPOS DE EVENTOS
∗ Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.
∗ Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto
vacío (∅) del espacio muestral.
∗ Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la
ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando
dos o más eventos no tienen elementos comunes.
∗ Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes
y la unión de ellos es el espacio muestral.
∗ PROBABILIDAD CLÁSICA
La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al
evento A por el número total de casos posibles.
183
La probabilidad de A se denotará por P(A).
∗ Observación:
1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que
no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre
2) 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%
∗ PROBABILIDADES DE EVENTOS
∗ Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
∗ Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la
probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
Caras y sellos
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras
(CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres
de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es
la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal.
184
Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
C
1 1, 1
S
CC
2 CS SC 1, 2, 1
SS
CCC
CCS, CSC, SCC
3 1, 3, 3, 1
CSS, SCS, SSC
SSS
CCCC
CCCS, CCSC, CSCC, SCCC
4 CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC 1, 4, 6, 4, 1
CSSS, SCSS, SSCS, SSSC
SSSS
... etc ...
Triángulo de Pascal
Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces
seguidas una moneda.
185
C CCS
Resultados favorables: 8 C S CCS
(CCC – CCS – CSC – CSS –
C CSC
SCC – SCS – SSC – SSS) C
S S CSS
Casos favorables: 3
(CCS – CSC – SCC) C SCC
C
S SCS
3
Probabilidad = S
8 C SSC
S
S SSS
1
EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es . ¿Cuál es la
3
probabilidad de sacar una bola que no sea roja?
1
A)
3
B) 1
2
C)
3
1
D)
6
E ) Falta Información
EJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que
sumen 3 ó 4?
1
A)
6
7
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
21
E)
36
EJEMPLO PSU-3: Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8.
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar y mayor que 3?
186
7
A)
8
1
B)
4
1
C)
2
3
D)
8
5
E)
8
EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha con un número mayor que 46?
A) 0,4
B) 0,41
C) 0,42
D) 0,5
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son
cafés y 18 son amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla
y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposición?
12 20 18 11
A)
50 50 50 50
12 20 18 11
B)
50 49 48 47
12 20 18 12
C)
50 50 50 50
12 20 18 12
D)
50 49 48 47
12 20 18 11
E)
50 49 48 47
EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes
a un cargo administrativo
NIVEL EDUCACIONAL
Sexo Universitaria Media Básica
Masculino 250 100 40
Femenino 225 110 25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
390
I) La probabilidad que sea varón es de
750
360
II) La probabilidad que sea mujer es de
390
187
475
III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de
750
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la
palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que
en ésta esté escrita una vocal es:
1
A)
10
2
B)
5
1
C)
5
1
D)
4
2
E)
3
EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar
cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los límites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de
las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ?
1
I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de
2
1
II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de
4
2
III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3 es de
3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
188
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y
amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha
verde antes de la roja?
1
A)
4
1
B)
2
3
C)
4
1
D)
8
1
E)
24
EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual
tamaño y peso. ¿Cuántas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una
2
ficha negra sea ?
3
A) 1N y 0B
B) 1N y 3B
C) 1N y 4B
D) 1N y 1B
E) 0N y 1B
EJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener
un número par menor que 5?
1
A)
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
E ) Ninguna de las anteriores
189
EJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la
probabilidad de que ese número sea múltiplo de 4?
3
A)
30
23
B)
30
7
C)
30
8
D)
30
6
E)
30
EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el
que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y
Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?
1
A) Todos tienen probabilidad de ganar.
2
1
B) Todos tienen probabilidad de ganar.
3
C) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.
D) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.
E) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.
3
A)
8
1
B)
8
2
C)
8
1
D)
3
2
E)
3
190
EJEMPLO PSU-15: ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres
dados?
3
A)
216
1
B)
216
3
C)
8
1
D)
18
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-16: En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradas
del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La
probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, ésta sea roja y par es:
1
A)
2
2
B)
5
5
C)
11
2
D)
11
1
E)
4
A) 0,45
B) 0,55
C) 0,65
D) -0,45
191
E) -0,55
EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados
Cara 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 13 15 17 16 20 19
192
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas
contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
1
I) La probabilidad de sacar una M es .
12
7
II) La probabilidad de no sacar una vocal es .
12
III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente
forma:
PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO
NIÑOS 15 20 18 12
193
NIÑAS 30 25 27 33
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ?
65
I) La probabilidad de que sea un niño es .
180
45
II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es .
180
25
III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es .
45
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga
un número menor que 2 o mayor que 4?
1
A)
6
1
B)
2
1
C)
3
2
D)
3
5
E)
6
EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y
recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los
puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor?
A) P
B) Q
C) R
D) S
E) T
EJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo.
¿Cuál es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para
3
que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea ?
4
A) 1 blanca y 0 negra
B) 0 blanca y 1 negra
C) 0 blanca y 5 negras
D) 3 blancas y 5 negras
194
E) 2 blancas y 2 negras
EJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se
eligen al azar dos fichas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas
sea diferente de 10?
8
A)
9
17
B)
18
16
C)
17
9
D)
10
7
E)
8
EJEMPLO PSU-31: Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales
1
algunas son rojas. Si la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad
3
de sacar una ficha de cualquier otro color?
195
1
A)
2
1
B)
3
2
C)
3
D) 1
E) No se puede determinar
EJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que
participan en las categorías A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en
B, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la
probabilidad de que sea mujer y juegue en la categoría A?
7 1
A)
13 350
1
B)
4
3
C)
5
7
D)
12
7
E)
20
EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tiene
mayor probabilidad de salir en los dos dados?
A) 12
B) 10
C) 9
D) 7
E) 6
196
7
A)
50
1
B)
8
1
C)
252
19
D)
12
19
E)
37
197
EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma
de los puntos sea 3 o 4?
5
A)
36
7
B)
36
5
C)
12
7
D)
12
1
E)
2
XXIV. ESTADÍSTICA
198
Marca de Clase: Es el valor central (promedio aritmético) entre los límites superior e
inferior de cada intervalo
Moda (Mo): Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si
no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de
frecuencia es amodal
Mediana (Me): Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se
encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par
de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales
199
C) DIAGRAMAS DE BARRAS: Se utiliza para variables discretas. Los valores de la
variable aparecen, junto con su frecuencia, representados en forma de barras o segmentos,
de longitud proporcional a la dicha frecuencia
f
16
14
12
29,5 34,5 39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5 Salarios en miles de $
200
EJEMPLO PSU-1: Si se suman las edades de 8 personas y ese resultado se divide por 8,
¿qué se obtiene?
A) Mediana
B) Media Aritmética
C) Moda
D) Media geométrica
E) Desviación estándar
EJEMPLO PSU-2: El promedio del peso de 5 hombres es de 76 kg. ¿Cuánto pesa el quinto
si la suma de los 4 primeros es 302?
A) 78
B) 68
C) 62
D) 58
E) 72
EJEMPLO PSU-3: La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) La moda es 17 años.
II) La mediana es mayor que la media (promedio).
III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 18 años.
A) Sólo I
B) Sólo II Edad 15 16 17 18 19
C) Sólo I y II (en años)
D) Sólo II y III Alumnos 50 40 60 50 20
E) I, II y III
201
EJEMPLO PSU-4: Las fichas del peso de 10 niños, marcan en promedio 20 kg. En la oficina
de control se pierde una ficha y se sabe que el promedio del resto es 19 kg, ¿cuál es el peso
del niño al que le perdieron la ficha?
A) 39 kg
B) 29 kg
C) 21 kg
D) 20 kg
E) 19 kg
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
202
EJEMPLO PSU-7: Si se tabularan las frecuencias de las estaturas y color de ojos de los
alumnos de un curso, ¿cuál de las opciones siguientes es siempre verdadera?
A) Con la moda de las estaturas se determina la estatura promedio del curso.
B) Con la mediana del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.
C) Con el promedio de las estaturas se determina la estatura más frecuente.
D) Con la mediana de las estaturas se determina la estatura más frecuente.
E) Con la moda del color de ojos se determina el color de ojos que predomina.
EJEMPLO PSU-8: Se pregunta a los alumnos de 4º Medio acerca de lo que más les gusta
hacer en vacaciones y sus respuestas están en el gráfico de la figura. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es chatear.
II) A la mitad de los alumnos lo que más les gusta es ver TV o jugar.
III) Al 30% de los alumnos lo que más les gusta es leer o jugar.
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-9: La tabla adjunta muestra la distribución de los puntajes obtenidos por
los alumnos de un curso en una prueba de matemática. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El total de alumnos que rindió la prueba es 40.
II) La mediana se encuentra en el intervalo 20 - 29.
III) El intervalo modal (o clase modal) es el intervalo 30 - 39.
A) Sólo I
B) Sólo II Intervalos Frecuencia
C) Sólo III de puntaje
D) Sólo I y III 10 – 19 6
E) I, II y III 20 – 29 8
30 – 39 12
40 – 49 5
50 – 59 9
203
EJEMPLO PSU-10: El gráfico de la figura muestra la distribución de las notas de
matemática de un grupo de 46 estudiantes. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a
los valores de la mediana y la moda, respectivamente?
A) 4 y 5
B) 5 y 5
C) 4,1 y 4
D) 4,1 y 5
E) 4 y 4,5
EJEMPLO PSU-12: Los resultados obtenidos por un curso en una prueba de Física fueron:
4; 5; 6; 6; 5; 3; 4; 7; 6; 5; 4; 5; 5; 6 y 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La mediana es 7
II) La moda es 5
III) La media aritmética (o promedio) es 5
A) Sólo II
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: La tabla adjunta muestra las frecuencias (f) de las notas en la prueba
de matemática, obtenidas por los alumnos de 4º Medio de un liceo, ¿Cuáles de las
siguientes afirmaciones son verdaderas?
I) El 75% del curso obtuvo una nota igual o inferior a 5,5 Nota f
II) La moda corresponde a la nota 5,0 3,0 3
III) El 15% del curso obtuvo la nota 4,5 3,5 5
IV) El 50% del curso obtuvo nota superior a 5.0 4,0 4
4,5 6
A) Sólo II y III 5,0 7
B) Sólo III y IV 5,5 5
C) Sólo I, II y III 6,0 4
D) Sólo I, II y IV 6,5 4
E) Sólo II, III y IV 7,0 2
Total 40
alumnos
204
EJEMPLO PSU-14: El cuadro siguiente muestra el número de artículos vendidos en
distintos días de la semana y uno de sus valores acumulados ¿Cuántos artículos se han
vendido en total hasta el término del día miércoles?
Días Nº de Total
A) 24 artículos acumulado
B) 20 Lunes
C) 30 Martes 12 16
D) 8 Miércoles 8
E) Ninguna de las anteriores Jueves 6
EJEMPLO PSU-15: Una misma prueba se aplica a dos cursos paralelos. En uno de ellos,
con 20 estudiantes, la nota promedio fue 6 y, en el otro, con 30 estudiantes, la nota
promedio fue 5. Entonces, la nota promedio correspondiente al total de alumnos de ambos
cursos es:
A) 5,7
B) 5,6
C) 5,5
D) 5,4
E) 5,3
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
205
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
206
EJEMPLO PSU-21: Un estudiante obtiene las siguientes calificaciones: 4,8; 4,2; 4,3; 4,7; 5,0
y 4,0. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) Su media aritmética (o promedio) es 4,5.
II) Si elimina el 4,8 y el 4,2 su promedio no cambia.
III) Si elimina dos notas cualesquiera, su promedio no cambia.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-22: A dos cursos distintos se les aplicó la misma prueba en iguales
condiciones, obteniéndose las desviaciones estándares que se muestran en la tabla adjunta.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El curso Q es el más homogéneo.
II) El curso R es el más homogéneo.
III) El curso Q presenta mayor dispersión en las notas.
A) Sólo I CURSO PROMEDIO DESVIACIÓN
B) Sólo II ESTÁNDAR
C) Sólo III Q 4,6 1
D) Sólo II y III
R 5,2 0,8
E) Ninguna de ellas
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-24: La tabla adjunta muestra la frecuencia de las notas de una asignatura
de un curso de 38 alumnos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La mediana de las notas es 4
II) La moda de las notas es 5
III) Más de un tercio del curso obtuvo nota menor que 4
A) Solo I Notas 1 2 3 4 5 6 7
B) Solo II Frecuencia 0 5 8 4 9 8 4
C) Solo I y II
207
D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-26: Si las edades de ocho personas se suman y se dividen por ocho, ¿qué
indicador estadístico se obtiene?
A) La moda
B) La media aritmética (o promedio)
C) La mediana
D) El rango
E) La desviación estándar
208
E1 E2 E3 E4
A)
4
E E2 E3 E4
B) 1
N1 N2 N3 N4
N E N2 E2 N3 E3 N 4 E4
C) 1 1
N1 N2 N3 N4
N E N 2 E2 N3 E3 N 4 E4
D) 1 1
4
N N2 N3 N4
E) 1
4
209
XXV. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
EJEMPLO PSU-1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el
punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto
A) (1, -2)
B) (-5, 0)
C) (3, -1)
D) (-5, 2)
E) (1, 0)
Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este
movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres
elementos:
El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar
la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.
Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto
cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto
correspondiente en la figura obtenida después de la rotación
El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los
punteros del reloj)
Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la
figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto
correspondiente de la figura original y el centro de rotación.
210
EJEMPLO PSU-2: En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación
en180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su
nueva posición?
A) En (2, 2)
B) En (2, 0)
C) En (4, 2)
D) En (0, 0)
E) En (0, 2)
Nota:
(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial
(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central
EJEMPLO PSU-3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de
simetría L, es el punto
A) Q
B) R
C) S
D) T
E) U
211
Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se
mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la
figura.
Tipo Ejes
Triángulo equilátero Tres ejes de simetría
Triángulo Isósceles Un eje de simetría
Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría
Tipo Ejes
Cuadrado Cuatro ejes de simetría
Rectángulo Dos ejes de simetría
Rombo Dos ejes de simetría
Trapecio isósceles Un eje de simetría
Trapezoide Ningún eje de simetría
Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje
de simetría del círculo.
212
Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como
números de lados
EJEMPLO PSU-4: ¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de
simetría?
I) Cuadrado
II) Rombo
III) Trapecio
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que
éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir
Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar.
También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos
Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es
que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.
Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros,
los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano
EJEMPLO PSU-5: El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10
cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado,
entonces el número de cerámicas que se ocuparían es
A) 120
B) 60
C) 40
D) 18
E) 12
EJEMPLO PSU-6: Sea A un punto del primer cuadrante que no está en los ejes, J es el
reflejo de A respecto al eje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es un
segmento
A) paralelo al eje x.
B) paralelo al eje y.
C) de la bisectriz del segundo cuadrante.
D) de la bisectriz del primer cuadrante.
E) perpendicular al eje x.
EJEMPLO PSU-7: En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el punto medio de P
213
MQ . ¿Cuál es el punto de la figura que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ,
como también por la reflexión del eje NP?
A) S
B) Q
C) P
D) N
E) M
A) (1, 2)
B) (2, 1)
C) (1, 1)
D) (2, 2)
E) (0, 2)
EJEMPLO PSU-9: La figura se rota en el plano, en 180º en torno al punto P. ¿Cuál de las
opciones representa mejor la rotación de la figura?
A) B) C) D) E)
EJEMPLO PSU-10: En la figura, al punto B se le aplica una rotación en 90º con respecto al
punto A, en el sentido horario. Las nuevas coordenadas del punto B son:
A) (6,2)
B) (-3,6)
C) (6,-7)
D) (6,-3)
E) (6,-5)
214
A) (-1,8)
B) (1,8)
C) (-1,6)
D) (7,-2)
E) (-1,-4)
EJEMPLO PSU-13: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8,
- 3) con respecto al eje de las ordenadas?
A) (-8, -3)
B) (8, 3)
C) (-8, 3)
D) (-3, 8)
E) (3, 8)
215
III) Un triángulo escaleno no tiene ejes de simetría
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-16: En la figura, ¿cuál es el punto simétrico al punto P(2,3), con respecto a
la recta L de ecuación y = x
A) (2,1)
B) (-2,3)
C) (-2,-3)
D) (2,-3)
E) (3,2)
EJEMPLO PSU-17: ¿Cuál de los siguientes puntos es simétrico al punto de coordenadas (8,
- 3) con respecto al eje de las ordenadas?
A) (-8, -3)
B) (8, 3)
C) (-8, 3)
D) (-3, 8)
E) (3, 8)
216
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-21: Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetría central.
¿En cuál(es) de los siguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura
con simetría central?
I) Si se redondean todas las esquinas de la misma forma y tamaño
II) Si se redondean sólo 2 esquinas adyacentes de la misma forma y tamaño
III) Si se redondean sólo 2 esquinas opuestas de la misma forma y tamaño
A) Sólo I
B) Solo III
C) Solo en I y en II
D) Solo en I y en III
E) En I, en II y en III
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
217
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-24: En la figura, el ABC se traslada según el vector (4, 2). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).
II) La distancia entre A y su imagen según esta traslación es 2 5 .
III) El perímetro del triángulo que se obtiene por esta traslación, es igual al
perímetro del triángulo ABC.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-26: Se tiene el triángulo cuyos vértices están ubicados en los puntos A(1,2),
B(3,2) y C(3,5). Si al triángulo ABC se le aplica una traslación que sea paralela al eje x en
una unidad a la izquierda, y luego se le aplica otra traslación paralela al eje y en dos
unidades hacia arriba, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (2,4)
II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (2,7)
III) El nuevo vértice A queda ubicado en el punto (0,4)
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
218
D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-27: El número de ejes de simetría que tiene un triángulo con dos lados
iguales y uno distinto es:
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 0
EJEMPLO PSU-28: Dado el punto P de coordenadas (7,-9), ¿cuáles son las coordenadas del
punto simétrico de P con respecto al eje y?
A) (-7,-9)
B) (7,9)
C) (-7,9)
D) (-9,7)
E) (-9,-7)
EJEMPLO PSU-29: Si a un triángulo ABC de vértices A(1, 2), B(-2, 1) y C(4, 0), se le aplica
la traslación según el vector u ( 5 ,7 ) , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) A se transforma en A’(-4, 9)
II) B se transforma en B’(-3, 8)
III) C se transforma en C’(-1, 7)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y II
D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-30: A la figura se aplica una simetría (reflexión) con respecto al eje RS.
¿Cuál es la opción que muestra mejor la figura resultante?
219
EJEMPLO PSU-31: Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la
función g(x) respecto de y = x. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa esta situación?
220
EJEMPLO PSU-32: En la figura, las coordenadas del punto A son (–4, –1), ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
1I) El punto simétrico de A con respecto al eje y
es el punto (4, – 1).
2II) Al rotar el punto A en 90° en sentido
antihorario, en torno al origen, se obtiene el
punto (–1, 4).
3III) Al trasladar el punto A dos unidades a la
derecha y 2 unidades hacia arriba, se
obtiene el punto (–2, 1).
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-33: ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría (reflexión) de
la figura respecto a la recta L?
221
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas
determinan segmentos proporcionales en dichas transversales.
L 1 // L 2 // L 3
Hipótesis:
M 1 y M 2 transversales
AB A' B'
Tesis:
BC B' C'
M1 y M2 transversales
AB A' B'
L 1 //L 2 //L 3
BC B' C'
222
B) 22
C) 28
D) 32
E) 36
A) 96 cm
B) 72 cm
C) 48 cm
D) 36 cm
E) 24 cm
A) 36 cm2
B) 40 cm2
C) 50 cm2
D) 54 cm2
E) 60 cm2
223
AG AB
I)
FE CD
BG AG
II )
CF GF
AG AB
III )
AF AC
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) I, II y III
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) Sólo en II y en III
E) En I, en II y en III
EJEMPLO PSU-7: Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED
y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la distancia entre el punto
A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos
metros separan a la persona (punto A) del poste ED?
224
A) 1 metro
B) 9 metros
C) 6 metros
D) 3 metros
E) 30 metros
10 12 x
A)
15 12
10 12 x
B)
15 x
10 x 12
C)
15 12
10 12
D)
15 12 x
10 12
E)
15 x
EJEMPLO PSU-10: Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso
tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra
proyectada por el segundo piso?
A) 8 m
B) 10 m
225
C) 15 m
40
D) m
3
E) No se puede determinar
AE 3
EJEMPLO PSU-11: En la figura, ED // BC. Si , ¿cuál(es) de las siguientes
EC 2
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
AD 3
I)
DB 2
EC 3
II )
ED 2
AC AB
III )
AE AD
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar la letra:
226
1A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
2B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
3C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente,
4D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta,
5E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información
adicional para llegar a la solución.
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el enunciado
más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, en efecto:
P: Q = 3: 2, luego
(P + Q): Q = 5: 2, de donde
$ 10.000.000: Q = 5: 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
227
EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
1. Se puede determinar cuanto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatro
proporcionales si:
(1) La cuerda mide 72 cm
(2) La razón entre los segmentos es de 1: 2: 3: 6
x2 y2
2. Si x e y son dos números distintos, se puede determinar el valor de la expresión
xy
si:
(1) x + y = 8
(2) x – y = 2
3. En la figura, O es el centro del círculo, la medida del ángulo AOB se puede determinar
si:
(1) El área del sector achurado representa el 40%
(2) la medida del ángulo ACB = 72º
a
4. El valor numérico de log(ab) + log se puede determinar si:
b
(1) a = 1.000
(2) b = 100
228
5. En una frutería hay un cajón con manzanas, se puede determinar el precio promedio de
una manzana si:
(1) El cajón contiene 20 kilogramos de manzanas cuyo valor total es $ 4.800
(2) El kilogramo de manzanas vale $ 240 y el cajón trae 100 manzanas
8. ax + by es igual a bx + ay si:
(1) x = y
(2) a = b
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
229
(1) AD = 8
(2) = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
3 3
(x 3)2 9 z
11. Se puede determinar el valor numérico de la expresión y si:
(3 x)2 z 9
(1) z = 9
(2) y = 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
12. En una empresa, 20 trabajadores están enfermos. Se puede saber el número total de
trabajadores si:
(1) Enfermos: Sanos = 1: 3
(2) El 75% de los trabajadores están sanos
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
13. Juan compra caramelos tipo 1 que cuestan $7 c/u y caramelos tipo 2 que cuestan $4
c/u. se puede determinar la cantidad de caramelos de cada tipo que compró si:
230
(1) Gastó en total $ 170 y compró 9 caramelos más tipo 2 que tipo 1
(2) Gastó en caramelos tipo 2 una cantidad que es múltiplo de 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
(1) El promedio es 6
(2) La mediana es 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola Edad Frecuencia
C) Ambas juntas (1) y (2) 5 2
D) Cada una por sí sola (1) ó (2) 6 X
E) Se requiere información adicional 7 10
8 6
231
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
21. Se tiene una bolsa con fichas verdes y rojas de igual tamaño y peso. Se puede
determinar la probabilidad de sacar una ficha roja si:
(1) El número de fichas rojas es mayor que el número de fichas verdes.
(2) El número total de fichas es 36.
232
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
22. a2 + b2 = (a + b)2 si :
(1) a = 0
(2) b = 0
x
24. Si x e y son enteros positivos, entonces se puede saber el valor de si:
y
(1) y es el triple de x.
(2) La suma de x e y es 8.
233
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
4
26. En la figura, sen α = , se puede afirmar que UT 7 si:
7
(1) US = 4
(2) L1 // L2
2a b
27. Se puede determinar el valor de si:
b
(1) a : b = 5 : 2
(2) a + b = 21
28. Pedro e Iván estaban jugando con sus escuadras haciéndolas girar sobre sus catetos. Se
puede determinar la relación que hay entre los volúmenes de los conos que se generan si
se sabe que:
(1) Uno de los catetos de la escuadra de Iván, mide lo mismo que un cateto de la de
Pedro.
(2) El otro cateto de la escuadra de Iván, mide el doble de lo que mide el otro cateto de
la de Pedro.
234
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
30. Un número entero se encuentra entre 50 y 90. Se puede determinar el número exacto si:
(1) La suma de sus cifras es 9.
(2) El número es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
31. La figura, está formada por 3 triángulos rectángulos congruentes. Se puede determinar
el perímetro de la figura MNPQRM si se sabe que:
(1) MQ = 12 cm
(2) PQ = 2 cm
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
32. Se puede determinar el porcentaje de mujeres que son médicos en un país si se sabe
que:
(1) El 52% de la población del país son mujeres.
(2) El 0,5% de la población son médicos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
33. En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay casadas y viudas, se puede determinar el
número de mujeres viudas si:
235
(1) La razón entre casadas y viudas es 5: 3.
(2) Las casadas son 25.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
34. Cecilia tiene dos hijos. Ella es 25 años mayor que su hijo menor. Se puede determinar la
edad de Cecilia si:
(1) Entre sus dos hijos suman la edad de ella.
(2) La diferencia de edad de sus hijos es de 5 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
236
(1) AE EC ; AM MD
(2) AN NM
38. En la figura, CD // AB .Se puede determinar que el triángulo ABC es congruente con el
triángulo DCB si:
1(1) α = ε
2(2) = AB CD
40. Se puede determinar que existe semejanza entre los triángulos ABC y DEC de la
figura, si:
(1) DE es mediana.
(2) α ε
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
237
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
a
41. Sean n, m números enteros positivos y a = 2 n 3 m . Se puede afirmar que el número
2
es el cuadrado de un número entero, si se sabe que:
(1) n es impar.
(2) m es par.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
238
45. Si se tienen los valores 4, 6, 2, 9, 8, x, 5, 2, 7, 9, 6, entonces se puede determinar el valor
de x si:
(1) La moda es 6
(2) La mediana es 6
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
46. De acuerdo a los datos de la tabla adjunta, se puede determinar el valor de a si:
(1) X e Y son inversamente proporcionales
(2) T e Y son directamente proporcionales
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola T X Y
C) Ambas juntas, (1) y (2) 5 354 432
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) 10 a b
E) Se requiere información adicional
a b 5
47. La expresión toma siempre un valor positivo si:
a b8
(1) a es un número positivo
(2) a es un número par
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
239
49. La base de un triángulo es el doble de su altura, se puede determinar siempre el valor
numérico de la altura si:
(1) Se conoce el área del triángulo
(2) Se conoce el perímetro del triángulo
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
x 2 y 2 2 xy
52. Se puede determinar el valor numérico de , con x y , si se sabe que:
xy
(1) x + y = 5
(2) x – y = 3
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
240
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
ab
54. Si c es un número entero positivo y G , entonces G es positivo si:
c
(1) a y b son positivos
(2) a y b son negativos
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
55. Las edades de dos personas están en la razón de 3: 4. Se puede determinar las edades
si:
(1) La diferencia de edades es 5 años
(2) Las edades suman 35 años
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
p a
57. Se puede determinar el valor numérico de la expresión : con m distinto de cero,
m 3m
si se conoce que:
(1) p = 4
p
(2) 8
a
241
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
59. Se puede concluir que las expresiones (ax + by) y (ay + bx) son iguales si se sabe que:
(1) a = b
(2) x = y
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
60. Juan compró caramelos de tipo I que cuestan $ 7 cada uno y caramelos de tipo II que
cuestan $ 4 cada uno. Se puede saber la cantidad comprada de cada tipo si:
I) Juan gastó $ 102 y compro 9 caramelos más del tipo II que del tipo I
II) La cantidad pagada por los caramelos de tipo II es múltiplo de 4
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
61. Una pieza rectangular de 10 metros por 20 metros se puede embaldosar perfectamente
(sin necesidad de recortar baldosas) si:
(1) Se dispone de baldosas con forma de triángulos equiláteros de lado 10 cm.
(2) Se dispone de baldosas con formas de triángulos rectángulos de catetos 10 cm y 20
cm.
242
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
243
RESPUESTAS
NÚMEROS ENTEROS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B D A E D E D A E C A B A D D A B C A
21
D
NÚMEROS RACIONALES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A D A D B B D B E C E A B E B A B A B A
21 22 23 24 25 26 27
C A D E A E C
POTENCIAS EN Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C E A A A B B A D C B C C B C C E D C
ÁLGEBRA y FUNCIONES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D D E C A A E C E D B A B C E D C D C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A E E A A C D D E C D A D B C E D D B B
41 42 43 44 45
A E A B E
SIMBOLOGÍA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
D D C A E B C A E A C C A
RAZONES y PROPORCIONES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D A D B C A C B C B A C C A D E A D A A
21 22
E A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B D C E E A D C E D B B E D D E D C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29
B C E D E D A D D
RAÍCES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B A E B D B A C A A A B B A B D C E A D
21
E
ECUACIONES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C C A B B C B E D C E E A C B A C D A C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B B B A E C B B D C B B A C D A E C D A
DESIGUALDADES
1 2 3 4 5 6 7
A C D A E D E
1 2 3 4 5 6
D A E A B C
LOGARITMOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9
E C E A E B D C B
FUNCIONES
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B B E E D D D A B D A B D C D C D E E
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E B A B A A D E D A A C C E D E A D B C
41
C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
B D D B E A B B E E C E D D D D
1 2 3 4 5 6 7 8
D D E B D E C C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
E A C E E A C E B A
UNIDAD: CUADRILÁTEROS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B C D D C E A D B B E B B C E D A E B
21 22 23 24 25 26 27 28 29
A A E C A E C A B
UNIDAD: POLÍGONOS
1
E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C B C C D E C D B C C B A B A B E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A D B C C A B C C D A D A D D E A E D B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
D E C E C E D A D D E D C
1 2 3 4 5 6 7
E B C A D E E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B C B D E A B D B C A A E B
1 2 3 4
A B B D
UNIDAD: TRIGONOMETRÍA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A A E B C B D C D B A A B E A C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B C C A D D B A A D B
UNIDAD: ESTADÍSTICA
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B A E B E D E D D A C D C A D E E E B E
21 22 23 24 25 26 27
C D D D E B C
UNIDAD: PROBABILIDAD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C D B A E D B D C A B C A A A D C B C E
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
E B A E C B C E A B C E D A E B A
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C A D A C B D D E C B D A E C D C A C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E D B A D C A E D E C E D C A D C D D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C E D B A C A C A C A B C D D E B C D B
61 62
B D
1. ( 2 ) 2 ( 3) 2 ( 4) 2 =
A) -25
B) -21
C) -3
D) 11
E) 29
2. Dada la siguiente sucesión de números decimales: 0,2 , 2 . 10-3 , 0,00002 , .... ¿Cuál es el
quinto término?
A) 2 • 10 5
B) 2 • 10 6
C) 2 • 10 7
D) 2 • 10 9
E) 2 • 10 11
2 8 2 10
9.
10
A) 27
B) 5 18
C) 218 • 10-1
D) 236 • 10-1
E) 280 •10-1
10. Dada la sucesión: 2 • 21 , 3 •22 , 2 • 23 , 3 • 24 , 2 • 25,... ¿Cuál es el cociente entre los
términos que ocupan las posiciones 20 y 21, en ese orden?
3
A)
4
1
B)
4
4
C)
3
D) 3
E) 6
4
12. Los de 0,008 escrito en notación científica es:
5
A) 64 • 10-4
B) 6,4 •10-3
C) 1 •10-2
D) 0,1 •10-1
E) 0,64 •10-2
13. Sebastián, Francisco y Leonardo compran queso para hacer una pizza. Sebastián
1 3
compró 260 gramos, Francisco de kg y Leonardo de kg. ¿Cuál(es) de las siguientes
4 8
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Sebastián compró menos que Francisco.
II. Leonardo compró más que Francisco.
III. Sebastián compró más que Leonardo.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.
E) Ninguna de ellas.
15. El enunciado: “al doble de A le faltan B unidades para completar quince”, se expresa
mediante:
A) 2A – B = 15
B) 2A + 15 = B
C) 2A + B = 15
D) 2AB = 15
2A
E) = 15
B
4a 2 b 2
17.
2 b 4a
A) -a+b
B) -a-b
C) -4a-2b
2 a b
D)
2
2a b
E)
2
18. Si los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 1:2:3, entonces podemos
afirmar que el triángulo es:
A) equilátero.
B) isósceles no rectángulo.
C) isósceles rectángulo.
D) escaleno rectángulo.
E) No se puede determinar
1
a
20. Se define a * b = 1 a + 1 , entonces 2 * 3 =
1
b
A) 5
4
B)
7
7
C)
4
11
D)
4
5
E)
4
21. Las edades de Enrique, Juan, Pedro y Eugenio suman 132 años. Si la edad de Enrique
es la mitad de la de Pedro, la de Juan es el triple de la de Enrique y la de Eugenio es el
doble de la de Juan, ¿cuál es la edad de Enrique?
A) 11 años
B) 22 años
C) 33 años
D) 66 años
E) 77 años
22. ABCD es un cuadrado de lado “c” y PBRU es un rectángulo. ¿Cuál(es) de las siguientes
expresiones corresponde(n) al área de la figura sombreada?
I. ab – c2
II. a(b – c) + (a – c)c
III. (a – c)b + c(b – c)
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III
23. 32x • 22x =
A) 52x
B) 64x
C) 12x
D) 24x
E) 36x
24. Según la información dada en la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. El área de ABEF es a2 + 2ab + b2.
II. El área de la región achurada es (a + b)2 – ab.
III. El área de PQDF es 2a2 + ab
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
ab 1
25. Se define : a b = , entonces ( 3) =
ab 3
1
A)
3
5
B)
4
4
C)
5
4
D)
5
5
E)
4
a1
26. Si a-1 + 1= 4 entonces
a
A) 2
B) 4
C) 6
4
D)
3
6
E)
5
31. Si el punto (3,-2) se refleja en torno al eje Y queda en el punto (a,b), entonces a+b =
A) -5
B) -1
C) 1
D) 2
E) 5
35. Si los cuadraditos de cada figura son congruentes, entonces ¿con cuál(es) de ellas se
puede teselar (embaldosar) un plano?
A) sólo con I.
B) sólo con II.
C) sólo con III.
D) sólo con I y II.
E) sólo con I y III.
36. ¿Cuál(es) de las siguientes figuras tienen Sólo dos ejes de simetría?
I. Cuadrado.
II. Rectángulo.
III. Rombo.
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo I y II.
D) sólo II y III.
E) I, II y III.
37. La suma del lado de un cuadrado con su diagonal es 2 + 2 cm. ¿Cuál es el área del
cuadrado?
A) 1 cm2
B) 2 cm2
C) 4 cm2
D) 8 cm2
E) 16 cm2
39. ¿Con cuál(es) de las siguientes figuras se puede teselar (embaldosar) un plano?
I. Rombos.
II. Romboides.
III. Triángulos escalenos.
A) sólo I.
B) sólo I y II.
C) sólo I y III.
D) sólo II y III.
E) I, II y III.
RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D B E D B B D A A E B B E C C D D B D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A E E E C B D E C E A D B E E D B E E C
SEGUNDO AÑO MEDIO
3. Si x + y = 2, entonces x 1 y 1 =
A) 2
1
B)
2
C) 2xy
2
D)
xy
xy
E)
2
4. ¿Cuánto debe valer K para que las rectas de ecuaciones: L1: (1+k)x – y = 2 ; L2: (1-k)x + 2y
= 3 sean paralelas?
A) -3
B) 3
C) 2
D) 2
E) No existe tal valor de “k”
2( a b) x( b a)
11. Al simplificar la fracción algebraica: , resulta:
( a b)( 2 x )
A) 1
B) -1
1
C)
2x
1
D)
ab
E) a – b
2x 2y
12. Si x = y, entonces
xy yx
A) -2
B) 0
C) 2
1
D)
xy
2( x y )
E)
xy
25. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado “a”. Si M es el punto medio del lado AD,
entonces el área del Δ AEM es:
a2
A)
18
a2
B)
12
a2
C)
9
a2
D)
6
a2
E)
4
28. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que el número que aparece sea un
múltiplo de tres?
1
A)
6
2
B)
6
3
C)
6
4
D)
6
5
E)
6
31. Si se elige al azar un número entero par positivo entre los primeros 16 números
naturales ¿Cuál es la probabilidad que el número sea divisor de 36?
7
A)
16
3
B)
8
1
C)
2
1
D)
4
9
E)
16
32. En una caja hay 20 bolitas, 10 rojas y 10 verdes, cada color numerado del 1 al 10. ¿Cuál
es la probabilidad de extraer una bolita de color rojo o mayor que 5?
5
A)
20
10
B)
20
14
C)
20
15
D)
20
16
E)
20
34. Si se lanza una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga sello y en el
dado un número menor que 3?
1
A)
6
1
B)
3
1
C)
4
2
D)
3
1
E)
2
35. Una tómbola tiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Al sacar una de las bolas, la
probabilidad de que el número grabado en ella sea divisor de 5 es:
1
A)
2
1
B)
5
2
C)
5
3
D)
5
1
E)
4
37. En una caja hay 18 bolitas entre verdes y rojas. Si la probabilidad de sacar una bolita
4
verde es , ¿cuántas bolitas rojas hay?
9
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 16
38. Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria: X = producto de los puntajes.
¿Cuál es la probabilidad de que X > 20?
4
A)
36
5
B)
36
6
C)
36
7
D)
36
8
E)
36
39. En un colegio de Enseñanza Media, cada estudiante tiene derecho a optar solo por una
actividad extra programática. Si las tres cuartas partes de los estudiantes eligen practicar
deporte y una octava parte elige artes, como muestra el gráfico. ¿Cuál es la probabilidad
de que al entrevistar a un estudiante del colegio, al azar, este responda que no realiza
actividades extra programáticas?
1
A)
8
1
B)
4
5
C)
8
7
D)
8
3
E)
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C E D A D C C D C E A C E E C B C E C D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B E C D B E E B C C C D A A C D D E A A
4. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a la gráfica de las funciones: f(x)=x 2+2 y
g(x)=-x+1?
5. Si las soluciones de la ecuación x2 – px + 6 = 0 son 2 y 3, entonces p =
A) -6
B) -5
C) 5
D) 6
E) Falta información.
7. Si a = 3 5 3 5 , entonces a2 =
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 2 5
2 2
8.
2 1 2 1
A) -4
B) -2
C) 1
D) 2
E) 4
9. Si el vértice de la parábola de ecuación y = x2 – px + q es el punto (2,3) entonces p + q =
A) -3
B) -2
C) 2
D) 5
E) 11
3
13. Si x≠ 0, ¿cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes al cociente x2 ?
x
1
I) 3
x
1
II ) x 3
III ) x
A) Solo I.
B) Solo II.
C) Solo III.
D) Solo I y II.
E) Ninguna de ellas.
15. Si sobre el blanco de la figura se lanza un dardo tres veces y nunca cae fuera del disco,
entonces ¿cuál es la probabilidad de que las tres veces caiga sobre el sector marcado
“rojo”?
8
A)
27
B) 1
1
C)
27
1
D)
3
1
E)
6
16. Si se lanza dos veces la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas
oportunidades salga el color verde?
1
A)
3
1
B)
6
1
C)
9
1
D)
12
1
E)
144
19. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos
resultantes sea 4?
2
A)
36
3
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
6
E)
36
20. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el producto de los puntos
resultantes sea 6?
4
A)
36
5
B)
36
6
C)
36
7
D)
36
12
E)
36
21. Si se lanza un dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la primera vez salga un
número mayor que 3 y la segunda vez salga un múltiplo de 3?
1
A)
36
3
B)
36
4
C)
36
5
D)
36
6
E)
36
22. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos
sea menor o igual que 3?
1
A)
36
2
B)
36
3
C)
36
4
D)
36
5
E)
36
23. En una tómbola hay solamente bolitas verdes y blancas. Si el 75% de las bolitas son
verdes, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos bolitas blancas, reponiendo la primera?
1
A)
2
1
B)
8
1
C)
16
1
D)
25
16
E)
49
24. Se tienen diez tarjetas iguales numeradas del 1 al 10. Si se eligen tres tarjetas,
reponiendo cada una de ellas luego de sacarla, ¿cuál es la probabilidad de que las tarjetas
sumen 5?
A) 0,002
B) 0,003
C) 0,004
D) 0,006
E) 0,2
25. Con respecto a la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar la flecha
dos veces, en ambas ocasiones salga el color verde?
4
A)
9
7
B)
9
8
C)
9
16
D)
81
49
E)
324
31. En un colegio hay dos cuartos medios con 50 estudiantes en total. En el 4º A hay 18
mujeres y en el 4º B hay 15 hombres. El total de mujeres entre los dos cursos es 25. Si se
eligen dos estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un hombre
del 4ºA y el segundo sea una mujer del 4º B?
1
A)
35
12
B)
35
17
C)
50
5
D)
44
7
E)
250
sen 30 º cos 60 º
35.
tg 30 º
A) 3
3
B)
2
3
C)
3
D) 3
E) 1
36. En un triángulo rectángulo, α es uno de los ángulos agudos tal que sen α = 0,6. Si la
hipotenusa mide 15 cm, ¿cuánto mide el cateto mayor?
A) 9 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 13 cm
E) Falta información
RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D B A C B A E E B C C D E C E D E B B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E C C D D D A C D E A E E C A C C D A D
CUARTO AÑO MEDIO
1. log25 5 =
A) 0,1
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,4
E) 0,5
4. log 8 + log 2 =
A) 0
B) 1
C) 4
D) 3 log 2
E) 4 log 2
5. Si 2 x = p, entonces 4 x =
A) 2p
B) p-2
C) 4p
D) p-4
E) p4
x 1 1
6. El conjunto de las soluciones de la ecuación ( 0 ,25) es:
1 x 2
2
A) {-3}
B) {1}
C) {3}
D) {1,3}
E) {-3,1}
7. Si 3 x = 9 - y y 2 x y = 0,125, entonces y – x =
A) 3-3
B) 3-2
C) 1
D) 3
E) 32
8. ¿Cuál es el conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica: log x = log (x+18) – log
(10 – x)?
A) {-6}
B) {-3}
C) {3}
D) {6}
E) {3,6}
9. Si 2 x 2 x = 0,25, entonces x =
A) -4
B) -3
C) -2
D) -1
E) 1
10. Si x3 = y2 (x > 0; y > 0), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. x = 3 y 2
II. y = x x
III. 3 log x = 2 log y
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
11. El conjunto de las soluciones de la ecuación logarítmica log (x+6) = 2 log x es:
A) {3}
B) {-2}
C) {2}
D) {3,-2}
E) Ø
14. Dos cilindros son tales que el primero tiene el doble de altura que el segundo y su
radio es la mitad del otro. ¿En qué razón están los volúmenes de ambos cilindros?
A) 1: 1
B) 1: 2
C) 1: 3
D) 1: 4
E) 1: 6
16. En el paralelepípedo recto de la figura, las coordenadas de los vértices B y D son (3, 4,0)
y (0, 4, 12) respectivamente. ¿Cuánto mide la diagonal AD del paralelepípedo?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 13
E) 17
17. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta
L?
A) 10 π cm3
B) 11 π cm3
C) 12 π cm3
D) 16 π cm3
E) 17 π cm3
18. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el triángulo de la figura en
torno al cateto AB?
A) 4,5 π 3 cm3
B) 9 π 3 cm3
C) 12 π 3 cm3
D) 18 π 3 cm3
E) 36 π 3 cm3
19. Un triángulo equilátero de lado “a” cm está ubicado en un plano horizontal. Si este
triángulo se traslada en dirección vertical “b” cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo
generado?
a2b 3
A) cm 3
2
a2b 3
B) cm 3
4
a2b 3
C) cm 3
3
a2b 3
D) cm 3
12
a2b 3
E) cm 3
6
20. ABCD es un rectángulo y AB es una semicircunferencia de radio 3 cm, tangente al lado
CD. ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura sombreada en
torno al lado AB?
A) 18 π cm3
B) 24 π cm3
C) 27 π cm3
D) 36 π cm3
E) 64 π cm3
21. ABCD es un cuadrado y M es el punto medio del lado BC. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. tg α= 2.
II. tg β= 0,5.
III. γ= α+β .
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
23. Según los datos dados, ¿cuál es el perímetro del trapecio de la figura?
A) 13 3 cm
B) 18 3 cm
C) 11 + 2 3 cm
D) 16 + 2 3 cm
E) 22 + 2 3 cm
24. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: A(4,0,0) ; B(0,4,0) y C(0,0,4). ¿Cuál
es su área?
A) 2 3
B) 4 3
C) 8 3
D) 12 2
E) 16
25. La figura está formada por un rectángulo y una semicircunferencia. ¿Cuál es el
volumen del cuerpo que se genera al girar la figura sombreada en torno al lado AD?
5
A) π
3
17
B) π
3
32
C) π
3
35
D) π
3
71
E) π
6
26. Las aristas del ortoedro miden 3, 2 y 1 tal como se indica en la figura. ¿Cuáles son las
coordenadas del punto A?
A) (1 , 2, 3)
B) (2 , 1 ,3)
C) (1 , 3 , 2)
D) (2 , 3 , 1)
E) (3 , 2 , 1)
28. Un dado ha sido lanzado 19 veces obteniéndose los resultados que se muestran en la
siguiente tabla de frecuencias, ¿cuál es la mediana de estos datos?
A) 2 Número Frecuencia
B) 3 1 2
C) 3,5 2 3
D) 4 3 5
E) 5 4 4
5 2
6 3
29. Las edades de 5 hermanos son 2, 12, 5, 9 y 12 años. ¿Cuál es de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Su mediana es 5 años.
II. Su media es 8 años.
III. Su moda es 12 años.
A) Sólo I.
B) Sólo I y II.
C) Sólo II y III.
D) Sólo I y III.
E) I, II y III.
30. El gráfico adjunto muestra la distribución de notas de una prueba de un curso electivo
de Biología. ¿Cuál es la mediana de estas notas?
A) 5,0
B) 5,5
C) 6,0
D) 6,5
E) 7,0
18
I. La probabilidad de que tenga a lo más 15 años es .
40
22
II. La probabilidad de que sea de sexo masculino es
40
24
III. La probabilidad de que sea de sexo femenino o tenga más de 15 años es
40
Es(son) correcta(s):
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
35. En el gráfico se muestran las horas de estudio diario que dedica Pedro durante una
semana. ¿Cuántas horas debe estudiar el viernes para que la media de estudio diario
durante esa semana sea de dos horas?
A) 0
B) 0,5
C) 1
D) 1,5
E) 2
36. En un estacionamiento se toma una muestra de 34 vehículos para realizar un estudio
acerca del tiempo en el cual permanecen estacionados. Los resultados se ilustran en la
siguiente tabla:
¿En qué intervalo se encuentra la mediana de estos datos? Tiempo (en Frecuencia
A) [0 , 1) horas)
B) [1 , 2) [0,1) 14
C) [2 , 3) [1,2) 10
D) [3 , 4)
[2,3) 6
E) [4 , 5)
[3,4) 3
[4,5) 1
37. Para vender sus naranjas un agricultor las envasa en bolsas de 2 Kg. Elige 30 bolsas al
azar y en cada una de ellas cuenta la cantidad de naranjas que contiene, obteniendo lo
siguiente:
¿Cuál es la media de unidades por bolsa de esta muestra? Unds. Frecuencia
A) 10,87 9 4
B) 11 10 6
C) 11,2 11 6
D) 11,5 12 8
E) 12 13 6
38. El gráfico adjunto muestra la distribución por sexo de los tres cuartos medios de un
establecimiento educacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. Más de un 53% de los estudiantes son de sexo masculino.
II. Menos de un 28% de los estudiantes son del 4º B.
III. La media de alumnos(as) por curso es 30.
A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y III.
D) Sólo II y III.
E) I, II y III.
39. La media de las edades de tres hermanos es 10 años y la moda es 8 años, ¿cuál es la
mediana?
A) 6 años
B) 8 años
C) 10 años
D) 14 años
E) Falta información
40. El precio del dólar vendedor durante el primer día del mes en seis meses seguidos en
una casa de cambio fue el siguiente: $510; $515; $512; $508; $508; $519.
¿Cuál es respectivamente la mediana y la moda de estos datos?
A) $512 y $508.
B) $511 y $508
C) $511 y $519
D) $512 y $519
E) $512 y $508
RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E C B E B E E E B E A C B B D D B B B A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
C E D C E D C B C C C C E C C B C C B B
FACSIMIL 1
I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD
0 ,002 0 ,05
1.
0 ,018 0 ,002
3
A)
16
B ) 0 ,3
C) 3
30
D)
16
E ) Otro Valor
2. Dados los decimales 0,15 ; 0,149 ; 0,2 ; 0,1437 ; 0,07 ; al sumar el menor con el mayor se
obtiene:
A) 0,2137
B) 0,27
C) 0,2927
D) 0,299
E) 0,7127
3 4 5 6 7
3. Si los 5 primeros términos de una secuencia son: , , , , ,........ ¿cuál es el
2 4 6 8 10
término que ocupa la posición n-esima?
3n
A)
n2
n1
B)
n2
n
C)
2n
2n
D)
n2
n2
E)
2n
6. Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa
2
se ocupa la cuarta parte de los hombres y en la segunda los del resto. ¿Cuántos
3
hombres trabajan en la tercera etapa?
A) La mitad de los que trabajaron en la segunda etapa.
B) Un tercio de los que trabajaron en la segunda etapa.
C) La mitad de los que trabajaron en la primera etapa.
D) Un tercio del total.
E) La mitad del total.
9 1
7. Los de 33 es igual a de:
11 10
A) 0,27
B) 2,7
C) 27
D) 270
E) Ninguna de las anteriores
8. Si a y b son dos números reales de distinto signo, entonces siempre es posible afirmar
que:
I) a2 + b2 es un número real positivo
II) (a + b)2 es un número real positivo
III) (a + b)(a − b) es un número real positivo
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
9. María es dos años mayor que Raúl y la edad de éste es 6 veces la edad de Marcela. El
promedio de sus edades es 9 años y 4 meses. ¿Qué edad tiene Raúl?
A) 36 años
B) 24 años
C) 18 años
D) 12 años
E) 9 años
10. Julia, al comparar las mercancías A y B observa que B cuesta $ 30.000 más que A.
Además, verifica que si a B se le descuenta el 10%, ambas quedarán con el mismo valor.
¿Cuál será el valor de la mercancía B?
A) $ 300.000
B) $ 270.000
C) $ 99.000
D) $ 33.333
E) $ 30.000
12. El costo total del paseo de curso es de $ a. Esta cantidad se asume en partes iguales por
el total de los b alumnos del curso, pero a última hora desistieron del viaje c alumnos.
¿Cuál es el valor de la nueva cuota que deben cancelar los que realizan el viaje?
A) a
B) a (b − c)
a
C)
bc
a
D)
bc
a
E) c
b
17. Las edades de Marta, Andrea y Sonia suman (3a + 2b) años. Marta tiene b años y Sonia
tiene (a − b) años. ¿Cuántos años tiene Andrea?
A) 2a
B) 2b
C) a + 2b
D) 2a + b
E) 2a + 2b
20. Si x - 1 = 3 entonces x2 − 3 = ?
A) 1
B) 19
C) 16
D) 253
E) 256
a 1
21. Sea x . ¿Cuál de las siguientes expresiones es(son) siempre verdadera(s)?
b y
I) b = ay − bx
a1
II) x
by
a 1
III) b
x y
A) Sólo I
B) I y II
C) Sólo III
D) II y III
E) Ninguna
22. Si a + b = 25 ; entonces a2 + b2 = ?
ab = -150
A) 1.225
B) 925
C) 625
D) 325
E) Ninguna de las anteriores
26. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la que corresponde con la función graficada en la
figura?
A) y x 1
B) y x 1
C) y x 2
D) y x 1 1
E) y x1 1
27. ¿Cuál de las siguientes opciones representa al conjunto solución de la inecuación 3 < x
− 1 < 5?
5 n 8 5 n 9
28. ?
5 n 9 5 n 10
A) 5
B) 1
1
C)
5
D) 0
E) Ninguna de las anteriores
2 1
29. ?
2 1 2 1
A) 2
B) 2
C) 2 -1
D) 2 -2
E) 2 -3
abc
30. Si 540 = 2a •·3b • 5c, entonces =?
2
A) 1
B) 2
C) 0
1
D)
2
E) 4
33. Sea px2 + qx + r = 0. Si la suma de las raíces de esta ecuación es igual al semiproducto
de ellas, entonces:
A) r - p = 0
B) p = r
C) r + 2q = 0
D) r - 2q = 0
E) - 2q = pr
34. La gráfica de la figura, corresponde a la función cuadrática f (x) = a (x − h)2+ k .
Entonces, los valores de a, h y k son, respectivamente:
A) 1 ; -8 ; 15
B) 1 ; 8 ; 15
C) 1 ; 4 ; -1
D) -1 ; 4 ; -1
E) -1 ; -4 ; -1
III. GEOMETRÍA
36. A la circunferencia de la figura con centro en (1, 1) y radio 1, se le aplica una reflexión
con respecto al eje Y, y posteriormente una reflexión con respecto a la recta y = x.
¿Cuáles son las coordenadas del centro de la circunferencia resultante?
A) (1, −1)
B) (1, 1)
C) (−1, 1)
D) (−1, −1)
E) (0, −1)
37. Al Δ ABC de coordenadas A (0, 2), B (1, 0) y C (0, 0), se le aplica una rotación en 90º
con respecto al origen del sistema cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas de A’ y B’,
imágenes de A y B respectivamente?
A) (−2, 0) y (1, 0)
B) (0, −2) y (0, 1)
C) (−2, 0) y (0, 1)
D) (0, −2) y (1, 0)
E) (−2, 0) y (1, 1)
38. En un sistema cartesiano se tiene un punto P (3, 2). ¿Cuáles son las coordenadas de P al
rotarlo con respecto al origen en 90º, 180º y 270º en sentido horario (figura)?
A) ( 2, −3) ; ( 3, −2) ; (−2, 3)
B) ( 2, −3) ; (−3, −2) ; (−2, 3)
C) ( 2, −3) ; (−2, −3) ; (−2, 3)
D) ( 3, −2) ; (−3, −2) ; (−3, 2)
E) (−2, 3) ; (−2, −3) ; ( 3, −2)
40. ¿Cuál es el perímetro de la figura plana (figura) formada por 3 rombos congruentes
cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm?
A) 20 cm
B) 40 cm
C) 60 cm
D) 80 cm
E) 100 cm
41. La superficie de una región cuadrada es a2. Entonces, la superficie de la región circular
que tiene por radio la diagonal del cuadrado es:
πa 2
A)
2
B ) πa 2
3 πa 2
C)
2
D ) 2 πa 2
E ) 4 πa 2
42. ¿Qué parte del área del trapecio ABCD de la figura es el área del triángulo CDE?
1
A)
6
1
B)
3
1
C)
4
2
D)
3
E) Ninguna de las anteriores
50. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente a ella y una
secante que pase por su centro, entonces ¿cuál es el radio de la circunferencia si el
segmento exterior de la secante mide 8 cm y la tangente mide 12 cm?
A) 18 cm
B) 10 cm
C) 9 cm
D) 5 cm
E) No se puede determinar
3
52. En la figura, el Δ ABC es rectángulo en C, CD AB y BC = 17 cm. Si tg α ,
5
entonces AD =?
25
A) 2 cm
6
25
B) cm
6
25
C) 3 cm
6
25
D) 3 cm
3
E) Ninguna de las anteriores
54. Javier quería construir un pequeño estanque cúbico de agua de 1.000 litros de
capacidad. Para ello determinó que la arista debía medir un metro de longitud. Cuando
terminó la construcción, notó que las aristas medían cada una 102 cm. ¿Cuál es la
diferencia, en cc, de la capacidad del estanque que construyó?
A) 8
B) 404
C) 800
D) 61.208
E) Otro Valor
55. Una caja contiene 10 fi chas de igual peso y tamaño. Cada fi cha tiene grabada una letra
de la palabra LITERATURA. Si se escoge una fi cha al azar, ¿cuál es la probabilidad de
escoger una vocal?
1
A)
10
4
B)
10
5
C)
10
6
D)
10
7
E)
10
58. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Los sucesos posibles son 36.
II) La probabilidad de que la suma sea 1 es cero.
2
III) La probabilidad de que la suma sea un divisor de 6 es .
9
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo II y III
D) Todas son verdaderas
E) Ninguna es verdadera
59. Una urna contiene 10 bolitas iguales numeradas del 1 al 10. Si se sacan 2 bolitas al azar
y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas se obtenga un número par?
1
A)
5
1
B)
4
2
C)
9
1
D)
10
1
E)
2
60. Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU fueron los
siguientes:
450 – 670 – 550 – 380 – 700 − 580 – 460 – 675
782 – 800 − 776 – 660 – 650 – 420 – 690
Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:
A) 600,0
B) 612,8
C) 615,8
D) 616,2
E) 622,8
61. En la tabla Nº 1 se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces,
al sumar la media con la moda de la distribución se obtiene:
A) 3,1
B) 3,3 x 1 2 3 4 5 6 7
C) 5,12 f 1 7 4 3 5 4 1
D) 5,8
E) Ninguna de las anteriores
62. La tabla Nº 2 muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de Inglés. De
acuerdo a la información entregada, ¿cuál es la nota promedio del curso?
A) 5,0
B) 4,5
C) 4,0
D) 3,5
E) 3,0
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución. Usted deberá marcar en la
tarjeta de las respuestas la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;
pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;
pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta;
64. En un avión viajan 200 pasajeros de los cuales 80 son extranjeros y el resto chilenos.
¿Cuántas chilenas viajan?
(1) El número de hombres chilenos es igual al doble del número de mujeres.
(2) Del total de pasajeros, los son hombres.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
69. Si la figura está compuesta por cinco cuadrados, ¿cuál será el área sombreada?
(1) El área total es 100 cm2.
(2) Cada cuadrado tiene 20 cm2 de superficie.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
PAUTA FACSIMIL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C B E E E A D A D A A C C D C C E E D D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E B B A E D D C E B C C C C A A C B C C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
D C B A B E C E D D E A A D C D A D C D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
D D C C C D C E D E
ENSAYO Nº 2
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
2. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante
el desarrollo de los ejercicios.
ángulo AB trazo AB
log logaritmo en base 10
� pertenece a
1. 12 : 2(-5 + 8) – 7 =
A) -31
B) -17
C) -12
D) -5
E) 11
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
3. Un número que es divisible por 4, 6 y 10, no es divisible por
A) 10
B) 12
C) 15
D) 20
E) 32
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) Ninguno de los valores anteriores
2
5. Si x es el 66 % de y, entonces ¿qué porcentaje es y de x?
3
1
A) 33 %
3
B) 75%
1
C) 133 %
3
D) 150%
2
E) 166 %
3
6. 48 + 12 + 3 =
A) 63
B) 7 3
C) 20 3
D) 4 15 + 3
E) 30 + 3
7. Los puntos P, R, S y T están sobre la recta numérica, tal como lo muestra la figura.
¿Cuál de las siguientes opciones podría ser verdadera?
A) R·S=P P R S T
B) P·R=T -1 0 1
C) R·S=T
D) R·T=P
E) P·T=S
8. En la siguiente secuencia de tríos pitagóricos: (3, 4, 5)(5, 12, 13)(7, 24, 25)(9, 40, 41)
…, la suma de los números que forman el séptimo trío es
A) 132
B) 182
C) 240
D) 306
E) 312
km
9. Manejando a un promedio de 48 , Juan llega a su destino exactamente en 2
h
horas 15 minutos. Manejando por la misma ruta, demora exactamente 2 horas en
regresar. ¿Cuál fue el promedio de su regreso?
km
A) 50
h
km
B) 54
h
km
C) 55
h
km
D) 60
h
km
E) 64
h
10. Si 192 = (20 – a)2 = 202 – 2 · 20 · b + c2, ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?
A) a>b>c
B) b>a>c
C) c>a>b
D) a=b>c
E) a=b=c
A) –(a – b)2
B) (a – b)2
C) (a + b)2
D) –(a + b)2
E) (-a – b)2
A) 12
B) 13
C) 31
D) 37
E) 49
14. Si a – b = 4 y ab = 5, entonces a2 + b2 =
A) 6
B) 9
C) 11
D) 20
E) 26
A) -3ab
B) ab
C) 0
1
D)
4
E) 4
2 -1
16. Si x 2x 7 = x + 2 – , entonces A =
A A
A) x+4
B) x–4
C) x+3
D) x–3
E) x+2
2 2 2
17. Si abc 0, entonces a bc + ab c + abc =
abc
A) a+b+c
B) a + b + abc2
C) a3b3c3
D) 3abc
E) 2abc
A) 4
1
B)
2
1
C)
4
1
D) -
2
E) -4
A) x
B) x+1
C) x+ 5
D) x+5
E) 2x + 5
2
20. Un estudiante finaliza la primera mitad de su examen en del tiempo que tomará
3
para finalizar la segunda mitad. Si el examen completo lo rindió en 1 hora, ¿en
cuántos minutos realizó la primera mitad del examen?
A) 20
B) 24
C) 27
D) 36
E) 40
21. ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene los puntos A(0,-2) y B(3, -3)?
A) -1
1
B) -
3
C) 0
1
D)
3
E) 1
22. Si la recta de ecuación y = ax + b, pasa por los puntos (2, -1) y (-4, 3), entonces a – b
=
A) -1
1
B) -
3
1
C)
3
2
D)
3
E) 1
�x 5 �
23. Si f � �= x – 1, entonces f(3) =
�1 x �
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
A) -9
B) -2
C) -1
D) 0
E) 2
y
25. Sea x ã y definida como x2 + para todo x e y. Si 3 ã 4 = 5 ã m, ¿cuál es el valor
2
de m?
A) -28
B) -7
12
C)
5
D) 6
E) 60
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
28. Al rotar en 90º la gráfica de f(x) = x + 2, en sentido horario y con centro (0,0), se
obtiene
A) y B) y C) y
2 -2 x 2
-2
2 x 2 x
D) y E) y
-2 x
-2 x
-2
-2
29. Si la gráfica de f(x) = ax2, con a > 0, se traslada según el vector (-3, -2), entonces el
nuevo gráfico queda mejor representado por
A) B) C)
y y y
-3 x
-2
-3 x
-2
-3 x
D) E)
y y
9
9 x
-2
-2 x
A) a = 3, b = 2
B) a = 3, b = -2
C) a = 2, b = 3
D) a = -2, b = 3
E) a=b=3
1 2
31. Una solución o raíz de la ecuación +1= es
2
x x
A) 1
1
B)
2
1
C) -
2
D) -1
E) -2
A) (1,-2)
B) (-1,-4)
C) (1,-6)
D) (-1,-6)
E) (-1,0)
A) 0
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
3
3 �2
34. =
6
3
A) 3
2
B) 6
2
3 2
C)
3
D) 6
18
E) 24 6
6
35. =
6 2 6
A) 2
B) 2 +1
C) 2 –1
D) 1– 2
2
E)
2
A) ]-5-1] [6,12[
B) [-5,-1[ [6,12]
C) [-5,-1[ ]6,12]
D) [-5,-1 [ ]6,12]
E) [-5,12]
x+5 x 3
�
37. El conjunto solución del sistema 3 2 es
5(x 1) �10
A)
B) [3, +[
C) [19, +[
D) [3, 19]
E) ]-, 19]
39. En la figura, la expresión que representa el área del EFD inscrito en el rectángulo
ABCD es
D 12 C
A) 21 + 6x
B) 21 + 18x 6
C) 123 + 6x
F
D) 123 + 18x
x
E) 21 – 6x
A 5 E B
1
40. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 53 cm y PBQR es un cuadrado de
2
1
lado 46 cm. ¿Cuál es el área de la región achurada?
2
D C
A) 7 cm2
49
B) cm2 R
4 Q
81
C) cm2
4
693
D) cm2 A P B
4
E) 700 cm2
41. Las circunferencias de centros O y O’ de la figura, son tangentes en B. Si
AC = AB + BC , ¿cuál es la medida del ∡ ACD?
A) 20º
20º
B) 30º A C
O B O’
C) 45º
D) 50º D
E) 70º
42. En la figura, cada cuadrado tiene de lado la mitad de la medida del lado del
cuadrado anterior. ¿Cuál es el perímetro de la región achurada del sexto cuadrado?
A) 1+ 2
B) 1+2 2
C) 2+ 2 32
D) 1– 2
E) 1–2 2
A) 120º
B) 100º x
C) 90º A
D) 80º y
E) 60º
B C
44. En la figura se muestra una sucesión de figuras. Entonces, la quinta figura de la
sucesión debería ser
A)
B)
C)
D)
E)
45. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura con respecto a
la recta L?
L
A) B) C)
D) E)
46. En un cuadrilátero, las medidas de sus cuatro ángulos interiores están en la razón
de 2 : 3 : 5 : 6. ¿Cuál es la diferencia entre las medidas del mayor y menor de los
ángulos?
A) 112,5º
B) 90º
C) 67,5º
D) 45º
E) 13,5º
47. En el círculo de centro O de la figura, si el área del AOB es 25, ¿cuál es el área del
círculo?
A
A) 25
B) 25 2
C) 50 B
D) 50 3 O
E) 625
A) (20 + 10 ) cm
B) (17 + 10 ) cm C
C) (15 + 10 ) cm
E
D) (12 + 10 ) cm
E) (12 + 2 10 ) cm
A B
49. ¿Cuál es el mayor número de rectángulos cuyos lados son números enteros y de
perímetro 10 que pueden ser cortados de un pliego de papel de ancho 24 y largo
60?
A) 120
B) 144
C) 240
D) 360
E) 480
50. Un rectángulo es cortado por la mitad resultando dos cuadrados de área 25 cada
uno. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo original?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
51. En la figura, ABCD es un cuadrado y el ABE es equilátero. ¿Qué parte del área del
cuadrado ABCD es el área de la región achurada?
D C
A) 2 3 E
B) 6 3
3
C)
12
3 3
D)
4 A 3 B
3
E)
6
53. La longitud de uno de los lados de un triángulo es 1,2 veces la longitud de otro
lado. Si las longitudes de los tres lados son números enteros, ¿cuál es el mínimo
perímetro posible del triángulo?
A) 25
B) 21
C) 13
D) 10
E) 5
A) 3 3
B) 6 3
C) 2+ 3
D) 3+6 3
E) 6+3 3 A B
55. El área de un hexágono regular de lado a es igual a 18 cm2. ¿Cuál es el área de otro
a
hexágono regular de lado ?
3
A) 12 cm2
B) 6 cm2
C) 3 cm2
D) 2 cm2
E) 1 cm2
I) ∡ DCB = 2∡ABC
II) ∡ ADC = ∡ CDB C
III) CD AB
A) Sólo I 30º
B) Sólo II A D B
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
1
A)
8
3
B)
16
3
C)
8
1
D)
2
3
E)
4
58. Si el promedio (media aritmética) de 27 – x, x – 8, 3x + 11 es 12, ¿cuál es la media
aritmética de 2 y x?
A) 7
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
59. Una caja contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20. Si se saca una ficha al azar, ¿cuál
es la probabilidad que sea impar y divisor de 18?
3
A)
40
1
B)
10
3
C)
20
1
D)
5
E) Ninguno de los valores anteriores
3
A)
8
1
B)
4
7
C)
8
1
D)
2
5
E)
8
A) 7
B) 8
C) 8,5
D) 9
E) 10
63. La tabla adjunta muestra la cantidad de horas a la semana que “chatea” un grupo
de 40 jóvenes. Luego, la moda es
Nº de horas frecuencia
A) 2 0 1
B) 3 1 6
C) 12,5 2 15
D) 15 3 10
E) 30 4 5
5 3
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida
si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es.
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es.
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente.
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para
responder a la pregunta.
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes
para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la
solución.
Ejemplo:
En este ejemplo, usted puede observar que con los datos proporcionados en el
efecto:
P : Q = 3 : 2, luego
(P + Q) : Q = 5 : 2, de donde
$ 10.000.000 : Q = 5 : 2
Q = $ 4.000.000
Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionados en el
enunciado (P + Q = $ 10.000.000) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000.000).
Por lo tanto, usted debe marcar la clave D . Cada una por sí sola, (1) ó (2).
3x + 2y = 5
65. El sistema de ecuaciones tiene solución única si:
5x 3ky = 6
(1) k -10
10
(2) k-
9
(1) AC = 10 C
(2) h=5 3
B x
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
(1) AD = 9
B D
(2) BE �AC = 24 L1
(2) x4 = 9
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
A C C B D B C D D C E D C E D E A E A C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A D C A E B A C D A D D E B C D B A E
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
E A E B D B D C B E B A D E D B A A E B
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
C B A A B D E B B A
ENSAYO Nº 3
2
2
1. 2
2
2
22
2
A)
7
7
B)
2
1
C)
2
5
D)
7
3
E)
5
2. Los hermanos Hugo, Francisco y Luis, salieron de su casa a la misma hora para
dirigirse a su colegio. Hugo demoró 7,3 minutos, Francisco demoró 7,02 minutos y Luis 7,2
minutos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Hugo llegó después que Luis.
II) Entre Luis y Francisco hay 18 centésimas de minuto de diferencia en
llegar al colegio.
III) Francisco llegó primero.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Solo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
3. Para construir una pared de 5 metros de largo en ocho horas se necesitan dos hombres.
¿Cuántos hombres se necesitarán para construir una pared similar a la anterior en m horas
de trabajo?
A) 16m
m
B)
16
16
C)
m
D) 5m
E) 40m
A) 15
B) 48
C) 60
D) 63
E) 75
8. Una persona tuvo durante el año 2007 un sueldo de $ 600.000 y se lo reajustaron de
acuerdo al I.P.C., que ese año fue de 7,8%. Su sueldo del año 2008 será
A) $ 7,8 • 600.000
B) $ 0,78 • 600.000
C) $ 1,78 • 600.000
D) $ 1,078 • 600.000
E) $ 0,078 • 600.000
9. En un triángulo equilátero de lado 500 se unen los puntos medios de cada lado y se
obtiene un nuevo triángulo equilátero, como se muestra en la figura 2. Si repetimos el
proceso 10 veces, el lado del triángulo que se obtiene es
500
A)
20
500
B ) 10
2
1
C) 500
10
1
D ) 10 500
2
1
E ) 9 500
2
t
11. Si t = 2, entonces t 2 2 t es igual a:
2
A) 15
B) 9
C) 7
D) 6
E) 5
14. La suma de tres enteros positivos consecutivos es múltiplo de 12. Entonces, siempre se
cumple que:
I) Uno de ellos es divisible por 4.
II) El menor de los enteros es divisible por tres.
III) El término central es divisible por 2.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
3 3
15. a b a b
5 5
3 2
A) a b2
5
9 2
B) a b2
25
9 2 6
C) a ab b 2
25 5
6
D) a 2b
10
3 6
E ) a 2 ab b 2
5 5
16. Pedro y Pablo tienen $ 25.000 en monedas de $ 10. Si Pedro tiene 500 monedas más que
Pablo, entonces el dinero que posee cada uno, respectivamente, es
A) $ 1.500 y $ 3.000
B) $ 1.000 y $ 2.000
C) $ 1.500 y $ 1.000
D) $ 10.000 y $ 15.000
E) $ 12.750 y $ 12.250
17. El ancho de un rectángulo es 6 metros menor que su largo. Si el largo del rectángulo es
Y metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es
1 1 1
18. Si m = ,n= yp= , entonces x – (m + n + p) es:
3x 6x 9x
18x 11
A)
18x
7
B)
18x
7 x 11
C)
18x
18x 2 11
D)
18x
E) Ninguna de las expresiones anteriores
19. ( 3 3 2 )( 3 2 3 )
A) 0
B) 15
C) 8 5
D) 9 5
E) 21
A) 2U
B) U2
C) U
D) 2 + U
E) U 2
23. La suma de los cuadrados de tres enteros pares consecutivos es igual a 200. Si y es un
entero par, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la ecuación que soluciona el
problema?
A) 200 = y2 + (y2 + 2) + (y2 + 4)
B) 200 = [y + (y + 2) + (y + 4)]2
C) 200 = (y – 2)2 + y2 + (y + 2)2
D) 200 = (y – 2)2 y2 (y + 2)2
E) 200 = y2(y + 2)2(y + 4)2
AB
1
25. Para que la expresión A B sea negativa, se debe cumplir necesariamente que
AB
1
AB
A) A > 0
B) B < 0
C) AB > 0
D) A < 0
E) AB < 0
x y 5 a 2 b
26. Dado el sistema , el valor de y es
x y 5 a 2 b
A) 0
B) 2b
C) 4b
D) 5a
E) 10a
27. El gas licuado de uso domiciliario tiene un costo de $ 1.980 el m3 y un cargo fijo de
$ 1.100 mensual. Si x representa el número de m3 consumidos mensualmente, ¿cuál de las
siguientes expresiones representa la función costo mensual C(x)?
A) C(x) = (x – 1.980) + 1.100
B) C(x) = 1.980x + 1.100
C) C(x) = 3.080x
D) C(x) = 1.100x + 1.980
E) C(x) = x + 3.380
1x
30. Dada la función f ( x ) , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
2
verdadera(s)?
I) f(0) = f(1)
II) f(-2) = 3 f(0)
III) f(3) = f(-1)
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
33. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa mejor a la función f(x) = 2x ?
34. Dada la parábola de ecuación y = ax2 + 4x – 3, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I) Si a > 1, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.
II) Si a = 1, la parábola intersecta en un solo punto al eje x.
III) Si a < 1 la parábola no intersecta al eje x.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II y III
35. Se tiene un capital inicial CO, el cual es invertido a una tasa semestral del i% de interés
compuesto n veces al semestre, obteniéndose un capital final CF al cabo de t semestres, el
nt
i
cual está dado por: C F C o 1 Al invertir $ 25.000 al 6% semestral de interés
100 n
compuesto bimestral, al término de 1 año se tendrá
A) $ 25.000 (1,06)6
B) $ 25.000 (1,02)6
C) $ 25.000 (1,06)12
D) $ 25.000 (1,02)12
E) $ 25.000 (1,12)6
36. Con respecto a la gráfica de la figura, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas?
I) La pendiente del segmento AB es creciente.
II) La pendiente del segmento BC se indetermina.
III) La pendiente del segmento CD es nula.
IV) La pendiente del segmento DE es decreciente.
A) Sólo I y III
B) Sólo II y III
C) Sólo I, II y IV
D) Sólo II, III y IV
E) I, II, III y IV
1 1
A ) ,
2 2
1
B ) ,0
2
1
C) 0,
2
1 1
D ) ,
2 2
1 1
E) ,
2 2
38. A un trapecio isósceles cuyos vértices son A(0,0), B(6,0), C(5,3) y D(1,3) se le aplica una
traslación paralela al eje x en dos unidades a la derecha, y luego se le aplica otra traslación
paralela al eje y en tres unidades hacia abajo, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) El nuevo vértice B queda ubicado en el punto (8,-3).
II) El nuevo vértice C queda ubicado en el punto (7,0).
III) El nuevo vértice D queda ubicado en el punto (3,0).
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
39. El número de ejes de simetría que tiene un trapecio con tres lados iguales es
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
40. Dado un punto Q de coordenadas (-5, 3) ¿cuáles son las coordenadas del punto
simétrico de Q con respecto al eje X?
A) (5 , 3)
B) (3 , 5)
C) (-3 ,5)
D) (3 ,-5)
E) (-5 ,-3)
48. ¿Cuáles de los siguientes triángulos rectángulos, son semejantes entre sí?
A) Sólo I y II
B) Solo II y III
C) Sólo III y IV
D) Sólo I, II y IV
E) I, II, III y IV
51. En la figura, los puntos P, Q y R están sobre la circunferencia de radio r y ∡ PQR = 15º.
La longitud del arco QP es
πr
A)
3
πr
B)
6
πr
C)
9
πr
D)
12
πr
E)
24
54. Respecto del triangulo rectángulo ABC de la figura, ¿cuál de las siguientes opciones es
falsa?
A) sen α = cos β
b
B) sen β =
c
b
C) tg β =
a
c c
D) tg α + tg β =
a b
ab
E) sen α + sen β =
c
55. En un prisma de base cuadrada, caben exactamente dos pelotitas de igual radio, una
encima de la otra como se muestra en la figura. Si la altura del prisma
es h, entonces el volumen de una esfera es
h3
A) π
48
h3
B) π
24
h3
C) π
4
h3
D) π
3
E) h 3 π
56. Una ruleta con diez sectores iguales, se ha girado 6 veces y en las seis ocasiones ha
salido un 6. ¿Cuál es la probabilidad de que en el siguiente giro, salga un 6?
1
A)
5
1
B)
10
1
C)
6
1
D)
2
7
E)
10
59. Si se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos, en los dos dados, que
tiene menor probabilidad de salir?
A) Tanto el 2 como el 12
B) Sólo el 6
C) Solo el 2
D) Sólo el 12
E) Tanto el 1 como el 6
60. Se tienen 3 estuches con sólo lápices. El primero contiene 3 negros y 2 rojos, el segundo
4 negros y 8 rojos, y el tercero 6 negros y 12 rojos. Si se saca al azar un lápiz de cada
estuche, la probabilidad de que los tres lápices sean rojos es
8
A)
45
24
B)
45
8
C)
5
8
D)
9
8
E)
40
61. Las alturas registradas en una competencia, fueron, 10, 16, 20, 20 y 30 metros. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 20.
II) La moda es igual a la mediana.
III) La media aritmética es menor que la mediana.
A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
62. La tabla adjunta muestra la distribución del número de hijos que tienen las familias de
un condominio. La fórmula correcta que permite determinar el número promedio de hijos
por familia para este condominio es
xyz
A)
4
xyz
B)
abcd
bx cy dz
C)
bcd
bx cy dz
D)
abcd
abcd
E)
xyz
65. Un maestro puede calcular cuanta pintura va a utilizar, para realizar un trabajo, si:
(1) Un galón de pintura alcanza para 10 m2.
(2) Tres galones alcanzan para la mitad del trabajo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
66. José tiene cuatro veces los puntos que tiene Julia y Julia tiene la cuarta parte de los
puntos de Hernán. Se puede determinar el número de puntos que tiene Hernán si:
(1) Se conoce el total de los puntos.
(2) José y Hernán tienen la misma cantidad de puntos.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere la información adicional.
67. La tabla adjunta representa las edades de niños de un jardín infantil. Se puede
determinar el valor de x si:
(1) La moda es 3 años.
(2) El promedio es 4,3 años.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola,(1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
p (p 2 ) 1
70. Para p ≠ 0, p ≠ 2 y r ≠ 0, el valor numérico de la expresión q r se
p2 p r
puede determinar si:
(1) q = 8
(2) r = 2
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas junta, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
D E C B E A E D D A C D B C C D A D B D
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
E C C B C B B A E B A D D A B B D E B E
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
E E D C B A E E C C B C E E A B C D A A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
E D D C B A B A D A
ENSAYO Nº 4
5
1. 30 – · 10 + 16: (-0,5)-1 =
2
A) 117
B) 13
C) -3
D) -10,5
E) -18
1
2. El opuesto de - es el recíproco de
α
A) 0
1
B) -
α
1
C)
α
D) -α
E) α
3. Una profesora desea repartir 485 globos entre sus 45 alumnos. ¿Cuál sería el mínimo
número de globos que faltarían para que todos sus alumnos quedaran con igual número
de globos?
A) 10
B) 15
C) 25
D) 35
E) 40
6. Una tabla se corta en tres pedazos en las razones 1: 3: 5. Si el pedazo más largo mide
180 cm, ¿cuánto medía la tabla antes de ser cortada?
A) 324 cm
B) 360 cm
C) 540 cm
D) 900 cm
E) No se puede determinar
1
7. Las indicaciones que tiene un tarro de leche en polvo son las siguientes: “por cada
2
1
taza de leche agregar 4 tazas de agua”. Si se siguen estas instrucciones, ¿cuántas tazas
2
3
de agua se deben agregar a taza de leche?
4
3
A) 6
4
1
B) 6
2
1
C) 7
8
D) 6
E) 7
8. Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque en 21 horas.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo?
A) 7 horas
B) 31,5 horas
C) 16 horas
D) 14 horas
E) 28 horas
2
10. ¿Qué porcentaje de 4 es de 8?
3
A) 25%
2
B) 66 %
3
C) 120%
1
D) 133 %
3
E) 150%
11. En una prueba PSU, Donoso y Novoa contestaron todas las preguntas. Si Donoso
contestó en forma correcta el 80% de las preguntas y Novoa contestó en forma correcta el
15% del total de incorrectas contestadas por Donoso, ¿qué fracción de las preguntas de la
prueba contestó en forma correcta Novoa?
3
A)
25
1
B)
20
3
C)
20
7
D)
20
3
E)
100
13. Miguel depositó $ 500.000 el año 2009, a una tasa de un 2% de interés compuesto
anual. ¿Qué gráfica representa mejor el crecimiento de su capital?
2
14. ¿Cuánto se debe agregar al denominador de la fracción para que la nueva fracción
3
sea igual a 0,25?
A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
15. Valentina pagó (5x + y) por tres helados. El primero costó (x + y), el segundo 3y.
¿Cuánto costó el tercero?
A) 3y – 4x
B) 4x – 3y
C) 5x – 3y
D) 6x – 4y
E) 6x – 3y
c a b
16. Si a = 0,4, b = 0,6 y c = 0,1, entonces =
( a b )c
A) 9
B) 0,9
C) 0
D) -0,9
E) -9
17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones indica correctamente la relación para cada par de
números (x, y) en la tabla adjunta?
A) y = x + 5
B) y = 2x + 3
C) y = 2x + 5
D) y = 3x – 1
E) y = 3x + 1
18. El producto de dos números pares positivos consecutivos es 8 unidades mayor que el
cuádruplo del número menor. ¿Cuál es el producto de estos números?
A) 24
B) 12
C) 8
D) 0
E) -8
1
19. Si x = , entonces x + 1 es igual a
1 2
A) 2 +1
B) 2 –1
C) - 2
D) 0
E) 1
20. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto al gráfico de
la figura?
I) L1 tiene pendiente nula.
II) L2 tiene pendiente positiva.
III) L3 carece de pendiente.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III
1 a2b3
22. Al dividir por se obtiene
2 3
a b a 2 b 3
A) a2b3
B) a4b6
1
C) 2 3
a b
1
D) 4 6
a b
1
E)
a b9
6
4x 2
24. Al despejar x en la ecuación = 3 se obtiene
a
A) x = 24a
3a 4
B) x =
2
4a 3
C) x =
2
4
D) x =
3a 2
3a 2
E) x =
4
x44 x
25. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a si x > 4?
x 2
A) x + x
B) x – 2
C) x + 2
D) 2 x
E) x
2
1 1
26. Si a – b = 4 y a · b = 2, entonces el valor de es
a b
A) 2(a – b)
B) 2(b – a)
C) 2b – a
D) -4
E) 4
27. Si el coeficiente de posición de una recta es 3 y ésta pasa por el punto A(-3, 0), entonces
su ecuación general es
A) x – y – 3 = 0
B) x – y + 3 = 0
C) x + y – 3 = 0
D) x + y + 1 = 2
E) x + y + 3 = 0
28. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en k. ¿Cuál de las
siguientes expresiones es igual al radio del círculo?
A) k
B) k( 2 + 1)
C) k( 2 – 1)
D) k(2 – 2 )
E) 2k
1 1 1
29. Si A = , entonces =
m n A
A) m + n
B) mn
mn
C)
mn
mn
D)
mn
1
E)
mn
31. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 15 minutos. Si en estos momentos marca las 5 con 2
minutos y se sabe que hace 4 horas que se adelanta, entonces la hora que debería marcar
correctamente es: las cuatro con
A) 28 minutos
B) 30 minutos
C) 32 minutos
D) 48 minutos
E) 52 minutos
32. Sean las funciones f(x) = 2x y g(x) = x – 1 definidas en los reales. ¿Para qué valor de x se
verifica que f(x) · g(x) = f(g(x))?
A) 1
B) -1
C) 0
D) 2
E) -2
1
34. En los números reales positivos, ¿cuál es el dominio de la función f(x) = 2
?
x 9
A) [3, +∞[
B) ]3, +∞[
C) ]-3, +∞[
D) [-3, 3]
E) ]-∞, 3[
5 n4 5 n2
35. =
5n
A) 10
B) 25
C) 500
D) 600
E) 625
37. log 3
0, 3
1
A)
2
1
B)
3
1
C) -
3
1
D) -
2
E) -2
log ab 9
38. Si ab > 1, entonces =
log ab 3
A) logab 3
B) logab6
C) 2
D) 3
E) Depende de los valores de a y b
43. En la figura, ABCD y DCEF son cuadrados de áreas 100 cm2 cada uno. Si FD DA ,
entonces BF =
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 5 2 cm
D) 10 2 cm
E) 10 3 cm
45. La recta de la figura, corta a los ejes en los puntos (4, 0) y (0, 3). Si a la recta se le realiza
una rotación de 180º en sentido antihorario con respecto al origen (0, 0), ¿cuál de los
siguientes puntos pertenece a la recta que se obtuvo?
A) (0, -4)
B) (0, -3)
C) (-4, -3)
D) (-3, -4)
E) (-5, 0)
46. La figura, muestra un círculo inscrito en un hexágono regular. Si el área del círculo es
100 π , ¿cuál es el área del hexágono?
A) 600
B) 300
C) 200 2
D) 200 3
E) 120 3
47. En el rectángulo ABCD, AE ED , AB = 6 cm y CE = 3 cm. ¿En qué razón están las
longitudes de EC y BC , respectivamente?
A) 1 : 5
B) 1 : 4
C) 2 : 5
D) 1 : 6
E) 1 : 3
A) Sólo I con II
B) Sólo I con III
C) Sólo II con III
D) Todos son semejantes entre sí
E) No son semejantes entre sí
53. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s) con respecto al triángulo
rectángulo de la figura?
I) a2 + b2 = 2h2
II) a · b = h2
1 1 1
III) 2 2 2
h a b
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y III
E) Sólo II y III
56. La probabilidad de extraer de una caja con fichas, una blanca, es de un 40%. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca?
A) 60%
B) 50%
C) 40%
D) 30%
E) No se puede determinar
59. Si en una caja hay 5 bolitas verdes y 3 blancas entonces, ¿en cuál de las siguientes
alternativas se indica una acción que una vez realizada permita que al extraer una bolita al
azar de la caja, la probabilidad de que ésta sea blanca corresponda a un 50%?
A) Agregar a la caja una bolita verde
B) Sacar de la caja una bolita verde y una blanca
C) Agregar a la caja dos bolitas verdes y cuatro blancas
D) Sacar tres bolitas verdes y agregar una blanca
E) Agregar cinco bolitas verdes y tres blancas
61. El gráfico de Barras de la figura, muestra las notas obtenidas por un curso en la prueba
de matemática. En relación a la distribución de las notas, es verdadero que
A) 6 alumnos dieron la prueba.
B) hay más mujeres que hombres.
C) las mujeres sacaron mejores notas.
D) los que obtuvieron nota 2 son el doble de los que
obtuvieron nota 7.
E) el promedio del curso fue, aproximadamente, 4,2.
I) La moda es 35.
II) La media aritmética es 19,6.
III) La mediana es 25.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
63. El gráfico de la figura, muestra las notas correspondientes al resultado de una prueba
de biología. Al respecto, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 5.
II) La mediana es menor que la moda.
III) El promedio es mayor que la mediana.
A) Sólo II
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
64. Se tienen tres números: 2, 4 y x, siendo x un número entero desconocido tal que
3 < x < 11. Se puede determinar el valor de x si se sabe que:
(1) El MCD entre los tres es 1.
(2) x no es primo.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) o (2)
E) Se requiere información adicional
65. Don Humberto depositó dinero en el Banco a un interés simple mensual x. Se puede
conocer el valor de x si:
(1) Don Humberto depositó $ 500.000.
(2) En un trimestre ganó $ 9.600.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
x y a 3 b
66. En el siguiente sistema: , se puede determinar el valor numérico de y
3 x y a 5 b
si:
(1) a = 4 ; b = 1
(2) a + 3b = 7
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
68. La figura está formada por los cuadrados A, B y C. Se puede determinar la medida del
lado del cuadrado A si:
(1) Se conoce el perímetro del cuadrado C.
(2) Se conoce el área del cuadrado B.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
70. En un curso, la probabilidad de que salga sorteada una mujer es 0,6. Se puede
determinar el número de varones que hay en el curso si:
(1) En el curso hay 40 alumnos.
(2) En el curso hay 24 mujeres.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C E A C C A A D B D E D E D B A E A C B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D E B E B E B B C A B A C B D D E C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B C E D B D A A D B E A C D D A B E C C
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
E C E C C A B C B D
ENSAYO Nº 5
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Usted dispone de dos horas y 15 minutos para
responderla.
2. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un sistema de ejes
perpendiculares.
I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.
4. Una persona está leyendo una novela de 366 páginas y va en la primera página de la
hoja 112 del libro. ¿Cuántas páginas le faltan para completar la novela?
A) 61
B) 62
C) 142
D) 143
E) 224
8. Con cuatro fósforos se puede construir un cuadrado y con ocho fósforos también.
¿Con cuál de las siguientes combinaciones se puede construir un cuadrado?
A) 94 fósforos
B) 63 fósforos
C) 132 fósforos
D) 154 fósforos
E) 190 fósforos
12. Jorge tenía (2a + 1) años hace (2a + 2) años. ¿Qué edad tendrá dentro de (2a + 3) años?
A) 6a años
B) 2a + 6 años
C) 4a + 4 años
D) 6a + 6 años
E) 6a + 12 años
x4
13. El valor de la expresión cuando y = 4 es:
xy
A) 1
5
B)
4
x4
C)
4
x1
D)
x
x4
E)
4x
15. Rosa es 2 años menor que Daniela y Andrea es 1 año menor que Rosa. Si Rosa y
Daniela suman 16 años, entonces la edad de Andrea es
A) 6 años
B) 7 años
C) 8 años
D) 9 años
E) 10 años
17. Un jarrón contiene (R - q) litros de agua, faltándole (p - R) litros para llenarse. ¿Cuál es
el doble de la capacidad del jarrón?
A) R - q
B) 2p - q
C) 2R + 2q
D) 2R - 2q
E) 2p - 2q
18. 3 cajas de fósforos cuestan $ 2a y 4 cajetillas de cigarrillos cuestan $ 3b. ¿Cuánto cuestan
3 cajetillas de cigarrillos y 1 caja de fósforos?
A) 2a + 3b
B) 6a + 12b
C) 2a + 12b
8a 9 b
D)
12
8a 27 b
E)
12
19. ( 2 x 2 1 ) 2 =?
A) 2 x2 1
B) 3 x 2 4 x 2 1
C) 3 x 2 x2 1
D) 4 x 2
E) 5 x 2
20. El contenido de una bebida cuesta $ 150 más que su envase. Si una docena y media de
bebidas con envase cuesta $ 3.600, entonces ¿cuánto cuestan 5 envases?
A) $ 75
B) $ 125
C) $ 150
D) $ 200
E) $ 250
24. La figura muestra el consumo diario de pan de una familia durante una semana.
De acuerdo al gráfico podemos afirmar que:
25. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde con el dominio de la función f(x) =
x2 1 ?
A ) 1,
B ) 1,
C) ,1 1,
D) ,1 1,
E) 1,1
26. Dadas las rectas L1: 2x - y - 3 = 0 y L2: -x - 2y + 10 = 0, entonces se cumple una de las
siguientes alternativas:
A) son perpendiculares
B) son paralelas
C) son coincidentes
D) se intersectan en (2,1)
E) el punto (2,4) pertenece a L1
27. ¿Cuál es la alternativa que corresponde con el gráfico de la función f(x) = [x] + 1?
28. ¿Cuál es la ecuación de la recta en la figura?
A) x + y + 1 = 0
B) x - y - 1 = 0
C) x + y - 1 = 0
D) -x + y + 1 = 0
E) Ninguna de las anteriores
ab
30. Si a = 1 2 y b = 2 1 entonces ?
b
A) 1 2
B) 2 1
2
C)
3
D) 2
E ) 2( 2 1)
31. Si x es un entero positivo, entonces la expresión (-1)x (-2)x equivale a:
A) 22x
B) (-3)x
C) (-3)2x
D) 2-2x
E) 2x
III. GEOMETRÍA
36. Los triángulos de la figura son equiláteros. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) ∡ AED ≅ ∡ CDE
II) AD ≅ AC
III) AD ≅ CE
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III
37. ¿Cuál de los siguientes gráficos de funciones es simétrico respecto del eje de las
abscisas?
38. En la figura, el punto P tiene coordenadas (3, 1). ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La imagen de P respecto del origen del sistema tiene coordenadas (-3, 1).
II) Al trasladar P según el vector (-5, 2), la imagen queda en el tercer cuadrante.
III) Al rotar P en 90º en torno al punto (1, 1) se obtiene el punto (1, 3).
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y III
D) II y III
E) I, II, III
39. Si se traslada el punto de coordenadas (m, n) de modo que sus coordenadas cambian a
(m + 3, n + 4), entonces ¿cuál es el vector traslación aplicado?
A) (m, n)
B) (m + 3, n + 4)
C) (3, 4)
D) (-3,-4)
E) (4, 3)
42. ¿Cuál es el perímetro de la figura formada por dos rombos congruentes cuyas
diagonales miden 6 cm y 8 cm?
A) 30 cm
B) 40 cm
C) 48 cm
D) 60 cm
E) 80 cm
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) II y III
E) I, II y III
50. ¿Cuál(es) de las siguientes equivalencias se puede(n) deducir con los datos de la
figura?
I) a2 - p2 = b2 - q2
II) a2 + b2 = (p + q)2
III) h2 = (c - p)(c - q)
A) Sólo I y II
B) Sólo II y III
C) Sólo I y III
D) Todas
E) Ninguna
3
51. Si tgα entonces senα cos α =?
4
A) 7
7
B)
5
C) 1
D ) 0 ,5
E) No se puede determinar
52. Una gata, parada a 4 metros de un poste, observa a una paloma posada en el extremo
superior de éste con un ángulo de elevación de 50º. ¿Qué distancia separa a la gata de la
paloma?
4
A)
tg 50 º
B ) 4 tg 50 º
4
C)
cos 50 º
cos 50º
D)
4
E ) 4 cos 50 º
54. El rectángulo de la figura tiene por vértices los puntos A (2, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0,
1, 1) y D (2, 0, 1). ¿Cuál es su perímetro?
A) 2 + 2 5
B) 4 5
C) 2 5
D) 12
E) 8
57. Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer una
bolita azul es de 0,2, entonces ¿cuántas bolitas son rojas?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 4
58. En un curso de 42 personas, los morenos y los rubios están en razón de 5: 2. ¿Cuál es la
probabilidad de que al seleccionar un alumno al azar éste sea rubio, considerando que sólo
hay rubios y morenos en el curso?
2
A)
5
1
B)
6
2
C)
7
1
D)
7
2
E)
3
59. Se lanzan dos veces dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las pintas
sea 9 en el primer lanzamiento y 10 en el segundo?
1
A)
81
1
B)
108
1
C)
9
2
D)
9
E) Ninguna de las anteriores
60. Camila tiene en su clóset 3 poleras de color azul, 2 de color rojo, 5 de color blanco, 2 de
color negro y 4 amarillas. ¿Cuál es la moda del conjunto de poleras?
A) 2
B) 5
C) blanco
D) rojo y negro
E) amarillo
62. Un estudiante obtuvo 3 notas parciales; 6,5 , 5,5 y 4,0, cuyo promedio se pondera en un
60% para obtener la nota final. Si la nota mínima de aprobación es 4,0, ¿qué nota deberá
sacarse como mínimo en la última evaluación, para aprobar el curso?
A) 5,0
B) 4,0
C) 3,5
D) 2,0
E) 1,0
En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino que decida si
los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicados en las
afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.
Usted deberá marcar en la tarjeta de las respuestas la letra:
A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;
pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta;
pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para
responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente;
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta;
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para
responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.
66. x2 = x si:
(1) x = 0
(2) 2x = 2
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
67. En el rectángulo de la figura, el área del ∆ EBH equivale al área del ∆ DFG si:
(1) E y F son puntos medios
(2) DG GH HB
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
69. ¿Alcanza un pliego de papel de 70 cm × 120 cm para envolver una caja de cartón?
(1) La caja mide 30 cm de ancho × 50 cm de largo
(2) El alto de la caja es la mitad del ancho
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
70. Se puede determinar la ecuación de una recta que pasa por el origen si:
(1) su pendiente es 1,5.
(2) pasa por el punto (2; 3)
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
HOJA DE RESPUESTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C C B D C E C C C A E D E B A A E E B B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D B B C A C C B E E C D C B D C C B C C
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B A B B D B A C E D B C D A D D A C B C
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
C D B B D D D C C D
ENSAYO Nº 6
I. NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD.
23 6
2. ?
2 1
A) 0
B) -1
C) -2
D) -6
E) 4
3. Tres niños, A, B y C, tienen sendas latas de bebida gaseosa de 350 cc cada una. “A” bebe
7 4 3
los de su lata, “B” toma los y “C” toma los . ¿Cuál(es) de las siguientes
10 5 4
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A bebió más que B.
II) C bebió más que B.
III) A bebió menos que C.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
4. En un huerto hay 64 plantas. Si por cada 5 plantas de rosas hay 3 de claveles, ¿cuántas
plantas de claveles hay en el huerto?
A) 8
B) 16
C) 24
D) 32
E) 40
8. El gráfico de la figura muestra cómo varía la cantidad de agua que hay el la caldera de
una industria durante 5 horas de funcionamiento. ¿Cuál de las siguientes alternativas
entrega la mayor información correcta que se puede obtener del gráfico?
Se agregó agua:
A) 4 veces en 5 horas.
B) cada 1 hora, 100 litros cada vez.
C) cada 1 hora, 200 litros cada vez.
D) 5 veces, 200 litros cada vez
E) cada vez que la caldera tenía menos de 250 litros.
11. (-2m2)3 = ?
A) -6m6
B) -6m2
C) -8m6
D) -8m2
E) -2m6
a2
12. ?
a .5
A) a 7
B) a 3
2
C) a 5
2
D) a 5
E ) a 7
13. Si x 2 , entonces x + x2 =?
A) 4
B) 6
C) 2 + 2
D) 12
E) 20
3 6
14. Al simplificar la expresión resulta:
3
A) 6
B) 2
C) 1 2
D) 3 3 2
E) 3
p1
15. Al simplificar la expresión
p2
con p 2, se obtiene:
A) 2
1
B)
2
C) 1
D) 1
E) No se puede simplificar
17. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no es equivalente con la ecuación 0,01x = 3,14?
1
A) x 3 ,14
100
B ) 0 ,01x π
C ) x 10 2 3 ,14
314
D ) 0 ,01x
100
E ) x 10 2 314 10 2
21. La rapidez v de un cuerpo lanzado verticalmente hacia abajo está dada por la relación
v2 = v 02 + 2gd donde v0 es la rapidez inicial, g es la aceleración de gravedad y d es la
distancia recorrida por el móvil. ¿Qué rapidez lleva un cuerpo a los 15 metros de su caída
si se lanza con v0 = 10 m/s y la aceleración de gravedad es de 10 m/s2?
A) 10 m/s
B) 20 m/s
C) 100 m/s
D) 200 m/s
E) 400 m/s
x x
23. La diferencia entre y t es ¿Cuál es el valor de t?
m m1
1
A)
m( m 1 )
B) 0
xm
C)
m( m 1)
2m 1
D)
m( m 1 )
x
E)
m( m 1)
24. Con el 20% más del dinero que tengo, podría comprar un CD de $ 5.400. ¿Cuánto
dinero me sobraría si quiero comprar una revista que cuesta $ 3.000?
A) $ 1.080
B) $ 1.320
C) $ 1.500
D) $ 2.400
E) $ 4.500
25. Rosa tiene el doble de dinero que Beatriz, pero si Rosa le regala $ 400 a Beatriz, ambas
quedarían con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene Rosa?
A) $ 400
B) $ 800
C) $ 1.200
D) $ 1.600
E) $ 1.800
26. Un refrigerador cuesta $ (x + 3). Una familia lo compra en 3 cuotas, precio contado.
¿Cuánto vale cada cuota?
A) $ (x + 1)
B) $ x
( x 1)
C) $
3
( x 3)
D) $
3
x
E) $
3
27. Una persona tiene reunidos $ 50.000 y todos los meses ahorra $ 10.000. ¿Cuál es la
función que permite determinar el ahorro total y en el mes x?
A) y = 50.000x + 10.000
B) y = 50.000x - 10.000
C) y = 10.000x + 50.000
D) y = 10.000x - 50.000
E) y = x + 10.000 + 50.000
28. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta de
ecuación y - x + 2 = 0?
I) La recta intersecta al eje Y en el punto (0,-2).
II) La recta intersecta al eje X en el punto (2, 0).
III) La pendiente de la recta es -1.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
31. La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación y(t) = 50t - t2, donde t se mide
en segundos y la altura y(t) en metros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son)
correcta(s)?
I) El proyectil alcanza una altura máxima de 625 metros.
II) El proyectil alcanza la altura máxima a los 25 segundos.
III) A los 10 segundos, el proyectil se encuentra a una altura de 400 metros.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I, II y III
III. GEOMETRÍA
36. ¿En cuál(es) de los siguientes casos se puede afirmar que dos triángulos son
semejantes?
I) Cuando son triángulos rectángulos de distinto tamaño.
II) Cuando son triángulos isósceles de distinto tamaño.
III) Cuando son triángulos equiláteros de distinto tamaño.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y II
E) I y III
37. ¿En cuál de las siguientes figuras planas es posible determinar un eje de simetría?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) En I y III
E) En I, II y III
38. ¿Cuál de las siguientes opciones representa una simetría de la figura respecto del eje
OP ?
39. ¿En cuál(es) opción(es) la figura inferior es generada por la rotación de la figura
superior en torno al eje AB ?
A) Sólo en I
B) Sólo en II
C) Sólo en III
D) En I y en III
E) En I, en II y en III
41. En la figura, el cuadrado ABCD se traslada según el vector de componentes (4, 2).
¿Cuáles son las coordenadas del vértice A trasladado?
A) (4, 2)
B) (5, 2)
C) (5, 3)
D) (3, 5)
E) No se puede determinar
43. En la figura, el DABC es simétrico con el DMNO respecto de la recta L. ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) siempre verdadera(s)?
I ) BC NO
II ) CO // AM
III ) BC // MO
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y II
D) I y III
E) II y III
46. En la figura, el área del ∆ ABE es 60 cm2 y AB // DC . ¿Cuál es el área del ∆ ABC?
A) 10 cm2
B) 20 cm2
C) 30 cm2
D) 40 cm2
E) 50 cm2
47. Según la figura, ¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejante(s)?
I) ∆ DAB y ∆ BAC
II) ∆ EBD y ∆ DCB
III) ∆ BAC y ∆ DBC
A) Sólo I
B) Sólo II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
48. En el triángulo ABC rectángulo de la figura, M y N son puntos medios. ¿Cuál(es) de las
siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?
I) ∆ ABN ≅ ∆ CBM
II) Área ∆ ABN = Área ∆ CBM
III) Área ∆ ABN = Área ∆ ANC
A) Sólo II
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) II y III
1
49. Un edificio proyecta una sombra de 4 m y un árbol de 2 m, en ese mismo lugar,
2
proyecta una sombra de 1 m. ¿Cuál es la altura del edificio?
A) 12 m
B) 10 m
C) 9 m
D) 8 m
E) 7 m
54. Un avión que se aproxima al aeropuerto vuela a 1.500 m de altura. Si el piloto observa
la torre de control con un ángulo de depresión de 30º, ¿a qué distancia d se encuentra el
avión del aeropuerto?
A) 750 m
B) 750 3 m
C) 3.000 m
D) 3.000 3 m
E) 4.500 m
18
A)
22
12
B)
22
6
C)
22
6
D)
12
6
E)
11
57. En una urna con 80 bolitas, la probabilidad de escoger una bolita roja es de 0,25.
¿Cuántas bolitas rojas hay en la urna?
A) 0,25
B) 4
C) 8
D) 20
E) 25
58. ¿En cuál de los siguientes casos la probabilidad de ocurrencia del suceso es 0,5?
A) Lanzar un dado y obtener un 5.
B) Lanzar una moneda y obtener cara o sello.
C) Ganarse el sorteo del Loto.
D) Entrar a una habitación y que esté encendida la luz.
E) Responder esta pregunta al azar y que esté buena.
59. Al lanzar un dado común, ¿cuál de los siguientes eventos tiene la mayor probabilidad
de ocurrencia?
A) Obtener 2 ó 4.
B) Obtener 4 ó 6.
C) Obtener un número par.
D) Obtener un número primo.
E) Obtener 2 ó más.
60. El gráfico de la figura muestra las notas obtenidas por los alumnos de un curso en una
prueba. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 3?
A) 3
B) 4
C) 12
D) 17
E) 35
61. El gráfico de la figura muestra las ventas de una panadería entre los meses de Enero y
Junio. ¿Cuál es el promedio entre los 3 meses de mayor venta?
A) 200
B) 250
C) 300
D) 350
E) 400
62. La tabla muestra las frecuencias de las edades de los alumnos de 4º medio de un liceo.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 17 años.
II) El 20% del curso tiene 18 años.
III) La mediana es 17 años.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) I y II
D) I y III
E) I, II y III
63. Dados los pesos de 10 niños: 12 Kg, 18 Kg, 16 Kg, 10 Kg, 13 Kg, 18 Kg, 15 Kg, 13 Kg, 11
Kg y 13 Kg. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La moda es 13 Kg.
II) La mediana es 13 Kg.
III) La media es 13 Kg.
A) Sólo I
B) I y II
C) I y III
D) II y III
E) I, II y III
69. Se puede saber qué parte del círculo de centro O, de la figura, es la región achurada si:
(1) ∡ ACB = 45º
(2) el radio del círculo es 5 cm
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
RESPUESTAS CORRECTAS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B E B C A C C B C C C A E C E C B D C A
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A E C D D C B C C E B E E A C D C E B
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
C D C E A A E E B D E E B C C A D D E C
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
C E B E C E D A A A