PRESENTACIÓN

El Grupo Bryce S.A.C, presenta ante ustedes, alumnos preuniversitarios su GUÍA

Teórico – Práctico.

Esta guía de trabajo nace debido a que los estudiantes se enfrentan constantemente
ante el problema de la carencia de materiales de estudio que los ayude a obtener
el mejor resultado en su ingreso a la Universidad. Ante la necesidad de consultar
bibliografía, la cual no siempre está a su alcance. El Grupo Bryce S.A.C. con la
colaboración desinteresada de su plana docente, elabora este material, para así poder
cubrir este vacío Preuniversitario.

La presente guía de trabajo consta de una teoría ampliamente revisada y sintetizada

para su compresión, problemas propuestos y una serie de preguntas de cada área, los
cuales generarán un mejor aprendizaje y serán resueltas en clase con la ayuda de los
docentes Bryce.

Esperamos sea acogido con interés y benevolencia por parte de nuestros alumnos y
podamos contribuir al aprendizaje y al afianzamiento de sus conocimientos, para así
lograr el tan deseado ingreso a la Universidad y en un futuro formar hombres del
mañana Bryce.

Dirección Académica
 Escuelas de Sub-Oficiales y Oficiales de las FF.AA y PNP
1er. Boletín Ciclo Verano 13

TEMA:
TEORIA DE EXPONENTES
LEYES DE EXPONENTES:
Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los exponentes

Goyeneche 335Telef. 283447

a través de las operaciones de potenciación y radicación.
POTENCIACIÓN:
Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión
llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y
exponente.
Notación:
3. Potencian de potencia. m
 m m.n
  bn 
 b  b
a :    
a ∈ ℝ ⋀ m, n ∈ ℕ
base
an = P n : exponente Nota:
A. Exponente natural P: potencia nm n.m
Definiciones:
* b b
a 4. Potencia de una multiplicación.
 si n 1
an = a.a...a
–– si n  2
abn  an bn a, b ∈ ℝ ⋀ n ∈ ℕ


Colegio Preuniversitario “ BRYCE”

 n veces
5. Potencian de una división.
Exponente cero a an
Si a  0 se define: Nota:    b0;n ∈ℕ
a0 = 1 b bn
*00 no está definido
Exponente negativo
6. Potencia negativa de un cociente.
Si a  0  n  N se define:
1n  1 Nota: 𝐚 −𝐧
 𝐛 𝐧 𝐛𝐧
a-n =   ( ) =( ) = 𝐧
a
n a * 0– n no existe 𝐛 𝐚 𝐚

OBSERVACION ∀ 𝒂, 𝒃 ≠ 𝟎
Nota:
* Si “b” es un número real y m, n, p son enteros, entonces:
𝑋 ≠0;𝑌 ≠0 p
mn mx
b b  by  z
−𝐧
(𝐱) = (𝐲 )𝐧 Se efectúa las potencias de arriba hacia abajo
𝐲 𝐱
RADICACIÓN EN:
Es una operación matemática que consiste en hacer
LEY DE SIGNOS: corresponder dos números llamados índice y radicando con un
tercer número llamado raíz, el cual es único, según:
* (+)par = + * (+)impar = + n
a∈ ℝ ⋀ m, n ∈ ℕ
Teoremas: 2. División de bases iguales.
Sean “a” y “b” números reales y “m”, “n” enteros positivos,
entonces se cumple:

1. producto de bases iguales.

an . am = am+n
 b = r  rn = b Teoremas:
n n
n : índice (n  2 ; n  N) Si ay b existen, entonces se cumple:
b : radicando
r : raíz n-ésima principal de b 1. Exponente fraccionario.
m
b mn an ∈ {ℝ} ⋀ m, n ∈ ℕ; m ≥ m
m
n m n n∈ℕ ⋀ n≥2
b a = √a
n = √a ;
bn
Academia Pre-Cadete Bryce
a
14 MATEMÁTICAS
Policía Nacional del Perú, Escuela de enfermería, asimilaciones, INPE y Aduanas

2. Raíz de una
multiplicación: 1 x3 x2 x1
 2 , calcular: 7 7 7
n
a
n
b = n ab
 x
  301
7
3. Raíz de una división: a) 1
n b) 2
a n a si b  0
 c) 3
n b
b
Turno: Mañana, tarde y noche

d) 4
e) 5
4. Raíz de una radicación:
m n. m.n PROBLEMA 05 Si:
b  b 33
 3 3 9 
8
A 2
5
5. Introducción de un factor a un radical.
  512
, calcular: P
n n
am. √b = √am.n. b 5
A
a) 1
Nota: b) 2
   c) 3
m n  p 
 m.n.p d) 4
* a b c = am  bm.n  c
e) 5
m  m.n
* a n  = an
a PROBLEMA 06 Resolver:
Telf. 223334

PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 01 Al efectuar 4
xx.x 2  x x
:
A 2.32.3.42.4.52.5.62 a) 1

 120 3 b) 2

c) 2
Santa Marta 209

Indicar el valor de: A d)

4
2
a) 1
e) 4
b) 2
c) 3
k
k  2  x  3 , hallar:
x
d) 4
PROBLEMA 07 Siendo:
e) 5
kx11
Academia Preuniversitaria Bryce

PROBLEMA 02 Calcular: R x
1 1
25.k
2  2  1 a) 4
3 1.25 1  3.36 1  .492 b) 8
 
E 1
      c) 16
5 2 7 d) 32
a) 1 e) 64
b) 2
c) 3 PROBLEMA 08 Efectuar:
d) 5
nn 3
e) 6 3
  3. 3
nn 
x

R
 
PROBLEMA 03 Si , simplificar:
n
1
3 3n
x 3
x 5
x a) 3
5 b) 6
x11  3
x7  x5 c) 12
a) x d) 24
e) 36
1
b) x PROBLEMA 09 Hallar el valor de:
c) x
60
d) x x.5
e) 1 M 3
x , cuando: x2 7

PROBLEMA 04 Si:
a) 1 x
b) 2

Academia Pre-Cadete Bryce

Escuelas de Sub-Oficiales y Oficiales de las FF.AA y PNP 1er. Boletín Ciclo Verano 15
c) 3 d) 17
d) 4 e) 16
e) 5

PROBLEMA 10 Resolver:
PROBLEMA 15 Hallar "a":

x x20  2 2 2
1 0.5
0.5

a 2
a
a) 2
a
a) 1
b) 2
b) 5 c) 2
4 d) 3
c) 2
e) 4
8
d) 2
e) 3
2 PROBLEMA 16 Hallar el valor de "x":
335Telef. 283447
PROBLEMA 11 Si: 2x1  2x3  2x2  52
21 a) 1
 3 , calcular el valor de: E   x 3
3
x x 4 b)
c)
2
3
a) 1 d) 4
b) 3 e) 5
Colegio Preuniversitario “ Goyeneche

c) 9
d) 27
BRYCE”

3x
e) 81 4x 3
x
4x4  3
PROBLEMA 17 Resolver:
x
PROBLEMA 12 Si: a , efectuar: a) 1
x x
  83
1 b) 2
c) 3
M 3 
24
  d) 4
aa5a
7a . a4a .4
  e) 5
 
a) a PROBLEMA 18 Resolver:

b) a2 d) a3
c) aa e) a4
 a) 21

xx
b) 20
21
 20
c) 20
xx xx
4
PROBLEMA 13 Si: d) 20
e) N.A.

x
x x
 4 , hallar el valor de:
x x , si se cumple:
1
x
1 PROBLEMA 19 Hallar
x  318
x1x

M 5 2
10 x 2
a) 1/3


b) 1/4
a) 1 x c) 1/9
b) 2 d) 1/16
c) 3 e) 1/2
d) 4
e) 5 PROBLEMA 20 Hallar el valor de: Eyx en:

"n" (x  y).21x  5

PROBLEMA 14 Hallar : 
x1 x y  2. 5
3
n3n20  n

 
n1 n
nn  n a) 2
a) 1 b) 4
b) 19 c) 32
c) 18 d) 34
e) 36

a Academia Pre-Cadete Bryce

16 MATEMÁTICAS
Policía Nacional del Perú, Escuela de enfermería, asimilaciones, INPE y Aduanas

TEMA:
GRADOS Y POLINOMIOS
GRADOS DE POLINOMIOS
Turno: Mañana, tarde y noche

Es una característica atribuida a los exponentes de las variables; esto significa que el
grado es un número natural.

Grados Monomio Polinomio

Grado Relativo (GR): El grado relativo de una variable es el El grado relativo de una variable es el mayor
exponente de dicha variable. exponente que presenta dicha variable en uno de los
Está referido a una sola 𝐌(𝐚; 𝐱; 𝐲) = 𝟑𝟐𝐚𝟕𝐛𝟖𝐱𝟓𝐲𝟏𝟏𝐳𝟐 términos del polinomio.
variable y se calcula de la P(x; y; z) = 3x7y9z10 − √2x13y5z7
siguiente manera: GR(a) = 7 ; GR(x) = 5 3
+ x11y7z9
2
GR(x) = 13 ; GR(y) = 9 ; GR(z) = 10
Telf. 223334

Grado Absoluto (GA): El grado absoluto es la suma de los El grado absoluto es la mayor suma de
exponentes de las variables. exponentes de variables obtenida en uno de sus
Está referido al conjunto 𝐌(𝐱; 𝐲; 𝐳) = 𝒂𝟓𝐱𝟖𝐲𝟓𝐳𝟒 términos.
de todas las variables; y P(x; y; z) = √3 𝑥5𝑦9𝑧11 − 7𝑥14𝑦4𝑧8
se calcula así. GA(M) = 8 + 5 + 4 = 17 + 11𝑥7𝑦10𝑧7
Santa Marta 209

Observación: GA(P) = 26

POLINOMIOS
Antes de definir lo que es un polinomio comencemos definiendo lo que es una expresión algebraica y lo que es un término algebraico.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y TÉRMINO ALGEBRAICO:

Una expresión algebraica es una colección de números y letras relacionados entre sí mediante las operaciones de suma, resta,
Academia Preuniversitaria Bryce

multiplicación, división, potenciación, etc. Por otro lado un término algebraico está formado por una colección de números y letras
relacionadas mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, asimismo los signos de suma y resta separan términos algebraicos.
Ejemplo:

1. A= 5Xy5+3X6y4 5
; es una expresión algebraica 3. 𝑃 = 3𝑥 + 5𝑥 6𝑦9 + 4𝑥𝑦 2; es una expresión algebraica
y12
formada por tres términos.
3 5
2. 𝑀 = 7𝑥5𝑦8; es un término algebraico. 4. 𝑄 = 3𝑥 𝑦 + 6𝑥3𝑦5 = 9𝑥3𝑦5; es una suma de términos
algebraicos semejantes
CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1. Por su naturaleza
Expresión algebraica (EA) Subdivisión Exponente
∈ ℤ+
Racional Entera
∈ ℤ-
Fraccionaria
Irracional --- Fraccionario

2. Por su número de términos:

Monomios Polinomios
Está formado por solo un término algebraico racional Formado por más de un término algebraico o también es una
entero expresión algebraica racional.
M(x; y) = 6x7y9 P(x; y) = 3x6y2 + 7x7y3

POLINOMIO:
Son aquellos polinomios que poseen características particulares que los diferencias de otros.

Academia Pre-Cadete Bryce

Escuelas de Sub-Oficiales y Oficiales de las FF.AA y PNP
1er. Boletín Ciclo Verano 17
PROBLEMAS PROPUESTOS A. 56
PROBLEMA 01 Si el polinomio cuadrático: B. 5⁄3
m C. 56⁄3
P x   n x 3  p  13x  2p  5
5 D. 56⁄5
4 E. 5⁄6
Tiene como coeficiente principal a 17, mientras que el término
independiente es el triple del coeficiente del término lineal. PROBLEMA 08 Si la expresión
2


 x n 2

3 4
Hallar: m  n  p
 .x 2n 2 .x
A. 81 
B. 12 E x  
C. 201 2
 2

 xn
 
D. 123
E. 80  x 4
Goyeneche 335Telef. 283447


PROBLEMA 02 Del polinomio: se reduce a un monomio de segundo grado, hallar el valor de “n”
P x , y   3 x
5 n m 6n 3 n 2 2 A. 6
y z x m 3
B. 5
C. 4
y D. 3
GA(P)=11; GR(x)-GR(y)=5 E. 7
Hallar: 2m+n PROBLEMA 09 Si la expresión:
A. 5
B. 15
mn
C. 10
P x  
n
x  n
2
D. 25 x mn
2
E. 12 se reduce a un polinomio de un solo término, de acuerdo a esto,
PROBLEMA 03 Determinar el grado del polinomio P(x) sabiendo que calcular:
 el grado de P (x )2 Q (x ) es igual a 21, además el grado de E   m  n 3
m3n3
3 4 2

P (x ) Q (x ) es igual a 22.
A. 2
 B. 4
A. 2 C. 6
B. 5 D. 8
C. 3 E. 10
D. 7 PROBLEMA 10 Hallar el valor de “n” para que la expresión
E. 1
PROBLEMA 04 Sabiendo que al reducir la expresión:
M x   x .3 x
n n
x
F x , y   2.m m
x m 5 .n y n
n
4 x 4 x n 2
reducida sea de quinto grado
m A. 2
x m 5 .n y n

Colegio Preuniversitario “ BRYCE”

4

representa un monomio en el cual se cumple: GR x  es 20; hallar B. 3

C. 5
GR(y) D. 7
n E. 10

m PROBLEMA 11 Hallar el mayor valor de “n” de modo que la

A. 12 expresión
B. 14
C. 16
P x 
3
x n 20 .6 n
D. 18
E. 15  4
x n 8 .12 x 2n
PROBLEMA 05 Dado el monomio: sea una expresión racional fraccionaria
A. 22
M x , y   4a x b 2a 3b
y 5b a
se tiene que GA=10; GR(x)=7; B. 20
hallar su coeficiente C. 21
A. 2 D. 19
B. 4 E. 23
C. 8
D. 16 PROBLEMA 12 Sea
E. 64 P x   nx n  n  1x n 1  2x 2  x  m
PROBLEMA 06 Dado el monomio M x , y   2a b
x 2a 1
y 5b a
si sus coeficientes suman 63 y P 0  n  2 calcular la suma de
se tiene que GA M   9;GR x   7 señalar su coeficiente coeficientes de
Q x   mx m  m  1x m 1  2x 2  x  n
A. 2
B. 4
C. 8 A. 40
D. 6 B. 42
E. 14 C. 46
D. 44
PROBLEMA 06 Dado el monomio M x ; y ;z   2x a 1y a z 2a E. 48
si su grado absoluto excede en 9 a su grado relativo “x”, hallar su grado PROBLEMA 13 Si:
relativo a “y”
A. 1
B. 2 P x ; y   2x m 5 y m 1  3x m 2 y m 9  5x m 7 y m 2
C. 3 es de grado absoluto 33, hallar “m”
D. 4 A. 15
E. 5 B. 17
C. 7
PROBLEMA 07 Dado el monomio: D. 13
E. 11

P x   x x n PROBLEMA 14 Del polinomio de grado 11

3
x
hallar “n” si dicho monomio es de grado 5
P x , y   35 x n 3 y m 2  x n 2 y m 3
a Academia Pre-Cadete Bryce
18 MATEMÁTICAS
Policía Nacional del Perú, Escuela de enfermería, asimilaciones, INPE y Aduanas
Turno: Mañana, tarde y noche

se tiene que GR x  GR  y   5 luego el valor de Es homogéneo, hallar la suma de sus coeficientes.
A. 16
2m  n es: B. 13
A. 13 C. 11
B. 14 D. 4
C. 12 E. 22
D. 11
E. 15 PROBLEMA 23 Si los polinomios:
PROBLEMA 15
P x   3 x 2  a  1 x  c
ordenado Halle el valor de “a” si el polinomio es completo y
Q x   b  1 x 2  7 x  4
  2

P x   a  3  a  1x 2
a 5a 7 a
 3x 2
2
Son iguales o idénticos. Hallar (a+b-c)
A. 2
A. 1 B. 6
B. 2 C. 12
C. 3 D. 3
D. 4 E. 0
E. 5
PROBLEMA 24 Si los polinomios:
PROBLEMA 16 Si
K x , y   ax 5 y b
 bx a 1
y es homogéneo hallar: a-b P x , y   a  5x 4  a  b x b 8y  cy c 1
A.
B.
3
5 Q x , y   4x 4  3x n y  cy 2c 3
C. 7 Son idénticos halle el valor de [(a-b)+(c-n)]
D. 1 A. 6
E. 0 B. 12
PROBLEMA 17 Si C. 15
M x , y   ax a N x , y   bx 5 y son semejantes. D. 30
Telf. 223334

E. N.A.
1y 9 ; b 3
Hallar: a+b PROBLEMA 25 Si:
A. 3
B. 6 P x   k (x  1)2  r (x   c  x
C. 12
D. 18 2)2
E. 4
k c
Es idénticamente nulo, halle
PROBLEMA 18 Dado el polinomio homogéneo P r
A. 1
x , y   m 2x mm n  nx 2 y 6  mx 6 y
Santa Marta 209

B. –2
mm n Hallar la suma de sus coeficientes. C. –4
A. 3 D. –3
B. 5 E. –5
C. 7 PROBLEMA 26 Sabiendo que el polinomio:
D. 9
E. 11 P x   a  c  3abc x 2  a  b  6abc x  b  c  7abc  es
idénticamente nulo hallar el valor de
PROBLEMA 19 Hallar: a  b  c 2
b M 
aba b si el polinomio a 2b 2c 2
Academia Preuniversitaria Bryce

A. 9
P x   5  x 2a
15 (a 1) 1
a
 3x a  5x 2a 1  nx B. 25
b
2 1
Donde n 0 y b>0 es completo y ordenado, además tiene 4𝑎𝑎 C. 64
términos. D. 81
A. 2 E. 100
B. 4
C. 6 PROBLEMA 27 Dados los polinomios idénticos:
D. 8 P x   3x 3  8x 2  x  2
E. 10
     
Q x   a x 3  1  b x 3  1  c x  1   d x 3  x 2  2
PROBLEMA 20 Si el polinomio completo es de “3n” términos:
P x   2nx 2n  2n  1x 2n 1  2n  2  x 2n 2 hallar: ab c d
A. 2
 B. 3
C. 4
Calcular: n D. 5
A. 1 E. -1
B. 2
C. 3 PROBLEMA 28 Sean los polinomios idénticos
D. 4
E. 5 A x   a  b x 2  b  c x  a  c

PROBLEMA 21 Calcular “a” y ”b”, para que el polinomio sea

completo. x
P x   2  a x a b  3x 2  5  B x   2 abc x 1 
 
2x a
2
2  
E indicar: a b  c a b
A. -1 Calcular:
B. 0
C. 2 a2b2c2
D. 5
S  (a  b  c )2
E. 3 A. 1
B. 1/2
PROBLEMA 22 Si el polinomio: C. 1/3
D. 1/5
 
P x , y   a 2  1 x a2 y a  (a  1)x 2a y
2 1 E. N.A.

a 1
2
Academia Pre-Cadete Bryce
 Escuelas de Sub-Oficiales y Oficiales de las FF.AA y
1er. Boletín Ciclo Verano 19
PNP

TEMA:
PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se
obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de
multiplicación.

PRINCIPALES IDENTIDADES:
Desarrollo de un trinomio al cubo:
Producto de binomios con término común:

Goyeneche 335Telef. 283447

(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b) (b+c) (a+c)
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc
3 2
(x + a)(x + b)(x + c) = x +(a+b+c)x + (ab+ac+bc)x + abc (a+b+c)3 = 3(a+b+c) (a2+b2+c2) – 2(a3+b3+c3) + 6abc

Trinomio al cuadrado perfecto: Identidad trinómica (Argan´d):

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a
(x2 + x + 1) (x2 – x + 1) = x4 + x2 + 1
– b)2 = a2 – 2ab + b2
(x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2) = x4 + x2 y2 + y4

* Identidades de Legendre: IGUALDADES CONDICIONALES:

Colegio Preuniversitario “ BRYCE”

(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) Si: a + b + c = 0 , se cumple:
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab i. a2 + b2 + c2 = –2(ab + ac + bc)
4 4 2 2
(a + b) – (a – b) = 8ab(a +b ) ii. a3 + b3 + c3 = 3abc
iii. a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + a2c2 + b2c2)
Diferencia de cuadrados:
iv. a5 + b5 + c5 = -5abc(ab + ac + bc) v.
(a2 + b2 + c2)2 = 2(a2 + b2 + c2 )
2 2
(a + b) (a – b) = a – b
vi. (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
(am + bm)(am – bm) = a2m – b2m a3+b3+c3
a2+b2+c2 a5+b5+c5
vii. ( )( )
2 = 5
3

Desarrollo de un binomio al cubo: a2+b2+c2 a5+b5+c5 a7+b7+c7

viii. ( )( )
2 = 7
5
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Nota:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a Sean: a; b; c   y m; n  N

– b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b) (a –
b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a2n + b2m = 0  a = b =

Suma y diferencia de cubos: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac  a = b =

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a
EQUIVALENCIA DE GAUSS:
– b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)[ a2 + b2 + c2 –
Desarrollo de un trinomio al cuadrado:
(ab+bc+ac )]
 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)

a Academia Pre-Cadete Bryce

20 MATEMÁTICAS
Policía Nacional del Perú, Escuela de enfermería, asimilaciones, INPE y Aduanas

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 08 Simplificar:

PROBLEMA 01 Efectuar:
(x  a  b)(x  a  c)  bc
a
R a  a2 16. a a2 16 xabc
  a) 1

a) 1 b) x
b) 2 c) 2x
c) 3 d) 3x
d) 4 e) 8x
Turno: Mañana, tarde y noche

e) 5

PROBLEMA 02 Si:
PROBLEMA 09 Si:
1
x x  2 3 a b
 725; a, b  0
n  4 n 
  a
 b  
Calcular: P x2  x2 1 an  2bn
a)
b)
1
2 Hallar: A 3
c)
d)
3
4
anbn
a) 1
e) 5
b) 3
PROBLEMA 03 Dado: a  b  6; ab  10 c) 9
d) ab
M a2  b2  ab
Telf. 223334

Calcular:
a) 1 1
b) 2 a
e)
c) 3
d) 4
b
e) 5
PROBLEMA 10 Si:
1
PROBLEMA 04 Calcular: a 2 3
Santa Marta 209

M  8 24(52 1)(54 1) 1  2 3

a) 1 1
b) 2
c) 3 b 3 8 3 8

d) 4
e) 5 Hallar: a2  b2
PROBLEMA 05 Efectuar: a) 6

A   a 2  5b3 2 10a 2b3 

b) 10
c) 14
Academia Preuniversitaria Bryce

25b6 d) 6
a) 0 e) 2 3
b) 1
c) 8
4
d) 2a
e) a
4
PROBLEMA 11 El área de un cuadrado de lado "a  b" es 8
veces el área de un triángulo de base " a " y altura "b " . Calcular:
PROBLEMA 06 Si:
1 (a  b)4  (a  b)4
x  y  3 xy  2 3. G
; 12 (4a2  b2 )2  (4a2  b2 )2
Hallar: P  x  y
3 3 c) 3
d) 4
a) 0 e) 5
b) 2
 a) –1
PROBLEMA 07 Hallar “M” en b) – 1/2
c) 1/2
d) 1
e) 2

PROBLEMA 12 Dados: a;b; c; x; y 

  20
3
M
392  3 20  392 b  b2  b b2  ac
ac 
x  y
a) 1 a a
b) 4
ax  2bx  a
2
c) 6 Calcular: K 
d) 8 ay2  2by  a
e) 20 a) – 1
b) 0
c) 1
Academia Pre-Cadete Bryce
Escuelas de Sub-Oficiales y Oficiales de las FF.AA y PNP
1er. Boletín Ciclo Verano 21
d) a 3
e) n
e) ab
PROBLEMA 18 Si:
PROBLEMA 13 Si: a b m
3 3
y ab a b
 11
n n  n 
Hallar: ab   a
b
a) a b
3 3
   
mn
3 an  bn
b) Un valor de con a  b será
3n (ab)n

m  n3 a) 1
c)
3n b) 2
m  n3 c) 3
d)
mn d) 4
e) 5 Goyeneche 335Telef. 283447
e) N.A. e) 10

PROBLEMA 14 Si:
a b
 2
b a
Calcular:
2a2b 
ab2
ab2
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
x4  x4  34 , señale el valor positivo de:
PROBLEMA 15 Si:
1
Pxx
a) 1/2
b) 2
c) 4
d) 8
 (x  d) 1
PROBLEMA 19 Con e) 2
2b)2
a  2b  3c 
1,5x ; Simplificar: x PROBLEMA 20 Cumpliéndose que:
ab(a  b)  1

Colegio Preuniversitario “ BRYCE”

(x  
5
a 3c 2 a3b3 (a3  b3 ) 
) 2(a 
2 2
2
4b 
2 El valor de: a b (a  b2 ) , será.
2 2 2

2 a) 1
9c )
b) 2
 a) 1/2
c) 3
b) 1/4
d) 4
c) 1/8

PROBLEMA 16 Si: x  y  1 , además:

PROBLEMA 21 Si: a  b  c  1  abc  1 , hallar el valor
(x  y)(x  y )(x  x y  y )  x  y
6 6 4 2 2 4 3n 3n
2 2 2 3 3 3
de: L  a  b  c  a  b  c
Calcular " n " : 2 3
A. 0
a) 2
B. 1/3
b) 3
C. 1/4
c) 4
D. 1/6
d) 5
E. 1/8
e) 6


PROBLEMA 17 Teniendo en cuenta que: n2  n 1; n 
PROBLEMA 22 Si: xy 1  y  2 , calcular el valor de:
1

x  
10
 1  1
Reducir K  8  n  1  n2 1  n4  M
y z
n4  8
9
      n x10  y10  z10
a) 1 n  n2  A. 4
b) 2 B. 3
c) n C. 1
2
d) n D. 2
E. 5

a Academia Pre-Cadete Bryce

22 MATEMÁTICAS
Policía Nacional del Perú, Escuela de enfermería, asimilaciones, INPE y Aduanas

TEMA:
DIVISION ALGEBRAICA
G.A. (R) = G.A. (D)
Turno: Mañana, tarde y noche

METODO DE HORNER
Este método es aplicable para polinomios completos y ordenados
en forma descendente, con respecto a una de sus letras, llamada
ordenatriz. Así tenemos:

Operación que se realiza entre polinomios que consiste en hallar

dos polinomios llamados COCIENTE y RESIDUO, conociendo OBSERVACION:
otros dos polinomios denominados DIVIDENDO y DIVISOR que Aplicable a polinomios de
se encuentra ligados por la relación:
cualquier grado.
D(x) = d(x).q(x) + r(x) ESQUEMA DE HORNER
 Donde: D(x): Dividendo
d(x): Divisor
Telf. 223334

q(x): Cociente
r(x): Residuo o Resto

IMPORTANTE
 División exacta (R  0).- El resto de la división es un
polinomio idénticamente nulo.

 x
Santa Marta 209

D(x) = d(x) Q(x) ó

D
 Q  x
d x  Ejemplo: efectuar por método de Horner
4 3 2
12x  17x  20x  8x  7
 División inexacta (R  0).- El resto de la división es 2
un polinomio no nulo. 4x  3x  2

D(x) = d(x) Q(x) ó D  x 4 12 - 17 20 - 8 7

 Q  x 
R(x)
6
d  x d (x)
Academia Preuniversitaria Bryce

3 9 -6
-8 -4
PROPIEDADES DE LA DIVISION 20 15 10
2
1. En toda división algebraica el grado del cociente es igual 3 - 2 5 3 17
al grado del dividendo menos el grado del divisor. X2 x T.I.
Qº = Dº - dº
De donde:

2. En toda división algebraica el grado del residuo máximo Q (x) = 3x2 – 2x + 5 (cociente) R
es una unidad menos que el grado del divisor. (x) = 3 x + 17 (Resto)

OBSERVACION:
Rº máx = dº - 1
Si el resto resulta ser cero (R(x) = 0),
3. En toda división algebraica el término independiente del entonces es una división exacta.
dividendo es igual al producto de los términos
independientes del divisor por el cociente más el término Datos extras
independiente del residuo. Nota:
En toda división se verifica:
1. D° = d° + q°
T.ID = T.Id x T.IQ+ T.IR 2. D° > d°
3. r°max = d° - 1 Recuerda:
4. Cuando se dividen polinomios homogéneos, el cociente y P(1) = suma de coeficientes del polinomio “P” P(0) =
residuo, también son homogéneos, pero el grado absoluto termino independiente del polinomio “P”
del residuo es igual al grado absoluto del dividendo.  NO TE OLVIDES: en una división de cocientes q(x) y
residuo r(x) son únicos
Academia Pre-Cadete Bryce
Escuelas de Sub-Oficiales y Oficiales de las FF.AA y PNP
1er. Boletín Ciclo Verano 23

PROBLEMA 01 Hallar el resto de la división:

PROBLEMAS PROPUESTOS PROBLEMA 07 Si la división
4 3 2
x  x  x  5x  4 4 3 2
x  ax  bx  17x 
es exacta, hallar el valor
3 2
c x  5x  7x  3
3
x x numérico del cociente cuando x  1
2 B. 2x  2 C. x  1 A. 2 B. 0 C. 3
A. x  1 2 D. 5 E. – 1
E. x 1
D. 2x  1

PROBLEMA 08 Si la siguiente división

PROBLEMA 02 Hallar la suma del cociente y del resto de
ax 5  bx 4  x 3  7x 2  5x  12 , es exacta, hallar el valor
4 2
10x  6x  7x  3
la división: 3x 2  x  4
 2
5x  5x  2
de “ ab ”

Goyeneche 335Telef. 283447

2 2 2
A. x  3x  6 B. 2x  9x  3 C. 2x  10x  1 A. 10 B. 6 C. 5
2
D. x 6 2 D. 60 E. 30
E. 2x 5

PROBLEMA 09 Si la división
PROBLEMA 03 Indicar el cociente de dividir:
5 4 3 2
3 2 Ax  Bx  Cx  27x  19x  5 , es exacta, hallar el
2x  3x  4x  5 3
4x  3x  1
2
2x  x  1 valor de “ A  B  C ”
A. 0 B. x C. 2x  1 A. 41 B. 21 C. 11
D. 2x  1 E. 2x  6 D. 10 E. 40

PROBLEMA 04 Hallar “ m  n ” si al dividir

Colegio Preuniversitario “ BRYCE”

PROBLEMA 10 Calcular “ m  n ” si la división
4 3
3x  2x  5mx  n 4 3 2
mx nx  22x  13x  15
2 , se obtiene como residuo es exacta
x x 2
6x  4x 
1
5
5x  7 A. – 20 B. – 23 C. – 24
A. 0 B. 1 C. 2 D. – 21 E. – 22
D. 3 E. 4
PROBLEMA 11 Indicar verdadero o falso según

PROBLEMA 05 Hallar “a” si el resto de la división corresponda:

4 2
x  x  ax  2 ( ) Si la división es exacta entonces Dx  d  x  q  x 

2 es 2x  1
x x ( ) En la división de polinomios el grado del dividendo es
1 menor que el grado del divisor
A. – 1 B. – 2 C. 1
( ) En un división de polinomios el residuo puede ser una
D. 2 E. 5
constante
A. VVV B. FFV C. FFF
PROBLEMA 06 En la división
D. VFV E. VFF
4 3 2
3x  x  2x  ax  a
2 el resto que se obtiene es un
x x PROBLEMA 12 Calcular “ a  b  c ”, si el resto de la
1
término independiente, hallar dicho resto 5 4 3
ax  bx  cx  5x  2
A. 13 B. 20 C. 22 división es 7x  8x  3
3
3 2
2x  x  x 
2
D. 32 E. 24
A. 21 B. 20 C. 30
D. 40 E. 50
a Academia Pre-Cadete Bryce
24 MATEMÁTICAS
Policía Nacional del Perú, Escuela de enfermería, asimilaciones, INPE y Aduanas

PROBLEMA 13 Hallar el cociente e la división:

PROBLEMA 20 Calcular “a” si la suma de coeficientes del
4 3 2
x  x  x  3x  2 cociente es 161 y el resto 16 en la división
x1
 51
ax  2bx  2b  a
3
A. x 3 3 x1
B. x x1 C. x 1
3 A. 1 B. 2 C. 3
D. x 2
Turno: Mañana, tarde y noche

3
E. x x1 D. 4 E. 5

3
PROBLEMA 14 Al dividir D  x   x  2x 2  ax  PROBLEMA 21 Si la división
b
m  1x 3  2m  1x 2  2mx  , es exacta, hallar el
entre x  1se obtiene un resto igual a 2, hallar a  b 6x1
A. 0 B. – 1 C. 2
valor de “m”
D. – 2 E. 3
A. 0 B. 1 C. 2
D. 3 E. 4
PROBLEMA 15 calcular la suma de coeficientes del
4 3 2
3x  x  4x  x  2 PROBLEMA 22 Si el cociente de la división
cociente de la división
Telf. 223334

3x  2 3 2 2
2x  ax  bx  3 es 2x  3x  3 , calcular “ a  b ”
A. 15 B. 2 C. 5
A. 1 B. 5 C. 6
D. 10 E. 6
D.9 E. 10

PROBLEMA 16 Si en la división
Santa Marta 209

5 4 3 2 PROBLEMA 23 Al efectuar la división

10x  x  3x  17x  nx 

 
3 , se sabe que el resto es 5 3
3  2 x  2 3x  2 3x 
5x  2 dar como
3
5, hallar “n” x 3 2
A. 4 B. 2 C. 1 respuesta el residuo de dicha división
D. 3 E. 5 A. 4 B. 5 C. 6
D. 7 E. 8
Academia Preuniversitaria Bryce

PROBLEMA 17 Al efectuar al división

4 3 2
3x  2 2x  4x  2x  6
, indicar el producto de PROBLEMA 24 Al dividir
3x  2
 an  bmx  ap  bnx  bp
3 2
amx
todos los coeficientes del cociente , la suma
ax  b
A. 2 B. 4 C. 6

D. 8 E. 12 de coeficientes del cociente es igual al residuo, hallar el

mn mp np
valor de K   
PROBLEMA 18 Hallar el resto de dividir p n m
3 2
3x  4x  5x  6 entre 3x  2 A. – 1 B. – 2 C. – 3

A. 0 B. 2 C. 4 D. – 4 E. N.A.

D. – 1 E. – 1
PROBLEMA 25 Determinar la suma de coeficientes del
80 79
PROBLEMA 19 hallar el resto de dividir 4x  2x x1
cociente que se obtiene al dividir
10x
3 2
 9x  33x  22 x1
5x  2 A. 165 B. 163 C. 161
A. 8 B. 1 C. – 2 D. 164 E. 162
D. 4 E. – 8

Academia Pre-Cadete Bryce