Teori Maquinas Thompson PDF

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J. C. García Prada
C. Castejón Sisamón
H. Rubio Alonso
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Problemas Resueltos
de
IeorÍa de fláquinas
y ffecanismos
PgeBasd
Problemas Resueltos
de
Ieoría de lfáquinas
y lfecanismos
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C. Castejón Sisamón
H. Rubio Alonso
Universidad Cctrlos III de Madrid
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Austroio . Conodó . |"4éxrco . Snooour . Esooño . RenoUnido . EstodosUndos

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Problemas resueltos de teoría de máquinas y mecan¡smos

Juan Carlos García Prada, Cristina Castejón Sisamón e Higinio Rubio Alonso
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ESENTACIÓN IX
PITULO 1. Introducción a la Teoría de Máquinas y Mecanismos I
L l. Introducción 1
1.2. Conceptos bisicos 2

I .2. l. Míquinas 3
| .2.2. Eslabón rs. pieza 5
1.2.3. Par elemental. Junta o cierre del oar 5
1.2.4. Eslabores simples y compuestos. Manivela, biela 6
1.2.5. Cadena cinemática. Mecanisrnos ¿:s. estructura .... 1
1.2.6. Inversiones de un mecanismo 8
1.3. Codificación de los mecanisrnos 8
1.,1. Grados de libertad de un mecanisrno ll
1.4.1. Aplicación. Síntesis de Gruebler l2
1.5. Cuadrilátero articulado l4
I .5. 1 . Teorema de Grashof t6
1.5.2. Curvas de biela. Curvas de acoplador ..... l8
1.5.3. Técnicas de análisis de mecanismos: analítica, compleja, gráfica l9
Problemas resueltos 22
PITULO 2. Resistencias en máquinas . 29

2.1 . Contacto entre sólidos. Rozamiento seco 30
2.1 .1. Rozamiento al deslizamiento -tl
2.1.2. Rozamienlo de rodirdura y p¡volrmiento .. 32
2.2. lntroducción a la teoría general de engrase. Rozamiento viscoso 34
2.3. Mecanismos elementales 38
2.3.1 . Apoyo de ejes y árboles, quicioneras y rangui.rs 38
Problemus resueltos 43
O ITES-Paraninfo
l"tdtce de mater¡as
)APITULO 3. Cinemática de máquinas ... 41

3.1. lntroducción 48
3.2. Determinación de los centros instantáneos de rotación (CIR) . 52
3.2.1. Teorema de los tres centros 55
3.3. Técnic¿rs nara la determinación de velocidades . 58
3.3.1. Métoclo de las velociclacles relativas 58
3.3.2. Método de proyección o componente axial 59
3.3.3. Cinema de velocidades. Homologías ... 60
3.4. Técnicas para la determinación de aceleraciones 64
3.4.1. Estudio de las aceleraciones relativas 66
3.4.2. Cinema de aceleraciones. Homologr¿rs 68
Problemas resueltos 1l
)APíTULO 4. Dinámica de máquinas ... l0l
4.1. lntroducción 102
4.2. Equivalencia dinámico-ener-eética de un nrecanisrno de un grado de libertad ..... 103
4.2.1 . Fuerza reducida 103
+.1.2. Mrse retlueidu 10.+
4.2.3. Fuerza equilibrante ¿.s. tuerzareducicla 105
,+.3. E,sflrerzos de inercia en rnecanismos ... I l0
Problenlas rcsueltos lll
)APITULO 5. Engranajes 16-5
5. l. Introducción r66
-5.2. Clasificación de los engrarrajes 1ó6
-5.3. Nomenclaturii . .. . 161
-5.,+. Perfiles conjugados 112
5.-5. El oerfll de evolvente l7-5
-5.-5.l. La función evolvente 116
r -5.6. Nonnaliz¿tción de los englartajes t7l
5.1 . lnterf'erencia v número límite de dientes r80
5.8. Procedimientos de talla para evitar la penetración 182
-5.8.1. Vanación del ángulo de inclinación del flanco de la cremallera . 182
-5.8.2. Rebaiado del dentado de la cremallera r83
-5.8.3. Desplazamiento de la cremallera de talla 184
-5.9. Espesor del diente r88
5.10. Longitud de engrane. Grado de recubrirniento . r90
-5.10. l. Longitud de engrane y arco de conduc'ción ... r90
5.10.2. Grado de recubrimiento o coetlciente de engrane l9l
5.11. Montaje de los en-eranajes r93
5.1 l.l. Distancia entre ejes de funcionamiento 191
5.t2. Verificación de las dimensiones de los engranajes 205
-5.13. Trenes de engranajes 206
5.13.1. Clasificación de los trenes de engranajes 201
5.13.2. Diserio de trenes de engranajes . . . . . 208
-5. l-1.i. Tlenes de engranrje: epicicloidalcs . . . 2t3
Problemas resueltos 221
]IBLIOGRAFIA 28-5
NDlCE ANALíTICO 281
. TES-Paraninfo
<<a nuesÍros ntoesÍros e inoLtielos ulLtmnos>,
La Teoría de Máquinas y Teoría de Mecanismos son asignaturas que pertenecen a lo que se ha

llamado en denominar Teoría de Máquinas y Mecanismos TMM. En la actualidad. el IFToMM
<Federación Internacional para la promoción de los mecanismos y la Ciencia de Máquinas> es el
organismo internacional que se ocupa más directamente de los temas relacionados con la Cinemá-
tica y Dinámica de Máquinas.
El objetivo de este trabajo es el de completar y ampliar algunos aspectos de estas asignaturas
que, o bien no han sido tratados anteriormente, o por su dificultad requieren un¿i presentación más
amplia en fbnna de problemas. Se ha procurado que los problemas visualicen el cclmportantiento
cinemático (posición, velocidad y aceleración) y dinámico (fuerzas y pares) de los elementos.
miembros o eslabones de la máquina en su conjunto. como parte fundamental de cualquier sistema
mecánico actual.
No se ha pretendido ser exhaustivo en la presentación de todos los tópicos qlle nos encontra-
mos en el estudio de las máquinas y mecanismos sino tratar aquellos aspectos que. en nuestra ex-
periencia docente, hemos considerado más interesantes. Presentamos en este libro un desarrollo
teórico-práctico de la parte correspondiente al diseño preliminar de máquinas y mecanisrnos.
Esta parte introductoria básica podría servir como apoyo a las asignaturas de Teoría de Máqui-
nas (titulación de Ingeniero lndustrial) y Teoría de Mecanismos (titulación de Ingeniero Técnico
Mecánico) actuales o sus equivalentes en posteriores refbrmas de los planes de estudio.
La estructura de los capítulos del libro se ha hecho según el siguiente esquema:
o Conceptos básicos de TMM.
o Lista de problemas resueltos: Se presenta una colección que va desde los problemas más
sencillos y teóricos a las aplicaciones más reales.
Al principio de cada capítulo, se tratarán los conocimientos descriptivos de la Teoría de Mríqui-

nos v Mecanismos. en el marco de la Ciencia y de la Técnica, junto con los objetivos didácticos
propuestos, base teóricr necesaria para proceder a una resolución satisf'actoria de los problemas de
menor a mayor diflcultad.
O ITES-Paraninfo
ii Presentación
La programación de los contenidos teórico-prácticos se ha realizado pensando en el alurrno. en

su adecuada asimilación de los distintos conceptos, con un aumento en la dificultad de los conteni-
dos y unii adecuada dosificación de la herramienta matemática a utilizar. La fbrmación en el cam-
po de la TMM del futuro Ingeniero se realiza de una manera progresivu y se da una visión p¿rno-
rámica de la realidad profesional introduciendo desde el primer momento el ámbito inclustrial y su
problemática.
La fbrmación previa que cabe suponer en el alumno para el mayor aprovechamiento de los
problemas de este libro está relacionada con las siguientes materias: Física, Cálculo, Algebra y
Expresión Gráflca.
También debemos referirnos a los contenidos científicos de asignaturas como: Elementos de
Máquinas, Diseño Mecánico. Tecnología de Fabricación, Cálculo de Máquinas. Teoría de Vehícu-
los, Ferrocarriles y Transportes, que utilizarán en mayor o menor medida los conocimientos desa-
rrollados en este libro de problemas.
La Teoría de Máquinas se ocupará de describir: ¿Qué es una máquina'?, ¿qué elementos la
componen?, y ¿cómo funcionan dichos elementos'l: y así, se podrá determinar ¿qué requerirnientos
debe cumplir? y ¿a qué solicrtaciones va a estar sometida? En una última fase, y a partir de los
modelos y soluciclnes descrit¿is, se podrán diseñar y calcular los mecanismos. de fbrma que cum-
plan esos requerimientos y soporten esas solicitaciones.
Este carácter fundamental justifica que en esta materi¿I. adernás de tratar los contenidos propios
de esta asignatura. se usen y arnplíen los conocirnientos adquiridos en otras. conro cs el estuilio de
la cinemática y la dinámica del sólido rígido, estudiados en las asignaturas de Física.
El estudio de la cinemática y dinámica de mecanisrnos y máquinas y su aplicación a proble-
mas se ha estructurado sigr.riendo las líneas:
1. Fundamentos de la TMM: después de una introducción y Llna presentación de la evolución
histórica, se introducen los conceptos de máquina, mecanismo, par cinemático, etc. A con-
tinuación. se estudia la cinemática del movimiento plano, con atención al análisis de
trayectorias, velocidades y aceleraciones. Finalmente, se realiza un breve repaso de la di-
námica del sólido rígido.
2. Análisis de mecanismos articulados. Se aborda el estudio de la cinemática y dinámica de
' mecanismos, presentando los métoclos analíticos y gráficos de análisis. Para terminar
"stosel equilibrado de máquinas.
con
3. Estudio de las bases teóricas de la cinemática y dinámica de las transmisiones por en-rranajes.
- E S- Paran i nfo
En este capítulo"..
1.1. Introducción
1.2. Conceptos básicos
1.2.1. Máquina
1.2.2. Eslabón
1.2.3. Par elemental. Junta o cierre
{el nar
1.2.4. Eslabones simples y compuestos.
Manivela, biela
1.2.5. Cadena cinemática. Mecanismo
1.2.6. lnversiones de un mecanismo
1.3. Codificación de los mecanismos
1.4. Grados de libertad de un mecanismo
i. +. i. nór ¡.".-i"-sj"t;Jr'ffi
1.5. Cuadrilátero articulado
#;;
i.s.l. prnto;;;;;;
'!.!.?.
Teorema de Grashof
1.5.3. Ángulos de transmisión
na
@ ITES-Paraninfo
: J-cción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
1.1. lrurnooucctóN
El estudio de la cinemática y dinámica de mecanismos y máquinas, junto con su parte introductoria,
se ha estructurado siguiendo las líneas enmarcadas a continuación:
o Fundamentos de la TMM: después de una introducción y una presentación de la evolución
histórica, se presentan los conceptos de máquina, mecanismo, par cinemático, etc.
. Se repasan y ponen al día los conceptos relacionados con las resistencias pasivas en los pares
cinenráticos de los mecanismos. Se presenta y justifica el empleo de articulaciones con resisten-
cias pasivas lubricadas (fricción despreciable) y se estudian los fundamentos de la lubricación.
o A continuación, se estudia la cinemática del movimiento plano, con atención al análisis de
trayectorias, velocidades y aceleraciones. Se aborda el estudio de la cinemática de los meca-
nismos articulados, presentando los métodos analítico-gráficos de análisis.
o Se realiza un breve repaso de las ecuaciones fundamentales de la dinámica del sólido rígido,
poniendo especial hincapié en la obtención de las reacciones en los pares y apoyos mediante
métodos analítico-gráficos. Se analiza el problema de la trepidación y pares de vuelco en el
eslabón tierra del mecanismo, como introducción al equilibrado de mecanismos planos y ejes
de máquinas.
o Estudio de la cinemática y dinámica de las transmisiones por engranajes. Se presenta la teoría
general de engranajes, fabricación y normalización, para a continuación dar paso al estudio
cinemático y dinámico de distintos tipos de engranajes y trenes.
o Se plantea el análisis completo de un mecanismo complejo: topología, cinernática. dinámica y
sistema de tmnsmisión.
1.2. Corucepros BÁstcos

La Teoría de Máquinas y Mecanismos trata el estudio del comportamiento de un erupo importante
de Sistemas Mecánicos, en cuanto a sus movimientos absolutos y relativos entre los elementos del
sistema mecánico, así como las fuerzas de interacción entre ellos de manera que generen movimien-
tos y transmitan fuerzas útiles en el entorno de uso.
Existen dos maneras de abordar el estudio de las máouinas:
o Análisis de máquinas.
o Síntesis de máquinas.
El primero desarrolla el comportamiento cinemático y dinámico de máquinas prefijadas y el
segundo trata de definir la estructura de la máquina para que realice determinados movimientos a
partir de fuerzas previamente definidas. En este libro nos ocuparemos fundamentalmente del análisis
de máquinas, abordándose los conceptos de la síntesis de máquinas sólo en aquellos casos que lo
requieran.
Para el análisis de máquinas, en primer lugar, se inicia el estudio de la Cinemática de las máqui-
nas y mecanismos, para continuar con la Dinámica, es decir, el estudio de las fuerzas involucradas, a
las cuales se les suele clasiflcar en dos grandes grupos: fuerzas estáticas y fuerzas dinámicas, dentro
de estas últimas podemos considerar las inerciales como aquellas que en multrtud de ocasiones debe-
remos considerar como las de mayor interés.
En todo el estudio se considerarán los elementos que constituyen a la máquina o mecanlsmo
corno sólidos rígidos, obviando los comportamientos debidos a la elasticidad y resistencia de mate-
riales que se considerarán en otras disciplinas. En la literatura técnica los sólidos rígidos que consti-
tu¡ren las máquinas toman diversos nombres: eslabón, elemento, miembro o barra, cualquiera de
ellos se usará en el desarrollo de los problemas del libro, aunque el término eslabón será el más
comúnmente usado.
Introducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
1.2.1. MÁourrun
Una Máquina es un agruparniento de elementos sólidos rígidos, adecr-radamente dispuestos para man-
tenerse en contacto permanente y permitiendo el movimiento relativo entre ellos. siendo capaz de
transmitir movimientos y esfuerzos desde unos elementos a otros (réctse Figura | . l). En la Figu-
ra I . La. se presenta la superestructura de una máquina genérica. mientras qlte en lar Figr"rra 1. I .b. se
detallan sistemas de la infiaestructura, donde se observa la multitud de sistemas y subsistemas mecá-
nicos en conjunción con los de otras disciplinas: eléctricos, electrónicos. control. térmicos. etc.
SISTEI\,{A DE SUSTENTACION
(a) (b)
Figura 1.1. Esquema general conjunto mecánico (a: macro), (b: micro).
Cuando consideramos el estudio de las características de la transmisión del movimiento en la

nráquina. es habitual utilizar el término E.stu¿lio tlel Mer:ani.smo para ref'erirnos al estLrdio de las ca-
racterísticas geomé trico-cinemáticas.
Es usltal designar como N{áquina aquella en la que los aspectos ref-erentes a las interacciones de
las fuerzas. aplicadas entre los distintos elementos de la rnáquina. son de importancia, así couto. se
designa corno Mecanismo a aquel en el que las fuerzas no son el objeto principal de su funciona-
miento y sí lo es la transmisión de movimiento entre los eslabones.
El estudio de los movimientos y fuerzas entre los dif-erentes elementcls constituyentes de un¿l
Mácluina o Mecanismo puede ser tratado mediante la aplicación de la Mecánica. En el írnlbito de la
Teoría de Máquinas y Mecanismos vamos a poner especial empeño en el desarrollo de nuevos con-
ceptos que sirvan para un estudio m¿is eficiente de las máquinas habitu¿rlmente us¿rdas en la indus-
tria. Ello nos llevará a restringir en muchos c¿tsos dicho estudio a los mecanismos planos, los cuales
son de común Ltso en lii maquinaria industrial, es decir aquellos cuyos eslabones. y por tanto cual-
quier punto de la m/ic¡uina. evolucionan siempre en planos paralelos. Prácticamente, la totalidad de
las máquinas pueden ser estudiadas como una concatenación y superposición de mecanisntos planos
en las tres direcciones clel espacio. Lo anterior nos permite realizar el modelo en el plano de trabajo
del comportamiento del mecanismo.
Si analizamos los movimientos de los eslabones de una mácluina diferenciamos movimientos tí-
picos. El movimiento de rotación alrededor de un eje entre dos elementos del mecanismo consee uti-
vos es el rnás utilizado en los mecanismos planos. El movirniento de traslación rectilíneo es un caso
singular de una rotación de radio de giro inflnito. Además de los ¿rnteriores movimientos comenta-
dos, hemos de considerar el helicoidal y el esférico. movimientos que usan las tres dimensiones del
espacio. El movimiento helicoidal permite la adición de una rotación a una traslación rectilínea. y el
movimiento esférico permite la rotación alrededor de un punto de un elemento respecto a otro. En l¿r
Figura 1.2 se pueden observar algunos de estos movimientos entre dos eslabones.
@ ITES-Paraninfo
':'3cucción a la Teoría de Máquinas y Mecanismos
Par de rotación
o de revolución
Figura 1.2. Movimientos típicos de un eslabón.
Si caracterizamos el movimiento de los eslabones de una máquina por el

moclo de sus movimien-
tos. podemos considerar tres modos de funcionamiento:
o Modo con movimiento continuo.
o Modo con movimiento de vaivén.
r Modo con movimiento intermitente.
Estos tres diferentes
modos de funcionamiento penniten la realización de movimientos en los
elementos del mecanismo: sin interrupción ni parada (eje de motor en rotación
constante, eslabón 2
en la Figura 1.3'a), modo con ciclo de avance y retroceso con tiempo de paracla
infinitesimal (cua-
drilátero articulado con balancín, cleslizadera del mecanismo cle biela manivela.
eslabón 5 de la Fi-
gura l'3'b) y con paradas temporizadas (mecanismo de Ginebra. válvula
con tiempo cle apertura y
cierre finito, eslabón cruz de malta en la Figura 1.3.c).
( c.)
Figura 1.3. Modos de funcionamiento de los eslabones de una máquina. a) Manivela

O"A, modo
continuo. b) Deslizadera 5, modo de vaivén. c) Cruz de Malta, modo intermitente.
Una vez presentadas las características principales del funcionamiento de los

mecanismos pla-
nos, se pasará al estudio de sus elementos y sus agrupamientos funclamentales (pares,
cadenas
cinemáticas, mecanismos, etc.) para producir la transmisián del movimiento y
cle la l,uerza entre los
eslabones de la máquina.
-:araninfo
lntroducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
1.2.2. EsLneóN vs. PtEzA

Al componente básico de un mecanismo por complejo que sea se le denomina de diferentes mane-
ras: elemento, eslabón, miembro o barra. La denominación de barra es debida a que habitual-
mente, para facilitar el estudio del mecanismo, se suele sustituir el elemento o eslabón real por un
grafo descriptivo con fbrma de bana, es decir, un segmento rectilíneo que se une a su vez, al menos,
a un elemento del mecanismo. Ello no impide asumir que todo eslabón, elemento, miembro o barra
tiene asociado un plano de dimensiones adecuadas para disponer en é1 los puntos de interés para el
análisis cinemático y dinámico. En la Figura 1.4 se presenta un eslabón denominado biela, el cual
está constituido por cuatro piezas unidas por tornillos de fijación, formando un sólido rígido del
mecanismo motor de una máquina. El concepto de pieza se encuadra dentro del concepto de eslabón
en un subnivel inferior a é1, un conjunto de piezas unidas rígidamente según un plano de montaje
constituye un eslabón.
Figura 1.4. Eslabón tipo Biela, formado por un conjunto de piezas:

tornillos, arandelas, cabeza de biela, casquillos.
1.2.3. P¡n elen¡ENTAL. Jururn O CIERRE DEL PAR

La agrupación de dos elementos de un mecanismo se denomina: junta, par, par elemental o par
cinemático cuando cumple dos condiciones de funcionamiento: contacto permanente según un pun-
to, línea o superficie y la posibilidad de permitir el movimiento relativo entre los dos elementos del
par. Con el concepto de par elemental nos aseguramos la conexión de los eslabones de una máquina
y hacemos que la máquina forme un conjunto compacto. En la Figura 1.5 se presentan un par de
traslación, un par de rotación y un par de rodadura.
2 rueda sin
deslizar sobre '1
1-2 Par elemental

de rodadura
2-3 Par
elemental
de traslación
Figura 1.5. Par de traslación: eslabones: @guía, @corredera, Par de rotación: @soporte,
@manivela. Par de rodadura: @soporte, @disco.
O ITES-Paraninfo
La clasificación de los pares según las diferentes características de la unión de los clos elementos.
en cuanto a: tipcl de contacto, tipo de movimiento relativo. graclos de libertacl. etc.. permite la cleno-
nrinación específica del par (réan.se diversas clasificaciones en los esquemas de la Figura 1.6).
Clasificación según el movimiento relativo Clasificación según el movimiento relativo

entre sus puntos entre sus puntos
. Par de primer grado o lineal . Par de segundo grado o superficial
a) Par prismático: describe una l,nea recta a) Par plano: describe un plano
b) Par de rotación: el punto describe una b) Par cilíndrico: describe un cilindro
circunferencia
c) Par esférico: describe una esfera
c) Par helico¡dal: descnbe una hélice
i'
ii
/4h
qr¡'''-'t#*'
* v
Par plano Par c¡l¡ndrico Par esférico
Par pr¡smático Par de rotac¡ón : . Par de tercer grado o espacial
. Clasificación según el número oe Darras

o miembros (orden del par o de la junta):
. Par binario. par formado por dos barras
. Par ternario: par de tres barras
Par P-ario. par formado oor P barras
Clasificación según la superficie de contaclo

. Par superior (de contaclo lineal o puntual)
. Par inferior (de contacto superficial)
Figura 1.6. Tabla de clasificación de pares elementales.
Técnicamente. para mantener el contacto permanente entre los dos elementos clel par es necesa-
ria la utilización cle diversos tipos de cierres de junta. tales como: cierre de fbrma, crerre de tuerza
o el cierre de enlace. En la Figura 1.7 se muestran la condición de par y jLrnta. y ejernplos cle cacla
un0 de los tipos.
1.2.4. ESLNAONES SIMPLES Y COMPUESTOS. MRITIIVCTR, BIELA
La situacirin rnírs habitual de un eslabón en un mec¿,rnismo es la de aquel que tiene una pareja de
pares elernentules en sus extrernos. lo cual le perrnite conectarse con el elemento anterior y
el poste-
rior y transnlitir tle esta luanera el movimiento y la fuerza, a este tipo cle eslabón se denomina esla-
bón o elemento simple. Aquellos eslabones que tienen más cle dos pares elementales se clenominan
eslabones o elementos compuestos. Los eslabones simples conectaclos al soporte por uno cle sus
pares se denominan manivelas. Su nrovimiento es cle rotación. Los eslabones simples. conectados
por sus pares elementales a otros dos eslabones, se denominan en
-[eneral bielas. Su rnovimiento es
lei superposiciórl de una rot¿lción y una trasl¿rción. En la Figura 1.8 se observan eslabones
compues-
tos ternarios y eslabones simples binarios.
S-raraninfo
Par elemental o cinemático

. Dos miembros contiguos
. En contacto permanente
. Con movimiento relativo entre ellos 1. Cierre de forma:
El contacto está asegurado por
la forma de los dos miembros
del par (cilindro-émbolo)
Cierre del par o junta
Asegura el contacto entre los dos miembros,
limitando el movimiento entre ellos
2. Cierre de fuerza: 3. Cierre de enlace o de cadena:

El contacto está asegurado por lafuerza que ejerce El contacto está asegurado por medio de otro miembro
un elemento elástico interpuesto (leva-seguidor) del mismo mecanismo (engrane de dos ruedas dentadas)
Seguidor
2
. Rueda dentada: 2
. Rueda dentada: 3
Figura 1.7. Par y cierre de par. Tipos de cierre.
4 eslabones simples (binarios).

2 eslabones compuestos (ternarios).
Figura 1.8. Tipos de eslabones: simples (binarios), compuestos.
1.2.5. Cnoerur crNEMÁTrcA. MEcANrsMo r/s. ESTRUcTURA

Una concatenación de eslabones mediante pares cinemáticos da lugar a una cadena cinemática, la
cual puede ser cerrada o abierta, según los eslabones formen bucles o no. La utilización práctica de
las cadenas cinemáticas hace necesario que a uno de los eslabones se le restrinja su movimiento
completamente, convirtiéndose en el eslabón tierra o soporte, la cadena cinemática pasa a denomi-
narse: Mecanismo.
Dicho mecanismo puede tener diferentes grados de libertad (t:éase el Apartado 1.4) que definen
su movilidad. Cuando al analizar la movilidad de un mecanismo obtenemos un número de grados de
libertad nulo (GDL) consideraremos que no son verdaderos mecanismos pues el movimiento relativo
entre sus eslabones y por tanto en sus pares no existe y los denominaremos estructuras. Los mecanis-
mos básicos usados en máquinas son habitualmente de I GDL, por su sencillez. con un único actua-
@ ITES-Paraninfo
-:,..ión a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
dot generamos movimientos y fuerzas determinadas. En la Figura 1.9 se muestran ejemplos de cade-
nas cinemáticas cerrada y abierta y mecanismos con distintos grados de libertad (0, 1,2).
MECANISMO: cadena
cinemática con un
miembro fijo (TIERRA).
ESTRUCTURA (0 gdl) N/ECANISMo (1 gdl)
IVECANISMO DESI\4ODRÓMICO
cuando fijada la posición de un
punto, todos los demás tiene
posiciones definidas.
IVECANISIt/O (2 gdl)
quinto qrado
pnmer graoo cuarto grado
-tr
"lineal"
I
segunoo graoo tercer graoo

"espacial" MOVILIDAD DE UN MECAN SMO:
- Punto P ligado a un miembro del par
- Se estudia el movimiento .especto a
nrrn m omhrn rlol nrr
Figura 1.9. Cadenas cinemáticas: cerrada, abierta. Mecanismos.
1.2.6. ltr¡veRsrorrrES DE uN MEcANtsMo

La elección del eslabón al que restringir su rnovirniento. cn uni-r eadena cinemática genérica es arbi-
trario. lllego Lln¿r cadena cinemática de 1y' eslabones da lugar a N mecanismos según el eslabón tierr¿r
qLle se el¡a. cada uno de los l/ posibles mecanismos generados se denomina una inversión. En la
Fi-uut'a 1.10, que muestra la transformación de un mecanismo biela m¿rnivela cn dil'erentes invelsio-
nes. Debemos expresar que los rnovimientos relativos de los eslabones según cada par cinernático.
perr.nanecen iguales. mientras que los n.tovimientos absolutos si carnbian.
1.3. CoorrrcacróN DE Los MEcANtsMos

Es habitual referenciar el mecanismo por un código de letras según los tipos de pal' plesentes en el
rnecanismo -qeneral. El pal plismáticcl (traslación) P. el par de lot¿ición R. el par cilíndrico C. el par
esférico S, etc. En el caso de una máquina biela manivela l¿t codiflcación sería: PRRR. etc. En la
'a'i nfo
lntroducción a Ia Teoría de Máquinas v Mecanismos 9
caoena ctnemailca
\l-l
eslabón 1 = TIERRA eslabón 2 = TIERRA
\.J'
(A
v
eslabón 3 = TIERRA eslabón 4 = TIERRA
Figura 1.10. Inversiones cinemáticas de un mecanismo biela manivela.
Figura l.l I se presenta un mecanismo biela manivela excéntrico: tiene I p¿rr de rotacií)n en r: I
pistón con soporte, I par prisrnírtico pistón-émbolo y 2 pares de lotación en la manivela. coclifica-
ción PRRR.
'l-as cadenas cinemáticas nás sencillas de un grado cle libertad son: la manivela y la corredera
(.t:éuse Figura l.l2), las cualcs constan de dos eslabones conectados por Lln par de rotación (rnanive-
la) o de traslación (corredcra). Dentro de las ciidenas cinemáticas cerradas. aquellas en las clue al
tttenos un eslabón es inicio y final de cadena, la nrás interesante es Lln mecanismo arnpliafflente Llsa-
do en las máquinas denomin¿rdo cuadrilátero articulado. mecílnismos de I GDL que a partil dcl
conocimiento del estado de uno de sus eslabclnes móviles se obtiene el est¿tdo de toclos los demás. E,s
lmport¿tnte en este punto considel'ar que en el estudio de los rnecanismos que vamos a rcalizar deja a
ttn lado los problemas de c¿ilculo, diseño cl firbricación de los eslabones y se centra en la -reometría
del eslubón y \u nrovinlicnt().
corredera
Figura 1.11. Máquina biela manivela Figura 1.12. Cadenas cinemáticas sencillas:
excéntrica. manivela v corredera.
O ITES-Paraninfo
¡ntroducc¡ón a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
Con las definiciones hechas hasta el momento tenemos la capacidad de representar gráficamente.
mediante elementos gráficos elementales en el plano, el comportamiento de una máquina cuyos ele-
mentos constitutivos realizan movimientos en planos paralelos, y proceder a su análisis. O, al revés.
a partir del esquema gráfico sintetizado de los mecanismos pasar al diseño de la rnáquina correspon-
diente.
Dado que los eslabones más utilizados son aquellos que tienen dos pares elementales, utilizare-
mos como representación gráfica del eslabón un segmento que una los dos pares. Si el eslabón
tuviera tres o más pares utilizaríamos como representación gráfica un triángulo en cuyos vértices se
dispondrían los pares y en los eslabones con un número superior de pares la figura geométrica plana
corresoondiente (t'éctse la Fisura I .1 3).
Cadena cinemática que posee: Cadena cinemática que posee:

4 eslabones simples (binarios) 4 eslabones simples (binarios)
2 eslabones compuestos (ternarios)
7 pares de rotac¡ón
7 pares de rotación 1 par de traslación
Figura 1.13. Representación gráfica de mecanismos: pares de rotación y traslación.
La representación gráfica de los pares de rotación lo haremos mediante un círculo en el punto

cle contacto eje con rótula. La representación gráfica de los pares de traslación lo haremos me-
diante un grafb representativo del contacto guía deslizadera. En la Figura 1. I 3 se observa que el par
de trasl4ción con guía circular: deslizadera-guía se podría sustituir por un eslabón manivela con eje
en el centro de la circunferencia que define a la guía y articulado con el eslabón biela. dando lugar al
concepto de mecanismo equivalente. La utilización de grafos para analizar la cinemática de una
máquina nos permite utilizar variaciones. de manera que exista más de un mecanistno que puede dar
lugar a diferentes interpretaciones como máquina, dando lugar a los mecanismos equivalentes, siem-
pre que en esa operación los movimientos relativos de los pares cinemáticos no varíen. En algunos
casos deberemos tener en cuenta el anterior concepto: meclnismos de gran complejtdad a priori se
pueden entender y analizar de manera sencilla transfbrmándolos en sus mecanismos equivalentes.
Véase la Fisura 1.14.
. Un mecanismo, en una deierminada posición, es

cinemáticamente equivalente a otro, si posee las
mismas características de velocidad y aceleracion
Expansión de pares cinemáticos: conservan el

movimiento relativo variando la forma.
Figura 1.14. Mecanismos equivalentes.
-!S-Paraninfo
lntroducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos 11
En ntuchos casos, en el estudio de una máquina hay grupos de eslabones y de pares asociaclos
qlle no necesit¿rn ser representados en detallet por e.jemplo, un apoyo por rodamiento a bolas no
necesita a los ef'ectos del análisis cinemático representar los pares cinemáticos internos. pues corno
fícilmente se ve. puede ser sustituido por un par de rotiición. De la misma manera, para hacer el
anítlisis de un necanistno con engrrnljes. sustituiremos los pares entre los dientes por el contacto de
dos rnedas de fricción del diántetro primitivo correspondiente.
1.4. Gnnoos DE LTBERTAD DE uN MEcANtsMo
En cualquier t'necanismo que analicemos uno de los aspectos de mayor interés, qlle nos permitirá
entender su funcion¿tmiento. es el conocimiento del número de variables independientes a deflnir
para conocer en cualquier instante el estado de cualquier eslabón y por tanto del mecanrsrno. es
decir. el número de -erados de libertad (GDL) o la movilidad del mecanislno.
Un eslabón. b¿trra o elemento de un mecanismo en el espacio tiene seis graclos de libertad. si
restringintos su n'lovimiento al plano pasa a tener tres grados de libertad: uno podría ser el giro en el
plano. y los otros dos las coorclenadas de un punto del eslabón.
De lo anterior podemos decir que: un mecanismo de N eslabones tiene inicialmente 6N GDL en
el espacio o 3N GDL en el plano proporcionaclo por los eslabones individualmente considerados.
Como los eslabones están conectados mediante pares. deberemos estudiar cómo ¿if'ectan los pares
elenentales usados al grado de libertad del rnecanismo, es clecir. qué restricciones intloducen.
En un par ele¡nental, conexión entre dos eslabones definida anteriormente. puede deflnirse tantbién
el concepto de -erados de libertad del par o cle la junta GDL'.,.. es decir, los graclos de libertad que
permiten los movimientos relativos posibles en cada par (traslación. rotación. etc.). Se prescntan a
continuación los GDL'", de dif-erentes tipos de pares:
. Par de rotación: permite un movimiento relativo de rotación según un e.je en el espacio
I GDL.
o Par de traslación: permite un mo.,,imiento relativo de traslación según una dirección en el
espacio, luego tiene I
CDLp",.
o Par helicoidal: pennite un movimiento relativo de rotación más traslación según r.rn eje. luego
tiene I CDL'",.
Par plano: permite el ntovintiento relativo de traslación según las dos direcciones del plano.
luego tiene 2 GDL'...
Par esférico: perrnitc movimientos relativos de rotación según los tl'es e.jes. luego ticne
3 CDLp...
o Par cilíndrico: permite un movimiento relativo de rotación segúrn un eje del espacitl y un lno-
vimiento según dicho eje, luego tiene 2 GDLp,, .
Luego, en el espitcio 3D. la conexión de dos eslabones mediante un par, es decir, la introduc-
ción de un par elemental disminuye los GDL de la agrup¿rción desde los inicialcs 6 GDL hasta
(6-GDL'.,), Iue-uo:
GDLp",: I disminuye los GDL del mecanismo en (6-1).
GDL'", - 2 disminuye los GDL del rnecanismo en (6-2), etc.
Podemos analizar el problerna del número de grados de libertad de un mecanismo 3D analizan-
do cómo varían los grados de libertad iniciales de N eslabones libres. ¿rl ir introduciendo los pares
elerncntales, y por tanto disrninuyendo GDL al mecanismo.
@ ITES-Paraninfo
Si introducimosparescondiferentesgradosdelibertad: PrPz,...,Pr, los6¡/GDLinicialesdisminui-

rán según la siguiente tabla:
GDL
P, pares de GDL.., : I (6-1) Pr
P, pares de GDL',, : 2 - (6-2) P2
P. pares de CDL.". : 5 - (6-5) Ps
(Está claro que no tienen sentido juntas de 6 GDL.". o superior.)

Podemos decir que, en general, el cálculo de los GDL de un mecanismo en el espacio de ,^/ esla-
bones con uno restringido a tierra (0 GDL) y P' pares de GDL',,.: I, P, pares de GDLpn,:2, etc., es:
GDL : 6(¡/ l) - (6- I ) P, 6-2) P2 (6-5) Ps (Fórmula de Kutzbach, 3D)
Para el caso de mecanismos planos 2D con juntas de I o 2 GDLp,,,. se utiliza la fórmula anterior
sustituyendo 6 por 3, está claro que no tienen sentido juntas de 3 GDL'", o superior:
GDL: 3(N - r) - (3-l)Pr - G-2)P2 (6-s)

es decir:
GDL : 3(N - l) 2P1 - P2 (Fórmula de Kutzbach Gruebler, 2D)
Véase en la Figura 1.1-5 la definición de mecanismos según el número de GDL.
I CRITERIO DE GRÜBLER (GRUEBLER)
4
j fr = n.o Pares 'l GDL
: GDL= 3 (N- 1)-2-\- i fz = n.o Pares 2 GDL
I I N = n.o de elementos
I Si GDL > 1 mecanismo G-GDL.

t Si GDL = 1 mecanismo desmodrómico.
I Si GDL = 0 estructura estáticamente determinada
I Si GDt <0 estructura hiperestática.
Figura 1.15. Fórmula de Gruebler.
Existen casos singulares en que 1a anterior fórmula nos da un valor menor que los grados reales,
y esto es debido a que no hemos expresado las dimensiones de los eslabones, ni el posible paralelis-
mo de los ejes de las juntas de rotación o de las guías de las juntas de traslación. Un ejemplo típico
es el que se muestra en la Figura 1.16, donde al aplicar la fórmula se obtienen características de
estructura (GDL : 0), cuando el mecanismo claramente tiene I GDL. En la lista de problemas re-
sueltos se analizarán qué movilidades podemos obtener a partir de l/ eslabones y de diferentes tipo
de pares utilizados para conectar los eslabones.
1.4.1. APUCRCIÓN. SírurESIS DE GRUEBLER
L¿rutilización de las fórmulas anteriores que nos procuran el número de GDL de ttn mecanismo
a partir del número de eslabones, el número de pares con GDL.", (1 ,2,3,4 o 5), nos permite
hacer una primera aproximación a la síntesis numérica. A continuación, se aplicará la fórmula de
TE S- Paran i nfo
Introducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos 13
MECANISMo (1 gdl)
Figura 1.16. Mecanismo tipo donde la fórmula de Gruebler no ofrece un resultado correcto, caso singular.
Gruebler a mecanismos desde 2 barras a cuatro barras, para obtener las diferentes configuraciones de
interés.
o La aplicación de la f'órmula de Gruebler para un mecanismo de dos barras (uéuse la Figu-

ra l. l7), N - 2, en el plano da como resultado:
GDL-3(2-t)-2Pt-P.
GDL :3 - 2Pt - P2
para conectar las dos barras es necesario, al menos, un par elemental.
Figura 1.17. Dos barras unidas con un par de rotación.
Analicemos todas las oosibles configuraciones:
Pt:1 P::0 GDL:l manivela

Pr :0 P:.:l GDL:2 maniveladeslizadera
Pt-l Pz:l GDL:0 estructura
Pt ) | Pr2 | GDL < 0 estructura hiperestática
La aplicación de la fórmula de Gruebler para un mecanismo de tres barras, N : 3, en el plancr

da como resultado:
GDL : 3(3-r) 2Pt - P,
GDL-6 2Pt-P2
Se necesitan, al menos, dos pares elementales para ligar las tres barras y como máximo tres.
@ ITES-Paraninfo
| ':':cucción a la Teoría de Máquinas v Mecantsmos
Analicemos todas las posibles configuraciones:
Pt:2 P: - 0 GDL: 2 dos manivelas o dos desliz¿rderas o una deslizadera y una m¿t-
nlvela.
Pt: I Pz- | GDL:3 brazo articulado de dos eslabones rnás deslizadera o desliza-
dera más brazo articulaclo dc un eslabón más desliz¿rdera.
Pr :0 P:.-2 GDL:4 doble manivela másdeslizadera.
Pr : 3 P: - 0 GDL : 0 estructura con tres pares de rotación o con tres p¿rres de tras-
laclon.
Pt:2 Pz: 1 GDL: I biela manivela.
Pt: 1 Pz:2 GDL: 2 doble manivela rnás deslizadela, doble deslizader¿r más doble
apoy().
Pr :0 P:.:3 GDL:3 tripleapoyo.
Del anírlisis anterior observamos la aparición de un mecanismo de interés de I GDL, el

mecanismo biela manivela.
o La aplicación de la fórmula de Gruebler p¿lra Lln mecanismo cle cllatro barras. GDL : 4, en el
plano da como resultado:
GDL:3(4-l) - 2P, P.
GDL:9-2Pt P.
Se necesitan. al menos. tres pares elementales para ligar las cuatro barras y como nláximo
cLlatro.
Analicernos todas las posibles configuraciones:
Pt:3 Pr - 0 GDL:3 brazo articulado de tres eslabones, deslizadera de tres GDL,

etcetefa.
Pt:2 Pt- | GDL: 1 brazo articulado de tres eslabones y deslizadera, etc.
Pt: I Pt:2 GDL: -5 brazo articulado de tres eslabones. deslizadera de tres GDL.
etcetera.
Pr :3 P::0 GDL-3 variossistemasarticulados.
Pt-4 P::0 GDL: I cuadrilátero articulado. o cu¿rtro deslizaderas en ángulo, o
tres deslizaderas y una rotación, o dos cleslizaderas y dos ro-
taciones. etc.
De los casos estudiados para 2, 3 y 4 eslabones, se han detectado 3 mecanismos con I GDL, que
corresponden a la manivela (2 eslabones), al mecanismo biela manivela (3 eslabones) y al cuadri-
látero articulado (4 eslabones). Estos dos últirnos son los de mayor uso en máquinas. ya que penni-
ten la transfbrmación de un movinriento de rotación en otro de rotación o traslación. A continr-lación.
sc estudiarán las condiciones que deben cumplirse, mediante la ley Grashof. para que tengamos me-
canismos: manivela-manivela, balancín-balancín, manivela-balancín.
1.5. CunoRn-Áreno ARTTcULADo

Hemos encontrado que el mecanismo fbrmado por cuatro eslabones articulados, uno de ellos tierra.
tiene un grado de libertad I GDL. Es común en un cuadrilátero designar a los eslabones contiguos n
tierra manivelas de entrada y salida y al eslabón interrnedio biela (L'éase la Figura 1.18). Al ser un
-lS-Paraninfo
MANIVE
oo
Figura 1.18. Definición del cuadrilátero articulado.
mecanismo con I GDL permite transformar un movimiento genérico de rotación en un complicado

movimiento de traslación más rotación en la biela o en otro de rotación con nuevas calacterísticas en
la manivela de salida.
De la observación del comportamiento de los cuadriláteros articulados se deducen dos tipos de
movimientos de las manivelas: el de giro completo (movimiento de manivela) y el giro parcial o
de vaivén (rnovimiento de balancín).
Puntos muertos
La existencia de movimientos de balancín en el cuadrilátero articulado implica la existencia de posi-

ciones singulares, por ejemplo, aquellas que ocurren cuando una manivela alcanza el ángulo máximo
o mínimo en el movimiento de vaivén: debido a que el cuadrilátero articulado tiene I GDL al fijar el
movimiento de una de sus manivelas todo el mecanismo permanece. en ese instante. parado y tene-
mos un punto muerto.
En la Figura l.l9 se muestra el cálculo geométrico de los puntos de ángulo máximo y mínimo de
los eslabones balancín. Para ello se calcularán las circunferencias que pasan por los ejes de las mani-
velas y balancines, en su caso, con radio la suma y resta de las longitudes de la biela con las de la
manivela y balancín correspondiente. En el caso del mecanismo manivela balancín una vez alcanza-
do el punto muerto, en un balancín dado, por alineación de la biela con el otro eslabón (manivela o
balancín) sólo podremos continuar el movimiento mediante un retroceso del ángulo del balancín
considerado hasta alcanzar de nuevo una nueva alineación de la biela con el otro eslabón (manivela
o balancín). Se observa que ante un montaje dado hay posiciones geométricas de punto muerto inal-
canzables, salvo cambio de montaie del cuadrilátero articulado.
\r¡
\_v_/ o (D (1)
Figura 1.19. Cálculo geométrico de los puntos muertos en un mecanismo articulado

de cuatro eslabones manivela balancín v doble balancín.
@ ITES-Paraninfo
' .:,:. ón a la Teoría de Máquinas y Mecanismos
1.5.1. TeoReun DE GRASHoF
En el rnecanismo de cuatro barras de la Figura l.l13 podemos estudiar las relaciones que deben cr-rnr-
plir liis lon-eitudes de sus eslabones para producir los dif'erentes tipos de movinientos de sus m¿rni'u'e-
las v blela mcdiante el Teorema de Grashof.
Clasificación de los mecanismos de cuatro barras
Los mecanismos articulados de cuatro barras se pucden cl¿rsificar en dos categorías atendiendo a si
al-euno de sus elementos puede ef'ectuar una rotación completa:
CLASE I: Al menos una de las barras del mecanisrno pr"rede realizar una rotación completa (lre-
t tuti.¡ntr¡s de ntattitelo).
CLASE II: Ninsun¿r de las barras del mec¿rnislro puede realizar una rotación cornpleta Qnectutis-
ntr¡s tle balqttcítt\.
El Teorema de Grashof proporciona un medio peira averiguar la clase a la que pertenece un nre-
canistro ¿u'ticulado de cuatro barras con sólo conocer sus dimensiones v disoosición. Si un cuadrilír-
tero no cr,rrnple clicho teorema. pcrtcnece a la clase Il.
Definición del Teorema de Grashof
Ett uu c'Ltutlt'ilútero drticultulo. ul tuettr¡s uttu tle sus borra.s ut'Íuorá tt¡ntr¡ ntuttit'elo. ett ulctt-
ttu rle lus di.spo.sicione.s posible.s. si .se ter|ficu que la.swno de lus lortgitudes de lus bttrrus
ntolor l ntettor es igucLl o irtfbrior u lu sLttnu de las ktttg.itrttles de las ofrus dt¡s.
En un cu¿idrilátero afticulado que cumple el Teorerna cle Gr¿rshof. aden'ríis:
¡ Si el soporte del rnecanismo es la bal'ra nrcnor. las dos barras contiguas a é1, actúan de rnanivc-
Itts (mec'ottísntr¡s tle rktble-ttttutite1¿r). Clase L
¡ Si el soporte del mecanisnro es Llna de l¿rs barras conti-euas a la mcnor. l¿r birrra menor ¿rctúa de
nritnivela y slr opuesta de balancín (mecuttistnr¡s de ntcutirelu-baluttcítt). Clase I.
o Cuando un mccanislro no cnr.nple una de las condiciones antcriol'es, las dos barriis c¡ue
giran respccto al soporte se comportan como balancines (tnec'attistttt¡s de clol:¡le-btrlctttcín¡.
Cllsc ll.
Porolelogratnt¡ orÍiculqtlo; Mecanisrno clonde cada barra es igual a su opuesta (la barr¿r soporte
es igual a la biela. y la manir"ela L. (barra condr,rctora) es igual a la m¿rnivela la (barra conclucida).
En este tipo dc uiccanisr.nos las dos barras contiguas al soporte sor-r manivelas (tttecuttist¡tr¡s tlc tk¡ble-
ttttutit'elu).
En l¿r Tabla l.l se discuten l¿is dit'erentes conf iguraciones Grashof posibles pal'a Lln cuadril/rtero
a|ticulado cltyo soporte es de longitud Lr y la biela es de longitud 1..
Hay clos casos particulares de interés. cllando las dos manivelas clel cuadrilírtero articulado tienen
l¿r rnisrna longitudy se lnontan de manera que:
o E,l movimiento sifatorio en una sea an/rlogo en la otra. relación de transrnisión unidad positivn
(manivelas paralelas). el ratio entre las velociclades angulares de las rnanivelas de salida y en-
tr¿rda es lii unidad con signo pclsitivo.
¡ El movinriento ciratorio en una es el contral'io en h otra. relación de tr¿rnsrnisión r-rnidacl nega-
tiva (manivelas antiparalelas o antirotativas). el ratio entlc l¿rs velocidades angr-rlares de las
tnanivel¿rs de salida y entracla es la unidad con signo negativo.
!-:,-:rinfo
Introducción a la Teoría de Máouinas v Mecanismos 17
Tabla 1.1. Configuraciones Grashof de un cuadrilátero articulado.
/L^ DOBLE-MANIVELA
mani vela-biel¿r-nrani vela
Lr+Lr<L.+Ll
AB- barra menor
CD - b¿rrra mayor
AB - barra fija o soporte
\IA\IYELA-IiALANCIIi
rnanivela-biela-balancín
L,+Lr<Lr+Ll
BC- ban'a lnenor
CD- barra m¿ryor
AB + barra fija o soporte
t4 \
\ ..=v_ --
DOBI,E-BALANCIN
b¿rlancín-biela-balancín
Lr+Lr<L,+Ll
CD+ barra rnenor'
AB - barra mayor
AB > barra fija o soporte
PARALELOGRAMO A RTICULADO
r,f
LI f Lr Li - Ll
I -
i
siendo
\
(Lr :L3) y (Lr-L1)
\.C./\.e,/
'--'-/ ---=--
BC y AD tienen el mismo sentido de -siro
C^--.---
/,t ANTIPARALELOGRAMO ARTICULADO
L, l Lr+L,:L3*La
\
\
siendo
(Lr :L:) y (Lr:Lr)
e,/ BC y AD tienen sentidos de giro opuestos
@ ITES-Paraninfo
: -:: .^ a la Teoría de Máauinas v Mecanismos
La aplicación del Teorema de Grashof al mecanismo biela manivela. permite obtener las condi-
Jr!)nes -seométricas de funcionamiento (aéctse la Figura 1.20).
¿BAnRAS
rlre URE t¡A tr!: SPI-]F9TA9
r{!uAtr 5?
¿LÁ SARRA
i,1Ft'l0R F:
Lq f IJAl
¿LA B'.RÉA
FÍ
'dEI.]OR
aoilfrcu.{ ¡.
Figura 1.20. Clasificación según el Teorema Grashof del cuadrilátero articulado.
1.5.2. Cunvls DE BIELA. CunvnS DE ACOPLADOR

Es de gran interés para el uso del cuadrilátero articulado en maquinaria analizar el comportamiento de
los rnovimientos de puntos de los diferentes eslabones constitutivos. Sobre el movimiento en las mani-
velas y el eslabón sopofie poco hay que decir, pero en cuanto al movimiento de los puntos de la biela y
del plano de trabajo asociado a ella se observa su gran complejidad. Podemos observar distintas f'ami-
lias de curvas: curvas lobulares de dif'erente cornplejidad. curvas con tramos casi rectilíneos, etc. Exis-
ten ¿rtlas de curvas de biela o de acoplador que nos permiten seleccionar la geometría del cuadrilátero
articulado que nos procura la curva más aproximada a la deseada. En la Figura l.2l se presenta un
mecanrsmo con las curvas de acoplador de una serie de puntos de diferentes eslabones.
Una aplicación muy interesante del cuadrilátero articulado es aquella que resulta de hacer la
rnanivela de salida de longitud infinita (degeneración de la manivela) y su conversión en una desli-
zadera rectilínea. El movimiento resultante de la biela se puede estudiar mediante los dos puntos
extrerros. El punto de la biela articulado con la manivela de entrada describe círculos. mientras que
el punto articulado con la deslizadera result¿inte de la degeneración describe una recta. Si la anterior
recta la alineamos de nranera que pase por el eje de entr¿rda y la deslizadera, esta última describe un
movimiento muy cercano al annónico. la componente arrnónica depencle del factor Rr.2l siendo R
cl radio del eje de entrada y L la longitud de la biela (rác.se la Figura 1.22).Para obtener un movi-
rniento annónico deberemos hacer lo rnás pequeño posible el factor anterior. un rnecrnismo que
cumple lo anterior es el denominado yugo escocés. en el clue la biela se hace de longitud infinita
(réase la Figura I .23).
Interferencia entre eslabones. Montaje
El estudio geométrico del movimiento realizado no considera los problemas del montaje de los
mecanismos. Uno de los primeros problemas con que se encuentra uno al intentar materializar el
mecanismo desarroll¿ido es el de los cruces o interferencias entre los eslabones v eso lo deberemos
S-raraninfo
Introducción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos 19
Figura 1.21. Curvas de acoplador: las cabezas de las manivelas describen circunferencias y los pu ntos
de la biela 3 describen curvas cerradas tioo riñón, ocho, etc.
Cuadrilátero articulado degenerado

cenlnco
/@
( o,^, o
@ *-*'
\r',r, ,D,
\o
Figura 1.22. Mecanismos biela manivela Figura 1.23. Mecanismo: yugo escocés.
céntrico. R es el radio de la manivela,
L es la longitud de la biela.
solusionar l'ecllniendo al concepto de plano de trabajo del eslabón. Definiremos convcnicnteutente

los planos de trabajo. uno por eslabón. para que el mecanismo f-uncione correctarnente. buscando en
muchos c¿lsos las simetrías y un orden de planos que disponga los eslabones de mayol' movilidad lcr
más separados posibles.
1.5.3 TÉCIruCnS DE ANÁLISIS DE MECANISMoS:

ANALíTICA, COMPLEJA, GRÁFICA
En este punto. deberemos analizar qué técnicas podemos utilizar para conocer lii posición y por tanto
la velocidad y aeeleración de cualquier punto del mecanismo. La aolicación de la cinemática del
@ ITES-Paraninfo
-:':J-cción a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
.tilido rígido a los mecanismos es el cuerpo de conocimientos a aplicar. pero en Teoría de Máqui-
nas v Mecanismos vamos a desarrollar una serie de conceptos y técnicas que nos permitan un mhs
fácil y' rápido análisis y solución del estado de movimiento de cualquier eslabón y punto del meca-
nisrlo.
La utilización del cálculo de vectores para definir la posición de los eslabones de un mecanis-
nto. así como. de las velocidades y aceleraciones. nos permite considerar dos grupos de técnic¿rs:
lrs analíticas y las gráficas.
Las técnicas analíticas vectoriales utilizan el análisis',,ectorial de los bucles cerrados de los
e slabones del mecanismo para obtener ecuaciones vectoriales de la movilidad del mecanismo. De
los sisterl¿rs de ecuaciones vectoriales planteados podemos pasar a sus correspondientes sistemas
dc ecuaciones escalares que mediante su resolución nos pemitan obtener las características de los
eslabones incógnita en función de los datos de la geometría del mecanismo.
Técnicas analíticas
Valt'tos a aplicar lo anterior al caso de un mecanismo fundamental, el cuadrilátero articulado, se-

cún la Figura 1.2r1.
X
----_>
Figura 1.24. Representación vectorial de un mecanismo de cuatro barras
Siguiendo como referencia la notación utilizada, se observa que, evidentemente, la suma de l¿is
provecciones de las componentes vectoriales en el eje X debe ser cero:
L,.cosz-|L.'cosf Lj.cosó+Lr-0 (l.l)

Además. la suma de las proyecciones de las componentes vectoriales en el eje I tarnbién debe
ser cero:
l,, .sen y" * L..cos / Lj.cos ó - 0 (1.2)
Si las Ecuaciones (l.l) y (1.2) se reorganizan y se elevan al cuadrado resulta:
tl . cos2
lJ -- (h.cos @ L, .cos t La)2 (l 3)
L].sen] ll : (h.sen / - L, .sen z)2 (l ,l)

Si las Ecuaciones (l 3) y (l.zl) se suman, el resultado sería:
: fi+ fl+ | L1.Lr.cos (> L,.Lt.cosz.cos ó- L,.L.,.sen t.sen Q- L,. L*'cosa (1.-5)
-::- )araninfo
lntroducción a la Teoría de Máquinas y Mecanismos 21
Para simplificar esta ecuación puede realizarse un cambio de variables con la siguiente asigna-
crón de parámetros:
Rr :L^
L1
R2 :L^
Ll
R¡- oi+ ri+ r1 - ¡2

L1
/-' L1' L1
Resultado del carnbio de variables de la Ecuación (1.5) es la expresión:
R' .cos 7" - Rt 'cos @ * R, : cos (z ó¡ ( 1.6)
La Ecuación (1.6) es conocida como la EcLtoc'ión de Frettdenstein para los mecanismos de cua-
tro barras, probablemente la técnica de síntesis más utilizada en los problemas de diseño donde se
requiere el movimiento coordinado entre el eslabón de entrada y el de salida.
Técnicas analíticas: síntesis de Bloch
Otro método para hallar la posición. velocidad y aceleración de los puntos en los eslabones de un
mecanisno, podemos tarnbién utilizar otra técnica analítica basada en el álgebra de los núme-
ros complejos. Una ventaja de esta técnica consiste en la facilidad de la diferenciación en el plano
complejo. El análisis pol componentes reales e imaginarias nos permitirá generar el conjunto de
ecuaciones que resuelven el problema.
La síntesis de Bloch consiste en satisfacer requisitos cinemáticos aplicando la técnica de los
números complejos. Por este procedimiento, conociendo las velocidades angulares (t,)., t,t. y ¿,r+) y
las aceleraciones angulares (e,, c-, y c.) de las barras 2, 3 y 4 de un cuadrilatero articulado como el
representado en la Fi-eura 1.24, se pueden calcular las dimensiones de las cuatro barras.
En efecto. si se consideran las barras como vectores y se hace uso de la forma compleia en
coordenadas polares, se obtiene:
L+L.+Lj+L+:0 ,L1)
L1.gJ"t I Lr.¿J(': I L..¿J'': I La.eJ,'t:e
Si la Ecuación (1.7) se deriva respecto al tiempo, resulta:
Lr.e)r.ej". + L. .{,)1' rr't' ¡ L,.t,tr. ¿,

1", : 0 (1.8r
Si a su vez, la Ecuación (1.8) se deriva respecto al tiempo, se obtiene:
L.. (t:2 + j . tt¡|.') . ei". + L.. ( er + .j . ui) . ei". + La. (t:a + .j . rtfi) . ei". - 0 (le)
Pasando las Ecuaciones (1.7). (l.B) y (1.9) a la forma vectorial, se obtiene:
Lt+L. *L. !L+ :0

0lL..ot, *L1 'o-t¡ lLa.t'ta -0 ( 1.10)
O + L..(e: f j.r'l) -l L..(t1 + j .r,l) -l Lr.(t:a + .i .rtfi¡ : g
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:: :^ a la Teoria de Máquinas y Mecanismos
Si l¿ts Ecuaciones (1.10) se dividen pol L, se podrá calcular Lz, Lt.L.iL, y LtiLt. Aclernás. si
-J rorlsidera la longitud de la barra | (O.Ol conto l¿i Lrnidad (L,: l), se podrían obtener las lon-
-rtucles de un cuadr-ilátero semejante.
Tar-nbién. al hacer e I discrirninantc igual a la unidad (A : l). los vectores qlle se obtienen. al
resolver el sistema. serán ser.nejantes y apareccrán girados un mismo hngulo. Resumiendo: el nte-
eanismo ser'á homólogo al de referencia.
Resolviendo el sistenta de Ecuaciones (1.10). planteaclo anteriormente. resulta:
L,: -tL.+L.+Lr¡
L. : ,').,.(t;., * .j 'r'tt) - (,)j.(í)r + .j .t,l): (,)+.Íi-¡ -- (,):' t:t -l j ' (t)J' (t)t. ((t)z rDa)
L.: r,t..(r;* * i .r,rt) (,)1.(¿:2 + .j .t'É) - u)¡.r)1 (0r. t)¡ I .l . 02. trtr. (¡¡¡, - ¡,¡.)
Lr: t,t.'(¡;. -l-.¡ .r'tl) t,¡..(í:,,+ j.r'l): (t)t.i;2 (t)¡ . tt f J . (!)1. (t)2. (,)2 (r¡)
Los sistemas de ecu¿tciones obtenidos al resolvcr los mecanisn'los por sencillos que sean. gene-
t'¿rnsistemas de ecu¿tciones no lineales de difícil lesolución. La utilización de mé1odos ntaterláti-
cos de iteración, Newton Raphson, f acilita la solución introduciendo nurnerosos concepros nrare-
nráticos: número de iteraeiones. convergencia, error, ctc.
Existen en la bibliogt'afía nurnerosos [ítulos clue desarroll¿rn las técnicas analíticas. las cuales
finalntente scln intcgt'adas en progl'¿lmas de ordenadol en len-eua.jes comcl el Fortran o si¡nilares o
cn los paquetes dc sintulación más al,anzados Mathcad. Adams. etc.
Técnicas gráficas
Ett cuanto a l¿rs técnicas gráficas, las quc v¿ul.ros ¿r clesarrollar y utilizar en el transcurso clc cste
tcrto. podetnos decir que utilizan la geornetría de los esl¿rbones cn conjunción con las propiedades
geontétricas cle las velocldades y acelelaciones para resolver el ploblema cinem¿itico del nrec¿ir.tis-
nro par¿i cada uno de los instantes de interés. Se utilizarír el álgebra vectolial y los conocimientos
tlc la -ueornetría descriptiva como base de la técnic¿t grífica.
Para concluir, podemos decir que las dos técnicas son complementarias siempre. El uso de las
técnic¿rs ¿rnalític¿is reqr,riere en muchos casos de las técnicas gráficas para validar las soluciones
cncontradas en las iteracioncs. Las tócnicas gráficas en el caso de rnceanisrnos con movirniento en
planos paralelos son en muchos casos de gran ayuda y permiten un anírlisis gráfico rápido y senci-
llo. generando i¡nas soluciones cinemáticas qlre nos permiten una rápida interrelación entre l¿is
rra-unitudes de los diversos puntos del mecanisrno. También será aplicable al carnpo de la dinárni-
ca. permitiendo un rápido estudio cualitativo y cuantitativo de l¿t influenci¿i de las fuerzas sobre
cada eslabón y su interrelación con las de los otros eslabones del mecanisn'ro. En los CapítLrlos 2 y
3 se aplicar'án diversas técnicas -uráficas en la resolución de problernas de cinenrática y clin/rmica.
PnoeLeMAS RESUELToS
> 1.1 Encontrar los mecanismos que resultan de todas las inversiones con difcrcncia tooolósica de la
cadena cinemática de Stephenson (Figura 1.2-5).
Resolucró¡¡
Las correspondientes inversiones de la cadena cinemírtica cle Stephenson permiten obtener tantos
mecanismos cclmo miembros tenga. La solución se presenta en la Figura L26.
::-r:'aninfo
Figura 1.25. Cadena cinemática de Stephenson.
La posición de tierra del eslabón zl es equivalente a la del eslabón 2, por simetría. Lo mislno
ocurre con la posición de tierra del eslabón 6. que es equivalente a la del -5.
/1\
\i/ Eslabón 1 = TIERRA r¡ Eslabón 2 = TIERRA
Eslabón 3 =TIERRA Eslabón 5 =TIERRA
Figura 1.26. Inversiones de la cadena cinemática de Steohenson.
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ltroducc¡ón a la Teoría de Máquinas v Mecanismos
> 1 .2. Calcular el núunero de grados de libertad del mecanismo de la Fisura L27.
Figura 1.27. Mecanismo pistón.
Resolucrótr¡
Se aplicará la fórmula de Grübler para el cálculo del número de grados de libertad del nrecanismo.
GDL : 3(N l) 2Pr - P, (Fórmula de Kutzbach Gruebler. 2D)
Se calculan el número de pares de uno y de dos grados de libertad (Figura 1.28), en este caso
ha¡r 4 pares cle I GDL, de los cuales 3 son de rotación y uno de traslación.
repil :3(N l) 2P, P2:3(4-t) 2. 4-o: tr

sc trata de un mecanismo DESMODRÓVICO.
Figura 1.28. Posición de los pares de un grado de libertad.
el número de grados de libertad de los siguientes mecanismos.

CalcLrlar
De nuevo, se aplica la fórmula de Grübler, y pueden verse en ta Figura 1.27.
En los tres casos los pares son de un grado de libertad.
(A) I cnl l:3(N - l) 2p, - p2:3(1-t) 2. l0-0: tr,

Se tTata de una ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA.
(B) repil:3(¡/ - r) 2p, - p2- 3(4-t) - 2. 4-0: [-1,
se trata cle un mecanismo DESMODRóH¡ICO.
(c) rept--] : 3(N t) - 2pt p:: 3(11-1) - 2 . t4-0 :A,

se trata de un mecanismo de DOS GRADOS DE LIBERTAD.
lntroducción a Ia Teoría de Máquinas v Mecanismos
()\
(a)
(c)
Figura 1.29. Mecanismos.
PE 3-4
PE 3.7
B
o\
Oz
(a)
@
PE89
PE 8,1
PE 6-
E
tel
\Y/ PE 4-5
@
PE 3-a
B PE 9.1
K
\1-l
',K
\t-l
Os
(c.,
"',áí
v
e
Figura 1.30. Posición de los pares en los mecanismos.
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ltroducc¡ón a la Teoría de Máquinas y Mecanismos
> 1'4. Calcular el número de graclos de libertad de los siguientes mecanismgs.
rodadura
+
deslizamiento
olu: /:\
,fu7
f
\?
r¡
v
(a)
Figura 1.31. Mecanismos.
(A) i GDL l: 3(¡/- l) - 2p, -p, : 3(3_t) - 2. 2_l -lrl

se trara de un mecanismo DESMODRóMCO.
(B) repil : 3(¡/ - l) 2p, - p): 3(1-t) -2 3-l : ffl

en este caso el PE 2-3 tiene 2 GDL.
Se trata de un mecanismo de DOS GRADOS DE LIBERTAD.
PE 1-2
J,6.to'
7nm
\O
e o
(a) (b)
Figura 1.32. Pares: a) de 1 GDL 1-2, 2-3y 2 GDL 3-1; b) de 1 cDL 1-2, 3-4, 4-1 y 2 GDL2_3.
1 .5. Utilizando la notación cle la Tabla l.l, especifica a qué clase pertenecen los siguientes cuadri_
láteros.
a) L, : 80 mm L.: 40 mm L., : 60 mm La:70 mm

b) l' : 70 mrn t, :60 mm Zj :40 mm La: 60 mm
c) l,, : 80 mm L" :60 mm L1 :60 mm La:60 mm
d) L' :40 mm L, : 60 mm l', - 80 mm La:90 mrn
l-r:.aninfo
lntroducción a la Teoría de Máouinas v Mecanismos 27
Resolucró¡r
El procedimiento a seguir aparece representado en la Figura 1.20.
a) En primer lugar, se comprueba si el mecanismo cumple el teorema de Grashof.
Lt+L1 ',! L2+L1

Lt + L. - 80 + 60: 140 L2+ L1:40 + 70: I l0
Lt+h > L2+L1
Se comprueba que se cumple el teorema de Grashof.

El siguiente paso es comprobar si las barras opuestas son iguales (Lt: Lty Lz: Lr); esta
condición no la cumple.
¿La barra menor es fija? La barra menor es L2 y no se corresponde con el eslabónfijo (L,).
¿La barra menor es contigua a la tija? Esto sí que es cierto, puesto que el eslabón 2 se
encuenlra unido en h) con el eslabón L,.
Por lo tanto. se trata de un mecanismo de MANIVELA-BALANCIN.
b) En primer lugar, se comprueba si el mecanismo cumple el teorema de Grashof.
Ll+Lj? b+L4
Lt + L':70 + 40: ll0 L. + Lt:60 + 60: 120
L.+L1 < L2+L1
Se comprueba que NO se cumple el teorema de Grashof.

Es un DOBLE BALANCIN.
c) En primer lugar, se comprueba si el mecanismo cumple el teorema de Grashof.
Lt+Lj? L2+Ll
Lt + Lj: B0 + 60: 140 L2+ Lt:60 + 60: 120
Ll+L7> L.lL+
Se comprueba que se cumple el Teorema de Grashof.
:
El siguiente paso es comprobar si las barras opuestas son iguales (Lt Lt y Lz:
l*); sólo
se cumple para el segundo caso.
¿La barra menor es fija? El eslabón fijo es el de mayor longitud.
¿La barra menor es contigua a la fija? Esto sí que es cierto. puesto que el eslabón 2 y el 4
se encuentran unidos con el eslabón 1,.
Por lo tanto. se trata de un mecanismo de MANIVELA-BALANCÍN.
d) En primer lugar. se comprueba si el mecanismo cumple el Teorema de Crashof.
Lt+L|? L"+L1
Lt + L1:40 + B0: 120 L2+ L,:60 + 90: 150
Lt+L1 < L2+L4
Se comprueba que NO se cumple el Teorema de Grashof.
Se trata de un mecanismo de DOBLE BALANCÍN.
En este capítulo.., l
2.1. Contacto entre sólidos, Rozamiento seco

2.1.1,. Rozamiento a! deslizamiento, ,
2.1.t. Hozamiento de rodadura y pivobmienlo

2,2. Introdu*ción a l* teoria gqnq¡af de "qryiáee.,,:. ,
....i..t.,,,, :
, ,Ro¿ámiónto,,vi*coso, ir:rr
r, :r:t
:t.r r;:r r:r:ti
:213,: Moóáiiilmo$,látgmentalel . ,,, . ,,,,, .,,,,,,,,,,,,,, ¡':ir:r':r,:rii.i:,,:ir"i i:,.r,rril:il
Ias
as
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4esistencias en máquinas
2.1. Col,lrncro ENTRE sóLtDos. RoznnntENTo sEco

Una vez introducida la terminología básica de la TMM nos ocuparemos, en este capítulo, de las
características del contacto en los pares elementales, lugar donde se produce la transn-risión de las
fuerzas entre eslabones. Si analizamos un modelo de contacto puntual en un par elemental y reduci-
ntos el sistema de fuerzas actuantes sobre el eslabón I al punto de contacto P por la tercera ley de
Newton de la acción y la reacción entre cuerpos, se producirán unas reacciones iguales y de sentido
contrario en el punto P del eslabón2 (céose la Figura 2.1).
Figura 2.1. Esquema general del contacto en un par elemental.
En general, toda interacción puntual se puede reducir al estudio clel vector resultante R en P y
del vector momento reducido (D en P. Si proyectamos dichos vectores sobre el plano tangente y su
normal en el punto de contacto se obtendrá:
l. El vector resultante R de lat fuerzas en P. da lugar al vector normal Ñ y al tangencial f.

Experimentalmente se obtiene la relación T : lN que nos liga, mediante el coeficiente l¿
(coeficiente de rozamiento), la reacción normal con la fuerza de rozamiento tangencial, ex-
plicando el rozamiento por deslizamiento (suponemos, en todo momento, que el equilibrio
estudiado tiene lugar en el instante frontera entre la existencia o no de movimiento relativo).
El efecto de los vectores fuerza en el punto P en el instante antes del deslizamiento, explica
la fuerza de rozamiento al deslizamiento mediante el coeficiente de rozamiento que liga dos
vectores normales entre sí: la reacción normal y la reacción tangencial.
2. El vector 6 par reduciclo en P, al proyectarlo sobre la normal, genera el par de pivotamiento
y sobre el plano tangente el par de rodadura O. En el caso caso anterior del análisis de las
f-uerzas en el punto de contacto P logramos una relación, es decir, siempre que existe una
reacción Ñ hay una fuerza de rozamiento 7. En el análisis de los pares de contacto no existe
una expresión que los relacione explícitamente. Pueden coexistir independientemente, dando
lugar a dos nuevos tipos de rozamiento: el rozamiento al pivotamiento debido a 6,, y el roza-
mientoIhrocladura6,.
R esistenci as e n m áq u i nas 31
2.1.1. ROznmIENTOAL DESLIZAMIENTO

El rozamiento al deslizamiento es el más usual en los pares elementales de rotación y traslación en
el plano. Se observa experimentalmente gue F,n,,.,.r: ¡rN, siendo ¡r el coeficiente adimensional de
rozamiento al deslizarniento. Se puede definir el cono de rozamiento de semiángulo p (3D) en el
punto de contacto P o ángulo de rozamiento (p en 2D, como aquel lugar geométrico con vértice en P
cloncle, si disponemos el vector reacción R en P, y lo disponemos perteneciendo al lugar geométrico.
logramos estar en el límite entre el movimiento relativo o no del par. Si la acción o reacción en P
ocupa la parte interior del cono no producen movimiento relativo, y si están en la parte exterior al
cono el movimiento relativo existe, el mismo razonamiento debe hacerse para 2D. Es irnportante
resaltar la relación entre el semiángulo del cono con el coeficiente de rozamiento il (céuse la Figu-
ra2.3), donde se muestra el caso límite para iniciarse el deslizamiento entre el eslabón 2 y el soporte
1 (parte inf'erior derecha).
r¿,, Coeficiente de rozamiento estático

TF
rg(P:
NP
tgq -- p
¡r Coeficiente de rozamiento dinámico
I + z(r,)
1r(v) - ¡r,,
I - /t(r)
,
[v ) 5 m.,sl
tr(\ ) =
tl 1,,,.12f 1,,,
lJ ¡
t¿ = [0. 1.0.7]
Figura 2.2. Rozamiento oor deslizamiento.
Cono de deslizamiento: lugar

geométrico límite al deslizamiento
,9 resultante de fuerzas exteriores del

eslabón 2 sobre el 1
g: arctg (¡r)
Figura 2.3. Rozamiento por deslizamiento. Cono de rozamiento.
El coeficiente de rozamiento entre eslabones sin lubricar toma. habitualmente, valores en el ran-
go [0.1;0,7]. A continuación (en la Tabla 2.1) presentamos valores típicos del contacto acero en los
pares de máquinas más utilizados.
Este coeficiente en condiciones de funcionamiento mantiene valores constantes para cualquier
par de superficies. Para metales limpios, con una terminación superficial ordinaria, expuestos a la
atmósfera, el valor est/r en el entorno de [/31 l], siendo el rango inf'erior cuando el par está usado.
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Tabla 2.1. Valores típicos de coeficiente de rozamiento al deslizamiento
y del semiángulo del cono de rozamiento.
Rodamiento a bolas [0,010; 0,022] rp[0,5", l"l

Engranajes [0,045; 0,065] q[2", 3"]
Cojinetes Iisos [0,060; 0,06a] Q :3"
Corederas 0,12 E :7''
Frenos >0,3 tp 2 17"
E.n el caso de superficies metálicas limpias en el vacío se pueden obtener coeficientes de rozamiento
de hasta I 00.
Para sistemas lubricados bien diseñados (.1:éuse el Apartaclo 2.2), el coeficiente puede scr tan bajo
r ¿rlcanzar valores de 0,005, obteniéndose para condiciones de trabajo especiales coeficientes de ro-
zamientos del orden de la millonésima.
2,1.2. RozRnnIeruTo DE RoDADURA Y PIVoTAMIENTo

El rozamiento de rodadura está asociado a la existencia de un par reactivo según la tangente en el
colltacto. El modelo que vamos a utilizar es la interacción disco guía soporte, donde se observa que
para iniciar la rodadura es necesario ejercer un par mínimo o par de rodadura. Experimentalmente se
rrbserva que 16*c,o1 :,j lÑ1, siendo d el denominado coeficiente de rodadura; caso el coefi-
e rente de rodadura tiene dimensión de longitud (t:éose la Figura 2.4). "n.rt.
Rodadura de un cilindro recto sobre una superficie plana:
o Rodadura
o Rodadura + deslizamiento
o Deslizamiento
Acciónexterior: F,,Fl .-rFnl /{Ñ
Reacción rodadura: F. 6*oo
F debe producir un par wl - H¡t - r

iFl capaz de
vencer el PAR DE RESISTENCIA A LA RODADURA.
ORSD : (i. Nl
Figura 2.4. Rozamiento por rodadura.
En la Figura 2.5 se muestran valores del coeliciente de rodadura. También se expresa la distribu-
ción de reacciones en el entorno del punto de contacto A, para el caso estático y el de rodadura.
trbserr'ándose la asimetría en dicha distribución de reacciones cle contacto en el entorno del contacto
para conseguir el inicio de la rodadura. de alguna manera el pico de máxima reacción nos indica el
desplazamiento correspondiente al coeficiente de rodadura d. que tiene dimensiones de longitucl.
El fenómeno de la rodadura está influenciado por las características elásticas de las superficies
de contacto. Los ef'ectos de compresión y descompresión en los puntos cle contacto en la rodadura
producen pares en contra y a favor del movimiento hacienclo el moclelo de contacto muy cornplejo.
Tanlbién se puede observar que ante una rodadura entre eslabones con propieclacles elásticas muy
dif-erentes se genera una zona de gran defonnación (rechupe). Debido al aplastamiento en la zona cle
la rodadura, el eje instantáneo de rotación relativo entre los dos eslabones hace que haya Llna zona
con fuertes gradientes de velocidad, dando lugar a la fatiga del material (t,écL.se la Figura 2.6).
:- nfO
Resistencias en máquinas 33
::N=:p
A
N =Ip Valores:
6
I
AÉ ñlAñ" Pq Maderas: r) - 0,8 mm
A_- Acero: d - 0'01

DISTRIBUCIÓN ESTATICA
DE REACCIONES
orslRrsucróN DTNAMT.A
DE REACCIONES
ñ'y
Figura 2.5. Modelo de la reacción en el contacto del par de rodadura. Valores del coeficiente de rodadura ¿.
El caso de la resistencia pasiva al pivotamiento, proclucida por la componente clel par de reac-
ción proyectado sobre la normal en el contacto d,v, se puede reducir al caso cle un contacto de roza-
miento con deslizamiento (L:éctse el modelo presentado en la Figura 2.7). Si analizamos la superficie
del contacto y definimos un doble diferencial de área simétrico respecto al centro de pivotamiento
podemos calcular el par necesario para vencer el par cle rozamiento al pivotamiento para toda la
superficie de contacto, es decir el par de pivotamiento ópry. En la expresión de la integral de superfi-
cie que nos calcula el par de pivotamiento, la función subintegral depende de la reacóión normal en
cada uno de los puntos del área de contacto, a partir de los estudios experimentales cle Hertz se llegó
a una expresión aproximada del par de pivotamiento función de: el coeficiente de rozamiento t¿. la
normal del contacto del par N y de la longitud i del borde de la superficie de contacto.
d.x,
.-'-l-,-Y
r
,,ñ\ lt't*
,N '\
PRESION QUE SE
OPONE A LA
\\'ol RODADURA
"i
CASO EXTREI\,,IO: CASO EXTREN,4O:

suPERFrctE ELÁslcA SUPERFIcIE RiGIDA
Figura 2.6. Comportamiento de la zona de contacto en la rodadura.
Ecuación del par de pivotamiento de Hertz
or: 0,093 .
r. l. N
A su vez, experimentalmente se relacionó el perímetro / con ly' y las propiedades georrétricas y
elásticas del contacto. donde
r : {fir . et, E,, lz,E) | l¡<lu<1,

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: _' = a\¿ut| tdJ
P,rl'i-l cllda estado de pivotarniento y dadas unas condiciones geométricas y elásticas del contacto.
i,,'Lble definir un coeficiente de rozamiento al pivotamiento óp- lLpN, de manera similar a los
,. irnteriormente estudiados (téct.se la Figura 2.7).
Qp: !p'N
depende de la calga y de las características de los materiales. ¡tp>(¡Loo,,,=<)).
dT: r¿ N
Parcs de l'uelza cle rozamiento en el

contacto respecto ¿ll centro
de Ia elipsc.
drlru-2.r.dT-
Illl'l
Figura 2.7.
A
.bA C
Comportamiento de la zona de contacto en el pivotamiento.
2.2. lrurnooucctóN A LA TEoRíA GENERAL DE ENGRASE.

RozRlvueNTo vtscoso
Su- Il¿rn estudiado las resistencias pasivas en los pares cinemáticos de las rnírquinas sin consicler¿tr la
posible lubricación de los contactos de los eslabones del par. La cxperiencia permitió la recluccicin
tic' las pérdidas energéticas por rozamiento mediante la incorporación de lubricantes en cl contactg.
En la antigüedad el uso del agua como refiigerante en los ejes de los rnolinos cle agua no sólo
cLrmplía esa misión. sino que hacía que el eje fuera más li-eer.o.
El estudio del f-enómeno de la lubricación se realizó a piirtir cle las experiencias de Newton sobre
.-l conlportamiento de la resistcncia a la cizalladura de flujos laminares entre superficics con velo-
e iclad relativa. En l¿i Fi-eura 2.f3 se expresa el esfuerzo que tiene que realizar
el eslabón 2 para mante-
Iler tllla velocidacl relativa ¿ respecto al eslabón l. Sllpuestas unas concliciones de flujo larninar en la
interfase lubricante. dicho esfuerzo es proporcional: al área del contacto entre eslabones. al gradiente
cle r''clocidades según la normal al contacto y a la viscosidacl del lubricante.
Es de interés para el cálculo del roz¿imiento en un par lubricado obtener una expresitin similar a
la cncontrada para el rozamiento seco F.,,r,..,, ( ¡rl/), es decir: F,.,r,i,.: ltrt,.N.clonde
¡tr,.. es el
coeficiente de rozamiento viscoso equivalente. Para lo cual, se consiclerarán las aploxirnacioues
j- nfO
R esiste nci as e n máq u i nas 35
Figura 2.8. Cálculo de la cortante en el contacto en un par elemental lubricado.
descritas en la Figura 2.9. Debemos destacar la naturaleza del nuevo coeficiente de rozamiento en
comparación con el coeficiente de rozamiento seco. El coeficiente de rozamiento viscoso equivalen-
te depende de varias magnitudes como: la viscosidad 4, la presión del lubricante p en el contacto y el
gradiente de velocidades según la normal d¿r/¡)n mientras que el coeficiente de rozamiento seco de-
pende únicamente de la constante ¡r. Es bien sabido el comportamiento decreciente y una posterior
estabilización del coeficiente de rozamiento ¡r al aumentar la velocidad relativa ¿, en el contacto se-
co, sería de gran interés observar experimentalmente el comportamiento del coeficiente de roza-
miento viscoso según la expresión obtenida anteriormente:
¡r,ir.,r.n
: qS/N duldn
La viscosidad se puede determinar midiendo la fuerza necesaria para vencer la resistencia a la

tiicción del fluido en una capa de dimensiones conocidas. La viscosidad determinada de esta manera
se llama dinámica o absoluta. La viscosidad dinámica normalmente se expresa en poise (P) o centi-
poise (cP, donde 1 cP:0,0 I P), o en unidades del Sistema Internacional como pascales-segundo
(Pa-s, donde 1 Pa-s: l0 P). La viscosidad dinámica, la cual es función sólo de la fricción interna
del fluido, es la cantidad usada más fiecuentemente en el diseño de cojinetes y el cálculo de flujo de
¿rceites. Debido a que es más conveniente medir la viscosidad de manera tal que tenga en cuenta la
densidad del aceite, para caracterizar a los lubricantes normalmente se utiliza la viscosidad cinemáti-
ca. La viscosidad cinemática de un fluido es su viscosidad dinámica dividida por su densidad, ambas
medidas a la misma temperatura, y expresada en unidades consistentes. Las unidades más comu-
nes que se utilizan para expresar la viscosidad cinemática son: stokes (St) o centistokes (cSt. don-
de I cSt : 0,01 St), o en unidades del Sl como milímetos cuadrados por segundo (mm','s, donde
I mm2is : I cSt). La viscosidad dinámica en centipoise se puede convertir en viscosidad cinemática
en centistokes dividiéndola por la densidad del fluiclo en gramos por centímetro cúbico {g'cmr) a la
misma temperatura. La viscosidad cinemática en milímetros cuadrados por segundo se puede con-
vertir en viscosidad dinámica en pascal-segundos multiplicando por la densidad en gr¿rmos por centí-
metro cúbico y dividiendo el resultado por 1.000.
Stribeck estudió experimentalmente el coeficiente viscoso ¡r,.,.. obteniendo la curva expresada en
la gráfica de la Figura 2.9, donde se observa una gran sernejanzu con el comportamiento del coefi-
ciente de rozamiento seco l¿ con la velocidad relativa r,; en el caso viscoso en estudio se observa el
mismo fenómeno pero en la variable independiente tenemos un término donde aparece la u y los
factores viscosidad multiplicando y la presión en el contacto dividiendo.
@ ITES-Paraninfo
lesistencias en máquinas
Expresiones de la fuerza de
rozamiento al deslizamiento CURVA DE STRIBECK
r Rozamiento seco S clv

'Ndn
= 11"..,, N
¡F,,,,
¡ Rozamiento viscoso
ldv_
: tl.'Pdn
_.
. Hipótesis: régimen laminar
|* = //.5'
^dr
.
r=inllllN
\. N dn/
olI Ley lineal
Sdl 11¡ t¡.tip
'' F'i.*,- = /{*.,". N Enorase Engrase
N clu
.-".o imperfecto
//.,,.,,,,, = i(ry v/P)
Figura 2.9. Cálculo del coeficiente de rozamiento en un par elemental lubricado.
La existencia de lubricación en el par cinemático introduce dos factores nuevos, lo que permite
una mayor capacidad de maniobra en el control del comportamiento del par lubricado.
En el caso de rozamiento seco consideramos dos situaciones diferenciadas, una cuando el par no
tenía movimiento relativo y el coeficiente de rozamiento se denominaba estático ¡r,,, y cuando existía
movimiento relativo, es decir u + 0, se denominaba coeficiente de rozamiento dinámico ¡r,¡.
En el caso de existir lubricación, hemos de considerar tres modos diferenciados:
o Engrase perfecto: es decir, hay una clara separación por una capa de lubricante cle las superfi-
cies del contacto entre los dos eslabones y por tanto un bajo coeficiente de rozamiento viscoso.
En la curva de Stribeck nos encontramos en la parte de bajo rozamiento con valores altos del
férmtno qtlp.
o Engrase imperfecto: la capa de lubricante no es capaz de separar perfectamente las superfi-
cies del contacto en el par y existen zonas de contacto directo eslabón eslabón, lo que produce
una elevación del coeficiente de rozamiento viscoso equivalente. En la curva de Stribeck nos
posicionamos en una zona donde el coeficiente de rozamiento viscoso equivalente sufie una
elevación brusca (codo de la curva) para valores menores del término r¡ulp.
o Engrase seco: la capa de lubricante desaparece y el comportamiento del par es similar al co-
rrespondiente al rozamiento seco. En la curva de Stribeck estamos en el rango de valores má-
ximos del coeficiente de rozamiento equivalente. En la Figura 2.10 se expone una representa-
ción esquemática de lo que ocurre.
@V,,,
@ V',,
ENGRASE PERFECTO ENGRASE IIlIPERFECTO ENGRASE SECO

Interacción molecular rugos¡dad rugosidad
nrRnccróN + Superficies en contacto
Interacción molecular
Figura 2.10. Esquema del comportamiento de la junta lubricada para diferentes valores
del término nv/p.
- I S- Paran i nfo
Para la selección de un lubricante que haga que nuestro par cinemático se encuentre en la zona
de engrase perfecto es necesario conocer la capacidad que tiene para mantener la película de separa-
ción entre las superficies de contacto del par, para 1o cual necesitamos valorar la fuerza de adheren-
cia del lubricante con las superficies de contacto de los eslabones. Para ello deberíamos analizar las
fuerzas de tensión superficial lubricante sólido t,,. Previamente, vamos a analizar el comportamiento
de una gota de lubricante sobre una superficie de contacto, y en particular el punto A; uéase la Figu-
ra2.l1, donde coexisten las tres interfases: sólido lubricante, lubricante ambiente, ambiente lubri-
cante. El lubricante situado en el punto A se encuentra en equilibrio bajo la acción de la fuerza del
:
peso y de las tres fuerzas debidas a la tensión interfacial en las tres interfases rt,, r.,,,, r,,¡ corr 1 Iu-
bricante; .s : eslabón, a : ambiente. En la vertical el peso está equilibrado por la reacción normal y
la componente vertical de la tensión superficial entre el ambiente y el lubricanfe r,ri en la horizontal
podemos plantear la ecuación de equilibrio:
Tr,¿coS0*t,,-T.r,:0
cos0: (t",,- t,,)|r,,,
fluido g
Figura 2.11. D¡ferentes configuraciones de mojado entre una superficie y un lubricante.
Del análisis del ángulo g podemos decir que un ángulo muy pequeño indica una gran capacidad
de lubricar la interfase, es decir, tendencia a mantener las características de engrase perfecto. Esta
capacidad se suele denominar untuosidad, por tanto el ángulo del contacto 0 de la tangente en el
borde de la gota con la línea de la superficie del eslabón nos mide cuantitativamente la untuosidad
del aceite con el material del contacto del eslabón. Si el ángulo 0 es inferior a 90o se dice que la
fase el líquida moja a la fase sólida, si es superior a 90" entonces la fase líquida no moja a la fase
sólida.
Tensién superfic¡al en lubricantes I

-+-----
Setección de aceites y lubricantes
-
. Untuosidad: adherencia líquido-sólido
Fuena de : Tensión de
. Viscosidad: adherencia líquido-líquido ¿dherencia
-
fuga
Repre5entacion
del €quilibr¡o de ? / HaY que garant¡zar el
T _T,
;r"d{.uúiimte
fuerzas en !n _rlg a fe lg) nlanteninriento de la libre del lufrcaftte crlsl/=.-"-
diferencial de película de lubr¡cante T,,
volumen Tensiones Superf¡ciales
"
en el punto A
Tens¡ón de
. A igualdad de untuosidad:
Ofgrrñ.d'l
sáidotf:.. adherencia fuga . Aumenta la fuerza de adherencia
Po¿scul¡rene ., T,-T, . Aumenta el poder cubriente libre
hbre dd lubncante l(15P =
-
Figuta2."l2. Análisis cualitativo y cuantitativo de la untuosidad de un lubricante'
Si a partir de las definiciones anteriores calculamos la energía gastada por rozamiento en un par
lubricado para unas condiciones dadas de: carga, velocidad de funcionamiento nominal y presión de
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;:-. -clenc/,as en máquinas
aceite en la junta (téctse la Figura 2.13), podemos obtener la expresión de la potencia de rozamiento
r iscoso como proporcional a la viscosidad:
Po: k4u.f(.r:lp).¡rt
El calor generado incrementará la temperatura de la junta hasta que se alcance un equilibrio en-
tre el calor generado y el calor disipado. El estudio del equilibrio entre la energía disipada por roza-
miento y la energía evacuada por el sistema de refrigeración del lubricante da lugar al concepto de
recta de funcionamiento del lubricante que, al estar obligada por la curva de viscosidad correspon-
diente. nos da el punto de equilibrio viscosidad 1,.r. temperatura del lubricante en la máquina.
Recta de funcionamiento
del lubricante
Viscosidad
(Viscosidad) t
z k . t7 Calor producido
eouilibrio
v.k -
(0 ¿i,r) Calor evacuado
I
Punto
de funcionamiento
Recta de funcionamiento
l/ambiente /) tr^ñ^^-^+,.-^\
"aCerte ubric¿nte \ |ElI IYYIdLul d,f
Figura 2.13. Calor generado en un par elemental lubricado.
2.3. MecnusMos ELEMENTALES
2.3.1. Apoyos DE EJES Y ÁRBoLES, QUIcIoNERAs Y RANGUAS

En los apartados anteriores hemos presentado el estudio del comportamiento de los pares cinemáti-
cos tanto ante rozamiento seco como lubricado. El estudio de los tres tipos de rozamiento por con-
tacto: deslizamiento, rodadura y pivotamiento y la reducción del rozamiento por pivotamiento a un
caso de deslizamiento, nos permitirá el cálculo de las fuerzas y pares de rozamiento en los mecanis-
mos fundamentales, así como en los apoyos de ejes y árboles, quicioneras y ránguas.
En la Figura 2.14 se visualiza la vista frontal y la sección de una junta de rotación, modelo que
nos permite el cálculo del par de rozamiento 6o para unas condiciones nominales de funcionamiento
en velocidad de roración D y carga Ñ.
Deberemos estudiar las fuerzas de rozamiento cliferencial dFo en cada uno de los diferenciales de
superficie de contacto dd, donde existe una presión específica por unidad de superficie p según la
normal del contacto. en particular para el par de rozamiento se obtiene la expresión:
dFo : p.Atn: tt.p.d6

Qr R A t'-lo^l :
fl
QVn: ll y.p.r.do J Jn
):'a n i nfo
Besistencias en máeuinas
I
-r-
Apoyos de ejes y árboies
Gorrón nuevo (P=cte) Eje, elemento f¡jo: Mangueta

Eje, elemento móvil: Gorrón
carga
'-.'_
1
t tP 21
T *
rf Par elemental
oe rotacron
o= cos ¿,r'do
JJ o P=pS
Figura 2.14. Representación gráfica del equilibrio de fuerzas en un apoyo de eje.
La integral de superficie en el dominio o es de difícil solución. pues son necesarios los conoci-
mientos de la elasticidad y resistencia de materiales par'¿r obtener la presión específ ica 7r en cada
punto de las superficies de contacto. Por tanto. vamos a considerar una prirnera simplificación; se
considerará que el par cinemática es nuevo y por tanto la distribución de presiones específicas 7r
se puede considerar de rnagnitud constante. En este caso. la integral de superficie se simplifica y se
convierte en una inte-eral que depende sólo cle la geometría de la junta. En el caso p¿lrticular del par
cilíndricit podernos relacionar la carga vertical del eje con la componente vertical de la reacción
rnediante el cálculo de la sección proyectada de la superficie de contacto del par sobre la vertical
trcott' la Figurr 2. 1.5).
Figura 2.15. Representación de la sección proyectada Sen un apoyo de eje.
La suposición de presión específica 1, constante no es suficiente, ya que en la línea rnedia para

tp : ni2 el valor de p es nulo y también se deberán considerar los ef'ectos del desgaste. Para ello.
hemos dc estudiar con detenimiento un punto genérico del contacto, es decir, si consideramos la
existencia de un desgaste radial r) en el eje se generará un desplazamiento vertical D, común para
todos los puntos del eje. En la Figura 2.16 se puede observar la relación entre el desplazarniento D.
el desgaste radial r) : AzA' y el ángulo con la vertical del punto de contacto rp.
Dado un eje en condiciones nominales de presión específica en el punto de contacto genérico 7r y
velocidad de rotación rl, si consideramos que el desgaste radial d es proporcional a la potencia de
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.esistenc¡as en máqu¡nas
r)
D:-
cos E
Figura 2.16. Relación del desplazamiento, el desgaste radial y ángulo.
rozamiento por unidad de área lü,,,.. :;. obtiene la condición de presión específica para ejes desgasta-
dos. es decir:
ú,,, : tr. p. L'[W/m'] d: k-. ¡r. p. r. at é o.r :
: lI .p.r.@ D: -L cte
ó:kt.p.r cos g cos g
La anterior expresión relaciona la presión específica en el contacto p con el ángulo cle la normal
de contacto rp y el radio r del eje y se utiliza para el cálculo del par de rozamiento en ejes horizonta-
les y verticales mediante la obtención de expresiones integrales dependientes únicamente de la geo-
metría de la junta (uéanse las Figuras 2.17 V 2.18).
Cálculo de la presión en el contacto {p)

P.¿,r-
P = JJ'
.;
ffp.cosp.do
' = -P:L
cosp
rnc,¡
.
l[to'
JJ
ü_{.____J
Geometría del
coj¡nete [A]
P 'cos q
' r.[A]
Figura2'17' Cálculo de la presión específica en un punto de contacto de ángulo en un apoyo de eje.
En el caso de quicioneras, eje vertical, la expresión de la presión específica para los puntos clel
contacto tiene una singularidad paÍa r: 0, luego en el entorno de radio nulo los puntos de contacto
soportarán unos altos valores de rozamiento y, por tanto, de desgaste. En el diseño de quicioneras se
eliminarán los puntos de contacto críticos en el entorno de cargas límite (.réase la Figura 2.19 donde
se presentan los diferentes casos):
. Apoyo vertical plano nuevo p : cte.
o Plano considerando desgaste y la existencia de la singularidad en r : 0 con p : cc.
o Caso de taladro interno para evitar presiones específicas excesivas.
o Y por último el uso de orejeras para asegurar el contacto f'uera de un radio de seguridad
v
poder usar cargas más altas.
l-tra'aninfo
R esistencias en m áq u ¡ nas 41
Cálculo del par de rozamiento
/ Par de rozamiento ()R en coj¡netes:

p-[ip.co,.¡.0, nr.l[99s-r.d. *¡ P!9::q
"i eos'¡ " | 'o rl.{]
dlR =l¿ dN=/r.p.dd
d(l)R =(il.i.r + ,t," =lJ¡r.p.r.clo
Geooetria del
colrnete [A]
" Par de rozamrento en coltnetes: l,^

a)Gorrón nuero ,1,_
= l, I, ,:f[, .l- Is]
P=tl.',
tll; =¡z dN=¡r.¡ do
.l(l)R =dti.r e 4,. ={j7r ¡.r rto
usado r'' -.,. .t, - rrii,, I' .,*u,¡- -¡, Jl' ii,,"
tr) Gorróq
(.. 'f Lr- | ,, + .r- .,, I I,l
P, clt . ^'¡ | \l
tcl
<Dr, = ¡r, .p.r-
Figura 2.18. Integrales geométricas usadas en el cálculo de presiones específicas en el contacto

y del par de rozamiento del eje.
Aplicación a quicioneras (ranguas) Caso particular
r=llrcos(/1.(|d Apoyo plano perpendicular a la carga: quicios planos

JJ
a) Quiionera nueva
))
i.i.
-,'- .lP- P _
P =c/c l, \.+ -". r_c '.1-' l
:[ffim*L_r'
.
P=n.S ffi
'q" f"u,
"..rill ltrl
b) Quicionera usada p *cfc a-:- ]
(mismas hipótesis usado usos en la industria

que en cojinetes)
par de rozam¡ento O;" = gfi l.r.cl o
r-O= l) +7 l r
(,, P' r'[A] cte p=(,. *_ =u o
cos
- p - p - O* = ¡r. p. [Bl
f;i
/
¿/?
cos
Figura 2.19. Integrales geométricas usadas en el cálculo de presiones específicas en el contacto
y del par de rozamiento en quicioneras.
En los estudios anteriormente presentados sólo hemos considerado el deslizamiento, pero en la

arrancada de ejes debido a que el rozamiento por rodadura se presenta previamente al deslizamiento
es conveniente estudiar en qué condiciones se produce el paso de la rodadura al deslizamiento.
Si consideramos un eje parado y le aplicamos una carga Q fuera del eje para lograr el inicio clel
movimiento de rotación del eje y estudiamos la carga límite Q, que produce dicho fenómeno y:
o Consideramos que el contacto es puntual en A.
. Estamos en la condición límite que produce el paso de parada a marcha de la rotación del eje.
Del estudio estático límite se deduce que la reacción del vínculo en A, compuesta por la normal
N de contacto y la fuerza de rozamiento al deslizamiento máxima F,,,.,,,,,: pN, debe contrarrestar la
acción de Q.
Del estudio del triángulo formado por:
o La reacción del vínculo en A.
¡ Con el radio del eje que pasa por A(r).
. Y con el segmento normal a la reacción del vínculo que pasa por el centro del eje (p).
Se deduce que:
p : rsen (g)
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- '.: j':-i as en maqutnas
.r¡nclo rp el ángulo fbmrado por la reacción normal y la reacción del vínculo en A. Considcrando
..iltrtes de ¡r que producen valorcs baios de <p podemos aproximar cl sen (rp) por la tg (rp), siendo esta
-.ltinta el valor de ¡r. Por tanto. llegamos a la explesión p: rl. propicdad caractcrística del sistema
e 1e pot1aejes y denorr-rinado radio de l'ozarniento que genL-l'a un lugar geontótrico, es decir. un círculo
tle rozamiento que divide el plar-ro en dos zonas: una la exterior a é1. por donde pasan todas l¿rs
direcciones de la acción que producen la alrancada del eie y una interior que hace que las direccio-
Ites de la acción no arranquen el movimiento de rotación clel eje. En el caso líntitc tangente al círcu-
lo estaremos en un equilibrio límite a pllnto de arranque o a punto de paracla.
Para obtencr los resultados anteriores. se considcrará que sc aplica una fr,rerza incremental al eje
cle tranera quc llegado el momento en qLle dicha filerza generc Lln par superior al míninto de rodadu-
la t)gly' en el punto de cor.tt¿rcto se inicia la rodadura del eje. Dados los valores tan bajos qr.re pode-
tttos consegllil dc coeficiente de rodadura, el par de rodadura es alcanzado antes cle obtenerse las
corrdiciclnes de deslizamiento. Al rodar el eje por el interior del portaejes la reacción normal se in-
crelttenta rápidalnente hasta alcanzar la condición de flrerz¿r de rozarricnto al deslizarnientcr nt¿iximo
F,,,,.,,,,,,.: l¿gN, y en este momento es cuando apliciimos las condiciones del cálculo del radio del
círculo de rozamiento. La existcncia de un par de rodadura aplicado hace que tengamos quc corrcgir
la liirrnula del radio del círculo de rozamiento en la magnitud ó (L'éase la Figura 2.20). quedando la
erpresión del radio dcl cú'culo de rozantienro:
p - t'tt t)
En el proceso clel cálculo estático y debido a la naturaleza del proceso de arranque cuasiest/rtico
consicleramos que las fuerzas de inerci¿r son despreciables.
Círculo de rozamiento
p7Tr. sen (ir -- r.tg Q = r. lt
Aplicación de una fuerza externa Q: JR

Resultante fuerza exterior
o-orñ
Aplicación de un par externo M,

Par elemental de rotación
(gorrón / mangueta)
Figura2.20. Condición de rotación en el par eje portaejes considerando el par de rodadura

PRoeLeMAS RESUELToS
2.1 . Sea un par plano elemental superior, que consisten en el contacto entre un palpador circular y una
suía rectilínea (téase la Figura 2.21).
Figura 2.21. Par plano.
a) Identifica las componentes de rozamiento máximo para las siguientes condiciones:

V¡, : 5 m/s
P: 5.000 N
o.¡r:0. 1 rad/s
d (material templado) : 0,01 mm
De estudios en el laboratorio se obtiene que, la elipse de contacto (real) tiene una longitud
de I mm.
l¿
1,0ó
0,75
0,50
0,25
5 101s Vrel {m/sl

Figura 2.22. Coeficiente de resistencia al deslizamiento.
b) Perpendiculamente al plano existe un carga de P Newtons que se aplica a una distancia de 0, I m

del punto de contacto. Calcula el valor máximo de P para evitar que el eslabón 2 pivote sobre el
punto de contacto.
Resoluctót¡
Las componentes de rozamiento son:
a) Rozamiento al deslizamiento: F,.,,-,7n.t¡ : lt.N
b) Resistencia a la rodadurtt @,u,1,,,t,,,,, - r) 'N
c) Resistencia al pivotamientoi @2i.ur,,,,, ¡n,,;,,, -- 0.093. p.l.N (Ley de Hertz)
@ ITES-Paraninfo
- j: i-:^.^.rq Pn mañiltnas
a) Rozamiento al deslizamiento: F,,,-.,¡",¡i
1,00
^7q
0.50
ñtA<-
5 1015 Vrel [m1s]
Figura 2.23. Obtención del coeficiente Figwa 2.24. Representación gráfica

de resistencia al deslizamiento. del vector normal.
V,,,,1^ : 5 m/s - l-L: .f (V) + ¡r : 0,35 N: 5.000 Newtons
[F------.-,.'|
l"_l
: o. 3 s . s.ooo : f-l-JJ o N I
b) Resistencia a la rodadurdt @,n,t,,,!,,,,.: ¿'N

d (material templado) : 0,01 mm N: 5.000 Newtons
l@;;;): o,or s ooo: f5o N ;--l

c) Resistencia al pivotamiento: O¡,r,.,r,u,, ,r,,,u
: 0,093 . p. l. N (Ley de Hertz)
A¡,ir,,ttu,,i,,,,rn: 0'093 ' lJ'l'N : 0'093'0,35' I '5'000
Qpit.xtntierro -- 162,74 N'mm
> 2.2. Se dispone de un par elemental, que consiste en un eje de radio 0,05 m y su correspondiente porta-
ejes como el de la Figura 2.25.8n un ensayo de arrancada se observa que, para un peso en el eje de
P : 5.000[N], en el instante de inicio de deslizamiento del eje sobre el portaejes, el ángulo que
forma la normal con la vertical es de g : 5".
a) Calcula el par de arancada.
b) Calcula el radio del círculo de rozamiento.
c) Calcula el coeficiente de rozamiento eje-portaeje.
I
I
j
I i
lP li
V
I
r¡
\:/
I
Figwa 2.25. Par elemental, eje-portaejes.
-i S- Paraninfo
Resoluclór.¡
a) Para poner en movimiento el eje utilizamos tn par M.. El punto de apoyo A entre el eje yel
portaejes se desplaza hacia la derecha.
El equilibrio se producirá cuando lo estén las fuerzas P y R,: con el par M..
Figura2.26. Equilibrio en el par.
P: Rt.: 5.000 N
donde r: radio del círculo de rozamiento
M.:P.r:5.000.r
b) Aplicando trigonometría al triángulo OAB
r: R. sen q : 0,05 . sen (5)
r: 4,36. 10 3 m así calculamos el apartado anlerior.
Mz: 5.000'4,36' rc 1
Mz: 21'79 Nm
c) El ángulo (p es muy pequeño

r : R.sen (p ! R.tg,p : R. p
l
r +,Jo. lu
' R 0,05
@ ITES-Paraninfo
En este capítulo...
3.1. lntroducción
3.2. Determinación de los Centros Instantáneos
de Rotación (ClR)
3.2.1. Teorema de los tres centros
3.3. Técnicas para la determinacion de velocidades
3.3.1. Método de las velocidades relativas
3.3.2. Método de proyección o componente axial
3.3.3. Cinema de velocidades. Homologías
3.4. Técnicas para la determinación de aceleraciones
3,4.1. Estudio de las aceleraciones relativas
3.4.2" Cinema de aceleraciones. llomologías ,
:';.,
.:;t,- ':t ,,.' ;.. . . . ,.'...;¡.,';;;,0;,,.]..rtt;*'':i'l i:;'l -"
'r. i ;,ri t,'.
"t,
GA
@ ITES-Paraninfo
êmaltca ae maqutnas
3.1. lrurnoouccróru
El estudio de la cinemática y dinámica de máquinas y mecanismos se fundamenta en la mecánica
del sólido rígido: Vectores Deslizantes Rotación, Teorema del Centro de Masas, Teorema del Mo-
mento Cinético, Teorema de la Energía Cinética. En el cálculo de fuerzas reducidas, se utilizará el
Principro de los Trabajos Virtuales.
Desde el punto de vista de la ingeniería, se frafará de hacer un planteamiento y uso de los Princi-
pios y Teoremas de la Mecánica que permita una fácil visualización del problema cinemático y diná-
mico en un instante dado. Se prestará especial atención al caso de mecanismos planos, pues debido a
su sencillez de diseño y análisis, permiten la realización de la mayoría de las funciones de las má-
quinas en la industria.
Se utilizarán técnicas vectoriales, gráficas y analíticas que permitan soluciones rápidas e intuiti-
vas del comportamiento de los mecanismos. En el estudio de los mecanismos espaciales, donde su
tratamiento y simplificación a mecanismos más sencillos no es posible, se deberán aplicar las técni-
cas genererles de análisis y modelado mecánico.
En las Figuras 3.1 y 3.2 se presentan las relaciones vectoriales en posición, velocidad y acelera-
ción de dos puntos de un sólido rígido A, B y la aplicación de las leyes de la mecánica del movi-
niento relativo usando los correspondientes sistemas de referencia fijo y móvil. Se toma como siste-
ma fijo el eslabón soporte del mecanismo en estudio y como sistema móvil es habitual tomar uno
posicionado en uno de los puntos del sólido rígido que se mueve rígidamente con él u otro también
Cinemática: velocidades
Pea ole5 é '¡'l -'
r FCUaClOneSClnemallCaOel : B. r_iqot'.,I.d)cR
novrm¡ento relatrvo para
un sistema fijo SFy un r' \ -r'{, I
sistem¿ móvil SN4. \ \ .r. \, ,
I.u*'I*,r. ¡1, =trs r/Fr¿/!.,r -tl, 1., ..
-*'l - -
.:
1,,, :11'{rr -rr''¡ ,,,,u, =(r
=;.;.-,i;,.*,i,,,f,,,,,,
Do., r' -L | ¡alo¿ sopo'e , Jl Si.l
...rr. t 5F
Figura 3.1. Relaciones vectoriales generales entre dos puntos de un sólido rígido,
sujeto a una rotación de velocidad angular r,-r y aceleración angular i.
Cinemática: velocidades
Relaciones vectoriales (A, B e a un sól¡do rigido SR)
rA -lg ' ¡8
J¡T
=n"-+ a x tlr*v*
cktt
", =tl¡tx(ntxr.-l+-xr,
'T '" 1¡'
lil
,. .d
-4o¡ -dcor¡ous
; = ó.r* :zá =rJ
"t;,
(Dado un SF, y un Sl\¡ asociado a un punto del SR y // al SF)
Figura 3.2. Relaciones vectoriales entre dos puntos de un sólido rígido,

sujeto a una rotación de velocidad angular ó y aceleración angular 7.
Cinemática de máquinas 49
f¡ado a uno de los puntos y que se mantiene en todo momento alineado con el sistema fijo. En
cualquiera de los casos se obtienen las mismas relaciones vectoriales entre velocidades y aceleraciones.
En el primer caso consideramos un sistema móvil en el punto B y ligado al sólido rígido, obser-
vamos que las componentes relativas y la aceleración de coriollis son nulas, quedando en las expre-
siones de la velocidad y aceleración únicamente las componentes de arrastre de la velocidad y de la
aceleración. Es fácil deflnir los vectores V,qny ds pertenecientes a la componente de arrastre como
la velocidad y aceleración de A sobre B y pueden calcularse como la velocidad y aceleración vir-
tual que tendría A al rotar sobre ^B con la velocidad angular r.L.r y aceleración angular i del sólido
r'ígido. Los mismos resultados vectoriales los podíamos haber encontrado con otro sistema móvil.
Lo anterior nos genera una forma de actuar a tener en cuenta, si calculamos velocidades debere-
mos considerar como muy importante la rotación alrededor del vector velocidad angular ó. Si esta-
rnos calculando aceleraciones deberemos poner la máxima atención sobre el eje de rotación alrede-
dor del vector velocidad angular iD como el correspondiente al vector aceleración angular ?.
Las velocidades y aceleraciones virtuales V¡s y d¡a serán utilizadas como herramienta funda-
mental para el análisis de mecanismos planos.
En este punto podemos considerar diversas rnaneras de entender en movimiento general de un
sólido rígido en el espacio y su particularización al caso de movitniento plano. Podemos analizar el
n-tovimiento instantáneo de un punto cualquiera B del sólido rígido en relación al movimiento instan-
táneo de un punto dado A del mismo sólido. También podemos visualizar el movimiento de todos
los puntos del sólido rígido en relación con algún punto singular del mismo. Las anteriores dos ma-
neras de visualizar el movimiento de los puntos del sólido rígido nos permiten una mayor compren-
sión del fenómeno del movimiento instantáneo.
Noueructntuna:
La nomenclatura utilizada a lo largo del capítulo es l;i siguiente:
Valores lineales:
i., vector posición de un punto A respecto a un sistema de ref'erencia fijo.
V^ vector velocidacl de un punto A respecto a un sistema de referencia fijo.
á.\ vector aceleración de un punto A respecto a un sistem¿r de ref'erencia fijo.
A': componente normal de la aceleración de un punto A.
ú'., componente tangencieri de la aceleración de un punto A.
l'u^ vector posición de B sobre A (posición de ^B respecto a un sistema de ref'erencia colocado en A).
in^ vector velocidad de B sobreA (posición de.B respecto a un sistema de ref'erencia colocado en A).
ci1¡,r vector velocidad de de B sobreA (posición de B respecto a un sistema de referencia colocado
en A).
Valores angulares:
aói Vector de velocidad angular cle un eslabón i.
t.í Vector de aceleración angular de un eslabón r.
MOVIMIENTO ENTRE DOS PUNTOS CUALQUIERA DE UN SÓLIDO NíCIOO
El estudio del campo de velocidades producido por un punto cualquiera B de un sólido rígido al
relacionarlo con la velocidad de un punto dado A y del análisis de las ecuaciones que relacionan dos
Duntos del sólido rísido se obtiene:
Vn: Vt * Von
O ITES-Paraninfo
_ ânaúca oe maqutnas
Un vector que es la velocidad del punto A, y podemos entenderlo como una traslación V,1.
- Un vector que calcula la velocidad del punto B sobre A al rotar sobre un eje con la dirección
- de la velocidad angular ó.
Luego, al relacionar la velocidad de un punto cualquiera B del sólido rígido con un punto A
clado, obtenemos que la velocidad del punto B genérico se obtiene como una superposición de
una traslación según la velocidad Vo más una rotación con velocidad angular ó alrededor del punto
claclo A, luo {t,ér,t, la Figura 3.3). En el caso de mecanismos planos Vu, se identifica de manera
clirecta con el vector velocidad de rotación de B sobre A, es decir, que se visualiza el movimiento de
rotación de B sobre A.
l--- - I
l' --.:"4"o"u
/z
/'_,/
of
tt/ Y
,/
Figura 3.3. Representación gráfica del vector V"o correspondiente a dos puntos A y B del sólido rígido,
afectado por la velocidad angular ó y aceleración angular i.
En el c¿rso del campo de aceleraciones no es posible definir de manera sencilla en el espacio un

movimiento que de lugar al campo de aceleraciones de cualquier punto B del sólido rígido en rela-
ción a la aceleración del punto dado A. Del análisis de las ecuaciones que definen la aceleración de
un punto B y A del sólido rígido se obtiene:
á6 : á¡ -l /tu^ con 7t0., : a'|u + r-t'ou
Un vector que es la aceleración del punto A, y podemos entenderlo como una traslación de
- aceleración la de A, d^.
Un vector que calcula la aceleración de cualquier punto B del sólido rígido sobre el punto
- dado A, pero con las siguientes componentes:
¡ Un vector con formato de aceleración tangencial del punto B sobre A, obtenida al rotar
sobre un eje de dirección la de la aceleración angular instantánea d del sólido rígido y que
pase por el punto A, á'o^.
. Un vector con formato de aceleración normal del punto B sobre A al rotar sobre un eje de
dirección la velociclad angular instantánea ó del sólido rígido y pasando por el punto B,á"uo.
Luego, al relacionar la aceleración de un punto cualquiera B del sólido rígido con un punto A
daclo obtenemos que la aceleración del punto B genérico se obtiene como una superposición de una
traslación de aceleración do más dos aceleraciones producidas por movimientos de rotación alrede-
rlor de a y i-.La aceleración debida a la rotación de magnitud ó alrededor del punto dado A genera
una aceleración con fbrmato de aceleración Zi'j. ("semi-rotación> normal) y otra aceleración de mag-
-lS-Paraninfo
nitud t
alrededor del punto dado A genera una aceleración con fbrmato de aceleración tangencial Z!.0
(.semi-rotación> tangencial, t:éase la Figura 3.4). En la Figura 3.5 se presenta el esquema completo
de los vectores cinemáticos involucrados al relacionar el estado cinemática del punto A y B del sóli-
do rígido (t:éase la Figura 3.5).
ctAp
i l
Figura 3.4. Representación gráfica del vector á"o correspondiente a dos puntos Ay B del sólido rÍgido,
afectado por la velocidad angular ó y aceleración angular -.
_:\ ú)Ap
toh(crinp
--_t**-
-(,)2d
Figura 3.5. Representación gráfica conjunta del vector VroYá"ocorrespondientes a dos puntos Ay B del
sólido rígido, afectado por la velocidad angular ó y aceleración angular i.
MOVIMIENTO DE LOS PUNTOS DE UN SÓLIDO RÍGIDO

En el caso clel estudio de las velocidades de los puntos de un sólido rígido se vio la naturaleza del
campo cle velocidacles como una rotación alrededor de un punto dado con eje la dirección de la
velocidacl angular y superpuesto a una traslación según la dirección de la velocidad del propio punto
dado. Se puede demostrar por la aplicación de la teoría de los vectores deslizantes que existe una
recta denominacla eje central cuyos puntos tienen velocidad mínima y constante. Entonces, si estu-
diamos el campo de velocidades alrededor del eje central obtenemos de manera natural un movi-
miento helicoidal instantáneo alrededor que nos da en primera aproximación el movimiento real del
sólido rígido en estudio compatible con el campo de velocidades.
@ ITES-Paraninfo
J temática de máquinas
Para el caso clel campo de las aceleraciones de los puntos de un sólido rígido la existencia de los
vectores velocidacl y aceleración angular, que en general no son colineales, no genera una supelposi-
ción de movimientos simples, por lo que no podemos visualizar un movimiento de naturaleza pareci-
da al helicoidal como se vio para el caso del campo de velocidades; esto nos indica que la aproxirna-
ción a un movimiento sencillo del sólido rígido que sea compatible a la vez con los campos de
velocidades y aceleraciones, en un instante dado, no es en general posible.
Se observa tácilmente que la componente con fbnnato de aceleración tangenciill no es paralela ir
la velocidad riel punto, mientras la componente con fonnato de aceleración normal está dirigida per-
pendicularmente a la velocidad angular.
Aouí. deberíamos ref-erirnos a los estudios del movimiento del triedro intrínseco sobre la trayec-
tori¿r cle un punto genérico del sóliclo rígido y recordar que en general el movimiento de rotación de
este triedro tiene dos componentes: una rotación según la curvatura nonnal y una torsión alrededor
del vector tangente.
Para el estudio cle la cinemátlca de mecanismos, y dada la naturaleza compleja de análisis del
cas¡ espacial del movintiento del sólido rígido, tomará gran interés el uso de mecanismos que desa-
rrollen su movimiento en un plano de trabajo fijo. Para este caso, se podrá simplificar el campo de
velocidades y aceleraciones a movirnientos de traslación y rotación alrededor de puntos singulares
(CIR centro instantáneo de rotación o polo de velocidades y 0 polo de aceleraciones). Es de destacar
que el campo de aceleraciones no es un campo de momentos (vectores deslizantes).
En el caso de movimientos en el plano las direcciones de los ejes de rotación para la velocidad
angular r,.r y la aceleración angular z coinciden, con lo que se visualiza meior la obtención de los
campos de velociclades y aceleraciones. El carnpo de velocidades se obtiene colrio una rcltación de
valor rrr alrededor del punto CIR de velocidad nula. El campo de aceleraciones se ohtiene como una
rotación de valor r,-l y z alrededor del punto Q de aceleración nula.
De toclo lo anterior poclemos concluir que el campo de aceleraciones no es un clmpo de momen-
tos (vectores cleslizantes), aunque sí podremos utilizar fbrmulaciones usadas para el campo de velo-
cidades con los debiclos ajustes. En la cinemática de los mecanismos se estudia la geometría dei
movimiento de los esl¿rbones sin atender a las causas que lo proclucen. Ell este capítr,rlo se estudiarán
los principios básicos para el cálculo cinemático y dinárnico por métodos gráficos para una posición
clacla clel mecanisnro. es decir. no se considerará su evolución en el tiempo.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA CINEMÁTICO
En el análisis de mecanisntos planos, el estudio cinemático consiste en obtener la velocidad y acele-

ración cle todos los puntos de interés del mecanismo para una posición y geometría conocida del
nrismcl. Así, todo punto cle un eslabón perteneciente a un rnecanismo se considera que. en un instante
d¿rclo. tiene un movimiento circular alredeclclr de un punto denominado Centro lnstantáneo de Rota-
ción (ClR) o polo cle velocidacles. Con esta suposición, la velocidad del punto será perpenclicular al
radio de giro, es decir, al segmento que une el punto con el CIR (¿'¿tr¡.s¿ Figura 3.6).
3.2. DerenulNActóN DE Los cENTRos lNsrANTÁNEos

DE ROTACTÓN (ClR)
Los campos de velocidades de interés en el estudio cinemático de mecanismos son:

Los campos de velocidades absolutas de los puntos del eslabón'
- Los campos de velocidades relativas. Si entre todas las postbles nos interesan los col'respon-
- dientes a los movimientos relativos entre parejas de eslabones del mecantsmo.
-l S-Paraninfo
Movimiento general de un sólido rígido
. El sistema de referencia (SF) es fijo
\''r,:\',r+rr-lnOP
tiempo (t)
Fígura 3.6. Representación gráfica del campo de velocidades en un eslabón plano,

afectado por la velocidad angular d.
Una vez seleccionado el campo de velocidades a estudiar, por las propiedades del campo de mo-
mentos producido por la rotación ó, podemos calcular el eje central del sistema de rotaciones qtte
están aplicaclas al eslabón y, por tanto, el punto del eje en el plano que, por pertenecer al eje de
velociclacles mínimas y pertenecer a un eslabón que sólo evoluciona en el plano de trabulo. se con-
cluye que dicho punto tiene velociclad nula en el instante considerado; a partir de ahora lo denomina-
remos corno centro instantáneo de rotación CIR del eslabón o polo de velocidades 1.
En el montaje de cada mecanismo existe un eslabón denominado soporte que está anclado al
sistem¿r de ref'erencia fijo o tierra, se suele nombrar como eslabón número L Al existir un punto de
velocidad nula para cada eslabón del mecanismo y para el caso de campos de velocidades absolutas
cle cada eslabón, medidas respecto al eslabón soporte, la nomenclatura que seguiremos para nombrar
el CIR del eslabón i-ésimo será f, y se denomina centro instantáneo de rotación absoluto del
eslabón i. Un mecanismo de ¡r eslabones tiene n - I CIR absolutos.
En el caso de analizar campos de velocidades relativas a un eslabón diferente al eslabón soporte
o tierra, la nomenclatura a utilizar para nombra el CIR del campo de velocidades relativas entre el
eslabón i-ésimo y.7-ésimo será 1,,. Se observa que los CIR relativos entre dos eslabones dados son
idénticos, I,¡ : I¡.¡,ysedenominacentroinstantáneoderotaciónrelativodel eslabóni respectoal j
o a la inversa.
El proceso cle determinación de todos los centros instantáneos de rotación de un mecanismo es el
siguiente.
1. Determina el número de eslabones del mecanismo.

2. Calcula el número de CIR's presentes. Para ello se utiliza la f-órmula combinatoria, que rela-
ciona todos los eslabones entre sí dos a dos, donde ly' es el número de eslabones:
' /N\
tl<rR:Cl:(t,|
¡/.(N r)
\-,/ 2
3. Determina los CIR inmediatos. Algunos centros, debido a su propiedad de velocidad nula,
son sencillos de determinar, simplemente observando el mecanismo. Es el caso de manivelas
y puntos de unión en pares cinemáticos de rotación y traslación. A continuación, en las Figu-
ras 3.7 a 3.11, se presentan algunos ejemplos típicos.
@ ITES-Paraninfo
_ ânailca ae maqutnas
4. Por último, determina los CIR restantes aplicando el teorema de los tres centros, o teorema
de Kennedy.
En el caso de la Figura 3.7 el punto de unión entre la manivela y el eslabón tierra es el único de
relocidad 0 para el eslabón 2, por lo que será el CIR 1'r o 1''.
Figura 3.7. CIR relativo entre man¡vela y eslabón tierra.
En el caso de la Figura 3.8, se evalúa la velocidad que tendría uno de los eslabones, por ejemplo
el eslabón 2 si el otro (el 3) no se moviera. En ese caso, el comportamiento es como el anterior. Una
manivela conectada al eslabón tierra. El punto de unión entre los dos eslabones será el CIR 1rr.
Figura 3.8. CIR relativo en un par de rodadura.
En el caso de la Figura 3.9, el CIR se encuentra en el punto de contacto con el eslabón tierra.
Esto es debido a que en un pil de rodadura se conoce que la velocidad en el punto de contacto es la
misma en ambos eslabones. y/,(l) : V,,,(.2) y todos los puntos del eslabón 1 tienen velocidad cero.
Por tanto, también lo tendrá el punto en el eslabón 2. El punto 02 no es un CIR puesto que tiene
velocidad de traslación.
Figura 3.9. CIR relativo en un par de rodadura con el eslabón tierra sin unión física.
Cuando se trata de pares de un grado de libertad con deslizamiento, como los presentados en la
Figura 3.10, el CIR relativo se encuentra en el inflnito (ya que el movimiento es de traslación, es
decir. rotación con radio infinito) y en la dirección perpendicular al deslizamiento.
-:S-Paraninfo
lrz (co)
Figura 3.10. CIR relativo en un par de deslizamiento.
En el caso de pares superiores, la única información relativa al CIR es que éste se encuentra en
la tangente de contacto (t'éuse Figura 3.11).
Lrna recta perpendrcular a
El cir lz: s€ encuentra en la recta

perpendicular a la tangente de
¡6¡oz
7nm
o
Figura 3.11. CIR relativo en un par superior.
3.2.1. TeOReMA DE LOS TRES CENTROS
El teorema establece que para tres eslabones cualesquiera de un mecanismo los tres centros instantá-
neos relativos dos a dos entre eslabones están alineados.
Sean A. .8, C tres eslabones de un mecanismo,
La demostración del Teorema de Kennedy se hace al estudiar las posiciones relativas de los cen-
tros relativos entre los tres eslabones y las velocidades relativas que existen entre ellos. Considere-
rnos los puntos A.O y I de la Figura 3.12, siendo:
A, el centro relativo entre el eslabón A y B.

C, el centro relativo entre el eslabón A y C.
E. el centro relativo entre el eslabón C y B.
Si nos fijamos en la propiedad de CIR relativo del punto I entre los esl¿rbones C y B, y si anali-
zamos las propiedades de las velocidades relativas entre los puntos Ir, [u, [16, se concluye que: el
punto !, se mueve con la misma velocidad relativa respecto al E¡ y al Ic, es decir las velocidades
relativas del punto I,, respecto al punto E¡ y la velocidad realtiva del punto I¡ respecto al punto
E¿.son paralelas, es decir el ángulo a de la Figura 3.12 es llano (rc radianes). Lo anterior nos pennite
comprobar que los tres puntos centro relativos A, C y E están alineados.
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C nemática de máqu¡nas
-^9
Figura
nAr
3.12. Disposición de los CIR relativos entre eslabones'
La anterior propieclad es de suma importancia, pues nos permite localizar lugares geométricos de
los CIR relativos entre tres eslabones cualesquiera. Srendo de suma utilidad cuando nos interesamos
por el cálculo de un CIR relativo entre clos eslabones dados y conocemos los CIR's relativos con uno
tercefo.
Ejemplo de aplicación
Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.13:
ooc
Figura 3.13. Mecanismo cuadrilátero articulado'
Resolucrór.r
Se realizarán los siguientes pasos:
1. Determinar el número de eslabones del mecanismo.
N: ¿l
2. Calcular el número de ClRs presentes: para ello se utiliza la tilrmula combinatoria, que rela-
ciona todos los eslabones entre sí dos a dos.
/4\ 4.t4 Il
nctn:ci:(,)-- ,-:6cIR
3. Determinar los CIR inmediatos:
Éstos sorl los que aparecen en la Figura 3.14.
Los CIR inmediatos son: 112, Ir, 131, I1t.
Figura 3.14. CIR inmediatos.

i,
-!S-Paraninfo
Cinemática de máouinas 57
4. Los dos que quedan se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Para ello se construye
una figura geométrica inscrita en un círculo con tantos vértices como eslabones tenga el me-
canismo y se unen los vértices dos a dos, con los CIR inmediatos, como aparece en la Figu-
ra 3.15 en la parte derecha del mecanismo.
El resto de los CIR se obtienen cerrando los triángulos dos a dos, así por ejemplo, el CIR 1'., se
encuentra alineado con los CIR /12 e In, ! también se encuentra alineado con los CIR 111 e 1,r.,. Así,
1,., está en la intersección de las dos rectas (r'áase la Figura 3.15):
,'
1rr 1
f
1,J,.
t1'*1*,
Fl,.
eeo
Figura 3.15. Cálculo del CIR /.,..
El CIR 11. se encontrará en la intersección de las dos rectas marcadas en la Figura 3.16:
(L.1,,
1.,<
'-
'' '-
11.¡1,-t
F¡.
'.. l:o B
ee o
Figura 3.16. Representación de los CIR del mecanismo
@ ITES-Paraninfo
'e-ática de máqu¡nas
3.3. TÉCmCnS PARA LA DETERMINACIÓN DE VELOCIDADES
El planteamiento del cálculo clel campo vectorial de velocidades de un eslabón cualquiera, de un

¡tecanismo. ha sido visto cn la introclucción. A continuación vamos a particularizar su cálculo al
caso cle mecanismos planos y presentar varias técnicas gráficas y vectoriales que pennitan el cálculo
cle la velocidad cle cualquier punto del eslabón considerado. Para ello usaremos los conceptos de:
rotación, ClR, proyecciones, homologías, etc.
3.3.1. MÉIOOO DE LAS VELOCIDADES RELATIVAS
Puntos sobre el m¡smo sólido rígido

Sean A y B dos puntos pertenectentes a un mismo eslabón y sea conocida la velocidad de uno de los
puntos (el punto A, uéase Figura 3.17). La velocidad del punto B es igual a la suma de la velocidad
del punto A más una velocidad clenominada de A sobre B, muchas veces nos referimos a esta veloci-
dad como <velocidad relativa>. Por ello:
i':i'tin'
ilonde %.. es la velociclad que tendría B si A fuera fijo. Entonces B rotaría sobre A con raclio BA y
con una velocidad ¿tngular igual a la de rotación del eslabón r,-¡. Por lo tanto:
lÚn,tl
: BA
''''
su dirección es perpenclicular al radio de giro, segmento AB, y el sentido es el marcado por la veloci-
clad angular. De esta manera se pueden obtener los valores de velocidad de puntos pertenecientes a
un eslabón conociendo uno de los puntos de ese mismo eslabón'
La resolución puede obtenerse de fbrma gráfica, aprovechando la representación gráfica de la
suma cle dos vectores, que fbrman un triángulo. Es habitual resolver problemas donde se conoce uno
de ellos y la dirección de los otros dos. Véanse más adelante las técnic¿ts gráficas (Cínema de veloci-
dades).
Figura 3.17. Aplicación gráfica del método de velocidades relativas'
Puntos sobre diferentes sólidos rígidos

Si estudiamos la relación que existe entre dos puntos situados en dos sólldos rígidos dif-erentes. de-
beremos aplicar la ecuación vectorial corresponcliente a la cinemática del movimiento relativo:
- ! S- Paran i nfo
Anteriormente se clefinió para el caso cle relacionar dos puntos en un mismo sólido rígido el
concepto cle velocidad de un punto sobre otro Vu,.,, doncle se utilizaba el vectot'velocidad angular del
sóliclorígido involucrado para definir el movimiento de rotación virtual de un punto sobre el otro, se
utilizaba un sistema móvil enclavaclo sobre el sóliclo rígido y en uno de los puntos a relacionar. En el
caso que estamos estucliando, cloncle tenemos clos puntos pero en sólidos rígidos dif'erentes. se deberá
seleccionar un sistema móvil ligado a uno de los sólidos rígidos y en uno de los puntos considerados.
Del análisis de la expresión cinemática resultante:
Ío:Ín+io^+ino,
se observa que la expresión es más compleja y abandonamos el triángulo vectorial.
Del estudio de los mecanismos planos y de los pares cinemáticos usados habitualmente observa-
mos que hay dos pares fundamentales: el par de traslación (guía - deslizadera) y el par cle rotación
(articulación), que son los que conectan cada pareja de eslabones.
La técnica de análisis cle mecanismos a usar consiste en analizar eslabón a eslabón y desde cada
eslabón analizaclo y resuelto pasar al que forma par cinemático con é1. Lo que nos es necesarto es
una técnica que conecte las características cinemáticas de los puntos en contacto de un par cinemáti-
co. Si aplicamos la ecuación hallada anteriormente particulariz¿rndo para el caso que el punto B del
sólido rígido i esté en contacto con el punto A del sólido rígido .7, se obtiene que el vector Vnn se
anula, pues al ser A origen del sistema móvil ligado al eslabón j el vector r se anula, quedando la
expresión reducida a
lo-Úr-Úno,
si reinterpretamos el f'actor Von. como Vo,r la expresión a aplicar tiene el mismo fbrmato que la
aplicable cuando los puntos A y B pertenecen al mismos sólido rígido o eslabón. Esta ecuación se
aplica en el caso cle cálculo de velocidades en pares de deslizamiento haciendo posible la obtención
del valor cle velociclad de un punto de una corredera a partir de la velocidad de un punto pertenecien-
te a la guía sobre la que ésta desliza mediante el conocimiento de la dirección de la velocidad relativa
en el par cle cleslizamiento (la tangente a la guía), esta consideración sirve para cualquier tipo de guía.
3.3.2. MÉIOOO DE PROYECCIÓN O COMPONENTE AXIAL
El métoclo se basa en la condición de sólido rígiclo. Las proyecciones de los vectores velocidad de
dos puntos clel mismo eslabón sobre la línea que los une deben ser idénticas.
Sean A y B dos puntos del eslabón representado en la Fi-qura 3.18la condición de sólido rígido
garantiza que la distancia entre los dos puntos se mantendrá constante durante todo el mrlvimiento.
Si AB- : cte. entonces:
(v)¡n: (.vilrc
Figura 3.18. Aplicación del método de la proyección para un eslabón genérico'
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-=-alica de máquinas
.\sí. dada una velocidad en un punto del eslabón, y conociendo la dirección del vector velocidad en
otro de los puntos (a partir, por ejemplo, del CIR) es posible determinar el valor de su módulo en ese
ú1timo punto.
3.3.3. Clneun DE vELoclDADES. Holvlol-ocíns

de los
E1 cinema de velocidades de un eslabón representa el lugar geométrico de los puntos extremos
yectores velocidad de todos los puntos del eslabón posicionados sobre el CIR del eslabón. Aun cuan-
para posicio-
do existe un cínema de velocidades por eslabón, es habitual utilizar un punto arbitrario
nar todos los cínemas de velocidades.
El cinema se obtiene llevando todos los vectores velocidad a un punto elegido arbitrariamente
que se denomina polo de velocidades. El polo de velocidades representa todos los puntos de velocidad
..ro. pot. tanto coincide con los centros instantáneos de rotación absolutos de todos los miembros'
Propiedades del c¡nema de velocidades

del
1. Entre un eslabón y su cinema existe una relación de homología, que es la velocidad angular
mismo.
2. El cinema de velocidades de un eslabón está escalado (propiedad I ) y girado 90o en el sentido
de la velocidad angular.
El cínema de velocidades es muy útil para calcular la velocidad de cualquier punto del eslabón
ángulos
considerado, pues utilizando las propiedades geométricas de la homología: conservación de
y proporciones, es de gran sencillezpasaÍ desde el eslabón del mecanismo al cínema y viceversa'
Existen más técniás geométricas para el cálculo del campo de velocidades, pero las anterior-
mente citadas se considerarán suficientes para la resolución de los problemas en el plano. A
conti-
nuación se resuelve el campo de velocidades de un cuadrilátero articulado.
Ejemplo de aPlicación
En el mecanismo de la Figura 3.19, calcular el número de grados de libertad, las velocidades de
los
puntos más representativos, así como la velocidad angular de los eslabones.
: OP^:150 w :7e,31 cm
OA:60 cm AB 120 cm cm
Figura 3.19. Cuadrilátero articulado.
-l S- Paran rnf o
Resoluclór.r
Para la resolución del cinema de velocidades es necesario conocer y distinguir cada uno de los esla-
bones que forman el mecanismo, así como los pares cinemáticos que unen los eslabones entre sí.
1. Número de grados de libertad:
Aplicando la fórmula de Grübler
G :
- 2..ft ft
3.(¡/ - 1)
donde: ¡/:4, .ft:4,.f2: O, por tanto @:: .(4 - l) - 2.4 - 0: E

E,s un rnecanismo desmodrómico.
El análisis de velocidades se realizará eslabón por eslabón y se analizarán los contactos entre los
eslabones.
Eslabón 2: se trata de una manivela; las ecuaciones que gobiernan su velocidad son:
liol: c,t. O.A : (10 rd/s).60 cm : 600 cm/s

dirección L 04
sentido, acorde con (r)l
valor de velocidad se dibuja sobre un punto fijo (en la Figura 3.20), que se llamará 'o' y que
E,ste
será el punto de aplicación de todos los vectores de velocidad absoluta. Al extremo del vector velo-
crdad se le asigna el punto d, que es homólogo al punto A del mecanismo original.
Figura 3.20. Velocidad del punto A.
Eslabón 3: se trata de una biela. Dado que la velocidad de uno de sus puntos es conocida, puede
calcularse la velocidad de otro de los ountos oor medio de la ecuación de velocidades relativas:
vu-vrlvo^
-
conocida
I lionl
:,,,.. AB : (?). 120 crn :'l cm/s
v0,,1 dir, - AB
t sentido, acorde con r.,rj ('l)
LAB,,,
,,.
o
Figura 3.21. Representación gráfica de la ecuación.
O ITES-Paraninfo
Y
- êmailca oe maqutnas
Esta ecuación puede plantearse gráficamente añadiendo la infbrmación conocicla del vector 7o,
a continuación del vector Vo ya dibujado en el cinema.
Como no es posible obtener más información sobre la velocidad del punto B en el eslabón 3, se
estudiará el siguiente eslabón.
Eslabón 4: se trata de una manivela, las ecuaciones de velocidad son las mismas que las utiliza-
clas para el eslabón 2.
lVol: o4 W : (? rd s t.19.31 cm : 'J cmis
dir. L O^B
sentido, acorde con rrr.* ('l)
Del eslabón 4 se obtiene como información la dirección del vector velocidad del punto B. Al ser
un vector de velocidad absoluta, su punto de aplicación se encontrará en el punto ¿., del cinema.
U: Iv* !'t
LtlA conocicla fAB
En la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto b homólogo a B del mecanismo.

El ounto ó marca el extremo del vector velocidad.
IO+B
\,2
\a/, .,'
IAB "'
Figura3.22. Representación gráfica de la ecuación.
El valor de la velocidad se obtiene midiendo directamente del cinema de velocidades en Figu-

).1-'r.
IO¿B
/Lns
Figura 3.23. Obtención en el cinema del punto homólogo a B.
-lS-Paranrnfo
Así. el cínema de velocidades de cada uno de los eslabones (representados en la Figura 3.24) se
representa en la Figura 3.25. Observe cómo los cinemas de cada eslabón se encuentran girados
90" respecto a los eslabones.
¡lO+B
Figura 3.24. Mecanismo original. Figura 3.25. Cinema de velocidades equivalente.
Para calcular las velocidades ansulares de todos los eslabones. se utilizarán las velocidades li-
neales:
lor:l : 10 rd¡'s
dir. I plano E: vl
AB
200 cm¡s
120 cm
: [1,66
'dC
sentido antihorario dir. I plano
sentido antihorario
el valor de la velocidad de B respecto A se obtiene del cinema (Figura 3.26'¡ y su sentido de la

dirección de velocidad relativa (en la Figura3.27).
¡IOaB
Figura 3.26. Obtención, a partir del cinema, Figura3.27. Determinación de la dirección

de la velocidad relativa entre los puntos A y I del vector velocidad anoular del eslabón 3.
del eslabón 3.
@ ITES-Paraninfo
-:-¿itca de maquinas
Ície-.on el valor de la velocidad angular del eslabón 4 (en las Figuras 3.26 y 3'28)
lr/|
lvBl 529 cmis

-r o.rB 19,31 cm
dir. I plano
sentido horario
Figura 3.28. Determinación de la dirección del vector velocidad angular del eslabón 4.
3.4, TÉCuCnS PARA LA DETERMINACIÓN DE ACELERACIONES
para poder estudiar las aceleraciones de un mecanismo es muy importante tealizar correctamente el
estudio clel campo de velocidades del mismo. Así, por ejemplo. será conveniente conocer el valor
cle: las velocidades angulares de todos los eslabones del mecanismo o los cínemas de velocidades
de
los diferentes eslabones del mecanismo.
En el caso más sencillo cle una manivela como la presentada de la Figura 3.29, el punto A perte-
neciente al eslabón 2 tiene un movimiento circular alrededor del punto fijo O2. Por tanto. la acelera-
ción del punto A es la suma vectorial de dos componentes, la componente normal y la componente
tangenciáI, obtenidas de las componentes intrínsecas de la trayectoria circunferencial
0^:
--ti,-¡ LtÁ -t LIA
o
Figura 3.29 Manivela.
Paran i nfo
. Componente normal:
t/ t-
- Módulo: ,a'\l - :+
- ,',: O,A orA
Dirección: paralela a la dirección del radio de giro > O4
- Sentido: siempre hacia el centro de giro - de A a 02
-
o Componente tangencial:
- Módulo: lti'o : , O¡
Dirección: perpendicular a la dirección del radio de giro > L O2A
- Sentido: acorde con la aceleración angular
-
La aceleración del punto A se obtiene mediante la suma vectorial de ambas componentes como
aparece en la Figura 3.30.
En el ejemplo anterior del cálculo de las aceleraciones en una manivela ha sido obtenido de la
rutina habitual del estudio del movlmiento circular. En el caso del movimiento de eslabones con
traslación el cálculo del campo de velocidades es inmediato. En el caso general del movimiento
IOzA
\A
Figura 3.30. gráfico de la aceleración del punto A
instantáneo de un eslabón con traslación y rotación, el cálculo del campo de aceleraciones no es

inmediato y tenemos que aplicar la cinemirtica del movimiento relativo. Al inicio del capítulo se
obtuvieron las relaciones generales que relacionan las aceleraciones en dos puntos dif'erentes de un
mismo sólido rígido 7ts:dts * Zr, según el sistema móvil seleccionado, el término vectorial d,g
tendrá una interpretación diferente. En el caso de realizar los cálculos respecto a un sistema móvil
ligado al sólido rígido en estudio en el punto B laáô coincidirá con la áoor-.
dr''¡
át:do+7i x (aó xl'Ail * ".7AB+aREr.*ácoo,r,t,ts
¿,
ó: Ó, árr,* ,ur,r: 2'ut . 2., : o
En el caso de considerar un sistema móvil ligado al punto B del sólido rígido pero manteniéndo-
se paralelo en todo instante al sistema fijo la duu coincidirá con la expresión vectorial
daó
ax(aixv¡)* **r^,,
@ ITES-Paraninfo
66 Cinemática de máquinas
Esta expresión vectorial es fácil de interpretar para el caso de un eslabón sólido

rígido de un l-neca-
nismos plano. El primer sumando es un vector con formato cle aceleración normal, el
segundo sr"r-
mando es un vector con formato de aceleración tangencial'
á,t: átrs + AB + do* I d.uo,,,r,t

i,,t : O. dnrt : 0. d,,,R ,,,, ,., - o
Lo importante de la última expresión es la interpretación análoga al caso del estudio del campo
de velocidades. En el caso cle aceleraciones, para relacionar las correspondientes a dos puntos del
mismo eslabón sóliclo rígido. utilizaremos el mismo esquema conceptual; la aceleración de un punto
A se puecle calcular a partir de la del punto ^B por intermedio de una aceleración Z,o que consiste en
la conespondiente a la que obtendríamos si consideráramos la rotación de A sobre B con la veloci-
clad y aceleración angular del sólido rígido, concluyéndose que:
Para dos puntos A t- B pertenecientes a un mismo eslabón:
t'^: ttû * Vo
Ú^: vô -l vo
7i^-iiûláo
Las anteriores expresiones nos permiten visualizar el movimiento general de un eslabón plano
como una superposición de traslaciones y rotaciones, en definitiva una suma de rotaciones.
De manera análoga al caso del campo de velocidades podemos localizar un punto Q, denomina-
do polo de aceleraciones, con aceleración nula. Lo cual nos permitirá referir el cálculo de las acele-
raclones absolutas al movimiento de cualquier punto del eslabón sólido rígido a una rotación virtual
del punto alrededor de Q con una velocidad y aceleración angular la del sólido rígido.
En el caso del movimiento en el espacio del sólido rígido la interpretación se complica debido a
que en general el vector rotación y el vector aceleración angular tienen direcciones diferentes. En el
aso del campo de velocidades es completamente generalizable desde el estudio del carnpo plano; en
el caso clel campo de aceleraciones el vector ñ,ro tiene un significado que no concuerda con la rota-
ción pura alrededor de un eje.
3.4.1. ESTUDIO DE LAS ACELERACIONES RELATIVAS
De toclo lo anterior podemos concluir con la técnica denominada de las aceleraciones relativas.
donde a partir del estuclio gráfico cle la expresión que relaciona las aceleraciones absolutas de dos
puntos de un sólido rígido en el plano podemos formar un triángulo a partir del conocimiento del
vector aceleración de un punto y obtener el de otro punto cualquiera si conocemos las direcciones
cle los otros dos vectores. Habitualmente. conocemos la dirección de uno de los vectores incógnitr
y parte clel vector aceleración de A sobre B: de este vector siempre es calculable la componente
normal a partir cle la información del campo de velocidades y la componente tangencial siempre se
mantiene perpendicular a ella. creando un lugar geométrico de puntos que verifican la condición
geométrica de triángulo. Necesitaremos un análisis de los pares cinemáticos que concurren en el
punro en estudio para lograr otro lugar geométrico que por intersección nos genera la soluciór
bu scada
. ITES-Paraninfo
En sistemas de referenc¡a fi¡os

E,s clecir. para puntos pertenecientes a un mismo eslabón
rR: rA Í rBA
/d\
f; l-VB--V^+VRA
\ur /
(i,) - á6 : án -l ao^
donde d^ es la aceleración cle un punto conocido del eslabón. y Zuo es la aceleración que tienen el
punto B sobre A, es decir, como si el sistema de ref-erencia estuviera colocado en ese punto. En estas
iircunstancias, el eslabón se comportaría como una manivela, considerando que el punto ,B se en-
cuentra giranclo con un movimiento circular alrededor del punto A
únr: o"no - o'ro
La aceleración de B sobre A (habitualmente se la suele denominar relativa) es la suma de dos

vectores:
1L'Ln. cuvo módulo es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad angular,
- í1;,rl : i,t' .nl la dirección es la clel radio de giro, es decir paralela al segmento BA, y su
sentido va del punto B hacia el centro de giro (que en este caso es el punto A)'
á'u^, cuyo módulo es directamente proporcional a la aceleración angular, lá'nol: r'.BA; su
- dirección es perpendicular al radio de giro (BA) y su dirección debe ser acorde con la direc-
ción del vector aceleración angular.
En sistemas de referencia móviles:

Este caso se considera cuando se pretencle calcular la aceleración de un punto a partir de otro
que se
encuentra en un eslabón distinto

io: Ío * 7oo
/ d\
( , l- Vn: V,q f Vt,,,
\dr /
(*)- án: á¡ + ABA + 4,,,,
Cuando existe un par de cleslizamiento entre clos eslabones aparece un término nuevo en la ecua-
ción. consecuencia del movimiento de los sistemas de referencia denominado aceleración de corio-
llis. el valor de este vector en el plano es:
Móclulo: lri,,,,l : 2' t't,' lÚ uo1
La dirección es perpendicular al vector i u^. y el sentido se obtiene aplicando la regla de la mano
derecha al producto vectorial á.,,,: 2.(it, * io,i.., siendo ó,. la velocidad de rotación del sistema
de
referencia móvil (al que pertenece el punto A)'
En este caso, no se mantiene la analogía con las relaciones de aceleraciones entre dos puntos del
sólido rígido. En este último caso, relacionar las aceleraciones entre dos puntos de contacto del
par
cinemátióo en estudio, se observa la aparición de un nuevo término: la aceleración de coriollis. Este
O ITES-Paraninfo
I
j êmática de máquinas
nuevo término complica el análisis gráfico, ya no es posible usar un triángulo vectorial. Sin embar-
go, dado que depende únicamente de términos de velocidad, si el campo de velocidades ha sido
resuelto previamente, este vector será siempre calculable. El vector d6o se interpretará como una
aceleración relativa.
3.4.2. Crrueul DE AcELERAcIoNES. Horvlol-ocíAS

Vamos a generalizar el concepto de cínema anteriormente estudiado para las velocidades al caso del
campo de aceleraciones de un sólido rígido eslabón. El cinema de aceleraciones de un eslabón repre-
senta el lugar geométrico de los extremos de los vectores aceleración absoluta de todos los puntos
del eslabón. El cinema se obtiene mediante la composición de todos los vectores aceleración unien-
do los puntos de aplicación en un único punto que se denomina polo de aceleraciones. El polo de
aceleraciones representa a todos los puntos de aceleración cero, y no guarda ningún tipo de relación
con el polo de velocidades o centro instantáneo de rotación.
Propiedades del c¡nema de aceleraciones

1. Entre un eslabón y su cinema existe una relación de homología.
2. El cinema de aceleraciones de un eslabón está escalado (propiedad 1) y girado respecto al esla-
bón dado.
Del análisis del campo cle aceleraciones correspondiente a una manivela (véase la aplicación an-
terior) se puede obtener que la razón de homologla tiene un valor r/r2 + r,ta y una rotación en el
sentido de la aceleración ángular de n - arctg(alo2'¡. De manera similar al caso del cínema de velo-
cidades, del conocimiento de las aceleraciones absolutas de dos puntos diferentes de un sólido rígido
en un plano podemos obtener la de cualquier otro punto por aplicación directa de una homología
desde el mecanismo al cínema o viceversa, ya que aprovecharemos las propiedades de conservación
de ángulos y proporciones en toda homología.
3. A partir del cinema de aceleraciones de un eslabón se puede obtener por homología el punto de
aceleración nula Q del eslabón.
El mecanismo de la Figura 3.31 es el cuadrilátero articulado cuyas velocidades fueron estudiadas en
el ejemplo de aplicación anterior. Calcular las aceleraciones de los puntos más representativos, así
como la aceleración angular de cada uno de los eslabones.
OzA:60 cm ln: nO c^ OzOc: 150 cm
Resolucrót¡
Para el cálculo de las aceleraciones utilizaremos el método de las aceleraciones relativas, apoyándo-
nos en el cinema de aceleraciones. Así,
o Eslabón 2: MANIVELA
(w;t : ai.Aor: 1t0 rd/s)z.60 cm:60 m/s2
I
AOr, sentido cle A a 02
aA:úÁ-faA
--'t,-¡
{dir.
lvil : az'AOz: 100 rd/s2'60 cm:60 m/s2
I
Idir. L AOz, sentido acorde corl í2
-ES-Paraninfo
Cinemática de máquinas
co: = 10 rd/s
o: = 100 rd/J
Oz
'_r
Se representa gráficamente en la Figura 3.32 \a suma de los dos vectores para obtener la acelera-
ción del punto A.
tllOzA
Figura 3.32. Determinac¡ón gráfica de la aceleración del punto A.
Eslabón 3: BIELA
u':,k**u^
(la';ol: ufi.ea: (1,66 rdls;2. tzo cm : 3,3 m/s2 (despreciable)

l-
Jdir. ll AB, sentido
de B a A
oBA: obAt
,
-l
aBA \- :
llá'uol -- o.r.AB ? m/s2
I
[air. f AB, sentido acorde con Íj (?)
@ ITES-Paraninfo
_ : t:rúd )^
^^ uc *;^,,:^^^
tdquu td>
tt
Los ralores de velocidades angulares se obtienen de la solución del ejemplo cle aplicación.
dn: ,dt ! du^:

-__!+ \
¿^ , i ú'i, +
\
d'uo
._/-J
YJ Y:
conocicla conocicla conoc.ielt f AB

AB
por otro lado:
Il,i'|,1 : tt¡.-' BO: :- (6,66 rd/s¡2 .79,3; cm: _i).-r In s-

I
. f Air.',:Bq, idodeBaOa
senridc
dn: d'i¡ -r .,a
;t¿
\
|
I
,i'nl - t..BO, -: ? mi's2
lai.. r Bor, ,ent
:ntido acorde con 2.1 (?)
Grírficamente resolve rnos la ecurción vectori

orial siguiente:
t-.tO:,Ci.^,- ,i'i, i ,f-llOnr l: 0n -t r-__l

o¡
l.-? I -;' \2_l |
conocida
- - AB l¿r lf ¿¡l conocicla L BOtl
conocid¿r
Bor
de la intersección delas dos direcciones recuad

adradas se obtiene e lpDUntO á' homólogo en el cine-
ma de aceleraciones del punto B del mecanismono.
1,A
"rs\u/...
Á.f
'e.9 //
.
/
\r'.
b'
\r{BO"
LAB ."
Figura 3.33. Determinación gráfica de la aceleración del punto B
Por tanto, el rnódulo de las aceleraciones de A y B es:
ld"l : to,tt .rt' lc¿l : 97,01 misr
::-::-aninf0
Para el cálculo de las aceler¿rciones angulares de los eslabones es necesario conocet las acelera-
ciones tangenciales . Estos valores se obtienen del cinema (Figura 3.34).
IBO.
IAB
Figura 3.34. Determinación gráfica de las aceleraciones tangenciales.
Los rrródulos de las aceleraciones tan-eenciales permiten obtener los módulos de las aceleraciones
angulares mediante la fórmula
l.,^l : /J.L't-
l-"'l AB l2o.lo -m - El5ñ¡
l,ii' - t..Ag -'.' m ,t -fiJ -
dir. I AB, sentido acorde con 73 (antihorario)
tt,'ol-,, Bo,:: m,sr | --' I Bo, *-94:

-E;-l:9: .lo -
19.31 m
tr3fsr-r--,t'';l
dir. I AB. sentido acorde corl z. (horario)
PnoaLeMAS RESUELToS
Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.35
Resolucrór.r
Los pasos para el cálcr-rlo de los centros instantáneos de rotación son:
O ITES-Paraninfo
o Figura 3.35. Mecanismo pistón.
o
Calcular el número de CIRs presentes: Para ello se utiliza la fórmula combinatoria, que relacio-
na todos los eslabones entre sí. dos a dos.
. /4\ 4'(4 - t) :6CIR

ncrR:C;:l"l: .
\L/ L
Determinar los CIR inmediatos:

Éstos son los que aparecen en la Figura 3.36 (ln, Ir, 131, I.).
o o
Los dos CIR que quedan se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Se construye una figura
geométrica inscrita en un círculo, y se unen los vértices dos a dos.
Cerrando los triángulos en la Figura 3.37:
(1,,1.,
t t
t''-i'
se encuentra en la intersección entre las dos rectas unidas por los puntos marcados.
(1,.1,,
/:,- { ,,_.,_
lltrlro
S-
trarani nfo
de la misma manera que en el CIR /,., el centro 1,0 se encuentra en la intersección de las dos
rectas formadas por la unión de los CIR mostrados (en la Figura 3'38)'
,,5 r -.'1 |
\r/\ |
\/tl
.,-- lr¡ \
\,,---/- i
e
Figura 3.37. Cálculo del CIR /.,..
oe Figura 3.38. Representación de los CIR del mecanismo
i > S.2. Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.39.
Resolucró¡t
Se seguirán los pasos comentados en el apartado teórico:
1. Determinar el número de eslabones del mecanismo'
N:6
2. Calcular el número de CIRs presentes.
/ó\ 6.t6- lr
ncrn - C;: ( . )- -:: 2 1.5 CIR
\-/
- ':nática de máquinas
Figura 3.39. Mecanismo.
Determinar los CIR inmediatos:

Estos sor.r los que aparecen en la Figula 3.:10.
Los CIR inmediatos son:
1,.,[... 13, I1¡,, Ior. It.,, Ir, (.r-)
-l S- Paran i nfo
4. Los restantes se calculan aplicando el teorema de Kennedy. Para ello se construye una figura
geométrica (Figura 3.4 l) inscrita en un círculo con tantos vértices como eslabones tenga el me-
canismo y se unen los vértices dos ¿r dos. según los CIR que se obtengan.
Figura 3.41. Gráfico para la aplicación del teorema de Kennedy
El resto de los CIR se obtiene cerrando los triánsulos:
,
lrr
f
1
1,1.,
[1'-t 1t-.
Y así con el resto.
, f
I r.l.,
1n-.
,--
lr.r 1
f
1.J..
U,n Utt I t.
,^ ,
1r< (
fl.,{.r:¡t.,11r¡
{,¿",,,.2 Ur.l.t 5
no es posible resolverlo. de momento.
, ll.,l,o , ltrJt,,
"t'11,,1,, s "t' l1*, 1, ,,
@ ITES-Paraninfo
- .emailca oe maqutnas
Volvemos a intentar calcular el CIR.
, ftort,
L.<
I T^.1,.
Estas uniones se traducen en el dibujo del mecanismo en buscar la intersección entre las dos
rectas que forman los tres CIR alineados. Como resultado, los centros instantáneos de rotación,
obtenidos mediante el teorema de Kennedy, se presentan en la Figura 3.42.
Figura 3.42. CIR del mecanismo.
i > g.3. Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.43.
Resoluctóru
Los pasos a seguir son:
N:6
2. Calcular el número de CIRs presentes: Para ello se utiliza la fórmula combinatoria, que relacio-
na todos los eslabones entre sí dos a dos.
-IS-Paraninfo
Figura3.43. Mecanismoarticulado.

Éstos son los que aparecen en la Figura 3.44.
4. Los restantes se calculan aplicando el teorema de Kennedy.

1
O ITES-Paraninfo
- a' := :e naqulnas
)Ios lt3 [t..t t'

I
T
ll5 [',0@' Í I [,,1..,
I:s [t'J"
L1'.1.. it,t. 11...1,. U,.1t,
( :r,\ ,,1 ,,'

'26 [ttt
I
'o It^ It"1" r 16 {1t'1't' l¿a {t
U..1.0 U,,1.,. U:.1.0 t 1t, 1tu
\o
hgb
Figura 3.46. Todos los CIR del mecanismo.
> 3.4. Hallar todos los centros instantáneos de rotación de la Figura 3.47
Figura3.47. Mecanismo.
1V
Resolucloru
Se seguirán los pasos comentados en el apartado teórico:
l. Determinar el número de eslabones del mecanismo'
¡/:3
que relacicl-
2. Calcular el número de CIRs presentes: Para ello se utiliza la f-órmula combinatoria.
na todos los eslabones entre sí dos a dos.
/r\
/rr.rn - .. : (; ) 3 CIR

Éstos son los que aparecen en la Figurer 3'48 el 1'', y el 11,. En el caso del contacto entre
el
eslabón 2 y el 3, sólo puede asegurarse que el CIR relativo se encuentra en la línea perpenclicu-
lar a la tangente de contacto.
dirección de 1.6
(réctse la
El CIR 1,.1 se calculará con la infornración previa y aplicando el teorema de Kennedy
Figura 3.,19).
,-- <
fI te de contacto
[ /r,1r{
@ ITES-Paraninfo
' ':- )ttaA rla mÁat tinac
En la Figura 3.50 se representan todos los CIR obtenidos.
Figura 3.50. Todos los CIR del mecanismo.
> 3.5. En el eslabón de la Figura 3.51 se conoce la velocidad del punto A, de 50 cm/s, en la dirección
perpendicular a la recta que une el punto A con su centro instantáneo de rotación absoluto. Cono-
ciendo la posición del centro instantáneo de rotación, calcular, aplicando el método de las velocida-
des relativas, la velocidad del punto B.
Rl13
Figura 3.51. Eslabón.
Datos: AB : 88,37 cm.
Resolucrór'¡
Aplicando el método de velocidades relativas:
A y B pertenecen al mismo eslabón.
(1v,,
t'"
: ut'BA
w
vB- -w vA tw
I vRA { ¿i..
I
r r¿
[sentido acorde
El resultado puede obtenerse gráficamente o numéricamente.
'!S-Paraninfo
conocida del punto A:

Numéricamente: Se obtiene la velocidad angular ro a partir de la velocidad
lÍ^,: ''''t,,e
dir. t 1r,A
sentido acorde con (,')
de manera que
(,, : rt^1
1',4
() r.
l01 r. I plano de traba¡o
I
\sc nticlo acorde con V,
Gráficamente: Se realiza la suma ctorial con los datos que disponemos (en la Figura3'52)'
rl Í/v,l I l/,BA
vB - ' ,-t-
t_v) ._/-
L I t$ conocido -L BA
Rlr3
/\
/l
/¡
// r,'o' tt
Figura3.52.Ap|icacióndelaecuacióndeve|ocidadesre|ativasaIes|abón.
del vector velocidad del punto

dibujando ambas clirecciones obtenemos en la intersección el extrenlo
en la Figura 3'53'
B, y cerramos el triángulo marcando la suma vectorial. El resultado aparece
qlr:
/¡
,' rlou t,
Figura 3.53. Obtención de la velocidad en el punto B'
@ ITES-Paraninfo
-:: :a Je maqutnas
En el eslabón de la Figura 3.-54 se conoce la velocidad del punto A, de 50 cm/s, en la dirección

:erpendicular a la recta que une el punto A con su centro instantáneo de rotación absoluto. Cono-
-rendo la posición del centro instantáneo de rot¿rción 1,.,, calcular, aplicando el método de las
pror ecciones. la velocidad del punto B.
l'::
Q
/l
/t
Figura 3.54. Eslabón.
Datos: AB : 88.37 cm.
Resoluclóru
Aplicamos el método de las proyecciones. Calculamos en primer lugar la proyección de la velocidad
del punto A sobre la recta que une A con B.
(v)^n: (vilM
(.V¡)¡n - I
y,rl .cos (43") : 50 cm/s'cos (43") : 36,57 crni's
el valor puede obtenerse numéricamente o gráficamente, como en la Figura 3.-55
Q l'::
V¡ = 50cm/s
(Va)m
Figura 3.55. Proyección del vector velocidad del punto A sobre

la recta que une A y 8.
I S -:a ran i nfo

El siguiente paso es trasladar la proyección sobre el segmento AB en el punto B (Figura 3.-56).
Q l,:
i-,u-9-ff,,
-
\-'
/
-f e llo
.-^'- a7
= 5o'l-
(Va)ae
Figura 3.56. Se traslada la proyección de la velocidad

del punto A sobre el punto B.
Y se deshace la proyección, llevando una perpendicular al segmento AB desde el extremo del

vector de proyección de la velocidad de B, y, por otro lado, buscamos la dirección de la velocidad
desde el punto B, que se sabe que es perpendicular al segmento que une el punto B con su centro
instantáneo de rotación.
tl/ \
ll¿r¿6 14<7 Uln/S
-rU.J/ ^^
cos (90 - 78) cos ( 1 2")
El vector velocidad se puede obtener gráficamente deshaciendo la proyección(V,,),ro y marcando

la dirección del vector velocidad, que como es bien sabido, es perpendicular al segmento que une el
CIR 113 con el punto B. El resultado ap¿rrece en la Figura 3.57.
l'::
Q
V¡ = 50cm/s
-{ g-p".
+
-tLr"-!i7y1:*
- (Vn)ea
Figura 3.57. Obtención de la velocidad de B,
O ITES-Paraninfo
- -:-áttca de máquinas
La relocidad del punto A del eslabón de la Figura 3.58 es conocida y se conoce también el valor
de
la relocidad relativa del punto B respecto a A. Determinar la velocidad del punto C'
Figura 3.58. Eslabón genérico.

Resoluclót¡
relativa'
En primer lugar, calcularemos la velocidad del punto B, aplicando la ecuación de velocidad
f;o: f;^ - f;sn
La velocidad en el punto B se obtiene, por tanto, realizando la suma vectorial de ambos vectores
de manera gráfica, como aparece en la Figura 3.59'
Figura 3.59. Obtención de la velocidad en B'
para el cálculo de la velocidad del punto C es necesario aplicar el método de la proyección.

Primero se realizará en función del punto A y luego en función del punto B.
(V¡)oc, : (V),tc
(.in)nc:: (li'dnc.
-:S-Paraninfo
Cinemática de máouinas 85
Figura 3.60. Obtención de la velocidad en C respecto de A.
rcon la intersección de las dos direcciones perpendiculares a las proyecciones se consigue el extre-
mo del vector velocidad buscado. como aDarece en la Fieura 3.61.
Figura 3.61. Obtención de la velocidad en C, respecto de B.
]. El mecanismo de la Figura 3.62 es un cuadrilátero articulado, al que se ha sustituido la biela por una
corredera, proporcionando un par de deslizamiento entre el eslabón 3 y 4. Calcular:
1. Número de grados de libertad.

2. Velocidad del punto A.
3. Velocidad angular del eslabón 4.
Las loneitudes de los eslabones son:
OrA :58,34 cm oA:56,1r cm opr: 104,43 crn
@ ITES-Paraninfo
tx, - 15 rd/s:
Figura 3.62. Mecanismo manivela-corredera-manivela.
Resolucrórr¡
l. Número de grados de libertad: aplicando la fórmula de Grübler
G : 3. (N - r) 2..f, .f.
donde: N : 4. f , : 4, fr.: 0, por tanto,
[c]::t+ r) 2.1-o:E
es un mecanismo desmodrómico, por tanto, conocido el movimiento de uno de los eslabones. el
resto de los eslabones está perf'ectamente definido.
2. Velocidad del punto A.
l%l : ,r.'o1- (7 rcl/s)'58,34 cm:408 cm¡'s

dir. L O.¡
sentido. acorde con (r)r
o Eslabón 3:
Se trata de una corredera; estos eslabones se consideran en el estudio cinemático como pun-
tuales, por lo que será necesario estudiar el contacto de deslizamiento que existe entre el eslabón
corredera (eslabón 3) y el eslabón sobre el que desliza (eslabón 2). El punto A del eslabón 3
lleva una trayectoria diferente a la del eslabón 2, por tanto puede establecerse una relación entre
los dos puntos a través de la velocidad de deslizamiento (relativa).
2,,:V,,*ú,,,,
dado que el deslizamiento se produce sobre un eslabón de geometría lineal, la direccrón de des-
lizamiento será en la dirección del eslabón sobre el que desliza la corredera.
Vt'l - lVr,l : t't¡'O,A - (? rd s) 5ó.ll crn: ?
dtr. L O+A
sentido, acorde con o1 ('?)
-:>-laraninfo
En la intersección entre la direcclón de cleslizamiento 17,.,.,,¡ y la dirección de {,4 se en-

cuentra el extremo del vector velocidad buscado.
!--l
Yr, - /', - V,,, i 7r,,,,
. OtA conocida O.A
El valor de la velocidad se obtiene midiendo en el cinema de velocidades.
lVrrl :613,5 crn,'s
la dirección y el sentido clel vector velocidad aparecen en la Figura 3.63.
áz -- ?q
/
'1O.4
Figura 3.63. Cinema de velocidades.
3. Velociclad angular del eslabón 4: se obtiene a partir de los datos proporcionados por el cinema y
lus eculrciones rnLeriores:
t/v 613.5 cm.'s
A-+
l-t
^ 56,1 I cm
dir. I plano
sentido antihorario
En el mecanismo de la Figura 3.64:

1. Calcular el número de grados de libertad del mecanismo.
2. Determinar los centros instantáneos de rotación absolutos.
3. Dibujar el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones del mecanismo.
4. Calcular las velocidades angulares de cada eslabón.
5. Determinar la velocidad del punto E, situado en el centro geométrico del eslabón 3
Datos:
O-A:7-5 cm ,SB:150 cm W - 70,40 cm SC - ll5 crn

OtC :80 cm CD : l-59,20 cm
O ITES-Paraninfo
_ t.tLa /^ ^;^,,;^^^
uc tdquil tdó
rt
=
Resolucróru
1. Número de grados de libertad: Aplicando la fórmula de Gruebler.
G : 3.(¡/ - r) 2.ft - fz (l)

donde: N : 6, ft : 7, fz: 0, por tanto,
f :3 (6-r) 2.7-o:E (2)
se trata, por tanto, de un mecanismo desmodrómico.

2. Cálculo de los CIR absolutos.
Se obtienen los CIR inmecliatos para su cálculo. Éstos son: I,z, Irt, Itr, I,o, Irr, Iro, 1i¿ y se
muestran en la Figura 3.65.
Figura 3.65. Representación de los CIR inmediatos.
--S-Daraninfo
Los dos CIR absolutos que quedan por calcular se obtienen aplicando el teorema de Kenne-
dy (uéase la Figura 3.66).
( L.1..
r I t- -J
,,,{",ir'¿"
U't1t,
%"
o
ltz I
/o
BF
lza
7
/ \ ¡----)
"l ,/
/\//
t2
Figura 3.66. Representación de los CIR absolutos.
3. Cinema de velocidades: Se realiza el análisis de velocidades para cada eslabón.
lv¡l: a4.O2A - (100 rd/s).75 cm:7.500 cm/s:75 m/s

dtr. L O.l (1)
sentido, acorde con úJ?
Eslabón 3: BIELA
(lvrol: o..AB: (?) lso cm:? cmi s

vvB- - f/vA tiI
!,,n-]
vUA
{
j
¿ir. L AB (2)
conocida
I sentido, acorde con c''ri (?)
Eslabón 4: MANIVELA
lval: uta.OaB: (? rd/s) .10,40 cm : ? m/s

dlr. L UrB (3)
sentido, acorde con ro. (?)
t/VD r/V^ r T/
._ -
_
| Y ps
(4)
L OrB conocid¿r LBA
O ITES-Paraninfo
-.-at¡ca de máquinas
En la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto b homólogo a B del mecanls-

mo. El punto ó de la Figura 3.67 marca el extremo del vector velocidad.
,,'LAB
Figura 3.67. Desarrollo del cinema de velocidades.
Al pertenecer el punto C al eslabón 4, pueden aplicarse las propiedades de homología exis-

tentes entre el cinema de velocidades y el mecanismo.
Su módulo se obtiene por homología:
?r:24 + oc : -c¡b.o.B
- : 12,45 cm.
70.,10 cm
: 63,16 cm (5)
0c ob ooC - cm
80
la dirección y el sentido se obtiene del eslabón manivela
dirección L W. y el sentido acorcle con el giro de la manivela 4
¡ Eslabón 5: BIELA
(lv,,rl_ ,,t,.DC - ('l).150.20 cm - ? cm s
Úr,-'n-i¡ - V¡,, I dir. I DC (6)
conocida I l
sentido, acorde con rr;5 ('i)
o Eslabón 6: CORREDERA.
Al ser una corredera que desliza sobre el eslabón fijo 1, la velocidad del punto D es lineal y,
por tanto, la dirección del vector velocidad debe ser vertical.
in:V, 1i,,, (1)

"t'*'.**^#
En la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto r1 homólogo a D del mecanislno.
Para representar el cinema de cada uno de los eslabones, en la Figura 3.69 aparecen marca-
dos los cinemas de los eslabones representados en la Figura 3.68.
Se comprueba que todos los cinemas de velocidad están escalados respecto a los eslabones y
girados 90 grados en el sentido de las velocidades angulares.
Cálculo de las velocidades angulares: todos los vectores de velocidad angular tienen dirección
perpendicular al plano de trabajo, por lo que se dará como solución el módulo y el sentido de los
vectores.
o Eslabón 2:
r',r2 : 100 rd/s (daro) sentido antihorario
:S-Paraninfo
r
I
I
l
L-o¿d\ \,/ro,
a
/Lco
Figura3.68. Mecanismo. Figura 3.69. Cinema de velocidades
del mecanismo.
o Eslabón 3: de la ecuación (2)
1/
v BAI
|
18.89 ms 18.89 m: /lr/YBAI meiliclo en el cinenra:
"r: t S,Aq
I
| ('/1
I.'AB \l -/t)
150 cm 1,50 m
sentido antihorario
o Eslabón 4: de la ecuación (3)
JVrl 71,45 m/s 71,45 m/s

ttÚ
\l"B rreJitl,r cn cl e rnerrlra:_l I .+S m/'s)
O^B 70,40 cm 0,7040 m
sentido horario
r Eslabón 5: de la ecuación (4)
E: Vl:48,23
DC
m/s _ 48,23 mis _
159,20 cm I,5920 m
(]Vurl rrrediclo cn el cinenr¡: ¿/¿'
48,23 m/s)
sentido horario
o Eslabón 6: al ser Llna corredera con movimiento lineal, la velocidad angular del eslabón es nula.
5. Determinar la velocidad del punto E, situado en el centro geométrico del eslabón 3.
Para ello, utilizamos la propiedad de homología y el cinema calculado.
El homólogo del punto E en el cinema (punto e) se encuentra también en el centro geométri-
co de1 cinema del eslabón 3, por tanto, sólo habrá que marcarlo en el cinema y obtener la veloci-
dad de manera gráfica, como se presenta en la Figura 3.70.
li ul : 73,13 rn/s
@ ITES-Paraninfo
_ -:-ailca oe maqutnas
Vá= 73,13 m/s
1nn
n vv
,--/
Figura 3.70. Obtención de la velocidad del punto E.
3.10. El mecanismo de la Figura 3.71 es el mecanismo del Problema 3.8 donde ahora el movimiento de la
manivela de entrada es acelerado. Calcular:
l. Aceleración del punto A.
2. Aceleración angular del eslabón 4.
Las longitudes de los eslabones son:
O,A: 58,34 cm OoA :56,1 l cm OzO+: 104,43 cm
crr = 15 rdlsi
6\ co, = 7 rd/s
Figura 3.71. Mecanismo manivela-corredera-manivela.

Resolucróru
Igual que en el caso anterior, se calcula el cinema de aceleraciones estudiando el comportamiento
eslabón a eslabón.
(la'Ál: ,uj.AOr: (7 rd s)r.58.34 cm : 28,59 m/s2
I
1 AOz, sentido de A a 02
aA: d; + dA /dir.
l¿ll : ar.Ao2:
)
15 rd/s2 .s8,34 cm: ó./) m,s-
I
[0i.. f AOz-, sentido acorde con
S-re.aninfo
Se representa gráficamente la suma de los dos vectores, aplicando la regla de la cadena, para
obtener la aceleración del punto A.
aÁ=ó.lc
\ to.n
Figura 3.72. Determinación gráfica de la aceleración del punto A.
o Eslabón 3: CORREDERA
ü¡t: ,a¡2 + .dnô., +a,,,,11r,,,,,1:2.c:t2.1V1,¡¡l :2-o rd sl.t45ó.3 cm s):63.88 m s2

.
eonocrda
.-..-
drr' deslrzrmrenlo
I
o.A )¿ir. r' f;oto¿. - L oA
ü"
para obtener el sentido del vector aceleración de coriolis se emplea la regla de la mano derecha.
Por otro lado, áo3 : du ya que físicamente es el mismo punto.
(lt;^1 : ,'fi.eoo: (10,93 rdls)2 . 56,1 l cm - 61,31 m sr
cirr: ci,),
. oir. Ao+, sentid o de A a oo
+ 4,,.,
|
1l,il_*l
: ). oo._ ? m sr
I-
[dir. I AOa, sentido acorde con ea (?)
El valor de velocidad angular

se obtiene de la solución del Problema 3.8.
Resolvemos gráficamente la ecuación vectorial:
á¡t: á¡+ : ,á,c2, +

-rl-lvl.-i [-a;;-l : d,), +F l
conocida I dir. deslizamiento I conocida I. OrA
.
lo,A, l
I
t_t
de la intersección de las dos direcciones recuadradas se obtiene la aceleración buscada (Figura 3.73).
Por tanto, el módulo de la aceleración en el punto A es:
VAI: 195,27 m/s2
@ ITES-Paraninfo
:.emát¡ca de máqu¡nas
-\
ql\
q)\ \
s\
s \
aÁ',-
6. 67
37
\ ror¡ ?cL
Figura 3.73. Determinación gráfica de la aceleración tangencial.
para el cálculo de la aceleración angular de los eslabones es necesario conocer el valor de

la aceleración tangencial del punto A del eslabón 4. El valor se obtiene del cinema (en la Figu-
ra 3.74).
El módulo de la aceleración tangencial permite obtener los módulos de las aceleraciones angula-
res mediante la fórmula
lñ'..l 183,30 m/s2

lrl.,l :'rr'eOr:?mt'-l t-,
rrAUtl:#- 56.11'10 -m
dir. I 4@r-, sentido acorde cor 14 (horario)
a3-44
Figura 3.74. Determinación gráfica de la aceleración tangencial'
-rS-Paraninfo
=
3.11. El mecanismo de la Figura 3.75 se corresponde con el del Problema 3.9.

l. Dibujar el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones del mecanrsmo.
2, Calcular las aceleraciones angulares de cada eslabón.
3. Determinar la aceleración del punto E, situado en el centro geométrico del eslabón 3.
Datos:
OA :75 cm SS : 150 cm O,B :70.-10 cm BC: 115 cm
-:---= -CD -
0r(' :80 cm 159.20 cm
o: = 100 rd/s
il/,///)
ui.12
Resoluclót¡
1. Cinema de aceleracrones:
(F,;,t : ,,,1, AOr: ( 00 rd ): . 75 cm
. | s
l"-
-l ld¡.lllor, sentido de A a O.
¿-
doz - a-). do.
I ¿:rl - ,,'Ao.:.500 rd sr'75 cm:
l-
ldir. I AO,, sentido acorde corl 12
ozn
,il
o'
- -._4
+
aÁ = 375 m/s2 \
-.LOzA
@ ITES-Paraninfo
-:-21t.2 ¡la mánttina<
r Eslabón 3: BIELA
";*eJ*i-*
(la';ol : of.,ta : .12,6
rdls)2. 150 cm : 238.14 m/s2
l-
on.q : uit¡
I _, )dir.l AB, sentido de B a A
*,,oo
) V,uol : r..AB_ ? m s2
I
[dir. - AB. sentido acorde con r. (?)
Los valores de velocidades angulares se obtienen de la solución del Problema 3.9.
át : do I duo: ún + .--l
d'Án
.-/-
1 .
á'oo
\,J ]/-
conocida conocida conocida L AB
por otro lado:
(l¿',,1 :,','^' Bo, : ( | o 1.5 rd/s)2'70,40 cm : 1.252,18 mls2

l" aOz
án: a,É * o,,
\i:',",t':::
I
I'D'
#T", :,,:
lOi.. r aA-, sentido ac orde con :t+ (?)
Gráficamente resolvemos la ecuación vectorial siguiente:
dn: d¡ t d'io +
\-/J \
Up
-!-
conocida conocida conocida

AB BO"
de la intersección de las dos direcciones recuadradas se obtiene el punto b'homólogo en el cine-

ma de aceleraciones del punto B del mecanismo (Figura3.l'/).
IO¿B \
n
ttozA'|W
o'/
llO+8.
/
\ r¡n
\ ll ''-
1AB
Figura3.77. Determinación gráfica de la aceleración del punto B.
-:S-taraninfo
Cinemática de máquinas
Por tanto, el módulo de las velocidades es:
la¿l : 7.509 m/s ldul: 7.257 mls
Al pertenecer el punto C al eslabón 4, puede calcularse la aceleración del eslabón 4 a partir

la aceleración tangencial del punto B, en la Figura 3.78.
ld'ul 209 mls2

BO+ 70,14.10 2 m
dir. I plano de trabajo,
sentido acorde con d'u - antihorario
Lo¿B \ lj= ron ^,,'

, ,lb't'',
"""% '\
/,.^%Arl/
bY"6Y
llorA/r,4:))' \
.fot9' \
z'/ /
'/ ,'
Figura 3.78. Determinación gráfica de la aceleración tangencial del punto 8.
así, obtenemos el valor de la aceleración de C que se representa como suma vectorial en la

Figura 3.79.
(a¿l:,',1'co.: (101.5 rcl s):.80 cm:8.2+1.8 m s:
l-
dr- - d,tt - úc.crt
, IJait. BOr._senriclo de B a O.,
- a;- a,.
llt¡l : x4'Coa: 295,15 rd/s2.80 cm : 236,36 mis2
t_
[dir. I COa, sentido acorde con 14 (antihorario)
o Eslabón 5: BIELA
ár: !r* d,,r-
conocida
(la'i,rl:,',i.oc: (30.3 rd s):.t59.20 cm: 1.4ór.60 rn s:
: l¿it. DC. senrido de D a C

doc. á'L, t o'n,
_ ,r. DC: ? m/s2
\ln,rr,,.l
ldt.. t DC, sentido acorde con e. (?)
Los valores de velocidades angulares se obtienen, como ya se ha comentado, de la solución

del Problema 3.9.
ún: d,..l ú¡-¡, : üc * d'h,. + l,',,
2+r'-,-t'.f-
-Y
conocida conocida conocida I DC
DC
@ ITES-Paraninfo
- . - a: .a de máquinas
al = 236 m/s2
,/
IO¿B \
1O¿C
ll otB ,
-'-\
I¡E
/ ?, \\
...- -L ozA
\ IIAB
Figura 3.79. Determinación gráfica de la aceleración del punto C.
o Eslabón 6: CORREDERA.
Al ser una corredera que desliza sobre el eslabón fijo I, la aceleración del punto D es lineal
y, por tanto. la dirección del vector aceleración debe ser vertical.
üD ac, t d'h,. + i'o,
dir. vertical conocida conocida L DC
---
DC
en la intersección de las dos direcciones se encuentra el punto d' homólogo a D del mecanlsmo
(Figura 3.80).
co
,ll
't
,lO+C I I:n'""'
+/
a6c= 1.462 ml* Io+B\
1CD ái= 6.582 mis'?
\b'
";K,f'
/
É/,
!//
/a' \ r IozA
1AB
\ II AB
Figura 3.80. Determinación gráfica de la aceleración del punto D.
:
-:- nfo
El cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones de la Figura 3.81 se representa en

la Fieura 3.82.
///i/i,
U;;lúi2
Figura 3.81. Mecanismo original. Figura 3.82. Representación del
cinema de aceleraciones.
Se comprueba que todos los cinemas de aceleración están escalados respecto a los eslabones
girados.
2. Cálculo de las aceleraciones angulares: todos los vectores de aceleración an-{ular tienen direc-
ción perpendicular al plano de trabajo, por lo que se dará como solución el rnódulo v el sentido
de los vectores.
o Eslabón 2:
zz:500 rd/s2 (dato) sentido antihorario
o Eslabón 3: de la ecuacrón
o o.,l -i.-i2¡ m s: r--------------

lr,
| l--_-r
| AB
i i
:l9615.3rsj lá'uo]
mcdido en el cinema: 14.423 mls2)
150'10 - m
sentido antihorario
Eslabón 4: de la ecuacrón (3)

Ya calculado
:r4d: 209 m/s2

2
BO^ 10,14.10 m
sentido antihorario
@ ITES-Paraninfo
- -:-,ática de máquinas
Eslabón 5: de la ecuación (.1)
).)uu m/s-
i)
lá'rrl medido c¡t el cinemr

|'r (ld'or) 5.500 m/sr)
DC 159,20.t0 2 m
sentido horario
Eslabón 6: al ser una corredera con movimiento lineal, la aceleración ansular del eslabón
es nula.
3. Determinar la aceleración del punto 6, situado en el centro geométrico del eslabón 3.
Para ello, utilizamos la propiedad de homología y el cinema calculado.
El homólogo del punto E en el cinema (punto e) se encuentra también en el centro geométri-
co del cinema del eslabón 3, por tanto, sólo habrá que marcarlo en el cinema y obtener la acele-
ración de manera gráfica (Figura 3.83).
latl : 1.164 mls
qi/m
Figura 3.83. Determinación gráfica de la aceleración del punto F

En este capítulo...
O ITES-Paraninfo
î*:a ce maqu¡nas
4.1. lrurnoouccróru
En el estudio cinemático de los mecanismos se analiza el movimiento sin

atender a las fuerzas que
lo producen. Sin embargo, pare proseguir en el diseño correcto de los mecanismos,
es necesano co-
nocer los esfuerzos internos en los pares cinemáticos consecuencia del
movimiento, así como los
esfuerzos exteriores que aparecen en los eslabones del mecanismo y que
afectan de manera decisiva
al funcionamiento y vida útil del rnismo, incluidas las reacciones con el eslabón
tierra.
Se clenominarán esfuerzos a las fuerzas y/o momentos que aparecen
sobre el mecanismo que será
obJeto de estudio. Los esfuerzos que actúan de manera general .sobre
un mecanismo se pueden divi-
dir en tres cutegorías:
1' Esfuerzos motrices: que se aplican sobre el mecanismo para producir el movimiento.
2' Esfuerzos resistentes: que aparecen en el mecanisrno consecuencia del contacto
entre eslabo-
nes y que impiden o dificultan el movimiento, así como los esfuerzos de
las cargas externas
(bombas, compresores o cualquier otro dispositivo que obtiene energía
mecánica clel meca-
nismo).
3' Esfuerzos de inercia: que aparecen en los eslabones del mecanismo cuanclo
éstos tienen un
movimiento acelerado.
Dentro de los anteriores esfuerzos prestaremos especial atención al estudio de los

esfuerzos de
inercia, lo que habitualmente se denomina estudio dei caso dinámico, en contraposición
al estudio
del caso estático, que analiza los restantes esfuerzos. La aplicación cle las técnicas
de superposición
para realizar el estudio dinámico completo del mecanismo permite ponclerar
la importancia de los
esfuerzos para cada mecanismo en particular.
La dinámica del sólido rígido tiene dos ecuaciones que permiten conocer el equilibrio
clinámico
de cualquier eslabón sólido ríeido clel mecanismo:
El teorema del centro de masas IF: M.d".

El teorema del momento cinético dL..
LM..o*r: oÍ
respecto al centro de masas G (CDM).
La aplicación de las relaciones anteriores permite obtener el estado de equilibrio

dinámico enun-
ciado por D'Alembert para cada uno cle los eslabones.
Para el caso de mecanismos planos, el teorema del centro de masas mantiene
la misma expre-
sión,.es decir, f F M'd.: el sumatorio de las fuerzas exteriores que actúan
,
considerado se iguala a un vector proporcional a la masa total del eslabón y
sobre el sólido rígido
con dirección cle la a,,.
obtenida a partir del cinema de aceleraciones correspondiente. La interpretación
de esta ecuación nos
indica el movimiento de una partícula posicionada en el punto G (ceniro
de masas), cuya masa es la
masa total del sólido rígido y, además, se ve afectada por un sistema de
fuerzas suma de todas las
fuerzas exteriores que se aplican. La resolución de esta ecuación del movimiento
nos daría la travec-
toria del punto C.
La anterior solución no es suficiente para conocer el movimiento del sólido rígido;
debemos co-
nocer el movimiento relativo del sólido rígiclo alrecleclor del punto G; para
ello utilizaremos el teore-
ma del momento cinético' que nos liga los momentos exteriores aplicados al
sólido rígido con la
variación del momento cinético, y en el caso de movimientos en el plano se reduce
a la expresión
siguiente: LMo Exr: Lc'd. De nuevo el conocimiento de la cinemática del sólido
rígido nos incli-
ca que la suma de los momentos de las fuerzas exteriores respecto al centro
de masas G lleva la
dirección de la aceleración angular f del sólido rígido, obtenida en el estudio cinemática
a oartir cle
Ias componentes de aceleración con formato tansencial.
Dinámica de máquinas 103
En el estudio dinámico de un eslabón de un mecanismo en el plano tenemos que considerar: el

punto centro de masas G, la masa total M, el momento de inercia 1,, respecto al punto G, la acelera-
ción de G y la aceleración angular del eslabón punto G centro de masas, que es fundamental para el
estudio de la dinámica de los eslabones sólido rígido del mecanismo.
Si utilizamos las expresiones en el modo dalambertiano tenemos el equilibrio dinámico instantá-
neo del eslabón:
LF Mou: s
LM".o* Lr,.ú.: o
Las anteriores expresiones serán utilizadas según la interpretación gráfico vectorial para resolver
las fuerzas y pares instantáneos que actúan sobre un eslabón de un mecanismo y compatibles con la
e inernitica del rnislno
4.2. EourvnlENcrA DrNÁMrco-ENERGÉTrcA DE uN MEcANrsMo

DE UN GRADO DE LIBERTAD
En los mecanismos articulados desmodrómicos (l GDL) es posible sustituir, a efectos dinámicos, un

mecanismo completo por otro equivalente más sencillo consistente en reducir el sistema de fuerzas
exteriores a un punto cuyo rnovimiento sea de interés y fácil análisis, de manera que ambos verifi-
quen el Principio de los Trabajos Virtuales en sus movimientos restringidos virtuales en el instante 1.
Un mecanismo en un instante dado. con rozamiento nulo en los pares cinemáticos, y considerando
las fuerzas activas exteriores y las fuerzas y pares de inercia, cumple el PTV.
La idea consiste en sustituir las fuerzas aplicadas al mecanismo por una única fuerza, de direc-
ción determinada, aplicada en un punto del mecanismo de movimiento y trayectoria conocida. Es
habitual seleccionar puntos en eslabones manivela, pues nos permiten hacer la equivalencia sobre un
pLrnto de movimiento muy sencillo (téase la Figura 4.1).
Sisf enta.s equit'ulenf es energéticamenf e'. el trabajo instantáneo producido por la fuerza reduci-
da en el punto de reducción A es el mismo que el producido por el sistema de fuerzas actuantes
lexternas).
Figura 4.1. Mecanismos dinámica energét¡camente equivalentes.
4.2.1. FueRzA REDUcIDA

E,l mecanismo equivalente estará formado por una manivela, con una masa concentrada en su extre-
mo denominada masa reducida, que representa la energía cinética de todo el mecanismo y una
fuerza reducida aplicada en el extremo, de dirección perpendicular a la dirección del eslabón. que
representa el conjunto de las fuerzas aplicadas sobre el mecanismo completo en el sentido de cum-
plir el principio de los trabajos virtuales PTV.
@ ITES-Paraninfo
i -:- :a de máquinas
En la Frgura 4.2 se representa en el instante / el mecanismo de I GDL sobre el que se aplican las
iuerzas Ft,Ft, F. y señalamos el puntoA de velocidad Vo perteneciente a una manivela. Del análisis
del mecanismo anterior podemos obtener fácilmente el trabajo virtual asociado a las fuerzas conside-
radas. Si consideramos como mecanismo equivalente del dado una manivela con una fuerza F, en el
punto A que desamolla el mismo trabajo virtual instantáneo, en el instante /, que el mecanismo en-
tonces a la fuerza R, se denomina fuerza reducida en el punto A y representa una forma sencilla de
reDresentar instantáneamente el estado dinámico enersético de un mecanismo de I GDL.
Figura 4.2. Fuerza reducida F4 y masa reducida mo de un mecanismo de 1 GDL.
4.2.2. Mnsn REDUcTDA
Con la definición de la fuerza reducicla en un punto A de una manivela Ro. hemos ligado el estado
cinemático de la trayectoria del mecanismo equivalente con un estado dinámico que nos permite
calcular el trabajo virtual de las fuerzas consideradas. Ahora vamos a ligar la energía cinemática
total del mecanismo con una masa equivalente posicionada en el punto A, que mediante la V., nos
pennita calcularla para cada instante r. El valor de la masa equivalente mA que representa la energía
cinética total del mecanismo completo se calcula aplicando la equivalencia energética.
: Ea'ne,i."
I"
Ecinética nlec¡nismo ttt,V-,
nrani\cl¡ caluiviilcntc
2 ""
2 X E.inéti.n,recanismcr
n7^
t2
Así, dado el sistema de la Figura 4.2 y su sistema equivalente, se considerará que ambos son
energéticamente equivalentes si la variación de trabajo externo, es decir, la variación de su energía
cinética es la misma. Veriflcan, pues el Teorema de la Energía Cinética:
dE.inéti." : dW.*,.rn.
tutul ¡recanismr
La energía cinética total del mecanismo será igual a la suma de la energía cinética de cada uno
de los eslabones. es decir:
Ecinética mecanismo : E.'nn,'.,

I eslabones
Ecinórica nrccanir,.,, : Ecinética nra¡rir.elas * I E

I ¡n¿ti." rrl"t",
clonde i es el número de eslabones ¿.1 rn..jnir*o, j el número i" rrlun,uelas y fr el número de bielas.
S-:.'aninfo
La energía cinética de las manivelas es exclusivamente de rotación, por tanto su valor dependerá
del momento estático de inercia del eslabón respecto al centro de rotación (1, ) y de la velocidad con
que éste gira (o):
E
Lcirreticr nrrrrirelel - I uÍt
Mientras que la energía cinética de las bielas está compuesta por la suma de la energía de rota-
ción alrededor de CDM y de la traslación de su CDM:
tl
E bicta ( : ; Mt ¡rt" tVl,r
-l I u^roi
'nu,,." LL
4.2.3. FueRzR EQUTL¡BRANTE r/s. FUERZA REDUcIDA

En la Figura 4.3 se representa un mecanismo articulado sometido a un conjunto de fuerzas en sus
diferentes eslabones. El equilibrio del mecanislno, en el sentido de cumplir el PTV, se conseguirá
cuando se aplique una fuerza Eo que denominamos equilibrante en un punto determinaclo de trayec-
toria y velocidad conocida, como se observa en la misma figura en la parte derecha.
Figura 4.3. Mecanismo no equilibrado (izquierda). Mecanismo equilibrado (derecha).
Podemos decir que:

o E equilibra las fuerzas F, qg9 actúan sobre el mecanismo, para que se cumpla el PTV.
o [,, equivale a las fuerzas F que actúan, en el sentido de producir el mismo trabajo virtual
que ellas.
La fuerza reducida F, aplicada en el punto A es un vector icléntico al vector equilrbrante pero con
sentido contrario. Podemos considerar que el vector fuerza equilibrante representa la fuerza que ha-
bría que aplicar al punto A para equilibrar el mecanismo en ese instante:
R: E
En todo momento se considerará que no hay rozamiento entre eslabones para que se verifique el PTV.
Usaremos dos métodos para calcular la fuerza reducida yr'o equilibrante, los cuales usan las pro-
piedades asociadas por el PTV; éstos se presentan a continu¿rción.
MÉrooo cRÁFrco DE REDUcctór.¡ oe FUERZAS
Dado un sistema de fuerzas activas sobre un mecanismo y situadas sobre los diferentes eslabones del
mismo en puntos dados, calcular la fuerza reducida en un punto A de una de sus manivelas.
@ ITES-Paraninfo
, -.- :a oe maqutnas
Un eslabón genérico estará af-ectado por un sistema de fuerzas, sistema de vectores deslizantes,
que pueden reducirse a cualquier punto del eslabón.
La característica importante en nuestro equivalente dinámico energético es procurar una fuerza
que genere el mismo trabajo virtual en el punto de interés. el A.
Una fuerza, como vector deslizante. en cualquiera de sus puntos de aplicación de la recta de
aplicación produce idéntico trabajo virtual, pues la proyección de la velocidad sobre dicha recta es
constante. Luego el mover una fuerza en la recta de aplicación es indif'erente en cuanto a trabajo
r irtual producido.
Una fuerza F. si la descomponemos en un punto de la recta cle aplicación según clos direcciones
-senéricas F -F,
* F.. por uplicación de lo dicho en el párrafo anterior da lugar a un trabajo virtual
suma del producido por los vectores descompuestos tr, y F,.
Si alguno de los puntos de aplicación de la fuerza tiene velocidad nula o perpendicular a la direc-
ción de aplicación dará lugar a trabajo virtual nulo. Las anteriores direcciones son de gran interés,
pr"res permiten despreciar las componentes de fuerza que generan un trabajo virtual nulo, y de este
moclo redireccionar los vectores fuerza hacia las juntas (véase en los problernas). Es habitual elegir
direcciones de descomposición vectorial hacia los puntos fijos del eslabón.
Una vez alcanzado, mediante las anteriores operaciones. y posicionado un vector descompuesto
F' del original F en el punto del par cinemático que nos encamina hacia el eslabón más cercano al
punto de reduccióu escogido A se deberá estudiar el comportamiento, en cuanto a trabajos virtuales.
del vector fuerza encaminado.
En el caso de articulaciones la solución es inmediata. pues al ser la.velocidad en un lado u otro
de la articulación el mismo el trabajo virtual producido por la fuerza F' no varía, y por tanto pode-
n-los pasar por una articulación de un eslabón a otro. De este modo. se transflere el punto de aplica-
ción de la fuerza del eslabón primero al segundo.
En el caso de pares de guía corredera, la fuerza Fr no se traspasa directamente debido a la dif'e-
rencia de velocidades a un lado u otro de lajunta y habrá que hacer que el trabajo virtual en el punto
de contacto en la guía sea idéntico al calculado en el punto de contacto en la corredera.
Repitiendo los anteriores procesos lograremos que las fuerzas aplicadas en los dif'erentes eslabo-
nes se transfieran al ounto A del eslabón manivela considerado. obteniéndose la fuerza reducida en
.{.F,.
Podemos resumir la técnica gráfica de descomposición y transf-erencia de fuerzas como:
o Se realiza una descomposición vectorial de las fuerzas aplicadas sobre el eslabón del mecanis-
mo en componentes. de manera que se dinjan hacia alguno de los apoyos del mismo y otra que
se dirija al punto de contacto con otro eslabón en su ruta hacia el punto de reducción en el
eslabón en el cual se quiere calcular la fuerza reducida.
o Todas las fuerzas cuyas líneas de acción se dinjan hacia los apoyos del mecanismo son absor-
bidas por la bancada y no afectan dinámicamente al resto de los eslabones: trabajo virtual nulo.
o Las fuerzas que alcanzan una articulación se pueden traspasar al punto de contacto del otro
eslabón.
o Las fuerzas que alcanzan una guía deslizadera deben traspasarse de manera que conserven el
trabajo virtual calculado en el eslabón previo.
ATENCION: Los vectores fuerza son vectores deslizantes. Sólo oueden desolazarse a lo larso de
su línea de acción.
En el mecanismo de la Figura 4.¿l existe una fuerza aplicada en la manivela de entrada. La geometría
del mecanismo es conocido. Calcular la fuerza equilibrante en el extremo de la manivela de salida
(punto B), y la tuerua reducida en el mismo pllnto.
l :- : r'an i nfo
Dinámica de máquinas 1O7
Figura 4.4. Mecanismo de cuatro barras,
La fuerza aplicada en el punto P. debe descomponerse en dos componentes:
F.: F', 1 F':
Si Fí lleva la clirección clel eslabón 3. La dirección de Fi se obtiene de la unión del punto de

intersección entre la línea cle acción d.' F¡ y la dirección del áslubón 3. y el punto de apoyo O..
ffii
+
trll. /
Figura 4.5. Descomposición de la fuerzaF.r.

fuerza Fr.
Al pasarla línea de acción cle la fuerza Fi por el irpoyo. puecle ehminarse en el cálculo de la
tuerza reducida al no af'ectar al mecanismo, pues la absorbe el apoyo. Lt fuerzu Fl se pLrede despla-
zar a lo largo de su línea de acción, por lo que se desplaza hasta el punto B. Por último, para calcular
la fuerza reducida, descornponemos esta fuerza F'i para obtener la componente en la dirección per-
pendicular a la manivela de salida.
F;: F;, *Ru

la componente cuya línea de acción pasa por el apoyo O* no af'ecta clinámicamente al cálculo de la
resultante.
La fuerza equilibrante será:
@ ITES-Paraninfo
i -:* ca de máqu¡nas
;il --->-
-Q#'-
Figura
e()
4.6. Descomposición de la fuerzaPr.
PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
El trabajo virtual realizado por las fuerzas que actúan sobre el mecanismo en un instante dado ¡ será
nulo (las fuerzas exteriores son todas las que no son reacciones entre eslabones).
En un movimiento virtual del mecanismo, compatible con los enlaces, el trabajo virtual produci-
do por las fuerzas activas es nulo.
I F,.;r", : o
donde F, es la fuerza aplicacla sobre el eslabón i en el punto P,, d7", es el desplazamiento virtual del
punto P, donde se aplica la fuerza F¡.
A efectos prácticos, el desplazamiento virtual se traduce en la velocidad del punto, quedando la
ecuación de un mecanismo equilibrado como:
I F''r'" : o
Lo anterior es fácilmente demostrable debido a la existencia de un eje central que nos permite
ligar los desplazan-rientos virtuales de un punto del eslabón con las velocidades de dicho punto me-
diante el vector rotación, constante para todos los puntos en un instante cualquiera.
En el mecanismo de la Figura 4.J se representan un conjunto de fuerzas aplicadas sobre los esla-
bones. Las velocidades y geometría clel mecanismo son conocidas. y se trata de calcular la fuerza
equilibrante en el extremo cle la manivela de salida (punto B), y la fuerza reducida en el mismo
punto.
Aplicando el principio de los trabajos virtuales, se considera el mecanismo equilibrado al añadir
1a fuerza equrlibrante, que se denominará Er, la dirección de este vector equilibrante será
perpendi-
cular a la manivela.
3
F ¡. t" + E^.r,o : 0
Ft'Tr. + F,.r". + Ft'i p, * Er.Íu : o
-: S - Paran inf o
el valor de las velocidades se obtiene del cinema de velocidades (réose la Figura 4.8).
_l_ AB
\..-o
CÜ
f
o
Figura 4.8. Cinema de velocidades.
Aplicando el producto escalar y considerando como primera hipótesis que la fuerza equilibrante
y velocidad del punto sobre la que se aplica tienen la misma dirección
Eu.t u : lEal. llul . cos (0")
,F.t'lr'"l.eos(l/,) , lF,l.lr".l.cos{Élr) + F,l.l¿'p .cos{//r) + lEnl.l¿'ol :0
rFr-- lF.l . l¡u,l .cos ((/.) + lF..l . lL.".l .cos ((/3) + l4l l¡".1
.cos (l/.)
ILBI -
)io
Si el resultado de la fuerza equilibrante es positivo. entonces el sentido de la fuerza es el mismo

que el de la velocidad. Si es negativo, entonces el sentido es el contrario.
La fuerza reducida en B será:
Ru : Eo
@ ITES-Paraninfo
Figura 4.9. Aplicación del PTV.
4.3. Espuenzos DE tNERctA EN MEcANtsMos
De la aplicación del Teorema del Centro de Masas y de la formulación de D'Alambert obtenemos un

equilibrio dinámico entre las fuerzas y pares exteriores aphcados al eslabón y las fuerzas y pares de
inercia. Debido al interés e importancia de las fuerzas y pares de inercia, se conviene representarlas
-sráficamente sobre el eslabónl en el estudio de
la dinámica de la partícula se suele representar la
fuerza exterior y se sobreentiende la existencia de una fuerza de inercia sobre la partícula.
Cuando los eslabones de un mecanismo presentan rnovimientos acelerados, sobre ellos aparecen
los esfuerzos de inercia. Estos esfuerzos están calculados en el centro de masas del eslabón. Así,
para un eslabón i como el de la Figura,1.l0, que presenta una cinemática definida por an y L.
_ El eslabón presenta una fuerza de inercia F¡: m¡.i¡;¡, y un momento de inercia
M,: I¡;¡ -7i¡, es habitual denotar el vector momento de inercia de un eslabón como par de iner-
cia para evitar confusión con el escalar momento de inercia estático. es decir:
nr, es la masa del eslabón.
d.,, es la aceleración lineal en el centro de gravedad del eslabón.
1r, es el momento de inercia estático respecto al centro de gravedad.
d¡ es la aceleración angular del eslabón.
Figura 4.10. Eslabón i.
Así, los esfuerzos de inercia que aparecen en el eslabón de la Figura rl.l0 se muestran en la
Figura 4.I l.
Es habitual simplificar los esfuerzos de inercia a un único vector fuerza. denominado Fuerza de
Inercia Equivalente, consistente en mover paralelermente así mismo el vector F, una distancia /lr res-
pecto el punto G y con valor h,: M¡lF¡, y con el sentido acorde con el sentido del par de inercia.
Este esquema simplificado de esfuerzos de inercia a un único vector fuerza facilita el estudio gráfico
de la dinámica de un eslabón y, por ende, del mecanismo completo en estudio (L:éo.se la Figura 21.12).
-:S-Paraninfo
Dinámica de máauinas 111
Figura 4.11. Esfuerzos de inercia del eslabón i: F¡ = m¡.áo,, M;: lo,'i,.
Este cálculo realizado para un único eslabón debe ser realizado para cada uno de los eslabones
que conforman el mecanismo. obteniéndose un sistema de esfuerzos de inercia que en conjun-
ción con las fuerzas exteriores sobre cada uno de los eslabones dan el equilibrio dinámico del
mecanismo.
Usando los diagramas del cuerpo libre correspondientes a cada uno de los eslabones se calcula-
rán las reacciones de contacto o ligaduras entre eslabones. Del estudio del contacto en las articula-
ciones se obtiene que las reacciones deben ser iguales y de distinto signo entre los eslabones. En el
caso de guía corredera según el modelo simplificado que se use, las reacciones estarán sobre la nor-
mal en la guía (modelo de contacto en un punto): si necesitamos compensar pares de inercia de l¿i
guía se utilizarán modelos más complejos (modelo de contacto en dos puntos).
Figura 4.12. Obtención de la fuerza de inercia equivalente.
PnoeLeMAS RESUELToS
4.1 . Hallar la fuerza reducida en A debiclo a la fuerzas F, y F, aplicadas en el mecanismo según la Figura
zl.l3. ¿,Qué fuerza habría que aplicar en el punto A para que todo el mecanismo se manteng¿r en
equilibrio'?
Datos:
o,D :60 cm DB :13,36 cm Of , :30 cm

Itr^t
t' tl
: to ltt N lFsl : 52,89 N
OrC - 30 cm nA--A)1<^^
V6^ U4./J
-
llll O*P' :38,40 cm
@ ITES-Paraninfo
i .ámica de máquinas
o: = l0 rdls
s'
I t_
Figura 4.13. Cálculo de la fuerza reducida.

Resolucróru
Para su resolución se aplicarán los dos métodos estudiados:
Método de retlucc'ión de .fuerzo.s: que obtiene el valor de la fuerza reducida de manera gráfica. En
este caso será necesario aplicar el principio de superposición. Se divide el problema en dos, y se
obtiene la fuerza reducida para cada una de las fuerzas aolicadas sobre el mecanismo.
Para la fuerza F. aplicáda en P. (t:éase la Figura 4.li).
(19,14 N)
Fzt
,,r0, *,Érf )
,' {3i{rs'rz
t't¡
'¡r-- Fz¿
(1e,12 N)
(10,15 N)
,/ ,/
/,/,./
+ /1tt (
tlS.uNlf -'¿l'z.z
--rt :
// r,,E3trt
Fígura 4.14. Obtención de la fuerza reducida en A debido alafuerza F2.
Todos los esfuerzos cuya línea de acción pasa por algúrn punto de apoyo son absorbidos por la
bancada y no se consideran para el cálculo de la fuerza reducida.
Para la fuerza F, aplicada en P2 (uéuse la Figura 4.15).
Fr^ + E.r,
lF,.,l : 8,13 N
'N)
(32,52 N)
@
t^
NV'
Figura 4.15. Obtención de la fuerza reducida en A debido a la fuerza Fr.
Aplicando el principio de superposición se obtiene que la fuerza reducida del sistema total es
tgual a la suma vectorial de las fuerzas reducidas obtenidas en las soluciones parciales. En la Figu-
ra 1.16 se observa el cálculo obtenido gráficamente.
Ro: Fu I Fro lRAl : 18,28 N
á\
n\9
R¡
(18,28 N)
A
+x (o
(10,15 N)Fza
t\
t F5A(8,13 N)
Figura 4.16. Obtención de la fuerza reducida en A.
Lafuerza equilibrante Eo, es clecir, la fuerza que es necesario aplicar en el punto A para conse-
guir mantener el equilibrio es un vector de módulo y dirección igual a la fuerza reducida, y sentido
contrano.
Principio de los trabajos t:irtuales: Se aplica la fórmula

l
TF.;
L'I 'P, rEo.u^^: g F..Tr, + F.s.¡p. + 6o.lo : g
@ ITES-Paraninfo
-t* aa de maqutnas
Para resolver la ecuación es necesario obtener el cinema de velocidades de los puntos de interés
i téuse la Figura 4.17).
Figura 4.17. Cálculo de las velocidades de los puntos de interés
o Eslabón 2
l/",1 :
a4'O2P2: l0'30:300 cm/s
olr. I u2r.
l.rM
sentido acorde Cotr tDr
r Eslabón 3:
,,;n 7 Ío I ÍnD
r lrrB LBD
el CIR 1,., se obtiene aplicando el teorema cle Kennedy, y el vector velocidad del punto I) se obtiene
por homología, a partir de la velocidad del punto Pr.
o Eslabón 4:
;ft tr': ';u

I t:ru
rá
el rnódulo cle la velocidad del punto C es (r:éa,se la Figura 1.11): licl - 146,3 cm¡s.
A partir clel cálculo de la velociclad del punto C. y aplicando homología entre el cinema y el
eslabón, se obtiene que
l¡".1
: 92.3 cm/s
;IA- I;
-; tB I t/\B
ñ lo* l'ol : 540 cm/s
F.l. Tr.1.cos (02) + lF.l lr".l.cos (ris) + l6,tl 'l¡ol : 0
a partir de la Figura .1.18 se resuelve la ecuación.
30,18 N.300 cm/s.cos(90 - 38) + 52,89 N'92,3 cm/s'cos(90 64t + l4,\l'540 cm/s:0
,: , 30,18 N.300 cm/s'cos(90 - 38) + 52,89 N'92,3 cm/s'cos(90 - 64)
S+tl .t ,
E.ol : 18,44 N, el sentido del vector fuerza equilibrante es contrario al de la velocidad del pun-
to A, debido al resultado negativo obtenido.
Se comprueba que ambos resultados son prácticamente iguales
-:S-Iaraninfo
Dinámica de máquinas
Figura 4.18. Aplicación del principio de los trabajos virtuales.
> 4.2. Daclo el eslabón de laFigura 4. 19, calcular la resultante de los esfuerzos de inercia. El eslabón gira a
velocidad angular o:2 rd/s, en sentido horario, y aceleración angular z : 5 rd/s', en sentido anti-
horario. La aceleración del punto A del eslabón tiene un módulo de 3 m/s-. La masa del eslabón es
nt:0,2 kg y el momento de inercia /c:0,016 kg'-'.
Figura 4.19. Eslabón, las dimensiones del eslabón están en cm.
Resoluclór,r
El primer paso hacia el cálculo de la resultante de los esfuerzos de inercia es obtener el valor de la
fuerza y el momento de inercia, a partir de las ecuaciones:
F' : -ttt''i"
lVi¡: -lr;.).
Para el cálculo de la fuerza de inercia es necesario obtener previamente el valor de la aceleración
en el centro de gravedad. Aplicando la ecuación de aceleraciones relativas en la biela:
ñc, : t ác¡: d¡ + A'¿^ +

d¡ A'GA
: ,,,' 'AG: (2 rd/s)r '44.18 cm : I ,71 mls2

=,
ttt;'r flu'¿ol
dir. AG. senticlo de G a A
I
: t' lc : (5 rclis)2 ' 44,18 cm : 2,21 m/s2
-t
t'"n f l7i'r,nl
t dir. Ac. sentido acorde con 7
@ ITES-Paraninfo
--'ámica de máouinas
sráficamente se obtiene el valor de aceleración buscada, al aplicar la suma vectorial (uéase la Figu-
ra 4.20)
au-3.88msr
lF): rn @cl:0,2 kg.3,88 m/s2 : 0,78 N
la dirección es la misma que la aceleración du, y sentido contrario.
lÑ,1: Iu lrl : 0,016 kg'm2.5 rcl/s2 : o,o8 Nm

la dirección es la misma que la aceleración d, y sentido contrario, es decir, horario.
Figura 4.20. Determinación de la aceleración del centro de gravedad.
La representación de los esfuerzos se presenta en la Figura 4.21.
Frgwa 4.21. Esfuerzos de inercia.
La resultante de los esfuerzos de inercia se obtiene desplazando la fuerza de inercia una distancia
ft tal que represente el momento de inercia.
M, 0.08 Nm
It: ^ - ^-^-:lOcm
Fi 0.78 N
Por tanto, la resultante de los esfuerzos de inercia será una fuerza de módulo dirección y sentido
idéntica a F, desplazada I cm hacia la derecha en la dirección perpendicular a la dirección de la
fuerza de inercia. El resultado se muestra en la Fisúra 4.22.
Figura 4.22. Resultante de los esfuerzos de inercia.
-iS-raraninfo
> 4.3. El mecanismo de la Figura 4.23 es un cuadrilátero articulado cuyas velocidades y aceleraciones fue-
ron calculadas en los ejercicios de aplicación del capítulo de cinemática. Calcular las resultantes de
los esfuerzos de inercia de cada eslabón. Considerar que todas las baras oue constituven los eslabo-
nes son homoséneas.
m.: 0,5 kg I(, -- 0,062 kg . -t
mj: 0,7 kg 1., : 0,172 kg .
-'
ma: 0,6 kg [c+ : O,l08 kg . m2
Para cada eslabón se calculan la fuerza y momento de inercia, por medio de las ecuaciones
¡ ¡l * tttl'Lt(;j F,t: -mr'á.3 F,r: - nta'7t6a
Ñ,2: - Irrr.'áz Ñ,, : - Ior'd3 tvrA-

-MT- -rt;l.j.1
Dado que las barras son homogéneas, se considera que el centro de gravedad de cada eslabón se
encuentra en la mitad de la barra. Los valores de aceleración de los centros de gravedad se obtienen
del cinema de aceleraciones, al igual que los valores de aceleración angular.
e^
s¡\\ \ \ ,,so
hz"a
a
O"
Figura 4.24. Cinema de aceleraciones, obtención de las aceleraciones en los centros de gravedad.
@ ITES-Paraninfo
Dinámica de máouinas
a: = l0i) rd/s
Figura 4.25. Aceleraciones en el centro de gravedad.
Los módulos de los esfuerzos de inercia son:
lF,.l : rn''lu6':0.5 kg'(42,43 rnis2):21,21 N

lM,.l: I":'l1z : 0.062 kg -t'(100 rclisr) : 6,20 Nm
lfrsl : .rrr.1
lñ".31
: 0.7 kg'(88,32 m/s2¡ : 61,82 N
lV4,rl : /": ' l7¡l
: ().112 kg -t ' (61,54 rcl/s2¡ : l0'58 Nm
lF"l : mt.laorl: 0,6 kg'(48,50 mis2; : 29.10 N
,M,.1- Iur'1Lrl - 0,108 kg -t'(l13,85 rcl¡'s2; : l2'30 Nm
con dirección igual a las aceleraciones y sentido contrario. En la Figura 4.26 se representa la disposi-
ción de los esfuerzos de inercia sobre el mecanlsmo.
Figura 4.25. Representación de los esfuerzos de inercia en el mecanismo.
-:S-Paraninfo
Dinámica de máquinas 1 19
Para el estudio dinárnico del mismo. se hace necesario obtener una resultante de los esfuerzos de
inercia de cada eslabón. que permita sustituir la fuerza y momento de inercia por un único vector.
Fr".-¡: : F,z - lF., ,.1 : 2l'21 N F,", ¡¡ : F¡: > lF,=. ,.1 - 61.82 N
lM,l 6.20 Nm lM.,l 10.58 Nm
lt.:'
' F,.l=-' 21,21 N 0,29 m lt. -',.' ,' - _ *
lr,¡l 61,82 N
- 0. 17 rn
F,., ¡+ : F,.r r lF*. ,-rl - 29. l0
lM,,1
,'-: 12.30 Nm
h,-'
- lF,.,l 29,10 N
0.42m
Fres r=61.82N
Figura 4.27. Representación de la resultante de los esfuerzos de inercia.
Para el cálculo del par acelerador a aplicar en la manivela de entrada y las rnagnitudes de las
reacciones entre los eslabones se aplicará el principio de superposición.
Problema A:
Se realiza el equilibrado eslabón por eslabón cumpliendo las ecuaciones de D'Alambert.
@ ITES-Paraninfo
o Eslabón 4: los esfuerzos que actúan son exclusivamente las reacciones entre los eslabones F,-,
Y F..
f F,-o - R,,,-F-,r:o + F,r:
4l
R.r+
LM,:o + Mn¡P,¡tñn,(R,.,) :o
Para que las dos ."u..ion'", cumplan la segunda ecuación de D'Alambert, las líneas de acción de
ambos vectores deben estar alineadas con el eslabón.
/ dir R,o
tt
/ dir Ru
o Eslabón 3: los esfuerzos oue actúan son exclusivamente las reacciones entre los eslabones
A-,..: d..-,yFr..
t F,:0 -
4 /
R,,
:- - F,-. :0 :+ F.,¡ : F,,
T,ú, :0 - Mo\Ro.) +Ño1nr.¡: O
Para que las dos reacciones cumplan la segunda ecuación de D'Alambert, las líneas de acción de
Como se aprecia en la Figura 4.30, no existe coherencia entre las líneas de acción de dos vecto-
res que deben tener la misma dirección R+¡ y R¡¿. Por ello, la única solución posible es que ambos
módulos tengan valor nulo.
R¡+: -R+¡:0 N
Rrr: Rj.:0 N
F,*: Ro.,:0N
o Eslabón 2: los esfuerzos que actúan sobre el eslabón son las reacciones entre los eslabones
F,r: -F:, :0 N, R,. y la resultante de los esfuerzos de inercia F...,,
LF,:0 -+ F,, + F,, * F,.._,.:0 + Fr:: -F,.,_¡: - lR,rl :21.21 N
:, - W.<n;; ¡Mo.(F,",_,r) -r M,,:0 + Ñ,,: -Ñu.(F*,,r) -
\n,
I lñ,,1l: F,", ¡z
.dz: 21,21 N'50. t0 ' m : F0-i0 N- I
-lS-Paraninfo
ldir
il.
G)
/ dirR.
' dir Ro:
Figura 4.30. Líneas de acción relat¡vas a las reacc¡ones

obieto de estudio.
Para que el último eslabón esté en equilibrio es necesario aplicar un par que se denominará par
acelerador en el mismo, con sentido contrario al par generador por la resultante de los esfuerzos de
inercia.
¡r.*"" p = 21.21 N
tz -- 21 .21 N
\-
lVla = 10.60 Nm
Rrz = 21,21 N Rrz = 21,21 N
Figura 4.31. Líneas de acción relativas a las Figura 4.32. Líneas de acción relativas a
reacciones objeto de estud¡o. reacciones objeto de estudio.
Problema B:
Se repite el mismo problema anterior, pero Dara el caso de considerar exclusivamente los esfuerzos
de inercia del eslabón 3.
@ ITES-Paraninfo
I âr,ca de máquinas
Fres 3=61,82N
o Eslabón 4: los esfuerzos que actúan son exclusivamente las reacciones entre los eslabones
R,,, R.,
R,*+R..:0 - F,.:
Tt,:o - -DI\ 1 I
LM, : 0 - Mr^(R,r) ! Mo,(R¡+) : 0
oo . / dní,.
/ dlf l'lz¿
Eslabón 3: los esfuerzos que actúan son exclusivamente las reacciones entre los eslabones
R+¡ : F,., F, y la resultante de los esfuerzos de inercia del eslabón F,., ¡¡.
LF, : o - F.., + Fr., r F,",,,: : o

/ __
LM'':o
i
-
ño7rr) +fuA(R) +ñA(F*, ¡¡) : o
-! S-Pa ran inf o

Dinámica de máouinas 123
Para que las tres reacciones cumplan la segunda ecuación de D'Alambert. las líneas de acción de
los vectores deben cortarse en un mismo ounto
Fres_3 = 61,82 N
ad)
TdirR,t
Figura 4.35. Líneas de acción relativas a las reacciones objeto de estudio.
Conocidas dos líneas de acción, la tercera línea de acción deberá pasar por el punto de intersec-
ción de las dos anteriores.
\oi' ñ"
Fres_,r = 61,82 N
h3\
/ d¡R-
Figura 4.36. Líneas de acción relativas a las ,"..),on", objeto de estudio.
A partir de las líneas de acción de los tres vectores. y conociendo el módulo de uno de ellos, se
puede resolver gráficamente el problema sin más que aplicar la primera ecuación de D'Alambert de
manera gráfica (aéuse la Figura 4.37).
| ¡n,*l l: lFo.l : [r4i8 N ]

lR..l : 63,69 N
R,,,:-Fo. + |In,.l l:lR..l :f4J8I

@ ITES-Paraninfo
r
j êrtca de máquinas
' dir Rr.
Z+
dir R* \
Figura 4.37. Líneas de acción relat¡vas a las reacciones objeto de estudio.
Eslabón 2: los esfuerzos que actúan sobre el eslabón son las reacciones entre los eslabones
R,r: Frr:0NyF,t
I4:o - F.r+F,r:0 :> F,.: -F., :+ R,rl : 63,69 N
li"*' : o = M-fRfJ + Mo,(&) lÑ,,:0 =. ñ,: *ño.qRrr)

f----_---l
llú.ll: F¡z.ctr:63,69 N.s0.l0-2 m: FtJ4 N--l
Figura 4.38. LÍneas de acción relativas a las reacciones ob¡eto de estudio.
Para que el último eslabón esté en equilibrio es necesario aplicar un par, que se denominará
par
acelerador, en el mismo, con sentido contrario al par generadoipor la resultanie de los
esfuerzos de
inercia.

Problema C:
o Eslabón 4: los esfuerzos que actúan son las reacciones entre los eslabones F,o y F.. y la resul-
tante de los esfuerzos de inercia sobre el eslabón 4 F,", ¡¿.
LF :0 =+ F,* + F.., *,4.._,*,: 0

' .onX.ido
LMr,: o - úr.f*a; +Mo1Rj) rño,\F,",_^) : g
Para que tres fuerzas cumplan la segunda ecuación de D'Alambert, sus líneas de acción deben
cortarse en un único punto. Dado que lo único conocido es el vector de los esfuerzos de inercia. no
es posible obtener el valor de los otros dos vectores aplicando las ecuaciones de D'Alambert. por lo
que será necesario avanzar al siguiente eslabón para obtener más información.
Fres_¡¿ = 29,10 N
Eslabón 3: los esfuerzos que actúan son exclusivamente las reacciones entre los eslabones
F+.: F..yFr.
LF :0 + R.., + Fr.,:0 - F.,..,: -Fr.
o- Mo(Rd +fuo1Qr.¡: o
\O,,:
@ ITES-Paraninfo
i -:- :a de máquinas
¡rnbos vectores deben estar alineadas con el eslabón.
Dado que F*: : - F-,0. es posible utilizar la dirección obtenida en el equilibrado del eslabón 3
para completar el equilibrio del eslabón 4.
dir R.
rñ
\v
ldir ñ,.
Frgura 4.42. Líneas de acción relativas a las reacciones

objeto de estud¡o.
Así, volviendo al eslabón 4: con dos líneas de acción conocidas (R¡. y F,.._¿+), obtenemos la
tercera línea de acción uniendo el punto Oa con el punto de corte de las dos líneas (fr).
.\
k r\,
\ \\,
\\: -\- -\\__
\
\
\\\
\
\
\
\
dir Ry
Figura 4.43. Obtención de la línea de acción de R.o.

Conocidas las direcciones de los tres vectores y el módulo y sentido de uno de ellos, es posible
resolver la primera ecuación de D'Alambert para el eslabón 4:
F,., + R,_, + F,., ,o : o

i"-[ñu
Con la resolución gráfica es posible obtener los módulos.
R:o : F., - lF..,l : 1,86 N
lF,.l : 30,69 N
dir R,o
\G"
1,86 N
ti-
Rs¿ =
\*
\dir Ra
Por otro lado, para el eslabón 3:
f)
r\\
\\'Á
-.o
\-z
ad)
v
,p\
P.
'.9
-d
/,r
Figura 4.45. Equilibrio en el eslabón 3.
@ ITES-Paraninfo
i 'anica de máquinas
Eslabón 2: los esfuerzos que actúan sobre el eslabón son las reacciones entre los eslabones
ñ,2: -Fr,YF,r.
LF,:O - F.,, + F,r:0 + R,z: F., - lñ,rl : 1,86 N
Para que el último eslabón esté en equilibrio es necesario aplicar un par, que se denominará par
acelerador, en el mismo, con sentido contrario al par generador por la resultante de los esfuerzos de
inercia.
Lúr:0 + Mo*R.,)+Mo.(Rr:l¡M,:0 > M,,: -Mo1Rr.l ::>
JYrl: lF..l .d2:1,86 N.s0.l0-2 m: t¡,e?N*l
Ma = 0,97 Nm
nJ
Oz
-ó
Figura 4.46. Determinación del par acelerador.
Resolución del problema complefo: La solución de este problema se encuentra en la suma vecto-
rial de todas las soluciones obtenidas en los tres oroblemas anteriores. así:
PROBLEMA A PROBLEMA B PROBLEMA C

lRrll : oN lR'.rl: 14,38 N lR,.l :30,69 N
lR.,1l
:0 N lF.ol : 14,38 N lF,.l : t,86 N
lR2'rl
: oN lRr:rl:63,69 N lRr.l : 1,86 N
lF,rl :21,2r N lF,rl :63,69 N lR'rl : 1,86 N
1M,,1: 10,60 Nm (horario) lM,,l : 31,84 Nm (antihorario) lM,,l : 0,97 Nm (antihorario)
El vector Fr., tiene la misma dirección en los dos problemas, por lo que la suma puede ser esca-
lar, dado que el sentido es contrario,
lFr,l : lnr¡_rl - lFr. cl:63,69 - r,86:61,83 N
con la misma dirección que los dos vectores y sentido el de Fr1_n.
iS - )a ran i nfo
Las soluciones sráficas son:
?
o
Rr4
= 3¿g5
N
É¡¿-c = 1,86 N
Figura 4.47. Determinación de F,,. Figura 4.48. Determinación de F.o.
Rrz c= 1,86 N
\e)
\\-soo
,\\
2.'\\a".
ü-\Y
o-\
(r,\\ \
"%\
'1. \ Rrz_n = 21 ,21 N
Figura 4.49. Determinación de F,".
Por otra parte, los pares aceleradores obtenidos en los tres problemas tienen dirección perpendicular
al plano de trabajo. El par acelerador se obtiene sumando los módulos de los vectores obtenidos
atendiendo al signo según el sentido del vector.
|fu.|: lñ._,rl + lñ,, ul * lM,, ,l: -10,60 + 31,84 + o,gi :an2lsenrido anrihorario
| > 4.4. En la posición del sistema mecánico de la Figura 4.50, calcular:
a) Velocidades de los puntos Ao (perteneciente al elemenro 4), B y C.

b) Velocidad angular de los eslabones 3, 4, 5 y 6.
c) Aceleración de los puntos Ar (perteneciente al elemento 2), Ao (perteneciente al elemento 4), B
yC.
d) Aceleración angular de los eslabones 3,4, 5 y 6.
e) Suponiendo despreciables las masas y momentos de inercia de todos los eslabones, calcular ia
fuerza reducida en la articulación 6 de la fuerza Fz: I N aplicada perpendicularmente hacia
abajo en el punto medio del eslabón 2.
Datos:
OzO¿: 10 cm OA :20 cm O*f : lO .t BC :25 cm
lvorl :5 m s. rz : 0 rad/s2
@ ITES-Paraninfo
- ^2-tca Qe maQutnas
Resoluctót'r
El sistema mecánico planteado (Figura 4.50) representa un mecanismo Whitworth de retomo rápido,
muy utilizado en prensas y cepilladoras.
a) Velocidades de los puntos Ao (perteneciente al elemento 4), B y C.

Conocidas la velocidad de la barra 2 en el punto A (V,qz: 5 m/s), la aceleración angular de
la barra 2 (uz: 0), así como las dimensiones y posiciones de los elementos mecánicos (dichos
valores aparecen en el enunciado del problema o se pueden medir directamente en la Figu-
ra 4.50, representación a escala de mecanismo), para calcular las velocidades de los diferentes
elementos, se puede plantear una solución gráfica como la que aparece en la Figura 4.51.
Para llegar a la solución planteada en la Figura 4.5 l, se procede a realizar los siguientes
puntos:
A de la barra 2 en el polo de velocida-

Se sitúa el origen del vector de la velocidad del punto
des (o), con la magnitud dada(Vor:5 m/s), con la dirección perpendicular aO2e y el sentido
marcado por la velocidad angular de la barra 2 (a4).
Sabiendo que:
Í^, io"
.-2 + v^.^,
\;r
conocida L OqA. dis deslizamiento
y conocidas la dirección deioa (dirección perpendicula, a O*,q¡ y deio2oa (dirección ¿e OoA;.

se forma el triángulo o a2 - a4.
Midiendo en el cinema de velocidades de la Figura 4.51, se puede extraer la velocidad del
punto A como perteneciente a la barra 4 (VA) y también la velocidad relativa en el citado pun-
to A (VA2A).
lVool: 4,7 mls
Vaz¡+:1,768 m/s
iS -:a'aninfo
Para el cálculo de la velocidad del punto B, utilizamos la propiedad de homología del cine-
ma de velocidades con el eslabón. En este caso se trata del eslabón 4.
% :4 46'68 mm
: I ,*r:
""1 n,ll mm ULU!
debe rrrrvrrtrqr¡L alineadoLUrr
enconrrarse .rrrrrduu cono - 41.
OA O^B 25.78 cm l0 cm
lV"rl: 1,8 m/s
Conocida la velocidad del punto B, Vu @n magnitud, dirección y sentido), sabiendo que la

velocidad en el punto C vendrá determinada por la expresión
,V,
.-;
l/, * i.,
Lyr
se forma el triángulo o b. - c
-:2
dir. horizonral conocida dir. I CB
Midiendo en el cinema de velocidades de la Figura 4.51, se puede extraer la velocidad del

punto Cy la velocidadl/ru.
llr): r,6 m/s

7o,. : 1.328 m/s
Lvó
f
./ a,
/trOqB
Figura 4.51. Representación gráfica del cinema de velocidades del mecanismo en la posición dada.
b) Velocidad angular de los eslabones 3, 4, 5 v 6.
0)t : 0)t
ro+: liul 1,8 m/s

: l8 rad/s (sentido horario)
* 10.10=.;
lVru 1,328 m/s : 5,31 rad/s
rr;.'' : É (sentido antihorario)
CB 0,250 m
at6: 0 rd/s. La coredera (elemento 6) se desplaza en línea recta
O ITES-Paraninfo
c) Aceleración de los puntos A, (perteneciente al elemento 2), A^ (perteneciente al elemento 4), B

yC.
Conocidas las dimensiones, posiciones y velocidades del mecanismo, así como la acelera-
ción angular de la bana 2 (uz :0), para determinar las aceleraciones de los diferentes elemen-
tos del sistema mecánico se puede plantear una solución gráfica como la que aparece en la Figu-
ra 4.52.
Para conseguir la solución planteada en la Figura 4.52, se siguen estos puntos:
r Eslabón 2:
La aceleración del puntoA de la barra 2,áor, es conocida en magnitud, dirección y sentido.
Se sitúa el origen del vector áo2en el polo de aceleraciones (o'), cuya magnitud será igual a
(I t-n__ . lÍorl' {5 m,s)l :

- oA - 125 mlsz
I
lluA2r 0.20 m
l-
áo2: á\2 * a'o, (dir. I O2A, sentido de A aOz
I
lñ'^.1 : a,. g¡ : g
\^'
Sabiendo que
d^. : a^, + ^L
,uA2A1, '
urt'r
conocida orA
( latÁol: al.o¡: (18 rd/s)2 .21,48 cm : 89 m/s2
dir. llO1A, sentido de A a Oa

do+: áÁ+*
"L ldorl: ,o'ore : z
Idir. I O¿A, acorde con Í.1
resulta la expresión:
á¡2, : ,á'Á, -l !'oo,+ lozot. + 4,,,,
conocitlu.o*¡ou tdÁ t"
De la aceleración de Coriolis, á,,,,, se conoce su módulo, dirección y sentido (determinadt'
por el producto vectorial).
d,,,,:2.tion v^_. + LolA

]Oir. Lúoro^
Situados todos los vectores de aceleración, totalmente conocidos, en el gráfico de acelera-
ciones (Figura 4.52¡, y los dos vectores de dirección conocida, como rectas que pasan por 1o'
puntos conocidos. La intersección de estas dos rectas se dará en el punto ai y determinará e
valor de d'oo. dn.oo y ri^0.
Midiendo en la Figura 4.52, se obtienen los siguientes valores:
lo'nl: 19.5 m s2
lTtoz¡ol:27.J ms2
@:el m/s2
- ! S- Paran i nfo
La aceleración del punto B (Zu) se extrae directamente del cinema de aceleraciones de la

Figura 7.3, sabiendo que la dirección y sentido coincide con el de la áoa, ya conocida, y
la magnitud es proporcional a dicha aceleración en función de la relación de distancias al centro
instantáneo de rotación de la barra 4, para los puntos B y A.
O^B l0cm -: T
|I la"l
' "' Il: ooA tu.91
^-' 21 ,48 cm
--laool:
m/s' | 33.11 m/s' I
La aceleración del punto B (llAal:33,11 m/s') será la magnitud de o'b'en el cinema de

aceleraciones de la Figura 4.52.
El vector aceleración en el punto C vendrá determinado por la expresión
ác : ,ás ,r drt
-
conocida
donde
,
ucR - ucB ucB
-l
luego
| ^-
ol.ca: (s,31 rdls)2 .25 cm: 7,05 mlsz
[@brl:
l- CB, sentido de C a B
ác : ,AB
._ ,+ A'tB + A'cB
li
/Air.
conocida lld'.ol:\'CB:?
t-"
[al. f CB, sentido acorde con 5
eg : 3:, * gs*,dÍu
L
dir. horizontal conocida conocida Cts
Si se sitúaduenel polo de aceleraciones (o'), al final de en b'se coloca el origen deá'[u,y

se proyectan dos rectas, una que pase por el polo de aceleraciones con dirección horizontal
y otra que pase por el final del vector d[u y perpendicular a él (dirección perpendicular a BC).
La intersección de estas dos rectas se dará en el punto c' y determinará el valor de á'cu y á,
(en magnitud, dirección y sentido).
ICB llO¿B
l,/
t-
IO¿B _ horizontal
\ dnzu
tl
/ €lÁ¿
,/t a', \
,z áÁ¿
\+
l.IV-*
Figura 4.52. Representación gráfica del cinema de aceleraciones del mecanismo en la posición dada.
@ ITES-Paraninfo
Midiendo en la Figura 4.52, se obtienen los siguientes valores:
ld'co
:26,8 m/s2
lácl : 17,5 m/s2
Aceleración angular de los eslabones 3, 4, 5 y 6.

Las aceleraciones ansulares de los eslabones 3.4. 5 v 6 serán:
7.t : a+
I| r"- : ttt,,: 19.81 m s: :ll6.84rad

s' | (sent¡do horario.)
| -orA
|
0.15779 m
_ a'cR
_ 31- ,52 mls2 :tl50,0ü{lrzl (sentidoanrihorario).
CB 0,250 m
: -
:ta 0. La corredera (elemento 6) se desplaza en línea recta.
e) Suponiendo despreciables las masas y momentos de inercia de todos los eslabones, calcular la
fuerza reducida en la articulación 6 de la fuerza Fz: 1 N aplicada perpendicularmente hacia
abajo en el punto medio del eslabón 2.
Figura 4.53. Representación gráfica del equilibrio del sistema mecánico dado con una fuerza equili-
brante F6 en el punto C para contrarrestar una fuerza F, aplicada en el punto X.
A partir de la representación gráfica de la Figura 4.53 se puede calcular la fuerza equilibrante Fo

en el punto C, suponiendo que se aplica una fuerza (.F2: I N) en el punto X (punto medio del
eslabón 2). si aplicamos el principio de los trabajos virtuales, basta con establecer el equilibrio
correspondiente, según
lF.l l7"l .cos (0') + lr. lV.l .cos ( 180") : 0
Por tanto, la fuerza equilibrante Fu, considerando las magnitudes, direcciones y sentidos de
las variables como los representados en la Figura 4.53, será igual a
tr.
- Fz. V, ' cos (0'')
V..cos(180")
'E
S- Paraninfo
Por analogía, al conocer la velocidad en el extremo del eslabón2 (Vo), y ser el punto Xe-
punto medio de la barra, la velocidad en el punto X (V) será la mitad de la velocidad en
el extremo:
Vo: 5 m/s
v":; ;: 2,5 m/s
Luego, sustituyendo:
Fo: -1 N.2.5 m/s.l :0.969N

a mls.(-l1
" 2.58
la dirección será horizontal y el sentido contrario a la velocidad del punto C.
La fuerza reducida aplicada en el punto C será la opuesta a la equilibrante:
D_-D
I'REDUCIDA I'6
-
lF*rouc,ool : 0,969 N
la dirección será horizontal y el sentido igual que la velocidad del punto C.
4.5. Dado el mecanismo de la Figura 4.54, en la posición representada, obtener:
a) Los centros instantáneos de rotación absolutos de los elementos del mecanismo.

b) La velocidad del punto B del elemento 4.
c) El cinema de velocidades del elemento 3.
d) Velocidad angular del eslabón 3 y de la barra 6.
e) Aceleración del punto B de la corredera 4.
f) Cinema de aceleraciones del elemento 3.
g) Aceleración angular del eslabón 3 y de la barra 6.
@ ITES-Paraninfo
Los datos geométricos del mecanismo son:
OrA: 15 cm AC : 5,4 cm
Los datos cinemáticos son:
a2: l0 rad/s, sentido antihorario 7.2: I rad/s'. sentido

. ,t )
horario
Resolucrór'¡
a) Los centros instantáneos de rotación absolutos de los elementos del mecanismo.
En primer lugar, se determinan los CIR inmediatos
lltrl:Ot, \r=4, Ir:-C, Iro=B
F,il= ou, I{¿
Los CIR absolutos que quedan por obtener (Î,., 1,.) se calculan aplicando el teorema de
Kennedy (Figuras 4.55 y 4.56).
,,rf
l"l" 1,,
I to Ios
'-[1,*10-, { Ittlzs
Figura4.55. Aplicación
del Teorema de Kennedv. Figura 4.56. Centros instantáneos de rotación absolutos.
b) La velocidad del punto B del elemento 4.

El punto B pertenece al eslabón 3 y al eslabón 4.
f;o': iu.
( ro2.O.A:110 rad/s).(0,15 m): 1,5 m/s
lA. e elto. 2 {I IVA:
Beelto.3Vr:Vo* vVBAI1 tdir. LO2A sentido coherente cor (D2 (antihorario)
I inn dir. LAB
-ES-Paraninfo
B e elto. 4 corredera (movimiento trasl. horiz.) - iu dir. horizontal
lVo.l: 1,6 m/s
dir. horizontal
sentido izquierdas
/
/
/
/
/
.lOzA
t.. i LÓA
, ^^
'\/ //
t. á ,'
Vs = 1,6 m/s dir. horizontal
Figura 4.57. Cálculo de la velocidad del punto B.
c) El cinema de velocidades del elemento 3.

Para dibujar el cinema del elemento 3 basta con calcular el punto c del cinema del apartado
anterior correspondiente al punto C del mecanismo. Este valor puede obtenerse de diferentes
maneras:
1. Por la propiedad de semejanza entre el cinema y la pieza (el cinema de un eslabón es seme-
jante a é1, girada 90o en el sentido de su uelocidad angular).
- :!t
t" 24.61 cm:5r4ac
=> + r/c: o'z cm
AB AC 2lJ cm cm-
2, A partir de la ecuación
C e3
v.
'(, :v^,B + .'c$.
Ú^^
'--v-.-_- \aIOzA
conocida L CB / LAA
')"--X
/,'\á/
Xf,\
)Ce
IBC
bo-eo l*no"'
Figura 4.58. Cinema de velocidades del eslabón 3.
@ ITES-Paraninfo
)inámica de máquinas
d) Velocidad angular del eslabón 3 y de la barra 6.
Ae3
':- : ut,.l,1A: 1.5 m
I Ynl
'
s
(l"A:0,259 m medido sobre dibujo)
(r-, : 1.5 ms
:1
l¡f
¿
o,e ' 5'7e rad s l
dir. I plano del papel

) sentido horario
I
Ce6 + lV."l : ,,,n.OnC O^C :0.145 ml
!r,,:
LW
ir,, t ir,,r, -f_Iv."..Úr,:ir,, la
mov. de
(ya calculado en el cinema)
corredera ::> dir. horizontal - CINEMA
(r_, 0.g4 m S:l).//

_-_;;_______:___l
radsl
o.l'15 m .-
llrr^l:
"'
17..1 : - (06.0,145 m l'
0,84 m/s - 1 ¿ir. I plano del papel
I
I t"ntido horario
dir. horizontal
.LBC
q ¡/-,
Figura 4.59. Cálculo de la velocidad del punto Cen el eslabón 6.
e) Aceleración del punto B de la corredera 4.
aBr: aB,
!S- Daraninfo
B e elto 3: BIELA
A e elto. 2: manivela
(, : cDi.Aor: (10 rad/s)2.(o,ts :
]_.. f lalll
" m) 15 m/s2
l,i'Á I
AA : d; + Ail I dir' l) AO2 v sentido hacía O'
l=, I a'ol : 4' eOr: ( I rad s2)' (0.15 m¡ :0.15 m/s2 {despreciable)
ú-l.r '
á6: do* áuo I I dir. LAO2 y sentido coherente con ctz
a:;^[ta;^t :(vyf : t':t-',-t't" : 6.99 rad s2

BA 0,213 m
ARA: d';A + A'BA
I dir. BA y sentido hacia A
( ,-, ,
: a3. AB : (? rad/s2) . (0,213 m)
-t
ouo\
la-a¡l
dir. I BA
B e elto. ¿l: CORREDERA

(movimiento trasl. horiz.) + áo dir. horizontal
ldu,l : 12,55 m',s
dir. horizontal
sentido izquierdas
,/ ú= 12,55
ái=ts mld
ale = 6,
IBA
Figura 4.60. Cálculo de la aceleración del punto B.
Cinema de aceleraciones del elemento 3.

Al igual que en el apartado 3, el cinema de aceleraciones guarda una semejanzacon el ele-
mento. (El cinema de ctceleracir¡nes de una pieza t la propio ¡tiez,cr son ,\etnejantes )' están giro-
dos un ítngulo 180" :t respecto a la pieza, en el senfido de la aceleración angular.)
---1
QC a'b' a'c' 10,78
:2J3
aV cm
AC AB 0,054 0.213
lii forû 90n con n i. t oto, una tansente a la circunferencia auxiliar.
@ ITES-Paraninfo
- aamtca oe maoutnas
b'(o
-n' oo,
h
A
"6\ \/
-l
Figura 4.61. Cinema de aceleraciones del eslabón 3.
g) Aceleración angular del eslabón 3 y de la barra 6.
o!¡s: az.¿¡ ¿"t cinema de aceleraciones af,o : 18,21 m/s2
:fu:8,21 m/s2 : I 38,54 rad/s' I sentido horario

AB 0,213 m
tE= 12,55 mts,

o
ál = 8,21 m/s'
/\ f = 15 m/s'
ala = 6,99 m/s'
/v
/a'
Figura 4.62. Cálculo de la aceleración angular del eslabón 3
egr: eg.
r,,-n'
Joé':
¿
co : (5,7 7 r ad I s)z . 0,1 45 m : 4,82*rr'
rT; o.
drr:lt'r"* a'[rj
" {r.",lJl,'
;-:rt-+a-- +4...
I' ao' co^ z] dir' ll coa
_-(
^ ,'-( r( 6,
--a(tr
lacu:
I [sentido. acorde con 16
::..cida dir. CO6
e.o, : 2.(5,77 rad/s) .(0,84 m/s) : 9,69 mls'

dro, : 2'(iio xi'--t
dir. l]io., sentido, hacia arriba
áco:
a'r'. zr,l m/s-

: l--:-::--;------
| 138,6 rad/s' I sentido antihorario
Coo 0J45 *
-:S-Paraninfo
I
I
I
alu = 4.82 mls'
áT. = 20,1 m/s'

"'.="'r
ác-=9 ,69 m/s'
?
t
I
Figura 4.63. Cálculo de la aceleración angular del eslabón 6.
4.6. El mecanismo articulado plano de la Figura 4.64 permite transmitir un movimiento de rotación len-
to, a través de la manivela 6. en un movimiento de traslación rápido dirigido por el punto A del
eslabón 2.
a) Calcular el número de grados de libertad.

b) Calcular los centros instantáneos de rotación absolutos.
c) Dibujar el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones del mecanismo.
d) Calcular los vectores de velocidad angular de los eslabones 3, 4 y 5.
e) Dibujar el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones del mecanismo.
0 Calcular los vectores aceleración angular de los eslabones 3, 4 y 5.
g) Calcular las fuerzas de inercia equivalente obtenida a partir de los esfuerzos de inercia de cada
uno de los eslabones. Considerar que las barras son homogéneas y que el centro de gravedad del
eslabón 4 se encuentra en el punto B.
h) Aplicando el principio de los trabajos virtuales, calcular la fuerza vertical necesaria que habría
que aplicar en el punto E del eslabón 4 para que el mecanismo esté en equilibrio, considerando
que en la manivela de entrada (eslabón 6) se aplica un par exterior de l0 Nm en sentido antiho-
rario.
@ ITES-Paraninfo
42 Dinámica de máouinas
Los datos son
O"D :20 cm BOt:32 cm at6: 2 radf s

DC:20 cm OrC:35 cm : ) rao/s-
1o
. ,l)
nC: qS cm AB: 35 cm OÊ :90 cm
m, : 0,5 kg ml : 0,2 kg ma: 0,7 kg m5 : 0.2 kg mo : 0,3 kg
161: l,O4'10 kgm2 Ic+: 3,07.10 t kg*'

3
Ior: 6J0 ' l0 - a kgm2 lao: 1,00.10 t kg-'
Resoluclóru
a) Calcular el número de grados de libertad.
Aplicamos el criterio de Grübler (Gruebler)
G:3'(n- l) -2'.ft-.fz
donde n: 6; ft : 1; fr: 0, por tanto
f :3 (6 - t) - 2.i o: ls t4: [gdl-l

Se trata de un mecanismo DESMODRÓMICO.
b) Calcular los centros instantáneos de rotación absolutos
En primer lugar, se determinan los CIR inmediatos
F*-l= 06, I.u = D, Irt = C, Irr=B
E= ou fA=,q
l-l
Los CIR absolutos que quedan por obtener (1,.. 1'-t) se calculan aplicando el teorema de
Kennedy (uéanse Figuras 4.65 y 4.66').
,,,
{'', l,:l^,'- 1,s 11,u1ut
ll trl^t
No
,s-
(],
fCl+s
|,r\
Figura4.65. Aplicación É6\Y/
del Teorema \?i
de Kennedy. Figura 4.66. Centros instantáneos de rotación absolutos.
=-fES-Paraninfo
c) Dibujar el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones del mecanismo.

Los datos necesarios para realizar este apartado son:
cto: 2 rad/s (horario) y la dimensiones del mecanismo.
puntoDeelto.6
lVool: a4.O6D : (2 radls).(20 cm) : 40 cm/s

dir. LOp
sentido acorde con ui^
o Eslabón 5: BIELA
De5
inu: Ío, (cinema do
= dr)
Ce5
ilv.rr,l
: r')s' co : I' tzo cm)
Írr:Vrr+i.rr'. + ( ¿ir.LCD
t. sentloo acoroe con urs (?)
I
Ce4
(lvr.l : o¡o.W: ? .(35 cm)
V.o:V., + (t'_ dir.LO,C
I
I sentido acorde con ó+ (?)

Be4
li u^l : rttr. OoB : ?. (32 cm)
dir. I O+B-
sentido acorde con ora (?)
aplicando homología entre el cinema y el eslabón:
.b^ 41.18 cm
"r^ "b" ob:37'65cm
ú:ñ t;: 3s.n.
se obtiene el módulo y el sentido del vector velocidad del punto B.
o Eslabón 3: BIELA
Be3
iu. : iu, b1 = b^
Ae3
(lVo.rrl: ot.AB: ?.(35 cm)
io,: f;ur t f;orr, - {I
dir. LAB
I sentido acorde con ó., (?)
@ ITES-Paraninfo
A -.\
^íL
v.-
.A¿ :n.- A' (cinema a"
= as)
la velocidad de los puntos de la corredera es lineal y lleva la dirección vertical.
ro¿B dir. vertical

IAB\l
-t.\
=\ \ .
nr=---$-fr
,/ \ laz=aa
/ \! \,
/ llf ^r/ \ /-l/-l
6 lo¿c
)q\--- l*r
Cs=C¿',.
\\lrl |; /
l
I
\\' ls
¡\ \\\
t.r\.
lo
l;l^ /
--\ ¿l* --/
,,'
lJ= d,
\
\TUU
Figura 4.67. Cálculo del cinema de velocidades. Figura 4.68. Cinema de velocidades.
o El cinema del eslabón 2 viene representado por el punto ru,.

o El cinema del eslabón 3 viene representado por el segm"nto n¿.
o El cinema del eslabón 4 viene representado por el triángulo á.c*o .
o El cinema del eslabón 5 viene representado por el segm"nto drqr.

o El cinema del eslabón 6 viene representado por el segmento rtuu.
d) Calcular los vectores de velocidad angular de los eslabones 3, 4 y 5.

Estos valores se obtienen midiendo las velocidades coruespondientes en el cinema de veloci-
dades. Todos los vectores de velocidad angular llevan la dirección perpendicular al plano de
trabajo, por lo que se darán como solución el módulo y el sentido.
lV^"1 12 cm s lV-.,,|: 4t.2 cm s

I I AB :: 35cm :l o.¡+ radrses I
l.,,l:;5 1,,,,.,1: !9 "^-'"' " :f'-r@
-
sentido horario sentido horario
tr: Ivrol
eD
5l
2o cm
cm/s
sentido antihorario
-! S- Paraninfo
IO¿B
\ dir. vertical
IAB \I\
*l cmls
=hócV¡a =12
)=)F
tr
| ,,ér
IO¿C I
o
o I
tl
lE
s
ñ =ds
Figura 4.69. Obtención del módulo rlgura 4'lu'

Figura 4.70. Obtención
uolenclon del
oel sentido
senll
de las velocidades. de las velocidades.
e) Dibujar el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones del mecanismo.

Los datos necesarios para realizar este apartado son:
tr. : 2 rad/s2 (antihorario), la geometría del mecanismo y el cinema de velocidades.
De6
: utt.Do,.: (2 radls)2.(20 cm) : 8o cm/s2
(a';,{ta'bul
dD6: A'b6 + A'D6

/r dir.|lD\, sentido de D hacia 06
l-, ftn',u |
: v"u.DOr: (5 racl/s2).(20 cm) : 100 cm/s2
l'"^ I dir. L DO6, sentido acorde con d¡,
o Eslabón 5: BIE LA
De5
áo, : ñro (cinema tlt = tto)
Ce5
d, s: .d,,s,* i65¿,.s
conocida
-
(_,, flAtsosl
: otl.CO: (2,55 rad/s)2.(20 cm): 130 cm/s2
acsos
I ] dir. ll C¿ y sentido de C hacia D
uc5D5 - (r(.5D5 | úfC51)5 1
\
|=, .¡
a t-¡
lnc':osl
: ,.r'CD:
'(20 cm) (?)
[trc5Ds lai.. r co sentido acorde con Ís (?)

y
@ ITES-Paraninfo
):námica de máauinas
Ce4
acq : Ttcs (cinema c'+: c\)
Ce4
(-,, !la'¿11: ,ol' ac : ul rad/s)2'(35 cm) : 47 '91 cmls2

l"t'l dir. o^c v sentido de C a oa
o,., : d;, -t -tar^
, I
'- l_. I lá',rrl: aa-oaC: (?) (35 cm)

(
I n'..,- <
l-'' [Ott. Lo{ y sentido acorde con 1r (?)
Gráficamente, se obtiene el punto homólogo de C en el cinema de aceleraciones, con la

intersección de las dos direcciones desconocidas.
ács : áos -f \á'trrs I d'csos : ú'[t + __É_

\_]
7|r,,
\,_ y--J .-l_
conocida conocida LCD conocida O.C
Be4
(-,, fln'i,ol: @i'oon : Q,tl rad/s)2'(32 cm) : 43,8 cm/s2
hacia oa
: á,Á^ * ru
áuo
1,",_",'
f
,ur,, :','1,"#1'.",]t:ri"'i
y sentido acorde con Í,, (?)
fnut totr. W
L
Aplicando homología en el cinema del eslabón 4:
vü ve dü 64 cm
dü:58,51 cm
o.B ooC 32 cm 35 cm
--::
o Eslabón 3: BIELA
Be3
áo, : áo^ (cinema b\ : bi)
Ae3
áo, -- áu, I dotut -
(-,,,^.[lo'i,u¡l : u,i'AB -- t0.34 rad s)2'(35 cm):4'05 cm s2
t*t"
á*nt : á,Átrt tor.", "
1_.'"'
tñ'..^. ¿ I '::- :or.'Hf
rnr,r..r ;::, ::i
f--"'"' ldtt. LAB y sentido acorde con d., (?)
Eslabón 2: CORREDERA
Ae2
án : áo, (cinema az: u\)
-lS-Paraninfo
además, la dirección de este vector es la del deslizamiento de la corredera. es decir. la dirección

vertical.
Q¡z: Qtt : dnt 1 d'Á3elIü'¡,6,
T
-
dir. vertical conocida eonocide ,AB
- -
d'o = d's
I $l
o -"i
IAB I
tl
^t -^l
ICD
--v/
a- 1O+C
l"= ¿,05 cm/s' (t
-ct5= c'y'\
/ 6"t\
$\
>.\
(o\
\ ¡1. IO¿A \
Figura 4.71. Cálculo del cinema de aceleraciones.
U6-U5
Figura 4.72. Cinema de aceleraciones.
a El cinema del eslabón 2 viene representado por el punto c!.

a El cinema clel eslabón 3 viene representado por el segmento n'¿,.
a El cinema clel eslabón 4 viene representado por el triángulo Urci.
a El cinema del eslabón 5 viene representado por el segm.nto .1i.1.
a El cinema del eslabón 6 viene representado por el segmento rl¡.
@ ITES-Paraninfo
: -.* ca de máquinas
fr calcular los vectores aceleración angular de los eslabones 3,4 y 5.
lá^nl _30,13 cm/s2 :[o-,So*tPl :: @2) 42,48 cmls : il2f

TE 35 cm CO^ 35 cm '"d^f
sentido antihorario sentido horario
lacrl 65.35 cm S:1¡---------------rad s-

l''rlt: :CD-
t ^t--
20cm ' '
3.27 l
sentido antihorario
d'e = d's
3-{
tl
lan
a
LOIC /g'.=C:)
o,r \
F.\
-(o\
x IOaA \
I qb,,'
\o.
I
\t
\
\l
Figura 4.73. Obtención del módulo de aceleraciones
¿8 crnld
-?ic= q''
^n '
Figura 4.74. Obtención del sentido de aceleraciones

g) Calcular las fuerzas de inercia equivalente obtenida a partir de los esfuerzos de inercia de cada
uno de los eslabones. Considerar que las barras son homogéneas y que el centro de gravedad del
eslabón 4 se encuentra en el ounto B.
F,: -m¡'ác¡
M,: -lco'd,
las medidas de aceleraciones de los centros de gravedad se obtienen midiendo directamente del
cinema de aceleraciones.
o Eslabón 2: corredera
lFrl: mz.ldel:0,5 kg.54.35 cm/s2:0,27 N

misma dir. que Zo y sentido contrario
lMrl : Icz. ldrl: 0 kg . cmtTst
La fuerza de inercia equivalente es F1 : F, desplazada una disran cia h2 : : o ,^.

f
o Eslabón 3: biela
Para el cálculo de la aceleración del centro de gravedad del eslabón 3, se considera la pro-
piedad de homología entre el cinema y el eslabón y se busca el punto medio en el cinema como
homólogo'
lF,r
: mt'ra.rr:0.2 kg'54 cm s2 : 0.r I N
misma dir. que Zo, y sentido contrario
lu.l: Ior'ldrl: 1,04'10 3

kg'm2'0,86 rad/s2: 1,2'lO I kg.m27st
: :
T," tl
La fuerzade inercia equivalente es F1 F-, desplazada una distan cia lt1 mm.
o Eslabón 4: manivela
lFrl: ma.lául:0,7 kg.58,83 cmf s' :0,41 N
misma dir. que Zu y sentido contrario
lúrl: Ior'lzol: 3,01' l0-3 kg 'm''1,21 rad/s2 : 3,7. l0-3 kg.m2/s2
La fuerza de inercia equivalente es F; : F. desplazada una distancia h, : +n 9 mm.

f^
o Eslabón 5: biela
lFsl : ms.ldcsl: 0,2 kg .70,39 cm/s2 : 0,14 N
misma dir. que do. y sentido contrario
lMtl:1cs'ldsl : 6,7' 10-4 kg 'm2'3,27 radf s2 : 2,2.10.t kg.m2¡st
La fuerza de inercia equivalente es F; : F. desplazada una distancia : +n l6 mm.

h,-F.
@ ITES-Paraninfo
)tnámica de máquinas
o Eslabón 6: manivela
lFul : mo'lác,'l: 0,3 kg'64,03 cm/sr :0'19 N

misma dir. que Zi"u y sentido contrario
lúol: Ioo'ldol: l'10 t kg'trrt'5 rad¡sr:5'10

3
kg'm2¡s'
La fuerzade inercia equivalenre es F; : Fo desplazada una distancia ,r, : *I 26 mm.

r,_
h) Aplicando el principio de los trabajos virtuales, calcular la fuerza vertical necesaria que habría
que aplicar en el punto E del eslabón 4 para que el mecanismo esté en equilibrio, consideran-
do que en la manivela de entrada (eslabón 6) se aplica un par exterior de l0 Nm en sentido
antihorario.
El par exterior aplicado en la manivela 6 puede sustituirse por un par de fuerzas equivalen-
tes F¡ y F, con direcciones perpendiculares a la dirección del eslabón y módulo:
- M. lONm
:50 N
'.r' IF'l : =
lF,l: =: #
o^D 20.10'm
F,: -F.,
Aplicando el PTV a las dos fuerzas creadas más la fuerza equilibrante que debe aplicarse en
el punto E.
Fr.in +F,.iu,, + E.¡¿ : o
Cálculo de la velocidad en el punto E:

Aplicamos homología del eslabón 4 con el cinema de velocidades del mismo eslabón:
oet oc+ 0€q 41,48 cm

oe.: l+g,ZZ cm
O'E OoC 90 cm 25 cm
Figura 4.75. Velocidad del punto E en el cinema de velocidades.
-iS-Paraninfo
El vector velocidad en el punto E lleva la dirección vertical por ser perpendicular al seg-
mento O.E.
50 N.(40 cm/s).cos (0) + 50 N.(0 cm/s) + lEl. (149,33). cos(0) : 0
lEl : 13,3e N
La dirección del vector es vertical y el sentido es contrario al sentido del vector velocidad
del punto E, por tanto, hacia abajo.
> 4.7. El mecanismo representado en la Figura 4.16 está compuesto por varios eslabones, donde el eslabón
BCD está conectado por el punto D al elemento_fijo mediante una conedera. Conociendo que la
velocidad en el punto A es constante y de valor I Vol : 4 m/s, se pide:
a) Determinar los centros instantáneos de rotación absolutos de todos los eslabones.
b) Calcular el cinema de velocidades del eslabón BCD.
c) Calcular las velocidades angulares de todos los eslabones.
d) Calcular la aceleración del punto B.
e) Representar el cinema de aceleraciones de la bana BCD.
0 Calcular las aceleraciones angulares de todos los eslabones.
Datos:
OzA:20 cm ¿tr:60 cm BD:40 cm OoC :20 cm
o
Resoluclót¡
a) Determinar los centros instantáneos de la barras. Se calculan los CIR inmediatos y. posterior-
mente, se aplica el Teorema de Kennedy.
CIR inmediatos: 1¡r. Itt, Itr, I^s, Iít, I¿0, Ito
Teorema de Kennedy
,, , {t,ntn'.
''t 1,, ft ,,t,.
'''
U,'./t, U,-,/'r.
O ITES-Paraninfo
_ âmtca qe maQutnas
Figura 4.77. Cálculo gráfico de los CIR absolutos.
b) Calcular el cinema de velocidades del eslabón BCD.
r Eslabón 3:
V-:V, t luo
.-/- .Vc
\TJ
: vu + ,Vro
t/VD
-
llVC + !or,
--/-
L IAB LBA -4f tce dir. horizontal rDC

dir. horizontal dir. vertical
a2- d3-
=b¡=b¿
ICB
Figura 4.78. Cinema de velocidades del eslabón 4.
El cinema de velocidades del eslabón 4 viene representado por los puntos homólogos bacada.
c) Calcular las velocidades angulares de todos los eslabones.

Todos los vectores de velocidad angular tienen la dirección perpendicular al plano de trabajo
It/..1 4 m/s :
t-''t : :otA: --
1,,,. | -----
2o.lo -m
| 20 rad s l. sentido horario
lVnol 0 m/s
BA 60.10 - m
!S-raraninfo
lv,,"l: 8 m/s. :
|ut^-rl: '-:'
I
DB 40'10 -m | 20 rad/s l. sentido antihorario
lr/ lVo rr
| ''t
tvDl
|
_:lul
L-D
't)" .L
lv-l
'--:-r: 4ms-m :
I ''rl: O^C
l¿,_¡^
20.l0
I20 rad,s l. sentido horario
Vc =4 m/s
d2-d3-
horizontal
=b¡=b+
,/ ür=4mls V--.oe = B m/s dq=ds
Figura 4.79. Cálculo de los módulos de las velocidades angulares.
Oz
Figura 4.80. Cálculo de las direcciones de las velocidades angulares
d) Calcular la aceleración del punto B.
= t]
La
: á^ -l áro, io: cte > a4: 20 rad/s : cte
: o2^'OA : (20 rad/s)2 '20 cm : 80 m/s2

"' flo'Ál
d¡: -,,
I dir. I o2A, sentido de A a 02
@ ITES-Paraninfo
: 1ám¡ca de máqu¡nas
dn: á¡ I án^: A'; + A''uA *

lla';^l: "'i
¿'oo\11,'r^l: t1'BA
Y:: (:1)'BA
lait. f BA, sentido acorde con 1r (?)
Calculamos la aceleración del centro instantáneo de rotación del esl abón 4.
átt+: at('+ á,rc

C e6
(lu'¿l: ,ú.O;c: (20 rad/s)''20 cm : 80 m/sr

l_
llra' o
ác:á'i-* o',111
- :
llA'.1 v"o'OoC
.T 1T''"
: (?)'O6C .0"
I
[Air. f OuC, sentido acorde con z6 (?)
(@'i,rrl: o'1 T;e : (20 rad/s)2 .20 cm : 80 m/sr

I
l¿t. 1r+C, sentido de 1'* hacia C

-L;t
Q n+c' -;,n "-'
-.{ilJC'(r/l_+c\r.r
¿
: ar't,rC : (?) '1r+C

ll¿;'*'l
lair. ,l- /*e, sentido acorde con z+ (?)
á^+:ac+ail4c:!, * *W i ltntc,
I
conocida L O6C conocida L IÁC
vertical vertical
por otro lado:

átt+: ¿tD + árAD
D e 5: CORREDERA
la dir. de Z, es la horizontal
(lá'i,rr.l: oi lP : (20 rad/s)2'20 cm : 8o m/s2

I
l¿lr. l-D. sentido de /'* hacia D

u^fD-ullJD'ullJ "
¿
llri',,rrl -- tr.l,rD: ('l)'/r+D

I
[air. f /,.D, sentido acorde con r+ (?)
att+ : dt, * i,roo --,d,, , * .ti'111,,

* o',rou,
--:-_
horizontal conocida
n.*'iirl',",
De la intersección de ambas direcciones se obtiene el punto homólogo r'*.
ás:á^¿ldu'r,
-i S- Paran inf o
f^.
(ld'i,,^l: o1.T;A : (20 radis)2.20 cm : 80 m/s2
I
(tBII-l * uBIIJ , ,/Olr. 1,rB-. sentido de B hacia /,.,

uall-+ \
la'arr+l : ta' I,tB : (?t' ltJB
I
lOt. f 1oB-, senticlo acorde con 1.1 (?)
dn: 16l,l9 cm/s2
Figura 4.81. Obtención gráfica de la aceleración de B.
e) Representar el cinema de aceleraciones de la barra BCD.

, Para representar el cinema del eslabón es necesario obtener los puntos homólogos de C y D.
Estos pueden obtenerse aplicando la homología existente entre el eslabón y el cinema. Sabiendo
que el punto 1'* se encuentra alineado con B y D y además está en el punto medio, entonces:
b'
Figura 4.82. Cinema de aceleraciones del eslabón 4
@ ITES-Paraninfo
Punto C
Aplicamos homología:
Ee : lzo'? -t 202 :28,28 cm
358,04 cm b'c'
> b'c' :253,17 cm
40 cm 28.28 cm
valor que llevamos al cinema con una circunferencia y desde el punto homólogo l!a llevamos una
perpendicular al segmento bil- para conseguir la homología con el eslabón triangular. Con ello se
obtiene el cinema de aceleraciones del eslabón 4.
f) Calcular las aceleraciones angulares de todos los eslabones.

Todos los vectores de aceleración angular tienen la dirección perpendicular al plano de trabajo.
Figura 4.83. Cálculo de los módulos de las aceleraciones angulares
r-----------:-
:
I 1, U l. sentrclo horano
lá'uol 240,19 mls2

: | +OO,:z ra¿/s'? l, sentido horario
BA 60.10'-'m
lú'u,,^l m sr
t^;_l _ -': : 160.
-,---- 1 : -----------:-l
800 rad s' l. senrido antihorario
| 4t |
t-l -
L,B 20.10 - m |
I
(@'á: afi'o6-e : (20 rad/s ¡2. 20 cm : 80 m/s2
l_
I OuC.sentido de C a o6
+ e, \/dir.
_,
Ar: A'r
: t?t' o,.C
I : to' o,,C
ll,,l
[air. -L OJ. senticlo acorde con z6 (?)
ln'r.l 80,1 1 m/s2

: | --,^., 1 |
| 400,55 rad', s- L sentido horario
OnC 20. l0 - m
-IS-Paraninfo
w2
Figura 4.84. Cálculo de las direcciones de las aceleraciones angulares.
> 4.8. Dado el mecanismo de la Figura 4.85:
a) Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de rotación absolutos.

b) Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones y los valores de los vectores (r3,
05 y @t
c) Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones y los valores de los vectores
:l1, As y 1.6.
Datos:
El mecanismo dibujado se encuentra a escala 1:2. Las medidas de los eslabones son las siguientes:
OA:70mm AB:6-lmm OJ--18mm

AC : 126 nm CD-: ló0 mm ot2: I rad/s (cte)
r -40,00- ---.-r
ozl
:--l--I
O
O
o
@
@ ITES-Paraninfo
i -=^ ca de máquinas
Resoluclór.l
a) Determinar el número de grados de libertad y centros instantáneos de rotación absolutos.
1. Cdlculo del ntimero de grados de libertud
Aplicamos el criterio de Grübler (Gruebler)
G:3'(n- 1)-2.f,-.f.
donde n -- 6t f, :
f.: 0
1;
G:3.(6 r)-2.7-0:15-t4 IG : I les un mecanismo DESMODRóN{ICO

2. Cólculo de los CIR absolutos
Determinamos los CIR inmediatos
Irz, Izr, Iíi, Irr, I3s, Is6, Ij6

Los CIR absolutos que quedan 1r¡ y 1rs se calculan aplicando el teorema de Kennedy (t:éctse
la Figura 4.86).
,,, ,,.''' {1,n1n-,

{",,,'ll, t1,¡1.,,
1 ,tD
6lN2
il,' t /,
sV3 "il ,'
4r'
/
/-'¡,
1,"
Figura 4.86. Cálculo gráfico de los CIR absolutos.
b) Calcular el cinema de velocidades de cada uno de los eslabones y los valores de los vectores (/)3,
05 Y @6.
Los datos necesarios para resolver este apartado son: la geometría del mecanismo y la velo-
cidad angular de uno de los eslabones.
ro2: I rad/s (antihorario)
:S-raraninfo
Punto A e 2
liorl: o2'OrA: (1 rad/s).(70 mm):70 mm/s

dir. L O,4 y sentido acorde con ¿d2
o Eslabón 3: BIELA
Punto A e 3
lVorl : Vo.. (cinema a2

= a.)
B e3
*':.#oJ
H
o Eslabón 4: CORREDERA, unida al eslabón I
Be4
iu^: Vo, t Ínru,
\-¿J
l-
-O )AB
en el cinema ba: o
La velocidad del punto C perteneciente al eslabón 3 se obtiene aplicando las propiedades de

homología de los cinemas.
:Te - atct:u1b,.::49,50
'
Te ._t26 mm =9'7,45mm
cr3c3 - ' AB rl1t1l
64 mm
o Eslabón 5: BIELA
Ce5
f;,, : i- (cinema cj = c5)
De5
io':.#*..
FJ
De6
ior: iro t-/J
L O6t)
¡ Ef cinema del eslabón 2 viene representado por el segmento rx4.

o El cinema del eslabón 3 viene representado por el segmento ffi.
o El cinema de la corredera 4 viene representado por el punto b.r.
¡ El cinema del eslabón 5 viene representado por el segmento ,id..
o El cinema del eslabón 6 viene representado por el segmento oQ..
@ ITES-Paraninfo
- .- ^^ )^ ^Á^,,i^^^
- -a uc ta\,luu tdo
I I
¡ -n-Y
t'
tr. ll aa
7
\ .Louo -h
Vnz
a2=43 \
]-AB \ áz= dt
Figura 4.87. Construcción del cinema Figura 4.88. Cinema de velocidades

de velocidades. de cada eslabón.
Los valores de los vectores (rJj, o\y (r)6 se obtienen a partir del cinema de velocidades. Las
direcciones de todas las velocidades son perpendiculares al plano de trabajo.
l%.n.| : @1.A8 - :' lV",^,1

+:
49.50 mm/s
-- : | 0.77 rad/s l. senrido horario
AB - mm
64
I -t
U5-U6
Tlea
o=b¿
', -LO6D
üo,
d2 _i d1
'l- AB'
Figura 4.89. Determinación del módulo de las velocidades angulares.
l- tr" ran i nfo

17,.,,.1 : r'.t,'cD ::> t*l : H : nt;?l::" : reJz *dÁ-], sentido antihorario

LU IOU ITllTl
t08;34:TA :arff,^d*,
tv^t: a4.o6D :> El: H:
uû +ó mm
senrido horario
Figura 4.90. Determinación del sentido de las velocidades angulares.
c) Calcular el cinema de aceleraciones de cada uno de los eslabones y los valores de los vectores
ctT !"s y a"6.
Ae2
áo2: -l), * alo,
ul di: (l
rad/s)2.(70 mm) : 70 mm/s2
Uir \fla';rl:
=,,
[dir. ]l OrA y sentido de A hacia 02
dtz: 0 (ro, cte + az: O)
¡ Eslabón 3: BIELA
Ae3
átz: átt (cinema 0z : a't)
Be3
dat:dnláez¡t
r
l=,, f la atol : al. B¡ : (o,ll rad/s)2 . (64 mm) : 37,94 mmls2
IUD)¡r 1
""^'
dst¿,t:A';1A1 +A'81A3 ('/ I ¿ir. BA y sentido de B hacia A
| _, f lZu¡o¡l : a,,. BA : ('!) . BA
I1. aar¡¡
"'^' 1I dir.
,.
L BA y senrido acorde con e. (?)
@ ITES-Paraninfo
Be4
Ubl UD1 | (lprDl | (l .- \

la,.,l:2'u,¡,' lVo*n,l :2' o.17 rad s)'(49.50) mm s:76.23 mm s2
-
--'AB {dir. Va+at y sentido acorde con la regla de la mano derecha
án+: 0
,i
(IB\ _; uRfB3 _,i L{t.r)t. _:1Lt,.,,r
- LtBl
-.i --: uB\BJ
dnt : ño¡ f rifi.r¡r I d'u:o¡ : -ú,,,, du.u:

._/.J LY-J LW--J \'\! l+V-J
conocida contrcida L AB conocida AB
La aceleración del punto C perteneciente al eslabón 3 se obtiene aplicando las propiedades

de homología de los cinemas.
Ae TE Ae t2ó mm
i,: o'th't + d¡'.:a'1b'1''=:128,32 mm'-
64 mm =252,63mm
a'¡c't - - AB
o Eslabón 5: BIELA
Ce5
dcs : dct
De5
; L;
,r¡s -{!l
-; ' (rDscs
conocida
(
l=,, f@'Ltrrl: ui, De
: Qsl rad/s)2'(16o mm) : 51,98 mm/s2
, -t / ,|úrDscs l oi.. DC y sentido cle D hacia C
\
(¡/)5(.5
- qD5(5 ' (rD5C5 \ : a.5.DC: (1) DC
I
I +¡
t¡^.-. (
f lñr,.rl
t\\ " " I dir. LDC y sentido acorde con is (?)
De6
áoa: dos
I
l-,,
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I ld'i,nl : utl,'Op : Q-25 rad s)2 '148 mm) :
<
243 mm sr
"" lt OoD y sentido de D hacia on
; - ;,1
QDa: - o'^ / tott
aDa L;t
: :
II -,
r1,,^<
f la'o^l xn.ooD er.o^D
| '-"
ldir. L O6D y sentido acorde con io ('l)
o El cinema del eslabón 2 viene representado por el segmento oTr.

o El cinema del eslabón 3 viene representado por el segmento ,,,¡J..
o El cinema de la corredera 4 viene representado por el punto bi.
o El cinema del eslabón 5 viene representado por el segmento f.d..
o El cinema del eslabón 6 viene representado por el segmen¡o o4.
iS-Paraninfo
b!
;."\ ,,- \ l"ro'

"'" \z_____J'álrBr-
b'. .{.a',= a'.
, ouób'= r
Figura 4.91. Determinación Figura 4.92. Cinema de
del cinema de aceleraciones. aceleraciones.
-L06D
IAB
-añ,
Figura 4.93. Determinación del módulo de las aceleraciones tangenciales.
@ ITES-Paraninfo
Los valores de los vectores ay as y 16 se obtienen a partir del cinema de aceleraciones.
ttu,^tt::t1.AB - El: ry:

Att ''?l*=Tr':
o+ mm f,rl *d¡t'], senrido horario
larrcsl: a,,.eD +
ldrrrrl 313,40 mm/s
eD 160 mm
f,gor"d/i-], senticlo horario
ld'oul 484,41 mm/s

ooD 48 mm
tOp, *dA¡, sentido horario
Figura 4.94. Determinación del sentido de las aceleraciones angulares.

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Problemas resueltos de teoría de máquinas y mecan¡smos

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1.2.3. P¡n elen¡ENTAL. Jururn O CIERRE DEL PAR

1-2 Par elemental

Clasificación según el movimiento relativo Clasificación según el movimiento relativo

. Clasificación según el número oe Darras

Clasificación según la superficie de contaclo

Figura 1.6. Tabla de clasificación de pares elementales.

1.2.4. ESLNAONES SIMPLES Y COMPUESTOS. MRITIIVCTR, BIELA

Par elemental o cinemático

2. Cierre de fuerza: 3. Cierre de enlace o de cadena:

Figura 1.7. Par y cierre de par. Tipos de cierre.

4 eslabones simples (binarios).

Figura 1.8. Tipos de eslabones: simples (binarios), compuestos.

1.2.5. Cnoerur crNEMÁTrcA. MEcANrsMo r/s. ESTRUcTURA

ESTRUCTURA (0 gdl) N/ECANISMo (1 gdl)

segunoo graoo tercer graoo

Figura 1.9. Cadenas cinemáticas: cerrada, abierta. Mecanismos.

1.2.6. ltr¡veRsrorrrES DE uN MEcANtsMo

1.3. CoorrrcacróN DE Los MEcANtsMos

eslabón 1 = TIERRA eslabón 2 = TIERRA

Cadena cinemática que posee: Cadena cinemática que posee:

Figura 1.13. Representación gráfica de mecanismos: pares de rotación y traslación.

La representación gráfica de los pares de rotación lo haremos mediante un círculo en el punto

. Un mecanismo, en una deierminada posición, es

Expansión de pares cinemáticos: conservan el

Figura 1.14. Mecanismos equivalentes.

1.4. Gnnoos DE LTBERTAD DE uN MEcANtsMo

Si introducimosparescondiferentesgradosdelibertad: PrPz,...,Pr, los6¡/GDLinicialesdisminui-

P, pares de GDL',, : 2 - (6-2) P2

P. pares de CDL.". : 5 - (6-5) Ps

(Está claro que no tienen sentido juntas de 6 GDL.". o superior.)

GDL : 6(¡/ l) - (6- I ) P, 6-2) P2 (6-5) Ps (Fórmula de Kutzbach, 3D)

GDL: 3(N - r) - (3-l)Pr - G-2)P2 (6-s)

Véase en la Figura 1.1-5 la definición de mecanismos según el número de GDL.

I CRITERIO DE GRÜBLER (GRUEBLER)

I Si GDL > 1 mecanismo G-GDL.

Figura 1.15. Fórmula de Gruebler.

1.4.1. APUCRCIÓN. SírurESIS DE GRUEBLER

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