Este documento presenta 24 ejercicios de vectores que involucran conceptos como sumas, restas, productos escalares, productos vectoriales, ángulos entre vectores, proyecciones, perpendiculares, paralelos, coplanares y cálculos geométricos en el plano y espacio. Los ejercicios deben resolverse para practicar el cálculo y manipulación de vectores en diferentes situaciones y geometrías.
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Este documento presenta 24 ejercicios de vectores que involucran conceptos como sumas, restas, productos escalares, productos vectoriales, ángulos entre vectores, proyecciones, perpendiculares, paralelos, coplanares y cálculos geométricos en el plano y espacio. Los ejercicios deben resolverse para practicar el cálculo y manipulación de vectores en diferentes situaciones y geometrías.
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Este documento presenta 24 ejercicios de vectores que involucran conceptos como sumas, restas, productos escalares, productos vectoriales, ángulos entre vectores, proyecciones, perpendiculares, paralelos, coplanares y cálculos geométricos en el plano y espacio. Los ejercicios deben resolverse para practicar el cálculo y manipulación de vectores en diferentes situaciones y geometrías.
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PRÁCTICA Nº 1: Vectores.
Resuelva de manera correcta los siguientes ejercicios:
1. Una esquiadora viaja 1.00 km al norte y luego 2.00 km al este por un campo nevado horizontal. ¿A qué distancia y en qué dirección está con respecto al punto de partida?
2. Los tres finalistas de un concurso de TV se colocan en el centro de un campo plano grande;
cada uno sigue los siguientes desplazamientos y direcciones: 72.4 m, 32.0º al este del norte; 57.3 m, 36.0º al sur del oeste y 17.8 m al sur. Los tres desplazamientos llevan al punto donde está el premio. Si usted fuera una de las finalistas, ¿hacia dónde iría?
3. Un avión despega y viaja 10.4 km al oeste, 8.7 km al norte y 2.1 km hacia arriba. ¿A qué distancia está de su punto de partida?
4. Dados los vectores: A = (1, -1, -1), B = (-1, 1, 1) y C = (1, 1, 1) y n = 2 y m = -1. Hallar las siguientes expresiones: a) A - mB, b) ǀnCǀ + m, c) ǀA – mCǀ + m y d) C – nB.
5. Obtenga el producto escalar de A . B de los
vectores de la Figura 1. Las magnitudes de los vectores son A = 4.00 y B = 5.00.
6. Determine: a) el ángulo entre los vectores
̂ y ⃗𝑩 ⃗𝑨 = 2𝒊̂ + 3𝒋̂ + 𝒌 ̂, b) ⃗ = −4𝒊̂ + 2𝒋̂ − 𝒌 La proyección de ⃗𝑨 sobre ⃗𝑩 ⃗ y c) La proyección de ⃗𝑩 ⃗ sobre ⃗𝑨.
7. Si P = (n, 1) y Q = (2n, n), hallar el valor de
n para que P // Q.
8. Si A = (n, 3n), A – B = (3n, p), B // A, ǀA – Bǀ = 30. Hallar el módulo de B.
9. Los vectores P = (1, 2, 1) y Q = (2, 1, 0) son perpendiculares al vector R. Además la
proyección de R sobre M es (2, 2, 2). Hallar el vector R = (R1, R2, R3).
10. Sea A = (1, -1, 1) y B = (2, 1, -1). Hallar el vector P tal que A x P = B y A . P = 1.
11. Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la suma de los vectores A = (2, 2, 2) y B = (1, -1, -1).
12. Un objeto efectúa un desplazamiento de (8, -2, 1) partiendo del punto A = (2, 5, 1). Hallar las coordenadas de su nueva posición.
13. Hállese un vector que sea perpendicular al vector (2, 2, 2) que cumpla la condición de tener la componente sobre el eje Z nulo y sumando con el vector (-4, 0, -2), tenga la primera componente de valor cero. 14. Construir un vector de módulo 5 y que sea perpendicular a los vectores (1, -1, 0) y (0, 1, -1).
15. Se añade una fuerza B a una fuerza que tiene por componentes X y Y de 8 N y -5 N. La resultante de las dos fuerzas está en la dirección –X y tiene una magnitud de 4 N. Hallar la fuerza B.
16. Un vector P de módulo 6 tiene las tres componentes iguales. Hallar el vector.
17. Para que valores de a, A = (a, -2, 1) y B = (2a, a, -4) son perpendiculares.
18. Dados los vectores A = (1, 2, -3), B = (-5, 3, 2) y C = (0, -1, 3); determine: a) A . (B x C), b) B x (C x A), c) C (B . A).
19. Hallar la constante a de forma que los vectores (2, -1, 1), (1, 2, -3) y (3, a, 5) sean coplanares.
20. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son A = (3, 1, -2) y B = (1, -3, 4).
21. Hallar el volumen del paralelogramo cuyas aristas son A = (2, -3, 4), B = (1, 2, -1) y C = (3, -1, 2).
22. Hallar la distancia desde el punto (6, -4, 4) a la recta que pasa por (2, 1, 2) y (3, -1, 4).
23. Dados los vectores P = (1, -1, 1), Q = (-1, 1, 1) y R = (1, -1, -2); halle un vector que sea paralelo al plano que contiene a Q y R, que sea perpendicular a P y su módulo sea igual a 2.
24. El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de magnitud y hace ángulos de 37o y 45o con ellos. Hallar la magnitud de los vectores.
