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Variables de
decisión: T = Unidades de publicidad a contratar en televisión.
R = Unidades de publicidad a contratar en radio.
P = Unidades de publicidad a contratar en prensa.
Restricción 2 La publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas.
R = 0,50 (T+R+P)
Restricción 3 La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado
T ≥ 0,10 (T+R+P)
T R P
solucion 3.13559322 15.6779661 12.5423729 Zmaximo=
dad en radio debe ser
ntidad de unidades
. El presupuesto total
nar el plan óptimo para
n la publicidad.
publicidad autorizadas.
18500
0
0
1097457.627
problema 02: se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180
refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos
tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin
cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El
vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por
cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes
de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.
Variables :
A = Cantidad de paquetes “A” a vender.
B = Cantidad de paquetes “B” a vender.
A B Disponibilidad
Refresco con cafeína 3 2 120
Refresco sin cafeína 3 4 180
z= 6 5
A B
3 2 <= 120 120
3 4 <= 180 180
A B
Solucion: 20 30 Z maxima= 270
PROBLEMA 3:Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de
componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dieta
las que la concentración de dichos componentes es: dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B dieta D2: 1 unidad de A
unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución óptima pa
menor costo?
Función Objetivo :
Z = 2,5 D1 + 1,45 D2
Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar me
D1 D2 REQUERIMIENTO
Unidades de componente A. 2 1 70
Unidades de componente B 3 2 120
Restricción 1:
2 D1 + 1 D2 ≥ 70
Restricción 2:
3 D1 + 2 D2 ≥ 120
Z 2.5 1.45
D1 D2 RESTRICCION
R1 2 1 ≥ 70
R2 3 2 ≥ 120
D1 D2
SOLUCION: 0 0
n su alimentación dos clases de
l médico le da dos tipos de dietas en
s de B dieta D2: 1 unidad de A y 2
uál es la distribución óptima para el
0
0
Zminimo: 0
PROBLEMA 4 : Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar
más de 8 has. con olivos de tipo A, ni más de 10 has. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos
de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44
m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €.
Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B
producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:
a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción
b) Obtener la producción máxima.
SOLUCIÓN :
Variables :
A = Cantidad de hectáreas de olivo del tipo “A”
B = Cantidad de hectáreas de olivo del tipo “B” .
A B Disponibilidad
M3 de agua anual 4 3 44
Inversión 500 225 4500
Cantidad máxima a cultiva 8 10
Restricción 1: 4A + 3B ≤ 44 (agua)
Restricción 2: 500A + 225B ≤ 4.500 (inversión)
Restricción 3: No se puede cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A
A≤8
B ≤ 10
Z= 500 300
A B
4 3 <= 44 44
500 225 <= 4500 4500
<= 8 6
<= 10 6.67
A B
solucion: 6 6.67 Zmaximo= 5000
Se deben cultivar 6 has. con olivos del tipo “A” y 6,67 del tipo “B” generando una producción máxima de 5.000 litr
a maximizar la producción de aceite.
cción máxima de 5.000 litros de aceite.
Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Pa
modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y
La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuán
modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?
Función Objetivo :
Z = 40A + 20B
Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disp
A B
Horas de trabajo 4 3
Unidades de tela 3 5
Cantidad máxima a fabricar 9
Restricción 1
4A + 3B ≤ 48
Restricción 2
3A + 5B ≤ 60
A≤9
Z 40 20
A B RESTRICCION
R1 4 3≤ 48
R2 3 5≤ 60
R3 1 ≤ 9
A B
SOLUCION 20 0
cios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del
modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela.
en hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada
beneficio y cual sería este?
donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema
DISPONIBILIDAD
48
60
80
60
20
Zmaximo 800
PROBLEMA 6 : Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos
recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del
tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en
las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que
la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo
interés anual?
SOLUCIÓN :
Variables :
A = Dinero a invertir en acciones del tipo “A” .
B = Dinero a invertir en acciones del tipo “B” .
Restricciones :
A + B ≤ 210.000
A ≤ 130.000
B ≥ 60.000
Restricción 4: Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B.
A ≤ 2B
A – 2B ≤ 0
Z= 0.1 0.08
A B
1 1 <= 210000 210000
1 <= 130000 130000
1 >= 60000 80000
1 2 <= 0 -30000
A B
solucion: 130000 80000 Zmaximo= 19400
Se deben invertir 130.000,00 euros en acciones del tipo “A” y 80.000,00 en las
del tipo “B” y esto generará 19.400,00 euros de interés máximo anual.
e el doble de la inversión en B.
En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno y un Kg. de
bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una torta Real necesita medio Kg. de relleno y un Kg. de bizcocho y
produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno,
aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas
Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?
Variables :
V = Cantidad de tortas Vienesas a vender al día.
R = Cantidad de tortas Reales a vender al día.
Función Objetivo :
Z = 250V + 400R
Restricciones Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para
V R DISPONIBILIDAD
RELLENO 0.25 0.5 50
BIZCOCHO 1 1 100
MAXIMA PRODUCCION 125 125
Restricción 1
0,25 V + 0,50 R ≤ 50
Restricción 2
1 V + 1 R ≤ 150
V ≤ 125
R ≤ 125
Z 250 400
V R RESTRICCION
0.25 0.5 ≤ 50
R1 1 1 ≤ 150
R2 1 ≤ 125
R3 1 ≤ 125
R4
V R
SOLUCION 125 125
ta un cuarto de relleno y un Kg. de
Kg. de relleno y un Kg. de bizcocho y
Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno,
¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas
cio?
toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema
93.75
250
125
125
Zmaximo 81250
PROBLEMA 8 : Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1
tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja
calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres
calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad,
160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario
de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada
mina para que el coste sea mínimo?.
SOLUCIÓN :
Variables :
MA = Días a trabajar en la Mina A. .
MB = Días a trabajar en la Mina B..
MA MB Requerimiento
Hierro de alta calidad (ton.) 1 2 80
Hierro de media calidad (ton.) 3 2 160
Hierro de baja calidad (ton.) 5 2 200
Z= 2 2
MA MB
1 2 >= 80 80
3 2 >= 160 160
5 2 >= 200 240
MA MB
solucion: 40 20 Zminimo= 120000
Se deben trabajar 40 días en la Mina “A” y 20 días en la Mina “B” para que el costo sea mínimo (120.000,00 euros
to sea mínimo (120.000,00 euros).
Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades
mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos
supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa
jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse pa
obtener el máximo beneficio y cuál es este?
Variables :
E = Cantidad de electricistas a elegir .
M = Cantidad de mecánicos a elegir .
Función Objetivo :
Z = 250 E + 200 M
Restricción 1: Es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas.
E ≤ 30
M ≤ 20
as y mecánicos. Por necesidades de
as y que el número de mecánicos no
nicos. El beneficio de la empresa por
es de cada clase deben elegirse para
electricistas.
PROBLEMA 10 : La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de
INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de merc
que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máx
de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Determin
de especias que maximice el ingreso de la Empresa.
SOLUCIÓN
Variables :
C = Cantidad de botellas de curry a producir.
P = Cantidad de botellas de pimentón a producir.
HB1 = Onzas de HB1 no utilizadas a vender.
HB2 = Onzas de HB2 no utilizadas a vender
Restricciones:
Restricción 1 : Onzas de HB1 utilizadas en cada botella de aderezo
5 C + 2 P ≤ 10.000
Restricción 4 : Las onzas de HB1 no utilizadas y las utilizadas deben sumar 10.000 onzas :
HB1 + 5 C + 2 P = 10.000
Restricción 5 : Las onzas de HB2 no utilizadas y las utilizadas deben sumar 8.500 onzas :
HB2 + 3 C + 3 P = 8.500
C P HB1 HB2
Solución: 1500 1250 0 250
ar 10.000 onzas :
ar 8.500 onzas :
10.000 10000
8.500 8500
1.500 1500
10.000 10000
8.500 8500
Zmáximo = 5.791.750,00
SOLUCIÓN :
Función Objetivo : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visu
Como se dice que los camiones de tipo B tienen igual cubicaje que los del tipo A, significa que tienen un espac
es refrigerado y 50% no refrigerado los datos del camión tipo B serán 30 y 30.
A B Requerimiento
Espacio refrigerado 20 30 3.000
Espacio no refrigerado 40 30 3.000
Restricción 3: Como las variables o incógnitas son cantidades de camiones a utilizar, los resultados tiene
Z= 30 40
A B
20 30 >= 3.000
40 30 >= 4.000
A B
Solución : 51 66 Zmínima =
Se utilizaran 51 camiones del tipo “A” y 66 del tipo “B” generando un costo mínimo de 4.1
n un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3
do. La contratan para el transporte de 3.000 m3
ita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A
ra que el coste total sea mínimo?
tipo A, significa que tienen un espacio total de 60 m3 (20+40). Y como se especifica que 50%
iones a utilizar, los resultados tienen que ser números enteros positivos (PROGRAMACION LINEAL ENTERA),
3000
4020
4.170,00
SOLUCIÓN :
Restricciones :
Restricción 1: Los alumnos que “quepan” en cierto número de autobuses grandes más los que “quepan”
42 G + 20 P ≥ 320
Restricción 4: Pero sólo dispone de 9 conductores (si se tienen 9 conductores no se pueden asignar más
1G+1P≤9
Z= 900 400
G P
42 20 >= 320 334
1 <= 8 7
1 <= 10 2
1 1 <= 9 9
G P
Solución : 7 2 Zmínima = 7.100,00
tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas,
0 € y el de uno pequeño 400 €. Calcular
más económica posible para la escuela.
randes más los que “quepan” en los autobuses pequeños tiene que ser mayor o igual que 320.
8 de 42 plazas
A B Disponibilidad
Bañadores 1 2 1600
Gafas de baño 1 1 1000
Gorros de baño 1 800
Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las re
Restricción 1: 1 A + 2 B ≤ 1.600 (bañadores)
Restricción 2: 1 A + 1 B ≤ 1.000 (gafas de baño) Restricción 3: 1 A ≤ 800 (gorros de baño)
Z= 8 10 -1.5
A B
1 2 <= 1600 1600
1 1 <= 1000 1000
1 <= 800 400
Zmaximo= 7700
A B
solucion: 285 264
de los beneficios.
800
un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de
Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distintas procedencias, cada uno de los cuales tienen distintas
características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos (4 en total) y sus características más importantes : el tanto p
ciento de azufre, la densidad y el precio por TM en pesetas.
uno de los cuales tienen distintas
sticas más importantes : el tanto por
s.
PROBLEMA 18 : Una perfumería produce el perfume “OXES”. Este
perfume requiere de Esencia y Fijador para su producción. Dos
procesos están disponibles. El proceso “A” transforma 1 onza de
fijador y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfume. El proceso “B”
transforma 2 onzas de fijador y 3 onzas de esencia en 5 onzas de
perfume. Cada onza de fijador le cuesta a la perfumería Bs. 10.000,00
y cada onza de esencia Bs. 15.000,00. Se tiene una disponibilidad
máxima de 200 onzas de fijador y un máximo de 350 onzas de esencia
para este período de planificación. Para estimular la demanda la
perfumería ha contratado una publicidad por un costo total de Bs.
4.000.000,00. El perfume se vende en embases de una onza a Bs.
40.000,00 c/u. Determine la producción óptima que permita obtener
la máxima utilidad tomando en cuenta que se debe producir
únicamente lo que se va a embasar.
SOLUCIÓN :
Variables :
Función Objetivo :
Como se nos habla de maximizar la utilidad lo primero que debemos hacer es c
Costo de cada onza de perfume elaborado con el proceso “A” :
El proceso “A” transforma 1 onza de fijador y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfu
(1/3).(10.000) + (2/3).(15.000) = 3.333,33 + 10.000 = 13.333,33
Costo de cada onza de perfume elaborado con el proceso “B” :
El proceso “A” transforma 2 onzas de fijador y 3 onzas de esencia en 5 onzas de per
(2/5).(10.000) + (3/5).(15.000) = 4.000 + 9.000 = 13.000,00
Utilidad de A = 40.000,00 – 13.333,33 = 26.666,67
Utilidad de B = 40.000,00 – 13.000,00 = 27.000,00
Z = 26.666,67 A + 27.000 B – 4.000.000,00
A B
solucion: 285 264
orado con el
borado con el
utilidad lo primero que debemos hacer es calcular la utilidad de cada onza de perfume
orado con el proceso “A” :
or y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfume. Esto nos indica que cada onza de perfume utiliza 1/3 de fijador y 2/3 de esencia. Luego e
+ 10.000 = 13.333,33
orado con el proceso “B” :
dor y 3 onzas de esencia en 5 onzas de perfume. Esto nos indica que cada onza de perfume utiliza 2/5 de fijador y 3/5 de esencia. Luego
9.000 = 13.000,00
000.000,00
0 (esencia)
disponibilidad
200
350
demanda la perfumería ha
tal de Bs. 4.000.000,00.
200 199.65
350 349.35
Zmaximo= 1072800.95
de fijador y 2/3 de esencia. Luego el costo será:
costo fijo 1 2 3 4
A 600 800 1100 900
B 1200 400 800 500
Determinar la mejor decisión de entrega, para la empresa
productora de paraguas.
SOLUCIÒN:
En el análisis y solución de este tipo de problemas es recomendable hacer los cuadros o tablas que muestren mejor toda la
Una de las tablas más usada es similar a la matriz de costos del método de transporte pero adaptada a cada uno de los as
En este caso en particular resultaría muy útil conocer la utilidad que obtendrá la fábrica por la venta de cada paragua a cad
Al saber que utilidad es la diferencia entre precio de venta y costos vamos a construir cada una de las tablas que muestre
Precio que cada cadena de multitiendas està dispuesto a pagar por cada
paragua:
Costo de producción por cada paragua:
Costo de traslado a cada tienda:
Para construir la tabla de utilidad debemos tomar en cuenta lo siguiente:
1) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 1 tendrá una utilidad de 3900 – 2300 – 600 = 10
2) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 1 tendrá una utilidad de 3900 – 2500 – 1200 = 2
3) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 2 tendrá una utilidad de 3700 – 2300 – 800 =
decir: el precio de venta (3700) menos el costo de producción (2300)
menos el costo de traslado (800).
4) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 2 tendrá una utilidad de 3700 – 2500 – 400 = 80
5) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 3 tendrá una utilidad de 4000 – 2300 – 1100 = 60
6) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 3 tendrá una utilidad de 4000 – 2500 – 800 = 70
7) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 4 tendrá una utilidad de 3600 – 2300 – 900 = 4
: el precio de venta (3600) menos el costo de producción (2300) menos el costo de traslado (900).
8) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 4 tendrá una utilidad de 3600 – 2500 – 500 = 60
Utilidad por cada paragua:
Si a las cantidades de paraguas que se enviarán desde cada planta hasta cada cadena de multitiendas la llamamos como:
CASO PARAGUAS
La solución se lee :
De la Planta A se enviarán 1800 paraguas a la
Cadena 1
De la Planta A se enviarán 300 paraguas a la
Cadena 2
De la Planta A se enviarán 500 paraguas a la Cadena 3
De la Planta B se enviarán 1800 paraguas a la Cadena 2
La utilidad total que se obtendrá por esta venta es de $ 3.720.000,oo
productos. Los paraguas se arman en dos plantas, según la siguiente tabla:
US$/paragua)
pagar (US$/paragua)
tendrá una utilidad de 3900 – 2300 – 600 = 1000 . Es decir : el precio de venta (3900) menos el costo de producción (2300) menos el costo d
1 tendrá una utilidad de 3900 – 2500 – 1200 = 200 . Es decir : el precio de venta (3900) menos el costo de producción (2500) menos el costo
tendrá una utilidad de 3700 – 2300 – 800 = 600 . Es
2 tendrá una utilidad de 3700 – 2500 – 400 = 800 . Es decir: el precio de venta (3700) menos el costo de producción (2500) menos el costo d
tendrá una utilidad de 4000 – 2300 – 1100 = 600 . Es decir : el precio de venta (4000) menos el costo de producción (2300) menos el costo d
3 tendrá una utilidad de 4000 – 2500 – 800 = 700 . Es decir: el precio de venta (4000) menos el costo de producción (2500) menos el costo d
tendrá una utilidad de 3600 – 2300 – 900 = 400 . Es decir
osto de traslado (900).
4 tendrá una utilidad de 3600 – 2500 – 500 = 600 . Es decir: el precio de venta (3600) menos el costo de producción (2500) menos el costo d
Cadena
Planta A 1
3900
Planta B 3900
Max. Demanda 1800
Cadena 1
Planta A 2300
Planta B 2500
Max. Demanda 1800
Cadena
Planta A 1
600
Planta B 1200
Max. Demanda 1800
Cadena
Planta A 1
1000
Planta B 200
Max. Demanda 1800
Cadena 1
Planta A A1
Planta B B1
$ 3.720.000,oo
n (2300) menos el costo de traslado (600).
n (2500) menos el costo de traslado (1200).
(2500) menos el costo de traslado (400).
n (2300) menos el costo de traslado (1100).
(2500) menos el costo de traslado (800).