PROBLEMA 1:Para lograr un uso balanceado de los medios, la publicidad en radio debe ser

igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas. Además la cantidad de unidades

solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado. El presupuesto total
para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00. Se necesita determinar el plan óptimo para
maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad.

Variables de
decisión: T = Unidades de publicidad a contratar en televisión.
R = Unidades de publicidad a contratar en radio.
P = Unidades de publicidad a contratar en prensa.

Objetivo : Maximizar la audiencia total o cantidad de personas que vean la publicidad.

Z = 100.000 T + 18.000 R + 40.000 P

Restricción 1 Presupuesto total para promociones se ha limitado a Bs. 18.500,00.

2.000 T + 300 R + 600 P ≤ 18.500

Restricción 2 La publicidad en radio debe ser igual al 50% de unidades de publicidad autorizadas.

R = 0,50 (T+R+P)

Restricción 3 La cantidad de unidades solicitadas en televisión debe ser al menos 10% del total autorizado

T ≥ 0,10 (T+R+P)

PROBLEMA (TV, RADIO,PRENSA)

Z= 100000.000 18000.000 40000.000

SUJETO A : T R P RESTRICCION
costo de publicidad 2000.000 300.00 600.00 ≤ 18500.000
R1 -0.50 0.50 -0.50 = 0
R2 0.90 -0.10 -0.10 ≥ 0

T R P
solucion 3.13559322 15.6779661 12.5423729 Zmaximo=
 dad en radio debe ser
ntidad de unidades
. El presupuesto total
nar el plan óptimo para
n la publicidad.

publicidad autorizadas.

os 10% del total autorizado

18500
0
0

1097457.627
 problema 02: se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180
refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos
tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin
cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El
vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por
cada uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes
de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste.

Variables :
A = Cantidad de paquetes “A” a vender.
B = Cantidad de paquetes “B” a vender.

Función Objetivo : Z = 6A + 5B (utilidad a maximizar)

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda

la información disponible para visualizar mejor las restricciones del
problema :

A B Disponibilidad
Refresco con cafeína 3 2 120
Refresco sin cafeína 3 4 180

Restricción 1: 3A + 2B ≤ 120 (con cafeína)

Restricción 2: 3A + 4B ≤ 180 (sin cafeína)

z= 6 5
A B
3 2 <= 120 120
3 4 <= 180 180

A B
Solucion: 20 30 Z maxima= 270
 PROBLEMA 3:Una persona para recuperarse de una cierta enfermedad tiene que tomar en su alimentación dos clases de
componentes que llamaremos A y B. Necesita tomar 70 unidades de A y 120 unidades de B. El médico le da dos tipos de dieta
las que la concentración de dichos componentes es:  dieta D1: 2 unidades de A y 3 unidades de B  dieta D2: 1 unidad de A
unidades de B. Sabiendo que el precio de la dieta D1 es 2,5 €. y el de la dieta D2 es 1,45 €. ¿Cuál es la distribución óptima pa
menor costo?

Variables : D1 = Cantidad de dieta D1 a consumir.

D2 = Cantidad de dieta D2 a consumir.

Función Objetivo :
Z = 2,5 D1 + 1,45 D2

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar me

D1 D2 REQUERIMIENTO
Unidades de componente A. 2 1 70
Unidades de componente B 3 2 120

Restricción 1:
2 D1 + 1 D2 ≥ 70

Restricción 2:
3 D1 + 2 D2 ≥ 120

Z 2.5 1.45
D1 D2 RESTRICCION
R1 2 1 ≥ 70
R2 3 2 ≥ 120

D1 D2
SOLUCION: 0 0
 n su alimentación dos clases de
l médico le da dos tipos de dietas en
s de B  dieta D2: 1 unidad de A y 2
uál es la distribución óptima para el

ón disponible para visualizar mejor las restricciones del problema

0
0

Zminimo: 0
 PROBLEMA 4 : Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar
más de 8 has. con olivos de tipo A, ni más de 10 has. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos
de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dispone anualmente de 44
m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 € y cada una de tipo B, 225 €.
Se dispone de 4500 € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B
producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:

a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción
b) Obtener la producción máxima.

SOLUCIÓN :

Variables :
A = Cantidad de hectáreas de olivo del tipo “A”
B = Cantidad de hectáreas de olivo del tipo “B” .

Función Objetivo : Z = 500A + 300B (producción a maximizar)

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda

la información disponible para visualizar mejor las restricciones del
problema :

A B Disponibilidad
M3 de agua anual 4 3 44
Inversión 500 225 4500
Cantidad máxima a cultiva 8 10

Restricción 1: 4A + 3B ≤ 44 (agua)
Restricción 2: 500A + 225B ≤ 4.500 (inversión)
Restricción 3: No se puede cultivar más de 8 has. con olivos de tipo A

A≤8

Restricción 4: Ni más de 10 has. con olivos de tipo B

B ≤ 10

Z= 500 300
A B
4 3 <= 44 44
500 225 <= 4500 4500
<= 8 6
<= 10 6.67
 A B
solucion: 6 6.67 Zmaximo= 5000

Se deben cultivar 6 has. con olivos del tipo “A” y 6,67 del tipo “B” generando una producción máxima de 5.000 litr
a maximizar la producción de aceite.
cción máxima de 5.000 litros de aceite.
 Una empresa fabrica dos modelos de fundas de sofá, A y B, que dejan unos beneficios de 40 y 20 euros respectivamente. Pa
modelo A se precisan 4 horas de trabajo y 3 unidades de tela. Para fabricar una del modelo B se requieren 3 horas de trabajo y
La empresa dispone de 48 horas de trabajo y 60 unidades de tela. Si a lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuán
modelo han de fabricarse para obtener el máximo beneficio y cual sería este?

Variables : A = Cantidad de fundas del tipo “A” a fabricar

B = Cantidad de fundas del tipo “B” a fabricar.

Función Objetivo :
Z = 40A + 20B

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disp

A B
Horas de trabajo 4 3
Unidades de tela 3 5
Cantidad máxima a fabricar 9

Restricción 1

4A + 3B ≤ 48

Restricción 2

3A + 5B ≤ 60

Restricción 3 A lo sumo pueden hacerse 9 fundas del modelo “A”.

A≤9

Z 40 20
A B RESTRICCION
R1 4 3≤ 48
 R2 3 5≤ 60
R3 1 ≤ 9

A B
SOLUCION 20 0
 cios de 40 y 20 euros respectivamente. Para cada funda del
modelo B se requieren 3 horas de trabajo y 5 unidades de tela.
en hacerse 9 fundas del modelo A. ¿Cuántas fundas de cada
beneficio y cual sería este?

donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema

DISPONIBILIDAD
48
60

80
 60
20

Zmaximo 800
 PROBLEMA 6 : Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos
recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del
tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en
las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que
la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo
interés anual?

SOLUCIÓN :

Variables :
A = Dinero a invertir en acciones del tipo “A” .
B = Dinero a invertir en acciones del tipo “B” .

Función Objetivo : Z = 0,10 A + 0,08 B (maximizar interés)

Recuerde que 10% = 0,10 y 8% = 0,08

Restricciones :

Restricción 1: Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa.

A + B ≤ 210.000

Restricción 2: Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A

A ≤ 130.000

Restricción 3: y como mínimo 60.000 en las del tipo B

B ≥ 60.000

Restricción 4: Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B.

A ≤ 2B

Para introducir la restricción 4 en la hoja de cálculo Excel o en cualquier otro

programa para solucionar problemas de Programación Lineal, se debe
ordenar la misma de manera tal que las incógnitas queden del lado izquierdo
del signo de desigualdad y el número del lado derecho. En este caso quedará :

A – 2B ≤ 0

Z= 0.1 0.08
 A B
1 1 <= 210000 210000
1 <= 130000 130000
1 >= 60000 80000
1 2 <= 0 -30000

A B
solucion: 130000 80000 Zmaximo= 19400

Se deben invertir 130.000,00 euros en acciones del tipo “A” y 80.000,00 en las
del tipo “B” y esto generará 19.400,00 euros de interés máximo anual.
e el doble de la inversión en B.
 En una pastelería se hacen dos tipos de tortas: Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita un cuarto de relleno y un Kg. de
bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una torta Real necesita medio Kg. de relleno y un Kg. de bizcocho y
produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno,
aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tortas de cada tipo. ¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas
Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

Variables :
V = Cantidad de tortas Vienesas a vender al día.
R = Cantidad de tortas Reales a vender al día.

Función Objetivo :

Z = 250V + 400R

Restricciones Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para

V R DISPONIBILIDAD
RELLENO 0.25 0.5 50
BIZCOCHO 1 1 100
MAXIMA PRODUCCION 125 125

Restricción 1

0,25 V + 0,50 R ≤ 50

Restricción 2

1 V + 1 R ≤ 150

Restricción 3 No se pueden hacer más de 125 tortas Vienesas

V ≤ 125

Restricción 4 No se pueden hacer más de 125 tortas Reales

R ≤ 125
 Z 250 400
V R RESTRICCION
0.25 0.5 ≤ 50
R1 1 1 ≤ 150
R2 1 ≤ 125
R3 1 ≤ 125
R4
V R
SOLUCION 125 125
 ta un cuarto de relleno y un Kg. de
Kg. de relleno y un Kg. de bizcocho y
Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno,
¿Cuántas tortas Vienesas y cuantas
cio?

toda la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema
 93.75
250
125
125

Zmaximo 81250
 PROBLEMA 8 : Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1
tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja
calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres
calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad,
160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario
de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada
mina para que el coste sea mínimo?.

SOLUCIÓN :

Variables :
MA = Días a trabajar en la Mina A. .
MB = Días a trabajar en la Mina B..

Función Objetivo : Z = 2.000 MA + 2.000 MB (costo a minimizar)

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la

información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema :

MA MB Requerimiento
Hierro de alta calidad (ton.) 1 2 80
Hierro de media calidad (ton.) 3 2 160
Hierro de baja calidad (ton.) 5 2 200

Restricción 1: 1 MA + 2 MB ≥ 80 (alta calidad)

Restricción 2: 3 MA + 2 MB ≥ 160 (media calidad)
Restricción 3: 5 MA + 2 MB ≥ 200 (baja calidad)

Z= 2 2
MA MB
1 2 >= 80 80
3 2 >= 160 160
5 2 >= 200 240

MA MB
solucion: 40 20 Zminimo= 120000

Se deben trabajar 40 días en la Mina “A” y 20 días en la Mina “B” para que el costo sea mínimo (120.000,00 euros
to sea mínimo (120.000,00 euros).
 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades
mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos
supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa
jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse pa
obtener el máximo beneficio y cuál es este?

Variables :
E = Cantidad de electricistas a elegir .
M = Cantidad de mecánicos a elegir .

Función Objetivo :

Z = 250 E + 200 M

Restricción 1: Es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas.

M≥E que se puede ordenar como –E+M≥0

Restricción 2: y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas

M ≤ 2E que se puede ordenar como – 2E + M ≤ 0

Restricción 3 En total hay disponibles 30 electricistas

E ≤ 30

Restricción 4 En total hay disponibles 20 mecánicos.

M ≤ 20
 as y mecánicos. Por necesidades de
as y que el número de mecánicos no
nicos. El beneficio de la empresa por
es de cada clase deben elegirse para

electricistas.
PROBLEMA 10 : La compañía ESPECIAS INDIAN C.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de
INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de merc
que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máx
de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Determin
de especias que maximice el ingreso de la Empresa.

ingredientes (Onzas/Bot)Demanda Precio de

Venta
Aderezo
HB1 HB2 (Botellas) por botella
($)
Curry 5 3 1500 2750
Pimentón 2 3 Ilimitada 1300
Disponibilidad (Onzas) 10000 8500

SOLUCIÓN
Variables :
C = Cantidad de botellas de curry a producir.
P = Cantidad de botellas de pimentón a producir.
HB1 = Onzas de HB1 no utilizadas a vender.
HB2 = Onzas de HB2 no utilizadas a vender

Función objetivo: Z = 2.750 C + 1.300 P + 375 HB 1 + 167 HB2

Restricciones:
Restricción 1 : Onzas de HB1 utilizadas en cada botella de aderezo
5 C + 2 P ≤ 10.000

Restricción 2 : Onzas de HB2 utilizadas en cada botella de aderezo :

3 C + 3 P ≤ 8.500

Restricción 3 : Solo se pueden vender hasta 1.500 botellas de curry :

C ≤ 1.500

Restricción 4 : Las onzas de HB1 no utilizadas y las utilizadas deben sumar 10.000 onzas :
HB1 + 5 C + 2 P = 10.000

Restricción 5 : Las onzas de HB2 no utilizadas y las utilizadas deben sumar 8.500 onzas :
HB2 + 3 C + 3 P = 8.500

Z= 2.750 1.300 375.000 167.000

C P HB1 HB2
5 2 <=
3 3 <=
1 <=
5 2 1 =
 3 3 1 =

C P HB1 HB2
Solución: 1500 1250 0 250

Se deben producir 1.500 botellas de curry y 1.250 botellas de pimentón y se venderán

Todo generará un ingreso máximo de $ 5.791.750,00.
e utilizan en la producción de aderezos.
ón. El departamento de mercadotecnia informa
o puede vender hasta un máximo de 1500 botellas
167 la onza de HB2. Determine él consumo

ar 10.000 onzas :

ar 8.500 onzas :

10.000 10000
8.500 8500
1.500 1500
10.000 10000
 8.500 8500

Zmáximo = 5.791.750,00

as de pimentón y se venderán 250 onzas de “HB2” que no se utilizaron.

 Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para
confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón requiere 1 m de algodón y
de poliéster, cada chaqueta requiere 1,5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el d
chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para qu
éstos consigan una venta máxima?
vas. El fabricante dispone para la
lón requiere 1 m de algodón y 2 m
l pantalón se fija en 50 € y el de la
ricante a los almacenes para que
PROBLEMA 12 : Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y
Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte d
de producto que necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El costo por kilómetro de un cam
es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo?

SOLUCIÓN :

Variables : A = Cantidad de camiones del tipo A a utilizar.

B = Cantidad de camiones del tipo B a utilizar.

Función Objetivo : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visu

Como se dice que los camiones de tipo B tienen igual cubicaje que los del tipo A, significa que tienen un espac
es refrigerado y 50% no refrigerado los datos del camión tipo B serán 30 y 30.

A B Requerimiento
Espacio refrigerado 20 30 3.000
Espacio no refrigerado 40 30 3.000

Restricción 1: 20 A + 30 B ≥ 3.000 (espacio refrigerado)

Restricción 2: 40 A + 30 B ≥ 4.000 (espacio no refrigerado)

Restricción 3: Como las variables o incógnitas son cantidades de camiones a utilizar, los resultados tiene

Z= 30 40
A B
20 30 >= 3.000
40 30 >= 4.000

A B
Solución : 51 66 Zmínima =

Se utilizaran 51 camiones del tipo “A” y 66 del tipo “B” generando un costo mínimo de 4.1
n un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3
do. La contratan para el transporte de 3.000 m3
ita. El costo por kilómetro de un camión del tipo A
ra que el coste total sea mínimo?

la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema.

tipo A, significa que tienen un espacio total de 60 m3 (20+40). Y como se especifica que 50%

iones a utilizar, los resultados tienen que ser números enteros positivos (PROGRAMACION LINEAL ENTERA),

3000
4020

4.170,00

generando un costo mínimo de 4.170,00 euros por kilómetro.

 En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una
sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con
una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de
B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para
cubrir las necesidades con un coste mínimo?
15 unidades de una
mpuestos: el tipo X con
unidades de A y una de
prar de cada tipo para
PROBLEMA 14 : Una escuela prepara una excursión para 320 alumnos. La empresa de transporte tiene 10 autobuses de 20 pla
pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta 900 € y el de uno pequeño 400 €
cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la

SOLUCIÓN :

Variables : G = Cantidad de autobuses grandes a utilizar

P = Cantidad de autobuses pequeños a utilizar

Función Objetivo : Z = 900 G + 400 P (costo a minimizar)

Restricciones :
Restricción 1: Los alumnos que “quepan” en cierto número de autobuses grandes más los que “quepan”
42 G + 20 P ≥ 320

Restricción 2 y 3 : La empresa de transporte tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas

P ≤ 10 ; G≤8

Restricción 4: Pero sólo dispone de 9 conductores (si se tienen 9 conductores no se pueden asignar más
1G+1P≤9

Restricción 5: Los valores tienen que ser enteros positivos (autobuses).

Z= 900 400
G P
42 20 >= 320 334
1 <= 8 7
1 <= 10 2
1 1 <= 9 9

G P
Solución : 7 2 Zmínima = 7.100,00
 tiene 10 autobuses de 20 plazas y 8 de 42 plazas,
0 € y el de uno pequeño 400 €. Calcular
más económica posible para la escuela.

randes más los que “quepan” en los autobuses pequeños tiene que ser mayor o igual que 320.

8 de 42 plazas

es no se pueden asignar más de 9 autobuses)

 Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100
metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100
metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por
100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros. Calcular los metros
de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio
máximo.
 inio. Para fabricar 100
s que para fabricar 100
ficio que se obtiene por
uros. Calcular los metros
tener dicho beneficio
PROBLEMA 16 : Un establecimiento de prendas
deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere in
10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta te
1.500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máxim
cuánto asciende éste.
SOLUCIÓN :
Función Objetivo : Z = 8 A + 10 B – 1.500 (maximizar)
Note que en la función objetivo se ha indicado la resta de los 1.500 euros que se deben deducir de los beneficios.

A B Disponibilidad
Bañadores 1 2 1600
Gafas de baño 1 1 1000
Gorros de baño 1 800

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda la información disponible para visualizar mejor las re
Restricción 1: 1 A + 2 B ≤ 1.600 (bañadores)
Restricción 2: 1 A + 1 B ≤ 1.000 (gafas de baño) Restricción 3: 1 A ≤ 800 (gorros de baño)

Z= 8 10 -1.5
A B
1 2 <= 1600 1600
1 1 <= 1000 1000
1 <= 800 400

Zmaximo= 7700
A B
solucion: 285 264

Se deben preparar 400 lotes A y 600 lotes B para obtener el

máximo beneficio que asciende a 7.700,00 euros.
os de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A,
licidad de esta oferta tendrá un coste de
y B que harán máximo el beneficio y a

de los beneficios.

e para visualizar mejor las restricciones del problema.

tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y

800
un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de
 Se desea obtener la mezcla de petróleo a partir de crudos de distintas procedencias, cada uno de los cuales tienen distintas
características. En la tabla adjunta se detallan los distintos crudos (4 en total) y sus características más importantes : el tanto p
ciento de azufre, la densidad y el precio por TM en pesetas.
 uno de los cuales tienen distintas
sticas más importantes : el tanto por
s.
PROBLEMA 18 : Una perfumería produce el perfume “OXES”. Este
perfume requiere de Esencia y Fijador para su producción. Dos
procesos están disponibles. El proceso “A” transforma 1 onza de
fijador y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfume. El proceso “B”
transforma 2 onzas de fijador y 3 onzas de esencia en 5 onzas de
perfume. Cada onza de fijador le cuesta a la perfumería Bs. 10.000,00
y cada onza de esencia Bs. 15.000,00. Se tiene una disponibilidad
máxima de 200 onzas de fijador y un máximo de 350 onzas de esencia
para este período de planificación. Para estimular la demanda la
perfumería ha contratado una publicidad por un costo total de Bs.
4.000.000,00. El perfume se vende en embases de una onza a Bs.
40.000,00 c/u. Determine la producción óptima que permita obtener
la máxima utilidad tomando en cuenta que se debe producir
únicamente lo que se va a embasar.

SOLUCIÓN :
Variables :

A = Cantidad de onzas de perfume elaborado con el

proceso “A”.

B = Cantidad de onzas de perfume elaborado con el

proceso “B”.

Función Objetivo :
Como se nos habla de maximizar la utilidad lo primero que debemos hacer es c
Costo de cada onza de perfume elaborado con el proceso “A” :
El proceso “A” transforma 1 onza de fijador y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfu
(1/3).(10.000) + (2/3).(15.000) = 3.333,33 + 10.000 = 13.333,33
Costo de cada onza de perfume elaborado con el proceso “B” :
El proceso “A” transforma 2 onzas de fijador y 3 onzas de esencia en 5 onzas de per
(2/5).(10.000) + (3/5).(15.000) = 4.000 + 9.000 = 13.000,00
Utilidad de A = 40.000,00 – 13.333,33 = 26.666,67
Utilidad de B = 40.000,00 – 13.000,00 = 27.000,00
Z = 26.666,67 A + 27.000 B – 4.000.000,00

Restricciones : Se recomienda elaborar una tabla donde se refleje toda

la información disponible para visualizar mejor las restricciones del problema.
A B
Onzas de Fijador 1/3 2/5
Onzas de Esencia 2/3 3/5
Restricción 1: 1/3 A + 2/5 B ≤ 200
Restricción 2: 2/3 A + 3/5 B ≤ 350
Restricción 3: Como se debe producir únicamente lo que se va a
embasar estamos en presencia de un problema de Programación Lineal Entera
Algunos estudiantes, por comodidad, expresan los valores en decimales quedando la
Restricción 1: 0,33 A + 0,40 B ≤ 200 (fijador)
Restricción 2: 0,67 A + 0,60 B ≤ 350 (esencia)
Usando decimales la solución será :
A B
Onzas de Fijador 0.33 0.4
Onzas de Esencia 0.67 0.6
Tomando en cuenta que para estimular la demanda la perfumería ha
contratado una publicidad por un costo total de Bs. 4.000.000,00.

Usando decimales la solución será :

Z= 26666.67 2700 -4000000

A B
0.33 0.4 <=
0.67 0.6 <=

A B
solucion: 285 264
orado con el

borado con el

utilidad lo primero que debemos hacer es calcular la utilidad de cada onza de perfume
orado con el proceso “A” :
or y 2 onzas de esencia en 3 onzas de perfume. Esto nos indica que cada onza de perfume utiliza 1/3 de fijador y 2/3 de esencia. Luego e
+ 10.000 = 13.333,33
orado con el proceso “B” :
dor y 3 onzas de esencia en 5 onzas de perfume. Esto nos indica que cada onza de perfume utiliza 2/5 de fijador y 3/5 de esencia. Luego
9.000 = 13.000,00

000.000,00

una tabla donde se refleje toda

r mejor las restricciones del problema.
Disponibilidad
200
350
/5 B ≤ 200 (fijador)
/5 B ≤ 350 (esencia)
r únicamente lo que se va a
blema de Programación Lineal Entera (resultados enteros positivos).
resan los valores en decimales quedando la tabla y las restricciones como se muestran a continuación :

0 (esencia)

disponibilidad
200
350
demanda la perfumería ha
tal de Bs. 4.000.000,00.

200 199.65
350 349.35

Zmaximo= 1072800.95
de fijador y 2/3 de esencia. Luego el costo será:

5 de fijador y 3/5 de esencia. Luego el costo será:

 Un artesano fabrica y vende cuadros tejidos, de los cuales tiene tres tipos : el pequeño, el mediano y el grande. El primero
requiere triplay, 200 metros de estambre y 85 clavos; el segundo necesita triplay, 300 metros de estambre y 100 clavos; el terc
utiliza triplay, 400 metros de estambre y 125 clavos. De una hoja de triplay se pueden obtener 12 cuadros pequeños u 8 media
ó 5 grandes. Cada mes se cuenta con 15 hojas de triplay, 68 rollos de estambre de 500 metros cada uno y 12.500 clavos. El cua
pequeño requiere de 3 horas, el mediano de 5 horas y el grande de 6 horas para su elaboración. Mensualmente se dispone de
horas para la fabricación de los cuadros. La experiencia que se tiene de las ventas muestra que mínimo se venden 25 cuadro
grandes por cada 60 cuadrospequeños. El margen de utilidad para los cuadros pequeños,medianos y grandes son $22, $35 y $
respectivamente,¿Cuántos cuadros de cada tipo deben hacerse para que la utilidad sea máxima?
l mediano y el grande. El primero
de estambre y 100 clavos; el tercero
r 12 cuadros pequeños u 8 medianos
s cada uno y 12.500 clavos. El cuadro
ón. Mensualmente se dispone de 530
que mínimo se venden 25 cuadros
dianos y grandes son $22, $35 y $45
utilidad sea máxima?
PROBLEMA 20 : Debido a las fuertes lluvias de los
últimos días en el sur, la empresa “Stop-lluvia” dedicada al
rubro de los paraguas, ha visto un aumento en la demanda de sus productos. Los paraguas se arman en

planta capacidad de producción (paragua) costo de producción (US$/paragua)

planta 2600 2300
planta 1800 2500

Cuatro cadenas de multitiendas están interesadas en adquirir los

paraguas, con las siguientes características :

cadena maxima demanda (paragua) precio dispuesto para pagar (US$/paragua)

1 1800 3900
2 2100 3700
3 550 4000
4 1750 3600

El costo de traslado a cada tienda (fijo) se muestra en la

siguiente tabla :

costo fijo 1 2 3 4
A 600 800 1100 900
B 1200 400 800 500
Determinar la mejor decisión de entrega, para la empresa
productora de paraguas.

SOLUCIÒN:
En el análisis y solución de este tipo de problemas es recomendable hacer los cuadros o tablas que muestren mejor toda la
Una de las tablas más usada es similar a la matriz de costos del método de transporte pero adaptada a cada uno de los as
En este caso en particular resultaría muy útil conocer la utilidad que obtendrá la fábrica por la venta de cada paragua a cad
Al saber que utilidad es la diferencia entre precio de venta y costos vamos a construir cada una de las tablas que muestre

Precio que cada cadena de multitiendas està dispuesto a pagar por cada
paragua:
Costo de producción por cada paragua:
Costo de traslado a cada tienda:
Para construir la tabla de utilidad debemos tomar en cuenta lo siguiente:
1) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 1 tendrá una utilidad de 3900 – 2300 – 600 = 10
2) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 1 tendrá una utilidad de 3900 – 2500 – 1200 = 2
3) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 2 tendrá una utilidad de 3700 – 2300 – 800 =
decir: el precio de venta (3700) menos el costo de producción (2300)
menos el costo de traslado (800).
 4) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 2 tendrá una utilidad de 3700 – 2500 – 400 = 80
5) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 3 tendrá una utilidad de 4000 – 2300 – 1100 = 60
6) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 3 tendrá una utilidad de 4000 – 2500 – 800 = 70
7) Cada paragua fabricado en la Planta A y que sea vendido a la Cadena 4 tendrá una utilidad de 3600 – 2300 – 900 = 4
: el precio de venta (3600) menos el costo de producción (2300) menos el costo de traslado (900).
8) Cada paragua fabricado en la Planta B y que sea vendido a la Cadena 4 tendrá una utilidad de 3600 – 2500 – 500 = 60
Utilidad por cada paragua:
Si a las cantidades de paraguas que se enviarán desde cada planta hasta cada cadena de multitiendas la llamamos como:

La función objetivo quedará definida como: (maximizar utilidad)

Z = 1000 A 1 + 600 A 2 + 600 A 3 + 400 A 4 + 200 B 1 + 800 B 2
+ 700 B 3 + 600 B 4
Sujeta a las siguientes restricciones:
1) A1 + A2 + A3 + A4 ≤ 2600 (Capacidad de producción de la Planta A)
2) B1 + B 2 + B 3 + B 4 ≤ 1800 (Capacidad de producción de la Planta B)
3) A1 + B 1 ≤ 1800 (Máxima demanda de la Cadena 1)
4) A2 + B 2 ≤ 2100 (Máxima demanda de la Cadena 2)
5) A3 + B 3 ≤ 550 (Máxima demanda de la Cadena 3)
6) A4 + B 4 ≤ 1750 (Máxima demanda de la Cadena 4)

CASO PARAGUAS

Z= 1000 600 600 400 200

A1 A2 A3 A4 B1
 1 1 1 1
1
1 1
1
1
1
A1 A2 A3 A4 B1
1800 300 500 0 0

La solución se lee :
 De la Planta A se enviarán 1800 paraguas a la
Cadena 1
 De la Planta A se enviarán 300 paraguas a la
Cadena 2
 De la Planta A se enviarán 500 paraguas a la Cadena 3
 De la Planta B se enviarán 1800 paraguas a la Cadena 2
 La utilidad total que se obtendrá por esta venta es de $ 3.720.000,oo
 productos. Los paraguas se arman en dos plantas, según la siguiente tabla:

US$/paragua)

pagar (US$/paragua)

los cuadros o tablas que muestren mejor toda la información de interés.

transporte pero adaptada a cada uno de los aspectos que queremos visualizar mejor.
rá la fábrica por la venta de cada paragua a cada una de las 4 cadenas de multitiendas interesadas.
a construir cada una de las tablas que muestren dicha información:

tendrá una utilidad de 3900 – 2300 – 600 = 1000 . Es decir : el precio de venta (3900) menos el costo de producción (2300) menos el costo d
1 tendrá una utilidad de 3900 – 2500 – 1200 = 200 . Es decir : el precio de venta (3900) menos el costo de producción (2500) menos el costo
tendrá una utilidad de 3700 – 2300 – 800 = 600 . Es
2 tendrá una utilidad de 3700 – 2500 – 400 = 800 . Es decir: el precio de venta (3700) menos el costo de producción (2500) menos el costo d
tendrá una utilidad de 4000 – 2300 – 1100 = 600 . Es decir : el precio de venta (4000) menos el costo de producción (2300) menos el costo d
3 tendrá una utilidad de 4000 – 2500 – 800 = 700 . Es decir: el precio de venta (4000) menos el costo de producción (2500) menos el costo d
tendrá una utilidad de 3600 – 2300 – 900 = 400 . Es decir
osto de traslado (900).
4 tendrá una utilidad de 3600 – 2500 – 500 = 600 . Es decir: el precio de venta (3600) menos el costo de producción (2500) menos el costo d

cada cadena de multitiendas la llamamos como:

Cadena
Planta A 1
3900
Planta B 3900
Max. Demanda 1800
Cadena 1
Planta A 2300
Planta B 2500
Max. Demanda 1800
Cadena
Planta A 1
600
Planta B 1200
Max. Demanda 1800
Cadena
Planta A 1
1000
Planta B 200
Max. Demanda 1800
Cadena 1
Planta A A1
Planta B B1

800 700 600

B2 B3 B4 RESTRICCION
 <= 2600
1 1 1 <= 1800
<= 1800
1 <= 2100
1 <= 500
1 <= 0
B2 B3 B4 Z= 3720000
1800 0 0

$ 3.720.000,oo
n (2300) menos el costo de traslado (600).
n (2500) menos el costo de traslado (1200).
 (2500) menos el costo de traslado (400).
n (2300) menos el costo de traslado (1100).
(2500) menos el costo de traslado (800).

(2500) menos el costo de traslado (500).

adena Cadena Cadena Cadena Capacidad

1
900 2
3700 3
4000 4
3600 Producción
2600
900 3700 4000 3600 1800
800 2100 550 1750
dena 1 Cadena 2 Cadena 3 Cadena 4 Capacidad Producción
300 2300 2300 2300 2600
500 2500 2500 2500 1800
800 2100 550 1750
adena Cadena Cadena Cadena Capacidad
1
600 2
800 3
1100 4
900 Producción
2600
200 400 800 500 1800
800 2100 550 1750
adena Cadena Cadena Cadena Capacidad
1
000 2
600 3
600 4
400 Producción
2600
200 800 700 600 1800
800 2100 550 1750
Cadena 2 Cadena 3 Cadena 4
A2 A3 A4
B2 B3 B4
Fagersta Steelworks explota dos minas para obtener mineral de hierro. Este mineral de hierro se envía a una de dos instalacio
de almacenamiento. Cuando se necesita se manda a la planta de acero de la compañía. El siguiente diagrama describe la red
distribución, donde M1 y M2 son las dos minas, S1 y S2, los dos almacenes y P es la planta de acero. También muestra las
cantidades producidas en las minas. al igual que el costo de envío y la cantidad máxima que se puede enviar al mes por cada
La Planta (P) requiere 100 toneladas de mineral de hiero.
o se envía a una de dos instalaciones
guiente diagrama describe la red de
ta de acero. También muestra las
se puede enviar al mes por cada vía.
.