Algebramoderna Prof LValdez PDF

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ÁLGEBRA MODERNA – Prof. Luis E. Valdez -1-
INDICE
Prólogo – Algo de Historia – Bibliografía ……………………………………………… 4
Capítulo I – Lógica Proposicional ……………………………………………………… 5
La lógica, Conectivos lógicos………………………………………………………………… 6
Las operaciones proposicionales …………………………………………………………… 6
Tautología, contradicción y contingencia …………………………………………………… 9
Leyes lógicas ………………………………………………………………………………… 10
Circuitos lógicos ……………………………………………………………………………… 14
Razonamientos Deductivos ………………………………………………………………… 17
Leyes de inferencia …………………………………………………………………………… 17
Teorema ……………………………………………………………………………………… 19
Razonamiento Inductivo ……………………………………………………………………… 20
Reducción al absurdo ……………………………………………………………………….. 20
La función proposicional. Los cuantificadores …………………………………………… 21
Negación de un cuantificador ……………………………………………………………… 21
Trabajo Práctico Nº 1 ……………………………………………………………………… 23
Capítulo II – La Teoría Conjuntista ……………………………………………………… 25
Simbolismo de la Teoría conjuntista ………………………………………………………… 24
Conjunto, elemento y pertenencia ………………………………………………………… 24
Formas de definir un conjunto ……………………………………………………………… 24
Conjuntos especiales ……………………………………………………………………… 25
Los conjuntos numéricos …………………………………………………………………… 25
Los diagramas de Venn ……………………………………………………………………… 26
Relaciones entre conjuntos – La inclusión ………………………………………………… 26
Propiedades de inclusión ……………………………………………………………………. 27
Igualdad de conjuntos ……………………………………………………………………… 27
Propiedades de la igualdad ………………………………………………………………… 27
Caracterización del conjunto vacío ………………………………………………………… 28
Operaciones con conjunto – Propiedades ……………………………………………… 28
Otras propiedades de las operaciones con conjuntos …………………………………… 33
La Diferencia Simétrica ……………………………………………………………………… 35
Propiedades de la diferencia simétrica …………………………………………………… 36
Conjunto de Partes ………………………………………………………………………….. 37
Uniones disjuntas ……………………………………………………………………………. 37
Par ordenado – Producto Cartesiano……………………………………………………….. 38
Trabajo Práctico Nº 2 ………………………………………………………………………… 39
Capítulo III – Relaciones Binarias ……………………………………………………….. 43
Definición de relación binaria ………………………………………………………… 44
Dominio, Imagen, Representaciones gráficas …………………………………………… 44
Relación inversa …………………………………………………………………………….. 45
Composición de relaciones ………………………………………………………………… 45
Relaciones definidas en un conjunto ……………………………………………………… 47
Posibles propiedades de las relaciones definidas en un conjunto ……………………… 47
Relación de equivalencia ……………………………………………………………………. 51
Clases de equivalencia – Conjunto cociente ……………………………………………… 52
Partición de un Conjunto no vacío ………………………………………………………….. 52
Teorema Fundamental de las relaciones de equivalencias ……………………………… 53
Partición y relación de equivalencia ……………………………………………………….. 54
Relación de orden …………………………………………………………………………… 55
Relación de orden amplio …………………………………………………………………… 55
Relación de orden estricto …………………………………………………………………… 56
Relación de orden parcial …………………………………………………………………… 56
Relación de orden tota ……………………………………………………………………….. 56
Elementos distinguidos en una relación de orden ………………………………………… 56
Diagramas de Hasse ………………………………………………………………………… 58
Conjunto bien ordenado ……………………………………………………………………… 58
Capítulo IV – Funciones …………………………………………………………………… 61
Función: Definiciones- Dominio y Codominio, Imagen …………………………………… 62
Representaciones gráficas de una función ………………………………………………… 62

Clasificación de las funciones ……………………………………………………………… 65
Funciones especiales ……………………………………………………………………….. 67
Composición de Funciones …………………………………………………………………. 68
Propiedades de la composición de funciones ……………………………………………. 69
La función inversa: Definición ……………………………………………………………… 70
Teorema Fundamental de las funciones inversas ………………………………………… 74
Funciones algebraicas y trascendentes …………………………………………………… 74
Capítulo V – Inducción Completa – Números y Congruencias …………………….. 86
Teorema de Inducción Completa …………………………………………………………… 87
Principio de Inducción Completa …………………………………………………………… 87
El símbolo de sumatoria …………………………………………………………………….. 88
Propiedades de las sumatorias ……………………………………………………………… 89
Máximo Común Divisor ……………………………………………………………………… 90
Divisores y múltiplos ………………………………………………………………………… 90
Propiedades de los divisores y múltiplos …………………………………………………… 90
Algoritmo de Euclides ………………………………………………………………………… 90
Propiedades …………………………………………………………………………………… 90
Propiedades del Máximo Común Divisor …………………………………………………… 91
Números relativamente primos o primos entre sí ………………………………………… 93
Ecuaciones Diofánticas ……………………………………………………………………… 93
Propiedades de las ecuaciones Diofánticas ……………………………………………… 93
Congruencia en módulo “n” ………………………………………………………………… 96
Propiedad ……………………………………………………………………………………. 96
Ecuaciones con Congruencia en módulo “n” ……………………………………………… 96
Capítulo VI – Análisis Combinatorio ……………………………………………………. 99
Factorial de un número ……………………………………………………………………… 100
Simplificación de factoriales …………………………………………………………………. 100
Variaciones o arreglos sin repetición ………………………………………………………. 100
Variaciones o arreglos con repetición ……………………………………………………… 101
Permutaciones simples o sin repetición …………………………………………………… 102
Permutaciones con repetición ……………………………………………………………… 102
Combinaciones simples o sin repetición …………………………………………………… 102
Propiedades …………………………………………………………………………………… 103
Combinaciones con repetición ……………………………………………………………… 104
Binomio de Newton ………………………………………………………………………….. 104
Triángulo de Tartaglia – Pascal ……………………………………………………………… 104
Capítulo VII – Estructuras Algebraicas ………………………………………………….. 108
Ley de Composición Interna ………………………………………………………………… 109
Estructura de Grupo ………………………………………………………………………….. 109
Propiedades de los grupos ………………………………………………………………….. 110
Subgrupos …………………………………………………………………………………….. 112
Condición suficiente para la existencia de un subgrupo ………………………………….. 112
Homomorfismo de Grupos …………………………………………………………………… 113
Homomorfismos especiales …………………………………………………………………. 113
Estructura de Anillo …………………………………………………………………………… 113
Estructura de Cuerpo ………………………………………………………………………… 113
Currículum Vitae ……………………………………………………………………………… 115
PRÓLOGO
A
tendiendo las necesidades de los alumnos del 1º año del Profesorado en Matemática
del Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá de poder contar con un material
didáctico que le sirva como apoyo en el aprendizaje del Álgebra I (Álgebra Moderna),
es que me dispuse a desarrollar este apunte como parte de un compendio de utilidades
ofrecidas en el sitio Web http://algebramoderna.iespana.es, el desarrolla la mayoría de los
contenidos de este espacio curricular.
Indudablemente, es acorde a los lineamientos curriculares oficiales e inicia con los
contenidos de Lógica Proposicional, para seguir con la Teoría Conjuntista y continuar con
Relaciones Binarias, Funciones, Inducción Completa y Divisibilidad, Análisis Combinatorio y
Estructuras Algebraicas.
Espero que este elemento didáctico pueda llegar al alumno de la mejor forma posible y
le sirva para el aprendizaje del Álgebra, base de otros espacios curriculares como Álgebra II,
Análisis Matemático, Estadística, Probabilidad, Geometría, Elemento de Programación
Científica, etc.
UN POCO DE HISTORIA
El matemático británico George Boole (1815 – 1864) publicó en 1845 un libro titulado
“Investigaciones sobre las leyes del pensamiento” quien contribuyó como base para el
desarrollo de la teoría conjuntista. Más tarde George Cantor (1843 – 1918) fundó la Teoría
Conjuntista propiamente dicha.
Ahora, la teoría de números es una de las ramas más viejas de la matemática. Los
libros “Elementos” de Euclides. Este matemático vivió alrededor del año 300 años antes de
Cristo. A este autor se le debe el algoritmo de las divisiones sucesivas para obtener el
máximo común divisor de dos números.
Alrededor de 300 años después de Cristo, Diofanto de Alejandría escribió una obra de
13 libros titulada “Aritmética” de las que sólo se conservan seis. En esta obra aparece por
primera vez la notación simbólica para describir incógnitas y las expresiones polinómicas.
Años más tarde Pierre Fermat (1601 – 1665), contribuyó al desarrollo de la teoría de
números y tuvo influencia en el análisis, como lo reconociera Newton 50 años más tarde,
manejando la geometría analítica o de coordenadas que también fue estudiada por
Descartes y Pascal.
Fueron numerosos los matemáticos que siguieron el desarrollo de los números entre
los que se puede nombrar Leonhard Euler (1707 – 1783), Adrien – Marie Legendre (1752 –
1833), Kart Friedrich Gauss (1777 – 1855).
Por otro lado el estudio de las estructuras algebraicas se la debe en un inicio a Joseph
Louis Lagrange (1736 – 1813), a Paolo Ruffini (1765 – 1822), Niels Henrik Abel (1802 –
1829) entre otros.
Por último, Pascal, Fermat, Tartaglia (1500 – 1557), trabajó en las teoría de las
probabilidades donde se aplica la combinatoria. Pero fue Isaac Newton, nacido en la
navidad de 1642, quien tuvo su primer trabajo matemático en el desarrollo del binomio que
lleva su nombre.
BIBLOGRAFÍA DE CONSULTA
• Álgebra I – Armando Rojo - Ed. El Ateneo - 1986

• Número, Grupos y Anillos – Dorrosoro / Hernández - Ed. Addison-Wesley
Iberoamericana España, 1996
• Introducción al Análisis Matemático – Luis Osín - Kapelusz, 1966
• Álgebra II – Armando Rojo - Ed. El Ateneo – 1973
CAPÍTULO I
LÓGICA PROPOSICIONAL
LA LÓGICA
La Lógica es la ciencia que estudia los modos y formas de raciocinio. La lógica es una ciencia
auxiliar de la Matemática, pues ayuda a comprenderla, razonarla, etc.
Para iniciar los estudios de la lógica, es necesario analizar oraciones particulares de las
cuales se pueden decir que son VERDADERAS O FALSAS y reciben el nombre de proposiciones.-
Por ejemplo:
El número 5 es un número natural
Toda proposición es representada por las últimas letras minúsculas del abecedario:
p, q, r, s, t, w
CONECTIVOS LOGICOS
Se denominan conectivos lógicos, a símbolos que permiten formar proposiciones con otras
proposiciones. Estos son:
Conectivo Nombre
∼ó- NO
∨ O INCLUYENTE
∧ Y
⇒ ENTONCES O IMPLICA
⇔ SÍ Y SOLO SÍ
∨ O EXCLUYENTE
Estos conectivos lógicos tienen una jerarquía en las operaciones, esta es: el NO en primer
lugar, luego el O INCLUYENTE y el Y, luego el IMPLICA, le sigue el SÍ Y SOLO SÍ y por último el O
EXCLUYENTE.-
PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS
Una proposición se dice que es simple si no está afectada por conectivos lógicos; caso
contrario, se dice que es compuesta.
Proposición simple: p
Proposición compuesta: p⇔q
TABLA DE VALORES DE VERDAD

Una tabla de valores de verdad de una proposición compuesta, es una tabla que se arma con
los posibles valores de verdad de las proposiciones simples para determinar el valor de verdad de la
proposición compuesta.
OPERACIONES PROPOSICIONALES
LA NEGACIÓN
La negación de la proposición p es ∼p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
p ∼p
V F
F V
Esta tabla proviene de hacer un análisis simple de una proposición cualquiera, por ejemplo:
p: el 2 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA.

Y negando la proposición p queda:
∼p: NO ES CIERTO que el 2 es un número natural. Esta proposición es FALSA
Ahora, busquemos una proposición falsa, por ejemplo:
p: el –3 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA.
Y negando la proposición p queda:
∼p: NO ES CIERTO QUE el 3 es un número natural. Lo cual es FALSA
DISYUNCIÓN O SUMA LOGICA
La disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q, es p∨q, donde p y q se denominan

disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
Antes de armar esta tabla de valores de verdad, debemos saber como se obtiene la cantidad
de valores de verdad de la proposición dada: para ello se recurre al análisis combinatorio, y
concluimos que los valores de verdad se repiten y no interesa el orden, por lo tanto estamos en
presencia de un arreglo con repetición de n elementos tomados de 2 en 2, o sea:
nº valores = A'2n º proposiciones = 2 n º proposiones

En nuestro caso particular, tendríamos que la VALORES = 22 = 4
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
Esta tabla se explica con un ejemplo fácilmente:
P: estudio q: veo televisión
p∨q: estudio O veo televisión
Como este “o” es incluyente, lo que significa que LA VERDAD se dará cuando realice al
menos una de las acciones. Se tiene que la primera línea es VERDADERA por que estoy
ESTUDIANDO Y VIENDO TV; la segunda línea es VERDADERA ya que si bien no veo TV pero estoy
ESTUDIANDO; la tercera línea es similar a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY
REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS ACCIONES, por lo tanto es FALSA.-
Como conclusión se puede decir que la disyunción es verdadera si al menos unos de
los disyuntivos también lo es.-
CONJUNCIÓN O PRODUCTO LÓGICO
La conjunción o producto lógico de las proposiciones p y q, es p∧q, donde p y q se

denominan conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q p∧q
V V V
V F V
F V V
F F F
Esta tabla, al igual que la anterior, se explica con un ejemplo fácilmente:
p: estudio q: veo televisión

p∧q: estudio Y veo televisión
El “y” nos está indicando que la proposición será VERDADERA si ambas acciones se
cumplen. Se tiene que la primera línea es VERDADERA por que estoy ESTUDIANDO Y VIENDO TV;
la segunda línea es FALSA ya que no veo TV aunque esté ESTUDIANDO; la tercera línea es similar
a la anterior y en la cuarta línea se tiene QUE NO ESTOY REALIZANDO NINGUNA DE LAS DOS
ACCIONES, por lo tanto es FALSA.-
Como conclusión se puede decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos
también lo son.-
LA IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
La implicación o condicional de las proposiciones p y q, es p⇒q donde p se denomina

antecedente, y q consecuente, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q p ⇒q
V V V
V F F
F V V
F F V
Esta tabla de valores de verdad se la puede interpretar con el siguiente ejemplo:
p: apruebo
q: te presto el libro
O sea que la proposición será: Apruebo, ENTONCES te presto el libro

La VERDAD del condicional está basada en el cumplimiento del compromiso de aprobar. O
sea que: en la primera línea aprobé y le presté el libro, por lo tanto es VERDADERA; en la segunda
línea aprobé y no le presté el libro, lo que significa que no cumplí con el compromiso, por lo tanto es
FALSA; el la tercera línea no aprobé y le presté el libro, pero el hecho de no aprobar no está inserto
en el compromiso, por lo tanto cuando no apruebe, queda librado a prestar o no el libro, lo que
significa que será VERDADERO al igual que la línea cuatro.
En conclusión, la implicación es FALSA cuando el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
LA DOBLE IMPLICACIÓN O EL BICONDICIONAL
La doble implicación o el bicondicional de las proposiciones p y q es p⇔q cuya tabla de

valores de verdad es la siguiente:
p q p⇔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Esta operación proposicional se la puede entender con el siguiente ejemplo:
p: te presto el libro
q: apruebo
Nuestra proposición será: te presto el libro SI Y SOLO SI apruebo
La VERDAD de esta proposición se basa en el compromiso doble que existe, o sea que el
préstamo del libro se basa en la aprobación solamente, lo que queda excluido el hecho de no
aprobar, por lo tanto en la primera línea aprobé y le presté el libro, lo que es VERDADERA; en la
segunda línea aprobé y no le presté el libro, lo indica que rompí el compromiso, por lo tanto es
FALSA, en la tercera fila no aprobé y le presté el libro, lo que es FALSA ya que el hecho de no
aprobar también está en el compromiso; y la cuarta línea es VERDADERA, ya que no aprobé y no le
presté el libro.-
Como conclusión se puede decir que la bicondicional es VERDADERO cuando ambas
proposiciones que lo componen son de igual valor de verdad.
LA DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es p ∨ q cuya tabla de valores de verdad

es la siguiente:
p q p∨q
V V F
V F V
F V V
F F F
La explicación de esta tabla de valores de verdad se basa en que este “o” es en sentido
excluyente, lo que significa que se puede dar “una o bien la otra” acción.-
Como conclusión se puede decir que la diferencia simétrica es VERDADERA, si ambas
proposiciones que la componen tienen distinto valor de verdad.-
CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE

En la tabla de valores de verdad del condicional, existen tres líneas donde es VERDADERA
(primera, segunda y tercera), pero de ellas, la tercera y la cuarta p es falsa y en la primera es
verdadera, entonces se dice que el “antecedente p es condición suficiente para q”. Ahora, si el
antecedente p es verdadero, el consecuente q debe ser necesariamente verdadero para que la
implicación lo sea, entonces se dice que el “consecuente q es condición necesaria para el
antecedente p”.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

Una proposición compuesta se dice que es una tautología si es VERDADERA
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-
Por ejemplo la siguiente proposición: ∼(p ∧ q) ⇔ ∼p v ∼q
Para resolver esta tabla de valores de verdad, se debe comenzar por el paréntesis de la
izquierda de la doble implicación, teniendo en cuenta que es una conjunción, luego se sigue por su
negación. Luego seguimos con la parte derecha de la doble implicación, o sea con la negación de p y
de q, luego con estos valores se resuelve la disyunción. Por último se resuelve la doble implicación
(operación principal) con el último resultado de la derecha (la negación del paréntesis) y el último de
la izquierda (la disyunción)
p q - (p ∧ q) ⇔ -p v -q
V V F V V F F F
V F V F V F V V
F V V F V V V F
F F V F V V V V
Una proposición es una contradicción si es FALSA independientemente de los valores de

verdad de las proposiciones simples que la componen.-
Por ejemplo:
p q p∧q ⇔ -p v -q
V V V F F F F
V F F F F V V
F V F F V V F
F F F F V V V
Una proposición es una contingencia si no es ni VERDADERA ni FALSA.-

Por ejemplo:
p q p∧q ⇒ -p v -q
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V V F
F F F V V V V
LEYES LOGICAS
Se llaman leyes lógicas a todas aquellas proposiciones que son verdaderas.
1. INVOLUCIÓN
La negación de la negación de una proposición es equivalente a la misma proposición.
-(-p) ⇔ p
Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad:
p - (-p) ⇔ p
V F V V V
F V F V F
2. LA IDEMPOTENCIA
De la disyunción: La disyunción de una misma proposición, es equivalente a la misma
proposición, o sea:
pvp⇔p
Demostramos con una tabla de valores de verdad:
P (p v p) ⇔ p
V V V V
F F V F
De la conjunción: La conjunción de una misma proposición, es equivalente a la misma

proposición, o sea:
p∧p⇔p
Demostramos con una tabla de valores de verdad:
p (p ∧ p) ⇔ p
V V V V
F F V F
3. ASOCIATIVIDAD
La disyunción y la conjunción son asociativas. O sea que:
(p v q) v r ⇔ p v (q v r)
Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lo
tanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma:
p q r (p v q) vr ⇔ p v (q v r)
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V V V V V
V F F V V V V F
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V F V V V V
F F F F F V F F
ÁLGEBRA MODERNA – Prof. Luis E. Valdez - 10 -
(p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
Para armar esta tabla se debe tener en cuenta que las proposiciones simples son tres, por lo
tanto tendrán 8 valores por cada proposición dispuestas de la siguiente forma:
p q r (p ∧ q) ∧r ⇔ p∧ (q ∧ r)
V V V V V V V V
V V F V F V F F
V F V F F V F F
V F F F F V F F
F V V F F V F V
F V F F F V F F
F F V F F V F F
F F F F F V F F
4. CONMUTATIVIDAD
La disyunción y la conjunción son conmutativas
pvq⇔qvp
Se demuestra con una tabla de valores de verdad:
p q pvq ⇔ qvp
V V V V V
V F V V V
F V V V V
F F F V F
p∧q⇔q∧p
p q p∧q ⇔ q∧p
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F V F
5. DISTRIBUTIVIDAD
De la conjunción con respecto a la disyunción: la conjunción es distributiva con respecto a

la disyunción.
(p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) v (q ∧ r)
p q r (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) v (q ∧ r)
V V V V V V V V V
V V F V F V F F F
V F V V V V V V F
V F F V F V F F F
F V V V V V F V V
F V F V F V F F F
F F V F F V F F F
F F F F F V F F F
De la disyunción con respecto a la conjunción: la disyunción es distributiva con respecto a

la conjunción.
(p ∧ q) v r ⇔ (p v r) ∧ (q v r)
p q r (p ∧ q) v r ⇔ (p v r) ∧ (q v r)
V V V V V V V V V
V V F V V V V V V
V F V F V V V V V
V F F F F V V F F
F V V F V V V V V
F V F F F V F F V
F F V F V V V V V
F F F F F V F F F
6. IMPLICACIONES ASOCIADAS
Si se tiene en cuenta la implicación y las posibilidades de negar o cambiar el antecedente por

el consecuente y/o viceversa, podemos concluir en lo siguiente:
p ⇒ q Implicación Directa
q ⇒ p Implicación Recíproca
-p ⇒ -q Implicación Contraria
-q ⇒ -p Implicación Contra – recíproca
Con estas implicaciones podemos armar un cuadro visualmente entendible:
p⇒q RECÍPROCAS q⇒p
C C
O O
N N
T T
R R
A CONTRA - RECÍPROCAS A
R R
I I
A A
S S
-p ⇒ -q RECÍPROCAS -q ⇒ -p
Las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que:
p ⇒ q ⇔ -q ⇒ -p
Demostramos esta ley lógica usando una tabla de valores de verdad:
p q p ⇒ q ⇔ -q ⇒ -p
V V V V F V F
V F F V V F F
F V V V F V V
F F V V V V V
7. LA DOBLE IMPLICACIÓN Y LA IMPLICACIÓN
La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. O sea:
p ⇔ q ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Se demuestra usando una tabla de valores de verdad.
p q (p⇔q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
V V V V V V V
V F F V F F V
F V F V V F F
F F V V V V V
8. LA DIFERENCIA SIMÉTRICA Y LA DOBLE IMPLICACIÓN
La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. O sea que:
p ∨ q ⇔ -(p ⇔ q)
p q p∨q ⇔ - (p ⇔ q)
V V F V F V
V F V V V F
F V V V V F
F F F V F V
9. LEYES DE “DE MORGAN”
De la conjunción: La negación de una conjunción, es equivalente a la disyunción de las

negaciones. O sea que:
-(p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q
Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad:
p q - (p ∧ q) ⇔ -p ∨ -q
V V F V V F F F
V F V F V F V V
F V V F V V V F
F F V F V V V V
De la disyunción: La negación de una disyunción, es equivalente a la conjunción de las

negaciones. O sea que:
-(p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q
p q - (p ∨ q) ⇔ -p ∧ -q
V V F V V F F F
V F F V V F F V
F V F V V V F F
F F V F V V V V
10. NEGACION DE UNA IMPLICACIÓN
La negación de una implicación es equivalente a negación de la disyunción de la negación del

antecedente y el consecuente. O sea:
-(p ⇒ q) ⇔ -(-p ∨q)
p q - (p ⇒ q) ⇔ - ( - p ∨q)
V V F V V F F V
V F V F V V F F
F V F V V F V V
F F F V V F V V
Ahora, aplicando la ley de De Morgan e Involución en la disyunción, queda:
-(p ⇒ q) ⇔ p ∧ -q
O sea que se puede decir que la negación de una implicación también es equivalente a la
conjunción del antecedente y la negación de consecuente.
Ahora negando la negación de la implicación queda:
-[-(p ⇒ q)] ⇔ -[ -(-p ∨ q)] ⇔ -p ∨ q
Pero la negación de la negación de la implicación queda:
p ⇒ q ⇔ -p ∨ q
O sea que la implicación también es equivalente a la disyunción de la negación de

antecedente y el consecuente.-
Ahora, partiendo de la negación de la negación de una implicación y aplicando involución y
ley de De Moran, queda:
-[-(p ⇒ q)] ⇔ -[ -(-p ∨ q)] ⇔ -(p ∧ -q)

O sea que:
p ⇒ q ⇔ -(p ∧ -q)
Por lo tanto podemos decir que la implicación es equivalente a la negación de la conjunción

del antecedente y la negación del consecuente.
CIRCUITOS LÓGICOS
Haciendo un análisis con las tablas de valores de verdad de la conjunción y de la disyunción,
podemos compararlo con circuitos eléctricos, relacionando la VERDAD con la llegada de la corriente
al final de circuito. Cada proposición es un interruptor, y así tenemos:
CIRCUITO EN SERIE
Este circuito tiene la particularidad de que sobre una misma línea se encuentran los
interruptores, o sea que:
p q
Este circuito se relaciona con la conjunción:
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
En la primera línea p y q son VERDADEROS, lo que significa los interruptores están cerrados o sea
que pasa la corriente por los dos. O sea que:
p q
V
En la segunda línea p es VERDADERO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes
de q. O sea que:
p q
En la tercera línea p es FALSO y q VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes
de p. O sea que:
p q
F
En la cuarta línea p es FALSO y q FALSO, lo que significa que la corriente pasa hasta antes de p. O
sea que:
p q
CIRCUITO EN PARALELO
Este está formado por dos líneas que tienen el mismo principio y el mismo fin y con un
interruptor en cada línea.
p
Este circuito se relaciona con la disyunción teniendo en cuenta que la VERDAD de esta proposición
está basada en la llegada de la corriente al final del mismo. O sea:
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
En la primera línea p y q son VERDADEROS, o sea que las llaves están cerradas y pasa la corriente
por las dos líneas del circuito:
En la segunda línea, p es VERDADERO y q FALSO, o sea que solamente la llave p está cerrada, lo
que deja pasar la corriente, o sea que:
En la tercera línea, p es FALSO y q es VERDADERO, lo que significa que la corriente pasa por q,
entonces la disyunción es VERDADERA, o sea:
q
En la cuarta línea, p y q son FALSOS, por lo que tanto las llaves p y q están abiertas, entonces la
disyunción es FALSA ya que no llega la corriente hasta el final del circuito. O sea:
Ahora, el problema está cuando debemos armar un circuito lógico de proposiciones que no
son disyunciones ni conjunciones ni negaciones. En estos casos, se deben aplicar propiedades hasta
la reducción a las mismas.-
Por ejemplo aplicando sucesivamente la equivalencia de la diferencia simétrica y la doble implicación,

la ley de De Morgan y la equivalencia de la negación de una implicación:
p ∨ q ⇔ -(p⇔q) ⇔ -[(p⇒q) ∧ (q⇒p)] ⇔ -(p⇒q) ∨ -(q⇒p) ⇔ (p ∧-q)∨(q∧-p)
Esta última proposición está formada por negaciones en las proposiciones simples,
conjunciones y disyunciones. Observamos que la operación principal es la disyunción, por lo tanto el
circuito será uno en paralelo, donde en cada una de las líneas de este último son conjunciones o
circuitos en serie. O sea que:
p -q
q -p
RAZONAMIENTOS DEDUCTIVOS
Se llama razonamiento al par ordenado ({pi},c), cuya primera componente es un conjunto
finito de proposiciones denominadas premisas, y la segunda componente es otra proposición
llamada conclusión.
Un razonamiento se dice que es deductivo, si la conclusión es evidencia de los valores de
verdad de las premisas.
Un razonamiento también se lo expresa como una implicación, cuyo antecedente es la
conjunción de las premisas, y la conclusión es el consecuente. O sea:
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ p4 ⇒ c
De un razonamiento no se dice que es verdadero o falso, sino, que ES VALIDO o NO

VALIDO.
Teniendo en cuenta que la conjunción es verdadera cuando los conjuntivos también lo son, y
además, que la implicación es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso,
se tiene sólo tres posibilidades donde la conclusión es evidencia de la verdad de las premisas:
p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ p4 ⇒ c
V V V
V F F
F V V
F V F
Entonces, un razonamiento deductivo se dice que es VÁLIDO, cuando no es posible que de

premisas VERDADERAS, se obtenga una conclusión FALSA.
Un razonamiento se los coloca en columna, enumerando las premisas, o sea que:
p1
p2
p3
...........
pn
________
c
LEYES DE INFERENCIAS:
Se llaman reglas de inferencias, a todo razonamiento deductivo válido.-
Ley de Modus Ponens o Modus Ponendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y el

antecedente, se obtiene como conclusión el consecuente. O sea que:
p⇒q
p
______
q
Se demuestra fácilmente usando una tabla de valores de verdad:
p q (p ⇒ q) ∧p ⇒ q
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Ley de Modus Tolens o Modus Tolendo: Si en un razonamiento se tiene una implicación y la

negación de consecuente, se concluye en la negación del antecedente. O sea que:
p⇒q
-q
______
-p
p q (p ⇒ q) ∧ -q ⇒ -p
V V V F F V F
V F F F V V F
F V V F F V V
F F V V V V V
Ley del silogismo disyuntivo: si en un razonamiento se tiene una disyunción y la negación de uno
de los disyuntivos, se obtiene como conclusión el otro disyuntivo. O sea que:
p∨q p∨q
-p -q
______ ______
-q -p

p q (p ∨ q) ∧ -p ⇒ q
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F F V V
Ley del silogismo hipotético: si en un razonamiento se tiene dos implicaciones donde el

consecuente de una de ella, es antecedente de la otra, se obtiene como conclusión una tercera
implicación, cuyo antecedente es el antecedente de la primera, y cuyo consecuente es el
consecuente de la segunda. O sea:
p⇒q
q⇒r
______
p⇒r
p q r (p ⇒ q) ∧ (q ⇒r) ⇒ (p⇒r)
V V V V V V V V
V V F V F F V F
V F V F F V V V
V F F F F V V F
F V V V V V V V
F V F V F F V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
Para determinar la validez de una razonamiento, se deben enumerar las premisas, aplicar
leyes a fin de reducir el razonamiento colocando a la derecha de la nueva estructura, la procedencia y
la justificación. Cuando ya no se pueda reducir más, se debe tener en cuenta que un razonamiento
deductivo es válido NO ES POSIBLES QUE DE PREMISAS VERDADERAS SE OBTENGA UNA
CONCLUSIÓN FALSA.-
Esto significa que se toman todas las premisas VERDADERAS, y se debe concluir en la
conclusión VERDADERA. Por ejemplo:
1) p⇒q 1) p⇒q 1) p⇒r De 1 y 2 LSH 1) -p 1 y 4 MT

2) -r⇒-q 2) q⇒r De 2 por I.C.R. 2) p∨t 2) p∨t
3) -(-p∧-t) 3) p∨t 3) t⇒s 3) t⇒s_
4) t⇒s 4) t⇒s 4) -r__ s
5) -r__ 5) -r__ s
s s
1) t 1 y 4 LSD
2) t⇒s
s
Este último da como conclusión “s” por la Ley de Modus Ponens. Pero de todas maneras,
analizamos este razonamiento teniendo en cuenta que las premisas son verdaderas, y en particular t,
y t⇒s. Entonces lo único que queda es que s también lo sea, por lo tanto de premisas verdaderas,
obtuvimos conclusión verdadera, lo que significa que el Razonamiento Deductivo es VALIDO.-
Nota: Se aclara que LSH es Ley del Silogismo Hipotético. LMT es Ley de Modus Tolens. Y LSD es
Ley del Silogismo Disyuntivo.
TEOREMA
Un teorema es un esquema válido de razonamiento. Todo teorema tiene tres partes:
HIPÓTESIS, que está compuesta por proposiciones verdaderas o premisas, la TESIS o conclusión,
que es lo que se quiere demostrar, y la DEMOSTRACIÓN que son pasos lógicos que se siguen para
poder demostrar la TESIS. En conclusión, un teorema es una verdad no evidente pero si
demostrable.-
El siguiente teorema lo vamos a demostrar utilizando el método deductivo, o sea que
utilizaremos proposiciones verdaderas, y trataremos de llegar a una conclusión verdadera.
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º.
HIPÓTESIS
Δ
Sea el triángulo a bc
TESIS
∧ ∧ ∧
a + b + c = 180 º
DEMOSTRACIÓN
b
A a’ c’
a c∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
Analizando el dibujo, nos damos cuenta que a '+ b + c ' = 180 º , pero como a' = a y b' = b por ser
∧ ∧ ∧
alternos internos entre las paralelas ab y A , entonces a + b + c = 180 º
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Un razonamiento se dice que es inductivo, cuando partiendo de casos particulares, se puede
llegar a la conclusión en forma general.-
La siguiente propiedad se demuestra usando el razonamiento inductivo:
La suma de números enteros es conmutativa
HIPÓTESIS
Sean a∈Ζ ∧ b∈Ζ
TESIS
a+b=b+a
DEMOSTRACIÓN
Como a y b son números enteros, entonces particularizamos la demostración usando números

enteros, y resolviendo:
-3+2=2-3 5+2=2+5 100+8=8+100 -10+38=38-10

-1=-1 7=7 108=108 28=28
En general podemos decir que siendo a y b enteros, entonces a+b=b+a
REDUCCIÓN AL ABSURDO
Este método de demostración, se basa en que las implicaciones contra - recíprocas son
equivalentes; o sea que p⇒q ⇔ -q⇒-p, que sería lo mismo que H⇒T ⇔ -T⇒-H, lo que significa que
partiendo de la negación de la tesis y llegando a la negación de la hipótesis (absurdo, ya que la
hipótesis siempre es verdadera) demuestra la verdad de hipótesis implica tesis. Podemos demostrar
la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo por este método:
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º.

HIPÓTESIS
Δ
Sea el triángulo a bc
TESIS
∧ ∧ ∧
a + b + c = 180 º
DEMOSTRACIÓN
b
A a’ c’
a c ∧ ∧ ∧ ∧
Negamos la tesis, o sea que aˆ + bˆ + cˆ ≠ 180º , y como a' = a y b' = b por ser alternos internos
∧ ∧ ∧
entre las paralelas ab y A , entonces a '+ b + c ' ≠ 180 º , lo que nos indica que A no es una recta,
Δ
entonces tampoco abc es un triángulo (lo contrario a la hipótesis) lo que es un absurdo.
Y teniendo en cuenta las implicaciones contra - recíprocas, H⇒T es verdadera.
LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Se llama función proposicional, a todo predicado u objeto directo que está ligado a una
variable, y que para el un valor de dicha variable, la oración se transforma en una proposición
Por ejemplo:
P(x)= “x es azul” donde x es una variable o argumento
Ahora, si x = “el auto”, entonces queda:
P(el auto)= el auto es azul
LOS CUANTIFICADORES
Para poder trabajar con las funciones proposicionales se utilizan los cuantificadores, o sea
que se cuantifica la función proposicional. Los cuantificadores son dos: el cuantificador universal y el
cuantificador existencial:
Cuantificador Universal: ∀x: “para todo equis se verifica”
Cuantificador Existencial: ∃x/ “Existe equis tal que”
Una función proposicional que está afectada por un cuantificador se puede decir que es Verdadera o
Falsa; por ejemplo
∀x:x∈N, de esta función proposicional ya se puede decir si es verdadera o falsa

NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR
Dentro del trabajo de la lógica cuantificacional, lo importante es poder negar un cuantificador:
NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Para poder llegar a entender la negación del cuantificador universal, se debe recurrir a un
ejemplo:
Todos los números enteros son impares
.
∀x : x ≠ 2 ∀x:P(x)
Negamos esta oración y nos queda:
No es cierto que todos los números enteros son impares
.
− ∀x : x ≠ 2 -∀x:P(x)
Y esto es equivalente a decir que:
Existen enteros que no son impares
.
∃x / x = 2 ∃x/-P(x)
En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador universal es equivalente a

cambiarlo por el existencial y negar la función proposicional.-
O sea:
-∀x:P(x) ⇔ ∃x/-P(x)
NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Al igual que el anterior, para poder llegar a entender la negación del cuantificador existencial,
se debe recurrir a un ejemplo:
Existen números enteros que son impares
.
∃x / x ≠ 2 ∃x/P(x)
Negamos esta oración y nos queda:
No es cierto que algunos números enteros son impares
.
− ∃x / x ≠ 2 -∃x/P(x)
Y esto es equivalente a decir que:
Todos los números enteros no son impares
.
∀x : x = 2 ∀x:-P(x)
En conclusión, se puede decir que si negamos un cuantificador existencial es equivalente a

cambiarlo por el universal y negar la función proposicional.-
O sea:
-∃x/P(x) ⇔ ∀x:-P(x)
Por ejemplo:
Cualquiera que sea un entero, existe otro que sumado a él de cero
P(x,y)= x+y=0
∀x,∃y/x+y=0
Negando el cuantificador queda:
-∀x,∃y/x+y=0 ⇔ ∃x/-∃y/x+y=0 ⇔ ∃x/∀y:x+y≠0
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
1) Construir la tabla de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones:
a) (p ∧ q) ∨ r ⇒ s b) (p∨ q)⇔ (r ∨ q)
c) [(p ⇒ q) ∧ (s ⇔ q) ]∨ r d) p ∧ (q ∨ r)
e) p ⇒ [q ∧ (s ∨ r)] f) [p ∧ (r ∨ s)] ⇒ (p ∧ q)
2) Reducir a negaciones, conjunciones y disyunciones las proposiciones del ejercicio anterior y

construir el correspondiente circuito lógico.
3) Determinar la validez o invalidez de los siguientes razonamientos deductivos:
a) p∧q b) -p
p r∧s
p⇒s p⇔q
-p ∨ q -q ∨ s
-(p ∧ r) q ⇒ -p
s ⇒ -r ______
______ p
-r
d) -(p ∨ q) ∧ s e) (r ∧ s) ∨ p
p∨s -p ∨ q
p⇒q p⇒q
r∧s (q ∧ s) ⇒ r
p _________
___________ r
p
f) r∨s g) - q ⇒ -r
p⇒r p∧s
s∧q r
- q ⇒ -r t⇒q
r ________
q⇒t q
____________
t
h) -p⇒-q i) p∨q
r∧s r∧s
p⇒r r∧q
q∨r q⇒p
___________ q
r __________
q⇔s
4) Escribir en forma simbólica las siguientes proposiciones, negarlas y luego retraducirlas al lenguaje
coloquial:
a) “Si apruebo, té presto el libro”

b) “Ana es hermosa y buena”
c) “Estudio o bien, escucho música, y además lo hago con mis compañeros”
d) “Los sábados estudio o me junto con mis amigos”
5) Negar lo siguientes cuantificadores:
a) ∀x: [P(x) ∧ Q(x)] b) ∃x/{P(x) ⇒ [Q(x) ∨ R(x)]}

c) ∃X/[P(x) ⇔ Q(x)] d) ∀x:{[Q(x) ∧ R(x)] ∨ P(x)}
6) Dado los siguientes enunciados de teoremas, determinar la Hipótesis y la tesis:
a) Teorema de Pitágoras:
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los
catetos”
b) Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

“Si a un triángulo se le traza una paralela a uno de sus lados, ésta determina dos triángulos
semejantes”
c) Propiedad de los cuadriláteros

“En todo cuadrilátero, la suma de los ángulos interiores es igual de cuatro rectos”
7) Reescriba las siguientes fórmulas lógicas en lenguaje natural, siendo:

p: ’Juan vendrá en el tren de las 8:15 ’
q: ’Juan vendrá en el tren de las 9:15 ’
r: ’Juan tendrá tiempo de visitarnos ’
a) -p ⇒ q ∨r
b) p ∧ q ⇒ r
c) (p ⇒ q) ∧ (p ∨ r)
d) p ∨ -q ⇒ r
e) (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r)
8) Reescriba los siguientes enunciados en lenguaje natural como fórmulas del cálculo proposicional
clásico:
a) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo
tanto, si M es negativo o P es positivo, luego Q es negativo.
b) Si M es negativo entonces Q es negativo. Si P es positivo, entonces Q es negativo. Por lo
tanto, si M es negativo y P es positivo, luego Q es negativo.
c) Si miro al cielo y estoy alerta entonces o veré un plato volador o si no estoy alerta, no veré un
plato volador.
9) Determine si las siguientes oraciones en lenguaje natural son equivalentes:

a) Llueve o está nublado. No llueve. Está nublado.
b) Si me levanto temprano, estaré cansado. Me levanto temprano. No estoy cansado.
c) Si hay sol, vamos al club. Si es sábado, vamos al club. Si hay sol y es sábado entonces
vamos al club.
d) La venta de casas cae si el interés sube. Los rematadores no están contentos si la venta de
casas cae. El interés sube. Los rematadores están contentos.
CAPÍTULO II
LA TEORÍA CONJUNTISTA
SIMBOLISMO QUE SE UTILIZA EN LA TEORÍA CONJUNTISTA
Símbolo Significado
∈ Pertenece
-(∈) ó ∉ No pertenece
⊂ Incluido en
⊃ Incluye a
∪ Unión
∩ Intersección
X Por (Producto cartesiano)
- Menos
∅ Conjunto vacío
∴ Luego
(a,b) Par ordenado “a” “b”
> Mayor que
≥ Mayor o igual que
< Menor que
≤ Menor o igual que
a⏐b “a” divide a “b”
∀x: Para todo x se verifica
∃x/ Existe x tal que
U Conjunto universal
Ν Conjunto de los números naturales
Ζ Conjunto de los números enteros
Q Conjunto de los números racionales
R Conjunto de los números reales
C Conjunto de los números complejos
CONJUNTO, ELEMENTO Y PERTENENCIA
Para poder abordar la teoría conjuntista, debemos tener presente tres conceptos
fundamentales: conjuntos elemento y pertenencia, los cuales son conceptos primitivos.
Todo conjunto se lo designa con una letra mayúscula, por ejemplo A, B, C, etc. Y los
elementos con una letra minúscula, por ejemplo a, b, c, etc. Ahora, la relación que existe entre
elemento y conjunto es el de pertenencia, y se usa el símbolo “∈”.
De un elemento a un conjunto se puede decir que pertenece, y se denota:
a∈A “el elemento a pertenece al conjunto A”
Por otro lado, se puede negar la pertenencia, y se denota:
-( a∈A) ⇔ a∉A “el elemento a no pertenece al conjunto A”
FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO
Los conjuntos se pueden definir de dos formas: enumerando sus elementos (definido por
extensión), o enunciando una propiedad que caracteriza solamente a esos elementos (definido por
comprensión). Por ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4} definido por extensión

A={x∈N/x ≤ 4} definido por comprensión (se lee “El conjunto A está formado por todos los
elementos “x” que pertenecen a los números naturales, tal que “x” es menor o igual que cuatro”)
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTO VACÍO
El conjunto vacío es aquel que carece de elementos.

Definido por extensión sería:
φ={}
Definido por comprensión:
φ = {x/x≠x} se elige esta forma ya que no existe ningún elemento que sea distinto consigo
mismo
CONJUNTO UNITARIO
El conjunto unitario es aquel que tiene sólo un elemento:
A={a} por extensión

A={x/x=a} por comprensión
CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto universal es el conjunto formado por todos los elementos de los cuales se está
hablando. Se lo simboliza con “U”.-
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Definición
Se llama cardinal de un conjunto a la cantidad de elementos que tiene el conjunto. El cardinal de un

conjunto se lo representa con #.
Por ejemplo:
A={-1,0,1, 2, 3, 4,7,9} ⇒ #A = 8
LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Los conjuntos numéricos se fueron creando por la necesidad de solucionar problemas con las
operaciones algebraicas.
Los números Naturales N

Primero se planteó la necesidad de contar, y se crearon los números naturales (N), o sea
N = {1,2,3,4...}
En este conjunto de números se puede sumar y restar cuando el minuendo es mayor o igual
que el sustraendo.-
Los números Enteros Z
Con el uso de los números naturales se llegó a la conclusión de que no se podían resolver
diferencias donde el minuendo sea menor que el sustraendo, entonces ante el planteamiento de a – b
donde a < b se crearon los números negativos que unidos con los naturales dieron origen a los
números enteros.-
Por otro lado también con los enteros se podía multiplicar y dividir si el dividendo era múltiplo
del divisor.
Los números racionales Q

Para poder resolver las divisiones donde el dividendo no es múltiplo del divisor, se crearon las
expresiones fraccionarias y las expresiones decimales, que unidos con los enteros dieron origen a los
números racionales.-
Racionales proviene de poder expresar un número como una razón.

Por ejemplo:
7
7:2 =
2
Los números reales R
Pero no todos los números se los puede expresar como fracción, y así lo determinó Pitágoras
cuando al aplicar su teorema en un triángulo rectángulo de catetos igual a 1 se descubrió:
H = 12 + 12 = 2.
Todo aquel número que no se los puede expresar como fracción se denominan irracionales
que unidos con los racionales dieron origen a los números reales.-
Los números complejos C
Pero no todas las operaciones se pueden resolver en los números reales, ya que no tiene
solución las raíces de índice par y radicando negativo, entonces se crearon los números imaginarios,
que unidos a los reales dieron origen a los números complejos.-
Para resolver estas raíces se llegó a una convención donde −1 = i , o sea que por ejemplo:
− 4 = 4. − 1 = 2.i
Ahora, el valor de 4
− 16 = 4 16 .4 − 1 = 2. − 1 = 2. i
Pero, usando estos números y los reales podemos construir un nuevo conjunto numérico en
donde cada uno de ellos se forma con una parte real más una imaginaria, o sea:
a+b.i
Estos números se llaman números complejos, y el conjunto formado por ellos se denomina
conjunto de los complejos.-
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn es una forma de representar gráficamente los conjuntos usando
figuras cerradas como circunferencias, triángulos, elipses, rectángulos, etc.
Por conveniencias se utiliza el rectángulo para graficar el conjunto universal, y las otras
figuras para cualquier otro conjunto:
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Comparando los conjuntos podremos obtener una conclusión; esto es lo que se denomina
relaciones entre conjuntos.
INCLUSIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto está incluido en otro, sí y solo sí los elementos del primero también son del
segundo. Analíticamente:
A ⊂ B ⇔ x∈A ⇒ x∈ B
Propiedades de la Inclusión
Propiedad Reflexiva
Todo conjunto está incluido en sí mismo.-
A ⊂ A ⇔ x∈A ⇒ x∈ A aplicando la definición

V V V V V
Como x∈A es verdadero entonces A ⊂ A es verdadero, lo que significa que todo conjunto
está incluido en sí mismo.-
Propiedad transitiva
Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primero está incluido en
el tercero.-
A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A⊂ C
Aplicando la definición de inclusión y la Ley del Silogismo Hipotético, se tiene:
A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ (x∈A ⇒ x∈B) ∧ (x∈B ⇒ x∈C) ⇒ x∈A ⇒ x∈C ⇒ A ⊂ C
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Definición
Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos.
Ahora, para que dos conjuntos sean iguales es necesario que uno esté incluido en el otro y
viceversa, por lo tanto se tienen:
A=B⇔A⊂B ∧ B⊂A
Teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, y que en la geometría se trabaja

con conjuntos de puntos, dos figuras o cuerpos que tienen las mismas dimensiones no son iguales
por que el lugar que ocupa cada uno de ellos en el espacio o en el plano, son distintos; en este caso
se habla de CONGRUENCIA.-
PROPIEDADES DE LA IGUALDAD DE CONJUNTOS
La igualdad de conjuntos cumple con las tres propiedades de una relación, o sea que es
REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y TRANSITIVA.
Propiedad Reflexiva
Todo conjunto es igual a sí mismo
H) Sea el conjunto A
T) A = A
D) Como A ⊂ A ⇒ A ⊂ A ∧ A ⊂ A ⇒ A = A
Esto es por la idempotencia de la conjunción y por la definición de igualdad
Propiedad Simétrica
H) Sea A = B
T) B = A
D) Como A = B ⇒ A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ B ⊂ A ∧ A ⊂ B ⇒ B = A
Esto es aplicando la definición de igualdad y la conmutatividad de la conjunción

Propiedad Transitiva
Si un conjunto es igual a otro, y este es igual a un tercero, entonces el primero es igual al

tercero.
H) Sea A = B ∧ B = C
T) A = C
D) Como
A = B ∧ B = C ⇒ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ∧ (B ⊂ C ∧ C ⊂ B) ⇒
⇒ (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) ∧ (C ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇒ A ⊂ C ∧ C ⊂ A ⇒ A = C
Esto es aplicando definición de igualdad, conmutatividad y asociatividad de la conjunción, simetría de

la igualdad e idempotencia de la conjunción.-
CARACTERIZACIÓN DEL CONJUNTO VACÍO
Al conjunto vacío lo caracterizan dos propiedades. Estas son:
1º) El conjunto vacío está incluido en cualquier otro conjunto
T) ∅ ⊂ A
D) Teniendo en cuenta la definición de inclusión y la definición de implicación, se tiene:
∅ ⊂ A ⇔ x∈∅ ⇒ x∈A
V V F V V
Esto es dado que x∈∅ es falso y x∈A, por lo consiguiente la implicación es verdadera, por lo tanto la
inclusión es verdadera.
2º) El conjunto vacío es único (unicidad)
H) Sean los conjuntos vacíos ∅ y ∅’

T) ∅ = ∅’
D) Como ∅ es un conjunto vacío y por la propiedad anterior se asegura que ∅⊂∅’
Ahora, como ∅’ también es un conjunto vacío, y por la propiedad anterior se tiene ∅’⊂∅.
Y teniendo en cuenta la definición de igualdad se tiene:
∅ = ∅’
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Toda operación se caracteriza por tener un resultado. Las operaciones entre conjuntos dan
como resultado otros conjuntos.-
1. COMPLEMENTACIÓN
Sea el conjunto A. Se llama complemento del conjunto A, al conjunto formado por todos los
elementos del universal que no son de A.-
Simbólicamente:
AC = {x ∈ U/x ∉ A}
Decir que:
x ∈ AC ⇔ x ∉ A
En diagramas de Venn es:
A U
Todo lo rayado son los elementos del conjunto universal que no son de A
Propiedades de la Complementación
Involución
El complemento del complemento de un conjunto, es igual al mismo conjunto
T) (AC)C = A
D) Partiendo de la definición de inclusión, otras formas de negar, e involución en la lógica, se
tiene
x∈ (AC)C ⇔ x∉ AC ⇔ ∼(x∈ AC) ⇔ ∼(x∉ A) ⇔ ∼[∼(x∈ A)] ⇔ x∈ A
Pero con esta demostración no se demostró la igualdad, entonces:
x∈ (AC)C ⇔ x∈ A ⇔ [(x∈ (AC)C ⇒ x∈ A)] ∧ [x∈ A ⇒ x∈ (AC)C] ⇔

⇔ (AC)C ⊂ A ∧ A ⊂ (AC)C ⇔ (AC)C = A
Esto es aplicando la equivalencia entre la doble implicación y la implicación y la definición de

igualdad.-
Gráficamente se demuestra:
A U A U
(AC)C A
Para el primer caso, lo que está rayado oblicuamente es el AC, y lo que está sombreado es
(AC)C
2. LA INTERSECCIÓN
Sean los conjuntos A y B, se llama intersección entre los conjuntos A y B al conjunto A∩B
formado por los elementos comunes. Lógicamente, hablar de elementos comunes, es hablar
de elementos que pertenecen a uno y al otro conjunto.-
O sea que:
A ∩ B = {x∈U/x∈A ∧ x∈B}
Ahora, decir que:
x∈ A∩B ⇔ x∈A ∧ x∈B
Gráficamente se tiene:
Propiedades y elementos distinguidos de la intersección
Idempotencia
La intersección de un conjunto, es igual al mismo conjunto
T) A ∩ A = A
D) Aplicando la definición de intersección, la idempotencia de la conjunción y la definición de
igualdad, se tiene:
x∈ A ∩ A ⇔ x∈A ∧ x∈A ⇔ x∈A

∴A∩A=A
Asociatividad
La intersección es asociativa
H) Sean los conjuntos A, B y C

T) A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B)∩ C
D) Aplicando la definición de intersección, la asociatividad de la conjunción y la definición de
igualdad, se tiene:
x∈ A ∩(B ∩ C) ⇔ x∈A ∧ x∈ (B ∩ C) ⇔ x∈A ∧ (x∈B ∧ x∈C) ⇔

⇔ (x∈A ∧ x∈B) ∧ x∈C ⇔ x∈(A ∩ B) ∧ x∈C ⇔ x∈(A ∩ B)∩ C
∴ A ∩(B ∩ C) = (A ∩ B)∩ C
Gráficamente es:
El primer gráfico es A ∩(B ∩ C), y el segundo (A ∩ B)∩ C
La conmutatividad
La intersección es conmutativa
H) Sean los conjuntos A y B

T) A ∩ B = B ∩ A
D) Aplicando la definición de intersección, la conmutatividad de la conjunción y la definición
de igualdad, se tiene:
x∈ A ∩ B ⇔ x∈A ∧ x∈B ⇔ x∈B ∧ x∈A ⇔ x∈ B ∩ A

∴A∩B=B∩A
Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.-
Elemento neutro
El elemento neutro de la intersección es el conjunto universal
T) A ∩ U = U ∩ A = A
D) Dado que el conjunto A⊂U ⇒ A ∩ U = U ∩ A = A
Elemento absorbente
El elemento absorbente es el conjunto vacío
T) A ∩ ∅ = A ∩ ∅= ∅
D) Dado que, por la caracterización del ∅, ∅⊂A ⇒ A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅
3. UNIÓN DE CONJUNTOS
Definición:
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto A∪B formado por los elementos de A o
de B o de ambos. O sea que:
A ∪ B = {x∈U/x∈A ∨ x∈B}
Decir que:
x∈ A ∪ B ⇔ x∈A ∨ x∈B
Gráficamente:
Propiedades de la unión de conjuntos
Idempotencia
La unión de un conjunto, es igual al mismo conjunto
T) A ∪ A = A
D) Aplicando la definición de unión, la idempotencia de la disyunción y la definición de
igualdad, se tiene:
x∈ A ∪ A ⇔ x∈A ∨ x∈A ⇔ x∈A

∴A∪A=A
Asociatividad
La unión es asociativa

T) A ∪(B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C
D) Aplicando la definición de unión, la asociatividad de la disyunción y la definición de
igualdad, se tiene:
x∈ A ∪(B ∪ C) ⇔ x∈A ∨ x∈ (B ∪ C) ⇔ x∈A ∨ (x∈B ∨ x∈C) ⇔

⇔ (x∈A ∨ x∈B) ∨ x∈C ⇔ x∈(A ∪ B) ∨ x∈C ⇔ x∈(A ∪ B)∪ C
∴ A ∪(B ∪ C) = (A ∪ B)∪ C
Gráficamente:
El primer gráfico es A ∪(B ∪ C), y el segundo (A ∪ B)∪ C
La conmutatividad
La unión es conmutativa

T) A ∪ B = B ∪ A
D) Aplicando la definición de unión, la conmutatividad de la disyunción y la definición de

igualdad, se tiene:
x∈ A ∪ B ⇔ x∈A ∨ x∈B ⇔ x∈B ∨ x∈A ⇔ x∈ B ∪ A

∴A∪B=B∪A
Gráficamente serán los mismos dado que son dos conjuntos.-
Elemento neutro
El elemento neutro de la unión es el conjunto vacío
T) A ∪ ∅ = A ∪ ∅= A
D) Dado que, por la caracterización del ∅, ∅⊂A ⇒ A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A
Elemento absorbente
El elemento neutro de la unión es el conjunto universal
T) A ∪ U = U ∪ A = U
D) Dado que el conjunto A⊂U ⇒ A ∪ U = U ∪ A = U
4. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS
Definición
La diferencia entre los conjuntos A y B, donde A se llama minuendo y B sustraendo, es el

conjunto A– B formado por todos los elementos de A que no son de B. Simbólicamente:
A – B = {x∈U/x∈A ∧ x∉B}
Ahora, si:
x∈ A – B ⇔ x∈A ∧ x∉B
Corolario
Teniendo en cuenta la definición de complemento, de intersección y de igualdad, se tiene:

x∈ A – B ⇔ x∈A ∧ x∉B ⇔ x∈A ∧ x∈BC ⇔ x∈ A ∩ BC
∴ A – B = A ∩ BC
Gráficamente es:
OTRAS PROPIEDADES
Leyes Distributivas
De la intersección con respecto a la unión
La intersección es distributiva con respecto a la unión

T) A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedad
distributiva de la conjunción con respecto a la disyunción se tiene:
x∈ A ∩(B ∪ C) ⇔ x∈ A ∧ x∈ (B ∪ C) ⇔ x∈ A ∧ (x∈B ∨ x∈C) ⇔

⇔ (x∈ A ∧ x∈B) ∨ (x∈ A ∧ x∈C) ⇔ x∈ A ∩ B ∨ x∈ A ∩ C ⇔
⇔ x∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Gráficamente:
Lo que está con gris en el primer caso es la unión, luego la intersección es lo que está con
negro.-
Para el segundo caso, la unión de las dos intersecciones es lo que está con negro.-
De la unión con respecto a la intersección
La unión es distributiva con respecto a la intersección.

T) A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
D) Teniendo en cuenta las definiciones de intersección, unión e igualdad, y la propiedad
distributiva de la disyunción con respecto a la conjunción, se tiene:
x∈ A ∪(B ∩ C) ⇔ x∈ A ∨ x∈ (B ∩ C) ⇔ x∈ A ∨ (x∈B ∧ x∈C) ⇔

⇔ (x∈ A ∨ x∈B) ∧ (x∈ A ∨ x∈C) ⇔ x∈ A ∪ B ∧ x∈ A ∪ C ⇔
⇔ x∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
∴ A ∪(B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Gráficamente:
En el primer gráfico, al conjunto A se lo une con la intersección de B con C.

En el segundo al realizar la intersección de las uniones se observa que los elementos
comunes son todos los de A y los de B y C, o sea la parte negra.-
Leyes de De Morgan
De la intersección
El complemento de la intersección de dos conjuntos, es igual a la unión de los complementos.

T) (A ∩ B)C = AC ∪ BC
D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley de
De Morgan para la conjunción, se tiene:
x∈ (A ∩ B)C ⇔ x∉ (A ∩ B) ⇔ -[x∈(A ∩ B)] ⇔ -( x∈A ∧ x∈B) ⇔

⇔ -(x∈A) ∨ -(x∈B) ⇔ x∉A ∨ x∉B ⇔ x∈AC ∨ x∈BC ⇔
⇔ x∈ AC ∪ BC
∴ (A ∩ B)C = AC ∪ BC
Gráficamente:
En el primer gráfico, la intersección es lo que está de blanco, lo que lo rodea (gris) es el

complemento.-
En el segundo, hay que unir los dos complementos, y justamente la parte central no es ni de
uno ni del otro, luego la unión son todos los elementos de cada complemento, o sea lo que
está de gris.-
De la unión
El complemento de la unión de dos conjuntos, es igual a la intersección de los complementos:

T) (A ∪ B)C = AC ∩ BC
D) Aplicando las definiciones de intersección, complemento, unión y de igualdad, y la ley de
De Morgan para la conjunción, se tiene:
x∈ (A ∪ B)C ⇔ x∉ (A ∪ B) ⇔ -[x∈(A ∪ B)] ⇔ -( x∈A ∨ x∈B) ⇔

⇔ -(x∈A) ∧ -(x∈B) ⇔ x∉A ∧ x∉B ⇔ x∈AC ∧ x∈BC ⇔
⇔ x∈ AC ∩ BC
∴ (A ∪ B)C = AC ∩ BC
Gráficamente:
En el primer gráfico el complemento de la unión es lo de gris.

En el segundo, el complemento de A son los elementos que están a fuera de A, lo mismo que
los de B, ahora la intersección son los comunes de afuera de A y de B, o sea lo que está de
gris.-
DIFERENCIA SIMÉTRICA
Definición
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es A Δ B, formado por los elementos de la

unión entre A – B y B – A.
Simbólicamente:
A Δ B = (A – B) ∪ (B – A)
Ahora, teniendo en cuenta que A – B = A ∩ BC se tiene:
A Δ B = (A ∩ BC) ∪ (B ∩ AC)
Gráficamente:
Propiedades de la diferencia simétrica
Conmutatividad
La diferencia simétrica es conmutativa

T) A Δ B = B Δ A
D) Aplicando la definición de diferencia simétrica y la propiedad conmutativa de la unión, se
tiene:
A Δ B = (A – B) ∪ (B – A) = (B – A) ∪ (A – B) = B Δ A
Asociatividad
La diferencia simétrica es asociativa

T) A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C
D) Para demostrar esta propiedad se lo debe hacer desarrollando ambos miembros de la
igualdad y comparar sus resultados.-
Comenzamos con el primero, aplicando sucesivamente y convenientemente las definiciones

de diferencia simétrica, las propiedades distributivas, conmutativas, elemento neutro
A Δ (B Δ C) = [A ∩ (B Δ C)C] ∪ [(B Δ C) ∩ AC]

Por definición de diferencia simétrica
= {A ∩ [(B∩CC) ∪ (C∩BC)]C} ∪ {[(B∩CC) ∪ (C∩BC)] ∩ AC}
={A∩[(B∩CC)C ∩ (C∩BC)C]}∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)
Por De Morgan y Distributiva
={A∩[(BC∪C) ∩ (CC∪B)]} ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)
Por ley De Morgan e Involución
={A∩[(BC∩CC)∪(BC∩B)∪(C∩CC)∪(C∩B)]}∪
∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)
Propiedad distributiva
= {A∩[(BC∩CC)∪∅∪∅∪(C∩B)]} ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)
Por ser BC y B, C y CC conjuntos disjuntos
= {A∩[(BC∩CC)∪ (C∩B)]} ∪(AC∩B∩CC)∪ (AC∩BC∩C)
Por ser el ∅ neutro para la unión
= (A∩B∩C)∪(A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪(AC∩BC∩C) (I)
Propiedades distributivas y conmutativas
(A Δ B)Δ C = [(A Δ B) ∩ CC] ∪ [C ∩ (A Δ B)C]

= {[(A∩BC) ∪ (B∩AC)]∩CC} ∪ {C∩[(A∩BC) ∪ (B∩AC)]C}
=(A∩BC∩CC)∪ (AC∩B∩CC)∪{C∩[(A∩BC)C ∩ (B∩AC)C]}
Por De Morgan y Distributiva
=(A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪{C∩[(AC∪B)∩(BC∪A)]}
Por ley De Morgan e Involución
=(A∩BC∩CC)∪ (AC∩B∩CC)∪
∪{C∩[(AC∩BC)∪(AC∩A)∪(B∩BC)∪(B∩A)]}
Propiedad distributiva
= (A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪{C∩[(AC∩BC)∪∅∪∅∪(B∩A)]}
Por ser AC y A, B y BC conjuntos disjuntos
= (A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪{C∩[(AC∩BC)∪ (B∩A)]}
Por ser el ∅ neutro para la unión
= (A∩B∩C)∪(A∩BC∩CC)∪(AC∩B∩CC)∪(AC∩BC∩C) (II)
Propiedades distributivas y conmutativas
∴ de I y II y por propiedad transitiva de la igualdad, se tiene:
A Δ (B Δ C) = (A Δ B) Δ C
CONJUNTO DE PARTES
Es importante poder formar conjuntos cuyos elementos son otros conjuntos, es por eso, y
valiéndose de un conjunto y posibilidad que no dan sus elementos, podemos definir conjunto de
partes.
Definición
Sea el conjunto A, se llama conjunto de partes de A al conjunto P(A) formado por todos los
conjuntos que se pueden armar con los elementos de A.-
Simbólicamente:
P(A) ={X/X ⊂ A}
Dicho de otra forma:
X ∈ P(A) ⇔ X ⊂ A
Por ejemplo:
Sea A = {1, 2, 3} ⇒ P(A) = {{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3},∅}

Esto es dado que todo conjunto está incluido en sí mismo, y que el vacío está incluido en cualquier
otro conjunto.
UNIONES DISJUNTAS
Cuando tenemos conjuntos disjuntos, o sea que no tienen elementos comunes, y se trata de
realizar una unión, estaremos en presencia de una unión disjunta.
Para ello designaremos de la siguiente forma con los conjuntos A y B
A ∪ B = A + B siempre que A ∩ B = ∅
Ahora el problema está en expresar como una unión disjunta a una unión de cualquier
conjunto. Para ello recurriremos a un gráfico teniendo en cuenta los conjuntos A y B
Observando el gráfico, se obtuvo el conjunto A y lo grisáceo que son disjuntos. Ahora ¿cómo
será simbólicamente?
A ∪ B = A ∪ (B – A) = A ∪ (B ∩ AC) = A ∪ (AC ∩ B)
Por lo tanto podemos expresarlo como una unión disjunta, o sea que:
A ∪ (AC ∩ B) = A + (AC ∩ B)
Y por la propiedad transitiva de la igualdad, se tiene:
A ∪ B = A + (AC ∩ B)
Que es lo que justamente se quería llegar, expresar cualquier unión como una unión disjunta.-
PAR ORDENADO
Sean los conjuntos {a} y {a, b}. Se llama par ordenado (a, b) al conjunto {{a}, {a,b}}
O sea que
(a, b) = {{a}, {a,b}}
Donde “a” se denomina primera componente, y “b”, segunda componente
PRODUCTO CARTESIANO
Definición
Sean los conjuntos A y B, se llama producto artesiano A X B al conjunto formado por todos
los pares ordenados cuyas primeras componentes son los elementos de A, y las segundas
componentes, los elementos de B.-
Simbólicamente es:
A X B = {(a,b)/a∈A ∧ b∈B}
Decir que:
(a,b)∈AXB ⇔ a∈A ∧ b∈B
Por ejemplo:
Sean los conjuntos:

A={1,2,3} y B={5,6}
AXB = {(1,5); (1,6); (2,5); (2,6); (3,5); (3,6)}
Como se puede observar, el número de elementos del producto cartesiano está dado por el producto
de la cantidad de elementos de A y de B.-
Ahora, también se puede trabajar con un solo conjunto, o sea hacer el producto
cartesiano (siendo “A” el conjunto) AXA=A2, por ejemplo:
A={1,2,3}
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}
1) Dado los siguientes conjuntos, y teniendo en cuenta el Universal que figura a la par, definir los
mismos por comprensión:
a) A={0,1,2,3} U=Z b) B={-5,-4,-3,-2,-1,0, 1,2} U=Z

c) C={0,1,6,7,8} U=N d) D={9,10,16,17,22,23,24} U=N
2) Teniendo en cuenta el conjunto de los números Reales, se llama intervalo a un subconjunto del
mismo (Reales).-
El intervalo es abierto cuando no se encuentran en el subconjunto los extremos que figuran
en él. O sea:
(a, b) intervalo abierto, a y b ∉ (a, b)
El intervalo es cerrado si los extremos pertenecen a él. O sea:
[a, b] donde los extremos a y b ∈ [a, b]
Y por supuesto, los intervalos pueden ser semiabiertos.-
Ahora, sea el conjunto de los números reales, Definir los siguientes conjuntos por comprensión y
graficarlos en la recta numérica:
a) A=(-8, 1) b) B=[-4, 4) c) C=[100, 200] d) D= (0, 100]
3) Hacer el producto cartesiano de los siguientes conjuntos:
a) A={1,2,3} B={8,9} b) A={x∈N/4<x≤8} B={x∈Z/-1≤x≤2}
4) Dadas las siguientes propiedades, demostrarlas en forma simbólica y gráfica, justificando los
razonamientos realizados:
a) A ∪ B = A ∪ (B - A) b) A - B = A - (A ∩ B)
c) (A ∪ B) - C = (A - C) ∪ (B - C) d) (A - B) - C = A - (B ∪ C)
e) A ∪ (B - C) = (A ∪ B) - (C -A) f) [A ∪ (B ∩ C)] – B = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ∩ BC
5) Demostrar justificando los razonamientos realizados:
a) (A ∩ B) X C = (A X C) ∩ (B X C)
b) Teniendo en cuenta que #(A ∪ B) = #(A) + #(B) - #(A ∩ B), demostrar que:
#(A ∪ B ∪ C) = #(A) + #(B) + #(C) - #(A ∩ B) - #(A ∩ C) - #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C)

6) expresar como uniones disjuntas la siguiente operación
A∪B∪C
7) Dado un conjunto cualquiera A. Se llama conjunto de partes de A, al conjunto formado por todos
conjuntos que se pueden formar con los elementos del conjunto A. En símbolo:
P(A)={X/X⊂A}
En base a la definición anterior, determinar el conjunto de Partes de los siguientes conjuntos:
a) A = {1, 2, 3} b) B = {4,5,6,7,8}
c) C = { 0,5 ; 1; 1,5; 2} d) D = {a, b, c}
8) Determinar la operación que corresponde a cada diagrama de Venn:
e) f)
g) h)
CAPÍTULO III
RELACIONES BINARIAS
RELACIONES BINARIAS
Al trabajar con conjuntos es imprescindible poder relacionarlos teniendo en cuanta la
veracidad de una proposición. Estas relaciones son las que estudiaremos en este apunte.
Definición
Sean los conjuntos A y B. Se llama relación binaria entre los conjuntos A y B a un

subconjunto del producto cartesiano AXB, cuyos pares cumplen con una determinada proposición.-
O sea que si R es la relación entre los conjuntos A y B, entonces R ⊂ AXB
Por ejemplo:
Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {5,6}

(x, y) ∈ R⊂AXB ⇔ x|y
AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}
Teniendo en cuenta la definición de relación, debemos buscar en el producto cartesiano

aquellos pares donde la primera componente divida a la segunda. O sea:
R = {(1,5), (1,6), (2,6), (3,6)}
Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y a B conjunto de llegada. Al conjunto

formado por todos los elementos de A que se relacionan con los elementos de B se denomina
Dominio, y al subconjunto de B que tienen antecedentes en A se llama Imagen.-
O sea que el Dominio de la relación es el conjunto formado por todas las primeras
componentes de los pares de la relación, y la Imagen es el conjunto formado por todas las segundas
componentes de los pares de la relación.-
En nuestro ejemplo, se tiene:
D(R) = {1, 2, 3} y I(R) = {5,6}
Para graficar una relación, se la puede hacer de tres formas:
En diagramas de Venn: se dibujan los dos conjuntos y se unen con flechas los elementos del
conjunto de partida que se relacionan con el de llegada. En nuestro ejemplo será:
A B
1. 5.
2.
3. 6.
La otra forma de graficar una relación es utilizando un sistema de ejes coordenados

cartesianos, poniendo en el eje de las abscisas el conjunto de partida, y en el de las ordenadas, el
conjunto de llegada. Luego se trazan paralelas al otro eje por cada uno de los puntos de los ejes,
siendo el conjunto de los puntos de corte el producto cartesiano. Ahora en esta gráfica, se encierran
con una curva cerrada los puntos que pertenecen a la relación.-
En nuestro caso será:
Por último, también se puede graficar en el sistema matricial (de matrices), colocando al
conjunto de partida en forma vertical y al de llegada en forma horizontal. Luego en las intersecciones
cuyos pares pertenezcan a la relación se coloca el 1 y donde no, el 0. En nuestro caso será:
B
5 6
A
1 1 1
2 0 1
3 0 1
Relación inversa
Sea una relación R⊂ AXB. Se dice que la relación R-1 es la relación inversa de R, solamente
sí R ⊂ BXA.-
-1
O sea que R-1 = {(y,x)/(x,y) ∈ R}
En nuestro ejemplo, la relación inversa es:

R-1 = {(5,1), (6,1), (6,2), (6,3)}
COMPOSICIÓN DE RELACIONES
Dada dos relaciones: R⊂AXB y S⊂BXC. Se llama relación compuesta a la relación SoR⊂AXC
(R compuesto con S incluida en AXC) a la formada por los pares que tienen como primera
componente a las primeras componentes de los pares de R y como segunda componente a la
segundas de los pares de S, siempre que las segundas componentes de los pares de R sean primera
de los pares de S.
O sea que:
SoR = {(x,z) / (x,y) ∈R ∧(y,z) ∈S}
Dicho de otra forma:
(x,z) ∈ SoR⊂AXC ⇔ (x,y) ∈R ∧ (y,z) ∈S

Gráficamente es:
Por ejemplo:
⎧1 1 ⎫
A = {1, 2, 3} B = {1,2,4} y C = ⎨ , , 2⎬
⎩2 4 ⎭
La relación R de AXB está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente sean
el cuadrado de la primera.
La relación S de BXC está formada por todos aquellos pares cuya segunda componente sean
la mitad de la primera.
y
(x,y) ∈R⊂AXB ⇔ y=x2 ( y, z ) ∈ S ⊂ BXC ⇔ z =
2
AXB = {(1,1)(1,2)(1,4)(2,1)(2,2)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)}
R={(1,1)(2,4)}
⎧⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎫
BXC = ⎨⎜1, ⎟⎜1, ⎟(1,2 )⎜ 2, ⎟⎜ 2, ⎟(2,2 )⎜ 4, ⎟⎜ 4, ⎟(4,2 )⎬
⎩⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎭
⎧⎛ 1 ⎞ ⎫
S = ⎨⎜1, ⎟(4,2)⎬
⎩⎝ 2 ⎠ ⎭
⎧⎛ 1 ⎞ ⎫
SoR = ⎨⎜1, ⎟( 2,2)⎬
⎩⎝ 2 ⎠ ⎭
Partiendo de las definiciones, se tiene que la relación SoR de AXC, está formada por todos
aquellos pares cuya segunda componente sea la mitad del cuadrado de la primera.
x2
( x, z ) ∈ SoR ⊂ AXC ⇔ z =
2
⎧⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎫
AXC = ⎨⎜1, ⎟⎜1, ⎟(1,2)⎜ 2, ⎟⎜ 2, ⎟(2,2 )⎜ 3, ⎟⎜ 3, ⎟(3,2 )⎬
⎩⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎭
⎧⎛ 1 ⎞ ⎫
SoR = ⎨⎜1, ⎟( 2,2)⎬
⎩⎝ 2 ⎠ ⎭
Gráficamente queda:
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Sea el conjunto A, se llama relación definida en un conjunto, al subconjunto del producto

cartesiano AXA o A2.
O sea que:
R es una relación definida en A ⇔ R⊂A2.
Por ejemplo:
Sea A={1,2,3}
(x,y)∈R⊂A2 ⇔ x ≤ y
Hacemos primero el producto cartesiano, o sea
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

La relación estará formada por todos aquellos pares de A2 cuyas primeras componentes sean
menores o iguales que las segundas. O sea:
R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)}
POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
Analizando una relación y sus pares ordenados, puede o no cumplir con las siguientes
propiedades de las relaciones:
1. PROPIEDAD REFLEXIVA
La relación R⊂A2 es reflexiva, solamente sí todos los elementos de A tienen pares de

componentes iguales en la relación.-
R⊂A2 es reflexiva ⇔∀x: x∈A ⇒ (x,x)∈R
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x ≤ y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)}
Los elementos de A son 1, 2 y 3, y en la relación están (1,1) (2,2) y (3,3), o sea que todos los
elementos de A determinan pares de componentes iguales en la relación, o sea que es
REFLEXIVA.-
2. PROPIEDAD NO REFLEXIVA
La propiedad no reflexiva, es la negación de la reflexividad. Entonces, la relación R⊂A2 es no

reflexiva si algunos elementos de A no tienen pares de componentes iguales en la relación.
Esto se obtiene negando el cuantificador de la propiedad anterior, y aplicando la negación de
una implicación:
R⊂A2 es No reflexiva ⇔ ∼(∀x:x∈A ⇒ (x,x)∈R) ⇔ ∃x/∼( x∈A ⇒ (x,x)∈R) ⇔

∃x/x∈A ∧ (x,x)∉R
Ejemplo
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x ≤ y ∧ y ≠ 2
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,1)(1,3)(2,3)(3,3)}
En esta relación tenemos los pares de componentes iguales (1,1) y (3,3); pero los elementos
de A son el 1,2,3, lo que significa que algunos elementos de A determinan pares de
elementos iguales en la relación. O sea que R de A2 es No Reflexiva.-
3. PROPIEDAD ARREFLEXIVA
Una relación R de A2 es Arreflexiva, si no tiene pares de componentes iguales en la relación.

O sea que:
R⊂A2 es Arreflexiva ⇔ ∀x:x∈A ⇒ (x,x) ∉ R
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x < y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,2)(1,3)(2,3)}
En este caso, ningún elemento de A determina pares de componentes iguales en la relación.

Por lo tanto es Arreflexiva.-
4. PROPIEDAD SIMÉTRICA
Una relación definida en un conjunto es simétrica, si y sólo si todos los pares de la relación
determinan pares de componentes conmutadas en la relación. O sea:
R⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 2⏐x+y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}
Observando esta relación, que todos los pares tienen pares de componentes conmutadas en
la relación, por lo tanto es Simétrica.-
5. PROPIEDAD NO SIMÉTRICA
Una relación es no simétrica, si algunos de los pares de la relación no tienen pares de

componentes conmutadas en la relación. Esta propiedad es la negación de la simetría, o sea:
R⊂A2 es no simétrica ⇔ ∼(∀x,∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R) ⇔

⇔ ∃x/∼(∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R) ⇔
⇔ ∃x,∃ y/∼[(x,y)∈R ⇒ (y,x)∈R)] ⇔
⇔ ∃x,∃ y/(x,y)∈R ∧ (y,x)∉R)
Esto es aplicando la negación de un cuantificador, y la negación de la implicación.-
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 2⏐x+y ∧ y≠1
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,3)(2,2) (3,3)}
Es no simétrica, pues está el (1,3) y no está el (3,1), lo que significa que es No simétrica.-
6. PROPIEDAD ASIMÉTRICA
Una relación es asimétrica si todos los pares de la relación no tienen pares de componentes
conmutadas en la relación. O sea que:
R⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈R ⇒ (y,x)∉R
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x<y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,2)(1,3)(2,3)}
En esta relación, todos los pares ordenados no tienen pares de componentes conmutadas en
la misma relación, por lo tanto es Asimétrica.-
7. PROPIEDAD TRANSITIVA
Una relación es transitiva solamente sí todos los pares cumplen que: eligiendo dos de ellos, la
segunda componente del primero, es primera componente del segundo, estos generan un tercer par
en la relación, cuya primera componente es la primera del primero, y la segunda es la segunda del
segundo. O sea:
R⊂A2 es transitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 2⏐x+y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}
Tomamos dos pares que cumplan con el antecedente de la implicación:

(1,1) y el (1,3) estos generan el (1,3)

8. PROPIEDAD NO TRANSITIVA
Como en las anteriores, la no transitividad es la negación de la transitividad, o sea que una

relación es no transitiva solamente sí algunos pares de la relación no cumplen con las condiciones de
la transitividad. Simbólicamente:
R⊂A2 es no transitiva ⇔ ∼(∀x,∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R) ⇔

⇔∃x/∼(∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R) ⇔
⇔∃x,∃y/∼(∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R) ⇔
⇔∃x,∃y,∃z/ ∼[(x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∈R] ⇔
⇔∃x,∃y,∃z/ (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ∧ (x,z)∉R
Esto es aplicando la negación de un cuantificador y la negación de una implicación.-
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ 3⏐x+y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,2)(2,1)(3,3)}
Observamos que con el par (3,3) cumple la condición de transitividad, pero con los pares (1,2)
y (2,1) no, ya que el par (1,1) ∉R. Por lo tanto es No transitiva.-
9. PROPIEDAD ATRANSITIVA
Una relación es atransitiva, si ninguno de los pares de la relación cumplen con las
condiciones de la transitividad. O sea que:
R⊂A2 es atransitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: (x,y)∈R ∧ (y,z)∈R ⇒ (x,z)∉R
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x+y=3
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,2)(2,1)}
Observamos esta relación que tiene sólo dos pares, y no existe el tercer par, por lo tanto
ninguno de los pares cumple con la condición de transitividad, o sea que es Atransitiva.-
10. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA
Una relación es antisimétrica, si existen pares de componentes conmutadas en la relación,

tienen que ser aquellos cuyas componentes son iguales. O sea:
R⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈R ∧ (y,x)∈R ⇔ x=y
Por ejemplo:
Si A = {1,2,3} y (x,y) ∈R⊂A2 ⇔ x≤y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(3,3)}
En esta relación, los únicos pares de componente conmutadas son aquellos que tienen las
mismas iguales, por lo tanto es Antisimétrica.-
RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
La relación R⊂A2 se dice que es de equivalencia, si y sólo si es Reflexiva, Simétrica

y Transitiva.-
Una relación de equivalencia se la denota con ∼, y si (a,b)∈∼ entonces se dice que “a

es equivalente con b” y se denota a∼b. Con esta notación, las propiedades quedarían denotadas:
Reflexiva:
∼⊂A2 es reflexiva ⇔∀x: x∈A ⇒ (x,x)∈∼

∼⊂A2 es reflexiva ⇔∀x: x∈A ⇒ x∼x
Simétrica:
∼⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: (x,y)∈∼ ⇒ (y,x)∈∼

∼⊂A2 es simétrica ⇔ ∀x,∀y: x∼y ⇒ y∼x
Transitiva:
∼⊂A2 es transitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: (x,y)∈∼ ∧ (y,z)∈∼ ⇒ (x,z)∈∼

∼⊂A2 es transitiva ⇔ ∀x,∀y,∀z: x∼y ∧ y∼z ⇒ x∼z
Por ejemplo:
Probar que la siguiente relación es de equivalencia:
Si A = {1,2,3} y x∼y ∈∼⊂A2 ⇔ 2⏐x-y
A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}
∼ = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}
Es de equivalencia pues es:

Reflexiva ya que:
1∼1, 2∼2 y 3∼3
Simétrica ya que:
1∼1 ⇒1∼1 1∼3 ⇒ 3∼1 2∼2 ⇒ 2∼2 3∼1 ⇒ 1∼3 3∼3 ⇒ 3∼3
Transitiva ya que:
1∼1 ∧ 1∼1 ⇒ 1∼1 1∼1 ∧ 1∼3 ⇒ 1∼3 2∼2 ∧ 2∼2 ⇒ 2∼2 1∼3 ∧ 3∼1 ⇒ 1∼1
1∼3 ∧ 3∼3 ⇒ 1∼3 3∼1 ∧ 1∼1 ⇒ 3∼1 3∼1 ∧ 1∼3 ⇒ 3∼3 3∼3 ∧ 3∼3 ⇒ 3∼3
CLASES DE EQUIVALENCIA
Sea una relación de equivalencia definida en un conjunto A, se llama clase de

equivalencia de m, al conjunto formado por todos los elementos de A que son equivalentes con m, y
se denota con Km. O sea:
∼⊂A2, ⇒ Km ={x∈A/x∼m}
Dicho de otra forma, x∈Km ⇔ x∼m
En el ejemplo que se ha dado anteriormente es:
K1 = {1,3} K2 = {2} y K3 = {1,3}, lo que significa que la K1 = K2
CONJUNTO COCIENTE
Se llama conjunto cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencias,
A
y se denota . O sea:
∼
= {K i / i ∈ I } donde I se llama conjunto de índices

A
∼
El conjunto de índices se forma con un representante de cada clase de equivalencia.
En el ejemplo anterior, el conjunto cociente es:
= {K 1 , K 2 } = {{1,3}{2}}
A
∼
y el conjunto de índices es: I = {1,2}
PARTICIÓN DE UN CONJUNTO NO VACÍO
Sea el conjunto A ≠ ∅, se dice que {Ki/i∈I} es una partición de A, si y sólo si se cumplen los
siguientes axiomas:
A1) Todo elemento del conjunto de índice determina un subconjunto de partición no vacío. O sea:
∀u: u∈I ⇒ Ku ≠ ∅
A2) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan subconjuntos de partición disjuntos. O sea:
u≠v ⇒ Ku ∩ Kv = ∅
A3) Todos los elementos del conjunto A, pertenecen a algún subconjuntos de partición, lo que
significa que la partición cubre todo el conjunto. O sea:
∀a∈A,∃u∈I/ a ∈ Ku
Por ejemplo:
Sea A = {-1,0,1,2,3,4}, y sea la partición {{-1}{0,1,2}{3,4}}

En este caso el conjunto de índices será I={-1,0,3}, y si observamos en la partición se cumple A1 ya
que
K-1≠∅, K0≠∅ y K3≠∅. La A2 también se cumple ya que: -1≠0 ⇒ K-1 ∩ K0 =∅; el -1≠3 ⇒ K-1∩K3=∅; y
0≠3 ⇒ K0∩K3=∅. Por otro lado, todos los elementos de A pertenecen a algún subconjunto de
partición. En diagramas de Venn será:
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIAS
Sea una ∼ definida en un conjunto A≠∅, entonces existe un conjunto de índices I⊂ A, tal que todo u∈I
existe un Ku⊂A, siendo el conjunto de índices formado por un representante de cada clase, de tal
manera que cumpla con las siguientes proposiciones:
1º) Todo elemento del conjunto de índice, determina una clase no vacía.
2º) Dos elementos de A son equivalentes si y sólo si pertenece a una misma clase.
3º) Clases no disjuntas son iguales.
4º) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan clases disjuntas.
5º) Todo elemento del conjunto A pertenece a alguna clase de equivalencia. O sea que, todas las
clases de equivalencias cubren a todo el conjunto A como una partición.
Hipótesis
Sea A≠∅,
Sea ∼⊂A2 ⇒ ∃I⊂ A/ ∀u∈I,∃ Ku⊂A,
Siendo I formado por un representante de cada clase,
Tesis
1º) ∀u:u∈I ⇒ Ku ≠∅
2º) a∼b ⇔ a∈Ku ∧ b∈Ku
3º) Ku ∩ Kv ≠ ∅ ⇒ Ku = Kv
4º) u≠v ⇒ Ku ∩ Kv = ∅
5º) ∀a∈A,∃u∈I/a∈Ku
Demostración
1º) Como A≠∅ ⇒ ∃a∈A. Pero por hipótesis, en A se define una relación de equivalencia, y en
particular es reflexiva ⇒ a∼a, y por definición de clase de equivalencia se tiene que a∈Ka.
Ahora, como I⊂A ⇒ u∈Ka ⇒ u∼a ⇒ a∼u ⇒ a∈Ku ⇒ Ku≠∅.
2º) Para poder demostrar esta proposición, debemos desdoblar la doble implicación. O sea:
a) a∼b ⇒ a∈Ku ∧ b∈Ku
a∼b ⇒ a∈Kb por definición de clase de equivalencia.

Ahora, supongamos que u∈Kb ⇒u∼b ⇒b∼u⇒b∈Ku por definición de clase.
Pero a∼b ∧ b∼u ⇒ a∼u ⇒ a∈Ku.
b) a∈Ku ∧ b∈Ku ⇒ a∼b
Como a∈Ku ∧ b∈Ku ⇒ a∼u ∧ b∼u ⇒ a∼u ∧ u∼b ⇒ a∼b

3º) Esta proposición se demuestra teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, o sea
Ku = Kv ⇔ Ku ⊂ Kv ∧ Kv ⊂ Ku
Ku ∩ Kv ≠ ∅ ⇒ ∃ a∈ Ku ∩ Kv ⇒ a∈ Ku ∧ a∈ Kv ⇒ a∼u ∧ a∼v⇒ u∼a ∧ a∼v

Ahora:
Sea y∈Ku ⇒ y∼u ∧ u∼v ⇒ y∼v ⇒ y∈Kv
∴ y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión, se tiene: Ku ⊂ Kv (I)
Ahora, sea z∈Kv ⇒ z∼v ∧ v∼u ⇒ z∼v ⇒ z∈Kv
∴ y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión, se tiene: Kv ⊂ Ku (II)
Y teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos se tiene que si

Ku ⊂ Kv ∧ Kv ⊂ Ku ⇒ Kv = Ku
4º) Esta proposición la demostraremos utilizando el método de reducción al absurdo, o sea H⇒T ⇔
⇔-T⇒-H, lo que nos lleva a negar la tesis, o sea:
Ku ∩ Kv ≠ ∅ ⇒ ∃ a∈Ku ∩ Kv ⇒ a∈Ku ∧ a∈ Kv ⇒ a∼u ∧ a∼v ⇒ u∼a ∧ a∼v ⇒

⇒u∼v, ESTO CONTRADICE LA HIPÓTESIS, PUES LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE ÍNDICE
NO PUEDEN SER EQUIVALENTES YA QUE SE HA DICHO QUE ESTE CONJUNTO ESTÁ
FORMADO POR UN REPRESENTANTE DE CADA CLASE DE EQUIVALENCIA (ABSURDO).-
∴ u≠v ⇒ Ku ∩ Kv = ∅ ES VERDADERO
5º) como A≠∅ ⇒ a∈ A ⇒ a∼a ⇒ a∈Ka

Ahora, supongamos que u∈Ka ⇒ u∼a ⇒ a∼u ⇒ a∈Ku, y por la propiedad anterior, Ku=Ka, lo que
significa que todo el conjunto A está cubierto por todas las clases de equivalencia.-
PARTICIÓN Y RELACIÓN DE EQUIVALENCIA
Propiedad
Sea {Ku / u∈I} una partición del conjunto A. Entonces queda inducida una relación de equivalencia en
A.-
Hipótesis
Sea A≠∅
Sea {Ku / u∈I} una partición de A
Tesis
Queda inducida ∼⊂A2
Demostración
Para poder demostrar esta propiedad, primero debemos definir una relación diciendo que “un par
ordenado pertenece a la relación, si ambas componentes pertenece a uno mismo conjunto de
partición. O sea:
(x,y) ∈ R ⇔ x∈ Ku ∧ y ∈ Ku (A)
Reflexividad
Supongamos que x ∈ Ku ⇒ x ∈ Ku ∧ x ∈ Ku por idempotencia de la conjunción, y por la definición (A)

se tiene que (x,x) ∈ R⊂ A2
Simetría
Tomemos (x,y) ∈ R ⇒ x∈ Ku ∧ y ∈ Ku ⇒ y∈ Ku ∧ x ∈ Ku ⇒ (y,x) ∈ R

Transitividad
Tomemos (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R ⇒ x∈ Ku ∧ y∈ Ku ∧ y ∈ Ku ∧ z ∈ Ku, y en particular podemos decir que

x ∈ Ku ∧ z ∈ Ku ⇒ (x,z) ∈ R.
Luego la relación R es de equivalencia.-
Por ejemplo:
Determinar la relación de equivalencia definida en A={1,2,3,4} teniendo en cuenta la partición de A
{{1}{2,3}{4}}.-
Cada uno de los elementos de la partición es una clase de equivalencia, o sea:
K1 = {1} K2 = {2,3} K4 = {4}

Y por definición de clase de equivalencia, todo elemento que pertenece a una clase es equivalente
con el índice, o sea que:
1∼1 ∧ 2∼2 ∧ 2∼3 ∧ 3∼2 ∧ 3∼3 ∧ 4∼4, lo que nos da la relación de equivalencia como:
∼ = {(1,1)(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)(4,4)}
y el conjunto de índices es:
I={1,2,4}
RELACIÓN DE ORDEN
Al tener un conjunto numérico, es importante analizar si está ordenado o no. Para eso se
trabaja con una relación denominada de orden. Antes de poder definir esta relación, definiremos
preceder teniendo en cuenta que:
Un número precede a otro si y sólo si, el par formado por esos elementos pertenecen a la relación. O
sea:
x 〈 y ⇔ (x,y) ∈ R ⊂ A2
〈 : signo preceder
Ahora, las relaciones pueden ser de orden amplio o estricto, y en cada una de estas se dividen en
orden amplio parcial o total, y de orden estricto parcial o total. O sea:
⎧ ⎧Parcial
⎪ Amplio⎨
⎪ ⎩ Total
Relación de Orden ⎨
⎪Estricto ⎧⎨Parcial
⎪⎩ ⎩ Total
Relación de orden amplio
Una relación es de orden amplio si es reflexiva, asimétrica y transitiva. O sea que sea R⊂A2 es de
orden amplio si es:
Reflexiva:
∀x:x∈A ⇒ x 〈 x
Antisimetría:
∀x, ∀y: x 〈 y ∧ y 〈 x ⇒ x = y
Transitividad:
∀x,∀y,∀z: x 〈 y ∧ y 〈 z ⇒ x 〈 z
Relación de orden estricto
Una relación es de orden estricto si es Arreflexiva, Asimétrica y Transitiva. O sea:
Arreflexividad:
∀x:x∈A ⇒ ∼(y 〈 x)
Asimetría
∀x,∀y: x 〈 y ⇒ ∼(y 〈 x)
Transitividad:
∀x,∀y,∀z: x 〈 y ∧ y 〈 z ⇒ x 〈 z
Relación de orden parcial
Una relación de orden es parcial, si algunos elementos del conjunto no preceden a otro del mismo
conjunto. O sea:
R⊂A2 es de orden parcial ⇔ ∃x∈A, ∃y ∈A/-(x 〈 y) ∧ -(y 〈 x)
Relación de orden total
Una relación es de orden total si todos los elementos del conjunto se ordenan por la relación definida
en él. O sea:
R⊂A2 es de orden total ⇔ ∀x∈A, ∀y: x≠y ⇒ x 〈 y ∨ y 〈 x
ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE UNA RELACIÓN DE ORDEN
Sea el conjunto A ordenado por una relación de orden 〈

Primer elemento
El elemento a ∈ A es primer elemento si y sólo si precede a todos los demás.
a∈A es primer elemento ⇔ ∀x:x∈A ⇒ a〈 x
Último elemento
El elemento b ∈ A se llama último elemento, si y sólo si todo elemento de A precede a b.-

b∈A es último elemento ⇔ ∀x:x∈A ⇒ x〈b
Elementos minimales
El objeto m ∈ A es un elemento minimal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo siga.

m ∈ A es un minimal ⇔ ∀x∈A: x〈 m ⇒ m = x
Elementos maximales
El objeto n ∈ A es un elemento maximal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo

anteceda.
n ∈ A es un maximal ⇔ ∀x∈A: n〈 x ⇒ n = x
Cotas inferiores
El objeto a ∈ A es una cota inferior del subconjunto X⊂A, si y sólo si precede a todo elemento
de X
a∈A es una cota inferior de X⊂A ⇔ x∈X ⇒ a〈x

Cotas superiores
El objeto b ∈ A es una cota superior del subconjunto X⊂A, si y sólo si sigue a todo elemento
de X
b∈A es una cota superior de X⊂A ⇔ x∈X ⇒ x〈b
Supremo o cota superior mínima
El elemento s ∈ A es un supremo del subconjunto X⊂A, si y sólo si es el primer elemento del

conjunto de cotas superiores.-
Ínfimo o cota inferior máxima
El elemento i ∈ A es un ínfimo del subconjunto X⊂A, si y sólo si es el último elemento del

conjunto de cotas inferiores.-
De estas definiciones se deduce que:

a) Que en todo conjunto ordenado puede o no tener primer y/o último elemento.
b) Que en todo conjunto ordenado pueda que no existan elementos minimales y/o maximales, y
en el caso de que existen, pueden no ser únicos
c) Que en todo conjunto ordenado pueden existir o no cotas superiores o inferiores, y por otro
lado, pueden no ser únicas.-
d) Si existen cotas, pueden tener o no ínfimos y/o supremos, ya que en todo conjunto ordenado,
no necesariamente debe tener primer y/o último elemento.-
Por ejemplo:
Sea el intervalo abierto (-1, 1) donde se define la relación de menor o igual
Es reflexiva, puesto que:

a∈(-1,1) ⇒ a≤a
Es antisimétrica ya que:
a≤b ∧ b≤a ⇒ a=b
Es transitiva ya que:
a≤b ∧ b≤c ⇒ a≤c

Ahora si:
a≠b ⇒ a≤b ∨ b≤a
Las tres primeras nos están indicando que esta relación es de orden amplio y la última nos
indica que es de orden total.-
Como el intervalo es abierto, entonces no tiene primer ni último elemento. Por otro lado no
existen elementos minimales ni maximales, pero hay infinitas cotas inferiores ya que son todos
aquellos reales menores o iguales a –1. de igual forma, existen infinitas cotas superiores, y son
aquellos reales mayores o iguales a 1. No tiene ni ínfimo ni supremo, ya que tendrían que ser el –1 y
el 1 respectivamente, pero no pertenecen al intervalo.-
Ejemplo:
Sea el conjunto A = {2, 3, 6, 9, 12, 36} ordenado por la relación de divisibilidad.-
a) Es reflexiva ya que todo número es divisible por si mismo.-

b) Es antisimétrica un número divide a otro y este al primero, solamente se da en el caso de que

ellos sean iguales.-
c) Es transitiva ya que si un número divide a otro y este a un tercero, entonces el primero divide
al tercero.-
d) Por último existen elementos que no dividen al siguiente como es el caso del 2 y el 3.-
De a), b) y c) deducimos que esta relación es de orden amplio; y de c) que es de orden parcial.-
Ahora, como no existe en A un elemento que sea divisor de todos los de más entonces
carece de primer elemento, pero tiene último elemento y es el 36 ya que es divisible por todos los
anteriores. Este también es el elemento maximal, y como el 2 y el 3 dividen a los que los siguen, son
los elementos minimales. Con respecto a las cotas inferiores, no existen, pero la superior es el 36 y
también es el supremo.-
DIAGRAMAS DE HASSE
El diagrama de Hasse se construye partiendo de los elementos ordenados de un conjunto y

teniendo en cuenta la relación que lo ordenó y utilizando flechas. En nuestro caso anterior es:
En este diagrama, la flecha indica quien divide a quien: el 2 divide al 6 al 12 y al 36 como

indica el sentido de la flecha. El 3 divide al 9 y al 36 por un lado, y al 6, al 12 y al 36 por el otro, como
indica el sentido de la flecha.-
CONJUNTO BIEN ORDENADO
Un conjunto está bien ordenado por una relación de orden, si y solo si está totalmente
ordenado, y además todo subconjunto no vacío tiene primer elemento.-
1.) Dada los conjuntos siguientes, realizar la relación correspondiente, determinar el dominio e
imagen de dicha relación, relación inversa y graficarlas en sus tres tipos:
a) A={1, 2, 3} B={x∈N/2≤x≤5}
(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ x|y
b) A= {x∈Z/ -1≤x< 6} B={x∈N/ x<3}
(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ 2|x + y
c) A= {a, b, c, d, e} B={1, 2, 3}
(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ x es vocal
d) A={-1, 0, 1, 2} B={x∈N/ x<5}
(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ y = x2
2.) Considerado los conjuntos:
A={1, 2, 3, 4, 5} B={1, 4, 6, 16} C={2, 3, 8, 10}

y sean las relaciones:
y
(x,y) ∈ R ⊂ A X B ⇔ y= x2 (y,z) ∈ S ⊂ B X C ⇔ z = 2
Se pide:
• Determinar R y S por extensión.-

• Definir la composición S ο R ⊂ A X C por extensión y determinar que forma tiene.-
• Determinar el dominio e imagen de cada relación.-
3. Sea los siguientes conjuntos, determinar la relación, clasificarla, determinar el dominio e imagen y
graficarla en las tres formas:
a) A= {1, 2, 3} (x,y) ∈ R ⊂ A2 ⇔ x < y

b) B= {x ∈ Z/ -2 ≤ x < 4} (x,y) ∈ R ⊂ B2 ⇔ |x| = y
c) C= {x ∈ N/ 4< x <8} (x,y) ∈ R ⊂ C2 ⇔ x = y + 2
d) D= {x ∈ Z/ -4 ≤ x <2} (x,y) ∈ R ⊂ D2 ⇔ y = x + 1
4. En R2 se define la relación “∼“ mediante
(x,y) ∼ (x’,y’) ⇔ y = y’
Probar que es de equivalencia, determinar las clases de equivalencia, un conjunto de índices y
el conjunto cociente.-
5. Dado los siguientes conjuntos, probar la relación de equivalencia, determinar las clases de
equivalencias y el conjunto cociente:
a) A= {1, 2, 3} x∼y ⇔ x≤ y
b) A= {4, 5, 6, 7} a∼b ⇔2|a - b
c) C= {x ∈ Z/ 2|x ∧ -4≤ x ≤7} x∼y ⇔ 2|x + y
6. El conjunto {{a},{b,c}{d}} es una partición de A={a, b, c, d}. Obtener la relación de equivalencia

asociada.-
7. En R se define:
x∼y ⇔ |x - 1| = |y - 1|
probar que es de equivalencia
8. En R se define:
x∼y ⇔ x2 - x = y2 - y
probar que es de equivalencia
9. En [-1, 1] ⊂ R se define:
x∼y ⇔ x2 = y2
probar que es de equivalencia.-
10. Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} y se considera la relación menor o igual. Obtener los elementos
maximales y minimales, como así también las cotas superiores e inferiores del subconjunto {2, 3}.-
11. En R, ordenado por la relación de menor o igual, se considera
1
A = {x ∈ R/ x = ∧ n ∈ N}
n
investigar si A tiene primero y último elemento, si está bien ordenado y si admite cotas, ínfimo
y/o supremo.-
12. Determinar de qué orden es la relación del ejercicio 10.-

CAPÍTULO IV
FUNCIONES
FUNCIONES
Definición
Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento
del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.-
Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.
Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entonces

f⊂ AXB, y se denota:
f: A→B se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”
Por conveniencia, al conjunto A se lo denomina conjunto de partida, y al B conjunto de

llegada o codominio.-
Ahora como la función es una relación donde todos los elementos de A tienen imagen única,
entonces el dominio de la función es el conjunto A, y la imagen de la función está incluida en el
conjunto B. O sea:
A: conjunto de partida
B: conjunto de llegada o codominio.-
D(f)=A “dominio de la función f”
I(f)⊂B “Imagen de la función f”
Utilizando los diagramas de Venn se puede representar una función de la siguiente forma:
Analizando la anterior definición, podemos formular la siguiente:
Definición
La relación f⊂AXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia y
unicidad:
Existencia
Todo elemento de A se relaciona con algún elemento de B
∀x∈A,∃y∈B/(x,y)∈f
Unicidad
Los elementos de A tienen una sola imagen en B
(x,y)∈f ∧ (x,z)∈f ⇒ y = z
Definición
Se llama función a toda relación entre dos variables, en la a todo valor de la primera, lo relaciona
con uno y solo un valor de la segunda. A la primera variable se la denomina "variable independiente"
y a la segunda "variable dependiente"
Si la función es y = f(x), la variable "x" es la independiente y la "y" es la dependiente (los valores

de "y" dependen de los valores de "x").-
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES

Toda función, al ser una relación especial, se la puede representar gráficamente en un sistema de
ejes coordenados cartesianos. Pero para ello se debe tener en cuenta fundamentalmente los
conjuntos numéricos donde están definidas y el método a usar para su gráfica.-
El método de la tabla de valores

Este método se lo usa para graficar cualquier tipo de funciones, aunque en algunos casos no
es preciso.
Por ejemplo:
Graficar las siguientes funciones:

f : ℜ → ℜ / f ( x) = 2 x − 1
Armamos una tabla con valores tentativos y centrales de las abscisas, y de la siguiente forma:
x f(x)=2x – 1
-2 f(-2)=2.(-2).2-1 = -5
-1 f(-3)=2.(-1)-1= -3
0 f(0)=2.0-1=-1
1 f(1)=2.1-1=1
2 f(2)=2.2-1=3
1. El método de los puntos:

Este método tiene distintas formas de trabajarlo según el tipo de función:
Para la función lineal
Se basa fundamentalmente en ubicar la pendiente de la función. Para ello se utiliza su
concepto. Por ejemplo:
Sea la función:
3
f : ℜ → ℜ / f ( x) = x −1
4
3 3
Como se observa, la pendiente es , y como se sabe que ésta está dada por m = tg α = ,
4 4
entonces se concluye que el cateto opuesto es 3 y el cateto adyacente es 4. Por otro lado
también se sabe que –1 es la ordenada al origen, lo que lo marcamos, ahora, a partir de allí
se debe correr 4 lugares hacia la derecha (cateto adyacente), y como 3 es positivo subimos
estos lugares (cateto opuesto), este es el último punto, y como dos puntos pertenecen a una y
sólo una recta, entonces, por estos se la traza, o sea:
Ahora si la pendiente fuera negativa, la tangente también lo sería, por lo tanto el cateto
opuesto se lo trazaría hacia abajo.-
Para la función cuadrática
La función cuadrática tiene la forma:

f : A → B / f ( x) = a.x 2 + b.x + c
2
Donde a.x se llama término cuadrático, “a” coeficiente cuadrático, b. x término lineal, “b”
coeficiente lineal y c término independiente u ordenada al origen.-
La gráfica de una función cuadrática es una parábola simétrica respecto a el eje paralelo a las
ordenadas y que pasa por el vértice.-
Para poderla graficarla se deben trazar tres puntos. Este es principalmente el vértice que lo
denotaremos V(xv , yv), lo que se reduce el problema en determinar xv primero y luego
reemplazarlo en la función para el yv.-
Usando la fórmula para determinar las raíces de una ecuación de segundo grado, o sea:
− b ± b 2 − 4.a.c
x1, 2 =
2.a
Haciendo un razonamiento básico, concluimos que:
−b±0 −b
xv = =
2.a 2.a
Como ya se dijo, basta reemplazar este valor en la función para obtener la otra coordenada.-
Teniendo en cuenta que es simétrica, y sabiendo que la parábola corta a las ordenadas en
“c”, entonces otro de los puntos es P1(0,c), el otro punto será P2(2.xv, c).-
Si la función tiene la ordenada al origen nula, se deben tomar dos valores cualesquiera de las
abscisas para calcular las ordenadas correspondientes.-
Por ejemplo:
f ( x) = 3.x 2 − 2.x + 1
Determinamos primero el vértice, o sea:
− b − (−2) 1
xv = = =
2.a 2.3 3
Reemplazamos este valor en la función para obtener la otra coordenada, o sea:

2
⎛1⎞ 1 1 2 2
y v = 3.⎜ ⎟ − 2. + 1 = − + 1 =
⎝3⎠ 3 3 3 3
Lo que significa que:
⎛1 2⎞
V⎜ , ⎟
⎝3 3⎠
Ahora, el punto P1(0,1) por ser 1 la ordenada al origen, y el otro será:
⎛ 1 ⎞ ⎛2 ⎞
P2 ⎜ 2. ,1⎟ ⇒ P2 ⎜ ,1⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝3 ⎠
Ahora con estos tres puntos se puede graficar:
CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

Analizando la definición de funciones, se puede llegar a concluir que para clasificarlas a las mismas
se debe tener en cuenta el codominio, así tenemos:
FUNCIÓN INYECTIVA
f:A→B es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:
f : A → B es inyectiva⇔ ∀x1 , ∀x2 : x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
Ahora, por implicaciones contrarrecíprocas se tiene:
f : A → B es inyectiva ⇔ ∀x1 , ∀x2 : f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
Esto significa que para poder probar que una función es inyectiva, basta igualar la ecuación de la
misma para x1 y x2 y a través de procedimientos, el que sea necesario, llegar a la igualdad de ellos.-
Ejemplo:
Sea la función:
1 3 1
f : ℜ → ℜ / f ( x) = x +
3 2
Hacemos:
f ( x1 ) = f ( x2 )
1 3 1 1 3 1
x1 + = x 2 +
3 2 3 2
y cancelando, queda:
1 3 1 3
x1 = x 2
3 3
y simplificando queda:
x13 = x 23
x1 = 3 x 23
x1 = x 2
Esta función es inyectiva.
FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA
f:A→B es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea:
f : A → B es sobreyecti va ⇔ ∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A / f ( x ) = y
Esto significa que para determinar si una función es sobreyectiva se deben estudiar los elementos del
dominio en lo que respecta al conjunto, despejando de la función dada x y valuando luego en la
función para determinar si realmente f(x)=y.-
Por ejemplo sea:
1 3 1
f : ℜ → ℜ / f ( x) = x +
3 2
Esta función es lo mismo que:
1 3 1 1 1 ⎛ 1⎞
y= x + ⇒ x 3 = y − ⇒ x = 3 3.⎜ y − ⎟
3 2 3 2 ⎝ 2⎠
Ahora: ¿este valor es un número real? Sí ya que y es un real y los otros números también lo son, por
lo tanto x∈ℜ, entonces:
3
⎛ 1⎞ ⎛ ⎛ 1⎞⎞ 1⎛ ⎛ 1⎞⎞ 1
∀y ∈ R, ∃x = 3 3.⎜ y − ⎟ ∈ R / f ⎜ 3 3.⎜ y − ⎟ ⎟ = ⎜ 3 3.⎜ y − ⎟ ⎟ + ⇒
⎝ 2⎠ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ 3 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ 2
⎝
⎛ ⎛ 1⎞⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1
⇒ f ⎜ 3 3.⎜ y − ⎟ ⎟ = .3/ .⎜ y − ⎟ + ⇒
⎜ ⎝ ⎟
2 ⎠ ⎠ 3/ ⎝ 2⎠ 2
⎝
⎛ ⎛ 1⎞⎞ 1 1
⇒ f ⎜ 3 3.⎜ y − ⎟ ⎟ = y − + ⇒
⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ 2 2
⎝
⎛ ⎛ 1⎞⎞
⇒ f ⎜ 3 3.⎜ y − ⎟ ⎟ = y ⇒
⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
⎝
⇒ f ( x) = y
Todo esto es aplicando la propiedad cancelativa y reemplazando “x” . Esta función es Sobreyectiva.-
FUNCIÓN BIYECTIVA
Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.
CONCLUSIÓN:
Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos concluir que:

1. Una función puede ser inyectiva, solamente

2. Una función puede ser sobreyectiva, solamente
3. Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
4. Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN CONSTANTE
La función f:A→B se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder como
imagen un único elemento “K” del codominio.
O sea que:
f : A → B es constante ⇔ f ( x) = k
Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O
sea:
Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida o
dominio tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos los
elementos del codominio, solamente k tiene preimagen, por lo tanto no es sobreyectiva.-
Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x=k, su gráfica cortará al eje de las abscisa
en k y será paralela a las ordenadas.-
LA FUNCIÓN IDENTIDAD
La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder como
imagen ese mismo elemento, o sea:
i : A → A / i ( x) = x
Esta se lee “identidad de x”
O sea que si a∈A⇒ i(a)=a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será:
A
d
Haciendo un estudio de esta función se tiene que:

• La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y
ellos son distintos.
• La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen.-
• Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva.-
LA FUNCIÓN PROYECCIÓN
Sea el conjunto R, sean los conjuntos A⊂R y B⊂R. Sea el producto cartesiano AxB, en donde un
punto cualquiera P(a,b) pueden determinarse dos funciones llamadas proyecciones de la siguiente
manera:
P1 : AxB → B / P1 (a, b) = a
P2 : AxB → B / P2 (a, b) = b
Gráficamente:
y
b P(a,b)
0 a x
LA FUNCIÓN CANÓNICA
Sea una relación de equivalencia “∼” definida en un conjunto A, por supuesto a partir de ella se
generan las clases de equivalencias y el conjunto cociente.
Se llama función canónica a aquella definida desde el conjunto A hasta el conjunto cociente, de tal
manera que a cada elemento del conjunto A le hace corresponder la clase a la que pertenece. O sea:
A
ϕ:A→ / ∀x ∈ A : ϕ ( x ) = Ku ∧ x ∈ Ku
∼
Esta función es sobreyectiva, ya que todos los elementos del conjunto cociente (clases de
equivalencias), tienen algún antecedente en el conjunto A, pero no es inyectiva ya que varios
elementos de A tienen la misma imagen en el conjunto cociente.-
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Sean dos funciones, f:A→B ∧ g:B→C, se llama composición de las funciones f y g a la función
gof:A→C/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento y∈B tal que y=f(x), y z=g(y), con z∈C y x∈A,
o sea:
A f B g C
x y=f(x) z=g[f(x)]
gof
PROPIEDADES
ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
La composición de funciones es asociativa.
H) Sean las funciones

f : A→B
g:B→C
h:C → D
T) ho( gof ) = (hog )of
D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciones,
debemos trabajar estas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para ello
hacemos:
gof : A → C ⎫
⎬ ⇒ ho( gof )( x) = ho{g [ f ( x)]} = h{g [ f ( x)]} (a )
h:C → D ⎭
Esto es aplicado la definición de composición de funciones a gof, y luego a ho{g[f(x)]}
Ahora:
f :A→B ⎫
⎬ ⇒ (hog )of ( x) = (hog )[ f ( x)] = h{g [ f ( x)]} (b)
hog : B → D ⎭
Esto es aplicando la definición de composición en la operación principal y luego en la secundaria.-

Ahora, de (a) y (b), y por transitividad se tiene:
ho(gof)=(hog)of
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVAS
La composición de funciones inyectivas es inyectiva
H) Sea f:A→B ∧ g:B→C inyectivas

T) gof:A→C es inyectiva
D) Teniendo en cuenta que y=f(x) es inyectiva, entonces:

∀x1 , ∀x2 : f ( x1 ) = f ( x2 ) ⇒ x1 = x2
Pero por otro lado z=g(y) también es inyectiva, entonces:

∀y1 , ∀y2 : g ( y1 ) = g ( y2 ) ⇒ y1 = y2
Ahora:
gof ( x1 ) = gof ( x2 )
Pero por definición de composición se tiene:
g[ f ( x1 )] = g[ f ( x2 )]
Pero g es inyectiva, entonces las variables de g son iguales, entonces:
f ( x1 ) = f ( x2 )
Pero f es inyectiva, entonces:
x1 = x2
∴ gof:A→C es inyectiva (por definición de inyectividad).-
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVAS
La composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectiva
H) Sea f:A→B ∧ g:B→C sobreyectivas

T) gof:A→C es sobreyectiva
D) Como y=f(x) es sobreyectiva, entonces:

∀y ∈ B, ∃x ∈ A / f ( x) = y
Además z=g(y) es sobreyectiva, entonces:

∀z ∈ C , ∃y ∈ B / g ( y) = z
Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveraciones
hechas anteriormente, tenemos:
∀z ∈ C, ∃x ∈ A / g[ f ( x)] = g ( y) = z
Pero, g[ f ( x)] = gof ( x) por definición de composición de funciones, lo que se tiene que
gof ( x) = z
Luego
gof:A→C es sobreyectiva
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVAS
La composición de funciones biyectivas, es biyectiva
H) Sea f:A→B ∧ g:B→C biyectivas

T) gof:A→C es biyectiva
D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo en

cuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funciones
sobreyectivas, se demuestra esta propiedad.-
FUNCIÓN INVERSA
Definición:
Una función f: A→B, admite inversa si y sólo si existe una función g:B→A de modo que gof=iA ∧
fog=iB, y la función g es la inversa de la función f.-
Si f es la función, la inversa de f se denota con f-1.-
Por ejemplo:
Sea f : ℜ → ℜ / f ( x) = 3.x − 1
Como y=f(x) entonces despejamos x, y se tiene:
3.x = y + 1
y +1
x= = g ( y) (1)
3
Esta es la función inversa, que cambiando la variable x por f-1(x) e y por x queda:
x +1
f −1 ( x ) =
3
Ahora, si ésta es la función inversa tiene que cumplir con las condiciones establecidas por la
definición. Para ello partamos de la expresión (1), o sea:
gof ( x) = g[ f ( x)]
f ( x) + 1
g [ f ( x)] =
3
Reemplazando a f(x) se tiene:
3.x − 1/ + 1/
g [ f ( x)] =
3
3/ .x
g [ f ( x)] =
3/
g [ f ( x ) ] = x = iℜ ( x )
gof ( x) =i ℜ ( x)
Por otro lado se tiene:

fog( y) = f [g ( y)]
f [g ( y)] = 3.g ( y) − 1
Y reemplazando g(y) se tiene:
y +1
f [g ( y )] = 3/ . −1
3/
f [g ( y)] = y + 1/ − 1/
f [g ( y )] = y = iℜ ( y )
fog( y) = iR ( y)
Lo que significa que la función inversa de f es:
x +1
f −1 ( x ) =
3
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS
Con este teorema se pretende simplificar la determinación si una función admite inversa, utilizando la
clasificación de funciones.-
TEOREMA
Una función admite inversa si y sólo si es biyectiva
f:A→B admite inversa ⇔ es biyectiva
Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o sea
H) f:A→B admite inversa

T) f es biyectiva
D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos hacerlo teniendo en cuenta que si la
función es biyectiva, entonces es inyectiva y sobreyectiva
Por otro lado, como la función admite inversa (hipótesis), entonces:
gof(x)=iA(x)=x además fog(y)=iB(y)=y
Hacemos:
gof ( x1 ) = gof ( x2 )
Pero como admite inversa, entonces:
i A ( x1 ) = i A ( x2 )
Y por definición de identidad, se tiene:
x1 = x2
Lo que significa que es INYECTIVA (2)
Ahora:
∀y = iB ( y) = fog( y) ∈ B, ∃x = i A ( x) = gof ( x) ∈ A / f ( x) = f [gof ( x)] ⇒
⇒ f ( x) = [ fo(gof )]( x)
Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:
f ( x) = [( fog)of ]( x)
Y aplicando la definición de composición, se tiene:
f ( x) = ( fog)[ f ( x)]
Pero f(x)=y, entonces:
f ( x) = ( fog )( y)
Y por hipótesis esta última composición es la iB, lo que significa:
f ( x) = y
Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVA (3)
Luego, de (2) y (3), la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)
Demostremos ahora la segunda parte:
H) f:A→B es biyectiva
T) f admite inversa
D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:B→A, siempre
que exista f:A→B de tal forma que x=g(y), si y=f(x).-
Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.-
Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en particular sobreyectiva,

entonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos los
elementos de B tienen imagen en A por g (existencia).
Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B por
f, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una imagen (unicidad).
Luego g:A→B es función
Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:
gof ( x) = g[ f ( x)]
Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:
gof ( x) = g ( y )
Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces
gof ( x) = x = i A ( x)
Por otro lado se tiene:

fog( y) = f [g ( y)]
Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:
fog ( y) = f ( x)
Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces
fog( y) = y = iB ( y)
Luego la función f admite inversa, y es la función g
Habiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-

Con este teorema, dada una función, con tan sólo estudiar si es que es biyectiva, sabremos
que admite inversa, por ejemplo:
1 3
f : ℜ → ℜ / f ( x) = x +2
2
Probemos que esta función es inyectiva, o sea:
f ( x1 ) = f ( x2 )
1 3 1
x 1 + 2/ = x 23 + 2/
2 2
1 3 1 3
x = x2
2 1 2
x 13 = x 23
x 1 = 3 x 23
x1 = x2
Ahora probemos que es sobreyectiva:

Para demostrar, debemos despejar x de la función, o sea:
x = 2. y − 2
Aplicando la definición de función sobreyectiva, se tiene:
1
∀y ∈ B, ∃x = 2. y − 2 ∈ ℜ / f ( x) = x +1
2
1
f ( x) = ( 2. y − 2) + 1
2
1 1
f ( x ) = .2/ . y − .2/ + 1
2/ 2/
f ( x) = y − 1 + 1/
/
f ( x) = y
Hemos probado que esta función es biyectiva, por lo tanto admite inversa (atento al teorema
fundamental de las funciones inversas). Pero ahora debemos determinar esta función inversa, o sea:
De acuerdo a lo que se trabajó:

x = 2. y − 2 = 2.( y − 1)
Siendo ésta la función inversa, o sea:
−1
f ( x) = 2.( x − 1)
FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES
Definición:
Una función es ALGEBRAICA, si las operaciones de la expresión son algebraicas, caso

contrario se llaman TRASCENDENTES (trascienden el campo del álgebra)
FUNCIONES ALGEBRAICAS
LA FUNCIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO
La función f:A→B es lineal o de primer grado, si su expresión algebraica de una sola variable
es de primer grado, y tiene la forma:
fA → B / f ( x) = y = m.x + b
Donde:
y se llama variable dependiente
x se denomina variable independiente
m se denomina pendiente
mx se denomina término lineal
b se denomina término independiente
La gráfica de esta función es una recta que donde el punto P(0,b) pertenece a ella, por ello b se
denomina también ordenada al origen. O sea:
α
b
0
x x
De acuerdo a la gráfica de la función podemos concluir que
y −b
tg α = ⇒ y − b = tg α .x ⇒ y = tg α .x + b
x
Lo que significa que la pendiente m es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la
recta con la horizontal o el eje de las abscisas, o sea:
m=tg α
Ahora, haciendo un estudio de la tangente, observamos que ésta es positiva si el ángulo está
comprendido en el primer cuadrante, o sea cuando la recta va desde el 3º al 1º cuadrante, o sea
cuando los valores de la función crecen al crecer los valor de la variable. La tangente es negativa
cuando el ángulo es mayor que π2 y menor que 2π, que es en el caso en el que la gráfica de la
función va desde el 2º al 4º cuadrante, o sea cuando los valores de que la función decrecen si crecen
los de la variable. Las siguientes gráficas corresponden a las funciones lineales.
1
y= x −1
3
5
y =− x+2
4
Si se está trabajando con los números Reales, El dominio de esta función son los reales y la
imagen también los reales, o sea que la función lineal está definida de los reales a los reales:
D(f)=R I(f)=R
Esta función es inyectiva, ya que para valores distinto del conjunto de los reales, la función
toma valores distintos, y es sobreyectiva ya que todos los números reales tienen preimágen por esta
función, lo que significa que esta función es Biyectiva.
Ahora, teniendo en cuenta el teorema fundamental de las funciones inversas, la función lineal
admite inversa, y se la determina despejando la variable x, o sea:
y −b
y = m.x + b ⇒ y − b = m.x ⇒ x =
m
y cambiando las variables tenemos la forma de la función inversa de la lineal:
x−b
f −1 ( x ) =
m
LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO
Se llama función cuadrática a aquella cuya expresión algebraica en una sola variable es de
gado dos.
La función cuadrática tiene la forma:
f : A → B / f ( x) = y = a.x 2 + b.x + c
Con a≠0
Donde:
y es la variable dependiente
x la variable independiente
a.x2 es el término cuadrático
a es el coeficiente cuadrático
b.x es el término lineal
b es el coeficiente lineal
c es el término independiente
Dado que el cuadrado de números opuestos es siempre positivo, la gráfica de esta función es
una parábola, cuyas ramas estarán para el lado positivo del eje de las ordenadas si a es positivo,
caso contrario si a es negativo.-
O sea:
Función positiva ⇒ las ramas de la parábola hacia arriba
Función negativa ⇒ las ramas de la parábola hacia abajo
Para pode graficar la función cuadrática, es imprescindible determinar el vértice de la misma,

que es el punto donde cambiará de signo la función. Este tema ya fue visto anteriormente.-
La siguiente gráfica es de la función:

f ( x) = 2.x 2 + 4.x − 1
Ahora, el:
−b −4
xV = ⇒ xV = ⇒ xV = −1
2.a 2 .2
La recta roja es el “eje de simetría” que pasa por el xV, esto significa que los puntos de la
parábola que se encuentran a la misma altura y opuestos con respecto a este eje son simétricos
axialmente.-
Ahora, como el xv es punto del eje de simetría, observamos que el corriemiento de la
parábola en forma horizontal depende de los signos de loa valores de los coeficientes cuadrático y
lineal, sabiendo que si xv>0, la parábola se corre hacia la derecha con respecto a las ordenadas, si
xv=0, el eje de simetría son las ordenadas, y si xv<0, la parábola se corre hacia la izquierda respecto
al eje de las ordenadas. O sea:
O sea que:
⎧a > 0 ∧ b < 0
Hacia la derecha si xv > 0⎨
⎩a < 0 ∧ b > 0
Eje y es el eje de simetría si x=0, solamente se da si b=0
⎧a > 0 ∧ b > 0
Hacia la izquierda si xv < 0⎨
⎩a < 0 ∧ b < 0
Además la parábola corta a las ordenada en c, ya que P(0,c) pertenece a la parábola

La gráfica de la función dada es la siguiente:
Estudiemos ahora la función:
f ( x) = 3.x 2 − 6.x − 2
De antemano podemos asegurar que la parábola está corrida hacia la derecha, corta al eje de las
ordenadas en –2 y
− b − ( −6 )
xv = = =1
2.a 2 .3
y v = 3 .1 2 − 6 .1 − 2 = − 5
Esto significa que V(1, -5)
La gráfica de esta función es:
Ahora, el dominio de esta función son todos los reales, y la imagen son los reales partiendo del yv
inclusive.-
Ya que esta función no es biyectiva, entonces no admite inversa, solamente en algunos casos y bajo
algunas condiciones.-
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se llama función exponencial a la función:
f : A → B / f ( x) = a X
Con a>0 ∧ a≠1
Dada las condiciones anteriormente mencionadas, tenemos dos casos posibles:
1. Que a>1, por ejemplo f(x)=2x, cuya gráfica es la siguiente:
La característica de esta función es que es creciente, corta a las ordenadas en 1 y el eje de las
abscisas es asíntota a la curva. El dominio son los reales, y la imagen los reales positivos.-
2. Cuando 0<a<1, por ejemplo:
X
⎛1⎞
f ( x) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
Cuya gráfica es:
La función es decreciente, corta al eje de las ordenadas en 1, el eje de las abscisas es asíntota a la
curva, el Dominio son los reales y la Imagen lo reales positivos.-
Si clasificamos la función exponencial observamos que bajo las condiciones planteadas ésta es
biyectiva ya que es inyectiva por que para valores distintos de los reales, la función tiene imágenes
distintas; y es sobreyectiva por que todos los elementos del conjunto de llegada, o sea los reales
positivos, tienen preimagenes distintas.-
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Como la función exponencial es biyectiva, entonces admite inversa.-
Recordemos primero qué es el logaritmo de un número:

log a b = c ⇔ b = a c
Lo que significa que calcular el logaritmo en base de un número de otro, es encontrar un exponente
para la base cuyo resultado será el segundo número.
Así por ejemplo, log3 81= 4, ya que 34=81.-
Con esta idea, y partiendo de la función exponencial se tiene:
f : R + → R / f ( x) = a x ⇔ f −1
: R → R + / x = log a f ( x )
O sea que la función logarítmica está dada por:
f : R + → R / f ( x ) = log a x
Como esta función es la inversa de la exponencial y la base a es también la base de la exponencial,

entonces se dan los siguientes casos:
Para a>1, por ejemplo: f(x)=log2 x tiene la siguiente gráfica:
Observamos que la gráfica es creciente, corta a las abscisas en 1 y el eje de las ordenadas es
asíntota de la curva. Por otro lado el dominio son los reales positivos, y la imagen todos los reales y la
concavidad es hacia abajo.-
Probemos para el caso de que 0<a<1, por ejemplo:

f ( x ) = log 1 x
2
La gráfica de esta función es:
La función es decreciente, corta al eje de las abscisas en 1, y el eje de las ordenadas es asíntota de
la curva. Por otro lado, el dominio son los reales positivos, y la imagen todos los reales, y la
concavidad es hacia arriba.-
Para el caso de que a=1 (base 1), no queda definida la función logarítmica.-
COMPARACIÓN ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA LOGARÍTMICA
Construiremos las gráficas de las siguientes funciones:
f ( x) = 3 X f ( x ) = log 3 x
En estos casos, la gráfica azul es para la primera, y la verde para la segunda, lo que a simple vista
observamos que son gráficas simétricas respecto a la diagonal que pasa por el origen de
coordenadas, lo que nos indica que estas son funciones inversas.-
Haremos el mismo razonamiento para el caso de:
X
⎛1⎞
f ( x) = ⎜ ⎟ f ( x ) = log 1 x
⎝2⎠ 2
Á
ÁLGEBRA MO
ODERNA – Prof.
P Luis E. Valdez - 82 -
TR
RABAJJO PRÁ
ÁCTICO
O Nº 4
1. Da
ada las siguie
entes funcion
nes, clasifica
arlas:
4 x 2 + 5x − 2
a
a. f : R → R / f ( x) =
x+3
b
b. f : R → R / f / x) = sen x. cos x
c
c. f : R → R / f ( x) = 3x 2 − 3x + 6
d
d. f : R → R / f ( x) = x 2 − 2
e
e. f : R → R / f ( x) = 3 5 x + 3
f
f. f : R → R + / f ( x ) = log 2.x
g
g. f : Z → Z 0+ / f ( x ) = x + 1
h
h. f : N → R / f ( x) = x 2 + x − 2
i. f : Z → {− 1,0,1}/ f ( x) = sig( x)
j. f : R → R / f ( x) = sig (x)
k
k. f : R → R / f ( x) = x + ln x
x+3
l. f : R − {2} → R / f ( x) = 3
x−2
2. S
Sean loss conjuntos A={1
1,2,3} y B={2,3}, represe
entar y clasificarr
f : A × B → Z / f (a, b) = 3a − b
3. Dado A={1,2,3} y B={2,3}}, definir por tabla y clasifficar f:P(A)→P(B)/f(X)=B
D B – X.
4. E los siguie
En entes casos, determinar gof:
g
f : R → R + / f ( x) = x 2 + 3 x − 5
a
a.
g : R + → R / g ( x) = x + 1
x2 + 2
b.
f : Z → Z / f ( x) =
5
g : Z → Z / g ( x) = x 2
f : N → N / f ( x) = x+6
c.
g : N → R / g ( x) = x + 9
8
d.
f : R → R / f ( x) = x+
5
g : R → R / g ( x) = sen x
5. Las funciones f:A→B y g:B→C son tales que gof es sobreyectiva. Demostrar que g es
sobreyectiva.
6. Clasificar las siguientes funciones:
3
a. f : R → R / f ( x) = 5 x +
2
b. f : R → R / f ( x) = x + 3x − 1
2
1
c. f : R → R + / f ( x) = x 3 − 2 x 2 + x − 1
2
+
d. f : R → R / f ( x) = 4 2 x
e. f : R + → R − / f ( x) = −2 x 2
f. f : Z → Z / f ( x) = 2 x + 3
g. f : R → R / f ( x) = x +1
h. f : R → R / f ( x) = 3 x − 2
i. [ ]
f : R → − 1,1 / f ( x) = cos x
7. Sean las funciones f:Z→Q y g:Q→Z, tales que:
x2
f ( x) = y g ( x) = ent ( x)
2
Encontrar fog y gof y calcular gof(-2) y fog(-0,5)
8. Graficar las siguientes funciones realizando el estudio correspondiente:
a. f : R → R / f ( x) = log2 x
x
⎛3⎞
b. g : R → R / g ( x) = ⎜ ⎟
⎝2⎠
c. h : R → R / h( x ) = log 1 3.x
3
d. j : R → R / j ( x) = 3 x
9. Determinar el dominio dentro de los reales de las siguientes funciones:
a. f ( x) = 3 x − 2
b. g ( x) = x −1
x2 −1
c. h( x ) =
x+2
2
d. j ( x) = 3
x+5
x3
e. k ( x) =
1
x2 −
4
f. l ( x ) = cos x + 3
g. m ( x ) = tg x−2
h. p( x) = sen (2 x − 1)
10. Dada las graficas de las siguientes funciones, determinar con que dominio son inyectivas:
a.
c.
d.
e.
CAPÍTULO V
INDUCCIÓN COMPLETA
NÚMEROS Y CONGRUENCIAS
LA INDUCCIÓN COMPLETA
TEOREMA DE INDUCCIÓN COMPLETA
Todo subconjunto de N que incluya al 1, a h y al siguiente de h, es igual a N.-
Hipótesis
Sea S⊂N, 1∈S
Si h∈S ⇒ h+1∈S
Tesis
S=N
Demostración
Como por hipótesis S⊂N, tendremos que demostrar que N⊂S para que sean iguales.-
Ahora, supongamos ∅≠S’⊂N y distinto de S, de acuerdo con el principio de conjunto bien ordenado,
S’ tiene que tener un mínimo “m”, pero por hipótesis 1∈S, entonces m≠1. Pero por otra parte, como m
es natural, tiene que ser:
m>1 ⇒ m – 1>0
Ahora, como m – 1 < m por ser m el mínimo de S’ ⇒ m – 1 ∈ S.-
Pero de acuerdo a la hipótesis tenemos:

m – 1 ∈ S ⇒ (m – 1) + 1 ∈ S ⇒ m ∈ S
Pero esta proposición contradice lo estipulado, donde m es el mínimo de S’ ⇒ N⊂S (1)
Luego, por hipótesis y (1) N = S
PRINCIPIO DE INDUCCIÓN COMPLETA
Sea la función proposicional P(n), donde n ∈ N. Si ocurre que P(1) es verdadera, y además P(h) es
verdadera, y de aquí se deduce que P(h+1) es verdadera, entonces P(n) es verdadera
Hipótesis
P(1) es verdadera
∀h:P(h) ⇒ P(h+1)
Tesis
∀n:P(n) es Verdadera
Demostración
Teniendo en cuenta el teorema anterior, si P(n) es verdadera para un número finito de naturales de
S⊂N. Y como por hipótesis P(1) es verdadera, entonces 1∈S, y h∈S ⇒ h+1∈S, entonces N⊂S, lo que
significa P(n) es verdadera para todos los n de N
Por ejemplo:
n ( n + 1)
Demostrar que los n primeros números naturales es
2
Para ello hacemos:
Para n=1
1.(1 + 1) 2
1= ⇒1= ⇒1=1
2 2
Esto significa que P(1) es verdadero
Planteamos una hipótesis donde n=h (P(h) verdadera), entonces
h.( h + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...h =
2
Ahora la tesis para n=h+1
( h + 1).(h + 1 + 1)
1 + 2 + 3 + 4 + ... + h + ( h + 1) =
2
Demostración
Por hipótesis, y teniendo en cuenta los h primeros términos tenemos:

h.( h + 1) (h + 1).(h + 2)
+ ( h + 1) =
2 2
Y sacando común denominador, tenemos:
h.(h + 1) + 2.(h + 1) ( h + 1).(h + 2)
=
2 2
Y sacando factor común (h+1) queda:
(h + 1).(h + 2) (h + 1).(h + 2)
=
2 2
Esto indica que P(h+1) es verdadera, lo que significa que esta se cumple para todos los naturales.-
EL SÍMBOLO DE SUMATORIA
En más de una oportunidad debemos resumir una suma de términos ya sea infinita o finita, para ello
recurrimos a un símbolo llamado de sumatoria (∑). Por ejemplo sea:
5
a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 la que la escribimos resumida de la siguiente forma: ∑a
i =1
i
Donde {1,2,3,4,5}∈I (conjunto de índices), i=1 se denomina extremo inferior, 5 extremo superior.-
Sea por ejemplo:

n
∑a
i =1
i = a1 + a 2 + a3 + ... + a n , o sea la suma de los términos desde a1 hasta an variando de 1 en 1.
Ahora, sea por ejemplo:
12 + 2 2 + 32 + 4 2 + 5 2 , el problema es encontrar una expresión que nos permita expresar esta

fórmula como sumatoria, y aquí observamos que el que aumente de 1 en 1 es la base de la potencia,
5
o sea que es i2, lo que significa que la sumatoria queda: ∑i
i =1
2
Para desarrollar la sumatoria hacemos:
6
1 1 1 1 1 1 1 1
∑ 2 .i = 2 ⋅ 0 + 2 ⋅1 + 2 .2 + 2 .3 + 2 .4 + 2 .5 + 2 .6
i =0
y se resolvemos obtenemos el valor de la sumatoria.-

PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
1) La sumatoria de la suma es igual a la suma de las sumatorias

n n n
∑ (ai + bi ) = ∑ ai + ∑ bi
i =1 i =1 i =1
Demostración:
Desarrollando la sumatoria se tiene:

n
∑ (a
i =1
i + bi ) = (a1 + b1 ) + (a 2 + b2 ) + ... + (a n + bn )
Agrupando las “a” y las “b” tenemos
∑ (a
i =1
i + bi ) = (a1 + a 2 + ... + a n ) + (b1 + b2 + ... + bn )
Y transformando cada uno de los paréntesis en sumatoria queda:
n n n
∑ (ai + bi ) = ∑ ai + ∑ bi
i =1 i =1 i =1
2) La sumatoria de una constante por término genérico, es igual a la constante por la sumatoria
n n
∑ k.a
i =1
i = k ∑ ai
i =1
Demostración:
Sea:
n
∑ k.a
i =1
i = k .a1 + k .a 2 + k .a3 + ... + k .a n
Sacando factor común K, queda:
n
∑ k.a
i =1
i = k .(a1 + a 2 + a3 + ... + a n )
Y transformando el paréntesis en sumatoria, se tiene:

n n
∑ k.a
i =1
i = k ∑ ai
i =1
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
DIVISORES Y MÚLTIPLOS
Sean los números enteros “a” y “b”, se dice que “a” divide a “b” sí y solo si existe otro entero
“c” tal que b=axc. En símbolos:
Sean a ∈ Z ∧ b ∈ Z ⇒ a b ⇔ ∃c ∈ Z / b = a × c
a|b: se lee “a divide a b”

•
Ahora, si “a” divide a “b”, entonces se dice “b” es múltiplo de “a”, y se denota b = a
PROPIEDADES
Propiedad 1
Si un número divide a otro, entonces divide al producto de este por otro número, o sea:
a|b ⇒ a|b.n
Demostración
Si a|b ⇒ ∃c/b=a.c Ahora, multiplicamos ambos miembros por el número “n”, entonces se tiene:
b.n=a.(c.n) pero c.n es un número entero, lo que significa que b.n=a.c1 ⇒ a|b.n
Propiedad 2
Si un número divide a otro, entonces divide a su opuesto, o sea:
a|b ⇒ a|-b
Demostración
Teniendo en cuenta la propiedad 1 se tiene que si a|b ⇒ a|b.(-1) ⇒ a|-b
Propiedad 3
Si un número divide a otros dos, entonces divide a su suma o a su diferencia, o sea:
a|b ∧ a|c ⇒ a|(b ± c)
Demostración
Como a|b ∧ a|c ⇒ ∃d,∃e/b=a.d ∧ c=a.e, y sumando y restando miembro a miembro, se tiene:
b ± c = a.d ± a.e = a.(d ± e) pero d±e es un número entero, lo que significa que a|(b ± c)
ALGORITMO DE EUCLIDES
El máximo común divisor de dos números, es el divisor mayor de ambos números.

El Algoritmo de Euclides es un procedimiento paso a paso que nos permite determinar el
máximo común divisor de los números a y b, denotándose MCD(a,b). Las siguientes propiedades
justifican este algoritmo.
Propiedad 1
Si a, b y r son números enteros tales que a=c.b+r, entonces MCD(a,b)=MCD(b,r)
Demostración:
Partimos de la suposición de que el MCD(a,b)=p ⇒ p a ∧ p b , y teniendo en cuenta la definición de
divisores, se tiene que ∃t ∈ Z , ∃s ∈ Z / a = p.t ∧ b = p.s
Ahora, despejando de la hipótesis el número r, y reemplazando por lo demostrado anteriormente y

operando, se tiene:
r = a − b.c = p.t − p.s.c = p.(t − s.c)
Esto significa que r = (t − s.c ). p ⇒ p r , lo que concluimos que p b ∧ p r ⇒ MCD(b,r)=p.

Luego por propiedad transitiva de la igualdad, tenemos que:
MCD(a,b)=MCD(b,r)
Propiedad 2
Si a y b son dos números enteros no nulos tales que b|a, entonces MCD(a,b)=b
Indudablemente, si b|a ∧ b|b ⇒ MCD(a,b)=b
Basándonos en estas dos propiedades desarrollaremos el Algoritmo de Euclides, y para esto

recordaremos la definición de cociente:
Dividendo = divisor x Cociente + Resto.
Ahora, sean a∈Z ∧ b∈Z, a≠0 ∧ b≠0, el algoritmo de la división implica la existencia de dos números
naturales c0 y r1, tales que podamos hacer el cociente entre a y b:
a = c 0 .b + r1 , 0 ≤ r1 ≤ b
Si r1=0, entonces el MCD(a,b)=b, esto justificándolo con la Propiedad 2, caso contrario hacemos
nuevamente la división entre b y r1, obteniendo c1 y r2, y teniendo en cuenta que la Propiedad 1 nos
dice que MCD(a,b)=MCD(b,r1), entonces:
b = c1 .r1 + r2 , 0 ≤ r2 ≤ r1
Si r2 = 0, entonces el MCD(a,b)=c1, caso contrario seguimos con el mismo razonamiento y llegamos al

paso i, donde:
ri − 2 = c i −1 .ri −1 + ri , 0 ≤ ri ≤ ri −1
Ahora, como b > r1 > r2 > ... ≥ 0 , es evidente que en un número finito “n” de pasos con n ≤ b ,
llegaremos a un resto rn=0, es decir que rn − 2 = c n −1 .rn −1 , esto implica que rn −1 rn − 2 , y por la
Propiedad 2 MCD ( rn − 2 , rn −1 ) = rn −1 , y teniendo en cuenta la Propiedad 1, queda:
MCD ( a , b) = MCD (b, r1 ) = MCD ( r1 , r2 ) = ... = MCD ( rn − 2 , rn −1 ) = rn −1
Ahora, para determinar el máximo común divisor por este algoritmo hacemos el siguiente cuadro:
c1 c2 c3 …………………. cn cn+1
a b r1 r2 …………………. rn-1 rn
r1 r2 r3 r4 …………………. 0
MCD(a,b)=|rn-1|
Por ejemplo: Obtener en MCD(441,24)
Hacemos el cociente entre 441 y 24

441 24
201 18
009
441 = 24 × 18 + 9, 0 ≤ 9 < 18

24 9
06 2
24 = 9 × 2 + 6, 0≤6< 9
Hacemos el cociente entre 9 y 6:
9 6
3 1
9 = 6 × 1 + 3, 0≤3< 6
6 3
0 2
6 = 3 × 2 + 0, 0≤0< 3
De acuerdo a lo que establece el algoritmo, tenemos:
MCD(441,24) = MCD(24,9) = MCD(9,6) = MCD(6,3) = 3
Haciendo el cuadro expuesto anteriormente, se tiene:
18 2 1 2
441 24 9 6 3
9 6 3 0
MCD(441, 24) = 3
PROPIEDAD LINEAL DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Si a y b son dos números enteros no nulos y MCD(a,b)=p, existen dos números enteros u y v, tales
que p=a.u+v.b
Demostración
Supongamos que p=rn-1. Puesto que para todo i, ri-2=ci-1.ri-1+ri, y de acuerdo con las fórmulas
obtenidas en la descripción del Algoritmo de Euclides, se tiene que:
rn −1 = rn −3 − c n − 2 .rn − 2 = u n −1 .rn −3 + v n −1 .rn − 2 = u n −1 .rn −3 + v n −1 .(rn − 4 − c n −3 .rn −3 ) =

= u n − 2 .rn − 4 + v n − 2 .rn −3 = ... = u1 .a + v1 .b
Donde ui y vi son números enteros.
Ejemplo:
En nuestro ejemplo anterior, el MCD(441,24)=3. Para ello se hizo uso de las siguientes igualdades:
441=18.24+9
24=2.9+6
9=1.6+3
Teniendo en cuenta estas igualdades, al 3 se lo puede expresar como:
3=9-6=9-(24 - 2.9)=-24+3.9.(441-18.24)=3.441-55.24
De esto deducimos que u=3, y que v=-55
NÚMEROS RELATIVAMENTE PRIMOS O PRIMOS ENTRE SÍ
Dos números enteros no nulos a y b son relativamente primos, si el MCD(a,b)=1

ECUACIONES DIOFANTICAS
Una ecuación de variable “x” e “y” se llama diofántica si y sólo si a.x + b. y = MCD(a, b)
Propiedades de las ecuaciones diofánticas
Propiedad 1
Sean a, b y c tres números enteros con MCD(a,b)=d, la ecuación a.x + b.y = c tiene solución entera sí
y sólo si d|c.
Demostración
Si la ecuación a.x + b.y = c tiene soluciones enteras, existen u∈Z y v∈Z tales que a.u + b.v = c. Como
MCD(a,b)=d, entonces a=p.d y b=q.d con p, q números enteros, entonces:
c=a.u + b.v = p.d.u + q.d.v = (p.u + q.v).d
Lo que está en el paréntesis es un número entero, entonces c=k.d ⇒ d|c
Propiedad 2
Sean a, b y c números enteros; si x0∈Z, y0∈Z es una solución particular de la ecuación diofántica a.x
+ b.y =c, todas las soluciones enteras de esta ecuación son de la forma:
b a
x = x 0 + ·n , y = y 0 − ·n , con n∈Z, y donde MCD(a,b)=d
d d
Demostración
Como x0 e y0 es una solución de a.x + b.y =c, entonces a.x0 + b.y0 = c.
Ahora hacemos:
⎛ b ⎞ ⎛ a ⎞
a.x + b. y = a.⎜ x0 + ·n ⎟ + b.⎜ y 0 − ·n ⎟
⎝ d ⎠ ⎝ d ⎠
Y aplicando la propiedad distributiva, se tiene:
b.a b.a
a.x + b. y = a.x 0 + ·n + b. y 0 − ·n
d d
Y cancelando queda:
a.x + b. y = a.x 0 + b. y 0
b a
Lo que significa que x 0 + ·n e y 0 − ·n es solución de a.x + b.y = c.
d d
Pero como (x0, y0) es solución de la ecuación, entonces x – x0 = 0 e y – y0 = 0, por lo tanto:
a.( x − x 0 ) + b.( y − y 0 ) = 0
Haciendo un pasaje de términos se tiene:
a.( x − x 0 ) = −b.( y − y 0 )
Que es lo mismo que:
a.( x − x0 ) = b.( y 0 − y ) (1)
Dividiendo ambos miembros por “d”, queda:
a b
( x − x0 ) = ( y 0 − y) (2)
d d
⎛a b⎞ a b
Como el MCD(a, b)=d ⇒ MDC⎜ , ⎟ = 1 ya que y son primos entre sí
⎝d d ⎠ d d
a a
Por otro lado, y de acuerdo a la igualdad 2, ( y 0 − y ) ⇒ ∃n ∈ Z / y 0 − y = ·n , lo que significa
d d
que:
a
y = y 0 − ·n (I)
d
Sustituyendo el valor de “y” en la igualdad 1 se tiene:
⎛ a ⎞
a.( x − x0 ) = b.⎜ y 0 − y 0 + ·n ⎟
⎝ d ⎠
Cancelando queda:
b.a
a.( x − x 0 ) = ·n
d
Despejando, se tiene:
b.a/
x − x0 = ·n
a/ .d
Despejando “x” se tiene:
b
x = x 0 + ·n (II)
d
De I y II, queda demostrado el teorema.-
Ejemplo:
Determinar las soluciones positivas de la siguiente ecuación diofántica:
20.x + 50.y = 430
Observamos que el MCD(20, 50)=10 y como 10|430, entonces se asegura que la ecuación tiene
soluciones enteras.-
Ahora busquemos una solución particular, y lo haremos teniendo en cuenta el algoritmo de Euclides,
donde 50 = 2.20 + 10 ⇒ 10 = 50 – 20.2, por lo tanto:
430 = 43.10 = 43.(50 – 2.20) = 43.50 – 86.20

Lo que significa que x0 = -86 y que y0 = 43.
Ahora, aplicando el teorema anterior, se tiene:
b
x = x0 + ·n con n ∈ Z
d
a
y = y 0 − ·n con n ∈ Z
d
Reemplazando queda:
50
x = −86 + ·n
10
20
y = 43 − ·n
10
Pero las soluciones deben ser positivas, entonces “n” puede tomar los valores 18, 19, 20 y 21
solamente, lo que significa que las soluciones son:
⎛ 20 ⎞
⎜ − 86 + ·18,43 − ·18 ⎟ ⇒ (4,7 )
50
⎝ 10 10 ⎠
⎛ 20 ⎞
⎜ − 86 + ·19,43 − ·19 ⎟ ⇒ (9,5)
50
⎝ 10 10 ⎠
⎛ 20 ⎞
⎜ − 86 + ·20,43 − ·20 ⎟ ⇒ (14,3)
50
⎝ 10 10 ⎠
⎛ 20 ⎞
⎜ − 86 + ·21,43 − ·21⎟ ⇒ (19,1)
50
⎝ 10 10 ⎠
CONGRUENCIA EN MÓDULO “n”
Los números “a” y “b” son congruentes en módulo “n” si “n” divide a su diferencia, o sea:
a ∈ Z ∧ b ∈ Z son congruente s en módulo n ⇔ n a − b
Para denotar que los números “a” y “b” son congruentes en módulo “n”, usamos a ≡ b(n)
Propiedad
La congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia
Demostración
Antes de todo, definimos la relación:
( a, b) ∈ R ⊂ Z 2 ⇔ n a − b
Para demostrar que la congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia, se debe demostrar
que es reflexiva, simétrica y transitiva:
Reflexiva
Todo número divide al cero, por lo tanto:
n 0 ⇒ n a − a ⇒ (a, a ) ∈ R
Simétrica
De acuerdo a lo definido se tiene:
(a, b) ∈ R ⇒ n | a − b ⇒ n | (a − b).(−1) ⇒ n | b − a ⇒ (b, a) ∈ R
Esto es teniendo en cuenta las propiedades 1, 2 y 3 de divisores y múltiplos
Transitiva
Supongamos que:
(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ n | a − b ∧ n | b − c ⇒ n | a − b/ + b/ − a ⇒ n | a − c ⇒ (a, c) ∈ R
Lo que queda demostrada que la congruencia en módulo “n” es una relación de equivalencia.
ECUACIONES CON CONGRUENCIAS EN MÓDULO “n”
Sea la ecuación
ax ≡ b(n)
Donde a y b son números enteros y “n” es un entero positivo. Usando la congruencia en módulo “n”
se deduce que la ecuación anterior se satisface cuando existe y∈Z tal que:
ax − b = y.n
Lo que significa que esta ecuación queda:
a.x − y.n = b
Ejemplo:
Encontrar las soluciones de la ecuación 4.x ≡ 2(6) .
Si x es una solución entera de la ecuación, entonces existe un entero “y” tal que 2.x − 2 = 6. y , es
decir que 2.x − 6. y = 2 , y como el MCD(6,2) = 2. Y teniendo en cuenta la propiedad 1 de las
ecuaciones diofánticas, tiene infinitas soluciones, y la Propiedad 2 nos explica como calcularas:
Teniendo en cuenta el Algoritmo de Euclides, decimos que 6 = 1.4 + 2, y -4 –(-6)=2. Por lo tanto x0=-
1, y0=-1 y es una solución particular.
El resto de las soluciones tienen la forma:
x = −1 − 3.n y = −1 − 2.n con n∈Z
Escribir como sumatoria:
1) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 15 =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
2) =
n
1 1 1 1 1 1 1 1
3) + + + + + + + =
4 9 16 25 36 49 64 81
4) 0 + 2 + 8 + 26 + ... + 2186 =
5) 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + ... + 29 =
6) 1 + 7 + 26 + 79 + 241 + 727 =
1 1 1 1 1
7) − + − + =
4 16 36 64 100
8) Demostrar por el método de inducción completa

2 n +1
i
n
⎛2⎞
a) ∑ ⎜
i =1 ⎝ 3 ⎠
⎟ = 2 −
3n
n
n(n + 1)(2n + 1)
b) ∑
i =1
i2 =
6
n
n
c) ∑
i =1
i(n − i) = (n 2 − 1)
6
1 1 1 1 1
d) + + + ... + n = 1 − n
2 4 8 2 2
n +1
e) 3 10 + 10 + 1 n
f) 2 n2 + n
n
g) ∑ i.i!= (n + 1)!−1
i =1
2
n
⎛ n ⎞
h) ∑
i =1
i = ⎜∑i⎟
3
⎝ i =1 ⎠
i) 3 8 − 5n
n
n −1
1− xn
j) ∑ x =
i
si x≠1
i =1 1− x
n
i n+2
k) ∑ i = 2 −
i =1 2 2n
9) Determinar el MCD usando el algoritmo de Euclides de

a) 63 y 49
b) 619 y 93
c) 521 y 2187
d) 1253 y 436
e) 472 y 34
10) Probar que si a, b y m son números enteros positivos, MCD(m.a, m.b)=m.MCD(a, b)

⎛a b⎞
11) Probar que si c=MCD(a, b) entonces MDC ⎜ , ⎟ = 1
⎝c c⎠
12) Si p y q son dos números primos entre sí, demostrar que si p|q.m ⇒ p|m
13) Si MCD(a,b,c), probar que MCD(MCD(a,b),c)=MCD(a,MCD(b,c))
14) Si MCD(a, b)=1, probar que MCD(a+b, a – b)=1 ó MCD(a+b, a – b)=2
15) Hallar todas las soluciones enteras de las ecuaciones diofánticas:
a) 2.x + 3.y = 7
b) 21.x – 35.y =-14
c) 6.x + 9.y = 36
d) 20.x + 30.y =500
16) ¿De cuantas formas posibles se pueden tener $330 repartidas en billetes de $10 y $20?
17) Si a>0, b>0 y MCD(a, b)=1, probar que todo x>a.b puede escribirse como a.u + b.v = x, con u y v
positivos.
18) Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x ≡ 13(91)
b) x ≡ -5(77)
c) x ≡ -3(12)
CAPÍTULO VI
ANÁLISIS COMBINATORIO
INTRODUCCIÓN
El Análisis Combinatorio es una parte de la matemática que se ocupa de resolver los

problemas de ordenación de conjuntos y sus elementos.. Para resolver se deben definir
principalmente factorial, Arreglos o Variaciones, Permutaciones y Combinaciones.-
FACTORIAL
Se llama factorial a la función f:N0→N tal que:

⎧ f ( 0) = 1
⎪
⎨ f (1) = 1
⎪ f (n) = n. f ( n − 1)
⎩
El factorial de un número cualquiera n, se lo simboliza n!., o sea que la definición de factorial queda:
⎧0! = 1
⎪
⎨1! = 1
⎪n! = n.( n − 1)!
⎩
Aplicando la definición en forma sucesiva, se tiene:

n! = n.(n-1)!
=n.(n-1).(n-2)!
=n.(n-1).(n-2).(n-3)!
=n.(n-1).(n-2).(n-3)...3.2.1!
Así por ejemplo:

2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24
SIMPLIFICACIÓN DE FACTORIALES
Para simplificar un factorial con otro factorial, se deben descomponer según su desarrollo, o
sea por ejemplo:
8! 8.7.6.5.4.3.2.1
= = 8.7.6.5.4
3! 3.2.1
Pero 3.2.1 = 3!, entonces:
8! 8.7.6.5.4.3!
= = 8 .7 .6 .5 .4
3! 3!
VARIACIONES O ARREGLOS SIN REPETICIÓN
Se denomina arreglo o variación sin repetición de un conjunto de m elementos tomados de n

en n, al número de conjuntos distintos formado por n elementos de los m dados, teniendo en cuenta
que dos conjuntos son distintos si difieren en sus elementos o en el orden en que fueron colocados.-
Por ejemplo el conjunto formado por las siguientes letras, queriendo formar conjuntos de a
dos letras, o sea un arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2:
A, B, C, D
AB AC AD
BA BC BD
CA CB CD
DA DB DC
O sea que el arreglo de 4 elementos tomados de 2 en 2, es 12
Todo arreglo se lo denota como Anm y se lee “arreglo sin repetición o simple de m elementos tomados
de n en n”, o bien V nm y se lee “variación sin repetición o simple de m elementos tomados de n en n”
Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, podemos hacer:
24 4! 4!
A24 = 12 = = = que generalizando queda:
2 2! ( 4 − 2)!
m!
Anm =
(m − n)!
VARIACIONES O ARREGLOS CON REPETICIÓN
En el caso de que de un conjunto se pueda escoger un elemento más de una vez para formar
una variación o un arreglo, estamos en presencia de un “arreglo con repetición”. Por ejemplo:
Sea el conjunto formado por A, B, C, D y se quieren formar conjuntos de dos letras, pudiendo
ser ellos formados por las mismas, y dos conjuntos son distintos si difieren en su orden o en sus
elementos. Esto será:
AA AB AC AD
BA BB BC BD
CA CB CC CD
DA DB DC DD
Esto es un arreglo con repetición (se pueden repetir los elementos en un mismo conjunto) de
4 elementos tomados de 2 en 2, y su resultado es 16.
Ahora realicemos en mismo trabajo, pero aumentando al conjunto un elementos más y

tomemos de a tres elementos. O sea
A, B, C, D, E
AAA AAB AAC AAD AAE BEA BEB BEC BED BEE DDA DDC DDE EAD
ABA ABB ABC ABD ABE CAA CAB CAC CAD CAE DEA DEC DEE EBD
ACA ACB ACC ACD ACE CBA CBB CBC CBD CBE EAA EAC EAE ECD
ADA ADB ADC ADD ADE CCA CCB CCC CCD CCE EBA EBC EBE EDD
AEA AEB AEC AED AEE CDA CDB CDC CDD CDE ECA ECC ECE EED
BAA BAB BAC BAD BAE CEA CEB CEC CED CEE EDA EDC EDE ECB
BBA BBB BBC BBD BBE DAA DAB DAC DAD DAE EEA EEC EEE EDB
BCA BCB BCC BCD BCE DBA DBB DBC DBD DBE DDB DDD EAB EEB
BDA BDB BDC BDD BDE DCA DCB DCC DCD DCE DEB DED EBB
O sea que el total de conjuntos posibles de formar con los 5 elementos tomados de 3 en 3 y
que se pueden repetir sus elementos, es 125
El arreglo con repetición de m elementos tomados de n en n se denota como A' mn . Ahora:
A' 42 = 16 = 4 2 y A' 53 = 125 = 5 3

O sea que en definitiva:

A' mn = m n
PERMUTACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN
Las permutaciones simples o sin repetición de m elementos se define como la cantidad de

conjuntos que se pueden formar con los m elementos tomados de m en m, siendo distintos dos de
ellos si su orden es distinto. La denotación de permutación de m elementos es Pm. Atendiendo la
definición, la permutación de m elementos es un arreglo de m elementos tomados de m en m. O sea:
m! m! m!
Pm = Amm = = = = m!
(m − m)! 0! 1
Por ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 5 libros distintos en un estante?
P5 = 5! = 120
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Supongamos que se tienen 10 bolas de las cuales 3 son blancas, 2 son azueles y 5 rojas con
las cuales se las quiere determinar la cantidad de formas que se las puede ordenar. No se podría
aplicar la P10 ya que se repiten las blancas (3), las azueles (2) y las rojas (5). O sea que por estos
casos se tendría:
P3 =3! = 6 (para las blancas), P2=2 (para las azules) y P5 = 5! = 120 (para las rojas), y estos
conjuntos son iguales ya que no se diferencian por el color. Estamos en presencia de una
permutación con repetición de 10 elementos en grupos de 3, 2 y 5, y esto será:
P10 10! 3628800
3, 2 ,5
P'10 = = = = 2520
P3 .P2 .P5 3!.2!.5! 6.2.120
La fórmula general será:
Pm m!
P'αm, β ,δ ,...,ε = =
Pα .Pβ .Pδ ...Pε α!.β !.δ !...ε !
Donde m es el total de elementos, α es el número del primer grupo de elementos iguales, β el

segundo, δ el tercero, etc.
COMBINACIONES SIMPLES O SIN REPETICIÓN
Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n es la cantidad de conjuntos

de n elementos que se pueden formar con los m elementos, teniendo en cuenta que dos conjuntos
son diferentes si difieren únicamente en sus elementos.-
Por ejemplo: Sea el conjunto formado por A, B, C, D, ¿Cuántos conjuntos de tres elementos
distintos se pueden formar con ellos?
ABC ABD ACD BCD

Observamos que la respuesta es 4.-
Ahora la combinación de m elementos tomados de n en n se denota con C nm , y en nuestro
caso particular, será:
24 4!
C 34 = 4 = =
6 3!.(4 − 3)!
Para el caso de m y n, se tiene:

m!
C nm =
n!.(m − n)!
PROPIEDADES
1º) C 0m = 1
Demostración:
m! m!
C 0m = = =1
0!.(m − 0)! 1.m!
Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-
2º) C mm = 1
Demostración:
m! m!
C mm = = =1
m!.(m − m)! m!.0!
Esto es teniendo en cuenta que 0! = 1 y simplificando.-
3º) C nm = C mm− n
Demostración:
m! m!
C mm− n = = = C nm
(m − n)!.(m − m + n)! (m − n)!.n!
Esto es aplicando la definición y cancelando m.-
4º) C nm = C nm−−11 + C nm −1
Demostración:
Partiendo del segundo miembro, y aplicando la definición, sacando común denominador y
sacando factor común, se tiene:
(m − 1)! (m − 1)!
C nm−−11 + C nm−1 = +
(n − 1)!.(m − 1 − n + 1)! n!.(m − 1 − n)!
(m − 1)! (m − 1)!
C nm−−11 + C nm−1 = +
( n − 1)!.(m − n).(m − n − 1)! n.( n − 1)!.(m − n − 1)
n.(m − 1)!+ (m − n).(m − 1)!
C nm−−11 + C nm−1 =
n.(m − n).(n − 1)!.(m − n − 1)!
(m − 1)!.(n + m − n)
C nm−−11 + C nm−1 =
n.(m − n).(n − 1)!.(m − n − 1)!
(m − 1)!.m
C nm−−11 + C nm−1 =
n.(m − n).(n − 1)!.(m − n − 1)!
(m − 1)!.m
C nm−−11 + C nm−1 =
n.(n − 1)!.(m − n)(m − n − 1)!
.m!
C nm−−11 + C nm−1 =
n!.(m − n)!
m−1 m−1
Cn−1 + Cn = Cnm
5º) C nm + C nm+1 = C nm++11
Demostración:
Partiendo de la demostración anterior, y haciendo k=m+1⇒ m=k-1 y
s=n+1⇒n=s-1, se tiene:
C nm + C nm+1 = C sk−−11 + C sk −1 = C sk = C nm++11
COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Para el caso de las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n,

simplemente diremos que es igual a la combinación simple de m+n-1, tomados de n en n, y siendo su
denotación C' mn . En fórmulas será:
C ' mn = C nm + n −1
BINOMIO DE NEWTON
Desde nuestros estudios en la escuela media o EGB o Polimodal es que conocemos que:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 y que (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Esto es lo que se denomina el cuadrado y el cubo de un binomio. Estos son casos
particulares de lo que conoce con el nombre de binomio de Newton, y que se generaliza en lo
siguiente:
n
(a + b ) n
= ∑ C in .a n −i .b i
i =0
Esta igualdad se demuestra con el método de inducción completa. O sea que:
Para n = 0
(a + b) 0 = C 00 .a 0−0 .b 0
1=1
Hipótesis
Para n=k
k
(a + b )k = ∑ Cik .a k −i .b i
i =0
Tesis
Para n=k+1
k +1
(a + b )k +1 = ∑ Cik +1 .a k +1−i .b i
i =0
Demostración
Partiendo del primer miembro, aplicando producto de potencias de igual base, y lo estipulado por la
hipótesis y luego distribuyendo, se tiene:
(a + b )k +1 = (a + b )k .(a + b )
k
(a + b )k +1 = (a + b).∑ Cik .a k −i .b i
i =0
k k
(a + b)k +1 = a.∑ Cik .a k −i .b i + b.∑ Cik .a k −i .b i
i =0 i =0
Ahora, introduciendo a en la primera sumatoria, y b en la segunda, queda:
k k
(a + b)k +1 = ∑ Cik .a.a k −i .b i + ∑ Cik .a k −i .b.b i
i =0 i =0
Aplicando producto de potencia de igual base, se tiene:
k k
(a + b)k +1 = ∑ Cik .a k −i +1 .b i + ∑ Cik .a k −i .b i +1
i =0 i =0
Ahora extraemos el primer término de la primera sumatoria, y el último de la segunda sumatoria. O
sea:
k k −1
(a + b )k +1 = C0k .a k −i +1 .b 0 + ∑ Cik .a k −i +1 .b i + ∑ Cik .a k −i .b i +1 + C kk .a k −k .b k +1
i =1 i =0
Pero, haciendo j=i+1, entonces i=j-1, y si i=0 ⇒ j-1=0 ⇒ j=1 y reemplazando en la segunda sumatoria,
queda:
k k −1
(a + b)k +1 = C0k .a k +1.b 0 + ∑ Cik .a k −i +1.b i + ∑ C kj−1.a k − j +1 .b j + Ckk .a 0 .b k +1
i =1 j =1
Pero cambiando j por i, se tiene:
k k −1
(a + b)k +1 = C0k .a k +1 .b 0 + ∑ Cik .a k −i +1 .b i + ∑ Cik−1 .a k −i +1 .b i + C kk .a 0 .b k +1
i =1 i =1
Y si una sumatoria llega hasta k y la otra llega hasta k-1, tomamos una sola sumatoria hasta k, y se
tiene:
k
(a + b)k +1 = C0k .a k +1 .b 0 + ∑ (Cik + Cik−1 ).a k −i +1 .b i + Ckk .a 0 .b k +1
i =1
Y por la propiedad 4º aplicada a las suma de las combinatorias, que:
k
(a + b) k +1
= C .a k
0
k +1
.b + ∑ Cik +1 .a k −i +1 .b i + C kk .a 0 .b k +1
0
i =1
k +1
Y haciendo C = C k
k k +1 =1 y C 0k = C 0k +1 = 1 , teniendo en cuenta una propiedad de las
combinaciones, queda:
k
(a + b) k +1
=C k +1
0 .a k +1
.b + ∑ Cik +1 .a k −i +1 .b i + C kk++11 .a 0 .b k +1
0
i =1
Introduciendo el primer término y el último término en la sumatoria, queda:
k +1
(a + b )k +1 = ∑ Cik +1 .a k −i +1 .b i
i =0
Por ejemplo:
Desarrollar el siguiente binomio:
5
(a + b )5 = ∑ Ci5 .a 5−i .b i
i =0
(a + b ) 5
= C 05 .a 5−0 .b 0 + C15 .a 5−1 .b 1 + C 25 .a 5− 2 .b 2 + C 35 .a 5−3 .b 3 + C 45 .a 5− 4 .b 4 + C 55 .a 5−5 .b 5
(a + b )5 = a 5 + 5 .a 4 .b + 10 .a 3 .b 2 + 10 .a 2 .b 3 + 5.a .b 4 + b 5
TRIÁNGULO DE TARTAGLIA – PASCAL
Utilizando la propiedad 4º) de combinaciones, se puede construir un triángulo con los valores
que serán los coeficientes de un binomio de Newton. Este es:
C 00
C 01 C 11
C 02 C12 C 22
C 03 C13 C 23 C 33
C 04 C14 C 24 C 34 C 44
C 05 C15 C 25 C 35 C 45 C 55
C 06 C16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66
O sea que:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
¿Cómo se arma el triángulo de Pascal?

1) se Comienza con el 1 en el medio.
2) En todos los casos, los extremos son 1
3) Los otros se forman sumando los elementos de a la par de la línea anterior.
1) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante?

2) ¿De cuántas maneras se pueden colocar 12 libros en un estante si tres de ellos deben estar
juntos?
3) ¿De cuántas maneras se pueden alinear 10 personas, sabiendo que dos de ellos no pueden estar
juntas?
4) ¿Cuántas comisiones de 6 personas se pueden formar con 8 varones y 9 mujeres sabiendo que
al menos un varón integra cada comisión?
5) Ocho puntos del plano son tales que 3 cualesquiera no están alineados, salvo 4 de ellos sí lo
están. ¿Cuántas rectas determinan?
6) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con 0, 1, 2, 3, 4 y 5?
7) Entre 36 cartas hay 4 ases. Se retiran tres cartas sin reposición. ¿Cuántas colecciones de tres
cartas contienen exactamente 2 ases?
8) Determinar el número de pronósticos posibles que corresponden a una fecha de los 13 partidos
del juego llamado PRODE. En cada partido pueden apostarse a LOCAL, VISITANTE o EMPATE.
¿Cuántos de tales pronósticos tienen k aciertos?
9) ¿De cuántas maneras se pueden alinearse 5 varones y 5 mujeres de tal manera que aparezcan
alternados?
10) ¿Cuántos polígonos determinan 10 puntos del plano, sabiendo que 3 cualesquiera no están
alineados?.-
11) Desarrollar los siguientes binomios:
5
⎛1 1 ⎞
a) ⎜ a + b.c ⎟ =
⎝3 5 ⎠
9
⎛4 3⎞
⎜ x. y + z ⎟ =
2
b)
⎝3 ⎠
10
⎛5 2 3 2 3⎞
c) ⎜ x y z − 0,5.a b ⎟ =
⎝4 ⎠
d) (1,2.ab 2
− 8,1.c.d 3 )
5
=
7
⎛ 9 2 2 ⎞
e) ⎜ − .a − b ⎟ =
⎝ 8 3 ⎠
CAPÍTULO VII
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA

Sea el conjunto G ≠ ∅, se llama Ley de Composición Interna a la función:
* : G 2 → G /* (a, b) = a * b
Esto significa que si operamos mediante * entre dos elementos de G, se obtiene otro
elemento de G
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
ESTRUCTURA DE GRUPO
El par (G,*) es una estructura de grupo si y sólo si cumple con los siguientes axiomas:
A1) * es una ley de composición interna, o sea:

* : G 2 → G /* (a, b) = a * b
A2) * es asociativa, o sea:
∀a ∈ G, ∀b ∈ G, ∀c ∈ G : (a * b) * c = a * (b * c)
A3) Existe un elemento “e” neutro, o sea:
∃e ∈ G / ∀a ∈ G : e * a = a * e = a
A4) Existencia del electo inverso para todo elemento de G, o sea:
∀a ∈ G, ∃a'∈ G / a * a' = a'*a = e
Ahora, si además de estas propiedades cumple con la propiedad conmutativa el grupo se denomina
conmutativo o abeliano, o sea:
A5) * es conmutativa, o sea:
∀a ∈ G, ∀b ∈ G : a * b = b * a
Por ejemplo:
(Z,+) con Z es el conjunto de números enteros y + la operación adición ordinaria, y es un grupo

abeliano.
(Q, ·) siendo Q el conjunto de números racionales y · el producto ordinario, no es un grupo, ya que el

0 no posee inverso.
(Q-{0}, ·) es un grupo abeliano.
Ejemplo:
Sea (Z, *) donde a*b =a+b+b2, probar que es un grupo abeliano:
A1) * es una ley de composición interna en Z
* : Z 2 → Z /* (a, b) = a * b = a + b + b 2 ∈ Z
Esto lo justifica que la adición y la potenciación de números enteros es otro entero.

A2) * es asociativo en Z
(a * b) * c = (a * b) + c + (a * b).c = a + b + a.b + c + (a + b + a.b).c = a + b + c + a.b + a.c + b.c + a.b.c
a * (b * c) = a + (b * c) + a.(b * c) = a + b + c + b.c + a.(b + c + b.c) = a + b + c + b.c + a.b + a.c + a.b.c
Como los segundos miembros son iguales, entonces los primeros también lo son, luego:
(a * b) * c = a * (b * c)
A3) Existencia del elemento neutro (e):
∃e ∈ Z / ∀a ∈ Z : a * e = a + e + a.e = a ⇒ e + a.e = 0 ⇒ e.(1 + a) = 0 ⇒ e = 0
Ahora, hacemos:
e * a = 0 + a + 0 .a = a
Por lo tanto el elemento neutro es e=0
A4) Existencia del elemento inverso para cualquier elemento de Z, o sea:
−a
∀a, ∃a ' / a * a ' = e ⇒ a + a '+ a.a ' = 0 ⇒ a '+ a.a ' = − a ⇒ a ' (1 + a ) = − a ⇒ a ' =
1+ a
Ahora probamos con:
−a −a − a + a.(1 + a) − a 2 − a + a + a 2 − a 2
a '*a = + a + a '· = = =0=e
1+ a 1+ a 1+ a 1+ a
−a
Por lo tanto el elemento inverso es a ' =
1+ a
Con estas cuatro demostraciones aseguramos que (Z,*) es un grupo
Ahora hacemos:
A5) Probamos la conmutatividad
∀a ∈ Z , ∀b ∈ Z : a * b = a + b + a.b = b + a + b.a = b * a
Esto es aplicando la propiedad conmutativa de la adición y del producto.
PROPIEDADES DE LOS GRUPOS
Propiedad 1: Propiedad cancelativa de los grupos
Sea (G,*) un grupo, entonces se verifica

a) a * c = b * c ⇒ a = b
b) c * a = c * b ⇒ a = b
Demostración
Teniendo en cuenta la existencia del inverso en el grupo, aplicamos la composición al inverso de “c”,
o sea c’ y además la propiedad asociativa, y se tiene:
a) (a * c) * c' = (b * c) * c' ⇒ a * (c * c' ) = b * (c * c' ) ⇒ a * e = b * e ⇒ a = b
b) c'*(c * a) = c'*(c * b) ⇒ (c'*c) * a = (c'*c) * b ⇒ e * a = e * b ⇒ a = b
Propiedad 2
El elemento neutro en una estructura de grupo es único, o sea:
Sean e y e’ neutros en (G,*) ⇒ e = e’
Demostración
Como e’ es neutro ⇒ e * e’ = e’
Como e es neutro ⇒ e * e’ = e
Y por transitividad, se tiene que e = e’
Propiedad 3
El elemento inverso de un elemento de (G, *) es único
Sean a’ y a” inversos de a ⇒ a’ = a”
Demostración:
Como a’ es inverso de a ⇒ a * a’ = e
Como a” es inverso de a ⇒ a * a”= e
Luego a * a’ = a * a” y aplicando la propiedad cancelativa queda a’ = a”
Propiedad 4
El inverso del inverso de un elemento de (G, *) es el mismo elemento
(a’)’=a
Demostración:
Sea a∈G ⇒ a * a’ = e
Por otro lado (a’)’ * a’=e
O sea que a * a’ = (a’)’ * a’ y aplicando la propiedad cancelativa, queda a = (a’)’
Propiedad 5
El inverso de una composición es igual a la composición de los inversos.
(a * b)’ =a’ * b’
Demostración:
Se sabe que a’ * b’ * a * b =e
Y por otro lado que (a * b)’ * (a * b) = e
Luego se tiene: a’ * b’ * (a * b) = (a * b)’ * (a * b) y cancelado se llega a: a’ * b’ = (a * b)’
Propiedad 6
Sea (G, *) un grupo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
a) (G, *) es un grupo abeliano
b) (a * b)’ = a’ * b’ ∀a, b ∈ G
O sea que:
(G, *) es grupo abeliano ⇔ (a * b)’ = a’ * b’

Demostración:
Si se cumple la primera, o sea que si (G, *) es un grupo abeliano, por la propiedad anterior se cumple
que (a * b)’ = a’ * b’ = b’ * a’
Ahora si:
a * b = (a' )'*(b' )' = (b' )'*(a' )' = b * a
Con lo que se demuestra que (G, *) es un grupo abeliano.
SUBGRUPOS
Sea el grupo (G, *) y sea un subconjunto H de G, se dice que H es un subgrupo de (G, *) si y sólo si
(H, *) es grupo.
Por ejemplo:
Sea (Z, +) es un subgrupo de (Q, +) siendo + la adición ordinaria.
CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE UN SUBGRUPO
Hipótesis
Sea (G, *) un grupo
Sea ∅≠H⊂G
Sea x∈H ∧ y∈H ⇒ x * y’ ∈H
Tesis
(H, *) es subgrupo de (G, *)
Demostración:
Para demostrar que (H, *) es subgrupo, debemos demostrar que es grupo, entonces:
A3) Existencia del elemento neutro
x ∈ H ∧ x ∈ H ⇒ x * x '∈ H ⇒ e ∈ H
Esto es teniendo en cuenta la hipótesis y que x * x’ =e
A4) Existencia del elemento inverso
e ∈ H ∧ x ∈ H ⇒ e * x '∈ H ⇒ x '∈ H
Esto es teniendo en cuenta la hipótesis y la demostración anterior
A1) La ley es cerrada para H
x ∈ H ∧ y ∈ H ⇒ x ∈ H ∧ y'∈ H ⇒ x * ( y' )'∈ H ⇒ x * y ∈ H

Esto es teniendo en cuenta lo que expresa la hipótesis, una de las propiedades de los grupos
y las demostraciones anteriores
A2) La asociatividad
Este axioma se demuestra teniendo en cuenta todas las demostraciones anteriores.
Esto significa que si se tiene un grupo (G, *) y H⊂G, basta demostrar que x∈H ∧ y∈H ⇒ x * y’ ∈H
para que (H, *) sea subgrupo de (G, *)
HOMOMORFISMO DE GRUPOS
Definición
Sean (G1, *) y (G2, º) dos grupos, y f:G1→G2, la función f se llama homomorfismo de grupos, si para
todo x, y ∈ G1, se verifica que:
f ( x * y) = f ( x)º f ( y)
En diagrama de Venn se observa:

G1 f G2
x f(x)
y f(y)
x*y f(x)°f(y)
HOMOMORFISMOS ESPECIALES
Sea f:G1 → G2 un homomorfismo, se dice que:
1. f es un monomorfismo si f es inyectiva
2. f es un epimorfismo si f es sobreyectiva
3. f es un isomorfismo si f es biyectiva
4. f es un automorfismo si f es un isomorfismo entre un mismo grupo
Ejemplos
1. f(x)=ex es un monomorfismo de (R, +) en (R, ·) donde f(x + y) =ex+y =ex.ey=f(x).f(y)
2. La función f:(Z, +) →({-1, 1}, ·) dada por f(n)=(-1)n es un epimorfismo ya que
f (n + m) = ( −1) n + m = f (n). f ( m)
ESTRUCTURA DE ANILLO
Definición
Un conjunto A con dos operaciones binarias cerradas que denotaremos con + (suma) y · (producto),
se llama anillo si se cumplen las siguientes propiedades:
P1) (A, +) es un Grupo abeliano

P2) el producto es asociativo, o sea (a.b).c = a.(b.c) para todo a, b y c de A.
P3) El producto es doblemente distributivo con respecto a la suma:
a.(b + c) = a.b + a.c y (b + c).a = b.a + c.a para todo a, b y c de A
Si el producto es conmutativo, entonces el anillo se llama conmutativo

Ahora, si existe un elemento que lo simbolizaremos con 1, tal que para todo a∈A: a.1=1.a=a, se dice
que el anillo es con unidad y el elemento 1 recibe el nombre de unidad.-
Ejemplos:
(Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad
ESTRUCTURA DE CUERPO
Definición
Un anillo conmutativo con unidad (A, +, ·) es un cuerpo si (A – {0}, ·) es un grupo.
Por ejemplo:
(Q,+,·) es un cuerpo
1. Determinar si los siguientes pares son Grupos:
a. (G, *) tal que G ={x/x=2.k+1 ∧ k ∈Z} y * es el producto ordinario
b. (G, *) tal que G={x/x=3.k ∧ k∈Z} y * es la adición ordinaria
c. { }
(G, *) tal que G = a + b. 2 / a ∈ Q ∧ b ∈ Q y * es el producto ordinario
{ }
d. (G, *) tal que G = x / x = 2 ∧ k ∈ Z y * es el producto ordinario
k
2. Sea (R, +)/a*b=2.a.b, demostrar que (R, +) es un grupo abeliano.

3. En Q2 se considera * definida por:
(a, b) * (c, d ) = (a.c, b.c + d )
2
Demostrar que (Q , *) es un grupo
4. Sean los grupos (Z, +) y (G, *), y la función f:Z→G tal que f(n) = an con a ∈ G. Demostrar que f es
un morfismo.
5. Sea (R, *) tal que a * b = a + b. 2 . Demostrar que (R, *) es un grupo.
6. Sea un homomorfismo del grupo G en el grupo G’, y H un subgrupo de G’. Demostrar que su
preimagen f-1(H) es un subgrupo de G.
7. Si (G, *) es un subgrupo que verifica que x * x =e, para todo x ∈ G, demostrar que (G, *) es un
grupo conmutativo.
8. En Z2 se define la adición y el producto mediante:
( x, y) + ( x' , y' ) = ( x + x' , y + y' )
( x, y).(x' , y' ) = ( x.x' ,0)
Demostrar que (Z2, +, ·) es un anillo.
9. Si (A, +) es un grupo abeliano y se define ·:A2→A tal que a.b=0. Demostrar que (A, +, ·) es un
anillo.
10. Se considera la suma habitual de pares ordenados en Z2 y el producto definido por:
(a, b).(a' , b' ) = (a.a' , a.b'+b.a' )
2
Demostrar que (Z , +, ·) es un anillo.
Á
ÁLGEBRA MO
ODERNA – Prof.
P Luis E. Valdez - 115 -
CUR
RRICULU
UM VITAE
E
Nombres y Apellido: Luis Errnesto Valdez
Título
o: Profesor en Matem mática y Computación recibido
r en el IES
Andaalgalá (Catam
marca) en Ag
gosto de 1989.
Tareaas realizadaas en la Doc cencia

1. Ex
E Profesor de d Informática, de Mate emática Financiera y de Análisis
M
Matemático e la E.N.E
en E.T. Nº 1 “DDr. Federico Schickenda antz” de
A
Andalgalá (acctual Colegio
o Polimodal Nº
N 32)
2. Ex
E Profesor de Matemá ática en la Escuela No ormal “Repúb blica de
V
Venezuela” actual Colegio Polimodall Nº 21)
(a
E Profesor de Matemá
3. Ex ática en la Escuela
E Seccundaria “Dr. Carlos
M
Malbrán” (acttual Colegio Polimodal Nº 38)
E Profesor de Informátiica en el Ce
4. Ex entro de Edu ucación Permmanente Aerotécnico Hu uaco (actuall
C
Colegio Polim
modal Nº 37)
E Profesor de Álgebra I, Geometrría I, Introducción a la Informática
5. Ex a e Informáttica II en ell
P
Profesorado e Matemática y Computación I.E.S. Andalgalá
en
6. Ex
E Profesor de mercial Nocturno del Colegio Polimoda
d Informáticca en el Com al Nº 21 – An
ndalgalá.
7. Actual
A Professor en las Cátedras
C e Álgebra I y Elemento
de o de Programación Cien ntífica I.E.S..
A
Andalgalá
8. Actual
A Professor de Matem mática en EGGB 3 en la Es
scuela EGB NºN 108 “R.I. Aerot. 17” Andalgalá
9. Actual
A Professor de Mate emática en ele Colegio Polimodal
P Nºº 32 “Dr. Feederico Schiickenatnz” –
A
Andalgalá
10. Actual
A Professor de Matem mática, de Teecnología de
e la Informacción y la Com
municación y de Armado o
d Computad
de doras en el Colegio
C Polim
modal Nº 37 – Huaco – Andalgalá.
Perfe
eccionamien nto Docente e
1. Asistencia
A al Curso "Geo ometría Analíítica en la Esscuela Secun ndaria" - octu
ubre 1985
2. Asistencia
A al Curso "Evalluación del Nivel
N Medio" - agosto 198 86
3. Integrante de el Panel Tele evisivo "Mettodología de Estudios Su uperiores: Pautas de Es studios en ell
N
Nivel Terciario para estud dios Matemá áticos" - 10 de mayo de 1990
4. Dictado
D del Curso
C "Progrramación BA ASIC" - mayo 1990.
5. Asistencia
A al Curso "Com municación Pedagógica"
P - 5 al 7 de ju
ulio de 1990
6. Asistencia
A al "Primer Sem minario Talleer de Diagnóstico en Mattemática, Físsica y Químic ca" - 30 y 31
d agosto de
de e 1990.
7. Asistencia
A a las Jornada as "Principios, Fundame entos, Organización y Marco Instituc cional de loss
C
Centros de Educación
E Pe
ermanente" - 3, 4 y 5 de mayo de 199 91
8. Asistencia
A al Taller "El Trrabajo por Árrea en la Proopuesta Currricular de loss C.E.P." - 10
0, 11 y 12 de
e
m
mayo de 19991
9. Asistencia
A al Taller "El Trrabajo por Árrea en la Proopuesta Currricular de loss C.E.P." - 17
7, 18 y 19 de
e
m
mayo de 19991
10. Asistencia
A al Taller "Apreendizaje y Esstrategias Me etodológicas"" - 13 y 14 dee junio de 19
991.
11. Asistencia
A al Taller "La Evaluación
E e los C.E.P., Reflexiones para una P
en Propuesta Inntegradora" -
1 2 y 3 de ag
1, gosto de 199 91.
12. Jefe
J del Deppartamento de Matemáttica y Comp putación en el Instituto de Estudios s Superioress
A
Andalgalá deesde el 12 dee junio de 19
991 al 24 de abril
a de 19944.
13. Asistencia
A al Taller "Formmulación de Proyectos
P Diidácticos Pro oductivos" - 4 de marzo de
d 1992.
14. Asistencia
A al Taller "Formmulación de Proyectos
P Diidácticos Pro oductivos" - 4 de marzo de
d 1992
15. Asistencia
A al Taller "Evaluación Particcipativa" - 6 y 7 de junio de 1992
16. Asistencia
A la Taller "Orgaanización Insstitucional" - 16 al 21 de marzo
m de 1992
17. Asistencia
A a las IVº Jorrnadas de "Articulación
" entre los Niveles
N Medio y Univers sitario en la
a
D
Disciplina Maatemática" - 27
2 al 29 de octubre
o de 1993.
18. Asistencia
A a las IVº Jorrnadas de "Articulación
" entre los Niveles
N Medio y Univers sitario en la
a
D
Disciplina M
Matemática" Seminario "La Educac ción en el Mundo Teccnológico Infformatizado::
E
Experiencia en Alemania a y España en el Nivel Medio y Uniiversitario" - 27 al 29 de e octubre dee
1
1993.
19. Asistencia a las IVº Jornadas de "Articulación entre los Niveles Medio y Universitario en la
Disciplina Matemática" - Taller "El uso del ordenador como Recurso Didáctico" 27 al 29 de
octubre de 1993
20. Asitencia al Curso "Capacitación para la Incorporación de Contenidos Innovadores en el Medio
en la asignatura Matemática" - 30, 31 de mayo y 01 de junio de 1994
21. Asistencia y aprobación del Curso "Los caminos hacia el aprendizaje: una propuesta
interdisciplinaria" - 24 y 25 de mayo 1994.
22. Asistencia al Curso "Capacitación para la Incorporación de Contenidos Innovadores en el Medio
en la asignatura Física" - 02 de junio de 1994
23. Asitencia al Curso "Capacitación para la Incorporación de Contenidos Innovadores en el Medio
en la asignatura Matemática" - 3 al 5 de octubre de 1994
24. Asistencia a las Vº "Jornadas de Articulación entre los Niveles Medios y Universitarios en la
Disciplina Matemática" - 17 al 19 de agosto de 1994.
25. Asistencia a las Jornadas "Unión de Matemática Argentina" curso "Disección de Figuras Planas y
Simetría" - 16 al 20 de octubre de 1995.
26. Participante en al "1º Congreso Docente La Educación del Tercer Milenio" - 21, 22 y 23 de abril
de 1997
27. Participante como Colaborador en el Comité Ejecutivo Andalgalá en el IIIº Congreso de Ciudades
y Pueblos del Interior - 8 de noviembre de 1997
28. Participante como Miembro Activo en el Taller "Demanda Educativa" - 8 de noviembre de 1997
29. Autor y Desarrollador del Software Educativo "MatFinanciera" - 20 de mayo de 1998
30. Asistencia al Taller "La Computadora en la Enseñanza de la Matemática" - 21 y 22 de noviembre
de 1997
31. Asistencia al "Seminario Tecnología Educativa Apropiada" - julio de 1998
32. Participante como Docente Asesor en la Feria de Ciencias del Trabajo "Como se arma una PC" -
18 de septiembre de 1998.
33. Asistencia al Curso "Investigación Educativa" - noviembre de 1998
34. Asistencia al Curso "Actualización en Gestión de la Tecnología Informática y Comunicación.
Tecnología de la Gestión de Grupos Humanos en Educación" - Febrero de 1999.
35. Asistencia al Curso "Metodología de la Enseñanza y el Aprendizaje de la Matemática en el 3º
ciclo de la Enseñanza General Básica y Polimodal" - mayo de 1999.
36. Asistencia al Curso "Formación Docente en Unidad de Cultura Tecnológica" - 10 al 14 de mayo
de 1999
37. Asistencia al Curso "Actividades Educativas en Electricidad" - 3 de septiembre de 1999
38. Coordinador en las "Ferias de Ciencias - Muestras de Actividades Pedagógicas Nivel Medio" - 25
de septiembre de 2000.
39. Autor y Desarrollador del Software "Alumnos" para los C.E.P. - octubre de 2000
40. Participante en las Jornadas "Las Relaciones Humanas y su Influencia en la Institución. Antiguos
y Nuevos Paradigmas" - mayo de 2001.
41. Participación en la Elaboración del Proyecto Innovador "Los Recursos en el Aula" - Marzo de
1997
42. Asistencia y aprobación del Seminario de Postítulo sobre "El Problema de la disciplina escolar" -
junio - agosto y septiembre de 2002.-
43. Asistencia y aprobación del Curso de 90 horas cátedras "Números, operaciones y relaciones" -
septiembre de 2002.-
44. Asistencia y aprobación del Curso de 90 horas cátedra "Funciones en el EGB3" octubre de
2002.-
45. IIIº Congreso "Tesoros del Catamarqueñismo" - junio 2003.-
46. Asistencia y aprobación del Curso de 40 hs. cátedras “El diseño curricular una ecuación de la
enseñanza de la Geometría en la EGB 2 y 3 y hacia una gestión curricular” – 27 de abril de
2004.-
47. Curso aprobado de 40 hs. cátedras “El diseño curricular una ecuación de la enseñanza de la
Geometría en la EGB 2 y 3 y hacia una gestión curricular” – 14 de mayo de 2004.-
48. Coautor y Coordinador en “Matemática: Taller de consenso para su enseñanza en el Nivel
Polimodal” – Marzo 2005.-
49. Autor y disertante del Taller “Uso del Software Matemática Financiera” en el 1° Congreso
Provincial en Didáctica de la Matemática – 8 al 10 de noviembre de 2006.-
50. Docente Asistente al 1° Congreso Provincial en Didáctica de la Matemática – 8 al 10 de
noviembre de 2006 (24 hs. cátedras).-
51. Docente Coordinador del 1° Congreso Provincial en Didáctica de la Matemática 8 al 10 de

noviembre de 2006 (24 hs. cátedras).-
Participación en Tribunales de calificación en el Nivel Superior

1. Integrante del Tribunal de Oposición en la Cátedra Sistema de Información en el Profesorado en
Economía del I.E.S. Andalgalá – 23 de agosto de 2002.-
2. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Procedimientos Administrativos en el
Profesorado en Economía del I.E.S. Andalgalá – 23 de agosto de 2002.-
3. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Sistema Educativo en el Profesorado en
Lengua y Literatura del I.E.S. Andalgalá – 11 de Febrero de 2003.-
4. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Institución Educativa en el Profesorado en
Lengua y Literatura del I.E.S. Andalgalá – 11 de Febrero de 2003.-
5. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Sistema Educativo en el Profesorado en Física
del I.E.S. Andalgalá – 10 de Febrero de 2003.-
6. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Sistema Educativo en el Profesorado en
Matemática del I.E.S. Andalgalá – 10 de Febrero de 2003.-
7. Integrante del Tribunal de Oposición de la Cátedra Institución Educativa en el Profesorado en
Física del I.E.S. Andalgalá – 11 de Febrero de 2003.-

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Pro

of: Luis Ernestto Valdez

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Representaciones gráficas de una función ………………………………………………… 62

• Álgebra I – Armando Rojo - Ed. El Ateneo - 1986

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

TABLA DE VALORES DE VERDAD

La negación de la proposición p es ∼p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

p: el 2 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA.

Y negando la proposición p queda:

∼p: NO ES CIERTO que el 2 es un número natural. Esta proposición es FALSA

Ahora, busquemos una proposición falsa, por ejemplo:

p: el –3 es un número natural. Esta proposición es VERDADERA.

Y negando la proposición p queda:

∼p: NO ES CIERTO QUE el 3 es un número natural. Lo cual es FALSA

DISYUNCIÓN O SUMA LOGICA

La disyunción o suma lógica de las proposiciones p y q, es p∨q, donde p y q se denominan

nº valores = A'2n º proposiciones = 2 n º proposiones

Esta tabla se explica con un ejemplo fácilmente:

P: estudio q: veo televisión

p∨q: estudio O veo televisión

CONJUNCIÓN O PRODUCTO LÓGICO

La conjunción o producto lógico de las proposiciones p y q, es p∧q, donde p y q se

Esta tabla, al igual que la anterior, se explica con un ejemplo fácilmente:

p: estudio q: veo televisión

La implicación o condicional de las proposiciones p y q, es p⇒q donde p se denomina

Esta tabla de valores de verdad se la puede interpretar con el siguiente ejemplo:

O sea que la proposición será: Apruebo, ENTONCES te presto el libro

LA DOBLE IMPLICACIÓN O EL BICONDICIONAL

La doble implicación o el bicondicional de las proposiciones p y q es p⇔q cuya tabla de

Esta operación proposicional se la puede entender con el siguiente ejemplo:

La diferencia simétrica de las proposiciones p y q es p ∨ q cuya tabla de valores de verdad

CONDICIONES NECESARIA Y SUFICIENTE

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA

Una proposición es una contradicción si es FALSA independientemente de los valores de

Una proposición es una contingencia si no es ni VERDADERA ni FALSA.-

Demostramos con una tabla de valores de verdad:

De la conjunción: La conjunción de una misma proposición, es equivalente a la misma

La disyunción y la conjunción son conmutativas

Se demuestra con una tabla de valores de verdad:

Se demuestra con una tabla de valores de verdad:

De la conjunción con respecto a la disyunción: la conjunción es distributiva con respecto a

De la disyunción con respecto a la conjunción: la disyunción es distributiva con respecto a

Si se tiene en cuenta la implicación y las posibilidades de negar o cambiar el antecedente por

Con estas implicaciones podemos armar un cuadro visualmente entendible:

p⇒q RECÍPROCAS q⇒p

Las implicaciones contra - recíprocas son equivalentes; o sea que:

7. LA DOBLE IMPLICACIÓN Y LA IMPLICACIÓN

La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca. O sea:

Se demuestra usando una tabla de valores de verdad.

8. LA DIFERENCIA SIMÉTRICA Y LA DOBLE IMPLICACIÓN

La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación. O sea que:

Se demuestra con una tabla de valores de verdad:

9. LEYES DE “DE MORGAN”

De la conjunción: La negación de una conjunción, es equivalente a la disyunción de las

Demostramos esta ley usando la tabla de valores de verdad:

De la disyunción: La negación de una disyunción, es equivalente a la conjunción de las

La negación de una implicación es equivalente a negación de la disyunción de la negación del

Ahora, aplicando la ley de De Morgan e Involución en la disyunción, queda: