Divisibilidad de Polinomios y Cocientes Notables Final
Divisibilidad de Polinomios y Cocientes Notables Final
Divisibilidad de Polinomios y Cocientes Notables Final
TEOREMA 04
NOTABLES. Si al dividir el polinomio
𝑃(𝑥)separadamente entre 𝑥 − 𝑎, 𝑥 −
I. DIVISIBILIDAD POLINOMIAL.
𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑐, se obtiene el mismo residuo
DEFINICIÓN: Dados dos polinomios
R, entonces al dividir 𝑃(𝑥)entre el
𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) de grados no nulos; se dirá que
producto de (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)( 𝑥 − 𝑐),
𝑓(𝑥) es divisible entre 𝑔(𝑥), si existe un único
también se obtendrá el mismo resto.
polinomio ℎ(𝑥), tal que verifique la identidad
Descriptivamente:
de la división exacta:
Si: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎) → 𝑅1(𝑥) = 𝑅
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥)
𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑏) → 𝑅2(𝑥) = 𝑅
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑐) → 𝑅3(𝑥) = 𝑅
El polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 7𝑥 − 12 será
Entonces:
divisible entre 𝑥 + 3, si existe un único ℎ(𝑥), tal
que verifica: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) → 𝑅(𝑥) = 𝑅
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 3). ℎ(𝑥)
5. TEOREMA 05
3 ° 1° 2° En toda división de polinomios, si al
dividendo y al divisor se les divide por
TEOREMAS DE LA DIVISIBILIDAD.
un polinomio de grado no nulo, el
1. TEOREMA 01
cociente no se altera; pero el residuo
Si el polinomio 𝑃(𝑥) es divisible
queda dividido por dicho polinomio:
separadamente entre los binomios 𝑥 −
DEMOSTRACIÓN:
𝑎, 𝑥 − 𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑐, entonces también
𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑃(𝑥) es divisible entre el producto de:
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑆(𝑥) ≠ 0
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)
𝐷(𝑥) 𝑑(𝑥) 𝑅(𝑥)
Descriptivamente: = . 𝑞(𝑥) +
Si: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎) → 𝑅 = 0 𝑆(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑆(𝑥)
𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑏) → 𝑅 = 0 De donde se observa que el
𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑐) → 𝑅 = 0 residuo queda divido entre 𝑆(𝑥)
Entonces: y el cociente es el mismo