730 C APÍT U LO 21 Carga eléctrica y campo eléctrico

Ejemplo 21.10 Campo de un anillo con carga

Un conductor en forma de anillo con radio a tiene una carga total Q Para calcular Ex, se observa que el cuadrado de la distancia r a par-
distribuida de manera uniforme en todo su perímetro (figura 21.24). tir de un segmento de anillo al punto P es igual a r2 5 x2 1 a2. De ma-
S
Encuentre el campo eléctrico en el punto P que se localiza sobre el eje nera que la magnitud de la contribución de este segmento dE al campo
del anillo a una distancia x del centro. eléctrico en P es

SOLUCIÓN 1 dQ
dE 5
IDENTIFICAR: Éste es un problema de superposición de campos eléc- 4pP0 x2 1 a2
tricos. La dificultad es que ahora la carga se distribuye de manera con- Como cos a 5 x / r 5 x / 1 x2 1 a2 2 1/2, la componente x, dEx, de este
tinua alrededor del anillo, y no en cierto número de cargas puntuales. campo es
PLANTEAR: El punto del campo se localiza de manera arbitraria so- 1 dQ x
bre el eje x, como se indica en la figura 21.24. La incógnita es el dEx 5 dE cos a 5
4pP0 x2 1 a2 "x2 1 a2
campo eléctrico expresado en ese punto, expresado en función de
1 x dQ
la coordenada x. 5
4pP0 1 x2 1 a2 2 3/2
EJECUTAR: Como se ilustra en la figura 21.24, imaginamos el anillo
dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cada segmento Para encontrar la componente x total, Ex, del campo en P, se integra es-
tiene una carga dQ que actúa como fuente de carga puntual del campo ta expresión a lo largo de todos los segmentos del anillo:
S
eléctrico. Sea dE el campo eléctrico a partir de uno de tales segmentos; x dQ
1
entonces, el campo eléctrico neto en P es la suma de todas las aporta- Ex 5 3
S 4pP0 1 x2 1 a2 2 3/2
ciones dE desde todos los segmentos que constituyen el anillo. (Esta
misma técnica sirve para cualquier situación en que la carga se distri- Como x no varía a medida que nos movemos de un punto a otro alrede-
buya a lo largo de una recta o una curva.) dor del anillo, todos los factores en el lado derecho son constantes, ex-
S
El cálculo de E se simplifica mucho debido a que el punto P del cepto dQ, es posible sacarlos de la integral, y como la integral de dQ es
campo se ubica sobre el eje de simetría del anillo. Considere dos seg- la carga total Q, finalmente resulta que
mentos en las partes superior e inferior del anillo: las contribuciones
S Qx
dE al campo en P a partir de dichos segmentos tienen la misma com- S 1
E 5 Ex d^ 5 d^ (21.8)
ponente x, pero componentes y opuestas. Así, la componente y total del 4pP0 1 x2 1 a2 2 3/2
campo generada por este par de segmentos es igual a cero. Cuando su- S
EVALUAR: Nuestro resultado para E demuestra que en el centro del
mamos las contribuciones desde todos los pares correspondientes de
S anillo (x 5 0), el campo es igual a cero, lo que era de esperarse: las
segmentos, resulta que el campo total E sólo tendrá una componente a
cargas en los lados opuestos del anillo empujarían en direcciones
lo largo del eje de simetría del anillo (el eje x), sin componente perpen-
opuestas a una carga de prueba que se situara en el centro, y la suma de
dicular a dicho eje (es decir, no hay componentes y ni componente z).
las fuerzas sería cero. Cuando el punto del campo P se encuentra mu-
Por lo tanto, el campo en P queda descrito completamente por su com-
cho más lejos del anillo que el tamaño de éste (es decir, x W a), el de-
ponente x: Ex.
nominador de la ecuación (21.8) toma un valor cercano a x3, y la
expresión se convierte aproximadamente en
S 1 Q
E5 d^
21.24 Cálculo del campo eléctrico sobre el eje de un anillo de 4pP0 x2
carga. En esta figura, se considera que la carga es positiva.
En otras palabras, cuando estamos tan lejos del anillo que el tamaño a
y de éste es despreciable en comparación con la distancia x, su campo es
dQ el mismo que el de una carga puntual. Para un observador distante del
ds anillo, éste parecería un punto, y el campo eléctrico lo refleja.
r⫽ En este ejemplo, usamos un argumento de simetría para concluir
S
x 2⫹ que E tiene sólo una componente x en un punto sobre el eje de simetría
a a2 del anillo. Este capítulo y los posteriores utilizaremos muchas veces
a P dEx
x argumentos de simetría; sin embargo, recuerde que estos únicamente
O x dEy a
se utilizan en casos especiales. En la figura 21.24, el argumento de si-
Q S metría no se aplica para un punto en el plano xy que no esté sobre el eje
dE
x, y el campo tiene en general componentes tanto x como y.
 21.5 Cálculos de campos eléctricos 731

Ejemplo 21.11 Campo de una línea con carga

Una carga eléctrica, Q, positiva está distribuida uniformemente a lo 21.25 Nuestro esquema para este problema.
largo de una línea con longitud de 2a que se ubica sobre el eje y, entre
y 5 2a y y 5 1a. (Ésta sería la representación de una de las varillas
cargadas de la figura 21.1.) Calcule el campo eléctrico en el punto P
sobre el eje x, a una distancia x del origen.

SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Al igual que en el ejemplo 21.10, nuestra incógnita es
el campo eléctrico debido a una distribución continua de la carga.
PLANTEAR: La figura 21.25 ilustra la situación. Se necesita encontrar
el campo eléctrico en el punto P en función de la coordenada x. El eje x
es el bisector perpendicular de la línea cargada, por lo que, al igual que
en el ejemplo 21.10, podemos utilizar un argumento de simetría.
EJECUTAR: Se divide la línea de carga en segmentos infinitesimales,
cada uno de los cuales actúa como carga puntual; sea dy la longitud de
cualquier segmento localizado a la altura y. Si la carga se distribuye
de manera uniforme, la densidad lineal de carga l en cualquier pun-
Para explorar los resultados, primero se verá lo que ocurre en el lí-
to de la línea es igual a Q>2a (la carga total dividida entre la longi-
mite en que x es mucho más grande que a. En ese caso, se puede igno-
tud total). Entonces, la carga dQ en un segmento de longitud dy es
rar a en el denominador de la ecuación (21.9), y el resultado se
Qdy convierte en
dQ 5 ldy 5
2a S 1 Q
E5 d^
La distancia r entre este segmento y P es 1 x2 1 y2 2 1/2, por lo que la 4pP0 x2
magnitud del campo dE, en P, debido a este segmento es
Esto significa que si el punto P se halla muy lejos de la línea de carga
1 dQ Q dy en comparación con la longitud de la línea, el campo en P es el mismo
dE 5 5 que el de una carga puntual. Se obtiene un resultado similar que para el
4pP0 r2 4pP0 2a 1 x2 1 y2 2
anillo cargado del ejemplo 21.10.
S
Representamos este campo en términos de sus componentes x y y: Al estudiar más el resultado exacto para E, ecuación (21.9), se ex-
dEx 5 dE cos a dEy 5 2dE sen a presará ésta en términos de la densidad lineal de carga l 5 Q>2a. Al
sustituir Q 5 2al en la ecuación (21.9) y simplificar, se obtiene
Se observa que sen a 5 y / 1 x2 1 y2 2 1/2 y cos a 5 x / 1 x2 1 y2 2 1/2; que se
combinan con la expresión para dE para obtener S 1 l
E5 d^ (21.10)
2pP0 x" 1 x2 a2 2 1 1
Q x dy /
dEx 5 S
4pP0 2a 1 x2 1 y2 2 3/2 Ahora se puede responder la pregunta: ¿Cuál es el valor de E a una
distancia x a partir de una línea de carga muy larga? Para ello se toma
Q y dy
dEy 5 2 el límite de la ecuación (21.10) cuando a tiende a ser muy larga. En ese
4pP0 2a 1 x2 1 y2 2 3/2 límite, el término x2>a2 en el denominador se hace mucho más pequeño
Para determinar las componentes del campo totales Ex y Ey se inte- que la unidad y se puede desechar. Queda lo siguiente:
gran estas expresiones, considerando que para incluir toda la Q se debe S l
integrar desde y 5 2a hasta y 5 1a. Se invita al lector a que realice E5 d^
2pP0 x
los detalles de la integración, para lo cual le sería de utilidad una tabla
de integrales. Los resultados finales son La magnitud del campo sólo depende de la distancia en el punto P a la
a
línea de carga. Por lo tanto, a una distancia perpendicular r desde la lí-
S
1 Qx dy Q 1 nea en cualquier dirección, E tiene la magnitud
Ex 5 3 5
4pP0 2a 2a 1 x2 1 y2 2 3/2 4pP0 x"x2 1 a2
l
1 Q
a
y dy E5 (línea infinita de carga)
Ey 5 2 50 2pP0r
3
4pP0 2a 2a 1 x2 1 y2 2 3/2
Así, el campo eléctrico debido a una línea de carga de longitud infinita
o, en forma vectorial, es proporcional a 1>r, y no a 1>r2 como fue el caso para una carga pun-
S
tual. Si l es positiva, la dirección de E es radial hacia fuera con respec-
S 1 Q
E5 d^ (21.9) to a la recta, y si l es negativa es radial hacia dentro.
4pP0 x"x2 1 a2 En la naturaleza no existe en realidad nada como una línea infinita
EVALUAR: Con el argumento de simetría que se usó en el ejemplo de carga; no obstante, cuando el punto del campo está suficientemente
21.10 se habría llegado a que Ey era igual a cero; si se coloca una carga cerca de la línea, hay muy poca diferencia entre el resultado para una
de prueba positiva en P, la mitad superior de la línea de carga empuja línea infinita y el caso finito de la vida real. Por ejemplo, si la distan-
hacia abajo sobre ella, y la mitad inferior empuja hacia arriba con igual cia r del punto del campo desde el centro de la línea es del 1% de la
magnitud. longitud de ésta, el valor de E difiere menos del 0.02% del valor para
la longitud infinita.
732 C APÍT U LO 21 Carga eléctrica y campo eléctrico

Ejemplo 21.12 Campo de un disco con carga uniforme

Encuentre el campo eléctrico que genera un disco de radio R con den- Para calcular el campo total debido a todo el anillo, se integra dEx so-
sidad superficial de carga (carga por unidad de área) positiva y unifor- bre r, desde r 5 0 hasta r 5 R (no desde 2R hasta R):
me, s, en un punto a lo largo del eje del disco a una distancia x de su
1 1 2psr dr 2 x
R R
centro. Suponga que x es positiva. sx r dr
Ex 5 3 5 3
0 4pP0 1 x2 1 r2 2 3/2 2P0 0 1 x2 1 r2 2 3/2
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este ejemplo se parece a los ejemplos 21.10 y 21.11, Recuerde que durante la integración x es una constante, y que la varia-
en que nuestra incógnita es el campo eléctrico a lo largo del eje de si- ble de integración es r. La integral se evalúa usando la sustitución
metría de una distribución de carga continua. z 5 x2 1 r2. Se invita al lector a que trabaje en los detalles; el resulta-
do es
PLANTEAR: En la figura 21.26 se ilustra la situación. Se representa la
distribución de carga como un conjunto de anillos concéntricos de car- sx 1 1
ga dQ, como se indica. Del ejemplo 21.10 se conoce el campo de un Ex 5 S2
2P0 "x2 1 R2
1 T
x
solo anillo sobre su eje de simetría, por lo que todo lo que tenemos que (21.11)
hacer es sumar las contribuciones de los anillos. s 1
2P0 S T
5 12
EJECUTAR: Un anillo común tiene una carga dQ, radio interior r y ra- " 1 R /x 2 1 1
2 2

dio exterior r 1 dr (figura 21.26). Su área dA es aproximadamente El campo eléctrico debido al anillo no tiene componentes perpendicu-
igual a su ancho dr multiplicado por su circunferencia 2pr, o lares al eje. Entonces, en la figura 21.26, en el punto P dEy 5 dEz 5 0
dA 5 2pr dr. La carga por unidad de área es s 5 dQ / dA, por lo que para cada anillo, y el campo total tiene Ey 5 Ez 5 0.
la carga del anillo es dQ 5 s dA 5 s 1 2pr dr 2 , o bien,
EVALUAR Suponga que se incrementa el radio R del disco y se agrega
dQ 5 2psr dr simultáneamente carga, de manera que la densidad superficial de car-
Se utiliza esta expresión en vez de Q en la ecuación para el campo de- ga s (carga por unidad de área) se mantiene constante. En el límite en
bido a un anillo, que se obtuvo en el ejemplo 21.10, ecuación (21.8), y que R es mucho mayor que la distancia x entre el punto del campo y
también se sustituye el radio del anillo a por r. La componente del el disco, el término 1 /" 1 R2 / x2 2 1 1 en la ecuación (21.11) se vuelve
campo dEx en el punto P debido a la carga dQ es despreciable por lo pequeño, con lo que se obtiene

1 dQ 1 1 2psr dr 2 x s
dEx 5 5 E5 (21.12)
4pP0 r2 4pP0 1 x2 1 r2 2 3/2 2P0

El resultado final no contiene la distancia x al plano, por lo que el cam-

po eléctrico producido por una lámina cargada, plana e infinita, es in-
dependiente de su distancia a la lámina. La dirección del campo es
21.26 Nuestro esquema para este problema. perpendicular en cualquier parte de la lámina y se aleja de ésta. No
existe nada como una lámina infinita de carga, pero si las dimensiones
de la lámina son mucho mayores que la distancia x entre el punto del
campo P y la lámina, el campo está muy cerca de lo que se obtiene con
la ecuación (21.11).
Si P está a la izquierda del plano (x , 0), el resultado es el mismo,
S
excepto que la dirección de E es a la izquierda en vez de a la derecha.
Si la densidad de caga superficial es negativa, la dirección de los cam-
pos en ambos lados del plano es hacia éste, en vez de alejarse de él.

Ejemplo 21.13 Campo de dos láminas infinitas con carga opuesta

Se colocan dos láminas infinitas y planas paralelas entre sí, separadas 21.27 Cálculo del campo eléctrico debido a dos láminas infinitas
por una distancia d (figura 21.27). La lámina inferior tiene una densi- con cargas opuestas. Se presenta la vista las láminas desde el bor-
dad superficial de carga uniforme y positiva s, y la lámina superior tie- de; ¡sólo es posible ver una parte de las láminas infinitas!
ne una densidad superficial de carga uniforme y negativa 2s, ambas
de la misma magnitud. Encuentre el campo eléctrico entre las dos lá- y
minas, arriba de la lámina superior y debajo de la lámina inferior. S S S S S
E1 E2 E  E1  E 2  0
SOLUCIÓN Lámina 2 2s x
S S S S S
IDENTIFICAR: Del ejemplo 21.12 se conoce el campo eléctrico debi- d E1 E2 E  E1  E 2
do a una sola lámina cargada, plana e infinita. Nuestra meta es encon-
trar el campo eléctrico debido a dos de tales láminas. Lámina 1 1s
S S S S S
E1 E2 E  E1  E2  0
PLANTEAR: Se utiliza el principio de superposición para combinar los
campos eléctricos producidos por las dos láminas, como se indica en la
figura 21.27.
 21.6 Líneas de campo eléctrico 733

S S
EJECUTAR: Sea la lámina 1 la lámina inferior con carga positiva, y la En los puntos entre las láminas, E1 y E2 se refuerzan entre sí; en los
S
lámina 2 la lámina superior con carga negativa; los campos debidos a puntos arriba de la lámina superior o debajo de la lámina inferior, E1 y
S S S
cada lámina son E1 y E2, respectivamente. De la ecuación (21.12) del E2 se cancelan mutuamente. Entonces, el campo total es
S S
ejemplo 21.12, tanto E1 como E2 tienen la misma magnitud en todos
0 arriba de la lámina superior
los puntos, sin importar lo lejos que estén de cada lámina:
S S S s
E 5 E1 1 E2 5 μ e^ entre las láminas
s P0
E1 5 E2 5
2P0 0 debajo de la lámina inferior
S
En todos los puntos, la dirección de E1 se aleja de la carga positiva de la Como se considera que las hojas son infinitas, el resultado no depende
S
lámina 1, y la dirección de E2 va hacia la carga negativa de la lámina 2. de la separación d.
Estos campos y los ejes x y y se ilustran en la figura 21.27. EVALUAR: Observe que el campo entre las láminas con cargas opues-
tas es uniforme. Esto se utilizó en los ejemplos 21.7 y 21.8, donde se
conectaban dos placas conductoras, grandes y paralelas, a las termina-
CU I DADO Los campos eléctricos no “fluyen” Tal vez le sorpren-
S S les de una batería. La batería hace que las dos placas adquieran cargas
da que E1 no se vea afectado por la presencia de la lámina 2, y que a E2 contrarias, lo cual origina entre ellas un campo que en esencia es uni-
tampoco lo afecte la presencia de la lámina 1. Quizás habrá usted pen- forme, si la separación de las placas es mucho menor que las dimensio-
sado que el campo de una lámina es incapaz de “penetrar” la otra lámi- nes de las placas. En el capítulo 23 estudiaremos el modo en que una
na. Ésta sería la conclusión, si el campo eléctrico se considerara como batería produce la separación de cargas positivas y negativas. Un arre-
una sustancia física que “fluye” hacia adentro de las cargas o desde glo de dos placas conductoras con cargas opuestas se llama capacitor,
S
ellas. Pero en realidad no hay tal sustancia, y los campos eléctricos E1 que es un dispositivo que tienen una utilidad práctica enorme y que es
S
y E2 tan sólo dependen de las distribuciones individuales de cargas que el tema principal del capítulo 24.
S S
los crean. El campo total es sólo la suma vectorial de E1 y E2. ❚

Evalúe su comprensión de la sección 21.5 Suponga que la línea de carga

de la figura 21.25 (ejemplo 21.11) tuviera una carga 1Q distribuida uniformemente
entre y 5 0 y y 5 1a, y tuviera una carga 2Q con distribución uniforme entre y 5 0 y
y 5 2a. En esta situación, el campo eléctrico en P estaría i) en la dirección 1x; ii) en la
dirección 2x; iii) en la dirección 1y; iv) en la dirección 2y; v) igual a cero; vi) ninguna
de las anteriores.
❚

21.6 Líneas de campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico es un tanto elusivo debido a que ningún campo eléc- 21.28 La dirección del campo eléctrico
trico puede verse directamente. Para visualizarlos, las líneas de campo eléctrico son en un punto cualquiera es tangente a la
de gran ayuda y los hace parecer más reales. Una línea de campo eléctrico es una línea de campo que pasa por ese punto.
recta o curva imaginaria trazada a través de una región del espacio, de modo que es Campo en EP
S
Campo en
tangente en cualquier punto que esté en la dirección del vector del campo eléctrico en el punto P el punto R
S
dicho punto. La figura 21.28 ilustra la idea básica. (Utilizamos un concepto similar P ER
en el análisis del movimiento de fluidos en la sección 14.5. Una línea de corriente es una R
Línea de
recta o curva, cuya tangente en cualquier punto está en dirección de la velocidad del campo
fluido en dicho punto. Sin embargo, la similitud entre las líneas de campo eléctrico y eléctrico
las líneas de corrientes de los fluidos es únicamente de carácter matemático, porque
en los campos eléctricos no hay nada que “fluya”.) El científico inglés Michael Fara-
day (1791-1867) introdujo por primera vez el concepto de líneas de campo. Las llamó
“líneas de fuerza”, aunque es preferible el término “líneas Sde campo”.
Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección
S
de E en cada punto,Sy su espa-
ciamiento da una idea general de la magnitud de E en cada S
punto. Donde E es fuerte,
las líneas se dibujan muy cerca una de la otra, y donde E es más débil se trazan sepa-
radas. En cualquier punto específico, el campo eléctrico tiene dirección única, por lo
que sólo una línea de campo puede pasar por cada punto del campo. En otras pala-
bras, las líneas de campo nunca se cruzan.
En la figura 21.29 se ilustran algunas líneas de campo eléctrico en un plano que
contiene a) una sola carga positiva; b) dos cargas de igual magnitud, una positiva y
otra negativa (un dipolo); y c) dos cargas positivas iguales. A veces estos diagramas
reciben el nombre de mapas de campo; son secciones transversales de los patrones
reales en tres dimensiones. La dirección del campo eléctrico total en cada punto de
cada diagrama está a lo largo de la tangente a la línea de campo eléctrico
S
que pasa
por el punto. Las flechas indican la dirección del vector del campo E a lo largo de