Integrales Multivariables

Integrales multivariables
Integral de Riemann. (Propiedades)
1. Encuentre el volumen que existe bajo el plano z=4−x− y sobre la región rectangular R:
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 en el plano xy.
2. Calcule para las siguientes funciones y regiones:
❑
∬ f ( x , y ) dA
R
f ( x , y )=100−6 x 2 y y R :0 ≤ x ≤2 ,−1≤ y ≤ 1
x y3
f x, y = 2
( ) y R :0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤ 2
x +1
1
f ( x , y )= y R : 1 ≤ x ≤2 , 1≤ y ≤2
xy
f ( x , y )= y cos xy y R : 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1
3. Determine el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide elíptico
z=10+ x 2 +3 y 2 y abajo por el rectángulo R :0 ≤ x ≤1 , 0 ≤ y ≤ 2.
4. Calcule Usando integrales iteradas, la siguiente integral doble:
❑ 2
∬ xy dx dy
R
R=[−1,1 ] x [1,2]
5. Determine el volumen de la región acotada arriba por el paraboloide z=x 2 + y 2 y abajo
por el cuadrado R :−1≤ x ≤ 1 ,−1 ≤ y ≤1.
Integrales acotadas.
6. Determine el volumen del prisma cuya base es el triángulo en el plano xy acotado por el
eje x y las rectas y=x y x=1, y cuya parte superior está en el plano
z=f ( x , y )=3−x− y
7. Demuestre la existencia y calcule el valor de la siguiente integral doble:
❑
∬ ( x+ 2 y ) dxdy
G
En donde G es la región limitada por la curva y=sin x , la recta y=x y las rectas verticales
x=0 y x=π .
8. Suponga que a, b , c son tres números positivos. Demuestre, usando integración multiple,
que el volumen encerrado por tres planos coordenados y el plano definido por:
bcx +acy + abz=abc es V=abc/6.
9. Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z=x 2 + y 2 y arriba de la
región D en el plano xy acotado por la recta y=2 x y la parábola y=x 2.
Integral triple.
❑
10. Evalúe ∭ zdV , donde E es el tetraedro sólido acotado por los cuatro planos
E
x=0 , y=0 , z=0 y ( x + y + z=1 ) .

❑
2 2
11. Evalué ∭ √ x + z dV , en donde E es la región acotada por el paraboloide y=x 2 + z 2 y
❑
el plano y = 4
12. Encuentre el volumen entre el paraboloide z=x 2 + y 2 y el plano z=1
13. Use una integral triple para hallar el volumen del tetraedro T acotado por los planos
x +2 y + z =2, x=2 y , x=0 y z=0
. Cambio de variable.
14. Usando la fórmula de cambio de variables en coordenadas esféricas, calcule el volumen de

la esfera de radio R. Esto es:
❑
∬ dxdydz , en donde H represent ala esfera sólida de radio R centrada en el origen .

H
15. Use coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido que yace arriba del cono
2 2 2
z=❑√ x2 + y 2 y debajo de la esfera x + y + z =z .
1
16. Demuestre que el volumen de un cono de radio R y altura h es V = πhR , recuerde que
3
h❑ 2 2
la ecuación del cono es de la forma: z=
R
√x +y
17. Sean a y b dos números positivos. Calcule la doble integral:
ln ( x2 + y 2 )
❑
∬ dxdy
H √ x 2+ y 2
❑
donde H esta dado por :{ ( x , y ) : a2 ≤ x 2+ y 2 ≤ b2 ;| y|≤ x }

18. Calcule el volumen del elipsoide
x 2 y 2 z 2
()()()
a
+
b
+
c
≤1
Usando el cambio de variable :

x=aρ sin ϕ cos θ ; y =b ρ sin ϕ sin θ; z =cρ cosϕ
❑
x− y
19. Calcule la integral ∬ dxdy en donde G es el triangulo por las tres rectas siguientes:
G x+ y
x=0 , y=0 , x + y=1
Usando el cambio de variable:
u=x− y ; v=x + y
20. Hallar la masa M de un bloque rectangular R definido por
0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤c
En donde la densidad puntual es δ ( x , y , z )=x + y + z
21. Calcule la masa de un cilindro recto de largo L y radio R dado por las desigualdades
x 2+ y 2 ≤ R2 ; 0 ≤ z ≤ L, si se sabe que la densidad es:
δ ( x , y , z ) = √ x 2+ y 2
22. Hallar las coordenadas del centro de masa del sector esférico ubicado en el primer
octante, determinado por una esfera de radio unitario centrada en el origen del sistema
de coordenadas y con función de densidad puntual δ ( x , y , z )=x 2 + y 2+ z
23. Halle el momento de inercia, expresado en función de la masa de un cilindro de radio R y
altura h, de densidad uniforme, respecto al eje que pasa por el centro del cilindro.
Integrales impropias:
24. Demuestre que la integral:

❑ π
exp ( −x 2− y 2 ) dx dy= ¿
∬ 4
G
¿
en donde G={ ( x , y ) : x ≥ 0 , y ≥ 0 } es todo el primer cuadrante del plano cartesiano.
25. Demuestre que :
∞
∫ exp ⁡(−x 2) dx= √ π /2

0

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Integral de Riemann. (Propiedades)

x=0 , y=0 , z=0 y ( x + y + z=1 ) .

14. Usando la fórmula de cambio de variables en coordenadas esféricas, calcule el volumen de

∬ dxdydz , en donde H represent ala esfera sólida de radio R centrada en el origen .

donde H esta dado por :{ ( x , y ) : a2 ≤ x 2+ y 2 ≤ b2 ;| y|≤ x }

Usando el cambio de variable :

24. Demuestre que la integral:

∫ exp ⁡(−x 2) dx= √ π /2

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