Avenidas Maximas

Hidrología Superficial Unidad 5; Avenidas Máximas
Unidad 5
Avenidas Máximas
Objetivo:
Aplicará los métodos para determinar la avenida máxima en cuencas
hidrológicas
Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 223

Avenidas Máximas
Escurrimiento en cuencas no aforadas.
Métodos empíricos.
Estos métodos arrojan resultados poco confiables, pues proporcionan el
gasto prácticamente con base en las características fisiográficas, por lo que
sólo deben emplearse cuando no se disponga de información sobre las
precipitaciones o los escurrimientos dentro de la cuenca en estudio, o bien para
tener una idea preliminar de los escurrimientos que podrían ocurrir y programar
los trabajos de campo.
De los métodos empíricos existentes, no deben emplearse aquellos en
los que no intervengan aforos de las corrientes o intensidades de precipitación,
ya que éstas tienen amplias variaciones.
Método de Creager
Es el método empírico más comúnmente utilizado y, que se aplica en
cuencas mayores de treinta (30) kilómetros cuadrados.
El Método de Creager se basa en la asociación gráfica de los gastos
máximos por unidad de área con diferentes periodos de retorno, medidos en
cuencas hidrológicas de todo el mundo. Los puntos graficados quedan
comprendidos abajo de una curva envolvente de todos ellos, cuya ecuación es
la siguiente:
q  0.2075CA1.048 -------
Donde:
q  Gasto unitario, [(m³/s) / km²]
A  Área de la cuenca, (km²)
C  Parámetro adimensional que depende de la región
hidrológica en que se encuentre la cuenca en estudio y que
puede obtenerse en la publicación Envolventes de Gastos
Máximos Observados y Probables en la República
Mexicana, que edita la Comisión Nacional del Agua,
dependencia que dividió la República Mexicana en 37
regiones hidrológicas, y utilizando la ecuación de Creager,
elaboró para cada región las curvas envolventes para
períodos de retorno de 5, 10, 20, 50, 100, 1000 y 10 000
años (figura 5.1)
https://www.paratodomexico.com/estados-de-mexico/estado-oaxaca/hidrologia-
oaxaca.html

Para calcular el gasto máximo correspondiente a un periodo de retorno,

se procede como sigue:
1. Con el área de la cuenca (A), en kilómetros cuadrados, se entra en la
gráfica correspondiente a la región hidrológica donde se localice la
cuenca en estudio (figura 5.1), hasta cortar verticalmente la curva
correspondiente al período de retorno ( Tr ) establecido; desde este
punto, trazando una línea horizontal permite determinar el gasto
unitario por unidad de área (q) correspondiente.

Figura 5.1 Curva envolvente región hidrológica No 20
2. Con el gasto unitario obtenido como se describe en la Fracción

anterior y el área de la cuenca, se calcula el gasto máximo para el
periodo de retorno considerado con la siguiente fórmula:

QTr  qA -------
Donde:
QTr  Gasto máximo para el periodo de retorno Tr establecido,
(m³/s)
q  Gasto unitario para el periodo de retorno Tr establecido,
obtenido para la región hidrológica donde se ubique la
cuenca en estudio, [(m³/s)/km²]
Relaciones precipitación - Escurrimiento.
Métodos semiempíricos.
Los métodos semiempíricos se aplican cuando se dispone de
información que caracterice la precipitación, la que relacionada con las
características fisiográficas de la cuenca en estudio, permite calcular la
magnitud de los escurrimientos en el sitio donde se proyecte la nueva
estructura, para los periodos de retorno que se establezcan.
Estos métodos arrojan resultados más confiables que los métodos
empíricos, particularmente si la respuesta de la cuenca a una precipitación es
rápida, deben emplearse siempre que se disponga de información sobre las
precipitaciones dentro de la cuenca en estudio.
Las hipótesis en que se basan los métodos semiempíricos, en general
suponen que la duración de la tormenta coincide con el tiempo de pico del
escurrimiento, que todas las porciones de la cuenca contribuyen a la magnitud
de éste, que la capacidad de infiltración es constante en el tiempo, que la
intensidad de lluvia es uniforme sobre toda la cuenca y que sus antecedentes
de humedad y almacenaje son despreciables.
Estos métodos proporcionan el escurrimiento debido a la precipitación,
por lo que, si la corriente en el cauce es perenne, los gastos máximos que se
determinen con ellos se corrigen adicionándoles el gasto de dicha corriente
(gasto base), para obtener los que han de utilizarse en el diseño hidráulico de
la estructura.
Los métodos semiempíricos más utilizados son:
• Método Racional.
• Método de Horton.
• Método de Chow.
Método Racional.
Este método es aplicable a cuencas con área de hasta veinticinco (25)
kilómetros cuadrados, aunque también se puede aplicar en cuencas hasta de
cien (100) kilómetros cuadrados, considerando que el grado de confiabilidad
disminuye al incrementarse el área.
Para calcular con este método el gasto máximo correspondiente a un
periodo de retorno, se procede como sigue:

1. Con la longitud del cauce principal (L) y la pendiente media del cauce
principal ( SC ), se calcula el tiempo de concentración ( tC ), que es el
tiempo requerido para que el agua escurra desde el punto más lejano
de la cuenca hasta el sitio donde se construirá el puente, mediante la
fórmula de Kirpich:
L0.77
tc  0.0662 -------
SC0.385
Donde:
tC  Tiempo de concentración, (h)
L  Longitud del cauce principal, (km)
SC  Pendiente media del cauce principal, adimensional.
2. Con el tiempo de concentración en horas o transformado a minutos,
según se requiera, y con las curva de intensidad-duración-periodo de
retorno, obtenida como se indicó en la unidad 2 de esta antología,
correspondiente al periodo de retorno establecido, se determina la
intensidad de lluvia en milímetros por hora ( I ).
3. El gasto máximo correspondiente a un periodo de retorno, se calcula
mediante la siguiente expresión:
QTr  0.278 C I A -------
Donde:
QTr  Gasto máximo para el periodo de retorno ( Tr ) establecido,
(m³/s)
I  Intensidad de lluvia para una duración de tormenta igual al
tiempo de concentración tC , para el periodo de retorno Tr
establecido, (mm/h)
C  Coeficiente de escurrimiento de la cuenca en estudio,
adimensional. Es el coeficiente que permite inferir, la
infiltración del agua en el suelo y la relación entre el agua
que escurre y la que se precipita, factores que determinan el
escurrimiento en el cauce principal debido a la precipitación
sobre la cuenca. Este coeficiente está determinado por las
condiciones de la superficie de la cuenca, dadas por la
geología, el tipo y el uso del suelo, el tipo y densidad de la
vegetación, y la existencia de cuerpos de agua, naturales o
construidos por el hombre.
Forma de determinar el coeficiente de escurrimiento de la cuenca

Utilizando la información contenida en el estudio geológico, con apoyo

en las fotografías aéreas y en las cartas topográficas, geológicas, edafológicas
y de uso del suelo, y con base en los datos recabados durante el
reconocimiento de campo, se determina el coeficiente de escurrimiento de la
cuenca, definido por las condiciones de su superficie de la cuenca, de la
siguiente manera:
1. Mediante el análisis de las cartas geológicas, edafológicas y de uso
del suelo, se identifican y dibujan en las cartas topográficas, las zonas
que representen las distintas condiciones de la superficie de la
cuenca, cuidando que cada una tenga características uniformes de
topografía, geología, tipo y uso del suelo, estado de humedad del
suelo, así como tipo y densidad de la vegetación, ya que dichas
características representan condiciones particulares de infiltración y
escurrimiento. Cada una de las zonas se identifica mediante números
progresivos (Z1, Z2, etc.).
2. Con un planímetro o, de preferencia, con el programa Auto Cad, se
determinan las áreas ( Ai ) de las zonas identificadas, expresándolas
en kilómetros cuadrados, revisando que su suma corresponda al área
total de la cuenca ( A ). Para cada zona se calcula la pendiente ( Si ) en
por ciento.
3. Se elabora una relación, con todas las zonas identificadas, indicando
para cada una de ellas, su área ( Ai ), su pendiente ( Si ), su coeficiente
de escurrimiento ( Ci ) y las condiciones de su superficie, describiendo
su geología, tipo y uso del suelo, así como tipo y densidad de la
vegetación y, se determina su coeficiente de escurrimiento ( Ci ),
conforme a las condiciones de su superficie, utilizando la Tabla 5.1.
4. Finalmente, con los datos de la relación, obtenida en el paso 3, se
obtiene el coeficiente de escurrimiento, ponderado o pesado, de la
cuenca ( C ) aplicando la siguiente fórmula:
k
å Ci Ai
-------
C= i= 1
A
Donde:
C  Coeficiente de escurrimiento ponderado de la cuenca,
adimensional
Ci  Coeficiente de escurrimiento de cada zona i, adimensional
Ai  Área de la zona i, (km²)

A  Área total de la cuenca, (km²)
k  Número de zonas “ i ” identificadas

TABLA 5.1. - Coeficientes de escurrimiento (C) para el Método Racional

Coeficiente de
Pendient
Tipo de superficie por drenar escurrimiento (C)
e (%)
Mínimo Máximo
A) Praderas:
1. Suelo arenoso plano <2 0,05 0,10
2. Suelo arenoso medio 2a7 0,10 0,15
3. Suelo arenoso empinado >7 0,15 0,20
4. Suelo arcilloso plano <2 0,13 0,17
5. Suelo arcilloso medio 2a7 0,18 0,22
6. Suelo arcilloso empinado >7 0,25 0,35
B) Zonas pavimentadas:
1. Pavimento asfáltico --- 0,70 0,95
2. Pavimento de concreto
--- 0,80 0,95
hidráulico
3. Pavimento adoquinado --- 0,70 0,85
4. Estacionamientos --- 0,75 0,85
5. Patios de ferrocarril --- 0,20 0,40
C) Zonas residenciales:
1. Unifamiliares --- 0,30 0,50
2. Multifamiliares, espaciados --- 0,40 0,60
3. Multifamiliares, juntos --- 0,60 0,75
4. Suburbanas --- 0,25 0,40
5. Casas habitación --- 0,50 0,70
D) Zonas comerciales:
1. Zona comercial (áreas
--- 0,70 0,95
céntricas)
2. Áreas vecinas --- 0,50 0,70
E) Zonas industriales:
1. Construcciones espaciadas --- 0,50 0,80
2. Construcciones juntas --- 0,60 0,90
F) Campos cultivados --- 0,20 0,40
G) Zonas forestadas --- 0,10 0,30
H) Parques y cementerios --- 0,10 0,25
I) Áreas de recreo y campos de
--- 0,20 0,35
juego
J) Azoteas y techados --- 0,75 0,95

Ejemplo.
Método de Horton.
Este método fue desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército y
Fuerza Aérea de los Estados Unidos, aprovechando las amplias
investigaciones desarrolladas por el investigador R. E. Horton en materia de
escurrimiento superficial.
Este método es aplicable a cuencas planas y de poca pendiente, en las
que el escurrimiento no ha formado cauces y fluye en forma laminar, como
puede ser el proveniente de una ladera o el de la superficie de rodamiento de
una carretera, es aplicable especialmente al diseño de las obras de drenaje del
interior de los aeropuertos, con áreas hasta de uno punto cinco (1.5) kilómetros
cuadrados. En ocasiones se puede utilizar para cuencas más grandes,
considerando que a mayores dimensiones los resultados serán menos
confiables.
1. De acuerdo con las características de la superficie de la cuenca, de la
Tabla 5.2 se determina el coeficiente de retardo ( n`). Si existen varias
zonas con características superficiales diferentes, para cada una de
ellas se determina su coeficiente de retardo( ni ` ), así como su área ( Ai )
y se obtiene el coeficiente de retardo medio de toda la cuenca
aplicando la siguiente fórmula:
k
å ni ,Ai
-------
n, = i= 1
A
Donde:
n ,  Coeficiente de retardo de la cuenca en estudio, adimensional
ni '  Coeficiente de retardo de la zona i , adimensional
Ai  Área de la zona i, (km2)

A  Área total de la cuenca, determinada, (km2)
k  Número de zonas identificadas
TABLA 5.2.- Valores del coeficiente de retardo n’

Superficie n’
Pavimentos 0,01
Suelo desnudo compacto libre
0,10
de piedra
Cubierta de pasto escaso o
superficie descubierta 0,30
moderadamente rugosa
Cubierta normal de pasto 0,40
Cubierta densa de pasto 0,80

2. Con el coeficiente de retardo de la cuenca ( ni ` ) y con base en la

longitud (L) convertida a metros (Longitud efectiva) y la pendiente
media del cauce principal ( SC ), se determina la longitud equivalente
del cauce (L”) como se muestra en la Figura 5.2.
3. Con la longitud equivalente del cauce (L”) se obtiene la duración de la
tormenta que corresponde a la intensidad de lluvia que produce el
gasto máximo, denominada duración crítica ( tC ` ), en minutos, como se
muestra en la Figura 5.3.
4. Con la duración crítica en minutos o transformada a horas y con las
curvas de intensidad-duración-periodo de retorno, obtenidas como se
indica en la unidad 2, se determina la intensidad de lluvia en
milímetros por hora, que se transforma a centímetros por hora.
Efecto de n’ en la duración crítica tc’ Efecto de Sc en la duración crítica tc’
Sc = 0,50
0,20
0, 10
so )
io)
5
0,0
ed
3
den
0,0
m
0,0 2
0,0
o
15
to
st
pa
pas
0, 010
de
de
0,
o b ,5 0
tir) 7
ra
00
es
tu
0
tura
v 5
er
re 00
sin 0,
0
ber
0,6
03
(c
sa
o 0,0
40
( co
rug
25 up. 02
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0, 0,0
,80
s
30 oo
0, l )
=0
a as 01
r iedr 0,0
sto de p
n'
p a lib re
0 ( 0,15 ct o
0,2 c o mpa
lo
(sue
0,10 0,06
0,01 (pavimento liso)
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Longitud efectiva L, (m) Longitud equivalente L”, (m)
FIGURA 5.2.- Gráfica para obtener la longitud equivalente L”
5. En la Tabla 5.3 se determina el coeficiente de infiltración (  ), en

centímetros por hora, de acuerdo con los suelos y las características
de la superficie de la cuenca. Si existen varias zonas con suelos y
características superficiales diferentes, para cada una de ellas se
determina su coeficiente de infiltración ( i ), así como su área ( Ai ) y se
obtiene el coeficiente de infiltración de toda la cuenca aplicando la
siguiente fórmula:

 A i i
-------
 i 1
A
Donde:
  Coeficiente de infiltración de la cuenca en estudio, (cm/h)
i  Coeficiente de infiltración de la zona i, (cm/h)
A  Área total de la cuenca, (km2)
50
40
Duración crítica tc’, (min)
30
20
10
0
0 100 200 300 400 500 600
Longitud equivalente L”, (m)
FIGURA 5.3.- Gráfica para obtener la duración crítica t c’
TABLA 5.3.- Valores del coeficiente de infiltración 

Clasificación Coeficiente
del suelo, de de
Descripción del suelo
acuerdo al infiltración 
SUCS cm/h
GW, GP, SW,

Mezcla de arena y grava 2.0 – 2.5
SP
Grava limosa y arena limosa a limo inorgánico, y GM, SM, ML,

0.8 – 1.5
margas descubiertas MH, OL
Arena limoarcillosa a arcilla arenosa SC, CL 0.5 – 0.8
Arcilla, inorgánica y orgánica CH, OH 0.25 – 0.5
Roca desnuda, no demasiado fracturada --- 0 – 0.25

Los valores del coeficiente de infiltración indicados en la Tabla 5.3, son

para suelos sueltos; para compactos decrecen entre 25 y 75%, dependiendo
del grado de compactación y del tipo de suelo.
El efecto de la vegetación generalmente reduce la capacidad de
infiltración de los suelos gruesos y aumenta la de los arcillosos, debido a que
modifican su permeabilidad. Para superficies cubiertas de pasto comúnmente
se supone una capacidad de infiltración de 1.2 cm/h, aunque en ocasiones se
pueden usar valores hasta del doble de éste.
Para superficies pavimentadas se considera un coeficiente de infiltración
nulo.
Aunque se sabe que la infiltración es variable, ya que depende, entre
otros factores, de la estructura y la humedad del suelo, la cobertura vegetal, la
humedad y la temperatura ambiente, se supone, para fines de cálculo, que es
constante durante la tormenta considerada.
6. Se calcula la intensidad de lluvia en exceso ( Ie ), asociada con la
duración crítica ( tC ' ), con la siguiente fórmula:
Ie = I - f -------
Donde:
Ie = Ie = Intensidad de lluvia en exceso para el periodo de retorno
Tr establecido, (cm/h)
I = Intensidad de lluvia para una duración de tormenta igual a la
duración crítica tc’, para el periodo de retorno Tr establecido,
(cm/h)
f = Coeficiente de infiltración de la cuenca en estudio, (cm/h)
Como se supone que la intensidad de lluvia ( I ) es constante y uniforme
durante la tormenta dentro de la cuenca, se acepta que la intensidad de lluvia
en exceso ( Ie ) también lo es.
7. Se calcula el gasto unitario de la cuenca ( q ), por hectárea, para el
periodo de retorno establecido, mediante la siguiente ecuación
definida por Horton:
é æΙ ö
0,50 ù
q = 0.0275 Ιe tanh2 êê0.3194 tC ' çç e, ÷ ÷
÷ S 0,25 ú
ú -------
çè n L ø C
êë ú
û
Donde:
q  Gasto unitario de la cuenca para el periodo de retorno Tr
establecido, [(m3/s) / ha]
Ie  Intensidad de lluvia en exceso para el periodo de retorno Tr
establecido, (cm/h)
tC '  Duración crítica, (minutos)

n '  Coeficiente de retardo de la cuenca en estudio,

adimensional
L  Longitud del cauce principal, (m)
SC  Pendiente media del cauce principal, adimensional.
8. Con el gasto unitario obtenido como se describe en el Inciso anterior y
el área de la cuenca, se calcula el gasto máximo para el periodo de
retorno considerado con la siguiente fórmula:
QTr = qA -------
Donde:
QTr  Gasto máximo para el periodo de retorno Tr establecido,
(m³/s)
q  Gasto unitario para el periodo de retorno Tr establecido,
[(m3/s) / ha]
A  Área de la cuenca, (ha)
Método de Chow.
Este método, fue deducido con base en los conceptos de hidrogramas
unitarios e hidrogramas unitarios sintéticos, es probablemente el más confiable
de los métodos semiempíricos, por lo que debe aplicarse siempre que sea
posible, particularmente para cuencas hasta de veinticinco (25) kilómetros
cuadrados, aunque también se puede aplicar en cuencas con áreas hasta de
doscientos cincuenta (250) kilómetros cuadrados, considerando que a mayores
dimensiones los resultados serán menos confiables. Para cuencas más
grandes, cuyas corrientes no estén aforadas, es necesario comparar los
resultados que se obtengan con los que se determinen mediante métodos
estadísticos para otra cuenca aforada dentro de la misma región hidrológica.
1. Dependiendo de las características del suelo de la cuenca en estudio,
éste se clasifica dentro de alguno de los siguientes tipos:
Tipo A Suelos con potencial de escurrimiento mínimo. Incluye
gravas y arenas de tamaño medio, limpias y mezclas de
ambas.
Tipo B Suelo con infiltración media inferior a la del tipo A. Incluye
arenas finas, limos orgánicos e inorgánicos, mezclas de
arena y limo.
Tipo C Suelos con infiltración media inferior a la del tipo B.
Comprende arenas muy finas, arcillas de baja plasticidad,
mezclas de arena, limo y arcilla.
Tipo D Suelos con potencial de escurrimiento máximo. Incluye
principalmente arcillas de alta plasticidad, suelos poco
profundos con subhorizontes casi impermeables

2. Según el tipo de suelo, clasificado como se indica en el Inciso anterior,

y de acuerdo con las características de la superficie de la cuenca, en
la Tabla 5.4, se determina su número de escurrimiento.
Si existen varias zonas con suelos de tipos diferentes, para cada una de
ellas se determina su número de escurrimiento ( i ), así como su área ( Ai ) y se
obtiene el número de escurrimiento de toda la cuenca aplicando la siguiente
fórmula:
k
 A i i
-------
 i 1
A
Donde:
  Número de escurrimiento de la cuenca en estudio,
adimensional
i  Número de escurrimiento de la zona i, adimensional
A  Área total de la cuenca, (km2)
Los resultados que se obtienen mediante el Método de Chow, son muy

sensibles a la variación del número de escurrimiento, por lo que su
determinación ha de hacerse cuidadosamente.
TABLA 5.4.- Selección del número de escurrimiento 

Tipo de suelo
Uso de la tierra Condición de la
o cobertura superficie A B C D
Ralo, baja transpiración 45 66 77 83
Bosques sembrados Normal, transpiración
36 60 73 79
y cultivados media
Espeso o alta transpiración 25 55 70 77
De tierra 72 82 87 89
Caminos
De superficie dura 72 84 90 92
Muy ralo o baja
56 75 86 91
transpiración
Ralo, baja transpiración 46 68 78 84
Normal, transpiración
Bosques naturales 36 60 70 76
media
Espeso o alta transpiración 26 52 62 69
Muy espeso o alta
transpiración
15 44 54 61
Descanso (sin
cultivo)
Surcos rectos 77 86 91 94
Surcos rectos 70 80 87 90
Cultivos de surco Surcos en curvas de nivel 67 77 83 87
Terrazas 64 73 79 82
Cereales Surcos rectos 64 76 84 88
Surcos en curvas de nivel 62 74 82 85

Terrazas 60 71 79 82
Leguminosas Surcos rectos 62 75 83 87
(sembradas con Surcos en curvas de nivel 60 72 81 84
maquinaria al voleo)
o potrero de rotación Terrazas 57 70 78 82
Pobre 68 79 86 89
Normal 49 69 79 84
Bueno 39 61 74 80
Pastizal
Curvas de nivel, pobre 47 67 81 88
Curvas de nivel, normal 25 59 75 83
Curvas de nivel, bueno 6 35 70 79
Potrero (permanente) Normal 30 58 71 78
Superficie
100 100 100 100
impermeable

3. Con una duración de la tormenta ( t ), seleccionada arbitrariamente, en

minutos o en horas, según se requiera, se entra verticalmente en las
curvas de intensidad-duración-periodo de retorno, obtenidas como se
indica en la unidad 2, hasta la curva correspondiente al periodo de
retorno requerido de diseño.
4. Se calcula la altura de precipitación ( P ) correspondiente a la
intensidad de lluvia determinada como se indica en el Inciso anterior,
multiplicando ésta por la duración de la tormenta seleccionada y se
transforma a centímetros.
5. Con el número de escurrimiento (  ) y la altura de precipitación ( P ), se
determina la precipitación en exceso ( Pe ) con la siguiente fórmula:
2
é 508 ù
êP - + 5,08ú
ê h úû
Pe = ë -------
2,032
P+ - 20,32
h
Donde:
Pe  Precipitación en exceso para la duración de tormenta
seleccionada y el periodo de retorno establecido, (cm)
P  Altura de precipitación para la duración de tormenta
  Número de escurrimiento de la cuenca en estudio,
adimensional.
6. Con base en la precipitación en exceso ( Pe ) y la duración de la
tormenta ( t ) seleccionada, se determina el factor de escurrimiento ( X
), en centímetros por hora, con la siguiente ecuación
Pe
X= -------
t
Donde:
X  Factor de escurrimiento, (cm/h).
Pe  Precipitación en exceso para la duración de tormenta
t  Duración de la tormenta seleccionada, (h)
7. Con la longitud del cauce principal ( L ) convertida a metros y su
pendiente media ( SC ) expresada en por ciento, se calcula el tiempo de
retraso ( t r tr), mediante la siguiente:
0.64
æ L ÷ ö
t r = 0.00505 çç ÷ -------
çè Sc ÷
ø
Donde:

t r  Tiempo de retraso, (h)

L  Longitud del cauce principal, (m)
SC  Pendiente media del cauce principal, (%)
8. Se calcula la relación entre la duración de la tormenta seleccionada y
el tiempo de retraso ( t t r ) , y con ayuda de la siguiente ecuación, se
determina el factor de reducción del pico ( Z ), adimensional.
4 3 2
t  t  t  t 
Z  0.0512   - 0.1421  - 0.0822    0.827   - 0.0027 ----
 tr   tr   tr   tr 
æt ö÷
Valida para valores: 0.05 £ ççç ÷ ÷£ 2
èt r ø÷
9. El gasto que producirá la precipitación con la duración de la tormenta
seleccionada, para el periodo de retorno establecido, se calcula con la
siguiente fórmula:
Q  2.78 AXZ -------
Donde:
Q  Gasto para la duración de la tormenta seleccionada y el
periodo de retorno establecido, (m³/s)
A  Área de la cuenca, (km2)
X  Factor de escurrimiento, (cm/h)
Z  Factor de reducción del pico, adimensional
10. Se repite el procedimiento indicado desde los Incisos 4 al 10,
proponiendo otras duraciones ( t ) de tormenta con el periodo de
retorno ( Tr ) establecido.
11. Se selecciona como gasto máximo ( QTr ), el gasto que resulte mayor
de todos los calculados para ese periodo de retorno.
12. Para cuencas con áreas mayores de 250 km², cuyas corrientes no
estén aforadas, es necesario comparar el gasto máximo ( QTr ) que se
obtenga con este método para un determinado periodo de retorno, con
el gasto (. QTr ' .) , este gasto se calcula a partir del que se obtenga
aplicando un método estadístico para otra cuenca cercana, aforada y
ubicada dentro de la misma región hidrológica, para el mismo periodo
de retorno, con la siguiente fórmula:
3
, Ah æ ö4
çç Sc ÷
QTr = QTrb ´ ÷ -------
Ab hb ççèScb ø÷
÷
Donde:

QTr ,  Gasto máximo de la cuenca en estudio, inferido a partir de

otra cuenca cercana aforada dentro de la misma región
hidrológica, para el periodo de retorno Tr establecido, (m³/s)
QTrb  Gasto máximo de la cuenca aforada, para el periodo de
retorno Tr establecido, (m³/s)
A  Área de la cuenca en estudio, (km2)
Ab  Área de la cuenca aforada, (km2)
 Número de escurrimiento de la cuenca en estudio,
adimensional
b  Número de escurrimiento de la cuenca aforada,
adimensional
Sc  Pendiente media del cauce principal de la cuenca en
estudio, (%)
Scb  Pendiente media del cauce principal de la cuenca aforada,
(%)
Escurrimiento en cuencas aforadas.

MÉTODOS ESTADÍSTICOS
Los métodos estadísticos se aplican cuando se dispone de los gastos
máximos anuales medidos en las estaciones hidrométricas instaladas en la
corriente en estudio o en corrientes vecinas de características fisiográficas
semejantes y son los más confiables para determinar la magnitud de los
escurrimientos en el sitio donde se proyecte la nueva estructura, de acuerdo
con los periodos de retorno que se establezcan, por lo que deben utilizarse
siempre que sea posible.
Con los registros de los gastos máximos anuales aforados en las
estaciones hidrométricas existentes sobre el cauce principal de la cuenca en
estudio, se analizan estadísticamente, ajustando una función de distribución de
probabilidad a dichos gastos, para caracterizar el escurrimiento y determinar
los gastos que se utilizarán en el diseño hidráulico de la estructura, según los
periodos de retorno que se establezcan.
Los métodos estadísticos que comúnmente se utilizan son el de Gumbel,
Gumbel I, Log Gumbel, Log Gumbel I, Normal, Doble Normal, Log Normal, Log
Normal 3 Parámetros, Pearson y Gamma, entre otros.
Para que un método estadístico se considere aplicable basta que su
distribución de probabilidad muestre cierta concordancia con los datos que se
procesen. Así el método que dará mejores resultados será aquel cuya
distribución de probabilidades se ajuste más a los gastos máximos anuales
registrados.

Prácticamente en todos los métodos estadísticos mencionados se sigue

el mismo procedimiento de cálculo, sin embargo, el más frecuentemente
utilizado es el de Gumbel, que a manera de ejemplo se describe a
continuación:
Método de Gumbel
Nota.
Antes de proceder a la aplicación del método estadístico y con el
propósito de seleccionar los datos que sean útiles, se determina si durante el
lapso que abarca el registro de gastos aforados en una estación hidrométrica,
se realizaron obras en la cuenca que hayan provocado cambios en sus
características hidrológicas, como por ejemplo, la construcción de alguna
presa, en cuyo caso sólo pueden usarse los datos obtenidos a partir del
momento en que la última obra construida haya entrado en operación normal.
Los datos útiles han de ser ordenados como sigue:
1. Para cada año de registro se selecciona el mayor de los gastos
medidos, que corresponde al gasto máximo anual de ese año,
elaborando una relación como la ejemplificada en la Tabla 5.5.
TABLA 5.5.- Ejemplo de registro de gastos máximos anuales
Gasto máximo
Año anual
Q, (m³/s)
1967 4 000
1968 5 100
1969 3 270
1970 2 860
1971 2 660
1972 4 400
1973 3 690
1974 3 120
1975 3 460
1976 2 570
1977 2 760
1978 2 990

2. Los gastos máximos seleccionados como se indica en el Párrafo

anterior, se ordenan de mayor a menor, asignándoles un número de
orden, como se muestra en la Tabla 5.6 y se calcula para cada uno su
periodo de retorno (Tr) en años, mediante la ecuación que propone
Weibull, siguiente:
N 1
Tr  -------
j
Donde:
Tr = Periodo de retorno, (años)
N = Número total de años de registro
j= Número de orden de los datos de gastos máximos anuales
TABLA 5.6.- Ejemplo de ordenación de gastos máximos anuales
Gasto
Número Periodo
máximo
de orden de retorno
anual
j Tr, (años)
Q, (m³/s)
1 5 100 13,00
2 4 400 6,50
3 4 000 4,33
4 3 690 3,25
5 3 460 2,60
6 3 270 2,17
7 3 120 1,86
8 2 990 1,63
9 2 860 1,44
10 2 760 1,30
11 2 660 1,18
12 2 570 1,08

3. Para ajustar la función de distribución de probabilidad de los gastos

máximos anuales, ordenados como se indica en el Inciso anterior, el
Método de Gumbel se basa en la siguiente función:
Q a

p  q  Q  F  Q   e e c -------
En la cual:
Q  Variable aleatoria que representa el gasto (buscado).
q  Valores de los gastos máximos anuales.
e  Base de los logaritmos naturales.
a y c  Parámetros.
Por otra parte, si un evento hidrológico igual o mayor que q ocurre en
T años, la probabilidad p  q  Q es igual a 1 en T casos, o sea:
1
p  q  Q  -------
T
La probabilidad de que q sea menor o igual que Q es el complemento
de la anterior, o sea:
p  q  Q  1  p  q  Q -------
Entonces:
1
p  q  Q  1  -------
T
Substituyendo esta ecuación en la ecuación en la (5.19), se obtiene:
Q a
1 
1   e e c -------
T
Sacando logaritmo, tenemos:
Q a
 1 
ln  1    e c -------
 T
Nuevamente obtenemos el logaritmo de esta última ecuación, pero
como no existen logaritmos de números negativos, primero
multiplicamos ambos miembros por -1, tenemos:
Q+a
 1 -
c -------
-ln 1 -  = e
 T
Aplicando la ley de los logaritmos:

-1
  Q+a
 1  1  -
ln 1 -  = ln 
1 = e c -------
 T 1 - 
 T 
Efectuando operaciones:
    Q+a
 1   1   T  -
c
ln   = ln  T +1  = ln  = e -------
1  T +1 
1 -   
 T   T 
Simplificando:
Q+a
 T  -
c -------
ln  = e
 T +1 
Ahora, sí, obtenemos nuevamente su logaritmo:
  T  Q + a
ln ln   = - -------
  T +1   c
De la que despejamos (Q), obteniendo la ecuación:
  Tr  
Q  a  cln  ln   -------
  Tr  1  
Donde:
Q  Gasto máximo para el periodo de retorno Tr, (m³/s)
Tr  Periodo de retorno, (años)
ln = Logaritmo natural (base e)
a y c son parámetros de la función de distribución, que se
determinan como sigue:
a = YN c - Q -------
σQ
c= -------
σN
Donde:
Q  Promedio de los gastos máximos anuales, (m³/s)
σQ = Desviación estándar de los gastos máximos anuales, (m³/s)
YN y  N son funciones del tamaño de la muestra, es decir, del

número total de años de registro N y se obtienen de la Tabla
6.7.
Sustituyendo los parámetros a y c, ecuaciones (5.31) y (5.32) en la
ecuación (5.30) y llamando Qmax a Q se determina la ecuación
correspondiente al gasto máximo en términos del periodo de retorno:

Q  Tr
Qmax = -YN +Q - Q lnln -------
N N Tr -1
O bien
Q  Tr 
Qmax = Q  YN  lnln  -------
N  Tr -1 
Con esta ecuación se calculan los gastos máximos para los periodos
de retorno que se establezcan.
En la que:
N
Q i
-------
Q i 1
N
N
Q
2
i
2
 NQ
-------
Q  i 1
N 1
4. Para calcular el intervalo de confianza, es decir, aquel dentro del cual
puede variar el gasto máximo para un determinado periodo de retorno
con una determinada probabilidad., dependiendo del número total de
años de registro, primero se determina el parámetro  como sigue:
1
  1 -------
Tr
Donde:
Tr = Periodo de retorno, (años)
Si 0.2    0.8, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:
Q
Q   N m -------
N N
Si   0.9, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:
1.14 Q
Q   -------
N
Donde:
Q = Intervalo de confianza, (m³/s)
Q = Desviación estándar de los gastos máximos anuales, (m³/s)
N = Número total de años de registro

N y N m son funciones del tamaño de la muestra, es decir,
del número total de años de registro N y del parámetro ,
respectivamente. Se obtienen de las Tablas 5.7 y 5.8 de
este Manual.

Si 0.80 <  < 0.90, el intervalo de confianza se considera de

transición y se determina interpolando entre los valores calculados
con las dos fórmulas anteriores. Para valores de  menores de 0.2, el
intervalo de confianza es despreciable.
5. Los gastos máximos para los periodos de retorno que se establezcan,
se ajustan considerando sus correspondientes intervalos de confianza,
para obtener los gastos que han de utilizarse en el análisis hidrológico
de la estructura, aplicando la siguiente fórmula:
QTr  Qmax  Q -------
Donde:
QTr  Gasto máximo ajustado para el periodo de retorno Tr
establecido, (m³/s)
Qmax  Gasto máximo para el periodo de retorno Tr establecido,
calculado según el método estadístico seleccionado, (m³/s)
Q  Intervalo de confianza para el periodo de retorno Tr, (m³/s)

TABLA 5.7.- Valores de YN y N para diferentes tamaños de muestras
N YN N N YN N N YN N
8 0,48430 0,90430 36 0,54100 1,13130 68 0,55430 1,28340
9 0,49020 0,92880 37 0,54180 1,13391 70 0,55477 1,18536
10 0,49520 0,94970 38 0,54240 1,13630 72 0,55520 1,18730
11 0,49960 0,96760 39 0,54300 1,13880 74 0,55570 1,18900
12 0,50350 0,98330 40 0,54362 1,14132 76 0,55610 1,19060
13 0,50700 0,99720 41 0,54420 1,14360 78 0,55650 1,19230
14 0,51000 1,00950 42 0,54480 1,14580 80 0,55688 1,19382
15 0,51280 1,02057 43 0,54530 1,14800 82 0,55720 1,19530
16 0,51570 1,03160 44 0,54580 1,14990 84 0,55760 1,19670
17 0,51810 1,04110 45 0,54630 1,15185 86 0,55800 1,19800
18 0,52020 1,04930 46 0,54680 1,15380 88 0,55830 1,19940
19 0,52200 1,05660 47 0,54730 1,15570 90 0,55860 1,20073
20 0,52355 1,10628 48 0,54770 1,15740 92 0,55890 1,20200
21 0,52520 1,06960 49 0,54810 1,15900 94 0,55920 1,20320
22 0,52680 1,07540 50 0,54854 1,16066 96 0,55950 1,20440
23 0,52830 1,08110 51 0,54890 1,16230 98 0,55980 1,20550
24 0,52960 1,08640 52 0,54930 1,16380 100 0,56002 1,20649
25 0,53086 1,09145 53 0,54970 1,16530 150 0,56461 1,22534
26 0,53200 1,09610 54 0,55010 1,16670 200 0,56715 1,23598
27 0,53320 1,00400 55 0,55040 1,16810 250 0,56878 1,24292
28 0,53430 1,10470 56 0,55080 1,16960 300 0,56993 1,24786
29 0,53530 1,10860 57 0,55110 1,17080 400 0,57144 1,25450
30 0,53622 1,11238 58 0,55150 1,17210 500 0,57240 1,25880
31 0,53710 1,11590 59 0,55180 1,17340 750 0,57577 1,26506
32 0,53800 1,11930 60 0,55208 1,17467 100 0,57450 1,26851
000
33 0,53880 1,12260 62 0,55270 1,17700  0,57722 1,28255
34 0,53960 1,12550 64 0,55330 1,17930 --- --- ---
35 0,54034 1,12847 66 0,55380 1,18140 --- --- ---
TABLA 5.8.- Valores de N m para diferentes valores de 
 N m  N m  N m
0,01 2,1607 0,35 1,2981 0,75 2,0069

0,02 1,7894 0,40 1,3366 0,80 2,2408
0,05 1,4550 0,45 1,3845 0,85 2,5849
0,10 1,3028 0,50 1,4427 0,90 3,1639
0,15 1,2548 0,55 1,5113 0,95 4,4721
0,20 1,2427 0,60 1,5984 0,98 7,0710
0,25 1,2494 0,65 1,7034 0,99 10,0000
0,30 1,2687 0,70 1,8355 --- ---

Método de Nash.
La curva de distribución de probabilidades utilizada por Nash es la
misma del método de Gumbel, expuesto en el método anterior, pero ajustada
con mínimos cuadrados en vez de por momentos.
Partiendo de la ecuación (B):
Q a
1 
1   10 10 c -------
T
Tomando 2 veces logaritmos (decimal) en ambos miembros, de igual
forma que en el método de Gumbel, y despejando Q tenemos la ecuación
(5.42):
  Tr  
Q  a  c log  log   --------
  Tr  1  
Si en esta ecuación se hace las siguientes sustituciones:
a  a0
c  c 0
Q  Qmax
Se obtiene la expresión de Nash.
  Tr  
Q  a0  c0 log  log   -------
  Tr  1  
Donde:
Qmax  Gasto máximo para un periodo de retorno determinado,
en m³/s.
a0 y c0  Parámetros que son función del registro de gastos
máximos.
Tr  Periodo de retorno en años.
Los parámetros a0 y c0 se valúan, con base en los registros, en la forma

siguiente:
a0  Q  c0 x -------
N
xQ i i  N xQ
c0  i 1
N -------
x
2
2
i  Nx
i 1
Siendo:
 T 
xi  loglog  i  -------
 Ti  1 

Donde:
N  Número de años de registro.
Qi  Gastos máximos anuales registrados, en m³/s.
N
Q i
Gasto medio en m³/s.
Q i 1

N
xi  Constante para cada gasto Qi registrado, función de su
correspondiente periodo de retorno Ti calculado con la
ecuación de Weibull.
N 1
Ti  -------
mi
mi  Rango o lugar de posición del gasto máximo anual Qi al
ordenarlos de mayor a menor.
N
x i
Valor medio de las constantes xi .
x i 1

N
El intervalo de confianza dentro del cual varía el Qmax calculado con la
ecuación (5.43), se obtiene con la siguiente ecuación:
Sqq  2
Sxq 
  1 1
2
Q  2  xx  qq
S   -------
N 2  N  1 N  2 Sxx  Sxx 
2
N
 N 
Sxx  N  xi2    xi  -------
i 1  i 1 
2
N
 N 
Sqq  N  Q    Qi 
i
2
-------
i 1  i 1 
N
 N  N 
Sxq  N  Qi xi    Qi   xi  -------
i 1  i 1  i 1 
En la ecuación (5.48) se ve que Q varía solamente con x, la cual se
calcula con la ecuación (5.46) y con el periodo de retorno Ti para el cuál se
calculó el Qmax .
El gasto de diseño, de igual forma que en el método de Gumbel, queda
comprendido entre:
Q  Qmax  Q -------
Q  Qmax  Q -------

Método de Lebediev.
Lebediev consideró una distribución del tipo III de Pearson, ajustada con
base en experiencias obtenidas en ríos soviéticos.
El gasto máximo probable para un período de retorno determinado se
obtiene con la ecuación siguiente:
Qmax  Q  KCV  1 -------
En la que Q es el gasto medio y se obtiene con la ecuación,

suficientemente conocida, siguiente:
N
Q i
-------
Q i 1
N
Y CV es el coeficiente de variación, adimensional, que se obtiene con la
siguiente ecuación:
2
N
 Qi 
   1
i 1  Q   Q -------
CV 
N Q
K  Coeficiente adimensional que depende de la probabilidad P
expresada en porcentaje de que se presente el gasto
correspondiente al período de retorno de que se trate y del
coeficiente de asimetría CS y que se obtiene de las tablas
5.9.
Qi  Gastos máximos anuales observados, en m³/s.
N  Número de años de observación.
P  Probabilidad de que se presente la avenida correspondiente
al período de retorno de que se trate en un año en
particular, expresada en porcentaje; se calcula con la
ecuación:
1
P  100 -------
Tr
En esta ecuación Tr es el período de retorno correspondiente al gasto

de diseño, en años.
CS  Coeficiente de asimetría, adimensional; cuando el número
de años de registro es mayor de 40, este coeficiente se
determina con la ecuación:
3
N
 Qi 
   1
Q ------
CS  i 1  3 
NCV

En caso de que el número de años de observación sea menor que 40,

se recomienda calcular además los valores siguientes:
CS  2CV Para avenidas producidas por deshielo.
CS  3CV Para avenidas producidas por tormentas.
CS  5CV Para avenidas producidas por tormentas ciclónicas.
El valor de CS así obtenido se compara con el obtenido con la ecuación

y se escoge el mayor.
El intervalo de confianza en este método se calcula con la ecuación:
AEr Qmax
Q   -------
N
En la cual:
Q  Intervalo de confianza, en m³/s.
A Coeficiente adimensional que varia de 0.7 a 1.5,
dependiendo del número de años de registro. Cuantos más
años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Sí
N es mayor de 40 años, se toma el valor de 0.7.
Er  Coeficiente adimensional que depende de los valores de CV y de la
probabilidad P. se encuentra en forma grafica en la figura 5.4.
El gasto de diseño, de igual forma que en los métodos de Gumbel y
Nash, queda comprendido entre:
Q  Qmax  Q -------
Q  Qmax  Q -------





Hidrograma unitario
Tomando como base la teoría del hidrograma unitario se puede
relacionar la precipitación con el escurrimiento, teniendo en cuenta su
distribución respecto al tiempo.
El hidrograma unitario de una cuenca se define como el hidrograma del
escurrimiento directo resultante de un centímetro de lluvia en exceso, generada
uniformemente sobre la superficie de la cuenca, con una intensidad también
uniforme durante la duración de la lluvia en exceso.
De
hpe = 1 cm
tr
Gasto por altura de precipitación
qp
tp
Tb
Tiempo
Figura 5.5 Hidrograma Unitario
La teoría del hidrograma unitario se basa en las siguientes suposiciones:

a. La lluvia en exceso esta distribuida uniformemente en toda su
duración efectiva.
b. La lluvia en exceso esta distribuida uniformemente en toda el área
de la cuenca.
c. El tiempo base de duración del hidrograma del escurrimiento
directo debido a una lluvia en exceso de duración dada es
constante.
d. Las ordenadas de los hidrogramas de escurrimiento directo de un
tiempo base común son directamente proporcionales a la
cantidad total de escurrimiento directo representado por cada
hidrograma.

e. Para una cuenca dada, en la forma de su hidrograma unitario se

integran todas las características físicas de la misma.
En condiciones naturales, dichas suposiciones no se satisfacen en forma
perfecta. Sin embargo, cuando la información hidrológica que va a utilizarse se
selecciona cuidadosamente de tal manera que llegue a cumplir de forma
aproximada dichas suposiciones, los resultados obtenidos por el método del
hidrograma unitario generalmente son aceptables para propósitos prácticos
(Heerdegen, 1974).
A pesar de que el método fue desarrollado originalmente para cuencas
grandes, se ha encontrado que puede aplicarse a cuencas pequeñas desde
menos de 0.5 hectáreas hasta 25 km².
En algunos casos no puede usarse el modelo debido a que una o más
de las suposiciones no son satisfechas ni siquiera en forma aproximada. Por
ejemplo, se considera que el modelo es inaplicable al escurrimiento originado
por nieve o deshielo.
Con relación con la suposición a). Las tormentas seleccionadas para el
análisis deben ser de corta duración, debido a que es más probable que éstas
produzcan una tasa de exceso de lluvia intensa y aproximadamente
constantes, arrojando un hidrograma bien definido, con pico único y de tiempo
base corto.
Con relación a la suposición b). El hidrograma unitario puede volverse
inaplicable cuando el área de la cuenca es demasiado grande para ser cubierta
por una lluvia distribuida aproximadamente en forma uniforme. En tales casos,
el área debe dividirse y cada subárea analizarse para tormentas que cubran
toda la subárea.
Con relación a la suposición c). El tiempo base del hidrograma de
escurrimiento directo es generalmente incierto, pero depende del método de
separación del escurrimiento base (véase unidad 3). Usualmente el tiempo
base es corto si se considera que el escurrimiento directo solamente incluye el
escurrimiento superficial, pero es largo si el escurrimiento directo también
incluye el escurrimiento subsuperficial.
Con relación a la suposición d). Los principios de superposición y
proporcionalidad se suponen válidos, de tal manera que las ordenadas del H.U.
pueden obtenerse como a continuación se indica:
Si disponemos del hidrograma unitario para una cuenca determinada,
podemos construir el hidrograma producido por cualquier precipitación. Por
ejemplo, si llueve 2 cm, durante una duración en exceso  De  igual al del
hidrograma unitario, bastará multiplicar por 2 las ordenadas de todos los puntos
del hidrograma unitario (Figura 5.6).

hpe = 1 cm
2 cm
hpe = 1 cm
De
Q(1 cm)
Q(1 cm)
Tiempo
Figura 5.6. – hidrograma para una lluvia en exceso de 2 cm.
Análogamente, si disponemos del hidrograma unitario de esa cuenca y

llueve 1 cm. durante una duración en exceso igual a 2 veces la duración en
exceso del hidrograma unitario de la cuenca, bastará dibujar dos hidrogramas
unitarios desplazados  De  en sentido horizontal y sumar las ordenadas de sus
puntos (Figura 5.7).
2 De
hpe = 1 cm
De De
D
C
AD  AB  AC
A
De
Tiempo
Figura 5.7

El hidrograma resultante es solamente una aproximación, que es

suficiente en muchos casos prácticos.
Con relación a la suposición e). El hidrograma unitario se considera
único para una cuenca dada e invariable con respecto al tiempo. Este es el
principio de invarianza temporal, el cual, junto con los principio de
superposición y proporcionalidad es fundamental para el modelo del
hidrograma unitario. Los hidrogramas unitarios se aplican solamente cuando
las condiciones del cauce permanecen sin cambio y las cuencas no tienen
almacenamientos apreciables. Esta condición se viola cuando el área de la
cuenca contiene muchos embalses, o cuando las crecientes fluyen por
planicies de inundación, produciendo almacenamiento considerable.
Obtención del hidrograma unitario.

Con base en lo anterior, para calcular el hidrograma unitario de una
tormenta aislada, se hace lo siguiente:
1. Se separa del hidrograma de la tormenta, el escurrimiento base y el
escurrimiento directo (unidad 3).
Q (m³/s)
B
C
Escurrimiento
directo D
A E
Escurrimiento base
F G t
Figura 5.8. – Separación de los escurrimientos; base y directo.
2. Se calcula el volumen del escurrimiento directo.
Q (m³/s)
Qi Qi+1
D
A
t

n
D  t  Qi  t  Q1  Q2  Q3      Qn 1  Qn  ------- (5.62)
i 1
Se calcula la lluvia en exceso, dividiendo el volumen de escurrimiento

directo entre el área de la cuenca.
D
hPe  ------- (5.63)
A
Las ordenadas del hidrograma unitario  qi  , se obtienen dividiendo las
ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo  Qi  por la atura de lluvia
en exceso  hPe  .
Qi
qi  ------- (5.64)
hPe
3. Para calcular la duración efectiva de la lluvia en exceso  De  que

produjo el escurrimiento directo para el cuál se calculó el hidrograma
unitario, se debe conocer el hietograma de las precipitaciones medias
de esa tormenta y el índice de infiltración (unidad 3).
El hidrograma unitario así deducido solo servirá para tormentas que
tengan la misma duración en exceso.
Cuando se necesite determinar el hidrograma unitario para del
escurrimiento directo para una tormenta con duración en exceso, diferente de
la que produjo el hidrograma unitario disponible, deberá ajustarse el
hidrograma unitario mediante el método de la curva S.
Curva S.
Cuando se encuentra disponible un hidrograma unitario para un exceso
de lluvia dado, pueden deducirse los hidrogramas unitarios para otras
duraciones. Si las otras duraciones son múltiplos enteros de la duración dada,
el nuevo hidrograma unitario puede calcularse fácilmente aplicando los
principios de superposición y proporcionalidad. Sin embargo, puede utilizarse
un método general de deducción aplicable a hidrogramas unitarios de cualquier
duración requerida, con base en el principio de superposición. Este es el
método del hidrograma o curva S.
El hidrograma o curva S teórico es aquel que resulta de un exceso de
lluvia continuo a una tasa constante de 1 cm durante un periodo indefinido. La
curva adopta una forma de S deformada y sus ordenadas finalmente se
aproximan a la tasa de exceso de lluvia en el tiempo de equilibrio.
El hidrograma o curva S se obtiene desplazando, en el sentido positivo
de las ábsidas, el hidrograma unitario, una distancia igual a la duración de la
lluvia en exceso  De  de la cual es producto, tal como se indica en la figura
siguiente.

Hidrigrama o curva S
Lluvia unitaria continua con duración infinita como una secuencia de pulso
hpe=1 cm
De
Gasto Q (m³/s)
De De De De De De De De De
Tiempo horas
Figura 5.9. - Desplazamiento del hidrograma unitario, una distancia igual a

 De 
Aplicando el principio de superposición se suman los qi ,
correspondientes a los H.U. que se superponen y coinciden con el valor de la
ábsida, la suma de estos qi , da por resultado la ordenada de la curva S
correspondiente a esa ábsida, como se indica en la figura siguiente:
Hidrigrama o curva S
Lluvia unitaria continua con duración infinita como una secuencia de pulso
hpe=1 cm
De
Gasto Q (m³/s)
De De De De De De De De De
Tiempo horas
Figura 5.10. – Curva S

Teóricamente, el hidrograma o curva S obtenido de esta manera debería

ser una curva suave, debido a que se supone que el exceso de precipitación de
entrada tiene una intensidad constante y continua. Sin embargo, el proceso de
suma producirá una línea ondulada, si existen errores en el calculo del índice
de infiltración o en la separación del escurrimiento base y directo, o si la
duración real del exceso de lluvia no es la duración deducida para el
hidrograma unitario. Una duración que produce ondulaciones mínimas puede
encontrarse mediante el proceso de prueba y error.
Una vez que el hidrograma o curva S ha sido construido, el hidrograma
unitario para una duración requerida, puede deducirse como sigue:
Se avanza, o compensa, la posición de la curva S un periodo igual a la
duración requerida  Dr  y se llama a este hidrograma S, el hidrograma S
compensado o curva S compensada.
Hidrigrama o curva S compensada
hpe=1 cm
Dr
Gasto Q (m³/s)
Dr
Tiempo horas
Figura 5.11
La diferencia entre las ordenadas de la curva S original y la curva S

compensada (figura 5.12), multiplicadas por el factor f  De Dr (duración de la
lluvia en exceso del H.U. original entre la duración en exceso del H.U.
requerido).
qir  f  Sio  Sir  ------- (5.65)
Donde:
qir  Ordenada del hidrograma unitario para la duración requerida  Dr  ,
correspondiente al tiempo t i .
f  Factor de ajuste e igual a f  De Dr .
Sio  Ordenada de la curva S original correspondiente al tiempo t i .
Sir  Ordenada de la curva S compensada correspondiente al tiempo t i .

Hidrigrama o curva S compensada
hpe=1 cm
Dr
Gasto Q (m³/s)
Dr
Tiempo horas
Figura 5.12. – El área sombreada corresponde a diferencia entre las ordenadas

de la curva S original y la curva S compensada
hpe=1 cm
Hidrograma unitario de duración Dr

Gasto Q (m³/s)
Dr
qir  f  Sio  Sir 
Tiempo horas
Figura 5.13

HIDROGRAMA UNITARIO SINTÉTICO

El hidrograma unitario desarrollado a partir de la información de lluvia y
de caudal en una cuenca se aplica solamente para la cuenca y para el punto de
la corriente donde se midió la información de caudales. Los procedimientos de
hidrograma unitario sintético se utilizan para desarrollar hidrogramas unitarios
para otros puntos en la corriente dentro de la misma cuenca o para cuencas
adyacentes de carácter similar.
Existen tres tipos de hidrogramas unitarios sintéticos:
1) aquellos que relacionan las características del hidrograma (gasto de
pico, flujo base, etc.) con las características de la cuenca (Snyder, 1938; Gray,
1961).
2) aquellos basados en hidrogramas unitarios adimensionales (Soil
Conservation Service, 1912), y
3) aquellos basados en modelos de almacenamiento en la cuenca
(Clark, 1943).
Los tipos 1) y 2) se describen aquí y el tipo 3) en el capítulo 8.
Hidrograma unitario sintético de Snyder

En un estudio de cuencas localizadas principalmente en los montes
Apalaches de los Estados Unidos y con tamaños que variaban desde cerca de
30 a 30,000 km², Snyder (1938) encontró relaciones sintéticas para algunas
características de un hidrograma unitario estándar (véase la figura 5.14.a).
Algunas relaciones del mismo tipo fueron encontradas más tarde (U.S.
Army Corps of Engineers, 1959). Estas relaciones, en una forma modificada,
están dadas más adelante.
tr tR
Caudal por unidad de área
tp tpR
qp qpR
W75
W50
tb
Tiempo Tiempo
a) b)
Figura 5.14. – Hidrograma sintetico de Snyder a) Hidrograma unitario estándar

( t p  5.5tc ), b) hidrograma unitario requerido.

A partir de las relaciones, pueden calcularse cinco características de un

hidrograma unitario requerido (véase la figura 5.14.b) para una duración de
exceso de lluvia dada: el caudal pico por unidad de área de la cuenca q pR , al  
retardo de cuenca,  t pR  (diferencia de tiempo entre el centroide del
hietograma de exceso de lluvia y el pico del hidrograma unitario), el tiempo
base  t b  , y los anchos  W  (en unidades de tiempo) del hidrograma unitario al
50 y 75 % del caudal pico.
Utilizando estas características puede dibujarse el hidrograma unitario
requerido. Las variables se ilustran en la figura 5.66.
Snyder definió el hidrograma unitario estándar como aquel cuya duración
de lluvia  t r  , está relacionada con el retardo de cuenca t p por  
t p  5.5 tr ------- (5.66)
Para un hidrograma unitario estándar encontró que:
1. El retardo de cuenca es
t p  C1Ct  LLC 
0.3
------- (5.67)
Donde: t p  está en horas,  L  es la longitud de la corriente principal en

kilómetros (o millas) desde la salida de la cuenca hasta la divisoria de aguas
arriba,  LC  es la distancia en kilómetros (o millas) desde la salida de la cuenca
hasta el punto de la corriente más cercano al centroide del área de la cuenca,
C1  0.75 (1.0 para el sistema inglés de unidades) y Ct , es un coeficiente
basado en cuencas instrumentadas en la misma región.
2. El caudal pico por unidad de área de drenaje en m³/s.km² (cfs/mi²) del
hidrograma unitario estándar es
C2Cp
qp  ------- (5.68)
tp
Donde C2  2.75 (640 para el sistema inglés de unidades) y Cp es un

coeficiente basado en cuencas instrumentadas en la misma región.
Para calcular Ct y Cp , de una cuenca instrumentada, los valores de  L 
y  LC  , Se miden utilizando un mapa de la cuenca. A partir de un hidrograma
unitario deducido en la cuenca se obtienen los valores de su duración efectiva
 
 tr  en horas, su tiempo de retardo en la cuenca t pR en horas y su caudal
pico por unidad de área de drenaje, q pR   en m³/s.km².cm (cfs/mi².pulg para el
sistema inglés de unidades). Si t pR  5.5 tR , entonces tR  tr , t pR  t p y,
q pR  q p y Ct y Cp se calculan utilizando las ecuaciones (5.66) y (5.68). Si t pR
es muy diferente de 5.5 tR , el retardo de cuenca estándar es

t r  tR
t p  t pR  ------- (5.69)
4
y las ecuaciones (5.66) y (5.69) se resuelven simultáneamente para
encontrar
t r y t p . Luego se calculan los valores de Ct y Cp , de (5.67) y (5.68) con
q pR  q p y t pR  t p .
Cuando una cuenca no instrumentada parece ser similar a una cuenca

instrumentada, los coeficientes Ct y Cp , para la cuenca instrumentada pueden
utilizarse en las ecuaciones anteriores para deducir el hidrograma unitario
sintético requerido para la cuenca no instrumentada.
3. La relación entre q p y el caudal pico por unidad de área de drenaje
qpR del hidrograma unitario requerido es
q pt p
q pR  ------- (5.70)
t pR
4. El tiempo base tb , en horas del hidrograma unitario puede

determinarse utilizando el hecho de que el área bajo el hidrograma unitario es
equivalente a un escurrimiento directo de 1 cm (1 pulg en el sistema inglés de
unidades). Suponiendo una forma triangular para el hidrograma unitario, el
tiempo base se puede estimar por
C3
tb  ------- (5.71)
q pR
Donde C3  5.56 (1290 para el sistema ingles de unidades).

5. El ancho en horas de un hidrograma unitario a un caudal igual a cierto
porcentaje del caudal pico qpR está dado por
1.08
W  CW q pR ------- (5.72)
Donde CW  1.22 (440 para el sistema ingles de unidades) para un

ancho del 75% y 2.14 (770 pura el sistema ingles de unidades) para un ancho
de 50%.
Usualmente un tercio de este ancho se distribuye antes del .momento en
que ocurre el pico del hidrograma unitario y dos tercios después de dicho pico.
Ejemplo 1
Utilizando el mapa de una cuenca dada, se miden las siguientes
cantidades: L  150 km , LC  75 km y área de drenaje = 3500 km². A partir del
hidrograma unitario deducido para la cuenca, se determina lo siguiente:
tR  12 h , t pR  34 h y caudal pico de 157.5 m³/s.cm. Determine los Ct y Cp
para el hidrograma unitario sintético de la cuenca.
Solución.

De la información dada
t pR  5.5 tR  5.5  12  66 h
Lo cual es bastante diferente de t pR  34 h

De la ecuación (5.69)
t r  tR
t p  t pR 
4
Sustituyendo valores
t r  12
t p  34  ------- (5.73)
4
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 5.66 y 5.73
tr  12
t p  5.5 t r  34 
4
Despejando t r
tr
5.5 t r  34  3
4
tr
5.5 t r   34  3
4
tr  5.5  0.25   31
tr  5.25   31
31
tr   5.9
5.25
 t r  5.9 h
Y
t p  5.5 t r  5.5  5.9  32.45 h
 t p  32.45 h
Ahora calculamos, con la ecuación 5.67, Ct
t p  C1Ct  LLC 
0.3
Despejando Ct
tp
Ct 
C1  LLC 
0.3
Sustituyendo valores y, recordando que C1  0.75

32.45
Ct   2.64
0.75  150  75 
0.3
 Ct  2.64
El caudal pico por unidad de área es:
qp 157.5 3
q pR    0.045 m 2
A 3500 s  km  cm
Finalmente, el coeficiente Cp , lo calculamos con la ecuación 5.68
C2Cp
qp 
tp
Despejando Cp
q pt p
Cp 
C2
Sustituyendo valores y, recordando que C2  2.75

q pt p 0.045  32.45
Cp    0.53
C2 2.75
 Cp  0.53
Ejemplo 2
Calcule el hidrograma unitario sintético de seis horas para una cuenca
que tiene un área de drenaje de 2500 km² con L  100 km y LC  50 km . Esta
cuenca es una subárea de drenaje de la cuenca del ejemplo anterior.
Solución
Los valores Ct  2.64 y Cp  0.53 determinados en el ejemplo anterior,
también pueden utilizarse para esta cuenca. Luego la ecuación 5.67 tenemos
que:
t p  C1Ct  LLC   0.75Ct  LLC 

0.3 0.3
t p  0.75Ct  LLC   0.75  2.64  100  50 

0.3 0.3
 25.49 h
 t p  25.49 h
Y de la ecuación 1 despejamos t r
t p  5.5 tr
tp
tr 
5.5

25.49
tr   4.63 h
5.5
t r  4.63 h
Ahora, con estos valores calculados, para un hidrograma de tR  6 h y

despejando t pR de la ecuación 5.69, tenemos
t r  tR
t pR  t p 
4
Sustituyendo valores t p  25.49 h , t r  4.63 h y tR  6 h
4.63  6
t pR  25.49   25.83 h
4
 t pR  25.83 h
Con la ecuación 5.68 calculamos el gasto pico

C2Cp 2.75Cp
qp  
tp tp
Sustituyendo valores Cp  0.53 y t p  25.49 h

2.75  0.53 3 2
qp   0.057 m s  km  cm
25.49
3 2
 q p  0.057 m s  km  cm
Con la ecuación 5.70, sustituyendo los valores:

3 2
q p  0.057 m s  km  cm , t p  25.49 h y t pR  25.83 h
q pt p 0.057  25.49
q pR    0.056
t pR 25.83
3 2
 q pR  0.056 m s  km  cm
Multiplicando este último valor por el área de la cuenca tenemos que el

gasto de pico del hidrograma unitario es:
3 2 2
q p  q pR A  0.056 m s  km  cm  2500 km  141.066
3
 q p  141.066 m s  cm
La ecuación 5.72 calculamos los anchos del hidrograma al 75% con y

50% del q p
1.08 1.08
Para 75% CW  1.27 W75  1.27q pR  1.27  0.056  28.1 h

1.08 1.08
Para 50% CW  2.14 W50  2.14q pR  2.14  0.056  47.36 h
Ahora, el tiempo base lo determinamos con la ecuación 5.71 y con

C3  5.56
C3
tb 
q pR
5.56
tb   99.28 h
0.056
 t b  99.28 h
Finalmente, con los valores calculados, dibujamos el hidrograma unitario
para la duración requerida de 6 horas.
Hidrograma unitario triangular

Mockus desarrolló un hidrograma unitario sintético de forma triangular,
como se muestra en la figura 5.15.
de
1 mm
tpR
hpe
mm
qp
tp
tb
Figura 5.15. - Hidrograma unitario sintético (forma Triangular).
De la geometría del hidrograma unitario, se escribe el gasto de pico

como:
0.555 A
qp  ------- (5.74)
tb
Donde:

A  Área de la cuenca en km2²,

t p  Tiempo de pico en h y
q p  Gasto de pico en m³/s/mm.
Del análisis de varios hidrogramas, Mockus concluye que el tiempo base

 tb   
y el tiempo de pico t p se relacionan mediante la expresión:
tb  2.67t p ------- (5.75)

A su vez, el tiempo de pico se expresa como
de
tp   tr ------- (5.76)
2
Donde:
de  Duración en exceso y
tr  Tiempo de retraso.
El tiempo de retraso se estima mediante el tiempo de concentración  tc 

(véase tiempo de concentración) como
tr  0.6 tc ------- (5.77)
O bien con la ecuación
0.64
 L 
tr  0.005   ------- (5.78)
 S
Donde:
L  Longitud del cauce principal en m.
S  Pendiente del cauce en % y
tr  Tiempo de retraso en h.
Además, la duración en exceso con la que se tiene mayor gasto de pico,
a falta de mejores datos, se puede calcular aproximadamente como:
Para cuencas grandes
de  2 tc ------- (5.79)
Para cuencas pequeñas
de  tc ------- (5.80)
Todos los tiempos y la duración en exceso en las fórmulas 5.75 a 5.80,
están en horas.
Sustituyendo 5.75 en 5.74 se obtiene:
0.208 A
qp  ------- (5.81)
tp

Bibliografía
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Faculta de Ingenieria UNAM.
2. Springal Galindo, Rolando. Escurrimiento en cuencas pequeñas,
Faculta de Ingenieria UNAM.
3. Chow, Ven Te, Maidment David R. y Mays Larry W. (1994).,
Hidrológica aplicada., Editorial Mc Graw Hill.
4. Linsley, Kohler y Paulus. (1988)., Hidrológica para ingenieros,
2ª. Edición, Editorial Mc Graw Hill..
5. Aparicio Mijares, Francisco Javier.(2001), Fundamentos de
hidrológica de superficie., 10ª reimpresión. Editorial Limusa
Noriega Editores.
6. Monsalve, Sáenz, Germán (1999), Hidrológica en la ingeniería,
2ª. Edición. Editorial Alfa Omega
7. REVISTAS DE INGENIERÍA HIDRÁULICA EN MÉXICO.
8. Notas del Seminario de Drenaje, parte I, Hidrología, Tema 4.-
Métodos hidrológicos para previsión de escurrimientos.,
Ponentes: Ing. Ramón Domínguez, Ing. Francisco Jiménez
Zúñiga e Ing. Osain Dabián Rojas.
9. Manual de la Secretaría de Comunicaciones y transporte: Nnorma
M-PRY-CAR-1-06-003/00

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Hidrología Superficial Unidad 5; Avenidas Máximas

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 223

Escurrimiento en cuencas no aforadas.

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 224

Para calcular el gasto máximo correspondiente a un periodo de retorno,

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 225

Figura 5.1 Curva envolvente región hidrológica No 20

2. Con el gasto unitario obtenido como se describe en la Fracción

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 226

Relaciones precipitación - Escurrimiento.

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 227

Forma de determinar el coeficiente de escurrimiento de la cuenca

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 228

Utilizando la información contenida en el estudio geológico, con apoyo

Ai  Área de la zona i, (km²)

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 229

TABLA 5.1. - Coeficientes de escurrimiento (C) para el Método Racional

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 230

Ai  Área de la zona i, (km2)

TABLA 5.2.- Valores del coeficiente de retardo n’

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 231

2. Con el coeficiente de retardo de la cuenca ( ni ` ) y con base en la

FIGURA 5.2.- Gráfica para obtener la longitud equivalente L”

5. En la Tabla 5.3 se determina el coeficiente de infiltración (  ), en

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 232

FIGURA 5.3.- Gráfica para obtener la duración crítica t c’

TABLA 5.3.- Valores del coeficiente de infiltración 

GW, GP, SW,

Grava limosa y arena limosa a limo inorgánico, y GM, SM, ML,

Arena limoarcillosa a arcilla arenosa SC, CL 0.5 – 0.8

Arcilla, inorgánica y orgánica CH, OH 0.25 – 0.5

Roca desnuda, no demasiado fracturada --- 0 – 0.25

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 233

Los valores del coeficiente de infiltración indicados en la Tabla 5.3, son

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 234

n '  Coeficiente de retardo de la cuenca en estudio,

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 235

2. Según el tipo de suelo, clasificado como se indica en el Inciso anterior,

Los resultados que se obtienen mediante el Método de Chow, son muy

TABLA 5.4.- Selección del número de escurrimiento 

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 236

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 237

3. Con una duración de la tormenta ( t ), seleccionada arbitrariamente, en

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 238

t r  Tiempo de retraso, (h)

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 239

QTr ,  Gasto máximo de la cuenca en estudio, inferido a partir de

Escurrimiento en cuencas aforadas.

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 240

Prácticamente en todos los métodos estadísticos mencionados se sigue

TABLA 5.5.- Ejemplo de registro de gastos máximos anuales

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 241

2. Los gastos máximos seleccionados como se indica en el Párrafo

TABLA 5.6.- Ejemplo de ordenación de gastos máximos anuales

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 242

3. Para ajustar la función de distribución de probabilidad de los gastos

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 243

YN y  N son funciones del tamaño de la muestra, es decir, del

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 244