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    Seminario de Álgebra - Miscelanea de Problemas

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    Este documento presenta 10 problemas de álgebra que incluyen ecuaciones cúbicas, complejas, fraccionarias e inecuaciones. Los problemas requieren calcular valores, conjuntos solución, raíces y áreas.

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    P

    ÁLGEBRA
    G R U PO D E EST U D IO S SEMINARIO:
    MISCELÁNEA DE PROBLEMAS

    1. Calcule el valor de √𝑛 si se sabe que


    (1 + 𝑖 )3 + (1 + 𝑖 2 )3 + (1 + 𝑖 3 )3 + ⋯ + A) 0 B) 1 C) 2
    +(1 + 𝑖 4𝑛 )3 = 1024 D) 3 E) −3

    A) 256 B) 8 C) 16 6. Si 𝐴 = {𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 } es el conjunto formado por


    D) 32 E) 64 las raíces reales de la ecuación
    2𝑥 5 − 7𝑥 4 + 6𝑥 3 − 6𝑥 2 + 7𝑥 − 2 = 0
    2. Siendo 𝑧1 y 𝑧2 dos números complejos tal que halle el valor de 𝑥1 𝑥2 𝑥3 .
    |𝑧1| = |𝑧2 | = √5; halle el valor de 𝑀.
    |𝑧1 + 𝑧2 |2 − 10 A) −1 B) −1/2 C) 1/2
    𝑀=
    Re(𝑧1 ⋅ 𝑧̅2 ) D) 1 E) 0

    A) 1 B) 2 C) 3 7. Indique el mínimo grado posible del polinomio


    D) 4 E) 5 𝑃(𝑥) con coeficientes racionales tal que 𝑥1 =
    1 − √2 es una raíz simple, 𝑥2 = 2 + 𝑖 es una
    3. Calcule el área de la región que generan todos
    raíz de multiplicidad 4, 𝑥3 = √4 + √12 es una
    los números complejos 𝑧 que satisfacen la raíz de multiplicidad 2.
    desigualdad
    3 ≤ |𝑧 − 1 + 𝑖 | ≤ 6 A) 11 B) 14 C) 16
    D) 17 E) 18
    A) 9𝜋 𝑢2 B) 27𝜋 𝑢2 C) 36𝜋 𝑢2
    D) 207𝜋 𝑢2 E) 3𝜋 𝑢2 8. Halle el conjunto solución de la siguiente
    ecuación fraccionaria.
    4. Sean 𝑥1 y 𝑥2 las raíces de la ecuación (𝑥 − 5)(𝑥 + 3) (𝑥 − 2)(𝑥 − 10) 8
    𝑥 2 − (𝑛2 − 2)𝑥 + 𝑛2 − 2 = 0, 𝑛 ∈ ℝ + =
    3(𝑥 − 6)(𝑥 + 4) 5(𝑥 − 7)(𝑥 − 5) 15
    halle el número de valores de 𝑛 si se sabe que
    1 1 59 31 1
    + = 𝑥1 𝑥2 A) {10} B) { 5 } C) {4}
    𝑥1 𝑥2
    D) {5; 7} E) 𝜙
    A) 0 B) 1 C) 2
    D) 3 E) 4 9. Dados los conjuntos
    𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 4 ↔ 𝑥 > 1}
    5. Dada la ecuación cúbica 𝑥 3 + 𝑥 − 100 = 0 𝑥2
    𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ / ( ) ∈ 𝐴}
    cuyo conjunto solución es CS = {𝛼; 𝛽; 𝜃 }, 9
    determine el valor de la expresión 𝐽. halle el cardinal del conjunto 𝐵.
    (𝛼 − 𝛽)2 (𝜃 − 𝛼)2
    𝐽= + +
    𝛼𝛽(𝜃 2 − 4𝛼𝛽) 𝛼𝜃(𝛽2 − 4𝛼𝜃) A) 0 B) 2 C) 3
    (𝛽 − 𝜃)2 D) 4 E) 6
    +
    𝛽𝜃(𝛼 2 − 4𝛽𝜃)

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    GRUPO DE ESTUDIO PLÉYADES ÁLGEBRA: MISCELÁNEA DE PROBLEMAS

    10. Dada la expresión matemática A) 〈−∞; −1〉 B) ⟨1; 3]


    𝑥 3 − 3𝑥 2 − 16𝑥 + 6 C) [−2; 1⟩
    𝑓(𝑥) =
    𝑥+3 D) ⟨−∞; 2] E) ⟨2; 3]
    Encuentre el intervalo en el que se
    encuentra si se sabe que 𝑥 ∈ ⟨−3; 8]. 15. Calcule el valor de (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) si se sabe
    que el conjunto solución de la inecuación
    A) ⟨−7; 29] B) [−7; 29⟩ C) [0; 36⟩ √log 2(3𝑥 − 1) < 1 es de la forma
    D) ⟨−6; 29] E) [log 𝑎 𝑏; 𝑐 ⟩.
    [−7; 28]
    A) 1 B) 2 C) 6
    11. Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales positivos. Halle el D) 3 E) 10
    máximo valor de la siguiente expresión.
    𝑎 𝑏 𝑐
    2
    + 2 + 2
    𝑎 +2 𝑏 +2 𝑐 +2

    A) 1/3 B) 1 C) 3√2/4
    D) 1/2 E) 3/2

    12. Determine los valores enteros de 𝑚 para el cual


    la ecuación 𝑥 2 + (𝑚 − 2)𝑥 = 𝑚 + 9 posee una
    de sus raíces en el intervalo 〈−∞; −3〉 y la otra
    en el intervalo 〈2; +∞〉.

    A) {2; 3; 4; 5; 6,7; 8}
    B) {3; 4; 5; 6,7; 8}
    C) {4; 5; 6,7; 8}
    D) {2; 3; 4; 5; 6; 7}
    E) {2; 3; 4; 5; 6}

    13. Determine el equivalente del conjunto 𝑀.


    𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 4 + 𝑎2
    𝑀 = {𝑥 ∈ ℝ / ≤ 0; 𝑎 ∈ ℝ}
    (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

    A) ⟨−1; 3] B) ⟨−1; 4]
    C) 〈−1; 1〉
    D) 〈−1; 3〉 E) 〈−∞; −1〉 ∪ 〈3; +∞〉

    14. Halle un intervalo solución de la siguiente


    inecuación fraccionaria.
    (𝑥 − 3)5 (𝑥 − 2)3 (𝑥 2 + 𝑥 − 2)
    ≤0
    (𝑥 − 1)(𝑥 2 − 3𝑥 + 2)

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