UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

ESCUELA DE CONTADURÍA PÚBLICA Y AUDITORÍA
JORNADA FIN DE SEMANA
SEMINARIO DE INTEGRACIÓN PROFESIONAL
LICENCIADO DELFIDO EDUARDO MORALES GABRIEL
SALÓN 105, EDIFICIO S-6

ANUALIDADES VARIABLES

GRUPO 17

GUATEMALA, FEBRERO DE 2021

 Listado de integrantes del equipo de trabajo

No. Carné Nombre

1 201214870 Miriam Nohemí Avila Franco
2 201405458 Pedro Daniel Méndez Set
3 201605178 Mildred Elisa Yoc Patzan
4 201605216 Mishell Estefany Sis Gutierrez
5 201605800 Jennifer Consuelo de Paz Barrios
6 201606411 Irma Yolanda Velásquez Muñoz
7 201606436 René Enrique Yancor Ovalle
8 201612779 Alan Alberto García Yool

Coordinadora: Jennifer Consuelo de Paz Barrios

 ÍNDICE

INTRODUCCIÓN i

CAPÍTULO I

ANUALIDADES

1.1.Concepto de anualidad 1

1.1.1. Tipos de anualidades 3

1.2.Qué es una fecha de vencimiento 6

1.3.Preguntas que usted debería hacerle a su agente o a la compañía de seguros 6

1.4.Aporte en el caso de las anualidades 7

1.5.Otras definiciones importantes 8

1.5.1.Intervalo o período de pago 8

1.5.2.Plazo de la anualidad 8

1.5.3.Renta 8

CAPÍTULO II

ANUALIDADES VARIABLES

2.1 Principales aplicaciones de las anualidades 9

2.2 Épocas de valuación de las anualidades 9

2.3 Objeto de cálculo de las anualidades 11

2.4 Elementos que conforman las anualidades 11

2.5 Anualidades a plazo indefinido 11

2.5.1 Rentas perpetuas 11

2.5.2 Costo capitalizado 11

2.5.3 Costos equivalentes 12

2.5.4 Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo 12

2.6 Anualidades contingentes o eventuales 12

2.6.1 Rentas vitalicias 12

2.6.2 Dote pura 12

2.6.3 Seguros de vida 13

2.7 Renta Variable 13

2.7.1 Anualidades variables irregulares 13

2.7.2 Anualidades variables regulares 13

2.7.3 Clasificación de las anualidades variables regulares 13

2.7.4 Anualidades variables regulares en progresión aritmética 14

2.7.5 Anualidades variables regulares en progresión geométrica 14

CAPITULO III

CASOS PRÁCTICOS DE ANUALIDADES

3.1. Caso No. 1 15

3.2. Caso No. 2 17

3.3. Caso No. 3 20

3.4. Caso No. 4 22

3.5. Caso No. 5 24

3.6. Anualidades 25

3.6.1. Determinación del monto cada k años 26

3.6.2. Determinación del monto de una anualidad variable menor o = a 1 año 26

3.6.3. Determinación de valor actual de una anualidad menor o = a 1 año 27

3.6.4. Determinación de valor actual de una anualidad menor o = a 1 año 27

CONCLUSIONES 32

RECOMENDACIONES 33

BIBLIOGRAFÍA 34
 INTRODUCCIÓN
El mundo financiero derivado de que es parte de la Actividad Económica reviste
singular importancia ya que en ese ámbito se desarrollan la mayor cantidad de
transacciones que pueden afectar las condiciones tanto microeconómicas como
macroeconómicas.

Ejemplo de ello son los pasados acontecimientos Financiero que se desarrollaron en

el Mercado Estadounidense mismo que se originó por la sobrevaloración de Hipotecas,
así como las desapariciones de empresa destinadas a garantizar de los Fondos de
Pensiones.

Es por ello que la Matemática Financiera debe de estar a la vanguardia de este mundo
cambiante, generando no solo procedimientos matemáticos empíricos si no bien tratar
de adecuarlos a la realidad y las premisas que se originen del estudio puedan ser
aplicables a cualquier económica por pequeña que esta sea.

En el trabajo que a continuación se desarrolla se tratan tópicos relevantes, pero no por

ello definitivos, esto a raíz de que como variables son los mercados y productos
financieros así de cambiantes son los instrumentos matemáticos aplicables a cada
transacción.

i
 CAPÍTULO I

ANUALIDADES
1.1. Concepto de anualidad
Las anualidades son otra opción de ahorros de jubilación que usted debe considerar.
Las anualidades son productos de compañías de seguros que le permiten acumular
ganancias con el aplazamiento del pago de impuestos y luego convierten el valor de
su cuenta en una fuente de ingreso. Usted paga prima, o pagos en efectivo, a la
compañía de seguros, ya sea en una cantidad global o en pagos regulares a lo largo
del tiempo. Generalmente no puede retirar dinero sin pagar una penalidad antes de
cumplir los 59 1/2 años.

Las anualidades están disponibles en muchas variedades. Algunas personas las

utilizan para acumular activos para sus dependientes, pero más frecuentemente se
utilizan para aumentar otros planes de ahorro de jubilación. Otras personas compran
anualidades como fuentes de ingreso inmediato. Se aplica a problemas financieros en
los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempos regulares.

La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo, son anualidades

siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no
(Período menores o mayores a un año). Por ejemplo:

• Una anualidad cuyos pagos periódicos se realizan al final de cada año y de Q.

500.00 cada uno.
- 1 año - - 1 año - - 1 año - - 1 año -

500 500 500 500

• Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 150.00 se realizan al final de cada 6

meses.
- 6 meses - - 6 meses - - 6 meses - - 6 meses -

150 150 150 150

• Una anualidad cuyos pagos periódicos de Q. 2,500.00 se realizan al final de cada 2

 2

años.
- 2 años - - 2 años - - 2 años - - 2 años -

2,500 2,500 2,500 2,500

En todos los casos anteriores se cumplen las condiciones de las anualidades, pagos
de igual valor por períodos regulares, no necesariamente de un año, en los últimos dos
casos.
En algunas ocasiones, se debe tener cuidado de diferenciar más de una anualidad en
una serie de pagos, por ejemplo:
• Dos anualidades en las que los pagos se están haciendo al final de cada 1.5
años, pero sus valores no son los mismos, y entonces hay una anualidad para los
pagos de Q. 800.00 y otra para los pagos de Q. 2,800.00
- 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años - - 1.5 años -

800 800 2,800 2,800

• Dos anualidades en las que todos los pagos son de Q. 800.00 cada uno, pero una
es pagadera cada 6 meses y la otra cada año.
- 6 meses - - 6 meses - - 1 año - - 1 año -

800 800 800 800

800
 3

Aplicaciones típicas:

• Amortización Gradual de préstamos en abonos.

• Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos.
• Constitución de fondos de amortización.

1.1.1. Tipos de anualidades

Existen diversos tipos de anualidades, en los cuales se pueden mencionar los
siguientes:

• Anualidades ordinarias o vencidas

Cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo,
al final del mes.

a) Valuación de Anualidades Ordinarias

(a) Valor futuro de una anualidad ordinaria

Responde a la pregunta: ¿Cuál es el monto o valor futuro de una suma de pagos

iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo?

(b) El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:

R = valor del pago regular.

i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el
plazo completo.

n = número total de intervalos de la operación.

(c) Valor presente de la anualidad.

Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar

a intervalos regulares en el futuro?
 4

La fórmula que responde a la pregunta es:

• Anualidades adelantadas

Cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo, al inicio del mes. Ambos
tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les
llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo
caso se les conoce como anualidades contingentes

Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la

línea del tiempo es:

Pagos de valor

R R R R R R

|________|________|________|__. . .___|________|

| 1 2 3 n-1 n

Inicio z fin

Y para el caso de una anualidad anticipada de n pagos:

Pagos de valor

R R R R R R

|________|________|________|__. . .___|________|

| 1 2 3 n-1 n

• Prima única

Una anualidad que se compra pagando como prima a la compañía de seguros una
única suma global.
 5

• Prima flexible

Una anualidad que se compra pagando varias primas a la compañía de seguros.

• Anualidades inmediatas

Con una anualidad inmediata, usted paga una sola prima y comienza a recibir los
pagos inmediatamente al final de cada período de pago que por lo general es mensual
o anual.

• Anualidades diferidas

En el caso de una anualidad diferida usted debe pagar una o más primas durante lo
que se conoce como un período de acumulación. Las primas que paga y el interés
acreditado sobre las primas van a un fondo denominado fondo de acumulación. Podrá
haber una tasa de interés mínima garantizada con la que su dinero se acumulará a lo
largo del período de acumulación. Los pagos de las anualidades que usted recibe
comienzan a efectuarse en una fecha futura denominada fecha de vencimiento. Usted
recibirá los pagos durante un período denominado período de amortización y no
pagará impuestos a los ingresos sobre los intereses devengados durante el período
de acumulación a menos que usted retire los fondos en su valor en efectivo. Los
impuestos se difieren hasta el período de amortización.

• Anualidades fijas

Una anualidad fija proporciona pagos de ingresos en monto fijo en dólares respaldados
por las garantías del contrato. Usted no puede perder su inversión una vez que los
pagos de los ingresos han comenzado a efectuarse. El monto de esos pagos no
cambiará. Con las anualidades fijas, la compañía asume el riesgo de la inversión.

• Anualidades de pólizas indexadas

Es una anualidad, ya sea inmediata o diferida, que devenga intereses o brinda

beneficios que están relacionados con un índice de valores externo, como el Índice
Compuesto de Precios de Acciones de Standard and Poor's 500. Cuando usted
compra una anualidad de póliza indexada, usted posee un contrato de seguros y no
acciones ni índices.
 6

• Anualidades variables

Las inversiones de anualidades variables son valores que tienden a fluctuar con las
condiciones económicas. El valor de una anualidad variable depende del valor de las
carteras de inversión subyacentes asociadas con la anualidad. El propietario asume el
riesgo de inversión por el precio de los valores. El valor de la anualidad aumentará si
el valor tiene un rendimiento de inversión favorable; mientras que, si el rendimiento de
la inversión es malo, el valor de la anualidad disminuirá. De hecho, usted puede llegar
a perder su inversión. Un producto recibe la clasificación de anualidad variable si el
valor durante el período de acumulación o el período de amortización depende del
precio del valor. Algunas anualidades variables permiten optar por una amortización
variable o una amortización fija.

1.2. Qué es una fecha de vencimiento

La fecha de vencimiento se determina cuando usted compra una anualidad. Es la fecha
en la cual podrá comenzar a recibir pagos de su anualidad. El día de la fecha de
vencimiento se le pedirá que elija una opción de liquidación. La opción de liquidación
determina cómo recibirá los pagos de su anualidad.

1.3. Preguntas que usted debería hacerle a su agente o a la compañía de

seguros
• ¿Qué es la tasa de interés mínima garantizada?
• ¿Se incluyen cargos adicionales en mi prima?
• ¿Se deducen cargos del valor de mi contrato y cuándo?
• ¿Cuáles son los cargos por cancelación o multas si deseo finalizar mi contrato antes
de tiempo y retirar todo mi dinero?
• ¿Durante cuántos años estaré sujeto a cargos por cancelación?
• ¿Puedo realizar un retiro parcial sin tener que pagar cargos o multas ni perder el
interés devengado?
• ¿Estoy exento de los cargos por retiro de mi anualidad si estoy confinado en un
hogar de ancianos o si se me diagnosticó una enfermedad terminal?
• ¿Cuáles son mis opciones de ingreso cuando mi anualidad llega a su fecha de
vencimiento?
 7

• ¿Cuál es el beneficio por mi fallecimiento?

• ¿Puede disminuir el valor de la anualidad o del interés devengado?
• ¿Se incrementa el interés durante el plazo del contrato?
• ¿Cuál es su comisión por este producto?

1.4. Aporte en el caso de las anualidades

El estudio realizado se ha permitido identificar varias necesidades de las empresas en
la consideración de adquirir préstamos para financiamiento de proyectos o para la
ampliación de la cobertura de negocios, consecuentemente se realizan pagos en
períodos menores o iguales al año, también mayores de un año ya sea en progresión
geométrica o aritmética, así como se ha elaborado y presentado en la presente
investigación del informe final. De esta forma las distintas empresas y organizaciones
aplican las anualidades en este tipo de escenarios que se mencionaron anteriormente.

Es por ello se describen a continuación los aportes de la presente investigación:

Una empresa o entidad que maneja anualidades debe de determinar y evaluar con
precisión cuales son los beneficios favorables al momento de adquirir un
financiamiento o crear un fondo de acumulación para futuras amortizaciones o la
realización de rentas.

Para el inversionista es más factible y beneficioso utilizar el interés compuesto que el

interés simple, ya que son varias capitalizaciones en un año al igual que las rentas son
más acumulables

Por tal razón que todas las compañías que manejan las anualidades deben de
apoyarse y asesorarse con expertos en este tema para una mejor toma de decisiones
al momento de adquirir fuetes de financiamiento y por ende efectuar rentas o
amortizaciones.

Al hablar de anualidades se debe de obtener los siguientes elementos fundamentales

para el mejor entendimiento de este tema:

Al efectuar un préstamo en una institución bancaria deben de considerar los siguientes

componentes:
 8

Tasa de Interés (j)

Capitalizaciones (m)

Años o tiempo (n)

Valor Actual (A)

Numero de pagos en el año (p)

Con estos elementos se puede determinar los pagos ya sea mensuales, trimestrales,
semestrales dependiendo la necesidad del caso.

1.5. Otras definiciones importantes

Se definen las siguientes:

1.5.1. Intervalo o período de pago

Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro de la anualidad. Existen anualidades
con períodos de pago iguales a un año, menores de un año y con períodos de pago
mayores a un año.

1.5.2. Plazo de la anualidad

Es el tiempo que transcurre desde el inicio del primer período de pago y el final del
último período de pago de la anualidad.

1.5.3. Renta
Es el pago periódico de la anualidad.
 CAPÍTULO II

ANUALIDADES VARIABLES
2.1 Principales aplicaciones de las anualidades
Las anualidades son utilizadas en distintas operaciones financieras, por ejemplo: los
pagos mensuales de alquiler, arrendamiento financiero, los pagos de sueldos y
salarios, las amortizaciones de las viviendas compradas a plazos, las amortizaciones
de créditos otorgados, las compras al crédito de vehículos mediante amortizaciones
iguales cada cierto tiempo, entre otros.
La palabra anualidad da la idea de períodos anuales; sin embargo, son anualidades
siempre y cuando sean períodos regulares, no importando que sean anuales o no
(Períodos menores o mayores a un año).
2.2 Épocas de valuación de las anualidades
Dependiendo lo que se desea conocer de la anualidad se valúa al inicio o al final del
plazo. Si se desea conocer el valor actual se debe realizar la valuación al inicio del
plazo.
Si lo que se quiere conocer es su monto, la valuación debe realizarse al final de la
serie de pagos. También puede valuarse en períodos intermedios y determinar montos
si se quiere conocer lo acumulado hasta esa fecha o valores actuales si se desea
conocer lo que está pendiente de amortizar a esa fecha. Por ejemplo:

• Cuando la valuación se realiza al inicio y al final de la anualidad.

Valor Actual Monto

Inicio Final
 10

• Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo

acumulado a la fecha de valuación se determina el monto de los pagos
efectuados.

Fecha de Valuación

Inicio Acumulación Parcial

• Cuando la valuación se realiza en períodos intermedios. Si se quiere conocer lo

que está pendiente de amortizar a la fecha de valuación, se determina el valor
actual de los pagos que aún no se han hecho.

Valor Actual

Saldo pendiente de
Final
amortizar
2.3 Objeto de cálculo de las anualidades

Básicamente se utilizan para crear fondos, mediante la acumulación de los pagos y/o
amortizar deudas, mediante los abonos periódicos por valores iguales o cuotas
niveladas.

2.4 Elementos que conforman las anualidades

ELEMENTO SÍMBOLO

Monto S
Valor Actual A
Renta R
Tiempo n
No. de pagos en el año P
Tasa efectiva de interés i
Tasa nominal de interés j
No. de capitalizaciones en el año m
Período de diferimiento y

2.5 Anualidades a plazo indefinido

Estas se clasifican en:

2.5.1 Rentas perpetuas

Es una serie de pagos cuyo plazo es indeterminado o sea que el tiempo es infinito, por
lo tanto, el capital permanece invariable por un tipo infinito y los pagos de renta se
toman de los intereses generados en un determinado tiempo. En este tipo de
anualidades no se puede determinar el monto por desconocerse el tiempo de
finalización de la serie de pagos.
2.5.2 Costo capitalizado

Se le denomina así a la inversión necesaria para adquirir un activo y al mismo tiempo

 12

estar en condición de reemplazarlo cada determinado período de años en forma

indefinida o sea que es igual al costo inicial del activo más el valor actual de infinito
número de renovaciones. Para interpretar los resultados de dos alternativas a elegir
se deberá considerar la que presente el menor costo capitalizado.
2.5.3 Costos equivalentes

Consiste en determinar el precio el precio que se puede pagar por un bien que debe
ser reemplazado cada período de años de manera que dicho desembolso en períodos
infinitamente largos sea equivalente al de otro bien que tenga la misma utilidad, pero
con un costo inicial y de reemplazo diferentes.
2.5.4 Límite de gastos para alargar la vida útil de un activo

Constituye un indicador financiero que determina el límite de gastos que puede

adicionarse para prolongar la vida útil de un activo en comparación con el costo de
preposición de un activo similar cuya vida útil está relacionada con el número de años
que se puede prolongar dicho activo. Es aquella erogación que justificadamente se
puede hacer para prolongar la vida útil de un activo sin alterar su costo capitalizado.
Nos permite determinar financieramente cuándo conviene prolongar la vida de un
activo en vez de sustituirlo.
2.6 Anualidades contingentes o eventuales
Son aquellas cuyo inicio o finalización depende de un suceso cuya realización no
puede fijarse con certeza, como por ejemplo la supervivencia o la muerte de una
persona. Se aplica en las rentas vitalicias y los seguros de vida.
2.6.1 Rentas vitalicias
Serie de pagos que me efectúan durante el tiempo que la persona beneficiaria se
encuentre con vida para recibirlos. Con la muerte del rentista finaliza la obligación de
pagar las rentas.

2.6.2 Dote pura

Toma este nombre una cantidad de dinero que se pagará al cabo de “n” años a una
persona de edad actual “x” a condición, de que esté entonces con vida.
Se trata de un capital cuyo pago es un evento aleatorio porque está condicionado a
 13

que la persona de edad “x” cumpla “x +n” años para recibirlo, por tanto el precio justo
está dado por la esperanza matemática o depósito que el individuo en cuestión debe
efectuar hoy para recibirlo sólo si se encuentra con vida a la edad “x + n”.
2.6.3 Seguros de vida

Los pagos de la prima del seguro se realizan si el asegurado se encuentra con vida
para hacerlos, y al ocurrir su muerte se hace efectivo el pago de la suma asegurada.
2.7 Renta Variable

Es una anualidad, cuya serie de pagos no es constante, diferenciándose los pagos

uno de otro. Las Anualidades Variables, permiten las clasificaciones de “irregulares y
regulares”, con base al comportamiento de la renta.
2.7.1 Anualidades variables irregulares
Son Anualidades en la que la renta no responde a ninguna ley matemática definida.
Son irregulares en cuanto al valor de cada renta, así como al intervalo de tiempo entre
cada pago de renta.

Q.180. Q.145. Q.169. Q.115.

Ejemplo: / / / / /6
meses 1 año 9 meses 2.5 años
2.7.2 Anualidades variables regulares
Son Anualidades en las que el comportamiento de la renta observa consistentemente
leyes matemáticas bien definidas.

Q.100. Q.200. Q.300. Q.400.

Ejemplo: / / / / / 1 año
1 año 1 año 1 año

2.7.3 Clasificación de las anualidades variables regulares

a) Anualidades variables regulares en progresión aritmética.

b) Anualidades variables regulares en progresión geométrica.

 14

Con base al comportamiento de la renta, las Anualidades Variables Regulares, se

clasifican en: crecientes y decrecientes. Significa que los pagos de renta tienden a
aumentar o disminuir.
Dependiendo de la oportunidad del pago de la renta, las Anualidades Variables
Regulares, se clasifican en: vencidas u ordinarias, anticipadas o inmediatas, y diferidas
vencidas o diferidas anticipadas.
2.7.4 Anualidades variables regulares en progresión aritmética
Se les llama así, porque cada pago de renta difiere de su inmediato anterior y posterior
en una cantidad constante, llamada “Diferencia” (d).

4 8 12 16 20
Ejemplo: / / / / / /
Creciente

d= 4

20 16 12 8 4
2.7.5 Anualidades variables regulares en progresión geométrica
Son las anualidades en las que cada renta varía en función de una cifra constante
llamada “Razón” (r); por lo cual cualquier término, excepto el primero, puede obtenerse
multiplicando su inmediato anterior por la cifra constante.
Se clasifican en función del número de pagos de renta y capitalizaciones de la tasa de
interés en el año. Se aplican los cuatro casos conocidos. Atendiendo la oportunidad
del pago de renta, pueden ser vencidas, anticipadas, diferidas vencidas o diferidas
anticipadas. Con base a su comportamiento pueden clasificarse en: crecientes y
decrecientes. Su cálculo se basa en la unidad.

4 8 16 32
Ejemplo: / / / / /
Razón (r ) creciente = 2 > 1
 CAPITULO III

CASOS PRÁCTICOS DE ANUALIDADES

3.1. Caso No. 1
Un padre de familia tiene planificado comprar un inmueble, y para tal efecto aperturó
hace 3 años una cuenta con Q.6,000.00, 6 meses después inició una serie de
depósitos mensuales de Q.2,500.00, el banco aplica una tasa de interés del 8% anual
capitalizable trimestralmente; el inmueble le será entregado dentro de dos años, y debe
tener reunidos para ese momento la cantidad de Q.250,000.00 que es el costo del
inmueble, considerando que ya no efectuará depósito ni retiro alguno, será suficiente
lo que acumulará para el final del plazo, caso contrario, ¿Cuánto tendrá que depositar
el día de hoy para pagar el inmueble dentro de dos años para complementar el valor
requerido?

Respuesta: Q.122, 547.66

Solución caso No. 1

P= 6,000.00

01 02 03 04 05
R=2,500.00 Año Año Año Año
Año

Diferimiento ¿Hoy depósito?

Datos (1)
P= 6,000.00
n= 05
m= 04
j= 0.08
 16

mn
Formula (1) S = P ( 1 + j/m )
S = 6,000.00 ( 1+0.08/4)
S = 6,000.00 (1.48594739)
S = Q.8, 915.68

Nota este monto puede ser por 3 años, y este resultados se suma al monto de la
anualidad y luego se busca el monto por interés compuesto.

Datos (2)
R = 2,500.00
J = 0.08
m = 04
n = 2.5
p = 12

Formula (2)
mn 4(2.5)
( 1 + j/m) -1 m/p ( 1 + 0.08/4) - 1
S= R (1+j/m) S = 2,500.00
m/p 4/12
( 1 + j/m) -1 (1+ 0.08/4)
-1

0.218994419994 4/12
S = 2,500.00 (1+0.08/4) S = 2,500.00
(33.06719704)
0.00662270955
S = Q. 82,667.99 (1.00662270955)
S= Q. Q.83, 215.48

Datos (3)
P = 83,215.48
n = 02
m = 04
j = 0.08

Formula (3)
mn
S = P (1 + j/m) 4(2)
S = 83,215.48 ( 1 + 0.08/4)
S = 97,500.20

Total al final del plazo Q. 97,500.20

+ Q. 8,915.68
 17

Q. 106,415.88
Monto requerido al final del Plazo Q. 250,000.00
Menos Q. 106,415.88

Q.143,584.12

Ahora buscamos un principal tomando como monto Q.143, 584.12

-mn
P = S ( 1 + j/m)

- (4) 2
P = 143,584.12 ( 1+ 0.08/4 )

P = 143,584.12 (0.853490371190 )

P = Q. 122,547.66

El valor que necesita depositar el día de hoy es Q.122, 547.66

3.2. Caso No. 2

Para financiar un proyecto de venta de carros, los propietarios solicitaron un préstamo
en el Banco Reformador. Con las siguientes condiciones de pago:

• Durante los primeros cinco años amortizaciones mensuales de Q.75, 000.00

reconociendo el 18% de interés capitalizable bimestralmente.
• Durante los siguientes 5 años los pagos se harían trimestrales anticipados siendo
el primero de Q. 150,000.00 y los siguientes serán el 115% de su inmediato anterior,
a una tasa del 18% anual con capitalización trimestral.
• Los últimos 5 años con pagos semestrales vencidos siendo el primero de Q.
150,000.00 y cada uno de los restantes disminuirán en Q. 300.00 cada uno,
reconociendo el 18% anual de interés capitalización cada 6 meses.

Se le pide determinar ¿Qué cantidad se puede solicitar en Préstamo?

Respuesta: Q.6, 714,130.04

A
n = 5 años

A n = 5 años
 18

Diferimiento = 5 años
A
n = 5 años

P P A
Diferimiento = 10 años

Datos (1)
J = 0.18
n=5
R = 75,000.00
m=6
p = 12

Formula (1)
-mn
1 – ( 1 + j/m )
A=R
m/p
(1+ j/m) -1

-6(5)
1 – (1 +0.18/6)
A = 75,000.00
6/12
(1+0.18/6) - 1

0.5880132241
A = 75,000.00
0.014889156

A = Q.2, 961,953.86

Datos (2)
n=5
p=4
B = 150,000.00
r = 1.15
j = 0.18
m=4
y = 5 (j = 0.18, m=6)
A=
 19

Formula (2)

np -mn
( (r) (1+j/m) ) -1 m/p -my
A=B ( 1+j/m) (1+j/m)
m/p
r - (1+j/m)

20 -20
(( 1.15) (1.045)) - 1 1 -30
A= 150,000.00 (1.045) (1.03)
1
1.15 – (1.045)

5.786267868
A =150,000.00 (1.045) (0.411986759)
0.105
A= (150,000.00) 55.10731303 (1.045) (0.411986759)
A= 8, 266,096.954 (0.279015016)
A = Q. 3, 558,771.01

Datos (3)
n=5
p=2
B = 150,000.00
d = 300.00
j = 0.18
m=2
y = 10
A=

Formula (03)

a(p) -mn
A= B a(p) - d n j/m - np ( 1+j/m)
n/j(m)
m/p
(1 + j/m) - 1

-mn -2(5)
a (p) 1 – ( 1+j/m) 1 – ( 1+0.18/2)
n/jm = =
m/p 2/2
( 1 + j/m) - 1 ( 1 + 0.18/2) - 1

0.577589193
 20

= 6.4176577
0.09

6.4176577 – 4.224108069
A = 150,000.00 (6.4176577) – 300
0.09
A = 962,648.65 – 300 (24.37277368)
A = 955,336.8179

Formula (4)

-mn
P = S ( 1 + j/m)

- (4) 5
P = 955,336.8179 ( 1+ 0.18/4 )

P = 955,336.8179 ( 0.414642859)

P = Q. 396,123.59
Formula (5)

-mn
P = S ( 1 + j/m)

- (6) 5
P = 396,123.59 (1+ 0.18/6)

P = 396,123.59 (0.414642859)

P = Q. 163,197.67

A1 Q. 2, 961,953.86
A2 Q. 3, 558,771.01
A3 Q. 163,197.67

Q.6, 683,922.54

Se puede solicitar en crédito la cantidad de Q.6,683,922.54

3.3. Caso No. 3

Una persona obtiene un préstamo por la cantidad de Q.50, 000¬.00 a un plazo de 4
años, los primeros tres años no efectuará pago alguno, pero en el resto del plazo
tendrá que efectuar pagos de igual cantidad al final de cada tres meses, se conoce
 21

que la institución de crédito cobra el 16% anual de interés capitalizable cuatro veces
en el año. Determinar por qué cantidad deben realizarse los pagos trimestrales y
presentar el cuadro que muestra el proceso de amortización.

Respuesta: Q.22, 053.42

Solución caso No.3

Determinación de la Renta mensual y el cuadro de amortización.

01 02 03 04
Año Año Año Año

Datos (1)
J = 0.16
m=4
A = 50,000.00
n=3
p=4

mn
S = P ( 1 + j/m )
4(3)
S = 50,000.00 ( 1 + 0.16/m)

S = 50,000.00 (1.60103221856)

S = 80,051.61

Datos (2) Determinación de los pagos mensuales o Rentas

J = 0.16
m=4
A = 50,000.00
n= 1
p= 4

m/p
A ( ( 1+j/m) – 1)
Formula (2) R=
- mn
 22

1 – (1+j/m)
4/4
(( 1+0.16/4) - 1)
R = 80,051.61
- (4)1
1 – ( 1 + 0.16/4)

3,202.0644
R=
(1 – 0.85480419)

3,202.0644
R=
0.14519581

R = 22,053.42151

El valor de cada renta por el resto del periodo a pagar es de Q.22,053.42

Cédula de amortización
Intereses Amortización a
Trimestral Saldo de deuda
0.04 capital
Monto
Q. 80,051.61
deuda

1 22,053.42 Q. 3,202.06 Q. 18,851.36 Q. 61,200.25

2 22,053.42 Q. 2,448.01 Q. 19,605.41 Q. 41,594.84

3 22,053.42 Q. 1,663.79 Q. 20,389.63 Q. 21,205.21

4 22,053.42 Q. 848.21 Q. 21,205.21 0.00

3.4. Caso No. 4

La fábrica de ropa “grupo 02.”, quiere adquirir maquinaria para su Centro de
Producción con precio de contado de Q.250, 000.00; la empresa vendedora le ofrece
la siguiente alternativa de financiamiento: Plazo del crédito 9 años, tasa de interés 12%
 23

anual capitalizable cada trimestre, pagos semestrales, cada uno mayor que su
inmediato anterior en Q.500.00. El primer pago deberá efectuarlo al final del tercer
semestre de formalizada la venta. ¿Cuál será el valor del primer pago?

Respuesta: Q.24, 884.14

Solución caso No. 4

Diferimiento = 1

01 02 03 04
Semestre Semestre Semestre Semestre

01 02
Año Año

Primer pago
Datos 01
A = 250,000.00
n = 9-1= 8
j = 0.12
m=4
p=2
d = 500.00
y=1
B=
Formula (01)

A a(p) - mn
B= - d n j/m - np ( 1+j/m)

-my m/p
( 1+ j/m) (1 + j/m) -1

a (p)
n/jm

-mn -4(8)
 24

a (p) 1 – ( 1+j/m) 1 – ( 1+0.12/4)

n/jm = =
m/p 4/2
( 1 + j/m) - 1 ( 1 + .12/4) - 1

1 – 0.388337034 0.611662965
= = = 10.04372686
1.0609 - 1 0.0609

-my - 4(1)
( 1 + j/m) = ( 1+ 0.12/4 ) = 0.888487047

Aplicación de formula

250,000.00 10.04372686 – 16 ( 0.388337034)

B = - 500
0.888487047 1.0609 - 1

10.04372686
281,377.2028 – 31,447.73657
B=
10.04372686

3.5. Caso No. 5

Un padre de familia iniciará hoy una serie de depósitos semestrales anticipados, cada
uno mayor que su inmediato anterior en un 5%, durante 14 años, en una cuenta
bancaria que reconoce el 12% de interés anual, capitalizable bimestralmente, siendo
el primer depósito de Q4,000.00. Dicho padre de familia tiene un hijo de 24 años de
edad y desea adquirir un seguro de vida entera para su hijo, cuando éste cumpla 38
años, por un valor de Q.500, 000.00. El valor acumulado en la cuenta bancaria
mencionada servirá para cancelar la prima neta única. Se le pide: a) Determinar el
valor que tendrá acumulado en la cuenta cuando el hijo cumpla 38 años; b) el valor de
la prima neta única a cancelar. Utilice la Tabla CSO 1980 al 4%. Cuánto sobrará o
faltará para cancelar la prima.

Anualidad variable en progresión geométrica creciente

Planteamiento del problema
 25

B = 4,000 p=2 r = 1.05 n = 14

j = 0.12 m=6 S=?

Solución caso No. 3

14 * 2 6 * 14 6 /2
S = 4,000 * (1.05) - ( 1 + 0.12/6) * ( 1 + 0.12/6)
6/2
1.05 - (1 + 0.12/6)

S = 4,000 * 3.920129138 – 5.277332137 * 1.061208

• - 1.062108

S = 4, 000 * - 1.357202999 * 1.061208

- 0.011208

S = 4, 000 * 121.0923447 * 1.061208

S = 514,016.66

Seguro de vida entera

Planteamiento del problema

A38 = ? x = 38 K = 500,000

Solución

A38 = 5787.3600 * 500,000

21239.4306

A38 = 0.27248188 * 500,000

A38 = 136,240.94

Respuesta

Monto acumulado Renta Q 514,016.66

Prima neta Única Seguro de Vida Q 136,240.94
Sobrante Q 377,775.72

3.6. Anualidades
Problema no. 1.
 26

Una empresa necesita se le indique que cantidad de dinero podrá acumular, si el día
de hoy inicia una serie de 5 depósitos cada 18 meses por valor de Q 5,000.00, y luego
realizara 10 depósitos al inicio de cada semestre siendo el primero por valor del Q
10,000.00, y cada uno de los siguientes del 90% respecto de su anterior, el banco
donde realizara los depósitos le ofrece pagar un rendimiento del 10% anual con
capitalizaciones en forma mensual

3.6.1. Determinación del monto cada k años

S=? 12 * 7.5 12 * 5

W = 5000 S = 5,000 (1+0.10/12) -1 (1+0.10/12)

j = 0.10 12 * 1.5

m = 12 (1+0.10/12) -1
n = 7.5
k = 1.5 S = 5,000 * 6.892279012 * 1.645308934

S = 56,699.64

3.6.2. Determinación del monto de una anualidad variable menor o = a 1 año

S=?
B = 10,000
r = 0.90 5*2 12 * 5 12 / 2

n=5 S = 10,000 (0.90) (1+0.10/12) -1 (1+0.10/12)

p=2 12 / 2

m = 12 0.90 - (1+0.10/12)

S = 10,000 * 8.583926205 * 1.051053313

S = 90,221.64
S1 = 56,699.64
S2 = 90,221.64
146,921.28
 27

3.6.3. Determinación de valor actual de una anualidad menor o = a 1 año

Problema no. 2

Se desea establecer el precio de contado de una vivienda que fue adquirida hace dos
años a un plazo de 20 años, por la cual se deben realizar amortizaciones mensuales
en forma vencida por valor de Q 3,550.00, la primera de tales amortizaciones deberá
iniciarse dentro de 1 año 1 mes y la institución bancaria que otorgo el crédito cobra el
21% anual de interés capitalizable en forma mensual.

A=? -12 * 17 -12 * 3

R = 3,550 A = 3,550 1 - (1+0.21/12) (1+0.21/12)

j = 0.21 12 / 12

m = 12 (1+0.21/12) -1
n = 17
p = 12 A = 3,550 * 55.4834968 * 0.535501825
y=3
A = 105,475.87
Problema no. 3

Un vehículo es vendido con un enganche fraccionado de Q 30,000.00 50% al momento

de la entrega del vehículo y 50% 1 año después, además 60 cuotas mensuales por
valor de Q 1,120.00. la institución que otorga el financiamiento carga el 9% anual de
interés capitalizable en forma mensual. Se solicita establecer el precio de contado de
dicho vehículo si el primer abono se piensa realizar 7 meses después de entregado el
vehículo.

3.6.4. Determinación de valor actual de una anualidad menor o = a 1 año

A=? -12 * 5 -12 * 0.50

R = 1,120 A = 1,120 1 - (1+0.09/12) (1+0.09/12)

j = 0.09 12 / 12

m = 12 (1+0.09/12) -1
n=5
 28

p = 12 A = 1,120 * 48.1733735 * 0.956158017

y = 0.50
A = 51,588.72
-12 * 1

P = 15,000 ( 1 + 0.09/12)
13,713.70
P = 15,000 * 0.914238155 15,000.00
51,588.72
P = 13,713.57 80,302.29
Problema no. 4

Una empresa ofrece un terreno por el cual deben realizarse amortizaciones

mensuales por valor de Q 2,500.00 durante 15 años, las cuales deben iniciarse
después de 2 años de entregado el terreno. Una persona interesada en la adquisición
de dicho terreno solicita a usted determinar el valor original de dicho terreno si se sabe
que la institución aplicara el 18% anual de interés capitalizable en forma mensual para
los primeros 5 años y luego aumentara 2 puntos porcentuales para los restantes años
pero con capitalizaciones en forma trimestrales.

A=? -12 * 3 1/12 -12 * 1 11/12

R = 2,500 A = 2,500 1 - (1+0.18/12) (1+0.18/12)

j = 0.18 12 / 12

m = 12 (1+0.18/12) -1
n = 3 1/12
p = 12 A = 2,500 * 28.2371274 * 0.710037078
y = 1 11/12
A = 50,123.52
-4 * 11 11/12
A = 2,500 1 - (1+0.20/4)
4/4

(1+0.20/4) -1
 29

A = 2,500 * 18.04563021

A = 45,114.08

-12 * 5

P = 45,114.08 ( 1 + 0.18/12)

P = 45,114.08 * 0.409295966

P = 18,465.01
A = 50,123.52
P = 18,465.01 .
Q. 68,588.53

Ejemplo rentas perpetuas

Una Institución de Beneficencia ha estado y seguirá recibiendo por tiempo indefinido

las siguientes rentas:

a. Al final de cada mes Q.100.00

b. Al Final de Cada semestre Q.600.00

c. Al final de cada trimestre Q.50.00

Se pregunta:

a. ¿Cuánto recibirá esa institución como pago único a cambio de cada una de esas
rentas?

b. Con la cantidad única que reciba, ¿Qué renta pagadera al final de cada mes puede
recibir a perpetuidad sobre la base de la misma tasa de interés?
 30

R
A=
DATOS 1 m/p
(1 + (j/m) -1

A=? 100 100

p = 12 A= 4/12 A=
(1 + .08/4) -1 (1 .02) 0.33-1
R = Q.100.00
j = 0.08 100
A= A = Q.15,099.56
m=4 (1 .0062271-1)

➢ DATOS 2
A=
R
A=? m/p
(1 + (j/m) -1
R = Q.600.00
p=2 600 600
A= 4/2 A=
j = 0.08 (1 + .08/4) -1 (1 .02) 2 -1
m=4
A= 600
A = Q.14,851.49
(1 .0404 -1)
➢ DATOS 3
50 50
A=? A= 4/4 A=
p=4 (1 + .08/4) -1 (1 .02) - 1
R = Q.50.00
A= 50
j = 0.08 A = Q.2,500.00
(1.02-1)
m=4
 31

Resumen

• Valor actual rentas de Q.100.00 A = Q.15,099.56

• Valor actual rentas de Q.600.00 A = Q.14,851.49
A = Q. 2,500.00
• Valor actual rentas de Q.50.00
• Pago único de todas las rentas A = Q. 32,451.05

Datos m/p
R = A [ (1 + (j/m) -1]
R=?
A = Q.32,451.05
p = 12 4/12
R = 32,451.05[ (1 + .08/4) -1]
j = 0.08
0.33
m=4 R = 32,451.05 [(1.02) -1]

R = 32,451.05 (1.00662271-1)
R = Q.214.91
 32

CONCLUSIONES

• Las anualidades variables son aplicadas tanto en Instituciones privadas como

estatales, estas son instrumentos financieros esenciales en la obtención de
información que sirva de base cierta para la toma de decisiones tanto de la alta
gerencia como de los administradores del recurso financiero estatal.

• Derivado que estamos en un mundo globalizado, este tipo de conocimientos es de

aplicación general, siendo necesario que este tipo de transacciones económicas
sea ampliamente conocida y difundida a todo nivel, tanto el empresarial como el
individual, esto para que ninguna entidad tome ventaja del desconocimiento de este
tipo de transacciones.
 33

RECOMENDACIONES

• Derivado que la actividad económico-financiera está inmersa en todo el entorno de

la población guatemalteca, es imprescindible que este tipo de temas sea impartido
desde el nivel diversificado, esto, con el objeto de que la población obtenga
beneficios superiores, evitando que las Empresas que brindan este tipo de servicios
tomen ventaja al tener un mercado ignorante del tema.

• El profesional de auditoría debe de tomar en consideración a las anualidades y todo

el entorno financiero como importantes, esto para aplicarlas de forma correcta,
manteniéndose actualizado en cuanto a su aplicación y constante evolución. Este
tipo de temas, revisten relevancia toda vez que al momento de realizar una asesoría
o consultoría a cualquier persona ya sea esta individual o jurídica, estos deben ser
prestados con altos estándares de calidad en cuanto al desarrollo de los
conocimientos.
 34

BIBLIOGRAFÍA

• Borrás, F., y otros. Cuba banca y seguros.

Revista del Banco Central de Cuba. Enero_ Marzo 1999. año2 No.1.
Revista del Banco Central de Cuba. Julio - Septiembre 2000. año3 No.3.
Suárez S. A. "Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa", 15ta.
Ed., Editorial Pirámide, S.A., Madrid, 1993. Cinco ejemplares disponibles.
Fabozzi F. J., F. Modigliani, M G. Ferri. “Mercados e instituciones financieras”,
Prentice Hall, 1996. Tres ejemplares disponibles.
• Giovanny E. Gómez
• Introducción a la Matemática Superior, México DF. Editorial Trillas, Bush, George y
Philip E. Obrean
• Calculo Mercantil y Financiera, Matemática comercial: Carol Cárdenas